53

Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

������������ � ������������������������������ !�"��#��� $�%�&��� #'�&� �%(�� !��) *�&�,+ -.���/,����0%12�435����6��7� ) �86���

9;:=<?> :A@CBEDF9HG%I?JLKNM'O�P Q

RTSLUWVXZY\[]S_^`YbadcFe'VfYhgWSZ[]VfY\ikjZlTV^=monpa[FU=qrY\ih^tsuwv�^AihxS_XylzihY\{7adc!|=aqrYhgWS_X}^�~�q`S}SZ^rlz��V^�m&u� a�af�;a�a[���V&u!~�q`SyS_^rl}��V^=mT�`������u���q�lzY\X�V��ikV

9��4��G�:=J$����K J�G%�=�`�

�FS_Xdal�UWV?jzS���e'S�j_g�V^AikjyVf����^ts?i ^NSySZXzih^ts2V^=m�n�SZ^=Y¡SZX�c_aX���U?U=�¢ikSym]e8VfYhgrSZ[]VfY\ikjZlyuv4^AihxS_XylzihY\{�adc�£,afY\X�S$R¤V[�SZu £wa?Y\X�S$R¤V[�Szup¥}^=mikV^=VT�=¦f����¦�uTv §¨|=§��w§

©�ª�«_¬®­&¯A°f¬±³²_´Aµ`¶·²w²Z¸?¹]º`»�¼Z½¿¾À¶·ÁAÂ_µ`´rÃ�ÄÅ¡Æ4ÇfÁAÈAÇf´�¹]¸�Èr¼�»�¶·É�Èr¼_Ãy¶�Êf¼�È"Ëh¸fÃFÌ�Ír¼¤ÎA¸�ÏиfËHÇ�Äf¼�Ár¼_Ã}Çf»4Î=´A¶·ÈÁr¼�ÇÃ2Çѵ`¶�Ë\´rÃy²_ÇÌ�¶·¸?ÁÒºN¸?¶·ÁtÌ_Ó%ÔW¸?»·´rÌ�¶�¸?ÁAÉ�ÇÃ�¼�¸fµAÌ�Çf¶·Ár¼�ÈÕËh¸fÃ7Ì�Ír¼oÁAÇÌ�´rÃyÇf»À²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�¸?Á5ÎA¸�ϸfË;Çf¶·ÃF¶·Á"Ç�ÈA¶�Ö�¼_Ã�¼�ÁtÌ�¶·Çf»·»·×�Å¡Ír¼�ÇÌ�¼�È�Ì�Çf»·»�²_»�¸?É�¼�È¿²_Ç�ÊW¶�̡׿´AÁAÈr¼_Ã�Ár¸?ÁWÅ¡Ø�¸?´AÉ�É�¶¨Ár¼�É�Ù7²Z¸?ÁAÈA¶�Ì�¶·¸?ÁAÉ_ÓÚ ÍA¼�¹�¸WÈr¼�»=¶·É�´AÉ�¼�È�Ì�¸TÇfÁ`Çf»�×�É�¼ÛÊÇÃy¶�¸?´AÉHÌ¡×�ºN¼�ÉH¸fË�¶·ÁAÉ�Ì�ǵ=¶·»·¶�Ì�¶�¼�É�Ó&ÜdÁ�º`ÇÃ�Ì�¶·²_´`»·ÇÃ�Ý�¶�Ì�¶·ÉHË ¸?´`ÁAÈÌ�ÍAÇÌ2Ár¸?Á`»·¶·Ár¼�ÇÃ�Î`´A¶·ÈÒºAÃ�¸fºN¼_Ã�Ì�¶�¼�É�Ê&ÇÃ}¶·ÇÌ�¶�¸?ÁAÉ�ÏÛ¶�Ì�ÍÞÌ�¼�¹�ºN¼_ÃyÇÌ�´rÃ�¼�»�¼�ÇfÈÕÌ�¸�Ç�²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�Êf¼¶·Á`É�Ì�ǵ`¶·»·¶·Ì¡×�¸fË�Ì�Ír¼�ÎA¸®Ï³ÏFÍr¼�ÁoÌ�Ír¼]Ì�¼�¹]º�¼_Ã}ÇÌ�´rÃ�¼�ÈA¶�Ö�¼_Ã�¼�Á`²Z¼]µN¼�²Z¸?¹�¼�ÉwÉ�´Aß�²_¶�¼�ÁtÌ�»�×"»·ÇÃyÄf¼fÓÚ Í`¶·Ép¶·Ép¶·Á�²Z¸?ÁtÌ�ÃyÇfÉ�Ì�Ì�¸,²_»·ÇfÉ�É�¶·²_Çf»AÃ�¼�É�´A»�Ì�Ép¶¨ÁTÌ�Ír¼bØ�¸?´AÉ�É�¶·ÁA¼�É�Ù,»¨¶·¹]¶�Ì�ÏÛÍr¼_Ã�¼�Ì�Ír¼F¶·ÁAÉ�Ì�ǵ`¶¨»·¶�Ì¡×,¶·ÉËh¸?´AÁAÈ�Ì�¸]µN¼$Çf»�Ï�Ç�×WÉbǵ`É�¸?»·´AÌ�¼fÓ Ú Ír¼ÀÃ�¼�É�´A»·Ì�É�¸fµAÌ�Çf¶·Ár¼�È2´AÉy¶·ÁrĤÌ�Ír¼!¹�¸WÈr¼�»NË ¸fÃbÇfÁ�¶·Árà`ÁA¶·Ì�¼�»�×Ì�Çf»·»N²_Ç®Ê�¶�Ì�×�ÇÃy¼À¶¨Á�¼Z½r²Z¼�»·»�¼�ÁtÌ%ÇÄfÃ�¼_¼�¹�¼�ÁtÌbÏÛ¶�Ì�Í�Ì�Ír¸?É�¼À¸fË4È`¶�Ã�¼�²ZÌ�Át´A¹]¼_Ãy¶·²_Çf»�É�¶·¹¤´A»·ÇÌ�¶�¸?ÁAÉHËh¸fÃÇ]²_Ç®Ê�¶·Ì¡×7¸fËpÇfÉ�ºN¼�²ZÌbÃyÇÌ�¶�¸�á?âWÓ

ã�S_{]�;aX�m&lZä ÁA¸?ÁWÅ¡Ø�¸?´AÉ�É�¶·ÁA¼�É�Ù�²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�¸?ÁåÝ=ÏH¼�ÇæW»�×7Ár¸?ÁA»·¶·ÁA¼�ÇÃbÉ�Ì�ǵ`¶·»·¶·Ì¡×�Ì�ÍA¼_¸fÃ�×=ݾÀ¶¨ÁrÂ_µ`´rÃ�ÄÅ¡Æ4ÇfÁAÈAÇf´7¹�¸WÈr¼�»çå��n�|�ä áfárÓèâ?é�Ó�ê�¼fÝ=áfárÓìëfé�Ó�êÀË�Ý=átítÓ·î�é�Óèïr¼fÝNátítÓ·î�é�ÓèðÛÙ=Ý=átítÓìëâWÓèØ�ºñÝ�átítÓìëâWÓèï�Ì_Ý=átítÓìëâWÓèò$×

ó�ô ¸fÃ�Ã�¼�É�ºN¸?ÁAÈA¶¨ÁrÄ2Çf´rÌ�Ír¸fÃ�Ó�õ;Ír¸?Ár¼föpê$÷WîzÅLí®Å�á�÷føWîzÅ�éfé&á�ë�Ý�ïAÇ&½�ö;ê$÷WîzÅLí®Å�á�÷føWîzÅ�éféféâWÝ�ùpÅ¡¹�Çf¶·»köÉ�Éy´AÉ�»�¸�ÊrúÀ´`É�Ù`Óû¼�È`´åÓèÇf´ü Ú Ír¼wÏ�¸fÃ�æ2¸fË�Ì�ÍA¶¨ÉÛÇf´rÌ�Ír¸fÃ�Ï�ÇfÉFº=ÇÃ�Ì�¶·Çf»·»�×7É�´rº`º�¸fÃyÌ�¼�È2µt×"ÇfÁ"ùHÇÃy»�× ô ÇÃ�¼_¼_Ã$ðb¼�É�¼�ÇÃy²yÍr¼_þ�Ã}ÇfÁ�Ì�Ë Ãy¸?¹ýÌ�ÍA¼�þ�ÁA¶�Êf¼_ÃyÉy¶�Ì¡×$¸fË�ÔW¸?´rÌ�Ír¼_ÃyÁTÿÀ´r¼_¼�ÁAÉ�»¨ÇfÁAÈ��këâfâfâ���ÇfÁAÈ,µ�×wÇF²Z¸?¹]º`´rÌ�¶·ÁrÄFÄfÃyÇfÁtÌËhÃ�¸?¹ Ì�Ír¼,±F´AÉ�Ì�ÃyÇf»·¶·ÇfÁ7õ ÇÃ�Ì�Ár¼_ÃyÉyÍA¶�º2Ëh¸fÃÛ±FÈAÊ&ÇfÁA²Z¼�È ô ¸?¹�º`´rÌ�¶¨ÁrÄ��këâfâfâ��}Ó

�������� ������������� �������� ��!#"�$%�&�(') *�&�,+.-� /���-� 021(�3-547698�:<;�;)=

Page 2: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

� ��������� �����������

�������������������! #"$��%&��')(+*-,�"/.�(��!�0(�1/1$�23��.4 ��657(��98:20"$ ��; ���<=�����#(7 �,����>(��?.����!��%!%�,��!��@ #���=<=�A<����B #,�<C(���.D�������!E�8F��GH,-(I #"/����%J20��"/KL�M.���%!K���"$N��; #�?�=*-��2O��'P(Q*-,�"$.)@�N��SRK��A<=�0%�,�N?%! L(7�H �"T(�1$1$8U<��A�!�PK��A<=��1$"/KV(I #��.4.?,��> ��J #���W(�.�.�"X #"$�A�-(�1Y���A��1$"/����(���"X #"$��%&(��!"/%ZR"/��E:'[�!�A<\.?����%!"$ ]8A@�5Y"$%�K���%�"$ ]8�@? #�?����<�(�1)K��A��.�,?K� #"X5Y"$ ]8A@�(���.^%�����K�"$_-K`����(7 P57(���"/(7 #"$�A��%�ab]�c #�?�edf�A,?%�%�"$����%!Gg1$"/<="$ �@�20�������h*�,�"/.g�����A�����9 #"$��%i(7���jK��A��%9 L(��B �@3 #�?�kEA��5A������"$��E��GH,-(7 �"/�A�?%W�-(V5��:(;GY,�(�.��#(I #"/K`������1/"$���V(��!"$ ]8�a-lW��23��5A����@�"/�j���A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�GQ�!��EA"$<���% #���`������1/"$���V(��!"$ ]8=��' #���JE��5����!��"/��E;��GY,�(7 #"$�A��%P"/%P1/(���E���1$8�.��n #���!<�"$����.QNB8i ����J'[�A��<��'P #�?�oK�����%! �"$ #,m #"$5��o��GY,�(7 #"$�A��%:(7��.D #�?�i��GH,-(7 �"/�A�D��'P%! #(7 #��'[�A�6 ����o*-,?"/.)@ (���.D"/�EA���?���#(71p"$ q"/%+�?�� J��5����F��'r���A1$8Y���A<="T(71�KL�-(��#(7K� #����a)sP�?"/%J"/%> #���4K�(�%��7@t'[�A�W�nu?(�<=��1/�7@20�����e ����v23��1$1pwH����20�yxm,? ������!1T(��?.k'[�A��<U,�1T(��6(��!�U,�%!��.e ��i.���%!K��!"/N��v5Y"/%!K��A%!"$ ]8k(���. #������<�(�1)K��A��.�,�Kn #"X5m"X ]8Aa

sP���J���A�?1/"/�?�V(��!"$ #"$��%r(�%!%��YK�"T(I #��.�20"$ #��*-,�"/.o�����A�����9 ]8o57(��!"T(7 �"/�A��%z��1/(V8i(U%98Y<�<=�� ��!8BRN�����(�wH"/��EM���A1$��a{b]�c(M.�"X|t�������H �"T(�1$1$8BR]�?�V(7 ���.} L(�1$1f5A���! �"/KV(71>K�(V5m"X ]8~ #���n8~.�"/%9 #�A�9 = ����%! #(7 #"$�A�-(��98gK�,�N�"$Kk5A��1/�YK�"$ ]8g���!��_-1/�e(���.�1/"$���V(7�= ���<=�����#(7 �,����e.?"/%! ���"$N�,? #"$�A��(7K�����%�% #���UKV(V5Y"$ ]8j20��"/KL�e�Sum"/%! +"/�h ����4df��,�%�%!"/����%�Gk1$"/<="$ 0��'p5A���98e%!<o(�1$1� #��<=�����#(I #,��!�U.�"X'TR'[���!����K���%����7a�E�a)�>,�.�(�w���5�@&���A�B�Y�tdf����EA�?�A1$ ���@p�V�B���?�t�����;(���.y�J�A������1/(?@ ���A�A�B�Sa�sP�?"/%.���5Y"/(7 #"$�A�h'[�!�A<� #���:%98Y<�<=�� ���"/KvKV(�%!�:%! #(��! �%+��1/(�8Y"$��Ei(���"$<����A�9 L(��B >���A1$�U"$�k.��n_-�mR"/��Ej #���o%! L(7N�"/1$"$ ]8�KL�-(7�#(�Kn #���!"/%9 #"/K�%U��'P ����o*-��2�20������ #���� #��<=�����#(I #,��!�o.�"X|t�������?K��N��n ]2f�����^ #���W2�(�1$1/%3"/%��A�?1$8�(�N��A,? J���A���7' ����J(V5A���#(�E��+ #��<=�����#(I #,��!�+"/�o ����+K�(�5Y"X ]8��xm,?%�1/��5^(7��.j�p(��A1$,�K�K�"�@)�V�A�B�7N��Sa-�+���`K�����%���GY,?����K��:"/%f ��-(7 P ����`�-(��#(71/1/��1tN-(7%�"/K+*��2N���K��A<=��%4<=�A�!�i%! #(�N�1/�7�p #�?�QK���"X #"$KV(�1f�`��(�%��?��'q�H,�<UN����;(7 :20��"$KL��"X 4N�"X'[,���K�(7 #��%: #�(�%!�-(7 #"/(�1/1X8i�����!"/�Y.�"/K`�A���v"/��K�����(�%���%q�#(7��"/.�1X8Aa-�W1$ #�?�A,�EA�j #���6"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8i1$�V(�.�"$��E; #� #��(���%!5����!%��:�!�A1/1$%�"/%0%! �"/1$1).�,��` #�= #���`%��?�V(��W��'� ����`*-��2 (���.j_-��%9 +(��?����(���%>���V(7�0 ����"/�?*���K� �"/�A�6���A"/�B ���'� ����rN-(�%�"$K&5A��1$�mK�"$ ]8J�?����_-1$��@� #�?�3.�"$%! �,���N-(7��K���%p(��!�3�?�� %! L(I #"/���-(��!8(��B8Y<��A�!��@I"/�vK��A�B #��(�%! � #�> #���fdf�A,�%!%�"/�?��%�G61/"$<�"X V@�(���.U ����f�!��%�,?1$ #"$��EqK��A�B5A��K� #"$�A�:�!�A1/1$%.���"X'¡ f.?�20�B2f(���.ta-b]�i2f��(�wH1$8����A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�G�K��A�B5���K� �"/�A�Q"$�Q(v #(�1/1-5A���! �"/KV(71tKV(V5Y"$ ]8�@ #��"$%�.��!"$'¡ P�-(7%PN������^.��� ���Kn #��.h�num������"$<����B L(�1$1$8A@H'[�A���Su?(�<��?1/��@mNB8jxm"/<=��wH"/�?%`�9�����A�B�nalW�J�AN?%����95A��.k(:%!1/��2¢.���20�H2f(��!.h<=�� #"$�A�o�7'�K��A�B5A��K� #"$�A�^���A1$1/%3"/�Q(:K�(�5Y"X ]8i��'�(�%!����K� �#(7 �"/�^£B�Q'[�A�6¤:¥¦�?§X��^(���.D¨6©^¥��B�7�Bªma)sP����%�������.}(���.MK���1$1{2�(V5���1/����E� �����'f ����<���5Y"/�?Ei���A1$1/%U��xm"$<��?wY"$��%�@ ���A���B�023���!�:'[�A,���.e ��QN��:"$�eK�1$�A%��:(�EA������<=���B +20"X #�k57(�1«R,���%r���!��.�"$K� #��.oNB8; ]2f�IR].�"$<�����%�"$�A�-(�1�1$"/����(��{%9 L(�N�"$1/"X ]8U #�?���A�98h��xm,�%!1/��5=(���.��p(7�A1/,�K�K�"¬@���A�B�IN��nam�� >5����98Q1T(��!EA�q57(�1$,���%P��'� ���<=�����#(7 �,����J.�"X|t��������K���%WN��� ]23�����h #�?�+2�(�1$1/%f �������A��1$"/����(��&.�����%�"X ]8=57(��!"T(7 �"/�A�41$�V(�.?%z ��6 ����W(������V(���(���K��>��')(6���n2����B8Y%�"/K�(�1�"/��%9 L(�N?"/1XR"$ ]8�.���"X5A���jNB8QN?,���8B(���Kn8Aa-sP���JK��A���!��%!���A�?.�"/��E;K���"$ �"/K�(�1)�J�#(7%�����' �H,�<:N����f.���K����V(7%���%�#(��?"/.�1X8o20"$ ��k"$��K��!�V(�%!"/��E4 #��<�������(7 #,?���6.�"$|����!����K��vN��� ]23�����e #���`2�(71/1/%�a-sP��"/%>"/�?%! L(RN�"/1$"$ ]8F(7������(���%6����(��v ����oK��A1/.y2�(�1$1r(���.M ����i(7%�%��YK�"/(7 #��.D.�"$%! �,���N-(7��K���%:�������-(�EB(7 ��.���20�B2�(��!.k<:,?KL�h'�(�%9 #���� ��-(��^ #����%��6(�%�%!�mK�"T(7 ���.^20"$ ��j%!���V(7��a

sP���02f��(�wH1$8=���A��1$"/����(��&�B8Y.����Y.?8Y�-(�<="/K0%! #(�N�"$1/"$ ]8v #�����A�!84_���%! 3%�,?EAEA��%9 #��.iNB8ixH #,-(��9 �9�����A�B�n@��D(7 #%!�A���9�����A�B�n@�(���.MxY �,-(��9 `(���.yxY ���2f(��! �%��A�g�Z���B�m��S@t(7��.e #����"/�+<=�Y.�"$_?RKV(7 �"/�A�?%vNB8D�>�n8m�?�A1/.�%v(���.����� ! #���i�9�����B�A�n@�xm���}(���.M­z����wI(7 ���%!2f(��!1/,��Z���A�A�B�S@ (���.

ª

Page 3: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

lW����N����! Q�9�����A�B�n@���(�5��iN������D%�����20�D ��kN���5A���!8M����23���9'[,�1r ��m��1/%J'[�A�` #���=%! #(�N�"/1$"$ ]8(��-(�1X8Y%�"/%���'J57(���"$�A,�%;*-��20%�a�b]�c�A,��i��(���1$"/���423�A��w ��xm,?%�1/��5g(���.���(��A1$,�K�K�"�@0���A�B�IN��2f�Q�SuY #���?.���.� #���Q(7����1/"$KV(7 �"/�A�M��'0��(I #%���� � %: ��������!8D ��e #���Q%9 L(�N?"/1/"X ]8F��'0 #���i*��2��'3(iEA���?���#(71�*-,�"$.)atsP�?�:'[�A��< ��'z #���4�Sum�-(���%!"/�A�e2f(�%J.�����"$5���.FN-(�%!��.y�A�e #�?�:sp(V8BR1/�A�v�num�-(��?%�"/����%4��'>�����������! #"$��%;(�N��A,? v #���Q�!��'[�������?K��^.�"/%9 #�!"/N�,? �"/�A�?%�a sP��"/%4���-(�N�1$��.,�%i #�}�Su?(�<�"$���e%!,�K�K���%�%9'[,�1/1X8� #�?�����V(��oK���"X #"$KV(�102f��(�wH1$8c���A��1$"/����(��o%9 L(7 ���%^"/�c ����.�"$|����!���B #"/(�1/1X8BR]����(7 #��.kKV(V5Y"$ ]8k������N�1/��<ha�b]�F�-(��! �"/K�,�1T(���@�"$ +2f(�%JK����?_-��<=��.e ��-(7 + ����%�����(��Q.��!"$5A��� ��"$�?*-��Kn #"$�A�����A"/�B S�;"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8~"/%�%�,������!K���"X #"$KV(�1W"/�c �����df�A,?%�%�"$����%!G1/"$<�"X V@YN�,? >"$ P2f(�%0%�����20�k ��;N���K��A<=�`%�,�N�K��!"$ #"$KV(�1)(7 >1T(��!EA���f57(�1$,���%0��'� #��<�������(7 #,��!�.�"$|����!����K��iN��� ]23�����} �����2f(�1/1$%�a sP���iN�,?�8A(���Kn8�.��!"$5A����"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8e2f(�%:%!����20�� #�����<o(�"$�^%�,������!K���"X #"$KV(�1¬a��� +(;K����! #(�"/�^57(�1/,��J�7'p #��<�������(7 #,?���6.�"$|����!����K��vN��� #�j"/�?%! L(RN�"/1$"$ ]8q<��Y.���% N�"X'[,���K�(7 #�r%�"$<:,�1$ #(������A,�%�1X8=�[ ����f%!�7R]K�(�1/1$��.`K��Y.�"$<�����%�"$�A�mR9ª����A"/�B L�nasP���.?8Y�-(�<="/K�%P��'� ����+*-��2 "$�i #��"$%P����EA"/<=�+�-(�%0N������h�Su?�?1/�A�!��.^"/�hxm,�%!1/��5Q(7��.j�p(��A1$,�K�K�"�9�����B��(B�Sa�b `�-(7%JN������F%�����20�F #�-(I + #���4%!,�N�K���"X #"$KV(�1�%�����(��J<��Y.��U ���"$EAEA���!��.�NB8k ����%�,������!K��!"$ #"$KV(�1?N�,���8B(��?K�8;<=�m.��P�?�A��<�(�1/1X86.��A<="/�-(7 ���%p ����>(�%!8Y<=�? #�7 #"/KPN�����(�5Y"$�A,��&��' #���J*-��2`a

xm"/�?K��zN��7 #�6"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8q<=�m.?��%��-(V5A�3(>�?����'[�����!��.U�?���A�-(7EB(7 #"$�A�J.�"$����Kn #"$�A�`,���.����������mRdf�A,�%!%�"$����%!G=K��A��.�"X #"$�A��%�@7 #���0"/%!%�,��0��')(�N�%!�A1/,? ��>(���.=K��A�B5A��K� �"$5A�W"/��%9 L(�N?"/1/"X #"$��%�(���"$%���%�a�������h(����?1/"/��.i #�:_-�?"$ #�J%!"/���JEA���A<=�� ���"$��%�@?%�,�KL�h(�%0����K�1/�A%!,�����%�@� �����%!�6K��A��K����? �%q(��!�K�1$�A%���1$8M����1/(7 #��.} #�e #�?�Q�num"/%9 #���?K��^��'W%��7R KV(�1$1/��.DEA1/�AN�(�13<=�Y.���%j���z"$���4(7��.�lW,��������7@���A�A�m���z�!"/��.��i(��?.}�J����N����9 #�)@z�����B�A�na�sP�?��"/�6%���(7 #"/(�1z%��-(����="/%6���A�mR� #��"X5Y"T(�1$1$8h"/�?*-,YR����K���.4"$�U(�N?%��A1$,? #��1$8`,���%9 L(�N?1/�r����E�"/<=��% NH8` ����3 ]8Y���f��'-N��A,��?.-(��!86K��A��.�"X #"/����%�20��"/KL�(����P%!����K�"X_-��.;'[�A�p ����P<��Y.���1����7a�E?aBd��,�KL����1�@B���,�KLw��7@H�>�7 #�)@�(���.�xmKL��<="$ ���@������A�B�na7sP���%! �,�.?8hNH8��f�!�A%�%q(���.��J,��e�9���A�AªA��%�����20%q ��-(7 W"/�k%98Y%! #��<�%>20"$ ����� ��^%!8Y<=<��SR #�98A@V20��"$KL�vK�(��`%�,������A�9 �K��A,��B #���9R �����A��(�EB(7 �"/��EP2f(�5���%�@�(P%���1$'TR %�,�%9 L(�"$����.`.�"$%! #,?��N-(��?K���-(7 ! #���!�Q<o(V8��num"/%9 P����(��f #�?�+����.?%P��'�(��Q����K�1/�A%!,����q��5A���h"$�iK����H5���Kn #"$5���1X8i,���%9 L(�N?1/�����EA"/<=��%P.�,?�6 ��= ����`.�"/%9 #,��!N-(���K��v�!��*-��K� #"$�A��%0'[���A<\N��A,?��.-(��!"/��%�a-sP��"/%0"$%>��N�%����!5A��.)@'[�A�o�Su?(�<��?1/��@z"$��N�"/��(��!8~*-,�"$.cK��A�B5A��Kn #"$�A��"/��(M���A��"$���A�B #(�101T(V8A���iK��A�?%�"/.?������.�NB8 #���F(7N���5A�y(�,m #���A�!%�a�b]���A,?�Q%! #,?.?8� #�?��� � ��g%!8Y<�<=�� ��!8c"/%QN��!�Aw����¢NB8� ����_?um��.�.?�20�B2f(���.D.�"/�!��K� �"/�A�y��'3 #���=EA�#(V5Y"$ ]8F"$�MK��A���!,��?K� #"$�A�F20"$ #�y���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!G*-,�"$.Q�����A�����9 ]8o57(��!"T(7 �"/�A��%�aH�q%0(:����%�,�1X � #�?�+.�"/%9 #,��!N-(���K���%>(��!�q'[�A,���.i ��4�������-(�EB(7 ���A��1X8F.���20�H2f(��!.�%4"/�y #����K��A��%!"/.�������.}���A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�Gy����EA"/<=��%o�[ �����8y�-(V5��i����EA(IR #"X5A�^EA����,���(��?.g����(�%��j%�������.�%o"$�gK��A�B #�#(7%! = #�� #���hdf�A,?%�%�"$����%!G~1/"/<="$ v20�����!�j ����.�"/%9 #,��!N-(���K���%:��(�5��i�������eE����A,���(���.�����(�%���%�������.?%L�nap�q%U�?�� #��.)@ '[���v�Su�(7<���1$��@ NB8�q��(���%����;(���.4�J�#(7<������¬ª��A�BªA�S@"/�U%!,�KL�=(q%�"X #,-(I #"/���v.��n L(�"$1/��.UK�����%�"$.�����(7 #"$�A�U��'-2f(V5A����n*-��Kn #"/����%UK�(���N��o(V5A��"/.���.}(���.y #�H,�%:1$�V(�.�"$��E^ #�e(j%�"$EA��"$_�KV(��B 6%�"$<���1$"$_-K�(7 #"$�A����' #����(��-(71$8Y%�"$%�a��p"/�!%! �@) #��"$%6"$%vN���K�(�,�%!�� #�?�����o(����=���^2�(V5���%4"/�?K�"/.?���B ` #�h ����=,��������2�(71/1� #��N��v����*���K� ���.)a)xm��K��A��.)@� #���v.�"/%9 #,��!N-(���K���%+�!��*-��K� ���.e'[����<¦ #���vN��� ! #�A<¦2f(�1$1KV(��?���� &���!�A�-(�EA(7 #�f'�(7�{N-(�KLwv"/�B #�q �����*-��2g.��A<�(�"/�)ab]��.?����.; #�?��EA����,��4%�������.���'- �������n*-��Kn #��.D.�"/%9 #,��!N-(���K���%6"/%`%! �"/1/1p����EB(I #"$5��o(7��.y �����8FK�(��D����1$8�.?"$|�,�%��;N-(�KLw�a sP����"$�.�"$|�,�%!"/�A��%!������.�"/%:�?�A��<�(�1/1X8F<:,�KL�}%!1/��2f���: #�-(7�~ ����i���!�A�-(�EA(7 #"$�A��EA�!�A,��}%�������.)asP�����!��'[�A�!�J #���J�!��*-��K� #��.h.?"/%! �,���N�(���K���%>(����+%92f���? WN-(�KLw� ��: #���J2f(�1/1�20�����!�J #���J���mR���!E�8`1/�A%!%�.�,��z #�>"$ #% (�N?%��A�!N�"/��E0�-(I #,��!�3wH"/1$1/%t ����r����*���K� ���.:.?"/%! �,���N�(���K���%�N���'[�����z #���n8KV(��oN��>'[��1$ r'�(��3N-(�KLw="/�� ����W*��2¢.���<o(�"$�)@B,���1$��%!%f #���>*-��2¢"/%3(�N�%���1/,? ���1$8;,?��%! #(�N�1/�7a

Page 4: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

df,? f��5A���Q"/�o ���"/%rKV(7%��q ����qEA1$�AN-(�1-"$�?*-,�����K��q��'� #���WN���,���.-(��!"/��%3"$%f.�,��> #�:.?"$|�,�%�"$�A�(���.;���� & ��J #����2f(V5A�>����*���K� �"/�A�?%�aYxm,�KL�="/�m*-,����?K��0"/%&<:,?KL�=��(�%�"$���{ ��v(7K�K���,��B r'[���&(�%"$ 3.��������?.�%�<=�A%! �1$8;�A�o ����q�?���A�����9 #"/��%f��'t #���W<��Y.���1���GY,�(7 #"$�A�o57(�1/"$.�"$�� ������!N?,�1/w����') ����q*-,�"$.o��(7 #�����3 ��-(��i�A�� #���W%�����K�"X_-K4�[,���wH����20���f�!��*-��K� #"$�A�iK��m����K�"/���H �%���') ����2�(71/1/%�azdf��K�(�,�%!�h��'W #����%��k(���EA,?<����H �%4 #���j%��-(I #"/�IR #��<����A��(�1f"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8MKL�-(���(�K� ��������<o(�"$��%`5A���98D%!"/<="/1/(��q #�j #�-(I U��'��A�����D*-��20%:(7��.D #�?�o"/�m*-,����?K��o�7'� #���= #�A��(���.N��7 � #��< 2f(�1$1�N��A,���.�(��!8=K�����.�"$ �"/�A�?%f�A�o ����q<=�Y.���1�%��A1$,? #"$�A��%r"/%r'[�A,���.o ��:N��W23�V(�w�ab]�}���#(7K� #"$K��i"$<����A%!"/��Ej"/�B #,?"$ #"X5A�=��������N��A,���.-(7�!8MK��A��.?"$ #"$�A��%6'[�A�v ����i.�"$%! #,?��N-(��?K��(�<=��1/"X #,�.���%�@ EA��5A��������.gNB8D ����Q.�����"$5���.g�J"/����N�,���EIRZ��(���.-(7,���GH,-(7 �"/�A�?%�@{�!��%�,?1$ #%U"/�%��A1$,? #"$�A��%> #�-(7 q%�,��=K�"/���B �1$8j'�(��+(V2f(�8h'[���A< #�?�U #�A�e(���.�N��� � ��A<�2�(�1$1/%q(����U'[��,���. #��N��F"$�¢�SumK���1$1/���H hGH,-(�1$"$ L(I #"$5���(���.¢GH,-(��B #"X L(7 �"$5��M(7EA������<=���B h20"X #�� #�?�A%��F'[���A<� "/�!��K� �B,�<=���!"/KV(71�9"$<:,�1/(7 #"$�A��%0� ���+x��&��'� #�?�W'[,�1$1-��GH,-(7 �"/�A��%r20"$ ��� #�?�J(������!�A���!"T(7 �����B8Y%�"/K�(�1�N��A,���.-(7�!8QK��A��.�"X #"/����%�amsP��"/%0(�E�������<����B 0<��� �"$57(7 ���.Q,�%P #�4,?��.����9 L(�w7�6 ����'[�A1/1$��20"/��E^%�"$<��?1/"$_���.y(������!�B(�KL�)a��{|���K� �"$5���1$8�@ '[���U(���(�1$8Y%�"$%v�?,������A%���%�@�2f��K��A�?%�"/.?���(��k"$�?_-��"X #��1$8o #(�1/1�����K�1$�A%�,?���`20"$ #�j����.��� #(�"/1$��.^ #����(7 #<=���B >��'{ ����` #�A�h(���.hN��� ! #�A<N���,���.-(��!"/��%�apsP�?�i'�(�K� : ��-(7 : ����QKV(V5Y"$ ]8D"/%:K�1/�A%!��.}���H ����!%=����1$8M"/�D ����QK����H ��nuY ;��'EA1/��N-(�1?*-,?"/.;<o(7%�%zK��A�?%����957(7 #"$�A�o(I r ����>.�"/%9 #,��!N-(���K��>.?��5A��1/�A�?<����H 3%! #(�EA�P20��"$KL�o���SR%�,�1X #%3"/�i(6���A�mR� #�!"$5Y"T(�1-K��A��%9 #�#(7"/�B f20�����i*-,�"$.o.�����%�"X ]8o"$%f(�1$1/��23��.� ��v57(��98AaH�D�W�A��1$8<�"$<�"$KW ����v�?�H8Y%!"/KV(71 N��A,��?.-(��!8iK��A��.?"$ #"$�A��%�20�����kK��A<���(���"$%��A��%P20"X #�����+xQ����%�,�1X #%(����v<o(7.���atxm,�KL�F(��e(������!�B(�KL�e"$%+(�1$%�� �!,?%! #"X_-��.kNH8j #�?�v'�(�Kn q #��(7 J(o��(��#(�1$1/��1�N-(�%�"$K*-��2`@t20��"$KL�M"$%q #���4%9 L(��9 #"$��Ei���A"/�B +'[�A�W #���4.�����"X5�(I #"/���e��'z #���4�!��.�,?K���.D(�<=��1/"X #,�.��<��Y.���1/%�@B.?�m��%f���� 3�num"$%! 3���V(��r #���0 #���i(���.�N��7 � #��<�����.�%3%��U ��-(7 3"$ r.��Y��%3���� 3<o(�w7�<:,�KL��%!����%!�o #�h%! �,�.?8y #���=.��� #(�"/1$��.M"/�?*-,?����K��o��'� ����oN��A,��?.-(��!8FK��A��.�"X #"$�A��%6�A�B #� #���q<��Y.���1�N����-(V5Y"/��,��f"$�� #�?�+����EA"/�A�?%r20�������q ����+<=�m.?��1�"$ �%���1X'�N���K���<���%�"/�!����1$��57(��B Va�q�B8�%!,�KL�~.��� #(�"/1r2f��,�1/.�N��iK��A<��?1/�� ���1X8M��N�%�K�,�����.gNB8y #���Q�n|t��K� #%4�7'0���A���-(7�#(�1$1/��1 #,��!��"/�?E�*-��2 20��"$KL�e"/%05Y"/�! �,-(�1$1$8Q"$<����A%�%!"/N�1$�+ #��.���%!K���"$N��v,�%�"$��Eo23�V(�wH1X8h�?�A��1/"$���V(7�(���E�,�<����B #%�a

lq(V5Y"/��Eq�num��1T(7"/����.4%�,�KL�;%�"$<��?1/"$_���.v �����(7 #<=���B V@I"/�v #��"$%p2f����w`2f��'[�YK�,�%p�A�U #�?�P"/�?*-,YR����K��v�7'p #�?�6�?�A�mRZd3�A,�%�%!"/����%�GQ*-,�"$.^�����A�����9 #"$��%P57(���"/(7 #"$�A��%��A�^ #�?�v%!�-(7 #"$�7R ���<=�����#(�1��5��A1/,? �"/�A�4�7'� ������!N�,�1$w��J%��A1$,? #"$�A��%0�[%�,��=K�"$���B #1X8U'�(���'[���A< #���P����.�%L�p ��` ����P�-(7 �,��#(71K��A�B5���K� �"/�A�}�?���AN�1$��<ja�sP���o���!��%!���B 42f����wF������5Y"/.?��%4(jEA�������#(�1r #�����A���n #"$KV(�1&'[�#(7<��SR2f����w;N-(�%!��.i�A�o(623�V(�wH1X8�%!�-(7 �"T(�1-<=�m.?,�1T(7 �"/�A�;(7�������A(�KL�� ��:(��-(71$8Y%��0 #���WKL�-(���(�K� ������'�"/��%9 L(�N�"$1/"X #"/��%3"$�^���A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�GQK��A�B5A��K� #"$�A�)a

xm�-(7 �"/�7R� #��<����A�#(713"$��%! #(�N�"/1$"$ �"/��%6��'>57(���"$�A,�%:*-,�"$.}*-��20%=��(�5��hN������� ����^%�,�N �!��K� ���'<o(7�H8�%! #,?.�"/��%�"$�� ����h1/(�%! ;.?��KV(7.���a3�>��K����H =23�A��wH%o�!�����A�! ���.�NB8cd3����5Y.����9�����B�A�n@��"/��E�23�Y�m.o�9�����B�A�n@���(7����"�����!�f(��?.��h�A�?w���20"X #�+�9���A���B�n@��h������%!K��J(7��.:l>�V(�1$��8o��ª����A�B�n@(���.i�!��'[�������?K���%� ������!��"$�)@�(��!� �!,�%9 f'[�n2 %!,�KL�Q�nu?(�<=��1$��%�aYb]�QN��!"/��'Z@B �����%!�J%! #,?.�"/��%f.���(�120"$ ��� #���^(���(�1$8Y%�"$%:��'>.�"$%! #,?��N-(��?K���%:20�?"/KL�~KV(��~EA�!��2 "$�}%��-(7K��^(���.} �"/<=��a b '> ����.�"/%9 #,��!N-(���K��kEA�!��20%o(7 o(��B8~%���(7 #"/(�1P1/�YKV(7 �"/�A�t@{%�,�KL�c"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8�"/%;�!��'[���!����.c #�M(�%(�N�%!�A1/,? ��:20��"/1$�:"$'r #�?�;(�%!8Y<=�? #�� �"/K�(�1/1X8hE�����20"/��E^.�"$%! �,���N-(7��K��;"/%q�AN�%����!5���.��A�?1$8h"/�(y<=��5Y"/��EF%!8Y%9 #��< ��'WK��Y�A�!.�"/�-(I #��%�@&N�,? =���� ="$�g(F%! #(7 #"$�A�-(��98��A�?��@& #���^%!"$ #,�(7 #"$�A�"/%j���n'[�����!��. ���(�%jK��A�B5���K� �"$5��}"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8Aa�sP���D%! #�!"/Kn k<�(7 #�?��<�(7 #"$KV(�1q'[����<�(�1/"$%�<��'>.��� ����!<�"$��"/��Eh #���iKL��(��#(�Kn #���=�7'q(7�}"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8F"/�}(����!�AN�1/��< "$%4(�K�K��A<=��1/"$%�����.

£

Page 5: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

#���!�A,�EA�j(���(�1$8Y%�"$%P��'� #���`.�"$%������!%�"/���Q����1/(7 #"$�A�i��5A���q(4K��A<��?1/�nu�2f(�5����H,�<:N����W%��-(7K����%!���el>,����!���k(���. �h�A��w7��20"$ ���@W���A�B�m@P�V�A�A�?�&d3����5Y.��?@W�����A�B�na&sP�?"/%�(������!�B(�KL�)@r(�1«R #����,�EA�M(�K�K�,��#(7 ���@��-(7%` ]23�j�ANB5m"$�A,�%`.�"$%#(�.?57(��B #(�EA��%�a �p"/�!%! �@�(��-(�1X8Y%�"/�?Ei #���4 #�����AEIR�#(��?�H8D��'W<:,�1$ �"/��1$��N?�#(���KL�?��%;��'W(e���B8Y%�"/K�(�1P.�"$%�������%!"/�A�}�!��1/(7 #"$�A�D"$�� #���QK��A<��?1/�nu%��-(7K���@�20��"$1/�=%! #��(�"/E��H !'[�A�!2f(��!.D(��?.D"/�m'[�A��<�(7 #"X5A�:'[�A�v(h%!"/<=��1/�4�!��1/(7 #"$�A�)@�"/%6(��M�nuHR������%�"X5A�`(��?.^ ���KL���?"/KV(71/1$8="$�H5��A1$5���.^�H,�<=����"$KV(�1� L(7%�w�'[���P(:���A�mR� #�!"$5Y"T(�1��A�?��a�xm��K��A�?.)@ #��"$%+(��?�����B(7KL��"/%+1$"/����(��W"$�e�-(7 �,����:(���.e #�?�����n'[�A���UKV(����?�� J���!��.�"$K� +KL��(��#(�Kn #����"/%9 #"$K�%��'>%#(7 �,��#(I #��.~%!,�������K���"$ �"/K�(�1f%9 L(7 ���%�a �-�A�6 #����%��^����(�%�����%4 #���Q"$.��V(e��'>�!��.�,�K�"/��Ee ����'[,�1/1&�?�H8Y%!"/KV(71r�?���AN�1$��< ��k(j%�"/<=��1$���+23�V(�wH1$8F�?�A��1/"$���V(7�J<��Y.���1z(7��.�(���(�1$8Y%�"$��Ej"$ V@"/��%9 #��(�.���'� ����o����"/E�"/�-(�1&�?���AN�1$��<j@�"/%`5A���98�(7������(�1/"$��ED��%�����@ '[�A�U�Su�(7<���1$��@�xm,�%!1/��5�@���A�B�Y�-d��,�KL����1�(���.h���,�KLw7��@�ª����A�B�na

sP���e%!"/<=��1/��%! �<o(7 �����<�(7 �"/KV(71�<��Y.���1>20��"$KL��.���%�K��!"/N���%iK��A�B5A��K� #"X5A�F(��?.�(�N�%!�A1/,? ��"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8�%�K����-(��!"/�A%i'[�A�i( �[%�<�(�1/1T�=.�"$%! �,���N-(7��K��F(�<=��1$"$ #,?.�� � "$%i #����K��A<��?1/�nu�`"$����N?,���E7R]��(���.-(�,Q��GH,-(7 #"$�A�D� �P�`���r�

����������

���� �� �� � �� ü

� ü �� � ü �� ó ��� ��� ü § �Z��

sP��"/%�<=�m.?��1A�-(7%�N������6 ����3%!,�N �!��K� ���'��Sum �����%!"$5��3%9 #,�.�"$��%�@7(7��.v<�(��B8J��'m"$ �%�%��A1$,? #"$�A��%�@"/��K�1/,�.?"/��Eq'[,?1/1$8v���A�?1/"/�?�V(���@��-(V5A�>N������;�ANm L(�"$����.)@72f��1/1-,���.?����%9 #�Y�m.=(��?.=K�(7 L(71/�AEA,?��.���7a�E�a �>��23��1/1¬@����B�7£?� �W�A��(�wH" (���.hdf��wHwH"�@����A���?@����A��£?�-��(���.�<�(��)@������B�m� �f�!�A%�%q(���.lW�A�?���HN�����E�@q���A�A�?�3s���N�"T(�%o�� ^(�1¬a$@W���A�A�m�fl>,����!����@>ª7�A�A�?�r�q��(���%���� (7��.��J�#(�<=����@ª��A�Bª��n@-<�(�wH"/��E; #���6,�%!�:��'p ���"/%><=�m.���1)'[�A�W(��-(�1X8m%!"/��E=K���<���1$"/K�(7 #��.j�?�H8Y%!"/KV(71�*-��20%��5����=<��A�!��(��?����(�1/"$��E�aIlW��23��5A����@A ����P<o( �!�A�pK���"$ �"/K�"/%�< �7'�%!,�KL�=(��;(����?���B(�KL�4"$%p #��(7 "$ P"$%�EA��������(�1/1X8�.?" �=K�,�1X � #�4�?����5A�J #�?�J����1$��57(���K��J��'� #��� �P�`� �� ��: #���J�A�!"/EA"$�-(�1�'[,�1/1������N�1/��<ha�sP��"$%v.?" �=K�,�1X ]8F"/%` ]2f�IR '[�A1$.)�) #���=<�(7 #����<o(I #"/K�(�1p'[�A�!< ��'6�Z��+�-(�%v ��hN���!,�%! �"$_-��.e(��?.)@�%�,�N�%!��GH,����H �1$8�@t"$ �%>(�K� �,-(�1�K��Y� �=K�"$���B #%>�-(V5A�6 #�=N��6KL���A%!���k ��o�!��*-��K� (�K�K�,��#(I #��1X8~ #���e�?���A�����9 #"/��%��7'J #���h�A��"$EA"/�-(71�'[,�1/10���!�AN�1/��<hazb]�c ����k1$"$ ����#(I #,��!��@r(��(�N�%9 #�#(7K� �P�`� ��"/%�'[����GH,����B #1$8U(��-(71$8Y%���.U20"$ ����A,? p����1/(7 #"$��EP #���fGY,�(��B #"$ #(7 #"X5A�r����%�,�1X #% #�4(7�H8o%�����K�"$_-K+�?�H8Y%!"/KV(71)������N�1/��< "$�Q(:K�����%�"$%! #���B P<o(7��������a?sP���J.�(���EA������'� #�?"/%f"$%���� ���.)@V'[�A���Su�(7<���1$��@VNB8 ��(��!��"�������r(��?. �j�A��w��n20"$ ��J�9�V�A�A�B�Sa�b �2�(7%�%!����20�v #�?�����z #��(7 .�"/%!K��!���-(��?K�8v�num"/%9 #%{N��� ]23�����; �����(7K�K�,?�#(7 ��fK����H5���Kn #"$5�����(7N�%��A1$,? #�P"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8q����%�,�1X #%N-(�%!��.i�A�= #���W%#(�.?.�1/�>����"/�B 3(��-(�1X8m%!"/%z��') ����>.�"/%!������%�"$�A�o�!��1/(7 #"$�A�=(���.o�!��%!,�1$ �%fN-(�%!��.�A�i #�?�`�`"$����N?,���E7R]��(���.-(�,o<��Y.���1�'[�A�fK��A�B5A��K� #"$�A�^"/�Q(:�?�A��"$���A�B L(71�*-,?"/.Q1T(V8����f20"X #� #���!�A,�EA�YR *-��2 � � �,�1/1$���J�� U(�1¬a$@&�����A�B�na�b]�y #���=���!��%����B :2f����w�%�����K�"T(�1zK�(����="/%` L(�w7��� #�FEA,-(7�#(��B #���Q #�-(7 4 ����^.����!"$5���. �P�6� � �!��<�(�"/�?%;(F�!��1$��57(��B =(���.~GH,-(��B #"X L(7 �"$5���1$8(�K�K�,��#(I #�:<=�m.?��1�'[�A�W ����:K��A<��?1/�� ��v��(���EA�v��'z�-(���(�<=�� #����%W.���%!K���"$N�"/�?Eo #���U���B8m%!"/K�(�1������N�1/��< �7'����A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�G=K����H5���Kn #"/���j"$�� ����+.�"X|t�������B �"T(�1$1$8BR]����(7 #��.= #(�1/1-5����! �"/K�(�1KV(V5Y"$ ]8�a

sP���;K��A�?K����m #%`��'rK��A�B5���K� �"$5��o(��?.M(7N�%��A1$,? #�U"/��%9 L(�N�"$1/"X #"/��%W����"/E�"/�-(�1$1$8QN�(�%���.M�A�e ���������������! #"$��%P��'� ����J1/"$���V(��!"/%!��.Q.�"$%�������%!"/�A�Q�!��1/(7 #"$�A�F�¬l>,����!���6(���.��j�A��w��n20"$ ���@����A�A�A��-(V5A�zN������6EA��������(�1/"$%���.+ ��P"/��K��A�����A��(7 #�p_���"$ ��&(�<=��1/"X #,�.��������! �,���N-(I #"/����%�@H�[%���� �f�?�A<o(7��@���A�Bª��:20�?�����h #���jK��A�?K����m #%i��'+���A��1$"/����(��4K��A�B5���K� �"$5��F(���.�(7N�%��A1$,? #�j"/�?%! L(7N�"/1$"$ #"$��%2f�����j"/�B #�!�m.?,�K���.)a&sP���j"/.���(FN����?"/��.} #�?��< "/%: ��� #�#(7K��Q #���j.?8Y�-(�<="/K�%4��'W�����A��(IR

Page 6: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

EB(7 �"/��EJ'[�����H �%3%!���-(7�#(7 �"/��E` #���0�!��EA"$�A��%&20"$ ��=_-�?"$ #�0.�"$%! �,���N-(7��K���%3'[����< ,���.�"$%! �,���N���.�A����%�a&sP���^N��A,���.-(7�!8}��'W���A�?1/"/�?�V(��U(�N�%���1/,? ��Q"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8y2f(�%4'[�A,��?.~ ��FK��A"$��K�"$.��20"$ ��h #��(7 +��'{1/"/�?�V(��>(�N�%!�A1/,m #�U"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8o"/�h%�,�KL�e*-��20%J(7%W2f(�w���%=� �+��1$N�����.��U(���.�f���A<�(���@B�V�A�A�B�S@�s�(�8Y1$�A�9R �f�A,��� ! #�&*-��2���d��,�KL����1B�� �(�1�aX@A�����A�B�t(��?.U�>(V8m1$��"$EA�mRZd�����-(��!.K��A�B5���K� �"/�A�i� �p"$����N����!E>(���.UxY #��"/�HN�����E�@B�V�A�B�A�SaVsP��"/%�K��A��K�1$,�%�"$�A�J2�(7%�<�(�.��&N-(7%���.v�A���"X #�����>�!��1/(7 #"X5A��1X8Q�num������%!"$5��U�H,�<=����"$KV(�1�%!"/<:,?1T(7 �"/�A��%f��'p ����6'[,?1/1)*-��2 ��GY,�(7 #"$�A��%>�A��num������"$<����B #%�a �f�A,-(�"$���A�i(���. �f���A<�(��:�9���A�A�A�z%!����2 ��-(7 f"$'� #�?�q*-��2¢KV(��QN��q<=�m.YR��1$1/��.oNH8� #���q%�,������!K���"X #"$KV(�1�K�,�N�"$K`�J"/����N�,���EIRZ��(���.-(7,i��GH,-(7 �"/�A�i ���"/%3%�����,�1/.^(�1X2�(V8Y%N��i ����QKV(7%���apb]��K��A�B #��(�%! �@{"$'P ����QK��A�!����%����A��.�"$��EF<��Y.���1r"/%:(e%�,�N�K��!"$ #"$KV(�13GH,�"/�B #"$K�6� � ������y #���=���A��1$"/����(��6(�N�%!�A1/,? ��;"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8e<�(�8F�YK�K�,��6��5A����"/�y1/"$���V(7��1$8k%! #(IRN�1/�j����EA"/<=��%�a&sP���k�H,�<=���!"/K�(�10%�"/<U,�1T(7 �"/�A�?%U #�-(I �23�k�!�����A�! �"/��xm��Kn #"/������"/��.�����."/��.?"/KV(I #�q ��-(7 P #�?"/%�K�(��hN��+ #�?�JKV(�%!�6"$�Q���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!GQ�-(7 #,?�#(�1�K��A�B5A��K� �"/�A�)a-sP�?"/%��<=���-(�%!"/%!��%J�A��K��4(�EB(7"/�k ����:"/<=���A�! #(��B q�!�A1/�620��"/KL�� #�?�:������������1$8h.�����"$5���. �P�`� �KV(��j��1/(�8o"/�Q #�?�v(7�-(�1$8Y%!"/%P��' *-��2 "$��%! #(�N�"/1$"$ �"/��%f(���.^����%�,�1X #"$��E4*-��2 �-(7 ! #������%�a

�q���7 #�����`(�%�����Kn v.?��%����!5Y"/�?Eh(I � #���B #"/���y"$%q #�?�4KL�-(��#(7K� #���`��'z #���4K��m����K�"/���H �%`���B #���9R"/��Ey�Z��na�sP��� �P�6� �¢<��Y.���1��-(�%JN������y%9 #,�.?"/��.F�Sum �����%!"$5���1$8�(���.F"$ �%+.����!"$57(7 �"/�A�e"$% #����,�EA�B ; #�yN��jK��A<=<=�A�~wY�?�201$��.�E���a �+�� #(�"/1$%:��'+%!,�KL��.�����"X5�(I #"/����%:'[�A�;(��B8~�-(��ZR #"$K�,�1/(��W�?�H8Y%!"/KV(71p���!�AN�1/��<C(7���U�?�A��<�(�1/1X8Q1/����E� ��H8k(���.F(7���U��(�����1$8h�������A�9 #��.e"/�k ����1/"X #����(7 #,?���z"/�U'[,?1/1���%!����@I'[�A� �nu?(�<=��1/�7@7d �,?KL����1?(���.4���,�KLw��7@Bª����A�B�na��>��5A���! �����1$��%�%�@A�������2f�`����.��V(V5��A,��0 #�;������5Y"/.?�`(4'[,?1/1$8�K�����%�"$%! #���B W.?����"X57(7 #"$�A�o'[�A�0(:'�(�"$��1$8=EA��������(�1t ]23�7R.�"/<=���?%�"/���-(�1�*-��2`a)sP���;<o( �!�A�q��,?�����A%��4��'z ���"/%+�Sum����K�"/%!�="$%q #�Q.?��5A��1/�A�M(i����1/"/(�N�1/�K��!"$ #����"$�A��'[�A�r #���q(�K�K�,��#(7K�8i�7'� #���WK�,�N�"$K`�J"/����N�,���EIRZ��(���.-(7,o<=�m.���1�aHb]�i�-(7�! #"$K�,�1/(���@2f�420"$1/1 %�����2O ��-(7 `"X'r ����4���B8Y%�"$KV(�1&.�"$%������!%�"/��������1/(7 #"$�A�e.��n5Y"T(7 ���%+'[����<CGH,-(�.���(7 #"$K��5A���� ����+2f(�5����H,�<:N����0��(���EA�+K��A���!��%!���A�?.�"/��E: ��: #���q���A%!"$ �"$5A�W1/"$���V(��f(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A��#(7 ���%�@V #�����` ����z1/"$���V(��!"/%!��.`�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,J<��Y.���1�KV(7������ �N��z,�%���.6 ��0(�K�K�,��#(7 ���1X8.��� ����!<�"$���v ����UKL�-(7�#(�Kn #���W��'z%���(7 #"$�7R ���<=���A��(�1)"$��%! #(�N�"/1$"$ �"/��%0(7��"/%!"/��E="/�k(o���!�AN�1/��<hasP��"/%3�num��1/(�"/��%�@Y'[���f�nu?(�<=��1$��@H20�H8= #�?�+�#(��?EA�q��'t5�(71/"/.?"$ ]8;��') ����`�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,��GH,-(7 �"/�A�D<��Y.���1$1/"$��EhN?"/�-(��98F*-,�"/.DK��A�B5A��K� �"/�A�~N���K���<���%:%�<�(�1/1$���J20"$ ���"/�?K�����(�%�"$��E�>�n8Y���A1/.?%>�H,�<UN����>�7'{(: #�?���A,�E��mR *-��2��¬d �,�KL����1�(���.h���,?KLw���@�ª7�A�A�B�Sa

b]�� #��"$%i�-(������i �����������N�1/��< ��'v���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!Gc�-(I #,���(�1+K����H5���Kn #"/��� ��'v(D*-,?"/.20"$ �������(�1/"$%! #"$Kh�?���A�����9 ]8g57(��!"T(7 �"/�A��%="/��(M ]2f�IR].�"$<�����%�"$�A�-(�1>.�"$|����!���B #"/(�1/1X8BR]����(7 #��. L(�1$1&5A���9 #"$KV(�1rKV(V5Y"$ ]8y"/%6'[�A��<U,�1T(7 ���.y"/��xm��Kn #"/���~ªma�sP���i�W��������.�"$K���%U�>R � K��A�B L(7"/�(i.��� #(�"/1$��.�.�����"X5�(I #"/���e��'3(iEA���?���#(71 �P�6��<��Y.���1�,�%!"/��EQ ����;(������!�B(�KL�F���!��5Y"/�A,?%�1$8%�,�E�EA��%9 #��.4NB86 #���3(�,? ����A�!%P��xY,�%�1$�5v(��?.4�p(���1/,�K�K�"�@H�����B�7N��SaIsP�?"/%�(������!�B(�KL�:,�%!��%p ����(������!�A���!"T(7 ����A�9 #����EA�A�-(�1$"$ ]8kK��A��.?"$ #"$�A��%v(�1/����Ej20"X #�y #����K��A�B5A���B #"/���-(�1r%��A1X5�(7N�"/1$"$ ]8K��A�?.�"$ �"/�A��%{20�?"/KL�=�nuY #����.= ����>(�����1$"/K�(�N�"/1$"$ ]8`�!��EA"$�A�4'[,��! ������r(V2�(V8:'[�!�A<�(J<�(���EA"$�-(�1%! #(�N�"/1$"$ ]8=%�,?�!'�(�K���a-sP���J<�( �!�A��E��B(�1t�7'{xY��K� �"/�A�Q£;"$%f #�4%!,�EAEA��%! W(:%�"$<���1$�+(��?.jK��A<4R��,? #(7 #"$�A�-(�1$1$8M"/���Su?�����?%�"$5��hGH,-(7�H �"$ #(7 #"X5A�j(�K�K�,��#(7K�8} #��%! o(���.g(y<=�� ����Y.~'[���=�����!�A�N���,���.���%! �"/<�(7 #"$�A��'[�A�: ����^.���5���1/������. �P�`� <=�m.���1�a{sP�?"/%4N���K���<���%����A%�%!"/N�1$�QNB8'[�A1/1$��20"/��E�(o%���<��n20�-(7 +,?�H ��#(�.?"$ #"$�A�-(�1�.�"$%�K�,�%�%!"/�A�e�7'& #��� �P�`� ��20"X #�eK��m���=K�"/���B #%��57(�1$,-(7 #��.y(7 `(i2�(V5����H,�<:N����6.�"$|����!���B `'[���A< #��(7 `������5Y"/.?"/��Ei ����4<o(u?"$<:,�< (�<4R��1/"X_-KV(I #"/���h��(7 #�7a�� KV(��!��'[,�1����B8m%!"/K�(�1p"$�H ����!�����n L(7 �"/�A�h��'z%�,�KL�y(��k��GH,-(7 �"/�A��(7��.e"$ �%%��A1$,? #"$�A��%0"/%>EA"X5A���h"/�kxm��Kn #"$�A�e�?a��+��K��v #�?�v.��n5A��1/�A����.�(7K�K�,?�#(�Kn8j ���%9 +"/%>%��?�20�h #�

Page 7: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

N��3%#(7 �"/%9_-��.4"$�:(�1$1Y�!��EA"$<���%��7'�"/�B #������%9 V@ #���320"/.��3�#(���E��f��'-�?�H8Y%!"/KV(71?����%�,�1X #%p'[���������mRdf�A,�%!%�"$����%!GD�-(7 �,��#(713K��A�B5A��Kn #"$�A�~"/�}(h #(�1/1zK�(�5Y"X ]8�(��!�i�AN? #(�"/�?��.}(��?.}�������A�9 #��.D"/�xm��Kn #"$�A�^�ma?xm����K�"/(�1�(7 � ����B #"$�A�i"/%3EA"$5����o ��:GH,-(��B #"X L(7 �"$5��qK���<��-(7��"/%!�A��%3��'� #���W<��Y.���1����%�,�1X #%J'[�A�6(��y��|���K� �"$5���1$8e"/�?_-�?"$ #��1$8h L(�1$1{KV(V5Y"$ ]8y(��?. ���qx��!��%!,�1$ �%v��'f(Q*-��2�"/�y(KV(V5Y"$ ]8y��'P1/(���E��=N?,? v_���"$ ��o(�%!����K� U�#(7 �"/��a�s ��(�K�K��A,��B v'[�A�J #����"/�B #���#(�Kn #"/���M��'f ]2f�"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8`<��Y.���%{"/�U �����%9 #������EA1$8v���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!GU�!��EA"$<���%�@7 �����EA1$�AN-(�1$1$8`K��A,���1$��.��GH,-(7 �"/�A�?%�@?.?����"X5A��.Q"/�i�W��������.�"«u��P@�(7���q%!�A1$5���.Q�H,�<=���!"/KV(71/1$8�aHsP���+<�( �!�A�3_���.�"/�?EA%��' #���`���!��%����B q%9 #,�.?8j(7���`%�,�<=<�(���"$%���.Q"$�hxm��Kn #"/���k�?a

� �6��������� ���{� �¡�������D��K��A��%!"/.����i #���k ]23�7R .�"/<=����%!"/�A��(�1WK��A�B5A��K� #"$�A��*-��2C"$��(� L(�1$1W�!��K� #(���EA,?1T(��o(�"/�ZR_-1/1$��. K�(V5m"X ]8 ��'420"$.? #�� 20"X #� "$%��� ������!<o(�1`5A���! �"/KV(71v2f(�1/1$%k<�(�"/�B L(7"/����. (7 e ����.�"$|����!���B = #��<=�����#(I #,��!��%����� (���.����� �!��%�����Kn #"X5A��1X8 �¬(�%9 #����"/%!wH%�.������� ��h.�"$<�����%�"$�A�-(�1GH,-(��B #"X #"/��%L�Sa�� ,?��"$'[�A�!<�.���20�B2�(��!.FEA�#(V5Y"$ #(7 #"$�A�-(�1�_-��1/.e��'z<�(�EA�?"$ #,?.����j"$%W�-(7�#(�1«R1/��13 #�e ����i5A���! �"/KV(71f2�(71/1/%�apb]�} #�?�QKV(�%!�Q��'>1T(��!EA�o #��<�������(7 #,?���i.�"X|t��������K���%���� ���� ������� �F #���j*-��2 "/%=.���%!K���"$N���.�NB8g ����k.�"$<�����%�"$�A��1$��%�%=1/��2�R �k(�KL�mR �Y,?<:N������GH,-(7 �"/�A�?%U���p(���1/,�K�K�"�@t���A�Bªm� �f�����?�23�� ���(���.h�p(7�A1/,�K�K�"¬@)���A�A�A�n�

� � � � !��� � �#" � �$!�&%#"#' ��(� % ! � �J�

ª�¤ � � ����*) ! � �&+,!-"�&%#"�. �¬ªA�

� � � ���� � �#" � ��&%#" ' 0/21 � .$3. � � �

�&��� %#" ��4 � �

� %#" '5. ���B�� ���� �

� � �#"� %#" � . �[£H�

20�����!� +,!-" 7698 � � � !�&%#" � � �#"�&% ! ' ª�;: !<" � �$=�&%$=#> § �¬�A�

�q%+%!����20�FNH8e�p(���1/,�K�K�"f�9���A�AªA�n@�"/�k ����:1$�2�R �k(�KL�mR �H,�<:N����q�Sum�-(���%!"/�A��%+20�?"/KL�����SR%�,�1X J"/�h #���4(7N���5A�4��GH,-(7 #"$�A��%�@� #�?�: #�� #(�1��?����%!%�,��!�;.���K��A<����A%!��%J"/�B ��o #���4%!�-(7 �"T(�1$1$8,���"X'[�A��< #������<=�m.?8Y�-(7<�"$K4K��A<=���������B ?3 3�� � �+(7��.M ����;.?8Y�-(�<="/K��I�H8Y.��!�A%! #(7 #"$KK��A<=���A�����B (

( � % ! . � �Sa b]�y20��"X #"/�?ED�¬�A�n@ xH #�Aw7��% � �B8Y���� �����%!"/%v"/%`,�%���.D #�j����1T(7 �� #���kK��Y� �=K�"$���B Q��'6N�,�1$w}5m"$%�K��A%�"X ]8g ��� #���e.m8m��(�<�"$Kh5Y"/%!K��A%!"$ ]8�a�lW����� � ! � � .A@ �(���. % ! � % . ���4(��!�h5���1/�YK�"X ]8~K��A<=���A�����B �%Q(���.gK��Y�A��.�"$�-(7 ���%="/�g ����k�?�A��"$���A�B L(71(���.k5����9 #"/K�(�1�.�"/�!��Kn #"/����%W�!��%!����K� #"X5A��1$8h(���.B) ! �¬� . 6��P"/%0 #���6,���"X W5���Kn #�A�+"$�j ����.�"/�!��Kn #"/���4��'tE��#(V5Y"$ ]8AaBsP�?�>��GH,-(7 #"$�A��%r(��!�P<o(�.?�P.�"/<=����%!"/�A�?1/��%!%&NB84,�%�"$��E` #���P����K�1$�7R

%�,��!�W20"$.? #�C D@B #���>���n'[��������K��W #��<=�����#(I #,��!�D��E ��� �� � � �� �&F�ªm@B #���>5m"$%�K��A,�%r%�������.� E G6 EHF�� � EI ��S@� #���`KL�-(���(�K� ����!"/%! �"/KJ #"$<�� � E JF � E�@� #���6"/�?"$ #"/(�1� #������<=�m.?8Y�-(7<�"$K������%�%!,����03Eo20��"$KL��2f�A,?1/.��num"$%! i"$�c #�?�eKV(V5Y"$ ]8�20"$ ���(D%! #(7 #"$�A�-(��98}*-,�"$.�(7 o �������n'[��������K��i ���<=�����#(7 �,����7@p(7��.D #�?�oKL�-(���(�K� ����!"/%! �"/K=5�(71/,��=��'P #�?�o.?8Y�-(�<="/K�������%�%!,����

Page 8: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

( E � E � üE a��W1/1 �����A�����9 #"$��%q�7'& #���U*�,�"/.�(7���:�����mR].�"$<�����%�"$�A�-(�1$"/%!��.jNH8h,�%!"/��Eo �����"$�����%�����K� �"$5��657(�1$,���%0��57(�1$,-(7 ���.j(7 P #�?�6�!��'[�������?K��` #��<=�����#(I #,��!�`(���.^ #������<=�m.?8Y�-(7<�"$K������%�%!,����7a

sP���v(�N���5��6%98Y%! #��< "/%PK���<���1$��<=���B #��.^NH8Q ����`���A�mR .�"/<=���?%�"/���-(�1t��GH,-(7 #"$�A�^��'�%! L(I #�����1T(7 �"/��E+ ����P*-,�"/.=.�����%�"X ]8 � @A #���P #��<�������(7 #,?��� ��(���.; #�?�>%!�-(7 �"T(�1$1$8v,���"$'[����< ������ZR<��Y.?8Y�-(�<="/K`���!��%!%�,��!� 3=a-����"$1/�` #���v�����YK���.�,����U.���5���1/������.e"/�j #��"$%W23�A��wj"/%W(�N�%!�7R1/,? ���1X8FEA�������#(�1¬@ (�1/1&%!����K�"$_�Ko�H,�<=����"$KV(�1z�!��%�,?1$ #%U(����=EA"X5A���M'[�A�U(7"/�6(�%v �����23�A�!wY"$��E*-,�"$.4%��J #�-(I { #���0(7������������"/(7 #�3��GH,-(7 �"/�A�4��'�%9 L(7 ��P"/%p ��-(7 &��'�(��4"$.��V(71?EB(�%P�¬�p(7�A1/,�K�K�"¬@���A�Bª�� � 3 � . ���B�K��A�?%! L(7�H >%!����K�"$_�Kv����(7 W(7 0K�����%! #(��B W�?����%!%�,��!��@

� � � . �¬�A�

(���.vK��A��%9 #"X #,? �"$5A�r��GH,-(I #"/����% '[��� ����r ��#(��?%����A�! ������������! #"$��%�@I��(�<���1$8+ ����PxY,? #������1/(���.1T(V20%P'[�A�P.?8Y�-(�<="/K+5Y"$%�K���%�"$ ]8 6 (7��.Q #������<�(�1�K��A�?.�,�K� �"$5Y"$ ]8 4

6 ����� ü � � ����� ���� '5. 4 ����� ü� � ��� =� ��� =�� . ���B�

20�����!��@&(7K�K�����.�"$��Eh ��k����"$ ����Z���B�7£H�S@ �� � �� F � E �?§��A�A�h(���. � = � �= F � E �?§���£B�6'[��� ��E �A�A�6�4aY�M�W(�1/%!�v L(7w��W ����+�&��(���.? �1��H,�<:N����3�&�� 6 E � � EHF 4 E �m§ �m��@(���.~ #���^*-,�"$.g�!��%!"/1/"$����K��Q�-(���(�<��n #��� / ��� E �� F?��� E � E � EL� ü � @&K��A�!����%!������.mR"/��Ee ��� #���Q��(7 #"$����'>%�����K�"X_-K^���V(I #%�� E� � � EAF ��� E �� '[�A�;(��~"/.?�V(�13EB(�%4%�"$��K��^"X '[�A1/1$��20%`'[�!�A<C ����o��GY,�(7 #"$�A�M�7'P%! #(7 #�; #�-(I v �����K��m���=K�"/���B :��'3 #���?%�"/���D"/%6EA"X5A���MNB8� �!� � 3DF � �q� F 3v� � � � F �vat�q #�����+�-(���(�<=�� #����%q(����U ����:�����mR].�"$<�����%�"$�A�-(�1� ���<4R�����#(7 �,����=.�"X|t�������?K��oN��� ]23������ #���=2�(71/1/%6¤� 1 EA��� FAªj(���.M ����Q�J�#(7%�����'f�H,�<:N�����`�� � üE 1 E ����� � F 6 üE @Y20�����!� 1  �!� � � F � �q� F � � ��� � F ��"$%f #���qK��Y� �=K�"$���B P��'5A�A1$,�<=�J�num�-(���%!"/�A�ta

sP���6.�"/<=����%!"/�A�?1/��%!%�EA1$�AN-(�1�<o(�%!%0K��A��%!���95�(I #"/���jK��A��.�"X #"$�A���� � .! � . ���B�

20�����!�� �"/%+ ����=KV(V5Y"$ ]8e5��A1/,�<=��@�K��A<=��1/�n #��%J ����;%!8Y%! ���< ��'���GH,-(7 #"$�A��%`.���%�K��!"/N�"$��E #���J*-,?"/.Q*-��2`a

sP���6N��A,?��.-(��98QK��A�?.�"$ �"/�A��%3'[�A�� #���`���!�AN�1$��<�(��!�� @ � (���. � ��"�¤ (7 % � . �z§ �9�V�B�

sP���e.�"$%! #(��B o���IR]�������n #�#(I #"/���cN��A,���.-(7�!8�K��A�?.�"$ �"/�A��%�(7 = #���j #�A��(���.�N��� � ��A< ��' #���JK�1/�A%!��.QK�(�5Y"X ]8i1/��(�.o ��4�����!�;(V5A����(�EA�J<�(�%�%3*-,mui �������,�EA�^(��B8i�?�A��"$���A�B L(71�K����A%!%9R%���K� #"$�A�)am�q1/1$��20"/��E6'[�A�f�����!"/�Y.�"/K�"$ ]8;"/�� #���q5����9 #"/K�(�1t.?"/����K� �"/�A�=20"$ #�^(7��N�"X #�#(7�!842f(�5��nR

Page 9: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

1/����E� #����@� #��"$%PK��A�?.�"$ �"/�A�QK�(��hN��J20��"X � #���j(�%

� ó�

� ������������

� @ . � ' . % � . �9����

20�����!� � � "/%+(��F(���N?"$ #��(��!8^5����! �"/K�(�1{1/�YKV(I #"/���k%�, ��K�"/���H �1$8j'�(��q'[�!�A< ����4���?.�%�a)sP�?"/%K��A�?.�"$ �"/�A�J1$�V(�.�%� ��> ����r(������V(���(���K��r��'?(>,?��"$'[�A�!< 5����! �"/K�(�1B������%�%!,����3EA�#(�.?"/���B �20�����mR��5����+ #�?�v #��<�������(7 #,?���U.?"$|���������K��UN��n ]2f������ #���v2�(�1$1/%>"/%>_-��"$ ��:(��?.k #���v*-��2 1$�A%���%%!8Y<=<��n #�!8;.?,��> ��v�?���A�����9 ]845�(7��"T(I #"/����%>��xm,?%�1/��5=(��?.o��(��A1/,?K�K�"¬@-���A�B�IN��naBsP��"$%z������%9R%�,��!�:EA��(�.�"/���B +"/%>����%����A��%!"/N�1$�v'[�A�> #���v�����n'[�����!��.����!�A�-(�EA(7 #"$�A�k.�"$����K� #"$�A�k�7'&.�"/%9 #,��ZRN-(���K���%�a �W�� ��f #��(7 z(�1X #���A,?EA�U #�?��EA1/��N-(�1HK��A�?%����957(7 #"$�A�4K��A�?.�"$ �"/�A��%��¬�B� (���.j�Z�A��p(��!�"/��.?,�K���.eNB8h ����U.�"$%! #(��B +N��A,���.-(7�!8jK��A�?.�"$ �"/�A��%P �����8h.��i���7 qK��A�B L(�"$��(��B8j%�����K�"X_-K"/�?'[����<�(7 #"$�A�U(7N��A,m p #�?�f #�A�;(7��.:N��� � ��A< ����.�%&�Su?K����? & ��-(7 � #���n84(��!��K�1$�A%���.)a�sP����%��K��A�?.�"$ �"/�A��%rKV(7������ fN��> #����(7 #��.Q(�%3N��A,?��.-(��98�K��A��.�"X #"$�A��%z'[�A�r ����+<=�m.?��1-20��"/KL��20"/1/1N��=.�"$%�K�,?%�%���.�"/�F #�?�o���Sum v%���K� �"/�A�)a��-,��9 #������<=�A���7@�"/�F #����df�A,�%!%�"$����%!GM1$"/<="$ V@�K����mR.�"$ �"/�A�?%U���B�0(���.}�Z�A��P(��!�6 ���"$5Y"/(�1/1X8o%�(7 #"$%!_-��.e%�"$��K��6.����?%�"$ ]8j"$%> ����V(I #��.e(�%WK��A��%9 L(��B (���.^ #���`�!��%�,?1$ #"$��E4���!�AN�1/��<¦"/%PK����B #�!�7R]%98Y<�<=�� ���"/K7a

b z�-(�%&N�������%!����20�oNB8 �f��������2f�n #�Q(7��.=�p(��A1$,�K�K�"��9�V�A�B�A� ��-(7 &'[�A�{(J #(�1/1m����K�1/�A%!,����7@(: ]2f�7R .�"/<=���?%�"/���-(�1t%9 #��(�.?8^�-(���(�1/1$��1�N-(�%!"/K+*-��2 �Sum"/%! �%0�5����><���%! P��' #�?�6����K�1$�A%�,?���'�(��>�����A,?EA�e(V2f(�8j'[����<\ #���6 #�A�k(���.hN��� ! #�A<¦2f(�1$1/%�a-sP�?��%��v2�(�1$1/%0KV(7,�%��6 #���vN-(�%�"$K*-��2 #���!��5A����%!��a�sP���e �,����?"/��Ey*-��2 �Sum"/%! �"/��ED"/�g ����e���!�Vu?"$<�"X ]8~��'J #�?�h #����(���.N��7 � #��< 2f(�1/1$%U"$%:���� 4��(��#(�1$1/��1f(��?.�"$%:(e�-(I #,���(�1�%���,���K��Q��'>.�"/%9 #,��!N-(���K���%:'[�A�U ��������"$<o(7�!8e��(��#(�1$1/��1p*-��2��num"$%! #"$��Ej%�,��=K�"$���B #1X8�'�(��J'[���A< #���=����.?%�a�sP���o�Su?(�K� 6'[�A��<��'r #����%��;.�"/%9 #,��!N-(���K���%`"/%+5Y"$�! #,�(�1/1X8h"$<����A%!%�"/N?1/�` #�^��%9 L(�N�1$"/%!�F20"X #����,? J%���1$5Y"/��Ei ����'[,�1/1�������N�1/��<ha��� J #���U%#(�<=�: #"$<��7@�"X'& #���4K�(�5Y"X ]8e"/%q%�,��=K�"$���B #1X8k #(�1/1¬@� �����%!�;.��� #(�"/1$%20"/1$1�N��>%��?�20������ r #�6�-(V5A�W(��B8=%�"/E���"$_-K�(��B z"/�?*�,�����K��q�A�; #�?�WN�,?1/wU*-��2�.?,��> ��6 ����'�(�K� & ��-(7 &1$�A��E7R �#(��?EA�����n*-��Kn #"$�A�-(�1�"$�?*-,�����K���%z��'� #���P #���;(���.;N��7 � #��< 2f(�1/1$%&(����P�?�� ����%�%�"$N�1/�q"/�o ���"/%��?���AN�1$��< .�,��+ ��: #���JN��!�Aw����^����*���K� �"/�A��(�1)%!8Y<=<��n #�98o.�"$%�K�,�%�%!��.j"/� #���vb]�B #���Y.�,�Kn #"$�A�)a�sP�H,�%+�A��1X8i #�?�U%���(7 #"$�7R ���<=���A��(�1)�n5A�A1$,? #"$�A�h�7'&.�"/%9 #,��!N-(���K���%W"/� #���oN�,�1/wF��'P*�,�"/.�"$%U"$�H5���%9 #"/EA(7 #��.}"/�D ����i%�,?N�%���GY,?���B =%���Kn #"$�A��%:NB8�<=�V(7��%U��'P �����`"$����N?,���E7R]��(���.-(�,i ��������!8j(���.����qx�a

� �v���� �� �����^�����������������������-�7�D���#�xm,�%!1/��5h(���.e��(��A1$,�K�K�"f�Z���A�B�IN��0.?��5A��1/�A����.e(��k�Su?��(���%�"$�A�e���!�mK���.�,?���:(7��.k<:,?1$ #"$��1/� #"$<���%�KV(71/�^(��-(71$8Y%�"$%U'[�A�: #�?�Q%!8Y%! ���< ��'>��GH,-(I #"/����%4.���%!K��!"/N�"$��EF(e*-,�"/.�20"X #�~EA���mR����(�1-�����������! #"$��%�aHlW���!�P2f�>EA���?���#(71/"/%!�� #���0�Su?��(���%�"$�A��%rNB8=(�1/1$�20"$��E+<:,?1$ #"$��1/�3%��-(I #"T(71%�K�(�1/��%o"/�� #���k1/�A��E�"$ #,?.�"/�-(71�K��Y�A��.?"/�-(7 ��h.?"/����K� �"/�A��"/�g�A��.����� ��}(�K�K��A,��B o'[���o%���(IR #"/(�1)<=�m.�,?1T(7 �"/�A��%f��'� ����6.�"/%9 #,��!N-(���K��62f(V5A��a��M�U(�%!%�,�<=�J #�-(I q(;%�<�(�1$1XRZ(7<���1$"$ �,�.��������"$�m.�"$K;.�"/%9 #,��!N-(���K��o"/%`%!,�������"$<����A%���.��A�y #���='[,�1/1X8e.��n5A��1$�A����.}%! #(7 #"$�A�-(��98��-(��ZR(�1/1$��1�N-(7%�"/K`*-��2`atxm"/��K��6 ����6<��A%9 q,?��%! #(�N�1/�6.�"$%! #,?��N-(��?K���%q�-(V5A�UN������e%��?�20�e ���N�� ]2f�IR].�"$<�����%�"$�A�-(�1��¬xm,�%!1/��56(���.v�p(���1/,�K�K�"�@B�V�A�B�7N��S@�23�f����%! ���"/Kn �A,���%!��1X5A��% #�0 #���& ]23�7R

Page 10: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

σ < R c Ig< 0

c Ig< 0

c Ig> 0

c Ig> 0

σ = R

σ > R

α(a)

A

B

A

Gr

A

A

A

B

B

(b)

ï ¶�ÄrÓ�îÓ��\Ç���Ô�æf¼_Ì�²yÍ�¸fË�Ç�Ì¡×�º`¶·²_Çf»4»·¶·Ár¼�ÇÃ�É�Ì�ǵ`¶·»¨¶�Ì¡×2ÈA¶·ÇÄfÃ}Çf¹ �hÌ�ÍA¶·²yæ�»·¶·ÁA¼)�}öAÌ�Ír¼wÏ�Ç�Êf¼TÄfÃ�¸?´AºÉ�ºN¼_¼�È�¶·ÉFÃ�¼�Çf» ¸?ÁA»�×�Çf»·¸?ÁrÄ2²_´rÃ�Êf¼�É � ÇfÁAÈ��ÛÓ �hµ��Fðb¼�Çf» º`ÇÃ�Ì�É�¸fËHÌ�Ír¼¤»·¼�ÇfÈA¶·ÁrÄ�¼�¶�Äf¼�ÁtÊ&Çf»·´A¼�ÉËh¸fÃ!Ì�Ír¼]Ár¸?ÁrÅ¡ØH¸?´`É�É�¶·Ár¼�ÉyÙ�ÁAÇÌ�´rÃyÇf»p²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�¸?Á'ºAÃ�¸fµ`»�¼�¹ ����� â��ìø2ÇfÁAÈ'¾ÀÃ���fë?íé�Ý É�¸?»¨¶·ÈÇfÁAÈ'ÈAÇfÉ�Ír¼�È�»·¶·Ár¼�É$²Z¸fÃ�Ãy¼�É�ºN¸?ÁAÈ�Ì�¸�Ì�Ír¼�É�Ír¼�ÇÃ,ÇfÁ`Èoµ`´r¸�×?ÇfÁA²Z×8¹�¸WÈr¼�É_ÝñÃ�¼�É�º�¼�²ZÌ�¶·Êf¼�»�× �}öåÌ�ÍA¼�� �� �%²_´rÃ�Êf¼�ÉÛÍ`Ç�Êf¼,¹¤´A»�Ì�¶·º`»�¼À¶·ÁrÎA¼�²ZÌ�¶�¸?Á7ºN¸?¶·ÁtÌ�É�ÏÛÍr¼_Ãy¼�� �ü ²yÍAÇfÁAÄf¼�ÉFÉ�¶·Ä?ÁåÓ

.�"/<=���?%�"/���-(�1{K�(�%��7apxY�k(�%`���7 6 ��^.��� ��#(�Kn v'[�!�A<C #�?�=<�( �!�A�J���A"$�H �%`��'3 ����=������%����B 2f����w�@&2f�^�-(V5A�j����1/��EB(7 #��.} #���^.��n L(�"$1/��.~.�����"X5�(I #"/���}��'4�Z��v #�F�W��������.�"$K���%=��� �:alW������@�'[�A�vK��A�B5A����"/����K��o��'01T(7 ����`.�"$%�K�,?%�%�"$�A��%�@�23�o���n20��"X #�� ���� �P�`� � <��Y.���1z"$��('[�#(�<=�J<=�5Y"$��E:20"$ ��j%!�A<=�6K��A��%9 L(��B >%�������. @ (7%

������ � � � @ � ������ �� � � � ü

� ü ���� ü �� ó � � ��� ü . �9��ªA�

20�����!� � � @ � @�(���. � @ � ó ���{�`(���. � ü ���p�v(��!��E�"$5A����NB8���dqa��B�n@f� �:a��B�`(���.� �:a��B�n@�����%�����K� �"$5���1$8�a�sP��"/%�<=�Y.���1A.?��%�K���"$N���%� ����&��5��A1/,m #"/���J��'�(�%!�-(7 �"T(�1$1$8><��Y.�,�1/(7 #��.<������mKL�?���A<�(7 #"$Kq.�"$%! �,���N-(7��K��`2�(V5��620"X #�Q2�(V5����H,�<:N������3a

����� ��� ��� �"! � #� �%$�& �('�)+*-, �/."� *10�� ."�2� � � �43� ,658790 � � �� 0 �43 ��58��0�� �

�f�A��%!"/.����3��GY,�(7 #"$�A�e�Z�ªA�p1$"/����(���"$%���.=(�N��A,? z ����> ���"X5m"/(�1?%!�A1/,m #"/��� � �?aBsP��"/%rK��������SR%����A��.�% #�q ����r1/"/�?�V(���%! #(�N�"$1/"$ ]8J(��-(�1X8m%!"/% ��'� ����3N�(�%�"$K3*-��2}20"$ ��U�!��%�����Kn { #�q(>23�V(�wH1X8<��Y.�,�1/(7 #��.�%��-(I #"T(71/1$8^�����!"/�Y.�"/Kv2�(V5A�;20"$ ��e_?um��.y2�(V5A���H,�<:N����2�3a��W(7 #,���(�1/1X8A@� #��"$%"/%z(��;"$.��V(�1$"/%�(7 #"$�A�U%!"/��K��W(7�H8:���V(71/"/%9 #"$K�.�"/%9 #,��!N-(���K��0"/%{�!�����!��%����B #��.oNH8=(+_-�?"$ #��2f(V5A����B5A��1/�A���=�#(7 ������J #��(��MNB8y(^%�"$��EA1/�4%!"/�H,�%!�A"/.-(71p2�(V5���a �W��5����9 #����1/��%!%�@�"$ `"/%J"$��%! ���,�KSR #"X5A�v ��iKV(7���!8h�A,? W #��"$%+(���(�1$8Y%�"$%W ��i�AN? #(�"/�h%��A<=�U"$��%�"$EA�B q"$�H ��o #�?�U�V(7��1$8j%9 L(�EA��%+��' #���W.�"/%9 #,��!N-(���K��+.��n5A��1$�A��<=���B Vam�q���?1$8Y"/��E6 #��� �-�A,���"$���z #��(���%!'[����< "/� � #�6 #���+1$"/�mR�V(��!"/%!��. �P�`� �P@�(7��.D%!,������!��%�%!"/��Ek���� L(I #"/����%`��'��Su?�?1/"/K�"$ `�-(7�#(�<=�� ���"/K4.?��������.�����K��

���

Page 11: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

�A� �3@?23�`�AN? L(7"/�����

�� � � . 1 � �� � �" � �� @ � 1 � ü 1 ü�� �� � � . 1 � .�� �¬� . 1 � �� � � 1 � .

20�����!� �� � � . 1 � ���� � � � � . � �?�num� � >" 1 � �?. � a-sP�H,�%�� � � . 1 � �� � � 1 �Z�� ��� "�� ��� ����� ���� � ����� §sp(7wY"$��E4 #���`"$�H5����!%��` #�#(7��%!'[�A�!<\23�6��N? L(�"$�Q #���`%���1/,? �"/�A�Q��' #�?�61$"/����(���"$%���. �P�6� �P�

� � � . � � � � � �ª! " � ü � � � � � � �$#�?�Z� &% '�(*),+ � (.-0/21�(435�6 �7�8 � 1 .9#�W§ �9�V�B�

�-�A� � �ü � ��������(�� � �;:�"/� �p"$E�af�H��(B���S@p'[�A1$1/��20"/��Eh #���^.��n_-��"$ �"/�A�?%=E�"$5A���~"/��+��"$%�%�1$���3�9�V�A�A�B�S@23�f.?"/%! �"/��E�,�"/%!�6 ��������f%�"X #,-(I #"/����%��(�N?%��A1$,? #�r"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8A@�K��A�B5A��K� �"$5A�"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8A@?(���.e(7N�%��A1$,? #�6%! #(�N�"$1/"$ ]8o��'p ����:(7%!8Y<��m #�� �"/K`%��A1$,? #"$�A� � �?a �f�A�?%�"/.?��� #���`1$"/<="$ � � < "$�^ ����`K��Y�A��.?"/�-(7 ��J%!8Y%! ���<�<=��5m"$��E420"$ ��^5���1$�mK�"$ ]8 @ �

� � � � < . �� @ � K��A��%! �a �9= �num� �?>� �

� � � �@� �A � ��B � � � ü � §

b '

� � � � DC > � � @ B ü >�FE B ü�G � �ü � ª �FE > � � @ B �HEü

£ � � ü � ü � � . �9��£H� #�����i #���+(�<��?1/"$ �,�.��>EA����20%�"$�� ���"/%f'[��(�<=��a �W�� ��q #��(7 f ����+K�����.�"$ �"/�A����'�"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8"/�Q #�?�6%9 L(7 �"/�A��(��!8�� @ �B�fK��Y�A��.?"/�-(7 ��+%!8Y%9 #��< "$%

� � � � IC > � � @ B ü >�FE B ü G � �ü � ª �JE � � �HEü£ � � ü � ü � � �9���A�

20��"/KL�FK��A���!��%����A��.?%+ #�i #�?�:KV(�%!�:20������ ����4.�"/%9 #,��!N-(���K��:EA�!�20%+20"X #�e �"/<=�U(7 J(��B8_?um��.^���A"/�B ��@Y"�a ��aH #���43� ,658790 � � �� 0 �43 ��58��0LK a?b P"$%f�V(7%!8o ��:%��?�2¢ #��(7 f ����J�nuY #�!��<:,?<��' � � "/%P�ANm L(�"$����.^"/�j(:'[�#(7<��J<=��5m"$��E:20"$ ��h%!������.@NM � � �� E � Eü F � �ü @ �9�V�B�

(���.^ #���6(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A�o��(7 #�`"/�i ���"/%P'[��(�<��q"/%

� M � � � >� E B ü F > £ � �ü B § �9���A�

sP�H,�%�@-20����� � �ü � �?@?"$' O £ � �ü � � �

>� E B ü � � . �9�V�B�

�A�

Page 12: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

#�������J�Su?"$%! �%W(:<=��5Y"/��E4%98m%9 #��<¦��' K��Y�A��.?"/�-(7 ���%�20"X #�Q����%�����Kn > ��:20��"/KL�Q ����J.�"/%9 #,��ZRN-(���K���E�����20%�a�b '�(7 J #���;%�(�<��4 �"/<=��� ��� �?@t ����=(�<=��1/"X #,�.��U.���K�(�8Y%U(7 6(��B8e_?um��.%! #(7 #"$�A�-(��98:���A"/�B VaBsP�?"/%zK��A�!����%����A��.�%z #�` #���0K�(�%��>��' *-, �/."� *10�� ."� � �� 0 �43 ��58��0 K @B"�a ��a� ����.�"/%9 #,��!N-(���K��:EA�!�20%W�A��1X8h"$�h ����U<=��5m"$��E�'[��(�<=�v��'{����'[��������K��7a)sP���U'�(�%9 #��%! +E�����2P #��#(7 ��^"/%;�AN�%!���!5���.�"$�~ ����^'[�#(�<=�Q<���5Y"/�?Ey20"X #�~5A��1$�mK�"$ ]8}E�"$5A���gNB8 �Z���B�n@{20�?"/KL�c"$% #���>2�(V5��J�-(�KLw��n 0�������-(�EB(7 �"/�A�=%�������.Q"/�Q(6.�"/%!������%!"$5A�q<���.�"/,�<jaBb �"$%f"$<����A�! #(��B z #����� ��` ��-(7

O� �=(�1$�A��E: #�?�6<�(��!EA"/�-(71t%! #(�N�"$1/"$ ]8�%�,?�!'�(�K��o�¡ #��"$KLwi1/"$���+"$� ��"/E�a)����(B���S@

<���(���"$��EJ #�-(7 f(��B8=%! #(7 #�020��"/KL��"/%z����,? #��(�1t(7K�K�����.�"$��E6 ��6 ���<=�����#(�1-1$"/����(��&%! #(�N�"/1$"$ ]8 #�����A�!8M"/%vK��A�B5���K� �"$5���1$8D�A�:(7N�%��A1$,? #��1$8F,��?%! L(7N�1/�i�?����5Y"/.���. � �ü � �e(���. �FE�� �mab '

O� �m@� ����:.�"$%! #,?��N-(��?K��4(�<=��1$"$ #,?.��v.?��KV(V8Y%+20"$ ��e����%�����Kn J #�o ����:%! #(7 #"$�A�-(��98j(�%

2f��1/1�(7%W(7�H8i<���5Y"/��E:'[��(�<=�+��'�����'[��������K��7atxY,�KL�k(:*-��2 "/%P���n'[���!����.^ #�;(7% �43� ,658790 � 5 K 0 �43 5 �na

�W�� ��U #��(7 J"$'

O� �?@���GH,-(7 �"/��Ey�Z�V£H�0 ��i�������^EA"X5A��%+(�����GH,-(7 �"/�A�h'[�A�W ����:5A��1/�YK�"$ �"/��%

��'& #�?�:��.�E���%+��'r(�1/�YKV(�1$"/%���.k.�"$%! �,���N-(7��K��^�¡ #���v.�"/%9 #,��!N-(���K��;(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A�^��(7 #�U(7 #���`��.�EA��%>"/%P��GH,-(�1) #�;�������B�n�

@ ó�� ü @ M " O� � ü �� �ü

§ �9�V�B�

b 0'[�A1/1$�20%3 #�-(7 P ����`1/�YKV(�1$"/%!��.Q.�"$%! #,?��N-(��?K��6(�1$2f(V8Y%>%!������(�.�%020"$ ��j��(7 #�#@ � @ ó @ ü � ª O� � ü �� �ü

��ª7�B�

(�%�"$ k.���5���1$�A��%�aqb]� 5Y"$��2 ��'k�9���B�S@> �����*-��2 "/%�(�N?%��A1$,? #��1$8 ,���%! #(�N�1$��"$' � @ M � � O� � ü � F � �ü a

sP����%!�Q ]8m����%4�7'WN�����(�5Y"$�A,���%:(����i"$1/1$,�%! ��#(7 ���.D"$� �p"$EA%�apªe(���.~�h'[���U #���Q�6(�,?%�%�"/(��"/��"X #"/(�1�K��A��.?"$ #"$�A� � � � �?� �� � �Sum�U� � � ü �+� � � (���. � (7���J����(�1)���A%�"X #"X5A�+K��A��%! #(��B #%#�naxm�A1$,? #"$�A�y�9���A�f"/�j(4%! L(I #"/���-(��!8�'[�#(�<=�;� @ �B��N���K��A<���%

� � � . ��� � � � � £ � � ü � �num� �� � � � � �� �� � � ü � §

������� � �ü � �i���?�V(�� � �e"$� �p"$E�a-�H��(B���S@YK�(�%���%���' (�N?%��A1$,? #�>%! #(�N�"/1$"$ ]8;(7��.iK����mR5A��K� #"X5A��(���.M(�N�%!�A1/,? ��4"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8h(����4.�"$%! �"/��EA,?"/%��?��.F"/� �p"$E�a�ªma��D�;"/�B ����B #"$�A�-(�1$1$8�-(V5A�vKL���A%���� � � � �= �����<�����(�%�"$%��` #�-(7 0 ����6'[����<�(�1)%���1/,? �"/�A��%0��'� #�����P�`���gKV(��EA����2��n5A���i20�����o ����>%�"/E��o��'� #���>1/"$���V(��zEA�!��2P #�o��(7 #� � � "/��.?"/KV(I #��%z1$"/����(��&%! #(�N�"/1$"$ ]8��'3(o2�(V5��;20"X #�e ����:KL���A%!���F2�(V5����H,�<:N����o�[23�4"/�B #�������!�� + ���"/%q����%!,�1$ +1T(7 ����+"$�k #��"$%%���K� #"$�A���Sa��>�� #�> #�-(7 3"/���A��.?���3'[���3K��A�B5A��Kn #"X5A�J"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8: ��U�YK�K�,?�f"/��%�,�KL�Q�!��EA"$<���%"$ 0"$%>�?��K���%�%�(��!8�@�N�,m q���7 0%�,��=K�"$���B V@� #�=�-(V5A�

O� �?�-����1$8o%�,��=K�"$���B #1X8^1/�YKV(�1$"/%!��.Q�A��@

��GH,�"X5�(71/���B �1$8A@<=�m.?,�1T(7 ���.`"/�?"$ #"/(�1A.�"$%! ���"/N?,? #"$�A��%�%�,�KL�:(�%� ��-(7 �"/� �p"/E�aIªv��N���KV(7�UEA�!�2K��A�B5���K� �"$5���1$8M20����� � � � �map����%!%41/�YKV(�1$"/%!��.y�-(�KLw��n #%j�¡20��"/KL�~(��!�o<=�A����K��A<=�-(�Kn "/� �-�A,��!"/���f%��-(�K��v"¬a��7a�K�1$�A%����� #�=(4<������mKL�?���A<�(7 #"$Kq2f(�5����S@�(7%>%!����20�h"$� �p"/E�a�ª^��K��S@20"/1$1m.���KV(V8AaBsP�H,�%�@A"/�4%!,�N�K���"X #"$KV(�1Y����EA"/<=��%{������%��?�A,�1/.4�Sum����K� 3(+%! ����A��EJ.?��������.�����K��

�ª

Page 13: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

(a)

(b)

(c)

(d)

cgI =1.00

a = 0.10

=2.65cgI

a = 0.10

cgI =2.65

a = 0.01

cgI =5.00

a = 0.01

ï ¶�ÄrÓNë�Ó �\Ç��%ÇfÁ`È �\²��%±Fµ`É�¸?»¨´rÌ�¼�»�×7É�Ì�ǵ`»�¼fÝ��hµ���²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�Êf¼�»�×�´AÁ`É�Ì�ǵ`»�¼fÝAÇfÁAÈ �\È.�%ǵ=É�¸?»·´rÌ�¼�»�×´AÁ`É�Ì�ǵ`»�¼�É�¸?»·´rÌ�¶�¸?Á`É�¸fËñÌ�Ír¼À»·¶·ÁA¼�Çà ô ¾ÀÆ4ùÑÏÛ¶�Ì�Í�¾$Çf´AÉ�É�¶·ÇfÁ�¶·ÁA¶·Ì�¶·Çf»A²Z¸?ÁAÈA¶·Ì�¶�¸?Á�Ëh¸fà � ���wîÝ� � � � �ü � � Eü � îÝ�ÇfÁ`È�� � âWö���� â �\É�¸?»·¶·ÈÑ»·¶·Ár¼�É&�}Ý�� � î �\ÈAÇfÉ�Ír¼�ÈÑ»·¶·ÁA¼�É&�}Ý�� � ø�\ÈAÇfÉyÍWÅ¡Èr¸fÌ�Ì�¼�È�»¨¶·Ár¼�É&�}ÝrÇfÁAÈ�(�5é��\ÈA¸fÌ�Ì�¼�È�»·¶·ÁA¼�É&�}Ó��'& #�?�4(�%!8Y<=�? #�7 #"/KvN����-(V5Y"/�A,��q���� J�A�?1$8j�A�k ����4<o(7EA��"$ �,�.��6��'& #�?�:"/��"X #"/(�1�.�"/%9 #,��ZRN-(���K���@7N�,? z(�1$%��W�A�4"$ �%p%���(7 #"/(�1H.�"/%9 #��"$N�,? �"/�A�)asP��"$%p�!��%�,?1$ &"$%pK�����%�"$%! #���B {20"$ ��U #�-(I {��'�J(�,�KL���7 6(���. �k(������n5Y"/1/1$�^�9�V�A�B�A�W��N? L(�"$����.F,�%!"/��E^(Q%!"/<=��1/"X_-��.�������1/"$���V(��W<��Y.���120��"/KL�~<="/<="/K�%6 ����QN����-(V5Y"/�A,��U��'0 #��� �W(�5Y"$���9RZxY #��w���%4��GH,-(7 #"$�A��%4"$�}(e%�,�N�K��!"$ �"/KV(71����EA"/<=��a

������� � �ü � �����?�V(�� � ��"$� �p"$E�a&�H�¬(A���n@�'[�A�v����(�%��A�?%U20��"/KL��(�����.�"/%!K�,�%!%���."/�Mxm��K� #"$�A�F£Q #���;���B8Y%�"$KV(�1&�!��1/�n57(���K��;��'r #�?��P�`� � %���1/,? �"/�A��"$%+1/"$<�"X #��.h #�^%�<�(�1/1 #"$<���%�aHxm,?KL�o%���1/,? �"/�A��%z(7���P ]8Y��"/K�(�1/1X8:.�"$%�KV(7��.���.�K��A<��?1/�� ���1X84(���.�(��!�>�?�� r.�"/%!K�,�%!%���."/�4 #�?�0*�,�"/.=.?8Y�-(�<="/K�%r1$"$ ����#(I #,��!��a �>��5����! �����1$��%!%f2f�0N���1$"/��5��P #���n8;������5Y"/.��P57(�1$,-(�N�1$�GH,-(�1/"X L(7 �"$5��Q"/��%!"/EA�B ;"/�B ��F ����^"/��"X #"/(�1f.��n5A��1/�A��<=���B =��'q.�"/%9 #,��!N-(���K���%�azsP���^'[�A�!<o(�1%��A1$,? #"$�A��.?8Y�-(�<="/K�%Q"/%Q<:,?KL� <=�A����K��A<=��1/"$KV(7 ���.c20����� � �ü � ��(�%Q%!�����¢'[���A<�p"/E?a��?a�b]�^ #�?"/%PKV(7%��J #���`"$��"$ �"T(�1$1$841$�mK�(�1/"$%���.o.�"/%9 #��"$N�,? �"/�A�i1$�V(�.?%� #�4 #���6(��?����(��#(��?K����'� ]23�q'[�����H �%�a�������

O� �W(���. @ ó @ ü � �:� �p"$E�a��4��(B���) #���z ]23�+'[���A�B #% ���!�A�-(�EB(I #�r"/��A�����A%�"X #�`.�"$����Kn #"$�A��%0(���.^ #�H,�%> #���`%!�A1/,? �"/�A�^.���KV(V8Y%+(�%98Y<��? ��� #"$KV(�1$1$8�"/�Q #�?�v�!��EA"$�A�

N��n ]2f�����D �����<jat������� @ ó @ ü � �?@t ����4'[���A�B �%6<=��5A�;"/�� ����;%#(�<=�;.�"/�!��K� �"/�A���¡'[���A<1/�n'¡ P #�=��"/E��H 0"$����"/E�a?�k�[N����S@�(���.h(�%!8Y<=�? #�� �"/K�(�1/1X8� ����v%!�A1/,m #"/���i20"/1/1tN���K��A<=�J_-��"$ ��(7 P(7�H8o����"/�B VamlW��23��5A���0%�"/�?K��q ����+��"$EA�B f'[�!�A�B �<=�5���%�'�(�%9 #����@�(7�Q�num�-(���.?"/��E4�!��EA"$�A�

���

Page 14: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

σR = -1

σR = 0

σR = 1

(a)

(b)

(c)

(d)

σR = 0

ï ¶�ÄrÓ�ø�Ó���ÇÃy¶·¸?´AÉ�É�¸?»·´AÌ�¶�¸?ÁAÉ�¸fË=Ì�ÍA¼�»¨¶·Ár¼�Çà ô ¾ÀÆ4ùoÏÛ¶�Ì�ÍTÁr¼_Ä?ÇÌ�¶·Êf¼+� �ü ÏÛ¶�Ì�Í�¾$Çf´AÉ�É�¶·ÇfÁT¶·Á`¶�Ì�¶·Çf»²Z¸?ÁAÈ`¶�Ì�¶�¸?Á�Ë ¸fà � E � � �ü ���!îÝ � � � � Eü � îÝ � �EâTÇfÁAÈ�� �Eâ��·îö �(�Eâ��\É�¸?»·¶¨È�»·¶¨Ár¼�É&��Ì�¸� �Cî_â �\ÈAÇfÉ�ÍA¼�È"»·¶¨Ár¼�É&��ÏÛ¶·Ì�Í�� � ��â��ûárÓå±FÃ�Ã�¸�ÏÛÉFÉyÍr¸®ÏÐÌ�Ír¼TÈA¶�Ã�¼�²ZÌ�¶�¸?Á`Éb¸fËpËhÃ�¸?Á�Ì�ºAÃ�¸fº=ÇÄ?Ç&ÅÌ�¶�¸?Á`É_Ó�õH»�¸fÌ �\È.�b¶¨»·»·´AÉ�Ì�Ã}ÇÌ�¼�ÉbÌ�Ír¼�É�º`ÇÌ�¶¨Çf» ÊÇÃy¶·ÇÌ�¶�¸?Á"¸fË�Ì�Ír¼TÃ�¼�Çf»4º`ÇÃ�Ì�¸fË;Ì�ÍA¼¤Çf¹�º=»·¶�Ì�´AÈr¼,¶·Á�hµ��%²Z¸fÃ�Ã�¼�É�ºN¸?ÁAÈA¶¨ÁrÄ,Ì�¸ � �5ø�Ó20"$ ��i���V(7��1$8=�������;(7<���1$"$ �,�.��P20"/1$1��Sum"/%! �N��n ]2f�����^ #���>'[���A�B #%�a �p"$�-(�1$1$8A@B"X'

O� �?@Y ���� ]2f�4'[�!�A�B #%PEA��������(7 #��.hNB8o ����J"/�?"$ #"/(�1/1X841/�YKV(71/"/%!��.�.�"/%9 #��"$N�,? �"/�A�i<=��5A�+ ��2f(��!.�%0�V(�KL�

�� #�?����@?K��A1$1/"/.?�+(���.Q ����J%��A1$,? #"$�A�^(�<=��1/"X #,�.?�q"/�?K�����(�%���%0��5A���!8H20�������v20"X #�i �"/<=�;��%!����p"/E?a��j��KV���na

sP���J<�( �!�A��K��A��K�1$,�%�"$�A�i20��"$KL�^'[��1/1/��20%r'[���A< #���`(7N���5A�J"$1/1$,�%! ��#(7 �"/�A��%z"$%f #�-(I P20����� #���vK��Y� �=K�"$���B � �ü "$%W����EB(7 �"$5A�` #�?�v%!�A1/,? �"/�A�j��' �P�`� ��KV(��hEA����2 ��(���"$.�1$8Q�n5A����"$'"$ �%{1/"$���V(��p(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A�6�#(I #� � � � �ma��� &_-�!%! z%�"$EA�B { #�?"/%{%!����<=%z���A�mR ���B8Y%�"/K�(�1�a7sP���.����������q(7�-(�1$8Y%!"/%P���!��%����B #��.h���nuY WK�1/(���"X_-��%� ���"/%0(��?�-(������B WK��A�B #��(�.�"/Kn #"$�A�)a

����� � �"."��� 7 31�1! * �� * � � � ���

�q1$1�.�"$%! �,���N-(7��K��J.��n5A��1/�A��<=���B P%!K����-(���"$�A%�.�"$%�K�,�%�%!��.j%��:'�(��f(����+N�(�%���.Q�A�i #���+(��-(�1«R8Y%�"/%W��'z(=%��-(7 �"T(�1$1$8Q<=�Y.�,�1T(I #��.j.�"$%! #,?��N-(��?K��U���B5A��1$�A���:K����H �����.F(7 W2f(V5A���Y,?<:N���� �20��"/KL��"$�cEA��������(�1q"$%o���7 i��GH,-(71W #� � :¢K��A�!����%����A��.�"$��ED #�M #���h<o(Ium"$<:,�< 1/"$���V(7�

�V£

Page 15: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A���#(7 ���a

�f�A��%!"/.���� �p"/E�a3�y��N��v20�?�����Q ����Q1/��(�.�"/�?E���"/E����B57(�1/,���%4(��!�QEA"$5�����(�%:'[,���Kn #"$�A��%4��'2�(V5����H,�<:N����i'[�A�; #�?�k���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!GgK��A�B5A��K� #"$�A�����!�AN�1$��<ja �f1$�V(��!1$8�@ � �ü ���p�;"$%����EA(7 #"X5A�Q"/�� ����Q5Y"/K�"$��"$ ]8M��' � z@� #���Q1$�mK�(�1f<="/��"$<:,�< ��'> #�?� � � ���{�vK�,��!5���azsP���57(�1/,��`��' � � �����P"/%0����EB(7 #"X5A�v(���.k(�K�K��A��.�"$��E� ���%9 L(��?.-(���.k1/"/�?�V(��P%9 L(�N�"$1/"X ]8o #�?���A�98 #���=<=�A���YKL�����A<�(7 �"/K:.�"$%! �,���N-(7��K��;2�(V5��o20"$ ��y ���"/%J2f(�5����H,�<:N����U<:,�%! 6.���KV(V8Aa �� #���k%#(�<=�h �"/<=���p"$E�ar�D%��?�20%j(D��(���"$.�1$8~EA�!��20"/��E�%!�A1/,m #"/���g��'J ���� �P�`� � 20"X #�K��Y� �=K�"$���B #%Q�n57(�1/,-(I #��.�"$�� #���h5m"$K�"$��"$ ]8���'2� za3sr8Y��"$KV(�1$1$8~ #�?"/%i�-(7�#(�.��Vu�"/%o,?%���. #��(�.?5��mK�(7 #�e ����F"/�!����1$��57(���K�����'` #���M�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,�<��Y.���1+(V2�(V8�'[�!�A< ����<o(u?"$<:,�<���'� ����+<�(���E�"/�-(�1-%9 L(�N?"/1/"X ]8;K�,��95A�7a-lW��23��5A���0"$ 3"/%3 ���"X5m"/(�1- #�:%!����2 ��-(7 f"$'"/��"X #"/(�1/1X8q #�?�P.�"/%9 #,��!N-(���K��W(7<���1$"$ �,�.��r"/%{,��?"$'[�A�!< "$�4%��-(�K��� #�����������f23�A,�1/.;�AN?%����95A�(Q�#(���"$.�1$8k.���K�(V8m"$��Ej%��A1$,? #"$�A����'r #��� �P�`���¢��GH,�"X5�(71/���B ` #�Q ��-(7 `��'f(j�?1T(����:2f(V5A�.���K�(V8o���!��.�"$K� ���.iNB8=1/"$���V(��{ ��������!8=��'�<=�A���YKL������<o(7 �"/K�2f(V5A��%�a��+��1$8;"$��"$ �"T(�1m%��-(I #"T(71<��Y.�,�1/(7 #"$�A�JKV(7�U1/��(�.v ��W ����3%!�A<=��20�-(7 �K���,��B #���ZR]"$�H �,�"$ �"$5��3�!��%�,?1$ #% �AN? #(�"/�?��.:(7N���5A�7a�f�A��%!��GH,����B �1$8A@) ����:"$�?*-,�����K��:�7'3<=�Y.�,�1T(I #"/���j��(�%q #�QN��U,?��.����!%! ��m�Y.e_-��%9 Va �f1$�A%����"/��%!����K� �"/�A�i�7' ����+%!�A1/,? �"/�A�o��'� #��� �P�6� �~"/�i #�?�+KV(�%!�J��' � �ü � �:%!����20%0 ��-(7 f"$ �"$%KL�-(���(�K� �����"$%���.:NB8v��(���"$.v%!�-(7 #"/(�1B�A%!K�"/1$1T(7 �"/�A�?%t20"$ ��v #�?�r2f(V5A��1$����E7 #�:GH,�"$KLwY1X86.���K����V(7%9R"/��E4"$�i #���J.?"/����K� �"/�A�Q��'�(�<=��1$"$ #,?.��qEA�!��2P #�M�¬(V2f(�8o'[���A< #���JK����B #�!�6�7' ����`��"/Kn #,��!�"/����"/E�a��-�[.����SatsP��������'[�����: #�?� �P�6� ��������.�"/Kn #%+%9 #�!�A��EQ%���(7 #"/(�1�<=�Y.�,�1T(I #"/���h��'& �����A��"$EA"/��(�1 ��R]��(���<=�A��"$K620"X #��"$�k #���:2f(V5A�;���B5���1/�����;<=�m.���1/1$��.kNB8h #��"$% �P�6� ��20������ � �;:�a)�W%`(Q����%!,�1$ q #���;��|���Kn #"X5A�42�(V5����H,�<:N����6��'r%�,�KL�y%���1/,? �"/�A��KL�-(7��EA��%J20"X #� #"$<��+%!�4 #�-(7 P(;.?"/%! �,���N�(���K��+20"X #�j(:%�1$��2f���>.?��KV(V8Q��(7 #�`(7������(���%�@�%����J #���`(��!����2 "/��p"/E?a��:�[N��naBsP�?"/%z����2��-(���<=�A��"$K�@�20"X #��(��=��|���K� �"$5��>2f(V5A���H,�<UN�����1/�YKV(7 ���.;K�1$�A%����& #�� : @?�n5A���H �,-(�1$1$8i.?�A<�"$�-(7 ���%3 ����J�A�!"/EA"$�-(�1-�A���`(7��.Q"/�o �,����t@-(7'¡ #����N���"/�?E:<��Y.�,�1/(7 #��."$ �%���1X'Z@�E��������#(7 ���%`(����7 #�����+�-(��!<��A�?"/Kv20"X #�k2f(V5A���Y,?<:N����vK�1/�A%!���q �� �;:��[20"X #���n5A���%�1$�23���U.���K�(�8M�#(I #���6(���.�E��� #%U����%!1T(V5A��.}NH8M"$ �a�sP��"/%v�����YK���%�%:K��A�B #"/�H,���%:,��B #"$1r ����.�"/%9 #,��!N-(���K��=20"X #�F2�(V5����H,�<:N���� �;:~"/%`�AN? #(�"/�?��.c��1/"$����%�� "$� �p"$E�a{��(B�na�b]�M�� #�����2f����.�%�@Y%!�-(7 �"T(�1�<=�Y.�,�1T(I #"/���:��'� #���>"/��"X #"/(�1m.?"/%! �,���N�(���K��P2f(V5A�qE�"$5A��%z��"/%!�P #�6(6%!1/��23�����5A����(�1/1W.���K�(V8��#(I #�k ��-(��c ��-(7 Q�Su?����Kn #��.�'[���Q(D<=�A���YKL�����A<�(7 �"/KQ2�(V5��F20"X #�c ����KL���A%!���^2�(V5A���H,�<:N���� � � �;:h20��"$1/�W ����+�n|t��K� #"X5A�+2f(V5A���H,�<UN����>K�(�%�K�(�.���%0 ���2�(��!.�%� : a��q�B8�"$��"$ �"T(�1 <=�m.�,?1T(7 �"/�A�k ���"$EAEA���!%J%�,�KL�y2�(V5����H,�<:N����vKL�-(���EA�;20��"$KL�M"$%J<o(��YR"$'[��%! #��.y �������,�EA�M ����;����%�"$ �"$5��=K��A<:N�"$����.F #��<����A��(�1&(�<=��1/"X_-KV(I #"/���e�#(7 ��h�9�V£H�+�n5A���20����� � � ���{� � �?a)sP���;.��n L(�"$1/��.�.?"/%�K�,�%�%!"/�A�y��'r #���;d3������(�<="/�YR �-��"$�W"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8j��'���A��K���"X #"/K�(�1H2�(V5A��%3�����9'[�A��<=��.U"/�=xm,�%!1/��5^�Z���A�B��� 1/��(�.�%p ��+ #���f%#(�<=��K�����K�1$,�%�"$�A�)�7 ����%�"$.��nR N-(���.="/��%9 L(�N?"/1/"X ]8U�?��K���%�%�(���"$1$8;%��?"$'¡ #%z #�?�W�n|t��K� #"X5A�02�(V5����H,�<:N����f �� �;:Q����EB(��!.mR1/��%�%p�7'� #���f"/��"X #"T(71�2�(V5����H,�<:N�����aAsP��"/%���,? �%� #�?�fK�����K����? &��'-2f(V5A���H,�<UN����&KV(�%!KV(�.�"$��E"/�B #�!�m.?,�K���.^(�N���5��J�A�^(U_-��< EA�!�A,���.QN�,m P #���+�SuY #���B >��' (�1$EA��N?�#(�"$Kq.��n L(�"$1�"$�H5��A1$5���."/�i%!,�KL�j(��Q(���(�1$8Y%�"$%f���!�A��"$N�"$ �%f,�%f'[�!�A< ������%����H �"/��E;"X f�������7a�sP��"/%3%�����20%P #��(7 ��n5A��� #����,�EA�e #�?�4K��Y� �=K�"$���B #%`��'z #�?� �P�6� �¢(����4�n5�(71/,-(7 ���.F(7 J(i%�����K�"X_-K:2f(�5����H,�<:N�����3@r"$ oK��A�B L(7"/��%i"$�?'[�A�!<o(7 �"/�A��(�N��A,? Q(M20"/.����i%�����Kn #�!,�< ��'`.?"/%! �,���N�(���K���%�a�b o20"/1/1N��Q%!����20�c"$�� #���hxm��K� #"$�A�~£� #�-(7 ;"X 4"/%: ����^(�K�K�,���(�K�8~��'> #�?"/%:"$�?'[�A��<�(7 �"/�A�y20�-(7 .��� ����!<�"$����%P #�?�6�!��1$��57(���K��6�7'� ����`<��Y.���1�'[�A�P%�����K�"$_-K6(����?1/"/K�(7 #"$�A��%�a

��

Page 16: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

� �J�#������-� � �M���J���� ��� �� �-� �[�� �?����¬�B� � �?���������������� ���� �����V�¬� �&� ����������

sP���=.�"/%!K�,�%!%�"/���M"$�y ����;�����n5m"$�A,�%6%���K� #"$�A��%`%��?�20%v����2�.�"$%! #,?��N-(��?K���%6��'�(���N�"X #��(��!82�(V5����H,�<:N����!%3.��n5A��1/�A�4 #�+ ����A%!�����V(7� � :o(�%&(+����%�,�1X &��'�2f(�5����H,�<:N����zK�(�%�K�(�.�"/�?E`(7 #���J��(���1$"/���f%! #(�EA��%P��'� #����"/���n5A�A1$,? #"$�A�)aYb]�^ ���"/%f%���Kn #"$�A�j(��Q"/<=�����! L(7�H fK��A�?%���GH,�����K����'q ����h(�N���5��k(���(�1$8Y%�"$%:20"/1$1PN��^"/�B ����Y.�,�K���.)�&2f�^20"/1$1�.��n5A��1$�A��(F%! ��#(�"$EA�B �'[�A�92�(7��. #��%! >20��"/KL�h(�1/1$��20%P�A���J #��(�%�%!��%!%W #�?�6��(���EA�`��'{(�����1$"/K�(�N�"/1$"$ ]8;��'� #��� �P�`� �c<��Y.���120"$ ����A,? �K��A<��?�����?����%!"$5A�zK��A<���(���"$%��A��%)20"X #�J�H,�<=���!"/KV(71A%��A1$,? #"$�A��%)�7'�(�'[,�1$1����!�AN�1/��<hab :20"/1$1zN��i%!����20�� #�e23�A��wF23��1/13"/�y #���i.?"$|��������B #"T(71/1$8F�?�V(7 ���.}KV(V5Y"$ ]8M���!�AN�1/��< "/�xm��Kn #"$�A�h�ma$��a

b]�eK����H ��#(�%9 + #�= #���UK�,�N�"$K:��(���.�(�,�(�<=��1/"X #,�.?�6��GH,-(7 #"$�A�)@-20���A%!�:�#(7��EA�U�7'&5�(71/"/.?"$ ]8"/%>.�"/%!K�,�%!%���.y"$�k.��n L(�"$1�"/��xY,�%�1$�5h(��?.��p(���1/,�K�K�"f�9���A�A�7N��n@� ���� �P�`� ��(7 � ���<=�? #%> #�(�K�K��A,��B >'[�A�P #���`.�"$%! #,?��N-(��?K��`2�(V5A�U���B5A��1/�A���v.m8m��(�<�"$K�%0"/�j(;.�"/%!������%!"$5A�6<=��.�"$,�<hasP���4.�"$%�������%!"/�A���!��1/(7 #"$�A�eK���������%����A��.�"$��Ei #�i ����41/"$���V(7��"/%!��.k5����!%�"/���y�7'r ���� �P�`� �.����!"$5���.^'[�A�>(;��(��! �"/K�,?1T(���%!�� >��'����B8Y%�"/K�(�1��-(���(�<=�� #����%>(���. @ �;"$%

����� � 1 �-� � � �� ��� � � �" �� ��� � � 1 � ü ��� � � 1 ü . ��ªY��

20�����!� � � "$%^ ����F2�(V5A���H,�<:N����e(I h20��"$KL� ����FK��Y� �=K�"$���B #%h��'U ����y'[����<�(�1/1X8c.��SR��"X5A��. �P�`� � (7���i�n5�(71/,-(7 ���.���� � � � : � �"$��EA��������(�1¡�6(���. 1 "/%6 #���Q<=�m.?,�1T(7 �"/�A�2�(V5����H,�<:N����j'[�A�Q #����'[,���.�(�<����B L(�1+2f(V5A�M20"X #��2f(�5����H,�<:N����%� � aPsP�?�M�!��1T(I #"/�����ªm���z"$%3GH,-(�.?�#(7 �"/K>"/� 1 (7��.o #�H,�%3"/%3�num����K� ���.i #�vN��q(vEA�Y�Y.i(����?���Vum"/<�(7 #"$�A�4 #�v �������B8Y%�"/K�(�1z.�"/%!������%!"/�A�F����1T(7 �"/�A������1$8e'[���J%�<�(�1/1 5�(71/,���%6�7' 1 %!�j ��-(7 ` #����<=%`�����A���A�ZR #"$�A�-(�1p ��^��"/EA�?���J���23���!%v�7' 1 (����;����EA1/"$EA"/N�1$�Q�¬xm,�%�1$��5�@&�V�A�B�m��d �,?KL����1z(��?.D���,�KLw��7@ª��A�A�A�na��J�4 ����P�� #�?���{�-(7��.)@A"X'- #���P���B8Y%�"$KV(�1?.�"/%!������%�"$�A�4����1T(7 �"/�A�v"$ �%���1X'�"/%{GH,-(7.��#(7 �"/K7@'[�A�P�nu?(�<=��1$��@

� ���{� �� ó ���;: � � �{� ü � � �: � �� "

�� ü ��� : � � �{� ü �� � : � � ���;: � � �{� � � E: � � � . ��ª�ªA�

20�����!��(�1$1+K��Y� �=K�"/���B �%e(��!�y�!�V(�16(��?. %!,�N�%�K���"$�? � ���4�QK���������%����A��.�%^ #� � ó � �� � ó � �B�Sa��W%!"/��Eh��ª�ªA�f"/�M�¬dWa �B��(7��.�� �:a �A�r2f�6�AN? #(�"/�

� ���{� � � : � � � ª � ü ��� : � � �p� � ª7" � ó ��� � : � � � .� ü ���{� � ó }" � ü . ��ª7�B�

%��; #�-(I 0%�,�N�%!��GH,����H �1$8^23�v�-(V5��

����� � 1 �-� � � �� ó ��� : � � � � 1 � ü � � �:� "

�� ü ��� : � � � � 1 � ü �� � : � � ��� : � � � � 1 � � � E: � � � §

sP��"/%^.�"$%������!%�"/��������1/(7 #"$�A��"/%Q"$.����B �"/KV(71q #�} #�?��.�"/%!������%�"$�A������1T(7 �"/�A� �¬ªAªA�='[�A�i ����'[,�1/1>���!�AN�1/��< 20"X #� � � � � 1 arb]���� ������o23�A�!.�%�@f �����<=�m.�,?1T(7 ���.c%!�A1/,m #"/���c��'

���

Page 17: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

#���U1/"/�?�V(��!"/%���.F�J"/����N�,���EIRZ��(���.-(7,e<��Y.���1 '[,�1$1$8j����K���5A����%J #�?�:1/"$���V(��!"/%!��.e�n5A�A1$,? #"$�A���'� �����%!�A1/,m #"/���D(�<=��1$"$ #,?.��4��'� �����K��A<=��1/�n #�=�����AN?1/��< �?�k<�(7 � ����J20�-(7 v5�(71/,��;��'2�(V5����H,�<:N����U ����o<=�Y.���1&K��m����K�"/���H �%:(��!���n57(�1/,-(I #��.D(7 U(���.��7���`20�?�� #�?��� � ó ���A��@��GH,�"X5�(71/���B �1$8A@ � �ü �;"$%��?��EB(7 �"$5��h�A�;���A%�"X #"X5A�h(�%�1$�A��EM(�%; #���j���B8Y%�"/K�(�1>.�"/%!������%�"$�A�����1T(7 �"/�A�^"/%0EA"X5A���hNB8D��ªAª��na �W�7 #�` #���A,?EA�j ��-(7 � ó � �="/�M��ªAª��P��NH5Y"$�A,�%�1X8j(�%�%!,�<=��% #���q�num"/%9 #���?K��+��' (7��N�"X #�#(7��"/1X8:'�(�%9 �EA�!�20"$��EU.?"/%! �,���N�(���K���%f20"$ ��o2f(�5����H,�<:N����!%0%�,��4RK�"$���B #1X8='�(7�f(V2f(�8='[����< � {aYsP��"/%3"/%f,?������(�1/"$%! #"$K�aBsP�H,�%f ������!�+KV(7�i�num"/%9 ����U���B8m%!"/K�(�1������N�1/��<¦20���A%��6'[,�1/1�.�"$%������!%�"/���h�!��1T(I #"/���j"$%WE�"$5A���kNB8D��ªAª��P20"X #� � ó � �ma�b]�k�� #�����2f����.�%�@3�n5A���c"$'> #���j���B8Y%�"/K�(�10.�"/%!������%!"/�A������1T(7 �"/�A�}"$%=1$�mK�(�1/1X8D%!,�KL�c ��-(7 � ó � �m@ #�������;<:,�%9 J�num"$%! v(���"/�m*-��Kn #"/�������A"$�B J��'z #��� � � ���p�]R K�,��95A�420�����!�4 #���4%!"/EA����' � óKL�-(���E���%�ar�� o ��-(7 �����"/�B ; #���j���B8Y%�"/K�(�1>.�"/%!������%�"$�A������1/(7 #"$�A������K���%�%�(���"$1$8~.��n5Y"T(7 ���%'[���A< GH,-(�.���(7 #"$KF��ªAª��:(���.} #��� �P�`� � N���K��A<���%4"/�!����1$��57(��B Va �D�^��<�����(�%�"$%��i #��(7 #���`"$������1/�n5�(7��K��+�7'� ���� �P�6� �c"$�i #��"$%PKV(�%!�`�-(�%P���� ���"/�?E; ��4.��420"$ ��^ ����`KL���A"$K��J��'� � (���.j����2 '�(��P"X 0"/%P'[���A< � : @-N�,? W�#(7 ������0"X 0"/%0(�%!%��YK�"T(I #��.^20"$ ��j ����6"/�-(�.?��GH,-(�Kn8��'>�num���!��%�%!"/�A� �¬ªAªA�6 ��������?����%!���B ; #���o���B8m%!"/K�(�1�.�"$%�������%!"/�A�}�!��1/(7 #"$�A�)a�sP��"/%4<=�V(7��% #�-(I 4 #���j�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,�<=�m.���1320"X #�}K��Y� �=K�"/���B �%=�n57(�1/,-(I #��.�(7 � � ����(�� �KV(��j�A��1X8QN��v(7K�K�,?�#(7 ��`'[���>�!��1/(7 #"X5A��1X8i%!���A�! 0 �"/<=��a�b]��.?����.t@�N���K�(�,�%!�v��'� #���`K�(�%�K�(�.mR"/��Ev��'� #�?�+.�"/%9 #,��!N-(���K��q2f(�5����H,�<:N����P ��2f(��!.�%f'�(�%9 #���fEA����20"/�?EU2�(V5���%P.�"$%�K�,?%�%���.^"/�xm��Kn #"$�A�^�?a ªm@Y ����J��|���Kn #"X5A�+2f(�5����H,�<:N���� � � � 1 ����(�KL����%>�n5A���H �,-(�1$1$8= #���J"$�?*-��Kn #"$�A�����"/�B >��'{ #�?� � � ���p�]R]K�,��!5��:(��?.k"/�B57(�1$"/.-(7 ���%� ���� �P�`� �c20"$ #�h����EA(7 #"X5A� � �ü ���p�f'[�A�1T(��!EA�z #"/<=��aI�+�U ������� ��������-(���.t@7"X'� #���3���B8Y%�"/K�(�1?.?"/%������!%�"$�A�U�!��1T(I #"/���U"/% 1/�YKV(71/1$8q%�,�KL� #�-(I � ó � �^ ������F #��� � � ���p�]R]K�,��!5�����(�%6(^_-�?"$ #�;<�(Ium"/<:,?< #��2f(���.?%620��"$KL�y ����.�"/%9 #,��!N-(���K��+2�(V5����H,�<:N����>(����?���B(�KL�?��%�a-sP�?�JK��A�!����%!������.�"/�?E �P�6� �~����<�(�"$��%f�!��1/�SR57(��B f(7%r1$�A��E6(�%& #�?�02f(V5A���Y,?<:N����f%!����K� #�!,�<���'� #���>.�"$%! #,?��N-(��?K���%r"/%&1$"/<="$ ���.U ��` ����"/�B #���!57(�1�N��� ]23������ ����0"/�?*-��K� �"/�A�4���A"/�B �%&��'� #��� � � ���{� R]K�,��!5��PK��A�B L(7"/��"$��E � : aAsP�����)@"$') ����+1$�A��Ev �"/<=�0%��-(7 �"/�7R� #��<����A�#(71-.?8Y�-(�<="/K�%3��'� #�?�+���B8Y%�"/K�(�1�*��2¢"$%3"$�H5���%9 #"/EA(7 #��.)@ #�����P�`� �M���!��.�"$K� #"$�A��%&<�(V8U�A�?1$8:N���57(�1/"$.:"$'� ����0K��A�B #�!"/N�,m #"/���4��'� #���0.�"$%! #,?��N-(��?K��%�����Kn #��,?< 20"$ ��i2�(V5����H,�<:N����!%>�?�V(��f ����J"/�m*-��Kn #"/���o���A"/�B #%f��'� #��� � � ���{�]R K�,��95A�`(��!�(�%!8Y<=�? #�7 #"/K�(�1/1X8j����EA1$"/EA"$N�1/�7a�b]�y�7 #�����+2f�A�!.�%` #���4����K���%�%#(7�!8FK�����.�"$ �"/�A�e'[���+ #���;(�KSRK�,���(�K�8i��'� #���`1/����E7R ����!< �P�`� �g���!��.�"$K� �"/�A��%P"$%f #��(7 � � ���{� � �=(I � #���`"$�?*-��Kn #"$�A�����"/�B #%>�["$'� #���n84�num"$%! S�p�7'� ����P���B8Y%�"/K�(�1-.�"$%�������%!"/�A�;�!��1T(I #"/���)a7sP�?"/%&"/%&�?�� r(J%�,��=K�"$���B K��A�?.�"$ �"/�A�� #�?�A,�EA�)a�b]�?.�����.)@�"$'r'[�A�J�nu?(�<=��1/�7@) #���;K��A�B5A��Kn #"X5A���7(�N�%���1/,? ��o"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8�-(7 �,����Q��'0 ����o*-��2 "/%:%9 #,�.�"$��.)@� #�����g(71/1r1/"/�?�V(��!1$8y(�<=��1/"X'¡8Y"/��Ej.�"/%9 #,��!N-(���K���%;K����mR #�!"/N�,? ��6 ��� ����U1$�A��E7R� #���!<¦��5��A1/,m #"/���)a �f�A��%!��GH,����B �1$8A@&��ªm����-(7%W #��N��v(�K�K�,���(7 #�6'[�A� #���`K��A<��?1/�� ��+�#(7��EA�`��' �D'[�A�f20��"$KL� � � � �?a�sP��"$%>"$%P�#(��!��1X8o #�?�6K�(�%��J'[�A�P�!�V(�1$"/%9 #"/K*-��20%J(���.h��5�����"$'� #���v"/�?*���K� �"/�A�j���A"/�B #%W(��!�U���� W���!��%����B J�A�>K��A�!����%!������.k #������EA(IR #"X5A�`1/"$���V(���(�<��?1/"$_�KV(7 �"/�A���#(7 ���%�@� ���� � � � E ���{�]R K�,��95A��%0'[�!��GH,����H �1$8^.��n5Y"T(7 ��`'[�!�A< �����-(���(�N���1/"/K0%!�-(�����a�sP��"$%f"$%3 #�?�+����(�%��A�i20�B8�@?'[�A�f�Su?(�<��?1/��@H #�?�+K��A�B5���K� �"$5�����(�N?%��A1$,? #�"/��%9 L(�N?"/1/"X ]86N��A,?��.-(��98U'[�A�{<="Xum��.;df�A,�%!%�"/�?��%�G;�>(V8Y1/��"$EA�mR]d ����-(7��.mR]���A"$%���,?"/1/1$�zK��A�B5A��KnR #"$�A�='[��,���.o"$� � �,?1/1/���&�� f(�1�a��Z���A�A�A�p,�%�"$��Ev ����+�J"/�?��N�,��!E7RZ��(��?.-(�,=<��Y.���1-.?"/%#(7EA������%20"$ ��i #���+�����JK��A<=��,? ���.Q"$� ��(����!"�������J(��?. �j�A��w��n20"$ ��=�9���A���B�r,�%!"/��E: ����+K��A<��?1/�� ��.�"/%!������%!"/�A�^����1T(7 �"/�A�ta

b J"/%WK�1$�V(��> #�����F ��-(7 W #��� �P�`� �¢K�(��FN��v,�%���.F����1$"T(�N?1$8^"/�k%�,������!K���"X #"$KV(�1 ����EA"/<=��%�@(���.}"$���-(��9 #"/K�,�1T(7�6 ���������.�"/Kn ;(�K�K�,��#(I #�o ��#(���%!"$ �"/�A�D ���(�N�%!�A1/,m #�i"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8�@��A��1$8

��

Page 18: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

20�����} �����'[,�1$13�?�H8Y%!"/KV(71f.�"$%�������%!"/�A�D����1/(7 #"$�A�D"$%v5����!8DK�1$�A%��= #�~�¬ªAªA�`20"X #� � ó � ���5A���: ����iK��A<��?1/�� ��o��(���EA�i�7'>(�<��?1/"$'¡8Y"$��Eh.?"/%! �,���N�(���K���%�a{b 'P ���"/%U"/%v ����iK�(�%��i ������%�,�N?%! #"X #,? �"/��Ec��ª7�B�U"/�B #�g�Z���B�4(���. �9����v2f�j�AN? #(�"/�} #��(7 ; #���jK��Y�A��.?"/�-(7 ��Q%!8Y%! ���<j@20"$ �������%!����K� 6 #�i20��"$KL�� #���;<�(Ium"/<:,�<� ���<=���A��(�1{(7<���1$"$_-K�(7 #"$�A�k��(7 #�U"/%J�AN�%!���95A��.(�1$2f(V8Y%><=��5A��%>20"X #�^%�������. @NM ���{� � � : @�20��"$KL�k"$%� #���`EA�!�A,��j%�������.h��57(�1$,-(7 #��.j(7 � : aIsP������|���Kn #"X5A�P(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A�`�#(7 ��f"/�6 #��"$% '[��(�<=�3"$% � M ���{� �� �: @ #���3<o(u?"$<:,�<(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A�J��(7 #�3(�K�K��A�!.�"/��E0 #�W%! #(���.-(��!.v ���<=���A��(�1B1/"$���V(7��%! L(7N�"/1$"$ ]8+ ������A�98Aa��-���A<�9���A�>2f�: ������F�ANm L(�"$�e #�-(7

O���{� W£ � ó � �: @�"�a ��at ����U*-��2 "/%+,?��%! #(�N�1/�:20�?�����n5A���

� �: � �?a-xm"/��K��J"$ �'[��1/1/��20%f'[�!�A< �Z��A�r ��-(7 � � ���{� �� �: � � ó � � : F0� � üó � � üü �S@-(�N�%!�7R1/,? ��W"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8vKV(7�i�A��1X84�mK�K�,��3"/��(v<=��.�"$,�<O20"X #�o%!,��=K�"$���B #1X8�%!<o(71/1�2f(�5��+EA�!�A,��%�������.)a�sP��"$%P"/%fK��A��%!"/%! ����B V@m'[�A���nu?(�<=��1$��@H20"$ #�i ����+�!��%�,?1$ #%P�7'��+��"/%!%�1$���J�Z���A�B���z20���%�����20%: ��-(7 :"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8e"/�D�?1T(����o���A"$%���,�"/1$1/�4*-��2`@�'[�A�`20��"$KL�� #���iE����A,��D%�������.}"$%���������A�9 #"$�A�-(�1z #�k ����^�0��8Y���A1$.�%4�H,�<:N����4(��?.}"/%:�!��1T(I #"$5���1X8M1/(���E���@ "/%4(�1X2�(V8Y%4K����mR5A��K� #"X5A�7a �&GH,-(7 #"$�A� ��ª��B�4���!�5Y"$.���%�(��c��%! �"/<�(7 #�^��'+ ����j.�"/%9 #,��!N-(���K��k%��?���V(7.��#(7 ��#@ ���{� £�� � �: � � üó � � üü � F � ó 20��"/KL�~EA�!��20%U20"$ ��� #���o ���<=�����#(�13(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A��#(7 ���amsP��"/%�%!����20%P�A��K��`(�EB(�"$��20�B8^(�N�%!�A1/,m #�q"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8;E��������#(�1$1$8=�mK�K�,��!%�"/�o<��A�!�%�,������!K��!"$ #"$KV(�1H�!��EA"$<���%��� #���3.�"/%9 #,��!N-(���K��f�Sum �����%!"/�A�U�#(7 ��f�-(�%� #�WN���K��A<=�f%!,��=K�"$���B #1X81T(��!EA�>"/�=�A��.����3 ��U��5A����K���<��q ����W2f(V5A�J���H5���1$�A���W.���"X'¡ 320"X #�= #���WEA���A,?�i%�������.)amsP�?"/%KV(�������1$8j�YK�K�,?�+"$' � �: "/%W%�,��=K�"$���B #1X8k1/(���E���@�"�a ��a�'[,��! ������J(V2f(V8k'[����< ����:<�(���EA"$�-(�1%! #(�N�"/1$"$ ]8�%�,��9'�(�K��7a

�q1$1-����%!,�1$ �%f���7 #��.i(�N���5��+(��!�W"$��.��������?.����B ��7') #���q(�K� �,-(�1-57(�1/,?�>�7'(� � (7 320�?"/KL�� �����P�6� �~"/%3.����!"$5A��.)a?sP�?"/%�1$�V(�.�%r #�;(U%9 #��(�"/EA�B !'[�A�!2f(���.oK��A��K�1/,�%!"/�A�t�m"X') #���q.�"/%!������%�"$�A�����1T(7 �"/�A�;'[�A�z #���q'[,?1/1����B8Y%�"/K�(�1������AN?1/��< "$%3�-(7�#(�N��A1/"$K�@A ������i ����q1$�A��E7R� #���!<O*-��2¢N��SR�-(V5Y"/�A,��q������.�"/Kn #��.FNB8k ���� �P�`����.��Y��%J���7 J.��������?.y���e #���;(�Kn #,-(71�2f(�5����H,�<:N����� � '[�A�J20��"/KL�M"$ �%vK��m����K�"/���H �%U(7���=��57(�1/,�(7 #��.)��"$ `20"/1$1{N���"$.����B #"$KV(�1{ ��h ��-(7 6��'f ����<��Y.���1t20"$ ��jK��m���=K�"/���B #%>��57(�1/,�(7 #��.h(I �� � �;:�a �-�A�� ���"/%P�!�V(�%!�A�h"X 0"/%PK��A�B5A���?"/���B #�;��57(�1$,-(7 ��J(�1/1�K��Y� �=K�"$���B #%>(7 f #��"$%�2�(V5A���H,�<:N����0'[���A< #���`%9 L(��9 0(�%P #���J�SuY #���B >��'(�1/E���N���(�"/K6.��� #(�"/1�"/�k ���"/%qKV(�%!�4"/%q ����:1/��(�%! �atb]�Mxm��K� #"$�A�y�=23�;(�1/%!�i L(�w7�;(�.?57(��B L(7EA���'0 #��"$%U'�(�Kn =(���.}K����H5�����"$���B #1X8}K���<���,m #�^(�1$13K��m����K�"/���H �%=(7 �;:�,���1$��%�%4%!����K�"X_-��.�� #�?���!20"$%��7a �W�n5A���9 #����1/��%�%�@�"$ 32f��,�1/.^N��J,��B20"/%��J ��4.�"/%!KV(��!.jK��A<=��1/�n #��1X8� ����JK�����%�"$.mR����(7 #"$�A�e��'& ���� �P�`����20"$ ��eK��Y� �=K�"/���B �%J��57(�1/,�(7 #��.F(7 � � � � :y'[�A�W ]23�^���V(7%��A��%�a�p"/�!%! �@�"$ v%�����.�%U1$"/EA�B 6�A�M ����o�?�A�mR ���"X5m"/(�1{<=��KL�-(7��"/%!< �7'f2f(�5����H,�<:N����4KL��(���EA�o(7 #���P��(���1$"/����%9 L(�EA��%&��'�.�"/%9 #,��!N-(���K��P.���5���1$�A��<=���B V@A��%�����K�"T(�1$1$8`20�����4 ����P%�����Kn #��,?<O��' #���U"/��"X #"T(71).�"/%9 #,��!N-(���K��:���B5���1/�����:.?�m��%+���� q"/�B5A�A1X5A�U ���� �;:�R �-(��!<��A�?"/K�a�xY��K�����.�1$8�@(���.�<��A%9 r"/<=���A�9 L(��B �1$8A@�"$ r������5Y"/.?��%�(J2f(�8���' �!,�.�EA"$��E6 ����W(�K�K�,��#(�Kn8o�7't #�?� �P�`� �������.�"/Kn #"$�A��%0(�%0.�"$%�K�,?%�%���.kN���1$�2`a

sP���W(�K�K�,��#(�Kn8=��'� ���� �P�6� ������%�,�1X #%z"/%z��(�%�"$1$84(7%�%���%�%!��.QNB8;K��A<=��,? �"/��EJ ���� � � � E ���p�K�,��95A��%i'[�A�o(y�-(��9 #"/K�,�1T(7�=�?���AN�1$��<jazb 'J #����%��kK�,��!5���%^(��!�k�-(7�#(�N��A1/"$Ki'[�A�� ����kK��A<4R��1/�n #�M�#(���E�����'42f(�5����H,�<:N����!%FK��A�!����%!������.�"/�?Ec #�����A%!"$ #"X5A�M1/"/�?�V(��h(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A��#(7 ���% � � ���{� � �y ������� ����k,?%��k�7'J #��� �P�6� �������Y.�,�K���%i�!��1$"T(�N�1$�Q����%�,�1X #%�@r�� ��mR���920"/%��v(;.�"$|����!���B 0 ]8m���6��'&(���(�1$8Y%�"$%P<:,�%9 WN��6"/�B5A�Aw7��.)a�xm,?KL��(; ���%9 W"$%0%�"/<=��1$�`(���."/���Sum������%�"X5A�:"$�eK��A<=�-(��!"/%!�A�j20"X #�eK��A<=<��A�?1$8Q,�%!��.F.�"$����Kn q�H,�<=���!"/K�(�1�%!"/<:,?1T(7 �"/�A��%��'f(^'[,�1$1{���A�?1/"/�?�V(��+�?���AN�1$��< �A�`�num������"$<����H #(�1{"$�H5���%9 #"/EA(7 #"$�A�y(�%`.��A���7@)'[�A�J�nu?(�<4R

���

Page 19: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

(a) (b) (c)

ï ¶�ÄrÓ árÓ ô ¸?¹�º`ÇÃ}¶·É�¸?Á�¸fËÛÌ�Ír¼�Ëh´`»·»;Á�´A¹�¼_Ãy¶¨²_Çf» �\É�¸?»¨¶·È�»·¶·Ár¼�É&�!ÇfÁAÈ�ǺAºAÃ�¸®½W¶¨¹]ÇÌ�¼�Ù�´AÇfÈrÃ}ÇÌ�¶·²� ô ¾$Æ ù �#�\È`ÇfÉ�Ír¼�Èo»·¶·ÁA¼�É&�bÈ`¶·É�ºN¼_ÃyÉ�¶�¸?Á�Ã�¼�»·ÇÌ�¶�¸?Á`É�Çf»·¸?ÁrÄ2Ì�Ír¼TµN¸?´AÁAÈAÇÃ�×"É�¼_º`ÇÃyÇÌ�¶·ÁAÄ�Ì�ÍA¼¤Ãy¼ZÅÄ?¶�¸?Á`ÉF¸fË�²Z¸?Á�Êf¼�²ZÌ�¶·Êf¼�ÇfÁAÈ�ǵ`É�¸?»·´AÌ�¼¤¶·Á`É�Ì�ǵ`¶·»·¶·Ì�¶�¼�Éb¶·Á"Ì�Ír¼�ÁAÇÌ�´rÃyÇf» ²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�¸?ÁoºAÃy¸fµ`»�¼�¹ ¶·Á�\Ç��%Ì�Ír¼!Ø�¸?´AÉ�É�¶·ÁA¼�É�Ù�»¨¶·¹]¶�Ì ��� âWÝ���� ���â?ø?ítÝ �hµ�� � �Eâ��ìø�Ý���� � �fë?íø]ÇfÁAÈ7�\²��+���Eâ��ì÷�Ý��� � î�÷�Wî®ítÓ Ú Ír¼!²Z¸�¼_ß�²_¶�¼�ÁtÌ�Éb¸fË Ì�Ír¼ ô ¾ÀÆ ùÞÇÃ�¼!¼_ÊÇf»·´AÇÌ�¼�È�ÇÌ : Ó��1/�7@�"/��d �,?KL����1f(���.�� �,�KLw7�F��ª����A�B�`(���.�d �,?KL����13�� 4(71�ar�9�V�A�A�B�S@ �!��%!����K� #"X5A��1$8Aa�sP��� #��%! `"/�B5��A1$5���%J%���1$5Y"/��Eo�A��1$8j #�?�41/"/�?�V(��q(�1/EA��N��#(7"/K6��"/E����B57(�1/,��U�����AN?1/��< �¬dWa ªA�0'[�A�J(�#(��?EA�0��'t57(�1$,���%z��'{���!�V(�1T��2�(V5A���H,�<:N�������(��?.o��1$�� � �"/��E+ ����01/�V(7.�"/��E`��"/EA���H57(�1$,��B�[%L�Sab]� �p"/E?a�£i23�4%�����2 #���4�!��%!,�1$ J�7'r(�����1X8m"$��Ei%!,�KL�y(i�����YK���.�,����: ��i #���U�����AN?1/��< ��'���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!GM�-(I #,���(�13K��A�B5A��K� #"$�A�}.��n_-����.}"$�}xm��K� �"/�A�~ªYa{xm"$��K��= #�����-(���(�N���1/"/K(������!�Vu?"$<o(I #"/��� ��.-(7%�����. 1/"$�����="/%i5Y"/�9 #,-(�1$1$8g"/��.?"/%! �"/��E�,�"/%!�-(�N�1$�h'[����< #�?�y.?"/%������ZR%�"$�A�D�!��1T(I #"/���c��dqa �A�`�7'f #�?��'[,�1$1&�����AN?1/��< �[%��A1$"/.y1/"$�����W'[�A�` #�?�oK���<���1$�� ��=��(���EA�=��'2�(V5����H,�<:N����!%620"X #� � � ���{� � �?@� #���;(��?��1/"$KV(7 �"/�A�h��'& #��� �P�`� � "$%q2f��1/1 �!,�%! �"$_-��.)ab]�o�-(7�! #"$K�,�1/(���@I #���>K����H5���Kn #"$5�����(7N�%��A1$,? #�W"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8UN��A,��?.-(��!8;"$%&EA"$5����=5A���98�(�K�K�,mR�#(7 ���1X8^NH8^ ���� �P�`� ��(��-(�1X8Y%�"/%�a��q1$ ����A,�E��h���7 q���!��%!���B #��.������!��@��A,��>K��A<=��,? #(7 #"$�A���'�K����H5���Kn #"$5�����(7N�%��A1$,? #�q"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8: #��(���%�"X #"$�A�='[���f�-(7 �,��#(71�K��A�B5A��Kn #"$�A�^(7 �%!��1$��K� ���.57(�1/,���%P��'p ����+ #��<�������(7 #,?���`.�"$|����!����K��6¤>N��� ]23�����k #���+2f(�1$1/%P,�%!"/��E4 #�?�v(7�-(�1$8Y%!"/%P��'K��A<=��1$�nu}%�(�.�.�1$�Q����"/�B #%4��'0 ����^�Y,?<�����"/K�(�1�.�"$%������!%�"/���}����1/(7 #"$�A���[%����hlW,?�����!�j(���.�h�A��w7��20"X #��@p���A�A�B�0%�����20%`(�E�������<����B +20"$ ��k #��� �P�6� �¢(��-(�1X8m%!"/%> #�o20"X #��"$���Aa��B�ia�+�^ ����`�� #�?���P�-(��?.)@� #��%! #%0'[�A��K��A�B5A��K� #"$�A�h20"X #�i ������A,?EA�mR *��2 %�����2 #�-(7 P ����`K��A�ZR����%����A��.�"$��E � ���{�:K�,?�!5A��%i(��!�h�?�� o��(��#(�N��A1$"/K�a �f�A��%!��GH,����B �1$8A@r #���h(����?1/"/K�(7 #"$�A�}��' #�����P�`����"$%>�?�� �!,?%! #"X_-��.j'[�A�><�"«u?��.h���>'[�A�!K���.kK����H5���Kn #"/���e����EA"/<=��%>(�%>2�(�%q(�1/%!���<=��"/�!"/K�(�1/1X8����� ���.}"/� ��(7����"�����!�i(���. �h����w��n20"$ #�y�Z���A�A�A�v(���.~d �,?KL����1P(7��.~���,?KLw����ª����A�B�na

���

Page 20: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

10 Gr 4

(d)

L

A

L

A

10 Gr 4

(a)

A

L

10 Gr 4

(b)

A

A

L

L

10 Gr 4

(c)

ï ¶�ÄrÓbé�Ó���¸WÈA¶�à`¼�ÈÞÉ�Ì�ǵ=¶·»·¶�Ì�×�ÈA¶·ÇÄfÃyÇf¹]É�Ëh¸fà �\Ç��2� � â��èâfâ?é�Ý �hµ�� � � â��ìø�Ý �\²�� � � â��ì÷ÇfÁAÈ �\È.��²_»�¸?É�¼ZÅ¡´rº2¸fË �\²��}Ó`Æ ¸?ÁrÄÅ¡É�Ír¸fÃyÌbÈAÇfÉ�Í�ÇfÁAÈ2È`ÇfÉ�Ír¼�È2»·¶·ÁA¼�É�Ã�¼_ºAÃ�¼�É�¼�ÁtÌ%Ì�Ír¼$µN¸?´AÁAÈ`ÇÃy¶�¼�ɸfËÛ²Z¸?ÁtÊf¼�²ZÌ�¶�Êf¼7��� M � â��,ÇfÁAÈÑǵ`É�¸?»·´AÌ�¼ ��� � � â��w¶¨ÁAÉ�Ì�ǵ`¶·»¨¶�Ì�¶�¼�É_ÝNÃ�¼�É�ºN¼�²ZÌ�¶�Êf¼�»·×fÓ��pö�»·¶¨Ár¼�ÇÃÉ�Ì�ǵ=¶·»·¶�Ì�×�µN¸?´AÁAÈAÇÃy× � � �Eâ���� � öA»·¶·Ár¼À¸fË Ì�Ír¼!¹]Ç&½r¶·¹¤´A¹ »·¶·Ár¼�ÇÃbÇf¹]º`»·¶�à`²_ÇÌ�¶·¸?Á7ÃyÇÌ�¼ � Ó� �J� V� �¡���&��K��A,?�#(�EA��.�NB8F #���o(�K�K�,��#(�Kn8M ���%9 U'[�A�J #�?� �P�`��� "$��xm��K� �"/�A�M£�@ 23�o�?�2 (7����1$8 #����EA���?���#(71z ����������� �"/K�(�1z�����YK���.�,����= #�h���A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�GF�-(I #,���(�1zK��A�B5A��K� �"/�A�D*��2��' (�"$�3"$�i(v #(�1/1�KV(V5Y"$ ]8�a?�W1/1��H,�<�����"$KV(�1�����%�,�1X #%f23���!�+�AN? #(�"/����.i,�%!"/��E;��ª��f����NH8Y%!����5%�����Kn #�#(71+<��Y.���%F��%!���yxm,�%!1/��5c(���.¢�p(���1/,�K�K�"�@>���A�A��(?@z'[�A�o #�?�e.���%!K��!"/�? �"/�A����'J �����H,�<�����"$KV(�1�(7�������Vum"/<�(7 �"/�A���z(���.^.���,�N�1/�J�?����K�"/%!"/�A�i5�����%!"/�A�?%>�7'{(��?�����A�?��"T(I #�+b �exm�b]��K�a��9�����A�B�����A,? �"/����%�� � ��� �h ��+%��A1X5A�f'[��� �����N-(�%!"/Kr*-��2`@B�+­����P� (���.4�J­+� ��� #�=%��A1X5A�J #�?�vEA��������(�1/"$%���.h��"/EA���H57(�1$,��J���!�AN�1/��<\'[�A� � � ��(7��.%� �;����%�����K� �"$5���1$8�@� x?d��>� #�~%���1$5A�e ����F<���(���*-��2 K��A���!��Kn #"/���¢��GH,-(7 #"$�A��%�@P� xm� �P� #�~%���1$5A�e ������GH,-(7 �"/�A�?%;'[���: #���Q%!��K�����.c�-(7��<=�A��"/Ki(���.~'[�A���J@z(���.�� xY­����\ #�F%���1$5A�Q'[�A�: ����%��-(I #"T(71/1$8=<=�m.?,�1T(7 ���.^.�"$%! #�!"/N�,m #"/���� üzó ��%!���6�q��������.?"/K���% �¢(���.��`�na

�4��� $ , �/."� *10�� ."� . 2�43� ,658790 � � �� 0 �43 ��58��0 K � � � , ����� ,67 � ��� �� � � 0�7 ! � 5 *-, �/."� *10�� , �

sP���yK��Y� �=K�"$���B #%^���B �����"$��E~ #��� �P�`���C�9�ª��o.���������. ���� ^�A�?1$8����¢ ����F���B8m%!"/K�(�1�-(���(�<��n #����%`%�,�KL��(�%6 ����o�`��(�%����7'��H,�<:N�����@� ����=�&�#(���.m #1z�H,�<:N�����@ (��?.M #�?�= ���<4R�����#(7 �,����`.�"X|t��������K��6N��n ]2f�����k ����J2�(71/1/%�@-N�,? W(�1$%��;�A�^ #���`KL���A%!���k2f(V5A���Y,?<:N���� �ra�q%6.�"/%!K�,�%!%���.�"/�Mxm��K� #"$�A�y£�@�%�,�KL�D.���������.?����K��o����%�,�1X #%6"/�F��GH,�"X57(�1/���H v(�%98Y<��? ��� #"$KN����-(V5Y"/�A,��!%��!��EB(7��.�1$��%�%� ����r2f(V5A���Y,?<:N����{(7 �20��"$KL�v ����3<=�Y.���1AK��m���=K�"/���B #%{(7���z��57(�1«R,-(7 ���.)@�N�,? 6�A�?1$8�"X'3 ������?�H8Y%!"/KV(71r.?"/%������!%�"$�A�M�!��1/(7 #"$�A� � ���p�+"/%`GH,-(�.���(7 #"$K�a�sP��"$%6"$%(�K��A��.�"X #"/���j'[�A�P ����v57(�1$"/.�"X ]8i��'� #��� �P�6� �Pa�lW���!�v23�U.�"$%�K�,�%�%> #��"$%WK���"$ ����!"/�A�^'[���A<(j%!1/"$EA�B #1$8h.�"X|t�������B v(���E�1/��a��D�;1/�Y�Awk(7 ` #���;1/"$���V(7�+%! #(�N�"/1$"$ ]8h.�"T(7EA�#(�<=%+���!��%!���B #��."/� �p"/E?a��;'[�A�0.�"X|t�������B >57(�1/,���%W�7'{ #���` #��<�������(7 #,?���6.�"$|����!����K��UN��� ]23�����e ����`2�(�1$1/%�asP���i1$"/����% � ����������%����H 4 ����i%9 L(���.�(���.�1$"/����(��`%! #(�N�"/1$"$ ]8FN��A,���.�(��!8 � � ��� . �`��� �'[�A�=<��A�?�mKL���!�A<�(7 #"$Ki2�(V5A��%�a0xY�-(7 #"/(�10<��Y.�,�1/(7 #"$�A��%4<=�m.?"$'¡8}"X Va&sP���e<=�A�!�j�!�V(�1$"/%ZR #"$KU%! #(�N�"$1/"$ ]8j.�"/(�EA��(�<�%W(�K�K��A,��B �"/��Ei'[�A�W<��Y.�,�1/(7 #"$�A��%W(����U�����Y.�,�K���.FNB8�(��-(71$8Y%�"$��E #���M��GH,�"X5�(71/���B �P�6� ��<=�m.���1J.����!"$5���. '[�A�h(��!N�"$ ��#(��98 � (��?. (����?1$8Y"/��E�K��!"$ �����"/(

ª��

Page 21: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

� M ��� . �J��� �}'[�A�Q #���yK��A�B5���K� �"$5���"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8cN��A,��?.-(��!8�(���. � � ��� . �J��� �'[�A�z #���q(�N�%���1/,? ��W�A�?���H%����q #���W1/�A�?E7R]%!���A�! r.-(7%��Q(��?.o.-(�%!����.Q1$"/����%z"/� ��"/E�aY�maHsP����%��<��Y.�"X_-��.g.�"T(�E��#(�<=%= #(�w��k"/�B #�D(�K�K��A,��B i #�?�k2�(V5����H,�<:N����^KV(7%�KV(7.��e.�"$%�K�,?%�%���.�"/�xm��Kn #"$�A���?a ªma�b '{ #�?�U���B8Y%�"$KV(�1�.�"/%!������%�"$�A�k�!��1/(7 #"$�A�h"$%WGH,-(7.��#(7 �"/K` #�����)@)(7%W%!����20��"/�xm��Kn #"$�A�`£�@�K��!"$ #����"/(`�9�V£H�)(7��.i�Z��A�)(��!� ��R "/��.���������.����H �(��?.vN��� #� � M �0(��?. � � �2f��,�1/.eN��:�!�����!��%����B #��.yNB8h5����9 #"/K�(�1 1/"/�?��%q"$� �p"$E�a��ma�sP���:�nuY ����B `��'z%�,?KL�y%9 #��(�"/EA�B 9R1/"$���4"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8kN��A,��?.-(���"$��%6%�����20%6 #���;57(�1/"$.�"$ ]8h�#(��?EA���7'f #�?�i�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,(������!�Vu?"$<o(I #"/���)a �+��5Y"T(I #"/���k��'& ����U"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8QN��A,��?.-(���"$��%q'[�!�A< %! ��#(�"$EA�B W5����! �"/K�(�11/"$����%i"$� �p"/E�a���K��A�!����%!������.�%Q #�} #�?�y��(���EA��%Q��'62�(V5A���H,�<:N�����%h"/� �p"$E�a3£}20�������.�"/%9 #"$��K� �"/�A�;N��� ]23�����i ����q�?�H8Y%!"/KV(71{�[%��A1$"/.;1/"$����%#�r(��?.o<=�m.���1 ��.-(7%�����.i1/"$����%#�&.?"/%������ZR%�"$�A�D�!��1T(I #"/����%6(����=K�1$�V(��!1$8F%������¢�¡'[�A�`����EB(I #"$5��i(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A���#(7 ���%#�na sP��� �P�`� �<��Y.���1������9'[�A��<�(���K��:"/%W�num����K� ���.F #�QN��:%#(7 �"/%9'�(�K� ��A�!8h"$'&1$"/����% � M �Q(��?. � � ��-(V5A�J5A���! �"/KV(71�1/"/�?�V(��3%���E�<����H �%q(7K�����%�%� #�?�6K��A<=��1/�n #�+��(���EA�J��' 2f(�5����H,�<:N����!%W20"X #�� � ���{� � �?@)"¬a��7a)20"$ ���"/�e ����;����E�"/�A�FN��A,���.���.MNB8� ����;1/"/�?�V(��+"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8j1$"/��� � "/��p"/E?a��mamsP��"/%f"/%�%!,�����1$8= #���JK�(�%��+'[�A��df�A,�%!%�"/�?��%�Gi(���.i23�V(�wH1$8o���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!Go�-(7 9R,��#(71�K��A�B5A��K� #"$�A�o*-��20%�@m%!��� ��"/E�aY���¬(B�&(���.e��N��S@H����%!����K� �"$5A��1$8�amb]�o �����%!�q�!��EA"$<���%z �����P�6� �����!��5m"$.���%>�numK���1/1$���B W����%!,�1$ �%P'[�A�P #�#(7��%�"X #"/���^ ��o(7N�%��A1$,? #�`"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8�a-�+�j ������ #�?���J�-(��?.)@)20�����y #���4%98Y<�<=�� ��!8BR]N��!�V(�wH"$��E^��|���K� �%v�7'3*-,?"/.F�����������! ]8e57(��!"T(7 �"/�A��%20"$ ��j ���<=�����#(7 �,����`N���K���<��J5A���!8j%! ����A�?E= ����v.?"/%! �,���N�(���K��6EA�!�A,��j%�������.k"/��K����V(7%���%�asP��"/%&"$�: #,��!�;1/�V(7.�%p #�+ ��#(��?%�"$ �"/�A�:(7 r(+1T(��!EA��� 57(�1/,��f��'t�`��(�%����7't�H,�<:N����z(7��.4.���5Y"/(IR #"$�A�o��'� ����+���B8Y%�"$KV(�1�.�"/%!������%!"/�A������1/(7 #"$�A��'[�!�A< GH,-(�.���(7 #"$K��H #���W.-(�%��?��.^1/"$���>20"X #��"$�K�,��95A� � "/����"/E�a��e�[K��W"$%q���� +%! #��(�"/E��H +(��B8Y<��A�!�:"/�?.�"/K�(7 #"$��E= ��-(7 W #���4(7K�K�,?�#(�Kn8e��' #����P�`��� �!��%�,?1$ #%6�-(�%6.��n #���!"/�A��(7 #��.)a�b]�D'�(�Kn U(71/1&�A����KV(��M%#(V8y"/%J #��(7 v ����; #�#(7�mR%�"X #"/���D #�F(�N?%��A1$,? #�Q"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8F�YK�K�,���%4%!�A<��n20�����!�Q20"$ #�?"/�D ����Q%��-(7.���.�����EA"/�A�D"/��p"/E?a��y��.��qN��� ]23�����D #���45����! �"/K�(�1&.��� ! #��.y1/"$���U ������A,?EA�� #���;1/�n'¡ #<=�A%! `"$�B #���!%���K� #"$�A���'z #���4.�(�%�����.D(7��.F%��A1$"/.����r�W1$"/����%J(���.� ����4��"$EA�B #<=�A%! +5����9 #"/K�(�1{.��7 � #��.F1/"/�?�v L(7�mREA���B � #�M ����j.-(�%��?��.�1/"$����a&b]�c�� #�����=23�A�!.�%o"$�g #�?"/%=KV(�%!�h #�?�e(����?1/"/K�(7 #"$�A�}��'+ �����`"$����N?,���E7R]��(���.-(�,� ��������!8}�A�?1$8MEA"$5���%=(��~��%9 #"/<�(7 ��i��'0 #���Q ��#(���%!"$ �"/�A�-(71��J�#(�%!����'�H,�<:N����q�`� �V�B�AªA� "�ªAªA�ma-b]�?.�����.k #���U(�K�K�,��#(I #�`5�(71/,��6��'p ����4�J�#(7%�����'p�H,�<:N����K��A�!����%����A��.�"$��EQ #�i #��(���%!"$ #"$�A�k ��^(�N�%���1/,? ��:"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8Q20��"/KL�F23�4K��A<=��,? ���.F,�%�"$��E #���h%#(�.?.�1/�h���A"$�B �<=�� ����Y. ��%!����l>,����!���k(���. �h����w��n20"$ #�7@q�����A�B�:'[�A�o¤ �?§��M"$%'[�A,���.� ��eN��k���A�m��D�[<�"$.�.�1/�;5A���! �"/KV(71f.-(�%!����.}1$"/���="/� �p"/E�a����[.����`"/%62f��1/1320"X #��"$� #���J��(���EA�q������.�"/Kn #��.jNB8 �P�`� �0a?sP���J.�"/%!K��!���-(��?K�8QN��� ]23�����h #�?�`(�K�K�,��#(7 ��`(���.Q��%9R #"$<o(7 ���.457(�1/,?��%r"/%z���� �"/K���(�N�1$��@AN�,m 3 ����W�!��1/(7 #"X5A�0���!���A�r��'t ���� �P�6� �D��%! #"$<o(I #�0.��Y��%���� J�SumK�����.c�Aa��B�ia)sP���4<=�Y.���1�"/%+%9 #"/1$1��!�V(�%!�A�-(�N?1$8�(7K�K�,?�#(7 ���@)K��A��%�"$%! ����B `20"$ #�e ����K��A�?K�1/,?%�"/����<o(�.?�U"/�yxY��K� �"/�A��£oN-(�%���.M��� �p"/E�a�£y�[K��na�sP���=(�N��5��:�nu?(�<=��1$�:%�����20%����2 (h����(�%����-(�N�1$�o��%9 #"$<o(7 ����7'P #���o(�K�K�,��#(�Kn8D�7'� #��� �P�6� � ������.�"/Kn #"$�A��%6KV(���N���AN? #(�"/����.�"$'0"X #%vK��Y� �=K�"$���B #%;(��!�iK���<���,m #��.�'[���4(k�#(7��EA�i��'P ����i2f(�5����H,�<:N����!%;"/� #���j5Y"/K�"$��"$ ]8���'+ #��(7 o�?����5Y"/.�"$��Ey ����k<�(Ium"/<U,�< 1/"$���V(7�;(�<��?1/"$_�KV(7 �"/�A�}��(7 #�7arsP�?"/%(�K�K�,��#(7K�8y��%9 #"/<�(7 ����!��GH,�"/�!��%v%�"/E���"$_-K�(��B #1X8�1/��%�%U�!��%!�A,���K���%U ��-(��MK��A<=�-(��!"/%����y20"X #��num������"$<����B L(�1¬@ ���qxj�A�>K���<���1$�� ��v%�(�.�.�1$�U���A"/�B q(��-(�1X8m%!"/%�a��0��<�(��!w7(7N�1$8�@�(�GH,-(��B #"«R L(7 �"$5��W���������fN��A,���.���%! �"/<�(7 #�>"/%r���� 3���A%�%!"/N�1$�W"$�o���!"/��K�"/��1$�>"X')�A�?1$84 #�?� �P�`����20"X #�K��Y� �=K�"$���B #%>��57(�1$,-(7 ���.j(7 �;:�"/%PK�����%�"$.����!��.)a�q%4'[�A1$1/��20%U'[����< �p"$E�ap£c�¬(B�S@ � E �e20����� � � � �?@{"¬a��7ap #���^.�"$%! �,���N-(7��K���%o(��!�

ªm�

Page 22: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

A

10

Gr

4

(a)

(b) (c)

ï ¶�ÄrÓ ÷�Ó �\Ç�� ô ¸?Á�Êf¼�²ZÌ�¶·Êf¼��&ǵ`É�¸?»·´rÌ�¼7¶·ÁAÉ�Ì�ǵ`¶·»·¶�Ì�×�Ì�ÃyÇfÁ`É�¶�Ì�¶�¸?Á8È`¶·ÇÄfÃyÇf¹2öñÌ�ÍA¼�ÎA¸�Ï ¶·É,»·¶·Ár¼�ÇÃy»·×É�Ì�ǵ=»�¼Tµ�¼�»·¸®Ï Ì�Ír¼�É�¸?»·¶¨È¿»¨¶·Ár¼fÝNǵ`É�¸?»·´rÌ�¼�»·×�´AÁAÉ�Ì�ǵ=»�¼¤ÇµN¸�Êf¼]Ì�Ír¼�ÈAÇfÉ�Ír¼�Èo»¨¶·Ár¼TÇfÁAÈ�²Z¸?Á�Êf¼�²zÅÌ�¶�Êf¼�»·×Ò´AÁAÉ�Ì�ǵ=»�¼�µN¼_Ì¡Ï�¼_¼�ÁEÌ�Ír¼�¹ � �hµ��]Ï�Ç�Êf¼�Á�´A¹wµN¼_à : ²Z¸fÃ�Ã�¼�É�ºN¸?ÁAÈ`¶·ÁrÄ'Ì�¸�Ì�Ír¼�»·ÇÃ�Äf¼�É�ÌÌ�¼�¹�ºN¸fÃyÇf» Çf¹�º=»·¶�à`²_ÇÌ�¶�¸?Á�ÃyÇÌ�¼ � ÇfÁAÈ �\²��FÈA¶·É�Ì�´AÃ�µ`ÇfÁA²Z¼,ÄfÃ�¸?´rº�É�ºN¼_¼�È � � Çf»·¸?ÁrÄ�Ì�ÍA¼TÉ�Ì�Ç&ŵ`¶¨»·¶�Ì¡×�µ�¸?´`ÁAÈAÇÃy¶�¼�É�É�ÍA¸®ÏÛÁ�¶¨Á �\Ç��}Ó

%! #(7 #"$�A�-(��98}"/�gdf�A,�%!%�"$����%!G���(7 #,���(�10K��A�B5���K� �"/�A�ta3sP����� � � �HEü �M(���.� #�H,�%K��A�?.�"$ �"/�A��%

O � ��%������9�V�B���Q(���. � � �g.��n_-���y #���M%#(�<=�DK�,��!5���aqb]� �� #�����

2f����.�%�@3K��A�B5A��Kn #"X5A�e"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8DKV(����?�� oN��j�AN�%����!5���.�"/�c(y%98Y%! #��< 20�?�����h.�"/%9 #,��ZRN-(���K���%Q(7���j��'J%! #(���.�"$��E7R�2�(V5A�j ]8Y���7�r ������!�h #�?�k1/"$���V(7�4"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8�"/%=����K���%!%#(��!"/1X8(�N�%!�A1/,? ���a�xm"$<�"$1T(��!1$8A@�(�%6%�������"$� ��"/E�a)£D��N-�n@ � � ¥¦�^'[�A�J2f��(�wH1$8F���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!GK��A�B5���K� �"/�A���[ #�?�o%�1$�A������'f #��� � E ���p�]R]K�,��!5��o"$%vK�1/�A%!�= ��k�������e�?�V(��` #����<o(u?"$<:,�<��' � � ���p���naYsP��������'[�����q ��#(���%!"$ �"/�A�= #�4(�N?%��A1$,? #�W"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8:�YK�K�,?��%P(7 �(v57(�1/,?�q��') �����`��(�%��?��'��H,�<:N����J20��"$KL�D"$%`5����98MK�1/�A%!�4 #�^ #�-(7 6��'31/"$���V(7�J"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8}�¡ #���=.-(�%!����.(���.e1$�A��E7R %������! >.-(�%!��1/"/�?��%0KV(��?���� +N��U.?"/%! �"/��E�,�"/%!����.h"/� ��"/E�a��k�[N����Sa�b]�kK��A�B #��(�%! �@"/�h%! #�!�A��EA1X8^���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!Gh�!��EA"$<���%> ����U%!1/�A���v�7'& #��� � E ���p�]R]K�,��!5��U"$%>_-�?"$ #�i��%!����p"/E?a�£��[K����S@ � � � ��(���.� ����Q.�"$%! #"$��K� �"/�A�MN��n ]2f�����~ #���Q1$"/����(��:(7��.~(�N�%!�A1/,? ��i"/�YR%! #(�N�"/1$"$ ]8hN���,���.-(��!"/��%`'[���` ����;%�����(��6<��Y.��j�[ ����;,��������6N��#(7��KL�D"$� ��"/E�a��F�[K��n@�%!���xm,�%!1/��5^(���.h�p(7�A1/,�K�K�"r�Z���A�B�7N-���3"$%PK�1/��(���1X8i%!�����ta�sP�?�6N?,���8B(���Kn8j.���"X5A���j"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8�mK�K�,��!��"$��Eq"$�v%9 #������EA1$8`�?�A�mRZd3�A,�%�%!"/����%�GJ*-��20%0�[1/��2f����N?�#(���KL�U"/� ��"/E�a�v��KV��� �!��<�(�"/�?%��'rK��A�B5���K� �"$5��; ]8Y���:'[�A�q57(�1$,���%+�7'3�`��(�%����7'3�H,�<UN����J(7 J1$�V(�%9 J,��e #�^�����V� A atsP�?"/%"/%>K��A�?%�"/%9 #���H q20"$ #�j #���U����%!,�1$ �%q��'zxm,�%�1$��5k(7��.��p(7�A1/,�K�K�"f�9�����B�7N���20���o'[�A,?��.k #��(7 #��"$%6 ]8Y���i��'0"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8k�mK�K�,��!%:"/�y #��������E�"/�A�M��'P.���20�B2�(7��.}*-��2 ���V(7�v #�?�oK���1/.2�(71/1�����1$,�<=��%6��'P��5A����K��Y�A1$��.D*-,?"/.D20"X #�D1/(���E����6.�����%!"$ ]8y.��!�A��"/�y #����.�"/�!��Kn #"/���D��'EA�#(V5Y"$ ]8�aYlW���?K���@mN�,���8B(7�H f.�"/%9 #,��!N-(���K���%3EA�������#(7 ���.i�?�V(��r #���0 #�A������.o��'t ����qK�(�5Y"X ]8KV(��h�A��1X8Q�������-(�EB(7 ��`.���20�H2f(��!.�%�@�(���.j #��"$%>.?�� #����<="/����%P #���6K��A�B5���K� �"$5��:KL�-(���(�K� ������'�"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8Aa

� K��A<��?1/�� ��WK��A�B5A��K� #"X5A� ��(�N�%!�A1/,? ��+"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8: ��#(���%!"$ �"/�A�=.�"T(7EA�#(�< '[�A�r57(��!"/�A,?%r57(�1«R,���%���'H ���<=�����#(7 �,����&.�"X|t��������K���% N��� ]23�����6 ����&2�(71/1/%�"/%�%!����20�v"$� �p"/E�a��`�¬(A�na �p"$E�a��v�[K��%�����20%r #���>.�"/%9 #,��!N-(���K��WE����A,��=%�������. � � aHb r"/%z�������v"/�4 #���Wdf�A,?%�%�"$����%!G;1/"/<="$ {¤ � �(���.i ���"/%��Sum��1T(�"$��%320�B8o"/�o ���"/%�K�(�%��+ ����+"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8;"$%�(�N�%!�A1/,m #���m.�"/%9 #,��!N-(���K���%0(��!����� PK�(����!"/��.h(V2f(V8iNB8i #�?�J����"$<o(��98;*-��2 (��?.h(7���+�AN?%����95A��.k"/�i(;%9 L(7 �"/�A��(��!8;'[�#(7<��7a

ªAª

Page 23: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

sP���:%!����K�"$_�K:���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!Gj*-,?"/.e���!�A�����! ]8j57(���"/(7 #"$�A��%v�¬�A� �t���B�>N��!�V(�wQ ����:%!8Y<4R<��n #�98^��'{ #�?�U���!"/<�(��!8i*��2 %!�o #��(7 W ����U.?"/%! �,���N�(���K��vEA����,��e%�������.k_-�!%! +N���K��A<=��%%�1$"/EA�B #1X8~����%�"$ �"$5��h�!�V(�KL��"$��E�"X #%o<�(Ium"/<U,�< ��'6(�N��A,? o�?§���£}(7 i¤e¥ �?§ ªM(���.c ������.���K�����(�%���%i�#(��?"/.�1X8}K��!�A%�%!"/��EM�����!��(7 �¤j¥ �?§��M(7��.cN���K��A<���%��?��EB(7 �"$5��h'[�A�;1T(7��EA���57(�1/,���%:��'0 #�?�i #��<=�����#(I #,��!�i.�"$|����!����K��QN��n ]2f�����~ #���i2f(�1$1/%�a sP��"$%4"/%:N���K�(�,�%��i ����%�����(��J.�"$%! #,?��N-(��?K���%JN���E�"/�e #�o.���5���1/���yK�1/�A%!���q ��i #���4K��A1/.h2�(�1$1�20�������4 #�?�U*-��2O"$%.���20�B2�(��!.)arsP��"/%;�num��1/(�"/�?%;20�B8} ����^����E�"/�A�~��'qK��A�B5A��K� �"$5A�h"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8y�num"/%9 #%;'[�A�1T(��!EA���� ���<=�����#(7 �,����J.?"$|���������K���%WN��� ]23�����k #�?�`2f(�1$1/%�a?sP���vN?,���8B(���Kn8j.�"/%9 #,��!N-(���K���%�num"/%9 #"$��Eh"$�D%9 #������EA1$8e���A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�G�*-��20%U(����=KL�-(���(�K� �����"$%���.�NB8M<U,�KL��%�<�(�1$1/���2�(V5����H,�<:N����!%^��%!��� ��"/E�a��D��N��!�n@)'�(�%9 #���vEA�!�A,��M%�������.?%:(���.M����1T(7 �"$5A��1$8k%�<�(�1/1{ ���<4R�����#(�1&(7<���1$"$_-K�(7 #"$�A�k��(7 #��%6(���.F'[�A�+ #��"$%J����(�%��A�F #�?�=N?,���8B(���Kn8y.���"X5A���y"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8����<o(�"$��%P��'�K��A�B5���K� �"$5��v ]8Y���7a

�4��� $ , �� �"! � , � ,�� � 7� �1! � * � 5 ! � 7 580 ,�� 0�� � $�& �('�� ��0�����

�q1$1B(��-(�1X8Y%�"/% (��?.v�!��%�,?1$ #%����!��%!���B #��.: #�H,�%�'�(����-(V5A�rN������v�AN? L(7"/����.6'[�A��(7�v��%�%����B #"T(71/1$8"/�?_���"$ ���1$84 #(�1/1�����K�1$�A%�,��!�q%!�U #�-(I f #�?�+"/�?*�,�����K��+��') ����W ��A�Q(��?.iN��7 � #��< 2f(�1$1/%r�A��1$8���B #���p #�?���A,�E��: #���3���?'[�A�!K���<����H z�7'-EA1/��N-(�1H<o(7%�%{K��A��%����!57(7 �"/�A�^���B�na��+NB5m"$�A,�%!1$86%�,�KL�(}K��A�?_�EA,��#(I #"/����"/%^(�<�(7 #�?��<�(7 #"$KV(�1W(�N�%9 #�#(7K� #"$�A�)a �W��5����9 #����1/��%!%h"$�� #��"$%Q%���K� #"$�A�2f�;%!����2O #�?�;(��-(�1X8Y �"/K�(�1��!��%!,�1$ �%+'[�A�+ #���4%!"/<=��1/"X_-��.h"/�?_���"$ ��:EA����<��n #�!8e(����4"$�e'[,�1/1GH,-(�1/"X L(7 �"$5��h(7��.cGH,-(��B �"$ L(I #"$5��k(7EA������<=���B �20"X #�� #���h���V(71/"/%9 #"$Ki*-��2 �num"/%9 #"/�?ED"/�g( L(�1$1�N�,? r_-��"X #�>����K�1/�A%!,����>%�, ��K�"/���H �1$84'�(��&'[�!�A< #���>���?.�%�@B #�H,�% �!,�%! �"$'¡8Y"/�?E` ����02f��(�w"/�?*�,�����K��v�7'� ����`.�"/%9 L(��B 0N��A,���.-(7�!8QK��A��.�"X #"/����%P"/�i ���� �P�6� �c<=�m.?��1�a

b]�O(71/1U�!��EA"$<���%e"/�B5���%! �"/EB(I #��.t@J����%!,�1$ �%���'�K��A<=�����������?%�"$5��~1/"/�?�V(��e%9 L(�N?"/1/"X ]8 (��-(�1«R8Y%�"/%g�¬xm,�%�1$��5 (���. �p(���1/,�K�K�"�@4�V�A�B�7N��j%�����2 ��-(7 F #���~"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8 ����<o(�"$��%k ]23�7R.�"/<=���?%�"/���-(�1A20"$ ��vK��A�B5A��K� #"$�A�:�!�A1/1H(Ium��%{(�1$�A��E0 #���r%��-(7�mR 20"$%��r.�"/�!��K� �"/�A�ta�sP�����!��'[�A�!��@(�%�(>_-�-(71m%9 #���U"/� �!,�%! �"$'¡8Y"/��E0 #�?��(�K�K�,���(�K�8v��'? ����f�!��%!,�1$ �%p���!��%����B #��.4"$�v ����3�?����5Y"$�A,�%%���K� #"$�A�)@�23�v��N? L(�"$�����+xi����%�,�1X #%0��' #���` ]2f�IR].�"$<�����%�"$�A�-(�1�*-��2 "/�j(4K�1$�A%���.hK�(�5Y"X ]8��'�(�%�����Kn >�#(7 �"/� ��� £B�4,�%!"/��E: ����+_-��"X #�+5A��1/,�<=�+K��Y.��J.���%�K���"/N���.^"$� �f��������23�� ��(���.��p(7�A1/,�K�K�"`�Z���A�A�A�620"$ ��}%��-(7 �"T(�13.�"/%!K��!�� #"$%#(7 �"/�A�D��'J�Y� �}�A�m�Q���A"$�B #%�a&xm��1$��K� ���.���+x�%�"$<:,�1T(I #"/����%q23�����o(�1/%!�^�����!'[�A�!<���.y'[�A�`K�(�5Y"X ]8F��'P(�%!����K� v�#(7 �"/� ��� ���Q #�.���<=�A��%9 #��(7 #�f ��-(7 & ������-(7 ! #������%z(��!"/%!"/��E+"$�U #�?�P<�"$.�.�1/�r�-(��9 &��'� #�?�PKV(V5Y"$ ]84(7���f'[,�1$1$8K��A�?%�"/%9 #���H z20"X #�4 #����%��P�AN? #(�"/�?��.4'[�A� ��� £B�`(���.4 #�?�����n'[�A���� ��`K��A��K�1/,�.?�� #�-(7 & ����"/�?*�,�����K��`��'� ����J_-��"X #�J���?K�1/��%�,��!�v%!"/���J"$%P����E�1/"/E�"/N�1$�q"/�i ����`K��A�B ��nuY q�7'� ����`������%����B "/�B5A��%! �"/EB(7 �"/�A�tafsP��� �P�`��� 2�(�%^%!�A1$5���.¢�Y,?<�����"/K�(�1/1X8g20"X #��1/"$���V(7�� #����<=%^.�"/%!K����SR #"$%���.�,?%�"/�?Ei #��� �f��(���wAR �>"/K��A1/%!�A�e%�KL�?��<=�:20��"/1$�v #�?�4���A��1$"/����(��> ����!< 2f(�%+ #�!�V(7 ���.�num��1$"/K�"X #1X8h,?%�"/�?Ei #���:%!��K��A��.y�A��.����J�q.-(7<�%ZRZd�(�%!�?'[�A�9 #�e%!KL����<=��a�sP��� �P�`� �¢ �"/<=�"/�B #��EA�#(I #"/����%! ����}2�(7%�� � � ����� A (���.} #���Q%!�-(7 �"T(�13.�"/%!K����n #"$%#(7 �"/�A��%9 #����2f(�%� � £ �D��� ü asP��� ���qx�2f(�%k%9 L(��9 #��. 20"$ �� (~<��� �"/�A�?1/��%!%^"/%��7 #������<�(�1J%! #(7 #�D(7 � �Aa0sP���*-,�"$. (�K�K���1$����(7 #��%eGH,�"/KLwH1$8 (�1$�A��E~ #���M.�"$|����!���B #"/(�1/1X8�����(7 #��. 2�(71/1/%jNB8 N?,���8B(���Kn8

ª��

Page 24: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

'[�A��K���%�@0 ������ "$ ^��"X #%Q #�?�y�?�A��"$���A�B L(71+ #�A� (���.¢N��7 � #��< 2�(71/1/%i20�?"/KL� '[����K��F"X Q #� #,��!�)azsP�H,�%�@r #���j.�"/%9 L(��B = #�A�g(���.gN��7 � #��< ����.�%o(�K� o(�%=�-(7 �,��#(�1P%!�A,��!K���%o��';�¡_?R��"$ ��U(7<���1$"$ �,�.����f.?"/%! �,���N�(���K���%W ��� #�?�U�-(���(�1/1$��1)N�(�%�"$K6*-��2 �Su?"$%! �"/��E="/�j #���6<�"$.�.�1$��-(��9 ��7'+ #���jKV(V5Y"$ ]8 � �f�����?�23�� ���(���.g�p(���1/,�K�K�"�@P�V�A�B�A�Sa �f�A��%���GH,����B #1X8A@3"/���A��.���� #�=<�"$<�"$Kq #�?"/%0%�K����-(��!"/��@�20�?���e%!�A1$5Y"/�?E; ����6��GH,�"$57(�1$���B �P�6� �c23�v #(�w�� � � � . �A� � � � :��� : � � ��� � #�m� : � � #�?� � . ��@V20�����!� ��� "/%� #���r.�"/<=���?%�"/����1/��%�%�KV(V5Y"$ ]86����"/EA�B �@� � "/%W ����4(�<=��1$"$ #,?.��v�7'& #���:"$��"$ �"T(�1t��,�1/%!��@ #�h"$%q"$ �%q"$��"$ �"T(�1�1$�mK�(7 #"$�A����(�1/1��H,�<=���!"/KV(71����%�,�1X #%P(��!�+�AN? #(�"/�?��.i'[�A� #� �?§��A� ��� �S@ : � �?�r"$%f #��� �+"/�#(7Kq.���1$ L(6'[,���K� �"/�A�t@�(���.i23����?'[����K��W #���+N��A,��?.-(��!8�K�����.�"$ �"/�A�?% � ��� . � � � � ��� . � � �?a?sP����%��JK��A��.�"X #"/����%�(��!�KL���A%!���h ���<="/<="/K0 #�?�6�?�H8Y%!"/KV(71 �?�7R]%!1/"/���7���7R �������� ��#(7 �"/�A�iK��A��.�"X #"$�A��%f'[�A�P5���1/�YK�"X #"$��%�a�q'�K��A,��!%���@m #����%��JK�����.�"$ �"/�A�?%�(��!�+���� P�!"/EA�����A,�%3%�"$��K��q �����8i(����q"/<=���A%!��.i"$�i����EA"/����%20�����!�o #�?�o(�<=��1$"$ #,?.��;��GH,-(7 �"/�A�M"$ #%!��1X'�"/%6���� U(����?���A���!"T(7 ��=(�%U"X v"$%vN�(�%���.��A�M �����-(���(�1/1$��1 N-(�%�"$KU*-��2O(�%�%!,�<��m #"/���k20��"/KL�F.��Y��%J�?�� J�num"$%! `����(��q #�?�4����.�%�a)�q1X #����,�EA�2f�>�-(V5A�W(��!EA,���.;"$�; ����0b]�B #���Y.�,�Kn #"$�A�4 #�-(7 r.�"$%! �,���N-(7��K��0���n*-��Kn #"$�A��%&'[���A< #���P2f(�1/1$%KV(��^N��+����EA1/��K� #��.^"/�i #�?"/%����!�AN�1$��< #���JEA1$�AN-(�1���|���Kn 0��'� #���+(�N���5��6�����!�4N��A,?��.-(��98K��A�?.�"$ �"/�A��%fKV(����?�� Va-sP���`.�"$%! �,���N-(7��K��`<=��KL�-(��?"/KV(71)��������E�8^1$�A%�%0(I P #���`N��A,���.-(7��"/��%.���1/(V8m%r #���> #��(���%�"X #"$�A�= ��4(�N�%!�A1/,m #�>"/��%9 L(�N�"$1/"X ]84(�%!%��YK�"T(I #��.�20"$ #�= #���q(������V(���(���K��q��'(��o,?��%! #(�N�1/�WEA1/��N-(�1-<=�m.��v��lW,��������q(���. �j�A��w��n20"$ ���@����A�A�B�&"/�; #�?"/%rKV(�%!��a?b 3�YK�K�,?��%(7 r(+1T(7��EA���p57(�1/,��P�7'� ����0EA��5A������"$��E`�-(��#(7<��n #���>�¡ #���>�J�#(7%�����'��H,�<:N����z"$�: #��"$%&KV(�%!��� #�iK��A<=������%#(7 ��U'[�A�q ���"/%W��������E�8k1/�A%!%4� �f���A%!%`(���.F�J,���@ ���A�BªY@�%!���: #�?�:GH,-(�1/"X L(7 �"$5��.�"/%!K�,�%!%�"$�A�k #�?������"/���Sa�b]�?.�����.)@)(�%>%��?�20��NB8hs���N�"T(�%>�� +(�1�a �Z���A�A�A�n@- #���6_-��%9 +EA1$�AN-(�1<��Y.��6�AN? #(�"/����.kNB8j%��A1X5Y"/��E; #���v1/"$���V(��!"/%!��.��P�6� � �9���20"$ ��h ����:(�N���5A�vN��A,?��.-(��98K��A�?.�"$ �"/�A��%P"$%

� � � . � � %!"/� " ���� � ���� � � + ��� 8 � � . #� �� �ü£ � ü � ü

" ü� ü � §

sP���iK��A��.�"X #"/��� � � �h'[���6 ����i(�N?%��A1$,? #��"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8eN��A,���.-(7�!8y"/�y #����"/�?_-�?"$ #��1$8 L(�1$1{KV(V5Y"$ ]8y�!��%�,?1$ #%6"/� #� � � �ü " ü F � ü � � �h(�% � �ü � �Q'[�A� � �;:p@�"�a ��a) �����������eN��A,���.�(��!8yK�����.�"$ �"/�A�?%v%9 L(�N�"$1/"$%��4 #���=*-��2`a�sP�H,�%: ����� ��#(��?%�"$ �"/�A�F #�k(�N�%!�A1/,? ��"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8:"$�o(6KV(V5Y"$ ]8=��'t_���"$ ��q(�%!����K� f�#(7 �"/�`�mK�K�,��!%�(7 f(v1/(���E����3�`��(�%��?��')�H,�<:N�����asP��"/%&.?"$|���������K���2f(�%{'[�A,?��.4 #�JN���1T(��!EA��%9 z(7 z¤ �?§��?a7b]�; ���"/%pKV(�%!�� #���P1$"/����(��pEA1$�AN-(�1<��Y.��v(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A�Q��(7 #� #� � "/%>�������o'[�A� ��� £A�o(7 +�`� �V�A�A�A�420��"/KL�k"/%>�A��1$8�?a��B� 1T(7��EA���{ #�-(��= #���P57(�1$,��0��'��J� ǵ`É �!�����A�! ���.="/�; #���>���!��5Y"/�A,?%r%!��Kn #"/���)aYlW���?K��>"/� #����'[��1/1/��20"$��EW.?"/%�K�,�%�%!"/�A�:23�P.��J���7 &.�"/%9 #"$��EA,�"$%��:N��� ]23�����= �����EA1$�AN-(�1Y<��Y.���%{"/�U ����_-��"X #�v(�%�����Kn +�#(I #"/�=KV(V5Y"$ ]8^'[�!�A< (�N�%!�A1/,? ��U"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8o"/�^ #���v"/�?_-�?"$ #��1$8i #(�1/1�K�1/�A%!��.KV(V5Y"$ ]8^'[�YK�,�%!"/��E=�A�h ����6����E�"/�A��%>(V2f(�8j'[����<\ #���` #���e(���.hN��7 � #��<�����.�%�a�s ��%9 #%>'[�A�(=K�(V5m"X ]8^��'&(7%�����K� >��(7 #"$� ��� ���4%�����2 #��(7 0 #���`���!��.�"$K� #��.k"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8��-(7 ! #���!��%�AN�%!���!5���.g���V(��: ����^KV(V5Y"$ ]8DK����B ����j.��F���� 4.�"X|t���:'[���A< #����%��Q���!��%����B #��.g�����!�Q'[�A����

£A�vK����?_-��<="/�?Ev #��(7 3 ����+.��n L(�"$1/��.�"$�?*-,�����K��+�7'� #���W����<=�� ��> ��A�Q(���.oN��� ! #�A<2�(71/1/%P"$%P"/��%!"/EA�?"$_-K�(��B P"/�Q #�?�6K��A�B #�Sum W��' #���`���!��%!���B q%9 #,�.m8Aa

�p"/�!%! �@�23���!,�%! �"$'¡8j #���4K��A<=�-(���"$%��A�kN��n ]2f�����y%! L(7N�"/1$"$ ]8^����%�,�1X #%+'[�A�+(o�-(���(�1/1$��1 N-(�%�"$K*-��2 "/�^ #�?�v"$�?_-��"X #��1X8o #(�1/1�K�(�5Y"X ]8Q20"$ #�^ #�?� ���qxj����%�,�1X #%0'[�A�P #���6KV(V5Y"$ ]8^�7'&(�%!����K� �#(7 �"/�i£A�?at�W%J%������y'[�!�A< �p"/E�at�m@t ����U*-��2O������_�1/��%W20��"/KL�y(��!�4GY,?"/KLwH1$8k��%! #(�N�1$"/%��?��."/�j #���:<="/.?.�1/�6�-(��9 +��'z(=_-��"$ ��U����K�1$�A%�,��!�:KV(7���-(���.?1$8^N��:.�"/%9 #"$��EA,�"$%�����.h'[����< ����

ª7£

Page 25: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓFítÓ Ú ¼�¹�ºN¼_ÃyÇÌ�´rÃ�¼ �hÌ�¸fº���ÇfÁ`ÈEÊf¼_Ã�Ì�¶·²_Çf»$Êf¼�»�¸W²_¶�Ì�×Õ²Z¸?¹�ºN¸?Ár¼�ÁtÌ �hµN¸fÌ�Ì�¸?¹���ºAÃ�¸fà=»�¼�É7ÇÌ� � ëâ�¶·ÁÞÇÑÊf¼_Ã�Ì�¶¨²_Çf»$²_Ç�ÊW¶�Ì¡×Þ¸fË,ÇfÉ�ºN¼�²ZÌ7ÃyÇÌ�¶�¸Ñá?â�Ë ¸fà �����}¾�Ã� � �\â��èâfârî�� �Wî®í&â�� �\»�¼_ËhÌ&�}Ý�����}¾�à � � �\â��ìø�� ��f÷â����\¹]¶¨ÈAÈA»�¼)�}Ý�ÇfÁAÈ �����}¾�Ã3� � �\â��ì÷�� ��f÷â��}Ó�Ô�¸?»·¶·È¿»·¶·Ár¼�ÉFÃ�¼_ºAÃy¼�É�¼�Á�Ì���$ÔÃ�¼�Éy´A»�Ì�É_Ý È`ÇfÉ�Ír¼�ÈÑ»·¶·Ár¼�É!²Z¸fÃyÃ�¼�É�ºN¸?ÁAÈ8Ì�¸�É�ºN¼�²ZÌ�ÃyÇf»HÃ�¼�É�´A»·Ì�É!Ëh¸fäÇfÁѶ·Árà`Á`¶�Ì�¼�»�×�Ì�Çf»¨»H²_Ç®Ê�¶�Ì�×fÝpÇÌÌ�Ír¼wÌ�¶·¹�¼�Éb¶·Á`ÈA¶·²_ÇÌ�¼�ÈåÓ

%�����Kn #�#(71P(������!�Vu?"$<o(I #"/���M"$�~xm,�%!1/��5}(��?.}�p(���1/,�K�K�"J�Z���A�B�IN��`'[�A�:(���"/�m_-��"$ ���1X8y #(�1/1KV(V5Y"$ ]8^'[�A�q(�1/1)57(�1$,���%W��'z¤�a�sP����8h����<o(7"/�k,?��KL�-(���E���.�,��B #"$1� #���n8kN���K��A<��U(7|���K� ���.NB8J #���r�-(7 �,��#(�1B ��#(V5A��1/1/"$��EP.�"$%! #,?��N-(��?K��32f(V5A��%{(��!"/%�"$��EP'[���A< #���z*-��2� #,?����"$��Eq(I ���� #�A�e(���.�N��� � ��A<�����.?%J��'& #���vKV(V5Y"$ ]8�atsP��������'[������@� #���v%! L(7N�"/1$"$ ]8Q #�?���A�98k.��n5A��1/�A����.�����!�6'[���0(��^"/�?_-�?"$ #��1$8� L(�1$1t���?K�1/��%�,��!�v"$%P�num����K� ���.k ��=N��`"/�^����(�%����-(�N�1$�`(�EA������<=���B 20"$ ��^ ���� ���+xQ����%�,�1X #%P'[�A�0(4%�,��=K�"/���B �1$8i #(�1/1)K�(V5m"X ]8Aa

sP���+<�( �!�A�3�Y,?<�����"/K�(�1�����%!,�1$ �%�(��!�+%�,?<�<�(���"$%���.o"/�� #���!���+EA�!�A,���%f��')_-EA,?����%PN���1$��2`a�p"/E�%�a�� ���V�;%!����2 #���6%���1/,? �"/�A��%0��'� #�����P�`���c20�?"/KL�kK��A���!��%!���A�?.k #�����+xQ����%�,�1X #%������%����H ���.}"$� �p"$EA%�ap�A�1���V£?a �+�� L(7"/1/%J�7'f #�?� ���qxF�!��%�,?1$ #%v(�1$�A��E^ #���;5A���! #"$KV(�1z<="/.mR��1T(7���`(����`EA"X5A���j"$� �p"/EA%�a)��#�����?a

�-�A�j �����%!1/"/E��H �1$8�%!,�������K���"$ �"/K�(�16df�A,�%!%�"/�?��%�G ����EA"/<=�M�7'h�¬¤ . �J�L� �¬�?§��A�?� . �?����B��[ ����;K���"X #"$KV(�1 5�(71/,��:�7'3 ������`��(�%����7'f�H,�<:N����`"$�e #��"$%JKV(�%!�="$%`�A�A�B���W #���4K��A��%! #(��B #%���B #����"$��E� #�����`"$����N?,���E7R]��(���.-(�, <��Y.���16(��!� � ¥ �¬�?§ ���B� . �?§ ���A�B�n@ �� ¥ �?§��A�B�Y@� ó ¥�� 6�A§ ªAª �:�V� � . W�B�n@7(���. � ü ¥��Z�ªm§X� . W�?§��A��£H�S@7(71/1H��57(�1$,-(7 #��.4(7 �;:^¥ ªm§��A�BªYa�p"/E?af��%!����20%^ ��-(7 i ]23�~.�"/%9 #,��!N-(���K��e2�(V5��M���H5���1$�A����%�@P"$��"$ �"T(�1$1$8�<="/<="/KLwH"$��Ey ����*-��2�R �,�����"$��E4"/�m*-,����?K��J��'� #�?�+ #�A�^(��?.QN��� ! #�A< KV(V5Y"$ ]8�2�(71/1/%�@?<=��5A�q ��2f(��!.�%0�V(�KL��� #�?����@H�n5A���B �,-(�1/1X84����%�,�1X #"$��Ev"$�=(6�������������U%!�A1/,m #"/���="$�4 #���>K��A<=��1$�� #�0.���<o(�"$�)a�sP�?"/%%�"X #,-(7 �"/�A�QK��A���!��%!���A�?.�%> ��=(�N�%���1/,? ��J"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8i(�%P�?����.?"/K� ���.hNH8 �p"/E�a?�k��(B�na

ªA�

Page 26: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓ ��Ó�Ô�¸?»·´rÌ�¶·¸?ÁAÉ ¸fË=Ì�Ír¼ ô ¾ÀÆ4ùoË ¸fà �����}¾�à � � �\â��èâfârî�� �Wî®í&â��}Ó Ú ÍA¼�¶¨ÁAÉ�Ì�ǵ`¶·»¨¶�Ì¡×$¶·É ǵ`É�¸?»¨´rÌ�¼fÓ

ï ¶�ÄrÓ���ÓWÔ�¸?»·´AÌ�¶�¸?ÁAÉp¸fËåÌ�Ír¼ ô ¾ÀÆ ùÑËh¸fà �����}¾�à � � �\â��ìø�� ��f÷â���ÏÛ¶�Ì�Í]²_»�¸?É�¼ZÅ¡´rº�ÊW¶�¼_ÏÛÉ,�hÌ�Ír¼ÛàAÃ}É�ÌÇfÁAÈ�Ì�ÍA¶�ÃyÈ�º`»�¸fÌ�ÉbË Ã�¸?¹ Ì�Ír¼!Ì�¸fº���¸fË Ç]É�¸?»¨¶�Ì�ÇÃ�×�É�Ì�Ãy´A²ZÌ�´rÃ�¼fÓ Ú Ír¼!¶·ÁAÉ�Ì�ǵ=¶·»·¶�Ì�×�¶·Ébǵ`É�¸?»·´rÌ�¼fÓ

xm�-(��?%����� �%0��'� #��� ���qxQ�!��%!,�1$ �%P������%����B ���.k"$� �p"/E?a��A�6(��?.j�?1/�� �%���'� #���J�?�A��"$���A�B L(715A��1/�YK�"$ ]8jK��A<����A�����B � �[20�?"/KL�e"$%W�������i'[���W,��?.�"/%9 #,��!N���.e�-(���(�1/1$��1)*-��2W�W"$� �p"$E�a���K��A�m_-��<� #�?�+(�N���5A�qK��A��K�1/,�%!"/�A��%��B #���0'[,�1/1X84.��n5A��1$�A����.i�-(7�#(�1$1/��1-N�(�%�"$K>*-��2�"$%r��%! #(�NmR1/"$%�����.Q"/�i #�?�J<�"$.�.�1/�W�-(��9 P��'� #���JK�(V5m"X ]8Q(��?.j"X #%�"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8;%9 L(��9 #%P.��n5A��1/�A��"$��E;NB8� ¥ �?§X���?aYsP���J����.Q����EA"/�A�?%�@H20�����!�+ #���q*�,�"/.o*��2� �,�����%�@�(�Kn 0(�%3%��A,��!K���%P��'�.�"/%9 #,��ZRN-(���K���%q ��� ����v��(��#(�1$1/��1)*-��2`a�sP����%��:.?"/%! �,���N�(���K���%q���!�A�-(�EA(7 #�` #��2f(���.�%W #���6K����H ������'p ����`KV(V5Y"$ ]8M�[%��-(��?%����� �%q(I � �?§��A��(7��. � �?§��BªA�n@?K��A1$1/"/.?�J(���.j'[�A��<\(��h��%�%!���mR

ª��

Page 27: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓåî_âWÓ`Ô�¸?»·´rÌ�¶·¸?ÁAÉ�¸fË4Ì�Ír¼$²Z¸?´rº`»�¼�È�¼�Ùt´`ÇÌ�¶�¸?ÁAÉ �këf÷ �����kë?í���Ëh¸fà �����}¾�Ã3� � �\â��ì÷���î�÷#�âfâ��}Ó Ú Ír¼¶·Á`É�Ì�ǵ`¶·»·¶·Ì¡×�¶·É%»¨¶·Ár¼�ÇÃy»�×�²Z¸?Á�Êf¼�²ZÌ�¶�Êf¼fÓ

#"/(�1/1X8i%! ��V(�.m8h2f(V5Y8h*-��2 20"$ ��k2�(V5����H,�<:N���� �}¥Oªm§ ����20��"/KL�k"/%>��%! �"/<�(7 #��.eN-(�%!��.�A�� ����+(V5����#(7EA�q.�"$%! #(���K��WN��n ]2f�����i ����W5���1/�YK�"X ]8;����(�wH%f"$� �p"$E�a-��maBsP��"$%357(�1$,��W"$%z"/��numK���1/1$���B 0(�EA�!����<����H 320"$ ��o #���W2�(V5A���H,�<:N����P��'� ����+<�(Ium"/<:,�< (7<���1$"$_-K�(7 #"$�A�;�#(7 ��������.�"/Kn #��.hNB8Q1$"/����(��f%9 L(�N�"$1/"X ]8i(���(�1$8Y%�"$%`��%!��� �p"$E�a��j��N-���na?sP���J2�(V5H8i*-��2 �YK�K�,���"$��%<���%! W��'p ����UK�(�5Y"X ]8j(7 � �m§��A�=��<=���-(�%!"/%�"$��E; #���v(�N�%!�A1/,? ��v��(7 #,��!�v�7'&"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8Aa

b]�D #�?��%!,�������K���"$ �"/K�(�1&2f��(�wH1$8y���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!GM�!��EA"$<��j��¤ . �J�L� �¬�?§�� . �A���A�B�4�[ ����K��!"$ #"$KV(�1>�J�#(7%�����'q�H,�<:N����="/%��BªA���?@&%!�����p"/E�ar����N-���: #���hK��A��%9 L(��B �%o���B �����"$��EM �����P�6� � (��!� � ¥ �¬�?§��A� . �Bªm§ �A�n@ �� ¥ W�?§��A�Bªm@ � ó ¥ � 6�A§��A� �c��� � . v��§ ª�� �g��� � �S@(���. � ü ¥ �9�V£?§ � . v�A§X�ªA�S@0(�1/1q��57(�1/,�(7 #��. (7 �;:¦¥ ªm§ �Aªm�Aa�sP�?�DK���������%����A��.�"$��E%��A1$,? #"$�A�:��'- ���� �P�`���F"/%�������%����H ���.�"/� �p"$E�aI�?a��W%&"/�U ����Pdf��,�%�%!"/����%�G:1$"/<="$ � #���3 ]2f�2�(V5��P���B5A��1/�A����%&�Sum �����.4 ��2f(��!.�%&�V(�KL�4�7 #�����&(���.4�n5A���B �,-(�1/1X8U�YK�K�,��B8v �����K��A<��?1/�� ��K��A<=��,? #(7 #"$�A�-(�1q.��A<�(�"/�)a3sP�H,�%�@q(�%^������.�"/Kn #��. NB8� #���M(��-(�1X8Y%�"/%^"$� xY��K� �"/�A�?%k�?aX�(���.��maX�A@ #���Q"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8�"$%4(�N�%!�A1/,m #��@�N�,? 4"$�� #��"$%UK�(�%��i ������!�Q�num"/%9 #%;(e.�"$����Kn #"$�A���'W�����n'[�����!��.g�����A��(�EB(7 �"/�A�¢�¡ #���^EA�!�A,���%�������. � "/%4����EB(7 �"$5A�V�U20��"/KL��N�����(�wH%= ����%!8Y<=<��n #�!8o��'� #�?�J%��A1$,? #"$�A�)�H #���J%!�A1/"X #�A�mR 1/"$w��0%! ���,�Kn #,��!�6�?���A�-(7EB(7 #��%f #��2f(���.?% � �(�%=%�������'[���A< ����k����1T(7��EA��.g%!�-(���%!���� #%i(7 � ���M(���. � ª7�M"/� �p"$E�az�?azsP���

ªA�

Page 28: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓ�îfîÓ ï »�¸�Ï à`¼�»·ÈAÉ$Ëh¸fà � � â��èâfârî�ÇfÁ`ÈѾ�à � �Wî®í&âWÓpÆ ¶·Ä?Í�Ì�¼_äÃ�¼_Ä?¶�¸?ÁAÉ,¶·Á8Ì�ÍA¼�Ì�Ír¼_Ãy¹�Çf»�\»�¼_ËhÌ&� ÇfÁAÈ�Êf¼�»�¸W²_¶�Ì¡×��hÃy¶�Ä?ÍtÌ&��àA¼�»¨ÈAÉ�²Z¸fÃ�Ã�¼�É�º�¸?Á`È�Ì�¸wÍA¶�Ä?ÍA¼_Ã�Ì�¼�¹�ºN¼_ÃyÇÌ�´rÃ�¼FÇfÁAÈ]»·ÇÃ�Äf¼_ÃHæ�¶¨Ár¼_Ì�¶·²¼�Ár¼_ÃyÄf×fÝAÃ�¼�É�ºN¼�²ZÌ�¶�Êf¼�»�×fÓ

%��A1$"$ #(��!8Q%!�A1/,m #"/���h��'p #���6K�,�N?"/K4�J"/�?��N�,��!E7RZ��(��?.-(�,j��GH,-(7 �"/�A�hKV(��eN��`'[�A,���.e"$�j ��������1T(��f'[����< � � � . �?� �� � � . ���Z� ¶ � � � � � � 20"X #�

� � � . �?� ©{%���KL� ������� . © � � . � �� � . ��ªI£H�� � � . �?� �� 1$� K��A%!� �����?� � � 4

� �� � � � � . ��ª��A�

20�����!�

ª��

Page 29: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓNî�ë�Órï�»·¸®ÏEàA¼�»·ÈAÉ;Ë ¸fà � �Eâ��ìø¤ÇfÁAÈ7¾Àà � ��f÷âWÓAÆ ¶·Ä?Í�Ì�¼_Ã�Ã�¼_Ä?¶�¸?ÁAÉ�¶·Á�Ì�Ír¼_Ãy¹]Çf»��\»�¼_ËhÌ&��ÇfÁ`ÈÊf¼�»�¸W²_¶�Ì�× �hÃ}¶�Ä?Í�Ì&�Fà`¼�»·ÈAÉ$²Z¸fÃ�Ã�¼�É�º�¸?Á`È�Ì�¸�ÍA¶�Ä?Ír¼_Ã$Ì�¼�¹]º�¼_Ã}ÇÌ�´rÃ�¼�ÇfÁAÈo»¨ÇÃ�Äf¼_Ã!æW¶·Ár¼_Ì�¶·²T¼�Ár¼_ÃyÄf×fÝÃ�¼�É�º�¼�²ZÌ�¶·Êf¼�»�×fÓ

© ü � � � ü � � ü � ü� ü . � ü

O£ � �ü � �ü � � ü ��� }ª � Eü � � . � � �� E � Eü

� �ü .�

� � óª � ü

��� �%�"$EA��� � ó �

� � � � � üü� ü ó ' ó � ü��� .

� ó � �ó � �ü � � Eó � Eü . � ü � �ó � Eü � Eó � �ü §4

�JEª � �ü . � � ü � � Eü > � � ü B �ª � �ü �� � Eü 4 ü §

sP��"/%v"/%v(kEA��������(�1/"$%#(7 �"/�A�y��'� ����o%!�A1/"X L(��98�2�(V5A�Q%!�A1/,m #"/���MEA"X5A���)@ '[���v�Su�(7<���1$��@ NB8

ª��

Page 30: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓNî�ø�Órï�»·¸®ÏEàA¼�»·ÈAÉ;Ë ¸fà � �Eâ��ì÷¤ÇfÁAÈ7¾Àà � ��f÷âWÓAÆ ¶·Ä?Í�Ì�¼_Ã�Ã�¼_Ä?¶�¸?ÁAÉ�¶·Á�Ì�Ír¼_Ãy¹]Çf»��\»�¼_ËhÌ&��ÇfÁ`ÈÊf¼�»�¸W²_¶�Ì�× �hÃ}¶�Ä?Í�Ì&�Fà`¼�»·ÈAÉ$²Z¸fÃ�Ã�¼�É�º�¸?Á`È�Ì�¸�ÍA¶�Ä?Ír¼_Ã$Ì�¼�¹]º�¼_Ã}ÇÌ�´rÃ�¼�ÇfÁAÈo»¨ÇÃ�Äf¼_Ã!æW¶·Ár¼_Ì�¶·²T¼�Ár¼_ÃyÄf×fÝÃ�¼�É�º�¼�²ZÌ�¶·Êf¼�»�×fÓ�W�n2f��1/10�Z���B�7£H�Sa �����W #�?�;(�N���5��:K��A�?%! L(7�H �%�@z�¬ª7£H�W��(�%J(�<=��1/"X #,�.?�v©=¥ �?§��B�Aª;20��"/KL�"/%�5����!8^K�1/�A%!�J #�4 #���`<�(Ium"/<:,?<\(�<=��1$"$ #,?.��+��' #���`%!�A1/,? �"/�A�Q%!����20�k"$� ��"/E�a?�?a

sP�������+xe����%�,�1X #%6������%����B ���.�"$� ��"/E�a����h(71/%��^"$��.�"/K�(7 #�v #���=�num"/%9 #����K��=��'r #���=�����SR'[���!����.k.���20�H2f(��!.y.?"/����K� �"/�A�h��'&.�"$%! #,?��N-(��?K��:���!�A�-(�EA(7 #"$�A���[%����:%���GY,?����K��4��'z%��-(7�mR%����7 #% � �?§X���?@ � �?§ £H�m@p(���. � ��§ �A�A�:(���.� #�?�h(7N�%��A1$,? #�o"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8M�7'> �����-(���(�1/1$��1rN-(�%�"$Ko*-��2 � � ªY§$���m@p%����j(�1/%!� �p"/E�ar�ªA�SapsP���^"$��"$ �"T(�1&��5A����%!���m�7 ��7'> �������A�!"/�����H #(�1)5A��1/�YK�"X ]8Q���V(7�> ����v,?�������>2f(�1$1r��%�������(I � �m§$���A�PK�����(7 #��%q(=1T(��!EA�`(�<4R��1/"X #,�.?�v.�"$%! �,���N-(7��K��U20�?"/KL�����!�A�-(�EB(I #��%W.���20�B2�(��!.�%=��%!���:%!�-(���%!���� `(I � �?§ £H�A�Sab #%;1T(7��EA�i2f(V5A��1$����E7 #�c%!�����c"/�} ����^����E�"/�A�gªA� � � � �B�k'[�A� � �?§ £H�e%�,?EAEA��%9 #% #�-(I 6 ���"/%`.�"$%! �,���N-(7��K��="/%J��'fN�,���8B(7��K�8F ]8Y���7a�sP�?"/%`"/%`K�����%�"$%! #���B v20"X #�F #���;1/"$���V(7�

�A�

Page 31: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓAîZárÓ?ï »�¸�Ï�àA¼�»·ÈAÉ�Ëh¸fà ���Eâ��ì÷$ÇfÁ`È�¾Àà � î�÷#�âfâWÓtÆ4¶�Ä?ÍtÌ�¼_ÃpÃ�¼_Ä?¶�¸?ÁAÉp¶·Á¤Ì�Ír¼_Ã}¹]Çf» �\»�¼_ËhÌ&� ÇfÁ`ÈÊf¼�»�¸W²_¶�Ì�× �hÃ}¶�Ä?Í�Ì&�Fà`¼�»·ÈAÉ$²Z¸fÃ�Ã�¼�É�º�¸?Á`È�Ì�¸�ÍA¶�Ä?Ír¼_Ã$Ì�¼�¹]º�¼_Ã}ÇÌ�´rÃ�¼�ÇfÁAÈo»¨ÇÃ�Äf¼_Ã!æW¶·Ár¼_Ì�¶·²T¼�Ár¼_ÃyÄf×fÝÃ�¼�É�º�¼�²ZÌ�¶·Êf¼�»�×fÓ

%! #(�N�"/1$"$ ]8o(��-(�1X8Y%�"/%P20��"$KL�h�?����.?"/K� �%W�?��EB(7 �"$5��v(7<���1$"$_-K�(7 #"$�A�i��(7 #�J'[�A�� ����vN?,���8B(���Kn8<��Y.��>"/�;2f��(�wH1$8=���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!G��!��EA"$<���%W��%����q.-(7%�����.Q1/"/�?�>"$���"/E�a-�:��N��!�r(��?.o"$ �%�#(��?"/.^.���K�(V8Aa�sP���6"/��"X #"T(71�5���1/�YK�"X ]8i��5A����%!���m�7 q����(��P #���`N��� � ��A<¦��' #�?�6K�(V5m"X ]8j(�1/%!�K��!�V(7 ���%3(61/(���EA�0(7<���1$"$ �,�.���.�"$%! �,���N-(7��K��7@YN?,? fN���K�(�,�%!�WN�,?�8A(���Kn8�.?"/%! �,���N�(���K���%�(��!�KL�-(���(�K� �����"$%���.eNB8h�!��1/(7 #"X5A��1X8Q1T(7��EA�`����EB(7 #"X5A�6EA����,��k%!������.�%q �����%!�:.�"$%! #,?��N-(��?K���%W.������ U�����A��(�EB(7 ���,��B2f(���.?%�apsP�?�o ]2f�k<�"$.�.�1/�;%!�-(���%!���� #%U"/� ��"/E�a&���h(�1/%!�k"$1/1/,?%! #��(7 #� #���02f(�5����H,�<:N����3KV(�%!KV(�.?"/��E` #��2f(���.�%z #�?�W<=�A%! z,?��%! #(�N�1/�>�A���7�H(�K�K��A��.?"/��E` #�`1/"$���V(7�(��-(�1X8Y%�"/%6 #���o"/��"X #"T(71r1$�A��Ej2�(V5A�^.�"$%! �,���N-(7��K��i%!�����g(I � �?§ £H�k"/%v������1T(�K���.�20"X #�(y%!���A�9 #���=1/"$���V(7��1$8M,���%9 L(�N?1/�^%�����(��=�A���^NB8 � �A§��A�?a&sP���j.��n5A��1$�A��<=���B ���'W ����(�N�%!�A1/,? ���1X8�,���%9 L(�N�1$�;%�����(��v"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8h"/%`K�1/�V(7��1$8k%������D"$�M%!�-(���%!���� �%:(7 � �A§��A�

�?�

Page 32: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓñî�é�Ó��F¸fÃy¶�Â_¸?ÁtÌ�Çf»ñÊf¼�»·¸�²_¶�Ì�×2ÇÌ�� �Eâ��ìé�Ë ¸fà � �Eâ��èâfârî,ÇfÁAÈ"¾�à � �Wî®í&âWÓ

ï ¶�ÄrÓ�î�÷�Ó��F¸fÃy¶�Â_¸?ÁtÌ�Çf»bÊf¼�»�¸W²_¶�Ì�×�²Z¸?¹�ºN¸?Ár¼�Á�Ì�ÇÌ�� � â��ìé'Ëh¸fà � � â��ìø'ÇfÁAÈÕ¾�à � ��f÷âWÓ�p¼�»�¸W²_¶�Ì�×"ÃyÇfÁAÄf¼�Ë ¸fà �+�Câ��ûá�é2ÇfÁAÈ � � î �èâ?ø7¶¨É$¹]ÇfÈr¼�É�¹]Çf»·»·¼_Ã�Ì�¸�ÉyÍr¸®Ï Ì�Ír¼]É�Ì�Ãy´A²ZÌ�´rÃ�¼¤¸fËÌ�Ír¼wÎA¸®Ï!Ó(���. � ªm§X���?apxY #�!"/K� �1$8M%����V(�wH"$��E�@� ������!�Q�num"/%9 #%;(e%!<o(�1$13.?"$|���������K��QN��� ]23������ ����K��!"$ #"$KV(�1��J�#(�%!����'z�H,�<:N����!%q'[�A�>1/"$���V(��W(���.e(�N�%���1/,? ��U"/�?%! L(7N�"/1$"$ #"$��%�'[�A�q¤ �?§��?@�N�,? "$ &"$%&%��`%�<�(�1$1Y ��-(7 & #�?�>�!��%!�A1/,? �"/�A�U��'� ����P�H,�<=����"$KV(�1?K��Y.���2�(7%r�?�� z%�,��=K�"/���B z #�`.��SR #��K� r"$ �a�sP���0.�"$%! #,?��N-(��?K���2f(�5����H,�<:N�����@Y20�?"/KL�;"/%&��%! #"$<o(I #��.4N�(�%���.��A�4 ����>(�5�����(�EA�.�"/%9 L(��?K��oN��� ]23������ #���;5A��1/�YK�"X ]8F����(�wH%:"/�F #����<�"$.�.�1$�4�-(��! v��'� ����=1T(�%9 U%!�-(���%!����

�Bª

Page 33: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï ¶�ÄrÓWî®ítÓ Ú ¶·¹�¼HÍ`¶·É�Ì�¸fÃ�×À¸fËAÌ�Ír¼�Ír¸fÃy¶�Â_¸?ÁtÌ�Çf»tÊf¼�»�¸�²_¶·Ì¡×w²Z¸?¹�ºN¸?Ár¼�ÁtÌ ÇÌ4Ì�Ír¼�²Z¼�ÁtÌ�Ã�¼H¸fË`Ì�Ír¼H²_Ç®Ê�¶�Ì�×ÇÌ � �Õâ��ìø$ÇfÁAÈ�¾�à � ��f÷â!Ëh¸fÃ�É�Ír¸fÃ�Ì �hÌ�¸fº��pÇfÁAÈ�»�¸?ÁrÄ �hµN¸fÌ�Ì�¸?¹���Ì�¶·¹]¼�Ã}ÇfÁrÄf¼�É_Ó Ú Ír¼%Èr¸fÌ�Ì�¼�È»·¶¨Ár¼F¶·Á�Ì�Ír¼ÀÌ�¸fº�º=»�¸fÌHÃy¼_ºAÃ�¼�É�¼�ÁtÌ�É�Ì�Ír¼ ô ¾ÀÆ4ù�Êf¼�»�¸W²_¶�Ì¡×�¼�É�Ì�¶·¹]ÇÌ�¼$Ëh¸fÃ�� �WÌ�Ír¼$ÈAÇfÉ�ÍA¼�È2»·¶·Ár¼�¶·ÁÌ�Ír¼wµ�¸fÌ�Ì�¸?¹ º`»�¸fÌbÉ�Ír¸�ÏÛÉ%Ì�Ír¼ ô ¾ÀÆ ùÒ¼�É�Ì�¶·¹]ÇÌ�¼w¸fË�Ì�ÍA¼!Ír¸fÃy¶�Â_¸?ÁtÌ�Çf»åÊf¼�»�¸W²_¶�Ì¡×2Çf¹�º=»·¶�Ì�´AÈr¼fÓ"/� �p"$E�a ���i"/% ��¥ ªm§ �A��20��"/KL�y(�E�������%+2f��1/1 20"$ #�� ����U57(�1/,?�:�AN? #(�"/����.e'[���A< 1/"$���V(7�%! #(�N�"/1$"$ ]8o(��-(�1X8Y%�"/%6�[%���� ��"/E�a��^�[N����Sa

b]�F�A��.����+ #�Q.���<�����%! ��#(7 ��U #���4GH,-(7�H �"$ #(7 #"X5A�;(�K�K�,���(�K�8��7'r ����4<=�m.���1 23�;K��A<=�-(��!� #���> #"$<��>��5��A1/,? �"/�A����'� #�?� �P�`���}%!�A1/,? �"/�A�=20"$ ��� #��(7 ��ANm L(�"$����.='[���A< ���+x�(7 3 ����K����H ����W��') #�?�WK�(�5Y"X ]8h� % . �?� �¬�m§ � . ª��B�na�sP���q<=�A%! r%9 #�#(7"/EA�B �'[���!2f(���.�K��A<=�-(��!"/%����="$%�AN? #(�"/����.e'[�A� � �¬�m§ � . ª�� . � �0%�"/�?K��: #�?�4,���.�"$%! #,?��N���.F*-��2 (7 J ���"/%q1/�YKV(7 �"/�A�h�-(�%J����������A�!"/�����H #(�1m5���1$�mK�"$ ]8AaAx?(�<=��1/�r57(�1/,���%p'[����< ���� ���+x:(��!��K���<��-(7����.:20"X #�: �����57(�1/,���%��' #���`1/��(�.�"$��E: #����<=%>"$�i #���6(��?�����Vum"/<�(7 #�J%!�A1/,m #"/���QEA"$5����jNH8F��%����v�W��������.�"«u^�J�

� � � . ª��B� � ó�ó �¬�?§ �A���i��ª7�B� �� § � § .20�����!� � ó�ó "/%W #���;���A�!"/���A�B L(�1 5A��1$�mK�"$ ]8kK��A<=���������B `��'r #���4��"/EA���B5A��Kn #�A�6��'z #�?�=1$"/�mR�V(��!"/%!��.4���!�AN�1/��<O(7��. � � � . ª��B� "$%{EA"X5A���4NB8v #���P%!�A1/,? �"/�A�U��'���GH,-(7 �"/�A�j�Z��p(7 � ª��masP����KL����"/K��3��'����B8Y%�"$KV(�1m�-(��#(7<��n #���!%�'[�A� K���<��-(7��"/%!�A�UN��� ]23�����4 #��� ���+xU(��?.:<��Y.���1����%�,�1X #%`"/%6(Q.���1$"/K�(7 #�;"/%!%�,��7a�sP���=<��Y.���1p"/%`<���%! 6(�K�K�,���(7 #�=���V(7�` ����4 #���!��%!���A1/.y��'"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8Aa{b]�gK��A�B ��#(�%9 V@rN���KV(�,�%!�e��'W #���h1/"/<="$ ���.}�!��%���1/,? �"/�A����'+ ���� ���qx�K��m.��7@"$ �%>�?����.?"/K� �"/�A�?%W��'p"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8oKL��(��#(�Kn #����"/%9 #"$K�%q�?�V(��>K��!"$ #"$KV(�1$"$ ]8o(����61/��(�%! W(�K�K�,���(7 #�7� #���J.?"/%! �,���N�(���K��`(7<���1$"$ �,�.��>"/%f5����!8i%�<�(�1/1�(���.i ���� ���+xo%9 L(�N�"$1/"X ]8��!��%!,�1$ �%0(����q ����<���%! �5Y,�1$������(�N�1/�W20"$ #�Q�!��%!����K� 0 #�4.�"$%�K����� �"/%�(7 #"$�A�i���!���A�!%�a��+�i ����J�� #�?�����-(7��.)@?'[,��ZR #�����J(V2�(V8h'[���A<� #�?�:K��!"$ #"$KV(�1 ���A"/�B V@�20�������U ����;(�K�K�,��#(7K�8h��'z #�������qxh"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8����%�,�1X #%U"$<��?����5A��%�@� #����<��Y.���1z���!��.�"$K� �"/�A��%vN���K��A<=�=1/��%!%4(�K�K�,���(7 #��.�,��� ��k #�?�o"/�YRK��!�V(�%!��.���(���EA�j��'+�?�A��1/"$���V(7�4��|���K� �%�20��"$KL�c"X ;.��m��%��?�� i(7K�K���,��B �'[�A��a&sr8Y��"$KV(�1$1$8�@<������mKL�?���A<�(7 #"$Ko(7<���1$"$ �,�.��o<=�Y.���1$%:"/��'�(��U%�,������!K���"X #"$KV(�13����E�"/<=��%:,��?.����ZR]���!��.�"$K� #���U%#(7 �,��#(7 �"/�A�k(�<=��1/"X #,�.��6(��?.e��5A���ZR]���!��.�"$K� + ����:%�(7 #,���(7 #"$�A�h �"/<=�v%!KV(�1$��a�sP���:%!��

�A�

Page 34: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

��'3���B8m%!"/K�(�1&�-(���(�<��n #����%JKL���A%!���y'[�A�+K���<��-(7��"/%!�A����'3����%�,�1X #%`"/%J(QK��A<��?���A<="/%!�:N��SR ]2f�����4 #�?��%��3 ]2f�JK��A�?*-"$K� #"$��E>"/�?*-,?����K���%�a7����"/1$�r ����fK�,����!���B &<=�m.���1H������.�"/Kn #"/����%{(��!����� fK��A<=��1/�n #��1$8:'[�!���W'[�!�A<� #���q(�N��5��q.��n_-K�"$����K�"/��%�@ ��"/E�a-��`.���<=�A��%9 #��(7 #��%f����<o(7��wAR(�N�1$�^(�EA������<=���B =N��n ]2f������ #�������+x}(��?.g<=�m.?��1��!��%�,?1$ #%�a&sP���^<��Y.���1�"/%4K�(��-(�N�1$���'0KV(7�? #,��!"/��Ej5A���!8D_����i.��n L(�"$1r�7'P #���= #��<=���A�#(�1r��5��A1/,m #"/���D��'P �����*-��2`a�b]�}�A��.���� #�j<o(I #KL�� #���=���-(7%���%6N��� ]23�����M #��� ���+xF(���. �P�`��� ����%!,�1$ �%�@)20�����D%!�A1$5Y"/�?E^ �����P�6� �c ����U"$��"$ �"T(�1�.�"/%9 #,��!N-(���K��U��,�1$%���%W23�����U1/�YKV(7 ���.h(7 ��¥ �?§ ª=(���. � �A�?§��=(7 #"$<�� � W�?§ �A�ma�sP�?"/%:"$%:(��}��<���"$��"$KV(�1&KL����"/K��o%�"/�?K��o ����i�nu?(�Kn ;K��A�!����%����A��.�����K��N��n ]2f�����; #���P.?"/%! �,���N�(���K���%zKV(�,�%!��.;NB8U ����� #,��!��"/�?EJ���A���-(7�#(�1$1/��1B*-��2g���V(7�{ #��������.�%��'{ ����vK�(V5m"X ]8h(���.h ����6"/��"X #"T(71)K��A�?.�"$ �"/�A��%P'[�A�P ���� �P�`� ��"/%>���� WwY�?�20�ta�sP���U(�<4R��1/"X_-KV(I #"/���:�#(7 ��0,��= ��J #"/<=� � �A§ �J2f(�%z��%9 #"/<�(7 ���.=(�%�%!,�<="/��E`�num���A�����H �"T(�1-E�����2P #��AN? #(�"/����.Q'[���A< #���6(V5A���#(�EA�6��5A���W%!��5A���#(�1��A%!K�"$1/1T(I #"/����%f��' #�?�6GH,-(7�H �"$ ]8#� � �

� M � ! � ó � M � ! 1/� � � M � ! � ó� M � ! '5.20�����!� � M "$%6 ����i1$�mK�(�1z<o(Ium"$<:,�< ��'P ����o������"/���A�B L(�1z5A��1/�YK�"X ]8M��N�%����!5A��.�(7 U �"/<=�� M (7��. � M � ! � ó � M � ! "$%W #�?�:(����?���Vum"/<�(7 #�v������"/�Y.k�7'z�A%�K�"/1/1/(7 #"$�A��%6�[%����: ��A�e��1$�� W"/��p"/E?a���A�n@��f(���.�� � �v.������7 #"/�?E� ]23�iK��A�?%���K�,? #"X5A�4<�(Ium"/<�(?a?�M�v_-�?.k #�-(I #� � ¥ £20��"/KL�h"/%01T(7��EA���� #�-(��^ #�?�U(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A�o��(7 #�`'[�A�� #�?�v<=�A%! W(�<=��1$"$_-��.Q��1T(��?�`2f(V5A�������.�"/Kn #��.�NB8D(j1/"$���V(��J%9 L(�N?"/1/"X ]8F(��-(71$8Y%�"$%o�¡20��"/KL�D"/%6�?§��A�B�na�sP��"$%v"$%v�Sum����K� #��.}N��SRKV(�,?%��o"$�y ���"/%6%�"X #,-(I #"/���F ����oE�����2P #�M�#(7 ���"$%6.?�� #����<="/����.D���7 U�A�?1$8�NB8F #���=1/"$���V(7�(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A�t@�N�,m i(�1$%��yNB8} #���j�������-(�EB(7 �"/��E�_-�?"$ #�j(�<=��1$"$ #,?.��o'[�����H ���'> #���j1/�IRKV(�1$"/%!��.k.?"/%! �,���N�(���K��v2�(V5A�4���B5A��1$�A����atsP�?�U'[����GY,?����Kn8e��'z�A%!K�"$1/1T(I #"/����%P"/%>��%9 #"/<�(7 ���.NB8j(�5�����(�EA"/�?E=��5����>(;'[�n2 �A%!K�"$1/1T(I #"/����%3 ����`GY,�(��B #"$ ]8#� E ª "

� M � ! � ó � M � ! §sP���=(������!�Vu?"$<o(I #�:'[����GH,�����Kn8F"/%+'[�A,?��.� #�^N�� #� E ¥ �Bªm§��Q20�?"/KL�M(�EA������%J5A���!8e23��1$120"$ ��M #�?�o1/"$���V(7�6%9 L(�N?"/1/"X ]8�����%�,�1X #%:�7'0�Bªm§ �ma��-�A�v1/(���E��; �"/<=��%` #��"$%657(�1$,��=.���K����V(7%���% #� #� E ¥ ª��?§��?az�q%�%�����20��NB8cxm,�%!1/��5g(���.���(��A1/,?K�K�"U�9�V�A�B�7N��S@{ #���j'[����GY,?����Kn8���'(i2f��(�wH1$8�������1/"$���V(��W%! #(7 #�;K���������%����A��.�"$��Ei #�j(Q��1/(����U2f(V5A�;20"$ #�y(��F��GY,?"/1/"$N���"$,�<(�<=��1/"X #,�.�� � ��� � � � � F � �ó "/%��� E � E � �HEó � ����� ü a&sP��"$%;'[����<:,�1/(eEA"$5���%�(����%9 #"/<�(7 ��6�7'��� ¥ ª��?§��;20�?"/KL�k"$%0"/�j�numK���1/1/���B +(�E�������<����B W20"X #�^ #���v�AN�%����!5���.k57(�1$,����' #� E '[���41T(��!EA�i #"$<���%4(�%42f��1/1¬a �p"$�-(�1/1X8A@ ���� ��h(�%!1/"/E��H :N�"T(�%4�7'W ��������+x�����%�,�1X #% #��2f(���.�%q���A%!"$ �"$5A�657(�1/,���%q��' � "$�h #�?�:N��7 � #��< �?1/�� W��' �p"$E�a���ma�sP��"/%q"/%qK��A��%!"/%! ����B 20"$ �� �p"$E�a�����(B�`"$��xY,�%�1$�5M(��?.��p(7�A1/,�K�K�"W�9�V�A�B�7N��q20��"$KL��%��?�20%6 #�-(I v �����23�V(�wH1X8���A��1$"/����(��{%!��1$'TR "/�B #���#(�Kn #"$�A�;��'� ����0.�"/%9 #,��!N-(���K��>2f(V5A�W�����Y.�,�K���%3(`<=�V(7�=*-��2g20��"/KL��-(�%����A%!"$ �"$5A�j���A�!"/���A�B L(�1P5A��1/�YK�"X ]8gK��A<=���A�?���B o�?�V(�� % �?§ �F20����%��e<�(�EA��"X #,�.?�"/%+�?���A���A�! �"/�A��(�1� #� � ��� ü a�b J"/%W���� `(7K�K���,��B #��.�'[�A�qNH8h #���v_-��%9 `�A��.����+.�"$%! #,?��N-(��?K�����B5A��1/�A���r(������!�Vu?"$<o(I #"/���q%��?�20�vNB8q #�?�&.-(�%��?��.61/"/�?��%)"$�+ #���&N��� � ��A< �?1/�� ��7' ��"/E�aI��20��"/KL�:(����3%!8Y<�<=�� ���"$Kr20"X #�U�!��%!����K� { ��W #�?� � �W1/�n5A��1�a�q1X #���A,?EA�U���7 {%��?�20�4�?�����7@%�"$<�"$1T(���N�"T(�% (��!�&'[�A,���.v(7 �� #�?��� �HR 1/�YKV(7 �"/�A�?%)(�1$�A��EP #��� % �?§ �0��1/(����7a �p"/�-(71/1$8>���7 #� #�-(I (7'¡ #���t #���z"$��"$ �"T(�1�#(7��"/.J"$��K��!�V(�%!�{ #���z(�<=��1$"$ #,?.��p���!��.�"$K� ���.6NH8 �P�6� �j.���K����V(7%���% #��2f(���.�%o"$ #%=%#(I #,���(7 #��.�1/�n5A��1W(�KL��"$��5���.�(7 � ¥ �V£�azsP��"$%o"$��"$ �"T(�1���5�����%!���Y�� o20"X #�

��£

Page 35: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

ï�¶·ÄrÓ î ��Ó �F¸fÃy¶�Â_¸?ÁtÌ�Çf»ñÊf¼�»�¸W²_¶�Ì¡×2²Z¸?¹�ºN¸?Ár¼�ÁtÌbÇÌ�� �Eâ��ìéTËh¸fà ���5â��ì÷]ÇfÁAÈ"¾Àà � ��f÷âWÓ

ï ¶�ÄrÓ î ��Ó �F¸fÃy¶�Â_¸?ÁtÌ�Çf»ñÊf¼�»·¸�²_¶�Ì�×2²Z¸?¹�ºN¸?Ár¼�Á�ÌFÇÌ�� �Eâ��ìé�Ë ¸fà � �Eâ��ì÷�ÇfÁ`È"¾�à � î�÷#�âfâWÓ%�,�N?%���GH,����B q�!��1T(u�(I #"/���o"/%�(UK��A�?%���GH,�����K��6��'� ����J%��A1$"$ #(��!8;%9 #��,?K� #,?���J%������^"/� ��"/E�aY�(���.~���!�A�-(�EB(I #"/�?Ek20"$ ��}%�<�(�1/13����EB(I #"$5��QEA����,��}%�������.g.���20�B2f(���.�%�a3xm,�KL�g(e1/�A��EIR1/"X5m"$��E^%��A1$"$ #(��!8�%9 #�!,�K� �,�����"/%v(h����%�,�1X U�7'� #���o(�.��A�m #��.M"/<=��,�1$%��;"/��"X #"/(�1{K�����.�"$ �"/�A�?%(���.�"$%+(�'[,�1$1$8^������1/"$���V(��>%���1/,? �"/�A�h��' �P�6� �Patb q.��Y��%+���7 J%�����< #�QN��U���!��%����B `"/� #��� ���qxQ%!"/<:,?1T(7 �"/�A��%320"$ #�Q'[,�1$1$8����B8Y%�"/K�(�1/1X8iK��A��%�"$%! ����B q"$��"$ �"T(�1�K��A��.�"X #"/����%�a

sP���U*-��2 (��!"/%�"$��E="/�h ����U%9 #�!�A��EA1X8h�?�A�mRZd3�A,�%�%!"/����%�Gj����EA"/<=�620"X #�k¤ �?§��o"/%><:,�KL�

�B�

Page 36: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

<������=K��A<=��1/"$KV(7 ���.y #�-(��M*-��20%4(���"$%�"$��Ej'[�!�A< <=�m.����#(7 ��� ���<=�����#(7 �,����=.�"$|����!����K���%N��n ]2f�����y #���42f(�1/1$%�a)sP��"$%JK��A<=��1$�num"$ ]8k"/%+ ]23�7R '[�A1$.)at�W%`KV(��y%������F'[���A< �p"/E�a)�F��K��S@N��7 #�}%��?�V(��4(7��.}N�,���8B(7��K�8}"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8e<��Y.���%:(�����������%����B ="/�DEA�������#(�1¬@p(7��.}%���KnR�A��.�1X8A@�(�%U%!����20�}NB8}xm,?%�1/��5M(���.��p(��A1$,�K�K�"+�Z���A�B�IN��n@� #�?�i%�����(��U<=�Y.��oN�"X'[,���K�(7 #��%%�,�N�K��!"$ �"/KV(71/1$8�a&b]��%�,�KL�¢(D%!"$ #,�(7 #"$�A�g ����eK�,?N�"/K �P�`� � <�(V8cN���K��A<=�k"/��(�.���GH,-(I #�%�"$��K���"$ #%`%!�A1/,? �"/�A�yN���K���<���%U,��HN��A,���.���.D'[�A�6%�,��=K�"/���B �1$8y1T(��!EA�;"/��"X #"/(�1{K�����.�"$ �"/�A�?%(���.M(7 61/��(�%! v(i_�'¡ #�y�A�!.������P�6� � "$%J����K���%!%#(��98M ��h�ANm L(�"$�M(QN��A,���.?��.D�?�A��1/"$���V(7�%! #(7 #�7a��>��5A���! �����1$��%�%f<���(���"/�?E�'[,�1-GH,-(�1$"$ L(I #"$5��PK��A�?K�1/,?%�"/����%3K�(��o%9 #"$1/1-N��W.���(V20�o'[���A<%�,�KL�k(4<��Y.���1¬a

�������� ]23��"/�B ����#(7K� #"$��Ek�?�A��1/"$���V(7�6<=�Y.���%v.���_-�?�o #����*-��2 ��(7 � ������t@ ]23� �P�6� �&%<��Y.���1/1/"$��E6"/��.�"X5Y"/.�,-(71�<=�m.?��%�N���K��A<��qK��A,��?1/��.j(��?.Q1/�V(7.i #�: #�?�+'[�A1/1$�20"$��EU%98Y%! #��<��'�K��A<=��1/�SuQ��GY,�(7 #"$�A��%

��� ó��� � � ó

��� ó� � � � ó � � ó � ó¡ü � � ó ��� ó

� ü � ó� � ü � � ó�ó � ó � � ó � ü . ��ª7�B�

��� ü��� � � ü

��� ü� � � � ü � � ü � üzó � � ü ��� ü

� ü � ü� � ü � � ü�ü � ü � � ü � ü . ��ª��A�

� ó�� ü ����

� : ��

� � ü �ûó � ü . � . ��ª7�B�

(�%+.�����"X5A��.�"$�e�q�?������.�"Xu �PatsP��"$%q%!8Y%9 #��<C��'z��GH,-(7 �"/�A�?%+<��Y.���1/%qE�1/�AN-(71 �?�A��1/"$���V(7�K��A,?��1/"$��E`N��n ]2f�����i ]23�v2f(�5��+���B5���1/������%f���!�A�-(�EB(I #"/�?E`20"X #�=.�"$|����!���B 3EA���A,?��%!������.�%�¬�J���AN?1/�YKL�h(7��. �+�`��,�K�(?@����A���?�-�&"/����K��6(��?.^�D(V8Y����@����A�A�A�na

�-�A���J� �A�A�A�r2f�z�AN? #(�"/� � ó ¥ �¬�?§ £H� . �A�m§ �A�n@ � ó ¥ +�7�?§ �m@ � ó�ó ¥�� q���?§�� . 6����?§��B�(���. � ó ¥ �9�V£?§ � . �m§ ���B�na�sP����%��QK��Y� �=K�"/���B �%4(�������57(�1$,-(7 #��.}(7 � :��v¥ �A§X��A�h(���.K��A�!����%����A��. ��� ����yN�,���8B(��?K�8¢.���"X5A��� "/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8g<��Y.���a �-�A�i ����y%�����(��h.?��"$5����<��Y.���(I �� : � ¥ ªm§��?��y23�F�AN? #(�"/� � ü ¥ � +ª7�?§$� . �Bªm§X��n@ �� ü ¥ q�m§ ª��?@ � ü�ü ¥�9�A§ �A� �D�V� A . �?§ �7£ �D�V� A ��(���. � ü ¥ �9���?§�� . 6�A§��A�B�Sa?sP���`K���,���1/"$��E4K��Y� �=K�"/���B �%q(��!�� ó¡ü ¥ � qªm§ �7� �h��� A . ��§ ��� �e�V� A �3(7��. � üzó ¥��9�����?§ � . �?§ £H�A�na��&%9 #"/<�(7 ���%f�7') #���W ]2f�'[����GY,?����K�"/��%6'[���A< #�������+x�����%�,�1X #%6EA"$5�� #� Eó ���m§ �Q(���. #� Eü �A�?§ ª^N��� ��D(�E������SR"/��E�'�(�"/�!1$8^2f��1/1p20"X #�e ����41/"$���V(��W(��-(71$8Y%�"$%q57(�1/,���%�atd�(�%���.M���e #���;(�N���5A�4�H,�<=���!"/KV(71.-(7 #(?@7 ����f'[�A1$1/��20"/��E>K�����K�1$,�%�"$�A��%{K�(��4N��f<o(�.?��aIsP����*-��2�"/�U ���"/%{�!��EA"$<��r"/%p1/"/�?�V(��!1$8K��A�B5���K� �"$5���1$8h,���%9 L(�N?1/�`20"$ #�h����%�����K� q #�=N�,���8B(��?K�8e.?"/%! �,���N�(���K���%+(��?.k%! #(�N�1$�620"X #�����%�����K� ; ��y%!���V(7�=.?"/%! �,���N�(���K���%�azsP���^N�,���8A(���K�8~.?��"$5�����"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8F����%�,�1X #%4'[���A<%�,������!K��!"$ #"$KV(�1PN?"$'[,��!KV(7 �"/�A�}20��"$1/�i #�?�h%!���V(��=.��!"$5A���c.�"$%! �,���N-(7��K���%o.���%! L(7N�"/1$"/%��i ����*-��2 �A��1X8�"$'3 #����"/�6"/��"X #"T(71{(�<=��1/"X #,�.?�4"/%6%�,��=K�"$���B #1X8y1T(��!EA��@�(�%` #�?�oK���������%����A��.�"$��EN�"$'[,?��KV(I #"/���D"/%v%�,�N�K��!"$ �"/KV(71�a df�� ��D ]8Y����%4��'0.�"/%9 #,��!N-(���K���%4���!�A�-(�EA(7 #��.���20�H2f(��!.�%�a�p(��9 Q��'` #�?��N�,���8B(��?K�8�.�"$%! �,���N-(7��K��e�������!E�8�"$%� #��(���%9'[�����!��.� #�� �����%��?�V(��i<=�Y.�� #���!�A,�EA�����A��1$"/����(��&K���,���1/"$��Eo� � �ó¡ü � �?@ � �üzó � �B�naHsP���W�Y,?<�����"/K�(�1-%���1/,? �"/�A�=��'t ����K��A,?��1/��. �P�`� � � %o������ `%!����20���JK��A�?_���<=%` ����;K��A�B5���K� �"$5��o�-(7 �,����=��'3N��7 #�F.�"/%9 #,��ZRN-(���K���%���2f(�5��4���B5A��1/�A����%JE��������#(7 ���.eNB8j #���:"$��"$ �"T(�1t��,�1/%!�:(7 � #�^.���K�(�8hGH,�"/KLwH1X8(�%3 �����8=���!�A�-(�EA(7 #�0 #��2f(���.�%3 #���WN��� ! #�A< 2f(�1$1�aBsP���q2f(V5A�+���B5A��1$�A����%�EA��������(7 #��.QNB8

�A�

Page 37: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

#���Q"$��"$ �"T(�1z��,?1/%��^(I � ��� #�M(�1$%������!�A�-(�EB(I #�i.���20�B2f(���.�%�a3xm"/��K��i #���i2f(V5A�EA����,��h%!������.�%WK��A�!����%����A��.�"$��E= ��4 #���6N�,���8B(7��K�8h(���.j%��?�V(��>.�"/%9 #,��!N-(���K���%W(����`%!,�NmR%! #(��B #"T(71/1$8�.�"X|t�������H �@� #���e ]23�~2�(V5A�y�-(�KLw7�� �%h"$�H �����(�K� ^�A�?1$8c'[���Q(}1/"/<="$ ���.� #"/<=��a�-�A��%!<o(71/1>(�<=��1/"X #,�.��j"/�?"$ #"/(�1���,?1/%���%�@r #���e%!�A1/,m #"/���gK��A���!��%����A��.?"/��ED ��D #�?�e%�����(��<��Y.��j.���K�(V8m%QGH,�"$KLwH1$8g(�%o"X #%=1/"$���V(��=(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A�~�#(7 ��h"$%o����EB(7 #"X5A�7@3N�,m i1T(7��EA���"/��"X #"/(�1)(�<=��1$"$ #,?.���%0��5����B #,�(�1/1X8^N�1/��2�R],?���[�����?����%!���B #"$��Ei%!���V(��W"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8o%!,�N�K���"X #"«RKV(�1$1$8j #�!"/EAEA������.M(7��.M"$��"$ �"T(�1$1$8^%!,������A�! ���.yNH8� ����;N�,���8B(7�H v"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8?�na��q%`���� ���.(�N��5���@p(7 U1$�V(�%9 :(jGH,�"/�B #"$K �P�`� � <=�Y.���1z"/%6����GH,�"/�!��.D ��k��1$"/<="/�-(I #�: #�?"/%6%�"/�?EA,�1T(7�N����-(V5Y"/�A,���a�sP���=N�,���8B(��?K�8y<��Y.��7@)20��"/1$�41/"/�?�V(��!1$8h,���%! #(�N�1$��@�.�"$��%`�A,? v(�%6%��Y�A�y(�%"$ J�!�V(�KL�?��%J #���4N��� ! #�A< 2�(�1$1p.�,?�: #�^"$ �%+K��A�B5���K� �"$5����-(I #,��!�;(���.� #���4�����!�jN��A,��?.mR(��!8eK��A��.?"$ #"$�A��%�a �h�Y.��;K��A,��?1/"/�?EQ.��m��%v�?�� `%�,��?���A�9 6"$ #%J�Sum"/%! �����K��o��"$ #�?���JN���KV(7,�%��(�%;.�"/%!K�,�%!%���.�(�N���5A�^ #���^%��?�V(��;"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8y�nuY #��(�K� �%��������!E�8�'[�!�A< #�?�jN?,���8B(���Kn8<��Y.��7a

xm�-(��?%����� �%f��'t #��� ���+x=�!��%!,�1$ �%3'[�A�& #�?"/%r����E�"/<=�W(7���q�?����%!���B #��.Q"/��p"/EA%�a-���U(7��.k���masP���`�-(���(�1/1$��1�N-(�%�"$K+*-��2 "$%P��%9 L(�N�1$"/%!����.^"/�i ����J<="/.�.�1$�q�-(7�! 0��'� #�?�6K�(V5m"X ]8iNB8i �"/<=�� �?§X���?a�xm"$<:,�1X L(������A,�%!1$8o(=1/(���EA�6(�<=��1$"$ #,?.��+.�"$%! #,?��N-(��?K��6"/%0EA���?���#(I #��.h���V(7�0 ����,��������^���?. ��'6 #�?�yK�(V5m"X ]8�20��"$KL� ���!�A�-(�EA(7 #��%jGH,�"$KLwH1$8�.���20�B2f(���.�%�aWsP�?"/%Q"/%i ����N�,���8B(7��K�8c.�"/%9 #,��!N-(���K����f"X o"$%o%!������'[�!�A< #���k%���K��A��.�%!�-(���%!���� Q"$� �p"/E?aP���M #��(7 ����1T(7 �"$5A��1$8}1/(���E��j1$,�<=��%��7'+K���1/.�(7��.c<=�A���j.�����%��j*-,�"/.�20"$ ��g2f(�5����H,�<:N������ � ó ¥O�A§X���q<=��5A�f.?�20�: ������!"/EA�B ���K���1/.����L��2f(�1$1�asP���P(�<=��1$"$ #,?.��z��'� #�?��%��PN?,���8B(���Kn8.���"X5A���v.�"$%! �,���N-(7��K���% "$%�%��>1T(��!EA�p ��-(7 �"$ t #��"$EAEA����%) #�?�r%!,�N�K���"X #"$KV(�1I #�#(7��%�"X #"/���+ #�0%�����(��"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8h20�?"/KL�D"$%`KL�-(��#(7K� #����"$%���.MNB8D(Q2f(�5���1$����E� �����'�(������!��um"$<o(7 ���1X8e�-(�1X'3 ����%�"$���`��'� #�-(I 0��'� ����`N�,���8B(7��K�8^.�"$%! �,���N-(7��K��7@�(�%P%������k"$�Q #���J%!�-(���%!���� #%W(7 � �A§ ªAª(���. � ªm§���£�a �>�� #�i ��-(7 ;%!,�N�K���"X #"/K�(�1�%!���V(��;.�"$%! �,���N-(7��K���%=�YK�K�,��B8�(�1T(��!EA�i�-(��9 ��'{ ����U����K�1$�A%�,��!��a�sP��"/%W"/%>���� +�Sum����K� #��.e'[�A�W(oK��A�B5���K� �"$5��4"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8i����EA"/<=�v(���."/��.?"/KV(I #��%0 #�?�v���!��%!����K��:��'z(=���A��1$"/����(��>(�N�%���1/,? ��6"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8�20��"/KL�k<o(V8^�num"$%! >'[�A�%�,�N�K��!"$ �"/KV(71/1$8hN�"X'[,���K�(7 #"$��Ei*-��20%U(7%v.�"$%�K�,�%�%!��.D"$� �f��,-(�"/�!�A�y(���. �f���A<�(��h�9�����B�A�nas��;%!����2 ��"$EA�A����,�%�1X8= ��-(7 P ����`���A��1$"/����(���(�N?%��A1$,? #�J"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8=��' #���J%!���V(7�>.?��"$5����<��Y.��h"/%i"$��.�����.��AN�%!���!5���.)@P�����e2f��,�1/.�������.� #��(��-(�1X8m%!��(7 Q1$�V(�%9 ^(M_�'¡ ����A��.�����P�6� �P@� #�?�6.?����"X57(7 #"$�A�Q��' 20��"/KL�j"/%PN���8��A��.h ����`%�K��A���`��' #�?�6K�,����!���B >2f�A�!w�a

�q�Q�n5A���^<=�A���>K���<���1$"/K�(7 #��.�*-��2¢"/%3�AN�%����!5���.j(7 f ����+1/(���EA���r57(�1$,��q�7'��`� �V�A�A�A�?ab]�� ���"/%4K�(�%��^ #�?�jN?,���8B(���Kn8�<��Y.��QK�����%! #(��B #%�(7 � : � ¥ �m§ �B���e(����Q'[�A,��?.� ��yN��� ó ¥ �¬�m§ �A� . �B�m§��B�n@ �� ó ¥ W�B�m§��?@ � ó�ó ¥ � q�7£�§ � . W�B���?§ �A�>(���. � ó ¥���ª��?§�� . �m§�£Hª��(���.4 #�?�>%!���V(7�r<=�Y.���K�����%! #(��B #%z��57(�1$,-(7 #��.=(7 +� : � ¥ ªm§ �7�A�`(���� � ü ¥���£�§ �Aª . �A�A�A§ �A�n@� ü ¥ qª��?§��?@ � ü�ü ¥ �9�A§��Bª � ��� � . W�?§ ��� � ��� � �e(��?. � ü ¥ �¬ªAªm§X� . 6�A§ ���B�nasP���~<��Y.���K��A,���1$"/��E�K��m���=K�"/���B #%y(���� � ó¡ü ¥ � 6�A§��Bª � ��� A . �m§ �Aª � ��� � �e(���.� üzó ¥ ���7�?§ � . ���Bªm§X��Sa-df�� ��h<=�m.?��%>(����61/"$���V(7��1$8�K����H5���Kn #"$5���1X8k,��?%! L(7N�1/�6(���.h�������mR(�EB(7 ��4.���20�B2�(��!.�%v20"X #�� #�?�=%!���V(7�6<=�Y.��:'[�A��<="/�?EQ(��F"/�!����E�,�1T(��q�-(7 � ����!�D(7 `1/(���E�� #"$<���%�a sP���Q�H,�<�����"$KV(�13%��A1$,? #"$�A����'P ����QK��A,?��1/��.}��GH,-(7 �"/�A��%j�¬ª��B� �t��ªA���`���!��%!���B #��."/�D ����i_-�!%! 4'[�A,��v%��-(7��%����7 #%;"/� ��"/E�ar���e�-(�%UKL�-(��#(7K� #����"$%! #"$K�%:5����!8�%�"/<="/1/(��+ #�e �����A����%U.���%�K��!"/N���.D'[���` ����o1$��2f���657(�1$,����7'f #�?�Q�J�#(�%!����'��H,�<UN�����a �f�A�B5A��Kn #"X5A��1X8D,?�mR%! #(�N�1/��2�(V5A�^���H5���1$�A����%;��'>N�,���8B(��?K�8~(��?.�%!���V(7�4.�"/%9 #,��!N-(���K���%4"/�B ����#(7K� 4�A�?1$8y'[�A�(M%!���A�! � #"$<��^%�"$��K��j #���n8��-(V5A�k5����!8g.�"X|t�������B �EA����,���%�������.�%Q(��?.c���!�A�-(�EB(I #�j"/�

�B�

Page 38: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

(k_-��"X #�Q.��A<�(�"$�DN��A,���.���.gNB8M #���^(�N?%��A�!N�"/��Ee2f(�1$1/%^�[%����^%!�-(���%!���� 4'[�A� � �?§���£(���. � �?§ ª��B�Sa�sP�H,�%q.���%!��"$ ��U #���UEA1/�AN�(�1��-(7 #,?���U�7'zK��A,��?1/"/�?EoN��� ]23�����F��GY,�(7 #"$�A��%��ª��A� �t�¬ªA�A�; �����"/�B ����#(7K� #"$�A��N��� ]23������ #�?��%��F���H5���1$�A����%^����<�(�"$��%i��%!%����H �"T(�1$1$8g1/�YKV(�1(���.i"$%3<=�A%9 #1$8:1/"/<="$ ���.4 #�6 #���W%������! ������!"/�Y.��7') #"$<��P20�����i #���W1/�YKV(�1$"/%���.;���B5A��1/�A����%%��-(7���4 #���;%�(�<��41$�mK�(7 #"$�A�e"$�y%!�-(�K���a�sP���42�(V5������H5���1$�A����%v"$��.�,�K���.yNB8� #���4"$��"$ �"T(�1��,�1$%���%U���V(��6 #���oN��� ! #�A< ��'f #���iK�(V5m"X ]8�(7��.�%������}'[�A� � �m§�£�(I � = #�F����<o(�"$� #�������^(�%v #���n8~(����o%!23���? ; #��2f(���.?%: #�-(7 U2�(�1$1320"X #�� #�?��"/�U����EB(I #"$5��iEA�!�A,��}%�������.)adf��K�(�,�%!�=�7'r ����:K��A�B5A��Kn #"X5A�=KL�-(��#(7K� #���J��'r"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8Q #���U�nuY #����%�"$�A�F�#(7 ��4��'& #����%��2�(V5��o�-(�KLw7�� �%v"$%6�?�� `%�,��=K�"/���B �1$8F1T(7��EA�U ��h��5�����K��A<=�; �����"$�J.���"X'¡ 6(���.F #���n8�.���KV(V8GH,�"/KLwH1$8�.�,?�k #�y #����(7N�%��A�!N�"/�?ED"/�m*-,����?K��e��'q #���h���V(��!NB8c2f(�1/1¬@&%����k%��-(��?%����� Q(7 � �?§ ª7�?a?sP���n8Q(��!�+���� �%������k(I � �?§ �AªmamsP�?�+2�(V5A�`���H5���1$�A����%P"/��.?,�K���.j�?�V(��f ���� #�A�U��'- #���fKV(V5Y"$ ]8v�����A��(�EB(7 ��f.���20�B2�(7��.�%z(��?.4%����!�V(�.4N�,m &����5����{�YK�K�,��B8U ����f20���A1$�KV(V5Y"$ ]8e(�%+ #���n8�(��!�4�A��1X8kK��A�B5A��Kn #"X5A��1X8�,���%9 L(�N?1/�^�[%����;%!�-(���%!���� #%6(7 � �?§ ª7�Q(���.�?§��BªA�na sP���i2f(V5A�^���B5A��1/�A����%4K��A���!��%!���A�?.�"/��Ee ��k #�?�QN�,���8B(��?K�8}(7��.}%�����(��4<=�m.���%(����vK�1$�V(��!1$8^.�"$%! #"$��EA,�"$%�����.h'[�A� � �?§ ª��o(��?.��?§��Bª�NB8h5����98k.�"X|t�������H q2�(V5A��1/����E� #�?%�asP���4N�,���8A(���K�8F.?"/%! �,���N�(���K��4���B5A��1$�A���4<���5A��%J'�(�%! ����J(��?.y.?��KV(V8Y%6(7'¡ #���J"$ q���V(7KL����%� �j��<��?�-(�%�"$%�"$��EQ #���;K����H5���Kn #"$5��o�-(I #,��!�=�7'f #�?"/%J"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8k(���.y�����!�hN��A,��?.mR(��!8gK�����.�"$ �"/�A�?%���K��A<=�-(����k%��-(��?%����� �%Q'[�A� � �?§ �AªD(���.¢�?§��A�B�Sa3sP����1$�A��ED ����!<N����-(V5Y"/�A,��f��'� #���J%!���V(��P<=�Y.��J(�<=��1/"X #,�.?�q"/%f��%�%!���B #"/(�1/1X8o.?"$|��������B Va�sP���J"$��"$ �"T(�1����mR5A��1/�A���4N�����(�wH%`"/�B #�Q%!��5A���#(�1&��(��! �%`(���.F1/�A%!��%J"X #%+%98m<=<=�� #�98�(�%J"X J��"X #% � �?�� ����2�(V5��e(�<=��1/"X #,�.?�Q"/%;EA���?���#(71/1$8D1T(��!EA���4�?�V(�� � �� #��2�(7��.�%=20��"/KL�� #���j���B5A��1/�A����������-(�EB(7 ���%�a?sP���+%!���V(7��.�"/%9 #,��!N-(���K��J(�<=��1/"X #,�.?�0 �����.?%f #�:�����!�4���V(�� � ��� �A�?K��(�EB(�"$��.���<=�A��%9 #��(7 #"$��ED #�?�y1$"/����(���1X8�K��A�B5A��K� �"$5A�yKL�-(���(�K� ����^��'6"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8���'` #��"$%<��Y.��7a �>��5A���! �����1$��%�%4,?��1/"$w��� ����iN�,?�8A(���Kn8�<=�m.��; #�?�i%�����(��:.�"$%! �,���N-(7��K���%:����5����.���K�(V8~��5A����(7'¡ ����4�!�V(�KL��"$��E� #���^N��� � ��A< 2f(�1$1�apsP�?"/%;"/%4N���K�(�,�%��^��'> #�?�j%!,�N�K���"X #"«RKV(�1 �-(7 �,����U��'{ #�?�:K��A�!����%����A��.�"$��EiN�"X'[,���K�(7 #"$�A��� � �ü�ü � �A�n��NH8j #�?�U #"$<��J #�?�:%�����(�����B5A��1/�A���F����(�KL����%Q �����N��7 � #��< ��'` �����KV(V5Y"$ ]8c"$ Q�-(7%^(�<o(�E���"$ �,�.��k1/(���E����o ��-(��(F �������%�����1/.~5�(71/,��Q��' � � � � � �ü F � �ü�ü ¥ �?§��A�B�e%��F #��(7 ; #���^���A�?1/"/�?�V(��:.?��%! #(IRN�"/1$"/%�(7 #"$�A�QN���K��A<=��%q%�,��=K�"$���B #1X8j%! #�!�A��Eo ��o<�(�"/�B #(�"/�^%��?�V(��+"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8�a�sP���:1/(���E��(�<=��1/"X #,�.��0%!,�N�K���"X #"/K�(�1�%�����(���.�"$%! �,���N-(7��K���%��num"/%9 #"$��EU"$�� #�?�+1/��23���f��(��! 3��'� #�?�qKV(V5BR"$ ]8h<o(V8e(�1/%!�o #�!"/EAEA���J(i���A�?1/"/�?�V(��q(�N�%���1/,? ��:"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8M� �f�A,�(�"/�!�A�F(���. �f���A<�(��7@���A�B���P20��"$KL��KV(��k����%!,�1$ q"/��(����A��1$"/����(��0EA1/�AN�(�1�%�����(��+<=�m.��7a�sP���:����%�,�1X #%+%!������"/��p"/E?a �V�i(7 J1/(���EA�` #"$<���%q%9 #������EA1$8j"$��.�"/K�(7 #�6 #�-(I q #�?"/%q"$%q #�?�:KV(�%!��@�N�,? J���Q.?�� L(7"/1/��."/�B5A��%! �"/EB(7 �"/�A�k��'z #��"$%+����%�%�"$N�"/1$"$ ]8j�-(�%JN������F�����!'[�A�!<���.F(�%+ #��"$%q23�A,�1/.��!��GH,�"$���4"/�YRK��A�!�����#(7 �"/�A�^��'pGY,?"/�B #"$K6�?�A��1/"$���V(7�� #���!<�%0"$�^ ����v(�<��?1/"$ �,�.��J��GY,�(7 #"$�A��%�a �>�� #�` #��(7 (�1$ ����A,�E��y ����o������1/"$���V(��`K�,�N�"/K= #����< "/����ªA�A�+��1/(V8m%U(h.���%! #(�N�"/1$"/%!"/��E^����1/��@� ����o%!�7R1/,? �"/�A���!��<�(�"/�?%JN��A,?��.���.ta�sP��"/%`"/%J��(��! �1$8e.?,��4 #�^ #���;�������jN���,���.-(��98�K�����.�"$ �"/�A�?%(���.e��(��! �1$8Q.�,?�v #�= #���v%! ����A��E�.�"/%!%�"$�-(7 #"$�A�D� � �ü � �B�Sa�b]�e(�.�.�"X #"/���)@-(�%W.�"/%!K�,�%!%���.NB8��q��(���%!�A��(���.��J�#(�<=���i��ª��A�AªA�n@�(���.~���n'[���!����K���%4 #��������"/�)@p ����Q%��IR]KV(71/1/��.����-(7%��EA�#(7.�"/���H q<���KL�-(���"$%�< (����!��%9 #%q ����:N�1$�2 ,����7'& #���:%!,�N�K���"X #"$KV(�1���,�1$%��SR]1/"$w��v%��A1$,? #"$�A�20�����?��5A�����

�� � Eü F �HEü�ü ��� � �6(�%0"/��.�����.j"/%� ����`KV(�%!�6"$�Q #���`���!�AN�1/��<\K��A��%�"$.����!��.)a

sP���QK���������%����A��.�"$��E ���qxD����%!,�1$ �%4(��!�i������%����H ���.�"/� ��"/EA%�a3�V£e(���.����?a �W'¡ ����U �����-(���(�1/1$��1)N-(7%�"/K`*-��2 "$%W��%! L(7N�1/"$%�����.k"/�^ #�?�v<="/.�.?1/�J�-(��9 q�7'p #�?�vK�(�5Y"X ]8hNB8Q �"/<=� � �?§X���?@� ����:1/(���EA�vN�,���8B(7��K�8F.�"$%! �,���N-(7��K��:%9 L(��9 #%J���!�A�-(�EA(7 #"$��Eo'[����< ����U #��������.F��'

�A�

Page 39: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

#���WKV(V5Y"$ ]8�a?b #%32�(V5A���H,�<:N����P"/%3(����?���Vum"/<�(7 #��1$8=�?a��A�620�?"/KL�Q"/%r%�1$"/EA�B �1$8;1T(7��EA���r ��-(��� :��{¥ �m§ �B���J�?����.?"/K� ���.�NH8;1$"/����(��z(��-(71$8Y%�"$%�aHxm"$��K��0 #�?� � �ü � �?@A #�?�>*-��2�"$%z1/"/�?�V(��!1$8,���%9 L(�N�1$�+20"$ ��j�!��%!����K� > #�4%��?�V(��0.�"$%! #,?��N-(��?K���%�a�b]��.�����.)@� #�?�6%!�-(���%!���� W(7 � �?§ ªAª"/� �p"$E�a�����K����?_-��<=%4 #��"$%��{ ����h%!���V(7�="$��%! #(�N�"$1/"$ ]8M.�"$%! #,?��N-(��?K���%=%! #(��! =.��n5A��1/�A��"$��E"/�^ #���`1$�23���>�-(��9 >��'p ����`KV(V5Y"$ ]8A@- �����"$�>��%! �"/<�(7 #��.j2f(V5A���H,�<UN����q"/%>(��?�����Vum"/<�(7 #��1$8ªma ���D20��"/KL��"$%i����(�%����-(�N�1X8cK�1/�A%!�e #� �;: � ¥ ªm§ �7�A�?afsP�?�e ]2f�~"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8~<=�m.���%"/�B #���#(�Kn 4(7 U1T(��!EA���` #"$<���%v�!��%!,�1$ �"/��Eh"/�}(j%��A<=��20�-(I 4"/�!����E�,�1T(��J*-��2 �-(7 ! #������� � �?§��B�A�na��{5����B #,-(71/1$8�@B #���>K��A�B5���K� �"$5���1$8=,��?%! L(7N�1/�>N�,���8B(7��K�8�.�"/%9 #,��!N-(���K��W�!�V(�KL�?��%3 ����N��7 � #��< 2�(�1$1�(���.o.?��KV(V8Y%f20��"$1/�P #�?�q%�1$��2f���3���!�A�-(�EA(7 #"$��Ev%!���V(7�f.�"$%! #,?��N-(��?K���%r'[�A��< #���J��(7 � ������^%!�����^"$�i #���J,��?�����P�-(��! ���'� #���J%!�-(���%!���� W(7 � ªm§X��mamsP��"/%P%!�-(���%!���� (�EA�!����%UGY,�(�1/"X L(7 �"$5A��1$8�20"X #�D ����i�H,�<=����"$KV(�1r%���1/,? �"/�A�M��'��P�6� � %�����20�~"/�M #���o ��A���1/�7 q"$���p"/E?a����?������E�,�1T(��>������"$�m.?"/K` L(�"$1�(7��.e"/�!����EA,�1T(7�W����(�.e��'& ����:�!��%�,?1$ #"$��E�2f(V5A����B5A��1/�A����aPsP�?� ���qx�����%!,�1$ �%Q'[�A�i1T(7��EA���o #"$<���%F�����7 ^������%����B ���.��Q%�����2 #�-(7 Q ����N�,���8B(7��K�8¢.�"$%! #,?��N-(��?K��F"/%^EA��������(7 #��. (�EA(�"/�¢(���.� #�?�yGH,-(71/"$ #(7 #"X5A�k*��2 %�K����-(��!"/�.���%!K��!"/N���.h(�N���5��v"$%P�������V(I #��.ta

�-�A��1/(���E�����57(�1$,���%���'- #�?�P�J�#(�%!����'��H,�<:N����p ����f%!���V(7�{"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8JN���K���<���%&(�N�%!�A1/,? ��(���.F #���4�H,�<=���!"/K�(�1{%���1/,? �"/�A����'r #�?�=K��A���!��%!���A�?.�"/��E �P�`� � .��Y��%J���� 6.���KV(V8�����(��� ��� a�sP�?�����+xh�!��%!,�1$ �%q%��?�2 "$������EA,�1/(��P*-��2 �-(7 � ����!��%+"/�j #���vKV(V5Y"$ ]8j"/�j #����%������EA"/<=��%�a

�D�U���� #�6 #�-(I q*-��2 �-(7 ! #���!��%+�AN?%����95A��.y"$� ���+x^'[�A�> ����:1/(���EA���+�J�#(7%�����'z�H,�<UN�����%���n5A�V(71Y'�(�%9 �5���1$�mK�"$ ]8J57(���"/(7 #"$�A��%�(�1$�A��E0 #���rKV(V5Y"$ ]8o�[%���� �p"/E?aB���B�na�sP�?��8U(����r����"$<o(7��"/1X8KV(�,?%���.kNH8^ ����UN�,?�8A(���Kn8k<=�m.?�6.?"/%! �,���N�(���K���%W20��"$KL�e�-(V5A�v<:,�KL�e%!<o(71/1/���PK��!"$ #"$KV(�1�`��(�%��?��' �Y,?<:N����P #�-(��Q ����J%�����(��0�A����%�a�df��KV(�,�%!�`��'� ����J1T(7��EA�+%!,�������K���"X #"/K�(�1/"X ]8;'[�A� #���;N�,?�8A(���Kn8M.?"/%! �,���N�(���K���%v"$�F%�,�KL���!��EA"$<���%+ #���n8F(��!�=,?��1/"$w���1X8k ��h�!��<�(�"/�e ]23�7R.�"/<=���?%�"/���-(�1�anb]�6K��A�B #��(�%! #�?�r%!���V(7� <=�Y.��&"/%�%9 #"/1$1����!��.���<�"$�-(��B #1X8q ]23�7R].�"$<�����%�"$�A�-(�1.�,��^ #�� #�?�h1$�23���;.���EA�����h�7'q"X #%;%�,������!K��!"$ #"$KV(�1$"$ ]8�apb]��.�����.� #���j1T(�%9 ;%��-(7��%����7 #%="/��p"/E�%h�V£�(���. ���D%!����2 ��-(7 o�A��K��h #���k'�(7%! i<=��5Y"/��E�1/(���E��k(�<=��1$"$ #,?.��hN?,���8B(���Kn8���B5A��1/�A���o�?���A�-(7EB(7 #��%U(V2f(V8��[K��A�?_���<="/��EQ #��(7 U"X #%6�-(7 �,����=����<o(�"$��%`K��A�B5���K� �"$5��Q(�%.�"/%!K�,�%!%���.�"$�;xm��Kn #"$�A�=�maX�� "X {1/��(V5A��%&N����?"/��.;(+�-(I � #�����: ]8Y��"$KV(�1Y'[�A�p ]23�7R].�"$<�����%�"$�A�-(�1%�����(��r.�"/%9 #,��!N-(���K���%f�?����.?"/K� ���.iNB84 ����+(���(�1$8Y%�"$%�aBsP�H,�%r #���>KL�-(���(�K� ����f�7')"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8"/%^%! �"/1$1+�num����K� ���. ��gN��F����(�%��A��(�N�1$8�(�K�K�,��#(7 ���1X8�.��� �����<="/�?��.� #���!�A,�EA�� #���� ]23�7R.�"/<=���?%�"/���-(�1&(���(�1$8Y%�"$%�a)s�23�e(7.�.�"$ �"/�A��(�1p�!�V(�%!�A��%6KV(��yN��;EA"X5A���M #�j(�.m5A�YKV(7 ��= ���"/%�a�p"/�!%! �@-"/�^ #���6������%����H q2f�A�!wi2f�U(����6%�����K�"$_-K�(�1/1X8Q"/�B �������%! ���.k"$�j ��#(��?%�"$ �"/�A�jN��� ]23�����58� ��� �"!r(�N�%���1/,? ��+(���.oK��A�B5A��K� �"$5A�`"$��%! #(�N�"/1$"$ �"/��%&"$�� ����+1/����EA"$ �,�.�"$�-(�1-.�"$����Kn #"$�A�)a �{5A���"$'v���A�B #�!"$5Y"T(71q.?8Y�-(�<="/K�%^�num"/%9 #%j"/�� #���� ��#(���%95A����%��M.�"/�!��Kn #"/���¢"X ^"/%Q1$"/����(���1X8g'[,�1$1$8.���K��A,���1$��.='[���A< ��-(7 r��'�"$�H ����!��%! f(���.= #���0 ]23�7R].�"$<�����%�"$�A�-(�1?%! #,?.?8="/%z%�,��=K�"/���B 3'[�A��A,��6��,��!���A%!��apxm��K��A��.)@�(�1X #���A,?EA�M"$�y ����=K����B ����i��'3 #����N�,���8B(7��K�8y2�(V5��i���B5A��1/�A��� #���j.�"$%! #,?��N-(��?K���%�(��!�j%!,��=K�"$���B #1X8~1T(��!EA�^(���.gK��A,�1$.gN���K��A<=�^ ��������nR .�"/<=����%!"/�A��(�1�@ #���WKL�-(���(�K� ����f�7'�1/"$���V(��z"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8U"/%z'[,�1/1X84.��� ����!<�"$����.�NH8; ����q�!��1T(I #"$5��W<=�� �"/�A�;��' #���v��.�E���%q�7'{ #���62�(V5��:���B5A��1/�A����%�atsP�������U ����U.?"/%! �,���N�(���K��U(�<=��1/"X #,�.���%>(����6%�<�(�1/1NB8o.��n_-��"X #"/���i(���.o%! L(7��.-(��!.i1/"$���V(��r(���(�1$8Y%�"$%f"$%f(��?��1/"$KV(�N�1$�P20��"/KL�i%!����20%� #�-(I 3 ]23�7R.�"/<=���?%�"/���-(�1f.?"/%! �,���N�(���K���%=(����i ����^<��A%9 4.-(��?EA���!�A,�%�@&%!���^ #���Q.?"/%�K�,�%�%!"/�A��"/�� ����N���EA"/�?��"/��Ej��'Pxm��Kn #"/�����k(7��.D�!��%�,?1$ #%6���������! #��.�"/�Dxm,�%!1/��5y(���.��p(��A1$,�K�K�"W�9���A�A��(B�na

�A�

Page 40: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

�W�n5A���9 #����1/��%�%�@0"X Q"/%QK�1/�V(7�o #�-(I ^�nuY #����.�"/�?E~ ��������!��%����B e(���(�1$8Y%�"$%o #�} �����GH,�"/�B #"$K�P�6� �P@�"/�^K������!,���Kn #"/���j20"X #�h(; ��������nR].?"/<=����%!"/�A�-(71����+xi%! �,�.?8�@�K�(��h�����-(��?K��U��,��,���.�����%9 L(���.?"/��E=��' #��"$%P"/�B #������%9 #"$��Eo(7��.^����1$��57(��B 0*-��2`a

� �v��������� V����� �W�A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!Gh�!��EA"$<���%P20"$ #�h1T(��!EA�`*-,�"/.h�����������! ]8^57(���"/(7 #"$�A��%P���n5A��(�1{(=��"/KL�j57(IR��"$�� ]8Q��'����A%�%!"/N�1$�+*-��2 �-(7 ! #���!��%0"/�Q5A���!8j%�"$<��?1/�+EA���A<=�� #�!"/��%�a�� %!8Y%9 #��<�(7 �"/K`�����YK��SR.�,��!�6�7'�.?����"X5Y"/��E4 #�?�JK��A<=��1/�Suj�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,Q<��Y.���1t��'����V(7�PK���"X #"$KV(�1�*-��20%>"$%������%����H ���.F'[�A�q%!,�KL�FKV(�%!��%�a)�q�-(71$8Y%�"$%q��'z"X #%q"$�?_-��"X #��%�"/<�(�1�%!�A1/,? �"/�A�?%W%!����20%+5�(7��"/��,�%%��-(I #"/�IR #��<����A��(�1)%�K����-(7��"/��%WK��A���!��%����A��.?"/��E; #��K��A�B5A��K� �"$5A�:(���.e(7N�%��A1$,? #�`"$��%! #(�N�"/1$"XR #"$��%���'Y #���zN-(7%�"/Kz�-(7�#(�1$1/��1I*-��2`aIxm����K�"/(�1B(7 ! #���H �"/�A�`"$%��-(�"/.J ��0 ����r(�%�����Kn #% ��'m���B8m%!"/K�(�1����1/��57(��?K��=(���.M(�K�K�,��#(7K�8F��'3 #���;.��n5A��1$�A����.}�J"/�?��N�,��!E7RZ��(��?.-(�,�<=�m.���1p20�����D"$ `"$%,�%���.� ���.��� ����!<�"$���i #���i ��#(��?%�"$ �"/�A�DN��n ]2f������(7N�%��A1$,? #�i(���.~K��A�B5���K� �"$5��h"$��%! #(�N�"/1$"XR #"$��%�apb ;"/%:%!����20�g #��(7 : #�?���P�`� � N-(7%���.����!��.�"$K� #"$�A��%:�7'W ����i #��(���%�"X #"$�A��KV(7��N��(�K�K�,��#(I #�j�A��1$8�"$'> #���Q'[,�1$1P���B8m%!"/K�(�10.�"/%!������%�"$�A������1/(7 #"$�A�}"/%;K�1/�A%!�^ ��D(FGH,-(�.���(7 #"$K'[,���Kn #"/���D��5A���U #����K��A<=��1$�� #�=�#(7��EA�o�7'P.�"/%9 #,��!N-(���K���2f(V5A���H,�<UN�����%420"$ ��D���A%�"X #"$5��1/"$���V(���(�<=��1/"X_-KV(I #"/���g��(7 #�7afb]�� #�?"/%oK�(�%��e ����eK��m����K�"/���H �%Q��'J #�?� �P�6� � KV(���N����57(�1$,-(7 #��.�(7 v(��B8F2f(�5����H,�<:N����U"/�F #�����-(��#(7N��A1$"/K4��(���EA�=��'f ����=���B8m%!"/K�(�13.?"/%������ZR%�"$�A�Q����1T(7 �"/�A�)amxm,?KL�h<=�m.?��1/%3����%�,�1X P"/�Q"$.����B #"$KV(�1�1/�A�?EU #����< N����-(V5m"$�A,��!%P.�,��+ #�: ����2�(V5����H,�<:N�����K�(�%�K�(�.�"$��Ev ��2f(��!.�%f #��(7 r��') #�?�W<=�A%! f(�<=��1/"X_-��.;.�"$%! �,���N-(7��K��7amsP����%��K��!"$ #����"/(W(��!�3'[�A�!<:,�1/(7 #��.:(�%�%�"/<=��1$�3(7K�K�,?�#(�Kn8v ���%! �%p20��"$KL�;(����r%�����20�4 #�WN��3%#(7 �"/%9_-��."/�k ����4���!�AN�1/��< ��'r�-(7 #,?�#(�1�K��A�B5A��K� �"/�A�F"/�e(o L(�1$1 5����! �"/K�(�1p����K�1$�A%�,��!��a)b]�F(7����1$8Y"$��E #���W<��Y.���1� #�v ����>���A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�G=K����H5���Kn #"/���o*-��2`@Y23�q%!����2� #�-(I 3*-,?"/.o�?���A�����9 ]857(���"/(7 #"$�A��%`"/�y #���=5A���9 #"$KV(�1r.�"$|����!���B #"/(�1/1X8BR]����(7 #��.MK�(�5Y"X ]8M��(�5��Q(k%9 #������Ee"/�m*-,����?K���A�Q #���JKL��(��#(�Kn #���P��'�*-��2 N�"X'[,���K�(7 #"$�A��%�a?b]�^�-(��9 #"/K�,�1T(7��@Y(�%� #�?�+ #��<=�����#(I #,��!�J.�"$|����ZR����K��qN��� ]23�����^ ����02�(�1$1/%r��'t ����q����K�1$�A%�,?���q"$��K��!�V(�%!��%�@Y ����q%!���V(��3.���"X5A���oN�"X'[,���K�(7 #"$�A�KL�-(���E���%>KL�-(��#(7K� #����'[���A< %�,������!K��!"$ #"$KV(�1� #�;%�,�N�K��!"$ �"/KV(71�@m(���.Q #���`K��A���!��%����A��.?"/��E;"/�YR%! #(�N�"/1$"$ ]8=KL�-(��?EA��%0'[���A<\(�N�%!�A1/,? ��+ #�4K��A�B5A��Kn #"X5A��a�b 0N���K���<���%W(7N�%��A1$,? #�+(�EB(�"$�Q�A��1$8"$'� #�?�U�J�#(7%�����'��H,�<:N����0"/%P"$��K��!�V(�%!��.^ #�=(:_-��"X #�J57(�1/,��+(�N���5��6 ����`1/"/�?�V(��!1$8=K��!"$ #"$KV(�1�A���7a��� p5����98:1T(7��EA�z #��<�������(7 #,��!�f.�"X|t��������K���%�@B(qN?,���8B(���Kn8:.��!"$5����4"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8+<=�Y.��(������V(��!%J(�%J(i�!��%!,�1$ J�7'r(i%�,������!K���"X #"$KV(�1�N�"$'[,��!KV(7 �"/�A�ta�sP�?"/%+"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8^"$%W'[�A,��?.e #�N��>��'tK��A�B5A��K� �"$5A�> ]8Y���>'[�A�& #���>K��A<=��1$�� #�0��(���EA�0��'��`��(�%����7')�H,�<:N����!%3"$�H5���%9 #"/EA(7 #��.)asP����%!�4K��A�?K�1/,?%�"/����%J(��!�UN-(�%!��.�%!�A1/��1$8j�A�e #�?�:(��-(71$8Y%�"$%q��'& ����:K���<���1$�nue�J"/����N�,���EIR��(���.-(�,y��GH,-(I #"/����%J.����!"$5���.M'[���+ #���:*-��2`@�N�,? 6(7���;K��A�m_-��<=��.yNB8 ���+xe����%�,�1X #%`��' #���0K��A���!��%����A��.?"/��EJ ]23�7R].�"$<�����%�"$�A�-(�1Y*-��20%�aH�0��<�(���wI(�N?1$8A@�(�1$ ����A,�E��: #���P���!��%!���B #��. #�����A�!8=��' �P�6� �&%f"$%3.��n5A��1/�A����.i'[�A�3(�����|���K� �"$5���1$8="$�?_-��"X #�>EA���A<=�� ��!8�@m(7��.Q(�%r%�,�KL�.��Y��%>���� W(�K�K��A,��B W��"/E��A���A,?%�1$8='[�A�0.��n L(�"$1/%P��' #���6.�"$%! L(7�H 0 ��A�k(7��.hN��� ! #�A<¦N��A,��?.mR(��!8hK�����.�"$ �"/�A�?%�@� #���4�!��%�,?1$ #%+(����:"$�e�numK���1/1$���B 6(�EA�!����<����H q20"$ #�h #���A%!�4��'z #��� ���+x"/�D(j_-��"X #�=KV(V5Y"$ ]8y��'0(7%�����K� :�#(7 �"/�^£B�?a sP��"/%6K����?_-��<=%v �����57(�1$"/.�"X ]8e��'��A,��UGH,-(71/"XR L(7 �"$5��:(��!EA,�<=���B #%+�!��EB(7��.�"$��Eo #�?�U2f��(�wkN��A,��?.-(��!8hK�����.�"$ �"/�A�h"/�?*�,�����K��U20�����F ����%!8Y<=<��n #�!8 � � �i"$%PN����Aw7���)a

£B�

Page 41: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

�pu?�����!"/<=���B #%P"$�i #���+23�V(7wY1X8i�����mRZdf��,�%�%!"/����%�Go�!��EA"$<��4��xm"$<���wH"$��%�@����A�A�A�3(�1$%��4K����mR_-��< ����^ ]2f�7R .�"/<=���?%�"/���-(�1/"X ]8D�7'+ #���j"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8D(���.c�?����5Y"/.��jGH,-(��B #"X L(7 �"$5A�^�n5m"«R.����?K��k�7'W ����k(7K�K�,?�#(�Kn8~��'+K���"$ �"/K�(�1f�-(7�#(�<=�� �����%h�¬xm"/<=��wH"/��%�@P���A�A�A�na �h�����^����K����B ��"/E�� ���!��%!%�,��!�DK����H5���Kn #"/��� �num������"$<����B #%j"/� (�� "$��K�1$"/����.¢����K�1$�A%�,?���y��':1/(���EA�y(�%ZR����K� ��#(7 �"/��� �J(���"/��1/%�@&�&1T(����t@z(���.gdf�m.?����%!KL�-(7 #�7@�ª7�A�A�B�:K����?_-��< ����^GH,-(�1/"X L(7 �"$5��%!8Y<=<��n #�!8BR N�����(�wH"/��EQ"$�?*-,�����K��4��'z ����4���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!Gh*-,�"$.������������! ]8e57(��!"T(7 �"/�A��%�A�F%��-(I #"/�IR #��<����A��(�1�"$��%! #(�N�"$1/"$ ]8j��'3K����H5���Kn #"/���M�!��%�,?1$ #"$��E^"/�e ����;�����n'[�����!��.y.���20�mR2�(7��.�.�"$%! #,?��N-(��?K��k�?���A�-(7EB(7 #"$�A�g(���.�K��A�B5A��Kn #"X5A�F"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8Aa �>�?'[�A�9 #,��-(I #��1X8A@r���GH,-(��B #"X L(7 �"$5A�F"$�?'[�A��<�(7 �"/�A�g�A� %!,�KL� *��20%j�-(�%^N������ �!�����A�! ���.� #�~.-(7 ���aPsP��"$%j"$%�-(��9 #1$8;.?,��W ��v #��KL����"$KV(�1�.�" �=K�,�1$ �"/��%r(�%!%��YK�"/(7 #��.�20"$ ��o<=�V(�%!,���"$��Ev*��2�KL��(��#(�Kn #����"/%ZR #"$K�%q,?��.����J�?"/EA�h������%�%�,?����� #��<=�����#(I #,��!�4K��A��.?"$ #"$�A��%�a �-�A�> #��"$%q����(�%����)@� ������A�!�� �"/KV(71(��-(�1X8Y%�"/%f"/�^K��A� �!,���K� �"/�A�Q20"X #�Q�H,�<=����"$KV(�1t%�"/<U,�1T(7 �"/�A�?%f%! �"/1$1��!��<�(�"/�i ����J�A��1X8o #�Y�A1$%'[�A�P"/�B5���%! �"/EB(I #"/�?E: #���`���B8Y%�"$K�%>��'{�����mRZdf��,�%�%!"/����%�Go*-��20%�a

����"/1$�o�A,?�:(��-(71$8H #"$KV(�1z����%�,�1X #%4(7���i"$���numK���1/1$���B ;(�EA�!����<����H U20"$ #�M #���A%!�i�AN? #(�"/�?��.NB8e�H,�<=����"$KV(�1 %�"$<:,�1/(7 #"$�A��%�@- ��Y,?%J.���<=�A��%9 #�#(I #"/�?Eo #���:(�K�K�,��#(�Kn8e��'z ����:<=�m.���1p.��SR5A��1/�A����.)@m2f�J�������q ��-(7 P��,��f23�A��w=20"/1/1�<=�� #"X5�(I #�0'[,? #,��!�J�num������"$<����B L(�1�����%!�V(��!KL�^"/� #��"$%�(��!�V(v(�%f"X f"$%f%��?�20�i ��:���!�5Y"$.��+(��o��5A���Q��"$KL�����r5�(7��"/�n ]8=��')*-��2¢�-(7 ! #���!��%f ��-(�� #����23��1$1�%! �,�.�"$��.;K�1/(�%�%!"/KV(71��>(�8Y1$��"/E��mRZd�����-(��!.;(���.4s�(�8Y1$�A�9R �f�A,��� ! #��*-��20%�aB�q%&���� ���.NB8 �j�A����%�K��i(���.�l>�V(�1$��8M��ª7�A�A�B�S@�(�1$ ����A,�EA�jK���<���1$�nujK��A�B5A��Kn #"$�A�k*-��20%+(7���v'[��,���."/�D57(��!"/�A,?%:���#(7K� #"$KV(�1f(�����1$"/K�(7 #"$�A��%�@��!�����A�! �%:��'0 #����"/�:�Sum������"/<=���B #(�1f"$�H5���%9 #"/EA(7 #"$�A�(����`%9 #"/1$1t%!,������!"/%!"/��EA1X8o��(����7a

� � � �[��� �� � V� �&� � � � �-� V�[��� �D�r1/�Y�Aw0'[�A�� #���z%!�A1/,? �"/�A�`��'?������N�1/��<���ª�� �t�Z�A��t"/�` #�?�r%!���-(7�#(�N�1$� ����,���"$���9R .���K��A<=���7R%���.h'[�A�!<

� � � . % . �?� ��M�� � ��� � � � M � M � M � � � . �[�UaX��

20�����!� M � � � M � � % � . @ M � � % � . � M � � % � . ( M � � % � � : � � ( M � �����@ � �Sum� ��" � �?�P"$%( �-�A,��!"/���rK���<����A�����H ���'� #���q.�"/%9 #,��!N-(���K��+K��A�!����%����A��.�"$��EU #�:2f(V5A���Y,?<:N������3@?(���.� � � � �;"/%`(Q%�<�(�1$1p�-(���(�<=�� #���J����������%����B �"/��E^ #���;%!"/���;��'r #�?�; �"/<=�nR .���������.?���B .�"/%9 #,��!N-(���K��:(�<=��1$"$ #,?.��J20��"/KL�e"$%q(71/1/��23��.j #�o57(��98^%�1/��201X8h"$����a-sP���U �����<=% ( M � �"/�Q #�?�6�Sum�-(���%!"/�A�j'[�A�� #���`.?8Y�-(7<�"$KJ������%�%�,?���:(7���`����K���%!%#(��98h"$�^�A��.����P #�; L(�w7�6"$�B #�(�K�K��A,��B ; #���QK��A��%9 L(��B 45A���! �"/KV(71�������%�%!,����jEA�#(7.�"/���H :����GH,�"$����.~ ��F<o(�"$�B L(�"$��(e�������(V5A����(�EA�+<�(�%!%f*-,mu� #���!�A,�EA�i(��B8i���A�!"/���A�B L(�1�K��!�A%�%ZR]%!��K� �"/�A�Q20�����Q.�"/%9 #,��!N-(���K���%0(��!�.���5���1$�A��"/�?E�a-sP���`�num�-(��?%�"/���h'[�A�� ����`%��-(7 �"T(�1$1$8�,���"X'[�A��< #������<=�m.?8Y�-(7<�"$K+������%�%!,����3O"/% 3 ��M� � � M � M � 3 M � . �[�Ua ªA�

20�����!�+ #���q"/��.�"X5Y"/.�,-(71p�[K��A�?%! L(7�H L�r #����<=% 3 M � (��!�+.��� ����!<�"$����.Q(I P�V(�KL�Q����.����f'[���A< #���QE�1/�AN-(713<�(�%�%UK��A��%!���95�(I #"/���}K��A��.?"$ #"$�A�����B�nap�M�Q(�1$%���"$�H ����Y.�,�K��o #���Q�?���A�����9 ]8

£��

Page 42: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

5A��K� #����� � � . � � . 6 . 4 � ��@?20��"$KL�h"$%0�num�-(���.?��.k%!"/<="/1/(���1X84 #�h���va$��S��r� � . % . �?� ��M�� � ��

� � � � M � M � � M � � � . �[�Ua��B�

20�����!��@�"/�^�-(7�! #"$K�,�1/(���@

� ó�ó � ����� � ó�ó . � ü�� � ����� � ü�� � � ������� � � ó�ó � ü � � ��� � 3 ü�� .� üzó � ����� � üzó . � ü�ü � ����� � ü�ü � �

ª � ������� � üó�ó . �[�Ua £H�

� � ó � ����� � � ó � � ������� ��� ó�ó � ü�� � � �ó�ó � ü�ü � � �ª � ��������� � ó�ó � � ó�ó � ü

� � ������ � ó�ó 3 ü�� .

#���=%�,?N�%�K���"/�m #%?��(���. 3 .������7 #�o��(��! �"T(�1{.?"$|��������B #"T(I #"/���e20"$ #�M����%�����K� 6 #� � ��� � % �(���.�3 ��� ��'4 #���D��GH,-(7 �"/�A� �7';%! L(I #���A�kK��A�!����%!������.�"/�?E������������! ]8 57(��!"T(7 �"/�A��'[�A�ZR<:,�1/(���@f(���.� #���F%9 L(��Q%!,�������%!K���"$�? j.����?�� #��%jK��A<=��1/�Su�K��A���!,�EB(I #"/���)a �>�2 2f�y(�%ZR%�,�<=�^ #���j�num"/%9 #����K��h��'+<:,?1$ #"$��1/�� #"/<=�^(���.g%��-(I #"T(71P%�KV(71/��%=%��y #�-(I � M � � � . �?� � M � � � � . � ó . � ü . §V§V§ . � ó . � ü . §�§V§��n@t20�������423�; #(�w�� � � � . � ó � � . � ü � ü � . §V§V§)(���.� � � . � ó � � . � ü � ü � . §V§V§?%!�= ��-(7

����

���� � �

����� ó � � ü

���� ü ������� .

�� ��

�� � � �

��� � ó � � ü

�� � ü �������

§�[�Ua �A�

sP���e(7<���1$"$ �,�.���% � M � @zN���"/��EF'[,���Kn #"$�A��%=��' �!1$�A��E �F%!�-(7 #"/(�1P%�K�(�1/��%o(I =20�?"/KL�g ����<��Y.�,�1/(7 #"$�A�=��' (v'[,���.�(�<����B L(�1��-(��!<��A�?"/KqK�(��iN��+�AN�%!���95A��.t@-.��:���� �.���������.Q��� � �%�"$��K��q ����q�����!"/�Y.�"/K�"$ ]8;��'� ����q.?"/%! �,���N�(���K��q"/%3 #(�w����Q"/�B #�:(�K�K��A,��B P�num��1$"/K�"$ #1X84NB8� �����num���A�����B �"T(�1$% � � � � � �na

xm,�N�%9 #"X #,? �"/��Ey�num�-(��?%�"/����%e�[�UaX��4(���. ���Ua��B�:"/�B ��M%98m%9 #��< �¬ªA� �t�Z�A��S@p2f�h�AN? #(�"/��(%��n o��'W��GH,-(I #"/����%=(7 =�V(�KL���A��.?���;��' � (���. ��arxm"$��K��Q ����^��GH,-(7 �"/�A��%4'[�A� � � (���.� � (����vK��A<=��1/�SuhK��A���!,?EB(7 #��%+��'r�V(7KL���� #������@�2f�41$"/<="$ 0�A,��WK��A�?%�"/.?���#(I #"/���k #�o ������GH,-(7 �"/�A�?%�'[�A�=����%�"$ �"$5��j57(�1$,���%���' )pa �W�7 #�h ��-(7 �M � M � @ � �M � � M � @� ��� �A@ � � ���� � � ó � � � �� ó �D�¡'[�A�`.��� #(�"/1$%+%����Qxm,�%!1/��5F(��?.D��(��A1/,?K�K�"W�Z���A�B�7N-���nasP���P%�����K�"$_-K�'[����< ��'� #���P��GY,�(7 #"$�A��%&(7 {�V(�KL�=�A��.?���p20"$1/1Y.���_-�?�0 ����f'[,��?K� #"$�A�-(�1Y'[�A��<��'0 #���Q.?��������.�����K��h��'>��"/E������ZR]�A�!.����4(7<���1$"$ �,�.���% � M � �A� � ó�ó (�%4.?��<=�A��%! ��#(7 ���.���nuY �a

£Hª

Page 43: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

� �r��� � ���I� �Y��� ����� � ����� � �� p����.���� � ó � ó 23�3��N? L(�"$�J #���r1/"$���V(��������9 #,��!N-(7 �"/�A�`��GH,-(I #"/����%�@�20��"$KL�U,����A�6<o(�wH"$��E #���`"$.����B #"X_-KV(I #"/��� � � ó�ó @�KV(7�hN��`EA"$5����j"/�^<o(I #��"«uo'[����<¦(7%�

����� ������ � � ' ó�ó � . ��dqaX��

20�����!�� ó�ó � � ó�ó . @ ó�ó . � ó�ó . ( ó�ó � ��@ � ó�ó @ ó�ó � ó�ó �e(7 % � . �A@ (���.D ������1$��<=���B #%&��' ��� (���. � (����PE�"$5A���;"/�=xm,�%!1/��5;(��?.���(��A1$,�K�K�"��9�����B�7N��Sa�sP��"$%&%!8Y%! ���<���'1/"$���V(��r.�"X|t�������B �"T(�1���GH,-(I #"/����%��-(�%f(U���A�B ���"$5Y"/(�1�%��A1$,? #"$�A�o��'� ����W'[����< � ó�ó @Y20��������

#� � � ó . � ü . §V§V§ . � ó . � ü . §V§V§��9� � � � �A��1X8y"$'P�A������(7 #���U�A�� ����i1/�n'¡ :�-(7��.�%�"$.��i��'P ������GH,-(7 �"/�A�="/%&%!"/��E�,�1T(��{(���. � � � � " � E (��?. ó�ó (��!�0����%!����K� �"$5A��1$8: ����>��"/E����B57(�1/,���%(���.j��"$EA���B5A��K� ��A��%>��' #���`EA��������(�1/"$%���.^��"/EA���H57(�1$,��J���!�AN�1/��<

� ��� � � � ó�ó �P§ ��dqa ªA�

sP��"/%=���!�AN�1/��< �-(�%=N�������%!�A1$5���.�'[�A�o(�20"/.?�h��(���EA�j��'J¤o(���.��J�;"/�cxm,�%!1/��5g(���.�p(���1/,�K�K�"r�9�V�A�B�7N��Sa�sP���`��"$EA���B5���K� ��A��%W(��!�6�?�A��<�(�1/"$%���.Q"/�Q%�,?KL�e(42�(V8Q #��(7

<o(Iu � @ ó�ó � <�(Iu � @ ��� � .%��;2f�`K�(�� �!,?.�EA�J #���`.�"$%! �,���N-(7��K��`<�(�EA��"X #,�.��JNB8Q"X #%0(�<=��1$"$ #,?.��+�A��1X8Aa

sP���^%!8Y%! ���< ��dqa ª��n@p20"X #�}.�"$%�K��!�� �"/%���.g%!�-(7 �"T(�1r5�(7��"T(7N�1/�7@��!��.�,�K���%; #�F(���(�1$EA��N?�#(�"$K��"$EA���B57(�1/,?�4�����AN?1/��<ja �-�A�+'[,m #,��!�=K��A�B5A����"/����K��=2f�;.��n_-���; #���;K���������%����A��.�"$��E^.�"/%ZRK��!�� #�z%!"/��EA,?1T(���<o(7 ���"«uq�������#(7 ��A��� � � � ��� � � (��?.6"X #%�(7.��!�A"/�B ��� � � �� � �� � � � �#� �%�,�KL�j #�-(I � � � � ó�ó � . ��dqa��B�20�����!� ó�ó "$%� #���`.�"$%�K����� ��6(�.��!�A"$�H 0��"/EA���B5A��Kn #�A�>���A�!<o(71/"/%!��.i"$�^%�,�KL�k(42f(V8Q #�-(I

� ó�ó . � ó�ó � �A§ ��dqa £H�

sP���6"/�������P�����Y.�,�Kn >��'� ]23�=.�"/%!K����n #���^R K��A<=���A�����B 05A��K� ��A��%���(���.���@?.������7 #��.hNB8(���EA1$�JN��#(7KLw��� �%�@�"/%0.��n_-����.k(�%���� . ���� ����!

� ó � �! � ! a�xm,?N�%���GY,?���B #1X8A@�'[���A< ��dqa ªA�P(���.�¬dqa £H�3'[�A1$1/��20%� #�?�6.?"/%������!%�"$�A�^����1/(7 #"$�A�

� � ó�ó . ��� ó�ó � § ��dqa �A�

�+"$|����!���B #"/(7 #"$��E^�¬dWa ªA�320"X #�j����%�����K� 0 �� �D23�`�AN? L(7"/�

� � � � � ó�ó� � � � � � �� � ó�ó

� ������ �

��� � � ' ó�ó ��dqa��B�

(���.� � � � � ü ó�ó� � ü

� � ü � � � �� � ü ó�ó � ª

� � � � �� �

� ó�ó� � ' § ��dqa �A�

£B�

Page 44: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

sP�����t@�K��A��%�"$.����!"/��E; #�?�U"/�?�����0���!�m.�,?K� #%W��' ó�ó 20"X #�}��dqa��B�n@�(���.j,�%!"/��Ee�¬dqa��B�0(���.�¬dqa £H�S@?2f�6�AN? #(�"/�

� �� � W"���� � >" ��

� ó�ó . ������ � ó�ó�� . ��dqa��B�

20�����!� � " � "/%z #���>K���<���1$�nu4'[�!��GH,�����K�8o(���. � � � � " � E "$%& #���WK��A<=��1/�Su;EA�!�A,��%�������.i��') ����W��(�KLw��n P��'�.�"$%! �,���N-(7��K��>2�(V5A��%�K����B #����.^(7 z2�(V5����H,�<:N������ra �>�� #�0 #��(7 #���rEA�!�A,��U%!������.:.?��_-����.:NB8��¬dqa��B��"/%�����(�1H�A��1X8`(7 �57(�1/,���%��7'/�Q������5Y"/.?"/��E><o(u?"$<:,�<�A�><�"$��"/<:,?<¦1/"$���V(��>(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A�Q�#(7 ���%�@�"¬a��7a�(71/�A��E=1/"$����% � (���. ��"/� ��"/E�a��i�¬(B�S@%�"$��K��j'[�A�= �����%!�h2f(V5A���H,�<UN�����% �JE � � � F � � �ma �-�A��(�1$1P�� #������57(�1$,���%=��' �r@�JE � �h��%!��� �f�#(�"$w�@����A�B�m@m�-(�EA�;�V£B�na �-����< �¬dWa �A�323�v(�1/%!�=��N? L(�"$�

� ü�� � ü

� ó�ó . ª � � � � �� �

� ó�ó� � �

� ü ���� � ü ó�ó�� . ��dqa��B�

20��"/KL�^20"/1$1tN��`,�%���.k"/�^�W��������.�"«u��:a

� � �Y�A��� ����I �H�o� �H� �

�f�A1/1$��Kn #"/�?E: #���!<�%0(I 0�A��.���� � ü � ó 2f�6�-(V5A��� üzó ��� ��� üzó��� �

� ' üzó � " ���� � ó ������ � �

������ ó

� ' ó�ó . � �qaX��

20�����!� üzó � � üzó .A@ üzó . � üzó . ( üzó ��i(7��. � üzó @ üzó � üzó �`(7 % � . �AaHxm"$��K��7@H(�%%�����20�="/�4�W��������.�"«u=dq@ � = � � � � @AK��A<���(7 #"$N�"/1$"$ ]8J��'� #�?�P1/��'¡ 9R�(��?.=�!"/EA�B 9R]�-(��?.4%�"/.?��%��'q� �qaX��q����GH,�"/�!��%J #�-(I � üzó

#� üzó � � ó . � ü . §�§V§ . � ó . � ü . §V§�§ �Z� � � � %!�Q #�-(7 ��� üzó F ��� � � � üzó a�sP�����y,����A��,�%!"/��EM�¬dWa�£H�W(���.��¬dWa �B�W ����4"/�?�����+�?���Y.�,�K� +N��n ]2f�����D��GH,-(7 #"$�A�� �qaX��P(���.Q #�?�6%!�A1/,m #"/��� ó�ó �7'� ����6(�.��!�A"$�H ������AN?1/��<\����%!,�1$ �%0"/�

� ������ � ó �

������ ó . � �qa ªA�

"�a ��a� ����U.�"$%! �,���N-(7��K��v(�<=��1/"X #,�.�� � #� � � ó . � ü . � ü . §V§V§�� � � � � @ � ó � ó �� � ó a�sP�����������N�1/��< � �qaX���"/%� ��#(��?%!'[�A�!<���.^ ��

� üzó � � � � üzó ������ ó

� " ������ � �� � ' ó�ó § � �qa��B�

b ="/%4K�1$�V(��4�?�2 #�-(I �K��A<=�-(7 #"$N�"/1$"$ ]8F��'> #�?�j1$��'¡ 9R6(���.���"$EA�B !R]��(���.~%�"$.���%;����GH,�"/�!��%� üzó ��� F ��� ó axm�A1X5�(7N�"/1$"$ ]8^K�����.�"$ �"/�A��� �qa ª��q��,? #%J ����;��"/E��H 9R]�-(7��.�%�"$.��;��'r��GH,-(7 �"/�A�g� �qaX��+"/�e �����#(��?EA�+��'� ����+%�"$��EA,�1/(��f1$"/����(��r�A�����#(7 ��A� � � � � %!�: #�-(I ���GH,-(I #"/���y� �qaX��3�-(�%f"/�?_-�?"$ #��1$8

£A£

Page 45: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

<o(7�H8o%��A1$,? #"$�A��%�a?b]��.�����.hNH8iK��A<=�-(��!"/��Ej� �qa �B��(7��.M�¬dqa��B�n@m2f�`%����6 ��-(7 P ����J<:,�1X #"XR #,�.?�6�7'p%!�A1/,? �"/�A�Q�7'0� �qa��B�fK�(��hN��J20��"X � #���j(�%

üzó W"� ó�ó� � � © ó�ó . � �qa £H�

20�����!�o©i"$%6(��D(7��N�"X #�#(7�!8�K��A��%! #(��B Va�s �h��1/"/<="/��(7 #�U ���"/%6(�<UN�"/EA,?"$ ]8j2f��"/<=���A%!�;(���nuY #��(>���! #�?�AEA�A�-(71/"$ ]8WK�����.�"$ �"/�A� � M � . ó�ó � ��20������� � �z�A�2) � ��a��&�H8Y%!"/KV(71/1$8 #��"$%4<���(���%: ��-(7 4 #�?�j.?"/%! �,���N�(���K��j(�<=��1$"$ #,?.�� � "$%4KL���A%����g"$�~%�,�KL�c(k2�(V8} #��(7 #���v��"/E������W�A��.����qK��A���!��K� �"/�A�?%W #�� #���v%��A1$,? #"$�A�k.��o���� J(I|t��K� q ����U"$�B #���?%�"$ ]8h��'{ ����K��A<=���A�����B f��'� #���WK��A<=��1$�� #�W%��A1$,? #"$�A�=EA"$5����iNB8= #���+��"/EA���?'[,���Kn #"$�A��% ó�ó (���.o�A��1$8(�.�.h�A�! ����AEA�A��(�1�<��Y.�"X_-KV(7 �"/�A�?%�a-�0��GH,�"$��"/�?E � üzó . ó�ó � �=_mu?��%q©: ��� #�?�v,��?"/GH,��57(�1/,��

© " � ó�ó . � ó�ó F � ���� ó�ó . ó�ó � §

�&GY,�(7 #"$�A��%q'[�A�> #���4<=�V(7�k*-��2OK��A���!��Kn #"/����(���"$%�"$��E�'[�!�A< ����!<�%+�7'& #���:����.���� � ü � �(���.k'[���> ����:%���K��A�?.��-(���<=�A��"$K6(���"$%�"/�?E='[�!�A<� #���!<�%W��'{ ����U�A�!.���� � ü � ü �-(V5��:N�������AN? #(�"/����.6(���.6.�"/%!K�,�%!%���.U"/�`.��� #(�"/1�"/�vxm,�%!1/��5`(���.v�p(7�A1/,�K�K�"��Z���A�B�7N-�)(���.Uxm,�%�1$��56(���.�p(���1/,�K�K�"0�Z���A�A�B�W(���.F(��!�4���� `��������(7 #��.F�����!��a)�M�4�A��1$8h���� ��: #�-(I J,���1$��%�%`%!����K�"T(71����%��A�-(7�H UK��A�?.�"$ �"/�A��%`�YK�K�,��i�¡20��"/KL�M.��Y��%U�?�k�-(��?�����D"/�F #�?"/%6%! #,?.?8?�o��%!���ixm,�%�1$��5(���.}��(��A1$,�K�K�"�@z���A�B�IN��J ����o�������#(7 ��A��% � � � ü � (���. � ü � � ü � (��������� :%!"/��E�,�1T(��6(��?.����"/%!%�,���%W��'�%���1$57(�N�"$1/"$ ]8=�A�P�?�A�mR],?��"/GH,�������%!%W�-(V5��6 ��=N��`����%��A1X5A��.h(7 0 #�?��%��6�A�!.����!%�a

� �v���� �� ��� �^�������p��� � ��� �-����-�7���)���m������sP���6%!8Y%! ���<¦20��"$KL�h�!��%�,?1$ #%>(7 0����.���� � � � ó "$%PEA"$5����jNB8

�� � ó ��� ��� � ó��� �

� ' � ó ��� ��� ü�� � ó � � ü �� � üó

� " ������ � üzó ��ª� ü ���� � ü ó�ó '

� "���� � ü

������ � ó�ó � � � ���

��� ü ó�ó �

� ü ���� üó

üzó ' . � �:aX��

20�����!� � ó � � � ó .A@ � ó . � � ó . ( � ó � � @ � � ó @ � ó � � ó �6(7 % � . �A@H(���.=2f�>�-(V5A� L(�w7���h"/�B #�;(�K�K��A,?�H > #��(7 V@-(7%0'[��1/1/��20%f'[�!�A< � �qa ªA�S@� ü ���� ó � � ó

� � ü �� � üó

� � ü ���� üó

§

sP���v5���Kn #�A� � � ó >�� � ó �� ó . � � ü �� ó . � � � �� ó . � � A �� ó B � "/%W(='[,?��K� �"/�A�h��'&%���1/,? �"/�A��%0�ANm L(�"$����.k(7 1/��23���+�A�!.����!%J��' � (���.�"$%+EA"$5�����"$�Fxm,�%!1/��5}�Z���A�B���na�sP���4��"$EA�B !R]��(���.e%!"/.��:�7'W� �:aX��K��A�?%�"/%9 #% ��'� �����<=%�20"$ ��v #�?�����r.�"X|t�������B '[,���Kn #"/���-(�1B.���������.����?K�"/��%{�A�` #���f(�<=��1/"X #,�.��� � � � � � ü @ � ü � F ��� üó @ ��� F � � ü asP�������n'[�A���3"/�6�A��.����� #�qE�,-(��#(7�H ����z #���rK���<��-(I #"/N?"/1/"X ]8

£H�

Page 46: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

��'� #���>%!8Y%! ���< '[�A�&.?"$|��������B r �"/<=��%&"X z�-(�%& #�6N��P%!��1/"X z"/�B #�J ��������>"$��.���������.����B 3�-(��9 #%����������%����B �"/��Ee��(�KL����'f #���o(�N���5���'[,���Kn #"$�A�-(�1&'[�A�!<�%�a�sP��"/%U(�1/%!�h�!��GH,�"/�!��%6 #����%�1/��2��5��A1/,? �"/�A�F��'3(�<=��1$"$ #,?.�� � #�^.���������.D"$��EA���?���#(71&�A�� #���;%#(7<��: ��������;'[,?��K� �"/�A�-(71'[�A��<=%�@?�-(�<=��1$8�@

������ ü � ó

��� ��� ü �� ü� ü �� � üó � � � ���� � ü §

�+,��0EA�B(�1)�?�2 "/%� ��=��N? L(�"$�Q #���`K�����%! #(��B #% � ó @ � ü (7��. � � a�&GY,�(7 #"$�A�M� �:aX��f%���1$"$ �%P"/�B #�=(4%!8Y%! ���< ��' #���!���`��GH,-(I #"/����%

��� � ó �� ó ��� ��� � ó �� ó��� �

���� � ó �� ó ��� � � ü � � � ó � � ó � ó�ó � . � �:a ªA�

��� � ü �� ó ��� ��� � ü �� ó��� �

���� � ü �� ó � ü ���� üó 8 � " � � �� � �� � ' üzó

�� �ª� ü � �� � ü � � ü � ' ó�ó > . � �:a��B�

��� � � �� ó ��� ��� � � �� ó��� �

���� � � �� ó ���� � ü � " � � �� � �� � � ' ó�ó § � �:a £H�

�W��2 K���<��-(I #"/N?"/1/"X ]8���'q #���h1/��'¡ 9RU(���.��!"/EA�B !R �-(���.g%�"$.���%�����GH,�"$����% � � ó �� ó � � � � ü @� � ü �� ó � ü � F ��� üó @ � � � �� ó ��� F � � ü %��; #�-(I P #���6(�N���5A�6��GH,-(7 �"/�A��%PN���K��A<=�

� � � � � ü � � � ó �� ó � � ó �� ó � ó�ó . � �:a �A�

� � � � � ü �� ó � " ������ � �� � ' üzó � � �ª� ü ���� � ü �� ü � ' ó�ó . � �:a��B�

� � � � � � �� ó � " ������ � � � � � ' ó�ó § � �:a �A�

sP���Q1/"$���V(7�U�A������(7 #�A�v�A�} #���o1/��'¡ 9R]�-(7��.}%�"$.��i��'>��GH,-(I #"/���¢� �:a �A�6"$%U ]8Y��"/K�(�1/1X8M�?�� %�"$��EA,�1/(��z(���.; #�������n'[�A���0 #��"$%z��GH,-(7 �"/�A�=�-(�%3(6,?��"/GH,��0%���1/,? �"/�A�4'[�A�r(��B8457(�1/,?�P��' � ó asP�H,�%�@��A�! ����AEA���-(�1/"X ]8o��(7 #�?���0 #�-(��^ #�?�vK��A�B5A���B �"/�A�-(71�%!�A1$57(�N�"$1/"X ]8�K��A��.�"X #"$�A�^�-(�%0 #�N��Q,?%���.~ #�e_mu} #���i57(�1$,��i��'> #�?"/%:K��A��%! #(��B Va&�W%4%�����20��"/��xm,�%!1/��5~(��?.~�p(��A1$,�K�K�"�9�����B�7N��S@? #���`K��A��.�"X #"/��� � � ó �� ó . ó�ó � �;1$�V(�.?%0 ��

� ó qª � �� ó�ó . ���� ó�ó . ó�ó � . � �:a��B�

20�����!� � � ��� .A@ � . � � . (�� � � "/%� ����`%��A1$,? #"$�A�Q��'� � � � � ü � � � � � ó §

£B�

Page 47: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

�W�� ��v ��-(7 > #���U(�N���5��v57(�1/,?�v��' � ó (7�������A(�KL����%W #���65�(71/,��6EA"$5����hNH8^ ����U%9 L(���.�(���.%��A1X57(�N�"/1$"$ ]8=K�����.�"$ �"/�A�Q"$�Q #���`1/"$<�"X � � � �?a

xm"/�?K��+ #�?�J1/"/�?�V(��3�A�����#(7 ��A��%f�A�Q #���J1$��'¡ !R �-(���.o%�"/.?��%P��' ��GH,-(I #"/����%6� �:a��B�f(��?.y� �:a �A�(����W%�"$��EA,�1/(��&2f�J(7����1$84 ����+%!�A1$57(�N�"$1/"X ]8:K�����.�"$ �"/�A�t@B"�a ��aYK��A��%!"/.����3 ����q"$�������r���!�m.�,?K� ��' #����%��6��GH,-(7 �"/�A��%P20"X #� ó�ó a�sP�?���k,?%�"/�?Ek��dqa £H� �t��dqa��B��(���.D� �qa £H�323�v�ANm L(�"$�

� ü �ª� ü �� � ü . � � �� § � �:a��B�

�W��2 �!��K��A��%! �"$ �,? #"$��E4 #���J #"$<��q.����!"$57(7 #"X5A�J��' #�?�v(7<���1$"$ �,�.���@Y2f�6�-(V5A�

������ � �

������� ó � � ü

������ ü ������� � � �

������ � ó � � ü

���� � ü ' � � ü � ü

� ü �� � üó

� �ü� ó � � � � ü ������� .

�A�P,�%!"/��Ek���va �A������� �� � ��

���� � �� ü

� ü �� � ü � � ü � ó ��� � � ü �������

§

�h,�1X #"/�?1$8Y"/��Ee ����e(7N���5A�h��GH,-(7 �"/�A��NB8 � @z�!��.��n_-��"/�?E � � � � (���.g����E�1/��Kn #"$��Ey ������"/E������ZR]�A�!.����J #����<=%`"/�M(�<��?1/"$ �,�.��U23�o��N? L(�"$�� #����P�6� � �Z��q'[�A�J #����(�<=��1/"X #,�.��� � � � . �?�f��'{(4%!�-(7 #"/(�1/1X8o<=�Y.�,�1T(I #��.Q<=�A���YKL���!�A<o(I #"/KW.�"/%9 #,��!N-(���K���a�D�4�?�� #�U ]23�j(�%�����Kn #%+20��"$KL�F.�"/%9 #"/�?EA,�"/%!�h ����;(�N��5��4.����!"$57(7 �"/�A�j'[���A< #����%��4K����mR5A���H �"/�A��(�1/1X8v'[�A,?��.�"$�: #���01$"$ #���#(7 �,����7a �p"$��%9 V@7 ����0.�"/%9 #,��!N-(���K��0(�<=��1/"X #,�.��f"/%&(�1$1/��23��. #�~N��M(}'[,���Kn #"$�A����'U �����'�(�%! Q �"/<=� � � (��?. "X #%Q<�(�EA��"X #,�.���"$%Q���� j.�"$����Kn #1X8����SR1T(7 ���.k ��o #�?�:.�"/%9 L(��?K��U'[�!�A< K���"X #"$KV(�1$"$ ]8Aa-sP�?"/%+<=�V(��?%q #�-(I q23�4.��i���� +"/<=���A%!�6 ����K��A�B5����B #"$�A�-(�10����GH,�"/�!��<=���B #% � � � � �� � � ü �4(��?. ��¨6© ¨6© � � F�¨`© � �� � � ü �^��%!���lW����N����! �@����A�A�A�na?sP�?��8j(��!�v(V5��A"/.���.^NH8^,?%�"/�?E; ����J�A�9 #���AE��A�-(�1$"$ ]8�K��A��.?"$ #"$�A�Q"/�^(7.mR.�"$ �"/�A�= #�: ����+%���1$57(�N�"$1/"$ ]8:K��A��.?"$ #"$�A�i(I �57(���"$�A,�%f����.�����%���'�%!<o(71/1�(�<��?1/"$ �,�.��W(�%f2f(�%_-��%9 >%�,�EAE���%! ���.jNB8i #���`(7,? #������%0"/�jxm,?%�1/��5i(���.j�p(���1/,�K�K�"r�9�V�A�B�7N��Sa �W(7 #,���(�1/1X8A@H #��"$%.��Y��%=���� �"/<=��1$8y #�-(I � ����h.?����"X5A��.�(�<=��1/"X #,�.?�Q��GH,-(7 �"/�A��"/%;57(�1/"$.~(���N�"X #��(���"$1$8y'�(��'[���A< K��!"$ #"$KV(�1$"$ ]8�a�b]��.?����.~ #�?�j�!��GH,�"$����<=���B =��'W%�<�(�1/1f(�<=��1/"X #,�.���"/%4��GY,?"$57(�1/���B 4 #�� ��� = � � � F � �ó �� � � � � �620��"$KL�k"$�j �,����h.���_-�?��%W ����6����1/(7 #"$�A�^N��n ]2f�����k ����'�(�%! 4��1$"/����(��L�P(���.k%�1/��2 �[���A��1$"/����(��L�� #"$<���%�KV(71/��%�a�sP��"/%WK��A��.?"$ #"$�A�k"$%W.?��_-��"X #��1$8j%#(7 9R"/%9_-��.����V(��z #�?�WK���"$ �"/K�(�1/"X ]8A@�N?,? r<�"$EA�B r'�(7"/1?'�(��r(V2f(�8;'[�!�A< "$ �aB�� 3 ����>%#(�<=�P #"/<=��@�"/�%��A<=�0���B8Y%�"/K�(�1������AN?1/��<=%�@A(���.o"$�;�-(��! �"/K�,�1T(��&"$�= ����>�A���0K��A�?%�"/.?������.o�������7@m"X z<�"$EA�B ���A1$.:'�(��! ������&(V2f(V8:'[���A< K��!"$ �"/KV(71/"$ ]8q #�-(��=(+.�"$%! #(���K��P�7'�����.���� � ü aAsP��"$%{K��A�?.�"$ �"/�A�:"$%KL����KLw7��.=(0���A%9 #����"/����"�20�����U #�?�3�H,�<=���!"/KV(71�57(�1/,���%��7'? #�?�3K��m����K�"/���H �%p(7���zK��A<=��,? ���.(���.y"/%+'[�A,?��.� #�^N��423��1$1&%#(7 �"/%!_���.y"/�� #���;K�,����!���B `2f�A�!w�apxY��K�����.)@) #�?�=.?����"X57(7 #"$�A�������%����H ���.������!�>.?�m��%r�?�� &����1$8U�A�4 #���P'�(�Kn & #�-(7 �e"/%p ����P2�(V5A���H,�<:N����rK��A�!����%!������.mR"/��Ej #�k ����o1/(���E���%! v1/"$���V(7�U(�<=��1$"$_-K�(7 #"$�A���#(7 �� � � a�b]<=��1$"/KV(I #"/����%J��'P #�?"/%v(����=5A���98

£H�

Page 48: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

.���1$"/K�(7 #��(���.D(����=.�"/%!K�,�%!%���.�"$�y ����oN��Y.?8F��'� ����oK�,����!���B 4�-(�������a�sP���i<�(�"/�F�A,? 9RK��A<=�:��'r #�?"/%+�Sum �����.?��.M �����(7 #<=���B J"$%+ #���4K��A<��?,? L(7 �"/�A��(�1/1X8Q%! ��#(�"$EA�B �'[�A�92�(��!.y(���."/���Sum������%�"X5A�>K���"X #����"/���;20�?"/KL�="/%&'[�A��<U,�1T(7 ���.4"$�ixm��K� �"/�A�=£6(���.;20��"/KL�o(�1/1$�20%&�����P #�� 7 � � 0�� �FK #����N���,���.�%v��'�K���"$ �"/K�(�1&�-(���(�<��n #����%`'[�A�6 ��#(��?%�"$ �"/�A�FN��� ]23�����}K��A�B5A��K� �"$5A�(���.h(�N�%!�A1/,? ��J"/��%9 L(�N?"/1/"X #"$��%z20�����h,�%�"$��E4 #��� �P�`���c(�%>(423�A�!wY"$��E=<��Y.���1¬a

� �U���� ���Y ���)���?��[��� � �������:��A�D���k� � ��� � � �������;1$"/����(���%9 L(�N?"/1/"X ]86(��-(�1X8Y%�"/%p������.�"/Kn #%p ������num"$%! #����K��0��'- ]23�`"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8J<=�m.���%&(%!8Y%! ���< ��'-K���,���1/��.4(�<=��1/"X #,�.?�&��GH,-(7 �"/�A��%�.���%!K��!"/N���%p ����f.?8Y�-(7<�"$K�%�aI�q%!%�,�<="/�?EW #��(7 ]2f�6"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8`<=�m.���%z(����P�?����%!���B 3"/�: #�?��*-��2`@B�V(�KL�=��'�20��"/KL�;"/%&KL��(��#(�Kn #����"/%!��.=NB8"$ �%v��20�}(�<=��1$"$ #,?.�� ��! � � � �n@)2f(V5A���H,�<UN���� � ! @�K��A<��?1/�nuy1$"/����(��6(�<=��1/"X_-KV(7 �"/�A��#(7 �� � ! (7��.ME����A,��y%�������. �� ! @ � � . ªm@t'[,�1$1$8k,���K���,���1/��.M%!�� �%v��'f��GH,-(7 �"/�A�?%v(7��"/%!�'[�A�;�V(�KL�c��'+ #�?�h<=�m.?��%;'[�A�4 #���^'�(�%! �%���(7 #"/(�1�57(���"/(7 #"$�A�~EA"$5����cNB8 � ! ,��� #�D(���."/��K�1/,�.?"/��E` #����<=%3��')%���K��A��.Q�A�!.����r"/� � a �f��,���1/"$��E` #���!<�%�@H��') #�?�W'[�A�!< � ó � � ü � ü (���.� ü � � ó � ü @�(��?����(��P(7 3 #��"$��.i�A�!.����f"/� � a �>%�"$��EU #�?�+%#(�<=�+���!�mK���.�,?���`(�%�.?��%�K���"$N���.Q"/��q�������?.�"Xu��:@m #����%��6�nuY #��(; �����<=%01/��(�.Q #�=(4%�����(��#(7 ��`%!8Y%! ���< ��'���GH,-(7 �"/�A��%�

� � ó�ó ��� � ��� � ó�ó��� �� ' � ó�ó � ó � � ü � ü�� � ó�ó � ��� ó��� ü

� ó�ó�ó . � �PaX��

20�����!�y ����F5A��Kn #�A� � � � ó .��������?.�%k�A�¢%���1/,? �"/�A��%Q��N? L(�"$����. (7 j1/��23���^�A�!.����!%h"$� �(���.�"$%`.���_-�?��.}"/��xm,�%!1/��5M(���.���(��A1$,�K�K�"+�Z���A�B��(m@�N��Sa xm,�N�%!��GH,����H �1$8�@p #����K��A,?��1/"$��E(�<=��1/"X #,�.��J��(�%> ���N��6��'p ����6'[����< � � ó�ó � ó � � ü � ü (���.^ #���6%�1$��2 #"$<��J.�����"X5�(I #"$5����' � ó �-(�%W ��iN��U��'z(�%�"/<="/1/(��f'[�A�!<h@ ��� ó F ��� ü � ó¡ü � ó � � ü � ü a��q%+"$�k�q�?������.�"Xu � #��"$%P����%�,�1X #%0"/�j(��j��GH,-(7 �"/�A�Q20"X #�j(4���A�mR %�"/�?EA,�1T(7���A�����#(I #�A�P�A�^ #�?�61$��'¡ 9R]�-(��?.Q%�"/.?�

� � � � � � � ü � �� � ó �� ó�ó � � � ó�ó �� ó¡ü � ó�ó�ó � . � �Pa ªA�

20�����!�i #���QK��A��%9 L(��B � ó¡ü "$%:,���"$GY,?��1$8M.��n #���!<�"$����.}NB8M #���i���! #�?�AEA�A�-(71/"$ ]8yK��A��.�"«R #"$�A�M��%����U��GY,�(7 #"$�A��� �:a �A���na�xY,�KL�e(;�����YK���.�,��!�U1/��(�.�%P #��(;%!8Y%! ���< ��'� ]23�iK��A,���1$��.�`"$����N?,���E7R]��(���.-(�,Q��GH,-(7 #"$�A��%

����!��� � �� ! ����!� � �� �! ��! � � ! � ü ��!� � ü � � ! ó ��! � � ó � ü � � ! ü ��! � � ü � ü . � � . ª�§v� �Pa��B�

�q%�.?"/%�K�,�%�%!��.^NB8i�J����N�1/�YKL�i(��?.��+�+��,�K�(Q�9�����A�B�z(���.^�&"/����K��q(���.o�D(V8Y���=�9�����B�A�n@ #��"$%J%��n U��'3��GH,-(I #"/����%`(�1$ ����A,�E��y<�(7 �����<�(7 #"$KV(�1$1$8^K��A���!��K� 6<�(V8eN��="$��K���<���1$�� ��4(�%"$ q�A��1$8j.���%�K���"/N���%J1$�mK�(�1�2�(V5A�4"$�B #����(�K� �"/�A�?%�atb]�?.�����.F ����:�A�?1$8h"/�B #���#(�Kn #"/����%q"$�k #��"$%%!8Y%! ���< (����`.�,?�6 ��� #�?�vK�,�N�"/KJ �����<=% ��! � � � ! � ü 20�?"/KL�k����1$8QK��A�B #�!"/N�,? ��v"X'� ����` ]2f�2�(V5��4���B5A��1/�A����%J(7���v'[��,���.�(7 W #���v%#(�<=�U�?�H8Y%!"/KV(71p1/�YKV(I #"/���k(7 > #�?�:%#(�<=�v �"/<=��a-b]� #���^K�(�%��^��'W1/�YKV(�1$"/%!��.D2f(V5A�k��(�KLw��n #%=�����A��(�EB(7 �"/��Ee20"X #�~.�"$|����!���B =EA����,��~%�������.?%�@20��"/KL�g"/%;����1/�n5�(7�H ; ��MK��A�B5A��Kn #"X5A��(��?.�(�N�%!�A1/,m #�^"/��%9 L(�N?"/1/"X #"$��%UK��A��%!"/.�������.g"/�~ #��"$%

£B�

Page 49: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

2f����w�@p #�?"/%U"$�B #����(�K� �"/�A�M #"/<=�="/%:%!<o(�1$1r(���.)@p(�%:.�"$%�K�,?%�%���.gNB8D�&"/���!K��^(��?.���(V8Y����9�����B�A�n@�K���,���1/��. �P�`���&%J�Su?K�1/,�.?�: #���:���A%!%�"/N?"/1/"X ]8Q��'z<:,m #,-(�1�%��-(I #"T(71�<=�m.?,�1T(7 �"/�A���'r #���4 ]23�j2f(V5A�=���B5A��1/�A����%6�������-(�EB(7 �"/��Ei20"X #�F.�"X|t�������B 6EA�!�A,��F%�������.�%�a�sP���=�H,mR<�����"$KV(�1)%!"/<:,?1T(7 �"/�A�i�7'p��GY,�(7 #"$�A��%v� �Pa��B��K��A��.?,�K� ���.kNB8Q ����6(�,? #�?�A��%0K����?_-��<=%P #��"$%K��A�?K�1/,?%�"/���)a

b]���A��.?���+ #�i(�K�K��A,��B J'[�A�+������1/�YKV(�1 <=�m.��vK��A,?��1/"$��E�@�2f�4EA��������(�1/"$%��6 #���4���!�mK���.�,?�����'`�J���AN?1/�YKL��(���. �+�e��,�KV(c�9�����A�B�na3�+��"$EA"/��(�1/1X8D"X �2f(�%o.?��5A��1/�A����.�'[����K��A,��B #���9R�������-(�EB(7 �"/��E�2f(V5A��%h20"$ ��� #���y%#(�<=��EA�!�A,��¢%�������.taWl>���!�F23�yK��A��%!"/.����Q #���FKV(7%����'62�(V5A��%k���!�A�-(�EA(7 #"$��ED20"$ ��¢(���N�"X #��(��!8cEA���A,?�¢%!������.�%�a0b]� �A�!.����i ���(�K�K��A<��?1/"/%!� #��"$%�@)23�o(71/1/��2 %�<�(�1$1{�����! �,���N-(I #"/����% � ! ��'f ����4'[,���.-(�<=���B #(�1z(�<=��1/"X #,�.���% ��! a��q%%�����20�y"/���W��������.�"«u �q@�(�<=��1$"$ #,?.���% ��! (��!�U'[,���Kn #"/����%J��' � ó ! � ó �� ! � ó atsP�H,�% #����K��A,���1$"/��E�(�<��?1/"$ �,�.���%o(��!��KL���A%!���� #�}N�����'` #���h'[�A��< � ��! � � ó ! . � ü . � ü . §V§�§ � �� ü � ! � � ó�� � ! . � ü . � ü . §V§�§ �S@ � � . ªmamsP�?�+��GH,-(7 �"/�A�?%f'[�A� � ! ����%�,�1X #"/�?E4(7 P%!��K�����.^�A��.����"/� � (��!�o"$.����B #"$KV(�1z #�h #���i1$"/����(���"$%���.D��GH,-(I #"/����%^�¬dWa$��Sa��� :�A��.���� � � @�(�<��?1/"$ �,�.���%� ! "/�B #�!�m.?,�K��e �����<=%^���������A�9 #"$�A�-(�1> #� � � @ � ó @ � ü @ � üó @ � üü @ � üó @ � üü @ � ó � ü @� ó � óü @ � óó � ü @Y(���. � óó � óü am�&����5Y"/.���.o #��(7 f�?�v2f(�5����H,�<:N����P�!��%!�A�-(���K��+�YK�K�,?��%��"¬a��7a�ª"� ó � � ü (�%�%!,�<�"$��E; #�-(7 � ó � � ü �P ����6�A��1$8i�nuY #��(= #����<=%P20��"/KL�hK��A�B #�!"/N�,m #� #�� #�?�j�!"/EA�B 9R]�-(��?.�%!"/.��Q�7'+��GH,-(I #"/��� � �:a$���:(����i ����A%��^���!�A���A�! �"/�A�-(713 #� � ó a&sP���(�.�.�"X #"$�A�-(�1���GH,-(7 �"/�A�)@?%�"/<="/1/(��z #�=��GH,-(7 �"/�A��%6� �:a ª�� �t� �:a �B�S@?N���K��A<���%�

� � ó�ó ��� � � � � ó�ó��� �� ' � ó�ó 8 " � � ó� � ó

����� �� � �

� � � ó��� ó �

��� ó��� ü ' � > ó�ó�ó � �Pa £H�

sP���6��GH,-(7 �"/�A�Q'[�A� � � � ü @�"�a ��am #���`%���K��A�?.k<=�m.��7@�"/%P%!"/<="/1/(���a�-�A1/1$�20"$��ED ����M%9 #����%k.��n5A��1/�A����. "/���q�������?.�"Xu � (���.¢����K��A1/1$��Kn #"/�?E~ ��-(7 � ó � ó � � ó¡ü . §�§V§��32f�J.���.�,�K��` ��-(7 � � ó�ó � � ó F ��� ó¡ü (7��. ��� ó F ��� ü � A � � ó F ��� ó¡ü @m%�� #�-(I 0%�,�N�%!��GH,����H �1$8j2f�`�-(V5��

� � � � � � � ü �� ó�ó 8 " ����� �� � � � � A �� ü � � > ó�ó�ó § � �Pa �A�

sP���6%��A1X5�(7N�"/1$"$ ]8;K�����.�"$ �"/�A�j(��?��1/"$��.i #�;��GY,�(7 #"$�A��� �Pa �A�f�!��%!,�1$ �%>"$�

� A �� ü �� ó .%��; #�-(I P #���`��5��A1/,m #"/���j��GH,-(7 #"$�A�Q'[�A� � ó (7 0 #�?"/��.Q����.����>N���K��A<=��%��� ó��� ü � ó�ó

� ó � � ó � ü � � ó¡ü � ó � � ü � ü � � ü� ü � ó� � üó�ó

� ó��� ó� � ü �

� � ü �� ó �� � ó��� ó¡ü

§U� �Pa��B�

sP��"/%6��GH,-(I #"/���D"/%`"$.����B #"$KV(�1{ ��k��GY,�(7 #"$�A���Z�ªA�JEA"$5����MNH8M�J���AN?1/�YKL�D(��?. �+�=��,�KV(�9�����A�B�{"/�= #���WKV(�%!�q��'�K��A,��B #���9R �����A��(�EB(7 �"/��E`2�(V5���%�20������� �� ü �� ó aYb ' �� ü � ó #�����} #���^1T(7%! : �����< "/�¢� �0a��B�U.�"$%#(��?����(���%;(��?.~ ����Q��GH,-(I #"/���}N���K��A<=��%4 #�?�Q%! L(7�mR.-(��!.�K��A,���1$��. �P�`���Pa{�W1$ ����A,�EA�} ���"/%:��GH,-(7 #"$�A�~"/%:1$�mK�(�1f"$�}�-(7 �,����7@&"$ :.?�m��%=�?�� 1/��(�.Q #�=(��B8Q���!�AN�1/��<\%!"/��K��6"$�Q #��"$%PKV(�%!�` ����J ]2f�=2�(V5��v���H5���1$�A����%> ��#(V5A��1) #�AE��� #�?���

£B�

Page 50: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

(���.}"$�H �����(�K� Q��1/�YKV(71/1$8?�+"/�?.���_-�?"$ #��1$8�a �������} #���iE����A,��D%�������.?%�(7���o.?"$|��������B V@� ����,���"X'[�A��< 57(�1$"/.�"X ]8;��'r� �Pa��B�r�!��GH,�"$����%3 #���+%!�A1$57(�N?"/1/"X ]8:K��A��.�"X #"/����20"$ ��i����%�����Kn � #�U ����<��Y.�,�1/(7 #"$�A�-(�1�(7<���1$"$ �,�.�� � ó #�QN��:%#(7 �"/%9_-��.)atb J"/%+��N? L(�"$����.kNH8e"/�B #��EA�#(7 �"/��E= #��"$%��GH,-(7 �"/�A�^20"$ ��h�!��%!����K� q �� � ó¡ü �5����> #���`*-��2 ����EA"/���h(7��.k"$<����A%�"$��E4���A<=�AEA��������,�%N���,���.-(��98oK��A��.�"X #"$�A��%z'[�A� � ó (7 3 ����+����.�%�amsP���+�!��%�,?1$ #"$��E:(7<���1$"$ �,�.��0��GH,-(7 �"/�A��'[�A�%�1$�2 #"$<��q ������jN���K���<���%

��� ó��� ü � ó�ó

� ó � � ó � ü �� ó¡ü � ó � ó � � ü� ü � ó��� üó�ó

�� ó��� ó� � ü . � �Pa �A�

20�����!�

� ó ����

� :�� � � � � � � � � � � � � ü � ü . � ó¡ü � �Pa��B�

(���. ��� "$%: #���^.�"$<�����%�"$�A��1/��%�%4����"/EA�B ;��'> #�?�j����K�1$�A%�,?����azsP���^.�����"X5�(I #"/���}��'W ������5��A1/,? �"/�A�6��GH,-(I #"/���v'[�A� � ü "/% "/.����B #"/K�(�1�a �p"/�-(71/1$8�@��!��K�����%! �"$ #,m #"/�?E> ����3'[,�1$1H(�<=��1/"X #,�.����GH,-(7 �"/�A�?%:'[�A�:N��� #� � ó (��?. � ü (�%4.��A���Q"$�}�q�������?.�"Xu �¦23�^�AN? L(7"/����GY,�(7 #"$�A��%��ª��A� �t�¬ª��B�na

�J� � �H� �m� � � �q��(���%����)@{bLaX@{�J�#(�<=����@p�&aX@&ª����Bªma sP���i2f����1/.}�7'P #���iK��A<=��1/�Su~�J"/����N�,��!E7RZ��(���.�(�,��GY,�(7 #"$�A�)a-�0��5�a �h�Y.)a��&�B8m%�a����j�9��S@��A� ���V£A�?a

df���!EA���A1X #�7@��6a �faX@&���B�7�?a�b]��%! #(�N�"$1/"$ ]8k��'�%9 #��(�.?8F�-(7 �,��#(71&K��A�B5A��K� �"/�A��"$�y(^5����! �"/K�(�1*-,?"/.^1T(V8A����a��?a ��1/,�"$.��h��KL�)a���£?@��7£B� �m���A�?a

df���n5Y.���@P�&aX@q���A���?az� %! �,�.?8��7'6(�N�%���1/,? ���(���.�K��A�B5A��Kn #"X5A�F"/��%9 L(�N?"/1/"X #"$��%:20"$ ���(��(��?��1/"$KV(7 �"/�A�o ��4 #��� �z(�.?8Q<=�Y.���1¬a-�J���A���B8Y%�a��W%! #�!�A���B8Y%�a �p1/,?"/.��q8Y�)a-£B�m@)�1�m�BªYa

df���n5Y.���@H�&a$@-�V�A�B�ma �f�A�B5A��Kn #"X5A��1X8=,���%! #(�N�1$��2�(V5A�W�-(�KLw7�� #%r"/�4 ����>df1T(�%!"/,�%pN��A,?��.-(��981/(�8�����a��pa-�q��E���2`a �k(7 ��)a �h��KL�)a��?@-£Hª�� �H£B�A�?a

d��,�KL����1�@7��aX@����,�KLw��7@ �MaX@Bª7�A�A�?aI���mK�(�1/"$����.v�����9 #,��!N-(7 #"$�A��%�"/�UN?"/�-(��98`*-,�"/.UK��A�B5A��K� �"/�A�20"X #�j(���.Q20"$ ����A,? 0 ������A,?EA�?*-��2`a��&�B8m%�a��>�n5�a �g�A�?@��?�����A�B�ma

d��,�KL����1�@���aX@����,�KLw��7@ �ya$@��0�� #�t@ �:a$@�xYKL��<�"X #�7@��6aX@&���A�A�ma��p(7 ! #�����D%!��1$��K� �"/�A�F"$�F ����(�N?%��A1$,? #��1$8+,?��%! #(�N�1/�&�!��EA"$<��z(7%�(>������1/"$���V(��t��"/E����B57(�1/,��&�?���AN�1$��<j��s�(V8Y1/�A�t5��A�! �"/K���%"$�^(Ium"T(�1t*��2`a��&�B8Y%�a��>�n5�a �����j���A�S@�£H���7£6�Y£H�A���ma

��(����!"��������@z� a$@ �h����w��n20"$ #�7@r��aX@>�V�A�A�?a �f�A�B5���K� �"$5��h5A����%!,�%Q(�N�%!�A1/,m #�^"/��%9 L(�N?"/1/"X ]8y"/�<="Xum��.i�W(V8Y1/��"/EA�mR]d������(���.mR]���A"$%���,�"/1$1/�PK����H5���Kn #"/���)a��?a ��1/,�"$.��h��KL�)a��A��£�@?ª7£B�#�?ª��Bªma

�f�����?�23�� ��)@ �:ar�`a$@r�p(7�A1/,�K�K�"¬@fx�a$@0���A�A�ma3�6(�%;*-��2 "/�~5A���! �"/KV(71W%!1/�� �%=20"X #�c1/(���E��������"/���A�B L(�1� #��<=�����#(I #,��!�J.�"$|����!����K���%�a��&�B8Y%�a �p1/,?"/.�%>ª��m@�ª��A�B� �?ª��B�7£?a

�f�����?�23�� ��)@��:a��`a$@���(��A1/,?K�K�"¬@�x�aX@������A�?a �q(I #,���(�1�K��A�B5���K� �"/�A�k"/�e(7�h����K�1$�A%���.k5A���9R �"/KV(71)(�"$�f1T(V8�����20"$ ��^1T(��!EA�q������"/���A�B L(�1� #��<�������(7 #,��!�J.�"$|����!����K���%�a��?a �p1/,?"/. �h��KL�)a�����?@)����#�?ªm���?a

���

Page 51: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

�f���A<�(���@ �?a R �ya$@&�����Bªma)�WN�%��A1$,? #�=(��?.MK��A�B5A��Kn #"X5A�o"$��%! #(�N�"$1/"$ �"/��%q"/�F������1/"$���V(��J%98Y%9R ���<=%�a-�&�B8Y%�a��>�n5�a����n � Va����h�Z���B�S@)���A�?� �����A��£?a

�f�A,-(�"$���A�t@V�UaX@ �f���A<�(��7@ �?a R �Ma$@����A�B�ma��qN�%!�A1/,? ��z(���.6K��A�B5���K� �"$5��3"$��%! #(�N�"/1$"$ �"/��%�@n'[�!�A�B 5���1/�YK�"X #"$��%P(��?.hEA1$�AN-(�1�<��Y.���%P"/�^���A��1$"/����(���%98m%9 #��<�%�a��&�B8Y%�"$KV( � ���A�m@�ª��A� �mªA���?a

�f�#(�"$w�@I�va��:a �:a$@H���A�A�maV��(V5��f"/�B ����#(7K� #"$�A��% (���.6*-,�"$.v*-��20%�a ��(�<:N?��"/.?EA� �W��"X5A���!%�"X ]8�&����%�%�a

�f���A%!%�@ �Ma �qaX@�l>�A�����YN����!E�@���aX@����A�A�?a���(7 � ����!�h'[�A�!<o(7 �"/�A�o�A,? #%!"/.��6��'p��GH,�"/1$"/N��!"/,�<ja�0��5�a �h�Y.)a��&�B8m%�a��B�^�¬�B�S@-�B��� ���A�A�ªma

�f���A%!%�@ �Ma��qaX@��J,���@ �Pa$@&�V�A�Bªma��+���;.�"$<�����%�"$�A�-(�1�%��-(I #"T(71{%! ���,�Kn #,��!������(��6(hl>�A�?'N�"X'[,���K�(7 #"$�A�Q(7 0_-�?"$ #�+2f(V5A���Y,?<:N�����a��&�H8Y%!"/KV(��O�7�?@-�A� ���ª��?a

�J(���"$��1/%�@t�4aX@)�&1T(7���)@�dqa$@)df�m.?����%!KL�-(7 #�7@ �Pa$@)ª��A�A�?a��p(I � #������'[�A�!<o(7 �"/�A�h"/�e"$��K�1$"/����.1/(�8����PK��A�B5A��Kn #"$�A�)a��&�H8Y%�a��0��5�a����� ! Va���£h��ª7�B�n@��7�Bª�� �?�7�Bª��?a

�J(�,�KL���7 V@��:aX@ �k(����?��5Y"/1$1/��@���aX@{�����B�ma)���YKV(�1�5A���!%�,�%`EA1$�AN-(�1�K��A�?K����m #%`"/���B8Y.����Y.?8BR�-(7<�"$K+%! #(�N�"/1$"$ ]8= #�����A�!8�a��?a��&�H8Y%�a�b!b �-�#(7��K��6�m@��A�m�1�m�A���?a

�+��"$%�%�1$����@��6a �?a$@&�����A�?a�xY�-(7 #"/(�1/1X8jEA����20"/�?E^2f(V5A��%�@ "/�B #����<="$ � �����Kn8A@�(7��.FK��A�B5A��K� �"$5A�KL�-(7�A%0"/�j(��^�A�����mR�*-��2 %!8Y%9 #��<ja��&�H8Y%!"/KV( � ªA�m@�ª��A�#�?ª��A�?a

�+��"$%�%�1$����@��6a �?a$@&�V�A�B�ma�sP���;K��A�B5A��K� �"$5A���-(7 �,����4��'3"/�?%! L(7N�"/1$"$ ]8^"/�F��1/(����;� �A"/%!��,�"$1/1/�*-��2`a��&�B8Y%�a �p1/,?"/.�%0�A�m@�ª��A�A�#�?ª��A�B�Ya

�+��1$N�����.���@7bLa$@ �f���A<�(���@ �?a R �Ma$@?���A�A�?a �W����1/"$���V(���K��A�B5���K� �"$5�����(�N?%��A1$,? #�0"/�?%! L(7N�"/1$"$ #"$��%"$�Q�-(��#(71/1/��1� ]23�7R].?"/<=����%!"/�A�-(71t2�(7w���%�a��z�B8Y%�a �p1$,�"/.�%q���j�9�A��S@�ªA�AªI£6�?ªA�����?a

�p"/�?��N�����E?@ �?aX@txY #��"/�HN�����E�@�­:aX@ ���A�B�ma-­z�A�9 #�SuYR�'[���A�B W�������-(�EB(7 �"/�A�j"/�h�#(�"$1/��EA�mR]N ����-(��!.K��A�B5A��Kn #"$�A�)a��&�B8m%�at�0��5�a����� ! Va����m@)���A�BªYa

lW����N����! �@)sJaX@p���A���?a)�+�������9 #,��!N-(7 #"$�A�e<=�� ����m.?%+"/�e�?�A��1/"$���V(7�q%! #(�N�"$1/"$ ]8Q ��������!8Aa �?a�p1$,�"/.��h��KL�)a �ª��m@t���B� �����A�?a

lW,������!��@{� a$@{ª��A�A�ma�� ���!%�����K� �"$5���%;"/� ��1/,�"$. �q8Y�-(�<="/K�%�a��\K��A1/1$��K� �"$5��ob]�B #�!�m.�,?K� #"$�A� �� �f,����!���B >�0��%���(���KL�ta ��(�<:N��!"/.�EA� �W��"X5A����%�"X ]8Q�&����%�%�@ �f�)a�£�@��+�����jxm���V(7���p1/��2b]��%9 L(�N?"/1/"X #"$��%�@Y���)a������ �?ªAª7�?a

lW,������!��@���aX@ �h����w��n20"$ #�7@{� a �va$@r���A�A�ma��qN�%!�A1/,m #��(���.�K��A�B5A��Kn #"X5A�i"$��%! #(�N�"/1$"$ �"/��%q"/�'[�!���`%�����(��01T(V8A����%�a��?a �p1/,�"$.��h��KL�ta �����?@)��Y�1�����A�ma

lW,������!��@���aX@ �h�A��w7��20"X #��@�� a-�UaX@)���A�A�ma-���mK�(�1�(���.jEA1$�AN-(�1)"$��%! #(�N�"$1/"$ �"/��%3"$�j%!�-(7 �"T(�1$1$8.��n5A��1/�A��"$��E4*-��20%�a��q�?�)a��>�n5 �p1$,�"/.��h��KL�)a�ªAªm@�£B��� �?���A�ma

b �ex?�jb]��K�aX@-���A�A�ma�b �ex?�j<o(I #����<o(7 �"/K�(�1H1/"/N?�#(��98A@5A���!%�"$�A�^�Aa$��aAs���KL�)aB�����)aX@BlW�A,?%! #���)@s��Ua

�J���AN�1$�mKL�)@ �0aX@ �+�F��,�KV(?@ �?aX@J���A���?a��q<=��1$"$ #,?.��e��GH,-(I #"/����%Q'[�A�Q #�#(V5���1/1$"/��E�2f(V5A�K��A�B5A��Kn #"$�A�)a �W����1/"$���V(��!"$ ]8o�?@��B�A� �m�A�A�?a

��(���.�<�(��)@ �MaX@��V�A�B�mamxm�A1$,? #"$�A��%z��') ����J�J"/�?��N�,��!E7RZ��(��?.-(�,=��GH,-(7 �"/�A����'�"/�B �������%! f"/�%!���V(��P*-��2 #�#(7��%�"X #"/���)a-xY �,�.)a-�W����1�a �k(7 #�ta����?@����B� �?ª��B�ma

������@��:a$@��J�A�!����1T(?@�x�a$@����A���?a �h,�1X #"$K���1$1/,�1/(��f��(7 #,���(�1�K����H5���Kn #"/���k"/�h(45A���9 #"$KV(�1�%!1/�� �a�?a ��1/,�"$.��h��KL�)a��ª7�?@-�?�1���ªm�Aa

��"/��E�23�Y�m.)@��`a$@r���A�B�Ya{�+�� #�?�Q(�����1$"/K�(7 #"$�A�M�7'P #���^df�!"/EAE�% � (���.}%9 #��������%! 9R].���%�K����B <=�� ����m.?%� #�=(=N��A,��?.-(��!8i1T(V8A����*-��2`atxH #,�.)a-�W����1¬a �k(7 ��)a��A�?@�ªY��� �?ªA�I£�a

�h�A�!��%�K���@���aX@-lW��(�1/�n8A@��?a��?aX@�ª��A���?a�xm�-(I #"/�IR #��<����A��(�1�<="Xum��.jK��A�B5A��K� #"$�A�jN��A,?��.-(��981/(�8����!%�a��?a �p1$,�"/. �j��KL�)a�£B�Bªm@��A� �����A�ma

� �,�1/1$����@fl6af� a$@fs�5A��"X #������"$.)@ �MaX@�s �#(�"$����|�@Px�aX@+���A���?a��>(V8m1$��"$EA�mRZd�����-(��!.�����N?1/��<20"X #�:"$<����A%���.U23�V(�w6 #���!�A,�EA�mR�*-��2`�7s�23�`K��A,?��1/��.=�`"$����N�,?��E7R]� (7��.-(�,v��GH,-(7 �"/�A��%�a

�m�

Page 52: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

�&�B8Y%�a��>�n5�a �c£B�?@�ª7�A� �?ªA��ªma�W�n2f��1/1�@7�Ua �qa$@��V�B�7£�a �&�H5���1$�A���0��GY,�(7 #"$�A��%�a�����K� �,�����%z"/�:�W����1�a �k(7 ��)a?��Y@?��A� �����A�?a�W�A��(�wH"�@t�;aX@)d3��wHwH"�@��6a$@����A�A�?a��p(I � #�����F%���1/��K� #"$�A�F(���.�%!�-(7 �"/�� ���<=���A��(�1� #��(���%�"X #"$�A� ��vKL�-(7�A%3"$�= ����q�`"$����N�,?��E7R]� (7��.-(�,=��GH,-(7 �"/�A�tam�&�B8Y%�am�>�n5�am���n � Vam�m��@?ªY��m�1�?ªY��7£�a

�W�A��(�wH"�@0�4aX@0df��wHwH"�@ �vaX@J���A�7£�a �pu�(7K� h%��A1$,? #"$�A��%Q��'v #���FEA��������(�1/"$����. �J"/����N�,���EIR��(���.�(�,^��GH,-(7 �"/�A�)a��?a��z�B8Y%�atxm�YK�a��A(7�-(��k���?@)��7�?�1����7�Bªma

�p(���1/,�K�K�"�@Bx�a$@-�V�A�BªmaA�J�; #�?�0_�1$ #����"$��EJ��'�%��A,��?.='[�!�A< ���� �q(V5Y"/���ZR9xY ��Aw���%z��GH,-(7 �"/�A��%�as ��KL�)a��0���)a�xY� � �:@-x?(���.�"/( �q(7 �"/�A�-(71)��(�N��A�#(7 ��A��"$��%�@-��"$5A����<=�A���7@ ��(�1$"$'[�A�!��"T(?a

�&"/����@AdqaX@Al>,����!���7@B��aX@?�����A�?a ��,?1/1$8`�?�A��1/"$���V(7�pEA1$�AN-(�1H<=�m.���%{"/�U%��-(7 �"T(�1$1$8`.��n5A��1/�A��"$��E<=��.�"/(?a��&�B8Y%�"$KV( �O�A�?@-ª��A� �?ª�ªAªma

�&"/���!K��7@A�`a$@��(V8Y���7@ �qa$@m���A�B�YaA�+�U ����f57(�1/"$.�"$ ]8`�7'�<���(��mR _���1/.U(�<=��1/"X #,�.��z��GY,�(7 #"$�A��%'[�A�PK��A,��B #�������!�A�-(�EA(7 #"$��E42�(V5A�n #��(�"/��%�a �W�A��1$"/����(���"X ]8��?@����A� �m�A���?a

�&��"/��.���@ �?aX@ �`����N����9 #�)@��4a$@&�����B�ma �f�A�B5���K� �"$5���@{(7N�%��A1$,? #�7@�(���.MEA1/�AN�(�1{"/�?%! L(7N�"/1$"$ #"$��%��'0 ������!<��YKV(��?"/1/1/(��!8BR N�,���8B(��?K�8yK��A�B5���K� �"/�A�~"$�}�nuY #����.���.g1T(V8A����%�a&�&�H8Y%�az�>�n5�a ����j�[£H�n@�£?���B�#�Y£?���A�?a

�>�n8Y���A1/.?%�@�� a �qaX@����� ! #����@ �Ma �qaX@����A�B�Ya �p"/�?"$ #�SRZ(�<=��1$"$ #,?.��0"/��%9 L(�N�"$1/"X ]8��7'p�-(7�#(�1$1/��1%!���V(��P*-��20%�a �?a �p1/,�"$.��h��KL�tatª��m@�£B�B� �Y£B�Bªma

�>,?.-(�w���5�@��`a �6a$@ ���A�A�ma)xY����K� #�!,�< ��'z�����! �,���N-(I #"/����%+(��?.e%! #(�N�"/1$"$ ]8^��'{K��A�B5A��K� �"$5A�<=�� #"$�A�iN��� ]23�����k5A���! #"$KV(�1��?1T(7 ���%�a?�q����1¬a �k(7 ��)a �h��KL�)a��?�A@��B���#�m�A�A�?a

xm���t@���aX@�­z����wI(7 #��%!2f(���1$,)@��:aX@������A�?at�J�e ����:%9 L(�N�"$1/"X ]8^��'z��1T(7���4����"/%���,�"/1$1/�`*-��2  #�_-�?"$ #�SRZ(�<=��1$"$ #,?.���.�"$%! #,?��N-(��?K���%�@?K��A��%�"$.����!"/��Ev��"/E������ZR]�A�!.����r��(���.-(7,oK��Y� �=K�"/���B �%�a�?a ��1/,�"$.��h��KL�)a������?@)����#�?ª��A�?a

xm"/<=��wH"/�?%�@7��aX@?���A���?a7s �#(7��%�"X #"/���v #�J�����!"/�Y.�"/KrK����H5���Kn #"$5��0%! L(I #��%&"$�4(��4(7"/��_�1/1/��.U%!1/�� �adf,?1/1�am�q<ja-�&�B8m%�a�xm�mK7a���£�@�ª�ªA�m�Aa

xm"/<=��wH"/�?%�@-� a$@������A�?a�� ���!%��A�-(71 K��A<=<:,���"$KV(7 �"/�A��%�axY #,�(��! �@ �?aIsJaX@m�����A�?a7�+�v #�?�f���A�YR]1/"$���V(7� <=��KL��(���"/K�%��7'�2�(V5��P.�"/%9 #,��!N-(���K���%p"$�U%9 L(�N�1$�(��?.j,?��%! #(�N�1/�J��(��#(�1$1/��1�*-��20%�a��p(��9 `�Aa�sP���`N-(�%!"/KJN����-(V5Y"/��,��P"/�Q��1/(����`� �A"/%!��,�"$1/1/�*-��2`a��?a �p1$,�"/.��h��KL���m@-�B��� �Y�B���?a

xY #,�(��! �@ �?amsJa$@�xY #�n2�(��9 #%!�A�)@-�4aX@����A�m�AaY� ���A�YR]1/"$���V(7�3"$��%! #(�N�"/1$"$ ]8: ��������!8='[�A��(v2f(V5A�%98m%9 #��<�"/�^��1T(7���`���A"$%���,�"/1$1/�q*-��2`a��?a �p1$,�"/.��j��KL�)a�£B�?@-�Aª�� �?�I£H�ma

xm,�%!1/��5�@{x�a �UaX@z���A�B�Ya �>�A��1$"/����(��6(��-(�1X8m%!"/%`��'P�?�A�mRZd3�A,�%�%!"/����%�GyK��A�B5���K� �"/�A�tap�&�)a �:a �����%!"/%�@��>��"$5����!%�"$ ]8i��' �>�� #�!� �J(�<��7@ �qxm�Ua

xm,�%!1/��5�@tx�a-�UaX@���(��A1$,�K�K�"�@�x�aX@����A�B�7(?a�xY #(�N�"/1$"$ ]8���'{<="Xum��.mR]K��A�B5A��Kn #"$�A�j*��2 "/�j(; #(�1/15����! �"/K�(�1�KL��(�������1{,���.����+���A�YRZdf�A,?%�%�"$����%!GhK��A��.�"X #"$�A��%�a �?a �p1/,�"$. �h��KL�)a��A�Aªm@��?�1��A���ma

xm,�%!1/��5�@rx�az�UaX@z�p(��A1$,�K�K�"�@zx�a$@P�����B�7N)azxH L(�N�"$1/"X ]8D��'q�-(7 �,��#(�1fK��A�B5A��K� �"/�A��*-��2�"/��( #(�1/1 5A���9 #"$KV(�1&����K�1$�A%�,��!�;,���.����v�����mRZdf��,�%�%!"/����%�G�K�����.�"$ �"/�A�?%�a)b]�B Va �?a�l>�V(7 �k(7%�%s �#(��?%!'[���>�A�m@�ªm�V£B�#�?ªm��A�Ya

xm,�%!1/��5�@)x�a��va$@��p(7�A1/,�K�K�"¬@�x�a$@������B��(?a �>�A�mRZd3�A,�%�%!"/����%�G^K����H5���Kn #"/���e"/�k(; #(�1/1�K�(�5Y"X ]8����(��P #���6K��Y.�"$<�����%�"$�A�mR9ªU���A"$�H �a-b]�)� �W1$,�KV(�wH1$")�� q(�1�aX@ �Ma �Pa�� �&.)a �n@��&���YK�����.�"$��EA%��'3 #���=�Jx�� � lW��(7 Us �#(7��%!'[��� �+"X5m"$%�"$�A�)a�­z��1�a��?@�l>s �WRZ�B���ma��Jx � � �&�!��%�%�@��?�)aª7£A� �?ªA���ma

xm,�%!1/��5�@�x�a)�va$@t�p(��A1$,�K�K�"�@)x�a$@p���A�B�7Nta �W����1/"$���V(��q(��-(�1X8Y%�"/%q��'rK��A�B5A��K� �"/�A��*-��2 "/�F( #(�1/1?5����9 #"/K�(�1-���?K�1/��%�,��!�W,��?.����r���A�mR]df�A,�%!%�"$����%!G=K��A��.�"X #"$�A��%�a �?a ��1/,�"$. �h��KL�)am��£A£?@�1�H£��Aa

�Aª

Page 53: Stability of non-Boussinesq convection via the complex Ginzburg

xm,�%!1/��5�@�x�a��UaX@-��(��A1/,?K�K�"¬@-x�aX@)�����A�?a �>�A��1/"$���V(7�f%! #(�N�"$1/"$ ]8=��'�<="Xum��.QK��A�B5A��Kn #"$�A�j*��2,��?.��������A�mR]df�A,�%!%�"/�?��%�GvK��A�?.�"$ �"/�A��%�aI�p(��9 zªma �h�V(7�:*-��2gKL��(��#(�Kn #����"/%9 #"$K�%�a �?a �p1/,�"$.�h��KL�)a��A�A�?@��B�#�������?a

s���N�"T(�%�@�x�a$@ �&���YK� ��A��@ �MaX@ �J���AN�1$�mKL�)@��PaX@r�V�A�A�?a �f�A�B5A��K� �"$5A�i(���.�(7N�%��A1$,? #�="/�?%! L(RN�"$1/"X #"/��%3�7'p*-,�"$.Q*-��20%>"$�Q_-��"$ ��`EA���A<=�� ��!8�a-�&�H8Y%!"/KV(�� �����?@?£A� �?�Aªma

��(I #%����)@ �?aX@)���A���?a��+�i ����+���A�YR]1/"$���V(7�f<=��KL�-(��?"/K�%f��'�2�(V5��6.?"/%! �,���N�(���K���%0"/�i%9 L(�N�1$�(��?.o,���%9 L(�N?1/�>�-(��#(71/1/��1�*-��20%�am�p(��9 0ªmaHsP���W.���5���1$�A��<=���B ���'�(v%���1/,? �"/�A�4'[�A�r��1T(7���� �A"/%!��,�"$1/1/�>*-��2 (���.Q'[�A�P�?1T(���� �f��,��� ! #�`*-��2`a��?a �p1/,�"$.��h��KL�ta��m@-�B�m�1�Y�A�A�?a

����"$ ���@ �3a �Ma$@��V�B�7£�a?­q"/%!K��A,�% �p1$,�"/. �p1/��2`a �hKV�`��(V2�RZlW"$1/1¬a

���