ΣΗΜΜΥ Μαθηματική Ανάλυση (Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών - Διανυσματική Ανάλυση) Λύσεις του 8ου φυλλαδίου ασκήσεων Ασκ ηση 1. Να υπολογίσετε τον όγκο και το κέντρο μάζας του στερεού που φράσσεται, κάτω από τον κώνο ϕ = π/6 και άνω από τη σφαίρα με κέντρο το σημείο (0 , 0, α) και ακτίνα α . Λύση. Η εξίσωση της σφαίρας με κέντρο το σημείο (0, 0, α) και ακτίνα α είναι ρ= 2α cos ϕ και επομένως ο όγκος του στερεού είναι V= ∫ 2π 0 ∫ π/6 0 ∫ 2α cos ϕ 0 ρ 2 cos ϕ d ρ d ϕ d θ = 7 12 πα 3 κυβ. μον. Θεωρούμε την πυκνότητα μάζας δ στα θερή. Λόγ ω συμμετρία ς το κέντρο μάζας θα βρίσκεται πάνω στον άξονα z, οπότε x = y = 0. Για την τρίτη συντετ αγμέν η έχουμε z = 1 m ∫ 2π 0 ∫ π/6 0 ∫ 2α cos ϕ 0 ρ cos ϕ δ ρ 2 cos ϕ d ρ d ϕ d θ= 37 28 α . Συνεπώς το κέντρο μάζας του στερεού είναι το (0 , 0, 37 28 α). Ασκηση 2. ΄Εστω D ο μοναδιαίος δίσκος κέντρου (0, 0). Προσδι ορί στε το υς πραγματικούς αριθμούς α, για το υς οποίο υς συγκλί νει το γενικευμένο ολοκλήρωμ α ∫ ∫ D 1 (x 2 +y 2 ) α dA . Λύση. Χρησιμοποιούμε πολικές συνταταγμένες ∫ ∫ D 1 (x 2 +y 2 ) α dA = lim ε→0 ∫ 2π 0 ∫ 1 ε r 2(1−α) drd θ = 2π lim ε→0 (1 − ε 2(1−α) ) . Επομένως το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει για α <1. Ασκηση 3. Να βρείτε το κέντρο μάζας ενός καλωδίου πυκνότητας δ (x,y,z) = kz και ελικοειδούς σχήματος που περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x= 3 cos t , y= 3 sin t, z= 4t , 0 ≤t ≤ π . Λύση. Η μάζα του καλωδίου είναι m= ∫ r δ (x,y,z) ds= ∫ π 0 δ (r(t))||r ′ (t)|| dt = 10kπ 2 . 1
(Sunartseic Polln Metablhtn - Dianusmatik Anlush)Lseic tou 8ou
fulladou asksewn
Askhsh 1. Na upologsete ton gko kai to kntro mzac tou stereo
poufrssetai, ktw ap ton kno = =6 kai nw ap th sfara me kntro
toshmeo (0; 0; ) kai aktna .
Lsh. H exswsh thc sfarac me kntro to shmeo (0; 0; ) kai aktna
enai = 2 cos kai epomnwc o gkoc tou stereo enai
V =
Z 20
Z =60
Z 2 cos0
2 cosd d d =7
123 kub. mon.
Jewrome thn puknthta mzac stajer. Lgw summetrac to kntro mzacja
brsketai pnw ston xona z, opte x = y = 0. Gia thn trth
suntetagmnhqoume
z =1
m
Z 20
Z =60
Z 2 cos0
cos 2 cosd d d =37
28 :
Sunepc to kntro mzac tou stereo enai to (0; 0; 3728).
Askhsh 2. 'Estw D o monadiaoc dskoc kntrou (0; 0). Prosdiorste
toucpragmatikoc arijmoc , gia touc opoouc sugklnei to genikeumno
oloklrwmaZ Z
D
1
(x2 + y2)dA :
Lsh. Qrhsimopoiome polikc suntatagmnecZ ZD
1
(x2 + y2)dA = lim
"!0
Z 20
Z 1"
r2(1)dr d
= 2 lim"!0
(1 "2(1)) :
Epomnwc to genikeumno oloklrwma sugklnei gia < 1.
Askhsh 3. Na brete to kntro mzac enc kalwdou puknthtac (x; y; z)
=kz kai elikoeidoc sqmatoc pou perigrfetai ap tic parametrikc
exisseic
x = 3 cos t ; y = 3 sin t ; z = 4t ; 0 t :
Lsh. H mza tou kalwdou enai
m =
Zr
(x; y; z) ds =
Z 0
(r(t))jjr0(t)jj dt = 10k2 :
1
Oi suntetagmnec tou kntrou mzac enai
x =1
m
Zr
x (x; y; z) ds =1
10k2
Z 0
(3 cos t)(4kt)5 dt = 122
y =1
m
Zr
y (x; y; z) ds =1
10k2
Z 0
(3 sin t)(4kt)5 dt =6
z =1
m
Zr
z (x; y; z) ds =1
10k2
Z 0
(4t)(4kt)5 dt =8
3 :
Askhsh 4. Na upologsete to epikamplio oloklrwmaZr
x2dx+ xydy
pou h kamplh r apoteletai ap to txo thc parabolc y = x2 ap to
shmeo(0; 0) wc to shmeo (1; 1) kai to eujgrammo tmma ap to (1; 1)
wc to (0; 0).
Lsh. Orzoume
r1(t) = (t; t2) t 2 [0; 1] kai r2(t) = (t; t) t 2 [0; 1]
kai qoume tiZr
x2dx+ xydy =
Zr1
x2dx+ xydy Zr2
x2dx+ xydy
=1
15:
Askhsh 5. 'Estw h sunrthsh
f(x; y) = arctany
x;
h opoa, gia x > 0, enai sh me th gwna twn polikn suntetagmnwn
toushmeou (x; y).
(i) Dexte ti h f enai sunrthsh dunamiko gia to dianusmatik
pedo
F (x; y) = (y
x2 + y2;
x
x2 + y2) :
(ii) Upojtoume ti A(x1; y1) = (r1; 1), B(x2; y2) = (r2; 2) enai
do shmeatou prtou tetarthmorou (x > 0) kai r ma C1 kamplh me arq
to A kaiprac to B. Dexte ti Z
r
F ds = 2 1 :
2
(iii) An r1 kai r2 enai parametrikopoiseic tou nw kai tou ktw
hmikukloutou monadiaou kklou antstoiqa, me arq to (1; 0) kai prac
to (1; 0) nadexete ti Z
r1
F ds = ; enZr2
F ds = :
'Erqetai to parapnw se antjesh me to jemelidec jerhma tou
apeirosti-ko logismo gia dianusmatik peda klsewn?
Lsh.
(i) Paragwgzontac qoume ti
rf(x; y) = ( yx2 + y2
;x
x2 + y2) :
(ii) Smfwna me to jemelidec jerhma tou apeirostiko logismo gia
dianu-smatik peda klsewn qoume tiZ
r
F ds =Zr
rf(x; y) ds = f(tan 2) f(tan 1) = 2 1 :
(iii) PrgmatiZr1
F ds =Z 0
dt = kaiZr2
F ds = Z 2
dt = :
To parapnw den rqetai se antjesh me to jemelidec jerhma tou
apei-rostiko logismo gia dianusmatik peda klsewn afo h sunrthsh f
denorzetai gia x = 0.
