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1 Faculdade de Engenharia Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (Transf. (Transf. Laplace e Análise Laplace e Análise Temporal) Temporal) Sistemas e Sinais – 2009/2010 Faculdade de Engenharia SSin SSin – 2 SLITs SLITs – análise temporal análise temporal Sistemas: definições e propriedades SLITs causais Resposta natural e forçada Transformada de Laplace unilateral Sistemas descritos por equações diferenciais Análise de circuitos eléctricos no domínio s Função de transferência Pólos e zeros – estabilidade Resposta ao degrau de sistemas de 1ª e 2ª ordem Efeito dos zeros na resposta ao degrau Resposta de sistemas de ordem superior – pólos dominantes

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (Transf. (Transf ...anibal/SSin/Teoricas/02Tempos.pdf · • Há instante(s) para o qual(is) o valor da saída depende da entrada noutro(s)

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1

Faculdade de Engenharia

Sistemas Lineares e Invariantes no TempoSistemas Lineares e Invariantes no Tempo(Transf. (Transf. Laplace e Análise Laplace e Análise Temporal)Temporal)

Sistemas e Sinais – 2009/2010

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 22

SLITs SLITs –– análise temporalanálise temporal

� Sistemas: definições e propriedades

� SLITs causais

� Resposta natural e forçada

� Transformada de Laplace unilateral

� Sistemas descritos por equações diferenciais

� Análise de circuitos eléctricos no domínio s

� Função de transferência

� Pólos e zeros – estabilidade

� Resposta ao degrau de sistemas de 1ª e 2ª ordem

� Efeito dos zeros na resposta ao degrau

� Resposta de sistemas de ordem superior – pólos dominantes

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2

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 33

Sistemas e SinaisSistemas e Sinais

� Modelos abstractos da realidade• Permitem estudar processos, fenómenos, etc., através das relações entre as

grandezas envolvidas

SSrr yy

EntradaEntrada SaídaSaída

Operação que permite Operação que permite determinar a saída determinar a saída

conhecendo a entradaconhecendo a entrada

SistemaSistema

SinaisSinais

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 44

ExemplosExemplos

ResistênciaResistênciaii vv

( ) ( )v t Ri t=

ResistênciaResistênciavv ii

1( ) ( )i t v t

R=

( ) 1( )

dv ti t

dt C=

ii vvCondensadorCondensador rr yy

( ) ( )y t r t T= −

Sistema de Sistema de comunicaçãocomunicação

Ideal!Ideal!

velocidadevelocidadeaceleradoracelerador

CarroCarro

travãotravão

“caixa”“caixa”

direcçãodirecção

orientaçãoorientação

posiçãoposição

tecladotecladoComputadorComputador

imagem monitorimagem monitor…

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 55

Sistemas Sistemas (propriedades)(propriedades)

� Com memória• Há instante(s) para o qual(is) o valor da saída depende da entrada noutro(s) instante(s)

� Causal• O valor da saída em cada instante não depende de valores da entrada em instantes

posteriores

� Invariância• A saída correspondente a uma entrada deslocada obtém-se deslocando a saída

correspondente à entrada original

� Linearidade• A saída correspondente a uma combinação linear de entrada é a mesma combinação

linear das saídas correspondentes a cada uma das entradas

� Estabilidade• A saída correspondente a uma entrada limitada é também limitada

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 66

SSistemas istemas LL ineares e ineares e IInvariantes no nvariantes no TTempoempo

� Caracterizados pela resposta impulsional � h(t) caracterização SIMPLES

� Relação entrada-saída definida por integral de convolução

SSrr yy

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t h t r t h t r d+∞

−∞

= = − τ τ τ∫

� Linearidade e invariânica

( ) ( )i i i i i ii i

r t t y t tα − → α −∑ ∑

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 77

SLITs causaisSLITs causais

A resposta impulsional satisfaz ( ) 0, 0h t t= <

podendo escrever-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

y t h t r d h t r d+∞

−∞ −∞

= − τ τ τ = − τ τ τ∫ ∫

ou ainda0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

y t h t r d h t r d−∞

= − τ τ τ + − τ τ τ∫ ∫

( )r t

t == ++( )Lr t

t

( )Rr t

t

resp

osta

a

resp

osta

a

( ) 0,h t t− τ = < τ

Em cada instante, o valor da saída apenas depende de valores da entrada em instantes anteriores.

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 88

SLITs causaisSLITs causais

resposta quanto a entrada é nula para t>0 � resposta natural

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

y t h t r d h t r d−∞

= − τ τ τ + − τ τ τ∫ ∫útil para determinar a resposta do sistema a uma entrada aplicada no instante zero

resposta quando a entrada nula para t<0 � resposta forçada

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5

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 99

Transformada de Laplace unilateralTransformada de Laplace unilateral

Dado o sinal x(t), define-se por

0

[ ( )] ( ) stx t x t e dt−

+∞−= ∫L

� No que se segue iremos sempre representar a transformada de Laplace unilateral simplesmente por [ ]⋅L

Útil para a determinação da resposta de sistemas com condições iniciais não nulas.

� A integração inicia-se em 0- de forma a considerar eventuais impulsos em t = 0

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1010

Transformada de Laplace unilateralTransformada de Laplace unilateral

� A RC (região de convergência) é sempre uma faixa do plano s que se estende de um dado valor de Re(s) até + ∞ (inclusivé)

� A transformada de Laplace unilateral de um sinal é completamente caracterizada pela sua expressão

Re

Im

0

0

| ( ) | tx t e dt−

+∞−σ < +∞∫

0

0

| ( ) | ,tx t e dt−

+∞−σ < +∞ σ ≥ σ∫

000, ttt e e−σ−σ≥ σ ≥ σ ⇒ ≤

� Esta bem definida desde que o crescimento de x(t) com t seja majorado por uma função exponencial

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1111

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Linearidade: 1 1( ) ( )x t X s↔1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a x t a x t a X s a X s+ ↔ +

2 2( ) ( )x t X s↔

( )1 1 2 2 1 1 2 2

0

1 1 2 2

0 0

1 1 2 2

[ ( ) ( )] ( ) ( )

( ) ( )

[ ( )] [ ( )]

st

st st

a x t a x t a x t a x t e dt

a x t e dt a x t e dt

a x t a x t

− −

+∞−

+∞ +∞− −

+ = +

= +

= +

∫ ∫

L

L L

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1212

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Translação: ( ) ( )x t X s↔( ) 0x t =

0 0t ≥

00 0( ) ( ) ( )stx t t u t t e X s−− − ↔

0

0

0

0 0 0

0

0

( )

0

0

[ ( )] ( ) ( )

( )

( )

( )

st

st

t

s t

st s

x t t x t t u t t e dt

x t t e dt

x e d

e x e d

+∞−

+∞−

+∞− τ+

+∞− − τ

− = − −

= −

= τ τ

= τ τ

L

0t tτ = −

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1313

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Mudança de escala: 1( )

sx at X

a a ↔

( ) ( )x t X s↔0a >

0

/

0

0

[ ( )] ( )

( ) /

1( )

sa

st

s a

x at x at e dt

x e d a

x e da

+∞−

+∞− τ

+∞− τ

=

= τ τ

= τ τ

L

atτ =

a>1: compressão da escala temporal ⇔ dilatação da escala das frequências

a<1: dilatação da escala temporal ⇔ compressão da escala das frequências

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1414

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Convolução:

1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )x t x t X s X s↔ ⋅1 1( ) ( )x t X s↔

2 2( ) ( )x t X s↔

1 2( ) ( ) 0, 0x t x t t= = <

1 2

0 0 0

1 2

0

( )1 2

0 0

1 2

0 0

[ ( )] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

tst st

st

s

s s

y t y t e dt x x t e d dt

x x t e dtd

x x e d d

x e d x e d

+

− − −

− −

− −

− −

+∞ +∞− −

+∞ +∞−

τ+∞ +∞

− τ+α

+∞ +∞− τ − α

= = τ − τ τ

= τ − τ τ

= τ α α τ

= τ τ α α

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

L

1 2 1 2 1 2

0

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

y t x t x t x x t d x x t d

+

+∞

−∞

= = τ − τ τ = τ − τ τ∫ ∫

t

τ

1( ) 0, 0x τ = τ <

2( ) 0,x t t− τ = τ >

tα = − τ

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1515

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Modulação: ( ) ( )x t X s↔ 00( ) ( )s te x t X s s↔ −

0 0

0

0

( )

0

0

[ ( )] ( )

( )

( )

s t s t st

s s t

e x t x t e e dt

x t e dt

X s s

+∞−

+∞− −

=

=

= −

L

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1616

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Derivação em s: ( ) ( )x t X s↔ ( )( )

dX st x t

ds− ↔

0

0

0

[ ( )] ( )

( )

( )

[ ( )]

st

st

st

d dx t x t e dt

ds ds

dx t e dt

ds

tx t e dt

tx t

+∞−

+∞−

+∞−

=

=

= −

= −

L

L

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1717

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Derivação em t:( )

( ) (0 )dx t

sX s xdt

−↔ −( ) ( )x t X s↔

0 0

00

0

[ ( )] ( ) lim ( )

lim ( ) ( )

(0 ) ( )

Lst st

L

LLst st

L

st

x t x t e dt x t e dt

e x t s x t e dt

x x t e dt

− −

−−

+∞− −

→+∞

− −→+∞

+∞− −

= =

= +

= − +

∫ ∫

ɺ ɺ ɺL

2( ) ( ) (0 ) (0 )x t s X s sx x− −↔ − −ɺɺ ɺ

...

Aplicando repetidamente obtém-se:

3 2( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 )x t s X s s x sx x− − −↔ − − −ɺɺɺ ɺ ɺɺ

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SSin SSin –– 1818

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Integração em t:0

( )( )

tX s

x ds−

τ τ ↔∫( ) ( )x t X s↔

[ ( )] [ ( )] (0 ) [ ( )]x t s y t y s y t−= − =L L L

0

( )( ) ( ) ( )

tdy t

y t x d x tdt−

= τ τ ⇒ =∫

0

0

(0 ) ( ) 0y x d

− = τ τ=∫

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10

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 1919

T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades

Valor inicial: ( ) ( )x t X s↔

0lim ( ) lim ( )

stx t sX s

+ →∞→=

0lim ( ) existe

tx t

+→

Valor final: ( ) ( )x t X s↔

0lim ( ) lim ( )

t sx t sX s

→+∞ →=

lim ( ) existet

x t→+∞

Estes teoremas só se podem aplicar caso os limites e

existam, respectivamente.0

lim ( )t

x t+→

lim ( )t

x t→+∞

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2020

Alguns pares sinal Alguns pares sinal –– transformadatransformada

( ) 1tδ ↔

1( )u t

s↔

1

1( )

!

n

n

tu t

n s +↔

1( )ate u t

s a− ↔

+

1

1( )

! ( )

nat

n

te u t

n s a−

+↔+

0 2 20

cos( ) ( )s

t u ts

ω ↔+ ω

00 2 2

0

sin( ) ( )t u ts

ωω ↔+ ω

0 2 20

cos( ) ( )( )

at s ae t u t

s a− +ω ↔

+ + ω

00 2 2

0

sin( ) ( )( )

ate t u ts a

− ωω ↔+ + ω

Em todos estes casos, e em muitos outros de interesse prático, a transformada de Laplace de um sinal é um quociente de polinómios em s

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2121

Decomposição em fracções simplesDecomposição em fracções simples

1 21 2

( )( )

( ) ( ) ( ) rr

P sG s

s s sσ σ σ=− ρ − ρ − ρ⋯

,

1 1

( )( )

iri k

ki k i

AG s

s

σ

= ==

− ρ∑∑ 1

1

2

2

1,1,1 1,22

1 1 1

2,2,1 2,22

2 2 2

,,1 ,22

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )r

r

rr r

r r r

AA AG s

s s s

AA A

s s s

AA A

s s s

σσ

σσ

σσ

= + + + +− ρ − ρ − ρ

+ + + + +− ρ − ρ − ρ

+ +

+ + + +− ρ − ρ − ρ

fracção própria de dois polinómios

denominador com raízes distintas

de multiplicidades, respectivamente,

1 2, , rρ ρ ρ…

1 2, , rσ σ σ…

,1

( ) ( )( )!

ii

i

i

k

i k iki s

dA s G s

k ds

σ −σ

σ −=ρ

= − ρ σ −

Pode ser escrita como uma soma de fracções simples

onde os numeradores são dados por

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2222

Eq. diferenciais e condições iniciaisEq. diferenciais e condições iniciais

Em muitas situações apenas se conhece

e os valores

SSrr yy

Nestes casos a transformada de Laplace pode ser aplicada com vantagem!

( ), 0r t t ≥

(0), '(0), ''(0),...y y y

condições iniciais

1

1 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m

n mn n m

d y t d y t d r ta a y t b b r t

dt dt dt

− −+ + + = + +⋯ ⋯

Transforma a equação diferencial numa equação algébrica!

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2323

Análise de circuitos no domínio Análise de circuitos no domínio ss

� Resistência( ) ( )v t Ri t=

R( ),i t I

( ),v t V+ −

( ) ( )V s RI s=

� Bobina

( ) ( )V s sL I s=

� Condensador

L

( ),v t V+ −

( ),i t I

C( ),i t I

( ),v t V+ −

( )( )

di tv t L

dt=

( )( )

dv ti t C

dt=

( ) ( )I s sCV s=

Elementos principais

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2424

Impedância e admitânciaImpedância e admitância

( )( )

( )

V sZ s

I s=V

+

I

Z � bobina ( )Z s sL=

� condensador1

( )Z ssC

=

� Impedância

1 ( )( )

( ) ( )

I sY s

Z s V s= =

� resistência1

( )Y sR

=

� bobina 1( )Y s

sL=

� condensador ( )Y s sC=

� Admitância

( )Z s R=� resistência

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2525

Leis de KirchhoffLeis de Kirchhoff

� Lei das tensões 1 2( ) ( ) ( ) 0nv t v t v t+ + + =…

1 2( ) ( ) ( ) 0nV s V s V s+ + + =…

( )V s

( )kZ s

( )I s

1( )Z s 2( )Z s( )I s

( )V s

( )eqZ s

1 2( ) ( ) ( ) ( )eq kZ s Z s Z s Z s= + + +⋯

� Associação série

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2626

Leis de KirchhoffLeis de Kirchhoff

� Lei das correntes 1 2( ) ( ) ( ) 0ni t i t i t+ + + =…

1 2( ) ( ) ( ) 0nI s I s I s+ + + =…

� Associação paralelo

1( )Z s

2( )Z s

( )kZ s

( )V s

( )I s ( )I s

( )V s

( )eqZ s

1 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )eq kZ s Z s Z s Z s= + + +⋯

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2727

Função de transferênciaFunção de transferência

Para um sistema causal com condições iniciais nulas tem-se SSrr yy

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )y t g t r t Y s G S R S= ⇒ =( ) 0, 0r t t= <

( )g t resposta impulsional( )

( )( )

Y sG s

R s=

( ) [ ( )]Y s y t= L ( ) [ ( )]R s r t= L

( ) [ ( )]G s g t= L Função de transferência

permite determinar a saída a partir da entrada

[ ]1( ) ( ) ( )y t G s r t− = L L

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2828

Equação diferencial Equação diferencial �� FTFT

� Uma classe importante é a dos sistemas descritos por eq. diferenciais lineares de coeficientes constantes SS

rr yy

1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n m mn n m m

d y t d y t dy t d r t d r t dr ta a a y t b b b b r t

dt dtdt dt dt dt

− −

− −− −+ + + + = + + + +⋯ ⋯

obtém-se a função de transferência

11 1 0

1 21 2 1 0

( )( )

( )

m mm m

n n nn n

b s b s b s bY sG s

R s s a s a s a s a

−−

− −− −

+ + + += =+ + + +

que é uma função racional (quociente de polinómios)

aplicando a T. Laplace (com condições iniciais nulas)

( ) ( )1 2 11 2 1 0 1 1 0( ) ( )n n n m m

n n m ms a s a s a s a Y s b s b s b s b R s− − −− − −+ + + + = + + + +⋯ ⋯

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Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 2929

FT racionaisFT racionais

� Uma FT racional pode ser escrita como

onde N(s) e D(s) são os polinómios numerador e denominador.

SSrr yy

� A função de transferência é • Própria se n ≥ m• Estritamente própria se n > m

( )( )

( )

N sG s

D s=

11 1 0( ) m m

m mN s b s b s b s b−−= + + + +⋯

1 21 2 1 0( ) n n n

n nD s s a s a s a s a− −− −= + + + + +⋯

polinómio polinómio característicocaracterístico

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3030

Pólos e ZerosPólos e Zeros

� O número diz-se zero de G(s) se λ ∈ℂ lim ( ) 0s

G s→λ

=

� O número diz-se pólo de G(s) se λ ∈ℂ 1lim 0

( )s G s→λ=

Mapa de pólos e zerosMapa de pólos e zeros

Re

Impólopólozerozero

com N(s) e D(s) sem raízes comuns:

• Os zeros de G(s) são as raízes de N(s)

• Os pólos de G(s) são as raízes de D(s)

( )( )

( )

N sG s

D s=

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16

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3131

FT racionais FT racionais –– representações alternativasrepresentações alternativas

Função de transferência de ordem n, própria e irredutível SSrr yy

11 1 0

11 1 0

( ) , 0,m m

m mnn n

n n

b s b s b s bG s a m n

a s a s a s a

−−

−−

+ + + += ≠ ≤+ + + +

Forma factorizada

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2

( ) m

n

s z s z s zG s K

s p s p s p

+ + +=

+ + +⋯

Forma das constantes de tempo

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 20

1 2

1 1 1( )

1 1 1

qm q

pn p

s sT sT sTG s K

s s s s

+ + +=

+ τ + τ + τ

� zerosiz−

ip− � pólos

m

n

bK

a=

1, 0i i

i

T zz

= ≠

1, 0i i

i

pp

τ = ≠

1 20

1 2, 0, 0m

i in

z z zK K z p

p p p= ≠ ≠⋯

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3232

FT racionais FT racionais –– estabilidadeestabilidade

Função de transferência racional SSrr yy

( ) ( ) ( )1 21 2

( )( )

nn

N sG s

s p s p s pσ σ σ=

− − −⋯

{ }Re 0ip <

� polinómio numerador( )N s

� pólo de multiplicidadeipiσ

,

1 1( )

iri k

ki k i

A

s p

σ

= ==

−∑∑ decomposta em fracções simples

Resposta impulsional, 1

1 1

( )( 1)!

ii

ri k p tk

i k

Ag t t e

k

σ−

= ==

−∑∑

Sistema estável: 0

( )g t dt+∞

< +∞∫1

0

ip tkt e dt+∞

− < +∞∫

pólos da FT com parte real negativa

pólos da FT no interior do SPE

Re

Im

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17

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3333

Resposta a sinais padrãoResposta a sinais padrão

Resposta ao impulso (unitário)

( ) ( )r t t= δSS

rr yy

[ ]1( ) ( )y t G s−= L

Resposta ao degrau (unitário)

( ) ( )r t u t= 1 ( )( )

G sy t

s− = L

Resposta à rampa (unitária)

( ) ( )r t t u t=1

2

( )( )

G sy t

s− =

L

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3434

Resposta ao degrauResposta ao degrau

SSrr yy

( ) lim ( )t

y y t→∞

∞ =� Valor final( ) ( )r t u t= 1 ( )

( )G s

y ts

− = L

Teoremas do valor final e do valor inicial (qdo aplicáveis!)

0 0( ) lim ( ) lim ( ) ( )

s sy sY s sG s R s

→ →∞ = =

Características principais da resposta

� Valor inicial0

(0 ) lim ( )t

y y t+

+

→=

� Valor inicial da derivada 0

'(0 ) lim '( )t

y y t+

+

→=

(0 ) lim ( ) lim ( ) ( )s s

y sY s sG s R s+→∞ →∞

= =

( ) ( )'(0 ) lim ( ) (0 ) lim ( ) ( ) (0 )s s

y s sY s y s sG s R s y+ + +→∞ →∞

= − = −

0lim ( )s

G s→

=

lim ( )s

G s→∞

=

( )lim ( ) (0 )s

s G s y +→∞

= −

1( )R s

s=

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18

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3535

Resposta ao degrauResposta ao degrau

SSrr yy

0( ) lim ( )

sy G s

→∞ =

( ) ( )r t u t= 1 ( )( )

G sy t

s− = L

Nota: Se o sistema for estável (só pólos com parte real < 0) este limite existe!

Ganho estático (ou de regime permanente)

Valor inicial

(0 ) lim ( )s

y G s+→∞

=

Notas:

= 0 se n > m ( )y t contínua

= K se n = m ( )y t descontínua

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2( ) m

n

s z s z s zG s K

s p s p s p

+ + +=

+ + +⋯

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3636

Resposta ao degrauResposta ao degrau

SSrr yy

( )1 1

'(0 ) 1

0 1

m ni ii i

K z p n m

y K n m

n m

= =

+

− == = + > +

∑ ∑

( ) ( )r t u t= 1 ( )( )

G sy t

s− = LValor inicial da derivada

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2( ) m

n

s z s z s zG s K

s p s p s p

+ + +=

+ + +⋯

⋯( ) ( )'(0 ) lim ( ) (0 ) lim ( ) (0 )s s

y s sY s y s G s y+ + +→∞ →∞

= − = −

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19

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3737

Sistema de 1ª ordem sem zerosSistema de 1ª ordem sem zeros

Função de transferência de ganho estático k

( )1

ka kG s

s a s= =

+ + τ

SSrr yy

1 , 0a aτ = >

constante de tempo

Re

Im

– a

Pólos: 1p a= −

Equação diferencial: ( ) ( ) ( )y t ay t k a r t+ =ɺ

( ) ( ) ( )y t y t k r tτ + =ɺ

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3838

Sistema de 1ª ordem sem zerosSistema de 1ª ordem sem zeros

( )1

ka kG s

s a s= =

+ + τ

SSrr yy

Resposta ao degrau

1 1( ) 1( )

1

G s ky t

s s s− − = = + τ L L

1

1

k k

s s− τ = − + τ L

( ) 1 ( )t

y t k e u tτ− = −

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t/τ

y(t)/

k

(0 ) 0y + =

final( )y k y∞ = =

'(0 )k

y + =τ

Principais características

1 , 0a aτ = >

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20

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 3939

1ª ordem sem zero 1ª ordem sem zero –– resposta ao degrauresposta ao degrau

final( ) 0.632y yτ =

final(2 ) 0.865y yτ =

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t/τ

y(t)/

k

final(3 ) 0.950y yτ =

Tempo de estabelecimento a 5% � final final: , 0.95 ( ) 1.05s st t t y y t y∀ ≥ < <

ln(0.05) 2.996 3st = −τ = τ τ≃

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4040

1ª ordem sem zero 1ª ordem sem zero –– resposta ao degrauresposta ao degrau

resposta tanto mais rápida quanto mais afastado o pólo está do eixo imaginário

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y(t)

( )1

ka kG s

s a s= =

+ + τ1 , 0a aτ = >

τ aumentaa diminui

Re

Im

– a

( ) 1 ( )t

y t k e u tτ− = −

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21

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4141

Sistema de 1ª ordem com zeroSistema de 1ª ordem com zero

Funções de transferência de ganho estático k

0( )ka s b

G sb s a

+=+

SSrr yy

01 ( )

( ) ( )dy t

y t y tb dt

= +

( )ka

G ss a

=+

0( ) ( ) ( ) ( )s b s

G s G s G s G sb b

+= = +

Re

Im

– a– b

( , 0)a b>

s/ zero �

c/ zero �

( ) ( ) ( )y t ay t kar t+ =ɺ

0 0( ) ( ) ( ) ( )kaby t ay t r t kar t+ = +ɺ ɺ

1z b= −

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4242

Sistema de 1ª ordem com zeroSistema de 1ª ordem com zero

0( ) ( )ka s b s b

G s G sb s a b

+ += =+

SSrr yyResposta ao degrau

( )( ) 1 , 0aty t k e t−= − ≥

01 ( )

( ) ( )dy t

y t y tb dt

= +

( )ka

G ss a

=+

0( ) 1 ( ) , 0at ata b kay t k e y t e t

b b− −− = + = + ≥

Re

Im

– a– b

s/ zero �

c/ zero �

para a fixo, a alteração da resposta é menos significativa se b for grande

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22

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4343

1ª ordem com zero 1ª ordem com zero –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Valores característicos da respostaSS

rr yy

Influência do zero é tanto maior quando maior for o quociente a/b

final( )y k y∞ = =

final(0 )a yka

yb b

+ = =

( )'(0 )

k b ay

ab+ −=

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t/τ

y(t)/

k

0.5a

b=

2a

b=

Quanto mais para a esquerda do pólo estiver o zero, menor é a sua influência!

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4444

Sistema de 2ª ordem sem zerosSistema de 2ª ordem sem zeros

Função de transferência de ganho estático k

2( )

kaG s

s bs a=

+ +

Valores da resposta ao degrau (independentemente da localização dos pólos)

(0 ) 0y + =

final( )y k y∞ = =

'(0 ) 0y + =

2

2 2( )

2n

n n

kG s

s s

ω=+ ζω + ω

Pólos: 21,2 1n np = −ζω ± ω ζ −

SSrr yy

( ) ( )r t u t= 1 ( )( )

G sy t

s− = L

Teoremas dos valores inicial e final

2

2 2

1( )

2n

n n

kY s

s s s

ω=+ ζω + ω

ζ

� coeficiente de amortecimento

� frequência natural não amortecida

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23

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4545

Sistema de 2ª ordem: localização dos pólosSistema de 2ª ordem: localização dos pólos

21,2 1n np j= −ζω ± ω − ζ

0 1≤ ζ <

2 pólos complexos conjugados

sistema subamortecido

Re

Im

n−ζω

djω

dj− ω

nωθ arccosθ = ζ

21d nω = ω − ζ � frequência natural amortecida

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4646

Sistema de 2ª ordem: localização dos pólosSistema de 2ª ordem: localização dos pólos

1,2 n np = −ζω = −ω

1ζ =

1 pólo real duplo

sistema criticamente amortecidoRe

Im

n−ω

21,2 1n np = −ζω ± ω ζ −

1ζ >

2 pólos reais distintos

sistema sobreamortecido

Re

Im

2p 1p

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24

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4747

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Caso geral � pólos diferentes1 2

1 2( )

( )( )

ka aG s

s a s a=

+ +

2 1

1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

( )( )

( )( )

ka ka

ka a a a a aG s kY s

s s s a s a s s a s a

− −= = = + ++ + + +

( )1 2

2 1

1( ) 1 ( )a t a ty t k e e u t

a a− −

= + − −

21 2 na a = ω

1 2 2 na a+ = ζω

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4848

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Sistema subamortecido �

( )2

2

1( ) 1 sin 1 arccos ( )

1nt

ny t k e t u t−ζω = − ω − ζ + ζ − ζ

0 1≤ ζ <

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

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25

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 4949

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Sistema subamortecido � 0 1≤ ζ <

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

pt

dT

S

0.9

0.1rt

5%±

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5050

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrauSistema subamortecido � 0 1≤ ζ <

Tempo de pico � pt 21n

π=ω − ζ

Sobreelongação � max final

final

y yS

y

−=21e

πζ−−ζ=

Período da oscilação � dT2

2 2

1d n

π π= =ω ω − ζ

Tempo de estabelecimento a 5% � st3

nζω≃

Tempo de subida �1.8

rn

tω≃

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26

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5151

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrauSistema subamortecido � 0 1≤ ζ <

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t⋅ωn

y(t)

/kζ=0.2

ζ=0.7

ζ=0.4

ζ=0.1

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5252

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Sistema criticamente amortecido �

( ) 1 (1 ) ( )ntny t k t e u t−ω = − + ω

1ζ =2

2( )

( )n

n

kG s

s

ω=+ ω

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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27

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5353

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Sistema sobreamortecido �

2 11 2

2 1 1 2( ) 1 ( )a aa t a t

a a a ay t k e e u t− −

− − = − −

1ζ >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1( )2

1 1 na = ζ − ζ − ω

( )22 1 na = ζ + ζ − ω

21 2

2 21 2

( )( )( )2

n

n n

k ka aG s

s a s as s

ω= =+ ++ ζω + ω

Im

2a− 1a− Re

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5454

2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau

Sistema sobreamortecido � 1ζ >2

1 22 2

1 2

( )( )( )2

n

n n

k ka aG s

s a s as s

ω= =+ ++ ζω + ω

( )21 1 na = ζ − ζ − ω

( )22 1 na = ζ + ζ − ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a1⋅ t

y(t)

/k

a2=10a

1

a2=4a

1

a2=2a

1

a2=1.2a

1

1-e-a1t

À medida que os pólos se afastam, a resposta aproxima-se da resposta de um sistema de ordem 1, com pólo igual ao pólo mais próximo do eixo imaginário

Im

2a− 1a− Re

2 1a a>> –a1 é pólo dominante

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28

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5555

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ωn⋅ t

y(t)

/k

b=0.2ωn

b=-ωn

b=2ωn

b=0.5ωn

b=-0.5ωn

1-(1+ωnt)e-ωnt

2ª ordem com um zero 2ª ordem com um zero –– pólo real duplopólo real duplo

função de transferência2

0 2

( )( )

( )n

n

k s bG s

b s

ω +=

+ ω

resposta ao degrau 0( )

( ) / 1 1 ( )ntn n by t k t e u t

b−ω ω ω − = + −

Efeito do zero é tanto maior quanto maior for | |n bω

Zero no SPD causa subelevação (undershoot)

Zero no SPE causa sobreelevação se

nb < ω

2

21

( )n

n

ks

b s

ω = + + ω 0

1 ( )( ) ( )

dy ty t y t

b dt= +

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5656

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ωn⋅ t

y(t)/

k

exemplo para ζ=0.5

b=2ωn

b=0.5⋅ωn

b=ωn

resposta sem zero

b=-ωn

b=0.2⋅ωn

2ª ordem com um zero 2ª ordem com um zero –– pólos complexospólos complexos

função de transferência2

0 2 2

( )( )

( 2 )n

n n

k s bG s

b s s

ω +=+ ζω + ω

resposta ao degrau

Efeito do zero é tanto maior quanto maior for | |n bω

Zero no SPD causa subelevação (undershoot)

Zero no SPE causa aumento da sobreelevação

2

2 21

2n

n n

ks

b s s

ω = + + ζω + ω

01 ( )

( ) ( )dy t

y t y tb dt

= +

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29

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5757

Sistemas de ordem superiorSistemas de ordem superior

função de transferência1

1

( )( )

( ) ( ) nn

N sG s

s p s p σσ=+ +⋯

resposta ao degrau

( )1

11

1,11

11 1

( )( )

( ) ( ) nn

RRN s ky t

s s ps s p s p s p

σσ σσ

= = + + + +

+ + + +

⋯ ⋯

-1 -1L L

1 1 1 10 11 12 11 1 1 12 1 1( ) sin( ) sin( )p t p t t ty t k R e R te r e t r te t− − −α −α = + + + + ω + φ + ω + φ +

⋯ ⋯

pólos reais pólos complexos

Efeito de cada pólo

resíduo � determina amplitude da resposta

parte real � determina a constante de tempo

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5858

Pólos não dominantes � os que menos influenciam a resposta do sistema(podem ser desprezados sem grande prejuízo de análise)

Sistemas de ordem superiorSistemas de ordem superior

Resíduos elevados

Partes reais mais pequenas � constantes de tempo mais lentas

Estudo sistemático da resposta de um sistema de ordem n pode ser complexo!

Pode aproximar-se o sistema por outro de ordem mais baixa, mais simples de analisar!

Pólos dominantes � os que determinam mais significativamente a forma da resposta

Partes reais elevadas Regra prática: pelo menos 10 vezes maior que a dos pólos dominantes

Resíduos pequenos Normalmente resultam de quase cancelamentos pólo-zero, isto é, zeros muito próximos de pólos

Ao desprezar pólos não dominantes (e eventualmente zeros) é importante garantir que o sistema aproximado mantém o mesmo ganho estático!

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30

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 5959

Sistemas de ordem superior Sistemas de ordem superior –– exemploexemplo

Im

1.1−

Re1−

3j+

2−20−

3j−

2 2

236.36( 1.1)( )

( 1)( 20)[( 2) 3 ]

sG s

s s s

+=+ + + +

2 2

236.36( 1.1)( )

( 1)( 20)[( 2) 3 ]

sY s

s s s s

+=+ + + +

225 2251 0.124 0.0353 0.593 0.593

1 20 2 3 2 3

o oj je e

s s s s j s j

−= − − + +

+ + + + + −

20 2( ) 1 0.124 0.0353 1.19 sin(3 45 ), 0t t t oy t e e e t t− − −= − − − + ≥

pólos não dominantes

Faculdade de Engenharia

SSin SSin –– 6060

Sistemas de ordem superior Sistemas de ordem superior –– exemploexemploIm

1.1−

Re1−

3j+

2−20−

3j−

2 2

236.36( 1.1)( )

( 1)( 20)[( 2) 3 ]

sG s

s s s

+=+ + + +

( )1.12 2

20

236.36 1.1 1

20(1 )(1 )[( 2) 3 ]

s

s s s

× +=

+ + + +

pólo rápido

pólo e zero próximos

aprox 2 2

13( )

( 2) 3G s

s=

+ +

aprox 2 2

13( )

[( 2) 3 ]Y s

s s=

+ +

2aprox( ) 1 1.2 sin(3 56.3 ), 0t oy t e t t−= − + ≥

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y(t)

y(t)aprox

20 2( ) 1 0.124 0.0353 1.19 sin(3 45 ), 0t t t oy t e e e t t− − −= − − − + ≥