3/11/12 Standard deviation

1/3une.edu.au/WebStat/unit_materials/c4_descriptive_statistics/standard_deviation.htm

 

� Chapter 4: Analysing the DataPart II : Descriptive Statistics

� Standard deviationTo  overcome  the  problem  of  dealing  with  squared  units,statisticians  take  the  square  root  of  the  variance  to  get  thestandard deviation.

The standard deviation (for a sample) is defined symbolicallyas

So  if  the  scores  in  the  data  were  5,  7,  6,  1,  and  8,  theirsquared  differences  from  the mean would  be  0.16  (from  [5­5.4]2),  2.56  (from  [7­5.4]2),  0.36  (from  [6­5.4]2),  19.36  (from[1­5.4]2), and 6.76 (from [8­5.4]2). The mean of these squareddeviations is 5.84 and its square root is 2.41 (if dividing by N),which is the standard deviation of these scores. The standarddeviation  is  defined  as  the  average  amount  by  whichscores in a distribution differ from the mean, ignoring thesign of the difference. Sometimes, the standard deviation isdefined  as  the  average  distance  between  any  score  in  adistribution and the mean of the distribution.

The  above  formula  is  the  definition  for  a  sample  standarddeviation.  To  calculate  the  standard  deviation  for  apopulation,  N  is  used  in  the  denominator  instead  of  N­1.Suffice  it  to  say  that  in  most  contexts,  regardless  of  thepurpose  of  your  data  analysis,  computer  programs will  printthe  result  from  the  sample  sd. So we will  use  the  second

3/11/12 Standard deviation

2/3une.edu.au/WebStat/unit_materials/c4_descriptive_statistics/standard_deviation.htm

formula  as  our  definitional  formula  for  the  standarddeviation,  even  though  conceptually  dividing  by  N  makesmore sense (i.e., dividing by how many scores there are to getthe average). When N  is  fairly  large,  the  difference betweenthe  different  formulas  is  small  and  trivial.  Using  the  N­1version of the formula, we still define the standard deviation asthe  average  amount  by  which  scores  in  a  distribution  differfrom  the  mean,  ignoring  the  sign  of  the  difference,  eventhough this isn�t a true average using this formula.

The standard deviation in our sexual behaviour data is 2.196,from the SPSS printout in Output 4.2. So the mean number ofsexual  partners  is  1.864 with  a  standard  deviation  of  2.196.The units are now the same as the original data. But, is this alarge  standard  deviation?  It  is  hard  to  say.  In  a  normaldistribution the mean and standard deviation are independentof  each  other.  That  is  one  could  be  large  or  small  and  theother  large  or  small  without  any  influence  on  each  other.However, in reality they are often linked so that larger, meanstend  to  have  larger  standard  deviations.  This  leads  into  thearea  of  transformations  that  are  a way  of  reestablishing  thisindependence.

A useful measure of a distribution  that  is sometimes used  isthe ratio of the standard deviation to the mean (Howell p. 48)

The standard deviation has one undesirable  feature. Like themean,  one  or  two  extreme  scores  easily  influence  thestandard deviation. So  really  atypical  scores  in  a  distribution("outliers")  can  wildly  change  the  distribution�s  standarddeviation. Here, adding a score of 200 increases the sd from2.196  to  15.0115,  a  seven­fold  increase!  Because  both  ofthese descriptive statistics are influenced by extreme cases, itis  important  to  note when extreme  values  exist  in  your  dataand  might  be  influencing  your  statistics.  How  to  define"extreme," and what to do if you have extreme data points is acontroversial and complex topic out of the scope of this class.

3/11/12 Standard deviation

3/3une.edu.au/WebStat/unit_materials/c4_descriptive_statistics/standard_deviation.htm

 

�  

© Copyright 2000 University of New England, Armidale, NSW, 2351. All rights reserved

Maintained by Dr Ian PriceEmail: iprice@turing.une.edu.au