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SERIES DE FOURIERVersion 2011
kΩ
ÈckÈ
Spectre des amplitudes
0
1
1Adapte de Aubert, Chassot et Bettaieb. Lang Fred
1
Table des matieres
1 Introduction 3
2 Representations d’une oscillation harmonique 42.1 Forme amplitude-dephasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Forme cos-sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Passage de la forme amplitude-dephasage a la forme complexe . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Superposition d’oscillations harmoniques 83.1 Polynomes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 Exemples de polynomes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Representation spectrale d’un polynome trigonometrique . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Series trigonometriques periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Coefficients et series de Fourier d’une fonction periodique 124.1 Calcul des coefficients de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Convergence de la serie de Fourier et phenomene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Serie de Fourier des fonctions paires ou impaires 165.1 Exemple: suite d’impulsions rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Exemple: suite d’impulsions triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Operation sur les series de Fourier 206.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Decalage (ou retard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Identite de Parseval (theoreme de la puissance) 257.1 Application de l’identite de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Filtres 298.1 Rappels sur les equations differentielles lineaires a coefficients constants . . . . . . . . . 298.2 Passage d’un harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.3 Passage d’une fonction periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.4 Analyse d’une fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
1 Introduction
Dans l’analyse de Fourier, on retrouve un vieux principe des mathematiques : pour etudier les proprietesd’un ”objet”, on le decompose en ”objets simples” dont les proprietes sont plus faciles a comprendre.
Ici, les ”objets” sont les fonctions x(t) periodiques qui modelisent les signaux physiques et les ”objetssimples” sont les oscillations harmoniques
A cos(ωt − ϕ)
Le theoreme fondamental de la theorie de Fourier dit que ”la plupart” des fonctions periodiques x(t) sontune superposition de telles oscillations.
Mais en quoi ces oscillations harmoniques sont-elles ”simples” ? En theorie du signal, un problemefondamental est de connaıtre l’effet d’un systeme lineaire stationnaire (≡ filtre) sur un signal d’entreex(t):
Pour les oscillations harmoniques, c’est facile : elle est transformee en une oscillation harmonique dememe frequence !
Ayant pu decomposer x(t) en une superposition d’oscillations harmoniques Ai cos(ωit−ϕi), on obtiendray(t) en superposant les oscillations harmoniques de sortie Bi cos(ωit − ψi).
3
2 Representations d’une oscillation harmonique
2.1 Forme amplitude-dephasage
Une oscillation harmonique est decrite par une fonction cosinusoıdale:
x(t) = A cos(ωt − ϕ) (1)
avec:
• A > 0: amplitude de l’oscillation
• ω > 0: pulsation de l’oscillation
• la periode est T =2πω
• la frequence est f =1T
=ω
2πω = 2π f
• ωt − ϕ est la phase
• −ϕ est la phase initiale
Remarque :
ϕ est defini a un multiple entier de 2π pres. On choisit souvent: −π < ϕ ≤ π.
t
x
-A
A
-jΩ T
Figure 1: Graphe de x(t) = A cos(ωt + ϕ)
Interpretation de ϕ:
Le graphe de x = A cos(ωt − ϕ) s’obtient en decalant le graphe de A cos(ωt) de|ϕ|
ωa droite si ϕ > 0, a
gauche si ϕ < 0, celui de x = A cos(ωt − ϕ) en faisant l’inverse.
4
2.2 Forme cos-sin
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) (2)
Grace a l’identite trigonometrique
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
on voit qu’il s’agit de resoudre le systemea = A cos(ϕ)b = A sin(ϕ)
L’amplitude est egale a
A =√
a2 + b2 (3)
et la phase initiale est donne par:cos(ϕ) =
aA,
pour obtenir
ϕ =
+ arccos
( aA
)si b ≥ 0
− arccos( a
A
)si b < 0
(4)
Remarque :L’eagalite suivante est toujours valable
tan(ϕ) =ba
mais elle ne determine l’angle qu’a π pres.
Remarque :Certains calculs sont facilites lorsqu’on utilise la forme cos-sin.Mais les coefficients a et b n’ont pas de signification (physique ou geometrique). Il est donc indispens-able de savoir calculer A et ϕ lorsque a et b sont donnes.
Exemple :Ecrire x(t) = −
√3 cos(ωt) + sin(ωt) sous la forme x(t) = A cos(ωt − ϕ) avec A > 0, −π < ϕ ≤ π.
On trouve A = 2 et ϕ =5π6
.
Ainsi
x(t) = 2 cos(ωt −
5π6
)On retiendra aussi les formules tres simples:
sin(α) ≡ cos(α − π2 )
− sin(α) ≡ sin(−α) ≡ cos(α + π2 )
− cos(α) ≡ cos(α + π)cos(−α) ≡ cos(α)
qui permettent de mettre plusieurs fonctions usuelles sous la forme canonique.
5
2.3 Formules d’Euler
e jα = cos(α) + j sin(α) e− jα = cos(α) − j sin(α) (5)
1
ααα
sincos jej
−=−
ααα
sincos jej
+=
ℜ
ℑ
d’ou on tire:
cos(α) =e jα + e− jα
2sin(α) =
e jα − e− jα
2 j(6)
2.4 Passage de la forme amplitude-dephasage a la forme complexe
x(t) = A cos(ωt − ϕ) = Ae j(ωt−ϕ) + e− j(ωt−ϕ)
2=
A2
[e jωt · e− jϕ + e− jωt · e jϕ] =A2
e− jϕe jωt +A2
e jϕ · e− jωt =
c · e jωt + c∗ · e− jωt = c · e jωt + (c · e jωt)∗
avec c =A2
e− jϕ.
Remarque :
Comme A > 0, on a: |c| =A2
et arg(c) = −ϕ.
Exemple :En reprenant l’exemple precedent, on a
c =A2
e− jϕ =22
e−5π6 j
2.5 Resume
Une oscillation harmonique de pulsation ω est decrite sous 3 formes:
x(t) =
A cos(ωt − ϕ)
a cos(ωt) + b sin(ωt)
c · e jωt + c∗ · e− jωt
(7)
6
Passages d’une forme a l’autre:
• complexe↔ amplitude-dephasage :
A = 2|c| −ϕ = arg(c) c =A2
e− jϕ (8)
• reelle cos-sin→ amplitude-dephasage :
A =√
a2 + b2 ϕ =
+ arccos
( aA
)si b ≥ 0
− arccos( a
A
)si b < 0
(9)
• amplitude-dephasage→ reelle cos-sin :
a = A cos(ϕ) b = A sin(ϕ) (10)
7
3 Superposition d’oscillations harmoniques
3.1 Polynomes trigonometriques
Definition 3.1Un polynome trigonometrique, de periode T et de degre ≤ N, est une fonction de la forme suivante:
forme reelle amplitude-dephasage:
x(t) = A0 + A1 cos(ωt − ϕ1) + A2 cos(2ωt − ϕ2) + · · · + AN cos(Nωt − ϕN) (11)
= A0 +
N∑k=1
Ak cos(kωt − ϕk), avec ω =2πT
et Ak ≥ 0 (k = 1, 2, 3, . . . ) (12)
Le keme terme, a savoir Ak cos(kωt − ϕk) s’appelle le keme harmonique.Le premier de ces harmoniques, obtenu en prenant k = 1, est la fondamentale.Le terme A0 est la composante continue.
forme reelle cos-sin:
x(t) =a0
2+[a1 cos(ωt)+b1 sin(ωt)]+[a2 cos(2ωt)+b2 sin(2ωt)]+· · ·+[aN cos(Nωt)+bN sin(Nωt)] (13)
Remarque :Noter que la composante continue est
A0 =a0
2(14)
forme complexe:
x(t) = c0 + [c1e jωt + c∗1e− jωt] + [c2e j2ωt + c∗2e− j2ωt] + · · · + [cNe jNωt + c∗Ne− jNωt]
On poserac−k = c∗k pour k = 1, 2, . . . ,N
ce qui permet d’ecrire:
x(t) = c−Ne− jNωt + · · · + c−2e− j2ωt + c−1e− jωt + c0 + c1e jωt + c2e j2ωt + · · · + cNe jNωt
ou encore
x(t) =
N∑k=−N
ck e jkωt (15)
Rappel:Pour k = 1, 2, 3, . . .
c0 = A0 =a0
2c−k = c∗k |ck| =
12
Ak arg(ck) = −ϕk
8
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
-1
0
1
2
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
6
8
Figure 2: x(t) = 2, 24 cos(t + 0, 46) et x(t) = 2 − 5 cos(t) + 3 sin(2t)
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
Figure 3: x(t) = 3 cos(t) − sin(2t) + 2 sin(5t) et x(t) = 2 cos(t) − 3 sin(3t) + 2 cos(4t) − 3 sin(11t)
3.1.1 Exemples de polynomes trigonometriques
3.1.2 Representation spectrale d’un polynome trigonometrique
Le polynome trigonometrique
x(t) = A0 + A1 cos(ωt − ϕ1) + · · · + AN cos(Nωt − ϕN)
peut etre represente par son graphe: c’est la
representation dans le domaine temporel.
Exemple :x(t) = 10 + 6 cos(t +
π
2) + 3 cos(2t +
π
2) + 2 cos(3t +
π
2)
Voir la figure (4).
On peut aussi representer les amplitudes Ak et les phases initiales −ϕk en fonction des pulsations kω:c’est la
representation dans le domaine frequentiel.
sous formes reelle ou complexe. Voir la figure (5).
Remarque :On represente souvent aussi la composante continue A0 sur ces diagrammes.
Remarque :
9
0 5 10 15 20
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
Figure 4: x(t) = 10 + 6 cos(t + π/2) + 3 cos(2t + π/2) + 2 cos(3t + π/2)
0 Ω 2Ω 3Ω
0
2
4
6
8
10
0 Ω 2Ω 3Ω
kΩ
Ak
Spectre d’amplitudes
0 Ω 2Ω 3Ω
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
0 Ω 2Ω 3Ω
kΩ
jk
Spectre de phases
Figure 5: x(t) = 10 + 6 cos(t + π/2) + 3 cos(2t + π/2) + 2 cos(3t + π/2)
La representation dans le domaine frequentiel est aussi fidele que la representation dans le domainetemporel.Son interet: elle permet de visualiser simplement l’action d’un filtre sur le signal.
Remarque :Les polynomes trigonometriques sont des fonctions infiniment derivables.Il y a des fonctions periodiques qui ne sont pas des polynomes trigonometriques:
3.2 Series trigonometriques
Un polynome trigonometrique est compose d’un nombre fini de termes.Une serie trigonometrique est composee d’un nombre infini de termes.
Definition 3.2Une serie trigonometrique de periode T est une serie de la forme:
x∞(t) = A0 + A1 cos(ωt − ϕ1) + A2 cos(2ωt − ϕ2) + A3 cos(3ωt − ϕ3) + . . . (16)
ouω =
2πT
et Ak ≥ 0 (k = 1, 2, 3, . . . )
10
-3Ω -2Ω -Ω 0 Ω 2Ω 3Ω
0
2
4
6
8
10
-3Ω -2Ω -Ω 0 Ω 2Ω 3Ω
kΩ
ÈcÈ
-3Ω -2Ω -Ω 0 Ω 2Ω 3Ω
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-3Ω -2Ω -Ω 0 Ω 2Ω 3Ω
kΩ
ÈcÈ
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 6: Cette fonction periodique n’est pas un polynome trigonometrique
Ou encore
x∞(t) = A0 +
∞∑k=1
Ak cos(kωt − ϕk) =
∞∑k=−∞
ck e jkωt =a0
2+
N∑k=1
[ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] (17)
Remarques :
1. Unesomme infinie ne converge pas necessairement. Plus precisement, si pour une valeur de t fixeela convergence a lieu, c’est, par definition la valeur de la serie en t.
2. Comparees aux polynomes trigonometriques, les series trigonometriques donnent lieu a une gammebeaucoup plus riche de fonctions.
Par exemple, elles peuvent etre discontinues ou avoir des points anguleux. Le but de ce cours estde montrer qu’elles suffisent a representer toutes les fonctions periodiques qui peuvent se presentera l’ingenieur.
3.3 Series trigonometriques periodiques
Tout polynome ou serie trigonometrique n’est pas periodique.
Exemples :
f1(t) = 2 + 7 cos(12
t + θ1) + 3 cos(23
t + θ2) + 5 cos(76
t + θ3)
f2(t) = 2 cos(2t + θ1) + 5 sin(πt + θ2)
11
f3(t) = 3 sin(3√
2 t + θ1) + 7 cos(6√
2 t + θ2)
f1 et f3 sont des polynomes trigonometriques periodiques alors que f2 ne l’est pas.
Le critere est le suivant:
Le rapport de toutes les pulsations doit etre rationnel
Si c’est le cas alors la periode est donnee par le rapportDM
ou D est le plus grand commun diviseur desnumerateurs des pulsations et M est le plus petit commun multiple des denominateurs.
Pour f1, on a les pulsations12
,23
et76
, donc D = 1 et M = 6. Donc la pulsation fondamentale est16
.Remarquons qu’elle ne figure pas dans le polynome.
Pour f3, on a les pulsations3√
21
et6√
21
, donc D = 3√
2 et M = 1. Donc la pulsation fondamentale est
3√
2.
4 Coefficients et series de Fourier d’une fonction periodique
4.1 Calcul des coefficients de la serie de Fourier
Le probleme est le suivant:
Donne : Une fonction f periodique de periode T .
Cherche : Un polynome trigonometrique pN d’ordre N, voir formule (13) qui donne une ”bonne” ap-proximation de f , voir (fig. 7).
Mais que veut dire une ”bonne” approximation?Il s’agit ici de l’approximation au sens des moindres carrees: pN est le polynome trigonometriqued’ordre N tel que le nombre
S =
∫ T
0[ f (t) − pN(t)]2dt
soit minimum.
Pour comprendre cette notion, faire les deux exercices suivants:
Exercice 1 :
f (t) =
1 si 0 < t < π−1 si π < t < 2π
f (t) 2π-periodique
Determiner p1(t) = A sin(t) pour obtenir la meilleure approximation de f (t) au sens des moindrescarrees, voir (fig. 8).
Reponse:
A =4π
12
-4 Π-
7 Π
2
-3 Π-
5 Π
2
-2 Π-
3 Π
2
-Π-
Π
2
Π
2
Π 3 Π
2
2 Π 5 Π
2
3 Π 7 Π
2
4 Π
-
Π
2
Π
2
-4 Π-
7 Π
2
-3 Π-
5 Π
2
-2 Π-
3 Π
2
-Π-
Π
2
Π
2
Π 3 Π
2
2 Π 5 Π
2
3 Π 7 Π
2
4 Π
-
Π
2
Π
2
-4 Π-
7 Π
2
-3 Π-
5 Π
2
-2 Π-
3 Π
2
-Π-
Π
2
Π
2
Π 3 Π
2
2 Π 5 Π
2
3 Π 7 Π
2
4 Π
-
Π
2
Π
2
Figure 7: Un polynome trigonometrique approxime une fonction periodique en dent de scie. Il fautminimiser l’aire au carre situee entre les deux courbes.
Exercice 2 : Soit f (t) une fonction sur [0,T ]
Determiner la constante M qui approxime le mieux f (t) sur [0,T ] au sens des moindres carrees,voir (fig. 9).
Reponse:
M est la moyenne de la fonction sur une periode.
Principe. On considere S comme une fonction des coefficients de pN . On resoud ensuite le systemed’equations lineaires obtenu en annulant les derivees partielles de S .
13
t
y
1
0
-1
Π Π 2Π 3Πt
y
Figure 8: Approximation de f (t) par un sinus A sin(t).
t
y
M
0T
t
y
Figure 9: Approximation de f (t) par une constante M.
Remarque : ω =2πT
car pN doit avoir la meme periode que f .
Les coefficients a0, an, bn (0 < n ≤ N) sont a determiner pour que S =∫ T
0 [ f (t) − pN(t)]2dt soit mini-mum. Pour cela, on impose les 2N + 1 conditions:
∂S∂a0
= 0∂S∂ak
= 0∂S∂bk
= 0 (k = 1, . . . ,N)
Il faut deriver sous le signe integral et inverser la matrice 2N + 1/2N + 1 du systeme resultant, on trouveles resultats suivants:
a0 =2T
∫ T
0f (t)dt (18)
ak =2T
∫ T
0f (t) cos(kωt)dt (19)
bk =2T
∫ T
0f (t) sin(kωt)dt (20)
ck =1T
∫ T
0f (t) e− jkωt dt (21)
Rappels:
ω =2πT
c0 = A0 =a0
2
c−k = c∗k |ck| =12
Ak ≥ 0 arg(ck) = −ϕk
14
Definitions 4.11. Les coefficients ck sont les coefficients de Fourier complexes de f .
2. Le polynome trigonometrique
pN(t) =
N∑k=−N
ck e jkωt
est le developpement de Fourier d’ordre N de la fonction f sous forme complexe.
3.
p∞(t) =
∞∑−∞
ck e jkωt (22)
est la serie de Fourier sous forme complexe de la fonction f .
4. Les coefficients a0, ak, bk sont les coefficients de Fourier reels de f .
5. Le polynome trigonometrique
pN(t) =a0
2+
N∑k=1
[ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] (23)
est le developpement de Fourier d’ordre N de la fonction f sous forme reelle.
6.
p∞(t) =a0
2+
∞∑k=1
[ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] = A0 +
∞∑k=1
Ak cos(kωt − ϕk) (24)
est la serie de Fourier sous forme reelle de la fonction f .
Remarque : La composante continue est
c0 =1T
∫ T
0f (t)dt;
donc c0 = valeur moyenne de f sur [0,T ].
4.2 Convergence de la serie de Fourier et phenomene de Gibbs
Pour une fonction periodique f de periode T , continue en un reel t, derivable a droite et a gauche en t,le theoreme de Dirichlet affirme que la serie de Fourier S ( f ) evaluee en t converge vers la valeur de lafonction f (t).
S ( f )(t) = f (t)
Les hypotheses peuvent etre affaiblies.La fonction f peut seulement etre continue a gauche et a droite en t et a variation bornee2 sur un voisinagede t.Dans ce cas, f (t) doit etre remplace par la valeur moyenne de f en t, soit donc la moyenne entre seslimites a droite et a gauche en t, c’est -a-dire le milieu du saut.
S ( f )(t) =f (t ) + f (t+)
22Cela signifie, qu’il existe un intervalle autour de t sur lequel la somme des sauts, en valeurs absolues, aux points de
discontinuite, est finie.
15
Le phenomene de Gibbs est un effet de bord observe au voisinage d’une discontinuite de la fonction.La convergence est d’autant meilleure que la fonction f est lisse, et c’est au voisinage d’un saut que laconvergence sera la moins bonne.
a) La ou f (t) est continue, la serie de Fourier converge vers f (t)
b) La ou f (t) a un saut, la serie de Fourier converge vers le milieu du saut.
C’est au voisinage d’un saut que l’approximation est la moins bonne: ”juste avant” et ”juste apres” lesaut, pN(t) ”depasse” f (t) d’une grandeur qui depend de la hauteur du saut (environ 9% du saut), maisqui ne dimunie pas lorsque N augmente. C’est ce qu’on appelle le phenomeme de Gibbs.
-4 -2 0 2 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2 0 2 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2 0 2 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Figure 10: Phenomeme de Gibbs, N = 25, 50, 100.
5 Serie de Fourier des fonctions paires ou impaires
Remarque : Le calcul des coefficients de Fourier d’une fonction periodique f peut etre un long travail.On le simplifiera en utilisant les symetries de la fonction f :
1. On dit que f est une fonction paire si on a:
f (−t) ≡ f (t)
pour toute valeur de t.
Exemples :
cos(ωt), cosh(t), tn avec n pair.
Si f est une fonction paire, on a pour tout k:
bk = 0 et ak =4T
∫ T/2
0f (t) cos(kωt)dt (25)
De plus:
ck =12
ak k ≥ 0
ck est reel!
16
2. On dit que f est une fonction impaire si on a:
f (−t) ≡ − f (t)
pour toute valeur de t.
Exemples :
sin(ωt), sinh(t), arctan(t), tn avec n impair.
Si f est une fonction impaire, on a pour tout k:
ak = 0 et bk =4T
∫ T/2
0f (t) sin(kωt)dt (26)
De plus:
ck = −12
j bk k ≥ 1
ck est purement imaginaire!
Autre critere:
c−k = +ck ⇔ pairec−k = −ck ⇔ impaire
5.1 Exemple: suite d’impulsions rectangulaires
-T2 -Θ2 Θ2 T2 T 3T2 2T
t
f
h
-T2 -Θ2 Θ2 T2 T 3T2 2T
t
f
Figure 11: periode T , duree de l’impulsion θ.
Comme f est une fonction paire, son developpement de Fourier ne contient que des cosinus;
bk = 0 (k ≥ 1)
Composante continue: A0 =a0
2=
1T
h θ.
17
Pour k ≥ 1, on a:
ak =2T
∫ T/2
−T/2f (t) cos(kωt)dt =
2T
∫ θ/2
−θ/2h cos(kωt)dt =
4hT
∫ θ/2
0cos(kωt)dt =
4hT
[sin(kωt)
kω
]θ/20
=
4hT
sin(kω θ2 )
kω(amplifions par
θ
2) =
2h θT
sin(kω θ2 )
kω θ2
Ainsiak = 2h
θ
Tsinc(kπ
θ
T)
ou
sinc(z) =
sin(z)
z z , 0
1 z = 0sinc(z) =
sin(πz)πz z , 0
1 z = 0
est le sinus cardinal, non normalise ou normalise.
-5 Π -4 Π -3 Π -2 Π -Π Π 2 Π 3 Π 4 Π 5 Πt
y = sincHtL
Figure 12: y = sinc(t).
On a donc:
p∞(t) = hθ
T+ 2h
θ
T
sinc(
θ
Tπ) · cos(ωt) + sinc(2
θ
Tπ) · cos(2ωt) + . . .
Spectre de f :
A0 =θ
Th; Ak = 2
θ
Th · | sinc(k
θ
Tπ)|
ϕk =
0 si sinc(k θ
T π) > 0
π si sinc(k θT π) < 0
18
Exemple :θ
T=
13, h = 3, T = 1, A0 = 1; Ak = 2
∣∣∣∣∣sinc(kπ
3)∣∣∣∣∣
kΩ
Ak
Spectre des amplitudes
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12kΩ
0.5
1
1.5
2
2.5
3
jk
Spectre de phases
kΩ
ÈckÈ
Spectre des amplitudes
0
Figure 13: Suite d’impulsions rectangulaires: spectre.
5.2 Exemple: suite d’impulsions triangulaires
Comme f est une fonction paire, son developpement de Fourier ne contient que des cosinus;
bk = 0 (k ≥ 1)
Composante continue: A0 =a0
2=
12T
h θ.
Pour k ≥ 1, on a:
ak =4hT sin2
(kπθ2T
)k2π2θ
= hθ
Tsinc2
(kπθ2T
)Exemple : T = 2π, θ = 0, 6π, h = 3
19
Π
2
Π 3 Π
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figure 14: y = p20(t).
-T2 -Θ2 Θ2 T2 T 3T2 2T
t
f
h
-T2 -Θ2 Θ2 T2 T 3T2 2T
t
f
Figure 15: periode: T duree de l’impulsion: θ.
6 Operation sur les series de Fourier
1. Linearite: coefficients de Fourier de λ f (t) + µg(t).
2. Decalage: coefficients de Fourier de f (t − t0).
3. Derivation: coefficients de Fourier de f ′(t).
4. Integration: coefficients de Fourier de
t∫0
f (u)du.
20
kΩ
ÈckÈ
Spectre des amplitudes
0
Figure 16: Suite d’impulsions triangulaires: spectre.
6.1 Linearite
f et g sont 2 fonctions T -periodiques (meme periode!)
coefficients de Fourier
de f : ak, bk, ck
de g : αk, βk, γk
Si λ et µ sont 2 nombres reels, λ f (t)+µg(t) est une fonction T -periodique dont les coefficients de Fouriersont
λak + µαk, λbk + µβk, λck + µγk
6.2 Decalage (ou retard)
f est une fonction T -periodique; coefficients de Fourier de f : ak, bk, ck.
Les coefficients de Fourier de la fonction g, definie par g(t) = f (t − t0) sont: αk = cos(kωt0) ak − sin(kωt0) bk
βk = sin(kωt0) ak + cos(kωt0) bk
qui se notent aussi αk
βk
=
cos(kωt0) − sin(kωt0)sin(kωt0) cos(kωt0)
ak
bk
et
γk = e− jkωt0 · ck
Justifions cette derniere relation:
γk =1T
∫ T
0f (t − t0) e− jkωt dt =
1T
∫ T−t0
−t0f (u) e− jkω(u+t0) du (u = t − t0, du = dt)
= e− jkωt0 ·1T
∫ T−t0
−t0f (u) e− jkωu du = e− jkωt0 · ck
21
Les autres egalites en decoulent.Ainsi
f (t) =
∞∑k=1
ck e j kω t⇒ f (t − t0) =
∞∑k=1
ck e j kω (t−t0)
Cas particuliers
• Retard d’une demi-periode: t0 =π
ω αk = (−1)k ak
βk = (−1)k bk
γk = (−1)k ck
• Retard d’un quart de periode: t0 =π
2ω
γk = e− jkπ/2 ck
– k pair: αk = (−1)k/2 ak
βk = (−1)k/2 bk
– k impair: αk = (−1)(k+1)/2 bk
βk = (−1)(k−1)/2 ak
6.3 Derivation
Si f et f ′ sont continues et derivables par morceaux et si f ′ admet des limites a droite et a gauche en toutpoint, alors on obtient la serie de Fourier de f ′ en derivant terme a terme celle de f .On obtient alors, avec des notations evidentes:
a′k = +kω bk
b′k = −kω ak
c′k = j kω ck
On peut remarquer quea′0 = c′0 = 0
6.4 Integration
Question: Une primitive d’une fonction periodique est-elle periodique?
Reponse: Elle l’est si la composante continue est nulle (sinon un terme en t apparaıt)
a0 = 0
Cela signifie que la valeur moyenne de f sur une periode est nulle.
22
Si f est une fonction T -periodique developpable en serie de Fourier, alors la fonction F, definie par
F(t) =
t∫0
f (u)du
est aussi developpable en serie de Fourier et
f (t) =
+∞∑−∞
ck e jkωt ⇒ F(t) = γ0 +
+∞∑k=−∞
k,0
cke jkωt
jkω
ou γ0 =valeur moyenne de F sur une periode, en general non nulle!C’est une constante d’integration, non determinee par f .
Ainsi:k , 0⇒ γk =
1jkω
· ck
γ0 =1T
T∫0
F(u)du
6.5 Exemples
Exemple 1:Soient les fonctions 2π-periodiques:
f (t) = t si − π ≤ t ≤ π
et g(t) = −1 si − π ≤ t < 0g(t) = 1 si 0 ≤ t ≤ π
dont voici les series de Fourier:
f (t) = 2∞∑
k=1
(−1)k+1 sin(kt)k
g(t) =4π
∞∑k=1
sin((2k − 1)t)2k − 1
Les fonctions etant impaires, seuls les termes en sinus bk sont non-nuls:ainsi, pour f :
bk( f ) = 2(−1)k+1
ket pour g: b2k(g) = 0
b2k−1(g) = 4π
12k−1
La somme des deux fonction, h = f + g est decrite par h(t) = −1 + t si − π ≤ t < 0h(t) = 1 + t si 0 ≤ t ≤ π
23
et admet pour serie de Fourier, la somme des series de f et g:
h(t) = 2∞∑
k=1
(−1)k+1 sin(kt)k
+4π
∞∑k=1
sin((2k − 1)t)2k − 1
Question: Quel est le keme terme de h?
Pour la fonction g, seuls les harmoniques impairs sont non nuls, alors que pour la fonction f , tous lesharmoniques apparaissent.Remarquons que, pour f , le keme harmonique a l’amplitude bk, alors que pour g, le (2k − 1)eme al’amplitude b2k−1.Par exemple, b3 est donne, pour f par k = 3 et pour g, par k = 2.
Pour repondre a la question, il faut synchroniser les compteurs.
• On peut distinguer si k est pair ou impair: bk(h) = 2 (−1)k+1
k = −2k si k est pair
bk(h) = 2 (−1)k+1
k + 4π k =
2(π+2)π k si k est impair
k represente alors le numero du keme l’harmonique.
• On renumerote les bk( f ): b2k(h) = 2 (−1)2k+1
2k = −1k
b2k−1(h) = 2 (−1)2k−1+1
2k−1 + 4π(2k−1) =
2(π+2)π(2k−1)
Exemple 2:Ceci est plutot un contre-exemple.
Soient les fonctions 2π-periodiques: f (t) = −t si − π ≤ t < 0f (t) = t si 0 ≤ t ≤ π
et g(t) = −t2 si − π ≤ t < 0g(t) = t2 si 0 ≤ t ≤ π
La serie de Fourier de f est donnee par:
f (t) =π
2−
4π
∞∑k=1
cos((2k − 1)t)(2k − 1)2
On pourrait croire que l’on obtient celle de g en integrant celle de f .
C’est faux, le theoreme ne s’applique pas, car la composante continue de f n’est pas nulle.
24
7 Identite de Parseval (theoreme de la puissance)Definition 7.1La moyenne M[ f ] d’une fonction T -periodique a valeurs reelles f est le nombre:
M[ f ] =1T
∫ T
0f (t)dt (27)
Definition 7.2La valeur efficace Veff[ f ] d’une fonction T -periodique a valeurs reelles f est le nombre defini par:
V2eff
[ f ] =1T
∫ T
0f (t)2dt (28)
La valeur efficace est une moyenne qu’on peut qualifier de quadratique. En effet on a:
Veff [ f ] =
√M[ f 2].
Exemples :
1. Si A0 est une constante,Veff [A0] = |A0|
2.Veff
[A cos(ωt − ϕ)
]=
A√
2
Remarque :Si f est a valeurs complexes, il faut remplacer f 2 par | f |2:
Veff [ f ] =
[1T
∫ T
0| f (t)|2dt
] 12
.
Interpretation :
V2eff
[ f ] =1T
∫ T
0f (t)2dt represente la puissance (normalisee) de f .
En general, la puissance de la somme de 2 fonctions n’est pas egale a la somme des puissances:
V2eff
[ f + g] , V2eff
[ f ] + V2eff
[g]
En effet
V2eff
[ f + g] =1T
∫ T
0( f (t) + g(t)2)dt
=1T
∫ T
0( f (t)2 + 2 f (t)g(t) + g(t))2)dt
= V2eff
[ f ] +2T
∫ T
0f (t)g(t)dt + V2
eff[g].
L’egalite sera verifiee si l’integrale qui subsiste est nulle.Ainsi:
25
M[ f · g] = 0⇒ V2eff
[ f + g] = V2eff
[ f ] + V2eff
[g]
Cette propriete est une generalisation du theoreme de Pythagore bien connu en geometrie et qui justifiela definition suivante.
Definition 7.3Deux fonctions f et g a valeurs reelles et definies sur un meme intervalle [a, b] sont dites orthogonalessi
M[ f · g] = 0
Exemples importants :
1.M[A0 · A cos(ωt − ϕ)] = 0
en effet ∫ T
0A0 A cos(ωt − ϕ)dt = A0 A
∫ T
0cos(ωt − ϕ)dt = 0
2. Si k , ±l:M[A cos(kωt − ϕ) · B cos(lωt − ψ)] = 0
en effet ∫ T
0A cos(kωt − ϕ) B cos(lωt − ψ)dt = ”on linearise”
=AB2
∫ T
0(cos[(k + l)ωt + ϕ − ψ] + cos[(k − l)ωt − ϕ + ψ]) dt = 0
car k + l et k − l sont des entiers , 0, donc on integre sur un nombre entier de periode.
Consequence :
Si pN(t) = A0 +N∑
k=1Ak cos(kωt − ϕk) est un polynome trigonometrique, on a
V2eff
[pN] = V2eff
[A0] +
N∑k=1
V2eff
[Ak cos(kωt − ϕk)]
V2eff
[pN] = A20 +
N∑k=1
A2k
2
Ce resultat se generalise de la facon suivante:
Si f est une fonction T -periodique developpable en serie de Fourier:
f (t) = A0 +
∞∑k=1
Ak cos(kωt − ϕk)
alors
V2eff
[ f ] = A20 +
∞∑k=1
A2k
2.
26
Ce resultat peut se lire de la facon suivante (theoreme de la puissance) :
La puissance du signal est egale a la somme des puissances de sa composante continue et de sesharmoniques.
Mathematiquement, ce resultat peut s’ecrire:
V2eff
[ f ] =1T
∫ T
0| f (t)|2dt =
A20
+∞∑
k=1
A2k
2
( a02
)2+∞∑
k=1
a2k+b2
k2
∞∑−∞
|ck|2
(29)
C’est l’identite de Parseval.
Remarque : Le resultat ci-dessus ne fait intervenir que les amplitudes des harmoniques.
Exemple : Signal carre
f (t) =
A si 0 < t < T2
−A si T2 < t < T
f (t) T -periodique.
t
y
A
0
-A
-
T
2
T
2
T 3 T
2
On a:
V2eff
[ f ] =1T
∫ T
0f (t)2dt = A2
Serie de Fourier:
f (t) =4Aπ
[sin(ωt)
1+
sin(3ωt)3
+sin(5ωt)
5+ . . .
]Spectre d’amplitude:
A1 =4Aπ, A2 = 0, A3 =
4Aπ·
13, A4 = 0, A5 =
4Aπ·
15
27
L’identite de Parseval s’ecrit:
A2 =12·
16A2
π2
1 +
19
+125
+ . . .
Remarque : On peut en deduire la jolie egalite:
π2
8= 1 +
19
+125
+1
49+ . . .
7.1 Application de l’identite de Parseval
On cherche a estimer l’erreur commise en remplacant f par son developpement de Fourier pN d’ordre N:
On introduit le rapport:
λN =puissance de pN
puissance de f=
V2eff
[pN]
V2eff
[ f ]
=A2
0 + 12
(A2
1 + A22 + · · · + A2
N
)1T
∫ T0 | f (t)|2dt
λN indique le pourcentage de puissance du signal qui se trouve deja dans le developpement d’ordre N.
Dans l’exemple du signal carre ci-dessus on a:
λN =
8A2
π2 (1 + 19 + 1
25 + · · · + 1N2 )
A2
λN =8π2 (1 +
19
+125
+ · · · +1
N2 ) pour N impair.
N 1 3 5 7 9λN 81% 90% 93% 95% 96%
28
8 Filtres
Rappelons qu’un filtre est un systeme lineaire continu et invariant dans le temps.Un filtre est caracterise par sa fonction de transfert H(s) (voir transformation de Laplace).
A une excitation (ou entree) x(t), le filtre va donner une reponse (ou sortie) y(t).
8.1 Rappels sur les equations differentielles lineaires a coefficients constants
La reponse est donnee par la resolution d’une equation differentielle
any(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + ... + a2y′′(t) + a1y′(t) + a0y(t) = x(t) (30)
La solution generale est donnee par
y(t) = yh(t) + y0(t)
ouyh(t) = C1 y1(t) + ... + Cn yn(t)
est la solution generale de l’equation homogene associee, elle comprend n constantes d’integration quidependent des conditions initiales.Dans les cas qui nous interessent, yh(t), est formee d’exponentielles reelles decroissantes, c’est le regimetransitoire, et apres un certain temps, seul le regime permanent y0(t) va subsister.
Celui-ci est une solution particuliere de l’equation (30).
Nous allons etudier le regime permanent en reponse a une excitation periodique, dans le cas ou:
la frequence du signal d’entree n’est pas une des frequences propres du systeme composant le filtre.
La reponse est alors donnee par:
x(t) = A cos(ωt − ϕ) ⇒ y(t) = B cos(ωt − ψ) (31)
ou, sous forme complexe:x(t) = A e jωt ⇒ y(t) = B e jωt (32)
Rappelons qu’a l’equation (30) est associee un polynome caracteristique
P(λ) =
n∑i=0
ai λi (33)
29
L’hypothese precedente se traduit par:P( jω) , 0
La fonction de transfert est definie par
H( jω) =1
P( jω)
8.2 Passage d’un harmonique
B = H( jω) · A (34)
ou, sous forme reelle,
B = |H( jω)| · A (35)
−ψ = arg(H( jω)) − ϕ (36)
8.3 Passage d’une fonction periodique
Si le signal d’entree x(t) est une fonction periodique, il se decompose en serie de Fourier, le filtre etantlineaire, sa reponse s’obtient en passant chaque harmonique et en les superposant:
x(t) = A0 +
∞∑k=1
Ak cos(kωt − ϕk) ⇒ y(t) = A′0 +
∞∑k=1
A′k cos(kωt − ϕ′k) (37)
ou
x(t) =
∞∑k=−∞
ck e jkωt ⇒ y(t) =
∞∑k=−∞
c′k e jkωt (38)
avec
c′k
= H( jω) · ck (39)
A′k
= |H( jω)| · Ak (40)
−ϕ′k
= arg(H( jω)) − ϕk (41)
Cette relation est a mettre en parallele avec
Y(s) = H(s)X(s)
qui lie les transformees de Laplace des fonctions causales x(t) et y(t).
Exemple Filtre passe-bas:Il est regit par l’equation differentielle
RC y′(t) + y(t) = x(t)
La fonction de transfert est donnee par
H( jω) =1
1 + RC jω
30
-Π -Π2 Π2 Π 3Π2 2Π 5Π2 3Π
t
xU0
0
Figure 17: x(t)
Ici, ω = 1 et la serie de Fourier de x(t) est:
x(t) =U0
2
∞∑k=−∞
sinc(kπ/2) e jkt
et celle de y(t) est donc
y(t) =U0
2
∞∑k=−∞
H( jk) · sinc(kπ/2) e jkt =U0
2
∞∑k=−∞
sinc(kπ/2)1 + jRCk
e jkt
Le spectre de x(t) est:
A0 =U0
2
Ak = U0 |sinc(kπ/2)| = 0 si k est pair, =2U0
kπsi k est impair
ϕk = 0 si sinc(kπ/2) ≥ 0, = π si sinc(kπ/2) < 0 donc k = 3, 7, 11, 15, ...
Le spectre de y(t) est:
A′0 =U0
2
A′k = |H( jk)| Ak = U0|sinc(kπ/2)|√
1 + (RCk)2
−ϕ′k = arg(H( jk)) − ϕk = − arctan(RCk) − ϕk
Valeurs des amplitudes: Ak(x) : 0.5000 0.6366 0 0.2122 0 0.1273 0 0.0909 0 0.0707 0 0.0578 0Ak(y) : 0.5000 0.4501 0 0.0671 0 0.0249 0 0.0128 0 0.0078 0 0.0052 0
Valeurs des phases: −ϕk(x) : 0 0 π 0 0 0 π 0 0 0 π 0−ϕk(y) : −0.79 −1.11 1.89 −1.33 −1.37 −1.41 1.71 −1.45 −1.46 −1.47 1.66 −1.49
31
Ω 3 Ω 5 Ω 7 Ω 9 Ω 11 ΩkΩ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ak
Spectre des amplitudes
0Ω 3 Ω 5 Ω 7 Ω 9 Ω 11 Ω
kΩ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Ak
Spectre des amplitudes
0
Figure 18: Spectres des amplitudes de x(t) et y(t), avec U0 = R = C = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12kΩ
0.5
1
1.5
2
2.5
3
jk
Spectre de phases
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12kΩ
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
jk
Spectre de phases
Figure 19: Spectres des phases de x(t) et y(t), avec U0 = R = C = 1
-11 Ω-9 Ω-7 Ω-5 Ω-3 Ω -Ω Ω 3 Ω 5 Ω 7 Ω 9 Ω 11 ΩkΩ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ck
Spectre des amplitudes
0 -11 Ω-9 Ω-7 Ω-5 Ω-3 Ω -Ω Ω 3 Ω 5 Ω 7 Ω 9 Ω 11 ΩkΩ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ck
Spectre des amplitudes
0
Figure 20: Spectres des amplitudes complexes de x(t) et y(t), avec U0 = R = C = 1
8.4 Analyse d’une fonction de transfert
Les fonctions de transfert rencontrees ici se presentent sous la forme generale:
H(s) =1
n∏i=1
(s − λi)
Il est possible d’interpreter geometriquement les reponses en amplitudes |H( jω)| et en phases arg(H( jω)).
32
-3 Π -2 Π -Π Π 2 Π 3 Π 4 Π 5 Π
t
0
Figure 21: Graphes de x(t) et y(t).
Pour simplifier, prenons une fonction ne possedant qu’un seul pole λ = −α + jω0 (voir figure 22).3
Dans ce casH( jω) =
1jω − λ
et le nombre complexe peut etre vu comme un vecteur ~v reliant le pole λ au nombre imaginaire jω.
Si v est la longueur de ce vecteur, alors
|H( jω)| =1v
et si θ est son angle (negatif sur le dessin),
arg(H( jω)) = −θ
Lorsque ω vaut 0, la valeur de la reponse en amplitude vaut |λ|, lorsque ω → ω0, v va decroıtre et lareponse va donc augmenter, puis elle va tendre vers 0 lorsque ω→ ∞. Voir les figures (23).
En faisant varier la partie reelle α du pole, la reponse en amplitude va tendre vers l’infini.Voir la figure(24).
Voyons encore le cas de deux poles avec leurs conjuges:
H(s) =1
(s − λ1)(s − λ∗1)(s − λ2)(s − λ∗2)
3En realite, le pole conjugue sera aussi present, mais cela n’enleve rien au raisonnement ci-dessus.
33
Figure 22: Pole λ et pulsation imaginaire jω.
Ω
ÈHHj ΩLÈ
0 Ω0
Ω
argHHj ΩLL
Figure 23: Reponses en amplitude et en phase dans le cas d’un seul pole, α = 0, 5 et ω0 = 1.
34
Ω
ÈHHj ΩLÈ
0 Ω0
Figure 24: Reponses en amplitude dans le cas d’un seul pole, 0, 2 ≤ α ≤ 2, ω0 = 1.
35
Figure 25: Poles λ0, λ1 et pulsation imaginaire jω.
Ω
ÈHHj ΩLÈ
0 Ω0 Ω1
Figure 26: Reponse en amplitude dans le cas de deux poles, ω0 = 1, ω1 = 2, α0 = 0, 5, α1 = 0, 25.
36
