Series de Laurent

En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones integrales an y bn dadas anteriormente.

● Además se puede demostrar que la serie de Laurent (y de Taylor) son únicas.

También se puede demostrar que:● una serie de potencias (serie de Taylor) es una función

analítica en el disco de convergencia● Una serie de potencias se puede derivar e integrar

término a término en el interior de su radio de convergencia

Teoría de los residuos

Teoría de los residuos

Recordemos que:

Singularidades: ● se dice que un punto es singular si la

función en cuestión no es analítica en ese punto, pero es analítica en el entorno de .

● Se dice que un punto singular es aislado si existe un entorno “perforado” en el que la función f es analítica.

Teoría de los residuos

Supongamos que queremos evaluar la integral de una función f sobre un contorno cerrado (positivo) y f es una función analítica, excepto en el interior del contorno:

Teoría de los residuos

● Sabemos que en este caso, f tiene una expansión en serie de Laurent:

Noten que anteriormente habíamos escrito la serie de Laurent como:

Parte principal de f en z0

Teoría de los residuos

Pero también sabemos que el valor de la integral no cambia si deformamos el contorno de integración:

Así, la integral puede calcularse integrando término a término la serie de Laurent sobre C.

Teoría de los residuos

Sin embargo, el único término que no nulo es aquel con , es decir, (o ).

De modo que:

Vemos que juega un papel importante.

Teoría de los residuos

Definición:

Si f tiene una singularidad aislada en el punto entonces el coeficiente de en la serie de Laurent de f alrededor de , se le llama residuo de f en y se denota como

●

●

●

Teoría de los residuos

Si existe un número finito de singularidades dentro del contorno de integración, podemos utilizar el llamado teorema de los residuos:

● Sea C un camino cerrado simple (positivo). Si una función es analítica en C y en su interior, excepto en un número finito de singularidades interiores a C, entonces

Teoría de los residuos

Clasificación de singularidades y definición de otros puntos/términos de la series de Laurent y Taylor:

● f(z) tiene una singularidad removible/evitable en si para toda n

● f(z) tiene una singularidad esencial en si existen infinitos no nulos

● f(z) tiene un polo de orden n en , si el último coeficiente no nulo de la parte principal es .

Si el único coeficiente no nulo es , se dice que f(z) tiene un polo simple en

Teoría de los residuos

Ejemplo:

 Sea

Entonces, f tiene un polo simple en = 2 con residuo 3, es decir, = 3

Teoría de los residuos

Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado:

Un punto singular aislado de una función f es un polo de orden m si y solo si f se puede escribir como:

donde es analítica y no nula en

Además,

Teoría de los residuos

Comentario:● Los ceros de una función pueden ser una

fuente de polos

Definición: Se dice que una función analítica en tiene un cero de orden n en si y sólo si y

con

Teoría de los residuos

Resumen (método básico para encontrar los polos y residuos):

Supongamos que tenemos la serie de Laurent

Notamos que es un polo de orden k. Además,

Teoría de los residuos

Entonces si multiplicamos f(z) por tenemos que

Teoría de los residuos

Ahora, supongamos que sabemos el orden k del polo (por ejemplo usando el método anterior). Entonces considerando la función

tenemos que

De aquí que derivando k-1 veces:

Teoría de los residuos

O bien, sustituyendo g(z), tenemos

Cuando es un polo simple, el resultado anterior se reduce a:

Aplicaciones de la teoría de los residuos

● La teoría de residuos tiene muchas aplicaciones en matemáticas aplicadas y física

Por ejemplo, está teoría es muy útil para calculo de varios tipos de integrales reales. Por mencionar dos ejemplos:

● integrales de la forma:

● e integrales impropias

Aplicaciones de la teoría de los residuos

● Integrales impropias

En Cálculo la integral impropia de una función continua se define como

Cuando los límites existen se dice que la integral converge

Aplicaciones de la teoría de los residuos

O bien,

y cuando los límites existen se dice que la integral converge.

● Comentario: los límites pueden existir, pero la integral impropia no.

Aplicaciones de la teoría de los residuos

Con este motivo se introduce el valor principal de Cauchy o simplemente, valor principal (VP):

siempre que los límites existen.● Comentarios:

- La existencia del valor principal no asegura que la integral impropia sea convergente

- Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor principal

Aplicaciones de la teoría de los residuos

El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior puede aplicarse a una clase general de integrandos.

De hecho, el éxito del procedimiento anterior depende de dos condiciones:

● f sea analítica en el eje real y encima de él, excepto por un número finito de singularidades aisladas (en la parte superior del plano complejo).

●

Aplicaciones de la teoría de los residuos

Se puede demostrar que si P(z) y Q(z) son dos polinomios de grado m y n, respectivamente, y

entonces

para

:semicírculo superior