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Acerca del problema de Kepler
Salvador Olivares Campillo
3 de julio de 2001
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Indice General
1 Introduccion 1
2 Resumen 32.1 Perihelio . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Energıa y momento angular . . . . . . . . 7
3 Como ver este documento 10
4 Conicas 134.1 Una ecuacion para las conicas . . . . . . 15
4.2 Simetrıa de las conicas . . . . . . . . . . 19
4.3 Curvatura en el perihelio y excentricidad . 21
4.4 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5.1 La elipse de Mercurio . . . . . . . 28
� � C B �
4.5.2 Venus . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5.3 La Luna y otros satelites de la Tierra 29
4.5.4 Marte . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Perihelio y excentricidad en funcion de laenergıa y el momento angular 32
6 Velocidades 38
7 Otra ecuacion para las conicas 40
8 Elipses y leyes de Kepler 43
9 La curvatura en el perihelio y la excentrici-dad 46
10 Problemas 49
� � C B �
1
1 Introduccion
Las orbitas de los planetas son casi circulares, pero no
son circulares. Con mas exactitud, son elıpticas, y esto
fue lo que llevo a Kepler, con las tablas de Tycho Brahe,
a corregir a Copernico (para el que las trayectorias tenıan
que componerse con circunferencias perfectas) y a elaborar
sus conocidas tres leyes.
Los datos de Tycho eran mucho mas exactos que los
manejados por Copernico, pero, aun ası, planetas como
Venus seguıan encajando muy bien dentro de las supues-
tas orbitas circulares perfectas. Fueron la excentricidad de
Marte1 y la honradez de Kepler —hasta entonces un con-1Solo Mercurio y Pluton tienen orbitas mas excentricas que
Marte; pero Pluton no se conocıa y Mercurio esta demasiadoproximo al Sol. Al comenzar su relacion con Tycho Brahe, Ke-pler tuvo la suerte de que se le encargara continuar el difıcil
�⊙
� C B �
2
vencido copernicano— las que llevaron al establecimiento
de unas leyes que prepararon el camino de Newton a las
suyas.
La trayectoria de una partıcula en un campo gravitatorio
central es una conica, esto es, una elipse, una parabola
o una rama de hiperbola, pero con demasiada frecuencia
casi todo esto suele dejarse de lado a la hora de efectuar
calculos, que suelen reducirse a los del movimiento circular.
La simplificacion puede parecer necesaria a ciertos niveles;
sin embargo, es posible, con solo un poco mas de trabajo,
resolver problemas bastante mas proximos a los reales. Y
es de esto de lo que van a tratar las lıneas que siguen.
estudio de los movimientos de Marte, estudio este que ya habıaacabado con la paciencia de Tycho y sus colaboradores (vease[4, p. 247]).
�⊙
� C B �
3
2 Resumen
2.1 Perihelio
Dada la ley de la fuerza que actua sobre un punto material,
la segunda ley de Newton permite encontrar la posicion y
la velocidad de la partıcula en cualquier tiempo a partir de
la posicion y la velocidad en un instante inicial cualquiera.
Interesa el movimiento de una partıcula de masa m bajo
la atraccion gravitatoria de otra de masa M mucho ma-
yor. Evidentemente, de todos los puntos de la trayectoria
de una partıcula en un campo gravitatorio central el mas
caracterıstico es el perihelio, que es el mas proximo al cen-
tro del campo. Sea que la partıcula m tiene la velocidad
v0 a su paso por el, a la distancia r0 del centro; entonces:
1. La trayectoria es la seccion conica que tiene:
�⊙
� C B �
4
(a) Un foco2 en el centro del campo, que es el punto
ocupado por M (observese que la primera ley de
Kepler es un caso particular).
(b) La excentricidad dada por
e =R
r0− 1, (1)
donde R es el radio de curvatura en el perihelio,
que cumple
GM
r20
=v2
0
R, (2)
siendo G la constante de la ley de la gravitacion
de Newton. Notese que el movimiento es circular
solo cuando R = r0, lo que —para un r0 dado—
ocurre solo con una v0.2Para la parabola, el foco.
�⊙
� C B �
5
2. Empleando como coordenadas cartesianas la distancia
x de un punto de la curva a la directriz3 y su altura
y sobre la recta centro-perihelio, la ecuacion de la
trayectoria, esto es, la relacion entre las coordenadas
de los puntos de la conica es
x =r0
e(1− e)±
√r20
(1− e)2− y2
1− e2(3)
cuando e 6= 1 (elipse e hiperbola). Si e = 1 (parabola),
la ecuacion cartesiana es mas sencilla:
x = r0 +y2
4r0. (4)
Si como coordenadas se toman la distancia r al centro
del campo y el angulo φ entre la recta centro-perihelio3El perihelio esta entre el foco y la recta directriz, que es la
perpendicular a la centro-perihelio que dista r0/e del perihelio.
�⊙
� C B �
6
y el vector de posicion (coordenadas polares), enton-
ces la ecuacion de la trayectoria es
r = r0e + 1
e cos φ + 1. (5)
El vector de posicion (con origen en el centro del cam-
po) barre por unidad de tiempo el area
1
2
L
m, (6)
siendo L la magnitud del momento angular de la partıcula,
que cumple L/m = r0v0. De la conservacion de es-
ta importante magnitud se desprende que la velocidad
areolar es constante, lo que significa que el vector de
posicion barre areas iguales en tiempos iguales (segun-
da ley de Kepler).
3. Las unicas trayectorias cerradas son las elıpticas. Di-
vidiendo el area de la elipse por la velocidad areolar
�⊙
� C B �
7
se obtiene el perıodo T de revolucion alrededor del
centro del campo; es decir, se llega a que
T 2 =4π2
GMa3 (7)
(tercera ley de Kepler), donde a es el semieje mayor
de la elipse. Y si lo que se quiere es el tiempo que
tarda la partıcula en alcanzar la posicion senalada por
el angulo φ despues de pasar por el perihelio, basta
calcular el area S(φ) barrida desde que el angulo era
cero y dividir por L/2m:
t =S(φ)
L/2m. (8)
2.2 Energıa y momento angular
Las magnitudes r y v permiten calcular la energıa y el
momento angular que caracterizan el movimiento (en todo
�⊙
� C B �
8
el, la energıa es la misma y el vector del momento angular
permanece invariable). En particular, si se sabe donde esta
el perihelio y que velocidad tiene la partıcula cuando pasa
por el, la determinacion es mas simple:
E =1
2mv2
0 −GMm
r0,
L
m= r0v0. (9)
Inversamente, con la energıa y el momento angular no
es difıcil hallar r0 y v0. En este caso, la ecuacion de se-
gundo grado da dos soluciones para las orbitas elıpticas,
lo que se debe a la existencia de un segundo vertice (el
afelio). Evidentemente, con r0 y v0 las ecuaciones (1) y
(2) conducen a la excentricidad y, por tanto, a la ecuacion
de la trayectoria —formulas (3) o (4) y (5)—.
Mediante la ecuacion de la trayectoria es posible el
calculo (con una integracion) del area barrida por el vector
de posicion entre una posicion de referencia y otra cual-
�⊙
� C B �
9
quiera, y (8) relaciona areas y tiempos.
La posicion de la partıcula en un instante cualquiera
determina su distancia r al centro del campo4 y las leyes de
conservacion de la energıa y el momento angular permiten
encontrar la magnitud de la velocidad y su direccion: de
E =1
2mv2 −G
Mm
r(10)
se despeja v y
L = rmv sen θ (11)
da el angulo θ entre el vector de posicion y la velocidad.4Con la coordenada y, la ecuacion de la trayectoria proporcio-
na la x y r =√
x2 + y2. Con las coordenadas polares es massencillo: φ da inmediatamente r.
�⊙
� C B �
10
3 Como ver este documento
Las secciones 4, 5 y 6 pueden constituir un primer nivel,
caracterizado por la descripcion mediante coordenadas car-
tesianas. Las restantes secciones dan un segundo nivel, en
el que se emplean coordenadas polares. Los enlaces en el
margen derecho llevan a las respuestas de los problemas y
a otros documentos (el momento angular y la energıa, el
concepto de area y detalles sobre su calculo...), ası como
a graficos e imagenes relacionados con el texto principal.
En particular, el que se ve aquı conduce a un mapa con
enlaces a los principales archivos. Mapa
1. Este documento electronico tiene texto, numeros y
sımbolos en color que son enlaces con otras partes del
documento o con otros documentos, graficos, imagenes
y tablas. En general, el propio enlace y su contexto
�⊙
� C B �
11
indica que es lo que presentara. Las excepciones estan
al pie de las paginas:
(a) El boton � permite ver el documento a pantalla
completa (o volver al modo normal).
(b) El sımbolo alquimista del oro y del Sol (⊙
), que
a veces aparece a la derecha en el pie de pagina,
lleva al ındice general o a la primera pagina del
documento que se este viendo.
(c) Los triangulos de las cajas azules (el azul del cielo)
conducen a la pagina siguiente o a la anterior. Las
de las cajas amarillas (el amarillo del oro) permi-
ten retroceder por la misma ruta que ha llevado a
un cierto punto (incluso a traves de otros docu-
mentos), o volver a recorrerla por todos sus pasos;
ası, por ejemplo, despues de saltar varias paginas
con un enlace para ver una ecuacion distante, se
�⊙
� C B �
12
regresa al punto de partida con un solo clic en el
boton que da la vista previa.
(d) Puede ocurrir que un enlace envıe a un segundo
documento de varias paginas y que despues de
unos pasos se quiera volver directamente al primer
documento y justamente en el punto en el que se
dejo. De esto se encarga el icono especial⊎
, a
la derecha del pie de la pagina. Este enlace evita
la reconstruccion de las vistas intermedias en el
regreso.
2. Los graficos y las imagenes se pueden ampliar para
verlos con mas detalle (el tamano de las imagenes se
da entre parentesis). Acrobat Reader incluye la
herramienta adecuada para realizar ampliaciones (su
icono es una lupa); con ella, simplemente se dibuja un
rectangulo sobre la parte del grafico a ampliar. Esta
�⊙
� C B �
13
herramienta se consigue en la barra correspondiente de
Acrobat Reader o en el pie de las paginas de imagenes,
graficos y tablas.
4 Conicas
Interesa en primer lugar el movimiento de una partıcula
m en interaccion gravitatoria con otra M de masa mucho
mayor. De la conservacion del momento angular se deduce Momento angular
facilmente que m se mueve en un plano que tiene a M en
uno de sus puntos. La trayectoria resulta ser una seccion
conica con M en un foco [5, p. 42], y como definicion de
conica se puede tomar la siguiente: cada punto de la curva
dista e veces de un punto fijo lo que le separa de una recta
dada.
El punto fijo y la recta son un foco y la directriz corres-
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14
pondiente, y e es una constante positiva que se llama ex-
centricidad ; con e < 1 se tiene una elipse, si e = 1, la
unica parabola posible para la directriz y el foco dados, y
cuando e > 1, una hiperbola [2, p. 146].
La hiperbola es la unica conica con puntos a la derecha y Foco, directriz ehiperbolaa la izquierda de la directriz [1, p. 614], esto es, la hiperbola
tiene dos ramas; pero es facil ver, atendiendo a la direccion
de la aceleracion, que la trayectoria solo es posible en la
rama del lado en el que esta el centro del campo.
Se llama perihelio al punto de la trayectoria mas proximo Secciones conicascompartiendo elperihelio
al centro del campo. En el perihelio, por la definicion de
conica, tambien sera mınima la distancia a la directriz y,
por tanto, esta debe ser perpendicular a la recta que defi-
nen el foco y el perihelio. Ası que se tiene la direccion de la
directriz y solo hace falta situarla, lo que se puede conse-
guir con la excentricidad: si r0 es la distancia del perihelio
�⊙
� C B �
15
al centro del campo, la del perihelio a la directriz tiene que
ser r0/e, ya que el perihelio es un punto de una conica.
Con un foco, su directriz y la excentricidad, la definicion
de conica permite buscar cuantos puntos se quieran de la
curva. La parabola del jar-dinero
4.1 Una ecuacion para las conicas
Sea x la distancia de un punto de la curva a la directriz, e
y su altura sobre la recta perihelio-foco. De la definicion
de conica se deduce que el foco tiene las coordenadas x =
r0(1 + e)/e e y = 0, y que las de un punto cualquiera de
la conica cumplen√(x− r0(1 + e)/e)2 + (y − 0)2 = e|x|. (12)
Se ha de poner |x| porque el punto puede estar a un lado
u otro de la directriz (la distancia serıa x en un caso y
�⊙
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16
−x en el otro). Despejando (para e 6= 1), simplificando y
reordenando, resulta:
x =r0
e(1− e)±
√r20
(1− e)2− y2
1− e2, (13)
valida para elipses e hiperbolas. Elipse
Como el radicando no puede ser negativo, las elipses
tienen una altura maxima, que llamaremos b. De
r20
(1− e)2− b2
1− e2= 0
se desprende que
b = r0
√1 + e
1− e. (14)
La forma de (13) permite encontrar con facilidad los
maximos y los mınimos de x: a un termino fijo se le suma
�⊙
� C B �
17
o resta otro variable pero positivo. Cuando e < 1, este
segundo termino toma su valor maximo para y = 0. Y si
e > 1, no tiene maximo, pero sı un mınimo, que tambien
se encuentra para y = 0. Por tanto, para la elipse (e < 1),
en la que todas las x son positivas, las distancias extremas
a la directriz son
xmn =r0
e, xmx =
r0
e
1 + e
1− e,
(el vertice de x = xmx se llama afelio) y para la hiperbola
(e > 1), en la que hay puntos en los dos lados de la
directriz (tiene dos ramas), la y = 0 da una x positiva,
que es la distancia mınima de la correspondiente rama a
la recta directriz, y otra negativa, cuyo valor absoluto es
la menor distancia de su rama a la directriz:
xmn =r0
e, x′mn =
r0
e
1 + e
1− e.
�⊙
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18
La trayectoria hiperbolica de una partıcula solo puede te-
ner lugar por una de las dos ramas, ya que estas estan
separadas por la directriz. Y tiene que ser la que esta en el
mismo lado que el foco cuando este es el centro del cam-
po, porque la direccion de la aceleracion es la de la fuerza,
que apunta siempre a este punto.
La distancia de vertice a vertice se llama 2a. En el caso
de la elipse, 2a = xmx − xmn = 2r0/(1− e) y
a =r0
1− e. (15)
Para la hiperbola, 2a = xmn − x′mn y
a =r0
e− 1.
La ecuacion de la parabola se obtiene con e = 1 en la
(12). Entonces, procediendo como antes, se llega a
x = r0 +y2
4r0. (16)
�⊙
� C B �
19
4.2 Simetrıa de las conicas
Las ecuaciones cartesianas (13) y (16) son de la forma
x = f (y2), por lo que las curvas son simetricas con res-
pecto al eje que pasa por el perihelio y el foco (eje de las
x): si un punto de coordenadas x e y pertenece a una
conica, tambien lo hace el de x, −y, pues satisface la
misma ecuacion. Es por esto que al segmento que va de
vertice a vertice (de longitud 2a), se le llama eje mayor.
La elipse y la hiperbola (con sus dos ramas), tambien
tienen un eje vertical de simetrıa y centro. Con la misma
y, x = c± g(y) da dos puntos que distan lo mismo de la
recta x = c, uno a cada lado. Esta recta es el segundo eje
de simetrıa y el punto de y = 0 y x = c = r0/e(1− e) es
el centro de simetrıa. Para la elipse, la magnitud b dada
por (14) es la longitud de su semieje menor.
La simetrıa de la elipse permite encontrar su excentri-
�⊙
� C B �
20
cidad de la siguiente manera (que a veces se toma como
definicion de e para ella). La distancia del foco al centro
es a− r0, y r0 = a(1− e); por tanto,
a− r0 = ae
y
e =a− r0
a.
Observese que, en realidad, este resultado ya se habıa ob-
tenido: esta ecuacion es equivalente a la (15). La excen-
tricidad de la elipse es, pues, la separacion entre un foco
y el centro por unidad de longitud del semieje mayor.
Para trazar una conica, con una excentricidad dada, bas-
ta un foco y su directriz. Pero el segundo eje de simetrıa de
la elipse y de la hiperbola implica que estos dos elementos
no son unicos: estas curvas tienen otro foco y otra direc-
triz al otro lado del eje. En el caso de la elipse, cuando
�⊙
� C B �
21
los focos se aproximan al centro (e → 0) las directrices se
alejan al infinito (cada una por un lado), y, en el lımite, la
curva se convierte en una circunferencia .
4.3 Curvatura en el perihelio y excentricidad
Sea un punto material que recorre la parabola (16), de
modo tal que, numericamente, la y de cada punto es igual
al tiempo t en el que pasa por el5:
x = r0 +t2
4r0, y = t.
La velocidad y la aceleracion en el vertice se encuentran
facilmente derivando dos veces con respecto al tiempo y5Es el conocido tiro horizontal de v0 igual a la unidad, si el eje
OY se dispone horizontalmente.
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� C B �
22
sustituyendo t = 0:
vx = 0, vy = 1,
ax =1
2r0, ay = 0.
Estos dos vectores son perpendiculares y la velocidad es
tangente a la trayectoria: en el perihelio solo hay acelera-
cion normal. En el estudio de la cinematica se demuestra
que la aceleracion normal es igual al cuadrado de la velo-
cidad dividido por el radio de curvatura R, que es el de la
circunferencia que mejor se ajusta a la curva en el punto
que se considere. Por tanto, se cumple
12
R=
1
2r0
y
R = 2r0
para el vertice de la parabola.
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� C B �
23
Si la partıcula recorriera, tambien con y = t, una elipse
o una rama de hiperbola, para hallar el radio de curvatu-
ra R (o la curvatura 1/R), se procede de igual manera,
pero partiendo de la ecuacion (13). El trabajo es un poco
mayor, pero el resultado general es muy simple:
e =R
r0− 1.
Es evidente que con e = 1 la ecuacion se reduce al caso
de la parabola. Mas adelante se deducira otra vez esta
importante formula.
4.4 Leyes de Kepler
La primera ley de Kepler dice que los planetas describen
orbitas elıpticas con el Sol en un foco [3, p. 59]. Se tra-
ta, pues, de curvas planas. Que el movimiento de una
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24
partıcula tenga lugar en un plano se debe a que la direc-
cion del vector del momento angular no cambia durante el
movimiento, como se dijo anteriormente. En realidad, se
conserva todo el vector cuando las fuerzas son centrales, Conservaciondelmomento angularlo que es aquı el caso, ya que la fuerza sobre un planeta
apunta siempre al Sol (se desprecian aquı las fuerzas debi-
das a los otros cuerpos del sistema solar). El hecho de que
los movimientos sean precisamente por secciones conicas
se debe a que la fuerza central es inversamente proporcio-
nal al cuadrado de la distancia, pero esta parte de la ley
no se demostrara aquı.
La recta trazada del Sol al planeta barre areas iguales
en tiempos iguales. Esta es la segunda ley de Kepler. Se Interpretaciongeometricadelmomento angular
deduce tambien de la conservacion del momento angular.
Los movimientos de los diferentes planetas estan gober-
nados por la atraccion que sobre ellos ejerce el Sol, por lo
�⊙
� C B �
25
que debe haber una relacion entre ellos. Resulta que, de
acuerdo con la tercera ley de Kepler, los cuadrados de los
perıodos son proporcionales a los cubos del semieje mayor.
Como se sabe (y se calculara en la seccion 8) el area de la
elipse es
S = πab.
Dividiendo esta magnitud por la velocidad areolar, se ob-
tiene el tiempo que el planeta emplea en dar una vuelta
alrededor del Sol:
T =S
L/2m. (17)
Esta es la ecuacion que debe transformarse para dar la
tercera ley de Kepler. El punto importante, otra vez, es
el perihelio. Con la ley de la gravitacion de Newton se
demuestra que el radio de curvatura de este vertice es pro-
porcional al cuadrado del momento angular, y el momento
�⊙
� C B �
26
angular esta en el denominador de (17). En el numerador
se encuentran los semiejes de la elipse, que con (14) y (15)
se relacionan con la distancia del Sol al perihelio y con la
excentricidad. Falta tan solo una ecuacion que enlace nu-
merador y denominador, y no es otra que la (1), vista en
la seccion 4.3.
Sea v0 la velocidad en el perihelio. En este punto, la ve-
locidad es perpendicular al vector de posicion y, por tanto,
a la fuerza. El calculo del momento angular da aquı que
L
m= r0v0. (18)
La aceleracion es F/m, siendo F la fuerza de la ley de Ley de la Gravita-cion Universalla gravitacion de Newton. Esta aceleracion es puramen-
te normal en el perihelio, y, en consecuencia, resulta la
ecuacion (2):
�⊙
� C B �
27
GM
r20
=v2
0
R.
Eliminando ahora el producto r0v0 de (18) y (2), se
llega a1
GM
(L
m
)2
= R,
que sugiere elevar al cuadrado la ecuacion (17).
Por otra parte, las ecuaciones (14) y (15) llevan facilmente
a b2 = ar0(1 + e) que, con la (1), se escribe
b2 = aR.
Ası pues, elevando al cuadrado la ecuacion (17) y sus-
tituyendo b2 = aR en el numerador y (L/m)2 = GMR
en el denominador, resulta, finalmente, la tercera ley de
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� C B �
28
Kepler:
T 2 =4π2
GMa3.
4.5 Ejemplos
4.5.1 La elipse de MercurioElipse
En este ejemplo se determinan 42 puntos de la orbita de GraficoMercurio. Mercurio (54.5)
4.5.2 Venus
La velocidad de Venus al pasar por el perihelio, a 107.48 Venus (4.79)
millones de km del Sol, es de 35.26 km/s. La masa del Sol
es M = 1.9891×1030 kg y G = 6.6731×10−11 N·m2/kg2.
Con estos datos hay que encontrar:
1. El area que por unidad de tiempo barre el vector de
posicion del planeta.
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29
2. La excentricidad y el semieje mayor de la elipse de la
orbita.
3. El afelio y la velocidad en el.
4. El tiempo en el que completa una revolucion alrededor
del Sol. Respuestas
4.5.3 La Luna y otros satelites de la Tierra
1. La Tierra solo tiene una luna, la Luna por antonoma-
sia. Da una vuelta a la Tierra cada 27 dıas y en el
perigeo se encuentra a 360 000 km del centro de la
Tierra. Como se sabe, la aceleracion de la gravedad
en la superficie de la Tierra es de 9.8 m/s2 y el radio
terrestre es de 6 400 km. Esto es suficiente para de-
terminar los siguientes parametros de la orbita de la
Luna alrededor de la Tierra:
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30
(a) El apogeo, el semieje mayor y la excentricidad.
(b) Las velocidades orbitales maxima y mınima. Soluciones
2. Los satelites geoestacionarios o geosincronicos son im-
portantes en las telecomunicaciones. Estos satelites
artificiales se mueven como si estuviesen unidos rıgidamente
a la Tierra, por lo que han de girar en un plano per-
pendicular al eje de rotacion terrestre. Dado que la
fuerza apunta al centro del planeta, solo hay un pla-
no posible: el del ecuador de la Tierra. Los datos y
resultados del problema de la Luna permiten calcular
de diferentes maneras a que distancia de la Tierra se
han de colocar estos satelites. Solucion
3. Un satelite en orbita polar puede pasar varias veces
al dıa por los polos norte y sur de la Tierra. Las
imagenes de la superficie terrestre que va obteniendo
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31
son diferentes cada vez, ya que la Tierra gira, y se
puede cubrir todo el planeta. Un satelite de esta clase,
de 100 kg, tiene el apogeo sobre el polo sur, pasa seis
veces al dıa por el y la excentricidad de su orbita es
de 0.28.
(a) ¿Que altura alcanza sobre el polo norte y que ve-
locidad tiene en el perigeo?
(b) Determınense la energıa y el momento angular. Respuestas
El radio de la Tierra se puede redondear a 6 400 km
(el ecuatorial es de 6 378 y el polar de 6 356).
4.5.4 Marte
El perıodo de la orbita de Marte es de 687 dıas (1.88 veces Marte (307)
el de la Tierra), la menor distancia del planeta al Sol es
de 207 millones de km y la mayor, 249. Fobos, una de
�⊙
� C B �
32
las dos lunas de Marte, lo orbita con un perıodo de 0.319 Marte (65.7)dıas y un semieje mayor de 9 380 km. Y La constante de
la gravitacion es G = 6.67× 10−11 N·m2/kg2. Con estos
datos es posible calcular, por ejemplo:
1. Las masas de Marte y el Sol, y la distancia de la Tierra
al Sol
2. La excentricidad de la orbita de Marte.
3. Las velocidades de este planeta en los vertices de su
elipse. Soluciones
5 Perihelio y excentricidad en funcion de la
energıa y el momento angular
La energıa y el momento angular se conservan en todo el
movimiento. Ya se ha visto que si las condiciones inicia-
les son r0 y v0, las ecuaciones (1) y (2) dan facilmente la
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33
excentricidad. Si junto con r0 lo que se tiene es la mag-
nitud L del momento angular, la ecuacion L/m = r0v0
permite volver al primer caso despejando la velocidad en
el perihelio. Y si es la energıa E lo que se conoce en vez Energıa
del momento L, la ecuacion
E =1
2mv2
0 −GMm
r0(19)
sera la que entonces de v0.
Con la energıa es posible clasificar las trayectorias. La
formula (1) senala una elipse para R entre r0 y 2r0, una
parabola si R es igual a 2r0 y una hiperbola cuando R es
mayor. Pero (2) y (19) dan
E = −GMm
r0
(1− R
2r0
). (20)
y, por tanto, las orbitas elıpticas tienen energıa negativa
mientras que la del movimiento por una parabola es cero
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34
y la del hiperbolico es positiva. De (20) se desprende que
hay una energıa mınima (para un perihelio a r0 del centro
del campo), que es el lımite cuando R → r0. Esta energıa
es la del movimiento circular.
La conservacion de la energıa permite ver tambien que la
velocidad en el perihelio es la maxima. En efecto, la menor
energıa potencial −GMm/r se tiene para el menor r, que
no es otro que r0, por lo que el paso por el perihelio se ha
de hacer con la mayor energıa cinetica.
En general, las condiciones iniciales seran la velocidad
y la posicion en un instante cualquiera, con la partıcula
en un cierto punto Q. Calcularemos entonces la energıa
E y el momento angular L. Como sabemos, el centro
del campo y la direccion del vector del momento angular
nos determinan el plano de la trayectoria. La conica en sı
misma, sin todavıa situarla en este plano, se traza con los
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35
parametros r0 y e, que se pueden obtener de las ecuaciones
(1), (2), (18) y (19), eliminando v0 y R:
r0 =−α +
√α2 + 2(L/m)2mE
2E, (21)
e =1
α
√α2 + 2(L/m)2mE, (22)
donde, para abreviar, se ha hecho GMm = α. Las
formulas son validas para cualquier conica. Ahora, en el
plano de la trayectoria, se dibuja una circunferencia de ra-
dio r0 (uno de sus puntos sera el perihelio) y se situa el
punto Q, trazando por el una recta con la direccion del
vector velocidad. Despues basta mover (rıgidamente) por
el plano la conica obtenida anteriormente para conseguir
que, estando su vertice en la circunferencia, Q sea uno de
sus puntos y, ademas, la recta trazada sea tangente a la
curva en este punto.
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36
El radicando de las formulas (21) y (22) no puede ser
negativo, lo que conduce de nuevo a que la energıa mınima
posible para un L dado es la del movimiento circular.
En realidad, para llegar a la ecuacion (21) solo se nece-
sitan la (18) y la (19). La (18) se satisface en cualquier
punto en el que la velocidad sea perpendicular al radio vec-
tor y, por tanto, al despejar de ellas estamos buscando las
distancias al centro del campo de todos los puntos extre-
mos (en el sentido de que la distancia al centro del campo
es maxima o mınima). Se obtienen dos soluciones y la
(21) es la unica posible con una energıa no negativa. Pero
con una energıa negativa tambien es valida la solucion
r′0 =−α−
√α2 + 2(L/m)2mE
2E,
lo que prueba que las elipses tienen dos vertices. Se ve
ya, de este modo, que el movimiento con energıa negativa
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37
tiene unos lımites en cuanto a la distancia al centro del
campo, y que la partıcula no puede entonces escapar (se
necesita una energıa nula o positiva para ello). Sean dos
circunferencias con centro en M que pasan por los vertices;
la elipse es tangente por el interior a la que pasa por el
afelio y por el exterior a la del perihelio, como se ve en la
figura. Figura
Como antes para el perihelio, con la conservacion de
la energıa se demuestra facilmente que la velocidad es
mınima en el afelio. Por la mismas razones que antes,
la ecuacion (20) tambien es valida para el afelio, con r′0 en
vez de r0, siendo ahora r′0 > R. Por supuesto, la energıa
que da la formula es la misma en los dos casos . Una comprobacion
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38
6 Velocidades
Si se conoce la energıa, es inmediato obtener de E =
mv2/2−GMm/r la magnitud de la velocidad a una dis-
tancia r del foco en el que esta el centro del campo. El
angulo θ que esta velocidad forma con el vector de posicion
se obtiene con el momento angular: L/m = rv sen θ.
Sin embargo, encontrar la llamada velocidad de escape
a una distancia r es posible sin recurrir a la energıa. La
velocidad v1 del movimiento circular de radio r0 resulta de
(2) sin mas que poner R = r0, y la v2 del parabolico al paso
por el vertice se obtiene tambien de (2), pero poniendo
R = 2r0, ya que la excentricidad de las parabolas es la
unidad —vease (1)—. La relacion es
v2 = v1
√2.
Ademas, esta misma relacion se mantiene en cualquier
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39
otro punto, como se demuestra con la conservacion de
la energıa poniendo E = −GMm/2r para el circular y
E = 0 para el parabolico:
v1 =√
GM/r, v2 =√
2GM/r.
La velocidad del movimiento parabolico (en un punto a
r del foco) es la velocidad de escape (a esa distancia).
Para el campo de nuestro planeta, v1 es la velocidad de
un satelite en movimiento circular, y es util recordar que la
aceleracion de la gravedad en la superficie es la conocida
g = GM/R2T , por lo que se puede sustituir el producto
GM por gR2T .
Las orbitas elıpticas tienen dos vertices y, como se ha
visto en la seccion 5, en ellos se alcanzan la velocidades ex-
tremas. Ademas, en la ecuacion (18) se ve que la velocidad
en cualquiera de estos puntos es inversamente proporcional
a la distancia al centro del campo. Cuando la velocidad
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es mayor que la del movimiento circular a igual distancia,
la partıcula esta pasando por el perihelio; si es menor, por
el afelio (la ecuacion (2) da un radio de curvatura propor-
cional al cuadrado de la velocidad).
7 Otra ecuacion para las conicas
Para estudiar mejor las diferentes secciones conicas y de-
terminar de otra manera los lımites del movimiento, es con-
veniente llegar a una segunda ecuacion para ellas. El origen
de coordenadas pasa ahora al foco donde esta M y el eje
de las x se dirige hacia el perihelio, de x = r0. Con esto,
la recta directriz debe tener la ecuacion x = r0(1 + 1/e).
Si r es la distancia al punto Q(x, y), seran x = r cos φ
e y = r sen φ siempre que φ sea el angulo entre el eje OX
y el vector de posicion r. Sea H el punto de la directriz
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mas cercano a Q. La definicion de conica dice entonces
que r = eQH, y ya que QH es la diferencia entre las
coordenadas x de H y Q, esto es, QH = r0(1 + 1/e) −r cos φ, enseguida resulta la ecuacion6
r = r0e + 1
e cos φ + 1. (23)
(Esta ecuacion muestra que la circunferencia se puede con-
siderar el caso lımite de una conica cuando e → 0). Esta
formula da la distancia de la partıcula al centro del campo
para cada angulo φ.
Por definicion, las elipses tienen e < 1, y entonces r es
finita para todos los valores de φ en la ecuacion (23): la
elipse es una curva cerrada. Los lımites del movimiento6Para la otra rama de la hiperbola, la distancia de uno
cualquiera de sus puntos a la misma directriz que antes esr cos φ− r0(1 + 1/e), y r = r0(e + 1)/(e cos φ− 1).
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con respecto a la distancia a M se encuentran con (23)
poniendo φ = 0 y φ = π, lo que da los dos valores extre-
mos, y son:
rmn = r0, (24)
rmx = r01 + e
1− e. (25)
Recuerdese que e < 1 corresponde a una energıa negativa.
Para la rama de hiperbola e es mayor que 1, la energıa del
movimiento es positiva y la distancia, segun (23), se hace
infinita cuando el valor absoluto del angulo toma un cierto
valor entre π/2 y π, dependiendo del valor de e. Y en la
parabola, con e = 1 y energıa nula, r deja de ser finita
para θ = π, por lo que esta curva tampoco es cerrada,
extendiendose al infinito en una direccion. El movimiento
es finito solo si la energıa es negativa.
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8 Elipses y leyes de Kepler
Las trayectorias de los planetas son elipses, por lo que estas
son las conicas que mas nos interesan. El eje mayor de la
elipse es la suma de (25) y (24), y el semieje mayor es El semieje mayoren funcion de laenergıaa =
r0
1− e=
α
2(−E), (26)
donde la segunda igualdad se obtiene con (22) y (21).
Como se ve, el semieje mayor solo depende de la energıa.
Dado que la distancia del foco al centro del eje mayor es,
evidentemente, a − r0; dividiendola por a se obtiene, por
la primera igualdad de (26), otra vez e. El centro del eje
mayor tiene las coordenadas cartesianas (−ae, 0).
La distancia de un foco a un extremo del eje menor
es a (esta longitud se encuentra inmediatamente con la
conocida propiedad de la elipse de que la suma de las La elipse del jardi-nerodistancias a los focos es 2a para todos sus puntos [2, pp.
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44
149 y 480]). Y es la hipotenusa del triangulo rectangulo
que tiene como catetos a − r0 y el semieje menor b. Por
tanto, b2 = a2 − (a− r0)2 y
b = r0
√(1 + e)/(1− e) (27)
=L√
2m(−E).
La ultima igualdad resulta de (22) y (26), teniendo en
cuenta que por (26) y (27) es
b
a=
√1− e2.
El eje menor de la elipse sı que depende del momento El semieje menor
angular.
Como se sabe del estudio del momento angular, L/m
es el doble del area barrida por el vector de posicion por
unidad de tiempo, y el momento angular se conserva en
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45
el movimiento bajo fuerzas centrales; ası que la velocidad
areolar L/2m es constante, que es lo que afirma la segun-
da ley de Kepler.
Por otro lado, la superficie de una elipse es πab. Divi- Area. Areas barri-das por el vector deposicion
diendo esta area por el area barrida por unidad de tiempo,
resulta el tiempo que emplea la partıcula en dar una de las
vueltas:
T =πab
L/2m= πα
√m
2(−E)3.
Es ası que el perıodo solo depende de la energıa. Pero la
energıa da el semieje mayor de la orbita mediante (26),
con lo que se llega, otra vez, a la tercera ley de Kepler:
T 2 =4π2
GMa3.
De la misma manera, se puede averiguar el tiempo de
paso de la partıcula por cualquier punto de la trayectoria.
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Sea el tiempo cero el del paso por el perihelio (φ = 0);
para saber cuando se encontrara la partıcula en el punto
determinado por el angulo φ, se calcula el area S(φ) barri-
da por el vector de posicion desde que el angulo era cero
y se divide por la velocidad areolar:
t =S(φ)
L/2m.
9 La curvatura en el perihelio y la excentri-
cidad
Es muy sencillo calcular la curvatura en un punto de la
trayectoria cuando la velocidad es perpendicular a la ace-
leracion a, pues entonces a = v2/R. Precisamente esto
es lo que facilita el calculo del radio de curvatura R en el
perihelio, o, si se prefiere, la curvatura 1/R. Se tendra ası
la formula (1).
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En la seccion 7 las coordenadas cartesianas del punto
que recorre una conica se daban en la forma x = r cos φ
e y = r sen φ, que con (23) son
x = r0e + 1
e cos φ + 1cos φ,
y = r0e + 1
e cos φ + 1sen φ.
Imagınese ahora una partıcula que se mueve en un plano,
de manera tal que sus coordenadas en cada tiempo las dan
las ecuaciones anteriores, reemplazando en todas partes el
angulo φ por el tiempo t. Este, por supuesto, no es el
movimiento estudiado en las secciones anteriores, pero la
curva de la trayectoria sı es la misma (evidentemente, los
tiempos de paso por los puntos son los que no coinciden).
Derivando x e y con respecto al tiempo resultan las dos
componentes cartesianas de la velocidad, y volviendo a
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derivar se encuentran las dos de la aceleracion. Poniendo
en estas cuatro ecuaciones t = 0, que es el tiempo de paso
por el perihelio, se reducen a
vx(0) = 0,
vy(0) = r0,
ax(0) = −r0/(1 + e),
ay(0) = 0.
Se ve que la aceleracion en el vertice, de modulo r0/(1+e),
es perpendicular a la velocidad, r0, y, por tanto, r0/(1 +
e) = r20/R. Esto da inmediatamente la ecuacion (1):
e =R
r0− 1.
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10 Problemas
1. Un cuerpo de masa m que podrıa ser el asteroide Gas-
pra tiene una orbita de excentricidad e y semieje mayor
a. Gaspra (33.4)
(a) ¿A que distancia del (centro del) Sol se encuentra
su perihelio?
(b) ¿Que curvatura tienen los vertices de la elipse de
su orbita?
(c) ¿Cual es su velocidad maxima?
(d) Calcule la magnitud del momento angular (con
respecto al Sol) y la energıa.
(e) Determine la longitud del semieje menor. ¿Cuanto
tiempo emplea el cuerpo en una revolucion alre-
dedor del Sol?
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50
Datos: m = 10.00 × 1015 kg, e = 0.1738, a =
2.209 unidades astronomicas, G = 6.673 × 10−11 N
kg−2 m2, Masa del Sol M = 1.989× 1030 kg. La uni-
dad astronomica es la distancia media entre la Tierra
y el Sol (149.6 millones de km). Solucion
2. Un cuerpo de 1.0 × 1016 kg se acerca al Sol con una
energıa de −2.0 × 1024 J y un momento angular de
6.5× 1031 kg m2 s−1. (G = 6.67× 10−11 N kg−2 m2,
Masa del Sol = 1.99× 1030 kg).
(a) Calcule la maxima velocidad que alcanzara.
(b) Elipse, parabola o hiperbola: ¿que trayectoria si-
gue? Calcule la excentricidad.
(c) Si la trayectoria resultase cerrada, determine el
perıodo orbital. Solucion
3. El radio de Marte es de 3 400 km, la aceleracion de la
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gravedad en su superficie, 3.7 m/s2 y el dıa dura allı
24.7 horas. Calcule:
(a) La masa del planeta.
(b) La velocidad de un satelite en orbita circular con
una altura que es pequena frente al radio de Marte.
(c) La velocidad de escape desde su superficie. En es-
te caso, y suponiendo un lanzamiento hacia el Este
desde el ecuador de Marte, ¿cual serıa la velocidad
con respecto a la corteza del planeta?
Dato: G = 6.67× 10−11 N kg−2 m2. Solucion
4. Desde un mismo punto, a una altura igual al radio de
la Tierra (6 400 km), se lanzan seis cuerpos con dife-
rentes velocidades, aunque todas ellas perpendiculares
a la recta que lleva al centro del planeta. Sabiendo
que las seis velocidades son 15v1,
45v1, v1,
65v1, v1
√2
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y 85v1, y que la velocidad v1 es la del movimiento cir-
cular, ¿que trayectorias se siguen en los otros casos
y cuales son las magnitudes de las seis velocidades?
¿Cae alguno de los cuerpos a tierra? Solucion
5. Los semiejes de la trayectoria elıptica de un planeta
de masa m son a y b. Sabiendo que la constante de
la gravitacion es G y la masa del Sol, M , ¿cual es la
magnitud del momento angular con respecto al Sol? Solucion
6. Es facil ver que un planeta tarda menos desde el peri-
helio a un extremo del eje menor que desde este ultimo
punto al afelio, a pesar de que los dos segmentos de
la elipse que recorre son iguales (cada uno es un cuar-
to de la longitud de la elipse). Pero, exactamente,
¿cuanto menos? Se conocen los parametros r0 y e de
la elipse, ası como la constante G y la masa M del Sol.
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Calculese esta diferencia para la Tierra: r0 = 147.09
millones de km y e = 0.0167. Solucion
Referencias
[1] Apostol, T. M. Calculus, segunda ed., vol. I. Re-
verte, 1976.
[2] Coxeter, H. S. M. Fundamentos de geometrıa.
Limusa-Wiley, 1971.
[3] Holton, G. y Brush, S. G. Introduccion a los
conceptos y teorıas de las ciencias fısicas, segunda ed.
Reverte, 1993. Se hace una introduccion a la fısica re-
cogiendo, ademas, aspectos historicos y filosoficos. Los
capıtulos 20 y 21 tratan sobre la teorıa atomica de la
quımica y el sistema periodico, y, evidentemente, pue-
den ser utiles en la Quımica. Tiene problemas resueltos
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54
y deducciones como la de de la formula de la acelera-
cion centrıpeta (p. 206) o planteamientos como el del
experimento mental de los carritos de reaccion (debido
a E. Mach) para la masa inerte (p. 194), que se pueden
llevar sin mas a la clase de fısica de cualquiera de los
dos bachilleratos. Sin embargo, y a pesar de que no se
emplean los resultados del calculo diferencial (sı el con-
cepto de lımite), es un texto algo mas apropiado para
el Departamento o para el aula que para el alumno.
[4] Koestler, A. Los sonambulos. Salvat, 1986. Libro
clasico en el que se describen los logros y las vidas
de los cosmologos desde babilonios hasta Newton. Los
trabajos de Copernico, Tycho Brahe, Kepler y Galileo
son analizados profundamente.
[5] Landau, L. D. y Lifshitz, E. M. Mecanica.
Reverte, 1978.
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