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Université Abdelmalek EssaâdiFaculté des Sciences Economiques, Juridiques et Sociales de Tanger
Filière : Sciences Economiques et Gestion
Semestre : S6
Méthodes économétriques
Département Sciences Economiques et Gestion
Pr. Soumaya FELLAJI
Plan
Introduction à l’économétrie1
Modèle de régression simple2
Modèle de régression multiple3
Méthodes économétriques Pr. FELLAJI
1 Qu’est ce que l’économétrie?
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
Exemple introductif
Âge 49 15 43 45 40 35 42 38 46 30 52 55 42 25 35 35 35 27 48 37 45 19 57 55 34 39Dépenses 95 104 91 98 94 107 96 108 98 108 101 89 96 105 107 106 105 105 97 109 94 103 103 94 108 108
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60
Dépe
nses
Âge
?
EconométriemétrieEcono
1 Qu’est ce que l’économétrie?
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
Economie MesureMesureEconomie
enen
L’économétrie est l’étude des phénomènes économiques en utilisant
des méthodes mathématiques et statistiques.
Mesure Economie
Méthodes économétriques Pr. FELLAJI
1 Qu’est ce que l’économétrie?
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
L'économétrie s'intéresse à l'étude systématique des phénomènes
économiques à l'aide de données observables.
Vérifier la validité des
théories économiques
1
Estimer les paramètres
économiques
2
Prédire des résultats
économiques
3
Méthodes économétriques Pr. FELLAJI
2 Modèle économique et modèle économétrique
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
Modèle économique
Un modèle économique est l'expression mathématique simplifiée d'une certainethéorie économique.
Modèle économétrique
Un modèle économétrique est un modèle économique qui intègre une variablealéatoire appelée perturbation, bruit ou erreur.
C = α + βR
C = α + βR+ ε
C’est une simplification de la réalité qui tente de saisir les aspects les plus pertinentsd’une relation ou d’un phénomène économique en termes généraux.
L'objectif est de prévenir les dysfonctionnements de l'économie ou de l'activitééconomique
Les paramètres des modèles économétriques sont inconnus. Les estimations sontrendues aussi précises que possible à l'aide de procédures d'inférence statistique.
La perturbation ou l'erreur est définie comme une variable non observable quireflète ce qui éloigne l'individu du comportement moyen.
+ ε
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques Pr. FELLAJI
2 Modèle économique et modèle économétrique
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
C = α + βR+ ε+ ε Il est impossible de spécifier tous les facteurs de causalité
qui interviennent dans le phénomène.
Parfois, même si nous connaissons tous les facteurs de
causalité, certains ne seront pas quantifiables ou difficiles
à quantifier.
Prendre en considération d'éventuelles erreurs
d'observation que nous pourrions commettre.
Méthodes économétriques Pr. FELLAJI
2 Modèle économique et modèle économétrique
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
La nouvelle méthodologie économétrique, Luis et Miguel (2016)
Modèle économétrique empirique
Processus générateur des donnéesThéorie économique
Modèle économétrique Données
Essais de diagnostic et de spécification
Estimation
Méthodes économétriques Pr. FELLAJI
3 Théorie de la corrélation
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
La corrélation mesure le degré de liaison entre deux phénomènes représentés par des variables.
ou :
Méthodes économétriques Pr. FELLAJI
3 Théorie de la corrélation
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
La valeur du coefficient de corrélation linéaire simple est comprise entre -1 et 1.
Proche de 1
Les variables sont corrélées
positivement :
Pr. FELLAJI
Proche de -1
Les variables sont corrélées
négativement :
Proche de 0
Les variables ne sont pas
corrélées.
Méthodes économétriques
3 Théorie de la corrélation
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Exemple applicatif
Rendement (x) 16 18 23 24 28 29 26 31 32 34
Engrais (y) 20 24 28 22 32 28 32 36 41 41
1) Tracer le nuage de points. Commenter le graphique.
2) Calculer le coefficient de corrélation simple.
Méthodes économétriques
3 Théorie de la corrélation
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Engrais
Rendement
, =10 8286 − (261)(304)
10 7127 − 261² 10 9734 − 304²=
3516(56,11)(70,17)
= 0,89
x y x² y² xy16 20 256 400 32018 24 324 576 43223 28 529 784 64424 22 576 484 52828 32 784 1024 89629 28 841 784 81226 32 676 1024 83231 36 961 1296 111632 41 1024 1681 131234 41 1156 1681 1394
Somme 261 304 7127 9734 8286
Méthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
1 Modèle linéaire
2 Modèle Binomial
3 Modèle Multinomial
4 Modèle Log-Normal
5 Modèles de séries chronologiques
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
1 Modèle linéaire
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
2 Modèle Binomial
Pr. FELLAJI
1 Modèle linéaire
Méthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
3 Modèle Multinomial
Pr. FELLAJI
2 Modèle Binomial
1 Modèle linéaire
Méthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
1 Modèle linéaire
2 Modèle Binomial
3 Modèle Multinomial
4 Modèle Log-Normal
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
1 Modèle linéaire
2 Modèle Binomial
3 Modèle Multinomial
4 Modèle Log-Normal
5 Modèles de séries chronologiques
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
4 Modèles économétriques
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie
Modèle linéaire
Régression linéaire simple
Régression linéaire multiple
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
1 Généralités
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Le terme régression a été introduit par Francis Galton,
chercheur britannique du 19ème siècle, dans le célèbre
article : « Regression towards mediocrity in hereditary
stature Journal of the Anthropological Institute 15 : 246-263 (1886) » pour décrire un
phénomène biologique. Le phénomène est que la taille des enfants nés des parents
inhabituellement grands (ou petits) se rapproche de la taille moyenne de la population.
Galton a appelé ce processus la régression vers la moyenne.
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
1 Généralités
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Finance
Prévoir
Estimer
Valider
Contrôler
Analyser
Décider
Régression Linéaire
Médecine
Industrie
Informatique
Marketing
Utilisation Domaines d’application
Méthodes économétriques
2 Présentation du modèle
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
N° Revenu Consommation
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
Tableau 1 : Consommation selon le revenu
La régression linéaire simple vise à étudier la dépendance linéaire entre deux variables.
0
5000
10000
15000
20000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Revenu
02000400060008000
10000120001400016000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Consommation
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
2 Présentation du modèle
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Con
som
mat
ion
Revenu
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Con
som
mat
ion
Revenu
y = f(x) = a + bx Consommation = + Revenu + erreur
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
2 Présentation du modèle
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Consommation = + Revenu + erreur
Variable endogène
Variable à expliquer
Variable dépendante
Variable « réponse »
Variable exogène
Variable explicative
Variable indépendante
Variable « régresseur »
Coefficients
de régression
Appelée aussi « bruit ».
Elle vient du fait que les
points ne sont jamais
parfaitement alignés sur
une droite.
Une erreur de spécification
Une erreur de mesure
Une erreur de fluctuation de l’échantillonnage
Pr. FELLAJI
∀ ∈ , … , = + +
Méthodes économétriques
3 Estimation des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Hypothèses
H1 : Le modèle est linéaire en , avec y = + + ε ;
H2 : Les valeurs sont observées sans erreur ( non aléatoire);
H3 : L’espérance mathématique de l’erreur est nulle, donc le modèle est bien spécifié : (ε ) = 0 ;
H4 : La variance de l’erreur est constante et ne dépend pas de l’observation : (ε ) = ² (c’est
l’hypothèse de l’homoscédasticité);
H5 : L’erreur est indépendante de la variable exogène : ( , ε ) = 0 ;
H6 : Les erreurs relatives à deux observations sont indépendantes : ( , ε ) = 0 (non
autocorrélation des erreurs ;
H7 : L’erreur suit une loi normale centrée de variance ² : ε ~ (0, ) (l’hypothèse de normalité
des erreurs) ;
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
3 Estimation des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Con
som
mat
ion
Revenu
Comment trouver la droite qui passe « au plus près » de tous les points?
Pr. FELLAJI
∀ ∈ , … , = + +
Méthodes économétriques
3 Estimation des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Comment trouver la droite qui passe « au plus près » de tous les points?
Utilisation de la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) qui consiste à minimiser la
distance au carré entre chaque observation et la droite solution appelée droite de régression de Y
sur X.
Estimateurs des Moindres Carrés Ordinaires
Pr. FELLAJI
On appelle estimateurs des Moindres Carrées Ordinaires et les valeurs minimisant la quantité :
( , ) = ( − − )
Autrement dit, la droite des moindres carrées minimise la somme des carrées des distances
verticales des points ( , ) du nuage à la droite ajustée :
= +
Méthodes économétriques
3 Estimation des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
et
On somme par rapport à i et on obtient :
et
D’où :
= −2 − − = 0 = −2 − − = 0
− − = 0 − − = 0
Pr. FELLAJI
=∑ ( − )( − )
∑ ( − )²=
∑ −∑ −
=( , )
( )
= −
Afin de trouver le minimum de cette fonction, on dérive par rapport à et :
Méthodes économétriques
3 Estimation des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Exemple pratique
N X Y
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
= + + =∑ ( − )( − )
∑ ( − )²= −
=
=
= 11280
= 9985,575
N X Y − − ( − )( − ) ( − )²
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
-3280 -2595,585 8513518,8 10758400
-2280 -1815,93 4140309 5198400
-1780 -1153,87 2053880 3168400
-1780 -1332,74 2372268 3168400
-1480 -1197,5 1772293 2190400
-280 -369,365 103422,2 78400
720 607,875 437670 518400
1720 1200,535 2064920 2958400
3720 2772,515 10313756 13838400
4720 3884,045 18332692 22278400
50104729 64156000
=50104729
64156000
= ,
= ,
= −
Pr. FELLAJIMéthodes économétriques
3 Estimation des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Donner une écriture de l’estimateur en fonction du coefficient de corrélation linéaire , , sachant que :
=( , )
( )
= ,
= ( , )
²=
( , )
1=
( , ) = ,
,
Donc :
Réponse :
=∑ ( − )( − )
∑ ( − )²=
∑ −∑ −
=( , )
( )
Méthodes économétriques
4 Propriétés des estimateurs
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Deux propriétés importantes sont mises en avant dans l'évaluation d'un estimateur
Est-ce qu'il est sans biais? Est-ce qu'il est convergent?
C'est-à-dire est-ce qu'en
moyenne on obtient la vraie
valeur du paramètre.
C'est-à-dire à mesure que la
taille de l'échantillon
augmente, l'estimation devient
de plus en plus précise.
E( ) = ?
E( ) = ?
Lorsque n → ∞, V( ) → 0?
Lorsque n → ∞, V( ) → 0?
Méthodes économétriques
4 Propriétés des estimateurs
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
.
Théorème 1:
.
∶
, = ∑
Théorème 2:
∶
= ² ( + ∑
) = ²∑
∶
, = ² ∑
.
Théorème 3:
.
Méthodes économétriques
5 Estimation de l’erreur
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
est l erreur inconnue introduite dans la spécification du modèle ∶
= + + (1)
L’estimation des paramètres du modèle nous a permis de déduire la
valeur estimée de l’endogène Y pour l’individu i :
= = + (2)
Ainsi, on déduit l’erreur observée , appelée « résidu », à partir de (1)-(2) :
= − = − −
Méthodes économétriques
5 Estimation de l’erreur
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
N X Y
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
N X Y − − ( − )( − ) ( − )²
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
-2280 -1815,93 4140309 5198400
-1780 -1153,87 2053880 3168400
-1780 -1332,74 2372268 3168400
-1480 -1197,5 1772293 2190400
-280 -369,365 103422,2 78400
720 607,875 437670 518400
1720 1200,535 2064920 2958400
3720 2772,515 10313756 13838400
4720 3884,045 18332692 22278400
107584008513518,8-2595,585-3280
= − − = 0,781= 1176,09
-33,96
-35,28
236,28
57,41
-41,64
-150,69
45,57
-142,76
-132,74
197,81
Pr. FELLAJI
Calculer la somme des résidus
Méthodes économétriques
6 Propriétés de l’erreur
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
L’expression de l’erreur observée est donnée par : = − −
En sommant les résidus, on obtient :
= ( − − )
= − −
= 1
− − 1
= − − = − ( − ) −
Donc : =
Méthodes économétriques
6 Propriétés de l’erreur
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
² = .
Théorème :
² = ∑ ² .
² = ² 1+
∑ −
² = ²
∑ − ² = ² 1
+
∑ − ² =
²
∑ −
Ce qui nous permet de déduire les estimateurs empiriques des coefficients en
remplaçant la variance des erreurs par son estimateur :
, = ²
∑ , =
² ∑
Leur covariance vaut :
Méthodes économétriques
6 Propriétés de l’erreur
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
N X Y
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
N X Y − − ( − )( − ) ( − )²
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
-2280 -1815,93 4140309 5198400
-1780 -1153,87 2053880 3168400
-1780 -1332,74 2372268 3168400
-1480 -1197,5 1772293 2190400
-280 -369,365 103422,2 78400
720 607,875 437670 518400
1720 1200,535 2064920 2958400
3720 2772,515 10313756 13838400
4720 3884,045 18332692 22278400
107584008513518,8-2595,585-3280
²
-33,96
-35,28
236,28
57,41
-41,64
-150,69
45,57
-142,76
-132,74
197,81
Pr. FELLAJI
Calculer ² puis déduire ² et
1153,39
1244,985
55830,26
3296,4
1733,934
22707,43
2076,39
20379,08
17620,12
39127,39
Méthodes économétriques
6 Propriétés de l’erreur
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
N X Y
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
N X Y − − ( − )( − ) ( − )²
1 8000 7389,99
2 9000 8169,65
3 9500 8831,71
4 9500 8652,84
5 9800 8788,08
6 11000 9616,21
7 12000 10593,45
8 13000 11186,11
9 15000 12758,09
10 16000 13869,62
-2280 -1815,93 4140309 5198400
-1780 -1153,87 2053880 3168400
-1780 -1332,74 2372268 3168400
-1480 -1197,5 1772293 2190400
-280 -369,365 103422,2 78400
720 607,875 437670 518400
1720 1200,535 2064920 2958400
3720 2772,515 10313756 13838400
4720 3884,045 18332692 22278400
107584008513518,8-2595,585-3280
²
-33,96
-35,28
236,28
57,41
-41,64
-150,69
45,57
-142,76
-132,74
197,81
Pr. FELLAJI
1) Calcul de ², ² et
1153,39
1244,985
55830,26
3296,4
1733,934
22707,43
2076,39
20379,08
17620,12
39127,39
165169,4
² = ∑
− 2=
165169,410 − 2
= 20646,17
∑ − = 64156000
² =²
∑ − =
20646,1764156000
= 0,0003218
= ² = 0,0003218 = 0,0179
On a :
Donc :
Ainsi :
Sachant que :
² = ∑
−² =
²
∑ −
Méthodes économétriques
7 Distribution
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
H7 : L’erreur suit une loi normale centrée de variance ².
Donc :ε
~ (0,1) Comme ε est une réalisation de ε : ε~ (0,1)
Passant au carré et sommant par rapport à i :
(ε
)² =∑ ε²
² ~ ( )²
∑ ε²
² =∑ ε²
² − 2− 2
=²
² ( − 2)~ ( )²
²
² ~ ( )²
− Ainsi :
( )² = ²
~ (0,1)
Avec :
Méthodes économétriques
7 Distribution
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
On sait que a une espérance : E( ) = et une variance ²
~ ( , ² ) −~ (0,1)
Or :
Donc :
C’est-à-dire : Autrement dit :
² = ² (1
+
∑ − ) Ainsi : ² = ² (
1+
∑ −
)
²
² =²
² ~ ( )²
− 2
Par conséquent : −=
−
~( , )
( )²
−
= ( )
( ) =
~ (0,1)
Avec :
~ ( )²
Méthodes économétriques
7 Distribution
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
On sait que a une espérance : E( ) = et une variance ²
~ ( , ² ) − ~ (0,1)
Or :
Donc :
C’est-à-dire : Autrement dit :
² =²
∑ − Ainsi : ² =²
∑ −
²
² =²
² ~ ( )²
− 2
Par conséquent : − =
−
~( , )
( )²
−
= ( )
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
A partir de l’équation de la droite de régression on a pour tout point i :
= + = − + = + ( − ) ∶ = −
Ce qui donne : − = ( − ) Or, on sait que : = −
Ce qui est équivalent à : − = ( − ) − ( − )
On élève au carré : ( − )² = (( − ) − ( − ))²
Puis on somme : ( − )² = (( − ) − ( − ))²
( − )² = ( − )² + − − 2 ( − )( − )
( − )
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Donc :
( − )² = ( − )² + − − 2 ( − )( − )
Or :
=∑ ( − )( − )
∑ ( − )²∑ ( − )( − ) = ∑ ( − )²
Ainsi :
( − )² = ( − )² + − − 2 ( − ) ²
( − ) ²
( − )² = ( − )² + − − 2 ( − ) ²
− = ( − )
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Ce qui est équivalent à :
( − )² = ( − )² + − − 2 ( − ) ²
− = ( − ) Car :
Enfin : ( − )² = − + ( − )² = +
é é é é é
Elle indique la variabilitétotale de Y, c.-à-d.,l’information disponibledans les données. q
Elle indique la variabilitéexpliquée par le modèle, c.-à-d., la variation de Yexpliquée par X.
Elle indique la variabiliténon-expliquée par le modèle,c.-à-d., celle entre les valeursobservées et prédites.
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
= +Deux situations extrêmes peuvent survenir
===
===
Les variations de Y sont complétement
expliquées par celles de X. Le modèle
est parfait : la droite de régression
passe par tous les points du nuage.
X n’apporte aucune information
sur Y. Donc la meilleure prédiction
de Y est sa propre moyenne.
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
² = = −Coefficient de détermination :
R² varie entre 0 et 1
Proche de 1 Proche de 0
Le modèle est meilleur, la
connaissance des valeurs de X
permet de déterminer celle de Y
avec précision.
X n’apporte aucune information
utile sur Y. La connaissance des
valeurs de X n’explique pas celles
de Y.
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Tableau d’analyse de la variance par une régression linéaire simple
Nous avons besoin de l'estimation de la moyenne pour calculer la somme SCT (n-1).
Nous avons besoin des coefficients estimés pour calculer la somme SCR (n-2).
Pour SCE, elle est obtenue par déduction : n − 1 − n − 2 = 1.
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
N X Y ( − )² ( − )²1 8000 7389,992 9000 8169,653 9500 8831,714 9500 8652,845 9800 8788,086 11000 9616,217 12000 10593,458 13000 11186,119 15000 12758,09
10 16000 13869,6239296098,18
SCT165169,4
SCR
1153,39
1244,98555830,26
3296,41733,93422707,432076,39
20379,0817620,1239127,39
6737061,492
3297583,6061331404,4381776182,58
1433994,275
136430,5032369512,01561441284,286
7686839,42515085805,56
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
N X Y ( − )² ( − )²1 8000 7389,992 9000 8169,653 9500 8831,714 9500 8652,845 9800 8788,086 11000 9616,217 12000 10593,458 13000 11186,119 15000 12758,09
10 16000 13869,62
Exemple pratique
² = − (165169,4/39296098,18) =0,9958
1153,39
1244,98555830,26
3296,41733,93422707,432076,39
20379,0817620,1239127,39
6737061,492
3297583,6061331404,4381776182,58
1433994,275
136430,5032369512,01561441284,286
7686839,42515085805,56
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Con
som
mat
ion
Revenu
Méthodes économétriques
8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Tableau d’analyse de la variance par une régression linéaire simple (ANOVA)
=−
= =²
− ²−
é é
é éMéthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
= 0,781 est la valeur estimé du coefficient inconnu .
Consommation = + Revenu + erreur
En raison des fluctuations de l'échantillon, il est probable
qu'une seule estimation diffère de la valeur réelle.
Dans un échantillonnage répété, il est prévu que la moyenne
des valeurs est égale à la valeur vraie : E( ) = .
Quelle est la fiabilité de cette estimation?
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
é ∶
±
é ∶
( − ≤ ≤ + ) = −
:
±
− +
Les valeurs de comprises dans cette plagesont possibles avec uneconfiance de 100 ( − )%.
é
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
− +
Les valeurs de comprisesdans cette plage sontpossibles avec uneconfiance de 100 ( − )%.
é ∶
±
é ∶
( − ≤ ≤ + ) = −
:
±
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Test bilatéral
Région d’acceptation de H0
Région critiqueRégion critique
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Test unilatéral à gauche
Région d’acceptation de H0
Région critique
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Test unilatéral à droite
Région d’acceptation de H0
Région critique
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Règles de décision : test de signification de Student (t)
Type d’hypothèse H0: Hypothèse nulle
H1 : Hypothèse alternative
Règle de décision : Rejeter H0 si
Bilatéral = ∗ ≠ ∗ > /
Unilatéral à gauche ≤ ∗ > ∗ >
Unilatéral à droite ≥ ∗ < ∗ <
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Type d’hypothèse H0: Hypothèse nulle
H1 : Hypothèse alternative
Règle de décision : Rejeter H0 si
Bilatéral = ∗ ≠ ∗ > /
Région d’acceptation de H0
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Type d’hypothèse H0: Hypothèse nulle
H1 : Hypothèse alternative
Règle de décision : Rejeter H0 si
Unilatéral à gauche ≤ ∗ > ∗ >
Région d’acceptation de H0
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Type d’hypothèse H0: Hypothèse nulle
H1 : Hypothèse alternative
Règle de décision : Rejeter H0 si
Unilatéral à droite ≥ ∗ < ∗ <
Région d’acceptation de H0
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
− =
−
~( , )
( )²
−
= ( )
( ) = −
Distribution de la pente :
Donc :Pour tester si la
variable X est une
variable explicative
de la variable Y, on
doit tester si le
coefficient ≠ .
Ainsi, on doit calculer la valeur de la statistique
( ) et la comparer avec celle obtenue à partir
la table de Student.
Calculer la statistique t et l’intervalle deconfiance de .
Méthodes économétriques
Méthodes économétriques2018-2019
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
−=
−
~( , )
( )²
−
= ( )
( ) = −
Distribution de la pente :
Donc :Pour tester si la
variable X est une
variable explicative
de la variable Y, on
doit tester si le
coefficient ≠ .
Ainsi, on doit calculer la valeur de la statistique
( ) et la comparer avec celle obtenue à partir
la table de Student.
Calculer la statistique t et l’intervalle deconfiance de .
Méthodes économétriques2018-2019 Pr. FELLAJI
é =²
− ²−
² = 0,9958 = 0,05
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
é =²
− ²−
=0,9958
− 0,9958−
= ,
Calculons la statistique é ( = 0,05) :
Donc : > ℱ( , ) = ,é = ,
On conclut que le modèle est globalement significatif au
risque 5%. Autrement dit, la relation linéaire entre X et Y est
représentative d’un phénomène existant réellement dans la
population.Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
é é ∶
( + ) ± + ∑ ( − )²
é é ∶
( + ) ± |
∶
| = +( − )²
∑ ( − )²
∶
( + ) ± +( − )²
∑ ( − )²
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
é é ∶
+ ± + ∑ ( − )²
é é ∶
+ ± |
∶
| = +( − )²
∑ ( − )²
∶
+ ± +( − )²
∑ ( − )²
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Prévision
Prévision ponctuelle Prévision par intervalle
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Prévision ponctuelle :
é ∗ à é ℎ
= −
é ∗ à é ℎ
é , é ∗ à é é ∶
∗ = ∗ = + ∗
∶
∗ = ∗ − ∗
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Prévision par intervalle :
é ∗ é ∶
= + + ∑ ( − )²
é ∗ é ∶
∗ ± + +( ∗ − )²
∑ ( − )²
∶
∗ = + +( ∗ − )²
∑ ( − )²
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
Exemple pratique
= 0,781 = 1176,09 ² = 20646,17 =2,306
17000 DH? Et pour celui ayant un revenu de 5000 DH?
Donner l’intervalle de confiance de ces prévisions.
Sachant que :
∗ ± + +( ∗ − )²
∑ ( − )²
∶ = ∑ − =
= 0,781 = 1176,09 ² = 20646,17 =2,306
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
La consommation d’un individu ayant un revenu de 17000 DH :
∗ = ∗ = + ∗ Avec : ∗ =
∗ = = 1176,09 + 0,781 x 0 = 14453,09
Donc :
La consommation d’un individu ayant un revenu de 5000 DH :
∗ = = 1176,09 + 0,781 x = 5081,09
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
On sait que : ∗ ± + +( ∗ − )²
∑ ( − )²
Pour ∗ = ( ∗ = 14453,09) :
14453,09 ± , x 20646,17 + +( − )²
Donc :
14453,09 ± , 6
Méthodes économétriques
10 Prévision et intervalle de prévision
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple
Pr. FELLAJI
On sait que : ∗ ± + +( ∗ − )²
∑ ( − )²
Pour ∗ = ( ∗ = 5081,09) :
5081,09 ± , x 20646,17 + +( − )²
Donc :
5081,09 ± ,887
Méthodes économétriques
1 Introduction
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
La régression linéaire multiple est la généralisation multivariée de la régression
linéaire simple.
On cherche à expliquer une variable endogène Y par plusieurs variables exogène
= + + + + … + += + + + + … + +
La i-ème observation
de la variable Y.
L’erreur du modèle.La i-ème observation de
la variable j-ème variable.
Coefficients
du modèle.
Méthodes économétriques
2 Notation matricielle
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
= + + + + … + += + + + + … + +
= + + + + … + += + + + + … + +
= + + + + … + += + + + + … + +
= + + + + … + += + + + + … + +
= + + + + … + += + + + + … + +
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
= + = + Ecriture matricielle
Méthodes économétriques
2 Notation matricielle
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
= + = +
…=
111…1
… …
……
…………
…x
…
+…
(n,1) (n,p+1) (p+1,1) (n,1)
= + + + + … + += + + + + … + +Méthodes économétriques
3 Hypothèses
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
Hypothèses stochastiques
H1 : Les sont observées sans erreur ( non aléatoires);
H2 : L’espérance mathématique de l’erreur est nulle, donc le modèle est bien spécifié :
(ε ) = 0 ;
H3 : La variance de l’erreur est constante et ne dépend pas de l’observation :
(ε ) = (c’est l’hypothèse de l’homoscédasticité);
H4 : L’erreur est indépendante des variables exogènes : ( , ε ) = 0 ;
H5 : Les erreurs sont indépendantes : ( , ε ) = 0 (non autocorrélation des erreurs) ;
H6 : Les erreurs suivent une loi normale centrée de variance : ε ~ (0, )
(l’hypothèse de normalité des erreurs) ;
Méthodes économétriques
3 Hypothèses
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
Hypothèses structurelles
H1 : La matrice ( ) est régulière, c’est-à-dire ( ) ≠ et ( ) existe ;
H2 :( )
tend vers une matrice finie non singulière lorsque → +∞ ;
H3 : > + , le nombre d’observations est supérieur au nombre de paramètre à
estimer .
Dans le cas où n = p + 1, nous avons une interpolation, la droite passe exactement
par tous les points.
Lorsque < + , la matrice ( ) n'est plus inversible.
Méthodes économétriques
4 Estimation et propriété des paramètres
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
é ∶
= ( )
é ∶
= ( )
é ∶
( ) =
é ∶
( ) =
é ∶
=− −
= − −
é ∶
=− −
= ∑− −
Méthodes économétriques
5 Matrice des variances et covariances
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
Ω ,
, ⋯ ( )
Ω ,
+ 1, + 1 ∶
=
( ) , … ,
⋮ ( )⋱
⋮
, ⋯ ( )
= ( )
∶
= ( )
∶
= ( )
Méthodes économétriques
6 Tableau d’analyse de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
² = = −Coefficient de détermination :
Tableau d’analyse de la variance pour la régression linéaire multiple
Coefficient de corrélation linéaire multiple : = ² = ,Avec :
Méthodes économétriques
6 Tableau d’analyse de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
R² varie entre 0 et 1
Proche de 1 Proche de 0
Le modèle est meilleur, la
connaissance des valeurs des
permet de déterminer celles de Y
avec précision.
n’apportent aucune information
utile sur Y. La connaissance des
valeurs des n’explique pas
celles de Y.
Plus le nombre des variables est proche du nombre d’observations, plus R² est proche de 1 !!!!!!
Méthodes économétriques
6 Tableau d’analyse de la variance et coefficient de détermination
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
Tableau d’analyse de la variance pour la régression linéaire multiple
² = = − ² = − = −/( − − )
/( − )
² = −−
− −( − ) R² ajusté ou corrigé
Méthodes économétriques
7 Tests de signification globale de la régression
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
Tableau d’analyse de la variance pour la régression linéaire multiple
: = = ⋯ = =
: ∃ / ≠é = =
²
− ²− − é > ℱ( , ). . ∶
Méthodes économétriques
8 Tests de signification d’un coefficient
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
− ~ ( )
: =
: ≠
La démarche est analogue à celle de la régression linéaire simple.
Puis on la compare avec celle lue dans la table de Student.
Le test d’hypothèse correspond à :
Pour un test bilatéral la région de rejet de (R.C.) est :
> /
On calcule la statistique :
Méthodes économétriques
9 Intervalle de confiance
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
En analogie avec la régression linéaire simple,
quel est l’intervalle de confiance de ?
±
Méthodes économétriques
10 Prédiction et intervalle de prédiction
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
Prédiction
Prédiction ponctuelle Prédiction par intervalle
∗ = ∗
∗ = + ∗, + ⋯ + ∗,
∗ = ∗
∗ ± ∗
Avec :
∗= [ + ∗( ) ∗]
Méthodes économétriques
Exercice
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
N Y X1 X2 X31 12 2 45 1212 14 1 43 1323 10 3 43 1544 16 6 47 1455 14 7 42 1296 19 8 41 1567 21 8 32 1328 19 5 33 1479 21 5 41 12810 16 8 38 16311 19 4 32 16112 21 9 31 17213 25 12 35 17414 21 7 29 180
Soit le modèle linéaire multiple suivant :
= + + + +
1) Mettre le modèle sous forme matricielle en
précisant les dimensions de chaque matrice.
2) Estimer les paramètres du modèle.
3) Calculer l’estimation de la variance de l’erreur
ainsi que les écarts types de chacun des
coefficients.
4) Calculer le ² et le ².
5) Prédire , , par intervalle.
Méthodes économétriques
Exercice
Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie
Pr. FELLAJI
Modèle de régression multiple
N Y X1 X2 X31 12 2 45 1212 14 1 43 1323 10 3 43 1544 16 6 47 1455 14 7 42 1296 19 8 41 1567 21 8 32 1328 19 5 33 1479 21 5 41 12810 16 8 38 16311 19 4 32 16112 21 9 31 17213 25 12 35 17414 21 7 29 180
1) Forme matricielle : = + = +
=
121410…21
=…
=
1 2 451 1 431…1
3…7
43…29
121132154
180…
=
(14,1) (14,4)
(4,1) (14,1)
Méthodes économétriques
Pr. FELLAJI
2) Estimation des coefficients : = ( )= ( )
1 2 45 1211 1 43 1321 3 43 1541 6 47 1451 7 42 1291 8 41 1561 8 32 1321 5 33 1471 5 41 1281 8 38 1631 4 32 1611 9 31 1721 12 35 1741 7 29 180
=
′ =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 3 6 7 8 8 5 5 8 4 9 12 745 43 43 47 42 41 32 33 41 38 32 31 35 29121 132 154 145 129 156 132 147 128 163 161 172 174 180
=
(4,14)
(14,4)
(4,4)
14 85 532 209485 631 3126 13132532 3126 20666 786832094 13132 78683 317950
( ) =(4,4)
20,168 0,0151 -0,232 -0,0760,015 0,0132 0,001 -0,0019-0,231 0,001 0,004 0,0006-0,076 -0,001 0,0006 0,0004
On doit calculer le déterminant de ( ) pour vérifier s’il est différent de zéro.
=(4,1)
2481622920237592
1214101614192119211619212521
=(14,1)
=
32,891320,801901-0,38136-0,03713(4,1)
Méthodes économétriques
Pr. FELLAJI
3) Estimation de la variance de l’erreur : =− −
= ∑− −
=− −
= ∑− −
= − , − , + , + ,= − , − , + , + ,
N Y X1 X2 X31 12 2 45 121 -0,87 0,762 14 1 43 132 1,57 2,483 10 3 43 154 -3,22 10,34 16 6 47 145 1,57 2,465 14 7 42 129 -3,73 13,96 19 8 41 156 1,09 1,187 21 8 32 132 -1,23 1,528 19 5 33 147 0,11 0,019 21 5 41 128 4,46 19,910 16 8 38 163 -2,8 7,8311 19 4 32 161 1,05 1,112 21 9 31 172 -0,93 0,8713 25 12 35 174 2,26 5,114 21 7 29 180 0,2 0,04
= ,= ,
= ∶
= : è
= ∶
= : è
=,
− −=
,− −
= ,= ,
Méthodes économétriques
Pr. FELLAJI
3) Ecarts types des coefficients :
∶
= ( )
∶
= ( )
= , x
20,168 0,0151 -0,232 -0,0760,0151 0,0132 0,001 -0,001-0,232 0,001 0,004 0,0006-0,076 -0,001 0,0006 0,0004
=
136,050,0890,0270,0027
Donc :
=
11,6640,2980,1640,052
=
136,05 0,102 -1,566 -0,5130,102 0,089 0,007 -0,007-1,566 0,007 0,027 0,004-0,513 -0,007 0,004 0,0027
= =
,,,
,
Méthodes économétriques
Pr. FELLAJI
4) Calcul de R² et ² :² = −
∑∑ ( − )²
N Y X1 X2 X3 −1 12 2 45 121 -5,712 14 1 43 132 -3,713 10 3 43 154 -7,714 16 6 47 145 -1,715 14 7 42 129 -3,716 19 8 41 156 1,297 21 8 32 132 3,298 19 5 33 147 1,299 21 5 41 128 3,2910 16 8 38 163 -1,7111 19 4 32 161 1,2912 21 9 31 172 3,2913 25 12 35 174 7,2914 21 7 29 180 3,29
= ,= ,
( − )² = ,( − )² = ,
² = −,,
² = ,Donc :
² = −−
− −( − )
² = −−
− −( − , )
² = ,Donc :
Méthodes économétriques
Pr. FELLAJI
5) P é :
On a :
Ainsi :
Donc :
= , + , − , − ,
, , = , + , ( ) − , ( ) − , ( )
∗ = , , =
o P é ponctuelle :
Méthodes économétriques
Pr. FELLAJI
5) P é :
∗ ± ∗ ∗= [ + ∗( ) ∗]Avec :
1 4 33 150
1433150
∗= ,
20,168 0,0151 -0,232 -0,0760,0151 0,0132 0,001 -0,001-0,232 0,001 0,004 0,0006-0,076 -0,001 0,0006 0,0004
+ = ,
, = , ∗ = , = , Or : et :
Par conséquent :
, , = ± , et : = , ; ,
o P é par intervalle :
On sait que :
Ainsi :
Méthodes économétriques