Réseaux de Liquides de Luttinger Couplés

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Submitted on 24 Oct 2005

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Réseaux de Liquides de Luttinger CouplésKyrylo Kazymyrenko

To cite this version:Kyrylo Kazymyrenko. Réseaux de Liquides de Luttinger Couplés. Matière Condensée [cond-mat].Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2005. Français. tel-00010734

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Universite Pierre et Marie Curie

THESE DE DOCTORAT

Specialite : PHYSIQUE THEORIQUE

presentee par

Kyrylo KAZYMYRENKO

pour obtenir le titre de docteur de l’Universite Paris VI.

Sujet :

Reseaux de Liquides de Luttinger Couples

Soutenue le 13 octobre 2005 devant la commission d’examen composeede :

Claude ASLANGUL President

Benoıt DOUCOT Directeur de theseLev IOFFE RapporteurFrank HEKKING Rapporteur

Dominique MAILLY ExaminateurGilles MONTAMBAUX Examinateur

Ines SAFI Examinateur

a Olga

Remerciements

Cette these a ete effectuee au sein du Laboratoire de Physique Theorique etHautes Energies de l’Universite Pierre et Marie Curie. J’y ai beneficie d’une ambiancescientifique enrichissante et de conditions de travail exceptionnelles : merci a ses deuxdirecteurs successifs, d’abord Laurent Baulieu qui m’y a accueilli en 2002, puis OlivierBabelon, qui m’a soutenu jusqu’a la fin.

Je tiens a exprimer ma plus vive reconnaissance a mon directeur Benoıt Doucotsans lequel je n’aurais sans doute jamais eu l’occasion de me pencher sur ce sujet dethese aussi profondement. J’ai beaucoup apprecie nos nombreuses discussions, pen-dant lesquelles Benoıt m’expliquait, et reexpliquait et rereexpliquait les phenomenesphysiques ”simples”, dont il possede une comprehension parfaite.

J’adresse mes respectueux remerciements a Claude Aslangul, Dominique Mailly,Gilles Montambaux et Ines Safi qui m’ont fait le plaisir d’etre membres du jury ainsique Lev Ioffe et Frank Hekking qui ont si gentiment accepte d’etre rapporteurs de cettethese. Merci pour leurs questions et leur interet pour ce sujet.

Grand merci a Bruno Machet qui m’a donne des cours particuliers de natation ;merci pour son soutien moral. C’est lui qui m’a pousse a donner mon premier seminaire.

Merci egalement a Julien Vidal qui me consacra de son temps pour m’introduireaux problemes de cages. C’est grace a lui et a Bertrand Delamotte que j’ai significative-ment enrichi mon vocabulaire et ai fait de nombreux progres en francais. Je subodore,que l’ambiance durant les dejeuners-sandwiches du midi, n’aurait ete que du deliretotal, si Dominique Mouhanna n’avait pas ete present. J’ai deplore pendant quelquesmois que Leonie Canet fut partie avec son ”tea time” en Angleterre, jusqu’a l’arrivede Mark Gorbig qui a introduit la pose cafe plus traditionnelle pour la France. Je leremercie aussi pour avoir relu mon manuscrit. Si ce dernier ne comporte qu’un nombredenombrable d’erreurs c’est tout d’abord grace a Mark. Je suis reconnaissant a HerrDoktor Dusuel pour ses conseils avises en LATEX et Linux. Mes connaissances du vinn’auraient jamais ete les memes sans les discussions a ce sujet avec un ami slave DrazenZanchi. C’est a cause de Bertrand Roehner que je ne comprends plus pourquoi l’eautourne dans un lavabo. Merci aussi a Alain Laverne et Bernard Diu pour les conversa-tions sur la physique generale.

Une partie des resultats phenomenologiques obtenues dans cette these est le fruitd’une collaboration avec le groupe d’experimentateurs du Laboratoire de Photonique etNanostructures a Marcoussis. Je suis personnellement tres reconnaissant a Joseph Du-fouleur pour le temps qu’il m’a accorde. La frequentation de collegues experimentateurss’est revelee tres stimulante dans ce domaine de la physique theorique dont la progres-sion depend de facon cruciale des avancees experimentales.

Le pot de these a la russe ne serait jamais reste dans les memoires sans l’aide demes amis, et tout particulierement celle d’Elena et Anton.

L’ambiance du midi, ou se discutaient souvent des sujets tout autres que la phy-sique etait egalement tres sympathique, donc un grand merci a Jean-Bernard Zuber,Marc Bellon, Karim Benakli, Boris Pioline, Michel Talon, Claude Viallet, Matthieu Tis-sier, Remi Moseri, Francois Arleo, Pedro Bordalo, Nicolas Couchoud pour ces moments,et merci aussi a Vladimir Dotsenko, Matteo Cacciari, Fedor Smirnov et le fameux JeF.Bruno Durin et Guillaume Bossard recoivent aussi une distinction pour m’avoir aidera appliquer la theorie de cordes en matiere condensee. Merci a Redamy Perez pour sesastuces de Fortran.

Je dois beaucoup a Marco Picco, qui etait toujours disponible pour m’aider dansmes problemes informatiques. Je n’oublie pas nos attentives secretaires Sylvie Dalla-Foglia, Marie-Christine Levy, Annie Richard et Valerie Sabouraud, qui m’ont procuredes conditions de travail plus qu’agreables durant ces trois annees.

J’ai garde un excellent souvenir de ma premiere experience d’enseignement, tantpour la gentillesse des etudiants que pour la sympathie de mes deux superieurs directesHelene Zanni et Laurence Talini.

Mes pensees vont a mes amis et camarades, ainsi qu’a mes familles russe etfrancaise. Je termine par le plus important, a celle qui m’a soutenu, epaule, encourageet corrige, un immense remerciement, simplement pour tout.

Contents

Introduction 9

1 Reseau carre de fils quantiques 11

1.1 Filament quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 Gaz bidimensionnel d’electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Reseaux de filaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Matrice de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Oscillations de Friedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.1 Exemple d’oscillation de Friedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Commensurabilite sur reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Equation de Schrodinger sur le graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5 Bosonisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.1 Des fermions vers les bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.2 Modele de Frenkel-Kontorova quantique . . . . . . . . . . . . . 48

1.5.3 Approche variationnelle quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6 Reseaux reguliers de Liquides de Luttinger . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.6.1 Presentation de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.6.2 Article [KD05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5

2 Reseaux Z2 79

2.1 Cages d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2 Realisation experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.2.1 Reseau supraconducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.2.2 Reseau de fils quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.3 Article [KDD05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Reseau Z2 de jonctions Josephson et dissipation 101

3.1 Modele quantique pour une JJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2 Une source de courant quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4 Modele de Caldeira-Leggett : un cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.1 Transformee de Fourier sur un demi-axe du temps . . . . . . . . 115

3.4.2 Etat stationnaire en presence du courant continu . . . . . . . . 117

3.5 Deux modeles quasi-classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.5.1 Modele unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.5.2 Modele bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Conclusion 129

Appendices 131

A Proprietes de la matrice S 133

A.1 S(k) pour k negatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.2 Deux impuretes consecutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.2.1 Deux fonctions δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.3 Matrice de diffusion ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.4 Relation de completude pour un probleme monocanal . . . . . . . . . . 142

B Calcul en reponse lineaire pour le reseau de fonctions δ 145

C Mode locking 147

D Diagonalisation d’une matrice symplectique 149

D.1 Matrice H definie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

D.2 Quantification canonique generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

E Modele continu de l’Hamiltonien de dissipation 153

Bibliographie 157

8

Introduction

Les nanotechniques ouvrent des champs immenses a la fois en recherche fonda-mentale et vers de nombreuses applications industrielles. Nul doute que ces techniquescontribueront a amplifier les progres premierement de l’electronique, mais aussi de lacommunication, la cosmetique ou encore du textile. Toutefois les vingt dernieres anneesont vu des avancees extraordinaires dans les domaines de leur elaboration et leur ob-servation ainsi que des etudes theoriques de leurs proprietes.

La nanoelectronique est un outil parfaitement adapte pour sonder les proprietesmesoscopiques des systemes de la taille intermediaire entre les echelles classiques etquantiques. En permettant un controle ultime des composants de la matiere, nous ar-rivons au comportement le plus intrinseque (quantique), souvent le plus ”interessant”,des objets quasiment visibles a l’oeil nu, mais fabriques ”a un nanometre pres”. En effet,les nombreuses proprietes originales presentes au niveau atomique sont souvent effaceespar des effets de moyennage ou d’ecrantage des interactions au moment du passage aune echelle macroscopique, associee a l’emergence d’un monde classique. Comme parexemple la nature fractionnaire de porteurs des charges dans les conducteurs unidimen-tionnels. C’est alors un defi pour la physique moderne de pouvoir transposer les effetsquantiques a l’echelle macroscopique ou chaque pas vers l’avant est classifie souventcomme une decouverte (effet d’Hall, microscopie a effet tunnel etc.).

Nous nous somme interesses dans cette these a la traduction de la nature ondu-latoire des charges et aux phenomenes d’interference qu’elles peuvent produire, versles proprietes de transport electronique a travers les trois types d’echantillons : lesnanotubes, les filaments quantiques ou encore les jonctions Josephson. Dans tous lessystemes que nous avons consideres, les effets d’interaction electronique jouent un rolecrucial.

Dans les annees soixante-dix, les heterostructures a base de semi-conducteursnaissent en meme temps que la technique d’elaboration de couches minces avec uncontrole nanometrique des epaisseurs deposees. Ceci permet actuellement de graver lespassages electroniques unidimensionnels1 (filaments quantiques) pour pouvoir testerles effets de la coherence electronique dans le transport balistique 1D. Les nanotubes

1Pour etre rigoureux il faut noter que les filament quantique actuels ont plusieurs canaux deconduction et sont donc quasi-unidimensionnels. Neanmoins, pour simplifier les notations j’omettraile prefixe ”quasi” dans la suite.

9

de carbone, qui possedent de plus des etonnantes caracteristiques mecaniques, four-nissent aussi une realisation experimentale de conducteurs unidimensionnels. Dans lesdeux premiers chapitres de cette these, nous avons etudie les proprietes de transportelectronique dans les reseaux 2D de fils unidimensionnels, la ou en plus des effetsmentionnes auparavant, la physique multidimensionnelle a grande echelle peut etre ob-servee, ainsi que l’influence de la geometrie joue un role important. Dans le premierchapitre nous avons utilise les calculs analytiques elabores (groupe de renormalisation,solution de l’equation de Schrodinger sur le graphe), tandis que seuls les argumentsde symetrie ont ete necessaires pour produire la plupart des resultats du deuxiemechapitre.

Dans la troisieme partie, qui est basee essentiellement sur les raisonnements etl’intuition physique, nous avons etudie les reseaux de jonction Josephson avec unegeometrie particuliere (la meme que pour la section precedente). Ces objets peuventetre utilises dans le futur comme des cellules d’information quantique (q-bit). En vude vastes applications le domaine de l’information quantique se developpe enormementpartout dans le monde [IGF+02, BH00, IFI+02]. Nous avons propose le modele d’unspectrometre pour ces q-bits, qui remplacera l’utilisation des techniques actuellestres elaborees par de simples mesures de la caracteristique courant-tension et enconsequence diminuera considerablement la complexite des experiences. Le couplageavec l’environnement etant modelise a travers la dissipation, nous avons repondu acertaines questions conceptuelles, comme le modele quantique d’une source de courant.

10

Chapter 1

Reseau carre de fils quantiques

Dans cette partie de ma these j’ai etudie differents aspects du transportelectronique dans les reseaux de fils conducteurs balistiques (filaments ou fils quan-tiques). L’ambition etait de trouver la dependance de la resistance en fonction de latemperature pour un echantillon ”type”. On a commence par l’etude detaillee du reseaude fils carre, mais apres avoir fait les calculs on a pu generaliser les resultats pour lesreseaux plus complexes, les reseaux equidistants Fig. 1.2.

2 D

a l

1 D

3 D1 D2 D

TTb h T

Figure 1.1: Les reseaux de fils quantiques presentent une physique multidimension-nelle a differentes temperatures. A hautes temperatures T > Th =~vF/(kB l) les electrons se propagent d’une maniere non coherente.1 Pourles basses temperatures, Tb < T < Th, le transport est quantique le longd’un pas de reseau (regime 1D). A des temperatures encore plus bassesT < Tb = ~vF /(kBa) les effets bidimensionnels doivent dominer (regime2D).

Pourquoi est-ce qu’on s’interessait au reseau de fils quantiques ? Tout d’abordparce qu’on peut observer la physique multidimensionnelle a differentes echellesde temperature. Comme j’ai deja mentionne dans l’introduction, a tres hautestemperatures les fluctuations thermiques reduisent considerablement la longueur de

11

Chapter 1. Reseau carre de fils quantiques

la coherence1 de phase electronique, et les proprietes de transport deviennent pure-ment classique (regime 3 D).2 L’abaissement de la temperature augmente la longueurde coherence. Selon le principe d’incertitude de Heisenberg, les electrons se propage-ront d’une facon coherente pendant les temps inferieurs a ∆t = ~/(kBT ).3 Si pendantce temps les electrons parcourent les distances (vF∆t) comparables au pas du reseaua, les effets unidimensionnels doivent se manifester (regime 1D) ; ~vF

kBa< T < ~vF

kB lou

l est la largeur du fil et a est sa longueur, Fig. 1.1.4 A tres basses temperatures letransport electronique devient coherent sur tout l’ensemble du reseau bidimensionnel,en consequence dans ce regime les effets 2D domineront. Les proprietes de transportelectronique doivent fortement dependre du facteur de remplissage electronique. Parl’analyse superficielle on peut imaginer deux scenarios completement opposes pourl’etat fondamental dans le regime 2D. Le premier consiste a evoquer un joli resultatde Kane et Fisher [KF92a] : ils ont montre que l’adjonction d’une seule impuretesur un filament quantique parfait suffit a supprimer completement la conductivite dece systeme a temperature nulle, si les interactions sont repulsives. L’explication phy-sique simple a ete donnee dans [YGM94]. Les auteurs ont remarque qu’en placant uneimpurete dans un fil quantique, on engendre des oscillations de densite electronique(oscillations de Friedel) qui decroissent si l’on s’eloigne du point d’inhomogeneite, enconsequence l’electron est diffuse par le nuage d’electrons qui s’est forme autour del’impurete. Transpose au cas du reseau, ce scenario conduit a predire un etat fortementcorrele et totalement isolant. Une autre facon de voir consiste a invoquer l’invariancepar translation du reseau parfait, ce qui permettrait de diagonaliser l’Hamiltonien si-multanement avec l’operateur de translation et ecrire donc les fonctions propres commeles solutions delocalisees de Bloch. Connaissant la limite de l’interaction electroniqueevanescente [VMD00], pour certains remplissages on devrait observer l’etat conduc-teur.5 Ce scenario correspond davantage a ce que l’on observe sur des conducteursfortement anisotropes (cristaux de polymeres conducteurs), ou encore dans les reseauxperiodiques d’impuretes Kondo. Le phenomene de la dependance des proprietes detransport en fonction du remplissage electronique sera appele la commensurabilite surreseau, et a la fin de ce chapitre on repondra a la question de savoir comment evoluela resistance du reseau de filaments avec le changement de densite electronique dansles fils.

Pour decrire correctement les reseaux de fils quantiques il faudrait bien com-prendre les details de leur fabrication. On doit pouvoir repondre aux nombreuses ques-tions qui se posent : quelle est la distance typique d’interaction electronique dans lesfilaments quantiques, a quelles conditions les interactions sont-elles importantes et enfincomment modeliser les jonctions de fils ?

1La notion de coherence ici est celle qu’on utilise en optique.2Ce n’est pas ce regime qui est interessant physiquement, car il n’a rien de particulier lie aux fils

quantiques.3kB est la constante de Boltzmann.4les ordres de grandeur pour Th = ~vF

kBl ≈ 100 K et Tb = ~vF

kBa ≈ 1 K.5Cette conclusion n’est pas triviale, car on doit prendre en compte les interactions electroniques,

qui jouent le role crucial dans les fils quantiques en comparaison avec les metaux ordinaires.

12

c)

b)a)

d)Figure 1.2: Quelques exemples des reseaux equidistants, qui ne sont pas forcement

periodiques. Ils sont caracterises par une seule longueur – le pas du reseau.Certains reseaux periodiques font partie des reseaux equidistants, commele reseau carre a). Les defauts de fabrication peuvent transformer unreseau periodique en un reseau equidistant en enlevant un certain nombrede connexions entre les jonctions, b) et c). Le graphe d) n’est qu’uneillustration mathematique, sa realisation experimentale est difficilementimaginable. Sur ces figures les electrons peuvent etre diffuses seulementdans les jonctions marquees par les cercles noirs.

13


Ce chapitre commence par l’introduction a la fabrication des reseaux de filamentsquantiques. Sans donner beaucoup de details techniques (certainement utiles pour lesexperimentateurs), j’expliquerai dans les grandes lignes la methode de leur productionet leur structure. Ceci nous permettra de conclure que les interactions entre les electronsdans les fils sont a courte portee et que les jonctions de fils peuvent etre bien decrites parla matrice de transfert (matrice S). Je preciserai ensuite la definition de cette matrice etje donnerai ses principales proprietes. Dans la section suivante j’expliquerai en detaille phenomene physique, appele oscillations de Friedel, qui determine la physique dutransport electronique aussi bien dans le regime 1 D, que dans le regime 2 D (Fig. 1.1).La section ”Equation de Schrodinger sur le graphe” decrit la methode algebrique quigeneralise la notion de structure de bande pour la solution de l’equation de Schrodingerdefinie sur une geometrie de graphe. Cette methode nous permettra de generaliser nosresultats (obtenus pour le reseau carre) pour les reseaux equidistants. A la fin de cechapitre je presenterai mes resultats pour deux cas extremes : la ou on peut negligerles interactions electroniques et le cas ou on est oblige de bosoniser notre theorie pourtraiter les interactions d’une facon non-perturbative.

1.1 Filament quantique

Les semi-conducteurs avaient attire deja l’attention des Anciens pour leurs pro-prietes medicales ou tout simplement leurs couleurs.6 Ce n’est qu’au vingtieme siecleque les scientifiques commencent a exploiter les effets lies au transport electronique. Ily a trente ans, J.I. Alferov (prix Nobel 2000) propose d’utiliser les jonctions de semi-conducteurs comme des atomes artificiels pour produire des lasers.7 Actuellement enutilisant les memes types d’heterojonctions de semi-conducteurs, on peut tester les ef-fets de correlation electronique dans les echantillons de taille de quelques millimetres[TM04].

Dans les structures semi-conductrices ou le mouvement dans une des directionsest borne, on observe les effets de quantification selon cet axe. En consequence a bassestemperatures le mouvement electronique devient bidimensionnel du point de vue quan-tique aussi, ce qui change significativement le comportement electronique. Il est naturelde faire encore un pas vers l’avant et de limiter le mouvement electronique a une di-mension. Les filaments (fils) quantiques sont les objets ou le mouvement electroniqueest borne a une dimension8 et les electrons peuvent se propager d’une facon coherentesur des distances superieures a quelques dizaines de µm. La production de filamentsse fait en plusieurs etapes, d’abord on fabrique l’heterojonction ou le gaz bidimension-nel se forme et ensuite par les methodes de lithographie electronique on obtient lesfils unidimensionnels. Ces deux etapes sont decrites en details dans les deux sectionssuivantes.

6C’est le cas de l’arsenic (As), qui grace a sa couleur jaune etait objet d’interet majeur pour lesalchimistes au XVIII siecle.

7Les lecteurs CD actuels utilisent ce principe de fonctionnement.8Comme j’ai mentionne auparavant, en realite les fils quantiques sont quasi 1D.

14

1.1. Filament quantique

1.1.1 Gaz bidimensionnel d’electrons. HeterojonctionGaAlAs/GaAs.

Le principe de fabrication du gaz bidimensionnel est assez simple. A la surface deseparation de deux semi-conducteurs une discontinuite des bandes d’energie se forme acause de a la difference de permittivite dielectrique. A l’aide du champ electrique, nouspouvons bloquer les electrons de la bande de conductance a la surface de separation dedeux semi-conducteurs et obtenir ainsi le gaz bidimensionnel.

GaAlAs GaAs

E

Ec

Ev

l

bande de valence

bande de conductionE

Ec

Ev

GaAlAs

l

GaAs

champ électrique

gaz 2 D

Figure 1.3: La jonction ideale GaAlAs/GaAs. A cause de la difference de permittivitedielectrique de deux semi-conducteurs, le champ dipolaire intense cree unediscontinuite des bandes de conduction Ec et de valence Ev. L’applicationd’un leger champ electrique perpendiculaire a la surface de separationdes composants (le long de l’axe l) bloquera les porteurs dans la bandede conduction. On obtient ainsi le gaz bidimensionnel a la surface deseparation de deux semi-conducteurs.

De nombreux problemes apparaissent des qu’on essaie de mettre ces idees simples enpratique. Pour obtenir une jonction nette il faut se soucier de la compatibilite desstructures cristallines des semi-conducteurs en question. Une jonction de deux semi-conducteurs structurellement differents produira toutes sortes de defauts cristallins,comme des dislocation ou des fautes d’empilement, et on aura une transition troplisse entre les bandes de conduction pour pouvoir obtenir un gaz bidimensionnel. Poureviter cet obstacle on peut utiliser les jonctions de semi-conducteurs composes, commeGaAs, InSb , CdTe etc. L’avantage de ces semi-conducteurs est qu’on peut facilementchanger la valeur de leur gap energetique en remplacant partiellement un des elementschimiques par un element avec la configuration electronique analogue. Les plus utilisesen pratique sont les composes III-V. Il y a neuf composes binaires qui combinentles elements arsenic (As), antimoine (Sb) ou phosphore (P ) du groupe V du tableauperiodique de Mendeleev avec des elements du groupe III comme le gallium (Ga),l’aluminium (Al) ou l’indium (In). Pour obtenir un gaz 2D dans une jonction ideale ilfaut courber les bandes pour qu’un puits de potentiel apparaisse. Une des possibilites

15


A

E

Ec

Ev

l

B

bande de conduction

bande de valence

Ec

Ev

E

lchamp électrique

A B

gaz 2 D

Figure 1.4: La jonction de deux semi-conducteurs A et B de structure cristallogra-phique differente. L’evolution des bandes devient lisse due a la presencedes defauts cristallins. Le puits de potentiel n’etant pas profond, il estdifficile, voir impossible, d’obtenir le gaz d’electrons 2D.

est de deposer une couche metallique et d’appliquer une tension qui attirera les electronsvers la surface de separation des semi-conducteurs (Fig. 1.3 et 1.4). Cette methode neserait pas pratique si l’on voulait ensuite fabriquer les fils quantiques a partir de ce gazbidimensionnel, car il faudrait dans ce cas deposer un fil metallique et le maintenir aun potentiel positif en permanence. En effet il est possible de juste deposer une couchesupplementaire d’un semi-conducteur dope positif. Cette couche aura donc un doublerole : en plus de donner ses electrons necessaires pour la formation du gaz, elle creeraun champ electrique constant.

Dans le groupe experimental de Marcoussis,9 avec lequel j’ai collabore pendantma these les heterojonctions sont fabriquees sur la base de l’arseniure de gallium GaAs.Une telle jonction consiste en une couche de GaAs non dope (≈ 2 µm), puis une couchede son compose binaire de plus grand gap GaAlAs (90 nm) et une couche du memealliage GaAlAs dope positif en silicium (10 nm). Une couche de surface de GaAsprotege l’empilement contre l’oxydation de l’aluminium (Fig. 1.5). Les electrons liberespar les atomes de donneur (Si) se distribuent sur tout l’echantillon. Une fraction deces electrons s’accumule a la surface de separation des deux semi-conducteurs nondopes GaAlAs/GaAs. Ils sont attires par les charges positives situees dans la couchedopee, mais ne peuvent pas franchir la barriere potentielle du champ dipolaire, a causede la difference de permittivite dielectrique de l’arseniure de gallium et son alliageternaire (Fig. 1.5). Dans ces heterojonctions on obtient un gaz 2D electronique avecla mobilite de l’ordre de 5· 106 cm2 V−1s−1 et la longueur de Fermi allant de 10 a 100nm. L’avantage de ses heterojonctions par rapport au premier cas envisage est qu’onpeut graver dans ce gaz 2D toutes sortes de reseaux bidimensionnels.10 Dans la sectionsuivante je decris rapidement la technique de gravure et discute les modeles theoriques

9J.Dufouleur et D. Mailly, Laboratoire de Physique et Nanostructure (LPN)10Les meme reseaux realises en metal ont en general libre parcours elastique moyen significativement

inferieur du a la presence d’impuretes.

16


GaAlAs dopé 10 nm

10 nm

90 nm

2 mµ

gaz d’électron

GaAlAs

GaAs

GaAs

E

versGaAsGaAlAsGaAs GaAlAs(dopé)

c

substrat

gaz 2 D

Figure 1.5: Realisation experimentale du gaz d’electron 2D dans une heterojonctionGaAlAs/GaAs. Le gaz bidimensionnel se forme a la surface de separationde GaAs et son alliage ternaire GaAlAs. Les electrons sont stabilises dansun puits de potentiel par la couche dopee positive de GaAlAs. La couchede surface protege l’echantillon contre l’oxydation.

pour les reseaux de fils, compte-tenu des methodes de leur production.

1.1.2 Reseaux de filaments

Nous pouvons faire encore un pas en avant et restreindre le mouvementelectronique dans le gaz 2D a une seule dimension. Ainsi nous pourrons obtenir nonseulement les fils quantiques tous simples, mais aussi les reseaux de fils de differentesgeometries. Pendant ma these j’ai etudie le transport electronique dans le reseau carreet le reseau dit Z2. Ces deux types de reseaux sont obtenus a l’aide de la techniquede la lithographie electronique et de la gravure. Le principe physique est tres simple.Nous avons vu dans la section precedente, que c’est la presence de la couche dopeeen silicium qui cree le gaz electronique, il suffit alors de detruire cette couche partoutsauf sur un seul brin pour passer a une dimension.11 Un simple bombardement par lesions lourds detruira la couche dopee. Etant lourd un ion ne pourra pas penetrer dansl’echantillon en profondeur et se recombinera avec les atomes de silicium en neutralisantla couche dopee.12 Pour creer un reseau de fils quantiques il faut proteger une partiede l’echantillon contre le bombardement ionique. Cela se fait en cinq etapes. Sur unecouche supplementaire de resine, deposee sur l’echantillon, on dessine le futur reseaupar un faisceau electronique. Ensuite par evaporation on couvre l’echantillon par unecouche fine metallique, qui protegera l’empilement contre le bombardement ionique.Une couche metallique dans les regions ou la resine n’a pas ete exposee au rayonne-ment electronique est enlevee a l’aide d’un solvant qui dissout la resine. Le schema estpresente sur la figure 1.6. Pour plus de details voir [Nau02].

11Sur le meme principe on obtient une geometrie quelconque de fils unidimensionnels.12Les echantillons de Marcoussis sont bombardes par les ions d’Argon Ar.

17


e

substrat

résine

substrat

résine

substrat

substrat

masque métallique

enduction de résine insolation révélation

métallisationlift−offsubstrat

substrat

Figure 1.6: La lithographie electronique a pour but de deposer sur l’echantillon unecouche metallique, qui le protegera pendant le bombardement des ionsd’Argon.

Figure 1.7: Images du masque metallique de reseaux Z2 et ”dice” (T3) obtenues avecun microscope electronique a balayage MEB (ang. : EBM, Electron BeamMicroscope).

18


Sur la figure 1.8 on voit comment par bombardement de l’echantillon, couvertd’un masque metallique, on cree une depletion du gaz 2D dans les regions non protegees.

GaAs

GaAlA

sGaAlA

s

gaz 2 D

Ions d’Argon

GaAlA

s

GaAs

GaAlA

s

gaz 2

D

Figure 1.8: Pendant la gravure, l’echantillon, couvert d’un masque metallique, estbombarde par les ions negatifs de l’Argon creant ainsi une depletion dansle gaz electronique dans les regions non protegees.

Quel modele analytique faut il choisir pour decrire correctement le mouvementelectronique dans les reseaux de filaments quantiques (Fig. 1.7) ? Nous avons constateque la charge totale du gaz electronique dans les fils est ecrantee par les ions de Siliciumde la couche dopee. Typiquement la distance entre le gaz et la couche dopee est au moinsun ordre de grandeur inferieure au pas du reseau, ce qui nous indique que les electronsinteragissent dans un seul fil et on peut negliger les interactions entre les fils differents.Premiere conclusion : l’interaction electronique est a courte portee.

A hautes densites electroniques dans les filaments quantiques, l’energie d’inter-actions electroniques est negligeable en comparaison avec l’energie cinetique.13 Dansle cas limite ou l’on peut oublier completement les effets d’interaction, un electronse propage d’une facon balistique sur tout le reseau grace a la presence de collisionselastiques (Fig. 1.9). Le fait que les interactions electroniques intra-brin sont plus perti-nentes que celles intre-brins, justifie la description du reseau, comme un gaz d’electronsunidimensionnel avec les jonctions modelisees par la matrice de transfert, matrice S.14

13l’energie cinetique est proportionnelle a la densite de gaz 2D, tandis que l’energie potentielleaugmente comme la racine carre de la densite electronique.

14J’introduis la matrice de transfert dans la section 1.2 page suivante

19


Cette derniere incorpore dans sa definition la geometrie de la jonction, aussi bien queles effets d’interaction lors que les electrons se croisent.

Figure 1.9: Le schema de la diffusion elastique d’electrons dans une jonction. Memeen l’absence d’interaction, les electrons diffusent sur tout le reseau bidi-mensionnel.

Recapitulatif de la section :Vu la methode de fabrication d’un reseau de filaments quantiques, on conclut que dansune bonne approximation, il peut etre considere comme un ensemble de fils, portantun gaz d’electrons 1D. Les electrons n’interagissent entre eux qu’a l’interieur du memefil ou dans les jonctions, qui sont decrites par la matrice de diffusion. L’interactionelectronique a l’interieur d’un fil est ecrantee et donc a courte portee.

1.2 Matrice de diffusion

Dans les problemes de diffusion, pour retrouver le comportement des fonctionsd’onde electroniques a l’infini par rapport au centre de diffusion, il est plus commoded’utiliser a la place de l’equation de Schrodinger ou de Dirac une equation integraleequivalente. Ainsi ce n’est plus la forme exacte du potentiel qui intervient dans lescalculs, mais la matrice de diffusion (scattering matrix) [SWR90, DJ94, UA96],15 quiincorpore les informations sur la diffusion des ondes planes. Connaissant cette matriceon pourrait a priori resoudre le probleme inverse de la diffusion et retrouver le potentielqui en est la cause, mais la solution n’est pas toujours unique et le probleme en soireleve souvent de difficultes particulieres. Dans cette section j’introduirai la notion dela matrice de diffusion dans le cas simple de l’intersection de fils quantiques.

15qui est parfois appelee la matrice de transfert, la matrice de scattering ou la matrice-S

20

1.2. Matrice de diffusion

Supposons d’abord qu’on a un fil quantique avec une impurete localisee autourdu point x = 0, et qu’en plus la densite electronique est tres elevee de facon qu’onpuisse negliger les interactions entre les electrons. L’equation de Schrodinger prend laforme suivante :

[H0 + V (x)]ψ = Eψ (1.1)

ou H0 = p2/(2m) est l’Hamiltonien d’electrons libres et V (x) le potentiel de l’impuretelocalisee autour de x = 0, tel que V (x) = 0 si x /∈ [xmin, xmax].

XmaxXmin

V(x)

B’

A’A

B

Figure 1.10: Representation schematique d’un potentiel d’impurete localise V (x).Quelle que soit la forme du potentiel la solution de l’equation deSchrodinger hors de l’intervalle [xmin, xmax] est donnee par les ondesplanes, ce qui permet de definir la matrice de diffusion. Les coefficientsA,B correspondent aux amplitudes de propagation vers la droite et lagauche respectivement.

L’Hamiltonien H est un operateur hermitien pour les fonctions qui sont bornees al’infini, |ψ(x)| < ∞ pour x → ±∞. Dans le cas general, son spectre est une composi-tion d’une partie continue pour E > 0 et d’une autre partie discrete pour E < 0.Les etats lies existent surement si, par exemple, l’integrale de l’energie potentielleest negative, (

∫∞

−∞V (x)dx < 0). Considerons d’abord les energies propres positives,

k =√

2mE/~2 > 0. La solution existe pour toutes les valeurs de k reelles positives.Dans les regions I et III elle est donnee par les ondes planes :

φk(x) =

Aeikx +Be−ikx pour x < xminA′eikx +B′e−ikx pour x > xmax

(1.2)

Une equation differentielle du second ordre est definie a deux constantes pres. Si onfixe la solution a gauche de l’impurete en choisissant les valeurs des constantes A etB, on pourra reconstruire la solution a droite. On peut penser au probleme de Cauchy,

21


en fixant la fonction et sa derivee dans un point donne, la solution unique existe eton peut toujours trouver sa valeur dans n’importe quel autre point. Donc il existedeux fonctions α et β qui relient les solutions de gauche et de droite : A′ = α(A,B) etB′ = β(A,B). Comme l’equation de Schrodinger est en plus lineaire, ces fonctions sont,elles aussi, lineaires, et on peut ainsi ecrire la dependance sous une forme matricielle.

(

AB

)

=

(

p11 p12

p21 p22

) (

A′

B′

)

≡ P(

A′

B′

)

(1.3)

Dans le cas ou le potentiel d’impurete est une fonction continue de x, la matrice Pexiste toujours et son determinant ne s’annule pas ; det P 6= 0. Cette matrice est unobjet interessant du point de vue mathematique, mais il n’est pas evident d’y voir lesproprietes physiques de l’impurete. Pour cette raison on utilise en physique plutot lamatrice de diffusion, definie par :

(

A′

B

)

=

(

r′ tt′ r

) (

B′

A

)

≡ S

(

B′

A

)

(1.4)

ou la matrice de diffusion S, depend des coefficient de la matrice P .Le sens physique des elements de la matrice S devient tout de suite evident : r,r′

sont alors les coefficients de reflexion respectivement a gauche et a droite et t,t′ lescoefficients de transmission. Les proprietes physiques du probleme sont en effet codeesdans la matrice S. Commencons par la conservation du courant, qui donne :

jk =e~

2mi(φ∗k

d

dxφk − φk

d

dxφ∗k) =⇒ |A|2 − |B|2 = |A′|2 − |B′|2 (1.5)

On conclut que la conservation du nombre de particules impose l’unitarite de la matriceS : SS† = I ou soit pour les composantes : |r|2 + |t|2 = |r′|2 + |t′|2 = 1 et |r| = |r′|.Cette propriete de la matrice de diffusion n’est valable que pour les energies positives.La conservation du courant, definie dans (1.5), pour les valeurs E < 0, soit pour ik < 0,ne donne plus l’unitarite de la matrice de diffusion, mais une relation differente :

jk = const =⇒ ImA∗B = ImA′∗B′ (1.6)

Donc il faut etre tres prudent en utilisant l’unitarite de la matrice de diffusion, elle nepeut etre unitaire que pour les valeurs de k reelles. La symetrie d’inversion du tempspeut aussi etre exprimee a l’aide de la matrice S. Comme la fonction d’onde conjugueedecrit la propagation dans la direction opposee, le changement de A↔ B∗ et A′ ↔ B′∗

doit laisser l’Eq. 1.4 intacte. Ceci se traduit par S−1 = S∗. Compte-tenu de l’unitarite,la matrice de diffusion doit etre symetrique S = St. Il est important de noter quela matrice S est symetrique seulement telle qu’elle est definie dans l’Eq. (1.4). Onaurait pu a priori choisir la definition ou on inversait la position des coefficients detransmission et de reflexion. Dans ce cas l’invariance par inversion du temps, exprimeea l’aide de la matrice de diffusion, sera une relation plus complexe. L’invariance parinversion du temps relie les coefficients de transmission gauche et droite, mais ne fournitaucune information sur les termes de reflexion. On pourrait de la meme maniere associerdifferentes symetries du systeme avec les proprietes de la matrice S.

22

1.2. Matrice de diffusion

Xmin

BXmax

A

Figure 1.11: Representation schematique d’un etat lie. Pour les valeurs negativesd’energie, soit pour ik < 0, les amplitudes A′ et B correspondent auxcoefficients devant les exponentielles qui decroissent a l’infini : A′e−|k|x

et Be|k|x.

La connaissance de la matrice de diffusion en fait donne beaucoup plus d’informa-tion que juste les symetries du systeme ou les proprietes de diffusion des ondes planes.Les poles complexes de cette matrice correspondent aux etats lies de l’Hamiltonien.Pour le confirmer, regardons la relation entre les matrices S et P ,

S =1

p11

( −p12 1

det P p21

)

(1.7)

Pour certaines valeurs de l’energie E = ~2k2/(2m), la matrice de diffusion en effetn’est pas bien definie. Soit p11 = 0, en se rappelant la definition de la matrice P ,on trouve qu’il existe une solution telle que les amplitudes des ondes incidentes sontnulles (A = B′ = 0) au meme temps que les amplitudes des ondes sortantes sont nonnulles (A′ 6= 0, B 6= 0). Vice versa, s’il existe une solution caracterisee par seules deuxamplitudes sortantes non nulles (A′ 6= 0, B 6= 0, A = B′ = 0), alors p11 = 0. Donc lespoles de la matrice de diffusion correspondent aux etats lies de l’operateur de HamiltonH. Un etat de diffusion (E > 0) ne peut pas avoir cette forme (Fig. 1.11), car celasignifiera (1.5) que l’impurete est une source de courant permanent.

Sur la figure 1.11 on voit clairement la presence d’un etat lie. Les etats lies peuventapparaıtre pour les niveaux d’energie inferieurs a la valeur du potentiel a l’infini et sicette valeur est egale a zero, dans le cas ou l’integrale du potentiel est negative. Commea l’infini l’energie potentielle, telle qu’elle etait definie plus haut, tend vers zero, onn’aura pas de poles pour les valeurs de k positives, par contre pour certaines formes depotentiel local on pourrait avoir des poles de la matrice de diffusion a des valeurs de kimaginaires. Seules les poles avec la partie imaginaire positive16 correspondent aux etats

16La matrice de diffusion possede aussi les poles sur le plan complexe pour les valeurs ik > 0. Cesresidus correspondent aux niveaux energetiques virtuels, qui se trouvent dans la feuille de Riemannnon physique. Voir A.1

23


lies de l’Hamiltonien, car seulement pour ces valeurs la fonction d’onde est decroissantea l’infini ; il existe k = iω, (ω > 0) tels que |ψ(x)| −−−−→

x→±∞0. Cette remarque sur les

poles de la matrice S sera necessaire lors de l’analyse de completude des fonctions dansla partie 1.5 page 42.

Pour modeliser mathe-

A

D

C

B

CB

A

D

Figure 1.12:

La jonction de deux fils quantiques peut etre decrite

a l’aide de la matrice S de dimension 4 × 4.

matiquement les croisements de filsquantiques on pourrait considererune jonction comme une impuretelocalisee ou les electrons peuvent sediffuser dans les differentes branches.A haute densite electronique quandles interactions entre les electronssont negligeables, le reseau de fila-ments quantiques dans une bonneapproximation peut etre approchepar les electrons libres qui inter-agissent aux nœuds du reseau decritspar la matrice de diffusion. Parexemple, la jonction de deux filsquantique (Fig. 1.2) sera decrite parla matrice de diffusion 4× 4, dont laforme la plus generale est :

A′

B′

C ′

D′

=

rA tBA tCA tDAtAB rB tCB tDBtAC tBC rC tDCtAD tBD tCD rD

ABCD

Recapitulatif de la section :1) La notion de la matrice de diffusion peut etre utilisee pour decrire les jonctions desfils quantiques. La dimension de cette matrice est egale au double du nombre de filsqui se croisent, elle peut etre impaire pour les jonctions du type Y ou T.2) Les symetries du probleme sont codees dans la matrice S : l’invariance par rapporta l’inversion du temps17 correspond a la symetrie de la matrice de diffusion S∗ = S−1,la conservation du nombre de particules a l’unitarite S†S = I.3) La matrice de diffusion consideree comme fonction d’energie complexe possede lespoles a des energies negatives, qui ne sont rien d’autre que les etats lies du potentielassocie.

17L’invariance par rapport a l’inversion du temps est brisee en presence du champ magnetique.

24

1.3. Oscillations de Friedel

1.3 Oscillations de Friedel

Les oscillations de Friedel sont les oscillations de densite electronique qui appa-raissent dans le gaz d’electrons, induites par la presence d’une impurete. Elles sontcaracterisees par la frequence d’oscillation 2kF , kF etant le vecteur d’onde de Fermi,et par la decroissance algebrique en loi de puissance en fonction de la distance a l’im-purete. Ce phenomene general est crucial pour divers systemes physiques. Ainsi il estresponsable de l’apparition d’un etat fondamental quasiment degenere dans les verresde spin : les impuretes avec un moment magnetique non nuls induisent les oscilla-tions de densite de spin ce qui rend l’etat fondamental tres complexe, le systeme ayantbeaucoup de positions d’equilibre metastables. Cet effet est aussi a base de l’interac-tion d’echange indirecte RKKY. A une dimension les oscillations de Friedel engendrentl’effet de commensurabilite sur reseau, dont on parlera en details plus loin.

Je commence par un exemple tres simple d’oscillation de Friedel, qui necessitejuste la connaissance de base de la mecanique quantique.

1.3.1 Exemple d’oscillation de Friedel

Supposons qu’on a un fil quantique ou les electrons peuvent se propager sansinteragir entre eux. Contrairement a ce qu’on pense naturellement, ceci correspondau cas d’une densite electronique elevee, car a une dimension l’energie cinetique estproportionnelle au carre de la densite electronique, tandis que l’energie potentielleaugmente lineairement avec la densite : Ec ∼ n2 et Ep ∼ n. Les fonctions d’onde sontsimplement les ondes planes et en remplissant les niveaux energetiques jusqu’a la valeurkF , nous obtenons la densite electronique constante partout dans le fil :

ψk(x) ∼ e±ikx; n0 = 2

∫ kF

0

dk

π|ψk|2 =

2kFπ

Que se passe t-il si l’on place a l’origine des coordonnees un mur impermeable V (x=0) =∞. Les solutions a une particule doivent s’annuler au point zero ψk(x=0) = 0. Un calculsimple nous montre l’apparition d’oscillations de densite :

ψk(x) ∼ sin kx; sin2(kx) =1 − cos(2kx)

2⇒ nimp − n0/2 ∼ sin(2kFx)

x

Cet elementaire exemple a cependant la forme presque la plus generale d’oscillationsde Friedel a une dimension. Il suffit de rajouter juste une phase constante φ pour avoirle cas general a condition de faible interaction electronique :

∆n(x) ∼ sin(2kF |x| + φ)

|x| (1.8)

Les oscillations de Friedel a une dimension sont les oscillations au vecteur d’onde 2kF ,qui decroissent a l’infini comme 1/x. Ce comportement est modifie a forte interaction

25


electronique [EG95, LLS96] : la decroissance asymptotique devient en x−K , K etant lecoefficient d’interaction.18

Regardons maintenant comment change la decroissance d’oscillations si l’on seplace a trois dimensions.19 La densite du gaz d’electrons sans interaction est constantecomme avant :

ψ~k(~r) ∼ e±i~k~r; n0 =

2

(2π)3

∫∫ kF

0

dkxdkydkz|ψ~k|2 =k3F

3π2

Nous avons choisi le potentiel d’impurete a courte portee de telle sorte que seule lesondes s (moment d’impulsion l = 0) soient affectees par la presence de l’impurete.Les solutions d’equation de Schrodinger sont donnees par les fonctions spheriques deBessel. Ces fonctions peuvent etre construites par une procedure recursive, mais leurcomportement a l’infini est identique, ψk(r) ∼ sin(kr)/r si r → ∞. En calculant ladensite electronique en presence d’une telle impurete, on s’apercoit que l’amplitudedes oscillations decroıt comme la puissance trois de la distance :

ψ~k(~r) ∼sin(kr)

r⇒ ∆n(r) ∼

∫ kF

0

cos(2kr)

r2k2dk ∼ sin(2kFr)

r3+O(r−4)

ou k = |~k| et r = |~r| sont les modules des vecteurs correspondants. L’exposant de ladecroissance change si l’on passe a deux ou trois dimensions, les oscillations de Friedela d dimension prennent la forme suivante :

∆n(x) ∼ sin(2kF |r| + φ)

|r|d

Les considerations de cette section ne pretendent pas etre tres rigoureuses et completes,neanmoins elles permettent de comprendre l’origine de phenomene physique observepar Friedel [Fri58].

On voit que la raison principale de l’apparition des oscillations est la (quasi)continuite du spectre du probleme pres de l’energie de Fermi, car c’est l’integrationpar parties du carre de la fonction d’onde sur le spectre pres de la valeur k = kFqui produit les oscillations au vecteur d’onde 2kF . De l’autre cote il est necessaired’avoir une region pres de la surface de Fermi, dont les fonctions d’onde propres ont uncomportement identique a l’infini. Ces fonctions oscillent a l’infini et ne decroissent pasplus vite que la puissance de la distance, sinon on n’aurait jamais la decroissance enpuissance des oscillations de Friedel. Une partie de ces conditions est satisfaite grace ala continuite du spectre (comportement oscillant), mais il faut en plus que le potentield’impurete decroisse suffisamment vite. A ce point, on pourrait se poser la questionpourquoi ce raisonnement ne s’applique pas au cas sans impurete. La question est touta fait pertinente. En l’absence de l’impurete les oscillations ne sont pas presentes gracea l’invariance du systeme par translation dans l’espace. Grosso modo la probabilitede trouver une des particules dans un point donne oscille en fonction de la positionou elle est observee, mais le fait de sommer sur toutes les particules et en prenant en

18K = 1 decrit les electrons sans interaction, K < 1 (K > 1) correspond au cas repulsif (attractif).19toujours dans l’approximation de faible interaction electronique.

26


compte qu’elles sont indistinguables, nous produit une densite homogene. Par contrela presence d’une impurete, comme on a vu dans les deux exemples, nous deformel’espace des etats propres, ce qui se manifeste par la presence d’oscillations de Friedel.La presence de l’impurete brise la symetrie de translation dans l’espace. Pour aller plusloin je mentionne que la symetrie de translation peut etre brise spontanement et lesoscillations de densite peuvent se devoiler. Ceci est au cœur du phenomene predit parPeierls et Frohlich dans les annees cinquantes pour le metal quasi-unidimensionnel,mentionne dans la litterature comme l’instabilite de Peierls [Pei96].

Dans la section suivante nous

n0x

nx

Figure 1.13:

Oscillations de Friedel a une dimension. Les

oscillations de densite electronique autour de

la valeur moyenne n0 dues a la presence d’une

impurete.

confirmerons les resultats de cette sectionavec une approche plus generale, en fai-sant le calcul au premier ordre de pertur-bation.

1.3.2 Oscillation de Friedel :cas general

Cette section est concue pour les personnes qui preferent penser en termes dereponse lineaire. Nous obtiendrons les memes resultats que dans la section precedenteen etudiant les proprietes de la susceptibilite de charge calculee en premier ordre deperturbation.

Supposons qu’on a un fil quantique ou les electrons sont presque libres. Si l’onneglige les interactions electroniques et la variation spatiale du potentiel exterieur lasurface de Fermi consiste en deux points ±kF , et les electrons sont decrits par l’Hamil-tonien libre H0 = p2/(2m). La densite electronique est uniforme et egale a 2kF/π.20

Maintenant nous prenons en compte l’inhomogeneite du potentiel exterieurδV (x). Comment changera la densite ? Une des possibilites pour repondre a cette ques-tion est liee au calcul de la susceptibilite de charge. Par definition la susceptibilite decharge est la reponse lineaire de la densite electronique a la perturbation du potentielexterieur :21

δρ(x) def⇐⇒

∫

dx′χ(x− x′)δV (x′) (1.9)

Vu la definition de la susceptibilite, il est souvent plus simple d’analyser les proprietesde sa transformee de Fourier :

δρ(q) ≡∞

∫

−∞

eiqxρ(x)dx = χ(q)δV (q) (1.10)

Donc pour retrouver la susceptibilite de charge on doit exprimer la valeur moyenne de

20On a pris en compte la degenerescence de spin.21Dans cette partie on denotera la densite electronique par ρ, comme c’est la notation la plus utilisee

en seconde quantification.

27


2kFq

0

q

x

x

Figure 1.14: La susceptibilite de charge 1D et sa transformee de Fourier. La diver-gence a 2kF dans l’espace de Fourier est responsable de la presenced’oscillations dans l’espace reel.

la densite electronique dans l’etat fondamental perturbe |ψ〉 en fonction du potentield’impurete δV . Dans le premier ordre de perturbation on obtient :

〈ψ|δρ(q)|ψ〉 =∑

n6=0

〈φ0|ρ(q)|φn〉〈φn|δV |φ0〉E0 − En

+ h.c.

ou ψ est l’etat fondamental de l’Hamiltonien perturbe et |φn〉 la base complete desetats propres de l’Hamiltonien non perturbe H0 : H0|φn〉 = En|φn〉, |φ0〉 est un etatfondamental. On voit que les etats excites qui doivent etre pris en compte lorsqu’oncalcule χ au premier ordre de perturbation sont les excitations de type particule-trou.22

La susceptibilite de charge s’ecrit sous la forme :

2πχ(q) =

∫

|k|≤kF , |k+q|≥kF

dk [ε0(k) − ε0(k + q)]−1 + q ↔ −q (1.11)

Ici je note par ε0(k) = ~k2/(2m) la dispersion des electrons non perturbes. Le calculde l’integrale nous conduit a l’expression suivante pour la susceptibilite de charge dansl’espace de Fourier :

χ(q) =m

~2π

kF∫

kF−q

dk1

k2 − (k + q)2+ q ↔ −q =

χ(q) = − ν0

2xlog

∣

∣

∣

∣

1 + x

1 − x

∣

∣

∣

∣

, ou x =q

2kFet ν0 =

m

π~2kF(1.12)

La susceptibilite de charge diverge en un seul point q = 2kF . La transformation deFourier inverse, la susceptibilite dans l’espace reel est presentee sur la figure 1.14, elleoscille au vecteur d’onde 2kF et tend vers zero comme 1/x. Les oscillations proviennent

22car la densite d’etat est une somme des excitations de type particule-trou ρ(q) =∑

k c†k+qck.

28


de la divergence a 2kF dans l’espace de Fourier, tandis que le comportement en 1/x tireson origine du fait que dans l’espace de Fourier la susceptibilite reste finie a q = 0. Cecomportement de la susceptibilite de charge ressemble trop aux oscillations de Friedelpour avoir une origine differente. En realite, la susceptibilite n’est rien d’autre quela densite electronique en presence d’un potentiel de perturbation de type δ : soitV (x) = V0δ(x− x0) alors δρ(x) = V0χ(x− x0). On retrouve l’origine des d’oscillationsde Friedel exprimee dans un langage different.

Physiquement la divergence

F

F

F

E(k)

k−k

2k

Figure 1.15:

La dispersion energetique d’electrons libres. Il y a

deux types d’excitations de basses energies, au vec-

teur d’onde q = 0 et au vecteur d’onde q = 2kF .

Seules les excitations 2kF sont pertinentes pour le

calcul de la susceptibilite de charge.

de la susceptibilite signifie que lesysteme a la tendance a former lesondes de densite a ce vecteur d’onde2kF ou autrement dit, le systeme su-bit le plus grand changement d’etatinitial si le potentiel de perturba-tion a une importante composante deFourier a q = 2kF . Cet effet est direc-tement lie a la presence d’excitationsd’energies arbitrairement basses. Onvoit sur la figure, qu’il existe aussides excitations de basse energie auvecteur d’onde nul q = 0, quine produisent pourtant aucune di-vergence de la susceptibilite. Cettequestion est assez interessante pouretre traitee plus en detail. Effecti-vement, dans la theorie de pertur-bation, la contribution a la reponselineaire est dominee par les excita-tions de basse energie, cependant leprincipe de Pauli conduit a la sup-pression de la densite d’etat pourles excitations de vecteur d’ondenul. Introduisons la densite d’etatelectronique :

2πν(q, ω) =

∫

|k|≤kF , |k+q|≥kF

dk δ [~ω + ε0(k) − ε0(k + q)] (1.13)

La susceptibilite s’ecrit comme simple integrale sur les frequences :

χ(q) = −2

∞∫

0

dω

ων(q, ω) (1.14)

Cette forme nous confirme la precedente affirmation que ce sont les excitations de bassefrequence qui contribuent le plus a la divergence de la susceptibilite. Pour simplifier

29


l’expression de la densite d’etat on remarque, que pour les electrons libres :

δ [~ω + ε0(k) − ε0(k + q)] =m

~2qδ

[

mω

~q− q/2 − k

]

∫

Ω

δ [f(q) − k] dk =

1 si k = f(q) ∈ Ω

0 dans le cas contraire

ou Ω est un domaine arbitraire d’integration. En consequence, la densite dans les regionsautorisees ne depend pas de ω :

ν(q, ω) =m

2π~2q, si |mω

~q− q

2| ≤ kF , |

mω

~q+ q/2| ≥ kF (1.15)

2kFq

2kFq

2kF q

2kF q

Figure 1.16: Le support de la densite d’etats pour les electrons libres (gauche) etdans l’approximation de liaisons fortes (droite). Les deux densites d’etatspossedent deux vecteurs d’onde, pour lesquels il existe des excitationsde basse energie, q = 0 et q = 2kF . Mais la densite d’etats est fortementsupprimee dans les deux cas au vecteur d’onde nul, et la susceptibilitereste finie pour cette valeur.

La region ou la densite d’etat est non nulle est definie par les inegalites (1.15). Lesbornes de la region doivent etre donnees par une des fonctions ωb(q) = vF q(±1 ±q/(2kF )). Une simple analyse donne la region presentee sur la figure 1.16. Les etatsautorises pour les electrons libres sont bornes a hautes energies par la courbe ωmax =vF q(q− 2kF )/(2kF ) et a basses energies par ωmin = vF q|q+2kF |/(2kF ). Comme prevu,il y a deux valeurs de q pour lesquelles il existe les excitations de basse energie, q = 0et q = 2kF . Mais la region ou la densite d’etat est non nulle est fortement supprimeea la frequence zero et la susceptibilite reste finie pour cette valeur χ|q=0 = ν0. On peutainsi conclure que la possibilite d’avoir des excitations de basse energie ne suffit pas ensoi. La condition necessaire pour avoir la divergence de susceptibilite a 2kF est que lespectre doit etre (quasi) continu pour avoir un nombre non negligeable d’etats excites

30


de basse energie. Pour le spectre quasi discret, par exemple, un fil tres long mais detaille finie, on verifie aisement que la valeur de la susceptibilite a 2kF est finie, elleaugmente avec la longueur du fil, χdis(2kF ) <∞ et χdis(2kF ) → ∞ quand L→ ∞.

Une question interessante est ce qui se passe si l’on place plusieurs impuretesdans le gaz d’electrons. Evidement si ces impuretes sont regroupees, en les regardantde loin nous verrons aucune difference, il y aura toujours les oscillations de Friedel quidecroıtront algebriquement avec la distance. Cette image ne sera plus valable dans lecas ou les impuretes sont placees d’une facon periodique. Cette question est abordeeen detail dans la section suivante.

1.3.3 Commensurabilite sur reseau : calcul exact

Dans cette section je regarderai quelles subtilites apporte la presence d’un en-semble periodique d’impuretes dans un fil quantique. D’abord j’expliquerai les raisonsprincipales de la difference profonde entre le cas d’une seule impurete et les impuretesperiodiques, et ensuite je traiterai un exemple qui souligne les effets de commensura-bilite en faisant le calcul exact de la densite electronique.

Supposons qu’on ait un po-

a 2a0x

Ux

Figure 1.17:

Le potentiel de perturbation periodique. Les impu-

retes sont locales et espacees de la distance a l’une

de l’autre.

tentiel de perturbation periodiquedans le gaz d’electrons libres, quelleest la difference principale avec lecas precedent d’une seule impu-rete ? Naıvement, on pourrait pen-ser qu’il y a une structure de bande,les electrons la remplissent jusqu’al’energie de Fermi et comme avant(Fig. 1.15), il y a des excitations debasse energie 2kF et en plus la region,ou la densite d’etat est non nulle,n’est pas supprimee (Fig. 1.16).Donc a nouveau la susceptibilite di-verge a 2kF et les oscillations de Frie-del apparaissent. Curieusement, tousles arguments sont bons sauf le der-nier : dans le cas generique l’amplitude des oscillations de Friedel est tres sensible aufacteur de remplissage ! Pour comprendre cette subtilite, revenons a la definition dela susceptibilite de charge dans le cas general (1.9), page 27. Comme la fonction deperturbation est maintenant periodique, elle ne tend pas vers zero a l’infini et nous nepouvons plus faire une transformation de Fourier pour arriver a l’equation (1.10). Parcontre, a la place de la transformation de Fourier continue il est toujours possible defaire le developpement en serie de Fourier :

31


δρ(qn) ≡a/2∫

−a/2

eiqnxρ(x)dx = χ(qn)δV (qn) (1.16)

ou qn est un vecteur du reseau reciproque ; qn = 2πn/a, n est un nombre entier.

2kFq

0

q

2kFq

0

q

Figure 1.18: La susceptibilite de charge pour un fil infini (gauche) et pour le reseaude fils (droite). Dans le cas periodique la susceptibilite diverge seulementsi la condition de commensurabilite est satisfaite kFa = πn.

Il est evident que les oscillations de Friedel seront d’autant plus importantes qu’onapprochera du vecteur d’onde reciproque 2kF = qn = 2πn/a. La condition d’ampli-fication de l’oscillation de Friedel (commensurabilite sur reseau) est kFa = πn. Laderniere condition correspond a l’image physique simple. Soit deux impuretes espaceesde la distance a l’une de l’autre. Comme les oscillations de Friedel ont une frequencespatiale 2kF , elles seront en accord l’une avec l’autre a condition de l’egalite de leursphases ; 2kFa = 2πn.

Pour confirmer ces resultats, obtenus a l’aide d’arguments avec les mains, jeferai un calcul exact de la densite de charge. Supposons qu’on ait un potentiel localperiodique (Fig.1.17), cree par N impuretes.23 En negligeant l’interaction electroniquenous allons retrouver d’abord la structure de bande dans l’approche d’electrons librespour ce probleme et, ensuite, calculer la densite electronique comme une fonction dela position x ; ρ(x) ∼

∫ kF

0|ψk(x)|2dk. L’Hamiltonien de ce probleme periodique s’ecrit

sous la forme suivante :

H =p2

2m+

N−1∑

n=0

U(x− na) (1.17)

L’equation qui definit les valeurs propres de cet Hamiltonien est donnee par :

H|ψk〉 = E|ψk〉 =~2k2

2m|ψk〉 (1.18)

23Le calcul analogue a celui qui suivra est fait en detail dans l’article [KD05]. Je reproduit ici justeles points necessaires pour trouver la densite locale de particules. En cas de difficulte je renvoie lelecteur a la section 1.6 page 62.

32


Nous decrirons le potentiel d’impurete a l’aide de la matrice S :(

A′

B

)

=

(

r′ tt′ r

) (

B′

A

)

≡ S

(

B′

A

)

(1.19)

Dans le cas du potentiel symetrique il est possible de parametriser la matrice S pardeux phases independantes :

S = eiψ(

i sinφ cosφcosφ i sinφ

)

(1.20)

On verifie sans difficulte que la matrice est aussi unitaire et invariante par inversion dutemps, S†S = 1 et S−1 = S∗. Dans le cas general les deux phases sont des fonctions del’energie : φ = φ(k) et ψ = ψ(k). Les proprietes de transport electronique dependentseulement de la phase φ, car la phase ψ represente une rotation globale de la matricede diffusion et ne change pas les proprietes physiques du systeme.

Le probleme etant invariant par translation spatiale, l’Hamiltonien peut etre dia-gonalise simultanement avec l’operateur de translation T. Par suite la fonction d’ondepropre s’ecrit comme une fonction de Bloch :24

ψk(x) = A0eikx +B0e

−ikx pour − a < x < 0

ψk(x + a) = eik′aψk(x) k′ ∈ [−π/a, π/a]

Les vecteurs k et k′ ont une signification tres differente ; le vecteur k est directementlie a l’energie du systeme, E = ~2k2/(2m), et k′ est un vecteur du reseau reciproque, ildefinit la valeur propre de l’operateur de translation, T|ψ〉 = exp(ik′a)|ψ〉. La relationentre ces deux variables fournit la structure de bande du probleme : E(k′).

La structure de bande est obtenue a partir de l’equation seculaire. Pour y parvenirnous utilisons la definition de la matrice de diffusion (1.19) et la propriete de la fonctionde Bloch, qui nous donne la solution sur un intervalle 0 < x < a :

A1 = ei(k′−k)aA0 B1 = ei(k

′+k)aB0

Finalement l’equation seculaire prend la forme suivante :(

tei(k−k′)a − 1 re2ika

r tei(k+k′)a − 1

) (

A0

B0

)

= 0

Elle nous permet d’obtenir la structure de bande du probleme,

cos(ka+ ψ) = cosφ cos k′a (1.21)

ainsi que la dependance des parametres A0 et B0 en fonction de l’energie :

(tei(k−k′)a − 1)A0 − re2ikaB0 = 0

24il faut distinguer deux variables differentes, pour lesquelles on utilise la meme notation ψ, lafonction d’onde et le parametre de phase globale dans la matrice S.

33


B0 = A0e−ika sin k

′a cosφ− sin(ka + ψ)

sin φ

Je souligne ici que la condition de commensurabilite kFa = πn correspond au remplis-sage entier des bandes. Cette propriete est une consequence directe de la structure debande (1.21). A partir de l’equation seculaire, B0 peut etre exprime en fonction de A0,la probabilite de trouver un electron dans le point x s’ecrit comme :

|ψk(x)|2 = |A0|2 + |B0|2 + 2Re (A0B∗0e

2ikx) =

= |A0|2

1 +

[

sin k′a cosφ− sin(ka+ ψ)

sinφ

]2

+

+2sin k′a cosφ− sin(ka + ψ)

sin φcos 2k(x− a/2)

En factorisant cette expression une forme plus simple est obtenue :

|ψk(x)|2 = 2|A0|2sin(ka+ ψ) − sin k′a cosφ

sin2 φ×

× (sin(ka+ ψ) + sin φ cos 2k(x− a/2))

La constante A0 est definie a l’aide de la condition de normalisation de la fonctiond’onde :

N

0∫

−a

|ψk(x)|2dx = 1

ou N est le nombre de liens dans notre reseau, ainsi Na est la longueur du fil considere.L’expression finale pour le module au carre de la fonction d’onde normalisee est :

|ψk(x)|2 =1

Na

sin(ka + ψ) + sinφ cos 2k(x− a/2)

sin(ka+ ψ) + sin φ sin(ka)/(ka)(1.22)

Pour trouver la densite d’electronique a basse temperature nous devons sommer|ψk(x)|2 sur tous les etats propres jusqu’a l’energie de Fermi. Si nous considerons un filde taille finie, mais tres long, N 1, le spectre du probleme sera quasi continu avecles valeurs de k′ qui definissent la discretisation : k′ = 2π

aN×entier. En consequence la

somme sur les etats propres peut etre remplacee par l’integrale sur l’energie :

∑

k′

· =aN

2π

∫

dk′· =aN

2π

∫

dk

∣

∣

∣

∣

dk′

dk

∣

∣

∣

∣

·

Ayant neglige la dependance en energie de la matrice de transfert,25 la densiteelectronique est donnee par :

ρ(x) =∑

k′

|ψk(k′)(x)|2 = pour 0 < x < a (1.23)

=

∫

dk

2π

| sin(ka + ψ)| [sin(ka+ ψ) + sin φ cos 2k(x− a/2)]√

cos2 φ− cos2(ka+ ψ) [sin(ka + ψ) + sinφ sin(ka)/(ka)]

25c’est par exemple le cas ou l’energie de Fermi est tres elevee, kFa 1, et on developpe cesfonctions en serie de Taylor, φ ≈ φ(kF ) et ψ ≈ ψ(kF )

34


Cette expression finale est relativement complexe, mais elle permet de faire un calculnumerique direct. Le spectre en soi possede les gaps energetiques definis par l’expressioncos2 φ > cos2(ka + ψ), en consequence l’integrale (1.23) n’est calculee que sur toutesles valeurs autorisees de k.

Figure 1.19: Calcul numerique via la reponse lineaire (1.18) des oscillations de Frie-del pour differents facteurs de remplissage de bandes ν, voir annexe B.Plus on remplit la derniere bande (kFa ≈ πν) plus les oscillations sontimportantes. La condition de commensurabilite kFa = πν correspond auremplissage entier des bandes.

Comme la densite electronique est une fonction periodique ρ(x + a) = ρ(x),une des possibilites pour l’evaluer consiste en la developper en serie de Fourier etensuite en analyser l’une apres l’autre chaque composante pour determiner la presenced’oscillation. Sans developper cette analyse assez lourde, j’attire l’attention sur le faitque toutes les conditions donnees dans la section 1.3.1 page 25 sont satisfaites : lespectre est quasi continu pres de l’energie de Fermi et la fonction d’onde d’une energiedonnee oscille a la frequence 2k. Donc les oscillations a la frequence 2kF de la densiteelectronique doivent se manifester. L’Equation (1.23) integree par partie donne en effetle comportement de Friedel a grande distance :

kF∫

f(k) cos(2ky)dk = f(kF )sin (2kFy)

2y− 1

2y

kF∫

f ′(k) sin(2ky)dk , pour y k−1F

kF∫

f(k) cos(2ky)dk = F (kF ) cos(2kFy) + 2y

kF∫

F (k) sin(2ky)dk , pour y k−1F

ou y ≡ x − a/2, y = 0 indique la position au milieu des impuretes ;f(k) est le facteur multiplicatif dans (1.23), qu’on peut approcher par f(k) ≈

35


sinφ (cos2 φ− cos2(ka+ ψ))−1/2

, si kFa 1 ; F (k) est la primitive de la fonction f(k).La valeur f(k) diverge comme la racine carree des qu’on se rapproche du remplissageentier, f(k) ∼ |k − kF |−1/2. Finalement on conclut par une analyse superficielle que :

ρ(x) ∼ sin 2kFx

xpour le remplissage partiel

ρ(x) ∼ sin 2kFx√x

pour le remplissage entier kFa = nπ

Les oscillations de Friedel jouent un role plus important pour le remplissage entier.

x

density

x

density

Figure 1.20: Calcul numerique direct (1.24) des oscillations de Friedel pour le po-tentiel periodique de type δ. Comme pour le resultat de l’approxima-tion de la reponse lineaire Fig.1.19, les oscillations disparaissent a demi-remplissage, par contre, la hauteur du pic de la densite ne change pasbrutalement au passage du remplissage entier (gauche) vers le remplis-sage partiel (droite). En regardant juste la contribution de la dernierebande (en bas), on voit clairement la domination de la partie prochedu gap energetique kFa ≈ nπ (en bas a gauche). Dans cette exempleL = 2a/5 et n=30, de sorte que le potentiel d’impurete joue un roleimportant : L/λF = 6.

Pour confirmer nos conclusions je donne quelques resultats numeriques. Nouscommencons par l’analyse du calcul numerique (Fig.1.20) de la densite electroniquepour le potentiel de type δ, V (x) = ~2δ(x)/(2mL). Dans ce cas la dependance desparametres de la matrice S en energie est simple : cotφ(k) = −2kL et ψ ≡ φ, voir

36


equation A.19 page 142, qui nous donne la structure de bande suivante :

cos(k′a) − cos(ka) =sin(ka)

2kLavec ~k =

√2mE

ou k′ est le vecteur du reseau reciproque qui prend l’ensemble des valeurs discretesk′n = 2π n

Na, Na etant la longueur totale du fil. La densite est definie par l’equation :

ρδ(y) =

∫

dk

2π

| cos k − (2kL+ k−1) sin k| cos(2ky)√

(2kL)2 − (2kL cos k + sin k)2(cos k + (k−1 − 2kL) sin k)(1.24)

Pour simplifier j’ai suppose a = 1 ; par l’analyse dimensionnelle on retrouve facilementla dependance en a. Comme pour le resultat de l’approximation de la reponse lineaireFig.1.19, les oscillations disparaissent a demi-remplissage, par contre, la hauteur dupic de la densite ne change pas brutalement au passage du remplissage entier vers leremplissage partiel. En regardant juste la contribution de la derniere bande, on voitclairement la domination de la partie proche du gap energetique kFa ≈ nπ. Notons quedans cette exemple le rapport entre l’energie caracteristique du potentiel de perturba-tion kimp = 2π/L et l’energie de Fermi kF n’est pas negligeable (kimp/kF = 1/6). Enconsequence la contribution des etats de tres basse energie k ≈ 0, qui sont fortementmodifies par la presence du potentiel periodique, rajoute une modulation a la densitemoyenne.

Considerons encore un autre exemple de matrice de diffusion constante, S(k) =const. Physiquement ceci correspond au cas de tres grande densite electronique kFa1, on peut alors developper la matrice de diffusion en serie de Taylor et supposer qu’ellesoit constante pres de la surface de Fermi. S(k) = S(kF ) + (k − kF )S ′ ≈ const. Surla Fig. 1.21 il n’est pas simple de distinguer les oscillations de densite dans la bandeentiere ou dans la moitie de bande, mais la transformation de Fourier met tout a saplace : le pic de la contribution de la bande entiere est environ deux fois plus haut quepour le demi remplissage.

Figure 1.21: Contribution de la derniere bande aux oscillations de Friedel pour unematrice de diffusion constante. S = const, ψ = π/5 et φ = π/3. Rem-plissage entier est a gauche, sa TF est a droite (la ligne continue). Rem-plissage demi-entier est au milieu, sa TF est donnee par la courbe enpointille. Meme si les amplitudes dans les deux cas sont les memes, dansle cas commensurable (remplissage entier) les oscillations de Friedel ontun pic plus marque au vecteur d’onde 2kF .

Recapitulatif de la section :A quelle conclusion arrive-t-on pour la question de l’influence du facteur de remplissage

37


ν = kFa/π sur la forme des oscillations de Friedel ? Dans les trois exemples de calculnumerique le passage du remplissage commensurable vers le remplissage incommensu-rable se manifeste de differentes manieres : notamment la forme des oscillations varieplus en fonction du potentiel d’impurete ou de la methode de calcul que du facteur deremplissage : (cas A Fig. 1.19) pour le calcul des oscillations a partir de la susceptibilitede charge on obtient la frustration des oscillations de Friedel, la densite moyenne etantconstante ; (cas B Fig. 1.20) le calcul exact des oscillations de Friedel pour le memepotentiel δ, fait apparaıtre en plus une modulation de la densite moyenne et enfin (casC Fig. 1.21) pour la matrice de diffusion constante c’est le spectre des oscillations quiest different. Cependant pour le transport electronique toutes ces proprietes ont unesignification unique : le remplissage commensurable favorise la localisation electronique,car pour tous ces exemples les oscillations de Friedel sont plus intenses a remplissageentier.

Dans la section suivante, j’expliquerai la construction algebrique pour pouvoirobtenir la structure de bande de n’importe quel reseau de longueur unique.

1.4 Solution de l’equation de Schrodinger definie

sur un graphe

Dans cette section, j’introduirai un formalisme algebrique, qui nous permettrade generaliser la notion de theorie de bandes pour les reseaux equidistants,26 qui nesont pas forcement periodiques, Fig. 1.2 page 13. Nous adapterons a notre situation lesidees originales de Kottos et Smilansky [KS97].

Supposons qu’on ait un reseau quelconque forme de fils quantiques. Dans le casde forte densite electronique dans les brins, on peut negliger les effets d’interactionentre les electrons (voir note 13 en bas de la page 19). Un modele theorique qui decrirace reseau consiste a supposer que les electrons se propagent sans interaction dans lesbrins unidimensionnels et qu’ils soient diffuses par un potentiel local situe aux pointsde croisement des brins. Ce potentiel, qui n’a aucune raison d’etre le meme pour lesjonctions differentes,27 peut etre decrit par la matrice de diffusion introduite dans lasection 1.2 page 20. Traduit dans le langage des mathematiciens, on doit resoudre uneequation differentielle, ψ′′ + k2ψ = 0,28 definie sur le graphe avec les conditions auxlimites donnees par la matrice de diffusion. La solution dans chaque brin s’ecrit sousla forme :

ψ(x) = Aije−ikx + Ajie

ikx (1.25)

ou Aij est l’amplitude de l’onde propageant de site j vers site i. L’origine de coordonneex = 0 est choisie au milieu du brin. La solution de l’equation de Schrodinger sur le

26reseau de fils de longueur unique27On voit que meme les nombres de coordination de chaque jonction ne sont pas egaux.28C’est l’equation de Schrodinger a une dimension, k def

⇐⇒

√

2mE/~2

38

1.4. Equation de Schrodinger sur le graphe

graphe doit obeir aux conditions limites dans les jonctions :

Aij =∑(j)

m

eikLij/2S(j)ime

ikLjm/2Ajm (1.26)

Lij est la longueur du fil 〈ij〉 et la sommation est faite sur tous les premiers voisins dusite j. La formule (1.26) dit simplement que l’amplitude de l’onde allant du site j versle site i (Aij) est egale a la somme des amplitudes venant de tous les sites voisins m dusite j. Chacune de ces dernieres est multipliee par le facteur de phase exp(ikLjm/2),du a la propagation du centre du lien 〈jm〉 vers le nœud j, ensuite est diffusee par

le site j avec l’amplitude de probabilite S(j)im et enfin atteint le centre du lien 〈ij〉

en accumulant le facteur de phase exp(ikLij/2). On voit clairement que (1.26) n’estrien d’autre que l’equation aux valeurs propres ecrite dans une certaine base. Cetteequation est plus transparente une fois ecrite dans sa forme vectorielle. On va definiralors l’espace de Hilbert auxiliaire attache aux liens du reseau. En effet si l’on fixel’energie k, la fonction d’onde est determinee completement par 2NL amplitudes, NL

etant le nombre de fils dans le graphe. Donc l’ensemble des amplitudes Aij peut etrerepresente comme un vecteur |A〉 dans l’espace de Hilbert de dimension 2NL. Chaquelien est decrit par deux vecteurs de base, |ij〉 et |ji〉, comme les ondes ont toujours deuxdirections possibles de propagation. Comme cette espace de Hilbert est de dimensionfinie, la base orthonormee peut etre choisie, 〈mn|ij〉 = δmiδnj. On definit le vecteur

|A〉 =∑

<ij>

Aij|ij〉 et l’operateur de longueur L =∑

<ij>

Lij|ij〉〈ij|. La forme vectorielle

de l’equation (1.26) s’ecrit comme :

|A(k)〉 = eikL/2T eikL/2|A(k)〉 (1.27)

ou on a introduit l’operateur de diffusion T , qui contient toutes les informations surl’amplitude de transfert de chaque site :

T =∑

j

∑(j)

i,m

|ij〉S(j)im〈jm| ⇐⇒ S

(j)im = 〈ij|T |jm〉 (1.28)

S(j)im est l’element de la matrice de diffusion, qui correspond a l’amplitude de probabilite

de transmission du site m vers le site i a travers le nœud j. Les valeurs propres del’equation de Schrodinger sont donnees par l’equation seculaire :

det(eikL − T ) = 0 (1.29)

Ici il faut remarquer que l’operateur de diffusion T depend lui de l’energie k, et malgresa forme simple l’equation n’est pas facile a resoudre. Calculons le commutateur [L, T ]pour voir a quelle condition on peut diagonaliser ces deux operateurs simultanement :

[L, T ] =∑

j

∑(j)

i,m

|ij〉S(j)im(Lji − Ljm)〈jm| (1.30)

Donc la condition [L, T ] = 0 est equivalente a l’egalite de longueurs des brins dansle graphe, a def

⇐⇒Lji pour tous les liens. Comme l’operateur de diffusion est unitaire

39


TT † = I, ses valeurs propres se trouvent sur le cercle de rayon un : T |α〉 = e−iθα|α〉,ou α parcourt 2NL valeurs possibles. Les valeurs propres de k sont donnees par 2NL

equations implicites :

akα,n = θα(kα,n) + 2πn ≥ 0 (1.31)

A hautes energies ka 1, les fonctions θ(k) varient lentement sur l’intervalle 2πn <ka < 2π(n+1), alors, pour chaque valeur de n, nous avons 2NL solutions des equations(1.31), Fig. 1.22. Si le nombre de liens est grand, on obtiendra la structure de bandegeneralisee kα,n : chaque bande est numerotee par un nombre entier n et les etatspropres a l’interieur d’une bande sont indexes par 2NL valeurs de α. Il est importantde noter ici que cette structure de bande generalisee ne repose pas sur l’invariancepar translation du reseau, elle est completement independante du theoreme de Bloch.Meme en cas de reseau invariant par translation, les deux notions ne coıncident pas. Leformalisme general expose ici donne 2NL = ZNs etats par bande, pour un reseau deBravais de coordination Z, comportant Ns sites. Pour ce meme reseau, une bande deBloch contient Ns etats. Donc une bande au sens generalise est la reunion de Z bandesde Bloch.

4π/a

ππ

n=2n=0 n=1

kk a2π/ k

α

ka ka−2 ka−4

2πθ1

θ 2

θ

θ

2,0 α,2

Figure 1.22: Les solutions de (1.31). Pour chaque intervalle de longueur 2π il y a 2NL

valeurs propres energetiques. Si le nombre de liens est tres grand, onobtiendra la structure de bande generalisee.

Si la matrice de transmission etait independante de l’energie (θα = const), lespectre serait parfaitement periodique.29 Enfin je note que la condition de l’egalitedes longueurs de brins peut etre assouplie, il suffit qu’il existe une ∆k telle que

29Pour la plupart des calculs en physique on s’interesse aux energies proches de l’energie de Fermiet cette supposition est donc tout a fait logique

40

1.4. Equation de Schrodinger sur le graphe

exp(i∆kL) = 1. Cette condition signifie que les longueur des fils du reseau doiventetre commensurables i.e. egales a zero modulo une longueur, Lij = anij ou nij sont

les nombres entiers. Dans ce cas les operateurs L et T commutent toujours, car pourchaque brin de longueur superieure a celle de a on peut introduire les jonctions fictivescaracterisees par les matrices de transmission parfaite. Donc on obtiendra a nouveaule reseau equidistant.

Pour finir je donne quelques exemples de la mecanique quantique qui confirmenos conclusions sur la theorie de bandes generalisee.

1. Considerons un seul fil quantique de longueur a avec les conditions aux bordsperiodiques. Les solutions sont donnees par les ondes planes ψ(x) ∼ exp(±ikx).La quantification de l’energie apparaıt due a la taille finie du systeme : kna = 2πn.On voit que pour chaque intervalle 2πm < ka ≤ 2π(m+ 1), il y a toujours deuxvaleurs propres de la base des solutions de l’equation de Schrodinger, comme lepredit le formalisme algebrique (un seul lien, 2NL = 2).

2. Prenons un exemple de deux brins de longueur a lies par la matrice de transmis-sion parfaite. Ce probleme est bien connu en mecanique quantique sous le nomdu puits potentiel infini : V (x) = 0 pour |x| < a et V (±a) = ∞. On trouvefacilement qu’il y a, comme on pretend, 2NL = 4 solutions dans chaque intervalleenergetique de longueur 2π : deux paires k

(+)n a = π(1/2 + n) et deux impaires

k(−)n a = πn.

3. Dans le troisieme exemple on rajoute a l’origine des coordonnees un δ-potentiel :V (x) = αδ(x) pour |x| < a et V (±a) = ∞. C’est un reseau comportant deux filslies par la matrice de diffusion Sδ, voir A.19 page 142. Les etats propres ne sontpas triviaux, comme dans les deux exemples precedents, mais on conserve toujourscette propriete d’avoir les quatre etats par intervalle de 2π : deux impaires k

(−)n a =

πn et deux paires, donnes par les solutions de l’equation, tan(ka) = −~2k/(mα),sur l’intervalle en question.

V(x), E

8 V=V= 8

1) 2) et 3)

x−a a

n

Figure 1.23: Trois exemples ou on voit la structure de bande generalisee : un anneauet deux fils joints dans un point.

Recapitulatif de la section :Dans cette section nous avons generalise la notion de la structure de bande pour une

41


grande variete de reseaux, dits equidistants, Fig. 1.2 page 13. La puissance du forma-lisme algebrique introduit ici est indispensable pour etablir l’equation du groupe derenormalisation, que nous obtenons dans le chapitre 1.6 page 62.

1.5 Bosonisation

Pour les problemes traitant le transport electronique dans les reseaux de filamentsquantiques il y a une question naturelle qui se pose : quel parametre faut-il traiteren perturbation ? Du point de vue experimental, la resistance d’un echantillon doitdependre de la qualite du gaz bidimensionnel et de la perfection de la gravure des filsdans ce gaz. Pour un theoricien, ceci indique l’existence d’au moins deux parametresd’origine physique differente. Schematiquement, on pourra dire qu’il y a le parametrede la force de potentiel dans les jonctions U et le parametre d’interaction electronique,qu’on notera K.30 L’Hamiltonien du probleme general s’ecrira comme une somme detrois termes :

Htot = Hcin + U(U)jonc + H

(K)int (1.32)

ou Hcin est l’Hamiltonien d’electrons libres, Ujonc decrit le potentiel dans les jonctions

et Hint est le terme d’interaction electronique dans les fils. N’ayant pas les moyens deresoudre le probleme initial, on est oblige de faire appel a la theorie de perturbation.Plusieurs voies sont possibles : soit on trouve la description d’electrons en interactiondans un fil quantique et on introduit le potentiel de diffusion dans les croisements,soit on trouve d’abord la solution de l’equation de Schrodinger dans une geometrie dureseau et ensuite on etudie les effets d’interaction.

Htot =

(Hcin + Hint) + Ujonc bosonisation

(Hcin + Ujonc) + Hint physique du solide(1.33)

La premiere approche necessite l’utilisation de la methode de la bosonisation, quipermet justement de reecrire l’Hamiltonien d’electrons en interaction en fonctiond’operateurs bosoniques libres. Cette approche permettant d’exprimer le coefficient detransmission de fils, est utilise dans les nombreuses problemes physiques [SS95, SS04,FHK98]. Dans la deuxieme approche on resout d’abord le probleme de physique dessolides et ensuite on branche l’interaction electronique. Chacune de ces deux approchesn’est valide que dans une certaine region de l’espace des parametres Fig.1.24.

Dans ce qui suit, je decrirai ces deux approches theoriques, en commencant parles elements essentiels de la technique de bosonisation. Ensuite, dans un exemple d’unseul fil avec des impuretes periodiquement placees,31 je donnerai les differents cas defigure possibles obtenus par une analyse superficielle. Le cas d’un reseau de fils a faibleinteraction electronique est traite en detail dans la section 1.6.

30On choisit la notation courante pour le Liquide de Luttinger. La seule chose qu’il faut connaıtrepour l’instant est que K = 1 decrit les electrons sans interaction et K > 1 (K < 1) correspondrespectivement au cas attractif (repulsif).

31A deux dimensions nous pouvons modeliser chaque jonction de fils par un potentiel local d’impu-rete. Le probleme 1D avec les impuretes periodiquement placees est donc preliminaire.

42

1.5. Bosonisation

phys

ique

du

solid

e1

K

|U|

intera

ction

attrac

tive

intera

ction

bosonisation

répuls

ive

Figure 1.24: Schema des domaines de validite pour l’approche de bosonisation etl’approche de physique du solide. U caracterise le potentiel du aux nœudset K est la force d’interaction electronique. K = 1 correspond au casd’electrons sans interaction.

1.5.1 Des fermions vers les bosons

La physique du gaz electronique unidimensionnel differe nettement de celle de gazbi- ou tri-dimensionnel. Nombreux facteurs contribuent a cette specificite ; comme latopologie de la surface de Fermi, constituee seulement de deux points, ou le fait qu’uneimpurete ne peut etre contournee par les electrons, ce qui rend plus difficile l’ecrantagedu potentiel de Coulomb et en consequence la formation de quasi-particules. Danscette section, j’introduirai d’abord la notion du Liquide de Luttinger (LL), qui decritle gaz electronique unidimensionnel, puis je donnerai les elements de la technique debosonisation,32 qui permettront de traiter les interactions electroniques d’une faconnon-perturbative.

Nous allons maintenant traiter une theorie simple d’electrons sans spins.Considerons d’abord un Hamiltonien d’electrons sans interaction, qu’on a reussi a dia-gonaliser par une methode quelconque,

H0 =∑

k

ε0(k)a†kak (1.34)

ou a†k est l’operateur de creation d’un electron ayant une energie ε0(k), les regles d’anti-

commutation sont habituelles : ak′ , a†k = δk,k′. En l’absence d’interaction, les electronsremplissent les niveaux energetiques jusqu’a l’energie de Fermi EF . Toutes les proprietesphysiques33 d’un tel systeme a basse temperature sont definies par la tangente a la

32Je donne juste les elements essentiels de la technique de bosonisation, pour plus de detail j’envoiele lecteur a [Saf97, Dou99].

33comme la densite d’etats, la vitesse electronique, la conductivite etc.

43


bande energetique au niveau de Fermi. Tomonaga [Tom50] a donc propose de lineariserle spectre autour de l’energie de Fermi et de restreindre les excitations electroniquespossibles en introduisant un parametre de cut-off Λ. Mais dans l’approche du groupede renormalisation, il est souvent plus commode de relacher cette contrainte (Λ → ∞)pour arriver au modele de Luttinger [Lut63], Fig. 1.25.

FF

−k k

E(k)

FF

!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!

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k−k

E(k)Λ Λ

$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$

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F

'%'%'%''%'%'%''%'%'%''%'%'%'(%(%((%(%((%(%((%(%(

F k−k

E(k)RL− +

Figure 1.25: Linearisation du spectre d’energie. Le modele de Tomonaga (en bas)introduit le cut-off Λ sur les excitations possibles. Le modele de Luttinger(a droite) relache cette contrainte. Les branches sont notees par desindices L,R ou +,− selon des auteurs.

44

1.5. Bosonisation

L’Hamiltonien d’electrons sans interaction dans le modele de Luttinger s’ecrit commeune somme infinie :

H0 = vF∑

k

(k − kF )a†RkaRk − (k + kF )a†LkaLk (1.35)

ou a†L,R sont respectivement les operateurs de creation d’un electron sur la branchegauche et droite et ou vF caracterise la pente de la structure de bande au niveau deFermi, soit la vitesse de Fermi. En supposant que le gaz unidimensionnel se trouve surun anneau de longueur L, on quantifie les valeurs de k possibles, comme les entiersmultiples de 2π

L.

Le modele de Luttinger peut etre facilement diagonalise en presence d’un poten-tiel exterieur quelconque, par contre le branchement d’interactions electroniques memetres simple34 rend cet Hamiltonien assez complique pour etre resolu analytiquement.Pour cette raison, on essayera de reecrire cet Hamiltonien en termes d’excitations bo-soniques, qui ecrivent les fluctuations de densite autour de la surface de Fermi. Cecisemblera une complication au depart, mais nous verrons plus tard que l’Hamiltoniend’interaction electronique prendra exactement la meme forme que celui sans interac-tion. Il suffira donc de resoudre le probleme sans interaction pour avoir la solutionmeme en presence d’interaction.

L’operateur de la densite electronique nous servira dans la suite d’une excitationelementaire :

ρr(q) =∑

k

a†r,k+qar,k (1.36)

r indique les branches, r = 1 correspond a la branche droite et r = −1 a la branchegauche. Les regles de commutation35 pour ces operateurs revelent leur caractere boso-nique. Ce sont les excitations de type particule-trou.

[ρr(q), ρr′(q′)] =

rq′L

2πδrr′δq+q′ (1.37)

[H0, ρr(q)] = rvF qρr(q)

La derniere equation montre que les operateurs ρR(q) et ρL(−q) peuvent etre interpretescomme les operateurs de creation, pour q positive, ou d’annihilation, pour q negative,d’une excitation bosonique portant l’energie vF q. L’Hamiltonien bosonique qui satisfaitces nouvelles regles de commutation s’ecrit comme :

H0 =πvFL

∑

q

: ρR(q)ρR(−q) + ρL(−q)ρL(q) : (1.38)

On introduit l’ordre normal de l’operateur O par : O :, de sorte que l’etat fondamentalsoit d’energie zero. Remarquons que cette expression exprimee a l’aide d’operateurs fer-mioniques est de la meme forme que le terme d’interaction de type densite-densite, par

34comme l’interaction ponctuelle de Hubbard35la demonstration n’est pas du tout triviale. Il faut appliquer le commutateur a un etat ayant un

nombre fini d’excitations particule-trou.

45


exemple l’interaction de Coulomb. Ce fait nous laisse croire que le terme d’interactiondoit adopter une ecriture similaire a celui de l’Hamiltonien libre H0.

Le premier pas vers la bosonisation etant acheve,36 on voudrait pouvoir ecrirel’Hamiltonien d’interactions electroniques en terme d’operateurs bosoniques. Il estnecessaire alors d’introduire l’operateur de champ fermionique, qui detruit un electrondans le point x :37

ψr(x) =1√L

∑

k

eikxar,k , pour x ∈ [0, L] (1.39)

L’operateur de la densite electronique dans l’espace reel s’ecrira comme :

ρr(x)def⇐⇒

1

L

∑

q

eiqxρr(q) = ψ†r(x)ψr(x) (1.40)

Le terme d’interaction electronique a deux particules prendra la meme forme que l’Ha-miltonien libre (1.38).

Hint =∑

r,r′

∫

V (x− x′)ρr(x)ρr′(x′) ∼

∑

q,r,r′

V (q)ρr(q)ρr′(−q)

On pourrait s’arreter a ce stade et essayer de diagonaliser l’Hamiltonien total par unetransformation unitaire, mais en fait l’introduction de nouveaux operateurs de phasesbosoniques permet d’eviter meme cette procedure. L’Hamiltonien (1.38) a une formesimple, mais les operateurs de densite ont des regles de commutation (1.37) qui ne sontpas tout a fait bosoniques, dues a la presence du facteur multiplicatif q. Essayons deremplacer ces operateurs par d’autres, dont le commutateur est constant. Il est faciled’etablir les regles de commutation pour les operateurs de densite et de courant total :

ρ(x) = ρR(x) + ρL(x) [ρ(x), ρ(x′)] = 0

J(x) = vFρR(x) − vFρL(x) [J(x), J(x′)] = 0

[ρ(x), J(x′)] = − ivFπ

d

dxδ(x− x′) (1.41)

Si l’on integre la derniere equation par rapport a x, on obtiendra des operateurs avecles regles de commutation standards :

ρ(x) = − 1

π

∂Φ(x)

∂x, J(x) = vFΠΦ(x) ⇒ [Φ(x),ΠΦ(x′)] = iδ(x− x′) (1.42)

Ces equations definissent d’une facon implicite l’operateur de phase bosonique Φ et sonconjugue ΠΦ. Mais on voit qu’il est possible de definir la deuxieme paire d’operateursen faisant la meme operation versus x′ :

ρ(x) = −ΠΘ(x), J(x) =vFπ

∂Θ(x)

∂x⇒ [Θ(x),ΠΘ(x′)] = iδ(x− x′) (1.43)

36Si l’on voulait etre rigoureux on devrait verifier que les espaces de Hilbert engendres par ces deuxtypes d’excitations sont equivalentes, voir [Hal81, Dou99]

37je rappelle que r = 1 ⇔ R et r = −1 ⇔ L

46

1.5. Bosonisation

Les operateurs de densite gauche et droite s’expriment d’une facon simple a l’aide de cesnouveaux operateurs, appeles dans la litterature les operateurs de phases bosoniques.38

2ρr = rΠΦ − 1

π

∂Φ

∂x=

1

π

∂Θ

∂x− rΠΘ (1.44)

On arrive enfin a l’Hamiltonien bosonise (1.38) dans sa forme la plus utilisee :

H0 = πvF∑

r

∫ L

0

dx : ρ2r(x) : =

vF2

∫ L

0

dx : πΠ2Φ(x) + π−1

(

∂Φ(x)

∂x

)2

:

ou d’une facon equivalente, =vF2

∫ L

0

dx : πΠ2Θ(x) + π−1

(

∂Θ(x)

∂x

)2

:

(1.45)

Cette ecriture de l’Hamiltonien possede une propriete remarquable, en fait tous lestermes d’interaction ponctuelle du type densite-densite ont exactement la meme forme.Le seul terme pertinent a basse energie est le processus de diffusion vers l’avant :39

Hint = g

∫ L

0

dxρL(x)ρR(x) =g

4π

∫ L

0

dx : −πΠ2Φ(x) + π−1

(

∂Φ(x)

∂x

)2

:

L’Hamiltonien des electrons en interaction sera :

H = H0 + Hint =1

2

∫ L

0

dx : π(vF − g

2π)Π2

Φ(x) + π−1(vF +g

2π)

(

∂Φ(x)

∂x

)2

:

En introduisant la vitesse de Fermi renormalisee on obtient l’Hamiltonien d’oscillationsharmoniques independantes :

H =vF2

∫ L

0

dx : πKΠ2Φ(x) + (πK)−1

(

∂Φ(x)

∂x

)2

: (1.46)

vF =

√

(vF − g

2π)(vF +

g

2π) K =

√

vF − g2π

vF + g2π

(1.47)

Souvent dans la litterature c’est cette forme bosonisee de l’Hamiltonien qu’on appellemodele du Liquide de Luttinger (LL).40 Pour etre capable de decrire les impuretesponctuelles dans le LL il faut inverser les relations (1.44 et 1.40) en exprimant lesoperateurs du champ fermionique (1.39) en fonction de phases bosoniques. Je presenteici le resultat sans detail de calcul [Hal81] :

ψ†r(x) =1√Le−irkFx : expi(rΦ(x) − Θ(x)) : (1.48)

38Je souligne que les operateurs de phases ne commutent pas entre eux.39Dans le modele de ”g-ologie” il est souvent appele processus g2. Pour simplifier les notations on

notera la constante d’interaction par g. Pour plus de details voir [Dus02, page 30-32].40K > 1 (K < 1) correspond respectivement au cas attractif (repulsif).

47


Recapitulatif de la section :Dans cette section on a montre comment on peut decrire les fermions en interactiona une dimension a l’aide d’operateurs bosoniques (1.46). L’avantage principal de cettedescription est que les interactions entre les fermions sont traitees d’une facon non-perturbative. En plus on est desormais capable de prendre en compte toutes sortesd’impuretes presentes dans le fil, car on a su exprimer les operateurs de champ fermio-nique en termes bosoniques (1.48).

1.5.2 Differents scenarios possibles pour le modele de Frenkel-

Kontorova quantique.

Le cas d’une seule jonction de fils quantiques a ete etudie en detail dans lalimite de faible impurete [KF92b, KF92a], ainsi que dans la limite de faible interactionelectronique [YGM94] ; une expression tres generale de flot de renormalisation pour lamatrice de transfert a ete obtenue dans [LRS02], Fig. 1.26.

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1 K

métalisolant

,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,

-*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*-|U|

1 K

métalisolant

Figure 1.26: Une impurete placee dans le fil quantique supprime sa conductivite atemperature zero, dans le cas d’interaction electronique repulsive (K <1). Si les electrons etaient attractifs ils ne verraient aucune impurete abasse temperature. Kane et Fisher (a gauche) [KF92a] ont explore ledomaine de faible potentiel d’impurete. Puis Matveev et al. [YGM94] (adroite) ont complete ces etudes pour le potentiel quelconque.

Le but final etant de pouvoir considerer les reseaux de Liquides de Luttinger,on commence par l’analyse du cas simplifie d’un seul fil avec les impuretes ponctuellesplacees d’une facon periodique a la distance a l’une de l’autre. Ce modele possede lapropriete principale qu’on voudrait etudier : ayant l’invariance par translation spatialece reseau doit etre fortement sensible au facteur de remplissage electronique (commen-surabilite sur reseau, section 1.3).

48

1.5. Bosonisation

Tout d’abord nous allons deduire l’expression pour l’Hamiltonien du probleme etensuite nous analysons les trois cas de figures suivants :1) remplissage entier 2kFa = 2πn, ou n ∈ N,2) remplissage rationnel 2kFa = 2π p

q, ou p, q ∈ N,

3) cas non-commensurable 2kFa = 2πν, ou ν /∈ Q.

Dans l’Hamiltonien d’electrons en interaction (1.46) on rajoute un ensemble d’im-puretes ponctuelles de la forme ψ†(x = na)ψ(x = na). Seul le terme de retrodiffusionne sera pas trivial :

Himp = −U∑

n

ψ†nψn = −U∑

n

cos(2kFa+ 2Φn) , ou Φn ≡ Φ(x=na) et Ψn ≡ Ψ(x=na)

L’Hamiltonien total du modele, qui porte le nom le modele de Frenkel-Kontorova quan-tique (FKQ),41 prend la forme suivante :

HFK =vF2

∫ L

0

dxπKΠ2Φ(x) + (πK)−1

(

∂Φ(x)

∂x

)2

− U∑

n

cos(2kFan+ 2Φn) (1.49)

Nous allons dans la suite classifier les differents regimes de ce modele. Pour chaqueregime le diagramme de phase possible sera identifie. La classification des regimesest inspiree par le travail de S. Aubry [Aub80, Aub83] pour le modele de Frenkel-Kontorova classique. Les proprietes du modele FKQ [FK38] sont determinee par lesvaleurs des trois parametres physiques : l’intensite d’interaction electronique K, laforce du potentiel d’impurete U et le parametre de commensurabilite kFa. Supposonsd’abord que le potentiel d’impurete tend vers l’infini U → ∞ de sorte qu’on peutnegliger les deux premiers termes dans l’equation (1.49) :42

H ≈ −U∑

n

cos(2kFan + 2Φn) (1.50)

Le champ de phase bosonique Φ(x) dans l’etat fondamental sera accroche dans lespoints xn = na par la condition de minimum d’energie : Φn = −kFan mod π.43 SikFa/π est un nombre irrationnel, les valeurs de la phase Φ couvriront tout l’intervalle[0, 2π]. Par contre si kFa/π est un nombre rationnel, ces valeurs formeront un ensemblefini de mesure nulle. Essayons de prendre en compte le deuxieme terme de l’Hamiltonieninitial de FKQ (1.49) :

H ≈ 1

2πK

∫ L

0

(

∂Φ(x)

∂x

)2

dx− U∑

n

cos(2kFan + 2Φn) (1.51)

41Le modele de Frenkel-Kontorova classique consiste en une chaıne de billes dans un potentielperiodique et liees par des ressorts de longueur identique.

42Φn ≡ Φ(x = na).43on pourrait etre etonne par un bref passage d’un probleme de la mecanique quantique vers un

probleme de la mecanique analytique. En fait, en absence du terme contenant l’operateur conjugue ala phase les deux problemes sont equivalents. A titre exemplaire on pourrait considerer le problemeaux valeurs propres suivant H |ψ〉 ≡ x2|ψ〉 = ε|ψ〉. Le spectre est continu ε ∈ [0,∞) et la fonctiond’onde de l’etat fondamental ε0 = 0 est donnee par 〈x|0〉 = δ(x), H〈x|0〉 = x2δ(x) = 0.

49


Nous obtenons en effet l’Hamiltonien de Frenkel-Kontorova classique :44 le terme avecles derives joue le role du potentiel elastique (energie des ressorts liants les billes) et lapartie en cosinus est l’energie du potentiel oscillant. La condition de minimum d’energieconduit a l’expression qui doit etre valable en dehors des impuretes :

d2

dx2Φmin(x) = 0 ⇔ Φmin(x) = Ax +B, pour tous x 6= na

Nous pouvons donc ramener ce modele a un probleme plus simple, car les etats de plusbasse energie peuvent etre calcules a partir de l’Hamiltonien discret :45

HFKcl =Ns−1∑

n=0

1

2πK

(Φn+1 − Φn)2

a− U cos(2kFan + 2Φn) (1.52)

En imposant les conditions aux points limites par Φ(0) = Φ(L) mod π,46 nousarrivons a deux cas de figure differents. Pour le remplissage rationnel (kFa/π ∈ Q) lessolutions de plus basse energie sont des lignes droites fermees Φ(x) = −kFx mod π,Fig. 1.27. Dans le cas incommensurable (kFa/π /∈ Q) les solutions en forme de lignesdroites ne satisfont plus des conditions aux limites. A grand U il est clair que la solutiondoit etre proche d’une ligne droite en ayant au moins une fracture (kink) pour etreperiodique. Comme l’endroit de la fracture n’est pas fixe, il y a toute une famillede solutions de plus basse energie. En augmentant l’energie elastique (KU ) nousfavorisons la creation des fractures et la surface occupee par des solutions fondamentalesse dilate de plus en plus. A faible potentiel d’impurete (U) l’ensemble des solutionsfondamentales devient dense sur tout le plan (x,Φ(x)), Fig. 1.30.

Quelle est la difference principale entre ces deux remplissages ? En effet, pour leremplissage rationnel les etats de plus basse energie sont separes les uns des autres,en consequence pour faire une transformation d’un etat fondamental vers un autre,nous sommes obliges de passer par un etat de plus haute energie. Intuitivement celasignifie que ce systeme possede un gap energetique pour les remplissages rationnels.Par contre dans le cas incommensurable la derniere affirmation n’est plus valable :comme c’etait montre sur la figure 1.27 les etats de plus basse energie sont etales surl’intervalle et nous pouvons imaginer l’existence d’une transformation infinitesimaleentre eux. Ceci indique qu’a remplissage irrationel le systeme peut se trouver dans unetat conducteur.47

En ayant exploite la region de K → 0 pour le modele FKQ une conclusionimportante peut etre tiree : le modele de Frenkel-Kontorova classique decrit un isolant

44ou plus rigoureusement de la classe des modeles de Frenkel-Kontorova45Ns est le nombre de sites du reseau.46Ca veut dire que le systeme contient le nombre entier de particules, comme

∫ L

0ρ(x)dx ≡ (Φ(0) −

Φ(L))/π est le nombre total de particules compte par rapport a une mer de Dirac.47On peut faire une analogie avec le mode de Goldstone pour les etats fondamentaux ayant une

symetrie continue. Cette question necessite une discussion supplementaire, car ce n’est pas vraimentla symetrie des etats fondamentaux qui permet d’avoir les excitations de basse energie.

50

1.5. Bosonisation

Φ2π

2aa 3a 4a x(n−1)a

(x) mod 2π 2π(x) modΦ2π

2aa 3a 4a x(n−1)a

Figure 1.27: A grand U , les deux etats de plus basse energie du modele de Frenkel-Kontorova classique pour le remplissage rationnel (a gauche) sont deslignes droites ; kFa/π = 1/2 ∈ Q. L’ensemble des solutions de basseenergie est etale autour de la ligne droite [0, 2π] dans le cas incommen-surable (a droite) : kFa/π ∈ R\Q.

a remplissages rationnels et dans le cas incommensurable au moins a faible potentielpossede l’etat fondamental metallique.

Avant de passer a la classification il est utile de considerer la limite d’electronssans interaction K = 1. L’Hamiltonien (1.49) se reecrit comme :

H =~2

2m

− d2

dx2+

∑

n

1

Lδ(x− na)

La diagonalisation de cet operateur simultanement avec le generateur de translationnous donne son spectre, defini par une equation implicite :

cos(k′a) − cos(ka) =sin(ka)

2kLavec ~k =

√2mE

ou k′ est le vecteur du reseau reciproque qui prend l’ensemble des valeurs discretesk′n = 2π n

L. La presence du potentiel d’impuretes periodiques ouvre le gap energetique

dans le spectre de l’Hamiltonien d’electrons libres pour les valeurs de remplissage desbandes entieres48 k′Fa = πn, ou n ∈ N.

Ces deux cas limites nous permettent de prevoir les diagrammes de phasepour differents facteurs de remplissage. Il est naturel de distinguer trois domaines dedefinition du facteur de remplissage :1) le cas commensurable (remplissage entier) kFa = πn, ou n ∈ N ;2) le remplissage rationnel, kFa = πp/q, ou p et q ∈ N ;3) le cas incommensurable (remplissage irrationnel) kFa/π ∈ R\Q.

Remplissage entierNous commencons par l’analyse du cas le plus simple, notamment le cas du remplissage

48je souligne que cette affirmation est valable pour le remplissage entier et non pas rationnel

51


.*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*..*.*.*.*.*.*.*.

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K1

|U|

0*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*00*0*0*0*0

1*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*11*1*1*1*12*2*2*2*2*2*2*2*2*23*3*3*3*3*3*3*3*3*3

métal

4*4*4*4*4*44*4*4*4*4*45*5*5*5*5*55*5*5*5*5*5

isolant

6*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*66*6*6*6*6*6*6*6

7*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*77*7*7*7*7*7*7*7|U|

1 K

métalisolant

Figure 1.28: Deux scenarios possibles du diagramme de phase pour le cas commen-surable, kFa = πn, ou n ∈ N. Le groupe de renormalisation a faibleinteraction electronique K ≈ 1 donne le diagramme de la droite. Le flotde renormalisation devant etre arrete pour le cut-off de l’ordre ~vF /a, lediagramme de gauche est plus plausible physiquement, voir la section 1.6page 62.

entier, kFa = πn, ou n ∈ N. Comme il a ete montre dans la partie precedente pourtoutes valeurs du potentiel d’impurete le systeme est isolant pour les deux valeurscritiques du coefficient d’interaction electronique K = 0 ou K = 1. La region entiereentre ces deux valeurs critiques, K ∈ [0, 1] doit decrire alors une phase isolante. Cetteregion correspond au cas d’interaction repulsive entre les electrons. A K = 1 le spectredes fermions sans interaction a un gap, d’autant plus grand que U est grand. Il est apriori difficile a dire si ce gap se referme tout de suite, des que K devient positif,49

ou si la transition se fait dans la region d’interaction electronique attractive. Dans lasection 1.6 nous montrons par le calcul du groupe de renormalisation dans la regionde faible interaction electronique K ≈ 1, que ceci est illustre sur la partie droite dela figure 1.28. Toutefois cette prediction du groupe de renormalisation est valable tantque l’on sonde le systeme a des echelles d’energies eloignees du niveau de Fermi deplus de ~vF/a, donc des echelles de longueurs petites devant a. A plus basse energie,la renormalisation de U se ralentit considerablement lorsque l’on entre dans le regimebidimensionnel. Finalement on obtient le diagramme de phase intuitif presente a gauchede la figure 1.28.

Remplissage rationnelDans le cas rationnel kFa = πp/q a tres forte interaction electronique repulsive(K → 0), comme nous avons mentionne precedemment, il y a un gap dans le spectredes modes collectifs. Introduisant de petites fluctuations quantiques K 1, on doitpouvoir estimer leur effet sur ce gap. Dans la region de faible interaction K ≈ 1 l’etat

49ceci correspond a la coupure du fil en deux bouts dans le cas d’une seule impurete

52

1.5. Bosonisation

fondamental se trouve dans la phase metallique, car le remplissage des bandes estpartiel. En fait, on s’attend dans ce cas a un diagramme de phases de la forme :

min max

898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898898989898989898

:9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9::9:9:9:9:9:9:9:

1K

|U|

KK

métalisolantFigure 1.29:

Kmax < 1, car aucun gap ne s’ouvre pourles fermions libres K = 1 ;Kmin > 0, car dans la limite classique K →0, nous avons un etat commensurable.

Dans le regime metallique, il pourrait etre interessant d’etudier des fonctions d’ondevariationnelles qui prennent en compte les deux aspects : tendance des impuretes acouper la chaıne, mais l’existence d’une mer de Dirac de solitons du champ Φ. Latransition metal-isolant serait donc liee a une perte de mobilite de ces solitons.

2π(x) modΦ2π

2aa 3a 4a x(n−1)a

=⇒

Φ2π

2aa 3a 4a x(n−1)a

(x) mod 2π

Figure 1.30: A remplissage irrationnel ρ ≡ kFa/π ∈ R, l’augmentation respective del’energie elastique (KU ) fait croıtre la surface occupee par les etats deplus basse energie. A la valeurs critique du potentiel d’impurete Uc(ρ)l’ensemble des solutions fondamentales devient dense sur tout le plan(x,Φ(x)), les phasons acquierent la mobilite sur tout le reseau.

Remplissage irrationnelLe cas du remplissage irrationnel est a priori le plus difficile. Comme nous avons vuplus haut meme dans la limite classique K → 0, il est difficile d’identifier l’etat fon-damental. Cette region de K necessite une explication plus detaillee. Le modele FKclassique subi une transition de phase, appelee la transition de brisure d’analyticite(TBA) [Aub83], dont nous expliquons ici le principe. L’augmentation respective del’energie elastique (KU ) fait croıtre la surface occupee par les etats de plus basse

53


energie. A la valeur critique du potentiel d’impurete Uc(ρ) l’ensemble des solutions fon-damentales devient dense sur tout le plan (x,Φ(x)). Exprimons ceci autrement pour unprobleme legerement modifie, soit le systeme de grande taille avec les extremites libres.Le nombre de particules dans un tel systeme n’est pas toujours entier, il y est seulementsi la solution fondamentale est periodique (modulo π), car

∫ L

0ρ(x)dx ≡ [Φ(0)−Φ(L)]/π.

De plus 2kFa joue desormais le role du potentiel chimique. On peut s’en convaincre enremplacant Φn par Φn ≡ Φn+kFan dans (1.52) et obtenir ainsi en terme lineaire de typeµ(ΦL − Φ0). Il est utile d’introduire la notation du nombre de rotation par ν = N/Ns,ou Ns est le nombre de sites du reseau.50 Si le systeme a le nombre de rotation ration-nel au depart et nous essayons d’injecter les particules en variant le potentiel chimique(2kFa), curieusement, a cause de la presence d’impuretes, ce systeme preferera rester anombre de rotation rationnel dans un intervalle fini de variation de 2kFa. En tracant ladependance du nombre de rotation ν en fonction du potentiel chimique nous obtenonsune courbe continue avec un nombre infini des plateaux, qui porte le nom de l’escalierdu diable, Fig. 1.31. En effet la presence du potentiel d’impurete permet de choisirles solutions fondamentales fermees meme a nombre de rotation irrationnel ”proche”51

d’une valeur rationnelle. Ce phenomene est appele le mode locking, voir Appendice C.L’intervalle de mode locking est different pour chaque potentiel chimique rationnel, etil devient plus large si l’on augmente le potentiel d’impurete U .

2k aF

ν =N/Ns

1/41/5

1/61/2

µ

ν

Ν

Ε

µΝ

Ν /2s

Figure 1.31: Lien entre le mode locking (a gauche) et l’isolant de Mott (au milieu).Dans les deux cas le systeme est caracterise par des plateaux dans ladependance du nombre de particules (N = Nsν) en fonction du poten-tiel chimique (µ pour l’isolant de Mott et 2kFa pour le mode locking).Le systeme garde le nombre de particules constant dans une region devariation du potentiel chimique.

Un lien peut etre etabli entre l’isolant de Mott et le mode locking. Si la force effec-tive d’interaction electronique dans un systeme change brusquement avec la distance,l’energie de ce systeme, en fonction du remplissage electronique, possede un ”cusp”a une valeur du remplissage ν = N/Ns ; dE/dN+ 6= dE/dN− (Fig. 1.31 a droite).Le systeme devient isolant a cette valeur de remplissage et porte le nom d’isolant de

50nous utilisons cette notation pour ne pas confondre le parametre de remplissage 2kFa, qui joue lerole du potentiel chimique pour le probleme avec des extremites libres, avec le nombre de particulespar site ν = N/Ns.

51La notion ”proche” peut etre definit rigoureusement par l’introduction de la hierarchie des nombresrationnels.

54

1.5. Bosonisation

Mott.52 Considerons l’ensemble grand canonique ou le nombre de particules n’est pasfixe, mais ou nous pouvons changer le potentiel chimique. Dans ce cas le systeme mini-mise son energie grand canonique E(N)− µN . Il est clair que la rupture de la deriveede l’energie engendre un plateau dans la dependance du nombre de particules dans lesysteme en fonction du potentiel chimique. Mais c’est exactement le mode locking.

Une propriete importante distingue ces cas commensurable et incommensurable.A nombre de rotation rationnel (ν) pour passer d’un etat de plus basse energie vers unautre nous somme obliges de franchir une barriere energetique, appelee la barriere dePeierls-Nabarro. En consequence l’etat fondamental est toujours isolant. Par contre,a nombre de rotation irrationnel et a faible potentiel d’impurete U , il est possible deconstruire un groupe compact qui laisse invariant l’ensemble des etats fondamentaux.L’existence de ce groupe permet d’introduire le mode de Goldstone (appele le modede phason), qui se propagera sur tout le reseau. Pour chaque nombre de rotation ir-rationnel il existe une valeur critique de Uc(ρ) ou les phasons perdent leur mobilite.En augmentant le potentiel d’impurete nous elargissons la mesure totale d’intervallesde mode locking et au moment ou elle arrive a la valeur 1 (couvre tout l’intervalle,U > supρ[Uc(ρ)]) nous observons une transition de phase vers un etat isolant pourtoutes valeurs du nombre de rotation, Fig. 1.32 [Aub80].53

;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;;<;<;<;<;<;<;<;

=<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<==<=<=<=<=<=<=

U

|U|

K1(ρ)

c

métalisolant

Figure 1.32: Diagramme de phase possible a remplissage incommensurable kFa = πρ,ou ρ∈/Q. Comme le remplissage est partiel le systeme est metallique siles electrons sont libres (K ≈ 0). Dans la region classique K → 0 lesysteme subit la transition de phase par brisure d’analyticite (TBA) etdevient isolant a fort potentiel d’impuretes |U | > Uc(ρ).

Recapitulatif de la section :

Dans cette section nous avons identifie l’Hamiltonien d’electrons en interaction

52Par exemple le modele de Hubbard 1D avec l’interaction entre les plus proches voisins est unisolant de Mott a demi-remplissage.

53cette transition porte le nom de la transition de brisure d’analyticite (TBA), car la fonction quidecrit l’etat fondamental perd l’analyticite au point de transition. Je souligne que la transition se faitpour chaque valeur de ρ.

55


dans le potentiel ponctuel periodique (1.49), qui appartient a la classe de potentielsdu modele de Frenkel-Kontorova quantique. Ensuite les diagrammes de phase pour lestrois types de valeurs du remplissage ont ete proposes, figures 1.28, 1.29 et 1.32.

1.5.3 Approche variationnelle quantique

Quelle methode faut-il choisir pour pouvoir resoudre le modele de Frenkel-Kontorova quantique (1.49 [HL00]), si meme son analogue classique (1.27) possededes etats fondamentaux non-triviaux a remplissage irrationnel [ZCS02] ? En plus de latheorie de perturbation standard, on pourrait essayer d’appliquer diverses approxima-tions proposees pour le modele XY quantique. Une approche variationnelle quantiqueest particulierement appropriee [HC00] pour etudier la region de faibles fluctuationsquantiques, dans le cas ou l’etat fondamental classique est fortement degenere. Dansce chapitre nous allons donner un exemple de calcul dans l’approche variationnelle,et ensuite nous expliquons comment elle peut etre appliquee au modele de Frenkel-Kontorova quantique.

Pour comprendre le principe de fonctionnement de l’approche variationnelle il estutile est de considerer d’abord un exemple simple d’un rotateur. L’Hamiltonien d’unseul rotateur est donne par :

H = −g2

∂2

∂φ2− 1

gcosφ (1.53)

Notons que cet Hamiltonien est invariant sous les translations de 2π. Nous nousinteressons a la region de faibles fluctuations quantiques : g 1. En absence defluctuations quantiques l’etat fondamental est fortement degenere : φm = 2πm, oun ∈ Z.

Considerons un Hamiltonien d’oscillateur Hosc = h2∂2

∂φ2 + φ2

2h, qui nous servira a

fabriquer des fonctions d’onde variationnelles. L’etat fondamental de Hosc est donne parΨ0(φ) ∼ exp[−φ2/(2h)]. De la meme facon, on definit les fonctions d’onde translatees :

Ψm(φ) ∼ exp

(

−(φ− 2πm)2

2h

)

ou m ∈ Z (1.54)

La fonction variationnelle doit posseder toutes les symetries de l’Hamiltonien qu’onetudie. Cette condition est facilement satisfaite en prenant la somme des etats translatespour la fonction d’essai :

Ψ(φ) =∑

m∈Z

Ψm(φ) (1.55)

L’approche variationnelle consiste en la minimisation de la valeur moyenne de H (1.53)dans cet etat, par rapport au parametre h :

〈Ψ|H|Ψ〉h〈Ψ|Ψ〉 =

∑∞l=0(2 − δl,0)[

g2

2h2 (h2− π2l2) − (−1)le−h/4] exp(−π2l2/h)

g∑∞

l=0(2 − δl,0) exp(−π2l2/h)(1.56)

56

1.5. Bosonisation

Ces sommes convergent tres vite grace a la presence des termes gaussiens. Pour evaluerla valeur de h qui minimise l’energie il suffit de retenir seulement le terme l = 0 :〈H〉 ≈ g/(4h) − g−1 exp(−h/4). La valeur de h qui minimise l’energie est donnee parune equation implicite : g = h exp(−h/8). Comme g 1, alors hmin ≈ g, ce qui revienta remplacer le potentiel −1/g cosφ par −1/g + φ2/(2g).

Les trois pas de l’approche variationnelle doivent etre retenus :1) Le premier pas consiste en la recherche et la diagonalisation d’un Hamiltonien prochedu probleme initial. Pour les problemes de theorie des champs, ceci aboutit dans la plu-part des cas a un Hamiltonien harmonique, dont la diagonalisation peut etre faite parla quantification canonique, voir section 3.3.54

2) Ensuite, nous composons un etat d’essai qui possede le nombre maximal dessymetries de l’Hamiltonien initial, de sorte a ne pas rater la physique du systeme.Notamment des processus tunnel entre les differents minima equivalents du problemeclassique, relies entre eux par des symetries.3) La troisieme partie est purement calculatoire : il faut minimiser la valeur moyennede H dans l’etat d’essai.

Essayons d’appliquer le principe variationnel pour le modele FKQ (1.49) :

HFK =vF2

∫ L

0

dxπKΠ2Φ(x) + (πK)−1

(

∂Φ(x)

∂x

)2

− U∑

n

cos(2kFan+ 2Φn) (1.57)

Identifions d’abord les symetries du probleme, pour comprendre quelles contraintes ilfaut imposet a la fonction d’onde d’essai. L’Hamiltonien FKQ possede une symetriediscrete Φ(x) 7→ Φ(x)+π, et une symetrie continue Θ(x) 7→ Θ(x)+α, α ∈ R. Que signi-fient ces symetries ? Il est commode de regarder les generateurs de ces transformationsunitaires (1.44) :

ΠΦ(x) =1

L

∑

q 6=0

(ρR(q) − ρL(q))e−iqx +1

L(NR − NL) (1.58)

ΠΘ(x) = − 1

L

∑

q 6=0

(ρR(q) + ρL(q))e−iqx − 1

L(NR + NL)

Ici j’ai extrait la composante de Fourier a q = 0, qui a signification physique simplede nombre de particules sur chaque branche L ou R : Nr ≡ ρr(q=0).55 Le generateurdes transformations Θ(x) 7→ Θ(x) +α est la charge totale, qui est bien conservee. Unepremiere contrainte sur la fonction d’onde est donc :

∫ L

0

ΠΘ(x)dx = N = const

54Les Hamiltoniens quadratiques (harmoniques) sont les seuls (a quelques exceptions pres en 1+1dimensions), qu’on sait resoudre explicitement dans la theorie de champs.

55j’utilise r comme l’indice des branches : r = 1 ⇔ R et r = −1 ⇔ L.

57


N est le nombre total de particules compte par rapport a une mer de Dirac de reference.Soit en utilisant la definition de ΠΘ, il s’exprime d’une facon equivalente par :

∫ L

0

∂Φ(x)

∂xdx = Φ(L) − Φ(0) = πN (1.59)

Le generateur de Φ(x) 7→ Φ(x) + α est le courant total J = vF (NR − NL)qui n’est plus conserve lorsqu’il y a des impuretes U 6= 0. Toutefois, la parite deJ/vF est bien conservee, ce que l’on traduit par la symetrie de translation discreteΦ(x) 7→ Φ(x) + π. La fonction d’onde, qui appartient a la representation irreductiblede cette transformation unitaire (V = exp(iπ(NR − NL))), satisfait l’une des deuxcontraintes suivantes :

V |Ψ〉 = |Ψ〉 pour les etats, tels que NR = NL mod 2 (1.60)

V |Ψ〉 = −|Ψ〉 pour les etats, tels que NR 6= NL mod 2

En construisant des fonctions d’ondes variationnelles, il est important de satisfaire(1.59) et (1.60) simultanement. La charge sur chaque branche etant entiere la fonctiond’onde du systeme doit rester en plus inchangee lorsque Θ 7→ Θ + 2π ou Φ 7→ Φ + 2π.

Le pas suivant du principe variationnel consiste en la resolution du probleme clas-sique (avec les fluctuations quantiques nulles) et en la diagonalisation de l’Hamiltonienapproche (harmonique). L’etat fondamental etant facilement identifiable seulement aremplissage rationnel (Fig. 1.27 page 51), dans la suite nous analysons juste le cascommensurable kFa = πn, n ∈ N.56 Dans la limite classique (K 7→ 0) a remplissageentier, les fonctions d’onde sont les etats ou Φ(x) prend une valeur constante egale aπm.57 Appelons |Ψm〉cl ces etats. Si K est petit, nous pouvons dans un premier tempssupposer les fluctuations harmoniques, donc developper chaque cosinus dans la sommeU

∑

n cos(2Φn) en U(1 − 2Φ2n),

58 et ensuite obtenir des fonctions d’onde gaussiennes|Ψm〉gaus, dont l’allure du support est montree sur la figure 1.33. Je souligne ici quel’image du support du champ Φ(x) (Fig. 1.33) capture parfaitement la physique d’os-cillations de Friedel. Les composantes de Fourier de la densite electronique prochesde ±2kF sont localement donnees par les termes de retrodiffusion ψ†R(x)ψL(x) (com-posante ≈ 2kF ) et ψ†L(x)ψR(x) (composante ≈ −2kF ). Soit avec le champ bosonique(1.48) exp(±2iΦ(x)). Or pour le champ gaussien 〈exp(iΦ)〉 = exp(−〈Φ2〉/2), plus lechamp Φ(x) fluctue, plus l’amplitude des oscillations de Friedel est faible et vice versa.L’intuition est alors la suivante : plus Φ est ”ordonne” et plus on est proche d’un etatcristallin, avec le vecteur d’onde q = 2kF . Les fonctions |Ψm〉gaus fluctuent autour de lavaleur Φ(x) = mπ (comparez avec l’eq. 1.54), nous pouvons donc facilement satisfairela condition (1.59). Pour satisfaire (1.60) il suffit de prendre les combinaisons paires ou

56le cas du remplissage rationnel est tout a fait analogue, par contre le cas incommensurable necessited’abord la comprehension d’etat fondamental classique [ZCS02].

57nous nous rappellerons que la phase Φ est definie modulo 2π58Φn ≡ Φ(x = na)

58

1.5. Bosonisation

impaires :

|Ψ〉+ =∑

m∈Z|Ψm〉gaus, pour NR = NL mod 2 (1.61)

|Ψ〉− =∑

m∈Z(−1)m|Ψm〉gaus, pour NR 6= NL mod 2

>?>?>?>?>?>?>?>>?>?>?>?>?>?>?>>?>?>?>?>?>?>?>@?@?@?@?@?@?@?@@?@?@?@?@?@?@?@@?@?@?@?@?@?@?@

A?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?AB?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?B

C?C?C?C?C?C?C?CC?C?C?C?C?C?C?CC?C?C?C?C?C?C?CD?D?D?D?D?D?D?DD?D?D?D?D?D?D?DD?D?D?D?D?D?D?D

E?E?E?E?EE?E?E?E?EE?E?E?E?EF?F?F?F?FF?F?F?F?FF?F?F?F?F

G?G?G?G?G?G?G?GG?G?G?G?G?G?G?GG?G?G?G?G?G?G?GH?H?H?H?H?H?H?HH?H?H?H?H?H?H?HH?H?H?H?H?H?H?H

I?I?I?I?II?I?I?I?II?I?I?I?IJ?J?J?J?JJ?J?J?J?JJ?J?J?J?J

K?K?K?K?K?K?K?K?KK?K?K?K?K?K?K?K?KK?K?K?K?K?K?K?K?KL?L?L?L?L?L?L?L?LL?L?L?L?L?L?L?L?LL?L?L?L?L?L?L?L?L

M?M?M?M?M?M?M?MM?M?M?M?M?M?M?MM?M?M?M?M?M?M?MN?N?N?N?N?N?N?NN?N?N?N?N?N?N?NN?N?N?N?N?N?N?N

O?O?O?O?O?O?O?OO?O?O?O?O?O?O?OO?O?O?O?O?O?O?OP?P?P?P?P?P?P?PP?P?P?P?P?P?P?PP?P?P?P?P?P?P?P

Q?Q?Q?Q?Q?Q?Q?Q?QQ?Q?Q?Q?Q?Q?Q?Q?QQ?Q?Q?Q?Q?Q?Q?Q?QR?R?R?R?R?R?R?RR?R?R?R?R?R?R?RR?R?R?R?R?R?R?R

S?S?S?S?S?SS?S?S?S?S?SS?S?S?S?S?ST?T?T?T?TT?T?T?T?TT?T?T?T?TU?U?U?U?U?UU?U?U?U?U?UU?U?U?U?U?UV?V?V?V?VV?V?V?V?VV?V?V?V?V

2Φ1ΦΦ (x)

2π

a 2a x0

π

Figure 1.33: Le support du champ Φ(x) dans le regime de faibles fluctuations quan-tiques (K → 0). Les fluctuations de Φ sont petites autour de chaqueimpurete, elles atteignent le maximum entre les impuretes, la ou les os-cillations de Friedel sont minimales.

Notons que cette image physique simple donnee par ces fonctions d’onde ”gaus-siennes” n’est pas tout a fait en accord avec l’image suggeree par le groupe de re-normalisation pour une seule impurete [KF92a]. Kane et Fisher montrent dans leurtravail que le terme de retrodiffusion (terme en U) ne joue pas un grand role a hauteenergie, mais devient de plus en plus pertinent a basse energie. Pour reproduire alorsce resultat il faut admettre qu’a courte distance la valeur de 〈Φ2(0)〉 est grande etque les recouvrements entre differents minima classiques jouent un role important. Parcontre, a grande distance (basse energie), il faut montrer que tout se passe comme sices processus tunnels n’intervenaient plus.

Nous allons trouver dans la suite les fonctions gaussiennes, dont nous avons be-soin pour la construction des fonctions d’onde variationnelles (1.61). L’etat fondamentalclassique dans le cas commensurable ne differe pas de l’etat fondamental pour une seuleimpurete, ce qui nous permet de prendre la solution du probleme harmonique corres-pondant au cas d’une seule impurete,59 tout en choisissant le parametre variationnel

59il faut toutefois changer les conditions aux limites sur le champ Φ, car pour un reseau, Φ(x) =Φ(x+ a).

59


de sorte que nous puissions reproduire le support de la fonction d’onde, montree sur lafigure 1.33.60

L’idee est de remplacer le probleme a une impurete ponctuelle Uψ†(x=0)ψ(x=0)par le probleme avec une impurete localisee decrite par la matrice de diffusion :

S(k) =

(

r′(k) t(k)t′(k) r(k)

)

(1.62)

Ce sont les coefficients de cette matrice qui peuvent etre pris comme parametres deminimisation dans l’approche variationnelle. Notons que toute la dependance en k esta determiner, ce qui correspond a une infinite de parametres variationnels. Mais c’est atravers de cette dependance en k qu’on peut esperer retrouver l’image physique donneepar le groupe de renormalisation [KF92a]. Nous commencons par considerer le problemea une impurete ponctuelle (de type δ), la generalisation pour une impurete locale etantplus simple a faire plus tard. La densite de lagrangien pour le cas d’une seule impureteponctuelle a x = 0 s’ecrit comme :

L =1

2K(

∂Φ

∂t

)2

−(

∂Φ

∂x

)2

− gΦ(x)2δ(x) ou g def⇐⇒KU, g > 0 (1.63)

Les equations du mouvement classique correspondantes sont :

∂2Φ

∂t2− ∂2Φ

∂x2= −gΦ(x, t)δ(x) (1.64)

En cherchant la solution dans la forme Φ(x, t) = Ψ(x) exp(ikt) nous obtenons uneequation de Schrodinger standard :

[− ∂2

∂x2+ gδ(x)]Ψ(x) = k2Ψ(x)

La generalisation pour une impurete localisee est desormais transparente, il suffit deremplacer la fonction gδ(x) par un potentiel local V (x), que nous pouvons decrire al’aide de la matrice S.

[− ∂2

∂x2+ V (x)]Ψ(x) = k2Ψ(x)

Le Lagrangien de ce probleme etant aussi quadratique nous pouvons le resoudre parla quantification canonique, voir section (3.3). En consequence il suffit de trouver unebase complete orthogonale du probleme classique. Nous fabriquons cette base a partirdes etats de diffusion :

Ψk→(x) = eikx + r(k)e−ikx, pour x < 0 (1.65)

Ψk→(x) = t(k)eikx, pour x > 0

60le support de la fonction d’onde gaussienne pour une seule impurete s’etale sur tout l’intervalle[0, 2π] a grande distance de l’impurete.

60

1.5. Bosonisation

r(k)1

t(k)

x < 0, respectivement (x > 0) sont les notations abregees pour signifier que la particulese trouve a gauche (a droite) de la region ou le potentiel exterieur est non nul.

Ψk←(x) = t′(k)e−ikx, pour x < 0 (1.66)

Ψk←(x) = e−ikx + r′(k)e+ikx, pour x > 0

r’(k)

1

t’(k)

Par continuation analytique de la matrice de diffusion (voir l’annexe A.4) nous pouvonsdemontrer que ces etats forment une base orthonormee dans l’espace des solutions. Larelation de completude est donnee par :

δ(x− x′) =

∫ ∞

0

dk

2π(Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) + Ψk←(x)Ψ∗k←(x′))

La solution de l’equation du mouvement quantique s’ecrit tout simplement :

Φ(x, t) =

∫ ∞

0

dk√2π

Ψk→(x)a(k) + Ψk←(x)b(k)

e−ikt + h.c. (1.67)

Π(x, t) = ∂Φ/∂t =

∫ ∞

0

kdk

i√

2π

Ψk→(x)a(k) + Ψk←(x)b(k)

e−ikt + h.c.

Ou a et b sont les operateurs d’annihilation bosoniques :

[a(k), a†(k′)] = δ(k − k′) [b(k), b†(k′)] = δ(k − k′)

[a(k), b(k′)] = 0 [a(k), b†(k′)] = 0

Nous ecrivons alors un etat gaussien comme le fondamental a zero particule dans l’es-pace de Fock genere par l’ensemble des operateurs de creation-annihilation :61

|Ψ〉gausdef⇐⇒|Ω〉, ou |Ω〉 est defini par a(k)|Ω〉 = b(k)|Ω〉 = 0

La valeur de l’operateur de phase bosonique Φ(x) dans cet etat est nulle :〈Ω|Φ(x, t)|Ω〉 = 0. Pour obtenir un etat gaussien centre autour d’une autre va-leur moyenne, dont nous avons besoin pour construire un etat variationnel de type(1.61), il suffit d’y appliquer un operateur de translation dans l’espace : |Ωm〉 =exp[−i2πm

∫

dxΠ(x)]|Ω〉, de sorte que 〈Ωm|Φ(x, t)|Ωm〉 = 2πm. La construction d’etats

61il ne faut pas confondre la fonction d’onde du probleme gaussien |Ψ〉gaus (comme dans l’Eq. 1.61)avec les etats ”in”, qu’on note aussi par la meme lettre de l’alphabet grec.

61


variationnels devient alors triviale, car la condition (1.59) est satisfaite automatique-ment et la condition (1.60) peut etre realisee en prenant la somme d’etats decalescomme c’etait propose dans (1.61). Les etats variationnels s’ecrivent comme suit :

|O〉+ =∑

m

exp

[

i2πm

∫ L

0

Π(x)dx

]

|Ω〉

|O〉− =∑

m

(−1)m exp

[

i2πm

∫ L

0

Π(x)dx

]

|Ω〉 (1.68)

Nous arrivons enfin a la derniere etape de l’approche variationnelle, l’evaluationde l’energie de chaque etat essai 〈O|HFKQ|O〉 l’Eq. (1.57) et la minimisation de

cette energie par rapport au parametre variationnel S(k). Ce dernier pas de l’ap-proche variationnelle presente en soi un probleme calculatoire, qui n’est pas concep-tuel,62 neanmoins la minimisation de l’energie par rapport a S(k) pourrait reveler desproblemes considerables. Nous avons vu (1.5.3) que meme dans l’exemple d’un seulrotateur cette etape n’etait franchie que dans une certaine approximation. La difficultesupplementaire ici est que, contrairement au cas du rotateur, la physique de hauteenergie suppose que l’on prenne en compte le recouvrement entre minima classiqueseloignes, ce d’autant plus que la force du potentiel periodique est petite. Le cas dureseau d’impurete est plus favorable a l’approche variationnelle, car cela tend a reduireles effets de fluctuations de champ Φ, donc les recouvrements entre fonctions d’ondegaussiennes 〈Ψmgaus|Ψm′gaus〉 pour m 6= m′ seront plus faibles dans le cas du reseauque dans le cas de l’impurete. Ayant trouve un autre chemin nous etions obliges delaisser cette derniere etape de cote pour pouvoir exploiter plus en detail l’approchealternative, que je presente dans la section finale de ce chapitre.

Recapitulatif de la section :Dans cette section, ayant donne les details de l’approche de bosonisation, nous avonsintroduit la notion du Liquide de Luttinger. A l’aide de cette technique nous avonsobtenu l’Hamiltonien de Frenkel-Kontorova quantique (FKQ), qui decrit un fil uni-dimensionnel d’electrons en interaction en presence d’un jeu periodique d’impuretes.Nous avons fini par l’etude de cet Hamiltonien a l’aide de l’approche variationnellequantique, valable dans la region de fortes interactions electroniques repulsives.

1.6 Reseaux reguliers de Liquides de Luttinger

1.6.1 Presentation de l’article

Je termine ce chapitre par la presentation de l’article [KD05], ou nous avonsetudie les proprietes de transport des reseaux 2D de fils electroniques unidimensionnels

62l’Hamiltonien HFKQ s’exprime en fonction d’operateurs de creation-annihilation a l’aide de (1.67)et l’etat d’essai (1.68) est une combinaison d’etats coherents formes a partir du vide |Ω〉. Enconsequence l’evaluation de l’energie moyenne se ramene au calcul des commutateurs.

62

1.7. Conclusion

dans l’approximation de faible interaction electronique.63 Dans ce travail nous avonsetabli la dependance de la resistance en fonction de la temperature pour differentsremplissages electroniques en utilisant une approche par le groupe de renormalisationadaptee aux systemes periodiques. Le grand avantage de la methode theorique utiliseeest qu’elle nous a permis d’etudier directement les reseaux reguliers 2D ou meme plusgeneralement les reseaux equidistants, Fig. 1.2. Ces calculs theoriques peuvent etredirectement appliques aux etudes experimentales du transport electronique dans lesreseaux bidimensionnels de fils quantiques.

J’ai directement inclus l’article etant donne que nous avons fait un effortpedagogique au moment de sa redaction et dans la mesure ou il s’inscrit parfaitementdans la suite de cette these.

1.6.2 Article [KD05]

1.7 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons etudie les proprietes de transport electronique dansles reseaux de fils unidimensionnels. Nous avons aborde ce probleme en explorant deuxregions des parametres caracterisant ses reseaux. Dans le regime de forte interactionelectronique (faible potentiel d’impurete) nous avons utilise l’approche de bosonisation.Dans la limite de faible interaction electronique (potentiel d’impurete quelconque) nousavons construit l’approche basee sur le groupe de renormalisation adapte aux systemesperiodiques. Les effets de commensurabilite sur reseau ont ete mis en evidence. Nosresultats peuvent etre testes sur les reseaux de filaments quantiques et dans une pers-pective plus lointaine sur les nanotubes de carbone.64

63l’approche utilisee est valable dans la meme region des parametres du probleme que dans le travailde Yue et al. [YGM94], voir la figure 1.26.

64pour l’instant on arrive a fabriquer seulement les differentes jonctions des nanotubes.

63

Regular networks of Luttinger liquids

K. Kazymyrenko and B. DouçotLaboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, CNRS UMR 7589, Université Paris VI and VII,

4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, FrancesReceived 10 July 2004; revised manuscript received 12 October 2004; published 17 February 2005d

We consider arrays of Luttinger liquids, where each node is described by a unitary scattering matrix. In thelimit of small electron-electron interaction, we study the evolution of these scattering matrices as the high-energy single particle states are gradually integrated out. Interestingly, we obtain the same renormalizationgroup equations as those derived by Lal, Rao, and Sen, for a system composed of a single node coupled toseveral semi-infinite one-dimensional wires. The main difference between the single node geometry and aregular lattice is that in the latter case, the single particle spectrum is organized into periodic energy bands, sothat the renormalization procedure has to stop when the last totally occupied band has been eliminated. Wetherefore predict a strongly renormalized Luttinger liquid behavior for generic filling factors, which shouldexhibit power-law suppression of the conductivity at low temperatures EF / skFad!kBT!EF, where a is thelattice spacing and kFa@1. At lower temperatures fkBT!EF / skFadg, a regular network is generally a coherentconductor, but with a much lower Fermi velocity than for a noninteracting electron gas. Some fully insulatingground states are expected only for a discrete set of integer filling factors for the electronic system. A detaileddiscussion of the scattering matrix flow and its implication for the low energy band structure is given on theexample of a square lattice.

DOI: 10.1103/PhysRevB.71.075110 PACS numberssd: 71.10.Pm, 72.10.Fk, 73.21.Hb, 73.23.Ad

I. INTRODUCTIONFor the past two decades, transport properties of quantum

wires have received a lot of attention.1,2 Besides metallicsystems, two-dimensional electron gases induced inGaAs/AlGaAs heterostructures have displayed a rich varietyof quantum effects such as Aharonov-Bohm resistance oscil-lations in a ring geometry,3,4 and persistent currents.5,6 Sincethe electronic transport mean free path in such artificialnanostructures can be as large as several micrometers, mostscattering processes for electronic quasiparticles occur at thenodes between several conducting wires. Their influence hasbeen extensively studied in the context of the breakdown ofthe quantum Hall effect in narrow channels. Experimentshave revealed that the Hall resistance measured in a fourprobe geometry disappears at low magnetic fields.7,8 Theo-retical studies have emphasized the role of quantum me-chanical resonances in the scattering amplitudes of electronsat the junctions between the main channel and voltageprobes.9,10 In experimental systems, confining potentials re-main smooth in the vicinity of such junctions, and this in-duces a rather robust collimation mechanism for incomingelectrons.11,12 This semiclassical picture has been confirmedby spectacular experiments involving junctions with variousshapes.13 More recently, coherent Aharonov-Bohm oscilla-tions have been measured in ballistic arrays with the dicelattice geometry,14 in agreement with the predictions ofsimple models for noninteracting electrons.15,16

In parallel to this mostly single electron physics, dramaticelectron-electron interaction effects have been demonstratedin transport measurements on various ballistic conductorswith very few transverse conduction channels. For instance,tunneling into edges of a two-dimensional electronic dropletin the fractional quantum hall effect sFQHEd regime hasshown current versus voltage curves with power law

behavior17 in qualitative sthough not really quantitativedagreement with theoretical models based on the chiral Lut-tinger liquid picture.18 Measurements of shot noise associ-ated to tunneling processes from one edge to another througha quantum point contact have also provided a convincingdemonstration of the presence of fractionally charged quasi-particles in the FQHE phase.19–21 Another family of one-dimensional quantum conductors are carbon nanotubes. Inparticular, single wall nanotubes have shown a strong reduc-tion of the single particle density of states at lowenergies,22,23 compatible with the Luttinger liquid model.24,25

These two main lines of research just outlined can benaturally combined and lead us to consider the subject ofnetworks of interconnected quantum wires, each of them be-ing described as a Luttinger liquid. As a first step in thisdirection, several systems with nanotube crossings have beensynthesized.26–29 On the theoretical side, many studies ofLuttinger liquids crossing at one node are now available,30–34

including extensions to more complex geometries.35 In thispaper, we consider a regular network of Luttinger liquids. Asalready mentioned, the main source of electron scattering inballistic structures arises from the nodes of the network. Fornoninteracting electrons, these nodes are simply described bya scattering matrix,36–38 and the full band structure sin theabsence of disorderd can be retrieved from the knowledge ofthis matrix. However, as first shown by Kane and Fisher fora single impurity in a Luttinger liquid, interaction effectsinduce a variation of the dressed scattering matrix as a func-tion of the incoming electron energy.39,40 One way to inter-pret this in physical terms is via the notion of Anderson’sorthogonality catastrophe: in the limit of a tunnel barrier, anelectron jumping across the barrier leaves a dipolar chargedexcitation which is very far from any eigenstate of the inter-acting system. A rather complicated collective relaxationprocess follows any single electron tunneling event. A re-

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1098-0121/2005/71s7d/075110s14d/$23.00 ©2005 The American Physical Society075110-1

markable prediction made in these works is a dramatic quali-tative difference between repulsive and attractive interac-tions. In the former case, the effective impurity potentialgrows as the typical energy becomes closer to the chemicalpotential. So a single impurity is sufficient to disconnectcompletely an infinite Luttinger liquid at T=0 for repulsiveinteractions. Conversely, any static impurity becomes trans-parent in the low energy limit in the case of attractive inter-actions.

An appealing picture for these effects has been proposedby Yue, Glazman, and Matveev.41 They have shown thatrenormalization of the transmission amplitude may be attrib-uted to scattering of an incoming electron on Friedel densityoscillations induced by the scatterer. From this picture, theyhave developed an alternative renormalization approach,which is perturbative in the electron-electron interaction, butnonperturbative in the strength of the impurity potential. Thisframework has been used later in references,32,35 and weshall adopt a similar procedure here. Note that a third type ofrenormalization scheme, involving the full momentum de-pendence of the electronic self-energy, has been imple-mented in a series of papers.42–44

The main novel feature in regular arrays in comparison tosimpler geometries as a few connected wires is the existenceof commensurability effects between the Fermi wavelengthof electrons and the lattice period. In a noninteracting elec-tron picture, we expect an energy gap in the spectrum whenthe average electron number in each unit cell of the lattice isan integer. As we shall see later, the band structure for atwo-dimensional network yields a gapped excitation spec-trum whenever some integer numbers of bands are filled. Forinteracting electrons, commensurability effects may also beunderstood by considering the pattern of Friedel density os-cillations. In a one-dimensional geometry, these oscillationsexhibit a dominant wave vector equal to 2kF, where kF is theFermi wave vector for a noninteracting one-dimensional wirewith the same electronic density. Let us denote by a thedistance between two nodes. Friedel oscillations originatingfrom different nodes share the same global phase if 2kFa isan integer times 2p, which simply means that the averagenumber of electrons along a segment of length a is integer.Therefore, in the case of repulsive interactions, we expect aninsulating ground state in the commensurate case, where theKane-Fisher mechanism will disconnect all the wires incom-ing at the same node. For incommensurate fillings, we pre-dict a strongly renormalized Fermi liquid, where the partiallyfilled band crossing the Fermi level becomes much less dis-persive than for the original noninteracting band structure.We suggest that these effects should be in principle observ-able in networks of ballistic wires where the electronic den-sity could be controlled by an uniform gate potential. Bychanging the gate voltage, these systems are expected to un-dergo a succession of metal-insulator transitions. The differ-ence between an interacting system and a non-interactingone will be manifested by power-law dependences for theconductance as a function of temperature at fixed bias volt-age, or as a function of V at fixed T,39,40 provided both kBTand eV remain higher than an energy scale D which is therenormalized band splitting in the incommensurate case, orthe single particle gap in the commensurate one.

This paper is organized as follows: In Sec. II, we considera simpler problem, namely a one-dimensional chain of regu-larly spaced impurities. We set up a renormalization groupmethod for weakly interacting electrons which is closely re-lated to those developed in Refs. 32 and 41, but where theperiodicity of the system is explicitly taken into account.Section III generalizes this approach to any lattice composedof links of the same length, assumed to be large compared tothe Fermi wavelength. We show explicitly that the scatteringmatrices at each node of such lattices is renormalized exactlyin the same way as for a single node connecting semi-infinitewires.32,41 This is the central result of the present work. As anillustration with possible experimental relevance, Sec. IVconsiders a two-dimensional square lattice of Luttinger liq-uids. We show that although the evolution of the scatteringmatrix of the nodes as the typical energy scale is reducedyields a rather trivial low-energy fixed point where all thelinks become disconnected, some interesting qualitativechanges in the quasiparticle band structure take place alongthis renormalization group flow.

II. ONE-DIMENSIONAL WIRE WITH A PERIODICIMPURITY POTENTIAL

The goal of this section is to adapt the simple renormal-ization group procedure initiated in Refs. 32 and 41 to thecase of a periodic potential. The main idea developed inthese works is to dress the bare scattering amplitude by acorrection due to the interaction of an incoming electron withthe Friedel density oscillation induced by the impurity. Thisapproach treats the electron-electron interaction as the per-turbation. Because the continuous spectrum of particle-holeexcitations in the metallic wire exhibits a finite density ofstates down to arbitrary low energy, the first order correctionto the scattering amplitude diverges as lnsuk−kFudd, where kis the incoming electron’s wave vector, and d is the spacialrange of the bare impurity potential. This type of infrareddivergence is very similar to those encountered in the Kondoproblem, and Yue et al. proposed to treat them with a renor-malization group method inspired by Anderson’s “poorman’s scaling” approach.45 The idea is to integrate out gradu-ally single particle-hole excitations which participate in theFriedel oscillation, starting from those furthest from theFermi level. As the electron bandwidth D is continuouslyreduced, the bare impurity potential is renormalized so thatthe low energy physical properties of the system are keptunchanged. The renormalization procedure stops at a lowenergy scale with is the larger scale among the thermalbroadening kBT, the bias voltage eV, or the incoming electronenergy "uk−kFuvF.

As already stated in the Introduction, the presence of anarray of scattering centers ssuch as nodes in a wire networkdbrings qualitatively new features. In the low energy regime,Friedel oscillations originating from different centers are ex-pected to interfere, so we cannot follow the renormalizationflow obtained in Refs. 32 and 41 for a single scatterer downto arbitrary low energies. Furthermore, commensuration ef-fects between the average electronic density and the super-lattice structure play a crucial role. By contrast to the single

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impurity case, we expect an insulating ground-state only foran integer average filling of each supercell. For incommen-surate filling factors, we expect a crossover from the one-dimensional behavior following Kane and Fisher’s predic-tions at high energy, towards a strongly renormalizedcoherent conductor at low energy with finite conductance.The formation of these conducting states in a regular array isanalogous to transmission resonances of a single wire in thepresence of a finite number of impurities.40 Whereas theresonant energies form a discrete set in the latter case, theyaccumulate along finite energy intervals sthe Bloch energybandsd for an infinite regular array of impurities.

In a periodic system, the natural way to implement this“poor man’s scaling” approach is to integrate out energybands one after the other, starting from those most remotefrom the Fermi level. In the incommensurate case, the lastband, which crosses the Fermi level is partially filled, so it isnatural to stop the procedure after the last fully occupiedband has been integrated out. In any renormalization method,we have to decide which low-energy quantities will be re-quired to remain constant as high energy modes are elimi-nated. In the presence of a periodic potential, it is natural toprescribe that single quasiparticle energies should not changeunder the renormalization group flow sRGFd.

A. Band structure for a periodic array of point scatterersLet us first consider a noninteracting problem along an

infinite one-dimensional wire with a periodic potential. Thecorresponding Hamiltonian is

H =p2

2m+ o

n=0

N−1

Vsx − nad , s1d

where a denotes the spacial period of the potential, namelythe distance between two succesive impurities. Vsxd is a lo-calized potential, so for instance we impose that Vsxd=0when uxu is larger than a range d, d!a. The effect of eachscatterer is described by a scattering matrix S. Suppose firstwe have only one of them, centered at the origin x=0. Let usconsider scattering states with the energy E0skd="2k2 / s2md,k being positive. Away from the impurity, that is for uxu.d,we may represent the corresponding wave function as a su-perposition of plane-waves, see Fig. 1:

csxd = H Aeikx + Be−ikx for x , − dA8eikx + B8e−ikx for x . d . J s2d

Since Schrödinger’s equation is linear and of second or-der, we may express the outgoing amplitudes A8 and B lin-early as a function of the incoming ones A and B8

SA8

B D = S t r8r t8 DS A

B8D ; SS A

B8D , s3d

where hr , t ,r8 , t8j are two pairs of reflection and transmissioncoefficients for left and right sides of the node. In principle,these four coefficients do depend on the energy of the par-ticle or equivalently on its wave vector k. In this paper, weshall neglect this variation, since the dominant contribution

processes involve virtual excitation of particle-hole pairs inthe vicinity of the Fermi level. A more complete approachwould consider the Taylor expansion of S in powers of k−kF, but all terms beyond the 0th order one are irrelevantaccording to the classification of perturbations around a non-interacting one-dimensional fermion system. At least for nottoo large interactions, they are not supposed to change thequalitative picture of the system behavior. As usual, this Smatrix is unitary. Assuming time reversal invariance of theHamiltonian implies t= t8 and if Vsxd is an even function ofx, we have also r=r8. In this case, we may parametrize S bytwo angles s0øføp /2, 0øc,2pd

S = eicS cos f ±i sin f

±i sin f cos fD . s4d

For a periodic array of identical scatterers, eigenstatesmay be obtained as Bloch functions, namely we may imposethe condition

csx + ad = eik8acsxd ,

where k8 is chosen in the first Brillouin zone f−p /a ,p /ag.On each x interval fna+d , sn+1da−dg, we write the eigen-state with energy E0skd as

csxd = Aneikx + Bne−ikx.

The above periodicity condition implies

An = eisk8−kdanA0,

Bn = eisk8+kdanB0.

Equation s3d can now be written for each impurity site,which gives

FIG. 1. Localized impurity potential may be represented by an Smatrix that connects amplitudes of incoming sA ,B8d and outgoingsA8 ,Bd plane waves outside the impurity.

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SAn+1eikasn+1d

Bne−ikasn+1d D = S t r8r t8 DS Aneikasn+1d

Bn+1e−ikasn+1d D . s5d

Replacing An and Bn by their expressions in terms of A0 andB0, we get the following secular equation:

Uteisk−k8da − 1 r8rei2ka t8eisk+k8da − 1

U = 0 s6d

which determines the dispersion relation implicitly via k, theenergy being E0skd, the lattice momentum k8 behaving as anexternal parameter. Using a normalization condition on thewave function, we could get sA0 ,B0d as functions of sk8 , Sd.

In the particular case of spacially even and time-reversalinvariant potentials, we may use the above parametrizationfor S in Eq. s6d, which yields

cosska + cd = cos f cossk8ad . s7d

For a given value of the lattice momentum k8, the possiblevalues of ka appear in two equally spaced families, with aperiod 2p for each of them. The allowed values of ka+cbelong to the intervals f−p+f+2pn ,−f+2png and ff+2pn ,p−f+2png, where n is an integer. We recall that kshould be positive, in order not to count each eigenstatetwice. The values of ka+c lying in intervals f−f+2pn ,f+2png, and fp−f+2pn ,p+f+2png correspond then to en-ergy gaps. These gaps are of course larger when the reflexioncoefficient is larger, see Fig. 2.

For a noninteracting electron system, the Fermi sea con-tains an integer number n of filled bands whenever the aver-age electronic density corresponds exactly to n electrons perunit cell. For generic filling factors, the Fermi level crosses apartially filled band for a lattice momentum kF8 . The corre-sponding Fermi group velocity is then

vF*s0d = vF

dkdk8

skF8d = vFcos fusinskF8adu

Î1 − cos2 f cos2skF8ad, s8d

where vF="kF /m is the Fermi velocity of a uniform nonin-teracting gas with the same density.

B. Switching on electron-electron interactionsIn a Luttinger liquid, the effective interaction becomes

non-local in the low-energy limit. To show this, it is conve-nient to decompose the electron creation operators Cs

+sxdswhere sP h↑ , ↓ j denotes the spin component along a fixeddirectiond into a right moving part CRs

+ sxd and a left-movingpart CLs

+ sxd, where CRs+ sCLs

+ d involves the Fourier modes kclose to kF s−kFd. With this decomposition, the local electrondensity rsxd is written as follows:

rsxd = os=↑,↓

Cs+sxdCssxd

= os=↑,↓

fCRs+ sxdCRssxd + CLs

+ sxdCLssxdg

+ os=↑,↓

fCRs+ sxdCLssxd + CLs

+ sxdCRssxdg . s9d

The first two terms are smooth fields, meaning that theirFourier transforms involve only small wave vectors com-pared to kF. But the last two terms are centered around thewave vectors ±2kF so they are rapidly oscillating. For a spin-rotation invariant Hamiltonian, the effective low energy de-scription of a Luttinger liquid involves three independentparameters: the velocities vc and vs of collective charge andspin excitations, and a dimensionless constant K which de-pends on the strength of electron-electron interactions andcontrols the exponents entering the correlation functions.Since transport properties are mostly affected by the value ofK,39 we shall not consider here the renormalizations of vcand vs away from their common value vF for a noninteract-ing system. Therefore, it is sufficient to consider the follow-ing interaction:

Hint =U0

2 E−L/2

L/2dxr0sxd2, s10d

where r0sxd is the long wavelength part of the total density:

r0sxd = os=↑,↓

fCRs+ sxdCRssxd + CLs

+ sxdCLssxdg .

Here L denotes the total length of the system. Later, we shallassume periodic boundary conditions, and that L encloses aninteger number N of periodic cells, so L=Na. With thischoice of interaction, we have

vc = vFS1 +2U0

p"vFD1/2

,

vs = vF,

K = S1 +2U0

p"vFD−1/2

.

So K=1 for a noninteracting system, K.1 for attractive in-teractions, and K,1 for repulsive interactions. For our pur-pose, it is convenient to view this effective interaction asderiving from a nonlocal potential Usx−yd such that its Fou-rier transform Uskd vanishes outside a finite window cen-

FIG. 2. Band structure for 1D wire of noninteracting electronswith periodic impurities. BS is 2p periodic in k. A set of gapss−f+2pn ,f+2pnd and sp−f+2pn ,p+f+2pnd is present forany value of the S matrix.


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tered around k=0 and whose width is smaller than 2kF. Theinteraction strength U0 is defined as Usk=0d. With this nota-tion, we have

Hint =12E−L/2

L/2dxE

−L/2

L/2dyr0sxdUsx − ydr0syd . s11d

In this section, we are considering the combined effect ofimpurity scattering and interactions. Renormalizations of theeffective scattering matrix S are naturally detected via theelectron self-energy Ssk ,k8 ,vd. But since our system exhib-its only a discrete translation symmetry, we may only con-clude that k8−k should be an integer multiple of the basicreciprocal lattice vector 2p /a. This self-energy is then a rela-tively complicated object. More information on its real-spacestructure for a single impurity may be found in Refs. 42 and43. To analyze it in a simple way we shall compute the firstorder correction E1skd with respect to U0 to the single elec-tron energy E0skd="2k2 / s2md. Here k stands for a singleparticle level, close to the Fermi energy, and labelled by thecombination of a Bloch quasi-momentum k8 and a band in-dex. This correction E1skd is given by the sum of a Hartreeterm and of an exchange term. In the case of an unpolarizedelectron system, we have

E1skd = E−L/2

L/2dxE

−L/2

L/2dy o

q,kF

ck*sxdcq

*sydUsx − yd

3f2cqsydcksxd − cqsxdcksydg . s12d

For local potentials, the Hartree and the exchange contribu-tions cancel each other, when the spins of the two electronsinvolved are parallel. But as we have recalled before, ourtwo-body effective potential is in fact nonlocal, so we haveto analyze both terms in more detail. Our expression forE1skd involves integrals of the form:

IUsf ,gd = E−L/2

L/2dxE

−L/2

L/2dyf*sxdUsx − ydgsyd

where fsxd and gsyd are Bloch functions satisfying

fsx + adfsxd

=gsy + ad

gsyd= eiu, 0 , u ø 2p .

Since U is short-ranged in space sthough it is not a deltafunctiond, we may take safely the thermodynamic limitL→`. Writing fsxd=on fneis2pn+udx/a and an analogous seriesfor gsyd, we obtain

IUsf ,gd = Lon

f n*US2pn + u

a Dgn . LU0 ounu!kFa

f n*gn.

s13d

Let us first consider the Hartree term. Because we chosesingle particle eigenstates of the Bloch form, the correspond-ing local particle density is periodic with period a. A littleelementary algebra shows that

ucksxdu2 =1

Na

sinska + cd ± sinsfdcosF2kSx −a2DG

sinska + cd ± sinsfdsinskad/skad

s14d

for 0,x,a. As expected, the amplitude of the local densityoscillation is stronger when the bare reflexion coefficient islarger, or equivalently when usinsfdu is larger. The nth Fou-rier amplitude of this local density is equal sfor nÞ0d to:

Ak

2NaS sinska − pndka − pn

+sinska + pnd

ka + pn D ,

where the numerical coefficient Ak is close to unity. Asshown in Eq. s13d above, we are interested in the case whereunu!kFa, and since k is close to kF, this amplitude is smallby a factor 1 / skFad. A similar conclusion holds for the Fou-rier amplitudes of uCqsxdu2 if we assume that the most im-portant effects come from filled states where q is close to kF.Therefore, we do not expect strong renormalizations comingfrom the Hartree term.

Let us now turn to the exchange term. The productCq

*sydCksyd is the sum of four oscillating terms proportionalto e±isk−qdy and e±isk+qdy. The last two terms are fast oscilla-tions which will be filtered out by the nonlocal potential, asin Eq. s13d. Keeping only the first two oscillations, we cancast the exchange contribution to E1skd as follows:

E1skd = cU0

askF8 + NFpd

−U0

2pasin2 fE dq8

sinsk + cdsinfqsq8d + cg

3sinfqsq8d − kg

qsq8d − k. s15d

In this equation, we have replaced combinations such as ka,qa, by new dimensionless variables k, q. The integral symbolstands for a summation over all the NF completely filledbands, including possibly a last partially filled band with adimensionless momentum kF8 such that 0økF8 ,p. For eachcompletely filled band, the integration variable q8 runs from0 to p, and q in Eq. s15d is a function of the lattice momen-tum q8 solution of the dispersion relation s7d. For the lastpartially filled band sincommensurate cased, the q8 integralruns from 0 to kF8 . As already mentioned, we have assumedthat parameters sc ,fd are not depending on the incomingenergy. Note that contributions from the Hartree term willmodify only the numerical coefficient c whose precise valueis not important here.

C. Renormalization approachLet us introduce the notation L0=pNF, which plays the

role of a large momentum cut-off. As in all schemes inspiredby Anderson’s “poor man’s scaling,” we shall assume it ispossible to construct a sequence of models where filledbands are eliminated one after the other, starting from themost remote from the Fermi level. When the first n bands


075110-5

have been eliminated, the new value of L is set equal toL0−pn. At each step, we require that the quasiparticle en-ergy fEtotskd=E0skd+E1skd;E0skd+U0E1skdg for k close tothe Fermi wave vector should remain unchanged. To com-pensate for the reduction of the cut-off from L0 to L, wehave to adjust S-matrix parameters hc ,fj so they becomefunctions of running cutoff L. This is expressed by the fol-lowing prescription:

Etotsc0,f0,kd = E0„csLd,fsLd,k… + U0E1„csLd,fsLd,k,L… .s16d

Since for U0=0, this condition implies E0sc0 ,f0 ,kd=E0(csLd ,fsLd ,k), we see that in this case sc0 ,f0d= (csLd ,fsLd) for any L, so we may write the followingTaylor series:

csL,U0,c0,f0,L0d ; c0 + U0csL,c0,f0,L0d + OsU02d ,

fsL,U0,c0,f0,L0d ; f0 + U0fsL,c0,f0,L0d + OsU02d .

We now try to keep band structure s16d unchanged for any k

E0sc0,f0,kd + U0E1sc0,f0,k,L0d

= E0„c0 + U0csLd,f0 + U0fsLd,k…

+ U0E1„c0 + U0csLd,f0 + U0fsLd,k,L… .

Keeping the first order terms in U0 gives

U ]E0

]cU

c0

csLd + U ]E0

]fU

f0

fsLd = E1sc0,f0,k,L0d

− E1sc0,f0,k,Ld . s17d

This is a nontrivial constraint, since u]E0 /]cuc0and

u]E0 /]fuf0depend on k but do not depend on L. On the

contrary, c and f depend on L but not on k. The possibilityto enforce this requirement is not obvious a priori, and whenit occurs, we may call our model renormalizable sat least tothis lowest orderd.

Let us now evaluate the right-hand side of this equation.Suppose we integrate out just one band, then L0−L=p,which is assumed to be much smaller than L. While com-puting E1sc0 ,f0 ,k ,L0d−E1sc0 ,f0 ,k ,Ld in Eq. s15d, the in-tegral involves only one band far from the Fermi level.Therefore, we may further approximate qsq8d−k by −L. Thisyields

E1sc0,f0,k,L0d − E1sc0,f0,k,Ld .csL0 − Ld

a

+1L

12pa

sin2 f0

sinsk + c0dE0

p

dq8sinfqsq8d − kg

sinfqsq8d + c0g. s18d

From s7d the derivatives involved in the left-hand side of Eq.s17d are

U ]E0

]cU

f,k=const< −

"vF

a,

U ]E0

]fU

c,k=const<

"vF

atan f cotsk + cd .

We have linearized the bare dispersion relation: E0skd="2k2 / s2ma2d<const+ s"vF /adk. The notation “k=const”means more precisely that the Bloch crystal momentum k8

and the band index have to be maintained constant whilevarying f or c. Introducing these expressions for the deriva-tives and the result s18d in Eq. s17d shows that indeed the kdependencies on both sides can be made to match, whichexpresses the renormalizability of our model to first order ininteraction strength. This fixes the form of the functionscsLd and fsLd:

csL,c0,L0d =1

"vFScsL − L0d

−sin2 f0

2pln

L

L0E

0

p

dq8 cotfqsq8d + f0 + c0gD ,

fsL,f0,L0d = −1

4p"vFsins2f0dln

L

L0.

Finally we construct the RGF equation:

]c

]L=

U0

p"vFSc +

sin2 f

2p

1LE

0

p

dq8 cotfqsq8d + cgD ,

s19d

]f

] ln L= −

U0

4p"vFsin 2f . s20d

We see from Eq. s4d that the parameter c is a global phase inthe scattering matrix, which does not affect any physicalproperty of the system besides an overall shift of the singleparticle spectrum. In particular, it does not generate any den-sity oscillation. Moreover the associated RGF equation ex-plicitly involves the running cut-off L, and the notion offixed point loses its meaning here.

Therefore, we now turn to fsLd, for which a simple RGFequation arises, and which solution is given by

tan f = sL0/Lda tan f0, s21d

where a=U0 / s2p"vFd. The corresponding transmission co-efficient TsLd on a given impurity is

TsLd = cos2ffsLdg =T0sL/L0d2a

R0 + T0sL/L0d2a , s22d

where T0 is the transmission coefficient for a single impurityin absence of interaction, and R0=1−T0. This result agreeswith the expression obtained for a single impurity41 in theabsence of spin backscattering, namely when Us2kFd=0.Again, this approach assumes small electron-electron inter-actions. In the case of strong interactions, where K is nolonger close to 1, the bosonization method shows that for thesingle impurity problem, a should be replaced bys1−Kd /2.40 These two expressions for the exponent coincideat small U0 if terms of order U0

2 or higher are neglected.


075110-6

For a commensurate system skFa=pn, n integerd, the non-interacting ground-state is already gapped, so we expect atrue insulator as well in the presence of repulsive interac-tions. The difference between a traditional band insulator andthe one obtained here in the presence of interactions is thenontrivial energy dependence of the impurity scattering ma-trix and the corresponding behavior of the Landauer conduc-tance, Eq. s22d. For an incommensurate system, we have apartially filled band crossing the Fermi level in the absenceof interaction. Since our renormalization procedure assumeda gradual elimination of fully occupied bands, it has to breakdown after the last of those bands has been integrated out.Treating the remaining partially occupied band in a heuristicway, we simply assume that it corresponds to a stronglyrenormalized Luttinger liquid, whose effective Fermi veloc-ity vF

* is much reduced compared to the Fermi velocity vF="kF /m of a uniform noninteracting gas with the same den-sity. More precisely, we have, according to Eq. s8d:

vF* . vF cos fS sinskF8ad ,

where fS.p /2 is the value of f when the renormalizationprocedure stops, which corresponds to

L0

L=

kFap

.

Note that the denominator in Eq. s8d is then very close tounity. Using Eq. s21d, we get

vF* = vFS p

kFaDa

cot f0 sinskF8ad . s23d

III. GENERALIZATION OF RG PROCEDURE TO ALARGE CLASS OF LATTICES

In the previous section we introduced the main ideas weused to obtain the RGF equation for a 1D lattice. We wishnow to show that renormalizability of this particular 1D sys-tem is not a simple coincidence, but a general property ofany network snot necessarily periodicd, provided the two fol-lowing assumptions hold, namely all the links have the samelength, which has to be large compared to the Fermi wave-length. Let us begin to follow the same procedure as in onedimension. Suppose that we have a network of equal lengthwires. Any junction point is described by an unitary S matrixwhich dimension is equal to the number of wires joining atthis node. For each link, stationary single electron states canbe written as the sum of two plane waves,

csxd = Aije−ikx + A jieikx, s24d

where Aij is the amplitude of the wave that propagates fromnode j to node i, if the x coordinate is oriented from i to j.Solving Schrödinger’s equation is equivalent to connectthese various amplitudes via node scattering matrices

Aij = om

sjdeikaSimsjdA jm. s25d

Here omsjd means that we sum over first neighbors m of node

j. We notice that this has indeed the form of an eigenvalue

equation written in some basis. Following the idea of Kottosand Smilansky46 we introduce a finite dimensional Hilbertspace associated to the lattice links. Each link ij is repre-sented by two orthonormal vectors uijl and ujil. The dimen-sion of this auxiliary Hilbert space is therefore 2NL sNL is thetotal number of linksd. One may rewrite Eq. s25d in its vectorform

TuAskdl = e−ikauAskdl , s26d

where the T operator incorporates information about the scat-tering matrices of all nodes,

T = oj

oi,m

sjduijlSimsjdkjmu ⇔ Sim

sjd = kijuTujml . s27d

As this operator T is unitary and defined in a finite dimen-sional Hilbert space, it could be diagonalized as Tual=e−iuaual, where a takes 2NL values and ua is real. So weobtain families of eigenvalues for the single electron energyE="2k2 /2m,

aka,n = ua + 2pn ù 0. s28d

We emphasize that this periodic structure of the single par-ticle spectrum is a special feature of constant link lengthnetworks. A brief discussion of the more general case isgiven in Appendix C. Because of this periodicity, and despitethe absence of any translational symmetry, we may still in-troduce a notion of energy band for such lattices. More pre-cisely, in this setting, an energy band corresponds to fixing nand allowing for all possible values of u. Note that this no-tion of band does not exactly coincide with the more familiarnotion from the Bloch theory of translational invariant lat-tices. For simple Bravais lattices, the number of states ineach Bloch band is the number of unit cells which is equal tothe number of sites NS. If Z is the coordination number, wehave ZNS=2NL, so our generalized bands contain Z usualBloch bands for a Bravais lattice. At this stage, we have sofar a band structure equation written in operator form. Inorder to obtain renormalization flow for the S-matrix weneed to compute first the electron-electron contribution as inEq. s12d to the single electron energy and then the variationin the unperturbed energy due to an arbitrary S-matrixchange ]E0 /]S.

As in one dimension, the main contribution to the elec-tronic self-energy is given by the exchange term. Let us con-sider a pair of single particle eigenstates labelled by k and q,where these labels should in fact be viewed as pairs sa ,ndand sb ,md, m and n being integers according to the abovedescription of the spectrum. State k is close to the Fermilevel, but state q is far from it, at a distance corresponding tothe current energy cut-off L. Along a link ij, we denote byfCk

*sxdCqsxdg0 the slowly varying component of Ck*sxdCqsxd.

A simple computation shows that:


075110-7

1LEi

jufCk

*sxdCqsxdg0u2 = uAijskdu2uAijsqdu2 + uA jiskdu2uA jisqdu2

+ fA ji* skdAijskdA jisqdAij

* sqd + H.c.gsinsk − qdL

sk − qdL. s29d

The first part summed over fully completed band does notdepend on energy:

oqPBand

oi,j

uAijskdu2uAijsqdu2 + uA jiskdu2uA jisqdu2

= oqPBand

okijl

uAijskdu2uAijsqdu2 = okijl

kijuklkkuijlkiju oqPBand

uql

3kquijl = okijl

kkuijlkijukl = kkukl = 1. s30d

We used the fact that both uql and uijl form complete basissets in our Hilbert space. The main expression to compute isthen

Iskd = oqPBand

okjml

A jm* skdAmjskdA jmsqdAmj

* sqdsinsk − qda ,

s31d

where the sum over q is just a single band sum, namely m isfixed, and the sum is taken over the 2NL values of b. Thepower of this algebraic formalism is that such sum is readilyperformed, without having to compute any integral. Indeed,we have

Iskd = oq

okijl

kkuijlkijuqlsinfsk − qdagkqujilkjiukl . s32d

As shown in Appendix C, we may assume that the eigenvec-tors uql are normalized to unity in the auxiliary Hilbert spaceattached to link amplitudes, provided the links have the samelength, much larger than the Fermi wavelength. Therefore,we have the very useful completeness relation, that is

oq

uqle−iqakqu = T . s33d

After some simple algebra, we may cast Iskd into the form

Iskd = eika ia

kkuoj

ol,m

sjduljlVlmsjdkjmukl = eika i

akkuVukl ,

s34d

where the single node operators Vsjd are defined by

Vsjd = Fsjd − SsjdFsjd†Ssjd

and the diagonal matrix Fsjd by

Fiisjd = − 1

2aSiisjd.

We have introduced as before the dimensionless parametera=U0 / s2p"vFd.

To get the first order variation of the single electron en-ergy under small changes in the node scattering matrix pa-rameters we differentiate Eq. s26d:

sdTdukl + Tudkl = − isdkdae−ikaukl + e−ikaudkl . s35d

Applying kku to this equation and using kkuT=e−ikakku we ob-tain

dk =ia

eika kkudTuklkkukl

. s36d

This allows us to calculate single electron energy variationsdue to S-matrix changes. In the particular case of globalphase transformation, the corresponding infinitesimal formreads: dT= iTdc. Clearly, the energy differential does notdepend on energy any more since dk=−dc /a, so globalphase shifts simply induce a global translation on the energyspectrum.

Following the same ideas as in 1D, we generalize theRGF equation to any S-matrix parametrization. Equations17d now becomes

]E0

]SsS0,kddSsLd = E1sS0,k,L0d − E1sS0,k,Ld . s37d

The left-hand side of this equation is equal to "vFdk, wheredk is related to the small renormalization of T by Eq. s36d. Toevaluate right-hand side, as before, we integrate just over oneband of width 2p for the quantity qb,ma, i.e. dL=L−L0=−2p,

"vFdk = E1sS0,k,L0d − E1sS0,k,Ld =cU0sL0 − Ld

a

−U0

a oL,qa,L0

okjml

A jm* skdAmjskdA jmsqdAmj

* sqd

3sinsk − qda

sk − qda= −

cU0dL

a−

U0

a1LS−

dL

2pDIskd .

Constant c includes both the Hartree term and the part ofexchange term that does not depend on k, so we do notprecise its value since it renormalizes only the global phaseof the S-matrix.

Finally, we get the result dT /dl=−V that agrees com-pletely with Lal, Rao, and Sen,32 obtained for a single nodeconnecting an arbitrary number of semi-infinite 1D wires. Incoordinate way of writing, it gives

dSsjd

dl= SsjdFsjd†Ssjd − Fsjd, s38d

where we just chose the usual cutoff parametrization: L=L0e−l.

IV. TWO-DIMENSIONAL SQUARE LATTICE

We would like to illustrate the result of the previous sec-tion on one more example. This part could be interestingfrom an experimental viewpoint, since present nanofabrica-tion techniques are now available to prepare networks ofquantum wires with a very small number of transverse con-


075110-8

duction channels etched on a two-dimensional electron gaswith high mobility, as illustrated for instance in Ref. 14. Letus now consider an infinite regular square lattice of perfectLuttinger wires. These one-dimensional conductors are onlycoupled at the lattice nodes which are described by a single434 scattering matrix S. To keep a simple model, we shallrestrict ourselves to the case of a single conduction channelin each wire, although the case of several channels wouldclearly be of interest, both on the theoretical side, and withrespect to possible experimental realizations. As mentionedin the Introduction, we shall not take into account any energydependence of the scattering matrix, although detailed stud-ies of the Schrödinger equation for a cross of wires with afinite width have exhibited a rich pattern of resonances.47,48

The main motivation for this simplified treatment is that in arenormalization group picture, smooth energy dependenciesin the scattering matrix as a function of E−EF correspond toirrelevant operators, which should not alter drastically theway interactions drive the system to its low-energy fixedpoint. Labeling the four directions joining at a node as in Fig.3, we shall consider a scattering matrix of the followingform:

S =1r ti t' t'

ti r t' t'

t' t' r ti

t' t' ti r2 s39d

which corresponds to the most general form obeying timeinversion and spacial D4 dihedral symmetry, in combinationwith unitarity. The previous expressions involves three com-plex parameters, but as shown in Appendix A, unitarityleaves only three independent real variables. We have chosenthe following parametrization:

r = eicse2ifu + e2ifv − 2d/4,

ti = eicse2ifv + e2ifu + 2d/4, s40d

t' = eicse2ifv − e2ifud/4,

where fu,vP f0,pf and cP f0,2pf. Note that two lines inthe sfu ,f

vd plane are especially interesting:

fu = p/2 ⇒ t' = ti ssymmetric cased

fu = fv

⇒ t' = 0 s1D cased . s41d

A. Band structureThe derivation of the band structure is standard, so it is

outlined in Appendix B. This band structure is given by animplicit equation:

xsk,k8d + ysk,k8d = b ;2 cos f

v

sinsfu − fvd

, s42d

where

xsk,k8d ;sinska + cd

cos fu cosskx8ad − cosska + c + fud, s43d

ysk,k8d ;sinska + cd

cos fu cossky8ad − cosska + c + fud. s44d

As usual, the energy of these states is given by the freeelectron dispersion E0skd="2k2 / s2md. Here, k8 is the two-dimensional lattice wave vector, such that Csr+Rd=expsik8 .RdCsrd for any r on the wire network and anyperiod R of the square lattice.

As we found some interesting features in the band struc-ture of noninteracting electrons in a two-dimensional squaregrid we will describe it more precisely. Contrary to one di-mension, there are values of the scattering matrix, for whichthe single electron spectrum is no longer gapped, and theseare located in Fig. 4. More precisely, in the clear regions ofFig. 4, the single particle spectrum is gapless. In the darkregions, it is gapped, leading to an insulator if the electronicdensity corresponds to filling an even integer number ofbands. Finally, in the dashed regions, we obtain an insulatorfor an odd integer number of bands.

We still have a 2p periodic structure in ka, but the band-structure consists of two types of foils: normal and abnormal.

FIG. 3. Two-dimensional periodic grid of electron liquids withimpurities. Each impurity could be represented by 3 complex pa-rameters: r, reflection; ti, forward transmission; t', perpendiculartransmission coefficients.

FIG. 4. Phase diagram for a noninteracting electron wire squaregrid. Contrary to the one-dimensional case, there are metallic statesat integer filling factors for some values of the S matrix. In theseregions of the phase diagram, the single electron spectrum isgapless.


075110-9

Normal bands resemble an ordinary band of a tight-bindingmodel of square lattice crystal sa sort of deformed parabo-loidd. Abnormal bands are so called for their strange curva-ture. To get an idea of their form one could imagine a squarerubber foil, attach its four extremities and then put inside aheavy cross. For a complete description, we give sections ofthe band structure in several directions for three characteris-tic values of the scattering matrix. Because of some impor-tant symmetries, we may restrict the domain of variation ofhfu ,f

vj, and still get all the possible different physical pic-

tures:s1d ksfu ,f

vd=ksf

v,fud,

s2d ksp−fv,p−fud=−ksfu ,f

vd.

These may be easily seen from form II of the dispersionrelation, given in Appendix B. Both of them are reflectionsymmetries. Given the band structure for kP f0,pg and usingthe following symmetry: kskx8 ,ky8d+p=kskx8+p ,ky8+pd, weeasily expand it to the full interval kP f0,2pg by replottingthe same band originating from point M instead of G sseeFig. 5d.

B. RGF equation for a two-dimensional gridFollowing the same procedure as in the one-dimensional

case, we first calculate Hartree and exchange contributions to

single electron energy and then establish the equivalent ofEq. s17d or Eq. s37d for two dimensions and finally get theRGF equation. The main difference with the 1D case is thatwe have now three real parameters for the S-matrix andelectron-electron interactions should be evaluated along twoperpendicular threads that form our grid. The condition tosatisfy now reads:

]E0

]ccsLd +

]E0

]fufusLd +

]E0

]fv

fvsLd

= E1sS0,k8,L0d − E1sS0,k8,Ld . s45d

As was proven in the previous section all networks withlinks of equal length are renormalizable, i.e., there is a set offunctions fu, f

v, and c depending only on L. Indeed the

decomposition of the rhs of Eq. s45d on a basis of threefunctions depending on k8 is possible. The correspondingrenormalization group flow equations are

dfu

dl=

a

8fsin 2f

v+ 3 sin 2fu + sin 2sf

v− fudg , s46d

dfv

dl=

a

8fsin 2fu + 3 sin 2f

v+ sin 2sfu − f

vdg , s47d

where a=U0 / s2p"vFd. The only fixed points are fu,v=0,p /2, among which there is only one attractor forhfu ,f

vj= hp /2 ,p /2j. The global behavior of this flow is il-

lustrated in Fig. 6. These properties of the RGF for a singlenode connecting four semi-infinite wires have already beendescribed by Lal et al.32 and Das et al.35 As for the one-dimensional example of Sec. II above, the new feature asso-ciated to a regular lattice is the presence of commensurabilityeffects. We have to stop the renormalization procedure whenall the completely filled bands have been eliminated. FromFig. 5, we expect to obtain one or two partially filled bandscrossing the Fermi level. These bands are only very weaklydispersive, since the effective S matrix for the nodes is thenvery close to its value at the vanishing transmission fixedpoint. Suppose now that this fixed point is approached from

FIG. 5. Three characteristic band structure pictures for differentvalues of the S matrix: sad Insulator, 0,fu ,f

v,p /2 sdark in Fig.

4d; sbd insulator, 0,fu,p /2 ,p /2,fv,p , ufu−f

vu,p /2

sdashed line in Fig. 4d; scd conductor, 0,fu,p /2 ,p /2,fv

,p , ufu−fvu.p /2 sclear line in Fig. 4d. The band structure is 2p

periodic in k, and has four foils: two normal and two abnormal.Some foils are described as “abnormal” because of their strangecurvature, revealed here by the flat part of these bands. Given theenergy interval 0,k,p one could obtain the p,k,2p intervalby exchanging G and M points.

FIG. 6. RGF for the 2D square grid of wire. The only attractor isin the picture center for hfu ,f

vj= sp /2 ,p /2d.


075110-10

the dark regions of the phase diagram shown in Fig. 4. If thefilling factor corresponds to an even integer, the Fermi levellies in a gap of the renormalized band structure. Therefore,we may eliminate the remaining pair of filled bands, and thesystem is an insulator. Similarly, a true insulator is obtainedfor an odd integer filling factor, in the case where thesp /2 ,p /2d fixed point is approached from the dashed re-gions in Fig. 4. Experimentally, one expects transitions be-tween these commensurate insulators and strongly renormal-ized “heavy electron” metals at generic filling factors if theelectronic density is controlled by a uniform external gatevoltage.

Another interesting feature of this geometry is the factthat the flow may induce metal-insulator transitions for somecommensurate filling factors at a finite energy scale. Indeed,for initial parameters lying in the clear regions of Fig. 4,corresponding to a gapless single electron spectrum, Fig. 6shows that the system always reaches either the dashed ordark regions in a finite RG time. Experimentally, these RGflows may be visualized by gradually lowering the tempera-ture, since at least qualitatively, the energy scale set by tem-perature plays the role of the moving cut-off L.

V. CONCLUSION

In this paper, we have studied a particular class of net-works of Luttinger liquids, with nodes connected by links ofa constant length. In the limit of long links, compared to theFermi wavelength, we studied the evolution of the scatteringmatrix at the nodes, as the typical energy scale for the occu-pied states contributing to Friedel oscillations is gettingcloser to the Fermi level. The corresponding renormalizationgroup flow turns to be identical to the one already found fora single node coupled to several semi-infinite 1D Luttingerliquids.32 This result is physically reasonable, since we haveconsidered the limit of long links. However, we emphasizethat these renormalization effects come from quasiparticlescattering on Friedel oscillations induced by the nodes,which are a rather complicated function of the lattice geom-etry. For instance, even in the limit of very long links, theamplitudes Aij which determine the value of energy eigen-functions along the links are obtained from a 2NL32NL ei-genvalue problem whose solution has a strongly nonlocalcharacter.

The main difference between a regular lattice and asimple node coupled to infinite wires is that in the formercase, we have to stop the renormalization procedure whenthe last occupied band has been integrated out. So instead ofhaving completely disconnected wires in the low-energylimit, we expect in general a strongly renormalized conduct-ing system with an effective Fermi velocity much reduced incomparison to a noninteracting system with the same density.These effects should be visible as a power-law behavior ofthe network conductance as a function of temperature. Insu-lating ground states are expected when the electronic densitycorresponds to filling some integer numbers of bands.

Of course, this work leaves many open questions. Itwould be interesting to generalize the present renormaliza-tion approach to lattices containing links with several differ-

ent lengths. In such situations, the spectrum no longer exhib-its a simple periodic structure, and some signatures ofquantum chaos, already manifested in the single particle den-sity of states,46 may also appear in the temperature depen-dence of the conductivity of an interacting system. Anotheropen question is the influence of an external magnetic field,which also drastically modifies the single-particle spectrum.Finally, the limit of strong electron-electron interaction de-serves further investigation, and in particular the possibilityto develop some new metal-insulator transitions for noninte-ger but rational filling factors, generalizing the notion of aWigner crystal. Such insulating states would naturally bepinned by the nodes of the lattice.

ACKNOWLEDGMENTS

We would like to thank J. Dufouleur, G. Faini, D. Mailly,C. Naud, and J. Vidal for interesting discussions on variousaspects of conducting wire networks.

APPENDIX A: PARAMETRIZATION OF THE S MATRIX

In this appendix we will show that time-inversion, spacialD4 dihedral symmetry combined with unitarity imply a pa-rameterization of scattering matrix in terms of three real vari-ables. For a two-dimensional square lattice, the most generalform of the S matrix is given by a 434 matrix:

1A8

B8

C8

D8

2 =1rA tBA tCA tDA

tAB rB tCB tDB

tAC tBC rC tDC

tAD tBD tCD rD

21ABCD2 , sA1d

where A, B, C, D are the coefficients of incoming planewaves. Primed values denote coefficients of outgoing waves.At this stage, one has 16 complex parameters for thisS-matrix.

Unitarity condition sS†S= Id combined with time-inversion symmetry sS−1= S*d gives St= S snotice that St isthe transposed matrix, not the conjugated. It leaves 10 com-plex parameters. Using four reflections of two types s1dA↔B, and s2d A↔C, B↔D that generate the dihedral sym-metry group D4 consequently reduces this number to threecomplex variables. We obtain the S-matrix in the form s39d.Unitarity allows finally to express the scattering matrix withonly 3 real parameters:

uru2 + 2ut'u2 + utiu2 = 1,

rt'

* + r*t' + t'

* ti + ti*t' = 0,

rti* + r*ti + 2ut'u2 = 0.

Subtracting the third equation from the first one allows us todefine a first real parameter c:

ur − tiu = 1 ⇒ r = ti − eic.

There remains two independent equations:


075110-11

2sutiu2 + ut'u2d = tie−ic + ti*eic, sId

2st'

* ti + t'ti*d = t'e−ic + t

'

* eic, sIId

2uti + t'u2 = 2 Refsti + t'de−icg, sI − IId

2uti − t'u2 = 2 Refsti − t'de−icg . sI + IId .

Two more real parameters are needed to complete the param-etrization:

ti − t' = cos fueisfu+cd,

ti + t' = cos fveisf

v+cd.

Expressions of transmission and reflection coefficients asfunctions of these three three real parameters are given in themain text, see Eq. s40d. We remark on an interesting fact: inthe case of perfect transmission sr=0d, only the separatethread solution sutiu=1, t'=0d is possible.

APPENDIX B: BAND STRUCTURE FOR A SQUARELATTICE OF WIRES

In this appendix we derive the band structure for a squarelattice of wires of noninteracting electrons. As in the one-dimensional case, the wave function away from impuritiessi.e., nodes hered could be written as combination of planewaves:

cksxd = Aim,neikx + Bi

m,ne−ikx, sB1d

where i= hx ,yj and the coefficients hAxm,n ,Ay

m,n ,Bxm,n ,By

m,njm,nare defined in Fig. 7. By definition of the scattering matrix:

1Bx

m,n

Axm+1,n

Aym,n+1

Bym,n

2 = S1Ax

m,n

Bxm+1,n

Bym,n+1

Aym,n

2 =1r ti t' t'

ti r t' t'

t' t' r ti

t' t' ti r21

Axm,n

Bxm+1,n

Bym,n+1

Aym,n

2 ,

sB2d

Bloch periodicity condition for the wave function implies

Axn,m = eiskx8−kdnaeiky8maAx

0,0,

Bxn,m = eiskx8+kdnaeiky8maBx

0,0,

Ayn,m = eisky8−kdmaeikx8naAy

0,0,

Axn,m = eisky8+kdmaeiky8naBy

0,0. sB3d

Using the last two expressions, we obtain the secular equa-tion:

*tieisk−kx8da − 1 re2ika t'eisk−kx8da t'eisky8−kx8+2kda

r tieiskx8+kda − 1 t' t'eisky8+kda

t'eisk−ky8da t'eiskx8−ky8+2kda tieisk−ky8da − 1 re2ika

t' t'eiskx8+kda r tieisky8+kda − 1*

= 0. sB4d

Replacing scattering matrix elements by their parametriza-tion s40d, we get the implicit band-structure equation givenin the main text s43d. Here we propose two more differentways to write the same dispersion relation, where the com-binations ka+c, kx8a and ky8a have been replaced, respec-tively, by the simpler notations k, kx8, and ky8:

cossk + fudcossk + fvd + cos kx8 cos ky8 cos fu cos f

vsId

= 12 scos kx8 + cos ky8d

3fcos fu cossk + fvd + cos f

vcossk + fudg

cossk + fud − cos fu cos kx8

cossk + fud − cos fu cos ky8

= −cossk + f

vd − cos f

vcos kx8

cossk + fvd − cos f

vcos ky8

. sIId

The first form is useful to identify symmetries of band struc-ture. The second form is useful to derive RGF equationsdirectly without using the formalism developed in Sec. III.We remark that in the 1D case st'=0d, and in the 2D sym-metric case st'= tid the band structure equations are thesame, namely, cosska+c+fd=cos f cossk8ad.

APPENDIX C: ANY LATTICE GENERALIZATION

In this part we will discuss particular points met in Sec.III of this article. First of all we could obtain the dispersionrelation for any network, i.e., when the wires lengths are notnecessarily equal. In that case Eq. s25d is modified into

Aij = om

sjdeikLij/2SimsjdeikLjm/2A jm. sC1d

We choose the origin of coordinates needed to define theamplitudes Aij at the centers of each link. This formulameans that the amplitude of the wave going from node j tonode i is the sum of amplitudes coming from all neighbors mof node j, multiplied by phase factors expsikL jm /2d due to

FIG. 7. In the 2D case, each node is indexed by a pair of num-bers hm ,nj. Incoming and outgoing plane waves are connected bythe 434 scattering matrix.


075110-12

propagation from the middle of link kjml to the node j, thenscattered on node j with probability amplitude Sim

sjd and finallyreaching the middle of link kijl with a new phase factorexpsikLij /2d. We will now write the same equation in vectorform. The expression will be more transparent and this per-mits us to express the secular equation for energy eigenval-ues k in a compact form. If we fix the energy of the systemthen the stationary states are completely determined by 2NLamplitudes, where NL is the number of links. The factor 2arises since each wave can propagate in two opposite direc-tions on each link. So the set of amplitudes hAijj could bepresented as a vector uAl in a 2NL-dimensional Hilbert space.We choose the orthonormal basis associated with networklinks kmn u ijl=dmidnj. Each link is represented by two basisvector uijl and ujil, this orientation difference should be takeninto account in various summations over first neighbors. Wedefine the vector uAl=okijlAijuijl and the length operator L=okijlLijuijlkiju. The vector form of Eq. sC1d reads

uAskdl = eikL/2TeikL/2uAskdl . sC2d

The possible values of k are given by

detse−ikL − Td = 0. sC3d

One remarks that the periodicity of the spectrum s28d is lostin the general case, unless there exists a Dk such thatexpsiDkLd=1. Let us be reminded that this periodicity of thespectrum allowed us to evaluate the integral Iskd in Eq. s31d:the contribution of each band was the same and we replacedthe sum over any filled band just by sum over all the eigen-vectors of operator T.

The second point to be clarified is the spectral decompo-sition oquqle−iqakqu= T. It holds only if uql vectors form an

orthonormal basis. Orthogonality is clear as uql is an eigen-vector of a unitary operator,

kquTukl = e−iqakqukl = e−ikakqukl . sC4d

Let us now evaluate the vector norm in the uijl basis:

kquql = okijl

kquijlkijuql = okijl

uAijsqdu2. sC5d

But we know that the norm of wave function s24d in thephysical Hilbert space should be equal to unity.

Enetwork

ucsxdu2dx = 1 = aokijl

SuAijsqdu2 + AijsqdA ji* sqd

sinskadka D .

sC6d

So if we demand kq uql=1 we are doing an approximationneglecting the term proportional to sinskad /ka. This approxi-mation is legitimate in our case, as we consider systemswhere the typical number ef electrons along each link be-tween two nodes is large. Clearly, it will break down forlinks of the order of the Fermi wavelength. Supposing thatkq uql=1 is equivalent to identifying the norm in the sinfinitedimensionald physical Hilbert space, with the norm associ-ated with the orthonormal basis uijl in the s2NL dimensionaldauxiliary Hilbert space. The fact that our equations are notdepending explicitly on the network scale parameter a isclosely related to this approximation. So if one were to esti-mate finite size corrections to the RGF equation, one shouldtake the physical normalization of the uql basis into account.Such corrections would likely produce RGF equations wherethe nodes on the lattice are no longer renormalized indepen-dently of each other, by contrast to what we obtained in Sec.III; see Eq. s38d.

1 G. Timp, R. E. Behringer, E. H. Westerwick, and J. E. Cunning-ham, in Quantum Coherence in Mesoscopic Systems, edited byB. Kramer sPlenum, New York, 1991d.

2 S. Washburn and R. A. Webb, Rep. Prog. Phys. 55, 1311 s1992d.3 G. Timp, A. M. Chang, J. E. Cunningham, T. Y. Chang, P. Man-

kiewich, R. Behringer, and R. E. Howard, Phys. Rev. Lett. 58,2814 s1987d.

4 S. Pedersen, A. E. Hansen, A. Kristensen, C. B. Sorensen, and P.E. Lindelof, Phys. Rev. B 61, 5457 s2000d.

5 D. Mailly, C. Chapelier, and A. Benoit, Phys. Rev. Lett. 70, 2020s1993d.

6 W. Rabaud, L. Saminadayar, D. Mailly, K. Hasselbach, A.Benoît, and B. Etienne, Phys. Rev. Lett. 86, 3124 s2001d.

7 M. L. Roukes, A. Scherer, S. J. Allen, Jr., H. G. Craighead, R. M.Ruthen, E. D. Beebe, and J. P. Harbison, Phys. Rev. Lett. 59,3011 s1987d.

8 C. J. B. Ford, T. J. Thornton, R. Newbury, M. Pepper, H. Ahmed,D. C. Peacock, D. A. Ritchie, J. E. F. Frost, and G. A. C. Jones,Phys. Rev. B 38, 8518 s1988d.

9 D. G. Ravenhall, H. W. Wyld, and R. L. Schult, Phys. Rev. Lett.

62, 1780 s1989d.10 G. Kirczenow, Phys. Rev. Lett. 62, 2993 s1989d.11 H. U. Baranger and A. D. Stone, Phys. Rev. Lett. 63, 414 s1989d.12 C. W. J. Beenakker and H. van Houten, Phys. Rev. Lett. 63, 1857

s1989d.13 C. J. B. Ford, S. Washburn, M. Büttiker, C. M. Knoedler, and J.

M. Hong, Phys. Rev. Lett. 62, 2724 s1989d.14 C. Naud, G. Faini, and D. Mailly, Phys. Rev. Lett. 86, 5104

s2001d.15 J. Vidal, R. Mosseri, and B. Douçot, Phys. Rev. Lett. 81, 5888

s1998d.16 J. Vidal, G. Montambaux, and B. Douçot, Phys. Rev. B 62,

R16 294 s2000d.17 M. Grayson, D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W. West, and A. M.

Chang, Phys. Rev. Lett. 80, 1062 s1998d.18 X. G. Wen, Phys. Rev. B 41, 12 838 s1990d.19 C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 72, 724 s1994d.20 R. de-Picciotto, M. Reznikov, M. Heiblum, V. Umansky, G. Bu-

nin, and D. Mahalu, Nature sLondond 389, 162 s1997d.21 L. Saminadayar, D. C. Glattli, Y. Jin, and B. Etienne, Phys. Rev.


075110-13

Lett. 79, 2526 s1997d.22 M. Bockrath, D. H. Cobden, J. Lu, A. G. Rinzler, R. E. Smalley,

L. Balents, and P. L. McEuen, Nature sLondond 397, 598s1999d.

23 Z. Yao, H. W. C. Postma, L. Balents, and C. Dekker, NaturesLondond 402, 273 s1999d.

24 R. Egger and A. O. Gogolin, Phys. Rev. Lett. 79, 5082 s1997d.25 C. Kane, L. Balents, and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 79,

5086 s1997d.26 C. Papadopoulos, A. Rakitin, J. Li, A. S. Vedeneev, and J. M. Xu,

Phys. Rev. Lett. 85, 3476 s2000d.27 J. Kim, K. Kang, J.-O Lee, H.-H. Yoo, J.-R. Kim, J. W. Park, H.

M. So, and J.-J. Kim, J. Phys. Soc. Jpn. 70, 1464 s2001d.28 M. Terrones, F. Banhart, N. Grobert, J.-C. Charlier, H. Terrones,

and P. M. Ajayan, Phys. Rev. Lett. 89, 075505 s2002d.29 B. Gao, A. Komnik, R. Egger, D. C. Glattli, and A. Bachtold,

cond-mat/0311645 sunpublishedd.30 A. Komnik and R. Egger, Phys. Rev. Lett. 80, 2881 s1998d.31 C. Nayak, M. P. A. Fisher, A. W. W. Ludwig, and H. H. Lin,

Phys. Rev. B 59, 15 694 s1999d.32 S. Lal, S. Rao, and D. Sen, Phys. Rev. B 66, 165327 s2002d.33 S. Chen, B. Trauzettel, and R. Egger, Phys. Rev. Lett. 89, 226404

s2002d.

34 C. Chamon, M. Oshikawa, and I. Affleck, Phys. Rev. Lett. 91,206403 s2003d.

35 S. Das, S. Rao, and D. Sen, cond-mat/0311563 sunpublishedd.36 R. L. Schult, H. W. Wyld, and D. G. Ravenhall, Phys. Rev. B 41,

12 760 s1990d.37 P. S. Deo and A. M. Jayannavar, Phys. Rev. B 50, 11 629 s1994d.38 S. Uryu and T. Ando, Phys. Rev. B 53, 13 613 s1996d.39 C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 68, 1220 s1992d.40 C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. B 46, 15 233 s1992d.41 D. Yue, L. I. Glazman, and K. A. Matveev, Phys. Rev. B 49,

1966 s1994d.42 V. Meden, W. Metzner, U. Schollwöck, and K. Schönhammer,

Phys. Rev. B 65, 045318 s2002d.43 V. Meden, W. Metzner, U. Schollwöck, and K. Schönhammer, J.

Low Temp. Phys. 126, 1147 s2002d.44 V. Meden, S. Andergassen, W. Metzner, U. Schollwöck, and K.

Schönhammer, Europhys. Lett. 64, 769 s2003d.45 P. W. Anderson, J. Phys. C 3, 2346 s1970d.46 T. Kottos and U. Smilansky, Phys. Rev. Lett. 79, 4794 s1997d.47 R. L. Schult, D. G. Ravenhall, and H. W. Wyld, Phys. Rev. B 39,

5476 s1989d.48 K.-F. Berggren and Z.-L. Ji, Phys. Rev. B 43, 4760 s1991d.


075110-14


78

Chapter 2

Reseaux possedant une symetrie Z2

locale

En etudiant n’importe quel systeme physique nous identifions assez rapidementles manifestations diverses de sa regularite. Ayant un esprit de reflexion logique, noustentons naturellement de trouver un raisonnement simple qui explique ces regularites.Un formalisme adapte a repondre a ce genre de question est la theories de groupes.Il est difficile de croire actuellement, que la premiere application de la theorie desgroupes en physique n’a ete faite que dans les annees vingt (E. Wigner et H. Weyl).La seule connaissance des symetries du systeme fournit souvent ses caracteristiques lesplus recherchees. Il est donc astucieux d’etudier les symetries du probleme avant del’attaquer par d’autres methodes analytiques ou numeriques.

Ce travail est motive par le progres recent dans la realisation experimentalede reseaux de fils quantiques, fabriques dans le groupe de D. Mailly a Marcoussis.1

Nous avons etudie l’impact de la symetrie Z2 locale sur les proprietes electroniquesdes systemes qui la possedent. Nous avons commence par l’analyse d’un modele de lageometrie la plus simple qu’on puisse imaginer : un reseau Z2 unidimensionnel.

BFigure 2.1: Reseau Z2 unidimensionnel en presence du champ magnetique perpendi-

culaire.

Inspire au depart par le travail de J. Vidal et al. [VMD98]2 fait dans l’approximation

1je suis personnellement tres reconnaissant a Joseph Dufouleur, qui a passe du temps a m’expliqueren detail le fonctionnement de leur schema experimental.

2une forme plus realiste de la matrice de capacitance a ete etudie dans [PF04]

79

Chapter 2. Reseaux Z2

des liaisons fortes, nous avons effectue la diagonalisation de l’Hamiltonien d’electronssans interaction en utilisant la technique analytique decrite dans la section 1.4. Commedans le travail de nos predecesseurs, pour un champ magnetique exterieur d’un demiquantum de flux par plaquette le spectre se reduit a un ensemble de valeurs discretes,ce qui confirme la presence d’etats localises dans le spectre (cages d’Aharonov-Bohm).Ensuite en exploitant la symetrie Z2 locale, nous avons pu non seulement reproduireles meme resultats physiques sans faire une lourde diagonalisation de l’Hamiltonien,mais aussi generaliser ces resultats pour toute la classe des reseaux Z2.

3. En fait,nous avons construit une base complete de solutions localisees dans des cages pourles electrons sans interaction et decompose les interactions a deux particules dans larepresentation irreductible de la symetrie Z2 locale. La possibilite de la propagationde paires d’electrons pour le potentiel d’interaction electronique tres general a etedemontree. Malgre cela, la transition supraconductrice n’est pas favorable du point devue energetique dans l’approximation du champ moyen. Cette etude a ete completeepar S. Dusuel, qui a applique le groupe de renormalisation pour les fluctuations quasiunidimensionnelles [DVD02] dans un systeme possedant la symetrie Z2 locale. Les pro-prietes principales des reseaux Z2 se resument a :a) le regime d’oscillations d’Aharonov-Bohm en absence d’interaction electronique ;b) le seul transport possible de paires d’electrons en presence d’interaction ;c) l’absence de transition supraconductrice ;d) la transition vers un etat d’onde de densite de charge a basses temperatures, stabilisepar l’effet des cages Aharonov-Bohm ;4

e) l’etat normal n’est pas un liquide de Fermi (la fonction de Green a un electron esta tres courte portee spatiale).Vu que nous avons fait un effort pour rendre notre article pedagogique et complet, jel’inclue directement dans ma these, en expliquant neanmoins les differentes realisationsexperimentales du modele theorique etudie.

2.1 Cages d’Aharonov-Bohm

Avant de donner les details des manipulations experimentales, ou les effets preditspar notre modele theorique peuvent etre observes, j’introduirai d’une facon intuitive lanotion de cage d’Aharonov-Bohm (AB),5 qui regit le comportement des systemes avecune symetrie Z2 locale.

La cage d’AB est un etat localise d’un porteur de charge dans le champmagnetique, dont la fonction d’onde est confinee par l’interference destructive de tousles chemins possibles de propagation. La notion de cage est basee sur l’effet purementquantique d’AB, lie au fait que l’electron est sensible au potentiel-vecteur du champ

3nous definissons cette classe dans l’article [KDD05]4pour un anneau 1D la phase d’onde de densite de charge depend non seulement du flux Aharonov-

Bohm, mais aussi de la parite electronique [Mon98]5j’utilise dans la suite l’acronyme AB pour Aharonov-Bohm.

80

2.1. Cages d’Aharonov-Bohm

magnetique plutot qu’au champ lui-meme. Ceci peut etre illustre simplement sur unexemple suivant. Supposons qu’un electron se propage librement sur un des plans per-pendiculaires au solenoıde infini. Le champ magnetique a l’exterieur du dernier etantnul, du point de vue classique l’electron ne sentira pas du tout sa presence.6 A cause dufait que l’equation de Schrodinger contient le potentiel-vecteur du champ magnetique,la phase de la fonction d’onde electronique sera differente, dependant du chemin choisi :

ψ1(x) = ψin(x)ei 2π

φ0

oR

i

~A1d~l, ψ2(x) = ψin(x)e

i 2πφ0

oR

i

~A2d~l(2.1)

ou ~A1,2(x) est le vecteur-potentiel du champ magnetique sur les chemins 1, 2 respecti-vement (Fig. 2.2), φ0 = h/e est le quantum de flux et ψin est l’amplitude de probabilitede trouver l’electron dans le point initial. Si les deux chemins sont equivalents, a demi-quantum de flux ces deux amplitudes de propagation vont s’annihiler :

ψout(x) = ψin(x)(ei 2π

φ0

oR

i

~A1d~l

+ ei 2π

φ0

oR

i

~A2d~l

) = ψin(x)ei 2π

φ0

oR

i

~A1d~l

(1 + ei 2π

φ0

H

~Ad~l) = 0 (2.2)

Nous avons pris en compte que∮

~Ad~l = φ0/2.

φout in

1

2 Figure 2.2:

Effet d’Aharonov-Bohm. L’amplitude de propaga-tion d’un electron du point ”in” vers le point ”out”depend du chemin choisi (1 ou 2). Au contraire,les deux chemins sont equivalents pour le mouve-ment classique, car le champ magnetique est nul al’exterieur du solenoıde.

Donc si l’electron, avec une certaine amplitude non nulle au point ”in”, n’avait que cesdeux chemins de propagation, il ne pourrait jamais atteindre le point ”out”. Nous pou-vons imaginer un schema d’experience, qui rend ceci possible. Considerons un electrondans la geometrie des losanges, connectes par leurs sommets, ou il ne peut se propagerque le long des brins :

Φfinal

init

Figure 2.3: La cage d’Aharonov-Bohm. L’electron qui se trouve au point initial a deuxchemins equivalents pour propager vers le point final. Si le flux a traversla plaquette est egal a φ0/2, l’electron reste localise.

6Mathematiquement ceci est equivalent a un probleme de la propagation 2D d’un electron soumisa champ magnetique perpendiculaire a son plan du mouvement. Ce champ est nul partout sauf uncylindre de taille finie.

81


Les electrons se trouvant dans une telle geometrie sont localises a demi-quantum deflux par losange a cause de l’interference destructive des deux chemins equivalents. Lesfonctions d’ondes de tels etats seront confinees dans l’espace. Nous pouvons conclureque l’element essentiel pour avoir des etats localises (cages Aharonov-Bohm) dans unreseau de fils est la presence de losanges, qui nous assure l’existence de paires dechemins equivalents pour la propagation electronique. Il y a plusieurs reseaux bidimen-sionnels qui possedent cette specificite geometrique. Le plus connus sont les reseaux Z2

et T3 (en anglais dice lattice).7

Figure 2.4: Representation du reseau T3 (dice lattice) a gauche et des reseaux Z2 uni(en haut a droite) et bidimensionnel (en bas a droite).

Pour un systeme d’electrons sans interaction : le presence de cages AB implique clai-rement que le nombre d’electrons dans chaque cage est separement conserve. On peutdonc definir une symetrie U(1) locale, pour le ”dice” aussi bien que pour les reseauxZ2. Lorsqu’on branche les interactions, cette symetrie U(1) locale est detruite (car ily a des elements de matrice de l’interaction qui changent les occupations des cages).C’est la qu’apparaıt la difference entre le dice et les reseaux Z2 : pour ces derniers,il existe un sous groupe de U(1) (Z2 locale), qui survit au branchement de l’interac-tion. En recapitulant, La difference entre le reseau ”dice” et les reseaux Z2 se voitessentiellement lorsqu’on branche les interactions entre electrons. [CF01] En effet, lesoscillations de la resistance en fonction du champ magnetique ont ete observees dans lereseau ”dice” [NFM01], par contre dans les reseaux Z2, ou l’effet des cages en presencede l’interaction doit etre plus robuste, ces oscillations n’ont toujours pas ete observees[DM04].8 Une des cibles visees par nos etudes theoriques etait de pouvoir trouver laraison des difficultes experimentales.

7T3 vient de la classification des quasi-cristaux. Nous allons utiliser pour ces reseaux plutot le motdice, qui a l’origine geometrique.

8Theoriquement au moment ou le flux magnetique est egal a un demi quantum de flux (φ = φ0/2mod φ0), la resistance de l’echantillon doit s’annuler. Experimentalement ce sont des oscillations dela resistance en fonction du champ magnetique qui apparaissent.

82

2.2. Realisation experimentale

2.2 Realisation experimentale

Comme je l’ai explique dans le premier chapitre, a part les systemes metalliques,les reseaux de fils peuvent etre realises dans les heterostructures de semi-conducteurs,les premieres experiences etant effectuees dans la geometrie d’un anneau simple[MCB93]. Le premier travail theorique [VMD98] etant realise dans l’approximationde liaisons fortes, je vais commencer par la description d’une realisation experimentaleadaptee a cette approximation.

2.2.1 Reseau supraconducteur

Nous considerons ici une des possibilites pour realiser un schema experimentalde porteurs de charge, qui se propagent a deux dimensions dans une geometrie precise.Malgre l’interaction de Coulomb repulsive, dans un supraconducteur les electrons s’ap-parient a cause du fort couplage avec le bain de phonons. Nous pouvons alors imaginerun reseau d’ılots supraconducteurs separes l’un de l’autre par une fine couche isolante.Les liens du reseau ne sont rien d’autre que les jonction Josephson. Enfin nous obtenonsun reseau de sites supraconducteur ou les paires d’electrons peuvent se propager pareffet tunnel. Il est donc naturel de tester le modele de liaisons fortes sur ce schemaexperimental.

E. Serret et al. [Ser02] ont etudie des reseaux ”dice” de jonctions Josephson(JJ).9 Les echantillons contenant des centaines de milliers de jonctions ont ete realisesa la base de Al/Al2O3/Al depose sur le substrat de silicium. Les ılots sont obtenusa partir d’une couche supraconductrice 2D par l’oxydation des barrieres tunnels. Laportee de l’interaction des paires dans les reseaux etudies s’etale sur quelques dizainesde sites voisins et le nombre de charges en interaction est tres important. La surfaced’une cellule etant petite (≈ 6µm2) les mesures etaient faites dans le regime de faiblechamp magnetique (un quantum de flux correspondait a un champ magnetique de ≈4Gauss).10 Le reseau dice a ete mesure en parallele avec le reseau carre, afin d’extraireles effets propres lies a la presence de cages. Le regime isolant a demi-quantum de fluxpar cellule a ete etudie en detail : la resistance en fonction de la temperature, ainsi queles effets de la tension de grille electrostatique. Les courbes de la magneto-resistancea differentes temperatures ont ete obtenues. Premierement, un affaiblissement de lasupraconductivite du aux effet de cage a ete retrouve. Ensuite, une phase specifiquedu liquide quantique de vortex a ete observee lorsque les losanges sont traverses parun demi quantum de flux. Cette phase, inhabituelle pour les bosons, est induite parles fluctuations quantiques dans le regime intermediaire EJ ∼ Ec. L’existence de cettephase liquide est attribuee a la presence des cages AB dans le reseau dice.

9les proprietes des jonctions Josephson seront expliquees dans le chapitre suivant.10Le champ magnetique doit etre petit pour ne pas detruire le supraconducteur.

83


2.2.2 Reseau de fils quantiques

Le reseau dice a ete etudie par C. Naud pendant sa these [Nau02]. Actuelle-ment J. Dufouleur mene un travail sur les reseaux Z2. La realisation experimentaledes reseaux de fils quantiques etant expliquee en detail dans la section 1.1, je donneraidans cette partie seulement les caracteristiques physiques des echantillons de geometrieZ2 fabriques au laboratoire de Photonique et de Nanostructures (LPN de Marcoussis),ainsi que la motivation du groupe experimental pour etudier les reseaux Z2.

L’avantage principal de ces reseaux de fils quantiques est qu’on peut travaillera des champs magnetiques beaucoup plus eleves que dans les echantillons de JJ. Leseffets lies a l’effet Hall quantique apparaissent a un champ magnetique fort de l’ordrede 2 Tesla, ce qui detruit le caractere unidimensionnel des fils.11 Ceci permet de me-surer les oscillations de la magneto-resistance et ensuite analyser sa transformationde Fourrier. Le pic a demi-quantum de flux indique la presence des cages. Les etudessont menees en parallele dans un reseau carre ou les solutions localisees ne formentpas une base complete de l’espace de Hilbert. En mesurant les proprietes du gaz 2Dles caracteristiques physiques de l’echantillon peuvent etre obtenues. La densite du gaz2D, qui definit la longueur d’onde de Fermi est mesuree a partir des oscillations deShoubnikov-de Haas. La valeur typique de λF est de l’ordre de 50nm. La largeur defil W ≈ 100nm est estimee a partir de la position du pic de magnetoresistance.11 Lenombre de canaux est typiquement de l’ordre 2W/λF = 4. La longueur du pas dereseau est egale L ≈ 2µm. La masse effective electronique dans l’arseniure de gal-lium est m∗ = 0.067me, me etant la masse de l’electron. La permittivite de GaAs estε = 12.9.

Dans les mesures de C. Naud, un phenomene curieux a ete observe : un chan-gement de la periode des oscillations (passage de Φ0 = h/e a Φ0/2) a fort champmagnetique (B ∼ 1.5 Tesla). De facon tres naıve, cela fait penser a des charges doubles(2e), et donc a la supraconductivite. Le reseau Z2 est interessant, car les effets d’inter-action sont amplifies par rapport au reseau dice. La question de la supraconductivite, alaquelle nous repondons dans l’article [KD05], n’etait pas totalement academique, elles’etait posee au vu de ces resultats qui restent inexpliques.

2.3 Article [KDD05]

11ce qui correspond au cas ou la largeur de fils quantiques W est egale au double du rayon cyclotronrc = h/(eBλF ).

84

Quantum wire networks with local Z2 symmetry

K. Kazymyrenko,1, ∗ S. Dusuel,2, † and B. Doucot1, ‡

1Laboratoire de Physique Theorique et Hautes Energies,

CNRS UMR 7589, Universite Paris VI et VII,

4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France2Institut fur Theoretische Physik, Universitat zu Koln, Zulpicher Str. 77, 50937 Koln, Germany

For a large class of networks made of connected loops, in the presence of an external magneticfield of half flux quantum per loop, we show the existence of a large local symmetry group, generatedby simultaneous flips of the electronic current in all the loops adjacent to a given node. Using anultra-localized single particle basis adapted to this local Z2 symmetry, we show that it is preservedby a large class of interaction potentials. As a main physical consequence, the only allowed tunnelingprocesses in such networks are induced by electron-electron interactions and involve a simultaneoushop of two electrons. Using a mean-field picture and then a more systematic renormalization-grouptreatment, we show that these pair hopping processes do not generate a superconducting instability,but they destroy the Luttinger liquid behavior in the links, giving rise at low energy to a stronglycorrelated spin-density-wave state.

PACS numbers: 71.10.Li,71.10.Pm,73.21.Hb

I. INTRODUCTION

For the past two decades, transport properties of quan-tum wires have received a lot of attention1,2. Besidesmetallic systems, two dimensional electron gases inducedin GaAs/AlGaAs heterostructures have displayed a richvariety of quantum effects such as Aharonov-Bohm re-sistance oscillations in a ring geometry3,4, and persistentcurrents5,6. More recently, coherent Aharonov-Bohm os-cillations have been measured in ballistic arrays with thedice lattice geometry7, in agreement with the predictionsof simple models for non-interacting electrons8. The ex-perimental visibility of conductance oscillations with thefull flux quantum Φ0 = h/e periodicity in large struc-tures with a few thousand loops has been attributed tothe presence of Aharonov-Bohm cages which localize themotion of electrons when the external flux per elementaryloop is half-integer in units of Φ0.

After these first investigations, a natural issue is to un-derstand interaction effects on this geometrical localiza-tion phenomenon. For two electrons, it was shown thatinteraction induces some correlated hopping processes,at the origin of some delocalized states in which the twoelectrons always remain close from each other9,10. Re-markably, this trend appears for any sign of interaction.Of course, for a repulsive interaction, these extendedstates lie above the ground-state sector, obtained whenthe two electrons are individually localized in distinct re-mote cages. But this raises the question of what happensat finite density, where it is no longer possible to put allconduction electrons in separate cages. Two electronsinitially in the same cage will be able to move together,so this may generate some kind of metallic state.

An interacting system with a finite particle density wasfirst studied in its bosonic version in a one-dimensionalgeometry showing Aharonov-Bohm cages, namely a chainof rhombi11. This model has been adapted into a real-istic description of a Josephson junction array with the

same geometry recently12. There, it was found that nosingle boson condensate can exist, but instead a 2-bosoncondensate is stabilized at low energy. This peculiar phe-nomenon is connected to the single particle localizationin Aharonov-Bohm cages, but in the presence of interac-tion, it requires a stronger property, identified as a localsymmetry based on the Z2 group. This symmetry im-plies that the parity of the total particle number withinany Aharonov-Bohm cage is conserved. If this symmetryremains unbroken, it prevents the formation of any singleboson condensate. A two-dimensional version exhibitingthis local Z2 symmetry was also analyzed13, in the con-text of topologically protected quantum memories. Thecrucial role of a local symmetry is well illustrated by theexample of the dice lattice, which sustains Aharonov-Bohm cages, but no local symmetry in the presence ofinteractions. There, it was found that the external mag-netic field corresponding to Φ0/2 per loop imposes a vor-tex lattice which allows for some zero-energy line defects,but the single particle condensate exhibits a finite phasestiffness14–16.

The fermionic case at finite density is the subject ofthe present article. Motivated by ongoing experiments17

on networks designed on a 2D electron system at aGaAs/GaAlAs interface, we shall study quantum wirenetworks, which geometry is compatible with a local Z2

symmetry in the presence of a magnetic field of half fluxquantum per elementary loop. Such networks will becalled Z2 networks, and two examples are shown on Fig. 1below. In section II, we define precisely this class of net-works, construct the unitary operators associated to thelocal Z2 symmetry group, and consider their irreduciblerepresentations in the Hilbert space of a single particle.We show that all the common eigenstates of all the lo-cal generators of this large Abelian group are stronglylocalized within Aharonov-Bohm cages involving only afinite number of elementary loops. Section III first dis-cusses the matrix elements of a two-body interaction in

2

FIG. 1: This picture presents two examples of Z2 networks:a chain of loops (upper part), and a square lattice of loops(lower part). All these networks are obtained from any planarlattice after replacing each link by a loop. To get a localZ2 symmetry, each loop is required to be perfectly invariantunder the reflection through the long axis defined by its twoadjacent nodes.

this localized basis adapted to the Z2 symmetry. Thisshows that a large class of pair interaction potentials (in-cluding the point-like Hubbard interaction) is compat-ible with this symmetry. We then show that, at leastin a mean-field approach, the particle pair hopping pro-cesses generated by a repulsive interaction do not lead tosuperconductivity. Starting from simple order of magni-tude estimates adapted to semi-conductor quantum wirenetworks, we argue that a more refined renormalizationgroup approach (RG) is required, given the strength ofthe Coulomb interaction for typical electronic densities.Finally, section IV proposes a simplified Z2 symmetricmodel of coupled Aharonov-Bohm cages which is ana-lyzed with the RG method using the one-loop approxi-mation. This confirms the irrelevance of the electron pairhopping processes in the low-energy limit, and establishesa tendency for the system to reach a strong coupling fixedpoint of a spin density wave character. So the combina-tion of local Z2 symmetry and electron-electron repulsiondestroys the Luttinger liquid in the quantum wires whichconstitute the network, leaving room only for a stronglycorrelated liquid with mostly gapped excitations. Finally,a brief appendix shows how this picture fits with a simplemean-field description.

II. LOCAL Z2 SYMMETRY FOR A CLASS OF

QUANTUM NETWORKS

A. Basic construction

In this paper, we shall consider networks of quantumwires (called Z2 networks), for which the elementary links

connecting two nearest-neighbor nodes are doubled. Inother words, such networks may be obtained from anyplanar graph, after replacing links by loops. Examplesof this construction are shown on Fig. 1. The key as-sumption we shall make is that all these loops exhibit aperfect reflection symmetry around the axis joining thetwo nodes connected by the loop. This requirement im-poses some rather severe constraints on the fabricationof such structures, in terms of the network geometry,and of the control of various types of disorder. However,as discussed in the Introduction, experimental observa-tion of the Aharonov-Bohm cage effect in GaAs quantumwire networks7 suggests that present technology is ableto meet these constraints. On a more theoretical side,numerical investigations on disordered tight-binding ver-sions of such networks have shown that the effects weshall discuss survive after a small but sizeable disorderis introduced10. At a purely geometric level, these struc-tures exhibit, besides their usual crystalline symmetrygroups, a large symmetry generated by local flips of ele-mentary loops around their central axis. We are mostlyaddressing here the quantum-mechanical effects of such asymmetry in the presence of a constant and uniform ex-ternal magnetic field, corresponding to half-flux quantumper loop.

As usual, quantum mechanics is affected by the factthat the vector potential used to describe the magneticfield is not invariant under these local operations. Inthe case of the translational symmetry, this leads to thenon-commutation of magnetic translations and to Lan-dau level quantization. In the present case, the strikingconsequence is the appearance of a dramatic localizationphenomenon, where all single particle energy eigenstatesare confined inside a finite set of loops8.

To illustrate the idea, it is useful to consider first asingle loop, with strictly one-dimensional motion along acoordinate x. If l denotes the perimeter of this loop, wehave to impose the periodicity condition: ψ(l) = ψ(0).The stationary Schrodinger equation reads:

Eψ(x) =1

2m(p+ eA)2ψ(x) =

1

2m(−i~ d

dx+ eA)2ψ(x)

where A(x) is the projection of the vector potentialalong the wire at point x. Using the gauge transforma-tion: ψ(x) = exp(−i e

~

∫ x

0A(x′)dx′)χ(x), χ(x) obeys the

Schrodinger equation for a free particle, subjected to theboundary condition: χ(l) = exp(i2πΦ/Φ0)χ(0), where

Φ = e~

∫ l

0A(x′)dx′ is the magnetic flux through the loop

and Φ0 = h/e is the flux quantum. The single particle

energy spectrum is then: En = 2π2~2

ml2 (n+ Φ/Φ0)2, where

n is any integer. For generic values of Φ/Φ0, all energyeigenvalues are non-degenerate, but all levels are doublydegenerate when 2Φ/Φ0 is an integer (with the exceptionof the ground-state for integer Φ/Φ0). For integer Φ/Φ0,the flux through the loop may be eliminated by a gaugetransformation, and the degeneracy is clearly attributedto the reflection symmetry, which changes the wave-number of an eigenstate into its opposite. In the case

3

of half-integer Φ/Φ0, this geometrical symmetry has tobe combined with a gauge transformation so that ψ(x) ischanged into (Tψ)(x) ≡ ψ′(x) = exp(if(x))ψ(−x), with

f(x) = e~

(

∫ −x

0A(x′)dx′ −

∫ x

0A(x′)dx′

)

. This transfor-

mation sends an eigenstate with a persistent current intoan eigenstate with the reversed current. We also noticethat ψ′(0) = ψ(0) whereas ψ′(l/2) = −ψ(l/2). This hassome important consequences if we wish to generalizethese reflection operations to the elementary loops con-necting nodes in Z2 networks.

Let us first consider a one dimensional chain of loops,as shown on the upper part of Fig. 1. Any link of thischain can be represented by a simple line with plus andminus signs on its extremities, see Fig. 2, reminding usthe sign of the transformed wavefunction. Suppose nowwe try to construct a symmetry associated to the reflec-tion for just one loop. The simplest way is to combineas before reflection and gauge transformation, but we en-counter a major problem: this transformation will be nolonger local, because we are obliged to change globallythe sign of the part of the wave-function lying on oneside of the transformed loop. For an open chain, thisnon local aspect of the transformation attached to a sin-gle loop is not too disturbing, since it modifies physicalobservables such as electronic current only locally. Butin the case of periodic boundary conditions, it has theconsequence that such a transformation simply becomesimpossible. In fact, one can easily avoid this difficulty byconsidering two transformations on adjacent loops, seeFig. 2. The generalization for any Z2 lattice is clear, weneed to join together negative extremities of all the loopsarriving at a given node. Because of these phase-factorsarising from gauge transformations, the local symmetrygenerators are therefore associated to lattice sites and notto the links as one would infer from purely geometricalconsiderations. Note that in lattice gauge theories, localgenerators of gauge transformations are also attached tolattice sites, which establishes a close connection betweenZ2 networks and lattice gauge theories based on the Z2

group. This viewpoint has been emphasized in the con-text of Josephson junction arrays18,19.

In case of an integer number of flux quanta per loop(Φ = nΦ0) , we have now ψ′(0) = ψ(0) and ψ′(l/2) =ψ(l/2), so that each link carries plus signs on both ends.In this case, it is possible to construct local Z2 symmetrygenerators associated to lattice links instead of nodes.But then, because the single particle Hamiltonian hasmostly a dispersive spectrum, simultaneous eigenstates ofthe Hamiltonian and these local generators are extended,instead of being localized as in the half-flux case.

B. Constraints on scattering matrices at the nodes

Let us now describe more precisely the local transfor-mation attached to a given site i on a Z2 network. Thissite belongs to n elementary loops, so it is the intersec-

+Τψ=+ψ Τψ=−ψ

++

+

++

+

2D1D

FIG. 2: This picture shows different realizations of a localZ2 symmetry, successively for a single loop (upper part), andthen around sites present in a 1D geometry (chain of loops,lower left) or a 2D geometry (square lattice of nodes con-nected by loops, lower right). Signs plus or minus keep trackof the relative sign between initial and transformed wavefunc-tions ψ and Tψ ≡ ψ′.

tion of 2n links. Since these links are naturally paired,we shall label them by a compound index (ijα), wherej refers to any of the n nearest neighbors of site i, andα ∈ 1, 2. On each of these 2n links, we choose theorigin of an x coordinate at site i, and the projection ofthe local vector potential along this link is denoted byAijα(x). As already discussed, it is convenient to writethe single-particle wave-function as:

ψijα(x) = exp

(

−i e~

∫ x

0

Aijα(x′)dx′)

χijα(x)

along the link (ijα), where an eigenstate with energy

E = ~2k2

2m has the form:

χijα(x) = Cijαe−ikx +Dijαe

ikx

Here, Cijα (resp. Dijα) is the amplitude of an incom-ing (resp. outgoing) wave with respect to site i. Sinceχijα(x) is locally the wave-function of a free particle withno magnetic field, we may define in a gauge-invariant waya scattering matrix at site i by:

Dijα =∑(i)

j′α′

S(i)jα,j′α′Cij′α′ (1)

which expresses outgoing amplitudes as a function of in-coming ones. Using the notation 1 = 2 and 2 = 1, thelocal Z2 generators commutes at any site with the singleparticle Hamiltonian if and only if:

S(i)jα,j′α′ = S

(i)jα,j′α′ = S

(i)jα,j′α′ (j 6= j′) (2)

S(i)jα,jα′ = S

(i)jα,jα′ (3)

where i denotes any site, and j, j ′ are arbitrary nearestneighbors of i. In other words, there should be a perfectsymmetry between paired links ijα and ijα. The proofof this rather intuitive statement will be given in thenext paragraph. Note that in real systems, nodes alwayshave a finite area, and this constraint may be difficult to

4

implement. For instance, as shown on Fig. 3, in a chainof loops, it seems very likely that the simplest design fora node does not satisfy this symmetry. A suggestion forimproving this local geometry is sketched on the bottomof Fig. 3. Generalizations to multichannel quantum wiresare possible, if the underlying inversion symmetry is alsoperformed on the transverse channels. But we have torestrict ourselves to a regime of weak magnetic fields sothat we may neglect the field effects on orbital motionwithin a wire.

A

A

B

B

C

C

(a)

(b)FIG. 3: This picture illustrates the requirements on the scat-tering matrix at a node present in a chain of loops (upperpart), in order to impose a local Z2 symmetry. The mostdirect design (a), is likely to be incompatible with these con-straints, since intuitively, the amplitude for an electron to gofrom A to B is different from the amplitude to go from Ato C. In a slightly modified design (b), these amplitudes aremore likely to be equal, and this is more appropriate for anexperimental implementation of the local Z2 symmetry.

Let us now check that conditions (2),(3) are all weneed. The transformation attached to site i now reads:

ψ′ijα(x) = (4)

− exp

(

iσαe

~

∫ x

0

(Aij2(x′) −Aij1(x

′))dx′)

ψijα(x)

where σ1 = 1 and σ2 = −1. Using the locally gauge-invariant description in terms of χijα(x), this trans-

lates into: χ′ijα(x) = −χijα(x), which is equivalent to

C ′ijα = −Cijα, and D′

ijα = −Dijα. This operation leavesthe S matrix at site i invariant if and only if:

S(i)jα,j′α′ = S

(i)jα,j′α′ (5)

Note that this is valid for any j and j ′ which are nearestneighbors of i. When j = j ′, we recover condition (3),and when j 6= j′, it is implied by condition (2). Butwe should also check that the transformation attached tosite i also preserves the S matrix at all nearest-neighborsites j of i. Along the link ijα, we have to perform achange of origin, permuting i and j, and replacing x byy = lij−x, where lij is the common length of the two links(ij1) and (ij2). Using the fact that the flux through theloop enclosed by these two links is half a flux quantummodulo Φ0, Eq. (4) becomes:

ψ′jiα(y) = (6)

exp

(

iσαe

~

∫ y

0

(Aji2(y′) −Aji1(y

′))dy′)

ψjiα(y)

which implies χ′jiα(x) = χjiα(x), or: C ′

jiα = Cjiα, and

D′jiα = Djiα. This yields S

(j)iα,iα′ = S

(j)iα,iα′ , that is Eq. (3)

after a permutation of i and j. Now, for any site j ′,nearest neighbor of j and distinct from i, the trans-formation based at site i does not affect the pair oflinks (jj′α), so C ′

jj′α = Cjj′α, and D′jj′α = Djj′α, which

implies S(j)iα,j′α′ = S

(j)iα,j′α′ and S

(j)j′α′,iα = S

(j)j′α′,iα, that is

Eq. (2) after a permutation of i and j.

C. Irreducible representations of local Z2 symmetry

Let us denote by Ui the unitary transformation at-tached at site i, defined by Eq. (4). Clearly, U 2

i = 1, sothe eigenvalues of Ui are ±1. Furthermore, it is simpleto check that Ui and Uj commute. The only non-trivialcase arises when i and j are nearest neighbors. In fact,comparing Eqs. (4) and (6) we see that the actions ofUi and Uj on the loop between i and j differ only bya sign. The mutual commutation of these operators en-sures that they can be simultaneously diagonalized, sothat Ui|Ψ〉 = εi|Ψ〉, with εi = ±1. For single particlestates, the possible collections of eigenvalues εi are verylimited. To identify them, we need to introduce the no-tion of an Aharonov-Bohm cage. For any lattice site i,the cage attached to i is composed of all the elementaryloops which contain i. We have now the following prop-erties:Property (a): If i and j are nearest-neighbor sites, andif Ui|Ψ〉 = Uj |Ψ〉, then the wave-function associated to|Ψ〉 vanishes on the loop joining i and j.This is an immediate consequence of the fact that alongthis loop, Ui|Ψ〉 and Uj |Ψ〉 are described by oppositewave-functions, as already noted (compare Eqs. (4) and(6)).

5

Property (b): If Ui|Ψ〉 = −|Ψ〉, the wave-function ψ at-tached to |Ψ〉 vanishes everywhere outside the Aharonov-Bohm cage attached to i.This follows directly from the fact that the transforma-tion Ui does not modify the wave-function outside theAharonov-Bohm cage attached to i.Main Property: The only possible collections of si-multaneous eigenvalues εi are such that exactly oneof them is equal to −1, all the others being equal to1. If i is the only site with εi = −1, the corre-sponding wave-function vanishes everywhere outside theAharonov-Bohm cage attached to i.Because of property (a), if all εi’s are equal to 1, |Ψ〉 van-ishes. So at least one eigenvalue is negative. Suppose wehave two of them: εi = εj = −1 with i 6= j. Because ofproperty (b), the wave-function ψ vanishes everywhereoutside the intersection of the cages centered at i and j.If this intersection is empty, then |Ψ〉 = 0. If not, theni and j are nearest neighbors. But then, property (a)implies that ψ vanishes also on the loop joining i andj, so |Ψ〉 = 0. The only possibility is therefore to haveεi = −1 and εj = 1 for any j 6= i. From property (b),the wave-function is confined inside the Aharonov-Bohmcage centered around site i.

When the S matrix of each node satisfies conditions (2)and (3) for any wave-vector k, we may diagonalizethe single-particle Hamiltonian in a localized basis ofAharonov-Bohm cage wave-functions. Since each of thesecages has only a finite total wire length, the energy spec-trum is always discrete. These cages behave as artificialatoms, at least as long as electrons are not interacting.The interesting feature of such a system is that two cagesmay overlap, which allows for non-trivial interaction ef-fects.

All these results (for Φ = Φ0/2) have a simple physicalinterpretation in the light of the Aharonov-Bohm effect.Suppose we have an electron situated at a node i. If j isa nearest-neighbor of i, there are two possible equivalentways for this electron to reach a nearby loop (j, k), usingeither side of loop (i, j). But the associated probabilityamplitudes have opposite signs (as exp(i2πΦ/Φ0) = −1)and will compensate each other. This is why we obtainlocalized solutions which form a complete basis of theHilbert space for non-interacting electrons.

In case of integer number of flux quanta per loop, thefunctions within a given irreducible representation arenot necessarily local, so the previous conclusions do notapply. It happens that some localized solutions still exist,but they form only “half” of a complete basis of states.This analysis could be made using the Kottos and Smi-lansky formalism20, but to save space and since we aremostly interested in half-flux quantum per loop, we willnot give further detail on the integer flux case in thispaper.

III. INTERACTION EFFECTS ON

AHARONOV-BOHM CAGES

A. Hamiltonian for interacting electrons in an

Aharonov-Bohm cage basis

In the case of interacting electrons, this simple phys-ical picture has to be deeply modified, because the twosides of a given loop are no longer equivalent if an elec-tron “sees” on one of them another electron and interactswith it. So the probability for one electron to hop froman Aharonov-Bohm cage to a nearby one no longer van-ishes. However, this is an interaction-induced effectivehopping, and it is by no means obvious that it couldlead to a coherent metallic system in the usual sense. Bycontrast to lattices such as the dice lattice which alsoexhibit the Aharonov-Bohm cage phenomenon, we willnow show that on Z2 lattices, and for a large class ofelectron-electron interactions, the local Z2 symmetry isstill present. This puts some rather severe constraintson the amount of delocalization that interactions mayinduce for a finite density of electrons. Because of thelocal Z2 symmetry, only pairs of electrons are able tohop from one cage to an adjacent one. So on intuitivegrounds, a true conducting state is expected only for at-tractive interactions, where it is also a superconductor.For repulsive interactions, we shall see that the systemremains an incoherent metal.

For the sake of simplicity, we shall consider here a localHubbard repulsive interaction between electrons. Gener-alization to a large class of interaction potentials is givenin Section III B below. This interaction may be writtenas:

Hint = U∑

ijα

∫ lij

0

dx ψ†ijα↑(x)ψ

†ijα↓(x)ψijα↓(x)ψijα↑(x)

(7)

Here ψ†ijα↑(x) is the second quantization electron creation

operator at point x on the wire α = 1, 2 joining nodesi and j, with spin projection ↑ along the quantizationaxis. Let us now introduce operators of creation andannihilation of an electron in a given Aharonov-Bohm

cage state: c†iτ (x) and ciτ (x) respectively, τ referring tothe spin projection. They satisfy the following relations:

Uic†iτ (x)Ui = −c†iτ (x) (8)

Ujc†iτ (x)Uj = c†iτ (x) i 6= j (9)

which show that these operators c†iτ (x) and ciτ (x) carrya non-trivial local Z2 charge. The precise correspondence

between the initial operators ψ†ijα↑(x) and the cage op-

erators c†iτ (x) is as follows:

ψ†ijατ (x) =

1√2

(

e−iθijα(x)c†iτ (x) + e−iθjiα(x)c†jτ (x))

(10)where θijα(x) = e

~

∫ x

i Aijα.dr is a line integral orientedfrom node i to node j. The local Hubbard interaction in

6

cage basis takes the following form:

ψ†ijα↑(x)ψ

†ijα↓(x)ψijα↓(x)ψijα↑(x) = (11)

c†i↑(x)c†i↓(x)ci↓(x)ci↑(x) + c†j↑(x)c

†j↓(x)cj↓(x)cj↑(x) + [a]

c†i↑(x)c†j↓(x)cj↓(x)ci↑(x) + c†j↑(x)c

†i↓(x)ci↓(x)cj↑(x) + [b]

c†i↑(x)c†j↓(x)ci↓(x)cj↑(x) + c†j↑(x)c

†i↓(x)cj↓(x)ci↑(x) + [c]

c†i↑(x)c†i↓(x)cj↓(x)cj↑(x) + c†j↑(x)c

†j↓(x)ci↓(x)ci↑(x) [d]

Lines on the right-hand side represent respectively: anintra-cage Hubbard interaction [a], an inter-cage Hub-bard interaction [b], a neighbor cage exchange process[c], a pair propagation process [d].In the case of a one-dimensional chain of loops, these var-ious processes may be visualized directly on the graphshown on Fig. 4.

(n,m)

m

n

(n ,m )

FIG. 4: In the case of Hubbard like interacting electrons,the only possible cage transitions preserving local Z2 symme-try can be plotted on the following graph (thin lines), where(n,m) and (n′,m′) indicate initial and final cage positions,

corresponding to a term c†

n′ c†

m′cmcn. Dashed lines refer topossible non zero amplitude transitions, compatible with thelocal nature of two-electron interaction, but which are forbid-den since they violate electron number parity conservationresulting from the local Z2 symmetry.

The main feature appearing in this new basis is thatthe parity of the total electron number in each Aharonov-Bohm cage is separately conserved. Because an electron

in state c†iτ (x)|0〉 carries a non-trivial Z2 charge, but a

pair c†i↑(x)c†i↓(x)|0〉 belongs to the identity representa-

tion of the local Z2 group, the previous statement simplyshows that the local Hubbard interaction commutes withthe local Z2 symmetry. In Section III B, we show that anypair potential interaction of the form V (r, r′) is compat-ible with the local Z2 symmetry provided V (r, r′) doesnot change when r or r′ is replaced by its mirror imagewith respect to the axis joining its two nearest nodes. Ina previous work, a similar statement was reached for arather special case, namely a chain of rhombi in a tight-

binding description11. The present formulation is muchmore general.

What are the consequences of this local symmetry onan interacting system? As in9,10, let us first considera pair of electrons, with the local Hubbard interaction.We have three possible situations. First, the two elec-trons may be located in two cages i and j which do notshare common links, that is i and j are not nearest neigh-bors. Then they do not “see” each other and remainlocalized in their respective cages. A second possibilityoccurs when i and j are distinct but nearest neighbors.As term [c] in Eq. (11) above shows, the two electronscan exchange their cages, but such state remains local-ized under time evolution. Finally, when i = j, term [d]in Eq. (11) indicates that a delocalized two electron stateis now possible in spite of the purely localized nature ofthe single particle spectrum and the repulsive characterof the interaction.

Of course, the most interesting question is to considera system with a finite electronic density. As we have seen,because of the local Z2 symmetry, only pairs of electronscan propagate in a Z2 network. In particular, the single

electron propagator −i〈ciτ (x, t)c†jτ (x′, t′)〉 vanishes wheni 6= j, since it is not Z2 invariant, and it is very difficultto break spontaneously a local symmetry21. This showsthat the low-energy behavior of an electron fluid on a Z2

network is not described by the Landau model of a Fermiliquid. As we shall see in section IV below, it correspondsmost likely to a new form of incoherent metal. But at thisstage, the most natural thing to check is whether a super-conducting instability (induced by term [d] in Eq. (11))occurs or not.

B. Mean-field analysis of superconducting

instability

To begin this discussion, let us first consider a largerclass of electron-electron interaction. The most generaltwo-body potential interaction respecting the global spinrotation symmetry reads:

V =∑

ij,i′j′

∑

αα′

∑

ττ ′

∫ lij

0

dx

∫ l′ij

0

dx′ V αα′

ij,i′j′ (x, x′)

ψ†ijα↑(x)ψ

†i′j′α′↓(x

′)ψi′j′α′↓(x′)ψijα↑(x) (12)

In this sum, (ij) and (i′j′) are two pairs of nearest-neighbor nodes. As before, α (resp. α′) labels one ofthe two links composing the loop (ij) (resp. (i′j′)). Letus use the cage basis, defined in Eq. (10) to rewrite thisinteraction. For this purpose, the first step is to expressthe local electronic density as:

ψ†ijατ (x)ψijατ (x) =

1

2(c†iτ (x)ciτ (x) + c†jτ (x)cjτ (x))

+1

2(e−iθijαc†iτ (x)cjτ (x) + e−iθjiαc†jτ (x)ciτ (x))

7

Because the flux through each elementary loop is half aflux quantum, e−iθijα = −e−iθijα . The interaction (12)preserves the local Z2 symmetry if and only if the follow-ing conditions are satisfied:

V αα′

ij,i′j′(x, x′) = V αα′

ij,i′j′ (x, x′) = V αα′

ij,i′j′(x, x′) (13)

provided the pairs (ij) and (i′j′) are distinct, and:

V αα′

ij,ij (x, x′) = V αα′

ij,ij (x, x′) (14)

The first condition implies that

∑

α

e−iθijαV αα′

ij,i′j′ (x, x′) = 0

when (ij) and (i′j′) are distinct, and the second conditionthat

∑

α,α′

e−iθijαV αα′

ij,ij (x, x′) = 0

Therefore, all the terms which do not preserve the parityof the total electron number in each cage are eliminated.When both conditions (13), (14) on the interaction po-tential are satisfied, the interaction term (12) now be-comes:

V =∑

ij,i′j′

∑

αα′

∑

ττ ′

∫ lij

0

dx

∫ l′ij

0

dx′ V αα′

ij,i′j′(x, x′)

×

:[

c†iτ (x)ciτ (x) + c†jτ (x)cjτ (x)] [

c†i′τ ′(x′)ci′τ ′(x

′) + c†j′τ ′(x′)cj′τ ′(x

′)]

: (15)

+ δij,i′j′ :[

e−iθijαc†iτ (x)cjτ (x) + e−iθjiαc†jτ (x)ciτ (x)] [

e−iθijα′ c†iτ (x′)cjτ (x) + e−iθjiα′ c†jτ (x)ciτ (x)]

:

We have used the standard notation : O : for the normalordering of the operator O.

Let us now consider the possibility of a superconduct-ing instability. In a variational approach, we would usea Hartree-Fock-Bogoliubov trial state. In the presence ofpairing, the average kinetic energy increases, so it wouldhave to be compensated by a lowering in the averageinteraction energy. As usual, this quantity involves aver-ages of the form 〈c†c 〉〈c†c 〉 and of the form 〈c†c†〉〈c c 〉.In the spirit of a mean field theory, we shall keep onlythe latter terms. Once again we also argue that the localZ2 symmetry is not broken, even in the hypothetical su-perconducting state. Physically, this is reasonable sincethe size of the Aharononv-Bohm cages being finite, thereis a finite gap between the Z2 sector with εi = 1 and thesector with εi = −1. As discussed below, this gap can beas large as a few Kelvin degrees for a GaAs Z2 network.With an unbroken Z2 symmetry, the superconducting or-

der parameter 〈c†iτ (x)c†jτ (x′)〉 vanishes if i 6= j.

Let us first consider a singlet pairing. This leads to:

〈c†i↑(x)c†i↑(x

′)〉 = 〈c†i↓(x)c†i↓(x

′)〉 = 0

〈c†i↑(x)c†i↓(x

′)〉 = −〈c†i↓(x)c†i↑(x

′)〉 = ∆i(x, x′)

In this case, the local contribution of Cooper pairing tothe trial potential energy is:

V αα′

ij,i′j′ (x, x′)|e− i2θijα∆i(x, x

′) + e−i2

θjiα∆j(x, x′)|2 (16)

In the case of triplet pairing, we have a complex vector∆j(x, x

′) defined by:

∆xj (x, x′) =

1√2〈−c†j↑(x)c

†j↑(x

′) + c†j↓(x)c†j↓(x

′)〉

∆yj (x, x′) =

i√2〈c†j↑(x)c

†j↑(x

′) + c†j↓(x)c†j↓(x

′)〉

∆zj (x, x

′) =1√2〈c†j↑(x)c

†j↓(x

′) + c†j↓(x)c†j↑(x

′)〉

For triplet pairing, the orbital angular momentum of aCooper pair is odd, so ∆j(x, x

′) = −∆j(x′, x). It is sim-

ple to check that the above expression (16) still applies upto replacing the complex scalar ∆j(x, x

′) by the complexvector ∆j(x, x

′).

To conclude, we show that the part of the trial en-ergy which is directly sensitive to a Z2 invariant Cooperpairing amplitude is positive for a positive interactionpotential compatible with the local Z2 symmetry. So,at least in a mean-field picture, a superconducting in-stability cannot occur. This statement was not a prioriobvious, given the existence of delocalized states for thetwo-particle problem, where both particles are located inthe same cage at any time, even with a repulsive inter-action.

8

C. Discussion for networks in semiconductor

heterostructures

For applications to real systems, it is important topresent some order of magnitude estimates. For wiresetched on a 2D electron gas at a GaAs/GaAlAs inter-face, with a typical carrier density of 3 1011 cm−2 and atransverse width w = 100 nm, the number of transverseconduction channels N = kFw/π is around 4. For a regu-lar network of single channel wires, we have investigatedinteraction effects on the low-energy scattering matrix atthe nodes22. The renormalization of the transmission co-efficient T (Λ) as a function of a typical energy scale Λ isgiven by:

T (Λ) =T0(Λ/Λ0)

2α

R0 + T0(Λ/Λ0)2α, (R0 + T0 = 1) (17)

where α = U(k → 0)/(hvF) is proportional to the Fouriertransform of the interaction potential in the long wave-length limit. This result corresponds to nodes havinga complete symmetry under any permutation of the in-cident wires. Note that it has the same form as for asingle elastic scatterer in a Luttinger liquid23,24, or asingle crossing connecting several semi-infinite Luttingerliquids25. For a single wire of width w and length L,

U(k → 0) ' e2

4πε0εrln(2L/w). Choosing typical values as

m∗ = 0.067 me and εr = 12.9 for GaAs, L = 2 µm andw = 100 nm, we obtain α = 0.4 which is a rather largevalue. This shows that the Coulomb energy is nearly aslarge as the kinetic energy of conduction electrons.

As usual for 1D electron systems with repulsive in-teractions, the leading instability occurs because of thedivergence of the static charge and spin susceptibilitiesat the wave-vector q = 2kF and favors the formation of aspin-density wave. A derivation of this mean-field tran-sition on a Z2 network is sketched in Appendix A. Butwith α = 0.4, the critical temperature for the onset of thismean-field instability is not much smaller than the Fermienergy (see for instance Eq. (A1)), which shows that thesystem is still in a one-dimensional regime. Indeed, thecross-over from one to two dimensions takes place whenthe 1D thermal length LT = hvF/kBT becomes compara-ble to the distance L between nearest-neighbor nodes. Inother words, the corresponding energy scale kBT shouldbe as low as the energy level splittings inside Aharonov-Bohm cages, that is of the order of hvF/L. Since λF = 50nm (L/λF = 40), the cross-over to 2D behavior appearsat an energy scale one order of magnitude smaller thanthe mean-field Peierls instability scale. In practice how-ever, because of the small effective mass in GaAs, the lowenergy scale hvF/L can be of the order of a few Kelvindegrees. This scale sets also the order of magnitude ofthe Z2 gap already mentioned.

It is well-known that in a purely 1D system, fluctua-tions in the Peierls and in the Cooper channels have atendency to neutralize each other, and the result is ingeneral some kind of Luttinger liquid26. As mean-field

analysis fails to predict such a behavior, we should there-fore revisit the result of the previous section using anapproach which is able to treat both Peierls and Cooperchannels on an equal footing. This is exactly what therenormalization group (RG) is able to provide, at least inthe weak interaction limit. To be completely honest, it isnot at all clear that a perturbative RG can give reliablequantitative estimates when α is as large as 0.4. But forthe sake of establishing the presence or the absence of aninstability, we expect it to produce a valid qualitative pic-ture, specially in the case, as we shall see below, where itpredicts an instability to a gapped state already for smallcoupling. It might happen, as in some Hubbard modelswith extended internal symmetries28, that some featuresof the gapped phase are modified when the coupling be-comes large compared to the electronic bandwidth. Butin this example, the gap never closes when the systemevolves from weak to strong coupling.

IV. RENORMALIZATION GROUP ANALYSIS

A. Low-energy model

A complete RG analysis for our original system wouldbe very complicated, because of the absence of transla-tion invariance inside Aharonov-Bohm cages. In partic-ular, network nodes induce Friedel density oscillationsin the electron fluid, which renormalize the associatedsingle electron scattering matrices in the presence of in-teractions. This mechanism is precisely at the origin ofthe scaling shown in Eq. (17)22,24,25. Physically, this in-teraction effect shows that wires have a tendency to be-come disconnected at low energies, which stops below thecross-over into the 2D regime. As shown previously22, anelectronic wire network becomes an insulator for com-mensurate filling factors, or simply highly resistive, witha weakly dispersive band crossing the Fermi level forgeneric filling factors. However, for a system with localZ2 symmetry, this renormalization mostly modifies theinternal dynamics inside a given Aharonov-Bohm cage,and not the general structure of the electron-electron in-teraction as it appears in Eq. 11. At this point, we shallnow assume that details of this internal dynamics insideAharonov-Bohm cages do not play much role in the anal-ysis of interaction effects at low energy, provided the lo-cal Z2 symmetry manifested in Eq. (11) is still respected.The validity of this assumption will be examined in moredetail at the end of this section, once the results of theRG treatment are available.

This leads us to consider the following model, whereeach Aharonov-Bohm cage is replaced by an infinite 1D

Luttinger liquid, described by the electronic fields c†iτ (x),

ciτ (x), i being a cage label and τ the spin projection.The internal energy levels of this collection of modifiedAharonov-Bohm cages is naturally described by the fol-lowing kinetic Hamiltonian:

9

H0 =

∫ ∞

−∞

dx∑

j

∑

τ

:

[

c†R,j,τ (x)1

i

d

dxcR,j,τ (x) − c†L,j,τ (x)

1

i

d

dxcL,j,τ (x)

]

: (18)

where hvF has been set equal to unity. As usual, rightand left moving fields have been introduced, labelled by R

and L respectively, so that c†iτ (x) = c†R,i,τ (x) + c†L,i,τ (x).Note that replacing finite Aharonov-Bohm cages by in-finite ones is only valid in the 1D regime, when we canneglect the discrete nature of the single particle spec-trum. The physical motivation for doing this is that asdiscussed in the previous section, the typical interactionscale is larger than the Z2 gap in present experiments. Onthe other hand, the perturbative RG used here requires

small interactions in comparison to the single electronbandwidth. Because of the large value of L/λF, thesetwo requirements are mutually compatible.

Two nearby cages i and j are coupled by a two-bodyinteraction subjected to the following constraints: it hasto preserve the local Z2 symmetry or equivalently, to con-serve the parity of the total number of electrons in eachcage, and to simplify the treatment, to preserve also thetranslational symmetry within cages. Both requirementsare satisfied by the following Hubbard-like interaction:

Hint = U

∫ ∞

−∞

dx∑

i,j

:[

c†i↑(x)c†i↓(x)ci↓(x)ci↑(x) + c†j↑(x)c

†j↓(x)cj↓(x)cj↑(x) + c†i↑(x)c

†j↓(x)cj↓(x)ci↑(x) + c†j↑(x)c

†i↓(x)ci↓(x)cj↑(x)

+ c†i↑(x)c†j↓(x)ci↓(x)cj↑(x) + c†j↑(x)c

†i↓(x)cj↓(x)ci↑(x) + c†i↑(x)c

†i↓(x)cj↓(x)cj↑(x) + c†j↑(x)c

†j↓(x)ci↓(x)ci↑(x)

]

:

Using the decomposition c†iτ (x) = c†R,i,τ (x) + c†L,i,τ (x)generates many terms, among which we shall neglect twosubsets. The first subset contains all the purely forwardscattering processes on a given side of the Fermi-surface,

i.e. of the form c†Rc†RcRcR or c†Lc

†LcLcL. In perturbation

theory, they do not give singular terms in the low-energylimit, so we shall ignore them. The second subset con-

tains all Umklapp terms, of the form c†Rc†RcLcR (resp.

c†Rc†RcLcL) which are relevant only for a filled (resp. half-

filled) single electron band. The most interesting terms

are of the type c†Rc†LcLcR which induce logarithmic di-

vergences to the dressed two-particle interaction in the

low energy limit. These terms are adequately treated bythe renormalization group. Introducing now generalizedcharge and spin densities defined as:

ρR(L),n,n′(x) =∑

τ,τ ′

c†R(L),n,τ (x)δτ,τ ′cR(L),n′,τ ′(x), (19)

SR(L),n,n′(x) =∑

τ,τ ′

c†R(L),n,τ (x)στ,τ ′cR(L),n′,τ ′(x), (20)

where σ = (σx, σy, σz) are the usual Pauli matrices, wemay finally write the interaction term in the form:

Hint = U

∫ ∞

−∞

dx∑

n

:[

2ρR,n,n(x)ρL,n,n(x) − 2SR,n,nSL,n,n (21)

+ρR,n,n(x)ρL,n+1,n+1(x) − SR,n,nSL,n+1,n+1 + ρR,n+1,n+1(x)ρL,n,n(x) − SR,n+1,n+1SL,n,n

+ρR,n+1,n(x)ρL,n,n+1(x) − SR,n+1,nSL,n,n+1 + ρR,n,n+1(x)ρL,n+1,n(x) − SR,n,n+1SL,n+1,n

+ρR,n+1,n(x)ρL,n+1,n(x) − SR,n+1,nSL,n+1,n + ρR,n,n+1(x)ρL,n,n+1(x) − SR,n,n+1SL,n,n+1

]

: .

Here, we have chosen a particular 1D geometry, namelya chain of loops. Although the RG approach could be ap-

plied to any regular lattice of Luttinger liquid-like cages,we shall from now on focus on this example. The re-

10

sults we shall present shortly suggest that the large scalelattice geometry does not affect much the physical prop-erties of such a system.

B. Renormalization group equations

We shall now briefly derive one-loop RG equations. Werefer the reader to Ref. 27 and references therein for gen-eral details about the RG technique. Here we focus onwhat happens in the space of cage positions, since this is

what makes the originality of our work. The microscopicHamiltonian (18-21) serves as the high energy initial con-dition of RG flows. The kinetic part of the Hamiltonian isunrenormalized at one-loop order, while the interactionpart flows. During the renormalization process, the inter-actions will develop a non-trivial dependence in the cagepositions. The local Z2-symmetry as well as the trans-lational symmetry of the initial Hamiltonian (18-21) willremain symmetries of the renormalized Hamiltonian. Asa consequence, the flowing Hamiltonian is constrained tobe of the following form

H0(Λ) =

∫ Λ

−Λ

dk

2π

∑

n

∑

τ

:[

kc†R,n,τ (k)cR,n,τ (k) − kc†L,n,τ (k)cL,n,τ (k)]

: (22)

Hint(Λ) =

∫ Λ

−Λ

dq

2π

∑

n

:

∑

γ 6=0

[

Acγ(Λ)ρR,n,n(q)ρL,n+γ,n+γ(−q) +As

γ(Λ)SR,n,n(q)SL,n+γ,n+γ(−q) (23)

+Bcγ(Λ)ρR,n+γ,n(q)ρL,n,n+γ(−q) +Bs

γ(Λ)SR,n+γ,n(q)SL,n,n+γ(−q)

+Ccγ(Λ)ρR,n+γ,n(q)ρL,n+γ,n(−q) + Cs

γ(Λ)SR,n+γ,n(q)SL,n+γ,n(−q)]

+Dc(Λ)ρR,n,n(q)ρL,n,n(−q) +Ds(Λ)SR,n,n(q)SL,n,n(−q)

: .

Note that the hermiticity of the Hamiltonian implies

that Cc(s)−γ = C

c(s)γ , and the Right/Left symmetry gives

Ac(s)−γ = A

c(s)γ and B

c(s)−γ = B

c(s)γ . The action of the four

types of locally Z2-symmetric couplings Aγ , Bγ , Cγ andD (forgetting about their charge/spin nature) are repre-sented in Fig. 5.

In Eqs. (22-23) we used the Fourier transform of thefield operators which is defined by

cR(L),n,τ (k) =

∫ ∞

−∞

dx exp(−ikx)cR(L),n,τ (x). (24)

The Fourier transform of the generalized charge density,for example, is given by

ρR(L),n,n′(q) =

∫ ∞

−∞

dx exp(iqx)ρR(L),n,n′(x) (25)

=

∫ Λ

−Λ

dk

2π

∑

τ

c†R(L),n,τ (k + q)cR(L),n′,τ (k),

All momenta have been restricted to be smaller in ab-solute value than the cut-off Λ, in order to regularize

ultra-violet divergences. Note that the Fermi momen-tum has been set to zero, which is allowed since we donot consider Umklapp processes. We have not denotedany momentum dependence of the interactions, becausein the RG treatment, all momenta are taken at the Fermisurface.

The high-energy Hamiltonian is defined at scale Λ0,and the initial conditions of the RG flow, at this scale,are found from (21) and read

Acγ(Λ0) = Bc

γ(Λ0) = Ccγ(Λ0) = U(δγ,1 + δγ,−1)

Asγ(Λ0) = Bs

γ(Λ0) = Csγ(Λ0) = −U(δγ,1 + δγ,−1)

Dc(Λ0) = 2U (26)

Ds(Λ0) = −2U

The interactions are renormalized both by particle-holeand particle-particle contributions. Written with the di-mensionless scale l = ln(Λ0/Λ), the RG equations are

11

L

R

Aγ

n + γn

L

R

Bγ

n + γn γ

L

R

Cγ

n + γn γ

L

R

D

n

FIG. 5: Schematic representation of the four interactions compatible with the local Z2-symmetry, given in Eq. (23). Eachdashed ellipse represents a cage. An empty (full) circle represents a destruction (creation) operator. Coupling A is an inter-cage interaction, coupling B a cage exchange, coupling C a pair hopping, and coupling D an intra-cage interaction.

∂lAc(s)γ =

[

Aγ ∗Aγ + Cγ ∗ C−γ

]c(s)

ph+

[

Aγ ∗Aγ +Bγ ∗B−γ

]c(s)

pp, (27)

∂lBc(s)γ =

[

2D ∗Bγ +∑

β 6=0,γ

Bβ ∗Bγ−β

]c(s)

ph+

[

Bγ ∗ (Aγ +A−γ)]c(s)

pp, (28)

∂lCc(s)γ =

[

Cγ ∗ (Aγ +A−γ)]c(s)

ph+

[

2D ∗ Cγ +∑

β 6=0,γ

Cβ ∗ Cγ−β

]c(s)

pp, (29)

∂lDc(s) =

[

D ∗D +∑

β 6=0

Bβ ∗B−β

]c(s)

ph+

[

D ∗D +∑

β 6=0

Cβ ∗ C−β

]c(s)

pp. (30)

In these flow equations, we have denoted

[

G1 ∗G2

]c

ph=

1

2π

(

Gc1G

c2 + 3Gs

1Gs2

)

, (31)

[

G1 ∗G2

]s

ph=

1

2π

(

Gs1G

c2 +Gc

1Gs2 + 2Gs

1Gs2

)

, (32)

for the particle-hole channel, and

[

G1 ∗G2

]c

pp= − 1

2π

(

Gc1G

c2 + 3Gs

1Gs2

)

, (33)

[

G1 ∗G2

]s

pp= − 1

2π

(

Gs1G

c2 +Gc

1Gs2 − 2Gs

1Gs2

)

, (34)

for the particle-particle channel. The RG flow equationscan be simplified further, but we shall leave them in theform (27-30) because it clearly shows the origin of all one-loop contributions. As an illustration, we show in Fig. 6the bubbles renormalizing the pair hopping term Cγ .

C. Numerical solution of the Renormalization

Group equations

1. Strong coupling Hamiltonian

The flow equations (27-30) cannot be solved analyti-cally, but one can integrate them numerically with stan-dard numerical routines such as Runge-Kutta of order4. One nice feature of the local Z2-symmetry is that itconstrains interactions in such a way that they can de-pend on at most one cage index. Thus the number ofequations that have to be solved only grows linearly withthe total number of cages N , allowing to consider largesystem sizes.

With the initial conditions (26), we found that the sys-tem goes to strong coupling. The flow diverges at a criti-cal RG scale lc, indicating a phase transition at a critical

12

W

WWYX[Z\^]

WYX[Z

_ ]W WYX[Z `

``Ya[b

ced

`

fhg d`Ya[b `Ya[b

i

i

ikjml

npoikjqnprtsuo

ikjml ikjq

FIG. 6: Graphs renormalizing the pair hopping term Cγ . The left and middle graphs are particle-hole bubbles, and the rightone is a particle-particle bubble. For the latter, β is summed over, and when β = 0 or γ, the quantity C0 that appears shouldbe understood as D, so as to yield Eq. (29).

temperature of order of magnitude Tc = Λ0 exp(−lc).Apart from finite-size corrections, the numerical solutionof the flow reaches the following fixed direction

Acγ = As

γ = 0, (35)

Bcγ = Dc = −3Bs

γ = −3Ds > 0, (36)

Ccγ = Cs

γ = 0, (37)

for any value of γ. The corresponding effective interac-tion Hamiltonian can be written (going back to real spaceand setting the strength of the interaction to a value g)

Heffint = g

∫ ∞

−∞

dx∑

n,γ

:[

3ρR,n+γ,n(x)ρL,n,n+γ(x)

−SR,n+γ,n(x)SL,n,n+γ(x).]

: (38)

This Hamiltonian has an SU(N) symmetry in the cageindices, and it corresponds to a particle-hole pairing inthe triplet channel. Consequently the system undergoesa phase transition to a spin-density wave state, as waspredicted by our mean-field analysis (see appendix A).This is more transparent on the equivalent form of (38):

Heffint = −2g

∫ ∞

−∞

dx∑

m,n

∑

µµ′

∑

νν′

(39)

:(

c†R,m,µ(x)σµ,µ′cL,m,µ′(x)) (

c†L,n,ν(x)σν,ν′cR,n,ν′(x))

:

since it is bilinear in the 2kF Fourier component of thelocal spin density. A more detailed analysis of this phase,including a discussion of its collective modes can be foundin Ref. 27.

The RG calculation however gives a much smaller valueof the critical temperature than the mean-field calcula-tion. We have computed the critical temperature givenby the full flow equations (27-30), as well as for the RPAapproximation of these, which consists in neglecting allparticle-particle contributions. We found the followingnumerical result

lc(RG) ' 1.33

Uand lc(RPA) ' 0.64

U. (40)

For an initial interaction U = 0.1, this gives a ratioTc(RG)/Tc(RPA) ' 10−3, which is very small. The RPAthus overestimates the critical temperature by three or-ders of magnitude for U = 0.1. For the typical valueα = 0.4 (U = 2πα) estimated in GaAs networks, thisreduction effect is not as dramatic, since here we ob-tain: Tc(RG)/Tc(RPA) ' 0.76. This gives further sup-port to replacing finite Aharonov-Bohm cages by infiniteones in our simplified model, since the energy scale whichemerges from the RG treatment is still in the 1D regime,for a typical choice of parameters such as L/λF = 40.

2. Intermediate energy regime

Another feature of the RPA is that the pair hoppingterms Cc(s) remain nearest neighbor all along the flow,as can be inferred from Eq. (29), when neglecting theparticle-particle contribution. This is obviously not thecase any more for the full RG equations. As the pairhopping terms are the only processes that can lead toa conducting behavior, it is natural to study what hap-pens to them during the flow, before they get completelysuppressed by the spin-density wave.

We found numerically that, except at the very begin-ning of the flow, the pair hopping terms are very wellfitted by the following law

Cc(s)γ (l) = (−1)γΓc(s)(l) exp[−γ/ξc(s)(l)]. (41)

This shows the incoherent nature of these pair hoppingprocesses. As an illustration, Fig. 7 shows ln |Cc

γ(l = 1)|as a function of γ, for N = 128 cages and interactionstrength U = 0.1. We have performed such fits for manyvalues of l so as to extract the scale dependence of thequantities Γc(s)(l) and ξc(s)(l) defined in Eq. (7). Theresults for the charge and spin couplings are nearly iden-tical, so that we only show the behavior of the chargequantities, see Figs. 8 and 9. From Fig. 8, it is clear thatthe pair hopping is suppressed during the flow, but thereis an intermediate energy regime (2 <∼ l <∼ 12) wherethe decrease rate of the pair hopping is not too large.Furthermore, we see in Fig. 9 that the typical range of

13

numerics

U = 0.1

N = 128

γ

ln|C

c γ(l

=1)|

6456484032241680

0

-50

-100

-150

-200

linear fit

U = 0.1

N = 128

γ

ln|C

c γ(l

=1)|

6456484032241680

0

-50

-100

-150

-200

FIG. 7: The numerical results of ln |Cc

γ(l = 1)| as a functionof γ, for N = 128 cages and initial interaction U = 0.1, areperfectly fitted by a straight line.

U = 0.1

N = 128

l

ln[Γ

c(l

)]

2 4 6 8 10 12 lc14

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

FIG. 8: Evolution of the strength of the interaction Cc

γ(l) asa function of the RG scale l, for N = 128 cages and initialinteraction U = 0.1. The flow stops at the critical scale lcdenoted by a dashed line.

the pair hopping increases during the flow, but it doesnot exceed one lattice spacing. The pair hopping thusremains local, contrarily to the cage exchange terms Bγ

which become of infinite range during the flow, as wasexplained in the previous subsection.

D. Validity of the simplified model

An important question arises: when can the Friedeldensity oscillations be ignored? In a real system, twophysical processes are in competition: the wire discon-nection at network junctions due to the S-matrix renor-malization, and the SDW instability discussed earlier. Inorder to estimate the typical energy scale of wire discon-nection, we use Eq. (17) and take the point where bothterms in the denominator are of the same order of mag-nitude.

kBTc(S) ' EF

(

R0

T0

)1/2α

(42)

The simplified model discussed in this section gives afaithful description of the initial Z2 network only if the

U = 0.1

N = 128

l

ξc(l)

2 4 6 8 10 12 lc 14

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

FIG. 9: Evolution of the range of the interaction Cc

γ(l) as afunction of the RG scale l, for N = 128 cages and interac-tion strength U = 0.1. The flow stops at the critical scale lcdenoted by a dashed line.

typical energy scale for the SDW instability is larger thanTc(S). From (40), we have:

kBTc(RG) ' EF exp

(

−1.33

U

)

(43)

This gives a rather precise criterion, namely:

R0

T0< exp(−1.33

π) ' 0.655 (44)

Note that because of the one loop RG approximationused for both mechanisms (i.e scattering on Friedel oscil-lations, and SDW instability), this criterion is indepen-dent of the interaction strength, provided it is small com-pared to the electronic Fermi energy. We may say that itis of a purely geometric nature, since it mostly dependson the amount of electronic backscattering induced bythe network nodes. For an illustration, let us considerthe two types of node geometries depicted on Fig. 3. Forsingle mode wires, we have found that the lowest valuesof the ratio R0/T0 for perfectly symmetric X or Y junc-tions are equal respectively to 1 and 1/4. So changing thejunction type from X (Fig. 3 a)) to Y (Fig. 3 b)) couldaffect deeply the nature of the low-energy state.

In the case of a single 1D quantum wire, the RG ap-proach gives a vanishing transition temperature and thespin density wave is replaced by a Luttinger liquid fixedpoint at low energy. For Z2 networks in the regime whereTc(RG) > Tc(S), inter-cage interaction processes destroythis Luttinger liquid, and because of the flow to strongcoupling, most elementary excitations acquire a gap ofthe order Tc(RG). In the other regime, (Tc(RG) <Tc(S)), our simplified model discarding Friedel oscilla-tions cannot capture the low energy physics below Tc(S).Below this scale, the network “breaks” into independentdisconnected links, which are expected to behave as in-dependent finite segments of Luttinger liquids.

How could we distinguish between these two situationsin real experiments? It may not be very easy at a quali-tative level, just looking at transport measurements. Re-

14

sistivity is expected to rise sharply below the largest tem-perature scale between Tc(RG) and Tc(S), but for verydifferent reasons in each case. If Tc(RG) > Tc(S), the sin-gle electron spectrum is gapped, and charge transport isprovided only via a single charge collective mode, which islikely to be quite sensitive to pinning by random impuri-ties. If Tc(RG) < Tc(S), the disconnection of the networkinto independent segments clearly induces a very high re-sistivity. The difference between the two situations couldbe evidenced by non-linear dc-transport. Indeed, in theformer situation, a pinned spin-density wave can be de-pinned by a large enough electric field, and should lead toa large non-linear dc conductivity above a finite thresh-old value for the driving field. In the later case, possiblenon-linear effects on the disconnection mechanism havenot been investigated to our knowledge. But it seems un-likely that they would yield a sharp threshold as in thecase of collective depinning.

The above discussion shows that it would be crucial toestimate the ratio R0/T0 for a given sample. In presentexperiments, although the number of channels Nch is low(about five), it is not exactly one. So we have a Z ×Nch

conduction matrix at each node connected to Z nearestneighbors. This clearly calls for an extension of the the-ory to the case of multichannel wires, which goes beyondthe scope of the present work. But even for a strictly sin-gle channel network, a direct experimental determinationof R0/T0 may not be straightforward. In a dc transportmeasurement of an ideal system, the Landauer approachshows that the resistivity is dominated by the contactsbetween the network and the outer current leads. Asshown in22, R0/T0 controls the dispersion of the mini en-ergy bands associated to the lattice superstructure. IfR0/T0 is small, these bands are weakly dispersive, andthe effect of static random impurities, always present ina real system, is stronger than for a large value of R0/T0.But in general, we do not have an independent measure-ment of the disorder strength. So at this stage, the mainprediction is that some Z2 networks should develop aSDW instability and some others break into indepen-dent disconnected segments at low energy. Although themathematical criterion (44) is quite precise and simple,it may be difficult in practise to decide if a given samplewill fall in one or the other class without actually doingthe experiment.

V. CONCLUSION

In this paper, we have studied a class of networks (Z2

networks) for which all single electron energy eigenstatesare localized in Aharonov-Bohm cages when an exter-nal magnetic field corresponding to half a flux quantumper loop is applied. The particularity of these networks(in comparison to other geometries showing Aharonov-Bohm cages such as the dice lattice), is the presence ofa large group of local Z2 symmetries, which correspondto reversing the electronic current in all the loops adja-

cent to a given node. Interestingly, these symmetries arepreserved in the presence of a large class of interactionpotentials, including the Hubbard local interaction. Theconserved quantum numbers associated to this symme-try are simply the parity of the total electron number ineach Aharonov-Bohm cage. Because of this strong con-straint, only pairs of electron can tunnel from one cageto another.

A first consequence, assuming that the local Z2 sym-metry cannot be spontaneously broken, is that such asystem is never a Landau Fermi liquid, since the singleelectron propagator is short ranged in space. This estab-lishes a qualitative difference between Z2 networks andgeometries such as the dice lattice. In the latter case,Aharonov-Bohm cages are no longer protected by a sym-metry in the interacting system, and therefore a Fermiliquid induced by interactions seems perfectly plausible.This extends the distinction established for bosonic sys-tems for which a single boson condensate is always de-stroyed on a Z2 network, whereas it survives on the dicelattice in spite of a large discrete ground-state degener-acy.

Using a simple mean-field analysis, completed by anunbiased renormalization group (RG) approach, we firstconclude that no superconducting instability is expected,in spite of the particle pair hopping term generatedby electron-electron interactions preserving the local Z2

symmetry. The RG analysis shows that long-ranged pairhoppings are generated at intermediate energies, but thetypical hopping range remains of the order of the latticespacing. This time, these results are in sharp contrastwith the bosonic counterpart, where the absence of a sin-gle boson condensate leaves room for a perfectly stableboson pair condensate11, with very interesting proper-ties such as topological ground-state degeneracies13. Themain result given by the RG is the presence of a strongcoupling low-energy fixed point, dominated by the long-distance fluctuations of a local spin density wave orderparameter. The appearance of this fixed point can be at-tributed to the presence of Aharonov-Bohm cages, sincein the model considered here, independent links wouldbehave as Luttinger liquids.

We should note that the RG calculation has been doneon a simplified model, where all the lattice points insidea given Aharonov-Bohm cage are equivalent. So we havenot incorporated the physics of Friedel density oscilla-tion induced by the nodes, which are known to renormal-ize the single-electron scattering matrices at these nodes,as long as the system is in the one dimensional regimeabove the energy scale hvF/L, which can be as large asa few Kelvin degrees in a GaAs/GaAlAs structure. Thevalidity range of this simplified model has been formu-lated in terms of a very simple criterion on the value ofthe reflexion coefficient at the network nodes. It has tobe low enough, otherwise, the disconnection induced byelectronic scattering on Friedel density oscillations dom-inates over the tendency to build a SDW instability, andthen, the low energy state appears to be a collection of

15

independent Luttinger liquid segments.This study raises some open questions regarding the

transport properties of such incoherent Z2 metal. Itwould be very interesting to compute the temperaturedependence of the conductivity. At temperatures abovethe spin density wave instability, it is likely to exhibita power-law behavior, with a presently unknown expo-nent. In the strong coupling regime, a gap for singleelectronic excitations is expected, so most likely, the tem-perature dependence of the conductivity will show anactivated behavior. Another fascinating question is thetransport through hybrid structures such as a series ofa normal metal, a Z2 network, and a normal metal. In-deed, for driving voltages below the Z2 gap (of the orderof hvF/L), incoming (resp. outgoing) electrons will havea strong tendency to be injected (resp. emitted) in pairs,although the Z2 network is far from a superconductingstate. Maybe the most direct way to demonstrate thisstrange phenomenon in such a poorly conducting systemwould be through shot noise measurements.

Acknowledgments

We wish to thank J. Dufouleur, G. Faini, and D. Maillyfor giving us the motivation for this work, and for severaluseful discussions. We also thank J. Vidal for his com-ments on the manuscript. Financial support of the DFGin SP1073 is gratefully acknowledged.

APPENDIX A: SPIN DENSITY WAVE

INSTABILITY ON A Z2 NETWORK

For the sake of simplicity, let us consider the Hubbardlocal interaction. For an infinite 1D system, we decouple

the interaction as:

U(

〈ψ†↑(x)ψ↑(x)〉ψ

†↓(x)ψ↓(x) + 〈ψ†

↓(x)ψ↓(x)〉ψ†↑(x)ψ↑(x)

)

Let us assume that 〈ψ†τ (x)ψτ (x)〉 = τ∆ cos(2kFx). In

linear response theory, self-consistency determines themean-field critical temperature T ∗ from the require-ment Uχ(0)(2kF, T

∗) = 1, where χ(0)(q, T ) is the staticcharge susceptibility of the non-interacting electrongas at wave-vector q and temperature T . Becauseχ(0)(2kF, T ) = (hvF)−1 ln(aEF/kBT ), where a is a nu-merical factor of order unity, the mean-field temperatureT ∗ obeys a BCS relation:

kBT∗ = aEF exp(−hvF

U) (A1)

For a Z2 network, our starting point is Eq. (11). Again,we are looking for a Z2 invariant order parameter of the

form: 〈ψ†iτ (x)ψiτ (x)〉 = τ∆i(x). With such an order pa-

rameter, the quantum expectation value of Eq. (11) takenfor a Hartree-Fock state is equal to −U(∆i(x) + ∆j(x))

2.We see that choosing a uniform spin density wave orderparameter ∆i(x) = ∆ definitely lowers the system inter-action energy, and we expect a mean-field transition tem-perature of the same order of magnitude as for the singleinfinite wire with a repulsive local interaction. Note thatthis transition is uniquely driven by the first two termsin Eq. (11), that is the intra and inter cage interaction.The last two terms, i.e. the cage exchange and the pairhopping processes do not play a role in stabilizing thespin density wave state. As seen in section IV in a moreelaborate treatment, these last two terms have the effectto lower the critical temperature by comparison to themean-field estimate.

∗ Electronic address: [email protected]† Electronic address: [email protected]‡ Electronic address: [email protected] G. Timp, R. E. Behringer, E. H. Westerwick, and J. E.

Cunningham, in Quantum Coherence in Mesoscopic sys-

tems, edited by B. Kramer (Plenum, New-York, 1991).2 S. Washburn, and R. A. Webb, Rep. Prog. Phys. 55, 1311,

(1992)3 G. Timp, A. M. Chang, J. E. Cunningham, T. Y. Chang,

P. Mankiewich, R. Behringer, and R. E. Howard, Phys.Rev. Lett. 58, 2814, (1987)

4 S. Pedersen, A. E. Hansen, A. Kristensen, C. B. Sorensen,and P. E. Lindelof, Phys. Rev. B 61, 5457, (2000)

5 D. Mailly, C. Chapelier, and A. Benoit, Phys. Rev. Lett.70, 2020, (1993).

6 W. Rabaud, L. Saminadayar, D. Mailly, K. Hasselbach, A.Benoıt, and B. Etienne, Phys. Rev. Lett. 86, 3124, (2001).

7 C. Naud, G. Faini, and D. Mailly, Phys. Rev. Lett. 86,5104, (2001)

8 J. Vidal, R. Mosseri, and B. Doucot, Phys. Rev. Lett. 81,

5888, (1998)9 J. Vidal, B. Doucot, R. Mosseri, and P. Butaud, Phys.

Rev. Lett. 85, 3906, (2000)10 J. Vidal, P. Butaud, B. Doucot, and R. Mosseri, Phys.

Rev. B 64, 155306, (2001)11 B. Doucot and J. Vidal, Phys. Rev. Lett. 88, 227005,

(2002)12 I. V. Protopopov, and M. V. Feigel’man, Phys. Rev. B 70,

184519, (2004)13 L. B. Ioffe and M. V. Feigel’man, Phys. Rev. B, 66, 224503

(2002).14 S. E. Korshunov, Phys. Rev B 63, 134503, (2001)15 S. E. Korshunov, and B. Doucot, Phys. Rev B 70, 134507,

(2004)16 S. E. Korshunov, Phys. Rev B 71, 174501, (2005)17 J. Dufouleur, G. Faini, and D. Mailly, private communica-

tions18 B.Doucot, M. V. Feigel’man and L. B. Ioffe, Phys. Rev.

Lett. 90, 107003 (2003).19 B. Doucot, L. B. Ioffe and J. Vidal, Phys. Rev. B 69,

16

214501, (2003)20 T. Kottos, and U. Smilansky, Phys. Rev. Lett. 79, 4794,

(1997)21 S. Elitzur, Phys. Rev. D 12, 3978, (1975)22 K. Kazymyrenko, and B. Doucot, Phys. Rev. B 71,

075110, (2005)23 C. L. Kane, and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 68,

1220, (1992)24 D. Yue, L. I. Glazman, and K. A. Matveev, Phys. Rev. B

49, 1966, (1994)25 S. Lal, S. Rao, and D. Sen, Phys. Rev. B 66, 165327,

(2002)26 J. Solyom, Adv. Phys. 28, 201, (1979)27 S. Dusuel, F. Vistulo de Abreu and B. Doucot, Phys. Rev.

B 65, 94505, (2002)28 Hyun C. Lee, P. Azaria and E. Boulat, Phys. Rev. B 69,

155109, (2004)

Chapter 3

Reseau Z2 de jonctions Josephsonet dissipation

Le developpement de l’informatique s’explique par les progres technologiquesrealises a un rythme croissant depuis plus de cinq decennies. Ces progres permettentd’offrir des puissances de calcul de plus en plus grandes. Une nouvelle voie s’est ouvertedepuis la construction explicite de l’algorithme grace auquel un ordinateur quantiquepourrait resoudre les problemes qui semblent insolubles pour les ordinateurs classiques[Sho95]. Les algorithmes quantiques reposent sur l’existence d’une cellule de memoirequantique, appelee q-bit (quantum bit). Le q-bit etant un systeme quantique a deuxniveaux d’energie, l’information peut etre stockee dans la phase relative d’une superpo-sition lineaire entre ces deux etats. Par contraste avec le bit classique, l’information estalors codee par un parametre continu. Meme si c’est encore un projet a long terme, nulne doute actuellement du futur des ordinateurs quantiques, neanmoins des nombreuxobstacles techniques doivent etre encore surmontes [DWM04].

I φdown

left

right

up

Figure 3.1: Representation d’un q-bit a base d’une jonction Josephson Z2. Pour lesvaleurs du champ magnetique egales a un demi-quantum de flux Φ =Φ0/2 = h/(4e), le niveau fondamental est doublement degenere.

Jonctions Josephson (JJ)1 sont des bons candidats pour la fabrication de q-bitdans l’information quantique [NC00]. Grace a leur faible dissipation et la possibilite deproduction en circuit integre les ”Josephson” q-bits attirent attention de nombreusesequipes experimentales.2 Il existe trois principals types de q-bit a base de jonctions

1Nous utilisons par la suite l’abreviation JJ pour Jonction Josephson.2Il existe aussi les q-bits a base de ”quantum dot” [HCJH03].

101

Chapter 3. Reseau Z2 de jonctions Josephson et dissipation

Josephson : les q-bits de phase [MNAU02], de flux [CNHM03, SLH+04] et de charge[PYA+03]. La difference major entre ses q-bits est la forme de leur potentiel nonlineaire :respectivement cubique, quadratique et en cosinus. Recemment plusieurs modeles desq-bits possedants les groupes de symetrie particuliere ont ete proposes [FIG+04]. Pourleur avantage la presence symetrie de ses q-bits conduit a la degenerescence de niveaux,et en consequence, le doublet dans l’etat fondamental peut etre aisement obtenu parune legere variation des parametres.

Une jonction Josephson de symetrie Z2 locale, qui est l’objet d’etude de ce cha-pitre, peut etre utilisee dans les schemas des q-bits proteges topologiquement contrele bruit local [IFI+02, DFI03].3 L’etat fondamental classique de ce type de jonctionsest doublement degenere, si le champ magnetique qui la traverse cree un flux egal aun demi-quantum de flux elementaire Φ = Φ0/2 = h/(4e). Cette degenerescence ob-tenue aux niveau classique (c’est a dire lorsqu’on neglige les fluctuations quantiquesde phases du parametre d’ordre supraconducteur local) peut se comprendre physique-ment comme la possibilite de renverser le sens de parcours d’un courant permanent atravers la boucle, sans changer l’energie (voir Fig. 3.1). Si l’on admet des fluctuationsquantiques des variables de phase, cette degenerescence est levee par les processus tun-nels entre ces deux etats macroscopiquement differents. Une echelle d’energie ∆ peutdonc etre introduite pour chaque JJ Z2, que nous appelons dans la suite l’energie ca-racteristique du gap Z2. Comme la valeur du gap depend fortement non seulement descaracteristiques geometriques de la jonction, mais aussi des details de sa fabrication,l’estimation theorique de ∆ fournit des resultats difficiles a confronter aux experiences.Une question d’une importance pratique considerable est alors la mesure de ce gapenergetique. Les mesures actuelles sont basees sur la spectroscopie photonique dans ledomaine des radiofrequences [CBHB04]. L’idee de base que nous exploitons le long de cechapitre etant la possibilite d’excitation du gap Z2 par le courant injecte de l’exterieur,nous essayons de trouver un schema experimental realiste4 qui rende possible l’estima-tion du gap Z2 par des mesures directes de la caracteristique courant-tension (ang. IVcaracteristic). Je souligne que nous etudions le modele ou le courant moyen est injectedepuis les conducteurs exterieurs. Le futur d’un tel spectrometre IV est tres promet-teur, car il est adapte en tous points a une realisation experimentale : a cause de laresistance quasi-nulle des fils supraconducteurs exterieurs, il est plus facile d’imposerun courant qu’une tension aux bornes de la jonction etudiee.

Ce chapitre commence par la description du modele quantique d’une jonction JJrealiste, dont la resistance et la capacitance sont non nulles. En l’absence du courantpersistant ce modele est soluble par la quantification canonique, que j’explique endetails. Le fait que nous etudions le modele adapte a l’experience avec le courant injectede l’exterieur nous oblige d’introduire un nouveau concept d’une source de courantquantique. Connectee a une telle source de courant I, la jonction peut se trouver dansles deux etats limites possibles (fort courant I > Ic et faible courant I < Ic, Ic etant lecourant critique de la jonction). Nous analysons dans la suite ces deux limites, et dans

3Je conseille de lire un court revu sur les q-bits a base de JJ [DWM04].4Nous prenons en compte la presence des processus de dissipation energetique.

102

3.1. Modele quantique pour une JJ

le cas de faible courant nous arrivons a un modele semi-classique, qui est actuellementen cours d’etudes numeriques.

3.1 Modele quantique pour une jonction Josephson

En 1962 Brian Josephson explique theoriquement le comportement des electronslors de leur passage sous une barriere de potentiel qui separe les deux supraconducteurs[Jos62]. Il en deduit deux effets remarquables : d’une part, un supercourant devraitapparaıtre meme en l’absence de tension electrique et d’autre part un courant alternatifde haute frequence traverserait la barriere soumise a une tension constante. Depuis lesjonctions de deux ılots supraconducteurs separes l’un de l’autre par une fine coucheisolante ont pris le nom de leur ”createur” et sont appelees dans la litterature lesjonctions Josephson. Dans cette section nous allons obtenir l’Hamiltonien d’une JJ Z2,qui inclut la dissipation d’energie. Nous mentionnons aussi la difference principale entrele SQUID et la JJ du type Z2.

L’Hamiltonien d’une JJ ideale (sans resistance) peut etre obtenu sans difficulte apartir de deux relations de Josephson,5 dont la derivation [Mar04] necessite la connais-sance de la theorie BCS [BCS57]. Supposons que les phases supraconductrices de deuxılots soient donnees par φ− et φ+. Selon Josephson, les phases d’ılots evoluent au coursde temps en presence du potentiel electro-statique Vσ comme :

dφσdt

=2e

~Vσ ou σ = ±1

D’autre part, la loi de la conservation de charge sur chaque ılot nous donne :

dQσ

dt+ σI = 0 ou I est le courant de l’ılot + vers −

Le supercourant entre les ılots est lie a la difference de leurs phases :I = Ic sin(φ+ − φ−), ou Ic est le courant critique defini par la geometrie de la jonction.En introduisant le nombre de paires de Cooper par nσ

def⇐⇒Qσ/(2e), nous obtenons les

equations suivantes :

dφσdt

=4e2

~

∑

τ

[C−1]στnτ ;dnσdt

= − Ic2eσ sin(φ+ − φ−) (3.1)

Nous avons introduit la matrice de capacitance C par : ~Q = C ~V . Ces equations peuventse voir comme des equations de Hamilton :6

5la procedure de derivation de l’Hamiltonian pour un circuit arbitraire est decrite dans [Dev97]6le coefficient ~−1 provient de ce que [φσ , nτ ] = iδστ au lieu du commutateur canonique usuel

[qi, pj ] = i~δij .

103


dφσdt

=1

~

∂H

∂nσ;

dnσdt

= −1

~

∂H

∂φσ(3.2)

H = 2e2∑

στ

[C−1]στnσnτ −~Ic2e

cos(φ+ − φ−) (3.3)

Dans la pratique, comme les electrodes supraconductrices sont separees par une finecouche dielectrique, les termes hors diagonaux de la matrice de capacitance sont domi-nants. L’Hamiltonien d’une jonction s’ecrit dans la forme plus simple :

H =2e2

Cn2 − ~Ic

2ecos θ ou θ def

⇐⇒φ+ − φ− et n def⇐⇒n+ − n− (3.4)

EJ = ~Ic/(2e) a la dimension de l’energie, et elle est appelee l’energie de Josephson.Il est important de noter que l’Hamiltonien est periodique en θ, ce qui est une simpleconsequence du caractere discret de la charge. Une JJ possedant deux echelles d’energieEJ et Ec = 2e2/(C), on distingue trois differents types de jonctions :

– EJ Ec : le regime de faibles fluctuations quantiques (fq) de la phase θ.– Ec EJ : la phase supraconductrice est detruite par les fq.– Ec ≈ EJ : la transition de phase supra-isolant est observee.

C’est le premier regime qui nous interessera le plus. Le fondamental classique de la JJest non degenere, il est obtenu en minimisant le terme −EJ cos θ.

Nous allons maintenant obtenir la meme expression pour une JJ de type Z2 enpresence du champ magnetique (Fig. 3.1). Si les fluctuations quantiques sont faiblesl’energie de la jonction s’ecrit comme une somme de quatre termes :

EZ2(φl, φr, φu, φd)/EJ = − cos(φl − φu − γ/4) − cos(φu − φr − γ/4) −

− cos(φl − φd + γ/4) − cos(φd − φr + γ/4)

ou φi sont les variables de phase pour quatre ılots supraconducteurs (up, down, left,right). La dependance en γ = 2πΦ/Φ0 = 4πeBS/h apparaıt a cause de la presence duchamp magnetique B. Nous pouvons eliminer les variables ”internes” de la jonction(φu,d) lorsque nous cherchons des minima classiques. Le probleme devient equivalenta la minimisation d’une fonction de la difference de phase (comme pour une jonctionsimple) θ def

⇐⇒φl − φr :

EZ2(θ)/EJ = −| cos(θ/2 − γ/4)| − | cos(θ/2 + γ/4)|

Pour tous γ 6= 0 mod 2π, cette fonction possede deux minima locaux, pour θ egal 0 etπ. Pour γ = π, ce qui correspond au demi-quantum de flux l’etat fondamental devientdegenere. Pour cette valeur du champ magnetique la periodicite de l’energie EZ2

(θ) enfonction de θ double, et sa periode est alors egale a π, Fig. 3.2.

104

3.1. Modele quantique pour une JJ

-π πθ

E (θ)

Figure 3.2: Comportement de l’energie de la JJ Z2 en fonction de γ, les variables dephases ”internes” etant eliminees : γ = 0 (en tires rouges), γ = 3π/4 (enpointille bleu) et γ = π (ligne pleine noire).

Nous pouvons donc dans une bonne approximation supposer que l’Hamiltonien d’unejonction Z2 soit donne par :7

H = Ecn2 − EJ cos 2θ ou θ def

⇐⇒φl − φr et n def⇐⇒nl − nr (3.5)

La difference avec un SQUID est apparente a cette etape, car au niveau classique,pour un demi quantum de flux les deux variables de phase d’un SQUID se decouplentcompletement. Toutefois, le systeme a deux niveaux peux etre obtenu en autorisantla variation de flux a travers le SQUID [FPC+00]. Les reseaux de SQUID peuventetre utilises comme teslametres grace a leur haute sensibilite a la valeur du champsmagnetique [WH01]. La caracteristique importante de la jonction Z2 est que son etatfondamental classique est doublement degenere en energie. En prenant en compte lesprocessus tunnels entre deux minima classiques, cette degenerescence est levee. Nousappelons le gap Z2 l’energie correspondante et la notons par ∆. Dans le cas ou l’energiede Josephson est elevee, les excitations de plasma8 peuvent se voir de quelques ordresde grandeur superieures a ∆. Donc a basse energie nous pouvons considerer la jonctionZ2, comme un systeme a deux niveaux (le q-bit).

Nous allons aller plus loin dans la description quantique des JJ et inclure lesforces dissipatives d’interaction avec l’environnement ainsi que le courant permanenttraversant la jonction. L’equation du mouvement pour une JJ ideale donne (3.4) :

~C

2eθ + Ic sin θ = 0

La generalisation de cette equation en presence du courant I et de la resistance R, est

7Dans la suite nous ne parlons que des JJ Z2 traversees par un demi de quantum de flux.8les excitations de plasma sont les etats de plus basse energie au voisinage de chaque minimum

classique. Si la courbure de l’energie potentielle autour du minimum est grande, les ω de plasmapeuvent etre tres elevees.

105


I

C

R

JJ

Figure 3.3: Une jonction Josephson realiste [Shunted Josephson junction].

immediate (Fig. 3.3) :~C

2eθ +

~

2eRθ + Ic sin θ = I (3.6)

Le but principal de la description quantique est de pouvoir reproduire cette equationdu mouvement classique pour les operateurs. Le courant I traversant la jonction peutetre pris en compte par la modification de l’Hamiltonien du systeme :

H =2e2

Cn2 − ~Ic

2ecos θ − ~I

2eθ (3.7)

Nous pouvons deja identifier le premier probleme de la description quantique. La sourcequantique de courant semble briser la periodicite de la variable de phase θ 7→ θ +2π. Nous brisons en effet le caractere quantique de la charge et tous les processusfaisant intervenir la propagation des charges uniques (comme la reflexion d’Andreev,par exemple) seront caches. Nous montrons dans la section suivante (3.2) commenteviter cet obstacle.

Les deux regimes pour la jonction sont apparents.9 Si I Ic le terme de Joseph-son devient negligeable et la variable de phase augmente infiniment. Dans un modelerealiste il faudra inclure les forces de frottement, nous analysons ce cas dans la section3.4. Si par contre I Ic, dans un premier temps nous pouvons supposer que la variablede phase soit coincee dans un de puits et etudier le probleme en developpant le po-tentiel en serie de Taylor. L’activation de l’etat coince vers l’etat tombant est observeeexperimentalement [KNC+05]. Les travaux theoriques interessants ont ete effectues engardant le terme de l’ordre x3 [DMS00]. A la fin de ce chapitre nous proposons deuxmodeles theorique 1D et 2D pour les reseaux de jonctions Z2 traversees par un faiblecourant.

Pour modeliser l’interaction de la jonction Z2 avec l’environnement nous pouvonssuivre les idees de Caldeira-Leggett [CL81] et la coupler a un bain d’oscillateurs har-moniques. Le terme diffusif de la jonction est reproduit si l’on rajoute a l’Hamiltonien

9le potentiel de la JJ en presence du courant I est appele ”washboard” (ang.).

106

3.2. Une source de courant quantique

-π πθ

E (θ)

-π πθ

E (θ)

Figure 3.4: Le potentiel ”washboard” pour la JJ traversee par le courant continu.I = Ic/10 a gauche et I = Ic a droite [Wash-board potential].

de la JJ ideale (3.4) l’Hamiltonien diffusif HD avec une contrainte particuliere sur lesfrequences des oscillateurs ωα (section 3.4) :

HD =∑

α

~ωα2gα

P 2α +

~ωα2gα(θ − Uα)

2; avec [Uα, Pβ] = iδα,β (3.8)

En l’absence du courant permanent traversant la jonction ce modele peut etre ramene aun probleme gaussien de la theorie des champs definie sur reseau. Elle est exactementsoluble en utilisant la quantification canonique (section 3.3).

Recapitulatif de la section :Nous avons d’abord construit l’Hamiltonien quantique de la jonction Josephson idealeordinaire (3.4), ainsi que de la jonction Z2 (3.5). Ensuite nous avons parcouru lesdifferentes approches theoriques pour le traitement d’une JJ realiste (Fig. 3.3), enidentifiant les problemes qui peuvent apparaıtre.

3.2 Une source de courant quantique

Bien que la theorie de transport quantique entre deux electrodes classiques aitete developpee a partir des annees soixante-dix [Lan70, But86], une source de courantcontinu reste toujours difficile a modeliser. D’un point de vue formel, on peut voir unesource de courant comme une source de tension avec une tres grande resistance interne,et se ramener au formalisme de Landauer-Buttiker pour traiter cette derniere. Ceci estpossible si les conducteurs apportant le courant sont decrits par des liquides de Fermi.Mais ici, nous nous interessons au cas ou l’injections du courant se fait depuis dessupraconducteurs. Nous sommes donc obliges d’introduire un modele theorique pourune pile quantique de courant.

Comme nous l’avons vu dans la section precedente, la description quantique d’uneJJ realiste possede de nombreux obstacles techniques, mais ce qui est plus grave, aussides problemes conceptuels. Le simple fait de brancher la jonction a une source decourant continu donne un terme lineaire en phase Iθ, qui semble briser la periodicite en

107


θ. La periodicite de θ est directement liee au caractere discret de sa variable conjuguee(la charge) : comme [θ, n] = i, alors exp(iαn)|θ〉 ≡ |θ−α〉 et donc si |θ〉 ≡ |θ+2π〉, alorsexp(2πin) = 1 (la charge est discrete). Au cours de ma these nous avons passe beaucoupde temps a essayer de comprendre et de surmonter cette difficulte conceptuelle.

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zpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpzpz

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|p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p||p|p|p|p|p|p|

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~~p~p~p~p~p~p~

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

I

Φ

∇ϕ 6= 0∇ϕ 6= 0∇ϕ 6= 0

JJ Z

R

2

I

C

Figure 3.5: Le schema electrique (a droite) de la JJ Z2 connectee a une source decourant, et l’une des possibles realisations experimentales d’un tel schema(a gauche). C’est le supraconducteur contenant les vortex de la phase, quijoue le role de la pile quantique.

Supposons que nous ayons une jonction Z2 connectee a une source du courantcontinu (Fig. 3.5). Nous avons vu precedemment que c’est l’identite des deux etatsquantiques |θ〉 et |θ+2π〉10 qui engendre les problemes de la quantification de la chargeen presence d’une source de courant. Formellement nous pouvons eviter ce problemeen introduisant un nombre quantique supplementaire N , avec la supposition que lesetats translates different sur ce parametre : |θ,N〉 = |θ + 2π,N − 1〉. Physiquementcette supposition est aussi valable, car il est difficile d’imaginer une source de couranteternelle. Nous donnons un exemple concret de ces considerations. En pratique, unesource de courant continu peut etre fabriquee a partir d’un supraconducteur ayantun grand nombre de vortex. Nous pouvons fabriquer un echantillon, montre sur lafigure (3.5) a gauche, sous un fort champ magnetique et, des que le circuit sera ferme, lecouper. En consequence la partie supraconducteur en forme de l’anneau contiendra ungrand nombre de vortex qui pourront se ”debobiner” a travers le contact en forme de JJ.Il est clair que dans ce modele, c’est le nombre de vortex qui joue le role du parametresupplementaire N . Remarquons d’abord que comme notre schema experimental necorrespond plus a celui donne sur la figure 3.5, une legere modification est necessaire :l’energie stockee dans le supraconducteur sous forme des vortex depend de la differencede phases aux extremites ψ, elle est donne par : E(ψ) = LEsup

∫ L

0(∇φ)2dx = Esupψ

2.11

L’etat quantique du systeme est defini par les trois variables de phases : |θZ2, θL, θR〉,1210Les symetries de l’Hamiltonien ne sont pas necessairement imposees a l’etat fondamental, comme

par exemple, dans le cas de la brisure spontanee de la symetrie. Cependant dans notre cas la periodicitede la phase est directement liee au caractere discret de la charge, propriete physique qui semble difficilea violer par la brisure spontanee.

11si on note par φL, φR les valeurs de la phase aux extremites de bulk supra, ψ ≡ φL − φR.12ces etats sont invariants par les translations de 2π dans le sens suivant : |θZ2, θL, θR〉 = |θZ2 +

2π, θL − 2π, θR〉 = |θZ2 + 2π, θL, θR − 2π〉 etc. C’est directement lie au fait que, ce sont les variablesde la difference de phases.

108

3.2. Une source de courant quantique

I

∇ϕ 6= 0∇ϕ 6= 0∇ϕ 6= 0

Lθ

I=const

Rθθ Z2

Figure 3.6: Le schema electrique (a droite) de la JJ Z2 connectee a une source decourant (anneau de supra) via deux jonctions ordinaires.

la phase ψ etant la somme de ses trois phases, ψ = θZ2 + θL + θR. Comme la valeur deψ est grande (nombre de vortex est eleve), il est evident qu’on ne pourra pas choisirtoutes les trois variables dans l’intervalle [−π, π]. Neanmoins il est possible d’introduireune variable supplementaire du nombre de vortex N et definir ainsi les phases dans cetintervalle : |θZ2, θL, θR〉 ⇒ |N, θZ2, θL, θR〉, ou θZ2, θL, θR ∈ [−π, π]. L’utilite pratiquede cette approche est claire : la seule chose qu’on veut savoir a propos de la sourcede courant est son intensite et non pas le nombre de vortex qu’elle contient. Nousarrivons naturellement a l’astuce mathematique que j’ai proposee au tout debut, l’etat”periodique” est donc : |θZ2 +2π, θL, θR〉 ≡ |N − 1, θZ2, θL, θR〉. La phase θZ2 peut bientendre vers ”l’infini” : cela enlevera juste les vortex dans le bulk supra. Cette procedurene marchera pas a l’infini au sens mathematique, car a un moment donne la pile seradechargee, mais nous pouvons etudier l’etat stationnaire non stable, pendant un tempsarbitrairement long. Pour finir nous allons calculer l’energie potentielle de la jonctionpresentee sur la figure 3.6. Pour simplifier supposons que les jonctions ordinaires soientequivalentes, dans ce cas l’energie du systeme s’ecrit :

E(θZ2, θL, θR) = −EJ(cos θL + cos θR) − EJ cos(2θZ2) + Esup(θZ2 + θL + θR − 2πN)2

Qu’obtient-on en developpant le carre ? Si Esup min(EJ , EJ) nous pouvons negligerle terme en ψ2.13 Le terme en N2 peut etre abandonne, car il ne depend pas desvariables de phases. Il nous reste juste le terme lineaire, qui decrit le courant continuI = 8πNeEsup/~. Nous montrons enfin l’evolution de la phase de l’etat stationnairesur la figure 3.7

Recapitulatif de la section :Le concept d’une source de courant quantique a ete introduit. Nous l’avons appliquea l’exemple concret de la JJ de type Z2 connectee au bulk supra par deux jonctionsordinaires.

13plus exactement (θZ2 + θL + θR)2

109


-π π N=1 2 3ψ

E (ψ)

-π πψ

N

N+1

N+2

E (ψ)

Figure 3.7: L’energie du bulk supra en fonction de la difference de phases ψ auxextremites. Nous pouvons considerer ψ dans l’intervalle de [−π, π] en in-troduisant le parametre de vortex N . A grand nombre de vortex l’energieest en forme de dents de scie inverse.

3.3 Quantification canonique

Dans cette section nous allons demontrer rigoureusement comment resoudre leprobleme gaussien de la mecanique quantique avec plusieurs degres de liberte. Ceciconstitue une base mathematique pour la methode de quantification canonique large-ment utilisee en theorie de champ. L’Hamiltonien le plus general du probleme gaussiens’ecrit sous la forme suivante a une constante pres :14

H(Φ, Π) =1

2

n∑

i,j=1

(

Ai,jΠiΠj +Bi,jΦiΦj + Ci,j[ΠiΦj + ΦiΠj])

(3.9)

ou Ai,j, Bi,j, Ci,j sont des coefficients reels et Πi, Φji,j est un jeu d’operateurs

conjugues : [Φi, Πj] = iδi,j. On obtient souvent ce type d’Hamiltonien lorsqu’onconsidere un ensemble de particules par l’approche de la premiere quantification, ouΦi, Πi sont respectivement les operateurs de position et d’impulsion de la particule i.Dans le cadre de ce chapitre, les variables Πi et Φi apparaissent naturellement pourun modele de type Hubbard avec des bosons en interaction sur un reseau. En effet,partant de [bi, b

†j] = δij, on peut former des operateurs canoniquement conjugues par

la transformation non-lineaire suivante :

b†j =

√

Πj exp(iΦj) et bj = exp(−iΦj)

√

Πj

Pour que le spectre en energie soit borne inferieurement, il est necessaire d’imposerune condition sur les constantes intervenant dans (3.9) : l’Hamiltonien, comme une

14apres avoir absorbe les termes lineaires dans la redefinissions d’operateurs Φ et Π

110

3.3. Quantification canonique

fonction de deux parametre-vecteurs ~x, ~y doit etre defini positif, H(~x, ~y) > 0 pour tous~x, ~y ∈ Rn.

Quelle est la strategie generale utilisee pour resoudre ce type de probleme ?D’abord nous cherchons les solutions du probleme correspondant de mecanique ana-lytique, comme si les operateurs Φ et Π etaient juste les coordonnees generalisees :Φ ⇒ Φ et Π ⇒ Π. Ensuite, dans le developpement temporel des operateurs Φ, Π (dansl’image de Heisenberg) toutes les constantes d’integration sont simplement remplaceespar des operateurs avec les regles de commutation standards. Nous allons dans la suitejustifier cette technique pas par pas.

Dans le premier temps nous allons demontrer l’equivalence entre l’equation dumouvement classique (equations d’Hamilton) et quantique (equations d’Heisenberg).

∂H

∂Πj= ∂tΦj;

∂H

∂Φj= −∂tΠj equations d’Hamilton

L’evolution d’operateurs dans la representation d’Heisenberg donne les memesequations :15

∂tΦj = ∂t[eiHtΦje

−iHt] = i[H, Φj] =∂H

∂Πj

∂tΠj = ∂t[eiHtΠje

−iHt] = i[H, Πj] = − ∂H

∂Φj

equations d’Heisenberg

Pour l’Hamiltonien (3.9) les equations classiques et quantiques sont strictementequivalentes :16

∂tΠi = −BijΦj − Ci,jΠj ∂tΦi = AijΠj + Ci,jΦj

Nous allons maintenant resoudre ces equations en se souvenant que ce sont desequations operatorielles. Il est avantageux d’utiliser leur forme vectorielle :

∂t

(

Φi

Πi

)

=

(

C A−B −C

) (

Φi

Πi

)

⇐⇒ ∂t~X = M ~

X (3.10)

ou nous avons introduit la matrice symplectique M et le vecteur-operateur ~X par :

M =

(

C A−B −C

)

∈ Mat(2n, 2n); et~X =

(

Φi

Πi

)

(3.11)

A,B, C sont les matrices de coefficients correspondants. Nous discutons en detail lesproprietes des matrices symplectiques dans l’annexe D. Nous utilisons ici le fait quedans notre cas elle est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont imaginaires : il

15Ou nous avons utilise [f(a), b] = ∂f∂a [a, b].

16par contre pour les Hamiltoniens non-quadratiques nous pouvons avoir des problemes lies a l’ordredes operateurs au moment ou nous passons du cas classique vers la description quantique.

111


existe P ∈ Mat(2n, 2n) telle que P−1MP = i diag(ω1, . . . , ωn,−ω1, . . . ,−ωn) ≡ iΩ.17

Nous pouvons alors faire une combinaison lineaire d’operateurs~Y def⇐⇒P−1 ~X, qui obeiront

a une equation differentielle triviale ∂t~Y = iΩ

~Y , dont les solutions sont donnees par :

Yα(t) = cαeiΩαt ou Ωα =

+ωα si 1 < α < n

−ωα si n+ 1 < α < 2n(3.12)

Nous utilisons encore une propriete de la matrice P pour etablir les regles de com-mutation des operateurs inconnus cα2n

α=1. Comme il est demontre dans l’annexe D,Eq.(D.3), P tJP = −iJ ,18 ou J est la matrice des commutateurs qui definit la formesymplectique :

J =

(

O I

−I O

)

; ou autrement Jα,β = −i[Xα, Xβ] (3.13)

Calculons ces commutateurs a temps egaux (t = t′) :

ei(Ωα+Ωβ)t[cα, cβ] ≡ [Yα, Yβ] = [(P−1 ~X)α, (P−1 ~X)β] = P−1α,α′P−1

β,β′[Xα′ , Xβ′] =

= iP−1α,α′P−1

β,β′Jα′,β′ = −i(P tJP)−1α,β = −Jα,β

Nous voyons deja la structure des operateurs de creation-annihilation bosoniques :

a†α = cα pour 1 < α < naβ−n = cβ pour n+ 1 < β < 2n

=⇒ [ai, a†j] = δi,j 1 < i, j < n

Cette derniere relation n’est valable que si c†i = ci+n pour tous 1 < i < n. En effet,c’est la consequence directe d’une des proprietes de la matrice P (D.4) et le fait que

les composantes du~X sont des operateurs hermitiens :19

~X† = ~X; P∗ = P(

O I

I O

)

⇒ P∗ ~Y † = P ~Y ⇒ ~Y =

(

O I

I O

)

~Y †

Reecrivons l’Hamiltonien (3.9) a l’aide des nouveaux operateurs :20

H = (~X;H ~

X) =1

2(P ~Y ; JMP ~Y ) = − i

2(~Y ;P tJPΩ

~Y ) = −1

2(~Y ; JΩ

~Y ) =

=

n∑

i=1

ωi(a†i ai + aia

†i) (3.14)

Nous avons utilise la notion de la matrice H qui definit la forme quadratique de l’Ha-miltonien :

H =1

2

(

B CC A

)

≡ −1

2JM

17ωi > 0 pour tout i. La matrice P possede certaines proprietes que nous utiliserons dans la suite,voir l’annexe D.

18Pt est la matrice transposee (non pas conjuguee hermitienne)19nous ne mettons pas de chapeaux sur les operateurs dans cette expression pour simplifier l’ecriture20nous notons par les parentheses le produit scalaire dans l’espace reel : (~ξ, ~ζ) =

∑

ξiζi.

112

3.4. Modele de Caldeira-Leggett : un cas simple

La solution des equations (3.10) consiste donc en une simple transformation lineairedes operateurs de sorte que l’Hamiltonien s’ecrive, comme la somme d’oscillateurs har-moniques, dont les operateurs correspondants ont les regles de commutation bosoniques.Nous pouvons en consequence trouver l’espace de Fock correspondant, avec l’etat fonda-mental defini par ai|O〉=0 pour tout i. Du point de vue pratique, nous devons d’abordresoudre les equations classiques et ensuite remplacer les constantes d’integration de-vant eiωj t par les operateurs de creation et devant e−iωj t par les operateurs d’annihilationbosoniques. Notons que les problemes arrivent au moment ou la forme quadratique duHamiltonien n’est pas strictement positive, i.e. il existe ~X ∈ R2n tels que ( ~X;H ~X) = 0.Dans ce cas la matrice M n’est pas diagonalisable. Mais nous pouvons toujours la ra-mener a sa forme de Jordan. Chaque bloc de Jordan va correspondre a une coordonneenormale dont le mouvement n’oscille pas, mais se fait a une vitesse constante. Cedegre de liberte non oscillant se quantifie tout simplement comme une particule libre(voir l’annexe D). Toutefois la procedure de ”jordanisation” etant plus complexe, nousproposons dans la section suivante une methode alternative.21

Recapitulatif de la section :Dans cette section nous avons trouve une justification mathematique pour la quantifi-cation canonique, qui est largement utilisee dans la theorie des champs (nous l’utilisonsdans l’approche variationnelle quantique 1.5.3). La generalisation pour le cas continuetant directe, nous avons considere seulement l’Hamiltonien discret. La quantificationcanonique n’est pas triviale pour les problemes dont l’Hamiltonien n’est pas definipositif. Dans ce cas la forme de Jordan doit etre employee.

3.4 Modele de Caldeira-Leggett : un cas simple

Une jonction Josephson traversee par un tres fort courant permanent I peut etreassociee au modele d’un objet massif tombant dans le champ gravitationnel. En effetsi I >> Ic l’Hamiltonien d’une jonction s’ecrit comme :

H =Q2

2C− ~

2e(Iθ + Ic cos θ) ≈ Q2

2C− ~I

2eθ +O(Ic/I) (3.15)

ou nous utilisons les notations habituelles : C est la capacitance de la jonction, Ic soncourant critique et enfin Q est l’operateur de charge et son conjugue est l’operateur dela difference de phases aux bornes de la jonction, [θ, Q] = i2e. Il est clair que dans cetteanalogie avec l’objet dans le champ gravitationnel, la capacitance C joue le role d’unemasse et le courant I correspond a l’intensite du champ. Nous savons que dans le casideal, un objet dans le champ gravitationnel avance avec l’acceleration constante le longdu gradient du champ. En pratique, par contre, il atteint une vitesse constante grace ala presence de forces dissipatives. C’est ce cas qui est plus interessant physiquement, caril correspond a la JJ reelle avec une resistance interne. Si le courant injecte dans la JJdepasse le courant critique, les charges ne pouvant pas passer a travers s’accumulent sur

21il existe aussi les methodes a base de l’integrale du chemin [BEAH01]

113


les plaques du condensateur. Une difference de potentiel est alors creee et une partiedu courant traverse la resistance ce qui entraıne les oscillations de la difference dephase entre les deux supraconducteurs de la jonction et en consequence les oscillationsde l’amplitude du courant qui traverse la jonction elle-meme. Ce processus etant biendecrit du point de vue classique dans le livre de Tinhkam [Tin96], nous proposons ici unmodele quantique inspire par le modele de Caldeira-Leggett [CL81]. Nous consideronsdans la suite un objet quantique de masse m dans le champ gravitationnel γ en presencedes frottements, dont l’Hamiltonien non dissipatif est donne par :

HND =p2

2m−mγx (3.16)

ou p et x sont des operateurs conjugues : [x, p] = i.22 Dans le formalisme hamiltonienen general et dans la mecanique quantique en particulier, il n’est pas facile d’inclureles forces dissipatives, car elles entraınent la non-conservation de l’energie pendant lemouvement. Il est donc judicieux de choisir un systeme plus large, ou l’energie totaleest conservee, et ou l’objet etudie est plonge dans le bain de son environnement. Nousadaptons ensuite les parametres de ce systeme de sorte a ce que le modele initial ait lesequations de mouvement classiques. Il est clair que pour pouvoir decrire la dissipationa temps long le systeme enveloppant doit avoir un nombre de degres de liberte infini. Lemodele le plus simple que nous pouvons imaginer est le bain d’oscillateurs harmoniques.

HD =∑

α

Π2α

2mα+

1

2mαω

2α(x− Uα)

2; avec [Uα,Πβ] = iδα,β (3.17)

Nous pouvons penser a plusieurs ressorts de raideurs differentes qui sont attaches a laparticule. Relachee dans ce bain, la particule tente d’accelerer. Elle est freinee d’abordpar des ressorts les plus faibles, mais au cours du temps ce sont des ressorts de plus enplus rigides qui entrent en jeu. Ainsi la particule atteint son etat stationnaire. Cetteidee a ete exploitee par nombreux auteurs [CL81, HA85, APSJ85, APSJ86] avec lesmethodes d’etude tres variees. Nous developpons dans cette section la methode baseesur la transformation de Fourier regularisee, qui nous permettra de suivre l’evolutiondu systeme en exprimant les operateurs dans l’image de Heisenberg au temps t enfonction de leurs valeurs initiales. Les equations du mouvement sont donnees par :

duα/dt = Πα/mα dx/dt = p/m

dΠα/dt = mαω2α(x− uα) dp/dt = mγ −

∑

α

mαω2α[x− uα]

Notons que ces equations definissent une forme quadratique qui s’annule pour x =uα, p = Πα = 0. Donc dans l’approche de la quantification canonique, elle peut etreramenee a sa forme de Jordan. Et il existe donc au moins un mode quantique quise propage avec une vitesse constante. Lorsqu’on ecrit les equations du mouvementsous la forme vectorielle, la matrice d’evolution a le determinant nul et elle n’est plusdiagonalisable. Dans la partie suivante nous allons resoudre ces equations differentiellespour les operateurs en introduisant la transformee de Fourier sur un demi-axe du temps.

22nous choisissons les unites ou ~ = 1.

114


3.4.1 Transformee de Fourier sur un demi-axe du temps

Pour resoudre les equations du mouvement quantiques nous allons utiliser latransformation de Fourier regularisee definie sur un demi-axe reel. Cette transformationnous permettra, connaissant les operateurs au moment initial, de les exprimer a toutinstant t > 0. Ceci est d’utilite pratique, car en se donnant les conditions initiales nouspouvons ainsi evaluer toutes sortes de commutateurs.

F [x(t)] def⇐⇒

∫ ∞

0

x(t)e(ik−ε)tdt ≡ xε(k) (3.18)

F−1[xε(k)]def⇐⇒

1

2π

∫ ∞

−∞

xε(k)e−iktdk = x(t) t > 0

La derniere equation n’est valable que dans la limite de ε → 0 ; limε→0 F−1[xε(k)] =F−1[F [x(t)]] = x(t). Les equations du mouvement dans la forme d’Euler-Lagrange sontdonnees par :

uα + ω2α(uα − x(t)) = 0 (3.19)

mx = mγ −∑

α

mαω2α[x(t) − uα(t)]

La transformation de Fourier sur le demi-axe23 a une forme plus complexe que latransformation de Fourier ordinaire, mais elle peut etre toujours utilisee pour resoudreles equations differentielles : F [x(t)] = −x(0)+ (ik− ε)x(0)+ (ik− ε)2xε(k), ou x(0) ≡x(t = 0) que nous notons dans la suite tout simplement par x. La TF des equations dumouvement donne :

−x + (ik − ε)x+ (ik − ε)2x(k) = − γ

ik − ε− 1

m

∑

α

mαω2α(x(k) − uα(k))

−uα + (ik − ε)uα + (ik − ε)2uα(k) = ω2α(x(k) − uα(k)) (3.20)

ou x ≡ x(t = 0) et uα = uα(t = 0). On extrait de ces equations la transformee deFourier pour la position de l’objet etudie :

xε(k) =− iγk+iε

− x + i(k + iε)x− 1m

∑

αmαω2αuα−i(k+iε)uα

ω2α−(k+iε)2

(k + iε)2[1 + 1m

∑

αmαω2

α

ω2α−(k+iε)2

](3.21)

Cette expression n’etant pas tres transparente, nous allons choisir une forme particulierede l’Hamiltonien de dissipation. Dans le cas general, en imposant la condition suivantesur les modes d’oscillateurs du bain nous obtenons l’equation du mouvement classique,voir l’annexe E, avec le terme dissipatif :

∑

α

mαω2α cosωαt = (2m/τ)δ(t) ⇒ x + τ−1x = γ (3.22)

23dans la suite je la note par TF

115


Le coefficient τ est le temps caracteristique que met l’objet classique pour atteindre lavitesse constante en presence des frottements. Il est possible de satisfaire la contrainte(3.22) imposee sur le bain en choisissant le bain continu d’oscillateurs.24

HD =πτ

2m

∫ ∞

−∞

ω2Π

2(ω)dω+m

2τπ

∫ ∞

−∞

(x−u(ω))2dω; [u(ω′), Π(ω)] = iδ(ω−ω′) (3.23)

Les sommes dans l’expression pour xε(k) se simplifient, comme :

πτ

m

∑

α

mαω2α

ω2α − (k + iε)2

=

∫ ∞

−∞

dω

ω2 − (k + iε)2=

iπ

k + iε

L’equation (3.21) prend la forme moins lourde :

xε(k) = (k + iε+ iτ−1)−1 −iγ

(k + iε)2− x

(k + iε)+ ix +

+1

πτ

∫ ∞

−∞

dωu(ω) − i(k + iε)u(ω)

[(k + iε)2 − ω2](k + iε)

(3.24)

Nous pouvons maintenant calculer la TF inverse et obtenir ainsi l’expression del’operateur x au moment t en fonction d’operateurs au temps t = 0.25

x(t) = γτ [t + τ(e−t/τ − 1)] + ˙xτ(1 − e−t/τ ) + xe−t/τ +

+1

π

∫ ∞

−∞

dω ˙u(ω)

[

1

ω2− e−t/τ

ω2 + τ−2− Re

eiωtω−2

1 + iωτ

]

+ (3.25)

+1

π

∫ ∞

−∞

dω u(ω)

[

e−t/τ

τ(ω2 + τ−2)+ Im

eiωtω−1

1 + iωτ

]

L’operateur de l’impulsion de l’objet peut etre trouve facilement en prenant la deriveepar rapport au temps : p(t) = mdx/dt. La formule (3.25) nous permet, etant donneesles conditions initiales, de calculer l’evolution temporelle de n’importe quelle moyenned’operateurs. En pratique, il est interessant de regarder cette evolution a grand temps,la ou les effets de branchement sont evanescents. L’equation a t→ ∞ s’ecrit comme :26

limt→∞

x(t) ≈ γτt + ˙xτ + xe−t/τ +τ

m

∫ ∞

−∞

dω Π(ω)

[

1 − Reeiωt

1 + iωτ

]

+

+1

π

∫ ∞

−∞

dω

ωu(ω)Im

eiωt

1 + iωτ(3.26)

nous avons passe dans cette expression vers la description hamiltonienne, i.e. l’operateur˙u(ω) est remplace par Π(ω) = m

πτ

˙u(ω)ω2 . Pour monter la puissance du formalisme introduit,

dans la section suivante nous allons a titre d’exemple etudier l’evolution a partir d’unetat initial gaussien.

24l’astuce etant de remarquer que l’equation (3.22) est satisfaite si l’on remplace πτ∑

α mαω2α par

m∫ ∞

−∞dω. La demonstration etant standard, nous la faisons dans l’annexe E.

25j’ai remis les chapeaux pour souligner que cette expression est operatorielle. Deux tests de cetteequation peuvent etre effectues : a) la translation globale des operateurs de la position a temps t = 0engendre la translation a temps t, i.e. u+ a, x+ a ⇒ x(t) + a ; b) le commutateur [x, p] = i n’evoluepas avec le temps.

26nous gardons les termes de l’ordre le plus eleve devant chaque operateur. Pour cette raison et parprecaution le terme xe−t/τ n’est pas neglige.

116


3.4.2 Etat stationnaire en presence du courant continu

Du point de vue classique l’objet place dans un champ gravitationnel constants’accelere jusqu’au moment ou les forces de frottement compensent la force gravitation-nelle. Donc a grand temps son mouvement est stationnaire et la trajectoire est donneepar x(t) = x0 + γτt. Il est interessant de voir si cette image physique est conservee sil’on considere l’evolution de l’objet quantique. Dans cette partie nous allons considererl’evolution d’un etat gaussien. En calculant le correlateur de l’operateur position, nousarrivons a la conclusion qu’a grand temps les etats initiaux se stabilisent vers un etatinvariant par translation du temps. Ce resultat n’etait pas du tout evident, comptetenu du fait que les fluctuations quantiques, dues aux conditions initiales, pouvaientpersister meme a grand temps.

Supposons que nous placons un paquet d’onde gaussien dans le bain d’oscillateursqui se trouve dans son etat fondamental. L’Etat initial est donc le produit direct dedeux etats gaussiens :|Ω〉 def

⇐⇒|0〉 ⊗ |O〉, ou les etats gaussiens dans les representationsposition et impulsion sont respectivement donnes par :27

〈x|0〉 ∼ exp(−mx2∆/2); 〈u|O〉 ∼ exp(

− m

2πτ

∫ ∞

−∞

dωu2(ω)/ω)

〈p|0〉 ∼ exp(

− p2/(2m∆))

; 〈Π|O〉 ∼ exp(

− πτ

2m

∫ ∞

−∞

ωdωΠ2(ω)

)

(3.27)

Ici ∆ est la largeur caracteristique du paquet d’onde, qu’on introduit dans le baind’oscillateurs au moment t = 0. La valeur moyenne dans l’etat gaussien de n’im-porte quelle expression d’operateurs peut etre reduite a une combinaison de valeursmoyennes d’operateurs simples, ainsi que leurs correlateurs (theoreme de Wick). Les va-leurs moyennes des operateurs x, p, u, Π etant nulles, nous calculons leurs correlateurs :

〈Ω|u(ω)u(ω′)|Ω〉 = C

∫∫

〈O|u〉〈u|u(ω)u(ω′)|u′〉〈u′|O〉DuDu′ = (3.28)

= C

∫

Du u(ω)u(ω′) exp

(

−m

πτ

∫ ∞

−∞

dω u2(ω)/ω

)

=πτ

2mω δ(ω − ω′)

ou C est la constante de normalisation et Du est l’integrale de chemin sur la fonctionu(ω). Le tableau recapitulatif des valeurs moyennes dans l’etat gaussien Ω necessairespour les calculs se lit comme :28

〈u(ω)u(ω′)〉 = πτω2m

δ(ω − ω′) 〈x2〉 = (2m∆)−1

〈Π(ω)Π(ω′)〉 = m2πτω

δ(ω − ω′) 〈p2〉 = m∆/2

〈u(ω)Π(ω′)〉 = i/2 δ(ω − ω′) 〈xp〉 = i/2 (3.29)

〈x〉 = 〈p〉 = 〈u(ω)〉 = 〈Π(ω)〉 = 0

〈x u(ω)〉 = 〈p u(ω)〉 = 〈x Π(ω)〉 = 〈p Π(ω)〉 = 0

27a des constantes de normalisation pres ; ~ = 128toutes les moyennes sont prises au moment initial t = 0

117


Nous allons estimer dans la suite le correlateur de l’ecart de la position moyenne del’objet etudie a grand temps :29 〈Ω|δx(t)δx(t′)|Ω〉, ou δx(t) def

⇐⇒x(t)−〈Ω|x(t)|Ω〉 = x(t)−γτt. Nous attendons qu’il existe une echelle du temps, a partir de la quelle l’etattombant devient stationnaire, c’est-a-dire que le correlateur de l’ecart de la position nedepend que de la difference du temps t− t′.

〈Ω|δx(t)δx(t′)|Ω〉 =τ 2∆

2m+ (3.30)

+τ

2πm

∫ ∞

−∞

dω

ω[Re g(t)Re g(t′)−iIm g(t)Re g(t′)+iRe g(t)Im g(t′)+Im g(t)Im g(t′)] =

=τ 2∆

2m+

τ

2πm

∫ ∞

−∞

dω

ωg∗(t)g(t′)

ou la fonction g est definie par g(t) = 1 − eiωt/(1 + iωτ). La valeur principale del’integrale sur ω dans (3.30) n’etant pas divergeante, nous pouvons modifier le contourde l’integration pour obtenir :

〈Ω|δx(t)δx(t′)|Ω〉 =τ 2∆

2m− iτ

2m

(

sign (t′ − t)[e−|t′−t|/τ − 1] + 2e−t/τ − 2e−t

′/τ)

Donc dans la limite de t τ , t′ τ , le correlateur est invariant par la translationdans le temps meme pour les valeurs de temps arbitrairement proche l’une de l’autre|t− t′| τ :

〈Ω|δx(t)δx(t′)|Ω〉 =τ 2∆

2m+

iτ

2msign (t− t′)[e−|t

′−t|/τ − 1] (3.31)

Nous arrivons a la conclusion suivante : le paquet d’onde gaussien relache dans l’en-vironnement a t = 0 evolue vers l’etat stationnaire, qui est invariant par translationdans le temps t τ . Donc l’intuition classique peut etre utilisee meme pour le casquantique, τ etant le temps caracteristique que met l’objet pour atteindre la vitesseconstante. Ces resultats traduits dans le langage des JJ montrent l’existence des etatsstationnaires pour une jonction Josephson traversee par le courant continu.

Nous pouvons continuer cette etude en considerant la JJ de type Z2 traverseepar un fort courant continu :

H =Q2

2C− ~

2e

(

Iθ + Ic/2 cos(2θ))

≈ Q2

2C− ~I

2eθ +O(Ic/I) (3.32)

L’equation etant la meme, mais les operateurs au moment initial t = 0 peuvent etrebeaucoup plus complexes que dans le cas d’une JJ simple. Nous pouvons par exemplepreparer un melange d’etats au depart et voir son evolution au court du temps. Ansiles effets de dephasage peuvent etre testes.

(|0〉 + |π〉) ⊗ |O〉 t=⇒ |Ψ1

t 〉 ⊗ |It〉 + |Ψ2t 〉 ⊗ |IIt〉〈It|IIt〉 ?∼ e−t/T

∗

(3.33)

29je suppose partout dans la suite que t et t′ tendent vers l’infini ; t, t′ → ∞

118

3.5. Deux modeles quasi-classiques

Il semble, bien que cette physique interesse nombreuses equipes experimentales dansle monde entier [BCB+04], qu’il soit difficile de voir l’excitation du gap Z2 par desmesures simples de la courbe IV , qui est notre but principal. Ceci nous incite a etudierla limite opposee de faible courant traversant la jonction I < Ic.

Recapitulatif de la section :Dans cette section nous avons introduit le modele quantique de la resistance (Caldeira-Leggett). En utilisant la transformee de Fourier definie sur le demi-axe de temps, nousavons montre l’existence des etats quantiques stationnaires d’une ”shunted” jonctionJosephson traversee par un fort courant continu. Cette methode est particulierementadaptee a l’analyse des questions de la decoherence d’un etat melange. Ceci donneune motivation pour l’etude du meme modele des JJ de symetrie Z2, qui possedentdeux etats fondamentaux, et peuvent dans le futur devenir une base des q-bits pourl’information quantique.

3.5 Deux modeles quasi-classiques

Nous continuons dans cette section d’explorer les differents modeles des q-bittraverses par le courant constant. Il est interessant d’etudier le cas de faible courantd’injection I Ic. Commencons d’abord par l’introduction intuitive. Nous poursui-vons toujours la meme idee : la jonction Z2 peut etre consideree comme un systeme adeux niveaux. Le courant injecte de l’exterieur pourra exciter ce niveau energetique.A priori la courbe tension-courant doit changer son allure lorsque l’energie des chargesinjectees dans le systeme, qui depend de I,30 est egale au gap Z2 ∆. En effet, pour cettevaleur particuliere du courant, les charges traverseront la jonction plus facilement etla chute de tension doit etre moins importante. Cet effet ponctuel ne serait pas visibles’il n’y avait pas de ”mode locking” (annexe C). Les equations differentielles du mou-vement classique qui decrivent l’ensemble des JJ, sont fortement non lineaires (3.6)et elles sont definies sur un hypertore, car les variables de phase sont 2π periodiques.C’est exactement dans ce cas que l’effet de mode locking apparaıt [Arn88]. Ainsi nousesperons pouvoir trouver les plateaux dans la courbe tension-courant, comme ceux del’escalier du diable montre precedemment Fig. 1.31 page 54. D’un point de vue plusquantitatif, il est important de confirmer cette idee par des simulations numeriques.L’allure de la courbe courant-tension recherchee est presentee sur la figure 3.8.

Dans la suite nous proposons deux modeles theoriques, dont un est en cours d’etreetudie numeriquement. L’Effet de mode locking pourrait etre observe. Le premier,qui a deja ete mentionne auparavant, est le cas d’une jonction Z2 branchee en serieavec deux jonctions ordinaires, Fig. 3.6. Ceci est le schema realiste le plus simplequ’on puisse imaginer. Neanmoins elle possede un defaut majeur, que nous pouvonsidentifier en ayant bien compris les proprietes de la symetrie Z2 locale (voir chapitre2). En effet les cas uni et bidimensionnels sont tres distincts du point de vue de la

30ceci est vrai seulement en presence de la resistance parallele a circuit.

119


1/41/5

1/6

µ

ν <U>

I

ω

Figure 3.8: La courbe IV recherchee (a droite) et l’escalier du diable de la dependancedu remplissage electronique ν en fonction du potentiel chimique µ. Dupoint de vue experimental il est important d’avoir un plateau suffisam-ment large.

symetrie. Chacun des generateurs de la symetrie Z2 locale d’un reseau de losangesconsiste en une transformation locale a la fois de tous les losanges lies a un site donne[KDD05]. Pour une chaıne de losanges unidimensionnelle, le choix alternatif sous laforme de transformations semi-locales31 d’un losange [DV02] est possible. En prenantles conditions aux limites periodiques, a une dimension nous detruirons cette deuxiemepossibilite. La conclusion est que la symetrie Z2 locale est toujours associee a dessites du reseau a 2D, mais c’est le cas a 1D seulement si l’on impose les conditionsaux limites periodiques. Cette discussion est d’autant plus importante ici, car pour ladescription des reseaux de losanges nous avons le choix entre les deux variables. Soit ondecrit la dynamique des jonctions a l’aide des phases d’ılots supraconducteurs, que j’aitoujours notees par φ, soit on choisit les variables de differences de phases, notees parθ. Les variables φ sont associees aux nœuds du reseau tandis que les variables θ auxliens (jonctions). Donc a une dimension on s’attend a ce que le systeme se decouple enun ensemble de problemes isoles en serie. La dynamique d’un reseau 1D de jonctionsressemblera a celle d’une seule jonction. Il n’y aura pas d’effet notable de la symetrieZ2 sur la dynamique du systeme (voir dans la suite pour plus de detail). Ce problemepeut etre evite en imposant une retroaction globale, pour que la sortie de la chaınesoit liee a l’entree (il n’existe pas de transformation locale liee au losange isole dans cecas). Nous pouvons brancher une resistance commune pour realiser cette retroaction.Pour toutes ces raisons nous considerons aussi le cas bidimensionnel ou les variables dephase sur chaque ılot supraconducteur sont des variables naturelles. La physique descas uni et bidimensionnel est donc tres differente.

120


Lθ Rθθ Z2

I=constR

Figure 3.9: Le schema d’experience a une dimension. Dans le regime I cL = IcR <I < IcZ2 la resistance commune R est necessaire pour pouvoir exciter lajonction Z2.

3.5.1 Modele unidimensionnel

Nous considerons le schema experimental suivant : la jonction Z2 connectee a unepile quantique via des contacts tunnels, Fig. 3.9. Nous analysons le cas ou la jonctionZ2 n’est pas tres perturbee par le courant I, i.e. I < I cZ2. L’idee etant d’exciter legap Z2, les jonctions de branchement (L,R) doivent au contraire se trouver dans leregime oscillatoire IcL = IcR < I < IcZ2.

32 La resistance commune sert a coupler lesoscillations de la tension dans les jonctions de contact a la JJ Z2 (ou du point devue mathematique, sert a imposer les conditions aux limites ”periodiques”). Enfin,les resistances RL, RR jouent le role stabilisant, qui peuvent aider a atteindre un etatstationnaire de tension moyenne finie aux bornes des jonctions de contact. Les equationsdu mouvement classiques sont donnees par :33

~CR2e

θR +~

2eRR

θR+~

2eR(θR + θL + θZ2) + IcR sin θR = I

~CZ2

2eθZ2 +

~

2eR(θR + θL + θZ2) + IcZ2/2 sin(2θZ2) = I (3.34)

~CL2e

θL +~

2eRL

θL+~

2eR(θR + θL + θZ2) + IcL sin θL = I

Nous pouvons tout de suite verifier l’hypothese annoncee auparavant : la resistancecommune R etant nulle, les equations du mouvement se decouplent. Pour simplifier le

31j’utilise le mot semi-local, car l’operateur de symetrie correspondant transforme un seul losange enfaisant multiplier les autres a sa droite ou a sa gauche par le facteur −1. Pour les observables physiquesc’est donc une operation locale, par contre du point de vue mathematique c’est une transformation,qui affecte une partie semi-infinie du systeme.

32si I < min[IcL, I

cR, I

cZ2] le courant traverserait la chaıne sans aucune dissipation, le regime serait

stationnaire sans effet dynamique interessant.33pour obtenir ces equations il faut supposer que la charge totale du systeme est nulle et remarquer

que les operateurs de charges conjugues a des variables de la difference de phase θL,R,Z2 sont suivants :

qL ≡ Q0, qZ2 ≡ Q0 + QL et qR = Q1 + Q2 + Q3, ou∑4

i=1Qi = 0 et Qi4i=1 sont des charges de

chaque ılot supraconducteur.

121


probleme nous ne mettons pas de resistance sur la JJ Z2. Ceci est justifie, car noussupposons qu’elle reste dans un etat non dissipatif.

Essayons de comprendre le comportement classique du systeme. Le courant I nepouvant pas traverser les jonctions de contact I > I cL,R, est oblige de passer par laresistance commune R. En meme temps la tension au bord des jonctions ordinairesse met a osciller, mais grace a la presence des resistances RL,R les oscillations sontattenuees. Donc la jonction Z2 est perturbee par les jonctions de contact. Nous pou-vons voir ceci autrement dans la limite de tres faible courant critique des jonctions decontact IcL,R I. A l’ordre zero IcL,R = 0, le courant traversant la jonction Z2 deplacelegerement la position de ses niveaux classiques fondamentaux et nous obtenons unetat stationnaire tel que :

RRθL = RLθR =2e

~

RRLRR

R +RL +RR

I et θZ2 = 0 (3.35)

Pour simplifier supposons que RL = RR = R/2, dans ce cas il existe une seule frequencecaracteristique ω = eI~−1(R−1 + R−1)−1. A l’ordre 1 les termes IcL cos θL et IcR cos θRvont osciller periodiquement, entraınant les oscillations de θL + θR. Donc au voisinagede sa position d’equilibre, la coordonnee θZ2 va subir un forcage periodique lineaire,illustre sur la figure (3.10). Nous pouvons retrouver ce meme resultat du point de vueenergetique. Ce systeme est similaire a l’ensemble de trois particules dans un potentielperiodique superpose avec le champ gravitationnel constant en presence de forces defrottements complexes. L’energie potentielle d’un tel systeme est donnee par :

E(θZ2, θL, θR) = −EJ(cos θL + cos θR) − EJ cos(2θZ2) −~I

2e(θZ2 + θL + θR)

ou EJ EJ . Il est clair que quoi qu’il se passe la somme des trois variables dephases ”tombera” dans ce potentiel. Grace a la presence de la resistance communela vitesse de la ”chute” sera limitee. L’une des trois ne pouvant pas bouger (θZ2) cesont les deux autres qui vont tomber : θZ2(t) + 2θL,R(t) = 2ωt, les particules gaucheet droite etant equivalentes. L’energie de la particule Z2 dans l’etat stationnaire seraapproximativement donnee par :

E(θZ2, t) ≈ −EJ cos(ωt− θZ2/2) − EJ cos(2θZ2)

Comme on obtient un systeme a deux niveaux avec le forcage periodique, nous pouvonsle ramener a celui de l’oscillation de Rabi. En effet, dans l’approximation adiabatiquel’Hamiltonien de ce systeme s’ecrit comme :

HZ2 = V cos(ωt)σz ou σz est la matrice de Pauli diagonale

Si l’on rajoute le couplage tunnel entre les niveaux, on obtient l’Hamiltonien de Rabia un changement de x↔ z pres.

HZ2 =∆

2σx + V cos(ωt)σz ou ∆ est le gap Z2 du probleme initial

122


1(t)∆Ε ∆Ε 2(t)

Figure 3.10: Les deux etats de plus basse energie d’une JJ Z2 soumis a un forcageperiodique par les jonctions de contact. Ce modele peut etre ramene acelui de l’oscillation de Rabi.

Des que la frequence exterieure ω sera egale a la valeur du gap ∆ les oscillations dela tension autour de sa valeur moyenne seront amplifiees. C’est-a-dire qu’une partiede l’energie pompee par la source s’accumulera dans le terme cinetique et la valeurmoyenne de la tension n’augmentera pas pendant un instant (le mode locking). Lacourbe recherchee (Fig. 3.8) doit donc etre visible. Le fait que le plateau de mode lockingn’est pas juste un point de la resonance ~ω = ∆, mais tout un intervalle, est directementlie a la presence du terme non-lineaire, qu’on n’a pas ecrit explicitement dans les deuxdernieres equations. L’analogie est alors complete avec l’effet de mode locking utilisedans la generation des impulsions ultra-courtes en optique. L’introduction d’un elementnon-lineaire dans la cavite laser permet d’aligner les phases des ondes sortantes. Cemodele neanmoins necessite encore une analyse plus detaillee.

3.5.2 Modele bidimensionnel

La chaıne 1D, avec la matrice de capacitance sans termes diagonaux, est un castres particulier, car les liens se decouplent, en utilisant les differences de phase auxbornes de ces liens. En deux dimensions, ces differences de phase θij ≡ φi − φj ne sontplus independantes, car θ12 + θ23 + θ34 + θ41 = 0 autour de chaque plaquette. Dans cecas une approche en terme de symetries Z2 attachees aux sites (et non pas aux liens)doit garder sa pertinence. Elle sera plus proche de l’intuition initiale (physique de typeAndreev, induite par le fait que chaque boson injecte doit l’etre ”au-dessus” du gapZ2).

Nous travaillons encore dans la limite ou la JJ Z2 se trouve quasiment dansson etat de plus basse energie. Nous commencons donc par la caracterisation de l’etatfondamental classique d’un reseau Z2. Le bulk Z2 possede une certaine rigidite. Larepresentation graphique (Fig. 3.11) est tres parlante. Nous pouvons a chaque ılotsupraconducteur associer un vecteur de phase. Dans l’etat fondamental, la differencede phases entre deux sites voisins est egale a 0 ou π. Donc le bulk dans l’etat nonperturbe aura une direction privilegiee que nous notons par χ ∈ [0, π]. Elle est tout a

123


fait arbitraire et liee a l’invariance par rotation globale. Nous pouvons donc caracteriserun etat fondamental du bulk Z2 par l’ensemble de variables de spin σzi i et une phaseglobale χ. En presence du couplage de bulk Z2 a un supraconducteur exterieur l’etatfondamental sera modifie, mais il est toujours fructueux de tout decrire a l’aide desnouvelles variables : χj

def⇐⇒φj + π(σzj − 1)/2 ∈ [0, π]. Dans un etat faiblement perturbe

l’ensemble de χii doit etre une fonction lisse de la variable de la position i. Nousallons dans la suite proposer un schema d’experience qui fournira une dynamique auxvariables de spin. Le principe est le meme qu’a une dimension, mais nous remarquonsque si les equations se decouplent la physique du systeme decouple est aussi non-triviale.

χ=0χ=π δχ δχ>0δχ<0 δχ=0

Figure 3.11: L’etat fondamental pour un reseau de jonctions Z2 non-perturbe (agauche) peut etre represente comme un ensemble de spins avec une phaseglobale homogene χ. Les conditions aux limites changent la variable χ,soit d’une maniere homogene (au milieu), soit d’une facon lisse (a droite).Dans l’image classique, les variables de spin ne sont pas influencees par defaibles perturbations, et l’on neglige le couplage entre le champs continuχ et les spins.

Supposons que nous ayons un systeme 2D le plus simple possible, Fig. 3.12.Comme nous l’avons deja mentionne, il n’est plus necessaire de brancher une retroactionen forme de la resistance commune. Ansi les equations decrivant les jonctions decontacts vont se decoupler de l’equation decrivant la jonction Z2 2D. Nous allons nousinteresser a la partie de ces equations qui mettent en jeu les variables de spin explici-tement. La partie de l’energie potentielle de ce systeme, qui depend des variables despin, s’ecrira comme :

−EJN

∑

j=1

σzj,L cos(φL − χj,L) + σzj,R cos(φR − χj,R)

. (3.36)

Exprime en variables de spin, le terme des transitions tunnels (entre les etats fon-damentaux equivalents) prend la forme simple : ∆

2

∑Nj=1(σ

xL,j + σxR,j). En supposant

124


I

Lϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

1,L

2,L

N,L

ϕ

ϕ

ϕN,R

2,R

1,R

R

j,Lθ θI=const

j,Rχ σ

Figure 3.12: Le schema de l’experience a 2D. Il n’y a plus de resistance commune.

que les jonctions Z2 soient connectees au bulk supraconducteur a gauche et a droited’une facon parfaitement symetrique, les equations pour les jonctions de contact serontidentiques et donnees par :

~C

2eθj,R +

~

2eRθj,R ± Ic sin θj,R = I/N ou θj,R = φR − χj,R

~C

2eθj,L +

~

2eRθj,L ± Ic sin θj,L = I/N ou θj,L = χj,L − φL (3.37)

Le signe ± depend du spin de la jonction Z2 connectee au bulk gauche ou droite. Acondition que le courant injecte soit suffisamment fort, la dynamique de ces phases seracelle de l’objet dans le champ gravitationnel en presence de frottement. Nous pouvonsfaire l’hypothese que toutes ces phases soient identiques : θ = θj,R = θj,L pour tout j.Alors l’Hamiltonien quantique de ce probleme s’ecrira tout simplement, comme :

H =2e2

Cn2 − ~I

2eNθ + ∆/2

N∑

j=1

(σxL,j + σxR,j) − EJ cos θ

N∑

j=1

(σzL,j + σzR,j) + HD

ou HD est l’Hamiltonien de dissipation du type Caldeira-Leggett (3.17), qui est intro-duit pour prendre en compte les frottements de la phase θ ; n est l’operateur conjuguea θ, i.e. [θ, n] = i. Nous voyons que les indices L,R jouent un role identique, nouspouvons les supprimer en supposant que la somme sur j contienne explicitement lasommation sur L,R. Pour ramener l’Hamiltonien dans sa forme la plus naturelle, nousallons faire une rotation dans l’espace de spin (σx → σz; σz → −σx) et en plus nous

introduisons l’operateur du spin total : ~S =∑

j ~σj/2 :

H =2e2

Cn2 − ~I

2eNθ + Sz∆ + 2EJ S

x cos θ + HD

La derniere approximation que nous pouvons faire est l’approximation resonante, quiconsiste a choisir les termes d’interaction dominante pendant la resonance. Ceci est

125


raisonnable car l’effet de mode locking n’est rien d’autre que la resonance dans lessystemes non lineaires.

2EJ Sx cos θ ⇒ EJ/2(S+e−iθ + S−eiθ)

ou S± sont des operateurs conjugue-hermitiens definis par S+ = Sx + iSy. Avantd’ecrire les equations du mouvement nous allons simplifier au maximum le nombre deconstantes qui definissent la dynamique du systeme :

H = n2/2 − gθ + ωSz + λ(S−eiθ + S+e−iθ)/2 + HD

La seule trace qu’on garde du systeme initial est que g ∼ I ; θ ∼ V et ω est propor-tionnel a la valeur du gap Z2. Les equations de Heisenberg sont :

θ + θ/τ = g + iλ(S+e−iθ − S−eiθ)/2

Sz = −iλ(S+e−iθ − S−eiθ)

S+ = iωS+ − iλSzeiθ

S− = −iωS− + iλSze−iθ (3.38)

Le coefficient τ qui caracterise les forces de frottement, etait cache dans l’Hamiltoniende la dissipation. Pour un nombre N de jonctions qui tend vers l’infini, la variable despin S devient classique. Dans cette limite on peut supposer que les trois composantesde spin soient mesurables simultanement, en consequence le vecteur ~S peut etre traitecomme un objet classique. Comme nous l’avons montre precedemment pour la phase θ ilexiste un etat quantique stationnaire, si ~S devient une variable classique, nous pouvonscapturer la physique importante en considerant la dynamique du probleme entierementclassique. L’effet de mode locking est fortement attendu et les etudes numeriques sontactuellement en cours.

Pour finir, je donne ici un argument heuristique, qui justifie la presence de modelocking. Comme le carre du spin total est un invariant du mouvement [(Sz)2 +S+S− =const] nous pouvons ecrire :

d

dt

(

θ2/2 − gθ + ωSz + λ(S−eiθ + S+e−iθ)/2)

= −θ2/τ (3.39)

Nous allons prendre la moyenne temporelle. Cette equation integree dans un intervallede temps

∫ tbtadt· donne :

[

θ2/2 − gθ + ωSz + λ(S−eiθ + S+e−iθ)/2∣

∣

∣

tb

ta= −

∫ tb

ta

θ2dt/τ

Tous les termes sauf un dans la partie gauche de cette egalite tendent vers zero si l’ondivise tous par |tb − ta|, qui tend vers l’infini. Par exemple :

limtb−ta→∞

θ2(tb) − θ2(ta)

tb − ta= 0

126


car la valeur moyenne de la frequence d’oscillation de la phase ne peut pas augmenterindefiniment, a cause des frottements. Soit, comme le carre du spin total est borne :

ωSz + λ(S−eiθ + S+e−iθ)/2

tb − ta

∣

∣

∣

tb

ta−→ 0

Nous obtenons donc :

gτ〈θ〉 = gτθ(tb) − θ(ta)

tb − ta=

∫ tbtaθ2dt

tb − ta

def⇐⇒〈θ2〉 (3.40)

Nous arrivons a un resultat important pour le systeme d’equations que nous regardons :

gτ〈θ〉 = 〈θ2〉 . En developpant la moyenne du carre 〈θ2〉 = 〈θ〉2 + 〈(θ − 〈θ〉)2〉, ou

le deuxieme terme decrit l’importance des oscillations de Rabi, nous introduisons le

parametre de la force d’oscillation α > 1 : 〈θ2〉 = α〈θ〉2. Enfin : 〈θ〉 = gτ/α . Il faut

maintenant se souvenir que 〈θ〉 ∼ V et g ∼ I. Donc la courbe IV doit etre une droite,sauf si les oscillations commencent a joue un role important α 1. Intuitivement,ceci se produit au voisinage de la condition de resonance 〈θ〉 = ω, car c’est ici queles echanges d’energie entre la phase θ et le spin sont les plus intenses. Cet effet esta l’origine d’apparition des plateaux de mode locking, mais son importance reste averifier numeriquement.

Recapitulatif de la section :En s’appuyant sur les representations de la symetrie Z2 locale nous proposons deuxschemas d’experience les plus simples, ou l’effet d’accrochage de modes pourra etrevisible. Ces schemas peuvent etre utilises en pratique comme des spectrometres IVde l’energie des q-bits. La technique de mesures necessaire pour ce spectrometre etantlargement accessible, la diminution considerable du cout des manipulations est envisa-geable.

127


128

Conclusion

Cette these doctorale a porte au premier regard sur trois sujets distincts : l’etudedes reseaux de Liquides de Luttinger par le groupe de renormalisation (chapitre 1),le developpement d’une approche algebrique liant la geometrie particuliere du reseauZ2 avec ses proprietes de transport electronique (chapitre 2) et la proposition d’unspectrometre courant-tension des niveaux energetiques d’un q-bit en forme de jonctionJosephson de type Z2 (chapitre 3). En regardant ce travail plus en detail, de nombreuxpoints communs deviennent apparents. Tous les trois sujets touchent a un domaine dela physique mesoscopique, qui tente de traduire l’impact de la nature ondulatoire desparticules sur les observables classiques. Nous avons toujours cherche a etre realistesen considerant des modeles theoriques avec une realisation experimentale envisageabledans le futur proche.

Premierement nous nous sommes interesses au mecanisme de l’evolution des pro-prietes electroniques a l’interface entre une et deux dimensions. Des systemes physiquesayant une geometrie bien plus simple que celle des fractales, montrent un comporte-ment multidimensionnel a differentes echelles de temperature. Nous avons considereles reseaux equidistants de fils electroniques en presence d’interaction. Actuellementil existe au moins deux realisations experimentales possibles de fils electroniques 1D.D’une part, c’est l’utilisation du gaz bidimensionnel d’electrons forme a la surface deseparation de deux semiconducteurs, ou bien il s’agit d’autre part de l’exploitationdes conducteurs auto-organises que representent les nanotubes de carbone. Dans cedernier cas, les interactions electroniques jouent un role crucial, tandis que dans lesfilaments quantiques le transport purement balistique est facilement realisable. Nousavons explore deux regions du parametre caracterisant l’interaction electronique. Lesdiagrammes de phase ont ete proposes. Dans le regime de forte interaction electronique,nous avons utilise la technique de la bosonisation. Dans la limite opposee, nous avonsconstruit une approche basee sur le groupe de renormalisation adapte aux systemesperiodiques. Les effets de commensurabilite sur reseau ont ete mis en evidence, notam-ment la suppression de la conductivite a basse temperature pour le remplissage entier.Nous avons aussi retrouve la caracteristique courant-tension a differentes echelles detemperature, qui peut etre testee experimentalement.

Dans les problemes physiques la seule connaissance des symetries du systemefournit souvent ses caracteristiques les plus importantes. Dans la suite de ce travail,motives par les progres recents dans la fabrication experimentale de reseaux de fils quan-

129


tiques [NFM01], nous avons etudie l’impact de la symetrie Z2 locale sur les proprieteselectroniques des reseaux qui la possedent. Dans le premier temps, nous avons construitexplicitement les generateurs de cette symetrie, ce qui nous a permis d’obtenir de nom-breuses proprietes physiques de reseaux Z2 sans passer par de lourds calculs numeriquesou analytiques. La presence d’etats localises dans une cage d’Aharonov-Bohm est di-rectement liee a la forme de la representation irreductible du groupe Z2 local. Dememe, la possibilite de transport de paires d’electrons en interaction a ete associee a lapreservation de cette symetrie par un vaste ensemble d’interactions electroniques. Nousavons complete cette etude par l’analyse de la phase ”supraconductrice” du reseau. Al’aide de la methode du groupe de renormalisation pour les fluctuations quasi unidi-mensionnelles [DVD02] nous avons constate que, la transition supraconductrice n’etantpas favorable a basse temperature, il existe une transition vers un etat d’onde de den-site de charges, stabilisee par l’effet des cages AB. Cet etat, qu’on appelle la phasedu metal non-coherent, n’est pas un liquide de Fermi, car les fonctions de Green a unelectron sont a tres courte portee spatiale.

Dans la troisieme partie nous avons utilise nos connaissances de la symetrie Z2

pour les reseaux de jonctions Josephson. Une seule jonction ayant la symetrie Z2 estcaracterisee par la degenerescence energetique obtenue au niveau classique. Les fluc-tuations quantiques levent legerement cette degenerescence, de sorte que la jonction Z2

peut etre utilisee comme un q-bit d’energie caracteristique ∆ dans la theorie de l’infor-mation quantique. En s’appuyant sur la difference entre les generateurs de la symetrieZ2 locale a une et a deux dimensions, nous avons propose deux schemas differents pourl’evaluation du gap ∆ par des simples mesures de la caracteristique courant-tensionde l’echantillon. Cette partie de travail repose essentiellement sur l’intuition physique,l’ensemble des conjectures n’etant pas toujours demontre rigoureusement. Au contraire,nous avons essaye de traiter en detail toutes les questions conceptuelles, notamment lemodele d’une source de courant quantique. L’analyse numerique reste encore necessaire,notamment pour le schema experimental bidimensionnel dont nous avons obtenu lesequations du mouvement classiques.

PerspectivesLa physique des ces trois sujets etant tres riche, nous pouvons imaginer plusieurs axespour la recherche future. Nous avons demontre que le reseau carre possede l’uniquepoint fixe a basse energie (correspondant a des brins deconnectes), ce qui incite a re-garder si une legere deformation de cette geometrie n’entraınera pas un changementdu diagramme de phases. Il sera fructueux de regarder des systemes proches du reseaucarre caracterises par encore un parametre supplementaire. Deux exemples viennent al’esprit immediatement : le reseau rectangulaire et le reseau de losanges. Si la transitionde phase est observee, l’echantillon realise a base de nanotubes de carbone pourra ser-vir dans le futur de coupleur electromecanique pour les appareils nanometriques. Nouspouvons aussi essayer de completer nos etudes qualitatives des diagrammes de phasespour le facteur de remplissage electronique non-entier. Une transition metal-isolant parbrisure d’analyticite [Aub80, ZCS02] est attendue pour le regime de faibles fluctuationsquantiques. Toutefois, il faut etre conscient de la complexite du sujet et du fait quetoutes les etudes analytiques d’un tel systeme necessiteront la connaissance approfondie

130


d’outils mathematiques elabores, particulierement la theorie de KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser).Du cote experimental, il sera interessant de reprendre le modele du reseau Z2 de fi-laments quantiques en prenant en compte la diffusion electronique entre les differentscanaux de la conductance. Ceci expliquera probablement le doublement de la frequencedes oscillations de la magnetoresistance, observee sur le reseau ”dice” a fort champmagnetique.Notre etude des jonctions Josephson en courant continu n’etant pas encore achevee,l’analyse numerique des equations du mouvement se poursuit. Des l’obtention des pre-miers resultats nous comptons reflechir en collaboration avec une equipe experimentalesur la realisation dans la pratique de nos modeles theoriques.

131


132

Appendix A

Proprietes de la matrice dediffusion

La matrice de diffusion1 est un outil puissant et parfois irremplacable pour ladescription des potentiels complexes. Bien que sa definition soit tres simple, les pro-prietes de la matrice S, meme a une dimension, ne sont pas triviales. Je consacre cetannexe pour eclairer leurs proprietes avec des exemples.

A.1 Continuation analytique de la matrice de dif-

fusion pour les valeurs de k negatives

La matrice de diffusion, telle qu’elle est definie dans la section (1.2), n’a desens physique que pour les valeurs d’energie reelles, E = ~2k2/(2m). Pour avoir uneapplication bijective entre k et E ∈ R, k doit etre soit reel positif k > 0, soit imaginairepositif ik < 0. Pour certains problemes, il est fort utile de savoir comment se comportela matrice S pour les valeurs de k dans le plan complexe. Comme, par exemple, pourle cas de calcul d’integrales de type :2

∞∫

0

dk r∗(k)e−ik∆ +

∞∫

0

dk r(k)eik∆

Essayons d’abord de donner un sens physique a la matrice de transfert pour les valeursde k negatives. On utilise la meme definition de la matrice de diffusion que dans lasection (1.2), voir Fig. 1.10 et Eq. (1.2). D’une facon formelle, l’expression pour lamatrice de diffusion Eq. (1.4) ne changera pas si l’on y remplace k par −k en memetemps que les amplitudes des ondes propageant vers la gauche par les ondes propageant

1qui est parfois appelee la matrice de transfert, la matrice de scattering ou bien la matrice-S2on presentera le resultat de ce calcul a la fin de cet annexe

133

Appendix A. Proprietes de la matrice S

vers la droite et vice versa ; k ↔ −k, A ↔ B et A′ ↔ B′. L’equation (1.4) prend laforme suivante :

(

B′

A

)

=

(

r′(−k) t(−k)t′(−k) r(−k)

) (

A′

B

)

≡ S(−k)(

A′

B

)

Mais toujours de l’equation (1.4) :

(

A′

B

)

= S(k)

(

B′

A

)

Donc on obtient une relation matricielle simple :

I = S(−k)S(k), soit S(−k) = S−1(k) (A.1)

Cette expression se simplifie encore plus pour les potentiels qui possedent la symetried’inversion du temps S−1 = S∗ ou l’unitarite S−1 = S† ; S(−k) = S∗(k) pour l’inversiondu temps et S(−k) = S†(k) pour l’unitarite.

Comment peut-on etendre la definition de la matrice S(k) dans tout le plancomplexe de k ? On a deja donne un sens pour S(k) sur tout l’axe reel de k. Regardonsl’equation de Schrodinger pour les valeurs complexes de k (l’energie est aussi complexe,E ∈ C).

(H0 + V (x))ψ(x) = Eψ(x) =~2k2

2mψ(x) (A.2)

Les solutions en dehors de l’impurete sont, comme avant, donnees par les ondesplanes, Eq. (1.2) page 21. En considerant le probleme de Cauchy, on peut refaire lememe raisonnement que dans la section 1.2, page 22, et d’en conclure que la solutionexiste pour toutes les valeurs de k complexes. Ceci peut paraıtre bizarre, mais il nefaut pas oublier qu’une bonne partie de ses solutions divergent a l’infini et ne sont doncpas physiques. D’une facon analogue a la section 1.2, Eq. (1.7), la matrice S(k) peutetre defini desormais sur tout le plan complexe de k, sauf les points ou p11(k) = 0 etk = 0.3

On a etabli precedemment, section 1.2, que la condition p11(k0) = 0 est equivalente al’existence, a cette energie E0, d’une solution caracterisee par seules ondes sortantes nonnulles (A′ 6= 0, B 6= 0, A = B′ = 0), Fig. (1.11), et vice versa. Regardons le demi-plansuperieur de k complexe. Les ondes sortantes decroissent a l’infini, limx→∞ exp(ikx) =0, pour Im k > 0. Comme l’Hamiltonien defini sur les fonctions d’onde qui decroissent al’infini est un operateur hermitien, ses valeurs propres sont reelles, E ∈ R ⇔ ik ∈ R. Lespoles dans le demi-plan superieur de k ne peuvent exister que pour les valeurs purementimaginaires de k, ik < 0. Si jamais il existait un pole dans le plan superieur de k, telque ik /∈ R, cela signifierait l’existence d’une solution de l’equation de Schrodinger

3La fonction analytique k ∼√E, etant definie sur deux feuilles de Riemann, possede deux point

de ramisication a E = 0 et E = ∞. On peut demontrer que la matrice de diffusion reste finie dans lepoint k = 0 et ne mentionnera plus ce point specialement.

134

A.1. S(k) pour k negatives

kIm

Re test

Im

E Re

E

E=0E10

Figure A.1: Plans complexes de l’energie E et du vecteur d’onde k =√

2mE/~2, qui

mettent en evidence la presence de poles de la matrice de diffusion S(k).Sur le plan de k les poles, notes par ×, correspondent aux vrais niveauxenergetiques, tandis que ⊗ correspondent aux niveaux d’energie virtuels.Ces derniers se trouvent sur la feuille de Riemann non physique dans leplan complexe d’energie. Les etats virtuels sont caracterises par la phased’energie egale a 3π. Ils correspondent aux solutions de l’equation deSchrodinger, qui divergent a l’infini.

evanescente a l’infini pour cette energie, ce qui est en contradiction avec l’hermicited’Hamiltonien.

Avec le meme raisonnement on ne peut pas, a priori, faire une affirmation pareillepour le demi-plan complexe inferieur de k. En effet la solution caracterisee par les seulesondes sortantes non nulles est divergente a l’infini pour les valeurs de k en question,donc elle a le droit d’exister. On etendra la definition de la matrice S(k) dans ledemi-plan inferieur en utilisant la formule (A.1). Cette extension n’est pas valide dansles points ou p11 ou p22 s’annulent : pour p11(k) = 0 la solution n’existe pas memedans le plan superieur et pour p22(k) = 0 la matrice inverse S−1 n’est pas definie,det S = p22/p11 = 0. Les points ou p11(k) = 0 peuvent etre elimines par la continuationanalytique, comme la limite de la matrice de diffusion dans ces points est finie :

S(−k) = S(k)−1 =1

p22

( −p21 1

det P p12

)

=⇒ p11(k) = p22(−k)

On obtient donc que les divergences de la matrice de diffusion dans le demi-planinferieur correspondent aux zeros du determinant de S dans le demi-plan superieuret vice-versa. En consequence ces divergences ne peuvent etre que des poles isoles, lafonction holomorphe ne peut s’annuler que dans les points isoles. Les points de diver-gence dans le demi-plan inferieur peuvent se trouver aussi a des valeurs complexes.On appelle ces etats virtuels, car dans la theorie de diffusion generale, voir [LL89] ,ils correspondent a la resonance de la matrice de transmission. Pour exprimer tous ces

135


resultats en terme d’energie E = ~2k2/2m, on aura a prendre le carre du vecteur d’ondek. La correspondance E ↔ k sera bijective si l’on definit l’energie sur deux feuilles deRiemann. En faisant la coupure du plan complexe d’energie sur le demi-axe reel positifE > 0, on definit la feuille physique par la phase zero de l’energie juste au-dessus de lacoupure. La feuille physique, qui est l’image du demi-plan superieur de k, contiendratoutes les informations sur les etats lies du potentiel. Ils se trouvent sur demi-axe reelnegatif, Fig. (A.1).

Recapitulatif des informations, voir aussi [LL89] :

1. La matrice de diffusion, consideree comme fonction d’energie complexe, possededes poles simples sur la feuille de Riemann physique a des energies negatives. Cespoles sont associes a des etats lies du potentiel.

2. Les valeurs de la matrice de diffusion sur les deux feuilles de Riemann sont relieespar Sphys = S−1

nonphys

3. On appelle etats virtuels les poles de la matrice de diffusion sur les feuilles de Rie-mann non physiques. Ils correspondent aux energies de resonance du coefficientde transmission. Normalement leur presence indique le fait que la modificationmineure du potentiel conduira a l’apparition d’un etat lie.

4. La coupure de l’axe reel positif du plan complexe d’energie definit deux feuilles deRiemann. Ce nombre de feuilles est minimal pour avoir la dependance analytiquede la matrice de diffusion en energie et provient du fait que, a l’infini, les solu-tions sont donnees par les ondes planes dependant de la racine carree de l’energieexp(±i√ε). Dans le cas general, pour avoir une dependance analytique des co-efficients de diffusion en fonction de l’energie, il faut couper le plan complexed’energie dans plusieurs endroits et, de ce fait, rajouter les feuilles de Riemannsupplementaires. Pour des ”bons” potentiels, dont le potentiel localise fait partie,il n’y a pas de points de divergence supplementaires sur la feuille physique. Si lepotentiel a l’infini ne tend pas suffisamment vite vers zero, lim|x|→∞ V (x) = 0,on peut avoir des poles et meme des points de ramisication sur l’axe d’energiesnegatives. Par exemple, pour le potentiel V (x) = const · xne−|x|/a on peut avoirles poles supplementaires sur l’axe negatif d’energie (S.T.Ma, 1946).

Pour illustrer l’utilite de la continuation analytique de la matrice S nous finissons pardonner une application simple. Soit on a affaire a un potentiel non captif (qui ne possedepas d’etat lie) et on est sense calculer une integrale, donnee au debut de l’annexe. Al’aide de prolongement analytique on obtient :

∞∫

0

dk r∗(k)e−ik∆ +

∞∫

0

dk r(k)eik∆ =

∞∫

−∞

dk r(k)eik∆ = 2πi∑

res

r(k)eik∆ = 0 (A.3)

On a suppose que ∆ fut positif.

136

A.2. Deux impuretes consecutives

A.2 Matrice S pour deux impuretes consecutives

Dans cette section, je calculerai la matrice de diffusion correspondant a deuximpuretes consecutives, placees a une distance a l’une de l’autre. Une application serafaite pour deux fonctions δ, de hauteurs differentes L1 et L2, comme cette matrice estsouvent utile pour tester des theories ou verifier des hypotheses, car elle depend dejade trois parametres (L1, L2, a).

−a/2 a/2

B

A A A

BB

Figure A.2: Potentiel de deux impuretes consecutives. Les coefficients A,B sont lesamplitudes de probabilite de propagation vers la gauche et vers la droite.

Supposons que le potentiel d’impuretes soit donne par :

V (x) = V−(x+ a/2) + V+(x− a/2) (A.4)

ou V± sont les potentiels locaux autour du point x = 0.Les matrices de diffusion de chaque impurete seront modifiees, car elles ne sont plusplacees a l’origine des coordonnees. Cette propriete est directement liee a la definitionde la matrice S : si on change l’origine des coordonnees, les coefficients devant les expo-nentielles seront multiplies par une phase, en consequence, les elements de la matricede diffusion doivent etre aussi modifies. La matrice S1 de l’impurete placee au pointx = −a/2 sera :

S1 =

(

r′1 t1t′1 r1

)

≡(

eikar′− t−t′− e−ikar−

)

(A.5)

On note ici par S− la matrice de diffusion de la meme impurete placee au point x = 0.D’une facon analogue, on definit la matrice correspondant a l’impurete de droite :

S2 =

(

r′2 t2t′2 r2

)

≡(

e−ikar′+ t+t′+ eikar+

)

(A.6)

Une astuce est utile pour retrouver les multiplicateurs de phase de la matrice de diffu-sion. Il est evident que les coefficients de transmission ne changent pas si l’origine de

137


l’axe x est deplacee, comme ils relient les composantes, qui propagent dans la memedirection. Pour obtenir les phases des coefficients de reflexion il est plus simple deconsiderer un fil deconnecte, decrit par la matrice diagonale S = −I, et de remarquerque la valeur de la fonction d’onde dans a la position de l’impurete, x = ±a/2, estegale a zero.

Pour retrouver la matrice Stot de diffusion de deux impuretes consecutives, ilfaudrait trouver la relation entre les amplitudes des ondes entrantes (A,B ′) et desondes sortantes (A′, B). Par definition des matrices S1 et S2 on a :

A′′ = t1A+ r1B′′ (A.7)

B′′ = t′2B′ + r2A

′′

Donc la solution entre les impuretes est donnee par :

A′′ =t1

1 − r′1r2A+

r′1t′2

1 − r′1r2B′ (A.8)

B′′ =r2t1

1 − r′1r2A+

t′21 − r′1r2

B′

D’un autre cote, les amplitudes des ondes sortantes s’ecrivent en termes de la matricede diffusion comme :

B = r1A + t′1B′′ = (r1 +

r2t′1t1

1 − r′1r2)A+

t′1t′2

1 − r′1r2B′ (A.9)

A′ = r2B′ + t2A

′′ =t1t2

1 − r′1r2A + (r′2 +

r′1t′2t2

1 − r′1r2)B′

De la on obtient l’expression pour les coefficients de la matrice Stot de diffusion surl’ensemble de deux impuretes :

r′tot = r′2 +r′1t2t

′2

1 − r′1r2ttot =

t1t21 − r′1r2

(A.10)

t′tot =t′1t′2

1 − r′1r2rtot = r1 +

r2t′1t1

1 − r′1r2

Les equations (A.10) sont valables pour tous les types d’impurete, car pendant lademonstration, on n’a utilise aucune contrainte sur les matrices de diffusion. Dansle cas ou le processus de diffusion conserve le nombre de particules, nous pouvonssimplifier (A.10) en utilisant l’unitarite des matrices S1 et S2.

r′tot =r′2r∗2

· r∗2 − r′1

1 − r′1r2ttot =

t1t21 − r′1r2

(A.11)

t′tot =t′1t′2

1 − r′1r2rtot =

r1r′∗1

· r′∗1 − r2

1 − r′1r2

Cette ecriture de la matrice de diffusion est beaucoup plus transparente. A part l’uni-tarite, on identifie facilement la condition de resonance r′1 = r∗2, c’est-a-dire la situation

138

A.2. Deux impuretes consecutives

ou, malgre la presence de deux impuretes non triviales, l’ensemble des deux n’est pasvisible lors de processus de diffusion rtot = 0, |t|tot = 1. En effet les amplitudes d’ondesreflechies de la premiere et de la deuxieme impuretes se compensent, laissant passer uneonde a travers l’obstacle sans aucune diffusion en arriere. Cette propriete est utiliseeaussi en optique pour augmenter la transparence des surfaces multicouches.

A.2.1 Deux fonctions δ

Considerons un exemple simple de deux impuretes delta consecutives. Soit lepotentiel d’impurete s’ecrit comme :

V (x) =1

L1

δ(x+ a/2) +1

L2

δ(x− a/2) (A.12)

Dans ce calcul on n’ecrira pas explicitement le coefficient dimensionnel multiplicatif~2

2m, car il ne modifiera pas l’expression pour la matrice de diffusion. On utilise (A.11)

et les expressions de coefficients de la matrice de diffusion pour δ-fonction :

t1 = t′1 =2ikL1

2ikL1 − 1r′1 =

exp (ika)

2ikL1 − 1r1 =

exp (−ika)2ikL1 − 1

t2 = t′2 =2ikL2

2ikL2 − 1r′2 =

exp (−ika)2ikL2 − 1

r2 =exp (ika)

2ikL2 − 1

pour obtenir la matrice de diffusion de deux fonctions δ :

r′2δ = e−ika2ikL1 − 1

∆(k)+ eika

2ikL2 + 1

∆(k)t′2δ =

4k2L1L2

∆(k)(A.13)

r2δ = e−ika2ikL2 − 1

∆(k)+ eika

2ikL1 + 1

∆(k)t2δ =

4k2L1L2

∆(k)

On introduit la fonction : ∆(k) def⇐⇒(2ikL1 − 1)(2ikL2 − 1) − exp(2ika), qui definit la

position des poles de la matrice S(k).

Sur cet exemple, on peut tester les proprietes de la matrice de diffusion annonceesen A.1. Commencons par l’analyse de la fonction ∆(k) pour les valeurs de k reelles,k ∈ R. Soit ∆(k) = 0, alors, (2ikL1 − 1)(2ikL2 − 1) = exp(2ika), d’ou |(2ikL1 −1)(2ikL2 − 1)| = 1, mais (4k2L2

1 + 1)(4k2L22 + 1) 6= 1. Donc on conclut qu’il n’y a

pas de pole sur l’axe reel. Sur l’axe imaginaire l’analyse est plus complexe, mais peutetre faite sans difficultes. Selon la figure (A.1), pour une nouvelle variable z, definiecomme z def

⇐⇒2ik, z ∈ R, les poles de z positif vont correspondre aux etats non physiques(virtuels) et les poles de z negatif – aux etats lies. Les resultats sont representes sur lediagramme (A.2.1) :

1. Dans la region, ou L1 > 0 et L2 > 0 (deux pics), il n’y a pas d’etats lies del’Hamiltonien. Pour certaines hauteurs de barrieres il existe deux etats virtuels,qui correspondent aux solutions divergentes a l’infini.

139


2. Le cas le plus interessant est celui ou on a un pic et un puits, L1L2 < 0. Ona soit un etat physique, si L1 + L2 + a > 0, soit un etat virtuel, si L1 + L2 +a < 0. On voit que la condition (

∫

V (x)dx < 0), qui donne ici 1/L1 + 1/L2 <0 ⇔ L1 + L2 > 0, n’est suffisante que pour avoir un etat lie ; on a deja unetat propre de l’Hamiltonien, par exemple au point L1 = −a/2, L2 = a/10,ou cette condition n’est pas satisfaite. Cet effet est bien comprehensible. D’unemaniere generale, supposons qu’on ait deux impuretes de type puits et pic, quisont assez eloignees l’une de l’autre. Si l’on calcule la moyenne de l’operateurde Hamilton dans l’etat fondamental de l’impurete de type puits, on obtiendraune valeur pas tres differente de l’energie fondamentale du puits tout seul, doncune valeur negative. Ceci est vrai, comme l’etat lie est evanescent en dehorsde l’impurete (decroissance exponentielle). Ensuite, par principe variationnel onconclut que l’energie fondamentale de l’Hamiltonien total doit etre plus petite quela moyenne dans tous les autres etats, donc elle est negative et en consequencel’etat fondamental est un etat lie. Soit Hpuits|ψ〉 = Ep

0 |ψ〉, Ep0 < 0. Comme a 1

alors 〈ψ|Htot|ψ〉 = Ep0 + ε , ou ε > 0 est la contribution positive due a l’impurete

de type pic, Htot|φ〉 = E0|φ〉, ou E0 < Ep0 + ε < 0 correspond a l’etat lie. Si

maintenant on rapproche le pic vers le puits, la contribution ε augmentera etpeut dans certains cas rendre la valeur moyenne Ep

0 + ε positive. Ceci illustre lafacon dont le rapprochement de deux impuretes peut detruire un etat lie. Dansnotre exemple nous avons une valeur critique de profondeur, Lc = a, au-dela delaquelle rien ne peut plus detruire un etat lie ; si |L1| > Lc il y a toujours un etatlie. Curieusement, on a la meme profondeur critique lorsque l’on rapproche unmur impermeable, caracterise par V (a/2) = ∞.

3. Dans le cas de deux impuretes de type puits L1 < 0, L2 < 0, on a toujours deuxsolutions de l’equation de Schrodinger. A nouveau pour L1 + L2 + a > 1, on adeux etats physiques, et dans le cas inverse un etat physique et un etat virtuel.

L’expression (A.13) confirme la validite de la continuation analytique de la matrice dediffusion, voir l’annexe (A.1). Les elements de la matrice S(k) dependent de l’energiea travers une variable ik, et il est evident que la conjugaison hermitienne d’elementsde matrice est equivalente a la reflexion k ⇒ −k.

A.3 Matrice de diffusion ponctuelle

Je presente dans cette partie quelques proprietes de la matrice de diffusion ponc-tuelle, c’est -a-dire ou le potentiel correspondant est decrit par les fonctions δ et sesderivees. L’idee generale est d’analyser une base complete des solutions incidentes etd’en extraire les relations entre les elements de la matrice de diffusion a differentesenergies.

On considere un fil unidimensionnel avec un potentiel de type δ place dans le

140

A.3. Matrice de diffusion ponctuelle

L

pas d’état physiquepas d’état virtuel− deux états physiques,

1/L2

− un état virtuel,

− un état physique et un état virtuel

− un état physique,

1 1/L

− deux états virtuels,

1L

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ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

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aa 1

1

Figure A.3: Diagramme d’etats propres de l’equation de Schrodinger pour deux fonc-tions δ, V (x) = δ(x−a/2)/L1+δ(x+a/2)/L2, en fonction des parametresde profondeur des puits L1 et L2. Il y des regions ou on a deux ou un etatlie de l’Hamiltonien. On note aussi les etats virtuels, qui correspondentaux solutions non physiques divergentes a l’infini.

point x = 0. Les solutions, dites incidentes, s’ecrivent sous la forme :

φk(x) =1√2π

eikx + rke−ikx pour x < 0

tkeikx pour x > 0

(A.14)

ou rk, tk sont les coefficients de reflexion et transmission gauche. D’une faconequivalente on peut definir les ondes incidentes droites. Comme l’Hamiltonien estun operateur hermitien, les solutions incidentes correspondant aux differentes valeurspropres doivent etre orthogonales : 〈φk|φk′〉 = δ(k − k′). Regardons cette expressionplus en detail.

∞∫

−∞

φ∗k(x)φ′k(x)dx =

1

2π

0∫

−∞

(e−ikx + r∗keikx)(eik

′x + r′ke−ik′x)dx+

+1

2π

∞∫

0

t∗ktk′ei(k′−k)xdx (A.15)

141


En regularisant cette integrale,∫∞

0eikxdx = i(k + iε)−1, on obtient

2π〈φk|φk′〉 =i

k − k′ + iε+i(t∗ktk′ + r∗krk′)

k′ − k + iε+

irk′

k′ + k + iε− ir∗kk′ + k − iε

(A.16)

On simplifie cette expression en utilisant la formule de Sokhotsky, (x+iε)−1 = P(1/x)−iπδ(x) :

〈φk|φk′〉 =i

2π

[

P(

1

k − k′

)

(1 − t∗ktk′ − r∗krk′) + P(

1

k + k′

)

(rk′ − r∗k′)

]

+

+δ(k − k′) · (1 + t∗ktk′ + r∗krk′)/2 + δ(k + k′) · (rk′ + r∗k)/2

Dans la partie droite de l’equation, seuls les termes avec fonction delta contribuent ala normalisation de fonction d’onde, tandis que l’expression entre les crochets doit etreegale a zero, d’ou :

1 − t∗ktk′ − r∗krk′ =k′ − k

k + k′(rk′ − r∗k) (A.17)

D’une facon similaire on pourrait considerer la normalisation des fonctions d’ondeincidente gauche et droite,

∫

φ∗kφ−k′dk = 0. Ceci donne une deuxieme formule liant lescomposantes de la matrice de diffusion :

r∗kt′k′ + t∗kr

′k′ =

k − k′

k + k′(t′k′ − t∗k) (A.18)

Ces deux relations peuvent etre verifiees sur le potentiel δ, ou notre Hamiltonienest de la forme suivante : H = ~2/(2m)(−d2/dx2 + 1

Lδ(x)). La matrice de diffusion

correspondante est donnee par :

S =

(

r′ tt′ r

)

=1

2ikL− 1

(

1 2ikL2ikL 1

)

(A.19)

On peut aisement verifier les relations (A.17, A.18) pour la matrice de diffusion d’uneimpurete δ Eq. (A.19).

A.4 Relation de completude pour un probleme mo-

nocanal

Dans cette section nous allons demontrer la completude de la base formee desetats ”in”. Nous utiliserons les proprietes analytiques de la matrice de diffusion etabliesplus haut. Supposons qu’il y a une seule impurete localisee dans le gaz electroniqueunidimensionnel. Le potentiel peut etre decrit par la matrice S dependant de k :

S(k) =

(

r′(k) t(k)t′(k) r(k)

)

(A.20)

142

A.4. Relation de completude pour un probleme monocanal

L’energie est donnee par E(k) = ~2k2/(2m). Nous cherchons une base complete dessolutions de l’equation de Schrodinger. On fabrique alors des etats ”in” de diffusion :Nous pouvons essayer de fabriquer cette base a partir des etats de diffusion :

Ψk→(x) = eikx + r(k)e−ikx, pour x < 0 (A.21)

Ψk→(x) = t(k)eikx, pour x > 0

x < 0, resp(x > 0) sont les notations abregees pour signifier que la particule se trouvea gauche (a droite) de la region ou le potentiel exterieur est non nul.

Ψk←(x) = t′(k)e−ikx, pour x < 0 (A.22)

Ψk←(x) = e−ikx + r′(k)e+ikx, pour x > 0

Notons que dans l’esprit de l’approche en terme de matrice S(k), nous n’avons pasacces aux fonctions d’onde dans la region centrale, il est donc pas possible de passerd’abord par des relations d’orthogonalite pour demontrer la relation de completude :

δ(x− x′) =

∫ ∞

0

dk

2π(Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) + Ψk←(x)Ψ∗k←(x′)) (A.23)

Nous procedons directement : que signifie cette equation en terme de matrice S(k) ?Supposons que x et x′ se trouvent a gauche de l’impurete, x < 0 et x′ < 0, alors :

Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) = eik(x−x′) + |r(k)|2eik(x′−x) + r∗(k)eik(x+x

′) + r(k)e−ik(x+x′)

Ψk←(x)Ψ∗k←(x′) = |t′(k)|2eik(x′−x)

En utilisant l’unitarite de la matrice de transfert, |t′(k)|2 + |r(k)|2 = 1, nous simplifionsl’equation (A.23) :

∫ ∞

0

dk

2π(Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) + Ψk←(x)Ψ∗k←(x′)) =

=

∫ ∞

0

dk

2π2 cos[k(x− x′)] + r∗(k)eik(x+x

′) + r(k)e−ik(x+x′)

C’est maintenant qu’il est fructueux de se souvenir des proprietes analytiques de lamatrice de diffusion. Nous avons etabli precedemment (A.3), comme dans notre casδ = −x− x′ > 0, ce qui annule le terme proportionnel au coefficient de diffusion :

∫ ∞

0

dk

2π(Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) + Ψk←(x)Ψ∗k←(x′)) =

∫ ∞

0

dk

πcos[k(x− x′)] = δ(x− x′)

Mais c’est exactement cette equation que nous avons cherchee a demontrer. Si mainte-nant x ∗ x′ < 0, nous obtenons analogiquement :

Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) = t(k)eik(x−x′) + t(k)r∗(k)eik(x+x

′)

Ψk←(x)Ψ∗k←(x′) = t′(k)∗eik(x′−x) + t′(k)∗r′(k)eik(x+x

′)

143


Ce qui donne pour la relation de completude :

∞∫

0

dk

2π(Ψk→(x)Ψ∗k→(x′) + Ψk←(x)Ψ∗k←(x′)) =

∞∫

0

dk

2πt(k)eik(x−x′) + t′(k)∗eik(x

′−x)

La continuation analytique du coefficient de transmission donne :

∞∫

0

dk

2πt(k)eik(x−x′) + t′(k)∗eik(x

′−x) =

∞∫

−∞

dk

2πt(k)eik(x−x

′)

Comme a haute energie la transmission pour n’importe quel potentiel d’impurete doitetre parfaite, limk→∞ |t(k)|2 = 1, l’integrale ne sera plus zero a cause de la presence duresidu a l’infini :

∞∫

−∞

dk

2πt(k)eik(x−x

′) =

∞∫

−∞

dk

2π[t(k) − 1]eik(x−x

′) + eik(x−x′) = δ(x− x′)

Donc la relation de completude est valable pour toutes valeurs de x et x′. Notons quedans notre demonstration nous avons utilise explicitement le fait que l’impurete negenere pas d’etats lies de l’Hamiltonien, car c’est seulement dans ce cas que la matriceS ne possede pas de pole dans le plan superieur de k. D’une facon analogue nouspouvons demontrer la completude de la base ”out”.

144

Appendix B

Calcul en reponse lineaire pour lereseau de fonctions δ

Dans cette annexe je calcule les oscillations de la densite electronique dans l’ap-proximation de la reponse lineaire pour une chaıne de fonctions δ. Soit le potentield’impurete :

V (x) =~2

2mL

∞∑

n=−∞

δ(x− na) (B.1)

La densite d’etat exprimee a l’aide de la susceptibilite de charge est :

δρ(x) =

∫ ∞

−∞

dx′χ(x− x′)δV (x′) (B.2)

En utilisant la formule de Poisson pour les fonctions δ nous obtenons :

∑

m

δ(x−ma) =1

a

∑

n

exp(2πinx/a)

ρ(x) =~2

2mLa

∑

n

∫ ∞

−∞

dx′ exp(2iπnx′/a)χ(x− x′) =

=~2

2mLa

∞∑

n=−∞

exp(iqnx)χ(−qn) =

ρ(x) =1

4π2L

∞∑

n=−∞

exp(2iπnx/a)

nlog

(

kFa− nπ

kFa+ nπ

)

(B.3)

Nous avons fait ce calcul dans l’approximation de la reponse lineaire en prenant lasusceptibilite d’electrons libres (1.12). Cette approche est valable tant que le vec-teur d’onde kF est grand par rapport au parametre caracteristique d’interactionkimp

def⇐⇒2π/L, kimp/kF 1. Il est clair que la somme converge pour tout x et pour

n’importe quel remplissage incommensurable kFa 6= nπ.1 Plus on se rapproche du

1pour ne pas avoir de divergences a remplissage commensurable, il faut considerer un systeme detaille finie.

145

Appendix B. Calcul en reponse lineaire pour le reseau de fonctions δ

remplissage entier, plus le mode d’oscillation a 2kF domine les autres. L’applicationnumerique est presentee sur la Fig. 1.19 page 35.

146

Appendix C

Mode locking

Nous allons decrire dans cette annexe une propriete des equations differentielles,qui determine le comportement des nombreux systemes physiques. Considerons d’abordune application non-lineaire d’un cercle vers lui-meme x 7→ x′ = f(x) :1

xn+1 = f(xn) = xn + Ω − k

2πsin 2πxn mod 1 (C.1)

ou k est le parametre de non-linearite et Ω est la frequence ”nue”. Pour k = 0 cetteapplication est une simple rotation. Dans le cas ou Ω est rationnel, quoi qu’il soitla condition initiale, l’application (C.1) converge toujours vers son attrateur, ou plusprecisement on retombe sur la meme valeur de x0 au bout de nombre fini d’iterations :si Ω = p/q, alors f q(x) = x mod 1. Par contre pour les valeurs de la frequence ”nue”irrationnelles, il n’existe plus de point fixe de notre application et nous parcouronsl’intervalle entier [0,1]. Que change le branchement du terme non-lineaire dans notreapplication ? Des que k 6= 0, pour toutes valeurs de Ω rationnel il existe un intervallede taille fini, dont les orbites se referment a nouveau. Cet intervalle ∆ porte le nom del’intervalle de mode locking (en anglais mode-locked interval). Cela signifie que le termenon lineaire de l’application permet avoir les orbites fermees meme pour les valeursde Ω irrationnel ”proche” d’un nombre rationnel. La largeur de l’intervalle de modelocking depend du nombre rationnel, auquel il est associe, ∆ = ∆(Ω). Les nombres”les plus proches”2 des nombres entiers ont une largeur de l’intervalle de stabilite plusimportante. De plus, l’intervalle de stabilite s’elargit si l’on augmente l’intensite de lanon-linearite : ∆ si k . Pour la valeur critique de k = 1 les intervalles de modelocking couvrent tout l’intervalle de [0, 1], en consequence toutes les trajectoires (∀Ω)deviennent fermees, voir [CAM+04].

1en anglais circle map2Evidement la notion de ”proche” peut etre definie rigoureusement, par l’introduction de la clas-

sification des nombres rationnels. A titre d’exemple je donne quelques nombres rationnels en fonctionde la decroissance de leur intervalle de stabilite 1

2, 1

3, 3

5 etc.

147

Appendix C. Mode locking

Une interpretation des ces resultats directement en terme des equationsdifferentielles peut etre trouvee dans le livre d’Arnold [Arn88].3 Supposons qu’onconsidere un probleme physique qui depend de deux variables de phase ψ et φ.L’equation differentielle caracterisant ce systeme4 sera definie sur un tore, car les va-riables de phase sont periodiques ψ ≡ ψ+2π et φ ≡ φ+ 2π. Supposons que le systemesoit tres simple et que l’equation de l’evolution depende d’un seul parametre Ω, desorte que :

dψ

dt= a(ψ, φ, t),

dφ

dt= b(ψ, φ, t), =⇒ dψ

dφ= Ω = const (C.2)

Si Ω est rationnel (cas commensurable) le systeme parcourra un sous-espace dans sonespace de phase pendant son evolution, tandis que pour Ω irrationnel (cas incom-mensurable), il explorera tout l’espace de phase. Le fait de brancher une interactionnon-lineaire changera le comportement du systeme qui preferera rester dans le cascommensurable (orbite fermee) meme pour certaines valeurs de Ω irrationnelles.

Cette propriete mathematique est a l’origine de nombreux phenomenes physiques,comme par exemple en optique l’utilisation d’un element non-lineaire permet de delivrerdes impulsions ultra-courtes. On pourrait aussi imaginer que le systeme caracterise parles deux energies typiques subit une resonance prolongee, non pas seulement dans lepoint ou les deux energies sont egales, mais dans un intervalle d’energie.

3les proprietes de commensurabilite pour les equations sur le tore sont definies par l’application dePoincare, qui est elle-meme le diffeomorphisme du cercle.

4par exemple l’equation de mouvement classique

148

Appendix D

Diagonalisation d’une matricesymplectique

Dans cette annexe nous allons discuter les proprietes des matrices symplec-tiques, que nous utilisons dans la quantification canonique. Dans la premiere par-tie nous demontrons comment diagonaliser la matrice symplectique non degeneree(detM 6= 0). Dans la deuxieme partie nous traitons l’exemple plus general, le theoremede Williamson est donne sans demonstration [Wil36], mais nous discutons en detail sesconsequences physiques.

D.1 Matrice H definie positive

Supposons que nous ayons une forme bilineaire antisymetrique (la forme sym-plectique) definie dans l’espace C2n :1

~X, ~X ′ = − ~X ′, ~X def⇐⇒( ~X, J ~X ′) =

∑

Ji,jXiX′j ou J =

(

O I

−I O

)

La matrice M est appelee symplectique,2 si la forme symplectique est invariantedu mouvement de l’equation differentielle correspondante :

d

dt~X = M ~X ⇒ d

dt ~X, ~X ′ = 0 (D.1)

La matrice symplectique obeit a l’equation vectorielle suivante : Mt = JMJ .3 Ceciimplique qu’on peut definir l’operateur symetrique H correspondant a la matrice sym-plectique M par : H def

⇐⇒− 12JM, tel que H = Ht.

1nous notons par les parentheses le produit scalaire dans l’espace reel : (~ξ, ~ζ) =∑

ξiζi.2cette matrice est un element de l’algebre du groupe symplectique qui preserve la forme symplec-

tique3Mt denote la matrice transposee (non pas la matrice conjuguee hermitienne).

149

Appendix D. Diagonalisation d’une matrice symplectique

Proposition : Si la matrice H est reelle et definie positive, alors la matrice M estdiagonalisable dans C2n, donc toutes ses valeurs propres sont imaginaires et regroupeespar paires conjuguees.

Soit µ est une valeur propre de M. M ~Xµ = µ ~Xµ, soit 2H ~Xµ = −µJ ~Xµ, ceci

implique que 2( ~X∗µ;H ~Xµ) = −µ ~X∗µ; ~Xµ.4 Mais comme la matrice H est reelle positive

R 3 ( ~X∗µ;H ~Xµ) 6= 0. Nous obtenons non seulement que ~X∗µ; ~Xµ 6= 0, mais de plus

que µ est purement imaginaire, comme ~X∗µ; ~Xµ est lui-meme purement imaginaire :5

si M ~Xµ = µ ~Xµ, alors µ = iω 6= 0, ou ω ∈ R et ~X∗µ; ~Xµ 6= 0.

Notons que les valeurs propres de M arrivent par paires, c’est-a-dire que si iωµest valeur propre de M avec le vecteur propre ~Xµ, M ~Xµ = iωµ ~Xµ, alors −iωµ est

aussi la valeur propre de M avec le vecteur propre ~X∗µ, M ~X∗µ = −iωµ ~X∗µ. Ceci est unesimple consequence du fait que, la matrice M n’etant composee que des elements reels,~X∗µ et ~Xµ sont lineairement independants.

La procedure de diagonalisation de la matrice M est strictement analogue a celled’une matrice hermitienne. Nous savons que toutes les matrices non-nulles possedentau moins une valeur et un vecteur propres. Dans notre cas comme les valeurs propresarrivent par paires nous pouvons trouver au moins deux valeurs propres conjuguees.Soit V le supplement orthogonal6 a l’espace lineaire compose de ces deux vecteurspropres ~X1, ~X

∗1 ; M ~X1 = iω1

~X1 et M ~X∗1 = −iω1~X∗1 .

~v ∈ V ssi ~v; ~X1 = ~v; ~X∗1 = 0

Montrons que l’espace V ne contient plus de combinaisons lineaires de deux vecteurspropres initiales. Procedons par contradiction, soit il existe α, β tels que (α ~X1+β ~X2) ∈V . Par definition de l’espace V on obtient que α ~X1 +β ~X2; ~X1 = α ~X1 +β ~X∗1 ;

~X∗1 =

0, soit β ~X∗1 ; ~X1 = α ~X1; ~X∗1 = 0. Mais comme nous l’avons demontre ~X1; ~X

∗1 6= 0,

alors α = β = 0. Donc comme en plus det J 6= 0, alors dimV = 2(n−1). Le fait que Mne fait pas evoluer la forme symplectique nous permet de chercher les valeurs propresdans le sous-espace V . Si ~X ∈ V , alors M ~X ∈ V , comme M ~X, ~X1 = M ~X1, ~X =

iω1 ~X1, ~X = 0. Nous pouvons reiterer cette procedure et obtenir 2n vecteurs propresde la matrice M. La proposition est demontree. Les corollaires de cette propositionsont plus importants.

Corollaires :1) La matrice P qui diagonalise M a la forme suivante :

P = ( ~X1, . . . , ~Xn, ~X∗1 , . . . , ~X

∗n, ) (D.2)

P−1MP = i diag(ω1, . . . , ωn,−ω1, . . . ,−ωn) ≡ iΩ

4 ~X∗ est le conjugue complexe de ~X.5on verifie aisement que ~X∗; ~X = − ~X∗; ~X∗ ⇒ i ~X∗; ~X ∈ R.6je souligne que la notion d’orthogonalite est definie par la forme symplectique

150

D.2. Quantification canonique generale

2) Nous pouvons choisir une base orthonormale des vecteurs propres :

~X∗l , ~Xj = iδlj; ~Xl, ~Xj = 0 ⇔ P tJP = −iJ (D.3)

3) Vu la structure de la matrice P, nous obtenons :

P∗ = P(

O I

I O

)

(D.4)

D.2 Quantification canonique generale

Enfin je donne ici sans demonstration le theoreme de Williamson, qui est valabledans le cas plus general ou H possede des valeurs propres nulles. Nous discutons ensuiteles consequences physiques de ce theoreme. Dans ce cas la matrice M a aussi des valeurspropres nulles, elle n’est plus diagonalisable, mais peut etre ramenee dans sa forme deJordan. La particularite de la matrice M est que les blocs de Jordan ne peuvent etreque de la taille 2 × 2 et les autres valeurs propres sont toujours des paires de nombrespurement imaginaires : si ( ~X,H ~X) ≥ 0 alors il existe P telle que M ≡ 2JH = P−1JPou J est la forme de Jordan de la matrice M est donnee par :

J =

[

0 m−11

0 0

]

. . .[

0 m−1l

0 0

]

[

iω1 00 −iω1

]

. . .[

iωl 00 −iωk

]

(D.5)

ou k + l = n est le nombre total de degres de liberte.7 Le theoreme de Williamson ades consequences physiques importantes. Dans le cas ou l’Hamiltonien du probleme estdefini positif (strictement) il peut etre ramene par la quantification canonique a unesomme d’oscillateurs (3.14) : si 〈Ψ|H|Ψ〉 > 0, alors

H =n

∑

i=1

~ωia†iai

C’est une consequence de la complete diagonalisation de la matrice M (D.2). Quese passe-t-il si nous avons l’Hamiltonien stable, qui n’est pas strictement positif,〈Ψ|H|Ψ〉 ≥ 0. Selon le theoreme de Williamson les blocs de Jordan de la taille 2 × 2

7je note les constantes dans les blocs de Jordan par mi, car comme on le verra plus loin mi a ladimension d’une masse.

151

Appendix D. Diagonalisation d’une matrice symplectique

apparaissent en plus de la partie diagonale dans la forme reduite de la matrice M.Pour comprendre ce que signifie la presence de ces blocs, nous regardons la matrice Mpour un Hamiltonien d’une particule libre : H = p2/2m.

(

xp

)

=

(

xp

)

=

(

0 m−1

0 0

) (

xp

)

⇔ M =

(

0 m−1

0 0

)

Les blocs de Jordan de la taille 2×2 correspondent a des particules libres. Nous pouvonsalors donner la forme generale de la quantification canonique : si 〈Ψ|H|Ψ〉 ≥ 0, alors ilpeut etre ramene dans la forme suivante :

H =k

∑

i=1

~ωia†iai +

l∑

α=1

p2α

2mα(D.6)

ou les operateurs ont les regles de commutation suivante :

[ai, a†j] = δi,j [xα, pβ] = i~δα,β

[xα, a†j] = [xα, aj] = 0 [pα, a

†j] = [pα, aj] = 0

152

Appendix E

Modele continu de l’Hamiltonien dedissipation

Dans cette annexe nous proposons un Hamiltonien continu de dissipation pourl’objet dans le champ gravitationnel. Soit

HND =p2

2m−mγx

HD =πτ

2m

∫ ∞

−∞

ω2Π

2(ω)dω +m

2τπ

∫ ∞

−∞

(x− u(ω))2dω

ou x, p et u(ω), Π(ω) sont les paires d’operateurs conjugues : [u(ω ′), Π(ω)] = iδ(ω − ω′)et [x, p] = i. Les equations du mouvement s’ecrivent comme :

∂tu(ω, t) =πτ

mΠ(ω, t)ω2 dx/dt = p/m

∂tΠ(ω, t) =m

πτ(x− u(ω, t)) dp/dt = mγ − m

πτ

∫ ∞

−∞

dω[x(t) − u(ω)]dω

La solution pour le bain d’oscillateurs est donnee par :

u(ω, t) = u0(ω, t) + ω

∫ t

−∞

dt′x(t′) sinω(t− t′)

ou u0(ω, t) est la solution pour le bain d’oscillateurs isoles. Cette solution dependdes conditions initiales du probleme. Comme le nombre de degres de liberte est infiniet l’objet est couple faiblement a chaque mode donne, nous pouvons considerer cettesolution comme un bruit quantique. En tenant compte de cette derniere remarque nousobtenons pour x(t) l’equation du mouvement suivante :

md2x(t)

dt2= mγ − m

πτ

∫ ∞

−∞

dω[x(t) − ω

∫ t

−∞

dt′ sinω(t− t′)x(t′)] + 〈bruit〉

L’integration par parties nous donne le resultat attendu :

d2x(t)

dt2+

1

τ

dx(t)

dt= γ + 〈bruit〉

153

Appendix E. Modele continu de l’Hamiltonien de dissipation

154

List of Figures

1.1 La physique multidimensionnelle a differentes temperatures. . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Quelques exemples des reseaux equidistants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 La jonction ideale GaAlAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 La jonction de deux semi-conducteurs de structure cristallographique differente. . . . . 16

1.5 Realisation experimentale du gaz d’electron 2D dans une heterojonction GaAlAs/GaAs. 17

1.6 La lithographie electronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Images du masque metallique de reseaux Z2 et T3 (dice). . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 La gravure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9 Le schema de la diffusion elastique d’electrons dans une jonction. . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Representation schematique d’un potentiel d’impurete localise. . . . . . . . . . . . . . 21

1.11 Representation schematique d’un etat lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.12 La matrice S de la jonction de deux fils quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.13 Oscillations de Friedel a une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.14 La susceptibilite de charge 1D et sa transformee de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.15 Deux types d’excitations de basses energies pour les electrons libres, q = 0 et q = 2kF . 29

1.16 Le support de la densite d’etats pour les electrons libres et dans l’approximation deliaisons fortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.17 Le potentiel de perturbation periodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.18 La susceptibilite de charge pour un fil infini et pour le reseau de fils. . . . . . . . . . . 32

1.19 Calcul numerique via la reponse lineaire des oscillations de Friedel. . . . . . . . . . . . 35

1.20 Calcul numerique des oscillations de Friedel pour le potentiel periodique de type δ. . . 36

1.21 Contribution de la derniere bande aux oscillations de Friedel pour une matrice de dif-fusion constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.22 Solutions graphique pour les etats de la theorie de bande generalisee. . . . . . . . . . . 40

155

List of Figures

1.23 Trois exemples ou on voit la structure de bande generalisee. . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.24 Schema des domaines de validite pour l’approche de bosonisation et l’approche dephysique du solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.25 Le modele de Tomonaga-Luttinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.26 Diagramme de phase pour une impurete unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.27 Les deux etats de plus basse energie du modele de Frenkel-Kontorova classique. . . . . 51

1.28 Diagramme de phase du modele de Frenkel-Kontorova pour le remplissage entier. . . . 52

1.29 Diagramme de phase du modele de Frenkel-Kontorova pour le remplissage rationnel. . 53

1.30 Illustration du processus de la perte de mobilite par le phason. . . . . . . . . . . . . . 53

1.31 Lien entre le mode locking et l’isolant de Mott. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.32 Diagramme de phase possible a remplissage incommensurable kFa/π∈/Q. . . . . . . . . 55

1.33 Le support du champ de phase dans le regime de faibles fluctuations quantiques. . . . 59

2.1 Reseau Z2 unidimensionnel en presence du champ magnetique perpendiculaire. . . . . 79

2.2 L’effet d’Aharonov-Bohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.3 La cage d’Aharonov-Bohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4 Representation du reseau T3 (dice lattice) et de reseaux Z2 uni et bidimensionnel. . . . 82

3.1 Representation d’un q-bit a base d’une jonction Josephson Z2. . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 Comportement de l’energie de la JJ Z2 en fonction de γ = φ/φ0. . . . . . . . . . . . . 105

3.3 Une jonction Josephson realiste [Shunted Josephson junction]. . . . . . . . . . . . . . . 106

3.4 Le potentiel ”washboard” pour la JJ traversee par le courant continu. . . . . . . . . . 107

3.5 Le schema de la JJ Z2 connectee a une source de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.6 Le schema electrique de la JJ Z2 connectee a une source de courant. . . . . . . . . . . 109

3.7 L’energie du bulk supra en fonction de la difference de phases aux extremites. . . . . . 110

3.8 La courbe IV recherchee et l’escalier du diable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.9 Le schema de l’experience proposee a une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.10 Les deux etats de plus basse energie d’une JJ Z2 soumis a un forcage periodique. . . . 123

3.11 Representation de l’etat fondamental du bulk Z2 a l’aide des operateurs de spin et unmode de Goldstone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.12 Le schema de l’experience proposee a 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

156

List of Figures

A.1 Plans complexes de l’energie E et du vecteur d’onde k =√

2mE/~2, qui mettent en

evidence la presence de poles de la matrice de diffusion S(k). . . . . . . . . . . . . . . 135

A.2 Potentiel de deux impuretes consecutives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.3 Diagramme d’etats propres de l’equation de Schrodinger pour deux fonctions δ. . . . . 141

157

List of Figures

158

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Reseaux de Liquides de Luttinger Couples

Resume :Cette these propose une etude theorique des proprietes de transport electronique dansdivers reseaux d’une taille nanoscopique, dont la production est devenue possible graceau progres recents de la technique de nanofabrication. Les trois types de dispositifs ontete analyses : les nanotubes, les filaments quantiques et les jonctions Josephson. Dans lapremiere partie nous retrouvons, par les methodes du groupe de renormalisation et dela bosonisation, les diagrammes de phase pour les reseaux reguliers de fils quantiquesdans les regimes de faible et forte interaction electronique. Dans la deuxieme partienous nous interessons aux effets combines des interferences quantiques dans les reseauxde symetrie Z2 locale en presence d’interaction Coulombienne. Dans le derniere chapitrenous proposons un modele du spectrometre courant-tension mesurant l’energie des q-bits, qui peut trouver ses applications dans la theorie de l’information quantique.

Mots-cles : Liquide de Luttinger, filament quantique, jonction Josephson, matrice dediffusion, oscillation de Friedel, cage d’Aharonov-Bohm

Regular Networks of Luttinger Liquids

Abstract :This thesis broaches the theoretical study of electronic transport properties for diversenanoscale arrays, which fabrication was made possible by the recent advances in na-notechnology. Three types of experimental setups are analysed : the nanotubes, thequantum wires and the Josephson junctions. In the first chapter, using the renorma-lisation group method and the bosonisation technique, we find the phase diagramsfor regular networks of quantum wires in two regimes of strong and weak electronicinteraction. Next, we focus on combined effects of quantum interference for local Z2

symmetry arrays in the presence of Coulomb interaction. In the last chapter we pro-pose the tension-current spectrometer of qubits, that could be used in the domain ofquantum information.

Mots-cles : Luttinger Liquid, quantum wire, Josephson junction, scattering matrix,Friedel oscillation, Aharonov-Bohm cage

Documents

Réseaux de Liquides de Luttinger Couplés