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Statistical Modeling of Sunspot Cycles
Yaming YuDepartment of Statistics, Harvard University
sunspot numbers April 19, 2005
Sunspots� What are they?
– Sunspots appear as dark spots on the surface of the Sun.
– Temperature lower than the surrounding photosphere.Strong magnetic fields.
– They typically last several days; some may live for weeks.
� The longest directly observed index of solar activity
– 1610: Galileo first viewed sunspots with his new telescope.
– 1749: Daily observations were started at the Zurich Observatory.
– 1849: Continuous (daily) observations were obtained with the addition ofmore observatories.
sunspot numbers April 19, 2005
Sunspot Number (SSN) Data� Sunspots occur in groups.
� Sunspot No. = No. of individual spots + 10 � � � No. of groups
� – The International Sunspot Number: compiled by the Sunspot Index DataCenter in Belgium.
– The NOAA sunspot number: compiled by the US National Oceanic andAtmospheric Administration.
� – Top: monthly averages of the International Sunspot Numbers.
– Middle: local smoother fit to sqrt(SSN).
– Bottom: residuals.
sunspot numbers April 19, 2005
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sunspot numbers April 19, 2005
Sunspot Cycles
Features of the sunspot number data
� A lot of noise.
� Quasi-periodicity: average cycle length is 11 years (Wolf 1852).
� Asymmetry: rise to maximum is faster than fall to minimum (Waldmeier1935, 1939).
� Waldmeier effect: stronger cycles tend to take less time to rise to maximumamplitude.
� Long-term (8–9 cycles) periodicity . . .
How to quantify the statistical significance?
sunspot numbers April 19, 2005
Statistical Modeling of Sunspot Cycles� Physical models of the solar dynamo are unfortunately lacking/flawed.
� But we can build statistical models.
Cycle lengths vary; purely periodic models don’t work.
� A Poisson model with a latent autoregressive process
Yt �� ξt � β �Yt �� ξt � β �Yt �� ξt � β � ind� Pois � eβ0� β1t� β2 cos 2πt T� t0 �� ξt
� ;ind� Pois � eβ0� β1t� β2 cos 2πt T� t0 �� ξt
� ;ind� Pois � eβ0� β1t� β2 cos 2πt T� t0 �� ξt
� ;
ξt �� ξ t � β � ρ � δ �ξt �� ξ t � β � ρ � δ �ξt �� ξ t � β � ρ � δ � � N� ρξt� 1 � δ2 ���� N� ρξt� 1 � δ2 � �� N� ρξt� 1 � δ2 � �
� Three posterior realizations
– Left: data with fitted curve
– Right: residuals
sunspot numbers April 19, 2005
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suns
pot n
umbe
rs
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050
100
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resi
dual
s
1750 1800 1850 1900 1950 2000
-50
050
100
150
200
sunspot numbers April 19, 2005
Modeling Each Cycle by Simple Functions
Notation for cycle iii
� t i �
0t
i �
0t
i �
0 : start of cycle iii
� t i �
maxt i �
maxt i �
max: time at cycle maximum
� t i� 1 �
0t
i� 1 �
0t
i� 1 �
0 : end of cycle iii
year
2040 2042 2044 2046 2048 2050
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
PS
fragreplacem
ents
t i �
0t
i �
0t
i �
0 t i �
maxt i �
maxt i �
max t i� 1 �
0t
i� 1 �
0t
i� 1 �
0
sunspot numbers April 19, 2005
� RtRtRt: “average solar activity level” at time ttt
– For the rising phase t � t i �
maxt � t i �
maxt � t i �
max
Rt� ci 1� t i �
max� t
t i �
max� t i �
0
α1
Rt� ci 1� t i �
max� t
t i �
max� t i �
0
α1
Rt� ci 1� t i �
max� t
t i �
max� t i �
0
α1
;
– For the declining phase t � t i �
maxt � t i �
maxt � t i �
max
Rt� ci 1� t� t i �
max
t i� 1 �
0
� t i �
max
α2
Rt� ci 1� t� t i �
max
t i� 1 �
0
� t i �
max
α2
Rt� ci 1� t� t i �
max
t i� 1 �
0
� t i �
max
α2
�
� cycle length = t i� 1 �
0
� t i �
0t i� 1 �
0
� t i �
0t i� 1 �
0
� t i �
0 ;
time to rise to maximum = t i �
max� t i �0t i �
max� t i �0t i �
max� t i �0 ;
amplitude = cicici.
� α1 � α2 � 1α1 � α2 � 1α1 � α2 � 1: the same shape parameters for all cycles.
sunspot numbers April 19, 2005
A Nonlinear Regression Model� Model sqrt of sunspot numbers to stablize the variance:
� Ytind� N� β0� β1t� Rt � σ2 �� Ytind� N� β0� β1t� Rt � σ2 �� Ytind� N� β0� β1t� Rt � σ2 �
� Cycle-specific parameters
– T0� � t i �
0 � i� 0 � 1 �� � � � k � ;T0� � t i �
0 � i� 0 � 1 �� � � � k � ;T0� � t i �
0 � i� 0 � 1 �� � � � k � ;– Tmax� � t i �
max � i� 0 �� � � � k� 1 � ;Tmax� � t i �
max � i� 0 �� � � � k� 1 � ;Tmax� � t i �
max � i� 0 �� � � � k� 1 � ;– C� � ci � i� 0 �� � � � k� 1 �C� � ci � i� 0 �� � � � k� 1 �C� � ci � i� 0 �� � � � k� 1 � �
Total number of available cycles k� 24k� 24k� 24.
sunspot numbers April 19, 2005
Priors� flat on t i �
0 � i� 1 �� � � � k� 1t i �0 � i� 1 �� � � � k� 1t i �0 � i� 1 �� � � � k� 1 and TmaxTmaxTmax subject to
t i �
0 � t i �
max � t i� 1 �
0t i �
0 � t i �
max � t i� 1 �
0t i �
0 � t i �
max � t i� 1 �
0 ;
� flat but with extra constraint on t 0 �
0 � t k �
0t 0 �
0 � t k �
0t 0 �
0 � t k �
0 and α� � α1 � α2 �α� � α1 � α2 �α� � α1 � α2 � ;
� standard prior on C � β� � β0 � β1 �C � β� � β0 � β1 �C � β� � β0 � β1 � , and σ2σ2σ2.
sunspot numbers April 19, 2005
Model-fitting Procedure� Gibbs sampler with M–H steps.
� Lots of local modes in simulations.
Note: Given T0 � TmaxT0 � TmaxT0 � Tmax and ααα, posterior of � C � β � σ2 �� C � β � σ2 �� C � β � σ2 � follows standardnormal-inverse χ2χ2χ2. So
� update � T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α � one coordinate at a time according to its conditionaldensity, but with � C � β � σ2 �� C � β � σ2 �� C � β � σ2 � integrated out;
� draw � C � β � σ2 �� C � β � σ2 �� C � β � σ2 � given � T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α �� T0 � Tmax � α � using OLS routines.
sunspot numbers April 19, 2005
MCMC chain 1
iteration
star
t pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
7580
85
all 3 chains
iteration
star
t pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
7580
85
iteration
max
pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
145
155
165
175
iteration
max
pt o
f cyc
le 1
0 200 400 600 800 1000
145
155
165
175
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.2
1.6
2.0
2.4
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.2
1.6
2.0
2.4
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.0
1.2
1.4
iteration
0 200 400 600 800 1000
1.0
1.2
1.4
PS
fragreplacem
ents
α 1α 1α1
α 1α 1α1
α 2α 2α2
α 2α 2α2
sunspot numbers April 19, 2005
Posterior Inference
Fitted model and residuals
� – Top: sqrt(SSN) with fitted values.Vertical lines represent one posterior draw of � T0 � Tmax �� T0 � Tmax �� T0 � Tmax � .
– Middle: residuals vs. time (year).
– Bottom: residuals vs. fitted values.
sunspot numbers April 19, 2005
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fitted values
abs(
resi
dual
s)
2 4 6 8 10 12 14
01
23
4
sunspot numbers April 19, 2005
� It’s a fairly good fit. Much better than the local smoother.� The fit is better for recent data (year � 1850year � 1850year � 1850) than for the less reliable data in
the past.
� The 45 degree streak is an artifact caused by zero SSN observations.
sunspot numbers April 19, 2005
Posterior Inference: Shape Parameters α1 � α2α1 � α2α1 � α2
mean s.e. 2.5% 97.5%
α1α1α1 1.46 0.10 1.29 1.66
α2α2α2 1.28 0.05 1.18 1.36
Pr� α2� α1 � 0 � Y � � 0� 94Pr� α2� α1 � 0 � Y � � 0� 94Pr� α2� α1 � 0 �Y � � 0� 94
1.2 1.4 1.6 1.8
010
030
0
shape parameters
-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2
020
040
060
0
1.15 1.25 1.35
010
030
0
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PS
fragreplacem
entsα1α1α1
α1α1α1α 2α 2α
2
α2α2α2
α2� α1α2� α1α2� α1
sunspot numbers April 19, 2005
Cycle Length Patterns
cycle length
cycle #
year
s
0 5 10 15 20
910
12
time to fall - time to rise
cycle #
year
s
0 5 10 15 20
-22
46
8
sunspot numbers April 19, 2005
� Average cycle length is around 11 years( � � � ’s mark posterior means)
� Error bars are small(Vertical bars represent the 50% marginal credible intervals)
� The cycle length has no apparent upward or downward trend.
� With few exceptions, cycles take more time to decline than to rise.
� Only about half of Cycle # 0 is observed, hence the large error bars.
sunspot numbers April 19, 2005
Cycle Amplitude Patterns
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cycle amplitude
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0 5 10 15 20
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-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
02
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slope
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amplitude of previous cycle
ampl
itude
of c
urre
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ycle
6 8 10 12
68
1012
0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
2.0
slope
sunspot numbers April 19, 2005
Evaluating Statistical Significance� Wrong procedure: simple linear regression using the posterior mean as the
true amplitudes.
� Ideally we should fit a hierarchical model.
� A two-stage simulation procedure:
– Draw posterior samples of the cycle amplitudes (done).
– For each sample, fit the regression model of amplitude vs. cycle #,and then draw from the posterior of the regression coefficient.
� Because error bars are small, results (histogram) are nearly identical tothose of simple linear regression (solid curve).
sunspot numbers April 19, 2005
Relationship Between Cycle Length and Amplitude
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-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.50.
00.
20.
40.
60.
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01.
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slope
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9 10 11 12 13
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itude
2 3 4 5 6
68
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-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
slope
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a posterior sample
time to rise
ampl
itude
2 3 4 5 6 76
810
12
sunspot numbers April 19, 2005
� Row 1: amplitude vs. cycle length
– Left: Scatterplot of the posterior means.Vertical (horizontal) bars are 50% credible intervals for cycle amplitude(length).
– Middle: Statistical significance of the regression slope.Little difference between simple linear regression and two-stagesimulation.
– Right: A posterior sample and its regression line.
� Row 2: amplitude vs. time to rise to cycle maximum
– Middle: the error bars are large enough to make a (very small) difference.
sunspot numbers April 19, 2005
Forecasting Problems� Predict the rest of a partially observed cycle
� Predict the length and amplitude of an unobserved future cycle
The amplitude-length (amplitude-period) relations:
� Length of the previous cycle is a fairly good predictor of the amplitude ofthe current cycle.
� Amplitude of the previous cycle has little correlation with the length of thecurrent cycle.
sunspot numbers April 19, 2005
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prediction
length of previous cycle
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itude
of c
urre
nt c
ycle
9 10 11 12 13
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dual
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9 10 11 12 13
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amplitude of previous cycle
leng
th o
f cur
rent
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6 8 10 12
910
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amplitude of previous cycle
resi
dual
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-20
12
sunspot numbers April 19, 2005
Work in Progress� Data quality problems.
� Incorporating additional information, e.g., spatial location of sunspots,magnetic polarity information; joint modeling with 10.7cm flux, etc.
� A more elaborate model to link cycle length, time to rise, and amplitudethrough hyperparameters.
� Allowing the start of cycle i� 1i� 1i� 1 to be slightly different from the end of cycle iii.
� Comparison with similar models in the literature.
� Better algorithms. More efficient computer code.
��� � �� � �� � �
sunspot numbers April 19, 2005
