SED OMNIA IN MENSURA ET NUMERO ET PONDERE DISPOSUISTI

Luis Puig

Departamento de Didáctica de las Matemáticas Universitat de València Estudi General

Puig, L. (2018). Sed omnia in mensura et numero et pondere disposuisti. En M. T. Navarro (Ed.) Actes de les XII Jornades d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana (pp. 21-33). València: Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwārizmī”. ISBN: 978-84-945722-1-0

SEDOMNIAINMENSURAETNUMEROETPONDEREDISPOSUISTI

LuisPuigluis.puig@uv.es

UniversitatdeValènciaEstudiGeneral-València

Modalitat:ConferènciaplenàriaNivelleducatiu:MultinivellParaules clau: Rutes matemàtiques, fenomenologia didàctica, mesura del metre,històriadelesmatemàtiques

RESUMElsconceptes iprocessosmatemàticshanestatelaboratsal llargde lahistòriaperorganitzar fenòmens de l’experiència humana en comptar, mesurar, descriure,classificar objectes del món, i també per organitzar fenòmens de la nostraexperiència en representar, calcular, definir, analitzar, generalitzar, abstraure elsobjectes matemàtics que organitzen aquests fenòmens. Les rutes matemàtiques aValènciasónunexempledecomquiconeixconceptesiprocessosmatemàticsdisposad’unaeinapoderosaperveure,analitzar,descriure,construirelmón.

0. INTRODUCCIÓ:ELTÍTOL

Entre elsmites de la creació delmón que apareixen en la Bíblia en el llibre delGènesi,enelmitequeprobablementvedelatradiciósacerdotal,alprincipielmónéscaos.

Elmóneracaosicaliadoncsorganitzar-lo.Eixavaserlafeinaquesegonselmitenarrat en el Gènesi va fer Déu. La caracterització de quina va ser l’einad’organitzaciónoapareixperòenelllibredelGènesisinóenelllibredelaSaviesa,on,enelllatídelaversiódelaVulgata,capítol11,versicle21,diu:“Sedomniainmensuraetnumeroetponderedisposuisti”.Eltítoldelameuaxarrada1dehuiestàtret doncs de la Bíblia i es pot traduir per “Però tot el vares organitzar segonsmesura i nombre i pes”. Segons el llibre de la Saviesa, elsmitjansd’organitzacióquevaemprarDéuperorganitzarelmónvarensermitjansmatemàtics.

Senseméscomentari,deixeeltítolperalavostrareflexiócomaactivitatperatotel recorregut d’esta conferència, imitant l’estructura que tenen les RutesMatemàtiquesperValència,delesqualsvaigaparlar.

1. INTERLUDI:UNALTREMITEDeixe la Bíblia, però no deixe els mites encara. En un llibre publicat en elsQuadernsCremadeAntoniBosch,editor,al’any1978,l’anydeproclamaciódelaConstitucióEspanyola,queesdiuUf,vadirell,QuimMonzóinclouuncontemoltcurt, nomésunapàgina, titulat “Enun temps llunyà” enelqualdescriuunaltre1Enelsminutsfinalsd’aquestaconferència,quanjaportavamésd’unahoraparlant,vaigpatirunepisodi,diagnosticatposteriormentcom“amnèsiaglobaltransitòria”,queemvaimpedirconcloure-laiqueemvaportaral’hospital.Eltextquehepreparatperlesactesincloulaconclusióqueestavacomençant a enunciar en el moment de l’episodi. He volgut també mantindre l’estil oral de laconferència en el text escrit, en compte de redactar un text més formal. Les referènciesbibliogràfiquesdelstextosquevaigmencionaroralmentialgunesnotesaclaridoresleshecol·locatennotesapeudepàgina.

22 LuisPuig

mite inaugural d’un món molt més menut, mostrant com amb el llenguatgeorganitzemlanostraexperiència2.2. LA CONCEPCIÓ DE LES MATEMÀTIQUES QUE SUBJAU A LES RUTES MATEMÀTIQUES PER

VALÈNCIA

HansFreudenthalenelseullibreenquèvacomençaraparlardelquehihaviaqueferenl’educaciómatemàticao,comaellliagradavadir,lamatemàticaqueeduca,elllibreMathematicsasanEducationalTask(lamatemàticacomatascaeducativa)començadiguent“Nobodyknowswhatmaninventedfirst,writingorarithmetic”3,“Ningú no sap què va inventar per a començar l’home, si l’escriptura o lesmatemàtiques”. Ara sabem que probablement els primers signes escrits enBabilonia, fa més de cinc mil anys, són signes aritmètics4. Amb el llenguatgeorganitzemlanostraexperiència,peròdesdelprincipi,quancomençal’escriptura,inventemunnou llenguatge,elqueseràel llenguatgede lesmatemàtiques,peraorganitzarunadelespartsdelanostraexperiència.

Amb lesmatemàtiquesdoncsunapartde lanostraexperiènciaestàorganitzada,però això no és tot el que ens ofereixen lesmatemàtiques, amés elmón de lesnostres experiències s’amplia, tenim accés a noves experiències amb els propisobjectes,conceptesiprocessosmatemàtics,quetambés’organitzenambobjectes,conceptesiprocessosmatemàticsmésabstractes.

EneldissenydelesactivitatsdelesRutesMatemàtiquesperValència,subjauunaconcepció de la naturalesa de les matemàtiques 5 que part d’aquesta ideafonamental: les matemàtiques són una creació humana per tal d’organitzarfenòmens del món de la nostra experiència, i els conceptes matemàtics, que escreenperaaixò, formenparttambédelmónde lanostraexperiència,estenenelmóndelanostraexperiènciapossible.

Aquestaconcepciódelesmatemàtiques,queéslaquevolemdifondrenotantsolenlesrutessinóentoteslescosesquefemenl’ensenyamentdelesmatemàtiques,s’oposa radicalment a la que se sol anomenar “concepció platònica de lesmatemàtiques”,segonslaqualelsobjectesoconceptesmatemàticspreexisteixenal’accióhumana,iaquestaelquefaésdescobrirelsconceptesmatemàticsexplorantaquestmónmatemàtic ideal, que no és elmón de la nostra experiència. Segonsaquesta concepció “platònica”, en l’activitat matemàtica es descobreixen elsconceptes matemàtics; per a nosaltres, els conceptes matemàtics no esdescobreixen, s’inventen, s’elaboren. Ludwig Wittgenstein ho va expressar ambclaredat en una frase de les seues Observacions sobre els fonaments de laMatemàtica, que, commoltes de les seues frases, pot usar-se comun lema: “DerMathematikisteinErfinder,keinEntdecker”,“Elmatemàticésuninventor,noundescobridor”6.

Els conceptesmatemàticss’elaborendoncsperorganitzar fenòmensde lanostraexperiènciaencomptar,mesurar,descriure, classificarobjectesdelmón; i també2Enlaconferenciavaigllegirelcontesencer.Nohoreproduïscacíperraonsdecopyright.EspotllegirenMonzó(1978,p.21).3Freudenthal(1973,p.1)4AquestassumptehovaigtractarenelmeutextSemióticaymatemáticas.Cf.Puig(1994)pp.2-3.5Aquesta concepció està descrita amb un cert detall en Puig (1997), re-elaborant idees deFreudenthal(1983)iafegint-ned’altres.6Cf.Wittgenstein(1984)I,168.

ActesdelesXIIJornadesd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana 23

perorganitzarfenòmensdelanostraexperiènciaenrepresentar,calcular,definir,analitzar, generalitzar, abstraure els objectesmatemàticsqueorganitzenaquestsfenòmens.Peraixò,quiconeixconceptesmatemàticsdisposad’unaeinapoderosaperveure,analitzar,descriure,construirelmón.

3. LESRUTESMATEMÀTIQUESPERVALÈNCIALesRutesMatemàtiquesperlaciutatdeValènciaésunaactivitatqueorganitzalaCàtedradeDivulgaciódelaCiènciadelaUniversitatdeValènciaEstudiGeneral,encol·laboració amb la Societat d’EducacióMatemàtica de la Comunitat Valenciana“Al-Khwarizmi”, que utilitza l’entorn de la ciutat com a recurs didàctic per al’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques, així com per desenvolupartambé actituds positives cap a les matemàtiques, en mostrar que hi hamatemàtiquesenl’entornenquèvivim,iquelesmatemàtiquespermetenveureenell–iaixòésmoltimportantdesdelnostrepuntdevista–aspectesnous,mésricsifinsitotsorprenents.

Aquestaactivitatesvaorganitzarperprimeravegadal’any2003,ilaprimerarutaperValènciaquevaremescriureOnofreMonzó,TomàsQueraltijomateix,vaserlaqueportaeltítolDelesTorresdelsSerransalJardíBotànic.

Desdellavorshemelaboratcincrutesdiferents,totesellesdissenyadesiescritespertotstres,peròelqueésmésimportant,desdel’any2003finsaras’organitzenaquestesrutesportantalscarrersdeValènciaxiquetsquevenendelsinstitutsdetotarreudelanostraComunitat.Normalmentesfanvora40o50eixidesal’anyenlesqualsestanimplicatsalvoltantde2000alumnes,elquefa,enels13anys7queportemfent-les,mésde25000alumnes.Lesrutesesrealitzenguiadespermonitorsespecialitzats,formatsanteriormentencursos dissenyats per a la seua formació, també impartits per la Càtedra deDivulgació de la Ciència. Els professors dels centres de secundària són els quesol·licitenlaparticipaciódelsseusalumnesenaquestesrutes.

LaprimeradelesrutesdiscorredesdelesTorresdeSerransdelaciutatValència,undelsvestigisdelesmuralles,finsalJardíBotànicdelaUniversitatdeValència,recorrentzonesdelnuclihistòric.Lasegonavadesdel’antigaEscoladeMagisteria la Ciutat de lesArts i les Ciències, i la tercera ix de la Ciutat de la Justícia peracabaral’Oceanogràfic,onesdesenvolupalapartprincipaldelesseuesactivitats.Aquestesdosúltimes recorrenzonesde la ciutatques’handesenvolupat fapocsanys i que estan marcades per l’existència en elles d’edificis singularsd’arquitectura contemporània. La quarta, que comença al Mercat de Colom (unexemplemodernista de gran qualitat) i acaba a l’edifici de la seu històrica de laUniversitat deValènciaEstudiGeneral, que es coneix ambel nomde “LaNau” –l’edificiestàalcarrerdeLanau,i“LaNau”ésalhoral’acrònimde“laNostraAntigaUniversitat”–,recorreunazonadel’eixampledelaciutat,planificadaiconstruïdaalcomençamentdelsegleXX,ambunapresènciaimportantd’edificismodernistesiracionalistes. La cinquena recorre un barri de la façanamarítima de la ciutat, elCabanyal, antic barri de pescadors amb nombroses mostres d’arquitecturapopular, que inclouen comun element singular característic el cobriment de les

7La conferència va ser l’1 d’octubre de 2016. Les rutes comencen habitualment en octubre. Elnombre d’alumnes a hores d’ara, octubre de 2018, en què es publiquen les actes, és encaramésgran.

24 LuisPuig

façanesambmosaicsderajoles.Aquestbarri,declaratBéd’InterèsCultural,vaseramenaçat d’enderrocament per un projecte d’urbanització que no respectava laseua singularitat històrica ni el seu valor cultural, i nosaltres decidirem fer unarutapereixebarride laciutatper incloure tambéa lesrutes lareivindicaciódelseu manteniment. Ara que tenim una nova època de govern a la ComunitatValencianaia laciutatdeValència,el futurdelCabanyalsemblaque janoéstanperillós. I enaquesta rutaanemdesde lesantiguesDrassanes finsalmercatdelCabanyal.Aquestes cinc rutes les hem anat elaborant i refinant al llarg dels anys, les dosprimeres al començament, com arrencada del projecte, i, en anys posteriors, lessegüentsiedicionscorregidesimilloradesdelesprimeres.Delesquatreprimereshihaversióencatalàiencastellà;lacinquenanomésestàdisponible,demoment,enlaseuaversiócatalana.Lesactivitatsde cadascunade les rutes estanpublicadesen llibresd’entrevint itrenta pàgines que estan disponibles en la meua pàgina web,http://www.uv.es/puigl, i en la de la Societat d’Educació Matemàtica de laComunitatValenciana“al-Khwārizmī”www.semcv.org/rutesmat/rutesval8.

Figura1

8Lallistacompletad’edicionsdelsllibresdelesRutesMatemàtiquesaValènciaésMonzó,PuigyQueralt(2003a,2003b,2004a,2004b,2007a,2007b,2007c,2007d,2009a,2009b,2009c).

ActesdelesXIIJornadesd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana 25

4. L’ULLMATEMÀTICIXDEL’AULAALCARRER

Totsconeixemlahistòriasegonslaqualal’entradadel’acadèmiadePlatóesdeiaquenohavia de traspassar el seu llindarningúqueno sabés geometria, que fosageómetra. No és estrany que, si aquest plantejament es trasllada a l’escola, elsnostresalumnes se sentenexclosos.Mésaviat es tractade fer tot el contrari:noestablirunaprohibició,noreservarelmón idealde lesmatemàtiquesalselegits,alsmembresd’aquestasectaesotèricaqueserienelsmatemàtics,sinómostrarqueforadel’escolaienella,enelmónenelseuconjunt,lesmatemàtiquesensfanméspoderosos perquè ens fan veure coses en el món que, si no, no veuríem. I aixòperquè,comjahemdit, lesmatemàtiquestalcomnosaltres lesconcebemnosónobjectes d’un món ideal, sinó que sorgeixen precisament per organitzar,matemàticament,elmóndelanostraexperiència.

EiximalcarrerdoncsperferunarutamatemàticaperValència,icomencemveientmatemàtiquespertotarreu,omillor,veientquedeterminatsfenòmensdelmónespodendescriured’unaaltramanera,ambunaaltraprecisió,siesveuenambullsmatemàtics.Iaixòésaixíperquèl’ullmatemàticnoésunullnu,espontani,sinóunullanalíticiinstruït.Iquanesmiraelqueapareixalafigura2,l’ullmatemàticveumés coses, veu algunes coses que serveixen per analitzar que el que hi ha en lafigura no és una paràbola, encara que l’ull nu el que veu és probablement unaparàbola9, sinó que és una catenària. Amb un ull instruït per les matemàtiquesvegemmésimillorelmón.

Figura2

9L’ull que veu una paràbola no és en realitat un ull totalment nu. Un ull despullat de totamatemàtica i vestit només del llenguatge natural i l’experiència lingüística veuria probablementunacadenaitalvoltaunaparàbolacomnomd’unaformaconegudapelseuaspectevisual.

26 LuisPuig

5. L’ORGANITZACIÓDELESRUTESID’AQUESTACONFERÈNCIA

Les rutes estan organitzades com un conjunt d’activitats que es plantegen perrealitzar al llarg d’un recorregut que discorre pels carrers de la ciutat. Aquestesactivitatspodenestarplantejadespelconjuntdelarutaoenmomentsdeterminatsd’ella.Lesdelprimer tipussónactivitatsqueesplantegenal començamentde larutaiqueconsisteixenenestaratental’apariciódedeterminatsobjectesqueestanalllargdelrecorregutiquecaldescriureoclassificaropensarenellsdesd’unpuntde vista matemàtic. Per a les activitats del segon tipus, la ruta s’organitza enparades o estacions, i en cadascunad’aquestes parades o estacions es plantegenunasèriedetasquesquecalrealitzar.Aquestaconferèncial’heorganitzadatambécomunadelesnostresrutes.Javosheplantejat una activitat per a tota la conferència, reflexionar sobre el seu títol apartir del breu comentari que he fet d’ell, i teniu que anar pensant en la seuarelacióambleshistòries,reflexionsiplantejamentsteòricsqueapareguenalllargdelaconferència.Enlaconferènciahemanatfentalgunesparadespreliminars,iaraanemaferunaparadaqueapareixalaprimeradelesrutes,laquevadelesTorresdelsSerransalJardíBotànic.Aquestaparada,laprimeraqueanemaferdelesqueapareixenalesrutes,seràalaplaçadelaMaredeDéudeValència.

6. OBJECTESMATEMÀTICSQUEESTROBENALACIUTAT

L’activitatqueesplantejaalarutatambécomençamirantunacosaqueestàescritaenllatí.Igualqueestaxarrada.LaplaçadelamaredeDéudeValènciaéselcentredelaValènciaromanaonescreuenelscarrersprincipalsquevandenordasudid’estaoest,elcardoieldecumanus,iesplantejaalsalumnesl’activitatsegüent:

Observa la placa commemorativa, en el sòl entre la Basílica i la Catedral, que arreplega eltestimoniliterarideTitoLiviosobrelafundaciódeValentia.

IuniusBrutusconsulHispaniaisquisubViriathomilitaverantagrosetoppidumdeditquodvocatumestValentia.

(ElcònsolJunioBrutovadonaraHispàniaterresiunllocfortificat,quevarebreelnomdeValentia,alsquevanlluitarenèpocadeViriat).

Améshihaunaindicaciódel’anyennúmerosromans.Investigaaquesttipusdenumeracióicompara-laambl’actual.10

Aquest és un exemple del tipus d’activitats que aprofita directament un objectematemàtic,enaquestcasunsistemadenumeració,quehihaalaciutat.Peròhihaaltresactivitatsquetenenuncaireproudiferent,perexempleunaqueapareixalarutaderecorreelbarridelCabanyal,alaqueensanemara.7. MATEMÀTIQUESPERVEUREMÉSALACIUTAT

Lasegonaparadadelesqueapareixenalesrutesquevaigamostrar-vos,esfaalCabanyal,peròelqueapareixenlesdosprimerespàginesdel’activitatnoésunafoto del Cabanyal: el que hi ha en elles és una explicació d’uns conceptesmatemàtics.En aquest cas, l’activitat ve acompanyada per una presentació inicial d’uncontingutmatemàtic pertinent, ja que per a que l’ull estiga instruït, cal conèixer

10Cf.Monzó,PuigiQueralt(2007c,p.18).

ActesdelesXIIJornadesd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana 27

aquestcontingutmatemàtic,queespotreforçaral treballar forade l’escola,peròtambéperquèaquest contingut tot just s’abordaenalgun centrede secundària ipropugnemqueestigaméspresent.Eneltext11esdiuque

En l’arquitecturaclàssicaun frisés lapartde l’entaulamentcompresaentre l’arquitrau i lacornisa.Peròhabitualmententenemperfris:• Decoraciótallada,pintadaogravadaenbandeshoritzontals.

• Faixaquecontrastapeldibuixoelcoloriadornaienvoltaunaextensiódefons.• Faixamésomenysamplaquehomsolpintaralapartinferiordelesparets,dediferent

colorqueaquestes.

Aixòéselqueveul’ullquenoésmatemàtic.Peròeltextcontinuaintroduint l’ullinstruït,elsmitjansmatemàticsd’organitzaciód’eixefenomendelmón:

Enmatemàtiqueselquecaracteritzaals frisosésqueestangenerats, apartird’una figura,per un conjunt d’isometries que tenen la propietat que hi ha una recta que totes lesisometriesd’eixeconjuntladeixeninvariant.Peraixòéspelqueelsfrisosesquedenenunafranjadelpla.

Ielsmateixosmitjansmatemàticsd’organitzacióespresentenorganitzatsdesdelmomentenquèelstipusd’isometriesqueformenpartdelconjuntd’isometriesquetenenaquestapropietatsónquatreinotres, laqualcosaésimportantqueestigaplantejada d’aquesta manera en les nostres rutes per donar una imatge méscompletadelaconcepciódelesmatemàtiquessubjacent:

Elsmovimentsenelplaquepodenformarpartd’unfrissón:

• Lestranslacionsdevectorparal·lelalesvoresdelaregió.

• Elsgirsde180ºelcentredelsqualsequidistadelesvoresdelaregió.

• Les simetries l’eix de les quals és la recta que equidista de les vores de la regió o ésperpendicularaditarecta.

• Lessimetriesenlliscamentl’eixdelesqualséslarectaqueequidistadelesvoresdelaregió.

Laintroducciócomaunasimetriaespecíficaidiferentdelasimetriaenlliscamentens mostra que estem també organitzant els mitjans d’organització que són lesmatemàtiquesiquetambévolemquelesactivitatsmatemàtiquesdelsalumnesnoesquedensenzillamentenorganitzarelmónde lanostraexperiència físicaambeines matemàtiques, sinó també incloguen el organitzar les mateixes einesd’organitzaciómatemàticai,pertant,quetreballentambéaunnivelld’abstracciómésgran.

La presentació del contingutmatemàtic que permetmirar els frisos amb un ullmatemàticincloutambéladerivaciódeperquèhihasettipusdefrisosdiferentsiquins són, i l’activitat acabademanantqueesbusquen frisos comelqueapareixfotografiatenlafigura3,quesónfrisosfetsambrajolesdelsqueestrobenenlescasesdelCabanyal,ique,arasí,s’organitzenambaquestaeinamatemàtica.

11ToteslescitesqueapareixenacontinuacióestantretesdeMonzó,PuigiQueralt(2009c,p.28).

28 LuisPuig

Figura3

8. MESURESTRADICIONALS

LaterceraparadaqueanemaferenstornaunaaltravoltaalaprimeradelesrutesquevapelcentredeValència,moltapropdelaplaçadelaMaredeDéu.Enrealitat,enlaprimerarutaaquestaactivitatsegueiximmediatamentalaquehedescritenprimer llocenaquestaxarrada.Les rutes segueixenunrecorregut factibleper laciutati,pertant,novanabotscomacabedeferjoanantdelcentredelaciutatalCabanyalpertornararaalcostatd’onestàvem,alcarrerdelaBarcella.

Enaquesta activitat el queesplanteja als alumnesés tambéveureuna cosaqueexisteixenelscarrersdelaciutatambullsmatemàtics:

Al carrer de la Barcella observaràs una passarel·la que connecta la catedral amb el Palauarquebisbal.AlmurdelPalauarquebisbalhihaunapedra,datadadel’èpocaromana,quevaservirdemotlleperal recipientquees feia servir comamesuradels cereals.Eixamesuras’anomenava “barcella”.AlMuseud’HistòriadeValència està la barcella original. Investigasobrelaformadelrecipient,laseuacapacitatilesmesurestradicionalsrelacionadesamblabarcella12.

9. MATEMÀTICSALSCARRERSDEVALÈNCIA

A la ciutat de València existeix el costum d’indicar prou sovint l’ofici de lespersones a les quals es dediquen els carrers. Tenim Periodista Azzati, EscultorCapuz,PintorSalvadorAbril,TaquígrafMartí,ofinsitotEruditOrellana.Entrelanòminadeprofessionshihaunsquantsmatemàtics.AlarutaquevadelmercatdeColomalaNau13,esrecorreelcarrerdeJorgeJuan,elqueaprofitemperintroduirelementsd’història.Aquestésunaltre tipusd’activitatqueestàen lesnostresrutes.La formaquetéunaactivitatd’aquesttipusésproudiferentdeladelsaltresdostipusqueacabendeveure.Elquepresentemenaquestcasenlarutaés lanarraciód’unahistòria,acompanyada d’una proposta d’activitats matemàtiques relacionades amb lahistòriaenqüestió.9.1.JORGEJUAN:MESURARELMÓN

En larutaquepassapelcarrer Jorge Juan,parlemdoncsd’unahistòriaen laqueJorgeJuanéselprotagonista:ladelamesuradelmeridià.Peròd’unmeridiàquenoestàapropdenosaltressinóalesAmèriquescaponse’nvaanarel26demaigde1735,perainiciarunstreballsquenoconclourienfinsl’any1744.

En el llibre de la ruta es comença parlant de la mesura del món. S’explica elprocediment de triangulació, que és el procediment amb el qual es van fer lesmesuresdelmeridià,iesparlatambédequelamesuradelmeridià,abandadeles12Cf.Monzó,PuigiQueralt(2007c,p.21).13Monzó,PuigiQueralt(2004b,2009b).

ActesdelesXIIJornadesd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana 29

raons per les quals les va fer l’expedició en la qual va participar Jorge Juan,“sempre ha estat un assumpte important per raons pràctiques, però també perconèixerlagrandàriadelmón”.I,amésdereferir-sealamesurafetaenlaGrèciaclàssica del meridià entre Alexandria i Assuan, s’aprofita l’ocasió per dir que elmatemàticquedónanomalanostraSocietatd’EducacióMatemàtica,MuhammadibnMūsāal-Khwārizmī,vaparticiparenunaaltramesuradelmeridiàpermesurardenouelmón,encarregadaalsegleIXpelcalifaal-Ma’mūn.

Però tambéesdiuque “a finalsdel segle XVIII, apareguéunanova raóper tindreuna bona mesura del meridià: la introducció del sistema mètric decimal i ladefiniciódelmetre”14,is’explicalaimportànciaquevatindrelaintroducciód’unamesuraqueforauniversalcomaconseqüènciadelesideesdelaIl·lustracióidelaRevolucióFrancesa.

No vaig a continuar doncs amb la història de la mesura del meridià en que vaparticiparJorgeJuan.Canviaremdecarreridemeridiàperparlard’altreshistòriesambaltrespersonatgesalvoltantdelacreaciódelmetre.9.2.CÍSCARIELMETRE.LABUSCAD’UNAMESURAUNIVERSAL

QuanixcdemacasaenelcarrerqueportaelnomdeMestreRacional–quenoésunmestre, sinóeixa institucióde lacoronad’Aragósemblanta l’actualSíndicdeComptes– i me’n vaig a peu cap al centre de la ciutat, em trobe en el cantó deMestre Racional i el carrer de Císcar, un rètol antic de ceràmica que indica, enaquest cas entre parèntesi, “matemático”. Per desgràcia, eixa indicació hadesaparegutdelarestaderètolsmoderns,metàl·licsimoltméslletjosquenomésdiuen“CarrerdeCiscar”.

Figura4

14 Cf. Monzó, Puig i Queralt (2004b, p. 17).

30 LuisPuig

GabrielCiscarvaparticiparenlaComissiódePesesiMesuresdel’InstitutNacionaldeFrançacomarepresentantd’Espanya,enlaqualesvaadoptaridefinirelmetrecomaunitatdemesurael10dedesembrede1799.

Lamemòriaquevapresentardelresultatdelstreballs i l’establimentdelsistemamètric decimal es va publicar en Madrid en 1800 i les Corts Valencianes enpublicaren un facsímil l’any 2000, per commemorar el seu bicentenari15. El seutítol,Memoriaelementalsobrelosnuevospesosymedidasdecimalesfundadosenlanaturaleza,indicaexplícitamentlavoluntatdetindreunesmesures“fundadesenlanaturalesa”.IGabrielCiscarcomençalaintroducciódelaseuamemòriasubratllantaquestaidea:

La Nación Francesa fue la primera que oyendo las reclamaciones de los sabios decretó laabolición del monstruoso sistema existente de pesos y medidas, substituyéndoles otrosdeducidosdelanaturalezamisma,ytanconstanteseinvariablescomoella.16

LaideajaestavapresentenlapropostaquevapresentarTalleyrandal’AssembleaNacional francesa en 1790, poc després de l’inici de la Revolució Francesa,proposta que va ser aprovada, on es posa l’èmfasi en què no basta reduir ladiversitat fastigosa demesures a una única, sinó que per convèncer a tothom, atotes les persones i les nacions, cal que la mesura “estiga relacionada amb unmodelinvariablepresdelanaturalesa”17.

El gènere humà quan, amb la Il·lustració i la Revolució Francesa, es pensauniversal i vol esdevindre internacional, busca també una mesura que sigauniversalipugaseracceptadapertots.I,peraconseguir-ho,espensaenquèsigauna mesura natural, es pensa que cal buscar alguna cosa que no siga feta pernosaltressinóqueestigaenelmóncomunacosaquejaenstrobemfet.

Subratlleaquestaideaquesubjaualamesuradelmeridiàperestablirelmetre,pera portar la vostra atenció a que aquest fet que acabem de trobar-nos a la rutad’aquestaxarradaésdeltipusdefetsalsqualscalestaratentsenl’activitatperatotelrecorregutenunciadaapartirdeltítoldelaxarrada,títoltretdelmitebíblicsegonselqualElohim, elDéude laBíblia, vaorganitzar elmón segonsmesura inombreipes.

15Císcar(1800,2000).Elfacsímildelbicentenariesvapublicaracompanyatd’unestudid’AntonioTen(Ten,2000).16Císcar(1800,p.s/n).17“…il faut, pour que la solution duproblème soit parfaite, que cette réduction se rapporte à unmodèleinvariableprisdanslanature”(Talleyrand,1790,p.12).CaldirqueTalleyrandproposavaqueelmodelinvariableestiguerarelacionatambunapropietatdelspèndolsiqueaixòvaserelqueva aprovar laAssembleaNacional francesa. Tanmateix l’AcadèmiadeCiències francesa en el seuinformevaoptarperlamesuradelmeridiàivaseraixòelqueesvaferinoelquehaviaaprovatl’Assemblea.

ActesdelesXIIJornadesd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana 31

10. LABUSCAD’UNAMESURAUNIVERSALCOMAIL·LUSIÓ

AbandoneaquestaparadasensecontarlahistòriadecomesvaferlamesuradelmeridiàdeParísperestablirelmetre18,històriaqueresumimenelllibredelarutaquepassapel carrerde Jorge Juanenun textd’unapàgina, escritperquèes llijamentresescaminapereixecarrer,enquèdiguemque

La tasca de Méchain i de Delambre19fou un llarg camí d’aventures i desventures queculminaren el dia 10 de desembre de 1799, quan es publicà el decret que establia el nousistemad’unitats iqueordenavaacunyarunamedalla commemorativa (de fetno s’acunyàfinsmoltsanysdesprès)amblainscripció:“Àtouslestemps,àtouslespeuples”.20

Enrealitatlahistòriailesaventuresidesventuresnoacabenamblapublicaciódeldecret,niamblamortdefebregrogadeMéchainel1804alDesertdelesPalmes.Encaraqueelmetrejaestavaestablert,desprésdelamortdeMéchains’organitzaunaaltraexpedicióquecomençael2demaigde1806en laqueparticipen JeanBaptisteBiotiFrançoisAragóitambéenalgunsmomentsJosepChaix,valenciàdeXàtiva,iJoséRodríguezGonzález,professordelaUniversitatdeSantiago.Si lahistòriadeMéchainiDelambren’estàplenad’aventuresidesventures, ladeBiotiAragón’éstotaunanovel·la21,degutentrealtrescosesalfetdelaguerraqueesclataentreFrançaiEspanya.L’expediciódeBiotiAragóvoliaprolongarlamesuradelmeridiàdeParísfetaperMéchain i Delambre, arribant fins a Mallorca. Eixa va ser una idea plantejadainicialmentpelmateixMéchain.MéchainpensàinicialmenttriangularlesIllesdesdelMonsià,peròvatindrequebaixarcapalsudincloentelDesertdelesPalmes.Despréspensàen fer-hodesdeCullera,peròCulleranoesveudesde les Illes, i,finalment pensà fer-ho des del Montgó, la muntanya que els àrabs anomenarenJabalQaun22.Lafigura5mostraelseuprojectedetriangulació23.

18La història està estudiada ambmolta informació documental en Ten (1996) i està narrada deformamésemocionant,senseperdreelrigor,enMoreu-Rey(1956). 19Pierre André Méchain i Jean Baptiste Joseph Delambre foren els responsables de l’expedició.Delambre es va encarregar demesurar elmeridià de París entre Dunkerque i Rodez, i MéchainentreRodeziBarcelona.20Monzó,PuigiQueralt(2004b,p.19)21ElmateixAragólacontacomunanovel·laalaseuaautobiografiaHistoiredemajeunesse(Aragó,1854).22Queespottraduirper“lamuntanyarojavibrant”o“lamuntanyaquevibraroja”.23Lafiguraestàtretad’unestudifetperBigourdanen1900apartirdecorrespondènciesinèditesdeMéchain,BiotiArago,enquèespodentrobartoteslestriangulacionsquevaplantejarMéchainperlaprolongaciódelamesuradelmeridiàdeParis(Bigourdan,1900,p.476).

32 LuisPuig

Figura5.TriangulacióproposadaperMéchaindelMontgóaMallorca

Biot i Aragó arribaren a fer el que Méchain havia pensat. Tanmateix, les novesmesuresdelmeridiàdeParis fetesperellsacabarenservintperconstatarque laformadelaterraerairregular,i,pertant,quemesurarunmeridiànoteniasentitcomamesurauniversal,nototselsmeridiansereniguals.ComindicaAntoniTenalfinaldelseullibreMedirelmetro:

La vieja ilusión de los revolucionarios franceses, la medida universal fundada en lanaturaleza, libre de cualquier relación con un país o lugar determinado, se reveló,definitivamente,comounailusión.24

11. PERACABAR,TRENQUEMELSMITES

Unamesurafundadaenlanaturalesaésunail·lusió,entrealtrescoses,perquèelmónnovasercreatpercapdéusegonsmesurainombreipes,nil’univershaestatescrit en llenguatgematemàtic comdeiaGalileoGalilei. Somnosaltres, el gènerehumà, els que hemorganitzat una part de la nostra experiència creant una einapoderosa:lesmatemàtiques.Unaeinad’empoderament,queenspermetveureenelmón coses que no podríem veure sense ella. Acabe canviant el títol d’aquestaxarrada.Ratllelaparaula“disposuisti”ilacanvieper“disposuimus”:“Sedomniainmensura et numero et pondere disposuisti disposuimus”, “Però tot el varemorganitzarnosaltressegonsmesurainombreipes”.24Ten(1996,p.201).

sur le Desierto, où Biot vintbientôt rejoindre Arago. Mais ilsrestèrent assez longtemps sans pouvoir les découvrir, ce qui leurfaisait craindre déjà de voir échouer leur mission dès les premiers

Fig.4.

pas. En outre, un cercle amené par eux de Paris, mais mal fixédans sa boîte, fut mis hors d'usage parles cahots du transport.Enfi-n, le 4 décembre 1806, Biot etAra,go purent, du.sommet

du Desierto, apercevoir les signaux de Campvey :

Je ne saurais exprimer, dit Biot, l'émotion que nous éprouvâmes,lorsque après tant de doutes, nous eûmes enfin la certitude de réussir (1).En vain voulûmes-nous commencer une série d'observations, cela nousfut impossible; nous faisions mille fautes, nous nous trompions sans cesse,et bientôt de légères vapeurs, s'élevant du sein de la mer, voilèrent lafaible clarté de nos feux. Mais cela nenous inquiétait guère: la réussite(') Base du Système métrique, t. IV, p. xx-xxi.Arago (OEuvres, t. XI, p. 59)dit que du Desierto on ne voyait pas d'abord les signaux de Campvey parce quel'on y donnait aux réverbères une direction inexacte.

ActesdelesXIIJornadesd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana 33

REFERÈNCIESBIBLIOGRÀFIQUES

Arago,F.(1854)Histoiredemajeunesse.Bruxelles&Leipzig:Kiessling,SchnéeetCie.

Bigourdan, M. G. (1900). La prolongation de laméridienne de Paris, de Barcelone aux Baléares,d’après les correspondances inédites de Méchain, de Biot et d’Arago, Bulletin AstronomiqueXVII,pp.467-480.

Císcar, G. (1800).Memoria elemental sobre los nuevos pesos y medidas decimales fundados en lanaturaleza.Madrid:EnlaImprentareal.

Císcar, G. (2000).Memoria elemental sobre los nuevos pesos y medidas decimales fundados en lanaturaleza.Valencia:CortsValencianes.

Freudenthal,H.(1973).MathematicsasanEducationalTask.Dordrecht:Reidel.

Freudenthal,H.(1983).DidacticalPhenomenologyofMathematicalStructures.Dordrecht:Reidel.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2003a).RutesMatemàtiquesaValència.I.DelesTorresdelsSerransalJardíBotànic.València:UniversitatdeValència/SEMCV.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2003b).RutesMatemàtiquesaValència.II.Del’EscoladeMagisteri“AusiàsMarch”alMuseudelesArtsilesCiències.València:UniversitatdeValència/SEMCV.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2004a).RutesMatemàtiquesaValència.III.DelaCiutatdelaJustíciaal’Oceanogràfic.València:UniversitatdeValència/SEMCV.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2004b).RutesMatemàtiquesaValència.IV.DelMercatdeColomaLaNau.València:UniversitatdeValència/SEMCV.

Monzó, O.; Puig, L. y Queralt, T. (2007a). Rutasmatemáticas por Valencia. I. De las Torres de losSerranosalJardínBotánico.Valencia:UniversitatdeValència.

Monzó, O.; Puig, L. y Queralt, T. (2007b). Rutas matemáticas por Valencia. II. De la Escuela deMagisterio“AusiàsMarch”alMuseodelasArtesylasCiencias.Valencia:UniversitatdeValència.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2007c).RutesMatemàtiquesaValència.I.DelesTorresdelsSerransalJardíBotànic.2ªediciómodificada.València:UniversitatdeValència.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2007d).RutesMatemàtiquesaValència.II.Del’EscoladeMagisteri“AusiàsMarch”alMuseudelesArtsilesCiències.2ªediciómodificada.València:UniversitatdeValència.

Monzó, O.; Puig, L. y Queralt, T. (2009a). Rutasmatemáticas por Valencia. III. De la Ciudad de laJusticiaalOceanográfico.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2009b).RutasmatemáticasporValencia.IV.DelMercadodeColónaLaNau.Valencia:UniversitatdeValència.

Monzó,O.;Puig,L.yQueralt,T.(2009c).RutesMatemàtiquesaValència.V.DelesDrassanesdelGraualMercatdelCabanyal.València:UniversitatdeValència.

Monzó,Q.(1978).Uf,vadirell.Barcelona:AntoniBosch,editor.

Moreu-Rey,E.(1956).Elnaixementdelmetre.PalmadeMallorca:EditorialMoll.

Puig,L.(1994).Semióticaymatemáticas.Valencia:Episteme.

Puig, L. (1997). Análisis fenomenológico. En L. Rico, (Coord.) La educación matemática en laenseñanzasecundaria(pp.61-94).Barcelona:Horsori/ICE.

Talleyrand-Périgord,C.-M.(1790)Propositionfaiteàl’Assembléenationale,surlespoidsetmesuresparM.l’évêqued'Autun.Paris:Imprimerienationale.

Ten, A. (1996).Medir el metro. La historia de la prolongación del arco de meridiano Dunkerque-Barcelona,basedelSistemaMétricoDecimal.Valencia:UniversitatdeValència/CESIC

Ten, A. (2000).Gabriel Císcar y suMemoria elemental sobre losnuevospesos ymedidasdecimalesfundadosenlanaturaleza.Valencia:CortsValencianes.