SIGNALI I SISTEMI · 2019. 12. 3. · 1, ( ) 1 1 T t T t T x t povećavamo T držimo fiksno k T k T a k 0 2 sin(0 1) = 0 2 sin(1) k k k T Ta = = Ako posmatramo kao kontinualnu promjenljivu,

Disclaimer: The European Commission support for the production of this website does not constitute

an endorsement of the contents which reflects the views only of the authors, and the Commission

cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE UNIVERZITETA U TUZLI

SIGNALI I SISTEMI

Analiza u frekventnom domenu.

Fourierova transformacija

PROF. DR. NERMIN SULJANOVIĆPROF. DR. ASMIR GOGIĆ


Uvod

❑Fourierov red – predstavljanje periodičnih signala kao beskonačne sume harmonijskih funkcija.

❑x(t) – neki aperiodičan signal koji se može posmatrati kao periodičan signal sa periodom T→.❑U slučaju aperiodičnih signala, amplitudni i fazni

spektar su diskretni jer harmonijske komponente poprimaju samo učestanosti koje su cjelobrojni multipl osnovne učestanosti 0=2/T. T→0→0❑Fourierova transformacija – proširenje koncepta na

aperiodične signale.


Predstavljanje aperiodičnih signala

• Posmatraćemo povorku pravougaonih impulsa.

=

2/,0

,1)(

1

1

TtT

Tttx

povećavamo T

držimo fiksno

Tk

Tkak

0

10 )sin(2

=

0

)sin(2 1

kk

TkTa ==

Ako posmatramo kao kontinualnu promjenljivu, funkcija (2sinT1)/predstavlja envelopu Tak dok su koeficijenti ak uzorci ove anvelope u

jednakim intervalima.


❑ Sa povećanjem perioda T,

anvelopa se uzorkuje sa

kraćim intervalima

između uzoraka.

❑ Istovremeno, koeficijenti

Fourierovog reda

pomnoženi sa T postaju

sve bliži i bliži.

❑ Aperiodični signal

možemo posmatrati kao

limes periodičnog signala

kada T→.

−10 −5 0 5 10

0

−20 −10 0 10 20

0

−40 −20 0 20 40

0

T · ak T = 4T1

x! 0T · ak T = 8T1

x! 0T · ak T = 16T1

x! 0

T ! 1

x(t)

(− T1, T1) x(t) = 0

x̃(t)

x(t) T

T ! 1 x̃(t) x(t)

x̃(t)


tjk

k

keatx0)(~

−=

=

−

−

−

−== dtetx

Tdtetx

Ta

tjk

T

T

tjk

k00 )(

1)(~

12/

2/

Na intervalu od –T/2 do T/2 je )()(~ txtx =

❑Posmatramo signal x(t) konačnog trajanja (interval od –T1 do T1).

❑Iz aperiodičnog signala konačnog trajanja formiramo periodični signal 𝑥(𝑡).


❑Definirajmo envelopu X(j) od Tak:

−

−= dtetxjX tj )()( )(1

jXT

ak =

❑ Zamijenimo ak u Fourierov red:

−=

=k

tjkejkX

Ttx 0)(

1)(~ 0

0

2

=T

000)(

2

1)(~

−=

=k

tjkejkXtx

0 ),(~ 0 →→→ txxT


Par Fourierove transformacije

dejXtx tj

−

= )(2

1)(

dtetxjX tj −

−

= )()(

Prikaz aperiodičnog signala kao linearne

kombinacije kompl. eksp. signala kojima odgovara

kontinum frekvencija i amplituda X(j)/(d/)

Spektar aperiodičnog signala x(t)


Konvergencija Fourierovog integrala

1.Kada x(t) ima konačnu energiju, tada se može garantirati da je X(j) konačno (energija greške jednaka je nuli).

2.Dirichletovi uslovi

−

dttx2

)(


Dirichletovi uslovi

1. x(t) je apsolutno integrabilna funkcija.

2. x(t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar konačnog intervala.

3. x(t) ima konačan broj prekida unutar bilo kojeg konačnog intervala. Osim toga, svaki od ovih prekida mora biti konačan.

−

dttx )(


Primjer:❑Pravougaoni impuls

1

sin2)(

1

1

TdtejX

T

T

tj == −

−

1/T1/T−

12T

−

== 12)()0( TdttxX


Delta impuls

)()( ttx =

det tj

−

=2

1)(

)()( ttx =

−

− == 1)()( dtetjX tj

)()( 0tttx −=

−

−− =−= 0)()( 0tjtj edtettjX


Primjer:

)( jX

/W

W/− W/

t

Wtdetx

W

W

tj

sin

2

1)( ==

−

Svojstvo dualnosti

𝑋 𝑗ω

= ቊ1, ∣ ω ∣ < 𝑊0, ∣ ω ∣ > 𝑊

𝑊−𝑊


Fourierova transformacija periodičnih signala

❑Da bi razmatrali periodične i aperiodične signale u istom kontekstu.

❑FT izvodimo direktno iz predstave periodičnog signala pomoću FR.

❑Transformaciju čini povorka impulsa u frekventnom domenu, sa površinom impulsa proporcionalnom koeficijentima reda.

❑Posmatrajmo signal čija je Fourierova transformacija oblika X(j)=2(-0)...



❑Signal x(t) odredićemo pomoću inverzne Fourierove transformacije:

❑Generalizirajmo prethodni izraz tako što će X(j) biti linearna kombinacija ekvidistantnih impulsa

❑kome odgovara signal oblika:

( ) tjtj edetx 002)( =−=

−

( )02)( kajXk

k −=

−=

tjk

k

keatx0)(

−=

=Predstava periodičnog signala

pomoću Fourierovog reda!



❑FT periodičnog signala koji ima koeficijente Fourierovog reda {ak} se interpretira kao povorka impulsa u tačkama =k0.

❑Površina impulsa koji odgovara k-tom harmoniku frekvencije k0 je jednaka 2 puta k-ti koeficijent Fourierovog reda ak.


Primjer:

❑Analiziramo jediničnu povorku pravougaonih impulsa sa periodom T i trajanjem 2T1. Koeficijenti razvoja ovog signala u Fourierov red su:

❑pa je i Fourierova transformacija ovog signala:

k

Tkak

10sin=

( ) )(sin2

010

k

k

TkjX

k

−=

−=


Primjer: Povorka 𝛿-impulsa

−=

−=n

nTttx )()(

−

−==

2/

2/

1)(

1)( 0

T

T

tjk

kT

dtetxT

atx

Isti oblik funkcije i u vremenskom

i u frekventnom domenu!

Tperiod u vremenskom domenu

2/Tperiod u vremenskom domenu

𝑋 𝑗𝜔 =

𝑛=−∞

∞2𝜋

𝑇𝛿 𝑗 𝜔 −

2𝜋𝑘

𝑇


Osobine Fourierove transformacije

❑Linearnost

❑Vremenski pomak

❑Konjugovanje

❑Diferenciranje i integracija

❑Skaliranje vremena i frekvencije


Linearnost

)()( jXtxF

)()()()( jbYjaXtbytaxF

++

)()( jYtyF


Vremenski pomak

)()( jXtxF

)()( 00

jXettxtj

F−

−Zaista,

Samo dodatni fazni

pomak za -t0!

𝑥 𝑡 − 𝑡0

=1

2πන

−∞

∞

𝑋 𝑗ω 𝑒𝑗ω 𝑡−𝑡0 𝑑ω

=1

2πන

−∞

∞

𝑒−𝑗ω𝑡0 𝑋 𝑗ω 𝑒𝑗ω𝑡𝑑ω


Konjugovanje

)()( jXtxF

)()( ** jXtxF

−Zaista,

Za realan signal!

𝑋∗ 𝑗ω = න

−∞

∞

𝑥 𝑡 𝑒−𝑗ω𝑡𝑑𝑡

∗

= න

−∞

∞

𝑥∗ 𝑡 𝑒𝑗ω𝑡𝑑𝑡

𝑋∗ −𝑗ω

= න

−∞

∞

𝑥∗ 𝑡 𝑒−𝑗ω𝑡𝑑𝑡

𝑋∗ −𝑗ω = 𝑋 𝑗ω


Diferenciranje i integracija

dejXjdt

tdx tj

−

= )(2

1)(

)()(

jXjdt

tdx F

)()0()(1

)(

XjXj

dx

t

+−


Primjer:❑Odrediti Fourierovu transformaciju Heavisideove funkcije.

1)()()()( ===

−

− dtetjGttg tj

dtutxt

−

== )()()( )()0()(

)(

G

j

jGjX +=

1)( =jG )(1

)(

+=j

jX

0)( =

U drugom smjeru...

jer jeδ 𝑡 =𝑑𝑢 𝑡

𝑑𝑡←→𝐹

𝑗ω1

𝑗ω+ πδ ω

= 1


Skaliranje vremena i frekvencije

)()( jXtxF

Zaista,𝑥 𝑎𝑡 ←→

𝐹 1

∣ 𝑎 ∣𝑋 𝑗

ω

𝑎

𝐹 𝑥 𝑎𝑡

=

1

𝑎න

−∞

∞

𝑥 τ 𝑒−𝑗ω𝑎𝜏𝑑τ, 𝑎 > 0

−1

𝑎න

−∞

∞

𝑥 τ 𝑒−𝑗ω𝑎𝜏𝑑τ, 𝑎 < 0

𝐹 𝑥 𝑎𝑡 = න

−∞

∞

𝑥 𝑎𝑡 𝑒−𝑗ω𝑡𝑑𝑡

= න

−∞

∞

𝑥 τ 𝑒−𝑗ω Ττ 𝑎 𝑑 Ττ 𝑎

Za a


Parsevalov teorem

)()( jXtxF

djXdttx

−

−

=22

)(2

1)(

Zaista,න

−∞

∞

∣ 𝑥 𝑡 ∣2𝑑𝑡

= න

−∞

∞

𝑥 𝑡 𝑥∗𝑑𝑡 = න

−∞

∞

𝑥 𝑡1

2πන

−∞

∞

𝑋∗ 𝑗ω 𝑒−𝑗ω𝑡𝑑ω 𝑑𝑡


Promjenom redoslijeda integracije dobivamo:

Parsevalov teorem govori da se ukupna energija signala može

odrediti ili integriranjem energije po jedinici vremena |x(t)|2 duž

cijele vremenske ose ili integriranjem energije po jedinici

frekvencije |X(j)|2/2 za sve frekvencije.

න

−∞

∞

∣ 𝑥 𝑡 ∣2𝑑𝑡

=1

2πන

−∞

∞

𝑋∗ 𝑗ω න

−∞

∞

𝑥 𝑡 𝑒−𝑗ω𝑡𝑑𝑡 𝑑ω =1

2πන

−∞

∞

𝑋∗ 𝑗ω 𝑋 𝑗ω 𝑑ω

=1

2𝜋න−∞

∞

𝑋 𝑗𝜔 2 𝑑𝜔


Dualnost

dejXtx tj

−

= )(2

1)(

dtetxjX tj

−

−= )()(

RAZLIKE!

Pretpostavićemo da su f(·) i g(·) dvije funkcije povezane relacijom:

Tada je:

degrf jr−

−

= )()(

Za = t i r = :

Za =- i r = t:

)()()()( 11 fjXtgtx ==

)(2)()()( 22 −== gjXtftx


Dualnost


Konvolucija

❑Odziv LTI sistema na ulaz x(t) je određen konvolucionim integralom:

❑Fourierova transformacija Y(j) signala y(t):

dthxty )()()( −=

−

𝑌 𝑗ω = 𝐹 𝑦 𝑡

= න

−∞

∞

න

−∞

∞

𝑥 τ ℎ 𝑡 − τ 𝑑τ 𝑒−𝑗ω𝑡𝑑𝑡


Promjenom redoslijeda integracije:

Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva signala

u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.

𝑌 𝑗𝜔 = 𝐹 𝑦(𝑡) = න

−∞

∞

𝑥 𝜏 න

−∞

∞

ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑑𝜏

𝑌 𝑗𝜔 = න

−∞

∞

𝑥 𝜏 𝑒𝑗𝜔𝜏𝐻 𝑗𝜔 𝑑𝜏 = 𝐻(𝑗𝜔) න

−∞

∞

𝑥(𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏

𝑌 𝑗𝜔 = 𝐻 𝑗𝜔 𝑋(𝑗𝜔)

𝑒−𝑗𝜔𝜏𝐻(𝑗𝜔)

𝑋(𝑗𝜔)


Množenje

❑Svojstvo konvolucije govori da konvolucija u vremenskom domenu odgovara množenju u frekventnom domenu.

❑Usljed dualnosti između vremenskog i frekventnog domena, množenje u vremenskom domenu odgovara konvoluciji u frekventnom domenu.

djPjSjRtptstrF

))(()(2

1)()()()( −==

−


Primjer:❑Neka je s(t) signal čiji je spektar S(j). Ako je p(t)=cos0t, odrediti

spektar signal r(t)=s(t)p(t).

)()()( 00 ++−=jP

)( jS

11−

)( jP

11−

A


Spektar signala R(j) je:

( )

( ) ( ))(2

1)(

2

1

)()()(2

1

))(()(2

1)(

00

00

++−=

+++−−=

−=

−

−

jSjS

djS

djPjSjR

)( jR

0

2/A

10 −0− 10 +10 −− 10 +−


❑ est – svojstvena funkcija LTI sistema.

❑ x(t)=est y(t)=H(s) est

❑ Ako uzmemo s=j:

❑x(t)=ejt y(t)=H(j) ejt

❑x(t)=e-jt y(t)=H(-j) e-jt

❑ 2cost H(j) ejt + H(-j) e-jt=2Re{H(j) ejt} ....(*)

❑ H(j) možemo izraziti u polarnom obliku:

❑ pa izraz (*) postaje:

jejHjH )()( =

)cos()()cos( + tjHt

Frekventni odziv


❑Prema tome, odziv LTI sistema na sinusni signal:

❑Sinusni ulaz inicira sinusni odziv iste frekvencije.

❑Ako dovedemo proizvoljan signal x(t) na ulaz sistema čiji je impulsni odziv h(t):

❑odnosno Fourierova transformacija izlaza je:

)cos()()( += tjjHty

)(*)()( thtxty =

)()()( jHjXjY =

)()()( jejHjH =

Frekventni odziv

Amplitudna

karakteristika

(amplitudni odziv)

Fazna

karakteristika

(fazni odziv)


❑P.p. da je na ulazu harmonijski signal:

❑čija je Fourierova transformacija:

❑Spektar signala na izlazu je:

❑odnosno izlagni signal:

tjetx 0)(

=

)(2)( 0 −=jX

)()(2)( 00 −= jHjY

tjejHty 0)()( 0

=


❑Ako je ulazni signal periodičan i može se predstaviti Fourierovim redom:

❑tada je izlazni signal takođe periodičan i može se predstaviti Fourierovim redom:

❑Ako je x(t) aperiodičan signal, tada vrijedi relacija:

−=

=k

tjk

keatx0)(

−=

=k

tjk

k ejkHaty0)()( 0

dejXtx tj

−

= )(2

1)(

dejXjHty tj

−

= )()(2

1)(


❑Očigledno je da vrijedi:

❑Prenos signala bez izobličenja znači da oblik signala na izlazu bude identičan obliku signala na ulazu.

❑Signal može biti skaliran nekom realnom konstantom i može kasniti:

❑Ako potražimo Fourierovu transformaciju obje strane jednakosti:

❑Prenos bez izobličenja zahtijeva karakteristike sistema:

)()()( jXjHjY =

))(arg())(arg())(arg( jXjHjY +=

)()( dttKxty −=

)()( jXKejY dtj−=

dtjj KeejHjH −== )()()( KjH =)( dtj −=)(


◼ Kada amplitudna karakteristika sistema nije konstantna unutar frekventnog opsega u kojem se signal prenosi, frekventne komponente u ulaznom signalu se prenose sa različitim pojačanjem (ili slabljenjem).

Amplitudsko izobličenje.

◼ Fazna karakterstika nelinearna pojedine frekventne komponente putuju različitim brzinama i dolazi do izobličenja signala.

Fazno izobličenje.

◼ Amplitudna karakteristika utječe na energiju signala.

◼ Fazna karakteristika ne utiče na energiju signala.


Logaritam amplitudne karakteristike

)( jH)(tx )(ty

)()()( jXjHjY =

)(log)(log)(log jXjHjY +=

)(1 jH )(2 jH

)(log)(log)(log 21 jHjHjH +=


Decibeli

)(log20)(log102

10 jHjH =

snaga amplituda

dBjH 01)( =

dBjH 2010)( =

dBjH 32)( =

dBjH 62)( =

dBjH 40100)( =

20 dB

=10 x pojačanje amplitude

=100 x pojačanje snage


Veza između Laplaceove transformacije i Fourierove transformacije

−

−= dtetxjX tj )()(

−

−= dtetxsX st)()(

Fourierova transformacija

bilateralna Laplaceova transformacija

)()( txFsX js ==

js += dteetxdtetxjX tjttj −

−

−

−

+−

==+ )()()()(

tetxFjX −=+ )()(

Ako je x(t) apsolutno integrabilna funkcija, Fourierova transformacija signala x(t)

se može odrediti iz Laplaceove transformacije uzimajući s=j.

Documents

SIGNALI I SISTEMI · 2019. 12. 3. · 1, ( ) 1 1 T t T t T x t povećavamo T držimo fiksno k T k T a k 0 2 sin(0 1) = 0 2 sin(1) k k k T Ta = = Ako posmatramo kao kontinualnu promjenljivu,