Solutions of Vlasov Equation with Test Particle Method Vlasov … · 2012-07-05 · •Relativistik Vlasov Denklemi ... ve momentum uzayında ötelenir. Bu öteleme sırasında i

Solutions of Vlasov Equation with Test Particle Method

Vlasov Denkleminin Test

Parçacık Yöntemiyle Çözümü Summer School VI on Nuclear Collective

Dynamics 24-30 Haziran 2012

Serbülent Yıldırım Namık Kemal Üniversitesi Fizik Bölümü, Tekirdağ

İÇERİK

• Vlasov Denklemi-Boltzman Denklemi • Nükleer Fizikte Vlasov Denklemi • Vlasov Denkleminin Çözümü

– Vlasov Denkleminin PIC Çözümü

• Vlasov Denkleminin Nükleer Dinamiğe Uygulanması

• Psüdo-Parçacıklardan Test-Parçacıklara • Relativistik Vlasov Denklemi

– Dev Rezonanslar (Giant Resonances) – Ağır İyon Çarpışmaları

29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü

2

Vlasov Denklemi

• Anatoly Alexandrovich Vlasov (1908-1975)

• Vlasov'un 1938 yılında önerdiği bu diferansiyel denklemin amacı yüklü parçacıklarla uzun mesafeli (Coulomb etkileşmesi gibi) etkileşmelerin yer aldığı plazma ortamında dağınım fonksiyonunun zaman içindeki evrimini tarif etmektir. Vlasov'un yeni bir denklem önermesinin nedeni o zamana kadar kullanılan Boltzman Denkleminin plazma fiziğine uygulanmasındaki zorluklardan dolayıdır.

29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü 3

A. A. Vlasov (1938). "On Vibration Properties of Electron Gas" (in Russian). J. Exp. Theor. Phys. 8 (3): 291.

Boltzman Denklemi


4

Ludwig Boltzmann (1872)

Boltzman Denklemi termodinamik dengeden uzak, çok parçacıklı bir sistemde tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t)'nin zaman içerisindek istatiksel evrimleşmesini verir.

Boltzman Denklemi


5

x

px

Tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t0)

Fi

Fj

Fk

dx

dpx

Boltzman Denklemi


6

Ludwig Boltzmann (1872)

Tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t0)

x

px

f(r,p,t)

dx

dpx

Boltzman Denklemi


7

(geçen süre zarfında faz uzay elemanı sabittir)

Boltzman Denklemi


8

Boltzman Denklemi


9

Kuantum mekaniksel Tartışma


[Ref ]: G.F. Bertsch and S. Das Gupca. A guide to microscopic models for incermediate heavy ion collisions, PHYSICS REPORTS (Review Section of Physics Lellers) 160. NO.4 (1988) 189-233. North Holland

Nükleer Fizikte Vlasov Denklemi


11

Vlasov Denkleminin Çözümü

• Parçacık yöntemleri – PIC (particle in cell)

– Faz uzayı grid yöntemleri • sonlu farklar yöntemi (finite difference methods) • sonlu elemanlar yöntemi (finite element method) • karekteristik yöntem • korunumlu akı denge yöntemi (conservative flux balance methods)

• Spektral yöntemler – r-p Fourier – r Fourier-p Hermit – R Fourier-p Chebysev

• Hibrit yöntemler – PIC+Faz uzay


Vlasov Denkleminin PIC Çözümü


Vlasov Denkleminin PIC Çözümü


Toplam Homiltonyenin hareket sabiti olduğu korunumlu kuvvetli sistemlerde faz uzayı dağılımı açıkca zamanın fonksiyonu olmadığından

Poisson parantezleri bize Hamiltonyenin fonksiyonu olan tüm faz uzayı dağınım fonksiyonlarının f=f(h) çarpışmasız Boltzman denkleminin zamandan bağımsız (stationary) çözümünü vereceğini garanti eder:

Nükleer Dinamik


Vlasov denkleminin nükleer dinamik problemine ilk uygulamas¬1982 yılındaWong tarafından yapımıştır. TDHF yaklaşıklığının tamamen klasik psüdo-parçacık similasyonuna yaklaşık olarak denk olduğunu göstermiştir. Bu similasyonda bir dizi püsüdo-parçacık faz uzayının konum ve momentum koordinat noktalarını kesikleştirmek için verilmiştir. Sistemin dinamiği psüdo-parçacıkların çarpışma yapmadan öz-tutarlı (self consistent) alan içindeki yörüngeleri (izleri) üzerinden belirlenmiştir, bu izler öz-tutarlı alanda hareket eden gerçek parçacıkların izlerine denktir.

Ref: Cheuk-Yin Wong, PRC 25, (1982) 1460-1475.

Psüdo Parçacıklar


Konum Uzayı


Taban durum dağılımı

Momentum Uzayı


1

Fermi seviyesi


19

Böylesine bir seçimle faz uzayında tanımlı tüm sürekli fonksiyonları Dirac delta fonksiyonlarının özelliklerini kullanarak


Verilen bir faz uzayı başlangıç dağılımı f(r₀,p₀,t₀) daha sonraki bir t=t₀+δt anında f(r,p,t) şeklinde güncellenmektedir. Başlangıç dağılımları bir kez seçildikten sonra (initialization) hareket denklemleri yardımıyla test parçacıkları konum uzayında

ve momentum uzayında

ötelenir. Bu öteleme sırasında i. psüdo-parçacık üzerine etki eden Fi net kuvveti ri noktasındaki U(ri,t) ortalama alan potansiyelinden, bu potansiyel ise

• Her ne kadar hareket denklemleri klasik olsa da dinamikte kendini gösteren pek çok kuantum mekaniksel etki bulunmaktadır.

• Bilindik başlangıç koşulları ve klasik hareket denklemleri bize dinamiği tamamen verir.

• Önemli kuantum mekaniksel etkilerin pek çoğu başlangıç koşullarıyla verilebilir.

• TDHF yaklaşıklığında Pauli dışarlama ilkesinden dolayı tek-parçacık enerji seviyeleri faz uzayında hemen-hemen düzgün bir faz uzayı dağınımı oluşumuna neden olur.

• Klasik psüdo-parçacık simülasyonunda benzer bir faz uzayı dağılımına sahip psüdo-parçacık topluluğu denge durumuna doğru evrilecektir.

• Pauli ilkesine bağlılık bizi denge durumunu Hartree-Fock hesaplamalarından elde edilmiş denge durumlarına yakın durumlardan seçmeyi gerektirir. Bir defa böylesine bir denge durumu dağınımı seçildiğinde faz uzayı dağınımının sıkıştırılamazlığı dinamiğin sonraki anlarında Pauli ilkesininin korunacağını garanti edecektir.


21


22

NA NB

NA NB

NA NB

1

2

3

.

.

.


23

Bu paralel koşturmaların birbirleriyle haberleşmesi için her bir çekirdekteki nükleonları test-parçacık diye adlandırılıp tüm paralel reaksiyonlar toplanıp tek bir reaksiyon koşturulur. Dolayısıyla toplamda (NA+NB)N kadar test parçacık olur. Fiziksel nicelikler koşturma sonucu test parçacık sayısı üzerinden ortalama alınarak (örneğin etki kesiti σnn/ N ) hesaplanır.

Relativistik Ortalama Alan Teorileri


26

Parametreler:

mezon kütleleri: mσ, mω, mρ

mezon çiftlenim: gσ, gω, gρ

Foton alanı Serbest Dirac parçacığı serbest mezon alanları

Etkileşim terimleri

﹡B. D. Serot & J. D. Walecka, Adv. Nucl. Phys. 16 (1986) 1;

﹡P-G. Reinhard, Rep. Prog. Phys. 52 (1989) 439;

﹡P. Ring, Prog. Nucl. Phys. 37 (1996) 193.

Relativistik Ortalama Alan Teorileri


Nükleonlar için Dirac denklemi

.0 iSmVi

Mezonlar için Klein-Gordon denklemi

)(em

s

ejA

jgm

jgm

gm

2

2

2

A

i

ii

em

A

i

ii

A

i

ii

A

i

iis

xxxj

xxxj

xxxj

xxx

1

3

1

1

1

12

1

)(

.0

kk q

L

q

L-

Relativistik Vlasov Denklemi


C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756.









Taban Durum

29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık

yöntemiyle Çözümü 32

Taban Durum Dinamiği

29.06.2012 Vlasov Denkleminin Test Parçacık

yöntemiyle Çözümü 33

Taban Durum Dinamiği


Dev Rezonanslar-IVGDR


p

n

Dev Rezonanslar-IVGDR


S.Y. Theodoros Gaitanos, Massimo Di Toro, Vincenzo Greco, PHYSICAL REVIEW C 72, 064317 (2005)


Ağır İyon Çarpışmaları





Documents

Solutions of Vlasov Equation with Test Particle Method Vlasov … · 2012-07-05 · •Relativistik Vlasov Denklemi ... ve momentum uzayında ötelenir. Bu öteleme sırasında i