Upload
lytram
View
237
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
Session 2tegangan & regangan pada
beban aksialMekanika Teknik III
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Kesesuaian sebuah struktur atau mesin bisa jadi tergantung pada deformasi-deformasi pada struktur tersebut serta tegangan-tegangan yang diinduksikanakibat pemb bebanan. Analisis-analisis statik saja tidak cukup untuk menyelesaikanhal tersebut.
Dengan menganggap struktur-struktur sebagai benda terdeformasi memungkinkanpenentuan gaya-gaya elemen dan reaksi-reaksi yang berupa statik-tak-tentu
Penentuan distribusi tegangan dalam sebuah elemen juga memerlukanpertimbangan deformasi dalam elemen tersebut
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
L
AP
AP
δε
σ
=
==22
LL
AP
δδε
σ
==
=
22
tegangan
regangan normal
PA
L
σ
δε
= =
= =
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Uji tegangan-regangan
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Diagram tegangan-regangan : bahan bersifat daktil
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Diagram tegangan-regangan : bahan bersifat getas
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Hukum Hooke
Elasticity of Modulus or Modulus Youngs=
=E
Eεσ
Di bawah tegangan luluh :
Kekuatannya dipengaruhi oleh pemaduanlogam, perlakuan panas, dan proses manufakturnya, namun kekakuannya(modulus elastisitasnya) tidak
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Perilaku elastik vs plastik
Bila regangan menghilang setelahtegangan dilepaskan, bahan tersebutdikatakan berperilaku elastik.
Tegangan terbesar yang menyebabkanhal tersebut dinamakan batas elastik(elastic limit)
Bila regangan tidak kembali nolsetelah tegangan dilepaskan, makabahan tersebut dikatakan berperilakuplastik
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Deformasi akibat beban aksialBerdasarkan hokum Hooke :
AEP
EE ===
σεεσ
Berdasarkan definisi regangan :Lδε =
Menyamakan dan menyelesaikannya : AEPL
=δ
Bila terdapat variasi-variasi dalam pembebanan, luasanpenampang dan sifat-sifat bahan :
∑=i ii
iiEALPδ
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Contoh 02.1
in. 618.0 in. 07.1
psi1029 6
==
×= −
dD
E
Tentukan deformasi batang baja di atasakibat beban-beban yang bekerja
SOLUSI :Bagilah batang tersebut menjadi komponen-komponen pada titik-titik bekerjanya gaya
Lakukan analisis badan-beban (free-body analysis) pada setiap komponen untukmenentukan gaya dalamnya
Evaluasilah defleksi total komponen tersebut
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
221
21
in 9.0
in. 12
==
==
AA
LL
23
3
in 3.0
in. 16
=
=
A
L
SOLUSI :Bagilah batang tersebut menjaditiga komponen
Lakukan analisis badan-bebas pada setiapkomponen untuk menentukan gaya-gaya dalamnya
lb1030
lb1015
lb1060
33
32
31
×=
×−=
×=
P
P
P
Evaluasi defleksi totalnya
( ) ( ) ( )
in.109.75
3.0161030
9.0121015
9.0121060
10291
1
3
333
6
3
33
2
22
1
11
−×=
×+
×−+
×
×=
++=∑=
ALP
ALP
ALP
EEALP
i ii
iiδ
in. 109.75 3−×=δ
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Contoh Kasus 2.1
• Sebuah batang kaku BDE didukung olehdua buah batang lain, AB dan CD
• Batang AB terbuat dari aluminum (E=70 GPa) dan memiliki luasan penampang50 mm2. Batang CD terbuat dari baja(E=200 GPa), dan memiliki luasanpenampang 600 mm2.
• Bila struktur tersebut diberikan gaya 30 kN, tentukan defleksi: a) di titik B, b) titik D, c) dan titik E.
SOLUSI :
• Lakukan analisis badan bebaspada batang BDE untukmenemukan gaya-gaya yang bekerja pada batang AB dan DC.
• Evaluasi deformasi yang terjadipada batang AB dan DC ataudisplacement di titik B dan D
• Lakukan analisis geometri untukmenemukan defleksi di titik E bila defleksi di titik B dan D diketahui.
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Displacement of B:
( )( )( )( )
m10514
Pa1070m10500m3.0N1060
6
926-
3
−×−=
××
×−=
=AEPL
Bδ
↑= mm 514.0BδDisplacement of D:
( )( )( )( )
m10300
Pa10200m10600m4.0N1090
6
926-
3
−×=
××
×=
=AEPL
Dδ
↓= mm 300.0Dδ
Free body: batang BDE
( )
( )ncompressioF
F
tensionF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
kN60
m2.0m4.0kN300
0M
kN90
m2.0m6.0kN300
0
D
−=
×−×−=
=
+=
×+×−=
=
∑
∑
SOLUSI:
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Displacement of D:
( )
mm 7.73
mm 200mm 0.300mm 514.0
=
−=
=′′
xx
xHDBH
DDBB
↓= mm 928.1Eδ
( )
mm 928.1mm 7.73
mm7.73400mm 300.0
=
+=
=′′
E
E
HDHE
DDEE
δ
δ
Ketidak-tentuan Statik
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
• Struktur-struktur yang gaya-gaya dalam danreaksi-reaksinya tidak dapat ditentukan darianalisis statik saja dikatakan sebagai strukturstatik tak-tentu (statically indeterminate).
0=+= RL δδδ
• Deformasi-deformasi akibat beban-beban nyatadan reaks-reaksi kelebihan ditentukan secaraterpisah dan kemudian ditambahkan kembali(superposisi)
• Reaksi-reaksi kelebihannya digantikan denganbeban-beban yang tak diketahui, bersamaandengan beban-beban lain harus menghasilkandeformasi-deformasi yang sesuai.
• Sebuah struktur bersifat statik tak-tentu padasaat struktur tersebut ditahan oleh lebih darisatu tumpuan yang diperlukan untukmempertahankan kesetimbangannya.
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Tentukan reaksi-reaksi di titik A dan B untukbatang baja dan pembebanannya seperti terlihatdi samping.
• Selesaikan reaksi di A akibat beban-beban danreaksi di B
• Displacement akibat pembebanan dandisplacement akibat reaksi kelebihan perludisesuaikan (jumlahnya harus nol)
• Selesaikan displacement di B akibat reaksikelebihan di B.
SOLUSI:
• Anggap reaksi di B sebagai kelebihan, lepaskanbatang tersebut dari tumpuan B dan selesaikandisplacement di B akibat beban-beban yang bekerja
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
SOLUSI:• Selesaikan displacement di B akibat beban-beban yang
bekerja dengan melepaskan tumpuan di B
EEALP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii9
L
4321
2643
2621
34
3321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000
×=∑=
====
×==×==
×=×===
−−
δ
• Selesaikan displacement di B akibat reaksi kelebihandi B
( )∑
×−==
==
×=×=
−==
−−
iB
ii
iiR
B
ER
EALPδ
LL
AA
RPP
3
21
262
261
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
• Displacement akibat beban-beban dan akibat reaksikelebihan harus bersesuaian
( )
kN 577N10577
01095.110125.1
0
3
39
=×=
=×
−×
=
=+=
B
B
RL
R
ER
Eδ
δδδ
• Tentukan reaksi di A akibat beban dan reaksi di B
kN323
kN577kN600kN 3000
=
∑ +−−==
A
Ay
R
RF
kN577
kN323
=
=
B
A
R
R
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Nisbah Poisson• Untuk sebuah batang langsing yang menerima
beban aksial :
0=== zyx
x Eσσσε
• Elongasi arah x dibarengi dengan kontraksi di arah yang lain. Bila diasumsikan bahantersebut isotropik :
0≠= zy εε
• Nisbah Poisson dinyatakan sebagai :
x
z
x
y
εε
εε
ν −=−==strain axialstrain lateral
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
• Untuk sebuah batang yang menerima berbagaibeban aksial, komponen regangan normal yang dihasilkan dari komponen tegangan dapatditentukan dari prinsip superposisi. Dalam halini :
•Regangan secara linier berhubungan dengantegangan
•Deformasinya kecil
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
σνσνσε
νσσνσε
νσνσσε
+−−=
−+−=
−−+=
• Dengan batasan-batasan tersebut :
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
• Relatif terhadap kondisi tak tertegang, perubahanvolumenya :
( )( )( )[ ] [ ]
( ) e)unit volumper in volume (change dilatation
21
111111
=
++−
=
++=
+++−=+++−=
zyx
zyx
zyxzyx
E
e
σσσν
εεε
εεεεεε
• Untuk elemen yang menerima tekanan hidrostatismerata :
( )
( ) modulusbulk 213
213
=−
=
−=−
−=
ν
ν
Ek
kp
Epe
• Akibat tekanan yang merata, dilatasinya harusnegative, sehingga :
210 <<ν
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
• Suatu elemen kubikus yang menerima tegangan geserakan berdeformasi menjadi rhomboid. Regangangeser yang bersesuaian dihitung dalam bentukperubahan sudut di antara kedua sisinya
( )xyxy f γτ =
• Gambaran tegangan geser terhadap regangan gesermirip dengan gambaran tegangan normal terhadapregangan normal, kecuali bahwa nilai kekuatannyakurang lebih hanya setengahnya. Untuk regangan-regangan kecil :
zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===
Dimana G adalah modulus of rigidity atau modulus geser
Regangan Geser
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
SOLUSI :
• Tentukan deformasi angular rerataatau regangan geser pada bloktersebut
• Gunakan definisi tegangan geseruntuk menemukan gaya P.
Suatu balok persegi terbuat dari suatubahan dengan modulus of rigidity G = 90 ksi terikat olelh dua buah plat horizontal kaku. Plat bagian bawahterpasang sempurna sedangkan plat bagian atas menerima gaya horizontal P. diketahui bahwa plat bagian atasbergerak 0.04 in akibat aksi gayatersebut, tentukan a) regangan geserrerata pada bahan tersebut, dan b) gayayang diterima pada plat tersebut.
• Gunakan hokum Hooke untuktegangan dan regangan geser untukmenentukan tegangan geser yang bersesuaian
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
rad020.0in.2
in.04.0tan ==≈ xyxyxy γγγ
• Tentukan deformasi angular rerata atauregangan geser blok tersebut
( )( ) psi1800rad020.0psi1090 3 =×== xyxy Gγτ
• Gunakan hukum Hooke untuk tegangan danregangan geser untuk menemukan tegangangeser yang bersesuaian
( )( )( ) lb1036in.5.2in.8psi1800 3×=== AP xyτ
kips0.36=P
• Gunakan definisi tegangan geser untukmenemukan gaya P.
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
Hubungan E, v, dan G• Sebuah batang langsing yang dibebani
secara aksial akan memanjang pada arahaksial dan berkontraksi di arah yang lain.
( )ν+= 12GE
• Komponen regangan normal dan geserdihubungkan :
• Bila elemen kubikus diorientasikan sepertigambar di bawah, maka ia akanberdeformasi menjadi rhombus. Bebanaksial juga muncul dalam tegangan geser.
• Sebuah elemen kubikus awal diorientasikanseperti gambar di atas akan berdeformasimenjadi rectangular parallelepiped. Gaya aksial menghasilkan regangan normal.
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
ContohSebuah lingkaran dengan diameter d = 9 in digambarkan dalam sebuah plat aluminum tak-tertegang dengan ketebalan t = ¾ in. Gaya yang bekerja pada bidang datar plat menyebabkan tegangan normal σx = 12 ksidan σz = 20 ksi.
bila E = 10x106 psi dan ν = 1/3, tentukanperubahan :
a) panjang diameter AB,
b) panjang diameter CD,
c) Ketebalan plat
d) Volume plat
The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering
SOLUSI:
• Gunakan persamaan umum Hooke untuk menemukan tiga komponenregangan normal
( ) ( )
in./in.10600.1
in./in.10067.1
in./in.10533.0
ksi20310ksi12
psi10101
3
3
3
6
−
−
−
×+=
+−−=
×−=
−+−=
×+=
−−
×=
−−+=
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
σνσνσε
νσσνσε
νσνσσε
• Temukan komponen deformasinya
( )( )in.9in./in.10533.0 3−×+== dxAB εδ
( )( )in.9in./in.10600.1 3−×+== dzDC εδ
( )( )in.75.0in./in.10067.1 3−×−== tyt εδ
in.108.4 3−×+=ABδ
in.104.14 3−×+=DCδ
in.10800.0 3−×−=tδ
• Temukan perubahan volumenya
( ) 33
333
in75.0151510067.1
/inin10067.1
×××==∆
×=++=
−
−
eVV
e zyx εεε
3in187.0+=∆V