VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

Seventh Edition

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi

Tel: 285 31 46 / 116E-mail: acarh@itu.edu.trWeb: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

6. Taşıyıcı Sistemlerin Analizi

• Giriş• Kafes Sistemlerin Tanımı• Basit Kafes Sistemler• Kafes Sistemlerin Düğüm Noktaları Metodu ile Analizi• Özel Yükleme Durumlarındaki Düğüm Noktaları • Uzay Kafes Sistemleri• Kafes Sistemlerin Kesit Alma Metodu ile Analizi• Bileşik Kafes Sistemler• Çerçevelerin Analizi• Mesnetlerinden Ayrıldığında Rijit Olmayan Çerçeveler• Makinalar

• Bir kaç elemandan oluşan yapıların dengesi için, dış kuvvetler gibi iç kuvvetlerin de düşünülmesi gerekir.

• Birleştirilmiş parçalar arasındaki etkileşim, Newton’un 3. yasası ile bulunur: birbirine temas eden cisimlerde etki ve tepki kuvvetleri eş şiddet ve tesir çizgili fakat zıt yönlüdür.

• Mühendislik yapıları üç kategoride sınıflandırılır: a) Çerçeveler: En azından bir tane çok-kuvvet (3 veya

daha fazla) içeren elemana sahip yapılar.

b) Kafes Sistemler: İki kuvvet elemanlarından oluşturulmuş yapılar

c) Makinalar: kuvvet aktarımı ve kuvvet değişimi için tasarlanmış, hareketli elemanlara sahip yapılar.

Giriş

• Kafes sistemi dik elmanların birleştirilmesinden oluşur. Çubuklardan hiç biri düğüm noktasından ileri geçmez.

• Civatalanmış veya kaynaklanmış bağlantılar pim ile bağlanmış gibi düşünülür. Elemana etkiyen kuvvetler tek bir kuvvete indirgenebilir ve kuvvet çifti oluşturmaz. Bunun için iki kuvvetli elemanlar olarak düşünülebilir.

Kafes Sistemlerin Tanımı

Düğüm noktası

Aynı doğrultuda iki çubuğun birleştiği düğüm noktası göz önüne alınsın

İki kuvvet etkisi altındaki eleman, ancak kuvvetler aynı şiddete ve tesir çizgisine sahip zıt yönlü olduğu durumda dengededir.

FAB

FAD

• Kuvvetler çubuktan dışarı doğru ise çubuk ‘çekme’ etkisindedir.

• Kuvvetler çubuğa doğru ise çubuk ‘basma’ etkisindedir.

Kafes sistemlerin elemanları narindir ve fazla yanal kuvvet taşıyamazlar. Bu nedenle, yükler bağlantı noktalarına uygulanmalıdır.

Enleme kirişleriBoylama kirişleri

Kafes sistemler birçok mühendislik probleminde pratik ve ekenomik çözüm sağlar:Köprülerde, çatı sistemlerinde sıkça kullanılır.

Çelik kafes sistemler

Yüksek gerilim hatları

Kafes kiriş türleri

Tipik çatı kafes kirişleri

Tipik köprü kafes kirişleri

Diğer kafes kirişler

K kafes kirişi

Stadyum kafes kirişi

Bir kafes kirişinkonsol kısmı Baskül

• “Rijit Kafes Sistem” yük uygulaması sonucunda göçmeyen sistemdir. Şekil değişimi çok azdır.

• “Basit kafes sistem” temel üçgen kafes sisteme, iki eleman ve bir düğüm noktası ilave ederek oluşturulur. Yalnız üçgenlerden olması şart değildir.

Basit Kafes Sistemler

Üçgen kafes sistem

eleman sayısı

düğüm noktası sayısı

m = 3n = 3

Basit kafes sistem

m = 5n = 4

m = 2n - 3Düğüm noktası

Eleman

• Kafes elemanları çözülerek her bir eleman ve pim için serbest cisim diyagramı çizilir.

• Her elemana etki eden iki kuvvetin eşit şiddetli ve tesir çizgili ve zıt yönlü olması gerekir.

• Mafsala eleman tarafından uygalanan kuvvet eş şiddet ve tesir çizgili ve zıt yönlüdür.

Kafes Sistemlerin Düğüm Noktaları Metodu ile Analizi

• Her düğüm noktası için iki denge denklemi vardır.

Denklem sayısı: 2n 2n kadar bilinmeyen çözülebilir.

Basit kafes sistem için: m = 2n – 3 idi.

2n = m + 3 tür.

m + 3 kadar bilinmeyen çözülebilir.

• Mafsal denge denklemlerine ilave olarak, tüm sistemin denge şartlarından elde edilen 3 denklem daha vardır. Fakat bu denklemler düğüm noktasından bağımsız değilleridir.

• Mesnetlerdeki tepki kuvvetlerinin kısa yoldan çözümü için kullanılabilir.

Aynı doğrultudaki karşıt çubuklarda kuvvetler eşittir.

Özel Yükleme Durumlarındaki Düğüm Noktaları

İkişer ikişer aynı doğrultuda bulunan dört çubuğu birleştiren düğüm noktası göz önüne alınsın

MafsalSCD

Mafsal iki çift zıt yönlü kuvvet etkisindedir

İkisi aynı doğrultuda olan üç çubuğu birleştiren ve bir P yükünü taşıyan düğüm noktası göz önüne alınsın

Aynı doğrultudaki iki karşıt çubukta kuvvetler birbirine eşit ve diğer elemandaki kuvvet P’ye eşittir.

MafsalSCD

FAC

P

İkisi aynı doğrultuda olan üç çubuğu birleştiren düğüm noktası göz önüne alınsın

FAB

FAD FAC=0

Sıfır kuvvet çubuğu

Aynı doğrultudaki iki karşıt çubukta kuvvetler birbirine eşit ve diğer elemandaki kuvvet sıfıra eşittir.

İki kuvvet etkisi altındaki eleman, ancak kuvvetler sıfır olduğu durumda dengededir.

Sıfır kuvvet çubukları

Farklı doğrultuda iki çubuğun birleştiği düğüm noktası göz önüne alınsın

Sıfır kuvvet çubukları

Verilen kafes sistemde düğüm noktaları metodunu kullanarak her bir çubuktaki kuvvetleri bulunuz.

Çözüm:

• Tüm kafes sisteminin SCD ile E ve C bağlantılarındaki tepki kuvvetleri bulunur.

• Şekil incelendiğinde A düğüm noktasında sadece 2 bilinmeyen kuvvet olduğu görülür. Çözüme bu düğüm noktasından başlanabilir.

• Daha sonra sırasıyla D, B ve E düğüm noktaları kullanılarak çözüm tamamlanır.

• Yapılan hesaplamanın doğru olup olmadığı C düğüm noktasındaki çözüm ile karşılaştırılabilir.

Örnek 6.1

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 m

( )( ) ( )( ) ( )m 6m 12N 1000m 24N 20000

EMC

−+=

=∑↑= N 10000E

∑ == xx CF 0 0=xC

∑ ++−== yy CF N 10,000 N 1000 - N 20000 ↓= N 7000yC

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 mSCD

Çözüm:

• Tüm kafes sisteminin SCD ile E ve C bağlantılarındaki tepki kuvvetleri bulunur.

534N 2000 ADAB FF

==

Basma N 2500Çekme N 1500

==

AD

AB

FF

• Şekil incelendiğinde A düğüm noktasında sadece 2 bilinmeyen kuvvet olduğu görülür. Çözüme bu düğün noktasından başlanabilir.

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 m

2000 N

2000 N

• A düğüm noktasından sonra komşu düğüm noktalarına geçilecektir. Şekil incelenirse B düğüm noktasına geçilirse 3 bilinmeyen kuvvet, D düğüm noktasına geçilirse 2 bilinmeyen kuvvet olduğu görülür. Bunun için D düğüm noktası seçilir.

( ) DADE

DADB

FF

FF

532=

=

Basma N 3000Çekme N 2500

==

DE

DB

FF

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 m

FDA = 2500 N

D

( )N 3750

250010000 54

54

−=

−−−==∑BE

BEy

FFF

Basma N 3750=BEF

( ) ( )N 5250

3750250015000 53

53

+=

−−−==∑BC

BCx

FFF

Çekme N 5250=BCF

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 m

• D düğüm noktasından sonra komşu düğüm noktalarına geçilecektir. Şekil incelenirse E düğüm noktasına geçilirse 3 bilinmeyen kuvvet, B düğüm noktasına geçilirse 2 bilinmeyen kuvvet olduğu görülür. Bunun için B düğüm noktası seçilir.

FBA = 1500 N

FBD = 2500 N

1000 N

( )N 8750

375030000 53

53

−=

++==∑EC

ECx

FFF

Basma N 8750=ECF

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 m

• B düğüm noktasından sonra komşu düğüm noktalarına geçilecektir. Şekil incelenirse E düğüm noktasına geçilirse 2 bilinmeyen kuvvet olduğu görülür. B düğüm noktasına geçilebilir. C düğüm noktasında 1 bilinmeyen kuvvet vardır. Bu düğüm noktası da seçilebilir.

FED = 3000 N

FEB = 3750 N

E = 10000 N

( ) ( )( ) ( )dogru 087507000

dogru 087505250

54

53

=+−=

=+−=

∑∑

y

x

F

F

2000 N 1000 N

12 m 12 m

12 m6 m 6 m

8 m

• Kafes sistemdeki tüm bilinmeyen kuvvetler bulundu. Çözüm yapılmayan C düğüm noktası var. Bu düğüm noktasındaki çözümü yaparak yaptığımız hesaplamanın doğru olup olmadığını belirleyebiliriz.

FCB = 5250 N

FCE = 8750 N

Cy = 7000 N

• En küçük uzay kafes sistemi 6 elemana ve 4 düğüm noktasına sahiptir. (tetrahedron yapı)

• Basit uzay kafes sistemi bu yapıya yeni 3 eleman ve 1 düğüm noktası ilavesiyle yapılır.

• Tüm sistemin serbest cisim diyagramı ile 6 denklem daha kullanılabilir fakat bu denklemler düğüm noktasından elde edilenlerle ilişkilidir.

• Basit kafes sistemde: m = 3n - 6m: eleman sayısı, n :düğüm noktası sayısı

• Her düğüm noktası için 3 denklem vardır. Denklem sayısı: 3n. 3n = m + 6

Bu denklemler m eleman ve 6 bağlantı kuvveti için kullanılır.

Uzay Kafes SistemleriDoğrusal elemanlar 3 boyutlu şekil oluşturacak şekilde birleştirilirse uzay kafes sistemi oluştururlar.

• Kafes sistemde tüm elemanlardaki kuvvetlerin hesaplanması gerekmiyorsa ve bir veya daha fazla elemandaki kuvvet araştırılıyorsa ‘Kesit alma yöntemi’ kullanılır.

• BD elemanındaki kuvvet araştırılıyorsa, bu elemanı kapsayacak ve en az çubuk kesecek şekilde kesme işlemi yapılarak SCD çizilmelidir.

• Bu örnekte 3 eleman kesilmiştir. Kuvvet ve moment denge denklemleri kullanılarak FBDelemanındak kuvet dahil olmak üzere bilinmeyen eleman kuvvetleri hesaplanır.

Kafes Sistemleri Kesit Alma Yöntemi ile Analizi

• Bileşik kafes sistem statikçe belirli ve rijit ise:

32 −= nm

• Kafes sistem gereksiz bir elemana sahipse, statikçe belirsizdir:

32 −> nm

Basit Kafes Sistemlerden Oluşan Kafesler

elemansayısı

düğümsayısı

ABCkafesi

DEFkafesi

ABDFkafesi

ABFkafesi

Basit kafes değil çünkü İki eleman eklemesi ile oluşturulamazlar

BD, BE, CD veya CE elemanlarından biri fazladır

Şekildeki kafes sistemde FH, GH ve GIelemanlarındaki kuvvetleri bulunuz.

Çözüm

• Tüm kafes yapı için SCD oluşturulur. A ve L noktalarındaki tepki kuvvetleri denge denklemleri ile bulunur.

• FH, GH ve GI elemanlarını kapsayacak şekilde kesme işlemi yapılır ve daha az kuvvet içerdiği için sağ taraftaki grup için SCD çizilir.

• Denge denklemleri kullanılarak elemanlardaki kuvvetler bulunur.

Örnek 6.3

6x5m = 30m

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )↑=

+−−

−−−==∑

kN 5.7m 25kN 1m 25kN 1m 20

kN 6m 15kN 6m 10kN 6m 50

LL

M A

Çözüm

• Tüm kafes yapı için SCD oluşturulue. A ve L noktalarındaki tepki kuvvetleri denge denklemleri ile bulunur.

6x5m = 30m

↑=

++−==∑ kN 5.12

kN 200

A

ALFy

LA

Ax=0

( )( ) ( )( ) ( )kN 13.13

0m 33.5m 5kN 1m 10kN 7.500

+==−−

=∑

GI

GI

H

FF

M

kN 13.13=GIF

• FH, GH ve GI elemanlarını kapsayacak şekilde kesme işlemi yapılır ve daha az kuvvet içerdiği için sağ taraftaki grup için SCD çizilir.

• Denge denklemleri kullanılarak elemanlardaki kuvvetler bulunur.

Çekme

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

kN 82.130m 8cos

m 5kN 1m 10kN 1m 15kN 7.50

07.285333.0m 15m 8tan

−==+

−−

=

°====

∑

FH

FH

G

FF

MGLFG

α

αα

CFFH kN 82.13=

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )kN 371.1

0m 10cosm 5kN 1m 10kN 10

15.439375.0m 8

m 5tan32

−==++

=

°====

∑

GH

GH

L

FF

M

HIGI

β

ββ

CFGH kN 371.1=

• Çerçeveler ve makinalar en azından bir tane çok kuvvetli eleman içeren yapılardır. Çerçeveler genellikle yüklemeleri desteklemek için kullanılır ve sabittirler. Makinalar hareketli parçalar içerirler ve kuvvet aktarımı veya dönüşümü için kullanılırlar.

• Tüm çerçevenin SCD çizilerek çerçeveye gelen dış kuvvetler bulunur.

• Çerçevenin her elemanı için ayrı ayrı SCD çizilir ve elemanlara gelen iç kuvvetler bulunur.

• Birbirine bağlı olan elemanlarda temas noktalarındaki kuvvetler eş şiddetli fakat ters yönlüdürler.

• İki kuvvet içeren elemanlarda kuvvetin tesir çizgisi biliniyor fakat şiddeti ve yönü bilinmiyor.

• Çok kuvvet içeren elemanlarda ise kuvvetlerin tesir çizgisi, yönü ve şiddeti bilinmiyor. Bu nedenle iki bileşenli kuvvet (eksen takımına göre yatay ve düşey) olarak gösterilirler.

Yapıların Analizi

(Mesnetlerin yardımı olmadan dabiçimini korumaktadır)

• Bazı yapılar mesnetlerinden ayrıldığında çökebilirler. Bu yapılar rijit olarak tanımlanamazlar.

• Tüm yapının SCD oluşturulduğunda 4 tane bilinmeyen tepki kuvvetine sahiptir ve 3 denge denklemi ile belirlenemezler.

• Bu nedenle yapı iki farklı fakat rijit cisim olarak düşünülebilir.

• Eş şiddetli fakat zıt yönlü olan tepki kuvvetleriyle birlikte 6 bilinmeyen kuvvet olacaktır. Bunun yanında denge denklemi sayısı da 6 olacaktır (her eleman için 3 denklem vardır).

• Böylece bilinmeyen kuvvetler bulunabilir.

Mesnetlerinden Ayrıldığında Rijit Olmayan Yapılar

Şekildeki çerçevede ACE ile BCDelemanları C noktasından bir pimle, ayrıca DE çubuğuyala bağlıdır. Verilen yüklemeye göre, DE çubuğundaki kuvveti ve C noktasında BCD elemanına gelen kuvvetin bileşenlerini hesaplayınız.

Çözüm:

• Tüm yapı için SCD çizilir ve bilinmeyen tepki kuvvetleri hesaplanır.

• BCD elemanı için SCD çizilir. DEçubuğundan gelen kuvvetin tesir çizgisi bellidir ama şiddet ve yönü belli değildir. Bunun için C noktasına göre moment denge denklemi kullanılabilir.

• DE çubuğundan gelen kuvvet bilinirse C noktasından BCDelemanına gelen kuvvet hesaplabilir.

• ACE elemanı için SCD çizilirse yukarıda hesaplanan kuvvetlerin doğruluğu kontrol edilebilir.

Örnek 6.4

N 4800 −==∑ yy AF ↑= N 480yA

( )( ) ( )mm 160mm 100N 4800 BM A +−==∑→= N300B

xx ABF +==∑ 0 ←−= N 300xA

°== − 07.28tan 150801α

Çözüm:

• Tüm yapı için SCD çizilir ve bilinmeyen tepki kuvvetleri hesaplanır.

( )( ) ( )( ) ( )( )N 561

mm 100N 480mm 06N 300mm 250sin0−=

++==∑DE

DECF

FM αCFDE N 561=

( ) N 300cosN 561 0N300cos0

+−−=+−==∑

αα

x

DExxC

FCFN 795−=xC

( ) N 480sinN 5610

N480sin0

−−−=

−−==∑α

α

y

DEyy

C

FCFN 216=yC

• BCD elemanı için SCD çizilir. DE çubuğundan gelen kuvvetin tesir çizgisi bellidir ama şiddet ve yönü belli değildir. Bunun için C noktasına göre moment denge denklemi kullanılabilir.

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 0mm 220795mm 100sin561mm 300cos561

mm220mm 100sinmm300cos=−−−+−=

−+=∑αααα xDEDEA CFFM

(kontrol edilecek)

• ACE elemanı için SCD çizilirse yukarıda hesaplanan kuvvetlerin doğruluğu kontrol edilebilir.

Makinalar kuvvet aktarımı ve değiştirilmesi için kullanılan yapılardır. Giriş kuvvetlerini çıkış kuvvetlerine çevirirler.

• Bir teli kesmek için kullanılan keski aletine P kuvveti uygulanmakta. P kuvvetinin şiddeti biliniyorsa, Q kuvvetinin şiddetini bulunuz.

• Tüm makinanın SCD’si çizilir. Telden gelen tepki kuvveti de ilave edilir.

• Makina rijit olmayan bir yapıdır. Elemanlardan biri serbest cisim olarak seçilir.

• A noktasına göre moment alınırsa:

PbaQbQaPM A =−==∑ 0

Makinalar

2.4 kN şiddetinde bir P kuvveti, şekilde gösterilen motor sisteminin pistonuna etkimektedir.

Sistemi dengede tutacak olan M momentini bulunuz.

Örnek

A

B

C

M

250 mm

100 mm

75 mm

P

B

C

P

N

FBC

FBCx

FBCy

PPFFF

FFFF

BC

BCyBCBCx

BCyBCBCBCy

3.025075

26175

250261

26175

250261

261250

26125075 22

=

=

=

=

=⇒

=

=+=

Piston SCD

PFPF

F

BCy

BCy

y

=

=−

=Σ

0

0

PMPPM

MFFM

BCyBCx

A

105.0)075.0()1.0(3.0

0)075.0()1.0(0

=+=

=−+=Σ↓+

P = 2.4 kN için

Nm252)4.2(105.0

==

MM

(saat ibreleri yönünde)

Ax

MFBCx

FBCy

Ay

AB Karankı SCD 0.075 m

0.1 m