Embed Size (px)
Citation preview
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ İSTANBUL
İNVASİV OLMAYAN VENTİLASYONDA SOLUNUM PARAMETRELERİNİN MODELLENMESİ
Esra SAATÇI Bioyomedikal Mühendisliği
Anabilim Dalı
Danışman Prof.Dr. Aydın AKAN
Haziran, 2009
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
İSTANBUL
İNVASİV OLMAYAN VENTİLASYONDA SOLUNUM PARAMETRELERİNİN MODELLENMESİ
Esra SAATÇI Bioyomedikal Mühendisliği
Anabilim Dalı
Danışman Prof.Dr. Aydın AKAN
Haziran, 2009
Bu çalışma 16/06/2009 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Biyomedikal Mühendisliği Anabilim Dalı programında Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir. Tez Jürisi Prof. Dr. Aydın AKAN Prof. Dr. Nurhayat YILDIRIM İstanbul Üniversitesi İstanbul Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Cerrahpaşa Tıp Fakültesi Prof. Dr. Gökhan UZGOREN Prof. Dr. Osman Nuri UÇAN İstanbul Kültür Üniversitesi İstanbul Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Mühendislik Fakültesi Prof. Dr. İlhan KOCAARSLAN İstanbul Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Bu çalışma İstanbul Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Yürütücü Sekreterliğinin T-965/06102006 numaralı projesi ile desteklenmiştir.
i
ÖNSÖZ
Başta, tez çalışmalarım boyunca gösterdiği ilgi, verdiği her türlü destek ve yardımlarından dolayı çok değerli hocam Prof.Dr.Aydın AKAN olmak üzere tez izleme jürimde yer alan ve Lisans öğrenimimden başlayarak bana her türlü desteği veren çok değerli hocam Prof.Dr.Gökhan UZGÖREN’e ve Cerrahpaşa Tıp Fakültesi Göğüs Hastalıkları Anabilim Dalında yaptığım hasta ölçümlerinde bana destek olan çok değerli hocam Prof.Dr.Nurhayat YILDIRIM’a en içten dileklerimle teşekkür ederim. Ayrıca, ailem Dr. Ertuğrul SAATÇI başta olmak üzere, annelerim Güliz KAZGAN’a ve AYŞE SAATÇI’ya çok teşekkür ederim. Bana verdikleri destek ve yardımları olmasa bu tez çalışması hiç bir zaman mümkün olmayacaktı. Son olarak, bu tezi oğlum Batu SAATÇI’ya ithaf etmek istiyorum. Bu çalışma boyunca benden yardımlarını esirgemeyen çalışma arkadaşlarıma ve çalışmamın uygulama kısmını destekleyen İstanbul Üniversitesi’nede teşekkürü borç bilirim. Haziran, 2009 Esra SAATÇI
ii
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ .........................................................................................................i
İÇİNDEKİLER ......................................................................................... ii
ŞEKİL LİSTESİ ......................................................................................... v
TABLO LİSTESİ ................................................................................... viii
SEMBOL LİSTESİ ...................................................................................ix
ÖZET ..........................................................................................................xi
SUMMARY ............................................................................................. xii
1. GİRİŞ ......................................................................................................1
2. GENEL KISIMLAR ...............................................................................5
2.1. SOLUNUM SİSTEMİ MODELLERİ .............................................................. 5
2.2. SOLUNUM SİSTEMİ MODEL ÇEŞİTLERİ ................................................. 6
2.2.1. Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği Modelleri ........................................... 6
2.2.2. Visko-elastik Modeller ................................................................................ 9
2.2.3. Elektriksel Dönüşüm Modelleri ............................................................... 10
2.3. ZORLANMIŞ OSİLASYON TEKNİĞİ VE DARBE OSİLASYONU
SİSTEMİ .................................................................................................................. 11
2.3.1. Darbe Osilometri Sistemleri ..................................................................... 12
2.3.2. IOS da Sinyal İşleme ................................................................................. 14
2.3.3. Koharens .................................................................................................... 15
2.3.4. FOT’un Sınırlamaları ............................................................................... 16
3. MALZEME VE YÖNTEM .................................................................18
3.1. DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN SOLUNUM SİSTEMİ
MODELLERİ .......................................................................................................... 18
iii
3.1.1. Invasiv Olmayan Ventilasyon Modeli ..................................................... 19
3.1.2. Solunum Kasları Modeli ........................................................................... 20
3.1.3. Doğrusal RIC Solunum Sistemi Modeli .................................................. 21
3.1.4. Viskoelastik Solunum Sistemi Modeli ..................................................... 23
3.1.5. Mead Solunum Sistemi Modeli ................................................................ 25
3.1.6. Doğrusal Olmayan RC Solunum Sistemi Modeli ................................... 27
3.2. İSTATİKSEL ANALİZ VE KLASİK KESTİRİM YÖNTEMLERİ .......... 31
3.2.1. Enküçük Değişinti Yansız Kestirimci ..................................................... 34
3.2.2. Enbüyük Olabilirlik Kestirimci................................................................ 35
3.3. BAYESÇİ KESTİRİM YÖNTEMLERİ ........................................................ 39
3.3.1. Çiftli Kestirim ............................................................................................ 41
3.3.2. Kalman Filtre ............................................................................................ 41
3.3.3. Genişletilmiş Kalman Filtre ..................................................................... 43
3.3.4. Unscented Kalman Filtre........................................................................... 44
3.3.5. Kısıtlamalı Kestirim .................................................................................. 47
3.3.6. Ölçüm İnovasyonlarının Kestirimi .......................................................... 47
4. BULGULAR .........................................................................................50
4.1. SOLUNUM MODELLERİNDE KLASİK KESTİRİM ............................... 50
4.1.1. Yapay Solunum Sinyallerinin Üretilmesi ............................................... 51
4.1.2. Enküçük Değişinti Yansız Kestirimci ..................................................... 52
4.1.3. Enbüyük Olabilirlik Kestirimci................................................................ 57
4.2. SOLUNUM SİSTEMİNİN BAYES YAKLAŞIMI İLE TERS
MODELLENMESİ ................................................................................................. 61
4.2.1. Kalman Filtre ............................................................................................ 61
4.2.2. Genişletilmiş ve Unscented Kalman Filtreleri ........................................ 68
4.3. ÇİFTLİ KALMAN FİLTRE İÇİN SONSAL CRAMER RAO ALT SINIRI
.................................................................................................................................... 75
4.3.1. Solunum Modellerinde PCRLB ............................................................... 86
4.4. SOLUNUM MODELLERİNDE GENELLEŞTİRİLMİŞ GAUSS
DAĞILIMLI HATA MODELİ .............................................................................. 96
4.5. ÖLÇÜLEN SOLUNUM SİNYALLERİNDEN ELDE EDİLEN SONUÇLAR
.................................................................................................................................. 104
iv
4.5.1. Sinyal Toplama ve Önişleme .................................................................. 104
4.5.2. Enküçük Değişinti Yansız Kestirimci ................................................... 106
4.5.3. Kalman Filtre .......................................................................................... 115
4.5.4. Genişletilmiş ve Unscented Kalman Filtreleri ...................................... 122
4.5.5. MLE ve GGD ile Hata Analizi ............................................................... 133
5. TARTIŞMA VE SONUÇ ...................................................................143
KAYNAKLAR ........................................................................................151
EKLER ....................................................................................................155
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................159
v
ŞEKİL LİSTESİ
Şekil 2.1 : Solunum sisteminin akışkanlar dinamiği ile modellenmesi ................. 8 Şekil 2.2 : Visko-elastik reologiksel solunum sistemi modeli............................... 10 Şekil 2.3 : Solunum sisteminin 3 ve 35 Hz arasındaki direnç, reaktans ve koherans
ile ilgili temsili eğrileri ........................................................................... 13 Şekil 2.4 : Havayolu gaz akışı ve havayolu basıncı güç spekturumları................. 13 Şekil 2.5 : Darbeli osilasyon sisteminin şematik gösterimi................................... 14 Şekil 2.6 : Kaydedilmiş ve düzeltilmiş havayolu gaz akış parçası ........................ 16 Şekil 3.1 : Doğrusal RIC solunum sistemi modeli ................................................ 22 Şekil 3.2 : Viskoelastik solunum sistemi modeli................................................... 23 Şekil 3.3 : Mead solunum sistemi modeli.............................................................. 26 Şekil 3.4 : Doğrusal olmayan RC solunum sistemi modeli ................................... 29 Şekil 4.1 : RIC solunum sistemi modelinde yapay solunum sinyallerinden model
parametrelerinin MVUE yöntemiyle kestirilmesinde ( )ˆmse θ nın gözlem
sinyal uzunluğu N ile değişimi ............................................................. 55 Şekil 4.2 : RIC ve doğrusal olmayan RC solunum sistemi modellerinde yapay
solunum sinyallerinden model parametrelerinin MLE yöntemiyle kestirilmesinde ( )ˆmse θ nın sinyal gürültü oranı SNR ile değişimi...... 60
Şekil 4.3 : Kurtosis oranı yöntemiyle kestirilen biçim faktörü rp değerleri ........ 65 Şekil 4.4 : Viskoelastik modelde Kalman filtre ile model parametre kestirim hatası
ve durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi.................... 64 Şekil 4.5 : Mead modelde Kalman filtre ile model parametre kestirim hatası ve
durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi......................... 67 Şekil 4.6 : Mead modelde EKF ve UKF ile model parametre kestirim hatası ve
durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi......................... 72 Şekil 4.7 : Doğrusal olmayan RC modelde EKF ve UKF ile model parametre
kestirim hatası ve durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi................................................................................................................ 74
Şekil 4.8 : Mead modelde model parametrelerine ve durum değişkenlerine ait sonsal Cramer Rao altsınırının bir solunum süresi boyunca yakınsaması................................................................................................................ 90
Şekil 4.9 : Doğrusal olmayan RC modelde model parametrelerine ve durum değişkenlerine ait sonsal Cramer Rao altsınırının bir solunum süresi boyunca yakınsaması.............................................................................. 91
Şekil 4.10 : Mead model için hesaplanan sonsal Cramer Rao altsınırı değerlerinin biçim faktörü pθ ile değişimi................................................................. 92
Şekil 4.11 : Mead modelde model parametre ve durum değişkenlerinin UKF ve EKF ile kestirilmesinde sonsal Cramer Rao altsınırı ile performans analizi ..................................................................................................... 94
vi
Şekil 4.12 : Doğrusal olmayan RC modelde model parametre ve durum değişkenlerinin UKF ve EKF ile kestirilmesinde sonsal Cramer Rao altsınırı ile performans analizi ................................................................ 95
Şekil 4.13 : RIC model ve doğrusal olmayan RC model için MLE yöntemiyle kestirilen ölçüm gürültüsü değişinti hatasının SNR ile değişimi……..100
Şekil 4.14 : RIC model ve doğrusal olmayan RC model için Kurtosis yöntemiyle kestirilen ölçüm gürültüsü biçim faktörünün yakınsaması……………101
Şekil 4.15 : RIC model ve doğrusal olmayan RC model için Bilgi filtresi yardımıyla kestirilen ölçüm inovasyonları değişintisi değerlerinin yakınsaması…102
Şekil 4.16 : RIC model ve doğrusal olmayan RC model için Bilgi filtresi yardımıyla kestirilen ölçüm inovasyonları biçim faktörü değerlerinin yakınsaması……………………………………………………………103
Şekil 4.17 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için ve Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için Viskoelastik model parametre kestirimlerinin akciğer doku zaman sabiti
tisτ ile değişimi………………………………………………………..112 Şekil 4.18 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen
Viskoelastik modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………………………..116
Şekil 4.19 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Viskoelastik modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………….117
Şekil 4.20 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Mead modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları………………………………………………………………118
Şekil 4.21 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Mead modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………………………..119
Şekil 4.22 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için UKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları………………………………………………………………123
Şekil 4.23 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için EKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları………124
Şekil 4.24 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için UKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları………………………………………………………………125
Şekil 4.25 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için EKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları………………………………………………………………126
Şekil 4.26 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için UKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………………………..127
Şekil 4.27 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için EKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………………………..128
Şekil 4.28 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için UKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………….129
vii
Şekil 4.29 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için EKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde model parametreleri ve durum değişkenleri kestirim sonuçları……………………………………….130
Şekil 4.30 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için MLE yöntemiyle kestirilen RIC model parametreleri ve GGD modeli ile hata analizi………………………..134
Şekil 4.31 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için MLE yöntemiyle kestirilen RIC model parametreleri ve GGD modeli ile hata analizi………………...135
Şekil 4.32 : Hasta Grubu 3 nolu hasta için MLE yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC model parametreleri ve GGD modeli ile hata analizi…..136
Şekil 4.33 : Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için MLE yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC model parametreleri ve GGD modeli ile hata analizi…………………………………………………………………137
Şekil 4.34 : Hasta grubunun tümünde kestirilen ölçüm inovasyonları biçim faktörü değerlerinin RIC model ve doğrusal olmayan RC model için histogramı……………………………………………………………..138
Şekil 4.35 : Kontrol grubunun tümünde kestirilen ölçüm inovasyonları biçim faktörü değerlerinin RIC model ve doğrusal olmayan RC model için histogramı……………………………………………………………..139
viii
TABLO LİSTESİ
Tablo 4.1 : Benzetimlerde kabul edilen parametre değerleri ............................. 51 Tablo 4.2 : RIC ve Viskoelastik modellerde yapay solunum sinyalleri ile MVUE
kullanarak model parametresi kestirim sonuçları............................... 57 Tablo 4.3 : Yapay solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde Kalman filtre için
kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri .............. 62 Tablo 4.4 : Yapay solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde EKF ve UKF için
kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri .............. 69 Tablo 4.5 : PCRLB nin hesaplanmasında kabul edilen başlangıç değerleri ve
benzetim parametreleri ....................................................................... 88 Tablo 4.6 : GGD ile hata analizinde kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim
parametreleri....................................................................................... 98 Tablo 4.7 : MVUE yöntemiyle kestirilen RIC model parametre değerleri ...... 106 Tablo 4.8 : MVUE yöntemiyle kestirilen Viskoelastik model parametre değerleri
.......................................................................................................... 108 Tablo 4.9 : Gerçek solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde Kalman filtre için
kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri ............ 115 Tablo 4.10 : Gerçek solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde EKF ve UKF için
kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri ............ 122 Tablo 4.11 : Gerçek solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde MLE ve GGD
tabanlı hata analizi için kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri..................................................................................... 133
ix
SEMBOL LİSTESİ
AX : reaktans alanı C : solunum sisteminde kompliyans, 2l cmH O E : solunum sisteminde elastans, 2cmH O l
[ ]E • : beklenen değer fonksiyonu
( ){ }x u xn n n nk
θ• × × →f : : durum geçiş fonksiyonu
sf : örnekleme frekansı, Hz
( ), , ,x y z tg : vektörel yerçekim ivmesi, 2m s GGD : genelleştirilmiş Gauss dağılımı (GGD)
( ){ }x u zn n n nk
θ• × × →h : : ölçüm fonksiyonu
J : Fisher bilgi matriksi k : ayrık zaman indeksi, birimsiz L : bronş uzunluğu, m ( )L • : olabilirlik fonksiyonu
( )mse • : aritmetik ortalama karesel hata
( )MSE • : ortalama karesel hata n : vektör boyutları N : bir solunum süresinin uzunluğu N : Gauss olasılık dağılımı p : GGD dağılımında biçim faktörü
( ), , ,x y z tP : kartezyen formda vektörel gaz basıncı, 2N m
( )P t : solunum sistemindeki gaz basıncı, 2cmH O P ve P : kestirimcinin hata ortak değişinti matriksi
( )Pr • : olasılık dağılım fonksiyonu
{ }k k∈q ; : süreç gürültüsü, ( )k qq μ ,Q∼N
{ }k k ∈r ; : ölçüm gürültüsü, ( )k rr μ ,R∼N R : solunum sisteminde direnç, 2 0cmH l s
{ }k k ∈s ; : skor matriksi
( )S f : güç spekturumu t : devamlı zaman, s trigt : ventilatörün tetiklenme süresi, s
T : toplam solunum süresi, s { }k k ∈u ; : sistem kontrol girişleri
x
( ), , ,x y z tV : kartezyen formda vektörel gaz akış hızı, m s
( )V t : solunumda ağızdan giren gazın hacmi, l
( )V t : havayolu hacimsel gaz akış hızı, l s
( )V t : havayolu gaz akış artış ivmesi, 2l s
{ }k k ∈w ; : birleşik parametre vektörü
{ }k k∈x ; : sistemin durum değişkenleri vektörü
{ }k k ∈z ; : sistem çıkışında ölçülen sinyal vektörü α : UKF bemzetim parametresi β : UKF bemzetim parametresi { }k k ∈η ; : kestirim hatası vektörü κ : UKF benzetim parametresi λ : akciğer volumu değişiklik oranı, birimsiz μ : broşlardaki gazın vizkoz katsayıs, kg m s⋅ { }k k ∈θ ; : sistem model parametre vektörü
ρ : broşlardaki havanın yoğunluğu, 3kg m σ : makroskopik gerilme, birimsiz
2σ : olasılık dağılım fonksiyonunda değişinti
( )fψ : koherens indeksi
{ }k k ∈υ ; : ölçüm inovasyonları vektörü τ : zaman sabiti
xi
ÖZET
İNVASİV OLMAYAN VENTİLASYONDA SOLUNUM PARAMETRELERİNİN MODELLENMESİ Bu çalışmada, solunum sistemi üç doğrusal ve bir doğrusal olmayan elektriksel model ile modellenmiş, model eşitlikleri durum-ölçüm uzayında çıkarılmış ve model parametreleri istatistiksel sinyal işlemede kullanılan kestirim yöntemleri ile benzetimler yardımıyla kestirilmiştir. Kullanılan solunum sistemi modelleri araştırmalarda sık kullanılan RIC, Viskoelastik, Mead ve bu tezde önerilen basitleştirilmiş doğrusal olmayan RC solunum sistemi modelleridir. Kronik Obstrüktif Akciğer Hastalığı (KOAH) olan hastaların invasiv olmayan ventilatör altında solunum sistemini benzetimleyen bu modeller, solunum sisteminin parametrelerinin kestirilmesi için kullanılan araçlardır. Kullanılan yöntemler en küçük değişinti yansız kestirici (MVUE), enbüyük olabilirlik kestirimci (MLE), Kalman filtre (KF), unsecnted Kalman filtre (UKF) ve genişletilmiş Kalman filtre (EKF) dir. Kestirim yöntemlerinin, solunum modelleri ve yapay solunum sinyalleri (havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı) yardımıyla teorik performans karşılaştırma kriterleri kullanılarak karşılaştırılmaları bu tezin ilk kısmını oluşturmaktadır. Sonsal Cramer-Rao altsınırı (PCRLB) çiftli Kalman filtrede zamanla değişmeyen parametrelerin kestirimi için çıkarılmış ve hem parametreler hem de durum değişkenleri için gösterilmiştir. UKF ve EKF yöntemlerinin Mead model ve doğrusal olmayan RC model için hata ortak değişinti matrisleri PCRLB ile birlikte gösterilmiştir. 8 KOAH hastasından ve 6 sağlıklı bireyden ölçüm sistemi yardımıyla toplanan havayolu basıncı, havayolu gaz akış hızı ve akciğer hacim sinyalleri solunum sistemi modelleri yardımıyla parametrelerin kestiriminde kullanılmıştır. Ayrıca, ölçüm gürültüsü genelleştirilmiş Gauss dağılımı (GGD) olduğu düşünülerek modellerin gerçek sinyallere uyumu ve bu uyumdan sonra kalan artıkların dağılımı incelenmiştir. Sonuç olarak; yapay solunum sinyallerinde, RIC modelin MLE ve MVUE yöntemleriyle en iyi model parametre kestirim sonuçlarını verdiğini; gerçek solunum sinyallerinde, solunum modellerinin kullanılan yönteme göre farklı gruplarda farklı davranışlar sergilediğini; RIC modelde her iki grup için MVUE ve MLE nin tutarlı sonuçlar verdiğini; doğrusal olmayan RC modelde her iki grup için EKF ve UKF yöntemlerinin aynı başarıyı sergilediğini ve doğrusal olmayan RC modelin, RIC modele göre Hasta grubuna daha uygun bir model olmakla beraber bunun tam tersinin Kontrol grubu için doğru olduğunu söyleyebiliriz.
xii
SUMMARY
MODELLING OF THE RESPIRATORY PARAMETERS IN NON-INVASIVE VENTILATION In this study, the respiratory system are modelled by three linear and one non-linear lumped parameter respiratory model, the equations of the models are driven and the parameters are estimated by using statistical signal processing methods. Linear RIC, Viscoelastic and Mead models and proposed basic non-linear RC model are used to resemble the respiratory system of the patient with Chronic Obstructive Pulmonary Disease (COPD) under non-invasive ventilation. Statistical signal processing methods such as Minimum Variance Unbiased Estimation (MVUE), Maximum Likelihood Estimation (MLE), Kalman Filter (KF), Unscented Kalman Filter (UKF) and Extended Kalman Filter (EKF) are very powerful methods to estimate the parameters of the systems embedded in the unknown noise. In the first part of this thesis, artificial respiratory signals (airway flow and airway pressure) are used for the performance measurement criteria. Posterior Cramer Rao Lower Bound (PCRLB) is computed for the time-invariant parameters as well as the states in the dual Kalman filters. Then the error covariance matrixes of UKF and EKF are illustrated with respect to these bounds. In the second part of this thesis, the respiratory signals are acquired from 8 COPD patients and 6 healthy subjects by the measurement system. The parameters of the respiratory system are then estimated by these observed respiratory signals. Moreover, by assuming the Generalized Gaussian Distributed (GGD) measurement noise, the actual residuals that is left over when the models are fitted to the measured signals, are analyzed in the statistical sense. In the conclusion, when artificial respiratory signals are used, the best estimated parameters are the RIC model parameters when MLE or MVUE are used. It is also found that, in the real respiratory signals each group demonstrates distinguished results with both different methods and models. The other important results are RIC model parameters are estimated very consistently by MVUE and MLE; EKF and UKF are equally successful for the parameter estimation of nonlinear RC model; and the respiratory signals acquired from the Patient group is best fitted to the nonlinear RC model whereas RIC model is more suitable for the Control group’s respiratory signals.
1
1. GİRİŞ
Solunum fonksiyon testleri (STF) göğüs hastalığıkları uzmanlarının başvurduğu klinik
tanı ve gözlemleme tekniğidir ve spirometri de STF yöntemleri arasındaki en sık
kullanılan değerlendirme testidir (Yıldırım, 2004). Klinisyen hekimlerin kullandığı bir
çok bilgisayar destekli teçhizat ve donanım olmasına rağmen, solunum sistemi
mekaniğini otomatik olarak ölçebilecek veya solunum sinyallerinden (havayolu gaz akış
hızı ve havayolu basıncı) hesaplayabilecek sistemler üzerine çalışmalar devam
etmektedir. Bu çalışmaların çözmesi gereken üç önemli sorun vardır:
1. Solunum sistemi dinamik bir sistemdir, yani parametreleri zaman ile (hatta her
solunum çevriminde) değişebilir (Polak ve Mroczka, 2006),
2. Solunum sisteminin çıkışında ölçülen havayolu basıncı ile giriş sinyali olarak
kabul edilen havayolu gaz akış hızı arasında doğrusal olmayan bir bağıntı
bulunur. Bu da solunum sisteminin aslında doğrusal olmayan bir sistem
olduğunu gösterir (Polak ve Mroczka, 2006, ve Athanasiades ve diğ., 2000),
3. Önerilen yöntemin invasiv olmayan ventilasyon altında hastalarda
kullanılabilmesi ve herhangi bir hasta yardımına ihtiyaç duymaması.
Bu sorunlar özellikle Kronik Obstrüktif Akciğer Hastalığı (KOAH) (Umut ve Yıldırım,
2005) da çok önem kazanmaktadır. Bunun yanında, literatürde yer alan solunum sistemi
mekaniği belirlenmesi ile ilgili araştırmalar en çok:
1. Solunum sistemi mekaniğinin klinik uygulamalarına (özellikle mekanik
ventilasyon yardımına yönelik),
2. Solunum sinyallerinin hassas ölçülmesi ve değerlendirilmesi için ölçüm
aletlerine,
3. Çeşitli ölçüm yöntemlerine
2
yöneliktir (Verbraak ve diğ., 2001, ve Nikischin ve diğ., 1998). Fakat bu çalışmalar
yukarıda verilen sorunlara cevap veremezler.
Zorlanmış osilasyon tekniği (Forced Oscillation Technique - FOT) (Dubois ve diğ.,
1956 ve Smith ve diğ., 2005). bir çok açıdan solunum mekaniği belirlenmesinde en çok
dikkat çeken yöntemdir ve sipirometrinin yerini alacağı düşünülmektedir. FOT, KOAH
hastalarında invasiv olmayan ventilasyon altında hastanın yardımı gerekmezsizin
solunum sisteminden ölçümler alıp, solunum sistemi modellerini kullanarak, solunum
sistemi mekaniğini hesaplar. FOT ile ilgili literatürde yer alan çalışmalar genellikle,
solunum sistemi mekaniğinin ve model empedanslarının frekans düzleminde
incelenmesi (Verbraak ve diğ., 2001); FOT’un klinik değerlendirilmesinin düzeltilmesi
ve değişik hasta grupları için veritabanları oluşturulması; ve solunum sistemi
modellerinin iyileştirilmesi üzerinedir. Fakat, Genel Kısımlar bölümünde detaylı
açıklanacak olan metadolojik sorunlar nedeniyle FOT yönteminin sınırlamaları vardır.
FOT’un bu sınırlamaları solunum sistemiği mekaniğinin belirlenmesinde yeni
yöntemler aranmasını gerektirmiştir.
FOT’un temelini oluşturan solunum sisteminin frekans düzleminde analizinin yanı sıra
zaman düzleminde de solunum sistemi incelenebilir. Literatürde zaman düzleminde ki
çalışmalar havayolu gaz akış hızı, ( )V t ve havayolu basıncı, ( )awP t (ağız içi basıncı)
ölçülerek ve doğrusal RC solunum sistemi modeli kabulü altında belirlenimci yaklaşıma
sahip yöntemleri içermektedir. Örnek olarak verilecek olunursa; uyarlamalı filtreler
kullanılarak solunum sistemi mekanik özellikleri kestirilmiştir (Avanzolini ve diğ., 1990
ve Lauzon ve diğ., 1991), havayolu gaz akış hızı dalga şeklini kullanarak ardışıl azalan
kareler (Recursive Least Squares - RLS) yöntemiyle havayolu direncinin ve
kompliyansının kestirilmesi (Avanzolini ve diğ., 1995), vs. Bu çalışmaların genelde
yaptığı iki önemli kabul bulunmaktadır: 1) Havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı
belirlenimci sinyallerdir, 2) Solunum sinyalleri solunum modellerine uyarlandığında
kalan artıklar, sıfır ortalama Gauss dağılımlı beyaz gürültülerdir. FOT yönteminin
sinyal işleme bölümünde FOT sinyallerinin model empedanslarına uydurulmasında
kullanılan azalan kareler (Least Suares – LS) yönteminde de yer alan bu kabullerin
sonuçların anlamını bir çok açıdan sorgulanmasına olanak sağlar.
3
Ölçülen solunum sinyallerinin zaman düzlemindeki özelliklerini (sinyalin şekli,
periyodikliği, enerjisi, vs), doğrusal olmadığı kanıtlanmış solunum sistemi ve invasiv
olmayan ventilasyonun etkileri belirlemektedir. Bu açıdan bakıldığında, solunum
sinyallerinin belirlenimci sinyaller olarak düşünülmesi çok büyük bir kabuldür. Ayrıca
solunum sisteminden ölçülen solunum sinyalleri bir çok bileşeni olan ölçüm gürültüsü
içermektedir. Ölçüm gürültüsü ve solunum sinyallerinin özellikleri bu tezde detaylı yer
alacaktır. Bu nedenle, solunum sistemi mekaniğinin belirlenmesinde, yani sipirometrik
ölçümlerin ileride yerini alacak yöntemin, zaman düzleminde tanımlanmış ve
istatistiksel dağılımların (veya istatistiksel parametrelerin) kullanıldığı matematiksel bir
yaklaşım olması gerekmektedir. İstatiksel sinyal işleme yöntemleri işte böyle bir
yaklaşımdır ve bu tezin kapsamını oluşturur.
İstatiksel sinyal işleme yöntemlerinin kullanılmasıyla, solunum sistemi mekaniğinin
belirlenmesi problemi solunum sistemi model parametrelerinin (ve durum
değişkenlerinin) kestirilmesi problemine indirgenmiştir. Bu da, solunum sisteminin
modellerinin kestirim için matematiksel tanımlanması çıkarılması ve kestirim
benzetimlerinin uygulanması anlamındadır. Tüm bu süreç solunum parametrelerinin
modellenmesi olarak adlandırılabilir. Bu durumda, ilk olarak solunum sistemi modelleri
belirlenmeli ve matematiksel tanımları çıkarılmalıdır. Daha sonra kestirim yöntemleri
solunum sistemi modelleri yardımıyla gerçek solunum sinyallerine uygulanıp model
parametreleri kestirilmelidir. Fakat, bunlara ek olarak kestirim yöntemlerin başarılarını
ve performanslarını değerlendirmek için istatistiksel performans kriterleri kullanılması
gerekir. Bu kriterler yardımıyla benzetimlerin, solunum sistemi modelleri ve sinyalleri
üzerindeki kestirim başarısı gösterilir.
Bu tezde, yapay solunum sinyalleri, KOAH hastalarından invasiv olmayan ventilasyon
altında alınmış solunum sinyalleri ve sağlıklı kişilerden alınmış solunum sinyalleri,
istatistiksel sinyal işleme yöntemlerinden klasik kestirim ve Bayesçi kestirim yöntemleri
yardımıyla, FOT yönteminde kullanılan üç doğrusal ve bu tezde önerilen bir doğrusal
olmayan solunum modeline uyarlanmış ve sonuçlar verilmiştir.
Bu tezin Genel Kısımlar bölümü, solunum parametrelerinin modellenmesinde ilk
basamak olan kullanılacak solunum sistemi modellerinin belirlenmesini içerir. Solunum
4
sistemi modelleri genel anlamda tanıtıldıktan sonra FOT yönteminin kısaca açıklanması
ve üstünlük ve sakıncalarının özetlenmesi bu bölümde yer almaktadır.
Mazemeler ve Yöntemler bölümünde, bu tezde önerilen doğrusal olmayan solunum
sistemi modeli dahil, solunum sistemi modellerinin kısaca tanımı yapıldıktan sonra
durum-ölçüm eşitlikleri çıkarılmaktadır. İstatiksel sinyal işleme yöntemlerinden
kullanılacak olan klasik kestirim yöntemleri ve Bayesçi kestirim yöntemleri kısaca yine
bu bölümde açıklanmaktadır.
Bulgular bölümünde yapay solunum sinyalleri yardımıyla çıkarılan performans
kriterleri ve gerçek solunum sinyallerinin bulguları yer almaktadır. Bulgular yapılan
çıkarımlar yine bu bölümde açıklanmaktadır.
Son olarak, Tartışma ve Sonuç bölümü, Bulgular bölümünde yapılan çıkarımların
sonuçlarını vermektedir ve genel hatlarıyla yöntemlerin, modellerin ve grupların
sonuçları arasındaki farkı tartışılmaktadır.
5
2. GENEL KISIMLAR
Solunum parametrelerinin modellenmesinde ilk basamak kullanılacak olan solunum
sistemi modelinin belirlenmesidir. Bu bölümde, solunum sistemi modelinin tanımı ve
çeşitleri kısaca tanıtılacaktır. Tezde kullanılan doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin
ve model parametrelerinin açıklanması ve durum-ölçüm eşitliklerinin çıkarılması
Malzeme ve Yöntem bölümünde yer alacaktır. Ayrıca, bu bölümde üzerinde araştırılan
ve invasiv olmayan ventilasyon ile birlikte hasta parametrelerinin hesaplanmasında
halen kullanılan tek yöntem olan zorlanmış osilasyon tekniği (Forced Oscillation
Technique - FOT) kısaca açıklanacak ve üstünlük ve sakıncaları özetlenecektir.
2.1. SOLUNUM SİSTEMİ MODELLERİ
Solunum sistemi modelleri (respirasyon sistemi modelleri), solunum mekaniğinin
matematiksel veya mühendislik araçları ile ölçülmesinde ve/veya hesaplanmasında
kullanılan ve bu anlamda nicel ölçümler ile solunum sisteminin analizine,
fonksiyonlarının değerlendirilmesine ve işleyiş bozukluklarının teşhis ve prognozun
izlenmesine olanak sağlayan matematiksel gösterimlerdir. Solunum sistemi modelleri
aynen solunum mekaniği gibi akciğer ve göğüs duvarının, direnç ve kompliyans olarak
gösterilen mekanik özelliklerini yansıtmalıdır. Solunum sisteminde direnç ve
kompliyans parametre ölçümleri akciğer fonksiyon testleri ile birlikte klinikte
yapılmaktadır. Akciğer fonksiyon testlerinin kabul edilen dezavantajlarının başında
testlerin hastanın işbirliğine ihtiyaç duyması yer almaktadır. Klinikte kullanılmaya
başlanan ve literatürde en çok araştırılan zorlanmış osilasyon tekniği (Forced
Oscillation Technique - FOT) (Smith ve diğ., 2005) ve darbe osilasyonu (Impulse
Oscillometry - IOS) (Daroczy ve Hantos, 1990) hastanın katılımı olmadan invasiv
olmayan yollar ile solunum mekaniği ölçüm yöntemidir ve solunum sistemi modelinin
belirlenmesini gerektirir.
6
2.2. SOLUNUM SISTEMİ MODEL ÇEŞİTLERİ
Solunum sisteminin literatürde önerilmiş modellerini üç ana başlık altında toplayabiliriz
• Hesaplamalı akışkanlar dinamiği modelleri,
• Visko-elastik modelleri,
• Elektriksel dönüşüm modelleri.
2.2.1. Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği Modelleri
Bu modellerde solunum sistemi düz ve dallanmış değişik çaplı tüplerden (bronşlardan)
oluşan biyomekanik bir yapı olarak düşünülür. Gaz akışı, akışkanlar mekaniği kuralları
çerçevesinde hareket denklemi (equation of motion) neticesinde gerçekleşir. Modellerde
gaz akışının sıkıştırılamaz (incompressible fluid), linear (Newtonian fluid) ve bronşların
kompliyanssız (rigid tubes) olduğu varsayımları yapılmıştır (Pedley ve Drazen, 1986).
Varsayımların doğrulanması şu şekilde yapılabilir:
Bronşlarda ortalama gaz akışının hızı en fazla 20 /u m s= (öksürükte) olmaktadır
(Pedley ve Drazen, 1986). Ses hızından çok düşük olan bu hız ve bronşlardaki havanın
yoğunluğunun sabit olması (constant-density, 0tρ∂=
∂) kabuluyle sıkıştırma etkisinin
ihmal edilebilir olmasına olanak sağlar. Bunun yanında, vizkoz kuvvetleri ile bu
kuvvetlerin bronş duvarlarında yarattığı hız değişimleri (veya akış doğrultusundaki hız
bileşeni değişimi) arasında doğrusal ilişkili olduğu varsayılmıştır ( xxu ix
τ μ ∂=∂
, burada
xxτ x doğrultusunda ki kesici stres, μ vizkoz katsayısı ve du dx x doğrultusunda ki
gaz akış hızı gradyanıdır) (Wada ve Tanaka, 1995). Son olarak, bronşların duvar
kompliyansları akciğer hacmi ile değişmesine rağmen, içinden geçen gaz basıncı ile
sabit kalır. Bu yarı-statik (quasi-static) fenomen bronş duvarlarının kompliyas etkisini
birim hacim elementi için ihmal edilebilir dereceye düşürür. Bronş duvar kompliyasları
sadece zorlanmış ekspirasyonda etkilidir.
Yukarıdaki varsayımlar ile diferansiyel analiz yöntemlerinde kullanılan genel Navier-
Stokes denklemleri, gaz akış modelleri olarak yazılır (White, 2003):
7
Süreklilik Denklemi 0∇ ⋅ =V , (2.1)
Momentum Denklemleri 2 ddt
ρ μ ρ−∇ + ∇ ⋅ =Vg P V (2.2)
Burada, x y zδ δ δδ δ δ
∇ = + + gradient operatörünü tanımlar.
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , ,x y z t u x y z t i v x y z t j w x y z t k= + +V vektörel gaz akış hızı (u x
doğrultusundaki, v y doğrultusundaki ve w z doğrultusundaki gaz akış hızının
bileşenleridir), ( ), , ,x y z tg vektörel yerçekim ivmesi, ( ), , ,x y z tP vektörel gaz basıncı
ve ( ), , ,x y z tτ vektörel kesici stresdir. Navier-Stokes denklemlerinde yer alan enerji
eşitliğinin burada ele alınmamasının nedeni solunum sistemi modellerinde
havayollarının adiabatik (termal alış verişin olmadığı) ortam varsayımının yapılmasıdır
(Wada ve Tanaka, 1995 ve White, 2003) .
Dikkat edilmesi gereken diğer bir husus ta, denklemlerde basıncın zaman ile değişimini
içeren terimin bulunmamasıdır. Navier-Stokes denklemleri 0t t= da başlar ve sınır
koşulları ile birlikte iteratif yöntemler ile çözülmektedir. Hesaplamalı akışkanlar
dinamiği (Computational Fluid Dynamics – CFD) (Chung, 2002) yazılımları çözümler
için kullanılmaktadır. Deneysel doğrulamalar için parçacık imge velosimetri (Particle
Image Velocimetry – PIV) literatürde en çok kullanılan yöntemdir.
Solunum sistemi modellerinde, havayoları trakeden başlayan ve alveollerde son bulan,
dallanan tübler şeklinde gösterilir ve genelde trake sıfırıncı jenerasyon olarak
adlandırıldığı gibi alveoller yimiüçüncü jenerasyon olarak adlandırılır. Navier-Stokes
eşitliklerinde gaz akış hızı paterni her bronş jenerasyonunda farklı bir biçime girebilir.
Bunun nedeni bronşların fiziksel (yarıçap, uzunluk) olarak farklılık göstermesi ve gaz
akışının dallanmalar, eğilmeler nedeniyle patern değişikliğine uğramasıdır. Reynolds
sayısı (Reynolds number) ( Re uLρ μ= , burada u x doğrultusunda ortalama hız, L
bronşun boyudur) adı verilen ve gazın viskoz davranışı ile yoğunluğunu ilişkilendiren
boyutsuz bir değer ile bu farklılıklar açıklanabilir. Örneğin, normal solunumda büyük
bronşlarda (trake ve sonraki bir kaç jenerasyon) Reynolds numarası 2300∼ dan büyük
8
olarak hesaplanır (Pedley ve Drazen, 1986) ve trake ve büyük bronşlarda hava türbulent
(turbulent flow) özellikleri gösterir denir. Bunun yanında alveollere doğru giderken
küçük bronşlarda gaz akışı laminer akış (laminer flow) adını alır ve ivme sıfıra düşer
(zero-acceleration). Bu akış hızını sabit yapar ve akış durağan hal alır (steady flow).
Laminer akış özelliği gösteren bronşlarda hesaplamalar kolaylaşır zira (2.1) de sağ
taraftaki terimler sıfıra eşittir ( 0d dt =V ).
Şekil 2.1 de solunum sisteminin akışkanlar dinamiği ile modellenmesine örnek
görülmektedir. Simülasyon çevrimlerinin tamamlanması açısından gaz akışının akciğer
deformasyonu ile ilişkilendirilmesi akciğerdeki makroskopik stress analizi ile
yapılabilir. Burada ki önemli husus, makroskopik gerilmenin, elastik ( eσ ) ve yüzey
( sσ ) gerilimlerinden oluştuğu ve akciğer hacim değişikliği oranının (λ ) fonksiyonu
olduğudur (Wada ve Tanaka, 1995). Akciğer dokusuna (parankimine) etki eden
basınçlar, alveolar basınç alvP , plevra basınç plP ve makroskopik gerilmenin yarattığı
basınç değişimleri Pσ solunumun her devresinde dengede olmak zorundadır.
0i =
1i =
2i =
PalvPalv23i =
Ppl
PawSüreklilik Denklemi
. 0i∇ =V
Momentum Denklemi
Gaz Akışı
Akciğer Deformasyonu
Makroskopik Gerilme
( ) ( )e sσ σ λ σ λ= +
Denge
al plP P Pσ= +
2 ii i i i i
ddt
ρ μ ρ−∇ + ∇ ⋅ =Vg P V
Şekil 2.1. Solunum sisteminin akışkanlar dinamiği ile modellenmesi.
Solunum sistemi ve solunumun gaz akış denklemleri ile modellenmesinde sınır
koşullarının belirlenmesi ve her havayolu jenerasyonunda basınç dengelerinin Navier-
Stokes eşitlikleri ile birlikte yazılması gerekmektedir. Basınç denge eşitlikleri bazı
9
modellerde sezinsel bazı modellerde ise deneysel olarak yazılmıştır. Bu konudaki geniş
çalışma Johnson (2007) de bulunur.
Solunumun hesaplamalı akışkanlar dinamiği ile modellenmesi, özellikle bronşlardaki
akış limitasyonun belirlenmesinde (Bijaoui ve diğ., 1999), akciğer ve bronşların
mekanik özelliklerinin araştırılmasında (Grotberg, 2001), solunum ile alınan ilaçların
solunum sisteminde dağılımının incelenmesinde (Kaye ve Philips, 1997) ve sistemik
sirkülasyon ile respirasyonun ortak modellerinin gereksiniminde (Wada ve Tanaka,
1995) kullanılır.
2.2.2. Visko-elastik Modeller
Visko-elastik modellerde akciğer ve havayolları elastik, resistif ve visco-elastik
elemanlar ile temsil edilir. Şekil 2.2 de Similowski ve Bates (1991) tarafından önerilmiş
ve literatürde çok kullanılan viskoelastik reologiksel bir model gösterilmiştir. Şekilde
2.2 görülen vizkoz element daşpot, rsR havayolu dirençını modeller. Elastik element
rsE ve ona paralel bağlı maxwell elementi mxbE ve mxbR viskoelastik akciğer yapısını
gösterir. Bu modelde belirtilen önemli nokta akciğerlerin sadece elastik yapısının değil,
hafıza özelliğininde olmasıdır. Bu akciğer rekoil basıncının akciğerdeki gaz hacminin
eski değerlerinede bağlı olması anlamını taşır (Verbraak ve diğ., 2000).
Visko-elastik model ile elektriksel model solunum sisteminin zaman ile değişen rezistif
ve elastik özelliklerini modellerler, sadece farklılık gösterimlerindedir. Visko-elastik
modellerde, solunum sistemi visko-elastik elemanları iki çubuk arasında
konumlandırılır, bunlardan üstte olanı sabittir, altta olanı ise hareketlidir ve akciğer ve
solunum kafesinin solunum sırasında aşağı ve yukarı hareketini benzetimler. İki çubuk
arası akciğer hacmini ( )V t , hareketli çubuğun hareket hızı havayolu gaz akış hızını
( )V t , ve çubukları aşağı ve yukarı çeken kuvvetler basınçları rP , eP , vcP gösterir.
Visko-elastik elemanlar doğrusal veya doğrusal olmayan olabilir ve çalışma frekansına
bağlı özellikler içerir. Polak ve Mroczka (2006) visko-elastik model ile hesaplamalı
akışkanlar dinamiği modelini birlikte kullanarak zamanla değişen respirasyon
parametrelerinin her bir jenerasyon için değişimini incelemişlerdir.
10
Pr, rezistif basınç
Pe, elastik basınç
Pvc, viskoelastik
basınç
Sabit çubuk
Rrs Ers
Emxb
Rmxb
Hareketli çubuk ( )V t
( )V t
Şekil 2.2. Visko-elastik reologiksel solunum sistemi modeli.
Visko-elastik modeller elektro-mekanik araçlar ile gerçeklemeye en uygun modellerdir.
Mekanik akciğer simulatörleri ve bilgisayar kontrollu solunum sistemi simulatörleri
(Verbraak ve diğ., 2000) bu modellerin gerçeklemesi ile yapılırlar. Bu simulatörler
sağlıklı kişilerin solunumunu veya çeşitli hastalığık durumlarını benzetimleyebilir.
Ayrıca mekanik ventilasyonda ventilatör cihazının testi için, hasta-ventilatör ekileşimin
incelenmesi ve eğitim amaçlı da kullanılırlar.
2.2.3. Elektriksel Dönüşüm Modelleri
Elektriksel dönüşüm modelleri, sensörler yardımıyla ölçülen solunum sinyallerinin
(havayolu hacimsel gaz akış hızı ( )V t ve havayolu basıncı ( )awP t ) solunum sistemi
mekanik özelliklerini göz alarak modellenmesidir. Bu modellerde amaç solunum
sistemini mekanik olarak benzetimlemek değil, sistemde tanımlanan ve zaman ile
bağımsız değişen gaz akış hızı ve basınçları temsil edecek matematiksel modellerin
kurulmasıdır. Hacimsel gaz akış hızı ( )V t , elektrik akımı ve iki nokta arasında ki
basınç ( )P t , potansiyel farkı olarak düşünülürse toplu öğeli elektriksel elemanlar
(lumped parameter electrical elements) solunum sinyallerinin modellenmesinde
11
kullanılabilirler1. Elektrik devrelerinin durum-ölçüm denklemleri (state-space
equations) solunum sistemi ve solunumun matematiksel modellerini oluştururlar.
Solunum sistemi modellerinin matematiksel eşitlikler yardımıyla gösterilmesi elektrik
devre analiz kurallarının uygulanmasını ve solunum sisteminde yer alan basınç ve gaz
akışlarının sinyaller şeklinde tanımlanmasına olanak sağlar.
Elektriksel dönüşüm modelleri, doğrusal veya doğrusal olmayan, tekli veya çoklu
bölümlü şeklinde sınıflandırılabilir. Solunum sisteminin elektriksel modelleri, akciğer
ve bronşların laboratuvar koşullarında ve girimşel olarak sağlıklı veya hasta kişilerde
çalışmaların sonucunda geliştirilmişlerdir. Modeller üzerindeki tartışmalar ve
karşılaştırılmalar geniş olarak Baswa ve diğ. (2005) ve Diong ve diğ. (2007)
kaynaklarında bulunabilir. Araştırmalarda önerilen tüm elektriksel modellerin
karşılaştırılması ve başarımlarının değerlendirilmesi bu tezin bir konusu değildir. Bu
tezde, FOT da en çok kullanılan üç farklı doğrusal model ve önerilen doğrusal olmayan
model solunum parametrelerinin modellenmesi amacıyla seçilmiştir. Tezde yer alan bu
elektriksel dönüşüm modelleri ve model parametreleri, durum-ölçüm eşitliklerinin
çıkarılması amacıyla Malzeme ve Yöntem bölümünde detaylı incelenecektir. Tezin
Bulgular bölümününde modellerin yöntemlerin uygulanmasındaki başarıları
karşılaştırılacak ve hasta ve sağlıklı kişilerden alınan solunum sinyallerinin bu
modellere uygunluğu tartışılacaktır.
2.3. ZORLANMIŞ OSİLASYON TEKNİĞİ VE DARBE OSİLASYONU SİSTEMİ
Dubois ve diğ. (1956) ilk tanıttığı zorlanmış osilasyon tekniği (Forced Oscillation
Technique - FOT), solunum mekaniği parametrelerinin hastanın spontan solunumunun
üzerine küçük genlikli basınç dalgaları ekleyerek ve sinyal işlemi yöntemleri
kullanılarak hesaplanmasıdır. Osilometrinin mekanik tabanı ise, basınç dalgalarını
oluşturacak tek veya çok frekanslı dış zorlayıcı sinyalin ayrık zamanlı kullanılmasıdır.
Darbe Osilometri (Impulse Oscillometry - IOS), FOT un farklı bir halidir ve hastanın
spontan solunumuna saniyede 30 40 ms∼ genişliğinde 5 darbe (periodik olmayan 1 Bu tezin tamamında elektriksel dönüşüm model devrelerinde iki nokta arsındaki potansiyel farkı yerine
basınç, bir elektriksel elemanın üzerinden geçen elektrik akımı yerine hacimsel gaz akış hızı, ve
kapasitörün yükü yerine volumü terimleri kullanılacaktır.
12
sinyal) eklenir. IOS da sinusoidal veya rastgele seklinde sinyal değilde darbe şeklinde
sinyalin kullanılmasının en önemli nedeni, solunum sisteminin tüm frekanslarda darbe
ile uyarılabilmesidir. Diğer bir nedende, darbe şekliyle hava akımı ve basınç arasında
doğrusallığın sağlanabilmesidir (Smith ve diğ., 2005).
IOS da diğer önemli konu ise uygulanan darbenin periodik olmaması gereğidir. Bunun
nedeni de solunum sistemi frekans cevabının sürekli olmasının avantajlarıdır. Şekil 2.3
de görüldüğü gibi solunum sisteminin reaktans ( ( )rsX f ) ve direnç ( ( )rsR f )
spekturumu doğrusal, düzgün veya homojen olmayan bölgeler taşır. Bu bölgelerin
tespiti için sürekli spekturum gereklidir. Reaktansın sıfırdan geçtiği frekansa resonans
frekansı adı verilir. Reaktans alanı ( AX ) ise, reaktans eğrisinin resonans frekansı ile
5 Hz arasında hesaplanan integralidir. Havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncının
frekans spektrum eğrileri ise Şekil 2.4 de gösterilmiştir. Şekilden de görüleceği gibi,
3 20 Hz∼ arasında havayolu gaz akış hızı ile havayolu basıncının güçleri en yüksek
değerdedir.
2.3.1. Darbe Osilometri Sistemleri
Darbe osilometri sistemleri IOS ölçme kafası, hoparlör, veri toplama sistemi ve
bilgisayardan oluşur (Şekil 2.5.). Ağızlık ısıtılmış ekran tipinde pneumotografa
eklenmiştir. Faz farklılıklarını ortadan kaldırma ve teknik farklılıkları bastırmak için
havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı için aynı tip basınç transdüseri kullanılır.
Hoparlör, 23 cmH O basınç darbeleri üretecek şekilde darbeli hava akımı üretir (Smith
ve diğ., 2005).
Ölçülen havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı 200 Hz de örneklenip sayısal
işarete çevrilir ve 50 Hz kesim frekanslı 4üncü dereceden alçak geçiren Bessel filtre ile
filtrelenir. Ölçümler şu şekilde yapılır: hasta ağızlık yardımıyla pneumotograf ve direnç
üzerinden dış hava ile spontan solunum yapar. Bu arada hoparlör darbeleri Y parçası
yardımıyla hastanın spontan solunumuna eklenir. Pneumotograf ve basınç transdüceri
havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncını kaydeder ve sinyal işleme için bilgisayara
alınır.
13
Şekil 2.3. Solunum sisteminin 3 ve 35 Hz arasında direnç, reaktans ve koheransı ile ilgili temsili eğrileri. Eğriler darbe osilometresi ile sağlıklı yetişkinden elde edilmiştir. Smith ve diğ., (2005)
den alınmıştır.
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
zayı
flam
a, d
B
0 5 10 15 20 25 30 35
frekans, Hz
Şekil 2.4. Havayolu gaz akışı (düz çizgi), ve havayolu basıncı (kesikli çizgi) güç spekturumları. Eğriler darbe osilometresi ile sağlıklı yetişkinden elde edilmiştir. Smith ve diğ., (2005) den
alınmıştır.
14
DSP
Bilgisayar (RS 232 ile)
Hoparlör Darbe üretici
Y-parçası
Sonlandırma direnci
Akış transdüseri
Basınç transdüseri
Pneumotograf (ısıtılmış)
Darbe akışı
Havayolu gaz akışı
Ağızlık
Şekil 2.5. Darbeli osilasyon sisteminin şematik gösterimi. Smith ve diğ., (2005) den alınmıştır.
2.3.2. IOS da Sinyal İşleme
Ölçülen havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı sinyalleri hem hastanın spontan
solunumunu hem de üzerine binmiş darbeleri içerir Solunum sistemi empedansı ölçülen
bu iki sinyalin frekans spektrumlarından bulunur ve karmaşık bir sayı olarak ifade
edilir:
( )( )
( ) awrs rs rs
P fZ f R jX
V f= = + (2.3)
Burada 1j = − dir. rsR ve rsX IOS da kullanılan solunum sistemi modeline gore
değişir.
Hastanın spontan solunumuna uygulanan darbenin, havayolu gaz akış hızı ve havayolu
basıncı eğrilerinden ayırmak için örnekleme aralığına uygun, hem hastanın hem de
uygulanan darbenin eğrilerini içeren bir bölge seçilir. Şekil 2.6.a da böyle bir bölgeye
örnek gösterilmiştir. Hastanın spontan solunumu ve uygulanan darbenin cevabını içeren
eğri bölümünün başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren “anahat” düz çizgisi eklenir.
Bu anahat sadece havayolu gaz akış hızı ve havayolu basınç eğrilerinin doğrusal bir
yakınsamasıdır. Anahat yakınsamasının, solunum bileşenini ortadan kaldıran güvenilir
ve yararlı bir yöntem olduğu ispatlanmıştır. Diğer yöntemlerden spline
15
rekonstrüksiyonu, sinusoidal yakınsama ve dijital yüksek geçiren filtreleme teknikleri
daha az başarılı olmuşlardır.
Anahat yakınsaması ve sıfırlama Şekil 2.6.b de gösterilmiştir. Bu teknikte aynı zamanda
dikdörtgen pencereme ile spektral kaçak engellenir ve sinyal / gürültü oranı düzeltilir.
Frekans resolüsyonu hızlı Fourier dönüştürme (Fast Fourier Transform – FFT)
yapılmadan önce sinyale sıfırlar eklenerek düzeltilebilir.
Sinyal işlemesi yapılacak sinyal parçaları seçilmelidir. Özellikler sıfır bölgesinden
geçen havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı parçalarının seçilmesinde dikkat
edilecek hususlar vardır. Solunum bileşeni dominant olan sinyal parçaları alınmaz ve
mutlak tepe akımı 10.02 l s−⋅ değerini geçmelidir. Düşük hava akım değerli darbeler
empedans eşitliğinde matematik hata yarattığı için rededilirler. Son olarak, negatif
impedans değeri çıkaran darbelerde hesaplamaya katılmazlar.
2.3.3. Koharens
Şekil 2.3 de çizilen koharens fonksiyonu havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı
arasındaki doğrusallığın bir ölçütüdür ve güç spektrumları yardımıyla aşağıdaki şekilde
hesaplanır:
( )( )
( ) ( )
2
2VP
V P
S ff
S f S fψ = (2.4)
burada ( )VS f ve ( )PS f sırasıyla havayolu gaz akış hızı ve havayolu basıncı güç
spektrumları ve ( )VPS f çapraz güç spekturumudur. Koharens, 0.9 ile 0.5 eşik
seviyeleri arasında yer alması FOT yönteminin uygulanması için kontrol edilir (Smith
ve Reinhold, 2005).
16
Şekil 2.6. a) Kaydedilmiş havayolu gaz akış parçası, ve b) Düzeltilmiş havayolu gaz akış darbesi (düz çizgi), ve basınç darbesi (kesikli çizgi). Smith ve diğ., (2005) den alınmıştır.
2.3.4. FOT’un Sınırlamaları
FOT bir çok çalışmada, sipirometri gibi konvansiyonel solunum mekaniği ölçüm
yöntemlerinden çok daha başarılı, çok yönlü ve sağlam teorik temeller üzerine kurulmuş
olduğunu ispatlamıştır (Oostween ve diğ., 2003 ve MacLeod ve Birch, 2001). Fakat
FOT’un klinikte rutin ölçüm yöntemi olarak kullanılmasını engelleyen ve
geliştirilmesini kısıtlayan bir çok sınırlamaları bulunmaktadır. FOT’un sınırlamalarını
iki grup halinde inceleyebiliriz: yöntemsel sınırlamalar, ölçümsel sınırlamalar.
2.3.4.1. FOT’un yöntemsel sınırlamaları
FOT’un en önemli yöntemsel sınırlaması, herhangi bir frekansta ölçülen sinyaller
yardımıyla bulunan solunum sistemi empedansının belirlenen solunum sistemi
17
modellerine uyarlarken yapılan hatanın Gauss dağılımlı olmasının kabul edilmesidir.
Eğri uydurma (curve fitting) yöntemiyle yapılan bu modellemede artık gürültüler ihmal
edilir. Bu aynı zamanda, önemli bir bilgi kaynağı olabilecek gürültü/hataların
kullanılamamasına neden olmaktadır.
Elektriksel model açısından bakılırsa, solunum sistemi modellerinin farklı frekanslarda
çözümleri, modellerin kararlı durum (steady state) sonuçlarını vermektedir. Bu sonuçlar,
zamanda değişen solunum sinyallerinin meydana getirdiği karasız durumları ve bunların
etkilerini göstermez (Nucci ve diğ., 2002). Frekansa bağımlı parametreler içerse bile
solunum sisteminin zamanda incelenmesi solunumun takip edilmesi açısından daha
büyük bir önem taşır. Özellikle invasiv olmayan ventilatörün varlığında, solunum
modelindeki empedans ile ventilatörün gaz akış sisteminin etkilerinden kaynaklanan
geçici durumların etkisinin görülebilmesi model parametrelerinin daha iyi
yorumlanmasına neden olabilir ve klinik bilgilerin hassasiyetini arttırır.
FOT’un yöntemsel sınırlamaların diğer biri ise uyarıcı olarak kullanılan darbenin
önemidir. Solunum sisteminin tüm frekanslarda uyarılması için dar bir darbe seçilmesi
frekans hassasiyetini arttırmasına rağmen zaman hassasiyetini çok azaltır. Ayrıca
darbenin çok küçük genlikle seçilmesi doğrusallığın sağlanması açısından
gerekmektedir. Havayollarında gaz akış hızı ve basıncın arasında kabul edilen
doğrusallık FOT için gereklidir ve bu doğrusal olmayan modellerin kullanılmasını
imkansızlaştırır. Fakat, küçük genlikli bu darbenin düşük enerjisinden dolayı bazı
solunum sistemi özelliklerini uyaramadığı söylenmiştir (Oostween ve diğ., 2003).
2.3.4.2. FOT’un ölçümsel sınırlamaları
FOT ayrı bir ölçüm sistemine ihtiyaç duyar ve ölçümlerin çok büyük bir titizlikle ve
hassasiyetle yapılması gerekmektedir. Herhangi bir gaz kaçağının (leak) kabul
edilememesi ve ağızlık (mouthpiece) ile ölçüm yapılması FOT’un invasiv olmayan
ventilatör ile kullanılmasını engeller. Son olarak FOT ölçüm düzeneğinde kullanılan
hoparlör nedeniyle FOT’un solunum cihazları ile entegrasyonunu imkansız hale
getirmektedir. Bütün bu sınırlamalar, FOT’a alternatif solunum mekaniği ölçme ve/veya
hesaplama yöntemlerinin araştırılmaya devam edilmesini gerektirmektedir. FOT’un
sağladığı avantajları içerdiği gibi sınırlamalarınıda ortadan kadıran yöntemler klinikte
kullanılmaya hak kazanacaklardır.
18
3. MALZEME VE YÖNTEM
Bu bölümde solunum sisteminin invasiv olmayan ventilasyon altında modellenmesi
amacıyla seçtiğimiz elektriksel devre modelleri irdelenecek ve model parametrelerinin
çeşitli yaklaşımlarla kestirimi üzerinde durulacaktır. Bu bölüm üç temel başlık altında
toplanmıştır. Bunlar sırasıyla şöyledir: i) Doğrusal ve doğrusal olmayan solunum
sistemi modelleri, ii) İstatiksel analiz ve klasik kestirim yöntemleri, ve iii) Bayesçi
kestirim yöntemleri. İlk başlıkta, Genel Kısımlar bölümünde giriş yapılan elektriksel
dönüşüm modellerinden tezde kullanılan üç adet doğrusal ve bir adet doğrusal olmayan
solunum sistemi modellerinin devre yapıları gösterilecek ve önerilen yöntemlerde
kullanılmak üzere durum-ölçüm eşitlikleri devre analiz yöntemleri kullanılarak
çıkarılacaktır. İkinci ana başlıkta, yukarıda çıkarılan durum-ölçüm eşitliklerinden süreç-
gözlem eşitliklerine geçilecek ve en çok kullanılan klasik kestirim yöntemlerinden olan
minimum değişinti yansız kestirimci ve enbüyük olabilirlik kestirimci kısaca
tanıtılacaktır. Üçüncü ana başlıkta, Bayesçi yaklaşım ile Kalman filtre teorisi ele
alınacaktır. Ayrıca bu başlıkta, Kalman filtre, genişletilmiş Kalman filtre ve unscented
Kalman filtre kısaca açıklanacaktır.
3.1. DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN SOLUNUM SİSTEMİ
MODELLERİ
İnvazif olmayan ventilasyonda solunum sisteminin modellenmesi amacıyla ilk adım
sistem modellerinin belirlenmesi ve model parametrelerinin ölçülmesi ve/veya
hesaplanmasıdır. Bu tezde üç farklı doğrusal ve bir doğrusal olmayan elektriksel
dönüşüm solunum sistemi modeli kullanılmıştır. Farklı solunum sistemi modellerinin
kullanılmasının iki önemli nedeni bulunmaktadır: önerilen kestirim yönteminin
başarısının en yüksek olduğu modeli bulmak ve yöntem ile beraber gerçek solunum
sinyallerine en uygun modeli belirlemek.
19
Solunum sistemi modellerini tanıtmaya başlamadan önce, Kronik Obstrüktif Akciğer
Hastalığığının (KOAH) şiddetli ataklarında solunum kasları üzerindeki yükü
hafifletmek ve solunum işini azaltmak amacıyla kullanılan invasiv olmayan yardımcı
ventilasyon modelini açıklamak gerekir. İnvazif olmayan yardımcı ventilasyon modeli
solunum sistemi modellerine ( )venP t şeklinde gösterilen bağımsız gerilim kaynağı
şeklinde eklenmiştir. İkinci önemli konu ise, solunum kaslarının ölçülen havayolu akış
hızı, ( )V t ve maske içi basıncı, ( )awP t ye etkisidir. Bu etki ( )musP t bağımsız gerilim
kaynağı şeklinde modellenmiş ve solunum sistemi modellerine eklenmiştir.
Ayrıca, bu bölümde kullanılan tüm solunum sistemi modellerinin parametreleri
tanıtılacak ve durum-ölçüm eşitlikleri devamlı ve ayrık zaman için çıkarılacaktır.
Durum-ölçüm eşitliklerinde kestirim yöntemlerinin uygulanması için ayrık zamanda
ifadeleri gerekir. Burada, ölçülen solunum sinyalleri baz alınarak, modeller devamlı
zaman da t yerine ayrık zamanda k kullanılarak ayrıklaştırılmıştır. Ölçümlerde ve
bilgisayar benzetimlerinde örnekleme frekansı 100sf Hz= olarak seçilmiştir
(örnekleme frekansı seçimi Bulgular bölümünde detaylı ele alınacaktır). Bu durumda
modellerin ayrıklaştırma aralığı 21 10s st f s−Δ = = dir. Buna ek olarak, modellerde yer
alan havayolu gaz akış hızının t doğrultusunda bitinci mertebe türevi, ( )V t Taylor
açılımında ilk iki terim yardımıyla hesaplanmıştır. Bu durumda ( )V t :
( )1k kk s
s
V VV O tt
+ −= + Δ
Δ (3.1)
şeklinde yazılır. Burada ( ) ( ) 12s
s k ktO t V t tξ ξ +
ΔΔ = − < < kesim hatasıdır ve bu hata
kestirim benzetimlerinde süreç veya ölçme gürültüsünün içinde yer almaktadır.
3.1.1. İnvazif Olmayan Ventilasyon Modeli
İnvazif olmayan ventilasyon, KOAH hastaların tedavisinde kullanılmaktadır ve hasta
solunum sistemi modelinin oluşturulmasında bir gerekliliktir. İnvazif olmayan ventilatör
modelleri kullanılan yönteme ve araştırma konusuna bağlı çeşitlilik gösterir. Bu tezde
20
ele alınan ( )venP t Yamada ve Du (2000) den uyarlanmıştır. Bu model ventilatörün
birebir mekanik ve pnömatik modeli değil sadece ventilatörün yarattığı pozitif basıncın
ölçülen ( )awP t e etkisini gösterir. ( )venP t maske içinden ölçülen ( )awP t ye direk şeklini
veren ana etkidir. Devamlı zamanda ( )venP t eşitliği üssel formda aşağıdaki şekildedir:
( ) ( )( )
0
1 vi
ve
trig
tven ps trig I
tps I
PEEP t t
P t P e t t T
P e T t T
τ
τ
−
−
⎧ ≤ ≤⎪⎪= − < ≤⎨⎪
< ≤⎪⎩
(3.2)
Burada, PEEP pozitif ekspirasyon sonu basıncını ve psP ayarlanan maksimum
ventilatör basıncını ifade ederler. T , IT ve trigt sırasıyla toplam solunum süresini,
inspirasyon süresini ve ventilatörün tetiklenme süresini göstermektedir. viτ ve veτ
ventilatörün gaz akış hızlandırması ve yavaşlatması ile ilgili zaman sabitleridir.
Özellikler veτ nin klinikte ki önemi büyüktür, çünkü ekspirasyonda hasta-ventilatör
etkileşim problemini yaratan temel unsurdur. İnvazif olmayan ventilatör modeli
parametre değerleri, tezde kullanılan farklı benzetimler için farklı sayısal değerler alır.
Bu değerler Tablo 4.1 de özetlenmiştir. Eşitlik (3.2) ayrık zamanda
( )( )( )( )
0
1 s vi
s ve
s trig
k tvenk ps trig s I
k tps I s
PEEP k t t
P P e t k t T
P e T k t T
τ
τ
− Δ
− Δ
⎧ ≤ Δ ≤⎪⎪= − < Δ ≤⎨⎪⎪ < Δ ≤⎩
(3.3)
şeklinde yazılabilir.
3.1.2. Solunum Kasları Modeli
Solunum kasları modeli, invasiv olmayan ventilatör modeli gibi, sadece ölçülen maske
içi basınca, ( )awP t direk etkisinin temsil eder. Spontan solunumum modelleri üzerine
çalışmalar bulunmaktadır, fakat bu tezde benzetimlerde kullanılan ayrık zamanlı eşitlik
21
haline getirilenebilecek formda olduğu için Yamada ve Du (2000) da yer alan ikinci
derecede polinominal fonksiyon ele alınacaktır:
( )
2
max max
max
1 0
m
mus mus Imus I
tmus I
tP P t TP t T
P e T t Tτ−
⎧ ⎛ ⎞⎪− − + ≤ ≤⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎪ ≤ ≤⎩
(3.4)
Burada maxmusP benzetimlerde kestirilmesi gereken solunum sistemi modeli
parametrelerinden biridir. mτ solunum kaslarının gevşemesi ile ilgili zaman sabitidir ve
Tablo 4.1 de benzetimlerde aldığı değerler özetlenmiştir. Eşitlik (3.4) ayrık zamanda
( )
2
max max
max
1 0
s m
smus mus s Imus
Ik
k tmus I s
k tP P k t TTP
P e T k t Tτ− Δ
⎧ ⎛ ⎞Δ⎪− − + ≤ Δ ≤⎜ ⎟⎪= ⎨ ⎝ ⎠⎪
≤ Δ ≤⎪⎩
(3.5)
şeklinde yazılır.
3.1.3. Doğrusal RIC Solunum Sistemi Modeli
Doğrusal RIC solunum sistemi modeli adını, havayolu resistansı R , gaz akışı
indüktansı L ve akciğer kapasitansı 1C E−= elemanlarından almıştır (Şekil 3.1) ve
hareket denklemi (equation of motion) diye adlandırılan genel ve en basit anlamda ki
akciğer hareketini tanımlar. Bu eşitlik, ( )venP t nin eklenmesiyle aşağıdaki şekilde
yazılabilir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aw mus ven
V tP t V t R V t L P t P t
C= + + − + (3.6)
Bu eşitlikte, akciğerlerin inspirasyonda her yöne eşit şekilde genişlediği varsayılmıştır
(isotropik genişleme). Aynı zamanda (3.6) solunum sisteminin dinamik bir modelini
temsil eder, zira inspirasyon kaslarının etkisini ve havayollarından geçen gazın akış
hızını içerir. Model parametrelerinin yapay solunum benzetiminde aldığı değerler Tablo
4.1 de yer almaktadır.
22
Şekil 3.1. Doğrusal RIC solunum sistemi modeli.
Doğrusal RIC modelinin ölçüm eşitliği (3.6) in ayrık zamanda yazılmasıdır:
1aw mus venk k kk k k k
s
V V VP V R L P PC t
+ −= + + − +
Δ (3.7)
mus
kP (3.5) den (3.7) daki yerine konursa, (3.7) matris formunda:
( )
2
1
max
1
max
1 1 0
s m
venk kk k k I
s I
musawk
k t venk kk k k I
s
mus
REV V kV V P k NLt N
PP
REV VV V e P N k NLt
P
τ
+
− Δ+
⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥− + − + ≤ <⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎪ − + ≤ ≤⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎪ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
(3.8)
Şeklinde bulunur. Dikkat edilecek olunursa (3.8) Şekil 3.1 deki elektrik devresinin
durum-ölçüm eşitliği şeklinde değildir. Hesaplamaların kolaylaştırılması amacıyla
ölçüm eşitliği model parametreleri baz alınarak matrix formunda yazılmıştır.
23
3.1.4. Viskoelastik Solunum Sistemi Modeli
Viscoelastik solunum sistemi modeli, solunum sisteminin havayolu resistansı awR , static
akciğer compliyansı 1s sC E−= ve akciğer doku resistans veR ile compliyansından
1ve veC E−= oluştuğunu varsayar. Şekil 3.2 yardımıyla çıkarılan model ölçüm eşitliği
aşağıdaki gibidir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aw aw s s ve ve mus venP t R V t E V t E V t P t P t= + + − + (3.9)
Şekil 3.2. Viskoelastik solunum sistemi modeli.
Eşitlik (3.9) ayrık zamanda
aw s ve mus venk aw k s k ve k k kP R V E V E V P P= + + − + (3.10)
şeklinde yazılır. Bu eşitliğin çözülebilmesi için statik akciğer kompliyansı ile akciğer
doku kompliyansının yarattığı hacim değişikliklerinin ayrılması gerekmektedir. Toplam
havayolu gaz akışının meydana getirdiği hacim değişikliği, statik ve akciğer doku
kompliyas etkilerinin toplamı olarak düşünebiliriz. Bu durumda herhangi bir sk tΔ
anında:
s vek k kV V V= + (3.11)
dır. Bunun yanında, havayolu gaz akış hızları göz önüne alınacak olunursa:
24
( ) ( ) ( )s ve ve
ve ve
dV t dV t V tdt dt R C
= + (3.12)
devamlı zamanda Şekil 3.2 deki elektrik devresi için yazılabilir. Eşitlik (3.12)
ayrıklaştırılıp (3.11) ile beraber düşünülürse, skV ve ve
kV arasındaki ilişki yinelemeli
olarak:
( ) ( )( )( )1 10,5 0,5 1 1ve ve sk k k tis s kV V V t Vτ− −= + − ⋅ Δ − (3.13)
yazılır. Burada tis ve veR Cτ = akciğer dokusu zaman sabitidir.
Viscoelastik model ölçüm eşitliği matris formatında aşağıdaki hali alır:
( )
2
max
max
1 1 0
s m
aw
ss ve venk k k k I
veI
musawk
aw
sk ts ve venk k k k I
ve
mus
REkV V V P k NEN
PP
RE
V V V e P N k NE
P
τ− Δ
⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥− + − + ≤ ≤⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎡ ⎤⎪ − + ≤ ≤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
(3.14)
buradaki skV ve ve
kV (3.11) ve (3.13) eşitlikleri ile yinelemeli olarak bulunurlar.
Viskoelastik model için ayrıca, Kirchoff akım ve gerilim yasasının Şekil 3.2 de
gösterilen devreye uygulanmasıyla, durum ve ölçüm eşitlikleri sırasıyla ayrık zamanda
aşağıdaki formda elde edilir:
1
1
1 00 1
s s
ve ve
C Cs sk k
kC Cs ve ve s vek k
t CP PV
t R C t CP P+
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(3.15)
25
[ ] [ ]1 1s
ve
Caw ven musk
k aw k k kCk
PP R V P P
P⎡ ⎤
= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.16)
Viskoelastik modelde ayrıca model parametreleri ile ilişkin ölçüm eşitliği yazılabilir. Bu
eşitlik (3.15) ve (3.16) in yardımıyla:
( )( ) ( )
1
1
0 0 0 0 110 0 0
10 0 0
s
ve ve
s
ve
s ve
awC k s
skC C
ve vek k s k saw mus vek k k
mus
CkC
kC C
k k
RV t CP
R CP P t V tCP V f
P
PP
P P
+
+
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥Δ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥
+ ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
max (3.17)
şeklinde bulunur. Burada ( )
2
1 1 0
s m
Imusk I
k tI
k k Nf N
e N k Nτ− Δ
⎧ ⎛ ⎞⎪ − − ≤ ≤⎜ ⎟⎪= ⎨ ⎝ ⎠⎪
≤ ≤⎪⎩
solunum kasları ile ilgili
fonksiyondur.
Viskoelastik modelin yer aldığı benzetimlerde, (3.11), (3.3) ve (3.14) eşitlikleri klasik
kestirim yöntemlerinde, (3.15)-(3.17) eşitlikleri ise Bayes filtrelemede kullanılmıştır.
Model parametrelerinin yapay solunum benzetiminde aldığı değerler Tablo 4.1 de yer
almaktadır.
3.1.5. Mead Solunum Sistemi Modeli
Bu model, FOT çalışmalarında sıkça kullanılan ve Mead tarafından önerilmiş doğrusal
ve çoklu parametreli solunum sistemi modelidir. Şekil 3.3den de görüleceği gibi Mead
model cR ve pR merkezi ve periferik havayolları rezistansı, gaz akışı indüktansı L , ve
bronşların bC , akciğerin lC , göğüs duvarının wC ve göğüs dışı doku eC kompliyansları
içerir.
26
Şekil 3.3. Mead solunum sistemi modeli.
Mead solunum sistemi modelinin, doğrusal RIC ve Viskoelastik modellerden en önemli
farkı model serbestlik derecesinin (degree of freedom) daha yüksek olmasıdır. Bu,
solunum sisteminin daha fazla detaylı incelenmesine olanak sağlar. Şekil 3.3 deki bir
elektriksel devrenin çözülebilmesi için durum eşitliklerinin ölçüm eşitliğine ek olarak
yazılması gerekmektedir. Kirchoff akım ve gerilim yasasının uygulanmasıyla, Mead
model durum eşitliği ayrık zamanda:
+
+
+
+
+
− Δ −Δ −Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ Δ − Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−Δ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢⎢⎢+⎢⎢⎢Δ⎣
1
1
1
1
1
1 00 1 0 0
1 0 00 0 1 00 0 0 1
0000
l l
b b
w w
e e
L Lc s s s sk k
c cs p l s p lk k
c cs b s p b s p bk k
c cs wk k
c cs ek k
s e
R t L t L t L t LV Vt R C t R CP P
t C t R C t R CP Pt CP Pt CP P
t C
Δ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥+⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦
0000
s
musk k
t L
V P
(3.18)
olarak elde edilir. Ölçüm eşitliği ise aşağıdaki gibidir:
[ ]
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 0 0 1
l
b
w
e
Lkck
aw venck kk
ckck
VP
P PPPP
(3.19)
27
Eşitlikler (3.18) ve (3.19) den görüldüğü gibi Mead model, Viskoelastik model gibi
durum-ölçüm eşitliklerinden meydana gelir ve durum değişkenlerininde model
parametreleriyle beraber hesaplanmasını gerektirir. (3.18) aynı zamanda parametrelere
ilişkin ölçüm eşitliği yerinede kullanılabilir. Bu durumda aşağıdaki şekilde yazılabilir:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
++
+
+
+
+
⎡ ⎤−−⎢ ⎥+ + −
Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
+
11
1
1
1
1
max
l l
l l
e
b
b b
b
w w
e e
c cL Lk kk kL mus
k c l p mus ks s
c ck k
cl pk
scc ckk kc L
k k p b pL sk c c
k kk
ws
c ck k
es
ck
P PV VV R L C R P f
t t
P PC RP t
PP P
P V R C RtV
P PV Ct
P PC
t
P⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0
l w
l
l
ck
ckck
Lk
PPP
V (3.20)
Mead modelin yer aldığı benzetimlerde, (3.18)-(3.20) eşitlikleri Bayes filtrelemede
kullanılmıştır. Model parametrelerinin yapay solunum benzetiminde aldığı değerler
Tablo 4.1 de yer almaktadır.
3.1.6. Doğrusal Olmayan RC Solunum Sistemi Modeli
Doğrusal olmayan modellerin gerçek solunum sisteminin yapısal ve işlevsel
özelliklerini yansıttıkları ve deneysel ölçülen solunum sinyallerinin akciğer
parametreleri ile uygunluğunun doğrusal olmadığı yapılan çalışmalar ile teorik ve
deneysel olarak gösterilmiştir (Navajas ve diğ., 1992, Peslin ve diğ., 1995 ve Peslin ve
diğ., 1996). Bu çalışmalarda havayollarının (Suki ve diğ., 1997) ve akciğer dokusunun
doğrusal olmayan özellikleri ayrı ayrı incelenmiştir (Suki ve diğ., 1995). Literatürdeki
28
çalışmalarda basınç-hacim ilişkisinin doğrusal olmamasından dolayı doğrusal olmayan
kompliyans (Peslin ve diğ., 1996 ve Nikischen ve diğ., 1998), ve Rohrer eşitliğini
kullanarak doğrusal olmayan rezistans (Polak ve Mroczkaj, 2006 ve Schuessler ve diğ.,
1997), yapay akciğer kullanılarak ve hasta ölçümleri ile tanımlanmış ve doğrulanmıştır.
Burada doğrusal olmayan kompliyans ve rezistans demekle, elemanın elektriksel akım-
gerilim bağıntısının tanımlanmış genel kurallar çerçevesinde olmadığı kastedilmektedir.
Athanasiades ve diğ.(2000) tarafından önerilen genişletilmiş doğrusal olmayan solunum
sistemi modeli böyle bir çalışmaya örnektir. Bu modelde, zaman ile bağımsız değişen
havayolu gaz akış hızı ( )V t ve havayolu basıncı ( )awP t sinyalleri, model
parametreleriyle doğrusal olmayacak şekilde ilişkilendirilmişlerdir.
Elektriksel dönüşüm modellerinde, doğrusal olmayan model parametreleri durum-yer
eşitliklerinin doğrusal olmaması anlamına gelmektedir. Athanasiades ve diğ.(2000)
tarafından önerilen solunum sistemi modelinin durum-yer eşitliklerinin yazılması ve bu
eşitliklerinin ayrık zamana çevrilerek kestirim algoritmalarında kullanılması
hesaplamada çok büyük zorluklar çıkarır ve bilgisayar benzetimleri model
karmaşıklıkları nedeniyle zamanda verimli değildir. Bu nedenle, bu model
basitleştirilerek, doğrusal olmayan R ve C parametrelerine indirgenmiştir (Şekil 3.4).
Doğrusal olmayan RC model işlem yükü ve hesaplama hızı itibariyle doğrusal
modellerle aynı mertebededir. Tekrar belirmek gerekirse, doğrusal olmayan RC modelin
kullanılmasında ki amaç:
1. Araştırmaların bir kısmında solunum sisteminin gaz akışı-basınç
ilişkilendirilmesinin doğrusal olmayan elektriksel elemanlar ile yapılması,
2. Tezde kullanılan modellerin önerilen tüm modelleri kapsaması,
3. Doğrusal ve doğrusal olmayan modellerde model parametrelerinin kestiriminin
karşılaştırılması,
4. KOAH hastaları ile sağlık kişilerden ölçülen sinyallerin doğrusal ve doğrusal
olmayan modellere uygunluğunun araştırılmasıdır.
29
Pmus (t)
Pven (t)
Paw (t)
+
-
+ -
+
-
R
C
Şekil 3.4. Doğrusal olmayan RC solunum sistemi modeli.
3.1.6.1. Üst havayolu rezistansı (upper airway rezistans) uR .
Burun, glotis/larnaksi ve trakeden başlayan ilk 10 havayolu jenerasyonu gaz akış hızının
en yüksek olduğu ve dolayısıyla turbülent efeklerinin görüldüğü havayolu tübleridir. İlk
Rohrer isminde bir araştırmacı 1915 yılında üst havayollarında ki basınç azalmasını
formüle etmiş ve günümüzde hala geçerliliğini koruyan Rohrer eşitliğini önermiştir:
21 2p K V K VΔ = + (3.21)
Burada pΔ tübteki basınç azalması [ 2/N m ], V tübten geçen gaz akışının hacimsel hızı
[ 3 /m s ] ve 1K ve 2K Rohrer katsayılarıdır [ 5. /N s m ] ve [ 2 8. /N s m ].
Eşitlik (3.21) sağlıklı havayolunda ve havayolu kısıtlaması olan durumlarda da
geçerlidir. Rohrer eşitliği havayolu modeline uygulanırsa üst havayolu rezistansı
aşağıdaki şekilde yazılabilir:
( ) ( )u u uR t A K V t= + (3.22)
Burada, uA ve uK üst havayolu rezistans model parametrelerini oluştururlar
[ 2 . /cmH O s l ], [ 2 22 . /cmH O s l ]. ( )V t ise üst havayolu hacimsel gaz akış hızıdır [ /l s ].
30
Toplam solunum sistemi rezistansının büyük bir kısmı (%60 Johnson, 2007) üst
havayolu rezistansından oluşur. Bir çok modelde akciğer ve göğüs duvarı rezistansı
ihmal edilerek sadece üst havayolu rezistansı gösterilmiştir. Diğer önemli bir husus da
(3.22) in, üst havayolu tüblerinin sert yapısından dolayı inspirasyon ve ekspirasyonda,
transmural basıncın azalmasına rağmen, geçerliliğini korumasıdır.
3.1.6.2. Statik akciğer elastik “recoil” basıncı lP
Statik akciğer elastik basıncının araştırmacılar tarafından deneysel incelemelerinde lP
ile akciğer hacmi ( )V t nın eksponensiyel değiştiği gözlenmiştir. Bu ilişki aşağıdaki
şekilde modellenir:
( ) ( )lK V tl l lP t Ae B= + (3.23)
Burada, lA , lB ve lK akciğer elastik basıncı model parametreleridir [ 2cmH O ],
[ 2cmH O ], [birimsiz].
Şekil 3.4 de yer alan doğrusal olmayan RC modelin ölçüm eşitliği (3.22) ve (3.23)
eşitlikleri ile aşağıdaki şekilde yazılır:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + −lK V taw u u l l ven musP t A K V t V t A e B P t P t (3.24)
Ayrık zamanda yazılırsa:
( )
( ) ( )( )
2
max
max
1 1
0
l k
s ml k
K Vu u k k l l mus
I
aw venk k I
k tK Vu u k k l l mus
venk I
kA K V V Ae B PN
P P k N
A K V V Ae B P e
P N k N
τ− Δ
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟+ + + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪⎪= + ≤ ≤⎨⎪
+ + + −⎪⎪
+ ≤ ≤⎪⎩
(3.25)
olarak bulunur. Görüldüğü gibi bu eşitlik hem model parametrelerinde hem de durum
değişkenlerinde doğrusal değildir. Bu nedenle durum eşitliğinin bulunması kestirim
yöntemlerinin uygulanmasında kolaylık sağlar:
31
1k k s kV V t V+ = + Δ ⋅ (3.26)
Model parametrelerinin yapay solunum benzetiminde aldığı değerler Tablo 4.1 de yer
almaktadır.
3.2. İSTATİKSEL ANALİZ VE KLASİK KESTİRİM YÖNTEMLERİ
Yukarıda, tezde kullanılan modellerin ölçüm veya durum-ölçüm eşitlikleri RIC model
için (3.8), Viskoelastik model için (3.11) ve (3.13)-(3.17), Mead model için (3.18)-
(3.20), ve doğrusal olmayan RC model için (3.25) ve (3.26) olarak çıkarılmıştır. Bu
eşitlikler solunum sisteminin matematiksel modellerini temsil etmektedirler. Bu tezde,
bu ölçüm ve durum-ölçüm eşitliklerinden solunum sistemi parametreleri istatistiksel
analiz (veya istatistiksel çıkarım) yöntemleri yardımıyla kestirilecektir.
İstatistiksel sinyal işleme genel anlamda ters dönüşüm işlemidir. Amaç ölçülen veya
gözlenen büyüklükten yola çıkarak çıkış üreten modellerin gizli durum değişkenlerinin
ve parametrelerinin kestirilmesidir. Çıktı, genelde bir dinamik sistemin çıkışında
ölçülen bir fiziksel büyüklüktür. Ölçümleri ayrık zamanlı sinyaller olarak modellersek
ölçümler k anında { }k k ∈z ; vektörü ile gösterilebilir. Ölçüm vektörü, k anındaki
durum değişkeni vektörü { }k k∈x ; ve parametre vektörü θ arasında ki ilinti, zaman
tanım kümesinde aşağıdaki formda yazılabilir:
( )k k k k=z h x ,θ ,u (3.27)
burada, ( ){ }h . : yx u nn n nk
θ× × → k anındaki genellikle doğrusal olmayan ölçüm
fonksiyonu ve ku k anındaki sistem kontrol girişleridir. Durum değişkeni vektörünün,
parametre vektörünün ve kontrol girişleri vektörünün boyutları sırasıyla xn , nθ ve un
şeklinde gösterilmiştir.
32
Durum değişkenleri, ( kx vektörü) çeşitli biomedikal sinyallerde özbağlanımlı model
(Autoregressive Model – AR) kullanılarak modellenmiştir. Fakat burada durum
değişkenleri birinci derece Markov eşitliği şeklinde kabul edilecektir. Bu durumda, kx
vektörünün tanımı:
( )1 1k k k k− −=x f x ,θ,u (3.28)
burada, ( ){ }x u xn n n nk
θ× × →f . : k anındaki genellikle doğrusal olmayan durum
fonksiyonudur.
Yukarıda yer alan (3.27) ve (3.28) eşitlikleri durum-ölçüm eşitlikleri olarak
adlandırılırlar ve dinamik sistemlerin modellenmesinde çok sık kullanılırlar. Burada
dikkat edilmesi gereken diğer bir nokta ise parametre θ değişkeninin zamanla
değişmediğidir. Durum-ölçüm eşitliklerinde parametreler sabit değişkenler olarak
varsayılırlar.
Durum-ölçüm eşitliklerine sırasıyla süreç gürültüsü ve ölçüm gürültüsü eklendiğinde
süreç-gözlem eşitliğine dönüşürler ve aşağdaki şekilde gösterilirler:
( )1 1 1x f x ,θ,u qk k k k k− − −= + (3.29)
( )z h x ,θ,u rk k k k k= + (3.30)
Gözlem eşitliğinde yer alan ölçüm gürültüsü { }k k ∈r ; ve süreç eşitliğinde yer alan
süreç gürültüsü { }k k∈q ; , birbirinden bağımsız eş dağılımlı gürültü dizini olarak
kabul edilir. Ölçüm gürültüsü ölçümde yapılan rastgele hataları modellediği gibi süreç
gürültüsü dinamik sistemin modellenmesindeki belirsizlikleri göstermektedir. Eğer,
ölçüm ve süreç gürültüleri durağan süreçler ve olasılık dağılım fonksiyonları (pdf)
Gauss olarak kabul edilirse, ölçüm gürültüsü ve süreç gürültüleri sırasıyla,
( )k rr μ ,R∼N şeklinde ortalaması rμ ve ortak değişinti matrisi R ve ( )k qq μ ,Q∼N
şeklinde ortalaması qμ ve ortak değişinti matrisi Q olarak ifade edilirler.
33
Bu aşamada, (3.29) ve (3.30) ile gösterilen sistem modeli artık bir rastgele süreç
modelidir ve kx , kz , kq ve kr değişkenleri birer rastgele süreçlerdir. Diğer bir değişle
(3.27) ve (3.28) ile temsil edilen belirlenimci yaklaşım (3.29) ve (3.30) ile rastgele
yaklaşıma dönüşmüştür. Optimum filtreleme olarak ifade edilen, (3.29) ve (3.30)
eşitliklerinin durum değişkenleri ve/veya model parametreleri için çözümü durum
değişkenleri ve/veya model parametreleri ve süreç ve gözlem dürültüsünün olasılık
dağılım fonksiyonlarının tanımlanmasını gerektirir. Bu durumda, (3.29) durum değişim
olasılık fonksiyonunu ifade eder ve ( )1Pr ;k k−x x θ şeklinde gösterilir. Eşitlik (3.30) ise
gözlem olasılık fonksiyonudur ve ( )Pr ;k kz x θ ile özetlenir.
Optimum filtrelemede ilk yaklaşım olan klasik kestirim dir ve zamanla değişmeyen ve
belirlenimci olarak düşünülen sabit model parametrelerinin, θ kestiriminde kullanılır.
Burada, (3.30) modeli sadece belirlenir ve kestirilecek olan dağılım ise ( )Pr ;k kz θ x dir.
Durum değişkenleri, kx ise bilinir kabul edilir veya sıkıntı parametreleri olarak
adlandırılıp istatistiksel toplama ile yok edilirler. Optimum filtrelemede diğer bir
yaklaşım ise Bayesçi filtreleme dir ve zamanla değişen ve rastgele süreçlerin
kestiriminde kullanılır. Kestirilecek dağılım, sonsal dağılımlar ( )Pr ,k kθ z x ve
( )Pr ,k kx z θ dir. Yukarıda durum-ölçüm eşitlikleri verilen solunum modellerinde hangi
yaklaşımın optimum olacağı ancak sonuçların değerlendirilmesi ile mümkün olabilir.
Bu tezin tamamında en iyilik ölçütü (optimality criteria) ortalama karesel hata (Mean
Square Error – MSE) dır (Chen, 2003) ve model parametreleri için:
( ) ( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ ˆ Pr ;
k
kMSE E ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑z
θ θ θ θ θ z θ (3.31)
şekilde ifade edilir ve burada [ ]E • beklenti fonksiyonudur.
34
3.2.1. Enküçük Değişinti Yansız Kestirimci
Klasik kestirimde, optimum filtre tasarlamak için ilk adım enküçük değişinti yansız
kestirimcidir (Minumum Variance Unbiased Estimator - MVUE) (Kay, 1993). Böyle bir
kestirimci sadece doğrusal modeller için bulunabilir. Bu durumda kestirimcinin,
= + +Z Hθ U r (3.32)
modeli için, (3.31) de verilen ( )MSE θ nin en küçük olması θ θE ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (yansız kestirim)
ve ( )rva θ (en küçük değişinti) şartlarını getirir. Z , U ve r zN n× boyutunda 2-D, H
zN n nθ× × boyutunda 3-D, ve θ 1nθ × boyutunda matrislerdir. θ kestirilen parametre
vektörü ise:
( ) ( )1T -1 T -1θ H R H H R Z U−
= − (3.33)
şeklinde ifade edilir. Burada ( )2r μ ,R Ik r r N Nσ ×=N∼ kabulü devam etmektedir ve bu
nedenler (3.33) un çıkarılmasında:
( )( )
( ) ( )0 1 2 1 2
1 122
N Nπ−
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭
T -1:Pr z ;θ exp Z - Hθ R Z - Hθ
R (3.34)
olasılık dağılım fonksiyonu kullanılmıştır. θ nin değişintisi ise
( ) 1
θ
−= T -1
ˆP H R H (3.35)
şeklinde verilir.
Cramer-Rao Alt Sınır (Cramer-Rao Lower Bound - CRB) teoremi ve Fisher Bilgi
Fonksiyonu (Fisher Information Function – FIM) kullanılarak çıkarılan (3.33) ve (3.35)
eşitliklerine Gauss-Markov Teoremi (Gauss-Markov Theorem) adı verilir. (3.33) ve
(3.35) eşitliklerinin çıkarılması (Kay, 1993) de detaylı açıklanmıştır.
35
3.2.2. Enbüyük Olabilirlik Kestirimci
MVUE yönteminin varlığı veya bulunabilirliği her zaman mümkün değildir. MVUE nin
bulunamama sebepleri arasında i) ölçüm sinyali olasılık dağılım fonksiyonunun Gauss
olarak kabul edilememesi (sinyal modelinin doğrusal olmaması), ii) gözlem sinyal
uzunluğunun kısa olması ve iii) Cramer-Rao alt sınırının bulunamaması sayılabilir.
Enbüyük olabilirlik kestirimi (Maximum Likelihood Estimation - MLE) kestirim
yöntemleri arasında en çok kullanılandır (Kay, 1993) ve MVUE nin bulunamadığı bir
çok durumda başarılı sonuçlar vermiştir. Tutarlılık ve verimlilik MLE nin özellikleri
arasında sayılabilir. Ayrıca MLE yöntemi, asimtotik olarak Gauss dağılımına yakınsar.
Bütün bu özellikler MLE yöntemini, klasik yaklaşımda çok sık kullanılan azalan kareler
kestiriminden (Least Squares Estimation – LSE) belirli bir şekilde ayırır. MLE ile ilgili
detaylı bilgi ve özelliklerinin ispatları Kay (1993) da yer almaktadır.
(3.30) ile verilen genel ölçüm eşitliği için, olabilirlik fonksiyonu, gözlem ve parametre
olasılık dağılım fonksiyonu (3.34) yardımıyla aşağıdaki şekilde yazılır:
( ) ( )1
0 10
N
N kk
L−
−=
=∏:θ z Pr z ;θ (3.36)
Burada gözlemlerin birbirinden bağımsız eş dağılımlı oldukları varsayılmıştır.
Olabilirlik fonksiyonu bir olasılık dağılım fonksiyonu değildir ve bu nedenle hem
gözlemlerin hem de parametrelerin fonksiyonu şeklinde düşünülebilir. Gözlemlerin
verilen sinyaller şeklinde düşünülmesiyle, bu fonksiyonu en büyük yapan parametre
değeri aynı zamanda (3.31) deki ortalama karesel hatayı en küçük yapar. MLE
yönteminde olabilirlik (3.34) eşitliğini en büyük yapan parametre vektörü, θ yı bulmak
için monoton biçimde artan logaritma fonksiyonu kullanılır ve olabilirlik fonksiyonunun
türevlenebilir şartı kabul edilir. Bu:
( )( )0 1NLθ
−= :θ argmaxlog θ z (3.37)
şeklinde gösterilir ve parametre vektörü
36
( )( )0 1 0 1N
pm
Lm n
δ
δθ−
= =:log θ z
, ,… (3.38)
eşitliğinin çözümü ile bulunur. Burada pn parametre sayısıdır. Dikkat edilmesi gerekir
ki (3.38) aynı zamanda olabilirlik fonksiyonunun doruğunu (mode) vermektedir.
Fakat, olabilirlik fonksiyonu doğrusal olmaması, ve çoklu en büyük ve eğer noktalarının
varlığı nedeniyle (3.38) eşitliğinin çözümü her zaman mümkün değildir. Bu soruna en
uygun yaklaşım yinemeli enbüyük olabilirlik yöntemidir. Yinemeli olarak (3.38) nin
çözümü için bir çok yol önerilmiştir, fakat bu tezde Newton-Raphson yöntemi
kullanılmıştır (Kay, 1993). Bu yöntem logaritmik olabilirlik fonksiyonunun ikinci
türevlerinden yararlanır ve bağıntısı aşağıdaki şekilde verilir:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1
1i i i i
−
+ = −θ θ g θ H θ (3.39)
Burada alt indislerinin parantez içinde yazılması parametrenin zamanla değil de
yinemeli ile değiştiğini göstermektedir. ( )g . fonksiyonu, logaritmik olabilirlik
fonksiyonunun 1 pn× boyutlu birinci türev vektörüdür:
( )( )( )0 1 1N
pm
Lm n
δ
δθ−
= =:log θ z
g θ , ,… (3.40)
ve ( )H . fonksiyonu logaritmik olabilirlik fonksiyonunun p pn n× boyutlu ikici türev
matrixini gösterir ve Hessian matrisi adını alır:
( )( )( )
1 2
20 1
1 2 1:log θ zH θ , , ,N
pm m
Lm m n
δ
δθ δθ−
= = … (3.41)
37
(3.46) eşitliği ile gösterilen yineleme iki şekilde son bulur: 1) maxi i= koşulu
sağlanmıştır veya 2) ( ) ( )10 1 0 1i iN NL Lθ θ θ θ ε−− = − =− ≤
( ) ( ): :θ z θ z eşitsizliği küçük bir ε
değeri için. elde edilmiştir. θ nin değişintisi ise (kestirimcinin ortak değişinti matrisi):
( )( )invθ=ˆP H θ (3.42)
olarak hesaplanır. MLE yöntemi doğrusal modellerde ve Gauss dağılımlı gözlem ve
hata sinyalleri kabulü altında MVUE yöntemine yakınsar. Başka bir değişle eğer
MVUE yöntemi ile kestirilen parametre değeri bulunabiliyorsa bu aynı zamanda MLE
yönteminin cevabıdır. Bu nedenle, MLE yöntemi doğrusal olmayan modellerde ve/veya
Gauss koşulu kaldırılarak denenmelidir. Tezin bu bölümünde, ölçüm gürültüsü kr nın
olasılık dağılım fonksiyonunun genelleştirilmiş Gauss dağılımı (Generalized Gaussian
Distribution – GGD) olduğu kabul edilmiş ve RIC ve doğrusal olmayan RC model
parametreleri MLE yöntemiyle kestirilmiştir. Bu nedenle, GGD burada kısaca
açıklanacaktır. GGD parametrelerinin kestirim yöntemleri bu bölümün solunum
modellerinde hata analizi kısmında yer alacaktır.
Genelleştirilmiş Gauss Dağılımı
[ ]0: 1 0 1, ,N N− −=z z z… birbirinden bağımsız rastgele ölçüm ardışığını ve θ zamanla
değişmeyen ve bilinmeyen sabit model parametrelerini temsil ederse ölçüm olasılık
dağılımı GGD tabanlı aşağıdaki şekilde yazılabilir :
( )( )
( )1
0 10
1 r
r
N p
N k kpkr r
c hA p σ
−
−=
⎧ ⎫⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑:Pr z ;θ exp z θ,
(3.43)
Burada
( ) ( )
12 1 1 N NN
r r r
cp A p σ
=Γ + ,
şeklinde tanımlanır ve ( )Γ . Gamma fonksiyonudur.
38
( ) ( ) ( ) 1 22 1 3r r r r rA p p pσ σ⎡ ⎤= Γ Γ⎣ ⎦,
( ) 2var k rσ=r sağlanması için ölçek faktörüdür. rp biçim faktörü şeklinde tanımlanır.
( )kh Θ ise model fonksiyonudur. GGD dağılımı, biçim faktörü 2rp = olduğu durumda
Gauss dağılımını, 2rp > olduğu durumda süper-Gauss dağılımını ve 2rp < olduğu
durumda ise alt-Gauss dağılımını ifade eder. Benzetimlerde ayrıca ölçüm gürültüsünün
hangi Gauss dağılımı ailesinde olduğunu görmek için rp parametresi kestirilmiştir.
Ölçüm gürültüsü değişintisinin kestirilmesi: GGD modellerde ölçüm gürültüsü
değişintisinin, 2rσ kestirilmesi genellikle MLE yöntemiyle olmaktadır. Logaritmik
olabilirlik fonksiyonunun 2rσ e göre enbüyük yapılmasıyla:
( )( )2
0 1
2 0N r r
r
L pδ σ
δσ−
=:log θ z , ,
(3.44)
( )( ) ( )
21
2
0
1ˆ
3
r
p
pN prr
r k kkr
pp hN p
σ−
−
=
⎡ ⎤⎡ ⎤Γ⎢ ⎥= −⎢ ⎥Γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∑ z θ (3.45)
olarak kapalı formda bulunur.
Ölçüm gürültüsü biçim faktörünün kestirilmesi: GGD modellerde ölçüm gürültüsü
biçim faktörü, rp dört farklı yöntemle kestirilebilir. Bu tezde Kurtosis oranı yöntemi,
uygulamadaki basitliği ve küçük ( 2rp < ) biçim faktörü değerlerinin kestirimindeki
başarısı nedeniyle seçilmiştir (Kokkinakis ve Nandi, 2005). Kurtosis oranı aşağıdaki
şekilde hesaplanır:
( ) ( )( ) ( )
2
4
3
5 1
k rr
r rk
E r pp
p pE rξ
⎡ ⎤ Γ⎣ ⎦= =Γ Γ⎡ ⎤
⎣ ⎦
(3.46)
39
burada 4kE r⎡ ⎤
⎣ ⎦ ve 2kE r⎡ ⎤
⎣ ⎦ sırasıyla ölçüm gürültüsünün dördüncü ve ikinci derece
merkezi momentleridir. Fakat, (3.46) eşitliğinin açık çözümü bulunmamaktadır. Bu
nedenle, ( )rpξ den rp e geri dönmek için arama tablosu oluşturulur.
3.3. BAYESÇİ KESTİRİM YÖNTEMLERİ
Solunum sisteminin modellenmesinde yukarıda bahsedilen klasik kestirim yöntemleri
(MVUE ve MLE) model parametreleri, θ nın zaman ile değişmeyen ve belirlenimci
sebitler olduğunu kabul etmiş ve herhangi bir θ nın dağılımı ile ilgili önsel bilgiyi
kullanmamıştır. Fakat, zaman ile değişmese bile θ nın değişen özelliklerden
kaynaklana ve öğrenmemiz gereken bir bilgiye sahip olduğunu düşünebiliriz. Daha açık
olarak, her bireyin solunum sisteminin modellenmiş bu parametreleri aslında kesin
olarak söylenen tek bir değer değilde, bir ortalama değeri ve bir değişintisi olan rastgele
değişken olarak kabul edilebilir. Bu rastgelelik istatistiksel anlamdadır ve θ nın bir
olasılık dağılım fonksiyonuna sahip olduğunu gösterir.
Model parametrelerinin bu ön bilgisine önsel dağılım ve kullanıldığı yönteme Bayes
filtreleme adı verilmektedir. Bayes filtrelemenin (3.30) modeline uygulanması için,
model parametre vektörü, { }k k ∈θ ; nın ayrık zamanda modelinin belirlenmesi
gerekmektedir. Zaman ile değişmeme kabulünün sağlanması için parametre vektörü:
1 1p
k k k− −= +θ θ q (3.47)
şeklinde modellenebilir. Burada pkq birbirinden bağımsız eş dağılımlı parametre süreç
gürültüsüdür.
Bayes filtreleme de, klasik kestirim gibi, bu tezde en iyilik ölçütü olarak kabul edilen
ortalama karesel hatanın, ( )ˆMSE θ (3.31) en küçük yapılmasıdır. Fakat, ( )ˆMSE θ
Bayesçi filtrelemede aşağıdaki şekilde ifade edilir:
40
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
ˆ ˆ ˆ Pr ,
ˆ Pr , Pr
k k
k k
k k k k k k k k k k
k k k k k k k k
BMSE E d d
d d
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
z θ
z θ
θ θ θ θ θ z θ x θ z
θ θ θ z x θ z z
(3.48)
Burada, ( )Pr ,k k kθ z x sonsal dağılım ismini alır ve ( )ˆBMSE θ en küçük yapan optimal
kestirimci:
ˆ ,k k k kE= ⎡ ⎤⎣ ⎦θ θ z x (3.49)
olarak bulunur. Bunun yorumu çok önemlidir; Bayesçi ortalama karesel hatayı en küçük
yapan kestirimci sonsal dağılımın istatistiksel ortalama değeridir. Bu durumda Bayes
filtrelemede ana amaç sonsal dağılımın bulunmasıdır.
Koşullu olasılık teoreminden, ( )Pr ,k k kθ z x yinemeli olarak yazılırsa (3.29), (3.30) ve
(3.47) modelleri için yinelemeli Bayes filtreleme eşitliğini elde ederiz:
( ) ( ) ( )( )
0: 10:
0: 1
Pr , Pr ,Pr ,
Pr ,k k k k k k
k k kk k k
−
−
=z θ x θ z x
θ z xz z x
(3.50)
Burada ( )0: 1Pr ,k k k−θ z x sonsal dağılımda önsel terimi ifade eder ve aşağıdaki şekilde
hesaplanır:
( ) ( ) ( )0 1 1 1 0 1 1k k k k k k k k kd− − − − −= ∫: :Pr θ z ,x Pr θ θ Pr θ z ,x θ (3.51)
Burada ( )0Pr θ başlangıç dağılımının bilinmesi gerekmektedir. ( )Pr ,z θ xk k k terimi
gözlem eşitliğini ifade etmektedir. Payda da yer alan ( )0: 1Pr ,k k k−z z x ise kanıt terimini
göstermektedir.
41
Artık, (3.50) eşitliğindeki her terimin bilinmesine ve yinemeli olarak sonsal dağılımın
bulunabilmesine rağmen sayısal hesaplamaların yapılabilmesi için model üzerinde bazı
sınırlamaların getirilmesi gerekmektedir. Bu sınırlamalar ile yinemeli sonsal dağılım
Kalman filtreyi oluşturur. Kalman Filtre en genel anlamda, sonsal dağılımı durum
değişkeninin istatistiksel ortalama ve değişintisinin (birinci ve ikinci derece momentler)
zaman içinde üretilmesidir. Fakat, bu yineleme ancak bazı kabullerin yapılmasıyla
analitik olarak gerçekleşebilir.
Yukarıda yer alan eşitlikler model parametreleri için verilmiştir, fakat durum
değişkenleri de Bayes filtresi ile kestirilebilir. Bu durumda parametrelerin bilindiği
kabul edilmektedir. Durum değişkenlerinin ve model parametrelerinin birlikte
kestirildiği yöntemlere çiftli kestirim (dual estimation) adı verilir.
3.3.1. Çiftli Kestirim
Yukarıda çıkarılan solunum sistemi modelleri (RIC model hariç) durum değişkenleri ve
model parametrelerini birlikte içerir ve her iki değişken vektörününde aynı anda
kestirilmesi gerekmektedir. Bu iki şekilde olabilir: çiftli kestirim ve birleşik kestirim.
Çiftli kestirimde, durum ve parametre değişkenleri farklı model eşitliklerine sahiptirler
ve ayrı ayrı kestirilirler ve biri kestirilirken diğerinin son kestirilen değeri kullanılır. Bu,
iki kestirimcinin bir benzetimde ardaşıl çalışması anlamındadır. Birleşik kestirimde ise
durum ve parametre değişkenleri birleşik bir değişken oluştururlar, w x θTT T
k k k⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .
Bu birleşik değişken vektörünün süreç-gözlem eşitlikleri tektir ve tek bir kestirimci ile
kestirilir. Bu tezde, model eşitliklerine bağlı olarak her iki tip çiftli kestirimci
kullanılmaktadır.
3.3.2. Kalman Filtre
Kalman Filtre, Bayes filtrelemede (3.50) eşitliğinin en kolay ve optimum (en iyi) yoldan
analitik olarak hesaplanmasıdır. Bu hesaplamalarda aşağıdaki kabuller yapılmıştır:
1. Süreç ve ölçüm gürültüleri birbirinden bağımsız eş dağılımlı gürültü dizinidir.
1 2 1 2
2q qk k q k kE σ δ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 1 2 1 2
2r rk k r k kE σ δ⎡ ⎤ =⎣ ⎦
42
2. Süreç ve ölçüm gürültüleri birbirinden bağımsızdır.
1 2 1 20q r ,k kE k k⎡ ⎤ = ∀⎣ ⎦
3. Durum ve parametre değişkenleri süreç ve ölçüm gürültüsünden bağımsızdır.
1 2 1 20x qk kE k k⎡ ⎤ = ∀ ≤⎣ ⎦ , 1 2 1 20x r ,k kE k k⎡ ⎤ = ∀⎣ ⎦
1 2 1 20θ qk kE k k⎡ ⎤ = ∀ ≤⎣ ⎦ , 1 2 1 20θ r ,k kE k k⎡ ⎤ = ∀⎣ ⎦
4. (3.29) ve (3.30) de genel halde yazılan model eşitlikleri doğrusaldır ve durum ve
parametre değişkenleri için aşağıdaki formdadır:
1 1 1 1 1x x x
k k k k k k− − − − −= + +x F x G u q (3.52)
x x x xk k k k k k= + +z H x G u r (3.53)
1 1 1k k k kθ θ− − −= +θ F θ q (3.54)
k k k k k kθ θ θ θ= + +z H θ G u r (3.55)
Burada, üst indisler bağlı oldukları durum veya ölçüm değişkenlerini
göstermektedir. Ayrıca, parametrelerin zaman ile değişmediği düşünülürse, (3.54)
parametre katsayı matrisinin herzaman 1 1kθ− =F olduğu kabul edilir.
5. Süreç ve ölçüm gürültüleri Gauss dağılımına sahiptir.
( )q μ ,Qk q∼N , ( )r μ ,Rk r∼N
6. Süreç ve ölçüm gürültüleri tüm frekans spekturumuna yayılmış beyaz
gürültülerdir.
7. Durum ve parametre değişkenleri sonlu boyutludur.
Bu kabullerin sağlanmadığı durumlarda sonsal dağılımın kestirilmesi ile ilgili
yaklaşımlar kullanılmaktadır. Bu yaklaşımlar parçacık filtre (Particle Filters – PF) adını
alır ve bu tezde yer almayacaktır.
43
Bu durumda, yukarıdaki kabuller ışığında ve (3.50) ve (3.51) eşitliklerini kullanarak
Kalman filtre yinelemeli eşitliklerinin çıkarımı bir çok yoldan yapılabilir. Bu çıkarımlar,
Kay, 1993 ve Chen, 2003 de detaylı verilmiştir ve bu nedenle burada yer almayacaktır.
Kalman filtre yinelemeli eşitlikleri 0 1,k N= − için:
1. Adım: Zaman güncellemesi,
( )
1 1 11 1 1
1 1 1 1 1
x xk k kk k k k
Tx xk k k k k k
− − −− − −
− − − − −
= +
= +
ˆ ˆx F x G u
P F P F Q (3.56)
2. Adım: Ölçüm güncellemesi,
( ) ( )( )( )
( )
1
1 1
1 1
1
T Tx x xk k k k k k k k
x x xk k k k k k k k k k k
xk k k k k k
−
− −
− −
−
= +
= + − −
= −
K P H H P H R
ˆ ˆ ˆx x K z H x G u
P I K H P
(3.57)
(3.56) ve (3.57) de durum değişkenleri yerine parametre vektörü ve birleşik değişken
vektörü kullanılarak sırasıyla, θk k ve wk k vektörleri kestirilir.
3.3.3. Genişletilmiş Kalman Filtre
Kalman filtre yönteminin uyarlanmasında kabul edilen doğrusal model şartının (4. şart)
ortadan kaldırılmasıyla genişletilmiş Kalman filtre (Extended Kalman Filter – EKF)
ortaya çıkmıştır. EKF, KF de kabul edilen diğer şartların hepsini içerir. Bu durumda
Kalman filtrenin yinelemeli eşitlikleri yardımıyla EKF 0 1,k N= − için:
1. Adım: Zaman güncellemesi,
( )
( )11 1 1 1 1
1 1 1 1 1
k kk k k k k k
Tx xk k k k k k
−− − − − −
− − − − −
=
= +
ˆˆ ˆx f x ,θ ,u
P F P F Q (3.58)
44
2. Adım: Ölçüm güncellemesi,
( ) ( )( )( )( )
( )
1
1 1
1 1 1 1
1
T Tx x xk k k k k k k k
xk k k k k k k k k kk k
xk k k k k k
−
− −
− − − −
−
= +
= + −
= −
K P H H P H R
ˆˆ ˆ ˆx x K z h x ,θ ,u
P I K H P
(3.59)
yardımıyla ˆ k kx kestirilebilir. Aynı eşitliklerin θk k veya wk k değişkenlerine
uygulanması mümkündür. Burada
( )
( )1 1
1
k k k
k k k
k k kk kxk
k
k k kk kxk
k
d
d
d
d
− −
−
=
=
=
=
x x
x x
ˆf x ,θ ,uF
xˆˆh x ,θ ,u
Hx
(3.60)
olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, kF ve kH gradyant matrisleri doğrusal olmayan
( )k •f ve ( )k •h fonksiyonlarının en son kestirilen değerde birinci dereceden
yaklaşımlarıdır. Bu aynı zamanda (3.50) da yer alan sonsal dağılımın doğrusal olmayan
bir modelde istatistiksel ortalama ve değişintisinin yinelemeli olarak kestirilmesidir.
(3.60) deki doğrusallaştırma genel anlamda kaba olmasına rağmen Gauss dağılımlı
model değişkenlerinin kabulü EKF nin bir çok doğrusal olmayan modelde başarılı
sonuçlar vermesini sağlamıştır. EKF nin detaylı incelenmesi Grewal ve Andrews (2003)
çalışmalarında yer almaktadır.
3.3.4. Unscented Kalman Filtre
EKF yönteminin üç büyük hatası bulunmaktadır (Wan ve Merwe, 2001):
1. (3.59)in hesaplamasında birinci derece Taylor açılımı gerçek istatistiksel
ortalama ve değişintide büyük hataya yol açar,
2. EKF 1 1k k− −x ve 1k k −x nın birer rastgele sinyal olduğunu göz ardı eder ve
performansını kendi kestirimleri üzerine kurar,
45
3. Lokal doğrusallık yüksek dereceli istatistiklerin önemli olduğu dağılımlarda
geçerli değildir.
Kalman filtre yönteminin birinci derece doğrusallaştırma ile doğrusal olmayan
modellere uygulanmasının hataları bir çok yerde açıklanmıştır. (3.50) eşitliğinin
çözümü için sayısal yaklaşımlar, sonsal dağılımın hesaplanmasında en favori
yöntemlerdir. Bu yaklaşımlar Bergman (1999) ve Chen (2003) kaynaklarında detaylı
olarak incelenmiştir. Belirlenimci örnekleme yaklaşımı bunların arasında yer alır ve
unscented dönüştürücü (Unscented Transformation – UT) tabanlı bir yöntemdir.
Unscented dönüştürücü genel anlamda, doğrusal olmayan bir dönüşüm ile ortaya çıkmış
bir rastgele işaretin olasılık dağılım fonksiyonunun global yaklaşımlar ile bulunma
yöntemidir. Kalman filtrelemede istatistiksel ortalama ile değişintinin doğrusal olmayan
modelde zaman içersinde unscented dönüştürücü yardımıyla üretilmesi unscented
Kalman filtreyi (Unscented Kalman Filter – UKF) meydana getirir (Julier ve Uhlmann,
1997). Genel olarak UKF de, xn boyutlu xk vektörü için 2 1xn + adet sigma noktaları
belirlenimci şekilde seçilir ve bu noktalar zaman içinde üretilip ilerlerler. UKF nin
Kalman filtre tabanlı uyarlaması aşağıdaki şekilde özetlenebilir:
1. Adım: Başlangıç değerlerinin atanması ve ağırlıkların hesaplanması
xn boyutlu ( ){ }0 0 1x
xnj
jx
== vektörü ( )0 0Pr x , P önsel dağılımından seçilir ve 2 1xn +
boyutlu ağırlık vektörü aşağıdaki şekilde hesaplanır.
( )( ) ( )
( )
( )
( ) 2
( ) ( )
0
1 0
1 2 1, 2
jm x
jc x
j jm c x x
w n j
w n j
w w n j n
λ λ
λ λ α β
λ
= + =
= + + − + =
= = + = …
burada ( )2x xn nλ α κ= + − ölçekleme faktörüdür ve seçilen sigma noktalarının
ortalamadan, xk uzaklaşma oranını belirler. α , β ve κ ölçekleme ve 0x ın önsel
dağılımı ile ilgili parametrelerdir (Chow ve diğ., 2007).
1,k = ∞ için
2. Adım: Sigma noktalarının hesaplanması 1
46
( )( )( )( )
( )1 1 1 1
( )1 1 1 1 1 1
( )
( )1 1 1 1 1 1
( )
ˆ 0
ˆ 1,
ˆ 1, 2
x
x P
x P
jk k k k
jx xk k k k k k
j
jx x xk k k k k k
j
j
n j n
n j n n
λ
λ
− − − −
− − − − − −
− − − − − −
ℵ = =
ℵ = + + =
ℵ = − + = +
…
…
burada ( )( )1 1( )
Px k kj
n λ − −+ matrisin j . sütununu göstermektedir.
3. Adım: Öngörü
( )
( )( )
( ) ( )1 11 1 1 1
2( ) ( )
1 10
2( ) ( ) ( )
1 1 1 1 10
ˆ, , 0, 2
ˆ
ˆ ˆ
f θ u
x
P x x Q
x
x
j jk k k k xk k k k
nj j
k k m k kj
n Tj j jk k c k k k k k k k k
j
j n
w
w
− −− − − −
− −=
− − − − −=
ℵ = ℵ =
= ℵ
= ℵ − ℵ − +
∑
∑
…
4. Adım: Sigma noktalarının hesaplanması 2:
( )( )( )( )
( )1 1
( )1 1 1
( )
( )1 1 1
( )
ˆ 0
ˆ 1,
ˆ 1, 2
x
x P
x P
jk k k k
jx xk k k k k k
j
jx x xk k k k k k
j
j
n j n
n j n n
λ
λ
∗− −
∗− − −
∗− − −
ℵ = =
ℵ = + + =
ℵ = − + = +
…
…
5. Adım: Filtreleme
( )( ) ( )*1 1 11 1
ˆ, ,h θ uj jk k k k k kk kZ − − −− −= ℵ
2( ) ( )
1 10
zxn
j jk k m k k
j
w Z− −=
= ∑
( )( )
( )( )
2( ) ( ) ( )
1 1 1 10
2( ) ( )* ( )
1 1 1 10
P z z R
P x z
x
x
n Tj j jzz c k k k k k k k k
j
n Tj j jxz c k k k k k k k k
j
w Z Z
w Z
− − − −=
− − − −=
= − − +
= ℵ − −
∑
∑
( )1
1 1
1
ˆ ˆ
K P P
x x K z z
P P K P K
k xz zz
k k k k k kk k
Tk k k zz kk k
−
− −
−
=
= + −
= −
47
Yukarıda verilen UKF eşitlikleri durum değişkenlerinin kestirimi için verilmiştir. Aynı
eşitliklerin θk k veya wk k değişkenlerine uygulanması mümkündür.
3.3.5. Kısıtlamalı Kestirim
Kısıtlamalar genelde model parametresi üzerine uygulanan ve modelin fiziksel
sınırlarından kaynaklanan önemli bilgilerdir. Kalman filtre teoreminde, kestirimlerin
sınır değerlerine yansıtılmasıyla uygulanabilirler. Bu tip kısıtlamalar parametreler
üzerinde olur ve kutu kısıtlamaları adını alır: L Hθ θ θ≤ ≤ . Kısıtlamalı kestiriminin diğer
uygulamaları Moradkhani ve diğ. (2005) de açıklanmıştır.
Solunum sistemi modellerinde model parametrelerinin pozitif reel sayılar olduğu
düşünüldüğünden kutu kısıtlamaları uygulanabilir: 0 θ≤ ≤ ∞ . Yukarıda verilen KF,
EKF, UKF yöntemlerine kısıtlamalı kestirim için, zaman güncellemesi adımından sonra
ekleme yapılmalıdır. Böylece KF ve EKF için yeni ara parametre vektörü:
( )1 1ˆ ˆC
k k k kP− −=θ θ (3.61)
ve UKF için yeni ara sigma noktaları:
( )( ), ( )1 1
j C jk k k kP− −ℵ = ℵ (3.62)
olarak hesaplanır. Burada ( )0 0
Pdiğerθ
θθ
<⎧= ⎨⎩
olarak tanımlanır.
3.3.6. Ölçüm İnovasyonarının Kestirimi
Ölçüm inovasyonları (diğer adıyla ölçüm residüelleri) bir kestirimde toplam hatayı
göstermektedir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır:
( )
( ) ( )ˆˆ
ˆk k k k k
k k k
h
h h
= − = −
= − +
υ z z z θ
θ θ r (3.63)
48
burada θ kestirilmiş model parametre değerlerini göstermektedir. Eşitlik (3.63) den
anlaşılacağı gibi ölçüm residüelleri iki kısımdan oluşmaktadır: kestirim hatası,
( ) ( )ˆk k kh hη = −θ θ , ve ölçüm gürültüsü, kr . Ölçüm inovasyonlarının kestirilmesi ortak
dağılım fonksiyonu olan:
( )( )
2
2 1
1Pr ; , exp,
Np
k kpk
p cA p
υ
υυ υ
υ υ
σσ =
⎧ ⎫⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑υ υ (3.64)
( )2Pr ; ,k pυ υσυ nın kestirilmesi anlamındadır ve bu da iki bileşeninde bulunmasını
gerektirir. Ölçüm inovasyonlarının olasılık dağılım fonksiyonu, kestirim hatası ve
ölçüm gürültüsü olasılık dağılım fonksiyonlarının konvolüsyonu olarak ifade edilebilir:
( ) ( ) ( )2 2 2Pr ; , Pr ; , Pr ; ,k k k r rp p pυ υ η ησ σ σ= ∗υ η r (3.65)
Ölçüm gürültüsü kr nın değişintisi, 2rσ ve biçim faktörü, rp nin kestirimleri yukarıda
açıklanmış ve ortalama değeri [ ] 0kE =r olarak kabul edilmiştir. Kestirim hatası, kη
Gauss dağılımına sahip olduğu varsayarsak 2pη = ve [ ] 0kE =η olduğu bilinmektedir
ve değişintisi Kalman filtre inovasyon değişintisi yardımıyla:
2ˆ Tk kk kησ = H P H (3.66)
şeklinde bulunur. Burada, k kP ortak değişinti matrisi bilgi filtresi (Information Filter –
IF) yardımıyla hesaplanabilir (Grewal ve Andrews, 2003).
Bilgi Filtresi
Kalman filtresinin eşleneği olarakta tanımlanan bilgi filtresi, ortak değişinti matrisi
yerine Fisher bilgi matrisini (Fisher Information matrix – FIM) ve bilgi durum
değişkeni yerinede skor fonksiyonunu kullanır. Bilgi filtresi, avantajları arasında
hesaplama kolaylığı sağlaması ve gözlem vektörünün yüksek boyutlu olduğu
durumlarda hesaplama hızının artması sayılabilir. Bilgi filtresi eşitlikleri iki değişik
49
formda yazılabilir. Burada, tekil durum durum değişkeni hata değişinti matrisi ( 0k =Q )
durumunu ele almak için Grewal ve Andrews, (2003) da yer alan formda ele alınacaktır.
Bilgi durum değişkeni, 1ˆ ˆk k k k k k−=s P x ve bilgi matrisi, 1
k k k k−=J P olarak tanımlanırsa:
1. Adım: Zaman güncellemesi,
( )
1 1 1 1 1
11 1 1 1 11
1 11 1 1
ˆ ˆk k k k k k
kk k k k k kT
k kk k k k
θ
θ θ
− − − − −
−− − − − −−
− −− − −
==
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦
s L sL J F J
J F J F Q
(3.67)
2. Adım: Ölçüm güncellemesi,
( )( )
1
11
1
ˆ ˆ kk k k k
kk k k kT
k k kT
k k k
θ
θ θ
−
−
−
−
= += +
=
=
s s iJ J I
i H R zI H R H
(3.68)
olarak bilgi filtresi tanımlanabilir. Burada, doğrusal olmayan modeller için
( )( )i
kk
hθ=
∂=
∂ θ θ
θH
θ matrisi olarak birinci dereceden yaklaşım yapılır.
Tüm bileşenleri bulunan ( )2Pr ; ,k pυ υσυ dağılımının hesaplanmasında:
2 2 2rυ ησ σ σ= + (3.69)
4 4 4 2 26k k k rE E E ησ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦υ η r (3.70)
sırasıyla değişinti ve 4. moment eşitliklerinden yararlanılır.
50
4. BULGULAR
Tezin bu bölümünde önceki bölümde önerilen solunum sistemi modellerinin çeşitli
kestirim yöntemleri kullanılarak belirlenmesinde elde edilen sonuçlar sunulacaktır. Bu
bölüm beş temel başlık altında toplanmıştır. Bunlar sırasıyla şöyledir: i) Solunum
modellerinde klasik kestirim, ii) Solunum sisteminin Bayesçi yaklaşım ile ters
modellenmesi, iii) Kalman filtre için sonsal Cramer Rao altsınır (Posterior Cramer Rao
Lower Bound – PCRLB) hesaplaması, iv) Solunum modellerinde genelleştirilmiş Gauss
dağılımı hata modeli, ve v) Gerçek sinyallerden elde edilen sonuçlar. İlk iki ana başlıkta,
Malzemeler ve Yöntemler bölümünde genel anlamda açıklanan kestirim yöntemleri
yine aynı bölümde çıkarılan solunum sistemi modellerinin süreç-gözlem eşitliklerine
uygulanması anlatılacaktır ve gerekli eşitlikler çıkarılacaktır. Ayrıca yapay solunum
sinyalleri kullanılarak yapılan kestirimler ve kestirimci hataları yine bü bölümde ele
alınacaktır. Üçüncü ana başlıkta EKF ve UKF kestirimcilerinin solunum modellerindeki
başarımlarını karşılaştırmalı göstermek için hata ortak değişinti matrisinin alt sınırını
ifade eden PCRLB hesaplanmıştır. PCRLB, durum değişkenleri ve model parametreleri
ortak çıkarılmış ve blok matris algebrasından yararlanılmıştır. Dördüncü ana başlıkta,
solunum modellerinin gerçek solunum sinyallerinde kullanılmasında yapılan kestirimci
inovasyonlarının ve ölçüm gürültü dağılımlarının kestirilmesini içermektedir Son ana
başlık ise KOAH hastalarının ve sağlık kişilerin solunum sistemi model
parametrelerinin ve durum değişkenlerinin kestirim sonuçları yer almaktadır.
4.1. SOLUNUM MODELLERİNDE KLASİK KESTİRİM
Solunum sisteminin modellenmesinde iki temel yolun olduğunu ve bu yolların
tanımlarıyla ve genel hatlarıyla uygulamadaki algoritmaları Malzemeler ve Yöntemler
bölümünde açıklanmıştı. Bu bölümde, modeller ile sinyaller yöntemler yardımıyla
birleştirilecek ve hangi modelin hangi sinyal ile hangi yöntem yardımıyla
kestirilebileceği sorusu cevaplandırılacaktır. Klasik kestirimden başlanacak olunursa,
enküçük değişinti yansız kestirimci ve enbüyük olabilirlik kestirimci burada solunum
51
modellerine uygulanacak ve ilk olarak yapay solunum sinyallerinden elde edilen
sonuçlar verilecektir.
4.1.1. Yapay Solunum Sinyallerinin Üretilmesi
Solunum sisteminin modellenmesinde önerilen istatistiksel analiz yöntemlerinin model
üzerinde test edilmesi için yapay solunum sinyalleri üretilmiş ve model parametreleri,
hata dağılım fonksiyonu parametreleri ve istatistiksel analiz kestirim performans
ölçümü için kullanılmıştır. Yapay solunum sinyalleri, Malzemeler ve Yöntemler
bölümünde çıkarılan solunum sistemi modelleri eşitlikleri, invasiv olmayan ventilasyon
modeli, (3.3) ve solunum kasları modeli (3.5) yardımıyla üretilmiştir. Yapay solunum
sinyalinde havayolu gaz akış hızı:
( ) ( ) 10.6sin 2 0.33V t t l sπ −= ⋅ (4.1)
olarak modellenmiştir. Durum değişkenleri ve maske içi basıncı ( )awP t , (4.1) ve Tablo
4.1 de verilen model parametre değerleri kullanılarak hesaplanmıştır.
Tablo 4.1. Benzetimlerde kabul edilen parametre değerleri. 1 KD. Kestirilen Değer, 2 AD. Ayarlanan Değer (invasiv olmayan ventilatörden), 3 OD. Okunan Değer (Hasta ve Kontrol
grubu solunum sinyallerinden çıkarılmıştır).
Model Parametre Yapay solunum benzetimi Hasta grubu
benzetimi
Kontrol grubu
benzetimi
R 122.75 cmH O s l−⋅ ⋅ KD1 KD
L 2 120.63 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
Doğrusal RIC
Solunum Sistemi
Modeli 1C E−= 20.0116 l cmH O KD KD
awR 122.49 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
1s sC E−= 22.69 l cmH O KD KD
veR 124.59 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
Viskoelasitk
Solunum Sistemi
Modeli
veC 21.3 l cmH O KD KD
52
cR 121.96 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
L 2 120.10 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
lC 20.04 l cmH O KD KD
bC 20.006 l cmH O KD KD
pR 124.70 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
wC 20.75 l cmH O KD KD
Mead Solunum
Sistemi Modeli
eC 20.45 l cmH O KD KD
uA 123.1 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
uK 2 220.32 cmH O s l−⋅ ⋅ KD KD
lA 20.1 cmH O KD KD
lK 1.0 KD KD
Doğrusal
olmayan RC
Solunum Sistemi
Modeli
lB 20 cmH O KD KD
PEEP 24 cmH O AD2 -
psP 26 cmH O AD -
viτ 0.006 s 0.006 s -
İnvasiv olmayan
Ventilasyon
Modeli
veτ 0.006 s 0.006 s -
maxmusP 21 cmH O KD KD Solunum Kasları
Modeli mτ 0.06 s 0.06 s 0.06 s
N 300 OD3 OD
IN 3N OD OD
trigk 10N OD -
sf 100 Hz 100 Hz 100 Hz
Ortak
Parametreler
2rσ ( )2
20 02 0. cmH - -
4.1.2. Enküçük Değişinti Yansız Kestirimci
Şekil 3.1 ve Şekil 3.2 de yer alan ve ölçüm eşitlikleri (3.8) de verilen doğrusal RIC ve
(3.11), (3.13) ve (3.14) de verilen Viskoelastik solunum sistemi modelleri MVUE
yöntemi ile model parametresi kestirmeye bir çok açıdan uygundur. İlk olarak, bu
53
modeller doğrusal modellerdir yani gözlemler model parametrelerinin doğrusal bir
fonksiyonu olarak değişir. İkinci olarak, model eşitlikleri sadece gözlem eşitliği
şeklinde yazılabilmiştir ve durum değişkenleri ya ölçülen büyüklüklerdir veya
yinelemeli yöntemler ile hesaplanmışlardır. Bu durumda, RIC ve Viskoelastik
modellerin gözlem eşitlikleri (3.33) formunda yazılırsa parametre katsayı matrisi RIC
ve Viskoelastik model için sırasıyla:
( )
( )
2
1 00 0
2
2 11 1
2
1
01 00 0
12 11 1
1
01 1
11 1 0
1 1H
s m
s m
s I
Is I
k kk k
s I
t
s
t
s
k kk k
s
V VV Vt N
V VV V k Nt N
V V kV Vt N
V VV V et
V VV V et
V VV V et
τ
τ
+
− Δ
− Δ
−+
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥− + −⎜ ⎟Δ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥
⎛ ⎞−⎢ ⎥− + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ≤ <Δ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞−
− + −⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠⎣ ⎦=−
−Δ
−−
Δ
−−
Δ( )
1
s m
I
k t
N k N
τΔ
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ≤ ≤ −⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ (4.2)
( )
( )
( )
2
0 0 0
2
1 1 1
2
00 0 0
11 1 1
01 1
11 1 0
1 1
1
H
s m
s m
s m
s ve
I
s ve
II
s vek k k
I
ts ve
ts ve
I
k ts vek k k
V V VN
V V V k NN
kV V VN
V V V e
V V V e N k N
V V V e
τ
τ
τ
− Δ
− Δ
− Δ
⎧⎡ ⎤⎛ ⎞⎪⎢ ⎥− + −⎜ ⎟⎪⎢ ⎥⎝ ⎠⎪⎢ ⎥
⎛ ⎞⎪⎢ ⎥− + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ≤ <⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎨− + −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤−⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ≤ ≤ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(4.3)
54
olarak bulunur. Her iki model için, gözlem ve sistem kontol giriş matrisi sırasıyla:
0 1 1ZTaw aw aw
NP P P −⎡ ⎤= ⎣ ⎦… (4.4)
0 1 1UTven ven ven
NP P P −⎡ ⎤= ⎣ ⎦… (4.5)
şeklindedir. Son olarak, parametre matrisi RIC ve Viskoelastik model için sırasıyla:
maxθT
musR E L P⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (4.6)
maxθT
aw s ve musR E E P⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (4.7)
olarak tanımlanır. (4.2) – (4.5) eşitlikleri (3.33) bağıntısında yerine konulmuş ve (4.5)
ve (4.6) da yer alan parametreler kestirilmiştir. Yapay solunum sinyalleri yukarıda
anlatılan şekilde üretilmiş ve Tablo 4.1 de verilen değerler kullanılmıştır. Viskoelastik
modelde ayrıca (3.11) ve (3.13) eşitliklerinden yararlanılmış ve 1 0.167tis ve veR Cτ = =
olarak kabul edilmiştir.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerler. MVUE yönteminin benzetimlerdeki
algoritması Ekde Tablo A.1 de verilmiştir. Yinelemeli bir yöntem olmadığından
başlangıç değerine ihtiyaç duyulmamıştır. Benzetim parametresi sadece ölçüm
gürültüsünün ortak değişinti matrisidir ve bu da 0 2. N NR I ×= olarak kabul edilmiştir.
İlk olarak, MVUE için (3.34) eşitliğini yazarken yapılan gözlem sinyalinin Gauss
dağılımına sahip olduğu kabulünü irdelemek gerekir. Bu kabul, gerçek sinyallerin
sonsuz uzunlukta olması anlamındadır ve bu nedenle mümkün değildir. MVUE nin
başarısının sinyal uzunluğuna ( N ) bağlılığını incelemek için N ile aritmetik ortalama
karesel hata ( mse ) nın değişimi incelenmiştir. aritmetik ortalama karesel hata yapay
55
solunum sinyallerinden model parametrelerinin kestirilmesi ile aşağıdaki şekilde
hesaplanır:
( )2
( )1
1ˆ ˆ( )MC
ii
mseMC =
= −∑θ θ θ (4.8)
burada MC Monte Carlo yinelemeleri sayısını vermektedir. Bu tezin tamamında
100MC = kullanılmıştır. RIC model için, ( )ˆmse θ ve N arasındaki değişim Şekil 4.1
de görülmektedir. Şekilden de görüldüğü gibi 200 400N≤ ≤ arasında en küçük
değerine ulaşmaktadır. Bu nedenle, bir solunum süresi göz önünde bulundurulacak
olunursa, kullanılan 100sf Hz= kullanılan kestirim yöntemleri için optimum
örnekleme frekansıdır ve sadece RIC modelinde değil diğer modellerde de bu
örnekleme frekansı kullanılmıştır.
0 200 400 6000
0.1
0.2
0.3
0.4
mse
(R)
Sinyal uzunlugu (N)0 200 400 600
0
0.05
0.1
0.15
0.2
mse
(L)
Sinyal uzunlugu (N)
0 200 400 6000
0.2
0.4
0.6
0.8
mse
(C)
Sinyal uzunlugu (N)0 200 400 600
0
0.1
0.2
0.3
0.4
mse
(Pm
usm
ax)
Sinyal uzunlugu (N)
Şekil 4.1. RIC solunum sistemi modelinde yapay solunum sinyallerinden model parametrelerinin MVUE yöntemiyle kestirilmesinde ( )ˆmse θ ’nin gözlem sinyal uzunluğu N
ile değişimi.
56
Model eşitlikleri ve kestirim benzetimlerinde kolaylık sağlamak amacıyla kullanılan ve
C nin ters değeri olan 1E C−= rastgele değişkeninden tekrar C parametresine dönmek
için Teorem 4.1 kullanılmıştır.
Teorem 4.1 x rastgele değişkeninin bir fonksiyonu olan y rastgele değişkeni,
( )y g x= aşağıdaki ortalama değer ve değişintiye sahiptir:
( ) ( ) ( )2
2E g x g g ηση η+⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) 22 2y g ησ η σ
Burada ( )Pr x in ( ),η ε η ε− + aralığı dışında ihmal edilebilir kabulü yapılmıştır. Bu
teoremin ispatı Papoulis (1991) de yer almaktadır.
RIC ve Viskoelastik solunum sistemi modelleri için yapay solunum sinyalleri
kullanılarak kestirilen model parametreleri ve kestirim değişintiları Tablo 4.2 de
verilmiştir. MVUE yöntemi yinelemeli bir yöntem olmadığı için benzetimlerde her
parametre için tek bir kestirim değeri ve kestirim değişintisi elde edilir. MVUE
yöntemi, yapay solunum sinyallerinde Tablo 4.2 ve Şekil 3.1 den görüleceği gibi RIC
model için çok başarılı sonuçlar vermiştir. Kestirilen parametre değerleri
benzetimlerdeki değerler ile örtüşmüş ve kestirim değişintileri en küçük değerlerini
almışlardır. Viskoelastik model için veC parametresi dışında aynı sonuçları çıkarabiliriz.
veR parametresi ile ayarladığımız doku zaman sabiti bu parametrenin yapay solunum
için kestirilmesini engellemiştir. veC parametresi kestiriminde ki yüksek değişintinin,
vekV nin yinelemeli olarak bulunmasından kaynaklandığı açıktır. MVUE yönteminin
KOAH hastaları ve sağlıklı kişilerden alınan sinyallerdeki sonuçları bu bölümün son
ana başlığında yer alacaktır.
57
Tablo 4.2. RIC ve Viskoelastik modellerde yapay solunum sinyalleri ile MVUE kullanarak model parametresi kestirim sonuçları.
Model Parametre Yapay solunum
benzetimindeki değeri
MVUE ile
kestirilen
değeri
MVUE ile
kestirim
değişintisi
R 122.75 cmH O s l−⋅ ⋅ 2.7468 0.0049
L 2 120.63 cmH O s l−⋅ ⋅ 0.6409 0.0011
1C E−= 120.0116 cmH O l−⋅ 0.0117 61.1817 10−⋅
Doğrusal RIC
Solunum Sistemi
Modeli
maxmusP 21 cmH O 0.9980 0.0070
awR 122.49 cmH O s l−⋅ ⋅ 2.4948 0.0643
1s sC E−= 1
22.69 cmH O l−⋅ 2.7117 0.1913
veR 124.59 cmH O s l−⋅ ⋅ - -
1ve veC E−= 1
21.3 cmH O l−⋅ 2.5593 10.4163
Viskoelasitk
Solunum Sistemi
Modeli
maxmusP 21 cmH O 1.0016 0.0157
4.1.3. Enbüyük Olabilirlik Kestirimci
Şekil 3.1 ve Şekil 3.4 de yer alan ve ölçüm eşitlikleri (3.8) de verilen doğrusal RIC ve
(3.25) de verilen doğrusal olmayan RC solunum sistemi modellerinin MLE yöntemi ile
model parametreleri kestirilmiştir. Bu durumda, (3.36) da yer alan gözlem parametre
ortak olasılık dağılımının logaritmik olabilirlik fonksiyonu:
( )( ) ( )( )
( )1
0 10
1:log θ z log z θ
,r
r
N p
N k kpkr r
L c hA p σ
−
−=
= − −∑ (4.9)
şeklinde gösterilir. (3.40) da yer alan gradiyent vektörü:
( )( )
( ) ( ) ( )1
0
1 1r
r
N p kr k k pp
k mr r
hp h m n
A pη
σ
−
=
∂= − =
∂∑θ
g θ θ z θ , ,θ,
… (4.10)
burada ( ) ( )( ){ 1 0
1 0k k
k k
eğer heğer hη − − <= − ≥
z θθ z θ dır ve (3.41) de yer alan Hessian matrisi:
58
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 2
1 2
2
1
1 2210
1
1
r
rr
p k kr k k
N m mrpp
pk kr rk k
m m
h hp h
p m m nhA p
hσ
η
−
−
−=
⎧ ⎫∂ ∂− − −⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪= =⎨ ⎬
∂⎪ ⎪+ −⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
∑
θ θz θ
θ θH θ , , ,
θ,θ z θ
θ θ
…
(4.11)
olarak elde edilir. Burada ( )z θk kh− hata terimidir ve toplamın içindeki ikinci terim
birinci terimin yanında çok küçük kalacağı için ihmal edilebilir. Bu durumda Hessian
matrisi:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1 2
1 2
1 20
11r
r
N pr r k kk k pp
k m mr r
p p h hh m m n
A p σ
− −
=
⎧ ⎫− − ∂ ∂⎪ ⎪= − =⎨ ⎬∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
∑θ θ
H θ z θ , , ,θ θ,
… (4.12)
şeklini alır.
Gradyant vektörü (4.10) ve Hessian matrisi (4.12), (3.39) deki yinemeli Newton-
Raphson yöntemine uygulanıp model parametreleri kestirilmiştir. Yapay solunum
sinyalleri yukarıda anlatılan şekilde üretilmiş ve Tablo 4.1 de verilen değerler
kullanılmıştır. Kestirilen θ ile (3.46) ve arama tablosu yardımıyla biçim faktörü rp
kestirilmiştir. Arama tablosou 0.001 hassasiyeti ile oluşturulmuştur ve eğri
aradeğerleme ile aradeğerler belirlenmiştir. Ayrıca benzetimlerde, kr nın ergodik süreç
olduğu ve kurtosis oranınında zaman ortalaması esası ile hesaplandığı belirtilmelidir.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerler. MLE yönteminin benzetimlerdeki
algoritması Ekde Tablo A.2 de verilmiştir. Başlangıç parametre vektörü ve ölçüm
gürültüsü biçim faktörü:
( ) ( )0 0 1i= =θ ,N
( )0,2rp =N
olarak kabul edilmiştir. Benzetim parametresi bulunmamaktadır.
59
MLE yönteminde, parametrelerin kestirim başarısı, ölçüm gürültüsünün değişintiına, 2rσ bağlıdır. Bu bölümde yapay solunum sinyalleri kullanılarak MLE yönteminde
sinyal-gürültü oranı (Signal-to-Noise Ratio – SNR) ile aritmetik ortalama karesel hata,
( )θmse arasındaki ilişki gösterilmiştir.
Yapay solunum sinyalinin kullanıldığı benzetimlerde GGD ile gürültü modellemek için
üç farklı tip gürültü kullanılmıştır: birörnek dağılımlı gürültü (Uniform Distribution –
UD), Gauss dağılımlı gürültü (Gaussian Distribution – GD), ve Laplace dağılımlı
gürültü (Laplacian Distribution – LD). Tüm bu gürültü çeşitleri beyaz olarak kabul
edilmiş ve birbirinden bağımsız eş dağılımlı gürültü dizini olarak eklenmiştir. LD
gürültü dizini aşağıdaki şekilde elde edilmiştir:
( ) ( )2 2 sgn log 1 2k rσ= − −r UD UD (4.13)
Burada UD 1 2− ile 1 2 arasında UD gürültü dizinidir. Son olarak, Tablo 4.1 deki
model parametre değerleri kullanılmış ve 30 60dB SNR dB≤ ≤ arasında
değiştirilmiştir.
Şekil 4.2 da MLE yöntemi ile, RIC model parametre kestirim, ( )ˆmse θ hatalarının SNR
ile değişimi görülebilir. Şekillerden de görüleceği gibi tüm parametreler için, ( )ˆmse θ ,
SNR ’ın artması ile birlikte azalmıştır. İlk olarak, gözlem sinyalini havayolu gaz akış
hızı ile doğrusal olarak değiştiren R , uA ve maxmusP gibi parametreler diğerlerinden
daha düşük mse değerleri aldığı gözlenebilir. Bu beklenen bir sonuçtur zira, birbirleri
ile doğrusal olmayacak şekilde bağımlı parametreler ( lA , lK ve lB ) birbirlerini her
yinelemede etileyip kestirim performansını düşürmüşlerdir. Bu ayrıca, gardyant vektörü
(4.10) ve Hessian martiksinin (4.12) bu parametrelere bağımlı olmasıyla da
açıklanabilir.
60
30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
mse
(R)
SNR30 40 50 600
20
40
60
mse
(L)
SNR
30 40 50 600
0.5
1
1.5
2
2.5
mse
(C)
SNR30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
mse
(Pm
usm
ax)
SNR
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(a)
30 40 50 600
1
2
mse
(Au)
SNR30 40 50 600
5
10
mse
(Ku)
SNR
30 40 50 600
5
10
mse
(Al)
SNR30 40 50 600
50
100
mse
(Kl)
SNR
30 40 50 600
5
mse
(Bl)
SNR30 40 50 600
5
mse
(Pm
usm
ax)
SNR
Laplace D. GürültüGauss D. GürültüBirörnek D. Gürültü
(b)
Şekil 4.2. a) RIC, ve b) doğrusal olmayan RC solunum sistemi modellerinde yapay solunum sinyallerinden model parametrelerin MLE yöntemiyle kestirilmesinde ( )ˆmse θ ’nin sinyal-
gürültü oranı SNR ile değişimi. Üç farklı gürültü modeli kullanılmıştır.
61
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012
5
10
15
20
25
30
kest
irile
n p r
Yineleme Sayisi, i
pr = 29 Birörnek D. Gürültü eklenmis
pr = 0.74 Laplace D. Gürültü eklenmis
pr = 1.84 Gauss D. Gürültü eklenmis
Şekil 4.3. Kurtosis oranı yöntemiyle kestirilen biçim faktörü rp değerleri. MLE yöntemiyle RIC modelde 51SNR dB= için bulunmuştur.
MLE de, Kurtosis oranının biçim faktörü rp kestirimindeki performansını ölçmek için,
yapay solunum sinyallerine eklenen üç farklı tip gürültü dağılımına ilişkin rp
kestirilmiştir. Şekil 4.3 den görüleceği gibi, biçim faktörünün kestirim başarısı çok
yüksektir ve yakınsama 2i = de elde edilmiştir. MLE yönteminin KOAH hastaları ve
sağlıklı kişilerden alınan sinyallerdeki sonuçları bu bölümün son ana başlığında yer
alacaktır.
4.2. SOLUNUM SİSTEMİNİN BAYES YAKLAŞIMI İLE TERS
MODELLENMESİ
Solunum sisteminin modellenmesinde ki ikinci ana yol olan Bayesçi yaklaşım bu başlık
altında irdelenecektir.
4.2.1. Kalman Filtre
Şekil 3.2 ve Şekil 3.3 de yer alan ve ölçüm eşitlikleri (3.15), (3.16) ve (3.17) de verilen
Viskoelastik ve (3.18), (3.19) ve (3.20) de verilen Mead solunum sistemi modellerinin
62
model parametreleri çiftli Kalman Filtre yöntemi ile kestirilmiştir. Burada, Kalman
filtrenin çıkarılmasında kabul edilen ve Bölüm 3 de açıklanan şartlar altında modellerin
sözde parametreleri tanımlanmış, (3.56) ve (3.57) eşitlikleri kullanılarak bir solunum
süresi boyunca model parametreleri ve durum değişkenleri kestirilmiştir. Belirtilmelidir
ki, sözde parametreler model eşitliklerini doğrusal forma getirmek için kullanılmıştır.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerler. Kalman filtre yönteminin
benzetimlerdeki algoritması Ekde Tablo A.3 de verilmiştir. Başlangıç değerleri ve
benzetim parametrelerinde kabul edilen değerler Tablo 4.3 de özetlenmiştir.
Tablo 4.3. Yapay solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde Kalman filtre için kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
Parametre Viskoelastik model Mead model
[ ]0 0θ θE= ( )0,1N ( )0,10N
[ ]0 0x xE= [ ]0 [ ]0
( )( )0 0 0 00 0ˆ ˆ T
Eθ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦P θ θ θ θ
35 510 I × 8 810 I ×
Başlangıç
değerler
( )( )0 0 0 00 0 ˆ ˆ Tx E ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦P x x x x 1
2 210 I−× 5 510 I ×
θR 2 211010
I ×− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
3
5 510 I−×
xR 310 10
θQ 5 50I × 5 50I ×
Benzetim
parametreleri
xQ 12 210 I−× 1
2 210 I−×
Viskoelastik model. (3.15)-(3.17) eşitlikleri ile tanımlanan Viskoelastik model için süreç
ve ölçüm gürültüsü eklenerek süreç-gözlem formu elde edilmiştir. Bu durumda (3.52)-
(3.55) deki terimler durum değişkenleri kestirimi için aşağıdaki gibi tanımlanır:
63
[ ][ ]
1 00 1
11
1 1
1
s
ve
Ck
k Ck
xk
s ve ve
sx xk
ve
x xk k s
x awk k
k
x zk aw
x z kk ven
k
PP
t R C
CC
V t
P
R
VP
θ
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− Δ⎣ ⎦⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦=
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
,
,
,
,
x
F
G
u
z
H
G
u
(4.14)
ve sözde parametre kestirimi için:
[ ]( )
( ) ( )
[ ]
1
1
11
1
1
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
ve
s
ve
s ve
s
ve
aw
s
ve vek
ve
mus
k
k s
Ck k s k s
musk k
zk
CkCz
k kC C
k k
CkC
k kaw
k
RC
R CC
P
V t
P t V t
V f
PP
P P
PPP
θ
θ
θ
θ
θ+
+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎡ ⎤Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= − Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦=
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
max
,
,
θ
F
H
G
u
z (4.15)
64
0 100 200 3000
2
4
mse
(Raw
)
Zaman indeksi, k0 100 200 300
0
1
2
mse
(Cs)
Zaman indeksi, k
0 100 200 3000
5
mse
(Rve
)
Zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.5
1
mse
(Cve
)
Zaman indeksi, k
0 100 200 3000
5
10 m
se(P
mus
max
)
Zaman indeksi, k(a)
100 200 3000
0.05
0.1
0.15
0.2
P kCs
Zaman indeksi, k100 200 300
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
P kCve
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.4. Viskoelastik modelde Kalman Filtre ile a)model parametre kestirim hatası, ve b)durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi. Kırmızı noktalı çizgiler olması
gereken durum değişkenlerini gösterir.
Kestirilen sözde parametrelerden tekrar model parametrelerine dönmek için Teorem 4.1
kullanılmıştır. Şekil 4.4 de Kalman filtre ile, bir solunum süresince Viskoelastik model
parametre kestirim, ( )ˆmse θ hatalarının değişimi ve durum değişkenlerinin kestirimi
görülebilir. Şekil 4.4a dan görüleceği gibi, ortalama karesel hata, başta veC olmak üzere
65
model parametreleri için sıfıra düşmemiştir. Fakat zaman ile kestirimin iyileştiği açıkça
görülebilir. Durum değişkenlerinde ise kestirim başarısı Şekil 4.4b de görülebilir.
Kestirilen kx durum değişkenlerinin zaman ile değişimini tamamen takip edebilmiştir.
Mead model. (3.18)-(3.20) eşitlikleri ile tanımlanan Mead solunum modelinin durum
değişkenleri ve model parametreleri çiftli Kalman filtre ile kestirilmiştir. Bu durumda
(3.52) ve (3.55) deki terimler durum değişkenleri kestirimi için aşağıdaki gibi
tanımlanır:
1 00 1 0 0
1 0 0
0 0 1 00 0 0 1
00 00 00 0
0
l
b
w
e
Lkc
kc
k kc
kc
k
c s s s s
s p l s p l
k s b s p b s p b
s w
s e
s
k
s e
kk mus
k
xk
VPPPP
R t L t L t L t Lt R C t R C
t C t R C t R C
t Ct C
t
t C
VP
P
θ
θ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦− Δ −Δ −Δ Δ⎡ ⎤
⎢ ⎥− Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ Δ −Δ⎢ ⎥
Δ⎢ ⎥⎢ ⎥−Δ⎣ ⎦
Δ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎣ ⎦⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
x
F
G
u
z
[ ]0 0 0 0 1
awk
kθ
⎡ ⎤⎣ ⎦=H
(4.16)
ve sözde parametre kestirimi için:
66
[ ]( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
1
11
11
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
b w e
b l
l b
c
c
p l
bk
p b
w
e
mus
xk
c c cL musk s k k k s k
c ck k s
x c cLk k s k k s
Lk s
Lk k s
R LR LR C
CR C
CC
P L
V t P P P t f
P P t
V t P P t
V t
V V t
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎡ ⎤− Δ − − + Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢⎣ ⎦
max
θ
F
H
[ ]
1
1
1
1
1
1
l
b
w
e
l
b
w
e
xk
Lkc
kc
k kc
kc
k
Lkc
kc
k kc
kc
k
VPPPP
VPPPP
θ
+
+
+
+
+
⎥
=
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
G
u
z
(4.17)
Kestirilen sözde parametrelerden tekrar model parametrelerine dönmek için Teorem 4.1
kullanılmıştır. Şekil 4.5 de Kalman filtre ile, bir solunum süresince Mead model
parametre kestirim, ( )ˆmse θ hatalarının değişimi ve durum değişkenlerinin kestirimi
görülebilir. Şekil 4.5a dan görüleceği gibi, ortalama karesel hata, lC , bC ve maxmusP
parametrelerinde çok hızlı, cR , L ve pR parametrelerinde yavaş olarak düşmektedir.
eC ve wC ise yakınsama sağlanamamıştır. Parametrelerin kestirimindeki başarı
düşüşünün sebebi durum değişkenlerinin takibinin zayıf olmasından kaynaklandığı
düşünülmektedir (Şekil 4.5b). Ayrıca, sözde parametrelerden gerçek parametrelere geri
dönmek kabullerden ötürü yakınsama kaybına neden olmuştur.
67
0 100 200 3002
4
6
mse
(Rc)
Zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.5
1
mse
(L)
Zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.5
1m
se(C
l)
Zaman indeksi, k0 100 200 300
0
1
2
mse
(Cb)
Zaman indeksi, k
0 100 200 3000
5
mse
(Rp)
Zaman indeksi, k0 100 200 300
7.2
7.4
7.6
mse
(Cw
)
Zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.2
0.4
mse
(Ce)
Zaman indeksi, k0 100 200 300
0
2
4
mse
(Pm
usm
ax)
Zaman indeksi, k(a)
100 200 300-0.2
0
0.2
VkL
Zaman indeksi, k100 200 300
0
0.5
1
P kCl
Zaman indeksi, k
100 200 3000
0.51
1.5
P kCb
Zaman indeksi, k100 200 300
0
0.5
1
P kCw
Zaman indeksi, k
100 200 3000
0.5
1
P kCe
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.5. Mead modelde Kalman Filtre ile a) model parametre kestirim hatası, ve b) durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi. Kırmızı noktalı çizgiler olması gereken durum
değişkenlerini gösterir
68
4.2.2. Genişletilmiş ve Unscented Kalman Filtreleri
Genişletilmiş Kalman filtre (EKF) ile unscented Kalman filtre (UKF) kuramsal olarak
ve uygulamada farklı yöntemlerdir ve farklı modellerde karşılaştırıldıklarında birbirleri
üzerine üstünlükleri oldukları görülmüştür. Bu nedenle, solunum sistemi modellerine
uygulanmaları birlikte incelenecektir.
Şekil 3.3 de yer alan ve durum-ölçüm eşitlikleri (3.18), (3.19) ve (3.20) de verilen Mead
solunum sistemi modelinin model parametreleri çiftli genişletilmiş Kalman filtre ve
unscented Kalman filtre yöntemi ile kestirilmiştir. Şekil 3.4 de yer alan ve durum-ölçüm
eşitlikleri (3.25) ve (3.26) da verilen doğrusal olmayan RC modelin parametrelerinin
kestirimde ise birleşik genişletilmiş Kalman filtre ve unscented Kalman filtre yöntemi
kullanılmıştır. İlk olarak, EKF ve UKF yöntemlerinin çıkarılmasında kabul edilen
yukarıdaki şartlar altında modellerin durum değişkenleri ve model parametreleri
tanımlanmıştır. (3.58) ve (3.59) eşitlikleri kullanılarak EKF ve Malzemeler ve
Yöntemler bölümünde verilen adımlar yardımıyla UKF yöntemleri ile sırasıyla bir
solunum süresi boyunca model parametreleri ve durum değişkenleri kestirilmiştir.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerler. EKF ve UKF yöntemlerinin
benzetimlerdeki algoritmaları sırasıyla Ekde Tablo A.4 ve Tablo A.5 de verilmiştir.
Başlangıç değerleri ve benzetim parametrelerinde kabul edilen değerler Tablo 4.4 de
özetlenmiştir.
Mead model. (3.18)-(3.20) eşitlikleri ile tanımlanan Mead solunum modelinin durum
değişkenleri ve model parametreleri çiftli EKF ve UKF ile kestirilmiştir. Bu durumda
(3.58) ve (3.59) deki terimler durum değişkenleri ve model parametreleri için sırasıyla
aşağıdaki gibi tanımlanır:
69
Tablo 4.4. Yapay solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde EKF ve UKF için kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
Parametre Mead model RC model
[ ]0 0θ θE= ( )1,1N ( )0,1N
[ ]0 0x xE= [ ]0 [ ]0
( )( )0 0 0 00 0ˆ ˆ T
Eθ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦P θ θ θ θ
15 510 I−× -
EKF
Başlangıç değerler
( )( )0 0 0 00 0 ˆ ˆ Tx E ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦P x x x x 1
5 52 10 I−××
11 0
10 0− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1
θR 5 51 I × -
xR 1 1
θQ 8 80I × -
EKF
Benzetim
parametreleri
xQ 45 510 I−× 410 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0
[ ]0 0θ θE= ( )1,1N ( )0,1N
[ ]0 0x xE= [ ]0 [ ]0
( )( )0 0 0 00 0ˆ ˆ T
Eθ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦P θ θ θ θ
15 510 I−× -
UKF
Başlangıç değerler
( )( )0 0 0 00 0 ˆ ˆ Tx E ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦P x x x x 1
5 52 10 I−××
11 0
10 0− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1
θR 5 51 I × -
xR 1 1
θQ 8 80I × -
xQ 45 510 I−× 410 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0
θα 0.1
sα 0.5 0.1
θβ 2 -
sβ 2 2
θκ 1 -
UKF
Benzetim
parametreleri
sκ 0 0
70
1 00 1 0 0
1 0 0
0 0 1 00 0 0 1
00 00 00 0
0
l
b
w
e
Lkc
kc
k kc
kc
k
c s s s s
s p l s p l
k s b s p b s p b
s w
s e
s
k
s e
kk mus
k
xk
VPPPP
R t L t L t L t Lt R C t R C
t C t R C t R C
t Ct C
t
t C
VP
P
θ
θ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦− Δ −Δ −Δ Δ⎡ ⎤
⎢ ⎥− Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ Δ −Δ⎢ ⎥
Δ⎢ ⎥⎢ ⎥−Δ⎣ ⎦
Δ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎣ ⎦⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
x
F
G
u
z
[ ]0 0 0 0 1
awk
kθ
⎡ ⎤⎣ ⎦=H
(4.18)
71
[ ]1 1 1
1 1
1 1
1
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
l l l l
l l l l
b b b b
c
l
bk
p
w
e
mus
xk
c c c cL LL musk k k k k k
k p l ks s s
c c c ck k k k
p ls s
c c c cx Lk k k kk p k b
s s
RLCCR
CC
P
V V P P P PV R C ft t t
P P P PR Ct t
P P P PR V C
t t
P
+ + +
+ +
+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
− − −−
Δ Δ Δ
− −Δ Δ
− −= −
Δ Δ
max
θ
F
H
[ ]
1
1
0 0
0 0 0 0 0 0 0
1
0
w w
e e
l w
l
l
e
b
b
c ck k
s
c ck k
s
xk
c ck k
ckc
k k
Lk
ckc
kc
k kL
k
k
Pt
P Pt
P PPP
V
PPPVV
θ
+
+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
Δ⎣ ⎦=
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
G
u
z
(4.19)
Şekil 4.6 da EKF ve UKF ile, bir solunum süresince Mead model parametre kestirim,
( )ˆmse θ hatalarının değişimi ve durum değişkenlerinin kestirimi görülebilir. Şekil 4.6a
dan görüleceği gibi, ortalama karesel hata, UKF de tüm parametreler için zamanla
azalmıştır. Fakat EKF bC ve lC parametrelerinde yakınsama sağlayamamıştır. Durum
değişkenleri için ise UKF, wCkP dışında kabul edilebilir bir başarı göstermiştir. EKF nin
başarısı, bunun yanında çok düşmüştür.
72
0 100 200 3000
1
2
mse
(Rc)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.5
1
mse
(L)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
1
2
mse
(Cl)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
1
2
mse
(Cb)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
5
mse
(Rp)
zaman indeksi, k0 100 200 300
6
6.5
7
mse
(Cw
)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.5
1
mse
(Ce)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.5
1
mse
(Pm
usm
ax)
zaman indeksi, k(a)
100 200 300-0.4-0.2
00.20.40.6
VkL
zaman indeksi, k100 200 300
0
0.5
1
P kCl
zaman indeksi, k
100 200 3000
0.51
1.5
P kCb
zaman indeksi, k100 200 300
-0.2
0
0.2
P kCw
zaman indeksi, k
100 200 3000
0.5
1
P kCe
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.6. Mead modelde EKF ve UKF ile a) model parametre kestirim hatası, ve b) durum değişkenlerinin bir solunum süresince kestirimi. Kırmızı noktalı çizgiler olması gereken durum
değişkenlerini, yeşil noktalı çizgiler EKF ve mavi düz çizgiler UKF sonuçlarını gösterir.
Doğrusal olmayan RC model. (3.25)-(3.26) eşitlikleri ile tanımlanan doğrusal olmayan
RC solunum modelinin durum değişkenleri ve model parametreleri birleşik EKF ve
73
UKF ile kestirilmiştir. Bu durumda (3.58) ve (3.59) deki terimler birleşik durum
değişkeni için aşağıdaki gibi tanımlanır:
[ ]
7 71
1
1l k l k l k
kk
wk
wk
kk
w awk k
K V K V K Vw musk l l k k k kk
V
I
V
P
A K e V V V e V e f
×
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
w θ
F
G
u0
z
H
(4.20)
Şekil 4.7 de EKF ve UKF ile, bir solunum süresince RC model parametre kestirim,
( )ˆmse θ hatalarının değişimi ve durum değişkenlerinin kestirimi görülebilir. Şekil 4.7
den görüleceği gibi, ortalama karesel hata, UKF için, uK hariç, her parametrede
azalırken, EKF için lA ve lK de azalma görülmemiştir. Durum değişkeninin her iki
kestirimci için yüksek başarıyla izlendiği görüldüğünde parametrelerin kestirim
başarısının düşmesi doğrusal olmayan gözlem eşitliğine bağlanabilir.
74
0 100 200 3000
2
4
mse
(Au)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.5
1
mse
(Ku)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.5
1m
se(A
l)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.5
1
(Kl)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.5
1
mse
(Bl)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
1
2
mse
(Pm
usm
ax)
zaman indeksi, k(a)
50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
VkL
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.7. Doğrusal olmayan RC modelde EKF ve UKF ile a) model parametre kestirim hatası, ve b) durum değişkeninin bir solunum süresince kestirimi. Kırmızı noktalı çizgiler olması
gereken durum değişkenlerini, yeşil noktalı çizgiler EKF ve mavi düz çizgiler UKF sonuçlarını gösterir.
75
4.3. ÇİFTLİ KALMAN FİLTRE İÇİN SONSAL CRAMER RAO ALT SINIRI
Enküçük değişinti yansız kestirimcilerde, ki böyle bir kestirimci klasik kestirimci veya
Bayesçi filtre olabilir, eniyilik ölçütü olan ortalama karesel hatanın (MSE), (3.31)
nekadar sağlandığının bilinmesi gerekmektedir. Gerçek değerler ile hesaplanan Cramer
Rao alt sınırı (Cramer Rao Lower Bound – CRLB) MSE nin alt sınırının değerini verir
ve kestirimcilerin performansının karşılaştırılmasına olanak sağlar. Zaman ile değişen
ve rastgele varsayılan durum değişkenleri için Bayesçi yaklaşım ile sonsal Cramer Rao
altsınırı önerilmiştir (Posterior Cramer Rao Lower Bound – PCRLB). CRLB ve PCRLB
ile geniş anlatımlara ve izleme, algılama ve kestirme problemlerine uygulamalara
Tichavsky ve diğ., (1998) ve Bergman, (1999) da yer verilmiştir. Bu durumda süreç-
gözlem eşitliği:
( )1 1 1k k k k k− − −= +x f x ,θ,u q (4.21)
( )k k k k k= +z h x ,θ,u r (4.22)
formunda olan bir sistem için CRLB aşağıdaki şekilde ifade edilir:
{ } 1ˆ ˆ TE J −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ≥⎣ ⎦ ⎣ ⎦X X X X=P (4.23)
burada ( )ˆ ,g=X Z θ X in kestirimi,P kestirimcinin hata ortak değişinti matrisi ve J
de Fisher bilgi matrisidir (Fisher Information Matrix – FIM). FIM’ın elementleri:
( )
1 2
1 2
2,
1 2
log Pr ,, 1,z x
m m xm m
J E m m nx x
θ⎧ ⎫∂⎪ ⎪= − =⎨ ⎬
∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
Z X θ (4.24)
şeklinde tanımlanır ve burada ( ),Pr ,z xθ Z X θ birleşik olasılık dağılım fonksiyonudur.
xn durum değişkeni adetidir, ve Z ile X tüm k ları içeren vektörlerdir. Ayrıca (4.23)
ün yazılımında buradaki kestirimcinin yansız olduğunu tekrar hatırlatmak gerekir
( ( )ˆ ,E E g⎡ ⎤ = =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦X Z θ X ).
76
(4.24) de model parametrelerinin belirlenimci olduğu varsayılmıştır. Bu durumda
birleşik olasılık dağılım fonksiyonu:
( ) ( ) ( ) ( )1
0 1, ,0 1
Pr , Pr , Pr Pr ,k k
i i i iz x z x x xi i
θ θ θ θ
−
−= =
=∏ ∏Z X θ z x θ x θ x x θ (4.25)
şeklinde tanımlanır ve ( )0kr , R∼N , ( )0kq ,Q∼N kabulleriyle iteratif yollardan
FIM hesaplanabilir. Zaman ile değişmeyen parametre vektörünün, θ ve durum
değişkenlerinin, kx birlikte kestirildiği çiftli kestirimcilerde PCRLB nin
hesaplanabilmesi için birleşik parametre vektörü tanımlamıştır TT T
k k⎡ ⎤= ⎣ ⎦w x θ . Fakat
süreç gürültüsü ortak değişinti matrisi sıfır olarak kabul edilen parametre vektörü
hesaplamalarda tekil matris meydana getirir. Bu problem tekil Q şeklinde ifade edilir
ve çözümü için devamlı zamanda hybrid CRLB (Messer, 2006) ve ayrık zamanda ise
FIM matrisinin paçalarına ayrılması (Tichavsky ve diğ., 1998) yöntemleri önerilmiştir.
Bu durumda çiftli PCRLB, durum değişkenleri bakımından sonsal fakat model
parametreleri bakımından klasik anlamdadır.
PCRLB çiftli kestirim için hesaplandığında durum değişkenleri ve parametrelerin
rastgele süreçler olarak düşünürsek (4.24) de yer alan FIM aşağıdaki şekilde yazılabilir:
( )
1 2
1 2
2, ,
1 2
log Pr , ,, 1,z x
m m wm m
J E m m nw w
θ⎧ ⎫∂⎪ ⎪= − =⎨ ⎬
∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
Z X θ (4.26)
burada birleşik olasılık dağılım fonksiyonu:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, , ,
1
0 1,0 1
Pr , , Pr , Pr Pr
Pr , Pr Pr , Pr
z x z x x
k k
i i i iz x x xi i
θ θ θ
θ θ θ
−
−= =
=
=∏ ∏
Z X θ Z X θ X θ θ
z x θ x θ x x θ θ (4.27)
77
şeklinde olmalıdır ve parametre dağılımının her k anı için PCRLB ye aynı katkıyı
yaptığını, bunun yanında durum değişkeni dağılımının zaman içinde ve gözlemler ile
PCRLB deki payının değiştiğini gösterir. (4.27) eşitliği (4.26) eşitliğinde yerine
konmasıyla FIM bulunabilir. İşlemlerin kolaylaştırma amacıyla skor fonksiyonun ilk
hesaplanması doğru olur. Süreç ve gözlem gürültüsünün Gauss dağılımlı süreçler
olduğu kabulü altında skor fonksiyonu k anına kadar tüm gözlemleri içermek suretiyle:
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
, ,
11
10
12 0 0 0 0 0
13 1 1 1 1 1 1
1
log Pr , ,, ,
1 , ,2
1 ˆ ˆ2
1 , ,2
log Pr
z x k kk k
k
k Ti i i i i i i
i
T
kk Ti i i i i i i
i
s
c h h
c
c f f
θ
θ
−−
=
−
−− − − − − −
=
∂=
∂
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥+ − − −∂ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑
Z X θZ X θ
w
z x θ R z x θ
x x P x xw
x x θ Q x x θ
θ
(4.28)
şeklinde heasplanabilir. Burada ( )Prθ θ parametre vektörünün birleşik olasılık dağılım
fonksiyonunu ifade etmektedir. { }0 1,k k −=X x x ve { }0 1,k k −=Z z z k anına kadar
olan durum değişkeni ve gözlem vektörüdür. (4.28) in hesaplanmasında Tanım 4.1 de
yer alan blok matris türev tanımı kullanılmalıdır.
Tanım 4.1. F türevlenebilir m p× boyutlu ve X n q× boyutlu gerçek matrisler
olduğu kabul edililirse F in X e göre Jakobyen matrisi mp nq× boyutlu
( ) ( )( )( )T
vec
vec
∂∂=
∂ ∂
F XF XX X
(4.29)
matrisidir (Magnus ve Neudecker, 1999).
Blok matris türev tanımı ile (4.28) yeniden yazılırsa:
78
( )
( )
( )
( ) ( )( )
0 0 0
1 1
, ,
, , , ,
, ,x
T
k k i i i
k k k k n n
s
s s
sθ× + +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Z X θ
Z X θ Z X θ
Z X θ
(4.30)
formuna girer. Burada xn ve nθ sırasıyla durum değişkeni ve parametre vektörünün
uzunluğunu göstermektedir. (4.30) daki terimlerin basitleştirilmesi amacıyla aşağıdaki
tanımları yaparsak:
( ) ( ) ( ) ( ), , ,i i i i i i i ix xi i i i
i i
h h f fH H F Fθ θ∂ ∂ ∂ ∂
= = = =∂ ∂ ∂ ∂x ,θ x ,θ x ,θ x ,θx θ x θ
( )( ) ( )( ) ( )1 11
0log Pr
i
i a a a a a a a a a aa
T H h F fθ θ θθ
− −+
=
∂= + +
∂∑ R z - x ,θ Q x - x ,θ θθ
skor fonksiyonu terimleri:
( )
( )( )( )( )
( )( )
10 0 0 0 0
10 0 1 0 0
0 0 01
0 0 0
0 1
, ,ˆ
x
Tx
x
n n
H h
F fs
Tθ
θ
−
−
−
× +
⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R z - x ,θ
Q x - x ,θZ X θ
P x - x (4.31)
( )
( )( )( )( )
( )( )( )
1
11
11 1 1
1
, ,
x
Txi i i i i
xi i i i i
i i i
i i i i
i n n
H h
F fs
f
Tθ
θ
−
−+
−− − −
× +
⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R z - x ,θ
Q x - x ,θZ X θ
Q x - x ,θ (4.32)
( ) ( )( )( )
11 1 1
1
, ,x
T
k k k kk k k
k n n
fs
Tθ
θ
−− − −
× +
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Q x - x ,θZ X θ (4.33)
79
şeklinde hesaplanır. FIM skor fonksiyonunun grandyenti olarak yazılırsa Tanım 4.1 in
tekrar kullanılmasıyla:
( )
( )( ) ( )( )
0 0 0
0 1
1 1 1
0 1
0 1 1 1
, ,
x x
Tk k
kk
k
k
k k k
k k n n k n n
sJ E
s s s
s s s
s s s
θ θ+ + × + +
⎧ ⎫∂⎪ ⎪= − ⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭
∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Z X θw
w w w
w w w
w w w
(4.34)
k anındaki matris formu şeklini alır.(4.31), (4.32) ve (4.33) yerine yazılırsa FIM
aşağıdaki şekildedir:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
11 12 13 1 1
21 22 23 2 1
31 32 33 3 1
1 1 1 2 1 3 1 1
k k k k k
k k k k k
k k k k k k
k k k k k k k k k
J J J J
J J J J
J J J J J
J J J J
+
+
+
+ + + + +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(4.35)
Bu matristeki her bir element
( )
11 12
21 22ij ij
k ijij ij
J JJ
J J⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(4.36)
blok matris formundadır ve aşağıdaki tanımların yapılmasıyla
( )2
2 log PrM Eθθθ
⎧ ⎫∂= ⎨ ⎬
∂⎩ ⎭θ
θ
80
( ) ( )1 1
0
i T Tii a a a a a a
a
TT E H H F F Mθ
θθ θ θ θ θ θθ
θ− −
=
⎧ ⎫∂= − = + +⎨ ⎬
∂⎩ ⎭∑ R Q (4.37)
( )
( )( )
( )( )
( )
1 11 1 1 1 1 1
1 11 1 1 1 1 1
1 12 2 2
12
1T Tx x x
i i i i i i
T Tx x xi i i i i i
k ij
i i iT
ij i
i j
H H H H
F F F FJ
F
J T
θ
θ
θ
θθ
− −− − − − − −
− −− − − − − −
− −− − −
∀ = ≠
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R R
Q Q
Q Q (4.38)
( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
11 1 1
1 11 1 1 1 1
12 2
1
1
11 1
, 1Tx
i i i
T Tx xi i i i i
i iTk ij x
i i i
T xi i i i
T
i i
T
k ji k ij
i j i
H H
F F F
FJ
H H
F F T
F
J J
θ
θ
θ
θ
θ θθ
θ
−− − −
− −− − − − −
−− −
−
−
−− −
∀ = +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
=
R
Q Q
Q
R
Q
Q
(4.39)
( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
11 1 1
11 1 1
12 2
1
1
11 1
, 1Tx
i i i
Txi i i
i i
Tk ij xi i i
T xi i i i
T
i i
T
k ji k ij
i j i
H H
F F
FJ
H H
F F T
F
J J
θ
θ
θ
θ
θ θθ
θ
−− − −
−− − −
−− −
−
−
−− −
∀ > +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∅ +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
=
R
Q
Q
R
Q
Q
(4.40)
81
( )
( )( ) ( )
( )
( )
10 0 0
10 0 01
0 0 01
11 1 0 0 00
120
1Tx x
TxTx x
Txk
T
ij
i j
H HH H
F FJ F F
J T
θ
θ
θθ
−
−
−
−−
∀ = =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
RR
P (4.41)
şeklinde elemanları bulunur. (4.39)-(4.41) eşitliklerinden iki önemli sonuç çıkarılabilir:
FIM durum değişkenleri ve parametre kestirim hata ortak değişinti matrisinin alt sınırını
içerir; FIM bir seyrek matris değildir. Birinci sonuç için ayrıca, ( )k ijJ blok matrisinin
durum değişkenlerinin ve parametrelerin ayrı bloklarda temsil edildiği söylenebilir. FIM
durum değişkenleri ve parametreler arasında ilintiler nedeniyle seyrek bir matris
değildir bu nedenlede PCRLB için yinelemeli yollar ile tersi alınabilir. İki adımlı
yineleme seçilmiştir.
1. Adım: Zaman güncellemesi,
1k − anından k anına geçişte ( )k ijJ matrisi hem sütun hem de satır olarak genişler.
Bu genişleme yine blok matris olarak:
11
11
kk k
kk k
k k k
JJ −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
AB
C D F (4.42)
şeklinde ifade edebiliriz. Burada
( )
11 121 1 1 1
111 21 22 1
1 1 11 1 1 1
k k k k
Tk k x xk k kk k k k
J J
JJ J F F
− − − −
− −− − −− − − −
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ∅⎢ ⎥⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥∅ ∅⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
IQ
(4.43)
82
( )( ) ( )
0
1
2
1 11 1
1 11 1 1 2 2 1
k
k
Txi i i i i
i T Txk k k k k k
F F F
F F F T
θ θ
θ θ θθ
−
− −− −
− −− − − − − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤∅ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
AA
A
A
Q QA
Q Q
(4.44)
( ) ( )
( ) ( )
1 1 11 1 1 1 1 2 2
1 11 1 1
T Tx xk k k k k k k
k T Txk k k k k k
F F F F
F F F T
θ θ
θ θ θθ
− − −− − − − − − −
− −− − −
⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Q Q QB
Q Q (4.45)
( )
( ) ( )
0
1
2
1 11 1 1 2 2
1 11 1 1
T
k
k
Txk k k k k
i T Txi i i i i k
F F F
F F F T
θ θ
θ θ θθ
−
− −− − − − −
− −− − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤∅ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
CC
C
C
Q QC
Q Q (4.46)
( )Tk k=D B (4.47)
( )
( )
1 1 11 1 1
1 11 1 1
Txk k k k k k
k Txk k k k k k
F F F
F F F T
θ θ
θ θ θθ
− − −− − −
− −− − −
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Q Q QF
Q Q (4.48)
olarak bulunur.
2. Adım: Ölçüm güncellemesi
k anında yeni ölçümlerin gelmesiyle ölçümlerin etkisi ( )k ijJ matrisine eklenmelidir.
Bu durumda yeni ( )k ijJ matrisi:
83
11 12
21 22
k k k k
k kk k k k
J JJ
J J
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
(4.49)
formundadır ve buradaki terimler:
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
11 111
11 1 1
12 121 1 1
1 1 1
21 12
1 1
22 221 1 1
k k k k
Txk k k
k k k k T Txk k k k k k
T
k k k k
T Tx x xk k k k k k
k k k k T Txk k k k k k
J J
H HJ J
H H H H
J J
H H H HJ J
H H H H
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
−
−− − −
− − −− − −
− −
− − −
=
⎡ ⎤∅⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎡ ⎤⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R
R R
R R
R R
(4.50)
şeklinde bulunur.
(4.23) ile ifade edilen hata ortak değişinti matrisi birleşik parametre vektörü için
herhangi bir k anında tekrar yazılırsa:
[ ][ ]{ } 1ˆ ˆ Tk k k k k kE J −− − ≥w w w wP = (4.51)
olarak ifade edilir. Burada kJ (4.42) deki 1k kJ − matrisinin sol alt bloğunu temsil
etmektedir. kJ nın tersinin alınmasında 1k kJ − in tersinden yararlanılabilir ve aşağıda
verilen blok matris tersi tanımı kullanılır.
Tanım 4.2. X bir blok matris ve 11x tersi alınabilen bir matris ise X in Schur
tümleyeni yardımıyla tersi
84
( ) ( ) ( ) ( )( )
111 121
21 22
1 1 1 111 11 12 1 21 11 11 12 1
11 21 11 1
−
−
− − − −− −
−− −
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ Δ − Δ⎢ ⎥=⎢ ⎥−Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
x xX
x x
x x x x x x x
x x
(4.52)
olarak hesaplanır. Burada ( ) 122 21 11 12−Δ = −x x x x X in Schur tümleyenidir.
Bu durumda, aranılan Schur tümleyeninin tersidir, 1−Δ . Schur tümleyeninin değerleri
(4.42) den yerine konursa ve bulunan (4.51) ile birlikte düşünülürse:
[ ]( )
[ ]( ) ( )( ) ( )
11 11
1
11 1 1
1 1 1 1 1 11
1 11 11 1 1 1 1 1
kk k k k k k
k
T Tx x xk k k k k k k
k k k k kT Txk kk k k k k k
J
H H H H
H H H H
θ
θ θ θ
−−
−
−− − −
− − − − − −−
− −− −− − − − − −
⎡ ⎤≥ − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= − + +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
AF C D
B
R R AF C D F
BR R
P
P
(4.53)
burada 111k kJ − in 1k − anındaki ölçüm güncellemesi ile birlikte sol alt blok matris olduğu
belirtilmelidir. Bu (4.49) ve (4.50) dan görülmektedir.
(4.53) den görülceği gibi hata birleşik değişinti matrisi, kP kA , kB , kC , kD ve kF
matrislerine bağlıdır. Eğer sadece durum değişkenleri düşünülürse, blok matrislerin üst
soldaki kısımları hata birleşik değişinti matrisini verir. Bu durumda:
85
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
1 11
11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1
11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 1 1 1 1
k k
T Tx x x x xTk k k k k k k k k x
k k
T T Tx x x x x xk k k k k k k k k k k k
Tx x xk k k k k
F F F H HF
F F F H H F
F H H
− −−
−− − − −− − − − − − − − − −
− −
−− − − − − −− − − − − − − − − − − −
−− − − − −
≥
∅⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥− ∅ − + + ×⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + + ×
= +
Q
Q Q RQ
Q Q Q R Q
Q R
P
P
P
( ) ( )11
11 1
Txk kF
−−−− −
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
P
(4.54)
( )( ) ( )1
1 11 1 1 1 1 1 1
T Tx x x x xk k k k k k k kF H H F
−− −
− − − − − − −= + +Q RP P (4.55)
olarak bulunur. Burada xkP durum değişkenlerinin hata ortak değişinti matrisidir. (4.55)
eşitliği genişletilmiş Kalman filtrenin hata ortak değişinti matrisinin yinelemeli
hesaplamasından başka bir şey değildir. Bu aynı zamanda Bergman (1999) de bulunan
hata ortak değişinti matrisinin doğrusal olmayan model için yazılmış en genel halidir.
Parametre kestiriminde ise (4.53) deki blok matrislerin sol alt matrisleri kullanılır. Bu
durumda:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
11
11 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
111 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
k k
T T
k k k k k k k k k k
T T
k k k k k k k k
T
T T H H F F T
T H H F F
θθ
θθ θθ θ θ θ θ θθ
θθ θ θ θ θ
−−
−− − −
− − − − − − − − − −
−−− − − −− − − − − − − −
≥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
R Q
R Q
P
P
P
(4.56)
olarak ifade edilmesiyle parametreler için PCRLB
( ) ( ) ( )( ) 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
T T
k k k k k k k k kT H H F Fθ θθ θ θ θ θ−− − − −
− − − − − − − −= + + +R QP P (4.57)
şeklinde bulunur. Bu tamamen sonsal düşünülerek parametreler için çıkarılmış yeni
PCRLB ifadesidir. Durum değişkelerinin PCRLB ile karşılaştıracak olursak, kθP sadece
86
son değerlere bağlı değildir. Tam tersine k anına kadar olan tüm parametre kestirimler
kθP yi etkiler. Bu aynı zamanda zaman ile değişmemesine karşı parametrelerin hata
ortak değişinti matrisinin kestirim süresince azalması gerektiğinide gösterir.
4.3.1. Solunum Modellerinde PCRLB
Mead model ve doğrusal olmayan RC modele uygulanan çiftli ve birleşik UKF ve EKF
yöntemlerinin kestirim performanslarının gösterilmesi bu çalışmanın tamamlanması
açısından önemlidir. Her bir durum değişkeni ve model parametresinin kestirim hata
değişintilerinin PCRLB ile birlikte gösterimi, kestirimcilerin performansının
birbirleriyle karşılaştırılmasına olanak sağlar.
(4.55) ve (4.57) da yer alan sırasıyla durum değişkenleri ve model parametrelerine ait
PCRLB matrisleri Mead model için yazılırsa (3.18) ve (3.19) eşitlikleri yardımıyla ilgili
Jakobyen matrisler:
[ ]0 0 0 0 1xk =H (4.58)
1 00 1 0 0
1 0 00 0 1 00 0 0 1
c s s s s
s p l s p lx
k s b s p b s p b
s w
s e
R t L t L t L t Lt R C t R C
t C t R C t R Ct Ct C
− Δ −Δ −Δ Δ⎡ ⎤⎢ ⎥− Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ Δ −Δ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎢ ⎥−Δ⎣ ⎦
F (4.59)
1 80k Iθ×=H (4.60)
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
b w e
l b l b
b l b l
c c cL musLk c k k k mus k s musk s
k sc c c c
k k s k k s
p l p lc c c cL
k k k p s k k sk
p b p bL
k s
w Lk k s
e
V R P P P P f tV t f t LL L
P P t P P t
R C R CP P V R t P P t
R C R CV tC
V V t
C
θ
⎡ + + − − Δ− Δ⎢ Δ⎢
− Δ − Δ⎢⎢⎢
− − Δ − Δ⎢= ⎢⎢
− Δ⎢⎢⎢ − Δ
⎣
max
F
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
(4.61)
87
olarak bulunur. (4.55) ve (5.57) da yer alan sırasıyla durum değişkenleri ve model
parametrelerine ait PCRLB matrisleri doğrusal olmayan RC model için yazılırsa (3.25)
ve (3.26) eşitlikleri yardımıyla ilgili Jakobyen matrisler:
l kK Vxk l lA K e=H (4.62)
1 11xk I ×=F (4.63)
( )21l k l kK V K V mus
k k k l k kV V e AV e fθ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦H (4.64)
1 60k Iθ×=F (4.65)
olarak bulunur. Parametre vektörüne ait PCRLB nin hesaplanmasında parametrelerin
önsel dağılımı bilgisinede gerek vardır. Parametrelerin önsel dağılımları
bilinmediğinden bu çalışmada genelleştirilmiş Gauss dağılımına sahip oldukları kabul
edilmiştir. Malzemeler ve Yöntemler bölümünde genel hatlarıyla verilen GGD (3.42)
eşitliğiyle gösterilir. Bu durumda M θθ fonksiyonu:
( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2
log Pr
1log exp,
1 1,
p
p
p
M E
E cA p
p pA p
θ
θ
θ
θθθ
θ θ
θ θθ θ
⎧ ⎫∂= ⎨ ⎬
∂⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎧ ⎫∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎨ ⎬ ⎬∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦⎩ ⎭
= − −
θθ
θ - θθ Q
Q
(4.66)
şeklinde bulunur.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerler. PCRLB nin Mead ve doğrusal olmayan
RC model benzetimlerindeki algoritması Ekde Tablo A.6 da verilmiştir. Başlangıç
değerleri ve benzetim parametrelerinde kabul edilen değerler Tablo 4.5 de özetlenmiştir.
88
Tablo 4.5. PCRLB nin hesaplanmasında kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
Parametre Mead model RC model
0θP 1
8 810 I−× 1
6 610 I−× Başlangıç
değerler 0xP 1
5 52 10 I−×× 1
1 110 I−×
R 1 1
Q 45 510 I−× 4
1 110 I−×
Benzetim
parametreleri
θQ 38 810 I−× 3
6 610 I−×
Tablo 4.5 ve Tablo 4.4 karşılaştırılacak olunursa, PCRLB nin benzetim parametreleri
EKF-UKF algoritmasındaki değerler ile aynıdır. PCRLB deki başlangıç hata ortak
değişinti matrisi ise EKF-UKF algoritmasındaki hata ortak değişinti matrisi ile aynı
seçilmiştir. Bu durumda Şekil 4.8 biçim faktörü 2pθ = için hesaplanan parametre ve
durum değişkenlerine ait PCRLB değerlerini birlikte göstermektedir. PCRLB ler
başlangıç değerlerinden başlamış ve bir solunum süresi boyunca genelde sıfıra doğru
yakınsamışlardır. Model parametreleri arasında, aynı zamanda en yüksek aritmetik
ortalama karesel hataya ( mse ) sahip (Şekil 4.6) olan wC en yüksek PCRLB değerine
yakınsamıştır. Mead modelin karmaşık parametre-durum değişkeni ilişkileri yardımıyla
bunu açıklamak çok zordur. Fakat modelde en yüksek kapasite değerine sahip olması ve
kθF matrisi üzerinde diğer parametrelere oranla çok küçük bir değişintiye sahip olması
wC nın kestirimini güçleştirmiştir. Durum değişkenlerinin altsınır değerlerine bakacak
olursak (Şekil 4.8b) LkV ve eC
kP nin tamamen sıfıra yakınsamasına karşı diğer durum
değişkenlerinin bir solunum süresince yakınsamalarının zayıf olduğunu görürüz.
Gözlem sinyalini doğrudan etkileyen tek durum değişkeni olan eCkP nin düşük altsınıra
sahip olması şaşırtıcı değildir fakat LkV bu kadar hızlı sıfıra yakınsaması cR ve L
parametrelerinin düşük PCRLB değerine yakınsaması ve bu nedenlede bu parametrelere
bağlı LkV durum değişkenini etkilemesi nedeniyle olabilir.
89
Doğrusal olmayan RC model de ise (Şekil 4.9) model parametrelerinin altsınır
değerlerinde bir yakınsama elde edilememiştir. Fakat maxmusP ın Mead modelde olduğu
gibi en düşük altsınır değerine düştüğü görülebilir. Şekil 4.9b de görülen durum
değişkenine ait altsınır değişiminden PCRLB nin yine sıfıra yakınsamadığı görülür.
Mead model doğrusal olmayan RC modelden daha çok parametre ve durum değişkeni
sayısına sahip olması ve daha karmaşık eşitlikler ile ifade edilmesine rağmen Mead
model parametre ve durum değişkenleri PCRLB değerleri genelde sıfıra yakınsamıştır.
Doğrusal olmayan RC modelde yer alan üssel (eksponansiyel) ifade kestirimlerde ek
hatalara yol açmış olabilir.
PCRLB değerlerinin parametre dağılımına ait biçim faktörüne bağlı olması PCRLB nin
pθ ile nasıl değiştiğinin incelenmesini gerektirir. Şekil 4.10 da PCRLB nin yakınsama
değerleri ile biçim faktörü arasındaki ilişki görülmektedir. Bu aynı zamanda parametre
vektörünün farklı dağılımlarının PCRLB üzerine etkisinide gösterir. Görüldüğü gibi
1pθ = de PCRLB nin hesaplanmasından meydana gelen bir devamsızlık vardır. 1pθ =
iken, parametre dağılım fonksiyonu türevlenebilir olmadığından bu sonuç çıkmıştır.
Tüm parametreler için 1pθ = ile 2pθ = arasında PCRLB bir değere yakınsamıştır.
Sonuç olarak, parametre dağılım fonksiyonu alt-Gauss olduğunda çok yüksek PCRLB
değerleri ve tam Laplace olursa PCRLB nin hesaplanmasında türev içermeyen bir
yöntem seçilmesi gerektiği ortaya çıkar.
90
0 50 100 150 200 250 3000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
PCR
LB (Θ
)
zaman indeksi, k
Rc
LC
lC
bR
pC
wC
eP
musmax
(a)
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
PCR
LB (x
)
zaman indeksi, k
VkL
PkC
l
PkC
b
PkC
w
PkC
e
(b)
Şekil 4.8. Mead modelde a) model parametrelerine, ve (b) durum değişkenlerine ait sonsal Cramer Rao altsınırının bir solunum süresi boyunca yakınsaması.
91
0 50 100 150 200 250 3000.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
PCR
LB (Θ
)
zaman indeksi, k
Au
Ku
AlK
lB
lP
musmax
(a)
0 50 100 150 200 250 3000.097
0.0975
0.098
0.0985
0.099
0.0995
0.1
0.1005
0.101
0.1015
0.102
PCR
LB (x
)
zaman indeksi, k
VkL
(b)
Şekil 4.9. Doğrusal olmayan RC modelde a) model parametrelerine, ve (b) durum değişkenine ait sonsal Cramer Rao altsınırının bir solunum süresi boyunca yakınsaması.
92
0 2 4-10
0
10
PCR
LB (R
c) pθ
0 2 4-100
0
100
PCR
LB (L
)
pθ
0 2 4-50
0
50PC
RLB
(Cl)
pθ
0 2 4-200
0
200
PCR
LB (C
b)
pθ
0 2 4-20
0
20
PCR
LB (R
p)
pθ
0 2 4-10
0
10
PCR
LB (C
w)
pθ
0 2 4-100
0
100
PCR
LB (C
e)
pθ
0 2 4-2
0
2PC
RLB
(Pm
usm
ax)
pθ
devamsizlik
Şekil 4.10. Mead model için hesaplanan sonsal Cramer Rao altsınırı değerlerinin biçim faktörü pθ ile değişimi.
Son olarak, bir önceki bölümde anlatılan EKF-UKF yöntemlerinin başarımlarını
istatistiksel olarak göstermek için PCRLB altsınır değerlerinin bu kestirimcilerin hata
ortak değişinti matrisleri ile beraber göstermek gerekmektedir. Bunun için, EKF-UKF
algoritmaları PCRLB algoritması ile beraber çalıştırılmış ve biçim faktörü 2pθ = için
Şekil 4.11 ve Şekil 4.12 kaydedilmiştir. Yukarıda verilen Tablo 4.4 ve Tablo 4.5 deki
değerler değiştirilmeden kullanılmıştır. Şekil 4.11a dan görüleceği gibi Mead model
parametreleri için UKF kestirimci PCRLB yi EKF kestirimciye göre daha yakından
takip etmektedir. Durum değişkenleri açısından bakarsak ise UKF ve EKF arasında fark
çok değildir (Şekil 4.11b). Doğrusal olmayan RC model parametreleri için yine UKF ve
EKF kestirimcilerinin hata ortak değişintilerinin birbirine çok yakın olduğunu
söyleyebiliriz (Şekil 4.12a). Şekil 4.12b de görülen doğrusal olmayan RC model durum
değişkeni hata ortak değişinti yakınsaması EKF ve UKF nin PCRLB den uzaklaştığını
göstermektedir. Bu uzaklaşma bazı kestirimci hatalarının toplanarak toplam hatayı
arttırmasından kaynaklanabilir.
93
Şekil 4.6 ve Şekil 4.7. de görülen ortalama karesel hatalar ile Şekil 4.11 ve Şekil 4.12 de
yer alan kestirimci hata ortak değişintilerin karşılaştırırsak aslında bu iki
değerlendirmenin çok farklı sonuçlar verdiğini görebiliriz. Parametreler açısından
PCRLB ve mse birbiriyle hemen hemen örtüşür. Yani PCRLB değerini yakalabilmiş bir
parametrenin düşük mse değerine yakınsadığı görülebilir. Fakat durum değişkenleri için
durum farklıdır. Örneğin Mead model durum değişkenleri PCRLB değerini
yakalabilmiş olsalarda gerçek değerlere yakınsamaları çok kötüdür. Bu özellikle EKF
kestirimci için söylenebilir.
94
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (R
c)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.05
0.1
PCR
LB (L
)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (C
l)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.1
0.2
PCR
LB (C
b)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (R
p)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.1
0.2
PCR
LB (C
w)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (C
e)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.05
0.1
PCR
LB (P
mus
max
)
zaman indeksi, k(a)
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (
VkL )
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.1
0.2
PCR
LB (P
kCl )
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.5
1
1.5
PCR
LB (P
kCb )
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.2
0.4
PCR
LB (P
kCw
)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (P
kCe )
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.11. Mead modelde model parametre ve durum değişkenlerinin UKF ve EKF ile kestirilmesinde sonsal Cramer Rao altsınırı ile performans analizi.
95
0 100 200 3000
0.1
0.2
PCR
LB (A
u)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0.06
0.08
0.1
0.12
PCR
LB (K
u)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000
0.05
0.1PC
RLB
(Al)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0.06
0.08
0.1
0.12
PCR
LB (K
l)
zaman indeksi, k
0 100 200 3000.04
0.06
0.08
0.1
PCR
LB (B
l)
zaman indeksi, k0 100 200 300
0
0.05
0.1
PCR
LB (P
mus
max
)
zaman indeksi, k(a)
0 50 100 150 200 250 3000.095
0.1
0.105
0.11
0.115
0.12
PCR
LB (V
kL )
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.12. Doğrusal olmayan RC modelde model parametre ve durum değişkenlerinin UKF ve EKF ile kestirilmesinde sonsal Cramer Rao altsınırı ile performans analizi.
96
4.4. SOLUNUM MODELLERİNDE GENELLEŞTİRİLMİŞ GAUSS DAĞILIMLI
HATA MODELİ
Solunum sisteminin modellenmesinde son aşama olan hata/gürültü analizi, istatistiksel
anlamda modellerde kabul edilen gürültü ile yöntemlerin uygulanmasında yapılan
hataları içerir. GGD modeli, model gürültüleri için seçilmiş ve dağılım parametreleri
kestirilerek hata ve gürültüler tanımlanmıştır. Doğrusal RIC model ve doğrusal olmayan
RC modeller hata analizi için seçilmişlerdir. İlk olarak ölçüm gürültüsü, kr ve ölçüm
inovasyonlarının, kυ solunum modellerindeki anlamını açıklamak gerekir.
Ölçüm gürültüsü ( )0, ,r rpσGGD olarak tanımlanan bir rastgele süreç olarak kabul
edilmiştir ve etkin iki ana bileşeni vardır:
1. Belirlenen modellerin ölçülen solunum sinyallerine ( ( )awP t ) uyarlarken kalan
artıklardır. Bu artıklar ölçüm gürültüsünün ana bileşenini oluşturur ve GGD
olarak kabul edilmişlerdir.
2. Ölçüm gürültüsü, gerçek solunum sinyallerinin kaydedilmesi sırasında yapılan
gürültüyü de içerir. Artıkların yarattığı gürültünün yanında ihmal edilebilen bu
gürültü, üç farklı etkinin bileşkesidir:
a) Ölçümler sırasında sensör ve dönüştürücü sistemlerin elektronik aksamından
kaynaklanan gürültü. Bu gürültü genel olarak Gauss dağılımına sahip rastgele
süreçtir diyebiliriz. Pneumotograf sisteminin doğruluğu %2∓ dir.
b) Solunum sinyallerine karışan fizyolojik gürültü. Soluk alma sırasında vucud
hareketleri ve kalp atışının solunumu küçük genlikler ile titretmesi bu gürültü
arasında sayılabilir. Bu gürültü üzerine herhangi bir çalışma henüz
yapılmamıştır ve dağılımı bilinmemektedir.
c) Hastalardan alınan solunum sinyallerinde invasiv olmayan ventilatörün valf
sisteminin neden olduğu gürültü. Bu gürültü üzerinede herhangi bir çalışma
yoktur ve dağılımı bilinmemektedir.
Yukarıda söylenen gürültü kaynakları nedeniyle FOT hesaplamalarında öngörüldüğü
gibi ölçüm gürültüsünün Gauss dağılına sahip olduğu kabul edilemez. Bu nedenle
97
ölçüm gürültüsü dağılımının elde edilmesi gerekmektedir. Bu çalışmada GGD olarak
düşünülen ölçüm gürültüsünün değişintisi 2rσ ve biçim faktörü rp kestirilerek dağılımı
bulunmuştur.
Ölçüm inovasyonları Malzemeler ve Yöntemler bölümünde açıklanmış ve dağılımını
kestirme yöntemi verilmiştir. Bu durumda toplam hatayı gösteren ölçüm inovasyonları
ölçülen solunum sinyallerinden yukarıdaki kestirim yöntemleri uygulandığında yapılan
toplam hatanın şeklini verir. Ölçüm inovasyonları, başka bir değişle solunum
sinyallerinin tanımlanan solunum modeline kestirim yöntemleri ile uygulanmasında
ortaya çıkan toplam gürültüdür.
Enbüyük olabilirlik kestirimcisinde farklı SNR ile (farklı 2rσ değerleri ile) model
parametreleri ve ölçüm gürültüsü biçim faktörü rp kestirilmişti. Şimdi bu bölümde
ölçüm gürültüsüsü değişintisi 2rσ ve ölçüm inovasyonları kυ dağılımıda bunlara ek
olarak kestirilecektir. Bu durumda, rp ya ek olarak 2rσ (3.45) yardımıyla kestirilir.
Model parametreleri θ kestirimi enbüyük olabilirlik kestiriminde açıklanmıştır.
Malzemeler ve Yöntemler bölümünde açıklandığı gibi ölçüm inovasyonlarının
dağılımının bilinmesi için kestirim hatası, kη nın da dağılımının bilinmesi
gerekmektedir. Burada, solunum modelleri için kestirim hatası Gauss olarak
düşünülmüştür. 2pη = ve [ ] 0kE =η kabulü altında kestirim hatasının değişintisi (3.66)
yardımıyla hesaplanabilir ve buradaki ortak değişinti matrisi (3.67) ve (3.68) de yer alan
bilgi filtresi ile kestirilebilir. Ele alınan RIC ve doğrusal olmayan RC solunum
modellerinde model parametreleri θ zaman ile değişmeyen 1k k−=θ θ sabitler 0k =Q
olduğu için bilgi filtresi aşağıdaki şekilde basitleştirilebilir:
( ) 11 1ˆ ˆ
Txk kk k k k
−− −= +s s H R z (4.67)
( ) 11 1
Tx xk kk k k k
−− −= +J J H R H (4.68)
98
(4.68) ve 1k k k k
−=J P tanımıyla 2ησ kestirilir. Son olarak ( )2Pr ; ,k pυ υσυ nın
bulunmasında (3.65) den çıkarılan (3.69) ve (3.70) kullanılmıştır.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerler. GGD tabanlı hata analizinin RIC ve
doğrusal olmayan RC model benzetimlerindeki algoritması Ekde Tablo A.2 de
verilmiştir. Başlangıç değerleri ve benzetim parametrelerinde kabul edilen değerler
Tablo 4.6 da özetlenmiştir.
Tablo 4.6. GGD ile hata analizinde kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
Parametre RIC model RC model
( )0i=θ ( )0 1,N ( )0 1,N
( )2
0r iσ = 0.1 0.1
( )0r ip = 2 2
( )2
0kυσ = 2( 3)( 51 )r i SNR dBσ = = 2
( 3)( 51 )r i SNR dBσ = =
Başlangıç
değerler
( )0kpυ = ( )( )3 51r i SNR dBp = = ( )( )3 51r i SNR dBp = =
Benzetim
parametresi maxi 10 10
Ortak değişinti matrisinin başlangıç değeri, 0P Fisher bilgi matrisi yardımıyla
hesaplanmıştır:
( )
( )( )
2 21
2
2
2
; , ,
1
,
kk k k k
k
pkp
L pJ
p p
A p
υ
υ
υ υ
υ υ
υ υ
σ
σ
−
−
∂= = −
∂
−=
υ ΘP
υ
υ (4.69)
Model parametrelerinin kestirim hatası ( )mse θ nin SNR ile değişimi enbüyük
olabilirlik yönteminin sonuçlarında verilen ve Şekil 4.2 de gösterilen eğriler ile aynıdır.
Benzetimlerde aynen MLE de olduğu gibi 2i = de yakınsama sağlanmıştır. Fakat şu
belirtilmelidir ki, MLE yönteminde sadece model parametreleri ve ölçüm gürültüsü
biçim faktörü kestirilmiştir. Şekil 4.13 de doğrusal RIC ve doğrusal olmayan RC model
99
için çıkartılmış kestirilen ölçüm gürültüsü değişinti hatasının SNR ile değişimi
görülmektedir. 40 45dB∼ arasında hata belirgin oranda düşmektedir. Bu SNR oranı
yaklaşık olarak 20.3 1.5rσ≤ ≤ arasındaki ölçüm gürültüsü değişintisine karşılık
gelmektedir. Bir sonraki bölümde yer alan gerçek sinyallerden çıkarılan sonuçlardan
görüleceği gibi bu aralık beklenen değişinti aralığını kapsamaktadır. Ölçüm gürültüsü
biçim faktörünün 51SNR dB= de kestirimi ise Şekil 4.16 da yer almaktadır. Bu şekil
Şekil 4.3 den yakınsama değerleri bakımından bazı farklılıklar içerir. Bu farklılık ölçüm
gürültüsününde aynı zamanda kestirilmesinden kaynaklanmaktadır. Ayrıca 2i = de
yakınsama sağlandığı için 3i = e kadar çizilmiştir.
Ölçüm inovasyonlarının değişintisi doğrusal RIC ve doğrusal olmayan RC modeller için
Şekil 4.15 de yer almaktadır. 2υσ aslında 2
( 3)( 51 )r i SNR dBσ = = değerinden başlamıştır, fakat ilk
iki değer (1 2k≤ ≤ ) büyük salınımlar nedeniyle grafikte gösterilmemiştir. Her üç
gürültü dağılımda da ölçüm inovasyonları değişintisi 20.1 0.4υσ≤ ≤ arasında yer
almaktadır. Bu ölçüm gürültüsüne oldukça yakın bir değerdir. Bundan kestirim hata
değişintisinin, 2uσ aslında ölçüm gürültüsünden çok daha küçük bir değer olduğu
anlaşılabilir. Şekil 4.16 da yer alan ölçüm inovasyonları biçim faktörü ( )( )3 51r i SNR dBp = =
den başlamıştır. Gauss ve Laplace dağılımlı gürültülerde yakınsama elde edildiği halde
birörnek dağılımlı gürültüde yakınsama nispeten daha azdır. Bu şekillden çıkarılacak
diğer bir önemli sonuçta, GGD tabanlı ölçüm gürültüsünde yine aynı yönde GGD
tabanlı bir inovasyon gürültüsü elde edildiğidir.
100
30 35 40 45 50 55 600
2
4
6
8
10
12
mse
(var
r)
SNR
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(a)
30 35 40 45 50 55 600
10
20
30
40
50
60
70
mse
(var
r)
SNR
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(b)
Şekil 4.13. a) RIC model, ve b) Doğrusal olmayan RC model için MLE yöntemiyle kestirilen ölçüm gürültüsü değişintisi hatasının SNR ile değişimi. Farklı dağılımlı gürültüler eklenerek
bulunmuştur.
101
1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
kest
irile
n p r
yineleme sayisi, i
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(a)
1 1.5 2 2.5 31
1.5
2
2.5
3
3.5
kest
irile
n (p
r)
yineleme sayisi, i
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(b)
Şekil 4.14. a) RIC model, ve b) Doğrusal olmayan RC model için Kurtosis yöntemiyle kestirilen ölçüm gürültüsü biçim faktörünün yakınsaması. Farklı dağılımlı gürültüler eklenerek
bulunmuştur. 51SNR dB=
102
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
var v
zaman indeksi, k
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(a)
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
var v
zaman indeksi, k
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(b)
Şekil 4.15. a) RIC model, ve b) Doğrusal olmayan RC model için Bilgi filtresi yardımıyla kestirilen ölçüm inovasyonları değişintisi değerlerinin yakınsaması. Farklı dağılımlı gürültüler
eklenerek bulunmuştur. 51SNR dB=
103
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kest
irile
n p v
zaman indeksi, k
Birörnek D. GürültüGauss D. GürültüLaplace D. Gürültü
(a)
0 50 100 150 200 250 3001
1.5
2
2.5
3
3.5
4
kest
irile
n p v
zaman indeksi, k
Birörnek D. Gürültü
Laplace D. Gürültü
(b)
Şekil 4.16. a) RIC model, ve b) Doğrusal olmayan RC model için Bilgi filtresi yardımıyla kestirilen ölçüm inovasyonları biçim faktörü değerlerinin yakınsaması. Farklı dağılımlı
gürültüler eklenerek bulunmuştur. 51SNR dB=
104
4.5. ÖLÇÜLEN SOLUNUM SİNYALLERİNDEN ELDE EDİLEN SONUÇLAR
Tezin bu bölümüne kadar verilen benzetim sonuçları, yapay olarak üretilen solunum
sinyallerinden (hava akış hızı, ( )V t ve maske içi basıncı, ( )awP t ) üretilmiş olup
yöntemlerin ve/veya algoritmaların çalışmalarını ve kestirimlerini göstermek için
verilmiştir. Ayrıca bu çalışmalar kestirimlerde yapılan hataları üç farklı şekilde ortaya
koymuştur: i) ortalama karesel hata ( )mse • , ii) zamanda veya yinelemelerde
yakınsama, ve en önemlisi iii) istatistiksel sinyal işlemede performans kriteri olan,
sonsal Cramer Rao alt sınırı.
Fakat, gerçek solunum sinyallerinde bu kestirilen değerler hiç bir zaman
bilinmemektedir ve bu nedenle hataların matematiksel olarak hesaplanması ve gösterimi
mümkün değildir. Ölçülen solunum sinyallerinden kestirilen model parametreleri,
durum değişkenleri ve gürültü dağılımı parametrelerinin doğruluğunun gösterimi bir
şekilde olabilir: farklı solunum döngülerinden kestirilen parametrelerin birlikte
çizilmesi. Yukarıdaki yöntemler birbirine ardışık solunum döngülerine uygulandığında
kestirilen parametrelerin hemen hemen aynı olmasını beklenir. Bu durumda, bu
bölümde gösterilen şekillerde beş solunum döngüsünden elde edilen kestirim sonuçları
beraber gösterilmiştir. Şu belirtilmelidir ki solunum döngüleri arasındaki yakınsama
farklılıkları sadece kestirim yöntemlerinden kaynaklanmamaktadır, ayrıca özellikle
KOAH hastalarında görülen solunum döngüleri arasındaki solunum sinyalleri
farklılıkları kestirimi farklılaştırmaktadır.
Gerçek sinyaller ile yapılan kestirimlerde yöntem algoritmaları, başlangıç değerleri ve
benzetim parametreleri, aksi belirtilmedikçe, yukarıda verilenler ile aynıdır.
4.5.1. Sinyal Toplama ve Önişleme
Solunum sinyalleri, i) 7 erkek ve 1 kadın Kronik Obstrüktif Akciğer Hastalığığı
(KOAH) olan hastalardan (hasta grubu), ve ii) 4 erkek ve 2 kadın sigara içmeyen
sağlıklı kişilerden (kontrol grubu) ölçülmüştür. Hasta grubu ölçümleri İstanbul
Üniversitesi Cerrahpaşa Tıp Fakültesi Göğüs Hastalığıkları Anabilim Dalı yoğun bakım
ünitesinde yapılmıştır. Ayrıca, ölçümlerden önce İstanbul Üniversitesi Cerrahpaşa Tıp
105
Fakültesi Tıbbi etik kurulundan izin alınmıştır. Kontrol grubu ölçümleri İstanbul Kültür
Üniversitesi Elektronik Mühendisliği laboratuvarında yapılmıştır.
Ölçümler sırasınca hastalar, yüzmaskesi (Respironics Inc. Spectrum, orta ve küçük
ebatta) ile bağlanmış invasiv olmayan ventilatör (Respironics Inc. BIPAP S/T IPAP -
28 15 cmH O− , PEEP - 20 4 cmH O− ) yardımıyla solunum yapmaktaydılar. Maske içi
basıncı ve havayolu gaz akış hızı pneumotachograph ve basınç transdüser sistemi (Hans
Rudolph Inc. Research pneumotachograph system) yardımıyla ölçülmüştür. Ölçüm
esnasında kişiler bilinçli ve oturur durumdaydılar. Kontrol grubu, invasiv olmayan
ventilatöre bağlı olmadan sadece yüzmaskesi ile solunum yapmaktaydı. En az 10 adet
düzgün (konuşma, iç çekme, hareket etme etkilerini içermeyen) solunum sinyali veri
toplama ünitesi (National Instrument DAQCard-6036E ADC - 16bit ) yardımıyla
taşınabilir bilgisayara kaydedildi. Örneklem frekansı 100 Hz olarak seçilmiştir.
Solunum sinyalleri Butterworth alt geçiren yazılım filtresi (cut-off frekansı 50 Hz ) ile
yüksek frekans gürültüsünden temizlenmiş ve 5 ardışıl solunum döngüsü işleme için
ayrılmıştır. Daha sonra, hasta grubu sinyalleri dört bölüme ayrılmıştır: i) hastanın
solunuma başlaması (maske içi basıncının PEEP basıncının altına düştüğü nokta) 1t , ii)
ventilatörün tetiklendiği nokta (havayolu gaz akışının artmaya başladığı nokta) 2t , iii)
hastanın ekspirasyona geçtiği nokta (maske içi basıncı azalmaya başladığı yerde
havayolu gaz akış hızının enbüyük değerinden yaklaşık %25 düştüğü nokta) 3t , iv)
solunumum bittiği nokta (maske içi basıncın PEEP seviyesine inmesi) 4t . Kontrol
grubunda 2t noktası hariç diğer noktalar bulunmaktadır.
Eşitlik (3.2) de verilen ventilatör basıncı modeli, hasta grubunda sistem kontrol giriş ku
yerine kullanılmıştır, fakat kontrol gurunda ku yer almamaktadır. ( )venP t nin
hesaplanmasında 2 1trigt t t= − olarak alınmıştır, diğer değerler Tablo 4.1 de yer
almaktadır. İnspirasyon kasları modeli ise (3.3) hem hasta grubunda hem de kontrol
grubunda yer almaktadır ve model parametre değerleri Tablo 4.1 de verilmiştir.
106
4.5.2. Enküçük Değişinti Yansız Kestirimci
Şekil 3.1 ve Şekil 3.2 de yer alan ve ölçüm eşitlikleri (3.8) de verilen doğrusal RIC ve
(3.11), (3.13) ve (3.14) de verilen Viskoelastik solunum sistemi modelleri ölçülen
gerçek sinyaller yardımıyla MVUE yöntemine uygulanmıştı. Tablo 4.7 ve Tablo 4.8 de
kontrol ve hasta grubundan seçilen üçer kişinin beş solunum döngüsünden elde edilen
sırasıyla RIC ve Viskoelastik model parametre değerleri ve değişintileri
gösterilmektedir.
Tablo 4.7. MVUE yöntemiyle kestirilen RIC model parametre değerleri. Kestirim değişintileri parantez içinde verilmiştir. Birimler Tablo 4.1 de yer almaktadır.
RIC Model Parametreleri Denek No
Solunum
Döngü No R L 1C E−= maxmusP
1 ( )0.44410.0500 ( )
0.00480.0006 ( )
8.74751.8950 ( )
0.09980.0161
2 ( )0.60200.0249 ( )
0.00480.0007 ( )
11.84272.1077 ( )
0.03410.0086
3 ( )0.62900.0718 ( )
0.00040.0007 ( )
37.325864.0157 ( )
0.04140.0288
4 ( )0.42510.2490 ( )
0.00460.0005 ( )
5.90837.6376 ( )
0.20320.1610
5 ( )0.56220.1004 ( )
0.01070.0005 ( )
14.194123.1076 ( )
0.18370.0957
Kontrol
Grubu
1
( )ort θ ( )0.53250.0992 ( )
0.00510.0005 ( )
15.603719.7527 ( )
0.11250.0621
1 ( )0.32590.1367 ( )
0.00600.0005 ( )
18.525729.0544 ( )
0.26500.0515
2 ( )0.12920.1853 ( )
0.00270.0007 ( )
8.29345.3020 ( )
0.32800.0635
3 ( )0.33570.1365 ( )
0.01230.0008 ( )
29.792586.3435 ( )
0.19240.0510
4 ( )0.29560.1655 ( )
0.00720.0008 ( )
13.148615.8543 ( )
0.23110.0530
5 ( )0.27620.2162 ( )
0.00750.0009 ( )
15.862432.3836 ( )
0.20830.0649
Kontrol
Grubu
2
( )ort θ ( )0.27250.1680 ( )
0.00720.0007 ( )
17.124533.7876 ( )
0.24500.0568
107
1 ( )0.58080.0498 ( )
0.00070.0002 ( )
9.89522.1077 ( )
0.01370.0140
2 ( )0.44520.814 ( )
0.00080.0001 ( )
6.05420.9783 ( )
0.15170.0294
3 ( )0.62090.0289 ( )
0.00040.0002 ( )
15.23002.3175 ( )
0.03110.0076
4 ( )0.64760.469 ( )
0.00260.0002 ( )
18.68474.9519 ( )
0.06090.0175
5 ( )0.60240.0706 ( )
0.00210.0001 ( )
10.49323.7718 ( )
0.08640.0313
Kontrol
Grubu
3
( )ort θ ( )0.57940.0555 ( )
0.00140.0001 ( )
12.07152.8254 ( )
0.06880.0200
1 ( )0.64490.0221 ( )
0.13400 ( )
1.35840.0174 ( )
1.00320.0508
2 ( )0.75290.0264 ( )
0.12600 ( )
2.13820.0377 ( )
2.92780.0503
3 ( )2.39450.0552 ( )
0.04480.0001 ( )
1.23660.0145 ( )
4.28540.0878
4 ( )0.79760.205 ( )
0.010340 ( )
2.19000.0309 ( )
2.57650.0377
5 ( )3.99170.0147 ( )
0.10380 ( )
0.47570.0022
4.03160.0462
Hasta Grubu
1
( )ort θ ( )1.63630.0278 ( )
0.10240 ( )
1.47980.0205 ( )
2.96490.0545
1 ( )0.18280.0036 ( )
0.03470.0001 ( )
5.75780.0610 ( )
1.35220.0137
2 ( )0.56620.0034 ( )
0.03480.0001 ( )
1.72780.0040 ( )
1.04110.0088
3 ( )0.23350.0022 ( )
0.00240.0001 ( )
6.93250.0751 ( )
1.07280.0078
4 ( )0.62830.0021 ( )
0.01820.0001 ( )
3.75310.0149 ( )
1.02580.0074
5 ( )0.43800.0027 ( )
0.01040.0001 ( )
8.01940.0902 ( )
1.77660.0086
Hasta Grubu
2
( )ort θ ( )0.33130.0028 ( )
0.02010.0001 ( )
5.23810.0490 ( )
1.25370.0093
108
1 ( )0.20140.0022 ( )
0.10310.00004 ( )
2.07380.0033 ( )
3.09260.0138
2 ( )0.27520.0025 ( )
0.09700.00005 ( )
0.71290.0279 ( )
3.63480.0152
3 ( )0.23480.0021 ( )
0.07830.00003 ( )
0.79700.0170 ( )
3.56300.0124
4 ( )0.11100.0021 ( )
0.07980.00003 ( )
0.59400.0298 ( )
3.68540.0122
5 ( )0.10990.0020 ( )
0.08420.00005 ( )
0.88280.0169 ( )
3.19470.0133
Hasta Grubu
3
( )ort θ ( )0.18650.0022 ( )
0.08850.00004 ( )
1.01210.0190 ( )
3.43410.0134
Tablo 4.8. MVUE yöntemiyle kestirilen Viskoelastik model parametre değerleri. Kestirim değişintileri parantez içinde verilmiştir. Birimler Tablo 4.1 de yer almaktadır.
Viskoelastik Model Parametreleri Denek No
Solunum
Döngü No R 1s sC E−= veR 1
ve veC E−= maxmusP
1 ( )0.35270.0205 ( )
12.74210.0002
( )0.19900.0392
( )2.51250.0124 ( )
0.12830.0052
2 ( )0.62110.0120 ( )
7.28710.0006
( )0.00870.0356
( )57.77840.0000 ( )
0.03220.0029
3 ( )0.60560.0293 ( )
12.70480.0003
( )0.01980.0460
( )25.31380.0001 ( )
0.05030.0093
4 ( )0.47720.1218 ( )
15.90970.0008
( )0.14120.0564
( )3.54210.0090 ( )
0.17540.0667
5 ( )0.45300.0684 ( )
4.04890.0100
( )0.03600.0301
( )13.87560.0003 ( )
0.27930.0522
Kontrol
Grubu 1
2tis sτ =
( )ort θ ( )0.50190.0504 ( )
10.53850.0024
( )0.08090.0415
( )20.60450.0272 ( )
0.13310.0272
109
1 ( )0.64220.1198 ( )
1.89860.0771
( )0.32350.1310
( )1.54560.1097 ( )
0.12630.0313
2 ( )0.17280.1939 ( )
19.41310.0008
( )0.10200.1497
( )4.90190.0125 ( )
0.31070.0447
3 ( )0.76400.1049 ( )
1.27260.1593
( )0.43690.1250
( )1.14430.1909 ( )
0.01110.0273
4 ( )0.71920.1233 ( )
1.33060.1655
( )0.51100.1735
( )0.97840.3626 ( )
0.06840.0274
5 ( )0.62700.1953 ( )
1.86500.1169
( )0.32280.1757
( )1.54900.1465 ( )
0.06960.0407
Kontrol
Grubu 2
2tis sτ =
( )ort θ ( )0.58510.1475 ( )
5.15600.1039
( )0.33930.1510
( )2.02390.1644 ( )
0.11720.0343
1 ( )0.56190.0247 ( )
7.91590.0004
( )0.04170.0668
( )18.46070.0003 ( )
0.00850.0048
2 ( )0.43900.0346 ( )
5.89330.0006
( )0.12620.0428
( )6.09650.0015 ( )
0.15500.0098
3 ( )0.65090.0142 ( )
35.45250.0000
( )0.12530.0462
( )6.13760.0016 ( )
0.02560.0025
4 ( )0.64860.0197 ( )
21.19370.0000
( )0.06380.0432
( )12.05020.0004 ( )
0.06350.0057
5 ( )0.55280.0339 ( )
6.34160.0009
( )0.01100.0576
( )69.87120.0000 ( )
0.10800.0112
Kontrol
Grubu 3
1.3tis sτ =
( )ort θ ( )0.57070.0254 ( )
15.35940.0004
( )0.07360.0513
( )22.52320.0007 ( )
0.07120.0068
110
1 ( )1.24360.0302 ( )
0.99800.0364
( )9.81520.7149
0.169814.8767 ( )
3.55680.0747
2 ( )1.88510.0273 ( )
0.97580.0403
( )8.83600.6508
( )0.188610.9755
( )4.05870.0525
3 ( )1.84550.0421 ( )
2.58240.0101
( )3.85750.8199
( )0.43212.6354 ( )
2.50930.0559
4 ( )0.58470.0143 ( )
1.37240.0161
( )0.93950.3457
( )1.77390.0659 ( )
2.20910.0221
5 ( )4.46700.0616 ( )
1.37290.0161
( )13.91131.8962
( )0.119879.2617
5.98990.2683
Hasta Grubu
1
0.6tis sτ =
( )ort θ ( )2.00520.0351 ( )
1.23990.1228
( )7.47190.8855
( )0.536821.5630
( )3.66480.0947
1 ( )0.03260.0364 ( )
0.17950.7575
( )12.75820.4223
( )0.078468.7422
( )1.12920.0905
2 ( )1.32860.0368 ( )
0.33460.2161
( )5.53830.2402
( )0.18067.3672 ( )
0.96200.0479
3 ( )1.35100.0220 ( )
0.40850.1661
( )3.82330.2514
( )0.26163.6752 ( )
1.86550.0451
4 ( )2.25840.0324 ( )
0.27820.3123
( )9.08490.2480
( )0.110120.4677
( )2.32020.0646
5 ( )1.29010.0465 ( )
0.32170.1966
( )6.58640.1838
( )0.15187.9731 ( )
1.06560.0794
Hasta Grubu
2 1tis sτ =
( )ort θ ( )1.25210.0348 ( )
0.30450.3297
( )7.55820.2691
( )0.156521.6451
( )1.48850.0655
111
1 ( )0.62140.0029 ( )
0.52080.0910
( )33.77614.9751
( )0.148045.4059
( )5.00210.0608
2 ( )0.96610.0028 ( )
0.48530.1055
( )10.40275.7780
( )0.48065.0022 ( )
3.44820.0771
3 ( )0.91530.0024 ( )
0.60290.0583
( )15.86874.0996
( )0.31518.2587 ( )
3.20010.0587
4 ( )0.83680.0024 ( )
0.57240.0644
( )31.36863.9917
( )0.159431.4223
( )2.50050.0583
5 ( )0.31750.0028 ( )
0.45470.1015
( )17.74894.2814
( )0.281710.7899
( )4.25700.0502
Hasta Grubu
3
0.6tis sτ =
( )ort θ ( )0.73140.002 ( )
0.52720.0841
( )21.83304.6251
( )0.277020.1758
( )3.68160.0611
Tablo 4.7 ve Tablo 4.8 in yorumlanabilmesi için ilk olarak akciğer doku zaman sabiti,
tis ve veR Cτ = ile model parametrelerinin kestiriminin açıklanması gerekmektedir.
Viskoelastik model parametrelerinin MVUE yöntemi ile kestirilmesi için gereken
yardımcı araç olan tisτ , gerçek solunum sinyallerinde parametrelerin kestirimini üssel
olarak etkiler. Model parametrelerinin kestirim değerleri ile tisτ arasındaki ilişki Şekil
4.17 de Kontrol ve Hasta grubundan olmak üzere birer örnek ile gösterilmiştir. Bir
solunum süresi boyunca çıkarılan bu ilişkiden görülceği gibi belirli bir değerden sonra
kestirilen parametre değerleri üssel olarak değişim gösterir. Burada her dört parametre
için ani değişikliklerin olmadığı ve kararlı kestirim bölgesi içinde olan en küçük tisτ
değeri kabul edilmiştir ve yukarıdaki sonuçlarda bulunan bu zaman sabiti için
verilmiştir. Her bir benzetim için çıkarılan tisτ değerlerine göre kestirilen model
parametreleri bir çok açıdan değerlendirilebilir.
112
0 0.5 1
1.4
1.6
1.8
2
2.2
kest
irile
n R aw
τ (s)0 0.5 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
kest
irile
n C s
τ (s)
0 0.5 10
10
20
30
40
kest
irile
n C ve
τ (s)0 0.5 1
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
kest
irile
n P m
usm
ax
τ (s)(a)
0 1 2 30.5
1
1.5
2
2.5
kest
irile
n R aw
τ (s)0 2
0
200
400
600
kest
irile
n C s
τ (s)
0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
kest
irile
n C ve
τ (s)0 2
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
kest
irile
n P m
usm
ax
τ (s)(b)
Şekil 4.17. a) Hasta Grubu 3 nolu hasta için ( 0.6tis sτ = alınmıştır), ve b) Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için ( 2tis sτ = alınmıştır) Viscoelastik model parametre kestirimlerinin akciğer
doku zaman sabiti tisτ ile değişimi.
113
Biyomedikal çıkarımlar
1. Benzetim sonuçları kişiler arasında farklılık göstermektedir ve ayrıca Hasta ve
Kontrol gruplarında ikna edici önemli kestirim farklılıkları vardır.
2. RIC modelde Kontrol grubu için kestirilen her bir model parametresi solunum
döngüleri arasında çok tutarlı2 sonuçlar vermiştir. Hasta grubu sonuçlarında
tutarlılık azalmıştır.
3. RIC modelde en kararlı ve tutarlı kestirimler R ve maxmusP parametrelerinde
olmuştur. Bunun yanında solunum döngüleri arasında en çok fark yaratan
parametre C parametresidir.
4. Beklenildiği gibi L parametresi diğer parametrelere göre çok küçük bir değer
olarak kestirilmiştir. Değişintiside çok küçük bir değer olarak bulunmuştur.
5. maxmusP her iki modelde de Kontrol grubunda Hasta grubuna göre daha küçük
değerlerde kestirilmiştir.
6. Viskoelastik modelde solunum döngüleri arasındaki tutarlılık azalmış ve
özellikle Hasta grubunda R , veR ve veC parametrelerinde tisτ den kaynaklanan
kabul edilemez düzeye kadar gelen tutarlılık azalması görülmüştür.
7. RIC ve Viskoelastik modellerde ortak R ve maxmusP parametre kestirimleri aynı
kişi için istikrarlı değerler vermiştir. Fakat, R parametresinin Viskoelastik
modelde hafifçe arttığı söylenebilir.
Sinyal işleme çıkarımları
1. RIC model MVUE yöntemine doğrusallığı açısından uygundur, fakat
Viscoelastik modelde her sk tΔ anında veV nin hesaplanması bir çok modelde
değişintinin artmasını ve solunum döngüleri arasındaki tutarlılığın azalmasına
neden olmuştur.
2. 0 2. N NR I ×= kabulünün kestirim değerlerine bir etkisi olmadığı değişik değerler
ile kontrol edilerek görülmüştür.
3. Gauss olarak kabul edilen ölçüm gürültüsü ve ölçüm sinyalinin, özellikle
Viskoelastik modelde yüksek parametre değişintisine neden olduğu
2 MVUE yönteminde tutarlılık, her bir kişi için solunum döngüleri benzetimlerinde tamamen aynı
sonuçların alınması manasında kullanılmıştır.
114
düşünülmektedir. Hasta grubu sonuçlarında veC parametresinde görülen yüksek
değişinti, sinyallerin model uyarlanmasında kalan artıkların (residüeller) ölçüm
gürültüsünü Gauss dağılımından uzaklaştırmasının bir nedenidirler.
4. Benzetimlerin Viskoelastik model için farklı tisτ değerlerinde yapılması ve
Kontrol grubunda solunum döngülerinin genellikle Hasta grubuna göre uzun
olması, min 371N = hesaplama süresini belirgin bir ölçüde arttırmıştır
180comt s∼ .
5. Yukarıda verilen nedenlerden dolayı Viskoelastik model MVUE yöntemine
uygun değildir.
Medikal çıkarımlar
1. Sağlıklı kişilerin solunum sistemi hasta kişilere göre RIC modele daha
uygundur.
2. Sağlıklı kişiler için solunumda inspirasyon kaslarının yarattığı enbüyük basınç
hasta kişilere oranla çok azdır ( maxmusP parametresi daha küçük).
3. Hasta kişilerde havayolu resistansında ( R parametresi) bir miktar artma
görülmüştür.
4. Sağlıklı kişilerde akciğer kompyiyansı, statik kompliyans ve akciğer doku
kompliyansı (C , sC ve veC parametreleri) hasta kişilere oranla çok yüksektir
(yaklaşık 10 kat)
5. Akciğer doku resistansı hasta kişilerde sağlıklı kişilere oranla yüksek bir değer
alır.
115
4.5.3. Kalman Filtre
Şekil 3.2 ve Şekil 3.3 de yer alan ve ölçüm eşitlikleri (3.15), (3.16) ve (3.17) de verilen
Viskoelastik ve (3.18), (3.19) ve (3.20) de verilen Mead solunum sistemi modellerinin
model parametreleri ölçülen gerçek sinyaller yardımıyla çiftli Kalman Filtre yöntemi ile
kestirilmiştir. Her iki modelde de kestirilen sözde parametrelerden gerçek model
parametrelerine Teorem 4.1 kullanılarak geri dönülmüştür. Tablo 4.3 de verilen yapay
solunum sinyalleri ile benzetimlerde kullanılan başlangıç değerler ve benzetim
parametrelerinde yakınsama sağlanması amacıyla değişiklik olmuştur. Tablo 4.9 da
Viskoelastik ve Mead modellerin benzetiminde kullanılan başlangıç değerler ve
benzetim parametreleri yer almaktadır.
Tablo 4.9. Gerçek solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde Kalman filtre için kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
Viskoelastik model Mead model Parametre
Kontrol G. Hasta G. Kontrol G. Hasta G.
[ ]0 0θ θE=
( )0,1N ( )0,1N ( )10,10N ( )10,10N
[ ]0 0x xE=
[ ]0 [ ]0 [ ]0 [ ]0
0 0θP 3
5 510 I × 35 510 I × 3
8 810 I × 38 810 I ×
Başlangıç
değerler
0 0xP 0
2 210 I × 02 210 I × 3
5 510 I−× 3
5 510 I−×
θR 2 21101
I ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
2 21101
I ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
5 510 I × 5 510 I ×
xR 010 010 10 10
θQ 5 50I × 5 50I × 8 80I × 8 80I ×
Benzetim
para.
xQ 12 210 I−× 1
2 210 I−× 1
5 510 I−× 1
5 510 I−×
116
50 100 1500
1
2
kest
irile
n R aw
Zaman indeksi, k50 100 150
1
2
3
kest
irile
n C s
Zaman indeksi, k
50 100 150
2
4
6ke
stiri
len
R ve
Zaman indeksi, k50 100 150
11.5
22.5
kest
irile
n C ve
Zaman indeksi, k
50 100 150
5101520
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
50 100 150
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
kest
irile
n P kC
s
Zaman indeksi, k50 100 150
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kest
irile
n P kC
ve
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.18. Hasta Grubu 3 nolu hasta için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Viskoelastik modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
117
100 200 300 4000
0.2
0.4
0.6
kest
irile
n R aw
Zaman indeksi, k100 200 300 400
2468
10
kest
irile
n C s
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000.40.60.8
11.21.4
kest
irile
n R ve
Zaman indeksi, k100 200 300 400
2
4
6
8
kest
irile
n C ve
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
0.20.40.60.8
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
100 200 300 400
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
kest
irile
n P kC
s
Zaman indeksi, k100 200 300 400
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
kest
irile
n P kC
ve
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.19. Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Viskoelastik modelde a) model parametreleri, b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
118
50 100 1501
2
3
kest
irile
n R c
Zaman indeksi, k50 100 150
0.02
0.04
0.06
kest
irile
n L
Zaman indeksi, k
50 100 1500.02
0.04
0.06ke
stiri
len
C l
Zaman indeksi, k50 100 150
0.02
0.04
0.06
kest
irile
n C b
Zaman indeksi, k
50 100 1501.5
2
kest
irile
n R p
Zaman indeksi, k50 100 150
0.020.040.06
kest
irile
n C w
Zaman indeksi, k
50 100 150
20
40
kest
irile
n C e
Zaman indeksi, k50 100 150
1
2
3
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
50 100 150-2
0
2
kest
irile
n V kL
Zaman indeksi, k50 100 150
0
0.5
1
kest
irile
n P kC
l
Zaman indeksi, k
50 100 150
0
0.5
1
kest
irile
n P kC
b
Zaman indeksi, k50 100 150
00.5
11.5
kest
irile
n P kC
w
Zaman indeksi, k
50 100 150
-2
0
2
kest
irile
n P kC
e
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.20. Hasta Grubu 3 nolu hasta için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Mead modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
119
100 200 300 4000.02
0.04
0.06
kest
irile
n L
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000.020.040.060.08
kest
irile
n C l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.02
0.06
kest
irile
n C b
Zaman indeksi, k
100 200 300 4001.21.41.61.8
kest
irile
n R p
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.020.06
0.1
kest
irile
n C w
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
0.5
1
kest
irile
n C e
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000.60.8
11.2
kest
irile
n R c
Zaman indeksi, k
100 200 300 4001.05
1.11.15
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
100 200 300 400-0.4-0.2
00.20.4
kest
irile
n V kL
Zaman indeksi, k100 200 300 400
00.10.20.3
kest
irile
n P kC
l
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
0
0.2
0.4
kest
irile
n P kC
b
Zaman indeksi, k100 200 300 400
00.20.40.60.8
kest
irile
n P kC
w
Zaman indeksi, k
100 200 300 400-0.4
-0.2
0
kest
irile
n P kC
e
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.21. Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için Kalman filtre yöntemiyle kestirilen Mead modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
120
Biyomedikal çıkarımlar
1. MVUE yönteminde olduğu gibi çiftli KF yönteminde de benzetim sonuçları
kişiler ve gurublar arasında farklılık gösterir ve grupları ayırt edici özellikler
taşır.
2. Viskoelastic model parametre sonuçları Mead modele oranla daha tutarlıdır3.
3. Her iki modelde de en kararlı ve tutarlı kestirimler awR , cR ve maxmusP
parametrelerinde olmuştur. Bunun yanında solunum döngüleri arasında en çok
fark yaratan parametreler veR , veC ve eC parametreleridir.
4. Viskoelastik model ile Mead model arasındaki ortak parametrelerden awR ve cR
parametreleri her kişide hemen hemen aynı değere yakınsamıştır. Fakat yine
ortak olan maxmusP parametresi Kontrol grubu için Mead modelde Viskoelastik
modele göre yüksek çıkmıştır. Hasta grubunda ise bunun tam tersi olmuştur.
5. Viskoelastik model için awR , sC ve maxmusP parametre sonuçları çiftli KF ile
MVUE yöntemleri arasında tutarlıdır.
6. Solunum döngüleri arasındaki tutarlılıkta model parametreleri ve durum
değişkenleri için modeller ve gruplar arasında önemli bir fark yoktur.
Sinyal işleme çıkarımları
1. Çiftli KF yöntemi Viskoelastik ve Mead model parametre ve durum değişkeni
kestiriminde MVUE yöntemine göre daha başarılıdır. Durum değişkenlerinin
zaman ile değişmesi başarı ile gözlenmiştir.
2. Sözde parametre tanımlanması ve daha sonra gerçek parametrelere dönüşte
başlangıç değerlerinin belirlenmesinde zorluklar yaratmıştır. Bu nedenle yüksek
oratalamalı ve değişintili başlangıç değerleri kullanılmıştır.
3. Mead modelde benzetim parametrelerinin sonuçlarda etkisi büyüktür. KF
inovasyonları karalılıktan uzaklaşması tekil inovasyon matrisine neden olur ve
parametrelerde yakınsama gerçekleşmez.
4. Kestirilen durum değişkeni sayısı arttıkça karalılığı korumak için Mead modelde 310 kat daha düşük başlangıç ortak değişinti matrisi kabul edilmiştir.
3 Çiftli KF, EKF, UKF ve MLE yöntemlerinde tutarlılık, benzetimlerin aynı koşullar altında fakat farklı
zamanlarda çalıştırılmasında tamamen aynı sonuçların alınması manasında kullanılmıştır.
121
Medikal çıkarımlar
1. Sağlıklı kişilerde merkezi cR ve periferik pR havayolu direnci hasta kişilere
göre daha düşüktür.
2. Sağlıklı kişilerde gaz akış indüktansı hasta kişilere göre bir miktar düşüktür.
3. Sağlıklı kişilerde bronşların bC , akciğerin lC ve göğüs duvarının wC
kompliyansları hasta kişilere oranla daha yüksektir.
4. Sağlıklı kişilerde göğüs dışı doku kompliyansının veya statik kompliyansın
yarattığı basınç inspirasyon sırasında negatif değerler alır ve ekspirayonda küçük
bir pozitif değere yükselir.
5. Sağlıklı kişilerde solunum sistemi içindeki basınçlar hasta kişilere göre daha
düşük seviyededirler.
122
4.5.4. Genişletilmiş ve Unscented Kalman Filtreleri
Şekil 3.3 de yer alan ve durum-ölçüm eşitlikleri (3.18), (3.19) ve (3.20) de verilen Mead
solunum sistemi modelinin model parametreleri çiftli genişletilmiş Kalman filtre ve
unscented kalman filtre yöntemi ile kestirilmiştir. Şekil 3.4 de yer alan ve durum-ölçüm
eşitlikleri (3.25) ve (3.26) da verilen doğrusal olmayan RC modelin model
parametrelerinin kestirimde ise birleşik genişletilmiş Kalman filtre ve unscented kalman
filtre yöntemi kullanılmıştır. Tablo 4.10 da Mead ve doğrusal olmayan RC modellerin
benzetiminde kullanılan başlangıç değerler ve benzetim parametreleri yer
almaktadır.Başlangıç değerler ve benzetim parametreleri UKF ve EKF yöntemleri için
tamamen aynı seçilmiştir.
Tablo 4.10. Gerçek solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde EKF ve UKF için kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
Mead model RC model Parametre
Kontrol G. Hasta G. Kontrol G. Hasta G.
[ ]0 0θ θE= ( )0,2N ( )0,10N ( )0,0.1N ( )0,0.1N
[ ]0 0x xE= [ ]0 [ ]0 [ ]0 [ ]0
0 0θP 2
8 810 I × 48 810 I × - -
Başlangıç
değerler
0 0xP 1
5 510 I−× 1
5 510 I−× 310 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1
310 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1
θR 5 51I × 5 51I × - -
xR 1 1 1 1
θQ 8 80I × 8 80I × - -
Benzetim
parametre
xQ 35 510 I−× 3
5 510 I−× 310 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0
310 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦0
123
50 100 150012
kest
irile
n R c
Zaman indeksi, k50 100 150
246
kest
irile
n L
Zaman indeksi, k
50 100 150
123
kest
irile
n C l
Zaman indeksi, k50 100 150
2
4
kest
irile
n C b
Zaman indeksi, k
50 100 150
123
kest
irile
n R p
Zaman indeksi, k50 100 150
12345
kest
irile
n C w
Zaman indeksi, k
50 100 1502468
kest
irile
n C e
Zaman indeksi, k50 100 150
-0.50
0.51
1.5ke
stiri
len
P mus
max
Zaman indeksi, k(a)
50 100 150-0.4-0.2
0
0.2
kest
irile
n V kL
Zaman indeksi, k50 100 150
-0.1
0
0.1
kest
irile
n P kC
l
Zaman indeksi, k
50 100 150-0.1
0
0.1
0.2
kest
irile
n P kC
b
Zaman indeksi, k50 100 150
-0.10
0.10.20.3
kest
irile
n P kC
w
Zaman indeksi, k
50 100 150
-1
0
1
kest
irile
n P kC
e
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.22. Hasta Grubu 3 nolu hasta için UKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
124
50 100 150
0.51
1.5
kest
irile
n R c
Zaman indeksi, k50 100 150
1
2
kest
irile
n L
Zaman indeksi, k
50 100 1500.5
11.5
kest
irile
n C l
Zaman indeksi, k50 100 150
11.5
2
kest
irile
n C b
Zaman indeksi, k
50 100 150
1
2
kest
irile
n R p
Zaman indeksi, k50 100 150
0.51
1.5
kest
irile
n C w
Zaman indeksi, k
50 100 1500.5
11.5
2
kest
irile
n C e
Zaman indeksi, k50 100 150
0.51
1.52
2.5ke
stiri
len
P mus
max
Zaman indeksi, k(a)
50 100 150
-2
0
2
kest
irile
n V kL
Zaman indeksi, k50 100 150
00.5
1
kest
irile
n P kC
l
Zaman indeksi, k
50 100 1500
0.51
kest
irile
n P kC
b
Zaman indeksi, k50 100 150
-1012
kest
irile
n P kC
w
Zaman indeksi, k
50 100 150
-202
kest
irile
n P kC
e
Zaman indeksi, k
(b)
Şekil 4.23. Hasta Grubu 3 nolu hasta için EKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
125
100 200 300 4000
1
kest
irile
n R c
Zaman indeksi, k100 200 300 400
123
kest
irile
n L
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
1
2ke
stiri
len
C l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.51
1.52
2.5
kest
irile
n C b
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000.5
11.5
22.5
kest
irile
n R p
Zaman indeksi, k100 200 300 400
123
kest
irile
n C w
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
123
kest
irile
n C e
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.51
1.52
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
100 200 300 400
-0.10
0.10.2
kest
irile
n V kL
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0
0.05
0.1
kest
irile
n P kC
l
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
00.050.1
0.15
kest
irile
n P kC
b
Zaman indeksi, k100 200 300 400
00.05
0.10.15
kest
irile
n P kC
w
Zaman indeksi, k
100 200 300 400-0.3-0.2-0.1
0
kest
irile
n P kC
e
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.24. Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi UKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
126
100 200 300 400
11.5
22.5
kest
irile
n R c
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.51
1.5
kest
irile
n L
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000.20.40.60.8
11.21.4
kest
irile
n C l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.40.60.8
kest
irile
n C b
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
1
2
kest
irile
n R p
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.20.40.60.8
11.2
kest
irile
n C w
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000.60.8
11.2
kest
irile
n C e
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.40.60.8
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
100 200 300 400
-0.5
0
0.5
kest
irile
n V kL
Zaman indeksi, k100 200 300 400
-0.20
0.20.40.60.8
kest
irile
n P kC
l
Zaman indeksi, k
100 200 300 400-0.2
00.20.40.60.8
kest
irile
n P kC
b
Zaman indeksi, k100 200 300 400
-0.20
0.20.40.60.8
kest
irile
n P kC
w
Zaman indeksi, k
100 200 300 400-0.4-0.2
00.2
kest
irile
n P kC
e
Zaman indeksi, k
(b)
Şekil 4.25. Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi EKF yöntemiyle kestirilen Mead modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
127
50 100 1500
0.5
1
kest
irile
n A u
Zaman indeksi, k50 100 150
0
0.05
0.1
kest
irile
n K u
Zaman indeksi, k
50 100 1500
0.2
0.4
kest
irile
n A l
Zaman indeksi, k50 100 150
0.060.080.1
0.120.140.16
kest
irile
n K l
Zaman indeksi, k
50 100 1500
0.2
0.4
kest
irile
n B l
Zaman indeksi, k50 100 150
0
1
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
20 40 60 80 100 120 140 1600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
kest
irile
n V k
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.26. Hasta Grubu 3 nolu hasta için UKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
128
50 100 1500
0.5
1
kest
irile
n A u
Zaman indeksi, k50 100 150
0
0.1
0.2
kest
irile
n K u
Zaman indeksi, k
50 100 1500
0.10.20.3
kest
irile
n A l
Zaman indeksi, k50 100 150
0.05
0.1
0.15
kest
irile
n K l
Zaman indeksi, k
50 100 1500
0.2
0.4
kest
irile
n B l
Zaman indeksi, k50 100 150
0
0.5
1
1.5
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
20 40 60 80 100 120 140 1600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
kest
irile
n V k
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.27. Hasta Grubu 3 nolu hasta için EKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
129
100 200 300 400
0.40.2
0
kest
irile
n A u
Zaman indeksi, k100 200 300 400
00.05
0.10.15
kest
irile
n K u
Zaman indeksi, k
100 200 300 400-0.05
00.050.1
0.15ke
stiri
len
A l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.020.040.060.08
kest
irile
n K l
Zaman indeksi, k
100 200 300 4000
0.050.1
0.15
kest
irile
n B l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.20.40.60.8
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k
(a)
50 100 150 200 250 300 350 4000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
kest
irile
n V k
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.28. Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi UKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
130
100 200 300 400
0.40.2
0kest
irile
n A u
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.020.040.060.08
0.10.120.14
kest
irile
n K u
Zaman indeksi, k
100 200 300 400
0.050.1
0.15ke
stiri
len
A l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.050.1
0.150.2
0.25
kest
irile
n K l
Zaman indeksi, k
100 200 300 400-0.05
0
0.05
kest
irile
n B l
Zaman indeksi, k100 200 300 400
0.20.40.60.8
11.2
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
50 100 150 200 250 300 350 4000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
kest
irile
n V k
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.29. Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi EKF yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC modelde a) model parametreleri, ve b) durum değişkenleri kestirim sonuçları.
131
Biyomedikal çıkarımlar
1. UKF ve EKF yöntemleri yardımıyla Mead ve RC model parametre ve durum
değişkenleri sınırlı bir başarı ile kestirilmiştir. Kişiler ve grupların sonuçlarında
belirgin farklılıklar gözlemlenmiştir.
2. Mead model için cR , maxmusP ve eC parametreleri hariç diğer parametrelerin
UKF yöntemiyle kestirilen değerleri KF yöntemiyle kestirilenlerden farklılık
gösterir.
3. Mead model parametreleri EKF yöntemiyle kestiriminde yakınsama
sağlanamamıştır.
4. Özellikle Hasta grubunda Mead model durum değişkenlerinin kestiriminde EKF
yöntemi, UKF ye göre daha tutarlı ve kestirim değerleri açısından daha anlamlı
sonuçlar vermiştir.
5. Doğrusal olmayan RC modelde EKF ve UKF yöntemleri her iki gruptada tutarlı
ve anlamlı sonuçlar vermiştir.
6. Doğrusal olmayn RC modelde solunum döngüleri arasındaki tutarlılığın en az
sağlandığı parametreler uK ve lK parametreleridir.
7. Dğrusal olmayan RC modelde durum değişkeni kV Hasta grubunda beklendiği
gibi ekspirasyonda sıfıra yaklaşmamış ve tam tersine artış devam etmiştir. Bu
invasiv olmayan ventilatörün PEEP basıncını sağlaması için hastaya uyguladığı
ekspirasyon gaz akışından kaynaklanmıştır.
8. Doğrusal olmayan RC modelde parametreler her iki yöntemde de inspirasyon ve
ekspirasyonda farklı değerlere yakınsamıştır. Bu beklenen bir sonuçtur ve
parametrelerde ki anlamlı değerleri göstermektedir.
Sinyal işleme çıkarımları
1. Birleşik UKF ve EKF yöntemleri doğrusal olmayan RC modelde model
parametreleri ve durum değişkenlerinin kestirilmesinde çok başarılı olmuştur.
Fakat çiftli UKF ve EKF yöntemlerinin Mead modelde ki başarısı tartışılır.
2. EKF yöntemi UKF ye göre daha az benzetim parametresi içermesine rağmen
EKF nin ayarlanması daha zor olmuştur.
132
3. UKF deki α parametresinin solunum döngüleri arasnda ki tutarlılıkta büyük rol
oynadığı gözlemlenmiştir. Büyük 0.5α > değerleri için parametre
kestirimlerinin yakınsadığı fakat birbirlerinden uzaklaştığı görülmüştür.
4. UKF deki κ benzetim değişkeninin yakınsamaya 0 10κ≤ ≤ aralığında hiç bir
etkisi olmadığı görülmüştür.
5. EKF nin durum değişkenlerinin kestiriminde KF ile aynı sonuçları vermesine
rağmen model parametrelerinin kestiriminde yakınsama sağlanamaması
şaşırtıcıdır. Bu, KF nin sözde parametrelerle istatistiksel ortalamayı doğrusal
modellerde daha iyi yakaladığını gösterir. Bunun yanında birinci derecede
doğrusallaştırma Mead modelde başarılı sonuçlar vermemiştir.
6. Mead modelde Hasta grubunda parametre başlangıç değerleri beş kat daha fazla
değişinti ile seçilmiştir. Bu Hasta grubunda parametre değerlerinin daha geniş
aralıkta değiştiğini gösterir.
7. Mead model de başlangıç ortak değişinti matrisinin durum değişkeni hata ortak
değişinti matrisinden 100 kat daha büyük kabul edilmesi kestirimin başlangıç
değerlerine bağımlılığını azaltmıştır. Hasta grubunda parametreler için bu 410 e
kadar yükselmiştir.
8. Doğrusal olmayan RC modelde yukarıdaki önleme ihtiyaç duyulmamıştır.
Medikal çıkarımlar
1. Mead model bir çok solunum sistemi parametresi içermesine karşı, sonuçlardan
maalesef medikal bir çıkarım yapmak çok zordur. Sadece maxmusP parametresinin
Kontrol grubunda max 1musP < dolayında sonuç verirken Hasta grubunda
max0 5musP≤ ≤ arasında değiştiği gözlemlenmiştir.
2. Hasta grubunda havayolu direnci inspirasyonda küçük değerle alırken
ekspirasyonda ani yükselme gösterir.
3. Hasta grubunda maxmusP parametresi inspirasyonda eksirasyondaki değerine göre
daha küçük değerler alır.
4. Hasta grubunda akciğer hacmi Kontrol grubuna göre daha yüksektir.
5. Hasta grubunda doğrusal olmayan kompliyans değerleri daha yüksektir. Bu
doğrusal olmayan modellerin Hasta grubuna daha uygun olduğunu gösterebilir.
133
4.5.5. MLE ve GGD ile Hata Analizi
GGD ile hata analizinde model parametrelerinin kestiriminde MLE yöntemi
kullanıldığından ayrıca ele alınmayacaktır. Ölçülen solunum sinyalleri kullanılarak RIC
ve doğrusal olmayan RC model parametreleri, ölçüm gürültüsü değişintisi ve biçim
faktörü, ölçüm inovasyonları değişintisi ve biçim faktörü kestirilmiştir. Tablo 4.11 de
modellerin benzetiminde kullanılan başlangıç değerler ve benzetim parametreleri yer
almaktadır.
Tablo 4.11. Gerçek solunum sinyalleriyle yapılan benzetimlerde MLE ve GGD tabanlı hata analizi için kabul edilen başlangıç değerleri ve benzetim parametreleri.
RIC model RC model Parametre
Kontrol G. Hasta G. Kontrol G. Hasta G.
( )0i=θ ( )0,0.1N ( )0,0.1N ( )0,2N ( )0,10N
( )2
0r iσ = 0.1 1 0.1 1
( )0r ip = 2 2 2 2
( )2
0kυσ = 2( 10)r iσ = 2
( 10)r iσ = 2( 10)r iσ = 2
( 20)r iσ =
( )0kpυ = ( )10r ip = ( )10r ip = ( )10r ip = ( )20r ip =
Başlangıç
değerler
0P 14 410 I−× 0
4 410 I × 14 410 I−× 0
4 410 I ×
Benzetim
parametre maxi 10 10 10 20
134
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
kest
irile
n R
yineleme sayisi, i2 4 6 8 10
0.05
0.1
0.15
kest
irile
n L
yineleme sayisi, i
2 4 6 8 10
5
10
15
kest
irile
n C
yineleme sayisi, i2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
kest
irile
n P m
usm
ax
yineleme sayisi, i(a)
2 4 6 8 10
1
2
3
4
kest
irile
n p r
yineleme sayisi, i50 100 150
1
2
3
4
kest
irile
n p v
zaman indeksi, k
2 4 6 8 101
1.2
1.4
1.6
1.8
kest
irile
n va
r r
yineleme sayisi, i50 100 150
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
kest
irile
n va
r v
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.30. a) Hasta Grubu 3 nolu hasta için MLE yöntemiyle kestirilen RIC model parametreleri, ve b) GGD modeli ile hata analizi.
135
2 4 6 8 100.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
kest
irile
n R
yineleme sayisi, i2 4 6 8 10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
kest
irile
n L
yineleme sayisi, i
2 4 6 8 10
10
20
30
40
kest
irile
n C
yineleme sayisi, i2 4 6 8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
kest
irile
n P m
usm
ax
yineleme sayisi, i(a)
2 4 6 8 10
2
2.2
2.4
2.6
kest
irile
n p r
yineleme sayisi, i100 200 300
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
kest
irile
n p v
zaman indeksi, k
2 4 6 8 100.1
0.15
0.2
kest
irile
n va
r r
yineleme sayisi, i100 200 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
kest
irile
n va
r v
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.31. a) Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için MLE yöntemiyle kestirilen RIC model parametreleri, ve b) GGD modeli ile hata analizi.
136
5 10 15 20
2468
10
kest
irile
n A u
yineleme sayisi, i5 10 15 20
5
10
15
kest
irile
n K u
yineleme sayisi, i
5 10 15 20
2468
10ke
stiri
len
A l
yineleme sayisi, i5 10 15 20
510152025
kest
irile
n K l
yineleme sayisi, i
5 10 15 201234
kest
irile
n B l
yineleme sayisi, i5 10 15 20
5
10
15
20
kest
irile
n P m
usm
ax
yineleme sayisi, i(a)
5 10 15 20
2
3
4
5
kest
irile
n p r
yineleme sayisi, i50 100 150
2
3
4
5
6
kest
irile
n p v
zaman indeksi, k
5 10 15 20
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
kest
irile
n va
r r
yineleme sayisi, i50 100 150
1
1.5
2
2.5
kest
irile
n va
r v
zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.32. a) Hasta Grubu 3 nolu hasta için MLE yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC model parametreleri, ve b) GGD modeli ile hata analizi.
137
2 4 6 8 100.20.40.60.8
11.2
kest
irile
n A u
Zaman indeksi, k2 4 6 8 10
0.5
1
1.5
kest
irile
n K u
Zaman indeksi, k
2 4 6 8 10
2468
10
kest
irile
n A l
Zaman indeksi, k2 4 6 8 10
510152025
kest
irile
n K l
Zaman indeksi, k
2 4 6 8 10
2468
10
kest
irile
n B l
Zaman indeksi, k2 4 6 8 10
0.51
1.52
kest
irile
n P m
usm
ax
Zaman indeksi, k(a)
2 4 6 8 102
3
4
5
kest
irile
n p r
yineleme sayisi, i100 200 300
2
2.5
3
3.5
4
4.5
kest
irile
n p v
Zaman indeksi, k
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
kest
irile
n va
r r
yineleme sayisi, i100 200 300 400
0.6
0.7
0.8
0.9
kest
irile
n va
r v
Zaman indeksi, k(b)
Şekil 4.33. a) Kontrol Grubu 2 nolu sağlıklı kişi için MLE yöntemiyle kestirilen doğrusal olmayan RC model parametreleri, ve b) GGD modeli ile hata analizi
138
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
kestirilen pv(a)
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
kestirilen pv(b)
Şekil 4.34. Hasta Grubunun tümünde kestirilen ölçüm inovasyonları biçim faktörü değerlerinin a) RIC model, ve b) doğrusal olmayan RC model için histogramı.
139
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
6
7
kestirilen pv(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
6
kestirilen pv(b)
Şekil 4.35. Kontrol Grubunun tümünde kestirilen ölçüm inovasyonları biçim faktörü değerlerinin a) RIC model, ve b) doğrusal olmayan RC model için histogramı.
140
Biyomedikal çıkarımlar
1. Her iki grup için MLE yöntemiyle kestirilen RIC model parametreleri MVUE ile
kestirilen değerler ile çok az farklılık gösterir.
2. Doğrusal olmayan RC modeli ve RIC modelin ortak parametresi olan maxmusP
aynı kişi için aynı değerlere yakınsamıştır.
3. Her iki gruptada doğrusal olmayan RC modelde yer alan uA ve RIC modelde
yer alan R parametreleri aynı kişilerde aynı değerlere yakınsamıştır. Bu aynı
zamanda RIC modeldeki R nin doğrusal olmayan resistansın sadece doğrusal
kısmını gösterdiğinin bir kanıtıdır.
4. Hasta grubunda doğrusal olmayan RC modelde parametrelerin yakınsadığının
daha iyi görülebilmesi için max 20i = kullanılmıştır.
5. Doğrusal olmayan RC model için MLE ve UKF/EKF yöntemlerinin
karşılaştırılırsa uA ve maxmusP parametrelerinin her iki yöntemdede çok benzer
kestirildiği görülür. uK , lA ve lB parametrelerinin Kontrol grubunda aynı
değerlere yakınsadığı görülmüştür, fakat lK parametresi her zaman MLE
yönteminde çok yüksek kestirilmiştir.
6. Her iki grupta ve her iki modelde de MLE yöntemi ile kestirilen parametrelerin
solunum döngüleri arasındaki değişintileri kabul edilir oranda kalmıştır.
7. Ölçüm gürültüsü değişintisi Hasta grubunda Kontrol grubuna göre biraz yüksek
değerlere yakınsamıştır.
8. En yüksek ölçüm gürültüsü değişintisi RIC modelde ve Hasta grubunda
görülmüştür.
9. Ölçüm inovasyonunun değişintisi ve biçim faktörü toplam hatanın olasılık
dağılım fonksiyonun tanımlamaktadır. Bu nedenle bir solunum döngüsü
boyunca inspirasyonun ve ekspirasyonun etkisini gösterir. Her zaman ölçüm
inovasyonları değişintisi ölçüm gürültüsü değişintisinden kestirim hatası
değişintisi kadar büyük çıkmıştır.
10. Her iki grubun tüm solunum döngülerinden kestirilen ölçüm inovasyonu biçim
faktörleri histogram olarak gösterilirse, aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz:
• Hasta grubundan RIC modelde elde edilen pυ nın daha çok 2pυ ≤ olmasına
rağmen, RC modelde 1 2pυ≤ ≤ arasında yoğunlaştığı görülebilir. Bu doğrusal
141
olmayan RC modelde Hasta grubu ölçüm inovasyonlarının Laplace
dağılımından Gauss dağılımına yaklaştığı şeklinde yorumlanabilir.
• Kontrol grubundan RIC modelde elde edilen pυ nın Gauss ile üst-Gauss
dağılımlarına yakın olduğu görülür. Fakat doğrusal olmayan RC modelde ölçüm
inovasyonlarının 2pυ = çevresine yakınlaşmasına rağmen bazı solunumlarda
Laplace dağılımını işaret ettiği görülebilir.
Sinyal işleme çıkarımları
1. MLE yöntemi GGD ile modellenen ölçüm gürültüsü kabulü altında model
parametrelerini başarıyla kestirmiştir. Fakat doğrusal olmayan RC modelde
Hessian matrisinin doğrusal olmamaktan kaynaklana model parametre
bağımlılığı özellikle lA ve lK parametrelerinde yakınsama hatalarına yol
açmıştır.
2. Yukarıda verilen nedenden dolayı doğrusal olmayan RC modelde en başarılı
kestirim yöntemi UKF/EKF dir.
3. Her iki model ve grupta Kalman iterasyonları ve Kurtosis yöntemiyla başarılı bir
şekilde ölçüm inovasyonları değişintisi ve biçim faktörü kestirilmiştir.
4. RIC modelde her iki gruptada en geç 3i = de yakınsama sağlanmıştır. Zamanda
kestirilen ölçüm inovasyonu değişintisinde ve biçim faktöründe, solunum
döngüsü içinde kestirim değişintisi ve ortak değişinti matrisindeki oynamalar
nedeniyle yakınsama sağlanamaz sadece izlenebilir.
5. Yapay solunum sinyallerinde kullanılan ortak değişinti matrisinin başlangıç
değerinin atanmasında yardımcı olan Fisher bilgi matrisi gerçek sinyallerde
kullanılamamıştır. Bunun nedeni içiçe döngülerde 0P nin karalılığı bozması ve
Fisher bilgi matrisini tekil yapmasıdır.
6. MLE yöntemi bu tezde kullanılan yöntemlerin içinde başlangıç koşullarına en
bağımlı yöntemdir. Fakat model parametrelerinin Kontrol grubunda küçük
değerlerden ve Hasta grubunda daha büyük değerlerden başlamasıyla yakınsama
sağlanmışır.
142
Medikal çıkarımlar
1. Hasta grubunda solunumda enbüyük inspirasyon kası basıncı sağlıklı kişilere
göre çok yüksektir.
2. Kontrol grubunda doğrusal havayolu resistansı hasta kişilere göre küçüktür.
3. Hasta grubunda akciğer statik kompliyansı sağlıklı kişilere göre çok küçüktür.
143
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
Tezin bu bölümünde Bulgular bölümünde verilen sonuçlar tartışılacak ve vargılar
çıkarılacaktır. Bulgular bölümünde çıkarımların anlatıldığı gibi bu bölümde de
tartışmalar üç temel başlık altında yer almalıdır: biyomedikal sinyal işleme, istatistiksel
sinyal işleme ve medikal sonuçlar. Ayrıca bu bölümde gelecek çalışmalar için önerilere
de yer verilecektir.
BİYOMEDİKAL SİNYAL İŞLEME İLE İLGİLİ SONUÇLAR
Bu tezde solunum sistemi, invasiv olmayan ventilasyon altında, modellenmiş ve model
parametreleri ve durum değişkenleri istatistiksel sinyal işleme yöntemleri yardımıyla
kestirilmiştir. Burada, modelleme kelimesinin anlamı, literatürde çok sık kullanılan
solunum sisteminin elektriksel dönüşüm modellerinin matematiksel devre analizi
yöntemleri ile matematiksel eşitliklerinin çıkarılıp modellerin durum-ölçüm eşitlikleri
haline getirilmesidir. Daha sonra durum-ölçüm eşitliklerinin doğrusal veya doğrusal
olmaması ve ölçüm gürültüsününü modeline göre seçilen istatistiksel sinyal işleme
yöntemleri uygulanmıştır.
Literatürde en sık kullanılan solunum sistemi modellerinin, doğrusal RIC model hariç,
durum-ölçüm eşitlikleri ilk olarak bu tezde çıkarılmıştır. Devamlı zaman alanında
çıkarılan bu eşitlikler solunum sisteminin birer matematiksel ifadeleridir ve sistem
tanımlama için kullanılan hesaplamalı yöntemlerde çıkarılmalarına ihtiyaç duyulur.
Ayrıca, bu tezde ilk defa kullanılan ve Athanasiades ve diğ. (2000) tarafından önerilen
genişletilmiş doğrusal olmayan solunum modelinin basitleştirilmiş bir hali olan doğrusal
olmayan RC modeline ait durum-ölçüm eşitlikleri de çıkarılmıştır. Matematiksel
modeller açısından bakacak olursak, doğrusal olmasına rağmen en çok parametre ve
durum değişkeni içeren ve karmaşık bir ilinti ile temsil edilen model Mead modeldir.
Buna karşın en basit bir ifadeye sahip model de doğrusal RIC modeldir. Ayrıca, bir
modelin hem model parametreleri, hem de durum değişkenlerinde doğrusal (RIC
144
model), iki modelin durum değişkenlerinde doğrusal fakat model parametrelerinde
doğrusal olmayan (Viskoelastik, Mead) ve bir modelin de hem model parametrelerinde
hem de durum değişkenlerinde doğrusal olmadığı gözlenmiştir (doğrusal olmayan RC
model). Diong ve diğ. (2007) tarafından çıkarılan solunum modellerinin empedans
modellerinden farklı olarak durum-ölçüm eşitlikleri solunum sisteminin dinamik
modelleridir ve sistemin ve model parametrelerinin zamanda değişiminin incelenmesine
olanak sağlar.
Biyomedikal sinyal işleme açısından sonuçların irdelenmesinde ilk olarak, yapay
solunum sinyalleri ile yapılan ve önerilen istatistiksel sinyal işleme yöntemlerinin
performaslarının ve uygulanabilirliklerinin gösterilmesini amaçlayan benzetim sonuçları
yorumlanacaktır. En büyük olabilirlik kestirimcinin mse açısından en iyi sonucu RIC
model ve Gauss dağılımlı ölçüm gürültüsü, kr ile verdiği Şekil 4.2 den görülebilir. Bu
beklenen bir sonuçtur, fakat bunun yanında doğrusal olmayan RC modelde de mse nin
SNR ile düzenli değiştiği aynı şekilden görülebilir. Şekil 4.13 de yer alan ölçüm
gürültüsü değişintisinin kestirimine bakılacak olunursa RIC model de çok düzenli bir
SNR ile azalma görürüz. Bunun yanında, yapay solunum sinyallerinde, ki bu sinyaller
düzenli sinyallerdir, RIC modeli doğrusal olmayan RC modele göre en büyük olabilirlik
yöntemi ve GGD ile hata analizine daha uygundur.
Yapay solunum sinyallerinde Bayesçi filtreleme ile hem durum değişkenleri hem de
model parametrelerinin kestiriminin Viskoelastik, Mead ve doğrusal olmayan RC model
üzerinde sonuçları Bulgular bölümünde verilmişti. Viskoelastik modelin Kalman filtre
ile model parametre ve durum değişkenleri kestirimleri başarılı olmasına rağmen, Mead
model parametrelerinin ve durum değişkenlerinin kestirimi UKF yöntemiyle, Kalman
ve EKF ye göre en iyi sonucu vermiştir. Mead model diğer modellere göre daha yüksek
dereceden eksik belirlenimci (under-determined) bir sistemdir ve bu yapay solunum
sinyallerinde bile özellikle model parametre kestiriminde başarıyı düşürmüştür. UKF
yönteminin hem Mead modelde hem de doğrusal olmayan RC modelde model
parametrelerinin kestiriminde başarılı olduğu Şekil 4.6 ve Şekil 4.7 den kolayca
görülebilir. Sonuç olarak, yapay solunum sinyallerinde, RIC modelin enbüyük
olabilirlik kestirimi ile en iyi model parametre kestirim sonuçlarını verdiğini; ve bunu
takiben doğrusal olmayan RC model ile Mead modelin UKF yöntemi ile model
145
parametrelerinin kestiriminin takip ettiğini; ve Viskoelastik modelde Kalman filtre ile
model parametrelerinin kestiriminin üçüncü sırada yer aldığını söyleyebiliriz.
Gerçek ölçülen solunum sinyallerden alınan bulgulara göre çıkarımlar Bulgular
bölümünde yapılmıştı, burada çıkarımlar genel anlamda toplanacak olunursa, solunum
modellerinin kullanılan yönteme göre farklı gruplarda farklı davranışlar sergilediğini
söyleyebiliriz. RIC modelde her iki grup için MVUE yöntemiyle MLE yönteminin aynı
sonuçları verdiği açıktır (Şekil 4.25, Şekil 4.26 ve Tablo 4.7, Tablo4.8). Eğer gerçek
sinyalledeki kestirim başarısı solunum döngüleri arasındaki tutarlılık ve bir değere
yakınsama (veya bir dalga şeklini takip etme) şeklinde tanımlanırsa MVUE ve MLE nin
bu başarısı benzetimler arasındaki en büyük başarıdır. Bundan sonra, doğrusal olmayan
RC modelde her iki grup için EKF ve UKF yöntemlerinin başarısı gelebilir (Şekil 4.21-
Şekil 4.24). Bunun yanında, üçüncü başarı sırasında doğrusal olmayan RC modelde
Hasta grubu için MLE yönteminin verdiği sonuçların başarısı gelir (Şekil 4.27). En
başarısız benzetim ise Mead modelde Hasta grubu için EKF yönteminin verdiği
sonuçlardır. Aynen yapay solunum sinyallerinin işlenmesinde olduğu gibi model
parametre sayısının artması benzetim başarısını düşürmüştür ve Şekil 4.18a da
görüldüğü gibi yakınsama sağlanamamıştır. Model parametrelerinin kestirimi için,
model parametre sayısı ile kestirim başarısı arasında ki bu seçim (trade-off) kestirim
yöntemlerinin en çok tartışılan sonuçları arasındadır. Bu aynı zamanda Mead modelin
FOT yönteminin uygulanmasında model parametrelerinin LS yöntemiyle
kestirilmesinde de başarının çok düşük olmasını gerektirmektedir.
Parametre kestirimlerini ayrı ayrı incelersek, en başarılı kestirimin RIC model deki R
parametresi olduğunu söyleyebiliriz. Bu parametreyi diğer doğrusal parametreler olan
doğrusal olmayan RC modeldeki uA ve Viskoelastik modeldeki awR izler. maxmusP
parametresi modelde doğrusal olarak yer alıyorsa kestirimi en başarılı parametreler
arasında sayılabilir. Kestirimi en zor olan parametreler ise Mead model parametreleri ve
özellikle wC parametresini sayabiliriz. Model parametrelerinin kestirim başarıları büyük
ölçüde kullanılan modele ve kestirim yöntemine bağlıdır. Eğer doğru yöntem belirlenen
modelde kullanılıyorsa parametrelerin yakınsamasını sadece solunum sinyallerinin
özellikleri belirlemektedir. Bu en iyi şekilde MLE yöntemiyle RIC ve doğrusal olmayan
RC modellerindeki parametre kestirim sonuçlarından görülür (Şekil 4.25-Şekil 4.28).
146
Yapay solunum sinyallerinde MLE yönteminin RIC ve doğrusal olmayan RC
modellerinde başarılı olduğu gösterilmişti. Fakat, gerçek solunum sinyallerinde
doğrusal olmayan RC modelin Hasta grubunda daha başarılı kestirim sonuçları
vermesine rağmen RIC modelin Kontrol grubunda başarılı olduğu görülür. Ayrıca
ölçüm gürültüsü değişintisi, 2rσ ve ölçüm gürültüsü biçim faktörü, rp sonuçları ele
alınacak olunursa bu fark daha belirginleşir. Bu sonuçun en önemli nedeni solunum
sinyallerinin özellikleridir. Solunum sinyallerinin özellikleri sinyalin uzunluğu, enerji
içeriği ve şeklidir. Hasta grubundaki sinyaller Kontrol grubuna göre çok kısadır (yarısı
kısalıkta) ve güç sinyalleridir, yani bir solunum çevriminde sonlu enerjisi
bulunmaktadır. Bunun yanında Kontrol grubu sinyalleri enerji sinyalleridir ve bir
solunum çevriminde güçleri sıfıra yakındır. Hasta grubu sinyalleri invasiv olmayan
ventilasyondan kaynaklanan keskin dönüşler ve sivri uçlar içerir, bunun yanında
Kontrol grubu sinyalleri genelde yumuşaktır ve beklenmedik dönüşler içermez. Bütün
bu etkilerin sonucunda model parametrelerinin kestirimlerinde farklılıklar
gözlenmektedir.
Önemli bulgular arasında yer alan diğer bir konu ise hata analizinde yer alan ölçüm
inovasyonları biçim faktörü, pυ kestirimidir (Şekil 4.29 ve Şekil 4.30). Bu şekiller tüm
hastaların tüm solunum çevrimlerini içerir (Hasta grubu için 40 çevrim, Kontrol grubu
için 30 çevrim). Biçim faktörü pυ nin ölçüm gürültüsü ve kestirim hatasını içerdiğini
hatırlayacak olursak bu bulgulardan hangi modelin hangi grupta tutarlı olduğunu
görebiliriz. Hasta grubunda RIC model için bir çok çevrimin 2pυ < alanında olduğu
söyleyebiliriz, özellikle 1pυ = de önemli bir yığılma görülmektedir. Doğrusal olmayan
RC modelde biçim faktörü Hasta grubunda 2pυ = ye doğru bir yayılma göstermiş.
Daima ölçüm inovasyonlarının Gauss dağılımına sahip olması yani 2pυ = olması
istenir. Çünkü Gauss dağılımlı bir inovasyon, model ile ölçüm serisinin optimum olarak
uyumlu olduğunu ifade eder. Bu durumda, doğrusal olmayan RC model, RIC model
göre Hasta grubuna daha uygun bir modeldir. Bunun tam tersi Kontrol grubunda
görülmektedir. RIC modelde 2pυ = de yığılma varken, doğrusal olmayan RC modelde
biçim faktörü 1 6pυ≤ ≤ alanına dağılmıştır.
147
Yukarıda en önemlileri verilen sonuçlara detaylar incelenerek durum değişkenlerini
açıklayan sonuçlarda eklenebilir. Fakat, burada tezin amacından uzaklaşmamak için
durum değişkenlerinin detayına girmeyeceğiz. Biyomedikal sinyal işlemede sonuç
olarak, invasiv olmayan ventilasyonda solunum sisteminin modellemesinde
1. RIC ve doğrusal olmayan RC modellerinde MLE ve GGD ile parametre
kestirimi ve hata analizi,
2. Doğrusal olmayan RC modelde UKF ve EKF ile parametre ve durum değişkeni
kestirimi
eşit olarak birinci seçilmiştir.
İSTATİSTİKSEL SİNYAL İŞLEME İLE İLGİLİ SONUÇLAR
Bu tezde, istatistiksel sinyal işleme yöntemlerinden geniş bir yelpazede
yararlanılmaktadır. Çeşitli yöntemlerin kullanılma nedeni solunum sistemi modeli -
gerçek solunum sinyali – kestirim yöntemi arasındaki bağı keşfetmektir. Bu nedenle,
yapay solunum sinyalleri yardımıyla, ilk olarak kestirim yöntemlerinin solunum sistemi
mollerinde ki başarısı ve performansı incelenmiştir.
Sonsal Cramer Rao alt sınırı (PCRLB) nin çiftli EKF ve UKF yöntemlerinin
performanslarını karşılaştırması en önemli sonuç olarak söylenebilir. Şekil 4.11 ve Şekil
4.12 de gösterilen PCRLB grafikleri hakkındaki çıkarımlar Bulgular bölümünde
yapılmıştı. Burada genel karşılaştırma yapılacak olunursa, özellikle Mead modelde UKF
nin model parametre kestiriminde performansının daha iyi olduğu söylenebilir. PCRLB
eğrilerini yakından takip etmek kestirim yöntemlerinin başarısını göstermektedir, fakat
Şekil 4.11a daki wC ve Şekil 4.11b deki lCkP ve wC
kP parametre ve durum
değişkenlerinde UKF ve EKF nin PCRLB nin biraz altına düştüğünü görmekteyiz. Hata
ortak değişinti matriksi olan k kP nın sıfıra doğru düşmesinin aslında bir hata göstergesi
olduğu görülmüştür. UKF de filtreleme adımı sırasında, xzP çok yükselmekte ve bu
yükselişte Kalman kazancının yükselmesiyle k kP nın çok düşmesine neden olmaktadır.
k kP nın yakınsamanın sağlanmadığı durumlarda sıfıra ani düşüşünün nedeni budur.
148
Bayesçi kestirim yöntemlerinden UKF nin gerek mse gerekse PCRLB performans
belirleme kriterleri açısından KF ve EKF ye göre model parametresi kestiriminde daha
başarılı olduğu açıktır (Şekil 4.6 ve Şekil 4.11). Fakat durum değişkenleri açısından
bakarsak, KF, EKF ve UKF yöntemleri hemen hemen aynı başarıyı göstermiştir. Bu
sonuç, Kalman filte yöntemlerinin zaman ile değişen durum değişkenlerini kestirmede
daha başarılı olduğunu kanıtlar. Süreç gürültüsü ortak değişinti matrisinin 0=Q olarak
kabul edilmesi parametre kestiriminde ara ortak hata matrisi olan 1k k −P nin
tekilleşmesini kolaylaştırır. Bu nedenle KF ve EKF de 1k k −P tekilleşmesi ve bu nedenle
ölçüm inovasyonları matriksinin tersi alınamaz bir matris olmasından dolayı
parametrelerde yakınsama sağlanması zorlaşmıştır. UKF yönteminin benzetim
parametresi daha çok olmasına rağmen EKF nin ilk değer ve benzetim parametresi
belirlenmesi daha zor olmuştur.
Yukarıda söylendiği gibi UKF ve EKF yöntemleri doğrusal olmayan RC modelinde
Mead model göre daha başarılı olmuştur. Bu başarının nedenleri arasında doğrusal
olmayan RC modelin birleşik UKF ve EKF ile kestirildiği, bunun yanında Mead
modelde çiftli UKF ve EKF kullanılması da sayılabilir. Her yinelemede model
parametreleri ile durum değişkenlerinin ortak kestirilmesi kestirim hatasını azaltmıştır.
Gerçek solunum sinyallerinde, başlangıç değerlerine bağımlılık tüm yöntemlerde iki
şekilde yapılmıştır: başlangıç ortak değişinti matrisinin, 0 0θP süreç gürültüsü ortak
değişinti matrisi, θQ dan çok büyük seçilmesi; ve başlangıç model parametre
vektörünün 0θ yüksek değişintili Gauss dağılımlı rastgele değişken kabul edilmesidir.
Bu seçimler, gerçek solunum sinyallerinde yakınsamayı sağlamıştır.
Bu bölümde son olarak söylenmesi gereken önemli sonuç, MLE yönteminin GGD ile
birlikte çok güçlü bir kestirim yöntemi olduğudur. Doğrusal olmayan RC modelde
Hessian matrisinin doğrusal olmayan parametrelere bağımlılığının yakınsamada
yarattığı ufak bozulmaları göz ardı edecek olursak ölçüm gürültüsünün ve ölçüm
inovasyonlarının dağılımlarının aynı anda kestirilmesi gerçek sinyaller hakkında bir çok
bilgi edinmemizi sağlamıştır.
149
MEDİKAL SONUÇLAR
Gerçek sinyallerin işlenmesi sonucunda çıkarılan tüm bulguların medikal anlam teşkil
ettiği ve KOAH lı hastaların teşhisinde kullanılabileceğı bu tezin savlarından biri
değildir. Fakat, solunum sistemi modellerinden elde edilen model parametre
kestirimlerinin gruplar arasında farklılık gösterdiği açıkça saptanmıştır. Bu farkın en
belirgin gözlemlendiği parametre olan maxmusP parametresi KOAH lı hastalarda yüksek
değerler alırken ( max 1musP ≥ ), Kontrol grubunda küçük değerler kestirilmiştir
( max 1musP ≤ çoğu zaman max 0.2musP ≤ ). maxmusP parametresinin Hasta grubunda daha
yüksek değerler alması KOAH hastalarının inspirasyon kaslarını daha kuvvetli
kullandıklarının bir göstergesi olabilir.
Havayolu resistansının havayolu gaz akış hızıyla doğrusal kısmını modelleyen RIC
modeldeki R , Viskoelastik modeldeki awR , ve doğrusal olmayan RC modeldeki uA
parametreleri kestirimlerde gruplar arası farklı değerlere yakınsamıştır. Kontrol
grubunda bu değerler 121cmH O l s−⋅ ⋅ in altında değerler alırken, Hasta grubunda çoğu
benzetimde 122cmH O l s−⋅ ⋅ ve üzeri değerler almıştır. Bir diğer öne çıkan sonuç ise,
akciğer kompliyansı, C nin Kontrol grubunda Hasta grubuna göre daha yüksek değerler
almasıdır. Fakat bu sonuç Viskoelastik ve RIC modellerde daha belirgindir. Burada
belirtmek gerekir ki kestirimlerde bulunan bu parametrelerin sayısal değerlerinin
spirometrik ölçümler ile karşılaştırılması yapılmamıştır. FOT yönteminde olduğu gibi
istatistiksel sinyal işleme yöntemlerinde de kestirilen parametre değerlerinin Hasta
grupları arasında veritabanı oluşturularak değerlendirilmeleri gerekecektir. Böyle bir
çalışma gelecek çalışmalar arasında yer almalıdır.
İstatiksel kestirim yöntemleriyle solunum sisteminin modellenmesinin bir çok avantajı
arasında en önemlisi invasiv olmayan ventilasyon altında hastalardan ölçüm
yapılabilmesidir. Ayrıca gerçek zamanlı yapılabilecek benzetimlerle, KOAH
hastalarının solunum sistemi mekanikleri devamlı zamanda izlenebilecektir.
150
GELECEK ÇALIŞMA
Solunum sistemimizin modellenmesi biyomedikal mühendislerinin, solunum
fizyologları ve göğüs hastalıklarında uzman hekimler ile birlikte yürüttüğü bir çalışma
alanıdır. Gelecekte bireysel çalışmaların yerine, biyomedikal sinyal işleme ve solunum
fizyolojisi konusunda uzman hekimler ile oluşturulmuş disiplinler arası bir grup
tarafından yapılan çalışmaların yürütülmesi gerekliliği bir kez daha vurgulanmalıdır.
Ancak, böyle bir grup tarafından yapılan çalışma, hem sinyal işlemenin biyomedikal
uygulamalarında hem de medikal alanda anlamlı ve değerli sonuçlar doğurur.
Bu çalışma bir çok alanda bir son değil aslında bir başlangıçtır. Solunum sisteminin
modellenmesinde ilk kez kullanılan istatistiksel sinyal işleme yöntemleri, solunum
sinyallerinin işlenmesinde istatistiksel olarak anlamlı bir yol açmışlardır. Bu tezde yer
almayan fakat üzerinde uzun süre çalıştığım parçacık filtresi (Particle Filter – PF) ve
beklenen değer enbüyüklemesi (Expectation Maximization – EM) maalesef iyi sonuçlar
vermemiş ve hemen hemen hiçbir parametrelerde yakınsama sağlanamamıştır. Bunun
nedeni aslında çok basittir: solunum sistemi modelleri ve solunum sinyalleri aslında çok
karmaşık modeller ve sinyaller değildir ve uzun hesaplamalı ve fazlaca kabuller içeren
benzetimeler kestirimlerdeki hataları arttırır. Bu nedenle, bundan sonraki çalışma,
gerçek solunum sinyallerinin modellere uyarlanmasında kalan artıkların Gauss dağılımlı
olmadığı bilgisi altında, solunum döngülerinde model parametrelerini kestirmenin yanı
sıra öğrenme algoritmasını da içeren yöntemleri kapsamalıdır. Böylece, her solunum
döngüsünde kestirim yöntemi hastanın değişen sinyallerine karşı kendisini
uyarlayabilecektir.
Solunum sisteminin modellenmesinde en önemli adım model parametrelerinin zaman-
frekans düzleminde incelenmesidir. Bu solunum sisteminin frekans cevabını içerdiği
gibi zamanda da incelenmesine olanak sağlar. KOAH hastalarından, invasiv olmayan
ventilasyon altında ölçülmüş, maske içi basınç ve havayolu gaz akış hızı ile solunum
sistemi modellerinde zaman-frekans yöntemleriyle parametre izlenmesi, Giriş
bölümünde verilen solunum sistemi mekaniği belirlenmesi probleminin gelecekteki
çözümü olacaktır.
151
KAYNAKLAR
ATHANASIADES A., GHORBEL F., CLARK JR. J.W., NIRANJAN S.C., OLASEN J., ZWISCHENBERGER J.B., BIDANI A., 2000, Energy analysis of a nonlinear model of the normal human lung, J of Biol Sys, 8(2), 115-139.
AVANZOLINI G., BARBINI P., CAPPELLO A., CEVENINI G., 1990, Real time
tracking of parameters of lung mechanics, J Biomed Eng., 12, 489-495. AVANZOLINI G., BARBINI P., CAPPELLO A., CEVENINI G., 1995, Influence of
flow pattern on the parameter estimates of a simple breathing mechanics model, IEEE Trans Biomed Eng, 42, 394-402.
BERGMAN N., 1999, Recursive Bayesian estimation, Dissertation, Linkping
University. BIJAOUI E., TUCK S.A., REMMERS J.E., BATES J.H.T., 1999, Estimating
respiratory mechanics in the presence of flow limitation, J Appl Physiol, 86, 418-426.
CHEN Z., 2003, Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and
Beyond, Technical report, Adaptive Systems Lab., McMaster University, http://users.isr.ist.utl.pt/~jpg/tfc0607/chen_bayesian.pdf.
CHUNG T.J., 2002, Computational Fluid Dynamics, 0-521-59416-2. CHOW S.M., FERRER E., NESSELROADE J.R., 2007, An unsected Kalman filter
approach to the estimation of nonlinear dynamic systems models, Multivariate Behavioral Research, 42(2), 283-321.
CIPRA T., RUBIO A., 1991, Kalman filter with non-linear non-Gaussian observation
relation, Trabajos de Estadistica, 6(2), 119-119. DAROCZY, B., HANTOS, Z., 1990, Generation of optimum pseudorandom signals for
respiratory impedance measurements, Int J Biomed Comput, 25, 21-31. DIONG B., NAZERAN H., NAVA P., GOLDMAN M., 2007, Modeling human
respiratory impedance, IEEE Eng in Med Biol Mag, 26, 48-55. DUBOIS A.B., BRODY A.W., LEWIS D.H., BURGESS B.F., 1956, Oscillation
mechanics of lungs and chest in man, J Appl Physiol, 8, 587-594.
152
GREWAL M.S., ANDREWS A.P., 2003, Kalman Filtering: Theory and Practice, Wiley, 0-471-39254-5, USA.
GROTBERG J.B., 2001, Respiratory fluid mechanics and transport processes, Annu Rev
Biomed Eng, 3, 421-57. JOHNSON A.T., 2007, Biomechanics and Exercise Physiology: Quantitative
Modelling, 978-1574449068 JULIER S.J., UHLMANN J.K., 1997, A new extension of the Kalman filter to
nonlinear systems, Proceedings of Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simul. and Controls, Orlando, FL.
KAY S.M., 1993, Statistical Signal Processing Estimation Theory, Prentice Hall, 0-13-
345711-7. KAYE S.R., PHILLIPS C.G., 1997, The influence of the branching pattern of the
conducting airways on flow and aerosol deposition parameters in the human, dog, rat and hamster, J Aerosol Sci , 7, 1291-1300.
KOKKINAKIS K., NANDİ A.K., 2005, Exponent parameter estimation for generalized
Gaussian probability density functions with application to speech modeling, Signal Processing, 85, 1852-1858.
LAUZON A. M., BATES J. H. T., 1991, Estimation of time-varying respiratory
mechanical parameters by recursive least-squares, J Appl Physiol, 71, 1159-1165.
MACLEOD D., BIRCH M., 2001, Respiratory imput impedance measurement: forced
oscillation methods. Med Biol Eng Comput, 39, 505-516. MAGNUS J. R., NEUDECKER H., 1999, Matrix Differential Calculus, John Wiley and
Sons. MESSER H., 2006, The hybrid Cramer-Rao lower bound - from practice to theory, 4th
IEEE Workshop Sensor Array Multichannel Proc, 304-307. MORADKHANI H., SOROOSHIAN S., GUPTA H.V., HOUSER P.R., 2005, Dual
state-parameter estimation of hydrological models using ensemble Kalman filter, Adv in Water Res, 28, 135-147.
NAVAJAS D., MIJAILOVICH S., GLASS G.M., STAMENOVIC D., FREDBERG
J.J., 1992, Dynamic response of the isolated passive rat diaphragm strip, J Appl Physiol, 73, 2681-2692.
NIKISCHIN W., GERHARDT T., EVERETT R., BANCALARI E., 1998, A new
method to analyze lung compliance when pressure-volume relationship is nonlinear, Am J Respir Care Med, 158, 1052-1060.
153
NUCCI G., TESSARIN S., COBELLI C., 2002, A morphometric model of lung mechanics for time-domain analysis of alveolar pressures during mechanical ventilation, Annals of Biomed Eng, 30, 537-545.
OOSTVEEN E., MACLEOD D., LORİNO H., FARRE R., HANTOS Z., 2003, The
forced oscillation technique in clinical practice: methodology, recommendations and future developments, Eur Respir J, 22, 1026-1041.
PAPOULIS A., 1991, Probability, Random Variables and Stochastic Processes,
McGraw Hill, 0-07-100870-5. PEDLEY T.J., DRAZEN J.M., 1986, Aerodynamic theory. In: Macklem Handbook of
Physiology Section 3, American Physiological Society, 41-54. PESLIN R., SAUNIER C., MARCHAND M., 1995, Analysis of low-frequency lung
impedance in rabits with nonlineer models, J Appl Physiol, 79, 771-780. PESLIN R., ROTGER M., FARRE R., NAVAJAS D., 1996, Assesment of respiratory
pressure-volum nonlinearity in rabbits during mechanical ventilation, J Appl Physiol, 80, 1637-1648.
POLAK A.G., MROCZKA J., 2006, Nonlinear model for mechanical ventilation of
human lungs, Comp in Biol and Med, 36, 41-58. SCHUESSLER T.F., GOTTFRIED S.B., BATES J.H.T., 1997, A model of the
spontaneously breathing patients: applications to intrinsic PEEP and work of breathing, J Appl Physiol, 82, 1694-1703.
SIMILOWSKI T., BATES J.H., 1991, Two-compartment modelling of respiratory
system mechanics at low frequencies: gas redistribution or tissue rheology?, Eur Respir J, 4, 353-358.
SMITH H.J., REINHOLD P., GOLDMAN M.D., 2005, Forced oscillation technique
and impulse oscillometry, Eur Respir Mon, 31, 72–105. SUKI B., ZHANG Q., LUTCHEN K.R., 1995, Relationship between frequency and
amplitude dependence in the lung: a nonlinear blocked structured modeling approach, J Appl Physiol, 79, 660-671.
SUKI B., YUAN H., ZHANG Q., LUTCHEN K.R., 1997, Partitioning of lung tissue
response and inhomogeneous airway constriction at the airway opening, J Appl Physiol, 82, 1349-1359.
TICHAVSKY P., MURAVCHİK C. H., NEHORAI A., 1998, Posterior Cramer-Rao
bounds for discrete-time nonlinear Filtering, IEEE Trans Sig Proc, 46, 1386-1396.
154
UMUT S., YILDIRIM N., 2005, Kronik Obstrüktif Akciğer Hastalığığı (KOAH), İstanbul Üniversitesi Cerrahpaşa Tıp Fakültesi Göğüs Hastalığıkları Anabilim Dalı Kitapları, Turgut Yayıncılık ve Ticaret A.Ş
VERBRAAK A.F.M., RIJNBEEK P.R., BENEKEN J.E.W., BOGAARD J.M.,
VERSPRILLE A., 2000, A new approach to mechanical simulation of lung behaviour: pressure-controlled and time-related piston movement, Med Biol Eng Comput, 38, 82-89.
WADA S., TANAKA M., 1995, Coupled Behaviour of lung respiration: computational
respiratory mechanics. In: Bio-fluid Mechanics, Ed. POWER H., Computational Mechanics Publications, 1-5-6252-210-8.
WAN E.A., VAN DER MERWE R., 2001, The unscented Kalman filter, Kalman
Filtering and Neural Networks, ed:HAYKIN S., Wiley, NewYork, 221-283. WHITE F.M., 2003, Fluid Mechanics, McGraw Hill, 0-07-240217-2. YAMADA Y., DU H., 2000, Analysis of the mechanisms of expiratory asynchrony in
pressure support ventilation: a mathematical approach, J App Physiol, 88, 2143-2150
YILDIRIM N., 2004, Akciğer Fonksiyon Testleri, İstanbul Üniversitesi Cerrahpaşa Tıp
Fakültesi Göğüs Hastalığıkları Anabilim Dalı Kitapları, Turgut Yayıncılık ve Ticaret A.Ş.
155
EKLER
Tablo A.1. RIC ve Viskoelastik modellerde MVUE yöntemi kullanılarak model parametresi kestirim algoritması.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerlerinin belirlenmesi
R parametresini belirle
(4.2) ve (4.3) yardımıyla H matrisini hesapla
(3.33) yardımıyla θ yı kestir
(3.35) yardımıyla θ
P yı hesapla
Teorem 4.1 yardımıyla gerçek parametreleri hesapla
Tablo A.2. RIC ve doğrusal olmayan RC modellerde MLE yöntemi kullanılarak model parametresi kestirim ve GGD ile hata analizi algoritması.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerlerinin belirlenmesi
( )0i=θ başlangıç değerini belirle
( )2
0r iσ = başlangıç değerini belirle
( )0r ip = başlangıç değerini belirle
max1,i i= … için
(3.45) yardımıyla 2rσ yi kestir
(3.46) ve arama tablosu yardımıyla rp kestir
(4.10) yardımıyla ( )( )1i−g θ gradiyent vektörünü hesapla
(4.12) yardımıyla ( )H θ hesapla
(3.39) yardımıyla ( )1i+θ yı kestir.
(3.42) yardımıyla θP yı hesapla
θ yakınsayana kadar devam et
( )2
0kυσ = ve ( )0kpυ = yi belirle
(4.67) ve (4.68) Bilgi filtresi yardımıyla 0P ı hesapla
156
1,k N= … için
(3.66) yardımıyla 2ησ yı kestir
(3.69) yardımıyla 2υσ yı hesapla
(3.70), (3.46) ve arama tablosu yardımıyla pυ yu kestir.
(4.69) yardımıyla 1k k−P i hesapla
devam et
Teorem 4.1 yardımıyla gerçek parametreleri hesapla
Tablo A.3. Viskoelastik ve Mead modellerde çiftli KF yöntemi kullanılarak model parametresi ve durum değişkeni kestirim algoritması.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerlerinin belirlenmesi
0θ başlangıç değerini belirle
0x başlangıç değerini belirle
0 0θP başlangıç değerini belirle
0 0xP başlangıç değerini belirle
θR , xR , θQ ve xQ parametrelerini belirle
1,k N= … için
(3.56) ve (3.57) yardımıyla yardımıyla k kθ ve k kθP yı kestir
(3.56) ve (3.57) yardımıyla yardımıyla k kx ve xk kP yı kestir
devam et
Teorem 4.1 yardımıyla gerçek parametreleri hesapla
Tablo A.4. Mead ve doğrusal olmayan RC modellerde çiftli ve birleşik EKF yöntemi kullanılarak model parametresi ve durum değişkeni kestirim algoritması.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerlerinin belirlenmesi
0θ başlangıç değerini belirle
0x başlangıç değerini belirle
0 0θP başlangıç değerini belirle
0 0xP başlangıç değerini belirle
θR , xR , θQ ve xQ parametrelerini belirle
157
1,k N= … için
(3.58) ve (3.59) yardımıyla yardımıyla k kθ ve k kθP yı kestir
(3.58) ve (3.59) yardımıyla yardımıyla k kx ve xk kP yı kestir
devam et
Tablo A.5. Mead ve doğrusal olmayan RC modellerde çiftli ve birleşik UKF yöntemi kullanılarak model parametresi ve durum değişkeni kestirim algoritması.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerlerinin belirlenmesi
0θ başlangıç değerini belirle
0x başlangıç değerini belirle
0 0θP başlangıç değerini belirle
0 0xP başlangıç değerini belirle
θR , xR , θQ , xQ ve , ,α β κ parametrelerini belirle
1,k N= … için
UKF adımları yardımıyla yardımıyla k kθ ve k kθP yı kestir
UKF adımları yardımıyla yardımıyla k kx ve xk kP yı kestir
devam et
Tablo A.6. Mead ve doğrusal olmayan RC modellerde çiftli ve birleşik EKF ve UKF yöntemleri kullanılarak model parametresi ve durum değişkeni kestirim hata ortak değişintisinin PCRLB ile
hesaplanması algoritması.
Benzetim parametreleri ve başlangıç değerlerinin belirlenmesi
0θ başlangıç değerini belirle
0x başlangıç değerini belirle
0 0θP başlangıç değerini belirle
0 0xP başlangıç değerini belirle
θR , xR , θQ ve xQ parametrelerini belirle
1,k N= … için
(3.58) ve (3.59) yardımıyla yardımıyla k kθ ve k kθP yı kestir
158
(3.58) ve (3.59) yardımıyla yardımıyla k kx ve xk kP yı kestir
UKF adımları yardımıyla yardımıyla k kθ ve k kθP yı kestir
UKF adımları yardımıyla yardımıyla k kx ve xk kP yı kestir
(4.66) yardımıyla M θθ i hesapla
(4.55) yardımıyla xkP i hesapla
(4.57) yardımıyla kθP i hesapla
devam et
159
ÖZGEÇMİŞ
Esra Saatçı 1972 yılında İstanbul’un Kadıköy ilçesinde doğdu. 1993 yılında İstanbul
Üniversitesinin Elektronik Mühendisliği Bölümünden mezun olduktan sonra aynı yıl
yüksek öğrenimi için İngiltere’nin Surrey şehrine gitti. 1995 yılında Surrey Üniversitesi,
Biyomedikal Mühendisliğinden Yüksek Lisans diploması aldı ve Türkiye’ye geri
döndü. 1995-1999 yılları arasında BİNAŞ A.Ş., SIEMENS Tıp Elektroniği ve AMS Şti.
gibi biyomedikal cihaz teknolojisi pazarlayan şirketlerde Servis Yöneticisi ve Bölge
Satış Yöneticisi pozisyonlarında görev aldı. 1999 yılında İngiltere’nin Londra şehrine
gitti ve Kings College London Üniversitesinde 2001- 2003 yılları arasında Araştırma
Görevlisi olarak çalıştı. Kings College London’da bulunduğu sürede invasiv olmayan
ventilasyonda yüzmaskeleri ve ventilatör-hasta etkileşimi üzerine araştırmalar yaptı.
2005 yılında İstanbul Üniversitesinin Biyomedikal Mühendisliği Anabilim Dalında
Doktora çalışmalarına başladı. 2004 yılından beri İstanbul Kültür Üniversitesi
Elektronik Mühendisliği Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak çalışmaktadır. Esra
Saatçı’nın 1 bilimsel atıf indeksinde yer alan uluslararası hakemli dergide makalesi, 7
uluslararası bilimsel toplantıda sunulan ve bildiriler kitabında yer almış bildirisi, 1
ulusal bilimsel toplantıda sunulan ve bildiriler kitabında yer almış bildirisi ve 1
uluslararası kitapta yayımlanan kitap bölümü vardır.
