Siyavula Translator1 reeF High School Science Texts Project2.pdf/... · 1. sin 2. cos 3. tan ... Sommige anv hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder, saam met die waardes anv

OpenStax-CNX module: m38451 1

Trigonometrie - Graad 10 [CAPS]*

Siyavula Translator1

Free High School Science Texts Project

Based on Trigonometry - Grade 10� by

Rory Adams

Free High School Science Texts Project

Mark Horner

Heather Williams

This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the

Creative Commons Attribution License 3.0�

1 Inleiding

In meetkunde leer ons wat die verwantskap tussen sye van veelhoeke en die hoeke van veelhoeke is, maarons het nie geleer hoe om 'n hoek te bereken as ons die lengtes van die sye weet nie. Trigonometrie handeloor die verwantskap tussen die hoeke en die sye van 'n reghoekige driehoek. Ons sal leer oor trigonometriesefunksies (driehoeksmetingfunksies), wat die grondslag van trigonometrie vorm.

1.1 Ondersoek: Geskiedenis van Trigonometrie

Werk in pare of groepe en ondersoek die geskiedenis van die grondslag van trigonometrie te ondersoek.Beskryf die verskillende stadia van ontwikkeling en hoe die volgende kulture trigonometrie gebruik het omhulle lewens te verbeter.

Die werke van die volgende mense of kulture kan ondersoek word:

1. Kulture

a. Antieke Egiptenareb. Mesopotamiërsc. Antieke Indiane van die Indusvallei

2. Mense

a. Lagadha (ongeveer 1350-1200 VC)b. Hipparchus (ongeveer 150 BC)

*Version 1.2: Jun 17, 2011 10:05 am -0500�http://cnx.org/content/m32620/1.3/�http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/

http://cnx.org/content/m38451/1.2/


c. Ptolemy (ongeveer 100)d. Aryabhata (ongeveer 499)e. Omar Khayyam (1048-1131)f. Bhaskara (ongeveer 1150)g. Nasir al-Din (13de eeu)h. al-Kashi and Ulugh Beg (14de eeu)i. Bartholemaeus Pitiscus (1595)

note: Jy behoort uit meetkunde bekend te wees met die idee om hoeke te meet, maar het jy alooit gewonder hoekom daar 360 grade in 'n sirkel is? Die rede is suiwer histories. Daar is 360 gradein 'n sirkel omdat die antieke Babiloniëres 'n getallestelsel met grondtal (basis) 60 gehad het. 'nGrondtal is die basisgetal waarby jy nog 'n syfer byvoeg wanneer jy tel. Die getallestelsel wat onsdaagliks gebruik word die desimale stelsel genoem (die grondtal is 10), maar rekenaars gebruik diebinêre sisteem (die grondtal is 2). 360 = 6 x 60 dus het dit vir hulle sin gemaak om 360 grade in'n sirkel te hê.

2 Gebruik van Trigonometrie

Daar is baie toepassings van trigonometrie. Die tegniek van triangulering, wat in sterrekunde gebruik wordom die afstand na nabygeleë sterre te meet, is van besondere waarde in geogra�e om die afstand tussenlandmerke te meet, asook in satelliet navigasiestelsels. GPS (globale posisionering stelsels) sou nie moontlikgewees het sonder trigonometrie nie. Ander velde wat gebruik maak van trigonometrie sluit in sterrekunde(en daarom navigasie op die oseane, in vliegtuie en in die ruimte), musiek teorie, akoestiek, optika, ontledingvan �nansiële markte, elektronika, waarskynlikheidsteorie, statistiek, biologie, mediese ver-beelding (CAT-skanderings en ultraklank), farmakologie, chemie, getalleteorie (en dus kriptologie), seismologie, meteorolo-gie, oseanogra�e, baie �siese wetenskappe, landmeting en geodesie, argitektuur, fonetiek, ekonomie, elektrieseingenieurswese, meganiese ingenieurswese, siviele ingenieurswese, rekenaargra�ka, kartogra�e, kristallogra�een spelontwikkeling.

2.1 Bespreking: Gebruike van Trigonometrie

Kies een van die gebruike van trigonometrie uit die gegewe lys en skryf 'n 1-bladsy verslag wat beskryf hoetrigonometrie in jou gekose veld gebruik word.

3 Gelykvormigheid van Driehoeke

[U+25B5]ABC|||[U+25B5]DEF

[U+25B5]ABC|||[U+25B5]DEF (1)

Figure 1



Dan is dit moontlik om die verhoudings tussen ooreenstemmende sye van die twee driehoeke af te lei, asvolg:

ABBC = DE

EF

ABAC = DE

DF

ACBC = DF

EF

ABDE = BC

EF = ACDF

(2)

Die belangrikste feit omtrent gelykvormige driehoeke ABC and DEF is dat die hoek by toppunt A geyk isaan die hoek by toppunt D, en die hoek by B is gelyk aan die hoek by E, en die hoek by C is gelyk aan diehoek by F.

∠A = ∠D

∠B = ∠E

∠C = ∠F

(3)

3.1 Ondersoek: Verhouding van Gelykvormige Driehoeke

In jou oefeningboek, teken drie gelykvormiige driehoeke van verskillende groottes, maar elkeen met A^=30 ◦;B�=90 ◦

and C�=60 ◦. Meet hoeke en lengtes baie akkuraat ten einde die tabel hieronder te voltooi (rond antwoordeaf tot een desimale plek).

Figure 3

Verdeling van die lengtes van sye (Verhoudings)

ABBC = AB

AC = CBAC =

A'B'

B'C'= A'B'

A'C'= C'B'

A'C'=

A''B''

B''C''= A''B''

A''C''= C''B''

A''C''=

Table 1

Watter waarnemings kan jy oor die verhoudings van die sye maak?Hierdie gelyke verhoudings word gebruik om die trigonometriese funksies te de�nieer.Let wel: In algebra gebruik ons dikwels die letter x vir die onbekende veranderlike (alhoewel ons enige

ander letter kan gebruik, soos a, b, k, ens). In trigonometrie gebruik ons dikwels die Griekse simbool θ vir'n onbekende hoek (ons kan ook α , β , γ etc gebruik).



4 De�nisies van die Trigonometriese Funksies

Ons is bekend met 'n funksie in die vorm f (x) waar f die funksie is en x die veranderlike is. Voorbeelde is:

f (x) = 2x (eksponensiële funksie)

g (x) = +2 (lineêre funksie)

h (x) = 2x2 (paraboliese funksie)

(4)

Die basis van trigonometrie is die trigonometriese funksies. Daar is drie basiese trigonometriese funksies:

1. sinus2. cosinus3. tangens

Dit word afgekort na:

1. sin2. cos3. tan

Hierdie funksies word gede�nieer vanaf 'n reghoekige driehoek, 'n driehoek waar een interne hoek 90 ◦ is.Beskou 'n reghoekige driehoek.

Figure 4

In die reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hoe hulle geplaas word inverhouding tot die hoek θ. Die teenoorstaande sy vanaf die regte hoek word die skuinssy genoem, die sy aandie oorkant van θ word teenoorstande genoem, die sy langs θ word aangrensend genoem. Let daarop dat diekeuse van 'n nie-90-graad interne hoek arbitrêr is. Jy kan enige interne hoek kies en dan die aangrensendeen teenoorgestelde sye dienooreenkomstig de�nieer. Maar die skuinssy bly dieselfde ongeag van die internehoek waarna jy verwys.



Ons de�nieer die trigonometriese funksies, ook bekend as trigonometriese identiteite, as:

sinθ = teenoorstaandeskuinssy

cosθ = aangrensendskuinssy

tanθ = teenoorstaandeaangrensend

(5)

Hierdie funksies bring die lengte van die sye van 'n reghoekige driehoek in verband met die interne hoekedaarvan.

note: Die trigonometriese verhoudings is onafhanklik van die lengte van die driehoek se sye en isslegs afhanklik van die hoeke. Dit is waarom ons die verhoudings as funksies van die hoeke kanbeskou.

Een manier om die de�nisies te memoriseer is om die volgende geheuehulpmiddel te gebruik wat dit miskienmakliker maak om te onthou:

Silly Old Hens Sin = OppositeHypotenuse

Cackle And Howl Cos = AdjacentHypotenuse

Till Old Age Tan = OppositeAdjacent

Table 2

Jy mag ook hoor mense sê Soh Cah Toa. Dit is net 'n ander manier om die trigonometriese funksies teonthou.

tip: Die de�nisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssye is slegs van toepassing wanneerjy besig is met 'n reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regte hoek voordatjy dit gebruik, anders sal jy die verkeerde antwoord kry. Ons sal in Graad 11 maniere vind om metons kennis van reghoekige driehoeke die trigonometrie van nie-reghoekige driehoeke te hanteer.

4.1 Ondersoek: De�nisies van Trigonometriese Funksies

1. In elk van die volgende driehoeke, sê of a, b en c die skuinssy, die teenoorstaande sy of die aangrensendesy van die driehoek is met betrekking tot die gemerkte hoek.

Figure 5

2. Voltooi elk van die volgende, die eerste een is vir jou gedoen:

Figure 5



a sinÂ = teenoorstaande sy

skuinssy = CBAC

b cosÂ =

c tanÂ =

(6)

d sin^C=

e cos^C=

f tan^C=

(7)

3. Voltooi elk van die volgende sonder 'n sakrekenaar :

Figure 7

sin60 =

cos30 =

tan60 =

(8)

Figure 8

sin45 =

cos45 =

tan45 =

(9)

Vir die meeste hoeke θ, is dit baie moeilik om die waardes van sinθ, cosθ en tanθ te bereken. 'n Mens moetgewoonlik 'n sakrekenaar gebruik om dit te doen. Maar ons het in bogenoemde aktiwiteit gesien ons kanhierdie waardes vir 'n paar spesiale hoeke uitwerk. Sommige van hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder,saam met die waardes van die trigonometriese funksies van hierdie hoeke. Onthou dat die lengtes van die syevan 'n reghoekige driehoek Pythagoras se stelling moet gehoorsaam. Die vierkant van die skuinssy (oorkantdie 90 grade hoek) is gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.



0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦

cosθ 1√32

1√2

12 0 −1

sinθ 0 12

1√2

√32 1 0

tanθ 0 1√3

1√

3 − 0

Table 3

Hierdie waardes is nuttig om 'n probleem waar trigonometriese funksies betrokke is op te los sonder om'n sakrekenaar te gebruik.

Exercise 1: Die berekening van lengtes (Solution on p. 26.)

Vind die lengte van x in die volgende driehoek.

Figure 9

Exercise 2: Die berekening van hoeke (Solution on p. 26.)

Vind die waarde van θ in die volgende driehoek.

Figure 9

4.2

In die vorige voorbeeld het ons tan−1 gebruik. Dit is eenvoudig die inverse van die tan-funksie. Sin en coshet ook inverses. Al wat dit beteken, is dat ons die hoek wil vind wat die uitdrukking waar maak.

Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy tot dusver geleer het.

Khan Akademie video oor trigonometrie - 1

This media object is a Flash object. Please view or download it at<http://www.youtube.com/v/F21S9Wpi0y8&rel=0>

Figure 9



Khan Akademie video oor trigonometrie - 2

This media object is a Flash object. Please view or download it at<http://www.youtube.com/v/QS4r_mqs-rY&rel=0>

Figure 9

4.3 Die vind van lengtes

Vind die lengtes van die sye wat met letters gemerk is. Gee die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke.

Figure 9

Figure 9

Kliek hier vir die oplossing.1

5 Tweedimensionele Probleme

Ons kan die trigonometriese funksies gebruik om probleme in twee dimensies wat reghoekige driehoekebevat, op te los. As jy byvoorbeeld een van die hoeke van 'n vierhoek wil vind, kan jy 'n reghoekige driehoekkonstrueer en die trigonometriese funksies gebruik om die hoek te bereken. Dit sal duideliker word namatejy deur die voorbeelde werk.

Exercise 3 (Solution on p. 26.)

ABCD is 'n trapesium met AB = 4cm, CD = 6cm, BC = 5cm en AD = 5cm. Punt E op die

diagonaal AC verdeel die diagonaal so dat AE = 3cm. Vind A^B C.

6 Die Trigonometriese Funksies vir Enige Hoek

Tot dusver het ons die trigonometriese funksies gede�nieer deur gebruik te maak van reghoekige driehoeke.Ons kan nou hierdie de�nisies uitbrei na alle hoeke. Ons kry dit reg deur daarop te let dat die de�nisies nieafhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie, maar slegs bepaal word deur die hoekgootte.So, as ons enige punt op die Cartesiese vlak merk en 'n lyn trek vanaf daardie punt na die oorsprong, kan

1http://www.fhsst.org/lc1



ons werk met die hoek tussen daardie lyn en die x-as. In Figure 9 is punte P en Q gemerk. 'n Lyn is getrekvanaf die oorsprong na elk van die punte. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke kan konstureervir elke punt. Nou kan ons hoeke A en B vind.

Figure 9

Jy sal vind hoek A is 63, 43◦. Vir hoek B, moet jy eers vir x = 33, 69◦ bereken en dan is B = 180◦ −33, 69◦ = 146, 31◦. Maar, gestel ons dit wil doen sonder om hierdie hoeke uit te werk en vas te stel of ons 180grade of 90 grade moet bytel of aftrek? Kan ons trigonometriese funksies gebruik om dit te doen? Beskoupunt P in Figure 9. Om die hoek te vind, sou jy een van die trigonometriese funksies gebruik het, naamliktanθ. Let op, die sy wat aangrensend is aan die hoek, is die x-koordinaat en die sy teenoor die hoek is diey-koordinaat. Maar wat van die skuinssy? Ons kan dit vind deur die Stelling van Pythagoras te gebruikaangesien ons die twee reghoeksye van 'n reghoekige driehoek het. As ons 'n sirkel trek met die oorsprongas middelpunt, dan is die lengte vanaf die oorsprong na punt P die radius van die sirkel, wat ons aanduimet r. Nou kan ons al ons trigonometriese verhoudings herskryf in terme van x, y en r. Maar hoe help ditons om B te vind? Vanaf punt Q na die oorsprong is r en ons het die koordinate van Q. Ons gebruik noueenvoudig ons nuut-gede�nieërde trigonometriese funksies om B te bereken! (Probeer dit self en bevestigdat jy dieselfde antwoord kry as vantevore). Wanneer ons anti-kloksgewys om die oorsprong beweeg, is diehoeke positief en wanneer ons kloksgewys draai in die Cartesiese vlak, is die hoeke negatief.

Ons kry dus die volgende de�nisies vir die trigonometriese funksies:

sinθ = xr

cosθ = yr

tanθ = yx

(10)

Gestel die x-koordinaat of die y-koordinaat is negatief. Ignoreer ons dit of is daar 'n manier om dit inberekening te bring? Die antwoord is dat ons dit nie ignoreer nie: die teken voor die x- of y-koordinaatbepaal of sin, cos en tan positief of negatief is. Die Cartesiese vlak is verdeel in kwadrante en dan gebruikons Figure 10 om vir ons aan te dui of die trigonometriese funksie positief of negatief is. Die diagram staanbekend as die CAST diagram.

Figure 10

Op dieselfde wyse kan ons die de�nisies uitbrei na die resiprook funksies:

cosecθ = rx

secθ = ry

cotθ = xy

(11)



Exercise 4: Berekening van hoeke (Solution on p. 27.)

Punt R(-1;-3) en punt S(3;-3) is aangedui op die diagram hieronder. Vind die hoeke α en β.

Figure 11

note: Let op dat in die uitgewerkte voorbeeld hierbo, hoek α eenvoudig die hoek is wat lyn OSmaak met die x-as. Dus kan ons trigonometrie gebruik om te bereken watter hoek 'n lyn maak metdie x- of y-as.

7 Oplos van Eenvoudige Trigonometriese Vergelykings

Deur te gebruik wat ons geleer het omtrent trigonometriese funksies, kan ons nou eenvoudige trigonome-triese vergelykings oplos. Ons gebruik ook die beginsels van Equations and Inequalities om ons te help omtrigonometriese vergelykings op te los.



note: Die is belangrik om daarop te let dat 2sinθ 6= sin (2θ). Met ander woorde om die verhoudingte verdubbel (met 2 te vermenigvuldig) het 'n ander betekenis as om die hoek te verdubbel.

Exercise 5 (Solution on p. 28.)

Los die volgende trigonometriese vergeyking op: 3cos (2x+ 38◦) + 3 = 2

aside: In grade 11 en 12, sal jy meer leer oor die oplos van trigonometriese vergelykings.

8 Eenvoudige Toepassings van Trigonometriese Funksies

Trigonometrie is waarskynlik in antieke beskawings uitgevind om praktiese probleme, byvoorbeeld in diebou- en konstruksiebedryf, asook navigasie met behulp van sterre, op te los. In hierdie afdeling sal ons wyshoe trigonometrie gebruik kan word om 'n paar ander praktiese probleme op te los.

8.1 Hoogte en Diepte

Figure 11: Bepaling van die hoogte van 'n gebou deur trigonometrie te gebruik

'n Eenvoudige taak is om die hoogte van 'n gebou te vind met behulp van trigonometrie. Ons sou net 'nmaatband van die dak kon laat sak, maar dit is onprakties (en gevaarlik) by hoë geboue. Dit is baie meersinvol om 'n afstand op die grond te meet en trigonometrie te gebruik om die hoogte van die gebou te vind.

Figure 11 toon 'n gebou waarvan ons nie die hoogte weet nie. Ons het 100 m weg van die gebou gestapen die hoek van die grond tot by die top van die gebou gemeet . Hierdie hoek is 38, 7◦. Ons noem hierdiehoek die hoogtehoek. Soos jy kan sien van Figure 11, het ons nou 'n reghoekige driehoek. Omdat ons weetwat die lengte van een sy en 'n hoek is, kan ons die hoogte van die driehoek bereken, wat die hoogte van diegebou is wat ons probeer vind.

As ons kyk na die �guur, sien ons dat ons met die teenoorstaande en die aangrensende sy van diehoogtehoek werk en ons kan skryf:

tan38, 7◦ = teenoorstaandeaangrensend

= hoogte100m

hoogte = 100m× tan38, 7◦

= 80m

(12)

Exercise 6: Hoogte van die toring (Solution on p. 28.)

'n Blok woonstelle is 100m weg van 'n selfoontoring. Iemand staan by B. Hulle meet die hoek vanB na die bopunt van die toring E en dit is 62 ◦. Dit is die hoogtehoek. Dan meet hulle die hoekvan B af na die basis van die toring C en dit is 34◦. Dit is die dieptehoek. Wat is die hoogte vandie selfoontoring korrek tot 1 desimale plek?



Figure 12

8.2 Kaarte en planne

Kaarte en planne is gewoonlik skaaltekeninge. Dit beteken hulle is 'n presiese kopie van die regte ding, maargewoonlik kleiner. Dus word net lengtes verander, maar al die hoeke is dieselfde. Ons kan dus hierdie ideegebruik om kaarte en planne te gebruik deur inligting van die werklike wêreld by te voeg.

Exercise 7: Skaaltekeninge (Solution on p. 29.)

'n Skip op pad na die Kaapstadhawe bereik punt A op die kaart, reg suid van Pretoria en reg oosvan Kaapstad. As die afstand vanaf Kaapstad na Pretoria 1000km is, gebruik trigonometrie om uitte vind hoe ver oos die skip van Kaapstad is, en vind op hierdie manier die skaal van die kaart.

Figure 12

Exercise 8: Bouplan (Solution on p. 29.)

Mnr Nkosi het 'n motorhuis by sy huis, en hy besluit hy wil 'n sinkdak aan die kant van symotorhuis aanlas. Die motorhuis is 4m hoog, en die plaat vir die dak is 5m lank. As hy die dakteen 'n hoek van 5◦ wil hê, hoe hoog moet hy die muur, BD, wat die dak ophou, bou? Gee dieantwoord tot 2 desimale plekke.

Figure 12

8.2.1 Toepassings van Trigonometriese Funksies

1. 'n Seun vlieg 'n vlieër en staan 30 m van 'n punt direk onder die vlieër. As die tou van die vlieër 50 mlank is, bepaal die hoogtehoek van die vlieër.Kliek hier vir die oplossing.2

2http://www.fhsst.org/lcY



2. Wat is die hoogtehoek van die son as 'n boom van 7,15 m hoog 'n skadu van 10,1 m lank gooi?Kliek hier vir die oplossing.3

9 Gra�eke van Trigonometriese Funksies

Hierdie afdeling beskryf die gra�eke van trigonometriese funksies.

9.1 Gra�ek van sinθ

9.1.1 Gra�ek van sinθ

Volgooi die volgende tabel en gebruik jou sakrekenaar om die waardes te bereken. Stip dan die waardesmetsinθ op die y-as en θ op die x-as. Rond die antwoorde af tot 1 desimale plek.

θ 0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦

sinθ

θ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦ 300◦ 330◦ 360◦

sinθ

Figure 12

Table 4

Laat ons terugkyk na ons waardes vir sinθ .

θ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦

sinθ 0 12

1√2

√32 1 0

Table 5

Soos jy kan sien, die funksie sinθ het 'n waarde van 0 by θ = 0◦. Sy waarde neem egalig toe tot byθ = 90◦ wanneer sy waarde 1 is. Ons weet ook dat dit later afneem na 0 as θ = 180◦. Deur dit alles bymekaarte sit, kan ons 'n idee kry van die volle omvang van die sinuskurwe. Die sinuskurwe word gewys in Figure 12.Let op die kurwe se vorm, waar elke kurwe die lengte het van 360◦. Ons sê die gra�ek het 'n periode van360◦. Die hoogte van die kurwe bo (of onder) die x-as word die kurwe se amplitude genoem. Dus is dieamplitude van die sinuskurwe is 1.

3http://www.fhsst.org/lcr



Figure 12: Die gra�ek van y = sinθ

9.2 Funksies in die vorm y = asin (x) + q

In die vergelyking, y = asin (x) + q, a en q is konstantes en het verskillende invloede op die gra�ek van diefunksie. Die algemene vorm van hierdie gra�ek word gewys in Figure 12 vir die funksief (θ) = 2sinθ + 3.

Figure 12: Gra�ek van f (θ) = 2sinθ + 3

9.2.1 Funksies van die vorm y = asin (θ) + q :

1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende gra�eke:

a. a (θ) = sinθ − 2b. b (θ) = sinθ − 1c. c (θ) = sinθd. d (θ) = sinθ + 1e. e (θ) = sinθ + 2

Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende gra�eke:

a. f (θ) = −2 · sinθb. g (θ) = −1 · sinθc. h (θ) = 0 · sinθd. j (θ) = 1 · sinθe. k (θ) = 2 · sinθ

Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.

Dis duidelik dat q 'n vertikale verskuiwing teweegbring. As q = 2, sal die hele sinusgra�ek 2 eenhede opskuif.As q = −1, suif die hele gra�ek 1 eenheid af.

Hierdie eienskappe word opgesom in Table 6.Jy behoort te vind dat die waarde van a die hoogte van die pieke van die gra�ek beïnvloed. As die

grootte van a toeneem, word die pieke hoër. As dit afneem, word die pieke laer.



a > 0 a < 0

q > 0

Figure 12 Figure 12

q < 0

Figure 12 Figure 12

Table 6: Tabel wat die algemene vorms en posisies van gra�eke en funksies in die vorm y = asin (x) + qopsom

9.2.2 Gebied en Terrein

Vir f (θ) = asin (θ) + q, is die gebied {θ : θ ∈ R} omdat daar geen waarde is van θ ∈ R waarvoor f (θ)ongede�nieerd is nie.

Die terrein van f (θ) = asinθ + q hang daarvan af of die waarde vir a positief of negatief is. Ons sal dietwee gevalle afsonderlik oorweeg.

As a > 0 we have:

−1 ≤ sinθ ≤ 1−a ≤ asinθ ≤ a (V ermenigvuldiging met 'n positiewe getal handhaaf die aard van die ongelykheid)−a+ q ≤ asinθ + q ≤ a+ q − a+ q ≤ f (θ) ≤ a+ q

(13)

Dit vertel ons dat vir alle waardes van θ, f (θ) altyd tussen −a+ q en a+ q is. Daarom as a > 0, is dieterrein van f (θ) = asinθ + q dus {f (θ) : f (θ) ∈ [−a+ q, a+ q]}.

Insgelyks, daar kan getoon word dat as a < 0, dan is die terrein van f (θ) = asinθ + q is {f (θ) : f (θ) ∈[a+ q,−a+ q]}. Dit word as 'n oefening gelaat.

tip: Die maklikste manier om die terrein te bepaal is om bloot vir die "bokant" en die "onderkant"van die gra�ek te soek.



9.2.3 Snypunte

Die y-snypunt, yint, van f (θ) = asin (x) + q is eenvoudig die waarde van f (θ) by θ = 0.

yint = f (0◦)

= asin (0◦) + q

= a (0) + q

= q

(14)

9.3 Gra�ek van cosθ

9.3.1 Gra�ek van cosθ :

Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar om die waardes korrek tot 1 desimale plek te bereken.Stip dan die waardes met cosθ op die y-as en θ op die x-as.

θ 0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦

cosθ

θ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦ 300◦ 330◦ 360◦

cosθ

Figure 14

Table 7

Laat ons terugkyk na ons waardes vir cosθ.

θ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦

cosθ 1√32

1√2

12 0 −1

Table 8

As jy noukeurig kyk, sal jy oplet dat die cosinus van 'n hoek θ dieselfde is as die sinus van die hoek(90◦ − θ). Neem byvoorbeeld,

cos60◦ =1

2= sin30◦ = sin (90◦ − 60◦) (15)

Dit wys ons dat ten einde 'n cosinusgra�ek te skep, al wat ons hoef te doen is om die sinusgra�ek 90◦ nalinks te skuif. die gra�ek van cosθ word gewys in Figure 15. As die cosinusgra�ek eenvoudig 'n geskuifdesinusgra�ek is, sal dit dieselfde periode en amplitude as die sinuskurwe hê.



Figure 15: Gra�ek van cosθ

9.4 Funksies in die vorm y = acos (x) + q

In die vergelyking, y = acos (x) + q. a and q is konstantes en het verskillende invloede op die gra�ek vandie funksie. Die algemene vorm van die gra�eke van hierdie soort funksies word getoon in Figure 15 vir diefunksie f (θ) = 2cosθ + 3.

Figure 15: Gra�ek van f (θ) = 2cosθ + 3

9.4.1 Funksies van die vorm y = acos (θ) + q :

1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende gra�eke:

a. a (θ) = cosθ − 2b. b (θ) = cosθ − 1c. c (θ) = cosθd. d (θ) = cosθ + 1e. e (θ) = cosθ + 2

Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende gra�eke:

a. f (θ) = −2 · cosθb. g (θ) = −1 · cosθc. h (θ) = 0 · cosθd. j (θ) = 1 · cosθe. k (θ) = 2 · cosθ


Ons vind dat die waarde van a die amplitude van die cosinusgra�ek op dieselfde manier beïnvloed as watdit vir die sinusgra�ek gedoen het.

Verandering in die waarde van q sal die die cosinusgra�ek op dieselfde manier skuif as wat dit vir diesinusgra�ek gedoen het.

Die verskillende eienskappe word opgesom in Table 9.



a > 0 a < 0

q > 0

Figure 15 Figure 15

q < 0

Figure 15 Figure 15

Table 9: Tabel wat die algemene vorms en posisies van gra�eke en funksies in die vorm y = acos (x) + qopsom

9.4.2 Gebied en Terrein

Vir f (θ) = acos (θ) + q, is die gebied {θ : θ ∈ R} want daar is geen waarde van θ ∈ R waarvoor f (θ)ongede�nieërd is nie.

Dit is maklik om te sien dat die terrein van f (θ) dieselfde sal wees as die terrein van asin (θ) + q. Dit isomdat die maksimum en minimumwaardes van acos (θ)+q dieselfde is as die maksimum en minimumwaardesvan asin (θ) + q.

9.4.3 Snypunte

Die y-afsnit van f (θ) = acos (x) + q word bereken op dieselfde wyse as vir sinus.

yint = f (0◦)

= acos (0◦) + q

= a (1) + q

= a+ q

(16)



9.5 Vergelyking van die Gra�eke van sinθ en cosθ

Figure 16: Die gra�ek van cosθ (soliede lyn) en die gra�ek van sinθ (stippellyn)

Let daarop dat die twee gra�eke baie eenders lyk. Beide ossilleer op en af rondom die x-as soos wat jybeweeg langs die as. Die afstande tussen die pieke van die twee gra�eke is dieselfde en is konstant vir elkegra�ek. Die hoogte van elke piek en die diepte van elke trog is dieselfde.

Die enigste verskil is dat die singra�ek skuif 'n bietjie na regs ten opsigte van die cos gra�ek, met 90◦.Dit beteken dat as ons die hele cosgra�ek 90◦ na regs skuif, sal dit perfek oorvleul met die sin gra�ek. Jykan ook die sin gra�ek 90 ◦ na links skuif en dan sal dit perfek oorvleul met die cos gra�ek. Dit betekendat:

sinθ = cos (θ − 90) (skuif diecosgrafiek na die regterkant)

en

cosθ = sin (θ + 90) (skuif diesingrafiek na die linkerkant)

(17)

9.6 Gra�ek van tanθ

9.6.1 Gra�ek van tanθ

Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar en bereken die waardes korrek tot 1 desimale plek. Stipdan die waardes met tanθ op die y-as en θ op die x-as.

θ 0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦

tanθ

θ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦ 300◦ 330◦ 360◦

tanθ

Figure 17

Table 10



Kom ons kyk weer na ons waardes vir tanθ.

θ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦

tanθ 0 1√3

1√

3 ∞ 0

Table 11

Nou dat ons die gra�eke het vir sinθ en cosθ, is daar 'n maklike manier om die tan-gra�ek te visualiseer.Kom ons kyk weer na ons de�nisies van sinθ en cosθ vir 'n reghoekige driehoek.

sinθ

cosθ=

teenoorstaandeskuinssy

aangrensendskuinssy

=teenoorstaande

aangrensend= tanθ (18)

Dit is die eerste van 'n stel belangrike verbande wat ons trigonometriese identiteite noem. 'n Identiteit iswaar vir enige waarde van die onbekende(s) wat daarin ingestel word. In hierdie geval het ons aangetoondat

tanθ =sinθ

cosθ(19)

vir enige waarde van θ.Dus weet ons dat vir die waardes van θ waarvoor sinθ = 0, moet ook tanθ = 0. Soortgelyk, as cosθ = 0 is

die waarde van tanθ ongede�niëerd omdat ons nie mag deel met 0 nie. Die gra�ek word getoon in Figure 19.Die vertikale stippellyne is die waardes van θ waarvoor tanθ nie gede�niëerd is nie.

Figure 19: Die gra�ek van tanθ

9.7 Funksies van die vorm y = atan (x) + q

Die �guur hieronder is 'n voorbeeld van 'n funksie van die vorm y = atan (x) + q.

Figure 19: Die gra�ek van 2tanθ + 1



9.7.1 Funksies van die vorm y = atan (θ) + q :

1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gra�eke:

a. a (θ) = tanθ − 2b. b (θ) = tanθ − 1c. c (θ) = tanθd. d (θ) = tanθ + 1e. e (θ) = tanθ + 2

Gebruik jou resultate om die invloed van q af te lei.2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende gra�eke:

a. f (θ) = −2 · tanθb. g (θ) = −1 · tanθc. h (θ) = 0 · tanθd. j (θ) = 1 · tanθe. k (θ) = 2 · tanθ


Ons vind dat die waarde van a die steilheid van die bene van die gra�ek beinvloed. Hoe groter die absolutewaarde van a, hoe vinniger nader die bene die waardes van hulle asimptote, die waardes waar hulle niegede�nieërd is nie. Negatiwe a waardes keer die rigting waarin die bene van die gra�ek loop, om. Onsvind verder dat die waarde van q beïnvloed die vertikale verskuiwing net soos by sinθ and cosθ. Hierdieverskillende eienskappe word opgesom in Table 12.

a > 0 a < 0

q > 0

Figure 19 Figure 19

continued on next page



q < 0

Figure 19 Figure 19

Table 12: Tabel van die algemene vorms en posisies van gra�eke en funksies van die vorm y = atan (x) + q

9.7.2 Domein en Omvang

Die domein vanf (θ) = atan (θ) + q is al die waardes van θ sodat cosθ nie gelyk is aan 0 nie. Ons het reedsgesien dat as cosθ = 0, tanθ = sinθ

cosθ ongede�nieerd is, want ons het deling deur nul. Ons weet dat cosθ = 0

vir alleθ = 90◦ + 180θn, waar n 'n heelgetal is. Dus die gebied vanf (θ) = atan (θ) + q is alle waardes van θ,behalwe die waardes θ = 90◦ + 180◦n.

Die omvang van f (θ) = atanθ + q is {f (θ) : f (θ) θ (−∞,∞)}.

9.7.3 Snypunte

Die y-snypunt, yint, of f (θ) = atan (x) + q is slegs die waarde van f (θ) by θ = 0◦.

yint = f (0◦)

= atan (0◦) + q

= a (0) + q

= q

(20)

9.7.4 Asimptote

Soos θ geleidelik naderkom aan 90◦, sal tanθ nader kom aan oneindig. Maar omdat θ ongede�nieërd is by90◦, kan θ slegs al nader kom aan 90◦, maar nooit daarby uitkom nie. So, die tanθ gra�ek kom nader ennader aan die lyn θ = 90◦, sonder om dit ooit te ontmoet. Dus die lyn θ = 90◦ is 'n asimptoot van tanθ.tanθ het ook asimptote by θ = 90◦ + 180◦n, waar n 'n heelgetal is.

9.7.4.1 Gra�eke van Trigonometriese Funksies

1. Deur you kennis van die invloed van a en q te gebruik, skets elk van die volgende gra�eke, sonder om'n tabel van waardes te gebruik, vir θ ∈ [0◦; 360◦]

a. y = 2sinθb. y = −4cosθc. y = −2cosθ + 1d. y = sinθ − 3e. y = tanθ − 2f. y = 2cosθ − 1

Kliek hier vir die oplossing. 4

4http://www.fhsst.org/la8



2. Gee die vergelykings van elk van die volgende gra�eke:

Figure 20

Figure 20

Figure 20


Die volgende aanbieding som op wat jy tot dusver in die hoofstuk geleer het. Ignoreer die laaste sky�e.

This media object is a Flash object. Please view or download it at<http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=p0008-wynberggirlshigh-louisekeegan-maths-

grade10-trigonometry-100930084905-phpapp01&stripped_title=wynberg-girls-highlouise-keeganmathsgrade10trigonometry>

Figure 20

10 Einde van Hoofstuk Oefeninge

1. Bereken die onbekende lengtes

Figure 20

5http://www.fhsst.org/la0




2. In die driehoek PQR, PR = 20 cm, QR = 22 cm en P^R Q = 30◦. Die loodregte lyn van P to QR

sny QR by X. Bereken

a. die lengte XR,b. die lengte PX, en

c. die hoek Q^P X


3. 'n Leer van 15 m lank rus teen 'n muur, die basis van die leer is 5 m van die muur. Vind die hoektussen die muur en die leer.Kliek hier vir die oplossing.8

4. 'n Leer van 25 m rus teen 'n muur, die leer maak 'n hoek 37◦ met die muur. Vind die afstand tussendie muur en die basis van die leer.Kliek hier vir die oplossing.9

5. In die volgende driehoek vind die hoek A^B C

Figure 20


6. In die volgende driehoek vind die lengte van sy CD

Figure 20


7. A (5; 0) and B (11; 4). Vind die hoek tussen die lyn deur A en B en die x-as.Kliek hier vir die oplossing.12

8. C (0;−13) and D (−12; 14). Vind die hoek tussen die lyn deur C en D en die y-as.Kliek hier vir die oplossing.13

9. 'n 5m Leer word geplaas 2m van die muur. Wat is die hoek wat die leer met die muur maak?Kliek hier vir die oplossing.14

6http://www.fhsst.org/la97http://www.fhsst.org/laX8http://www.fhsst.org/lal9http://www.fhsst.org/la5

10http://www.fhsst.org/laN11http://www.fhsst.org/laR12http://www.fhsst.org/lan13http://www.fhsst.org/laQ14http://www.fhsst.org/laU



10. Gegewe die punte: E(5;0), F(6;2) and G(8;-2), vind 'n hoek FÊ G.


11. 'n Gelykbenige driehoek het sye 9 cm, 9 cm and 2 cm. Vind die grootste en kleinste hoeke van diedriehoek.Kliek hier vir die oplossing.16

12. 'n Reghoekige driehoek het 'n skuissy 13 mm. Vind die lengte van die ander twee sye as een van diehoeke van die driehoek 50◦is.Kliek hier vir die oplossing.17

13. Een van die hoeke van 'n ruit (ruit - 'n Viersydige veelhoek, waarvan elkeen van die sye van gelykelengte is) met 'n omtrek 20 cm is 30◦.

a. Vind die sye van die ruit.b. Vind die lengte van beide diagonale.


14. Kaptein Hook seil na 'n lighuis met 'n hoogte van 10m.

a. As die bopunt van die lighuis 30m weg is, wat is die hoogtehoek van die boot tot die naasteheelgetal?

b. As die boot nog 7m nader aan die lighuis beweeg, wat is die nuwe hoogtehoek van die boot totdie naaste heelgetal?


15. (Kopkrapper) 'n Driehoek met hoeke 40◦, 40◦ en 100◦ het 'n omtrek van 20 cm. Vind die lengte vanelke sy van die driehoek.Kliek hier vir die oplossing.20

15http://www.fhsst.org/lap16http://www.fhsst.org/laV17http://www.fhsst.org/laP18http://www.fhsst.org/laE19http://www.fhsst.org/lam20http://www.fhsst.org/lay



Solutions to Exercises in this Module

Solution to Exercise (p. 7)

Step 1. In hierdie geval werk ons met 'n hoek van 50◦, die teenoorstaande sy en die skuinssy.Dus moet jy moet singebruik.

sin50◦ =x

100(21)

Step 2.⇒ x = 100× sin50◦ (22)

Step 3. Gebruik die sin-knoppie op jou sakrekenaar.

⇒ x = 76.6m (23)


Step 1. In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die skuinssy ten opsigte van die hoek θ.Dus moet jy tangebruik.

tanθ =50

100(24)

Step 2.tanθ = 0.5 (25)

Step 3. Omdat jy die hoek wil kry,gebruik tan−1 op jou sakrekenaar.Moenie vergeet om jou sakrekenaar na 'degree' modus te stel nie!

θ = 26.6◦ (26)


Step 1. Ons maak 'n skets en konstrueer reghoekige driehoeke om ons te help om die probleem visueel voor testel.



Figure 26

Step 2. Ons sal driehoeke ABE en BEC gebruik om die twee hoeke te bereken wat ons dan kan bymekaartelom die gevraagde hoek te kry.

Step 3. Ons gebruik sin vir beide driehoeke aangesien ons die skuinssye en die teenoorstaande sye het.Step 4. In driehoek ABE vind ons:

sin

(A

^B E

)= opp

hyp

sin

(A

^B E

)= 3

4

A^B E = sin−1

(34

)A

^B E = 48, 59◦

(27)

Ons gebruik die Stelling van Pythagoras en vind EC = 4, 4cm. In driehoek BEC vind ons:

sin

(C

^B E

)= opp

hyp

sin

(C

^B E

)= 4,4

5

A^B E = sin−1

(4,45

)C

^B E = 61, 64◦

(28)

Step 5. Ons tel die twee hoeke saam en kry 48, 59◦ + 61, 64◦ = 110, 23◦


Step 1. Ons het die koordinate van punte R en S en ons moet die groottes van die twee hoeke vind. Hoek β ispositief en hoek α is negatief.



Step 2. Ons gebruik tan om β te vind, aangesien ons slegs x en y het. Ons sien die hoek lê in die derdekwadrant waar tan positief is.

tan (β) = yx

tan (β) = −3−1

β = tan−1 (3)

β = 71, 57◦

(29)

Step 3. Ons gebruik tan om α te bereken aangesien ons x en y het. Die hoek is in die vierde kwadrant waartan negatief is.

tan (α) = yx

tan (α) = −33

α = tan−1 (−1)

α = −45◦

(30)

Step 4. Hoek α is −45◦ en hoek β is 71, 57◦


Step 1.

3cos (2x+ 38◦) = 2− 3

cos (2x+ 38◦) = −13

(2x+ 38◦) = 107, 46◦

2x = 107, 46◦ − 38◦

2x = 69, 46◦

x = 34, 73◦

(31)

Step 2. x = 34, 73◦


Step 1. Om die hoogte van 'n toring te vind, hoef ons net die lengte van CD en DE te vind. Ons sien dat[U+25B5]BDE en [U+25B5]BDC beide reghoekige driehoeke is. Vir elkeen van die driehoeke het ons'n hoek en ons het die lengte BD. Dus kan ons die sye van die driehoeke bereken.

Step 2. Dit word vir ons gegee dat die lengte van AC 100m is. CABD is 'n reghoek, dus BD = AC = 100m.

tan

(C

^B D

)= CD

BD

⇒ CD = BD × tan(C

^B D

)= 100× tan34◦

(32)

Gebruik jou sakrekenaar om te vind dat tan34◦ = 0, 6745. Deur dit te gebruik, vind ons dat CD =67, 45m.



Step 3.

tan

(D

^B E

)= DE

BD

⇒ DE = BD × tan(D

^B E

)= 100× tan62◦

= 188, 07m

(33)

Step 4. Ons het die hoogte van die toring CE = CD +DE = 67, 45m+ 188, 07m = 255.5m.


Step 1. Ons weet reeds die afstand tussen Kaapstad en A in blokke van die gegewe kaart, is 5 blokke. Dus,as ons bereken hoeveel kilometers hierdie afstand is, kan ons bereken hoeveel kilometers elke blokverteenwoordig, en dan het ons die skaal van die kaart.

Step 2. Laat ons Kaapstad aandui met C en Pretoria met P . Ons kan sien dat die driehoek APC reghoekigis. Verder sien ons AC en afstand AP is beide 5 blokke. Dit is dus 'n gelykbenige driehoek en

A^C P = A

^P C = 45◦.

Step 3.

CA = CP × cos(A

^C P

)= 1000× cos (45◦)

= 1000√2

km

(34)

Om die skaal uit te werk, sien ons dat

5 blokke = 1000√2km

⇒ 1 blok = 200√2km

(35)


Step 1. Ons sien dat die driehoek ABC 'n reghoekige driehoek is. Aangesien ons een sy en 'n hoek van diedriehoek het, kan ons AC bereken. Die hoogte van die muur is die hoogte van die motorhuis minusAC.

Step 2. As BC=5m, en hoek A^B C = 5◦, dan

AC = BC × sin(A

^B C

)= 5× sin5◦

= 5× 0, 0871

= 0.4358m

(36)

Dus het ons dat die hoogte van die muurBD = 4m− 0.4358m = 3.56m.


Documents

Siyavula Translator1 reeF High School Science Texts Project2.pdf/... · 1. sin 2. cos 3. tan ... Sommige anv hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder, saam met die waardes anv