Statistique Descriptive 0317112011.pdf

03-11-2011

17-11-2011

Caractristiques de position: le mode et les quantiles

Mode et Classe modale

3 Statistique Descriptive

Lorsque la variable est qualitative ou quantitative discrte, on dtermine le mode Lorsque la variable est quantitative continue, on dtermine la classe modale.

4

Dfinition: Le mode (ou valeur modale) est la valeur que la variable statistique prend le plus souvent ( la valeur qui a le plus grand effectif ). Le mode peut tre calcul pour les caractre qualitatifs comme pour les caractres quantitatifs.

Exemple : Soit la srie : {8,4,4,3,4,3,8,2,5} La valeur la plus frquente de cette srie est 4. Le mode est donc gal 4. L'effectif associ ce mode est 3.

Le Mode

5

Remarques

a) Une srie peut avoir plusieurs modes

Soit la srie S = {4, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 5},

les "2" et les "3" sont les valeurs qui reviennent le plus souvent : 5 fois chacune.

Cette srie a 2 modes, elle est bimodale. Ses deux modes sont : 2 et 3.

L'effectif associ chacun de ces modes est : 5. Bien entendu, on peut avoir des sries

avec 3, 4, 5, etc. modes. Ce sont alors des sries multimodales.

b) Le mode nexiste pas forcment

C'est le cas lorsque toutes les valeurs ont le mme effectif comme dans l'exemple suivant : {8,6,5,7,3,1}. Dans ce cas, on peut aussi dire que toutes les valeurs sont modales.

c) Le mode nest pas la valeur la plus leve

Il ne faut pas confondre le mode, qui est la valeur la plus frquente, avec la valeur la plus leve de la srie. Dans la srie {8,6,5,7,3,1}, il n'y a pas de mode, mais la valeur la plus leve est 8. Il peut arriver que le mode soit aussi la valeur la plus leve, mais ce nest alors quune concidence.

6

Le mode est la Modalit correspondante leffectif le plus important. Exemple: Population active selon le statut des emplois, en 2004 Statut de lemploi Effectifs (en milliers) Non salaris 2 669 Salaris secteur priv 17 270 Salaris secteur public 4 789 Total 24 728

Le mode de la distribution est reprsent par les salaris du secteur priv.

Le mode dans le cas dune variable qualitative:

Statistique Descriptive 7

0 10000 20000

NS

SPr

Spu

Statut de lemploi

Population active selon le statut des emplois

Sur le diagramme il sagit du tuyau le plus haut

Nombre de

vente par jours 0 1 2 3 4 5 6 total

Nombre de

jours 24 57 75 53 33 7 4 253

Exemple: Distribution des jours douvertures dun magasin suivant le nombre de vente d un appareil A

Le mode est la Valeur correspondante leffectif le plus important.

Le Mode est gale 2 appareils par jours: il ya 75 jours o on a vendu 2 appareils dans la journe

Sur le diagramme il sagit du tuyau le plus haut

Le mode dans le cas dune variable quantitative discrte:


0 20 40 60 80

0

1

2

3

4

5

6

Distribution des jours douvertures dun magasin suivant le nombre de vente d un appareil A

Nombre de fois/jour

10

Si les classes sont toutes de mme amplitude, la classe modale est la classe deffectif le plus lev ou de frquence la plus leve.

Si les classes ne sont pas toutes de mme amplitude, la classe modale est la classe dont leffectif corrig ou la frquence corrige est maximum

La classe modale dans le cas dune variable quantitative continue:

11

A partir du tableau statistique:

Classes de Salaires Effectifs

Effectifs

corrig

Hauteur

[6000-7000[ 10 10/1000 10

[7000-9000[ 50 50/2000 25

[9000-10 000[ 20 20/1000 20

[10 000-13 000[ 20 20/3000 6,67

[13 000-17 000[ 10 10/4000 2,5

[17 000 -20000[ 5 5/3000 1,67

Totaux 14000 115

Rpartition des salaires mensuels dune entreprise X Exemple:

La classe modale est [7000-9000[ : elle correspond leffectif corrig le plus levs

12

Sur lhistogramme

5

10

15

20

25

30

50

10

20

20 10 5

Distribution des effectifs des salaris selon leur salaire mensuel hauteur

Salaire mensuel 6000 7000 9000 20000

Il sagit du tuyau le plus haut


Le mode dans le cas dune variable quantitative continu:

On peut calculer le mode pour un caractre quantitatif continu par la formule suivante:

10

1 2

CMo CMoM LI A

O LICMo est la borne infrieur de la classe modale ACMo est lamplitude de la classe modale 1= fCMO-fCMO-1: diffrence entre la frquence de la classe modale et la frquence de la classe prcdente

2= fCMO-fCMO+1: diffrence entre la frquence de la classe modale et la frquence de la classe suivante


Exemple: Soit le tableau suivant dcrivant la distribution des salaires de 75 employs:

Salaires [215,235[

[235,255[

[255,275[

[275,295[

[295,315[

[315,335[

[335,355[

[355,375[

Effectifs 4 6 13 22 15 6 5 4

Frquences 5,33 8 17,33 29,33 20 8 6,67 5,33

10

1 2

29,33 17,33275 20

(29,33 17,33) (29,33 20)

286,25

CMo CMoM LI A

Les quantiles:


On calcule les quantiles pour une variable quantitative discrte et continue dont les modalits sont classes par valeurs croissantes.

Quantile dordre :

Le quantile dordre not q est la valeur de la variable telle que des valeurs observes sont infrieures q

q

Donc, par dfinition, la frquence cumule croissante associe au quantile q est , c..d

( )F q


On subdivise l'intervalle [0; 1] en n parts . Les points correspondants sont appels :

Les quartiles : on subdivise [0,1] en 4 parts gales. Les quartiles sont les

trois valeurs Les dciles : on subdivise [0,1] en 10 parts gales. Les dciles sont les neufs

valeurs Les centiles : on subdivise [0,1] en 100 parts gales. Les centiles sont les 99

valeurs

1 0,25 2 0,5 3 0,75Q ;Q ;Qq q q

1 0,1 2 0,2 9 0,9; ;...;D q D q D q

1 0,01 2 0,02 50 0,5 98 0,98 99 0,99; ;...; ;...; ;C q C q C q C q C q

Mthode de calcul du quantile dordre

Variable quantitative discrte: partir de la srie statistique partir du tableau statistique

Variable quantitative continue

Soient x1, x2,, xn une population n individus .

On classe les individus par ordre croissant.

Si n nest pas un entier: le quantile dordre est la donne dont le rang est lentier le plus proche du nombre n +0,5:

Si n est un entier: le quantile dordre est la moyenne des donne des rangs respectifs n et n+1:

nq x

o reprsente le plus petit nombre entier suprieur ou gal nn

1

2

n nx xq

Variable quantitative discrte: partir de la srie statistique


Exemple: On considre la srie statistique suivante:{12, 12, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 24, 24} contenant 10 observations. o Le premier quartile Q1 :


Exemple: On considre la srie statistique suivante:{12, 12, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 24, 24} contenant 10 observations. o Le premier quartile Q1 : n=10 et =0,25 donc n=100,25=2,5. Do

oLe deuxime quartile Q2:

1 32,5Q 15.x x



oLe deuxime quartile Q2: n=10 et =0,5 donc n=100,5=5. Do oLe septime dcile D7:

1 32,5Q 15.x x

5 62

18 19Q 18,5

2 2

x x



oLe deuxime quartile Q2: n=10 et =0,5 donc n=100,5=5. Do oLe septime dcile D7: n=10 et =0,7 donc n=100,7=7. Do

1 32,5Q 15.x x

5 62

18 19Q 18,5

2 2

x x

7 87

22 24D 23

2 2

x x


Exercice: Considrons la srie statistique suivante: {4, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 5}. o Calculer les quartiles Q1 et Q3 o Donner une interprtation de Q1 o Calculer les dciles D4 et D9 o Donner une interprtation de D4


VALEURS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Effectifs 1 2 2 3 2 3 2 3 4 3

Frquences 0,02 0,04 0,04 0,06 0,04 0,06 0,04 0,06 0,08 0,06

Frquences cumules 0,02 0,06 0,1 0,16 0,2 0,26 0,3 0,36 0,44 0,5

VALEURS 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effectifs 2 3 4 4 3 1 2 1 2 2 1

Frquences 0,04 0,06

0,08

0,08

0,06

0,02

0,04 0,02

0,04 0,04

0,02

Frquences cumules 0,54 0,6 0,68 0,76 0,82 0,84 0,88 0,9 0,94 0,98 1

Variable quantitative discrte: partir du tableau statistique

Exemple: Une tude statistique sur les 50 notes attribues par un jury un examen, voici les rsultats obtenus en classant ces notes par ordre croissant.

Q1= Q3= D6=


VALEURS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Effectifs 1 2 2 3 2 3 2 3 4 3

Frquences 0,02 0,04 0,04 0,06 0,04 0,06 0,04 0,06 0,08 0,06

Frquences cumules 0,02 0,06 0,1 0,16 0,2 0,26 0,3 0,36 0,44 0,5

VALEURS 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effectifs 2 3 4 4 3 1 2 1 2 2 1

Frquences 0,04 0,06

0,08

0,08

0,06

0,02

0,04 0,02

0,04 0,04

0,02

Frquences cumules 0,54 0,6 0,68 0,76 0,82 0,84 0,88 0,9 0,94 0,98 1

Variable quantitative discrte: partir du tableau statistique

Exemple: Une tude statistique sur les 50 notes attribues par un jury un examen, voici les rsultats obtenus en classant ces notes par ordre croissant.

Q1=F-1(0,25)=5 Q3=F-1(0,75)=13 Q2=F-1(0,5)???


Variable quantitative continue:

Dans ce cas, la fonction des frquences cumules (respectivement , des effectifs cumuls) est continue croissante. Donc, elle admet un inverse. Supposons que la valeur est atteinte dans lintervalle [Ck,Ck+1[, c..d

1 , 1[ , [ [ [k k k kF F F q C C

Daprs le thorme Thals :

1 1

k k

k k k k

q C F F

C C F F

Ck q Ck+1 Classes

Frquences cumules

Fk+1 F

Fk


Par consquent

1

1

( )kk k kk k

F Fq C C C

F F

Ou encore

1

1

( )kk k kk k

N Nq C C C

N N

28

Exemple: On dispose dune srie statistique o les effectifs sont regroups en classes.

Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences

Frquences cumules

29


Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences 0,08 0,15 0,20 0,21 0,19 0,11 0,06

Frquences cumules 0,08 0,23 0,43 0,64 0,83 0,94 1

1

4

2

3

87

Q

Q

Q

D

C

30


Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences 0,08 0,15 0,20 0,21 0,19 0,11 0,06


1 0,25

4

2

3

87

0,25 0,23Q 60 (70 60) 61

0,43 0,23

Q

Q

q

D

C

31


Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences 0,08 0,15 0,20 0,21 0,19 0,11 0,06


1 0,25

4 0,4

2

3

87

0,25 0,23Q 60 (70 60) 61

0,43 0,23

0,4 0,2360 (70 60) 68,5

0,43 0,23

Q

Q

q

D q

C

32


Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences 0,08 0,15 0,20 0,21 0,19 0,11 0,06


1 0,25

4 0,4

2 0,5

3

87

0,25 0,23Q 60 (70 60) 61

0,43 0,23

0,4 0,2360 (70 60) 68,5

0,43 0,23

0,5 0,43Q 70 (80 70) 73,33

0,64 0,43

Q

q

D q

q

C

33


Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences 0,08 0,15 0,20 0,21 0,19 0,11 0,06


1 0,25

4 0,4

2 0,5

3 0,75

87

0,25 0,23Q 60 (70 60) 61

0,43 0,23

0,4 0,2360 (70 60) 68,5

0,43 0,23

0,5 0,43Q 70 (80 70) 73,33

0,64 0,43

0,75 0,64Q 80 (100 80) 85,79

0,83 0,64

q

D q

q

q

C

34


Classes [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,100[ [100,120[ [120,150]

Effectifs 24 45 61 63 57 32 18

Frquences 0,08 0,15 0,20 0,21 0,19 0,11 0,06


1 0,25

4 0,4

2 0,5

3 0,75

87 0,87

0,25 0,23Q 60 (70 60) 61

0,43 0,23

0,4 0,2360 (70 60) 68,5

0,43 0,23

0,5 0,43Q 70 (80 70) 73,33

0,64 0,43

0,75 0,64Q 80 (100 80) 85,79

0,83 0,64

0,87 0,83100 (12

0,94 0,83

q

D q

q

q

C q

0 100) 103,64

FIN


Documents

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