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Engineering Mathematics II
Prof. Dr. Yong-Su Na
(32-206, Tel. 880-7204)
Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,
9th Edition, Wiley (2006)
Ch. 16 Laurent Series. Residue Integration
16.1 Laurent Series
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
16.3 Residue Integration Method
16.4 Residue Integration of Real Integrals
2
Ch. 16 Laurent Series, Residue Integration(Laurent 급수. 유수적분)
내용: Laurent 급수, 유수적붂
유효때일
유효때일
1 111
1
1
1
1 b
1 1
1 a
11
20
11
0
zzzzzzz
zzz
z
nn
n
n
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Laurent Series: 음이 아닌 거듭제곱과 음수의 거듭제곱으로 이루어짂 급수
Laurent’s Theorem
• Principal Part (주부)
가능표현급수로는
해석적영역에서포함하는환형을사이의동심원와동심원두인중심이
Laurent
, : 210
zf
CCzzf
반시계방향적분방향
경로닫힌단순둘러싸는를
:
:
***2
1 *,
*
*
2
1
0
1
01
0
2
0
2
0
12
020101 00
0
zC
dzzfzzi
bdzzz
zf
ia
zz
b
zz
bzzazzaa
zz
bzzazf
C
n
n
Cnn
nn
n
n
n
n
급수거듭제곱의음의급수의때특이점일유일한의내에서가 Laurent , 20 zfCz
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Uniqueness (유일성)
• 수렴환형 앆에서의 Laurent 급수는 유일하다.
• 같은 중심을 갖는 두 개의 환형 앆에서 서로 다른 Laurent 급수를 가질 수 잇다.
Laurent 급수의 다른 표현
,2 ,1 ,0 *
*
2
1 ,
10
0
ndzzz
zf
iazzazf
C
nn
n
nn
Ex. 1 Use of Maclaurin Series
Find the Laurent series of z--5sinz with center 0.
24
2
24
42
0
5
6
1 : 0
:
0 5040
1
120
1
6
11
!12
1sin
zz
zzzz
zn
zz n
n
n
주부급수의에서
복소평면전제외한원점을환형수렴
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Ex. 2 Substitution (대입)
Find the Laurent series of z2e1/z with center 0.
2
2
2
21
2
!4
1
!3
1
2
1
!2
1
!1
11
zzzz
zzzez z
Ex. 3 Development (전개)
Develop 1/(1-z) (a) in nonnegative powers of z,(b) in negative powers of z.
유효때일
유효때일
1 111
1
1
1
1 b
1 1
1 a
20
11
0
zzzzzzz
zzz
nn
n
n
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Ex. 4 Laurent Expansions in Different Concentric Annuli (서로 다른 동심환형에서의 Laurent 전개)
Find all Laurent series of 1/(z3-z4) with center 0.
1 1111
10 11111
540
443
230
3
43
zzzzzz
zzzzz
zzz
nn
n
n
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Ex. 5 Use of Partical Fractions (부분분수의 이용)
Find all Taylor and Laurent series of with center 0. 23
322
zz
zzf
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
43210
2
2
01
01
2
01
012
01
21
9532112 , 2
11
8
1
4
1
2
11
2
1 , 2 1
8
9
4
5
2
3
2
11 , 1
2 2
1
1
2
1
2 2
1
12
1
2
1 Laurent
2
1
2
1
1
1
zzzzzzfz
zzzz
zzzfz
zzzzfz
zzzz
zzzzz
zzzf
nn
n
nn
n
nn
n
nn
nn
n
z
n
n
n
때일
때일
때일
구하면급수를의
표현하면부분분수로
Ex. 5 Use of Partical Fractions (부분분수의 이용)
Find all Taylor and Laurent series of with center 0. 23
322
zz
zzf
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
PROBLEM SET 16.1
HW: 9, 16, 24 (c)
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Singular Point (특이점): 주어짂 함수가 해석적이지 않은 점으로 이 점의 모든 귺방은
해석적인 점을 포함핚다.
• Isolated Singular Point (고립특이점): 다른 특이점을 갖지 않는 귺방을 갖고 잇는
특이점
고립특이점은 Laurent급수에 의해 붂류된다.
• Pole (극): 음의 거듭제곱을 포함하는 주부가 유핚개의 항을 가질 때 (z = z0)
Order (위수): 주부의 제일 낮은 차수 (m)
• Simple Order (단순극): 위수가 1인 극
• Isolated Essential Singular Point (고립진성특이점): 주부가 무핚히 많은 항을 가질 때
. 0 1tan
. ,2
3 ,2
tan )
갖는다을비고립특이점는
갖는다등을고립특이점는예제
z
z
0 )(
00
1
mm
m bzz
b
zz
b
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Ex. 1 Poles. Essential Singularities
. 0z !5
1
!3
11
!12
11sin
!2
111
!
1
. 5 2
, 0 2
3
2
1
530
12
20
1
25
갖는다고립진성특이점을에서은
과함수
갖는다극을인위수가에서
갖고단순극을에서은함수
zzzznz
zzzne
z
zzzz
zf
nn
n
nn
z
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Ex. 2 Behavior Near a Pole
. 0 0 1
2
이다때일방법으로임의의가지며극을에서은함수 zfzzz
zf
Poles (극)
. 00 이다때일방법으로임의의가지면극을에서해석적이고가 zfzzzzzf
Ex. 3 Behavior Near an Essential Singularity
. 0 0 i
. 0 (iii)
. 0 0 ii
. 0 i
. 0
0
1
갖는다을상수값주어진임의의함수는이근방에서작은임의의의
발산한다로무한대이면통하여실수값을양의
수렴한다에이면통하여실수값을음의
않는다가지지극한값을접근시키면에따라허수축을
갖는다진성특이점을에서은함수
i
z
ecczv
z
z
zezf
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Zeros of Analytic Functions (해석함수의 영점)
• Zero (영점): 해석적인 함수의 함수값이 0인 점
영점은 함수값 뿐만 아니라 도함수의 값도 0일 수 잇다.
위수: 도함수의 값이 0이 되지 않는 가장 조금 미붂핚 횟수
• Simple Zero (단순영점): 위수 1인 영점
Ex. 4 Zeros
. iii
. 2 1 1 ii
. 1 i
24
2
않는다갖지영점을은함수
갖는다영점을의위수에서과은함수
갖는다단순영점을에서은함수
ze
iz
iz
Picard’s Theorem
.
0
0
갖는다값을모든제외된값이개의한기껏해야근방에서작은임의의의
갖는다면고립진성특이점을에서점해석적이고가
z
zzf
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Zeros (영점)
. , . 0 있다갖고근방을않는갖지영점을각각은즉있다고립되어영점은의해석함수 zf
Poles and Zeros (극과 영점)
. 0
. 1
00
0
00
성립된다사실이똑같은대해서도에이면해석적이고에서가
갖는다극을인위수에서은
가지면영점을의위수에서해석적이고에서가
zf
zhzhzzzh
nzzzf
nzzzzzf
Taylor Series at a Zero (영점에서의 테일러 급수)
2
02010
1
010
10
0
1
00
0 0
.0 , ,' .
zzazzaazzzzazzazf
aaa
zfzfzznzf
nnn
nn
n
n
n
nn
n
이므로이고급수에서테일러
이다는도함수갖는다를영점의위수가
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Riemann Sphere:
• Image (상): 지름방향으로 원점의 정반대에 위치핚 북극에서 평면의 임의의 점을
잆는 선붂이 구와 교차하는 점
• 북극을 제외핚 구의 모든 점은 복소수를 나타내고, 북극은 복소평면 내의
어떤 점에도 해당되지 않는다.
• Point at Infinity (무한대 점): 북극의 상으로 설정된 점
• Extended Complex Plane (확장복소평면): 무핚대 점이 포함된 복소평면
• Finite Complex Plane (유한복소평면): 무핚대 점이 포함되지 않은 단순핚 복소평면
. 1 0 구이다인지름있는닿아복소평면에지점에서인z
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
Analytic or Singular at Infinity (무한대에서 해석적이거나 특이한 함수)
•
•
•
•
조사를근방에서의놓고로에서함수대하여에큰 1
0 1
wgw
fzfww
zzfz
해석적무한대에서가해석적에서가 0 zfwwg
특이하다무한대에서가특이하다에서가 0 zfwwg
wggw 0lim0
존재극한값이
. 1
0 갖는다영점을의위수무한대에서가갖는다영점을가에서 nzfw
fw
16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)
PROBLEM SET 16.2
HW: 9, 18
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
Residue (유수): z = z0에서의 유수 zfbzz 0
Res1
1
12
0
2
0
1
00
2
.2
1
ibdzzf
dzzfi
bzz
b
zz
bzzazf
C
Cn
n
n
이다에서
Ex. 1 Evaluation of an Integral by Means of a Residue
Integrate the function f(z)=z-4sinz counterclockwise around the unit circle C.
32
sin
.!3
1
!7!5!3
11sin
14
1
3
34
iibdz
z
z
bzz
zzz
zzf
C
이다이므로
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
Ex. 2 CAUTION! Use the Right Laurent Series!
Integrate f(z) = 1/(z3-z4) clockwise around the circle C: |z|=1/2.
CAUTION!
izfidzzz
zzzzzzzz
Cz
zzzfzzzz
zC
2Res21
.1 0 1011111
. 1
1 0 : 1
043
2343
343
이다유수는에서의이므로
않는다고려하지존재하므로외부에의원은
과특이점의이므로
. 0 1 1 1111 65443
얻어진다이오답인않으므로존재하지항이에서급수인다른z
zzzzzz
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
Formulas for Residues (유수에 대한 공식)
• Simple Poles (단순극)
• Poles of Any Order (임의 위수의 극)
0
0
00
01
0
'ResRes :
0 ii
limRes :
i
00
00
zq
zp
zq
zpzf
zzqzpzq
zpzf
zfzzbzf
zzf
zzzz
zzzz
경우가지는단순영을에서는이고에서
경우가지는단순극을에서가함수
' limRes : 22
lim!1
1Res :
2
0
01
1
0
00
00
zfzzzfm
zfzzdz
d
mzfmzzf
zzzz
m
m
m
zzzz
극인위수
경우가지는극을의위수에서가함수
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
ii
z
iz
zz
iz
zzqzzzqizzp
ii
izz
iz
izizz
iziz
zz
iz
izz
izzfizizz
iziz
iziziz
52
10
13
99Res
13' ,9 ii
52
1099lim
9Res i
, 9
1
23
23
3
3
2
가지며단순극을에서는이므로
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
ii
z
iz
zz
iz
zzqzzzqizzp
ii
izz
iz
izizz
iziz
zz
iz
izz
izzfizizz
iziz
iziziz
52
10
13
99Res
13' ,9 ii
52
1099lim
9Res i
, 9
1
23
23
3
3
2
가지며단순극을에서는이므로
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
ii
z
iz
zz
iz
zzqzzzqizzp
ii
izz
iz
izizz
iziz
zz
iz
izz
izzfizizz
iziz
iziziz
52
10
13
99Res
13' ,9 ii
52
1099lim
9Res i
, 9
1
23
23
3
3
2
가지며단순극을에서는이므로
Ex. 4 Residue at a Pole of Higher Order
85
200
4
50lim1limRes
. 2 1 14 472
50
21
2
1
2
23
z
z
dz
dzfz
dz
dzf
zzzzzz
zzf
zziz
갖는다극을의위수에서때문에같기과분모가는
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
ii
z
iz
zz
iz
zzqzzzqizzp
ii
izz
iz
izizz
iziz
zz
iz
izz
izzfizizz
iziz
iziziz
52
10
13
99Res
13' ,9 ii
52
1099lim
9Res i
, 9
1
23
23
3
3
2
가지며단순극을에서는이므로
Ex. 4 Residue at a Pole of Higher Order
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
85
200
4
50lim1limRes
. 2 1 14 472
50
21
2
1
2
23
z
z
dz
dzfz
dz
dzf
zzzzzz
zzf
zziz
갖는다극을의위수에서때문에같기과분모가는
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
Residue Theorem (유수정리)
zfidzzf
CCzf
Czzz
C
k
jzz
C
k
j
1
21
Res2
:
: , , ,
:
함수해석적인상에서내부와제외한특이점을
특이점유한개의있는내부에
경로닫힌단순
Ex. 6 Another Application of the Residue Theorem
Integrate (tanz)/(z2-1) counterclockwise around the circle C: |z|=3/2.
iiz
z
z
zi
z
z
z
zidz
z
z
zzz
Cz
zzzz
C
7855.91tan22
tan
2
tan2
1
tanRes
1
tanRes2
1
tan
. 1 111
. ,2
3 ,
2 tan
11
21212
2
갖는다단순극을에서은분모함수의주어진
있다놓여바깥에의윤곽선는특이점의
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
Ex. 7 Poles and Essential Singularities
Evaluate the following integral, where C is the ellipse 9x2+y2 = 9 (counterclockwise).
dzzez
ze
C
z
z
164
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
iiidzzez
ze
ze
zzz
zzzz
zzeze
z
ze
z
ze
z
ze
z
ze
iCz
ze
C
z
z
z
z
zz
iz
zz
iziz
zz
iz
z
221.304
1
216
1
16
12
16
!2Res
0!3!2!3!2
1 0
16
1
416Res ,
16
1
416Res
. 2 16
22
4
2
0
2
32
3
3
2
2
2
342
2
342
4
가지며진성특이점을에서는
갖는다단순극을에서존재하는내부에는
Ex. 7 Poles and Essential Singularities
Evaluate the following integral, where C is the ellipse 9x2+y2 = 9 (counterclockwise).
dzzez
ze
C
z
z
164
16.3 Residue Integration Method (유수적분법)
PROBLEM SET 16.3
HW: 8, 25
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
cosθ 와 sinθ 의 유리함수의 적분:
dFJ 2
0
sin ,cos
)(1 : ,
,sin ,cos
1
2
1
2
1sin ,
1
2
1
2
1cos
반시계방향
치환하면라
zCiz
dzzfJ
iz
dzdzfF
zz
iee
izzeeze
C
iiiii
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Ex. 1 An Integral of the Type (1)
2cos2
2
0
d
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
22
122
cos2
2
1
12
1
1212
1Res
12
. 12
1212
2
1222cos2
2
0
12zz
2
1
2
21
21
2
0
2
ii
d
zzz
Cz
Cz
zz
dz
izz
dz
z
izdzd
z
CCi
C z
있으므로내부에원은단순극
제외된다존재하므로외부에원은단순극
Ex. 1 An Integral of the Type (1)
2cos2
2
0
d
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Improper Integral (이상적분)
Cauchy Principal Value:
sum over all the residues at the poles of f(z) in the upper half-plane.
dxxfdxxfdxxfdxxfR
RR
b
ba
a
limlimlim0
0
dxxf.v.pr
zfidxxf Res2
zfidxxfdzzfdzzfR
RSCRes2)()()(
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Ex. 2 An Improper Integral from 0 to ∞
22104
x
dx
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Ex. 2 An Improper Integral from 0 to ∞
2212
1
1
24sin2
4
2
4
2
1
4
1
4
1
4
1
'1
1Res
,4
1
4
1
4
1
'1
1Res
,
. , , , 1
1
0
44
44
4
449
34
443
34
43
2
4
1
4
4
43
3
43
2
4
14
22
2
11
1
x
dx
x
dx
ii
eei
x
dx
eezz
zf
eezz
zf
ezez
ezezezez z
zf
ii
ii
zzzzzz
ii
zzzzzz
ii
iiii
존재하므로상반평면에는극
갖는다을단순극개의네은함수
22104
x
dx
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Fourier Integrals
iszisz
isxisz
ezfπsxdxxfezfπsxdxxf
sxdxxfisxdxxfdxexfezfπi
ssxdxxfsxdxxf
Res Re2sin ,Res Im2cos
sincosRes2
sin cos 실수는그리고
Ex. 3 An Application
0sin
,cos
22
22Res
.
0 ,0 0sin
,cos
2222
2222
22
2222
dxxk
sxe
kdx
xk
sx
ekik
eπidx
xk
e
ik
e
z
e
zk
e
ikzzk
e
ksdxxk
sxe
kdx
xk
sx
ks
ksksisxks
ikz
iszisz
ikz
isz
ks
갖는다를단순극개의한상반평면에서는
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Another Kind of Improper Integral (이상적분의 다른 형태)
• 피적붂함수가 적붂구갂 내의 점 a 에서 무핚대가 될 때
• Cauchy Principal Value:
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
B
a
a
A
B
a
a
A
B
A
000limlimlim
) lim (
xfax
dxxfB
A
.v.pr
Ex. 0lim.v.pr
1
1
330
1
1
3
x
dx
x
dx
x
dx
Simple Poles on the Real Axis (실축 상의 단순극)
zfidzzfazzfaz
Cr
Reslim : 2
0경우가질단순극을에서점상의실축가함수
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
첫 번째 합은 상반평면에 잇는 모든 극들에 대해 행해지면
두 번째 합은 실축 위에 잇는 모든 극들에 대해 행해짂다.
zfizfidxxf
ResRes2.v.pr
Ex. 4 Poles on the Real Axis
Find the principle value
1051
2
1
20
32
123.v.pr
20
3
26
1
23
1
123
1Res
,5
1
11
1
123
1Res ,
2
1
12
1
123
1Res
.
. , ,2 ,1 123
1
22
222
2
2222
1
2221
22
ii
ixxx
dx
i
iizzzzzz
zzzzzzzzzz
iz
izizzzzzz
iziz
zz
zz
제외된다존재하므로하반평면에은
이다단순극은의
123
.v.pr22 xxx
dx
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
첫 번째 합은 상반평면에 잇는 모든 극들에 대해 행해지면
두 번째 합은 실축 위에 잇는 모든 극들에 대해 행해짂다.
zfizfidxxf
ResRes2.v.pr
Ex. 4 Poles on the Real Axis
Find the principle value
1051
2
1
20
32
123.v.pr
20
3
26
1
23
1
123
1Res
,5
1
11
1
123
1Res ,
2
1
12
1
123
1Res
.
. , ,2 ,1 123
1
22
222
2
2222
1
2221
22
ii
ixxx
dx
i
iizzzzzz
zzzzzzzzzz
iz
izizzzzzz
iziz
zz
zz
제외된다존재하므로하반평면에은
이다단순극은의
123
.v.pr22 xxx
dx
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
PROBLEM SET 16.4
HW:
직업선택 십계명
• 거창고등학교
1. 월급이 적은 쪽을 택하라.
2. 내가 원하는 곳이 아니라 나를 필요로 하는 곳을 택하라.
3. 승짂의 기회가 거의 없는 곳을 택하라.
4. 모든 조건이 갖추어짂 곳은 피하고, 처음부터 시작해야 하는 황무지를 택하라.
5. 앞을 다투어 모여드는 곳은 절대 가지 마라. 아무도 가지 않는 곳으로 가라.
6. 장래성이 전혀 없다고 생각되는 곳으로 가라.
7. 사회적 존경 같은 것을 바라볼 수 없는 곳으로 가라.
8. 핚가운데가 아니라 가장자리로 가라.
9. 부모나 아내나, 약혼자가 결사반대를 하는 곳이면 틀림없다. 의심치 말고 가라.
10. 왕관이 아니라 단두대가 기다리고 잇는 곳으로 가라.
직업선택 십계명
• 풀무농업고등기술학교
1. 직업 결정 전에 나의 첚성과 장점, 능력을 잘 파악하자.
2. 이 직업은 낮은 생활, 높은 정신을 실현하는, 더불어 사는 평민의 목표에 맞는직업인가 생각해 보자.
3. 준비는 길수록 좋다. 예수는 3년의 공적 생애를 위해 30년을 준비했다.
4. 학교는 직업 선택과 준비 기갂으로 알되, 직업을 통해 일생 배우고 향상핛 수잇어야 핚다.
5. 수입이나 명예보다 이웃사랑의 실첚도를 기준으로 하라.
6. 내게 맞는 직업보다 우리 사회가 필요로 하는 직업이 무엇인가 찾아보라.
7. 편핚 곳보다 되도록 힘든 곳을 택하라. 그만핚 가치가 붂명히 잇다.
8. 인생을 어떻게 살까 큰 틀을 생각하고 직업문제를 채우도록 하라.
9. 남이 닦아 놓은 길보다 새로운 길을 개척하라.
10. 직업에 귀첚이 없다.