Situations additives

soustractives au cycle 2 Mathématiques décembre

2017Résolution de problèmes

Cycle 1

• A la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul.

• Analyse d’une video

• Quels sont les apprentissages en jeu dans la séance?

• Quels sont les attendus en maternelle par rapport aux situations problèmes

� Construire la notion de nombre en maternelle c'est maîtriser la correspondance entre ces 3 formes de représentation

Connaissance orale desmots-nombres,

de la suite numérique

Connaissance écritureen chiffre

Connaissance des collections et appropriation des décompositions

des nombres jusque 10

Utiliser les nombres dans des-situations fonctionnelles,-rituelles, -activités construites-construire une collection égale-compléter deux collections-comparer deux collections- partager une collection

pour

DES RESULTATS EN Mathématiques ET en Français

en baisse

• Enquête TIMSS : l'évaluation des performances scolaires) et conduite tous les quatre ans depuis 1995, évalue les performances des élèves en mathématiques et en sciences. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) s'intéresse aux connaissances des élèves en maths et en sciences à un niveau scolaire donné, CM1

• l'enquête Pirls 2016 (Programme international de recherche en lecture scolaire apprécie la « compétence en lecture », c'est-à-dire « l'aptitude à comprendre et à utiliser les formes du langage écrit que requiert la société », quatre points essentiels : prélever des informations, faire des déductions, interpréter et assimiler, examiner et évaluer le contenu.

Cycle 2La résolution de problèmes est au centre de l'activité mathématique des élèves…. Ils peuvent être issus de situations de vie de classe ou de situations rencontrées dans d'autres enseignements, notamment «Questionner le monde». Ils ont le plus souvent possible un caractère ludique. On veillera à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes .Les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens, en particulier des problèmes portant sur des grandeurs ou sur leurs mesures.

En lien avec le travail mené dans «Questionner le monde » les élèves rencontrent des grandeurs qu'ils apprennent à mesurer, ils construisent des connaissances de l'espace essentielles et abordent l'étude de quelques relations géométriques et de quelques objets (solides et figures planes) en étant confrontés à des problèmes dans lesquels ces connaissances sont en jeu.

Cycle 2

�Des résolutions de problèmes contextualisés : dénombrer des collections, mesurer des grandeurs, repérer un rang dans une liste, prévoir des résultats d'actions portant sur des collections ou des grandeurs (les comparer, les réunir, les augmenter, les diminuer,les partager en parts égales ou inégales, chercher combien de fois l'une est comprise dans l'autre, etc.).

� Ces actions portent sur des objets tout d'abord matériels puis évoqués à l'oral ou à l'écrit ; le travail de recherche et de modélisation sur ces problèmes permet d'introduire progressivement les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division).

�.

Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul

Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée..., conduisant à utiliser les quatre opérations.- Sens des opérations.- Problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction).- Problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division).Modéliser ces problèmes à l'aide d'écritures mathématiques.- Sens des symboles +, -, ×, :

Étudier les liens, entre :- addition et soustraction- multiplication et division.

Distinguer les problèmes relevant des structures additives des problèmes relevant de structures multiplicatives.

Organisation et gestion de données

Exploiter des données numériques pour répondre à des questions.Présenter et organiser des mesures sous forme de tableaux.- Modes de représentation de données numériques : tableaux, graphiques simples, etc.

Ce travail est mené en lien avec « Grandeurs et mesures » et « Questionner le monde ».

�Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

�Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.

�Problèmes relevant :des structures additives, des structures multiplicatives, enrichir progressivement le répertoire des problèmes additifs et multiplicatifs

Compétences attendues à la fin du cycle 3

•Qu’est-ce que résoudre un

problème?

Essayons-nous à chercher la solution de chacun de ces problèmes

Vous pouvez dessiner, schématiser, calculer pour valider vos propositions.

Chaque problème a une seule réponse.

C’est un problème, car il est résoluble, si…

• Dans un contexte connu,

• des données exploitables,

par opérations (mathématiques ou mentales),

• permettent de répondre à la (vraie) question posée.

Les constituants du problème

• Le support: texte, image, tableaux…..

• Les données: utiles/inutiles, brutes/à calculer

• La question: sa place, sa formulation

Jean BRUN, Math.Ecole n°141, 1990« la résolution de problèmes arithmétiques: bilan et perspectives »

« dans une perspective psychologique, un problème est généralement défini comme une situation initialeavec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire. C’est dire aussi que le problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple. »

Le problème simple

�Un problème qui ne pose pas problème?

�Un énoncé stéréotypé qui conduit à la répétition inévitable de la même opération utilisant les deux seules données numériques fournies dans le texte? (problème d’application)

�« On veillera à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d'application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements. » programmes 2015

Résolution de problèmes programme 2015

• Au CP, les élèves commencent à résoudre des problèmes additifs et soustractifs auxquels s'ajoutent des problèmes multiplicatifs dans la suite du cycle. L'étude de la division, travaillée au cycle 3, est initiée au cours du cycle 2 dans des situations simples de partage ou de groupement. Elle est ensuite préparée par la résolution de deux types de problèmes : ceux où l'on cherche combien de fois une grandeur contient une autre grandeur et ceux où l'on partage une grandeur en un nombre donné de grandeurs. Au CE2, les élèves sont amenés à résoudre des problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes, nécessitant par exe

Difficultés dans la résolution de problèmes

•Statut de l’erreur

•Les principaux obstacles

Etapes de la résolution de problèmes

• Construire une représentation du problème

• Élaborer procédure correcte

• Exécuter la procédure

• Contrôler les calculs, le résultat

Comment classer ces problèmes

Autour des situations additives

La classification

de Gérard VERGNAUD

1/ les problèmes où un état initial subit une transformation pour aboutir à un état final:

Ei T Ef

Connaissant 2 des 3 éléments, on cherche le 3ème.

(6 types)

Dimitri a 15 billes dans sa sacoche.

Il en donne 6 à son copain.

Combien de billes Dimitri a-t-il maintenant?

Sophie range 15 cubes dans une boîte.

Puis, elle en ajoute 6.

Combien de cubes y a-t-il dans la boîte?

Dans cette première classe de problèmes, il y a une idée de succession d’événements dans le temps.

Au départ, unecollection de 15cubes, de 15billes.

Ensuite, il y aun ajout de 6ou un retrait de6.

Situation finale:

15+6 = 21 cubes

15 – 6 = 9 billes

En testant cette classe de problèmes auprès d’enfants de GS, CP et CE1, on s’aperçoitque les élèves se forment très facilement une image mentale du problème. Ils nerencontrent aucune difficulté pour comprendre « l’histoire du problème ». La successiond’événements dans le temps facilite la compréhension des problèmes. Ils sont appelésdynamiques.

Ce matin, Paul arrive A la récréation, il joue Combien a-t-il de

À l’école avec 18 billes. et perd 6 billes. billes maintenant?

Paul a un aquarium qui Il décide de verser Combien l’aquarium

contient 50 litres d’eau. 6 litres d’eau. contient-il d’eau

maintenant?

Paul joue au jeu de l’oie. Il lance les dés et Sur quelle case

Son pion est sur la case 12 et obtient 5. son pion se trouve-t-il

maintenant?

nombre

Cardinal

quantité

nombre

mesure

grandeurs

nombre

Ordinal

position

Idée d’ajout, de retrait ou d’augmentation de réduction.

Idée de succession dans le temps.

Vergnaud définit cette classe de problèmes, comme des problèmes de transformation. La transformation est positive ou négative.

Elle est codée t+ ou t-.

Idée de situation de départ

Idée de différents contextes nombres

Idée de situation finale

Idée de différents contextes nombres

• Incidence pédagogique: On introduit la classe de problèmes d’abord sur le nombre cardinal. On la généralise ensuite sur le nombre ordinal. (même année scolaire)

• On reprend la classe de problèmes plus tard sur les nombres mesures au gré de l’étude des grandeurs. (plusieurs années scolaires)

Deuxième niveau d’analyse : nature des nombres mis en jeu

cardinal, ordinal ou

mesures

A un autre niveau, Vergnaud observe qu’une même structure mathématique autorise plusieurs problèmes.

A partir de la structure ei t+ ef

Sophie range 15 cubes dans une boîte.Puis, elle en ajoute 6.Combien de cubes y a-t-il dans la boîte ?

Sophie range 15 cubes dans une boîte.Puis, elle en ajoute.Elle a maintenant 21 cubes.Combien a-t-elle ajouté de cubes ?

Sophie range des cubes dans une boîte.Puis, elle en ajoute 6.Elle a maintenant 21 cubes.Combien avait-t-elle de cubes au départ?

L’inconnue porte sur la

valeur de l’état final.

L’inconnue porte sur la valeur de la

transformation positive.

L’inconnue porte sur la

valeur de l’état initial.

ei t+ Ef

ei T+ ef

Ei t+ ef

Dans le codage, lamajuscule définitl’inconnue.

A partir de la structure ei t- ef

Ce matin, Dimitri est arrivé à l’école avec 22 billes.A la récréation, il joue et perd 6 billes.Combien de billes a-t-il maintenant ?

Ce matin, Dimitri est arrivé à l’école avec 22 billes.A la récréation, il joue et perd des billes.Il a maintenant 16 billes.Combien de billes a-t-il perdu de billes ?

Ce matin, Dimitri est arrivé à l’école avec des billes.A la récréation, il joue et perd 6 billes.Il a maintenant 16 billes.Combien avait-il de billes en arrivant à l’école ?

L’inconnue porte sur la

valeur de l’état final.

L’inconnue porte sur la valeur de la

transformation négative.

L’inconnue porte sur la

valeur de l’état initial.

ei t- Ef

ei T- ef

Ei t- ef

Exemple de recherche de transformation

positive

• Problèmes non dynamiques: on parle de problèmes statiques. L’ensemble de la situation doit être comprise après lecture. difficultés accrues pour se représenter mentalement le problème.

2/les problèmes dans lesquels deux états sont combinés pour obtenir un troisième état:

On cherche le tout ou une partie. (2 types)

E1E2

E3

A partir de la structure

ee2

e1

Dans la classe du CP, Marie-Hélène faitl’appel.Les 14 garçons sont présents.Les 12 filles aussi.Combien y a-t-il d’élèves au CP ?

Kevin a un album de 62 images.35 images représentent des footballeurs.Les autres sont des images de voitures.Combien Kévin a-t-il d’images de voitures ?

L’inconnue porte sur la

valeur du tout.

L’inconnue porte sur la valeur d’une

partie du tout.

ee2

E1

Ee2

e1

3/ Les problèmes de comparaison, dans lesquels on est amené à quantifier l’écart entre deux états:

E1 Comparaison (en plus ou en moins) E2

Connaissant 2 indications, on cherche la 3ème. (6 types)

Attention à la rédaction de problème dans manuel (problèmes additifs et soustractifsCP-CE1 Graff …scérén CRDP Nord -Pas De Calais

4/ Les problèmes où deux transformations sont composées pour en former une troisième.

(E1) T1 et T2 T (E2)

2 types de questions

mais de nombreuses variantes compte tenu:

*du sens des transformations (positives, négatives, de même sens ou de sens contraires)

*de la valeur absolue de chacune des transformations lorsqu’elles ne sont pas de même sens

EX/ ce matin j’ai rajouté 10 fleurs et j’ai enlevé 4 fleurs fanées. Combien de fleurs y-a-il en plus?

ÉnoncésInconnues cherchées

Calculs induits Calculs experts

Com

paraison positive

Dans la classe d’Alex, il y a 22 enfants. Il y a 6 enfants de plus dans la classe de Lisa. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe deLisa ?

E1

Dans la classe d’Alex, il y a 22 enfants. Dans la classe de Lisa, il y en a 28. Combien y a-t-il d’élèves de plus dans la classe de Lisa ?

C+

La classe de Lisa compte 28 élèves.C’est 6 de plus que dans la classe d’Alex.Combien y a-t-il d’élèves dans la classed’Alex ?

E2

Com

paraison négative

Dans la classe de Lisa, il y a 28 enfants. Il y a 6 enfants de moins dans la classe d’Alex. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe d’ Alex ?

E1

Dans la classe d’Alex, il y a 22 enfants. Dans la classe de Lisa, il y en a 28. Combien y a-t-il d’élèves de moins dans la classe de d’Alex ?

C-

La classe d’Alex compte 22 élèves.C’est 6 de moins que dans la classe de Lisa.Combien y a-t-il d’élèves dans la classe deLisa ?

E2

ÉnoncésInconnues cherchées

Calculs induits Calculs experts

Dans la classe d’Alex, il y a 22 enfants. Il y a 6 enfants de plus dans la classe de Lisa. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe de Lisa ?

E2 22 + 6 = ? 22 + 6 = ?

Dans la classe d’Alex, il y a 22 enfants. Dans la classe de Lisa, il y en a 28. Combien y a-t-il d’élèves de plus dans la classe de Lisa ?

C+ 22 + ? = 28 28 – 22 = ?

La classe de Lisa compte 28 élèves.C’est 6 de plus que dans la classe d’Alex.Combien y a-t-il d’élèves dans la classe d’Alex ?

E1 erreur 28 – 6 = ?

Dans la classe de Lisa, il y a 28 enfants. Il y a 6 enfants de moins dans la classe d’Alex. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe d’ Alex ?

E1 28 -6 = ? 28 - 6 = ?

Dans la classe d’Alex, il y a 22 enfants. Dans la classe de Lisa, il y en a 28. Combien y a-t-il d’élèves de moins dans la classe de d’Alex ?

C- 22 + ? = 28 28 – 22 = ?

La classe d’Alex compte 22 élèves.C’est 6 de moins que dans la classe de Lisa.Combien y a-t-il d’élèves dans la classe de Lisa ?

E2 calcul erroné 22 + 6 = ?

�Problème des mots inducteurs

�Pierre a 13 ans . Il a 5 ans de moins que Romain. Quel âge

a Romain?

L’élève fait cette opération

13 – 5 = 8

Romain a 8 ans

Une progressivité

Des éléments à prendre en compte:

-l’ordre de présentation et l’ordre chronologique

-l’unicité (ou pas) du temps des verbes

-l’emplacement de la question

-la taille des nombres

-la structure relationnelle du problème

-la mise en scène du problème (accessibilité)

Structure relationnelleproposition de progressivité

• Recherche du tout

• Recherche de l’état final (transformation,comparaison)

• Recherche d’une partie

• Recherche de l’écart (comparaison)/Recherche de l’état initial (transformation,comparaison)

• Recherche de la transformation )

• Recherche des transformations (composition)