Scienza: verita e incertezza

Tesina per l’esame di stato 2010Liceo Scientifico R. Foresi, Portoferraio

a cura di Oliver Baldacchino

Indice

Introduzione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 MatematicaIL TEOREMA DI INCOMPLETEZZA 5

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1 Contestualizzazione storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Il teorema di incompletezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 1◦ teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 2◦ Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Fisica e AstronomiaLA MATERIA OSCURA 19

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Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1 Cos’e la materia oscura? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Prove sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 FilosofiaPOPPER E IL FALSIFICAZIONISMO 29

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1 Il metodo ipotetico-deduttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Il falsificazionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Contesto della scoperta e contesto della

giustificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Problemi del falsificazionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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Introduzione generale

L’intento primario che mi sono posto scrivendo questa tesina e di mostra-re come la conoscenza scientifica del mondo attuale, al di la delle chiare edevidenti apparenze, risulti fondamentalmente incerta. Molti oggi ripongonouna fede incondizionata nella scienza, rappresentando un punto di riferimen-to vitale, apparentemente cosı solido e incrollabile da riuscire a fornire veritaassolute, sulla cui base fondare la propria esistenza individuale. Al contrarioio ritengo - ed e questa la tesi di fondo della ricerca - che la scienza, in quantomanifestazione prettamente umana (e non, come molti ci farebbero credere,divina), rimane indissolubilmente legata a modelli di finitezza e imperfezio-ne che sono propri di noi che la pratichiamo. Cio non toglie tuttavia chela scienza, pur manifestando tali caratteri che la rendono in qualche modoincompleta, costituisca il miglior modo da parte nostra di analizzare e com-prendere la realta. Essa si articola infatti, non solo su basi che la rendonofinitaria, ma anche su elementi - propri anch’essi della natura umana - che leconferiscono un elevato grado di affidabilita rispetto a discipline con finalitaanaloghe.Nel giudicare la scienza dunque si devono, a mio avviso, tenere conto dientrambi i suoi fattori costitutivi che da un lato la rendono approssimati-vamente certa, mentre dall’altro ne evidenziano le intrinseche e necessariemancanze. Storicamente il primo di questi due aspetti ha sempre prevalsosul secondo, manifestandosi in tutta la sua pienezza e contribuendo conside-revolmente allo sviluppo (molto anche in notorieta) della disciplina1.Determinati frangenti, i cosiddetti “momenti di passaggio”, su cui si basanole periodizzazioni storiche attualmente riconosciute, hanno tuttavia spessomesso in luce una qualche forma di crisi in ambito culturale e dunque anchescientifico. E proprio in tali momenti che emergono le contraddizioni o lequestioni irrisolte insite in una disciplina come la scienza e, di conseguen-za un bisogno di riassestamento generale, che generalmente si traduce in uncambio radicale di prospettiva (come avvenne agli inizi del ’900).La presente ricerca e divisa in tre sezioni, ciascuna delle quali corrispondentead una delle tre materie di studio da me scelte: matematica, fisica e filosofia,per le quali ho trattato rispettivamente del teorema di incompletezza, dellamateria oscura e del falsificazionismo. Il concetto che fa da trama a queste

1particolarmente proficui in tal senso furono il XVII e il XIX secolo.

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tre parti e quello di verita, che a sua volta risulta strettamente connesso aquello di incertezza. Cio che mi sono proposto e di evidenziare che entrambiquesti due concetti non solo siano collegati, ma piuttosto di enfatizzare ilnesso consequenziale e necessario che sussiste tra di essi: l’una implica l’al-tra, ed insieme vanno a costituire il piu ampio quadro che e la scienza.In ognuna delle tre sezioni ho cercato di esporre la problematica della coesi-stenza di verita e incertezza sotto diversi punti di vista: per quanto riguar-da matematica, il teorema di Godel afferma l’impossibilita all’interno di unsistema formale di attribuire a determinati enunciati valori di verita o di fal-sita. Per fisica ho presentato come si sia costruita una teoria dell’universoa partire da ipotesi, supposizioni legate a modelli teorici non perfettamen-te compatibili con le osservazioni sperimentali e, in un certo senso, sorrettida una ancora esigua conoscenza del cosmo da parte nostra (motivo per cuitale teoria risulterebbe facilmente confutabile). In terzo luogo, parlando delfalsificazionismo ho riportato una originalissima interpretazione del secolaremetodo scientifico, di cui sono in parte scardinati e rielaborati i presuppostibasilari.Le interpretazioni possibili dello scritto sono dunque molteplici. Dal cantomio invito il lettore a riconsiderare parte della conoscenza acquisita: il ruo-lo della scienza deve essere ridimensionato, riportato ad una condizione cherispecchi piu compiutamente la natura umana e la sua duplice essenza dirazionalita (ordine, regole, verita) e istintualita (disordine, impulsivita, in-certezza). Teniamo infatti presente che e proprio dall’unificazione di questeultime che la scienza deriva.

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Capitolo 1

Matematica

IL TEOREMA DIINCOMPLETEZZA

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Introduzione

La seguente ricerca ha come oggetto il teorema di incompletezza, elaboratodal matematico e logico austriaco Kurt Godel (1906-1978). Esso rappresentouno dei risultati piu stupefacienti e determinanti della matematica di inizio’900, per il fatto non solo di averne radicalmente mutato il corso, ma anchee soprattutto, poiche da tale settore si sarebbe esteso ad altri campi delsapere. Questo non solo per via della sua eccezionlita in campo matematico,ma anche per la sua possibilita di estensione ad altri campi del sapere, doverisulto di particolare rilevanza.

La trattazione comprende una buona parte di argomenti di logica piu che- come ci si apetterebbe - di matematica vera e propria. Cio e dovuto alfatto che le due materie in un certo periodo storico (quello appunto degliinizi del secolo) si trovarono a condividere numerose aspettative ed elementiin comune, sfruttando i quali gli studiosi del tempo tentarono in un certo qualmodo di trarre, da un reciproco confronto, un rinforzamento per entrambe.

Nella parte iniziale del testo ho inserito una breve - ma, a mio avviso,essenziale - introduzione storica, che presenta il campo d’azione del teorema.Ad eccezione di questa prima parte, l’esposizione e legata ad aspetti pre-valentemente tecnici della materia in questione, motivo per cui, potrebbe, atratti, risultare di difficile comprensione (come lo e stato per me), nonostantemi sia adoperato per renderla il piu possibile chiara e scorrevole.

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1.1 Contestualizzazione storica

Godel, vissuto agli inizi del ’900, si colloca storicamente all’interno di unperiodo di radicale rinnovamente della matematica. In concomitanza conla crisi delle dottrine positivistiche e materialistiche e, il parallelo emergeredell’indipendenza di quelle filosofiche, i pensatori dell’epoca svilupparono unsenso di generale e diffusa insicurezza nei confronti della realta e dell’agireumano. Una simile tendenza si riflette naturalmente anche in ambito scien-tifico; in matematica in particolare, fu avvertita la necessita di evidenziare ipresupposti teorici della materia, verificandone la validita tanto nelle teorieattuali, cosı come in suoi eventuali sviluppi futuri. Le questioni che sorseroin proposito, sono riconducibili a due problemantiche: la prima relativa allamodalita di selezione e di utilizzo degli assiomi di una qualsiasi teoria (ge-neralizzando, della matematica stessa); l’altra riguardo invece la facolta didimostrare la coerenza di un modello teorico, mediante l’analisi dei procedi-menti che dagli assiomi, attravero le dimostrazioni, producono i teoremi.Il complesso di problematiche che derivo da questo nuovo approccio alla ma-tematica, contribuı a definire una vera e propria crisi che dagli storici dellascienza fu appunto definita dei fondamenti. In generale si tento (e in par-te si riuscı) a dotarla di una impostazione di fondo notevolmente differente,basata su concetti qualitativamente nuovi e piu avanzati rispetto al secoloprecedente. Cio che in larga parte contribuı a generare la rottura col passatofu il ricorso ad un metodo di formalizzazione simbolica fino ad allora relegatoin secondo piano: la logica. Le sue particolari strutture permisero di confe-rire un ritrovato rigore dimostrativo alla matematica.Sulla scia di tale principio si vennero a costituire diverse scuole di pensiero,tra cui le maggiori furono quella intuzionista (rappresentata da H. Poincaree da L. E. Brouwer), quella logicistica (facente capo a B. Russell e a A. N.Whitehead) e, quella formalista (inaugurata da D. Hilbert). In particolaredelle ultime due , la prima si proponeva di fondare tutta la matematica sullalogica: l’aritmetica (sulla quale si fonda l’analisi), nei suoi principi basilari,poteva essere ridotta a considerazioni di nnatura insiemistica. D’altra par-te, gli esponenti della seconda mirarono ad una piena formalizzazione dellamatematica, intesa come totale scissione tra sintassi e semantica; alla primasoltanto la teoria matematica si sarebbe dovuta ridurre: al fine specifico diridurre quanto piu possibile le ambiguita del linguaggio ordinario, si pro-pose di creare un sistema all’interno del quale operare attraverso procedureesclusivamente meccaniche univoche ed effettive (una volta che inizialmentefosse stato rigorosamente definito il valore sematico da assegnare a ciascunsimbolo).Le opere di riferimento per le correnti logistica e formalista furono rispettiva-

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mente i Principia Mathematica1 e, l’articolo contenente i cosiddetti ventitreproblemi di Hilbert2.Entrambi questi due scritti funsero da costante riferimento per Godel, nell’e-laborazione del suo teorema, pubblicato per la prima volta sull’articolo “Sulleproposizioni formalmente indecidibili dei ‘Principia Mathematica’e di sistemiaffini I” (gia il titolo denota quanto detto). Intenzione di Godel era infattidi dare risposta al secondo problema di Hilbert, che richiedeva di dimostra-re la coerenza3 dell’aritmetica, utilizzando il modello dell’aritmetica stessa,proposto da Russel e Whitehead nei loro Principia.Il teorema di Godel ebbe in tal senso una immediata duplice valenza, inquanto per un verso, rispondendo negativamente al quesito hilbertiano, ne’minacciava’ il contesto di origine; per un altro invece dimostro la precarietae l’infondatezza delle basi aritmetiche su cui si ergeva l’imponente edificio deiPrincipia4.Paradossalmente, la dimostrazione del teorema di incompletezza non deter-mino un arresto della ricerca in settore matematico; al contrario, ne incitola prosecuzione e lo sviluppo (basti pensare che il ’900 e stato uno dei suoiperiodi piu prolifici).

Dopo questa breve introduzione storica, passiamo ad analizzare il teorema diGodel vero e proprio.

1scritto tra il 1910 e il 1913 dagli stessi Russell e Whitehead, l’opera corriponde al ten-tativo di rifondazione della matematica alla luce di alcuni assiomi, a loro volta riconducibilialla logica.

2questi ventitre problemi, esposti al congresso internazionale dei matematici del 1900,corrispondevano, secondo Hilbert, alle questioni di maggior rilievo che la matematica intempi futuri si sarebbe trovata ad affrontare. Malgrado molti di questi siano gia staticompletamente o anche parzialmente risolti, ad oggi, continuano a rivestire una certaimportanza tra i matematici.

3proprieta che tra poco definiremo con esattezza.4lo stesso Russell, a seguito della pubblicazione dell’opera, vi aveva identificato delle

incorrettezze, da cui derivavano dei paradossi (detti appunto di Russell).

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1.2 Il teorema di incompletezza

E’ innanzitutto necessario compiere una fondamentale precisazione: cio acui comunemente ci riferiamo con l’espressione Teorema di Godel non e ununico teorema: in realta sono due. Ecco perche si e soliti distinguere ilprimo teorema di incompletezza dal secondo, sebbene quest’ultimo deriviessenzialmente come corollario del primo. In conformita con tale convenzione,dividero anch’io la mia esposizione in due parti distinte.

Per comodita di trattazione presentero in primo luogo l’enunciato deidue teoremi; in seguito passero ad analizzarne singolarmente tesi, ipotesi edimostrazione.

1.2.1 1◦ teorema

Qualsiasi sistema formale S, ω-coerente, impiantato sul linguaggio L,sufficientemente espressivo da contenere l’aritmetica, e sintatticamente

incompleto. Esso produce infatti degli enunciati indecidibili.

Enunciato nel linguaggio formale logico equivale a:

CoerAT → ¬∃xDimAT(x, pγq)

P IPOTESI

Il teorema e applicabile ai sistemi formali. Precisiamo dunque di cosa sitratta: dicesi sistema formale una formalizzazione rigorosa e completa dellanozione di sistema assiomatico, il quale a sua volta, corrisponde essenzial-mente ad un insieme di assiomi, a partire dai quali dimostrare determinatiteoremi, andanti poi a costituire l’ossatura stessa della teoria formale chene deriva. Ciascuno sistema formale e costituito dai seguenti elementi: (i)un alfabeto, ovvero l’insieme finito e rigorosamente specificato, dei simboliprimitivi5 costituenti il linguaggio L del sistema; (ii) una grammatica, ovveroun insieme di regole che consenta di costruire, in maniera univoca e ineccepi-bile, le formule del sistema. Notare che l’insieme delle formule cosı formatee decidibile6; (iii) delle ulteriori regole dette d’inferenza che ci consentano dimuovere dagli assiomi, attraverso procedure dimostrative di natura algorit-mica, alla derivazione dei teoremi. E importante aggiungere che un sistemaformale risulta veramente tale solo nel caso in cui soddisfi proprieta per cui

5tra cui quelli logici (connettivi, quantificatori), quelli descrittivi (costanti e variabiliindividuali, costanti predicative e funtoriali), e quelli ausiliari (parentesi ecc. . . )

6si noti che tra suddette formule figurano anche gli assiomi (arbitrariamente scelti).

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l’insieme dei suoi teoremi sia computabilmente enumerabile (tale insiemedeve dunque essere decidibile)7.

Come accennato Godel non condusse la dimostrazione del proprio teore-ma su un sistema formale qualsiasi; si servı invece di una rielaborazione di unsistema gia utilizzato da Russell e Whitehead (nei Principia Mathematica).Si tratta dell’Aritmetica Tipografica (spesso abbreviata AT), un’imple-mentazione dell’aritmetica di Peano8. Su di questa torneremo in seguito.

Vediamo adesso quali condizioni un sistema formale (e in particolare l’AT)deve soddisfare affinche vi si possa applicare il teorema di incompletezza:

i(1) Un sistema S e ω-coerente (omega-coerente) se non e ω-incoerente,ovvero se per qualche formula α[x] del suo linguaggio, `S ∃xα[x], ma∀n ∈ N, `S ¬α[x/n]. Cio equivale a dire che esiste un numero x percui valga una certa condizione α[x], ma il sistema nega che tale numeroappartenga all’insieme dei numeri naturali (0,1,2,...,n).In generale e piu nota la coerenza “semplice”di un sistema formale, laquale si scinde in due sottocategorie: (i) la coerenza sintattica, pro-prieta per cui un sistema non si trova mai a dimostrare simultanea-mente una formula α e la sua negazione ¬α; (ii) la coerenza semantica(o correttezza), per cui un sistema dimostra soltanto cose vere, dunquefacenti capo al criterio logico (e naturalmente semantico)di verita. Inquesto caso si fa riferimento soltanto alla coerenza sintattica. Era in-fatti intenzione di Godel stesso postulare delle condizioni per il proprioteorema, che implicassero nozioni sintattiche, piu che semantiche, pernon in qualche modo deludere o contrastare l’approccio formalista9. Eda notare che l’ω-coerenza e una condizione piu forte della coerenzasintattica “semplice”. La prima infatti implica la seconda.Dal punto di vista formale la condizione dell”ω-coerenza e descrittadalla funzione CoerAT

10, di cui daro un’esatta definizione al paragrafosuccessivo.

i(2) La sufficiente espressivita del sistema formale e legata essenzialmen-te alla sua capacita di rappresentare al suo interno l’aritmetica ricorsiva(cosa di cui l’AT e in grado), e dunque proprieta, relazioni, insiemi efunzioni che le sono propri. La nozione di ricorsivita e strettamente le-gata a quella di calcolabilita: sono infatti dette ricorsive quelle funzioni,

7cio significa che si deve poter decidere, in un numero finito di passi se un elementoappartenga all’insieme, ossia, in tal caso, se una formula sia un teorema del sistema formale.

8da Giuseppe Peano (1858-1932).9che, come si e detto, era stato inaugurato da Hilbert.

10in questo caso il pedice AT, potrebbe essere generalizzato e sostituito con una S.

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per giungere alle quali si siano applicati procedimenti di sostituzione ecomposizione a funzioni ricorsive primitive (cioe iniziali, di partenza),che, data la loro immediatezza, si suppongono intuitivamente calcola-bili11.Da sottolineare e che i suddetti procedimenti sono di natura finitaria,nel senso che applicandoli ad una generica formula iniziale e semprepossibile, in un numero finito di passi ottenere un certo risultato (adesempio il valore di una funzione, oppure).In definitiva possiamo affermare che un sistema risulta sufficientementeespressivo se al suo interno contiene l’AT, la quale puo essere conside-rata come il sistema formale piu basilare12 al cui interno possa essereespressa la quantita di aritmetica richiesta. In generale un genericosistema S dovra essere cosı composto: S = AT + S1 + . . .+ Sn

i(3) Infine, il sistema formale deve essere impiantato su un linguaggio L; maquesta e, come gia detto, una delle proprieta di cui ciascuno sistemaformale e dotato. Non si richiedono dunque ulteriori precisazioni.

Nota: L’enunciato del 1◦teorema, formalizzato in linguaggio simbolico espri-me unicamente la condizione di (ω-)coerenza. E dato infatti per scontatoche una siffatta proprieta sia da riferirsi ad un sistema formale (che dunquecontenga un certo linguaggio). La condizione di sufficiente espressivita einvece indicata dal pedice AT. Naturalmente, ricollegandomi a quanto dettoal punto i(2) esso potrebbe venire generalizzato in questo modo:

CoerS = CoerAT+S1+...Sn

P TESI

Il teorema stabilisce che qualsiasi sistema formale che soddisfi le ipotesi sopraelencate e sintatticamente incompleto.La completezza, oltre alla gia citata coerenza, e una delle fondamentali pro-prieta dei sistemi formali. Anche questa si distingue in sintattica e semantica:

* un sistema formale si dice sintatticamente completo quando per qual-siasi formula α ben formata, e possibile dimostrare α stessa o refutarla(il che equivale a dimostrare ¬α). L’insieme dei teoremi del sistema edunque formalmente decidibile: cio significa che una qualsiasi formulae derivabile come teorema all’interno del sistema stesso.

11il concetto di calcolabilita manca di una definizione rigorosa.12ovvero col minor numero di assiomi, regole e connettivi.

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* Un sistema formale e invece semanticamente completo quando dimostratutte le cose vere, cioe non accade mai che una certa formula α siavera e che al contempo non sia un suo teorema. Detto in maniera piurigorosa, cio equivale ad affermare che tutte le formule vere in ogniintepretazione, e dunque in ogni modello, sono teoremi del calcolo deipredicati13.

Ribadiamo che il teorema di incompletezza fa riferimeno alla comple-tezza sintattica e non semantica. Nel paragrafo precendente abbiamo vistocome anche le ipotesi del teorema siano di natura esclusivamente sintattica.Possiamo dunque a buona ragione affermare che il teorema di incompletezzariguarda questioni relative all’ambito puramente sintattico (e non semantico)dei sistemi formali14.

La seconda parte della tesi “esso produce infatti degli enunciati indeci-dibili”e pleonastica: essa detiene una funzione puramente rafforzativa dellaprima parte. Infatti la proprieta di essere incompleto indica necessariamen-te la mancata possibilita di dimostrare (o refutare) una qualsiasi formula αespressa nel linguaggio del sistema formale15. In mancanza di questa facoltadi giudizio si producono naturalmente degli enunciati ambigui che essenzial-mente non possiamo includere (ne escludere) dall’insieme dei teoremi delsistema, il quale pertanto e indecidibile.I dettagli sull’enunciazione simbolica della tesi saranno chiariti nel prossimoparagrafo.

P DIMOSTRAZIONE

Diamo una prima caratterizzazione del teorema dal punto di vista intuitivoe sintetico. Tenendo a mente quanto precisato nei due paragrafi precedentiarriveremo a una dimostrazione del teorema, non formalizzata, ma comun-que funzionale proprio ad una successiva formalizzazione della dimostrazionestessa.Chiarisco fin da subito che la dimostrazione informale presentata qui di se-guito non fu quella data da Godel, ne tantomento le equivale. Nonostan-te cio rimangono valide le nostre considerazioni riguardo la sua funzionepropedeutica.

13questa non e altro che una versione semplificata del teorema di completezza, ottenutoda Godel nel 1929.

14mi e parso tuttavia doveroso accennare anche all’ambito semantico, in modo da avereuna migliore caratterizzazione della sua controparte sintattica

15ovvero non esistono dei procedimenti algoritmici che consentano, a partire dagliassiomi e dai teoremi precedentemente dimostrati di derivare suddetta formula.

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Assumendo, al solito, di avere un certo sistema formale S corretto16,impiantato su un linguaggio L, si supponga di avere un enunciato GS deltipo:

GS non e dimostrabile in S.

Questo e un esempio di enunciato autoreferenziale, ossia una proposizio-ne che piu o meno direttamente parla di se stesso: il suo contenuto contienecioe dei riferimenti alla sua struttura morfo-sintattica o semantica. Uno deglienunciati autoreferenziali piu noti e conosciuto come il paradosso del menti-tore, formulato dal greco Epimenide (VI secolo a.C.), nel quale egli affermava:“Tutti i cretesi sono bugiardi”, che in forma piu generica puo essere riformu-lato: “Questo enunciato e falso”. Non intendo soffermarmi oltre su di questo;cio che intendevo evidenziare e invece come proprio a partire da enunciatiautoreferenziali si producano dei paradossi (cioe delle contraddizioni), cherendano la proposizione in questione formalmente indecidibile (come quellaappena citata).Vediamo adesso di dimostrare l’ambiguita di GS, lavorando per casi:

(i) Supponiamo dapprima che GS sia dimostrabile in S. In tal caso l’enun-ciato sarebbe falso, contro l’ipotesi di correttezza.

(ii) Se GS fosse invece dimostrabile, l’enunciato sarebbe vero e dunque, se-condo quanto esso stesso afferma, indimostrabile! Il sistema risultereb-be inoltre semanticamente incompleto, non permettendo di dimostrareal suo interno un enunciato vero.

Ne concludiamo che ne GS ne ¬GS sono dimostrabili in S; GS e dunque in-decidibile mentre S e sintatticamente incompleto.

Al fine di conseguire una dimostrazione rigorosa e precisa del teorema, dob-biamo rielaborare quanto esposto a livello intuitivo, formalizzandolo in lin-guaggio logico-matematico. Il punto chiave della dimostrazione consiste nelcreare, all’interno dell’AT (e infatti su questo sitema formale che Godel opero)degli enunciati, anche qui, autoreferenziali. Nel presente caso dunque sorgela necessita utilizzare un linguaggio-oggetto ed un metalinguaggio coinciden-ti con l’aritmetica, ovvero, piu banalmente, dei numeri e dei simboli che nestabiliscono le reciproche relazioni.

Godel propose di risolvere questa difficolta introducendo un sistema di clas-sificazione del linguaggio, chiamato, in suo onore, godelizzazione.

16questo e il primo elemento di distinzione con il teorema reale, le cui ipotesi parlano dicoerenza sintattica e non semantica (correttezza).

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Dato l’insieme S contenente tutti gli elementi propri di un sistema for-male (connettivi, simboli e numeri, proprieta, funzioni, relazioni, che ge-nericamente indicheremo con s), l’idea di base consiste nel costruire unafunzione

g : S −→ N tale che g(s) = n = psq17

In tal modo non facciamo altro che assegnare ad ogni oggetto del sistema sun numero naturale n (che prende il nome di numero di Godel o godelianodi s). L’assegnazione di tali numeri puo in essere condotta in maniera deltutto arbitraria, a meno di due essenziali condizioni:

* La funzione g deve essere biunivoca. Ogni oggetto del sistema devedunque essere associato ad un unico numero naturale e viceversa

* Deve essere una procedura algoritmica, cioe meccanica ed effettiva, checonsenta, in ogni caso di calcolare s a partire da n e viceversa (cioe dieffettuare l’operazione di codifica e decodifica).

Riporto di seguito una serie di esempi di codificazione di elementi base dellinguaggio dell’AT:

g(0) = 3 g(′) = 5 g(+) = 7 g(×) = 9

g(=) = 11 g(¬) = 13 g(∧) = 15 g(∨) = 17

g(→) = 19 g(∀) = 23 g(∃) = 25 g(x) = 31

Nel caso in cui sia una formula a dover essere godelizzata si ricorre al Teo-rema fondamentale dell’aritmetica, secondo il quale ogni numero n ∈ N puoessere scritto, come il prodotto di potenze di numeri primi; inoltre tale rap-presentazione e univoca18. Dunque, poiche ogni formula α ben formata inun linguaggio L corrisponde ad una sequenza finita di simboli (mettiamos1, s2, s3, . . . , sn), essa e rappresentabile come segue:

g(α) = 2g(s1) × 3g(s2) × 5g(s3) × . . .× pg(sn)n

Altrettanto possiamo fare per una dimostrazione formale σ, trattandosi diuna sequenza finita di formule α1, α2, α3, . . . , αn (a loro volta costituite dasequenze finite di simboli):

g(σ) = 2g(α1) × 3g(α2) × 5g(α3) × . . .× pg(αn)n

17i due apici p e q sono specificatamente utilizzati per indicare il godeliano di un oggetto.18in formule: n = 2m × 3n × 5o × 7p × 11q × . . .× nkp

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E interessante notare che proprieta e relazioni sintattiche degli elementi delsistema rimangono inalterati a seguito della codifica. A proprieta e relazionitra elementi corrisponderanno proprieta e relazioni tra numeri dei rispettivigodeliani19. Questo processo di trasposizione del piano sintattico su quellonumerico e detto di aritmetizzazione della sintassi.Il processo di godelizzazione, lo ribadisco, e funzionale all’unico propositodi produrre degli enunciati auoreferenziali all’interno del sistema dell’AT (oaffini). Cio e reso possibile dalla commistura di linguaggio oggetto e di me-talinguaggio, i quali entrambi, giungono ad essere formati dai medesimi co-stituenti (cioe i numeri e i simboli logici che li mettono in relazione).Allorche ci proponiamo di formalizzare quanto esposto finora, di costruiredunque un enunciato autoreferenziale nel linguaggio logico-matematico (si-mile al precedente GS), sorgono delle complicazioni (non del tutto evidentifintanto che utilizziamo il linguaggio ordinario).In tal caso e proprio la godelizzazione a correrci in aiuto: grazie ad essa pos-siamo costruire degli enunciati (ovvero delle sequenze finite di simboli che“parlino”dei godeliani ad essi associati). Tuttavia un’ulteriore difficolta edata dal fatto che, se ci pensiamo, nessuna stringa (ad esempio dell’AT) puocontenere al suo interno il suo stesso godeliano, poiche quest’ultimo contienesempre piu simboli della stringa medesima.Ad esempio, sia dato un enunciatio G cosı composto:

α1, α2, α3, . . . , αn

supponendo che G = {pα1q, pα2q, pα3q, . . . , pαnq}, allora pGq /∈ G, poichetale insieme non puo contenere il godeliano relativo al suo enunciato G.E dunque necessario produrre degli enunciati che si riferiscano a se stessi inmaniera indiretta, secondo un modello del genere:

L’enunciato che si ottiene mediante una certa operazione ha la proprieta dinon essere dimostrabile.

La “certa operazione”di cui l’enunciato parla corrisponde all’operazione disostituzione, descritta da una funzione che simbolicamente indichiamo conSost, cosı definita:

Sost(m,n, p) = pα[x/p]q

dove m e il godeliano di una formula α (m = pαq), n quello di una variabilex (n = pxq) e p il termine che andremo a sostituire al posto (delle occor-renze libere) della x stessa. Quella di sostituzione e dunque un’operazioneche permette di codificare una certa operazione sintattica di sostituzione su

19si noti in particolare che si conserva la decidibilita di proprieta e relazioni.

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formule.Prima di arrivare a produrre il nostro enunciato autoreferenziale, precisiamola formalizzazione simbolica del concetto di dimostrazione. Ciascun di esse edescrivibile tramite una funzione, in cui compaiono come argomenti il gode-liano m della sequenza di enunciati che partono dagli assiomi per arrivare adun enunciato finale (un teorema), e il godeliano n del teorema stesso:

Dim(m,n)

dove m ed n prendono il nome di coppia dimostrativa. Consideriamo adessouna formula γ(y)20, cosı formata:

¬∃xDimAT(x,Sost(y, 33, y))

per la quale si noti che:

- x e il godeliano di una dimostrazione dell’AT

- la funzione di sostituzione e stata in questo caso applicata ad y con sestessa.

- puo essere letta: “una certa formula, ottenuta attraverso la sostituzionein questione, non puo essere dimostrata nell’AT”.

Inoltre poiche y e una variabile individuale, essa non individua una formulaspcifica (ma generica), della quale evidenziamo il godeliano q = pγ(y)q21.Per poter ascriverle invece un valore specifico operiamo la sostituzione di ycon q, ottenendo:

¬∃xDimAT(x,Sost(q, 33, q))

che e proprio l’enunciato autoreferenziale γ da noi ricercato, e che possiamoleggere come segue: “Non esiste alcuna x, tale che x e il godeliano di unadimostrazione nell’AT, della formula ottenuta dalla formula di godeliano q,sostituendovi le occorrenze libere della variabile di godeliano 33, con il suostesso godeliano”. Piu semplicemente possiamo dire che γ e l’equivalenteformale dell’enunciato GS.

Ora che abbiamo a disposizione l’enunciato richiesto possiamo condurre un’o-perazione dimostrativa del tutto analoga a quanto fatto prima a livello pu-ramente intuitivo. Iniziamo scindendo il teorema in due sottoproposizioni:

(i) Se l’AT e coerente, allora γ non vi e dimostrabile.

20con y variabile libera di godeliano 31.21il suo valore numerico e computabile ma, non ci e di alcuna utilita.

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(ii) Se l’AT e ω-coerente, allora ¬γ non vi e dimostrabile22.

Dimostriamone adesso la reciproca contraddittorieta23:

(i) Assumiamo inizialmente che γ sia dimostrabile (` γ)

1. essendo dimostrabile, γ avrebbe una sua dimostrazione k, e unsuo godeliano g = pγq.

2. formando k e g una coppia dimostrativa, sono associabili in talmodo: ` Dim(k, g) = Dim(k, pγq).

3. per generalizzazione esistenziale possiamo concludere:∃xDim(x, pγq)

4. poiche quest’ultima proposizione equivale a ¬γ, all’interno del si-stema e sarebbero dimostrate sia ¬γ che γ stessa, contro l’assun-zione che l’AT sia coerente.

5. γ non e dunque dimostrabile.

(ii) Supponimo adesso invece che ¬γ sia dimostrabile (` ¬γ)

1. poiche γ equivale a ¬∃xDim(x, pγq), dire che ¬γ e dimostrabilecorrisponde a dire che ∃xDim(x, pγq)

2. come si e visto in (i), γ non e dimostrabile. Cio implica che perogni coppia dimostrativa del tipo< n, g >, in particolare il sistemanega che un tale n ∈ N sia il godeliano di una dimostrazione di γ.

3. in definitiva dunque il sistema si troverebbe da un lato a dimostra-re ∃xDim(x, pγq), ovvero che esista un numero naturale (indicatogenericamente da x), il cui godeliano si una dimostrazione di γ.D’altra parte, poiche il sistema contiene γ (che, come si e det-to e indimostrabile), si dimostrerebbe ω-incoerente. Pertanto ilsistema produrrebbe due proposizioni contraddittorie.

4. ¬γ, stando l’ipotesi di ω-coerenza, non e dunque dimostrabile.

Da entrambe le dimostrazioni (che ad ogni modo confluiscono in un unicoteorema) si evince che l’enunciato γ e indecidibile, in quanto il sistema,stando l’ipotesi di ω-coerenza non e in grado di dimostrare l’enunciato stes-so ne la sua negazione. Il sistema formale risulta pertanto sintatticamente

22si noti la differenza di ipotesi tra (i) e (ii); poiche sia coerenza che ω-coerenza sonorichieste, nell’enunciato generale del teorema abbiamo citato solo la seconda, in quantoquesta implica anche la prima.

23d’ora in avanti daro per scontato che il sistema formale in questione sia l’AT; dunquenon lo specifichero come pedice.

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incompleto.Volendo rappresentare simbolicamente questa condizione e, indicando conCoerS, l’ipotesi di ω-coerenza di un sistema S, si ha:

CoerS → ¬∃xDimS(x, pγq)

1.2.2 2◦ Teorema

Come si diceva il 2◦ teorema di incompletezza puo essere visto come corollariodel primo, esso esprimendone infatti una diretta conseguenza. Nonostante cioriveste la stessa importanza. Ecco perche nel riferirsi in generale al Teoremadi Godel, automaticamente vengono entrambi - indirettamente - menzionati.L’enunciato del 2◦ teorema e il seguente24:

Se l’AT e coerente, allora l’enunciato CoerAT non vi e dimostrabile.

ovvero, detto in altre parole:

L’AT non puo, al suo stesso interno, dimostrare la propria coerenza.

In questo secondo, semplice caso, non si presenta il bisogno di specificareipotesi e tesi: entrambe risultano chiaramente evidenti dall’enunciato.La dimostrazione consiste essenzialmente nel provare che l’enunciato sopraesaminato CoerS → ¬∃xDimS(x, pγq) (che e il 1◦ teorema), e a sua voltaun teorema dell’AT. A tale proposito si conviene di costruire uno schemadimostrativo di deduzione naturale, in cui utilizzare la regola d’inferenza delmodus ponens25. La strategia dimostrativa riguarda l’utilizzo appropriato diquesta regola d’inferenza.In questa sede tuttavia non ne parlero, poiche la dimostrazione (che lo stessoGdel non diede) si ricava con relativa facilita da quanto detto per il primoteorema.

24anche qui ci riferiamo all’AT.25 α→β;α

β

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Capitolo 2

Fisica e Astronomia

LA MATERIA OSCURA

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Introduzione

La seguente ricerca tratta della materia oscura, fenomeno fisico di granderilevanza in ambito cosmologico. L’universo e in espansione, le galassie alsuo interno si spostano di continuo determinandone mutamenti che dalla ter-ra neppure notiamo ma che, nella sua economia globale rivestono un’elevataimportanza. Lo studio degli eventi cosmologici ci consente non solo di com-prendere le nostre origini, ma anche di elaborare delle previsioni su cio cuiandiamo incontro. Cio che tuttavia rende l’astrofisica e l’astronomia par-ticolari rispetto alle altre branche della scienza e dipendente da un utilizzopeculiare del metodo scientifico. Esso infatti non risulta direttamente appli-cabile, alla stessa maniera a cui abitualmente ne facciamo uso: in mancanzadi un elevato numero di osservazioni sperimentali, l’aspetto che, di controa cio, viene priviligiato e, naturalmente, quello dell’ipotesi. Cio di cui di-sponiamo e la possibilita di osservare fenomeni altamente isolati nel tempoe nello spazio. E dunque di vitale importanza riuscire ad elaborare dellecongetture che poi si abbia la possibilita di verificare attraverso i suddettifenomeni, spesso previsti dalle ipotesi stesse. Questo metodo di indagine,come vedremo, si avvicina di molto alla rielaborazione filosofica del metodoscientifico operata da K. Popper, di cui parlero nella successiva ricerca.Quello della materia oscura e un tema di notevole interesse, in quanto, moltopiu di quanto avvenga per altre questioni, tende ad evidenziare come il sensocomune e intuitivo degli esseri umani spesso produca delle considerazioni er-ronee, specialmente per quanto concerne materie relative alla limitata sferad’influenza che e il pianeta terra.Trattandosi di una teoria non ancora corroborata, ma finora soltanto conget-turata, mi limitero a presentarne un’esposizione per sommi capi, non troppodettagliata e, alquanto discorsiva.L’argomento della materia oscura inoltre si presta bene ad entrambe le ma-terie di fisica e geografia astronomica (come ho precisato nel titolo), poichein esso manifestano un punto in comune, integrandosi a vicenda. Non ci sistupisca dunque che si trovino congiunte in un’unica ricerca.

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2.1 Cos’e la materia oscura?

La materia oscura non puo essere definita rigorosamente; se ne possono sol-tanto rilevare gli effetti causati dalla sua - supposta - presenza e, dall’osserva-zione di questi ultimi (tentare di) delinearne le caratteristiche. Procederemodunque in questo senso.Prima e fondamentale caratteristica della materia oscura (cui essa deve il pro-prio appellativo) riguarda la mancante interazione tra questa e la radiazioneelettromagnetica: essa non emette luce visibile1 che possiamo direttamenterilevare.La materia oscura e invece rilevabile soltanto attraverso gli effetti che questaprovoca su oggetti effettivamente osservabili, motivo per cui non si e certidella sua esistenza, ne dunque se ne puo definire a priori la natura costitu-tiva. Notiamo che la materia oscura e propriamente definita ‘materia’, inquanto i suddetti effetti cui da luogo, sono di tipo gravitazionale. Secondo lameccanica classica, due o piu corpi dotati di massa esercitano l’uno sull’altrouna forza attrattiva regolata quantitativamente dalla legge di gravitazioneuniversale, elaborata da Newton, in seguito ripresa e perfezionata da Ein-stein con la relativita generale. La seconda, che, meglio della prima, e adattaa descrivere fenomeni di vasta scala, prevede che un qualsiasi oggetto dotatodi massa modifichi strutturalmente lo spazio-tempo, provocandone la defor-mazione, a sua volta responsabile della forza di gravita. Immaginiamo lospazio-tempo come una membrana di piana che fintanto che non viene alte-rata, conserva immutata la propria forma; allorche vi si poggi sopra qualcosaessa si incurva, determinando la formazione di regioni ribassate o rialzaterispetto al livello originario.

La materia oscura provoca su tale immaginaria membrana lo stesso iden-tico effetto. Nel suo caso, in chiave metaforica e come se potessimo osservarel’avvallamento prodotto sullo spazio-tempo, ma non l’oggetto che lo sovrastae che ne e la causa.La grande attenzione rivolta al problema della materia oscura e probabilmen-te dovuta alla sua ipotizzata presenta in quantita, come si potrebbe ritenere,tutt’altro che esigua o trascurabile. Da una serie di osservazioni sperimen-tali si e appurato che la presenza di materia ordinaria nell’universo si aggiraattorno ad una percentuale prossima al 4 %, mentre tutto il resto, circa il96 % sarebbe costituito da materia oscura e dal suo parente piu prossimo,l’energia oscura (di cui non parlero).

1dove con luce visibile si intende l’intero spettro elettromagnetico. La materia oscuranon si presenta in nessuna delle frequenze che questo contiene.

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Figura 2.1: Esempio di curvatura dello spaziotempo

E bene precisare che la congettura relativa all’esistenza della materia oscurae inscindibilmente connessa con la teoria del Big Bang, la quale trova nellamateria oscura la giustificazione di fenomeni predetti teoricamente ma altri-menti inspiegabili. Specificatamente, la materia oscura permette di chiarirela formazione di galassie e ammassi di galassie in un tempo tanto piu brevedi quello generalmente previsto. Non solo: consentirebbe di chiarire i mecca-nismi che stanno alla base del moto delle stesse, i cui caratteri, non sembranopoter essere definiti unicamente dalla materia osservata.

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2.2 Prove sperimentali

Come si e detto, l’ipotesi sull’esistenza della materia oscura e dovuta alla di-screpanza fra quantita di materia visibile, e gli effetti di forze gravitazionaliche questa produce.Il primo a parlare di materia oscura fu lo svizzero Fritz Zwickly che, nel teorema

delviriale

1934, condusse una serie di osservazioni sulle velocita orbitali delle galassie.Egli applico il teorema del viriale alla galassia della Chioma, poi mettendo inrelazione la massa complessiva della galassia (ricavata da altre fonti) e la sualuminosita. Giunse cosı alla conclusione che dovesse esistere in vicinanza ditale galassia un quantitativo di materia “non visibile”, pari in massa a ben400 volte rispetto a quella osservabile, ovvero che

mv(l) +mo

mv(l)≈ 400 ( 6= 1)

(massa visibile in funzione della luce + materia oscura)/(massa visibile)

Consideriamo un sistema fisico i cui elementi interagiscano gravitazional-mente, e tale che i moti di questi ultimi avvengano in una porzione limitatadi spazio. Allora vale la seguente relazione:

2K + U = 0 → K = −1

2U

Dove con K si indica l’energia cinetica media (misurata su un certo inter-vallo di tempo) delle masse appartenenti alla galassia e, con U l’energiapotenziale responsabile della loro coesione gravitazionale. Questo teorema dimeccanica statistica e importante in quanto da esso ricaviamo teoricamenteche l’energia cinetica delle masse in movimento dovrebbe corrispondere allameta esatta della relativa energia potenziale gravitazionale. Le osservazioni 1) ro-

tazionedellegalas-sie

effettuate tuttavia hanno messo in luce la quantita di materia visibile non etale da verificare tale uguaglianza. Quanto piu in teoria ci si allontani dalcentro galattico, tanto piu, diminuendo l’energia potenziale U , diminuirebbeproporzionalmente l’energia cinetica K. I dati sperimentali tuttavia, smenti-scono questa tesi2. Per compendiare i risultati ottenuti, Zwickly elaboro undiagramma che mette in relazione la velocita di rotazione di un elemento diuna generica galassia e, la distanza dal centro galattico dello stesso, differen-ziando nello specifico due rami del grafico: quello previsto da calcoli teoricie, quello basato sui dati sperimentali.

2in altre parole, si puo dire che elementi appartenenti ad ammassi galattici, specialmen-te se dislocati in zone periferiche, possono violare la terza legge di Keplero, secondo cuiil quadrato del periodo e proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita ellitticapercorsa dal corpo: T 2 ∝ a3.

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Figura 2.2: confronto tra i valori teorici(verde) e quelli sperimentali (rosso), dellavelocita di rotazione di porzioni di galas-sia in funzione della distanza dal centrodella stessa.

Solo negli anni ’60 e ’70 del ’900le ricerche avviate da Zwicky, furono avanzamento

dellateoria

approfondite e sistematizzate in unpiu coerente quadro d’insieme dellaquestione sulla materia oscura. Trai primi studiosi che in questo perio-do si adoperarono in tal senso, ricor-diamo Rubin, Ford, Freeman, Pee-bles. I due, addussero ulteriori pro-ve a sostegno di quanto postulato dalZwicky, proseguendone gli suoi studie perfezionandone i risultati. In basea cio, non solo poterono confermarela presenza di materia oscura nell’u-niverso, ma anche di evidenziare co-me essa sia generalmente collocatain prossimita delle galassie, presen-tandosi talora disposte in maniera -apparentemente - ordinata e coeren-te (e perdipiu secondo certe simme-trie).

La seconda importante prova che confermerebbe l’esistenza della materia 2) lentegravitazionaleoscura, riguarda il fenomeno della ‘lente gravitazionale’, previsto e descritto

dalla relativita generale. Immaginiamo che fra la terra e una fonte lumi-nosa nello spazio si frapponga una massa (di considerevevoli dimensioni3).La deformazione dello spazio-tempo cui quest’ultima da luogo provoca unadeflessione e una amplificazione delle onde elettromagnetiche emanate dallasorgente, che in tal modo arrivano a poter essere da noi rilevate. In altricasi oltre alla deflessione si puo assistere a fenomeni di sdoppiamento dellaluce, per cui vedremmo comparire quest’ultima da piu direzioni e in diversainensita, mentre comunque la sorgente si mantiene essenzialmente unitaria4.La relazione matematica che descrive l’entita della deviazione subita dallaradiazione elettromagnetica, e la seguente:

θ(M, r) =4G

c2· Mr

Dove θ e l’angolo di deflessione, G la costante di gravitazione universale,c la velocita della luce nel vuoto, M la massa dell’oggetto che deforma lo

3in genere una galassia o un ammasso di galassie.4esempio: la galassia di Abel 1689.

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spazio-tempo, ed r la distanza della radiazione da quest’ultimo5.Quantunque il fenomeno osservato resti in ogni caso della stessa tipologia (e

Figura 2.3: Esempio di lente gravitazionale: la radiazione elettromagnetica incur-va la propria traiettoria in presenza di un campo gravitazionale. Ad un osservatoreposto nelle vicinanze di quest’ultimo essa sembrerebbe tuttavia aver seguito unpercorso rettilineo. Occorre precisare che suddetti campi gravitazionali non sonocollocati in zone di spazio circoscritte; la loro influenza si estende ipoteticamentefino a distanza infinita. Una conferma ci e data dalla legge di gravitazione univer-sale: F = Gm1·m2

r2; F diminuisce per r −→ ∞, ma non si annulla mai del tutto. I

campi gravitazionali agiscono dunque in contemporanea, anche su un unico oggettocome, nel nostro caso, la luce. La figura in esame e pertanto una idealizzazione.

dunque la relazione suddetta rimanga in ogni caso valida), i casi di studio cir-ca la lente gravitazionale sono stati divisi in due gruppi, in base all’intensitadel fenomeno che si verifica: fenomeni di vaste proporzioni e che coinvolgonoenormi distanze (ad esempio la radiazione di quasar che interagisce gravita-zionalmente con grosse galassie); e, fenomeni piu ristretti e localizzabili, cheavvengono su scala intergalattica (osservazione di stelle e pianeti). Cio che esorprendente, ma anche rassicurante e che il confronto di dati e risultati ri-cavati da ciascuno dei due diversi rami, concorda e converge alla conclusioneper cui la materia oscura esista e in grande, enorme quantita. Precisiamo che,nel caso in esame a generare l’effetto di lente gravitazionale, non e materia

5solitamente questo e il parametro piu difficile da definire. In particolare, nell’effet-tuarne una misurazione sperimentale, bisogna tener presente che la gravita non agisceinstantaneamente ma a velocita c.

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visibile (una galassia, un pianeta, una stella . . . ), ma, naturalmente, materiaoscura rilevata indirettamente.

2.3 Composizione

Come gia si e accennato, la strutturacostitutiva dell’universo e molto di-versa da quanto, intuitivamente, ciaspetteremmo: un 4,6 % di mate-ria barionica ordinaria (in larga par-te costituita da protoni, elettroni eneutroni); un 23 % di materia oscurae, un restante 72 % di energia oscu-ra6.Approfondiamo la seconda.Anche per quanto concerne la mate-ria oscura si e soliti distinguere unacomponente barionica ed una com-

ponente non-barionica. La prima, oltre ad essere difficilmente rilevabile,si ritiene che costituisca una minuscola parte della quantita complessiva dimateria oscura, da cui la minore considerazione riservatale. La parte non-barionica e quella di maggiore rilevanza: i suoi costituenti sono formati es-senzialmente da particelle elementari, nessuna delle quali e incorporata nellateoria del Modello Standard (da cui gia si intuisce una certa atipicita). Que-sta pero non e l’unica ipotesi esistente. Qui interviene una classificazioneduplice:

(1) In base alla velocita, relativistica o meno, a cui le particelle coinvoltesi muovono.

(2) In base alla massa e alle dimensioni.

Nell’ambito della prima classificazione si e poi soliti distinguere tre cate-gorie di materia oscura non barionica:

• La materia oscura “calda”, consiste di masse che si muovono a velocitarelativistiche. La piu importante tra queste e il neutrino (ν), particellaelementare dotata di una massa estremamente ridotta e, interagenteunicamente con la forza nucleare debole e la forza gravitazionale. Sonomolto difficili da rilevare sperimentalmente, e inoltre non consentono

6queste percentuali non sono ancora state definite con esattezza.

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di spiegare integralmente, come a partire dal Big Bang si siano forma-te le galassie7. I neutrini infatti, muovendosi a volocita elevatissimenon manifestano la tendenza ad agglomerarsi con facilita, assunto chesi oppone alla sostanziale uniformita della radiazione cosmica di fon-do a microonde. In generale dunque, e stato appurato che quella dellamateria oscura calda non e una teoria di per se compiuta, rappresentan-do i neutrini solo una modesta percentuale della materia oscura finoreidentificata (supposta).

• La materia oscura “tiepida”, dotata di caratteristiche intermedie aquella calda e quella fredda. Il candidato piu probabile per questateoria e il neutrino sterile, particella che, a differenza del neutrino‘semplice’non interagisce neanche con la forza elettrodebole.

• La materia oscura “fredda”, che ci si e proposti di utilizzare al fine disopperire alle mancanze presentate dalle varie congetture sul neutrino.Essa consentirebbe infatti di chiarire come dalla condizione iniziale diomogeneita del Big Bang8, l’universo sia progredito in modo disunifor-me, per via dell’ammassamento di materia in certe determinate zone(galassie). Secondo la teoria della materia oscura fredda, la strutturadell’universo cresce gerarchicamente: a partire dalla frammentazionedi piccoli oggetti, per graduale e successiva aggregazione, si sarebberoformati quelli di maggiori dimensioni9. Uno dei limiti di questa teoriae il non saper specificare quali particelle siano direttamente coinvoltenei meccanismi da essa previsti. Cionondimeno tuttavia sono state in-dividuate due sottocategorie che, a grandi linee, descrivono i candidatifavoriti10:

* MACHO (Massive Compact Halo Objects), gruppo di oggetticostituiti da materia barionica, e identificabili con buchi neri, nanebianche o nane brune. Tali oggetti consentirebbero di giustificarela presenza attorno alle galassie di aloni di materia oscura.

* WIMP (Weakly Interacting Massive Particles), materiali che in-teragiscono solo con la forza gravitazionale e con la forza nucleare

7questa e del resto una delle problematiche da cui ha preso avvio la speculazione sullamateria oscura.

8di cui appunto reca traccia la radiazione cosmica di fondo.9mentre invece la teoria precedente prevede l’opposto, cioe che gli oggetti attuali si

siano formati per disgregazione graduale di superammassi inziali10ed e qui che interviene la seconda classificazione di cui si e detto. Talvolta si identifica

la materia oscura semplicemente con la materia oscura fredda, motivo per cui, in tali casi,si utilizza solo questa seconda classificazione.

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debole, in misura talmente esigua da risultare difficilmente rileva-bili. Sono pero massivi; rappresenterebbo dunque un potenzialerimpiazzo della materia mancante (oltre agli altri tipi di materiaoscura di cui gia si e detto).

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Capitolo 3

Filosofia

POPPER E ILFALSIFICAZIONISMO

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Introduzione

La seguente - conclusiva - ricerca ha come oggetto la posizione filosofica delfalsificazionismo, sviluppata da Karl Raimund POPPER (1902-1994), che nefu l’iniziatore e il suo esponente di maggior rilievo.Il falsificazionismo si inserisce nel piu generale ambito della filosofia dellascienza. Suo obiettivo principale e costituito dallo studio dei fondamenti, de-gli assunti e delle implicazioni delle scienze sia naturali (fisica, biologia . . . )che sociali (psicologia, economia . . . ). Piu precisamente, Popper si occupodi epistemologia, branca associata alla filosofia della scienza che indaga sullecondizioni e sulle modalita entro cui possa prodursi conoscenza scientifica.Fu soprattutto nel ’900 che la filosofia della scienza incontro il suo maggio-re sviluppo, almeno relativamente alle problematiche che, odiernamente, ciinteressano piu da vicino. La ragione di cio e probabilmente dovuta, oltreche alla vicinanza temporale, a motivazioni da ricondurre alla rivoluzionescientifica che si ebbe luogo agli inizi del secolo, mutando alla base tutta unaserie di convinzioni ormai date per certe, insieme altresı ai presupposti messia fondamento delle scienze, prima fra tutte la fisica. Come ho gia accennatonella prima parte di questa tesina anche la matematica fu investita da quel-la che fu chiamato il problema della crisi dei fondamenti e, in cui rientra,naturalmente, la trattazione del teorema di incompletezza di Godel. Si no-ti altresı che, la filosofia della scienza non fu limitata all’arco temporale diquesto ultimo secolo, ma bensı include - con qualche riserva - tutta la storiadella filosofia, dall’antica Grecia, al mondo attuale. Non mi ci soffermeroin questa sede, limitandomi piuttosto a delineare per sommi capi il contestostorico-culturale in cui si inserisce l’opera di Popper.Nei primi anni del secolo e oltre, la filosofia della scienza prospero per meritoessenzialmente, se si esclude Popper, degli esponenti di tre diversi indirizzidi pensiero:

- il neopositivismo logico, maturato presso il circolo di Vienna (1922-1934)1, affermo la necessita di fondare la conoscenza scientifica sull’e-sperienza, di cui tento di definire l’ambito di validita del procedimentoinduttivo. Principale proposito di tale indirizzo fu quello analizzarefilosoficamente la struttura fondamentale dell’apparato scientifico, ri-correndo agli strumenti della logica matematica sviluppatasi in queglistessi anni.

1tra i cui frequentatori annoveriamo R. Carnap, O. Neurath, H. Reichenbach, C. G.Hempel

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- la filosofia del “no”, elaborata da Gaston Bachelard, si concentrosulla dimensione storica entro cui si affermano determinati indirizziscientifici.

- epistemologia positivista, appellativo che riunisce gli sviluppi dellafilosofia della scienza durante gli anni ’70 del secolo, (ad opera di autoricome I. Lakatos, P. Feyerabend, T. Kuhn), rivaluto l’importanza dellascienza in quanto fattore dinamico e dunque, i meccanismi storici eculturali, attraverso cui ciclicamente a certe teorie ne si sostituisconodi altre.

Popper fu importante in quanto, la sua filosofia ha rappresentato un ardi-to tentativo di opposizione o, se vogliamo, di superamento, delle posizioniespresse dalla tre correnti sopra citate. Vediamo perche.

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3.1 Il metodo ipotetico-deduttivo

La filosofia di Popper e ricordata per alcune sue particolarita, che contribui-rono, pur non senza opposizioni, ad accrescerne la notorieta tra i contempo-ranei.Tra queste particolarita vi e la rivalutazione dell’“errore”, da tempo conside- rivalutazione

dell’er-rore

rato dalla tradizione filosofica come un qualcosa di preferibilmente evitabile,di riprovevole, e comunque, ad ogni modo si fosse manifestato era negativa-mente interpretato. Popper al contrario ne diede una diversa interpretazione,per cui, in piena antitesi con metodo scientifico consolidato, assurgeva a ruolodi motore della scienza.Le ragioni di questa posizione sono da ricercare nello spirito razionalistico spirito

criticoe profondamente critico di cui il filosofo si rese fautore, seguendo l’illustreesempio di Kant: “Il segreto dell’eccellenza intellettuale e lo spirito di criti-ca”. Come si comprendera meglio piu avanti lo spirito critico e fondamentale,in quanto esso e presupposto di una rivalutazione del significato che le nostreconvinzioni e conoscenze possiedono. L’errore consente infatti di evidenziarele mancanze e l’intrinseca erroneita. E, nota bene Popper, e solo attraversol’identificazione degli errori che, in qualche modo, puo attuarsi una crescitaintellettuale e conoscitiva, in quanto, fondamentalmente, l’errore implica unaaccostamento alla verita (“la nostra conoscenza si accresce nella misura incui impariamo dagli errori”). Oltre allo spirito critico e altresı necessarioessere modesti, per poter senza remore accettare tavolta di aver sbagliato,imparando dai propri errori, nella convizione che la verita e irraggiungibilenella sua completezza, e che dunque, non puo esistere un suo effettivo con-seguimento, ma bensı una tensione ad essa.Il concetto che alquanto grossolanamente ho indicato con il termine “mode- fallibilismo

stia”e, piu propriamente, sostituito da Popper con quello di fallibilismo, cheegli definı come “il non-sapere socratico”o, piu esaustivamente, come “l’idea,o l’accettazione del fatto che possiamo errare o che la ricerca della certezza(o anche la ricerca di un’alta probabilita) e una ricerca erronea. Al con-tarario, l’iea di errore implica quella di verita come standard che possiamoanche non riuscire a conseguire e che, per quanto si possa cercare la verita eanche trovarla (il che credo avvenga in moltissimi casi), non possiamo essereassolutamente certi di averla trovata”.Questa citazione riassume compiutamente quanto detto finora. Vediamoadesso di specificare piu approfonditamente l’importanza che Popper attri-buisce all’errore e che, egli pone alla base del metodo di indagine cosiddettoipotetico-deduttivo da lui elaborato e che, a sua volta, detiene un ruolo fon- il me-

todoipotetico-deduttivo

dante dell’edificio piu ampio del falsificazionismo intero. Il suddetto metodoe finalizzato all’acquisizione di conoscenza circa un determinato oggetto; esso

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consiste nella formulazione di ipotesi che tentino di chiarirne la natura,e dadover successivamente confrontare con i dati ricavati dall’esperienza, ovverodall’osservazione diretta dei fenomeni che tale ipotesi –a livello teorico –coin-volge.L’impiego di questo metodo ha importanti implicazioni in ambito gnoseolo-gico: prima fra tutte lo spostamento di prospettiva del processo conoscitivoche, prende adesso avvio a partire da una ipotesi, piuttosto che dall’osser-vazione percettiva dei fenomeni. In questo l’induzione perde il suo ruolo diprimo piano, a favore di un procedimento basato sull’elaborazione di ipotesiche il soggetto conoscente inizialmente formula nel tentativo di spiegare lanatura di un fenomeno, ma che poi, allorche se ne dimostri la falsita, la con-futa, cosı avanzando con un’altra successiva ipotesi (naturalmente modificatarispetto alla precedente). Tale metodo si articola dunque su coppie antiteti-che di tentativi (ipotesi) ed errori (svelamento della falsita dell’ipotesi).Esso rappresenta per Popper un metodo universale (applicabile dunque aqualsiasi forma di vita) di avanzamento della conoscenza, a qualsiasi gradodi sofisticatezza essa si esplichi, come egli stesso ci dice: “La differenza tral’ameba e Einstein e che, sebbene ambedue usino il metodo del tentativo edella eliminazione dell’errore, all’ameba dispiace sbagliare mentre Einstein nee stuzzicato: egli cerca consciamente i suoi errori nella speranza di impararedalla loro scoperta ed eliminazione”.Queste ultime considerazioni ci riportano da un lato alla discussione inizia-le circa la rivalutazione dell’errore e alla necessita di uno sprito critico (chel’ameba non possiede ma che Einstein ha), in quanto mezzi di accrescimen-to conoscitivo; dall’altro ci conducono verso la problematica centrale dellafilosofia popperiana: la possibilita cioe di delineare un metodo che consen-ta alla scienza di avanzare le proprie teorie in maniera rigorosa e coerente,in modo tale da colmare gradualmente il divario che ancora ci separa dallaverita. Tale ricerca, e bene ribadirlo, non presuppone una definitiva conclu-sione corrispondente ad un eventuale raggiungimento della verita, quanto unavvicinamento ad essa, impostato in termini di tensione al sapere.Nel prossimo paragrafo ci occuperemo dell’applicazione del metodo ipotetico-deduttivo alla scienza; arriveremo dunque a parlare di cosa propriamente siintenda per falsificazionismo.

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3.2 Il falsificazionismo

La riflessione filosofica di Popper prende le mosse dalla fondamentale proble- criticaall’in-duzio-ne

matica dell’induzione, incorporata, dai tempi di Galileo, come presuppostonodale del metodo scientifico e, da allora, mai piu contestata in questo suoruolo di primaria importanza. Brevemente, il concetto di induzione designaun tipo di ragionamento che, supportato da un’evidenza fenomenica positiva,permetta la generalizzazione di leggi scientifiche e dunque, in virtu di cio, an-che di prevedere –entro certi limiti –gli accadimenti futuri. Analogamente, iltermine induttivismo denota ogni teoria del metodo scientifico che si avvalgadella suddetta strategia. Popper, dal canto suo, evidenzio la fallacia di ogniteoria che facesse uso dell’induzione. Analizziamone le ragioni:

(a) In primo luogo l’induzione, partendo da casi singolari, particolari, nonpermette a chi la utilizzi di analizzare la totalita dei casi entro cui undeterminato fenomeno si manifesta. La nostra natura di uomini infattinon ci permette di trascendere dalle nostre caratteristiche di finitezza.

(b) Popper, come si e detto, aveva posto alla base della propria teoria fi-losofica, l’ipotetico-deduttivismo, che, contrariamente all’induttivismo,assegna un ruolo di primaria rilevanza non all’osservazione di un certofenomeno, bensı all’ipotesi che ne esplica il funzionamento.

(c) Nel definire per sommi capi il concetto di induzione, ho parlato di evi-denze positive che, in altre parole, rappresentano le conferme che lascienza ricerca al fine di conferire “solidita”ad una determinata teoria.Poiche tuttavia, evidenze di questo tipo non risultano mai contenibiliin un numero finito di osservazioni, esse non potranno che dare luogoa verita parziali e incomplete2.

Popper, non solo critico l’induzione, ma anzi arrivo persino a sostenere, cheogni nostro processo conoscitivo (e dunque anche la stessa scienza) non eda essa regolato. L’induzione rappresenta dunque un modello infondato didescrizione della realta gnoseologica, che, al contrario, e sorretta su inferenzelogiche di natura deduttiva: da assunti primari e generici si ricavano veritaparticolari. Non solo: la forma di ipotetico-deduttivismo prevista da Poppernon si basa su evidenze positive, bensı negative, sostituisce cioe alla confer-ma la falsificazione, il cui grande privilegio rispetto alla prima e dovuto allasua immediata (e integrale) validita. Infatti, un’unica osservazione che nonconcordi con l’ipotesi iniziale e bastevole a falsificarla, mentre, d’altro canto,

2naturalmente il grado di parzialita di una teoria e dato dal numero di osservazionieffettuate

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anche un numero elevatissimo di verifiche non consente –in linea di principio–di confermarla esaustivamente. Einstein affermo in proposito: “Nessunaquantita di esperimenti potra dimostrare che ho ragione; un unico esperi-mento potra dimostrare che ho sbagliato.”Come si e detto all’inizio del paragrafo, furono i dibattiti sull’induzione astimolare l’opera filosofica di Popper. In termini piu generici tuttavia erasua intenzione, in questo stesso ambito, di dare sistemazione al cosiddetto“problema della demarcazione”, che interessava la definizione dei criteri inbase a cui risultasse possibile attribuire ad una qualche disciplina il rango discienza. Si trattava dunque di comprendere in che cosa appunto una scienzasi distinguesse da una pseudo-scienza.Il criterio suddetto fu identificato da Popper, essenzialmente nella possibilita falsificabilita

di controllo di una teoria, equivalente, nella sua concezione, alla falsifica-bilita. Da un punto di vista logico, una teoria e falsificabile se dalle suepremesse, e possibile dedurre le condizioni di almeno un esperimento che,alla prova dei fatti risulta in contrasto con le previsioni. La deduzione logicaavviene mediante l’inferenza del modus tollens, il cui principio di utilizzo eschematizzato qui di seguito:

α⇒ β,¬β¬α

Cio significa che, se α e β sono due qualsiasi condizioni, e:

(i) α implica β [ad esempio: se piove (α), prendo l’ombrello (β)]

(ii) se β e negato (non prendo l’ombrello)

(iii) allora anche α lo sara (non piove)

L’α negato in questione rappresenta la conclusione che dovra poi essere con-frontata coi dati sperimentali: nel caso in cui questi coinvolgano dei fattoriin contrasto con le previsioni teoriche, allora l’ipotesi iniziale sara a pieno ti-tolo falsificabile e, dunque candidata all’accrescimento di una qualche teoriascientifica. In caso contrario, un’ipotesi si dira non falsificabile e, pertantonon sara presa in considerazione come un possibile asserto scientifico.

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congettureeconfutazioni

La controllabilita di una teoria (meccanismo basilare della scienza), epertanto fondata non sul tentativo di verificarla (ossia di renderla vera),quanto su quella di renderla falsa. Teorie come il marxismo o la psicanalisi,dice Popper, non sono scientifiche in quanto non sono falsificabili, poiche,a loro volta, sono strutturate in maniera tale da poter rendere conto, diqualsiasi fenomeno. Le loro previsioni sono infatti, tanto generiche e vagheda inglobare la totalita di un largo gruppo di eventi.Dunque, nel formulare un’ipotesi o, cio che Popper chiama congettura, non 1) con-

gettureaudacieprecise

e sufficiente avanzare una soluzione di qualsiasi tipo; bensı, serve che talicongetture siano “audaci”ovvero, devono essere tali da comportare un certogrado di rischio circa la loro eventuale falsificazione. Il grado di rischio diun’ipotesi e misurato attraverso la quantita dei falsificatori potenziali cheessa contiene, ovvero dagli elementi che facilmente potrebberlo confutarla.Tale grado di rischio e in ogni caso accresciuto dalla caratteristica di novitache una congettura possiede, a causa appunto di una sua mancata precedenteelaborazione. L’“audacia ”di siffatte ipotesi implica che esse avanzino delleprevisioni ad alto grado di precisione (contrariamente alla vaghezza e allageneralita sopra citate)3.

Una volta che si sia completata l’elaborazione delle ipotesi (generalmente 2)esperi-mentieosservazioni

sono piu di una . . . ), che si siano cioe definite le congetture necessarie adescrivere il fenomeno in questione, si passa, come gia accennato, a mettere inpratica una serie di tentativi per confutarle. Tentativi che corrispondono allapredisposizione di esperimenti, basati sull’osservazione, i cui risultati sianopoi confrontati con le conclusioni teoriche (logiche) derivanti dalle congetture(l’α negato del caso precedente). E adesso necessario fare alcune precisazioni:in primo luogo distinguiamo i diversi concetti di osservazione e percezione;nonostante entrambi possano, di primo acchito, essere inglobati nell’ambitodella verifica sperimentale, solo la prima gioca al suo interno, un ruolo difondamentale importanza:

Nella scienza e l’osservazione piuttosto che la percezione a giocarela parte decisiva. Ma l’osservazione e un processo in cui giuochia-mo una parte piu intensamente attiva. Un’osservazione e unapercezione pianificata e preparata. Non “abbiamo”un’osservazio-ne ma “facciamo”un’osservazione.

3Popper aveva piu specificatamente parlato della possibilita di raffrontare diverse ipo-tesi e, di classificarle in ragione del loro grado di falsificabilita, indice a sua volta del loroeffettivo contenuto empirico, ovvero di quanto al contempo fossero accurate e di ampiocontenuto

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La seconda precisazione riguarda il fatto che le osservazioni non sono unqualcosa di pienamente spontaneo e immediato, ma che anzi presuppongonouna previa conoscenza che le indirizza ad un determinato fine, ovvero, nelnostro caso, alla confutazione delle ipotesi (“teoria del faro”). E cio che vienebene espresso nel prosieguo della precedente citazione:

Un’osservazione e sempre preceduta da un particolare interesse,una questione, un problema –in breve da qualcosa di teorico. Do-po tutto, possiamo porre ogni questione sotto forma di un’ipotesio congettura, cui aggiungiamo: “E cosı? Sı o no?”.

Il passo successivo del metodo consiste nel verificare la compatibilita delle 3) con-frontoipotesi-dati

osservazioni, con quanto previsto a livello teorico; Ecco che qui possonopresentarsi due casi:

(a) La teoria non viene confutata, cosı assumendo lo status (temporaneo)di teoria confermata. Supponendo di aver formulato delle ipotesi ade-guate, tutti i tentativi rivolti a dimostrare la falsita della teoria, nehanno, indirettamente, incrementato il grado di validita e universalita.Come ho specificato inizialmente, Popper ha un’idea della scienza comeun qualcosa di profondamente instabile e mutevole che richiede l’eser-cizio dello spirito critico (fondamentale prerequisito), che le consentadi avanzare in positivo. Una teoria siffatta non rappresenta la verita(per definizione irraggiungibile); e dunque compito della scienza quel-lo di continuare a ricercare gli elementi che ne dimostrino l’erroneita,piuttosto che di assumerla come conoscenza certa e consolidata.

(b) I dati ricavati sperimentalmente consentono di confutare la teoria e per-tanto, di invalidarla. Cio tuttavia non significa che essa venga svuotatadella propria valenza; questo suo suo processo di “eliminazione”anzipermette evidenziare gli errori commessi nell’elaborarla, la qual cosaconsente a sua volta di costruire nuove teorie basate su nuove conget-ture, che, per loro natura, risultano piu accurate e falsificabili delleprecedenti4. Paradossalmente questo secondo caso e preferito da Pop-per, in quanto esso consente un effettivo avanzamento della scienza indirezione della verita.

Riassumiamo brevemente: la nostra conoscenza –scientifica e non–si basa riepilogo

sull’ipotetico-deduttivismo: prima si avanzano delle ipotesi (o congetture)

4a meno che la teoria non venga modificata al fine di evitarne la falsificazione o di am-pliarla senza accrescerne il contenuto empirico. In tal caso si avrebbe una teoria modificata,con le parole di Popper, ad hoc.

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che riteniamo poter spiegare la problematica in questione, poi, grazie allospirito critico e alla consapevolezza della nostra fallibilita, sottoponiamo taliipotesi ad un controllo. Il quale a sua volta si basa sul confronto delle previ-sioni teoriche e dei dati ricavati dall’esperienza mediante l’osservazione (che ecosa diversa dalla percezione). Tale confronto e finalizzato, non all’accumulodi evidenze positive che confermino il fenomeno in questione (induzione), maalla ricerca di falsificazioni che permettano di confutarla (falsificazionismo).Se questa seconda ipotesi si verifica si procede con la formulazione di nuo-ve congetture dai quali si avvia un secondo ciclo dello stesso tipo. Questomodo di procedere e detto per “congetture e confutazioni”; esso mira nonal conseguimento di una verita definitiva, bensı e caratterizzato da una ten-sione, la quale consente di elaborare teorie scientifiche contenenti un numerodi errori inversamente proporzionale al grado di avanzamento. Dunque, seda un lato gli errori rappresentano il motore necessario allo sviluppo di unateoria, dall’altro, il falsificazionismo prevede –a livello ideale–una loro com-pleta eliminazione (solo quando –sempre a livello ideale–si sia effettivamenteraggiunta la verita).Quando si sia giunti ad un livello di raffinatezza tale, da rendere difficoltoseulteriori falsificazioni, la teoria si dice corroborata, ovvero, ancorche non coin-cidente con la verita assoluta, alquanto prossima ad essa e, per tale ragione,approssimativamente “accettabile”.

3.3 Contesto della scoperta e contesto della

giustificazione

Se, come si e detto, solo ad ipotesi falsificabili e data la possibilita di aspi-rare al rango di teoria scientifica, rimane da chiedersi quale ruolo, in ambitognoseologico, ricoprano le discipline pseudo-scientifiche.Popper sottolinea che queste ultime, quantunque non contribuiscano diret-tamente all’accrescimento della conoscenza, supportano l’uomo (lo scienzia-to) nell’elaborazione delle congetture, la cui natura non e regolamentata daschemi rigidi e inviolabili. Si tratta piuttosto di un’attivita creativa, non me-todicamente classificabile. Ecco perche relativamente al dibatitto sul metodoscientifico, risulta necessario operare una distinzione tra i due diversi ambitirelativi uno, al modo in cui le teorie vengono concepite, l’altro, alle modalitadi attestazione e di controllo della loro scientificita.Popper parte dal presupposto di considerare le idee indipendentemente da chile abbia avute o da come esse siano arrivate ad essere pensate. Cionondime-no egli esprime giudizi positivi sulle influenze che le pseudo-scienze possano

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determinare sull’individuo che stia elaborando nuove ipotesi. Nessuna fonte,di qualsiasi natura essa sia (artistica, metafisica, estatica, filosofica, scienti-fica ecc. . . ) non puo essere ripudiata a priori purche essa determini l’effetivoconseguimento di un risultato significativo nei termini della teoria del falsi-ficazionismo. Popper afferma a riguardo che, scopo specifico della filosofiadella scienza a suo parere non e di indagare i precedenti teorici delle ipotesiscientifiche (determinabili a partire da una moltitudine di situazioni), quantoquello di creare modello che consenta di definire il loro grado di conferma.

L’atto del concepire o dell’inventare una teoria, non misembrarichiedere un’analisi logica ne esserne suscettibile. La questione:come accada che a un uomo venga in mente un’idea nuova [...]puo rivestire un grande itneresse per la psicologia empirica ma eirrilevante per l’analisi logica della conoscenza scientifica.

Da qui la differenziazione tra “contesto della scoperta”e, “contesto della giu-stificazione”. Tutto cio che in definitiva non fa parte della scienza5 intesa insenso popperiano contribuisce ad accrescere il primo di questi ambiti, men-tre e il secondo a confermarne o a smentirne la validita, colta in un primomomento a livello solamente intuitivo.

3.4 Problemi del falsificazionismo

Il falsificazionismo implica una serie di problemi, alcuni dei quali risultanoa prima vista correggibili mediante una apposita riformulazione della teoria,altri che invece, sono insiti nei suoi assunti di base e che, pertanto, appaionoinsolubili.In generale, appare fondamentalmente impossibile dare una sistemazione teo-rica al metodo scientifico, senza ricorrere all’induzione. D’altra parte si evin-cie tuttavia come insieme alla conferma, risulti necessario l’impiego dellafalsificazione. Di seguito elenco le principali critiche che sono state mosse alfalsificazionismo popperiano:

(a) Il problema di Duhem, formulato dal filosofo omonimo, riguarda lanatura delle premesse coinvolte nel –gia citato –modus tollens. Essoin particolare, evidenzia come una qualunque teoria scientifica presup-ponga non una singola ipotesi (o che, al piu, possa trattare con singoleipotesi), ma un insieme strutturato di una molteplicita di assunti. Moltidi essi sono a tal punto radicati nell’agire comune che spesso non ne te-niamo debito conto; il rigore scientifico non puo lasciare spazio tuttavia

5ma anche, eventualmente delle ipotesi confutate

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a mancanze di questo tipo. Ecco perche, in generale, si dovrebbe sosti-tuire alla premessa α, un insieme di premesse del tipo α1, α2, . . . , αn.Lasciando inalterato il resto, la regola inferenziale sara dunque modifi-cata nel suo contenuto, in maniera tale da presentare come conclusionela negazione, non piu di una singola premessa, ma di tutte quante lealtre.In seguito a controlli sperimentali, una eventuale confutazione della teo-ria non potrebbe a tal punto rendere conto di quale specifica premessasia responsabile della sua falsificazione. In tal caso ci si puo limitarea dire che e la combinazione delle premesse α1, α2, . . . , αn a falsificarel’ipotesi. “Un esperimento scientifico dunque non puo mai condannareun’ipotesi isolata, ma soltanto tutto un sistema teorico”.Popper replica ammettendo l’impossibilita da parte di un singolo espe-rimento di confutare un’intera teoria. Il miglior metodo di verifica inquesto senso e dato dal confronto reciproco di piu studiosi che si stianooccupando di uno stesso problema: ammettendo di fare uso delle stessestrumentazioni e tecniche d’analisi, la teoria puo dirsi effettivamenteconfutata solo qualora tra di essi sussista un accordo intersoggettivoindirizzato alla sua falsificazione.

(b) Alcuni elementi costitutivi della scienza non sembrano essere falsificabili.Tra di questi:

(i) gli asserti probabilistici riguardanti un singolo evento (tipici dellafisica), non sono falsificabili in quanto i risultati di una verificasperimentale potrebbero coerentemente rientrare in entrambi i casiprevisti dalla teoria (quelli cioe in cui un evento ha o non haprobabilita di verificarsi).

(ii) gli asserti che dichiarano l’esistenza di oggetti la cui presenza none ancora stata accertata (ad esempio i buchi neri, gli atomi, ilDNA ecc. . . ). Che si giunga o non ad una definitiva verifica inquesto senso, le relative ipotesi non sarebbero falsificabili.

(iii) principi che quantunque non falsificabili, sono ritenuti parte es-senziale della scienza. Essi si distinguono in principi contenutistici(ad esempio il principio di conservazione dell’energia, il secondoprincipio della termodinamica riguardante l’entropia, il principiosecondo cui l’interazione a distanza e mediata da interazioni locali,la teoria dell’evoluzione della specie ecc . . . ) e, metodologici (chespesso conducono all’accettazione di leggi semplici ed unificanti,piuttosto che complesse e caotiche).

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(c) Da alcuni e stata avanzata la critica secondo cui lo stesso falsificazioni-smo non sia a sua volta falsificabile. All’obiezione si replica facilmenteevidenziando come il falsificazionismo sia una teoria logico-filosofica delmetodo scientifico e non, una teoria scientifica esso stesso.

(d) Il grado di falsificabilita, cui ho solo vagamente accennato, e una misurarelativa in quanto, dal problema di Duhem si ricava che la nozione difalsita e ascrivibile ad un sistema di ipotesi. Ma poiche le componen-ti di tale sistema, ovvero le singole ipotesi, sono formulate in ambititemporali differenti, si dovra necessariamente fare ritorno al passato,cosı riammettendo l’induzione, che in precedenza sembrava essere stataesclusa.

(e) Il falsificazionismo, essendo una teoria deduttiva, non ci permette dieffettuare delle anticipazioni sul futuro. L’assunto inoltre che tutta laconoscenza sia negativa conduce a una forma di nichilismo, che si ponein contrasto con l’evidenza quotidiana dei fenomeni, nel cui ambitoemerge l’importanza di evidenze positive, ma anche del procedimentoinduttivo

(f) Le nozioni di “audacia”e “novita”circa la formulazione di ipotesi sonostoricamente relative.

(g) Spesso e volentieri il falsificazionismo e ignorato dagli scienziati, che nonsi lasciano convincere da una o piu evidenze negative ad abbandonareun certo indirizzo teorico, soprattutto se in mancanza di alternativemigliori. Come gia ho accennato, sono in molti ad operare delle modi-fiche su certe ipotesi, mediante l’aggiunta di altre ipotesi dette ad hocche consentano di impedirne la confutazione. Tali ipotesi sono tuttaviascientificamente inaccettabili in quanto non aggiungono contenuto em-pirico alla vecchia teoria (anzi sotto questo punto di vista la lascianoinalterata).

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