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8/13/2019 Solucionario PC3 NM
1/5 t e U P N i v
e e n
M a t e U
P
e n M a t e U
P
N i v e e
n M a t e U
P
e n M a t e
U P N
i v e e n M
a t e U
P
e n M a t e U P
N ie n
Solucionario de la Tercera Práctica Calificada
Nivelación en Matemáticas Sábado 2 de Noviembre de 2013
1. (4 puntos)
a ) (2 puntos) Determine los valores de a para que el
sistema lineal
x + 2y = 3a
(a2 − 1)y = a + 1sea consistente con solución
única.
Solución. Para que el sistema sea consistente con solución
única se debe cum-plir que
1(a2 − 1) − 0(2) = 0de donde se deduce que a2 = 1 y
por lo tanto a = ±1.
b) (2 puntos) Si α y β son las
raı́ces de x2−6x+4 = 0, halle el valor de 46 − α +
4
6 − β .
Solución. Desde que α + β = 6 y
αβ = 4 y
4
6 − α + 4
6 − β = 4 12
−(α + β )
36 − 6(α + β ) + αβ = 4 12
−6
36 − 6(6) + 4 = 6.
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8/13/2019 Solucionario PC3 NM
2/5 t e U P N i v
e e n
M a t e U
P
e n M a t e U
P
N i v e e
n M a t e U
P
e n M a t e
U P N
i v e e n M
a t e U
P
e n M a t e U P
N ie n 2. (4
puntos)Harald compró una determinada cantidad de art́ıculos, por
un total de 450 dólares.Después de un tiempo regresa a comprar
con la misma cantidad de dinero, pero se da
con la sorpresa que cada artı́culo ha subido 3 dólares, por lo
que se vió obligado a com-prar 5 art́ıculos menos. Determine la
cantidad de art́ıculos que compró inicialmente.¿Cuál fue el
precio de cada art́ıculo?
Solución. Sea p el precio, x el
número de art́ıculos. El dinero a considerar es 450dólares. Se
deben cumplir
450 = px y 450 = ( p + 3)(x − 5).
de donde px = ( p + 3)(x − 5) y se deduce
que
3x − 5 p = 15,
de la primera ecuación p = 450
x entonces reemplazando en la ecuación anterior se
obtiene
3x − 5450x
= 15
es decir la ecuación cuadrática 3x2 − 15x − 2250 = 0, que
simplificando 3 queda como
x2 − 5x − 750 = 0
por aspa simple el polinomio cuadrático se factoriza como
(x−30)(x +25), deduciendoque las soluciones son
x = 30 ∨ x = −25pero como x
es el número de art́ıculos, debe ser positivo. Por lo
tanto x = 30 y p = 15dólares.
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8/13/2019 Solucionario PC3 NM
3/5 t e U P N i v
e e n
M a t e U
P
e n M a t e U
P
N i v e e
n M a t e U
P
e n M a t e
U P N
i v e e n M
a t e U
P
e n M a t e U P
N ie n 3. (4
puntos)a ) (2 puntos) Resuelva la siguiente inecuacíon
x − 13
− 1 < 2 + x ≤ 5 − 2 + x4
.
e indique su conjunto solución.
Solución.
x − 13
− 1 < 2 + x ∧ 2 +
x ≤ 5 − 2 + x4
x − 13
3
4x.
Luego
2x 13
x 13
∧ x > 52
como x debe ser entero pues es el número de
postulantes, se deduce que x = 53.
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8/13/2019 Solucionario PC3 NM
4/5 t e U P N i v
e e n
M a t e U
P
e n M a t e U
P
N i v e e
n M a t e U
P
e n M a t e
U P N
i v e e n M
a t e U
P
e n M a t e U P
N ie n 4. (5
puntos)a ) (1 punto) Justifique por que las siguientes
proposiciones son falsas.
1) El complemento de un intervalo es un intervalo.Solución. El
contraejemplo es el intervalo [5, 20], cuyo complemento
resultaser
] − ∞, 5[∪]20, +∞[el cual no es un intervalo.
2) La unión de dos intervalos es un intervalo.Solución. El
contraejemplo consiste en tomar los siguientes intervalos A
=[5, 20] y B = [25, 30], cuya unión es
[5, 20] ∪ [25, 30].
el cual no es un intervalo.
b) (2 puntos) Si x ∈
[2, 5], determine la suma del mayor y menor valor de la
expresión
1 + 4
x − 1.
Solución.
2 ≤ x ≤ 5 → 1 ≤ x−1 ≤ 4 →
14 ≤ 1
x − 1 ≤ 1 → 1 ≤ 4
x − 1 ≤ 4 → 2 ≤ 1+ 4
x − 1 ≤ 5.
Por lo tanto la suma del mayor y menor valor de la expresión es
7.
c ) (2 puntos) Determine el conjunto solución de ||x
− 2| − 4| = 3.
Solución. |x − 2| − 4 = 3 ∨ |x − 2| − 4 = −3lo cual
significa
|x − 2| = 7 ∨ |x − 2| = 1luego
x − 2 = 7 ∨ x − 2 = −7 ∨ x − 2
= 1 ∨ x − 2 = −1
es decirx = 9
∨ x =
−5
∨ x = 3
∨ x = 1
por tanto el conjunto solución es {−5, 1, 3,
9}.
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8/13/2019 Solucionario PC3 NM
5/5t e U P N i v
e e n
M a t e U
P
e n M a t e U
P
N i v e e
n M a t e U
P
e n M a t e
U P N
i v e e n M
a t e U
P
e n M a t e U P
N ie n 5. (3
puntos)a ) (1 punto) Sean a1, a2, · · · ,
an ∈ R+. Dé la definición de la media
aritmética y la
media geométrica .
Solución.
M.A. = a1 + a2 + · · · + an
n y M.G. = n√ a1 × a2 × · · · ×
an.
b) (2 puntos) Si x > −2, determine el menor valor
entero que toma la siguienteexpresión
x2 + 4x + 13
x + 2 .
(Sugerencia: Usar el Teorema de Cauchy,
M.A. ≥ M.G.).
Solución. Observemos, primero que
x2 + 4x + 13
x + 2 =
x2 + 4x + 4 + 9
x + 2 =
(x + 2)2 + 9
x + 2 = (x + 2) +
9
x + 2.
Considerando ahora los números x + 2 y 9
x + 2, aplicamos que M.A ≥ M.G..
Luego(x + 2) + 9
x+2
2 ≥
(x + 2)
9
x + 2 =
√ 9 = 3
por tanto
x2 + 4x + 13
x + 2 = (x + 2) +
9
x + 2 ≥ 6. Deduciendo que el menor valorque puede
tomar la expresión original es 6.
