16
arXiv:cond-mat/0201017 v1 2 Jan 2002 * u ρ u σ K ρ K σ U

rrds/llsl-2/0201017.pdf · arXiv:cond-mat/0201017 v1 2 Jan 2002 ! " # $% $ &' " ! ( ) *) + ,) " * - .0/132547698;:@? A@1B6 6=? CED. F'13GH6I? C 6 y

  • Upload
    ngodiep

  • View
    222

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

arX

iv:c

ond-

mat

/020

1017

v1

2 J

an 2

002

����������� ����������������������������������������� ���!�"���#������$%��$�&' �"����!���(���)�*�)����������+��,)�"�*���

-�.0/�132547698;:<6=23>@?�A@1B6 ∗ 6=?�CED�.�F'13GH6I?�C�6 †J�KMLHNPO5NPQ7NBR�S=TVU!WXLHO3Y�Z'["\]T_^'`�Z=NBZ@a@b�O3KMc0d�K�O5YZ=e"f�c�g�hXijh<k=l=k=mncolnp7qnr=p=sut7vnq_c g�Z=e"f�O3K�ZnL�c"w�i!c%x%yzZ@{@OX\

|�6I15}�~�?�C���|V.�C��7�(/�6=?����M� ‡J�KMLHNBO3NBQMNBR�S=T�U!WXL�O5YZnc�d�K�O3�@T@yuL�O3S=Z=S=T�U�T�S=T_y�Zn\%S=R'�%O3R�S=T��=Z=K�T@O3yzRnc

g�hXi"h�knr7mn�=r=c��7l=t���mnsut7vnqnc<�oO3R�S=T��=Z=K�T@O3yzRnc�� �nc0x%y�Z@{_OX\�B� �n�u�����%�������n�_�=�*�_�����_�n�9�n 

¡ ��¢£�7¤¥��¦u�z¢]§n�¥�u�©¨�¨ª¦z�7«���u¬]�¥�u�z¢]­���¦�®j�¯«���u¢]°=�I¢]­�¦u�z�u��­H�z�M���0­H°n±)«�°¥¦u���'°@²"��³"°0´=¢£���7¦)°@²%°_�*�µ��=¢]±0��*¦z¢]°_�*�_¬¦u�=¦u�u��±0¦�°@²)¢£�7�u����¥­��z¢£�*§(�¬]��­��z��°@��¦�¶ ¡ �'­��@¬]­�7¬]�n�u��¦u��¤n�����_¬�«7��°_«�����z¢]�H¦ °@²0�z·*�¸¬]°@³"µ���*���§n�(¦u��­H�u°_�@���z·*��¹���­H�z¢]¤n��­º·*�_��§¥�)�@����¦z«M¢£�»¤n�¬]°=­�¢]�z¢]��¦�®¼�z·*��­�°¥±)«M���H¦u¦z¢£½M¢£¬£¢5�z�n®�¤@�_�u¢]°@��¦ ­�°_�u���¬]�¥�z¢]°_��²3�7��­��z¢]°@��¦�®��z·*��¨¼�@���7�_�*��­�°_�*�=��­��u�@��­H� �@���¾�z·����%�u���7��³"�¢]§@·7��¶(¿"·���¬]°_³"µ���*���§n�'«7��°_«������z¢]��¦©�@����¦z�M½*¦z��±�����¢£�7�u° �*��³À�¹���­H�z¢]¤n�«��@���n±0�H�u���¦�®�±���­u·Á¬£¢£´9� ·*°n±0°¥§n��*��°_�*¦�°_�*�µ��I¢]±0����¦z¢]°@���n¬�¦u�=¦u�u�H±0¦�¶ÀÂç¥������u¢]­Ä���H¦z�M¬]�©¢]¦��z·��(Å T@O£a@b�NBT�SZ=�@T_y�Z@a=T©K�Z=NBQ7yzT©RuÆ�NXb�T�LHTof*Z=y�Z=e)T@NBT@yºL�c"O5K¯f�y�Rf�R=y�NBO3R=K�NBR�N]b�T¯LBf*Z=NBO3Zn\�TÇ=NBT@K�N<RuÆ�NXb�T�QMK�S=T@yu\]ÈnO3K9a¯LHQM^@Q7K�O3N3L ®«�°_¢£�7�z¢£�*§��u°©�z·*�)«�°n¦u¦z¢£½7¢£¬£¢5�z�'°@²"É����§@¢£���H������=Ê�¦u�z�u��­H�z�M����¦�¶�Â<¦ �©¦z«���­�¢£Ë�­0�����@¬£¢]Ì��n�z¢]°@�¼®!³"��­�°_�*¦z¢]�7�����°_�*�µ�I¢]±����¦z¢]°@���@¬�Í%�M½7½��@���'¦z�7«���u¬]�n�u�z¢]­H�n®!³o·7¢]­u·�­�°_�*¦z¢]¦u�u¦�°_²%��«���u¢]°=�=¢]­©�_�u���@��§¥��±0��7��°_²o�z³"°0¬]°_�*§�ÍÎ�7½7½��@���­º·*�_¢£�*¦�³o¢]�z·��=¢£¹�������7�)­�°@�M«7¬£¢£�*§ ­�°@��¦u�u�@�7�u¦��_�*� �=¢£¹�������7�<·�°@«M«7¢£��§¥¦�¶0¿"·7¢]¦�¦u�=¦u�u��±Ï�HÐn·M¢£½7¢]�u¦0�0�u¢]­º·�«7·��¥¦u��I¢]�¥§_���¥±Ñ³"¢]�z·»¦u��¤n�����_¬!«M·*�n¦u��¦�®�½�°¥�z·'±0�H�u�_¬£¬£¢]­©�@����¢£�*¦z�M¬]�¥�z¢£��§7¶ ¡ �)·*�@¤n�)²Ò°_�7�����z·��¥�<§¥�_«7¬]��¦u¦�¢£�*¦z�7¬]�n�z¢£��§«M·*�n¦u�H¦<�_���<«7����¦u��7� °@¤n�� �0³"¢]�7�����@��§¥��°_²�«*�_���n±����u���¦�¶

ÓMÔ!Õ�Ö0×¥Ø=Ù<Ú7ÛÜ�ÝÞ»ßnà_á£à�â=á Ó¼Ù0ãäßnà_á£à�â=á å=æ�ã¥ßnà@á ç_â=á è�é�ã¥ß�ç=á ê@êná ë3ìzãäß�çIá í@ç=á ëBÚ

î_ïðî�ñ�ò)ó�ôVõ�ö©÷0ò�î�ô�ñ

ø�ù�>�ú�ù*û��15A_���=ü"�7?�>ä8;C�13} >@?���13�M?�6=2�>_25>_A@��G�7?�13A0��û����>@}���ù¼6=�ý >@>@?��ù�>���~ ý7þ >@A@�©�=ü�6'4�13ÿ7�7G�7~��0�M?���2B6=~�ÿ7ù��0G�>@A@>_?*�23û�� ý �M��ù��ù�>@�7G>@��13A¥6I2�6=?�CV>���ú�>@G13}�>@?��H6I2u.!D���ú�>_G�13}�>@?���6=2323û����ù�> 6 ý 132315�uû���ªÿ7G����Ã?�6I?��7���G~�A@��~�G�>@� ��~�A�ù�6I����~�6=?��~�}��15G>@���� �� �'6=?�CA¥6IG ý �7?�?�6I?��7�~ ý >_����� ��� ��� ��� ��� ��ù¼6=�%>@?¼6 ý 23>@C��Iü��MGj�ù�>���G���<��13}�>����ù�>»13?�47>_����13ÿ�6=��13�M?¾�Iü���û����>@} ���Iü¯6'�G�~�23û(�7?�>�8;C�15} >@?��15�M?�6=2?�6I��~�G>7.��)?¾�ù�>���ù�>@�7G>@��13A¥6I2 �15C�>��!�ù�>©ú�>@A_~�231Ò6IG�13��13>@�V�=ü���ù�>ý >@ù�6n4�13�7G0�=ü�13?*�>@GH6IA@��13?�ÿª>@23>@A@��G�7?��©13?¾�M?�>�C�13}�>_?���13�7?ªù�6n47>A@~�23} 15?¼6=��>_C�15? ��ù�>0ú�G�7ú¼�7��6=2¼�=üo6V~�?�1���~�>)~�?�1347>@G�H6I2513�uû�A@2B6I���C�~ ý�ý >@C'�ù�> � ~����15?�ÿ7>@G<231!��~�13C"�#$� ��� % �� &��� '�(� ���� %�*)+����,�����ù�15A�ù����6=?�C��¾13?E�ù�6=GúEA@�M?���GH6I���-��13��ùÀ��ù�>�ù�15ÿMù�>@G�C�13}�>@?���13�7?�6I2.�>@G�} 1�251���~�13C���>@��H6 ý 2315�ù�>@C ý û/�!6I?�C�6I~!.�ø�ù�>0�1�(13��A�ù�6IGH6IA�8��>_G�1�2@>@C ý û��ù�>�6 ý �>@?�A@>��Iü ��H6 ý 23>0��~�6I��1X8;ú¼6=G��13A@23>@����13���23���<8>@?�>_G�ÿ7û(�>@A@��7G ý >@13?�ÿ�>��*ù¼6=~����>@C ý û¾A_�72323>@A@��134M>�A�ù�6=Gÿ7>'6=?�C��ú�15?ÁC�>@?��13�uû�>���A@13�H6I��13�7?��¥.�/�13?�A_>»�ù�>'2B6=���>@G©��GH6n4M>@2�6=�©C�1XüB8ü�>@G>@?��'47>@23��A@13��13>@�(��6I? 6=C�C�>@C >@23>@A@�G��M?À��ú�2313��� ~�ú 13?����3�<>@232��>_ú�6=G�6=��>_C(AHù¼6=G�ÿM>�6I?�C���ú�13?�C�>@ÿ7G>@>@���Iü üzG�>@>@C��7}¾.4.�~�G��ù�>@Gu8}��MG�>��"A_�7G�G>@2B6=�15�M?Áü�~�?�A@�13�7?��©C�>@A¥6nûÁ13?�6ªú����<>@G�2B6(�Ïü;6=�ù�813�7?��5��13��ù�>���ú¼�7?�>_?*�����>_� ý û'�7?�25û�6�ü�>��Àú�6IGH6=} >@��>_G��¥.)ø�ù�13�ÿ7>_?�>@G�13A ý >@ù�6n4�13�7G©ù�6I� ý >@>_?��>@���>@CÀ6=?�CÁA@�7?6�¼G�}�>_C�13? ��ù�>A¥6I��>0�=ü">@C�ÿ7>0�GH6=?���ú¼�7G���13?��û*���>@} �7��ù�13A�ù�>���ù�1 ý 13�%�ù�>)ü�GH6IA�8��13�M?�6=28�*~¼6=?���~�}:9�6I2327>�;�>@A@�n.<��(� &��� ���� �#�� �=�1����ù�>@�7Gû�ù¼6=�%6=23���ý >@>@?��~�A@A@>_���uüz~�2325û�~���>@C ����C�>_��A@G1 ý >���7} >�25���<8u>@?�>_G�ÿ7ûVú�G��Mú�8>@G��13>@���=ü�An6=G ý �7?Á?�6=?��7��~ ý >@�(�> ? @� $�(� �� ��ù��M~�ÿ7ùÁ��ù�> ��13��~¼6=��13�M?13?���~�6I?*�~�}A��15G>@��G�>_}»6=13?��<A@�M?*�G��=4M>@G��1Ò6I2u. ��$� ��ø�ù�>�>@;�>@A_���=ü ý �7~�?�C�6=Gû(A@�7?�C�13��13�7?��©�7?Á��ù�> 23���<8;>@?�>@G�ÿMû

ú�G�7ú¼>@G��15>_�j�IüB���DC �"��6=�E��G����A@�7?��13C�>@G�>_C��>@47>@G�6=2�û7>n6=G��"6=ÿM��.> ��F'�MG�>@�=4M>@G��V��ù�>(13?���>@Gú�2B6nû ý >@�&�<>@>@? ý �M~�?�C�6IG�û6�F��?�13��>�8u��1�2@>8�6=?�C���ù�>@G}»6I2�>�;�>@A@���ù�6=� ý >@>@?��ù�����?����6=23�>@G A_�7?��15C�>@GH6 ý 23û��ù�>�ú�G��7ú¼>@G��13>@���=ü"��ù�>0�û*���>@}�. ���� ��FG ?�ú�6IG���13A@~�2Ò6IG����ù�>H2@>_G��=8��>_}�ú¼>@GH6I��~�G>�A@G13��13A¥6=2 ý >_ù�6n4�15�MG��Iü ��ù�> ý ~�2�I'6=2�� 6nû���A@G�7���>@��=47>_G»���6 ý �M~�?�C�6IG�û C��M}�13?�6I��>@C G�>_ÿ713}�>7. ø�ù�>@��>(���~�C�15>_�6=G>�13}�ú¼�7G�H6I?*������>��*ú�2Ò6I13?��ù�>�>���ú¼>@G�13} >@?��H6=2�G�>@�~�23�����=ü���~�?�8

?�>@2315?�ÿ��ú�>@A_��G��M��A@�Mú�û¾13?����©�7?�>ä8;C�13} >@?���13�M?�6=2¼��û����>@}��n.�F'�7G>G>@A@>@?��25û6��13��ù�6I� ý >@>@?�ú�G��7ú¼�7�>@C��ù�6=�)�7?�>�8uC�13}�>_?���13�7?¼6=2¼��û��u8�>@}�����13��ù©ÿ*6Iú�23>@���ÎC�>@ÿ7G>@>@�<�=ü¼ü�G�>_>@C��7}�6I?�C��Mú�>_? ý �M~�?�C�6IG�ûA_�7?�C�13�15�M?���ü��7G}�6�?�>�� ~�?�134M>@G���6=2313�uû�A@2B6=��%�=ü���~�6I?*�~�}EA_G�13�u813A¥6I2 ý >_ù�6n4�15�MG�A¥6=2323>@CKJ ý �7~�?�C�>@CL��~�����13?�ÿM>@G�231��*~�15C���C3. �@#M ú�6IG��15A_~�2B6=GNI�13?�C��Iü ý �7~�?�C�6=Gû�>�;�>@A@�'>@} >@G�ÿM>@��13?Á��ù�>

An6=��> �=ü�13?�ù��M}��Mÿ7>@?�>_15�13>@�¥. G ?(ÿ7>@?�>@GH6I2'�%6I?(13?�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~���1��13��} �*C�>@23>@C ý û�6=2323����15?�ÿ���ù�>04M>@23�*A_15�13>@� �IüjA@�M2325>_A@��1347>0>��M8A_15��6=�15�M?��

uρ6I?�C

uσ6=?�C��ù�>�A@�MG�G>@2B6=��13�M? >���ú��M?�>@?����

Kρ6I?�CKσ

���476=Gû¾13?Á��ú�6IA@>7.�ø�ù�>»6 ý ��>_?�A@>'�=ü�A@�M?�C�~�A_�H6=?�A@>G>@?��MG�}»6I231!2n6=��13�M?�13?©23�7?�ÿ0ù�13ÿ7ù�8;} � ý 13231]�uû4O�6 M �P��13G>@���Iü��7GÎ15?�8��H6I?�A@>���ù�6=� ý >@>@?�6I?�6=23û62@>@C¾6I?�C�>���ú�2B6=13?�>@C�13?���>@G}��)�=ü 6I?13?�ù��7}��Mÿ7>@?�>@�7~��4��� }���C�>@2&�E��ù�>@G>���ù�>�.�>@G�} 1!231���~�13C�23>¥6=C��6IG�> G�>@ú�2B6IA@>@C ý û(6'?��M?�8;13?���>_GH6=A_��13?�ÿ��M?�>�8uC�13}�>@?��13�7?�6I2j>_25>_A�8�G��M?�ÿ*6=�n. ��$� �� @� ���(� ����� ���H.�~�G��ù�>@G}��MG�>��6���QC �Q��15�ù�C�1R;�>_G�>@?��<15?�8ù��7}��Mÿ7>@?�>@13�uû�ú�G��S��23>@�!ù�6n4M> 6=23�� ý >@>_?�~��>@C�13?��ù�>%A@�M?*�>����"�=ü�ù�>Îü�GH6IA@��13�7?¼6=2���~�6I?���~�}T906=2327>�;�>@A@�(�7���C�>_��A@G1 ý >���G�6=?��13��13�7?��ý >@�&�<>@>@?(>@C�ÿ7>�����6=�>@��6=�0C�1R;�>@G�>_?*�U��232513?�ÿM��� ���$� ���©�MG ý >@�&�<>@>@?6I?'>@C�ÿ7>0��H6=�>�6=?�C»6N.�>@G�} 1�231���~�13C!. �?�V 13��ù�6I?�>_û7><���0ú�GH6IA@��13A¥6I2�6=ú�ú�2313A¥6I��13�7?��"6=��C�13�*C�>@�"�7G"��G�6=?�8

�13�����MG��(��G�>_��>¥6IG�A�ù�>@G��ù�6n47>0G>@A@>@?���23û ý >@ÿ7~�?'��©ü;6 ý G13A¥6=�>�ù�>@�u8>_G�� þ ~�?�A@��13�M?��0�=ü%A¥6=G ý �M?¾?¼6=?��M��~ ý >@�? $�(� �@��� ��#�� ��$� �� �� �?��� ���*��ù�13A�ù23����I)>@��ú¼>@A@1B6I2523û�ú�G��7} 13��13?�ÿ�.¼ø�ù�>_û�ù¼6=ú�ú¼>@?©��� ý >�6=?��7��ù�>@G"G�>�86I231!2n6=��13�M?¾�Iü�6=?�13?�ù��7}��Mÿ7>@?�>@�7~��0�M?�>�8uC�13}�>@?��13�7?�6I2%��û����>@}¾.ø%6SI*13?�ÿ'�ù�13��13C�>¥6ª�7?�>����>@ú(üz~�G��ù�>@G����<>�ù�6n4M> ý >_>@? 25>_C����A_�7?��15C�>@G�6=?��M��ù�>@GFI�15?�C��=ü ù�>@��>@G�7���G�~�A@��~�G>�WNXZY�[�\^](_�`�X�a+acbed?]n.ø�ù�>�>�;�>@A@�V�=ü >@23>@A_��G��M?�13A�A@�7GG�>@2B6I��13�7?��013?��~�ú�>_G�2B6=���13A@>@����6=�13?�13�1Ò6I��>@C ��ù�G�7~�ÿMù�6��M?�>�8uC�13}�>@?��13�7?�6I2^9�~ ý�ý 6=GC�8;231�I7>0} �*C�>@2An6=2323>@C�6U9�~ ý�ý 6=G�C��~�ú¼>@G�2B6=���13A@>�)e9�/^�1,�� ����� �@��� ���<A@�7?��13����13?�ÿV�=ü6)ú¼>@G�13��C�13A�6=G�G�6=?�ÿM>@}�>_?*�1��ù�>@G>���ù�>f9)~ ý�ý 6IG�C��7?�8;�15�> G>@ú�~�2X8�13�7?

U13�0��~�G?�>@C��M?�6=?�C(�S;�13?�6'G>@ú�>n6=��>_C(ü;6I��ù�13�7?�./g)>�8

�ú�13��>�13���Î��13}�ú�2313A@13�uû6�@6�?�~�} ý >@G"�=ü�G�>_}»6=G$I76 ý 23>"üz>¥6=�~�G�>@���<>@G�>üz�7~�?�C1�%13?�}'6=G�IM>@C(A@�M?*�GH6I���N��13��ùÁ��ù�>'�7�ù�>@G$��15�>�ù��M}��7ÿM>�8?�>@�7~��©��û����>@}-W�23�*An6=2<}��7} >@?��H�<>@13ÿ7ù��©A¥6=? ý > ��GH6I?��uüz>@G�G>@CüzG��7} G>@ú�~�23�154M>����Áü�G>@>���13��>@�(���ú�13? C�>@?���13�uûh��6n47>i)�/^gjVk,

��~�6=�1X8;�MG�C�>@G©13����13ú�>_C��7~���6I��6�G>@��~�25�©�=ü�üzG�~����GH6I��13�7?1�%6=?�C���G��M?�ÿ�/^g7V A_�7G�G>@2B6=�15�M?��7)B13?�6���~ ý �>@�%�Iü���13��>_�?,"A@�M~�23C���>_�%13?6 ý �=47><ù�6I2]üP8c��232313?�ÿ�.E.�~�G���ù�>@G�} �7G�>8�=��ù�>�>_47�723~��13�7?©�=ü��ù�>�23�*An6=2}��M}�>@?���6I?�C¾�Iü ��ù�>�AHù¼6=G�ÿM>�ÿ�6=ú�� ���7ÿM>@��ù�>@G���13��ù(6 ����G�7?�ÿI8A@�M~�ú�2313?�ÿ�6=?�6I23û*�13�����ù���� >_C ��ù�6I�'��ù�>�>@23>@A@�G��7? C�>@?���13�uû 6=���ù�13A�ùÀ��ù�>(�û�����>_} ý >_A@�7} >@�¾6 F'�7���13?���~�2Ò6I���MG�13?�A@G�>n6=��>_���13��ùÁ��ù�>��1�2@>'�=ü��ù�>'ü�G>@>'2B6nû7>@G©G�>@2B6I��1347>'������ù�>�G�>@ú�~�23��1347>�7?�>7.%F'�7G>�G�>@A_>@?���23û����ù�>�ú¼�7���1 ý 132513�uû��Iüj60ú¼>@G�13��C�13A¥6=2323û�} �*C�8~�2B6=�>@C©ù��7ú�ú�15?�ÿ¯6I�%6=G ý 15�GH6IG�û4��232313?�ÿ�6I?�C©}»6=ÿM?�>@�1!2n6=��13�M?�ù¼6=�ý >@>@?�A@�M?���13C�>_G�>@C!. ���G ?��7GC�>@G"���)ÿ7>@?�>@GH6I251�2@><��ù�> >�;�>@A@�� �Iü�6���~�ú�>@G2B6=���13A@>����G�~�A�8

��~�G�>'13?�6=?(13?���>@G�6=A@�15?�ÿ¾�M?�>�8uC�13}�>@?��13�7?�6I2j�û�����>_} ���<>�A@�M?�8��13C�>_G%ù�>@G>�6)ÿ7>@?�>@GH6I2B��~����13?�ÿM>@G%231��*~�15CV��~�ú¼>@G�2B6I����13A@>�)+����/^��,��}»6SI�15?�ÿ 6=� ��G���j?���G�>�ü�>_G�>@?�A_>������ù�><~�?�C�>@G23û*13?�ÿ�} 13A@G��M��A@�Mú�13AC�>@��6=1323�¥. V(>¾�ù���� ù���� 13����23���<8u>@?�>@Gÿ7û ú�G�7ú¼>@G��13>@� ý >n6=G���G��M?�ÿ�G>@��>@} ý 2Ò6I?�A@>���� 6(A@�M?*4M>@?���13�7?¼6=2 � ~����13?�ÿ7>@G 231!��~�13C!.9����<>@4M>@G��!6I�015?���ù�>�A¥6I��>��Iü ý �M~�?�C�>_C � ~����15?�ÿ7>@G�231���~�13C���� ��#?�>�� >�;�>@A@�154M>�ú�6IGH6=} >@��>_G��©ù�6n47>'��� ý >»13?���G��C�~�A@>@C1�f��ù�15A�ù6=G>0��ù�>0��~�ú�>@G2B6=���13A@>�6=?�6I25�Mÿ7~�>_� �Iüj��ù�>��ú�13?»6I?�C�A�ù�6IG�ÿ7>04M>�823��A@13��13>@�»6I?�C ���1<;�?�>@���>@�n.Ãø�ù�>@�>(>@?�A@��C�>(6=232���ù�>¾13?�ü��MG�}'6n8��13�M?�?�>@A_>@����6=G�û ü��MG�6�C�>@��A@G13ú���13�7?'�Iüj��ù�>�23���<8u>@?�>@Gÿ7û��>@A@���MG¥.F'�MG�>@�=4M>@G����ù�>@��>0>�;�>@A@�1347>0ú�6=G�6=} >@��>@G�%��~�G�?��M~��<����} 1!�V��ù�>ú�G�7ú¼>@G��15>_���=ü��ù�>�~�?�C�>@G25û�13?�ÿ���~ ý 8;~�?�15���13?Áú�G��Mú��MG���13�M?(�����ù�>@13G���ú¼6=��1B6I2�>��*�>@?��¥.Ïø�ù�13���ú�6=�1Ò6I2�6n4M>@GH6Iÿ713?�ÿ(A�ù�6=G�6=A@�>@Gu813���15A ��~�ÿMÿ7>@������ù�>�ú¼�7���1 ý 132315�uû��=ü7�¼?�>�8u��~�?�13?�ÿ���ù�>»ú�ù*û��15An6=2ú�G�7ú¼>@G��15>_� ý û�6VA¥6IG�>�ü�~�2���>@23>@A@�13�7?'�=ü!�ù�>0��~�ú¼>@G�2B6I����13A@>0} �*C�8~�2B6=�13�7?���6)ü�>¥6I��~�G>4��ù�13AHù }»6nû�ú�G��=47>)~���>äü�~�2�13?�?�6I?��=8uC�>@4�13A@>6=ú�ú�2315An6=��13�M?��¥."V(>Î��ù�>@?©A@�M?���13C�>@G"�ú�>@A_1<�¼A�G�>¥6I251�2¥6I��13�7?��!�=ü¼��ù�>����/^� ý û»6I?�6=23û62@13?�ÿ©15? ü�~�252�C�>@�H6I152!6©ÿM>@?�>@G�6=219�/^�Î.^V(>F��?�C6ªú�G��M251Xü�>_GH6=�13�7?��Iü�ú�ù¼6=��>_��� ý �M��ù }�>_�H6=232313A�6I?�C 13?���~�2B6I��13?�ÿ�./�~�Gú�G�13�15?�ÿ723û�����ù�>©13?���~�2Ò6I��13?�ÿ�ú�ù¼6=��>_���=ü��>@?�ù�6n4M>�?��'A�ù�6=Gÿ7>ÿ*6Iú�� ý >@A¥6=~���>�6IC�C�13��13�7?¼6=2¼AHù¼6=G�ÿM>�A¥6I? ý >�6=A@A_�7}�} ��C�6=�>@C�13?��ù�>»A_�7}�ú�G�>@���1 ý 23>��~ ý 8u~�?�13���n. M ú¼6=G��1B6=2�6=A_A@�7~�?��©�=ü0��ù�>@�>G�>_��~�23���)ù�6=��6Iú�ú¼>¥6=G>@C�13?»|�>�üH.�����.ø�ù�>�ú�6Iú�>@G<13�%�7Gÿ*6I?�1�2@>@C»6I�"ü��M2523�����(W G ?'/�>@A7. G$G ���<>�13?���G�=8

C�~�A_>���ù�> ý �M���7?�15A<üz�7G�}�~�2Ò6I��13�7?0�Iü!��ù�>�ø"�7} �7?�6Iÿ*698%� ~����15?�ÿ=>@G}���C�>_2�6=?�C �7~�G�}���C�>@2u. V(>'� ý ��6=13? ��ù�>ª>�;�>_A@��1347>�A�ù�6=Gÿ7>6=?�C���ú�15? 47>@23��A@13��13>@�(����ù�>)A@�7GG�>@2B6I��13�7?¸ü�~�?�A@�13�7?�����13��ù��ù�>�>äüB8ü�>@A_��1347>0>���ú¼�7?�>@?����6=?�C'��ù�>Ug)G~�C�>H�<>@13ÿ7ù��Îü��7G7�����~�ú¼>@G�2B6=�º8��13A@>_�¥.(ø�ù�>�6Iú�ú�2313A¥6=�15�M?(�=ü��ù�>@��>'G>@��~�23������ª476=G�13�M~���An6=��>_���ù�>@G>���ù�>N��� C�>@�A@G�1 ý >@���ù�>©25���<8u>@?�>_G�ÿ7û'�>@A@���MG��=ü�6N9�~ ý 8ý 6IG�C(}���C�>_2%13��6=?�6I23û�2_>@C�13?�/�>@AM. G�G$G .LV(>�A@23�M��>���13�ù(��ù�>A@�M?�A@23~���13�M?���13?Ä/�>@A7. G :©.

î@î_ï ò���� ô�õ�� �

V(> ý G�13>���û0G>@4�15>�����ù�>%ÿ7>@?�>@GH6I2�6I��ú¼>@A@��%�=ü�6�ù��7}��Mÿ7>@?�>@�7~�����¸13?��7GC�>@G"���)��>@�"~�ú��ù�><?��7��6=��13�M?!.�ø�ù�><23���<8;>@?�>@G�ÿMû��n2B6=Gÿ7>�8C�13����6=?�A_> ý >@ù�6n4�13�7G��Iüo6V�7?�>ä8;C�13} >@?���13�M?�6=2�üz>@G�} 15�M?�13A���û����>@}��13��ù �ú�13?�8u15?�C�>@ú¼>@?�C�>@?��'13?���>@G�6=A@�15�M?��'13��C�>@�A@G�1 ý >@C ý û ��ù�>9�6I}�1323���M?�1B6=?"&#&� ��� % �� &��� '�(� ���� %�

H = Hρ +Hσ +2g1

(2πα)2

∫dx cos(

√8Φσ),

)���,

��ù�>@G�>α15�E6 ��ù��MG��º8;C�13��H6=?�A@> A_~����S;=�

g113�À��ù�> �ú�13?

ý 6=A�I6� 6IG�C�8u��A¥6I���>@G�13?�ÿ�6I}�ú�2313��~�C�>��*6I?�C

Hν =

∫dx

(πuνKν

2Π2ν +

uν2πKν

(∂xΦν)2

),

)���,

��13�ùν = ρ

6I?�Cσü��MG���ù�>�A�ù�6=Gÿ7>¾6I?�C ��ú�15? C�>@ÿ7G>@>@���Iü

üzG�>@>@C��7} �MG�>_��ú¼>@A@��134M>@23û*.ø�ù�>�ú�ù¼6=��>F��>_25C���6=G>

Φν(x) = − iπL

p6=0

1

pe−α|p|x/2−ipx[ν+(p) + ν−(p)]−Nν

πx

L,

)���,6I?�C

Πν(x) =1

L

p6=0

e−α|p|x/2−ipx[ν+(p)− ν−(p)] +JνL.)���,

9)>@G�>ρr(p) [σr(p)]

6=G�> ��ù�>k.��7~�G�13>@G(A@�M}�ú¼�7?�>@?���(�=ü»�ù�>A�ù�6IG�ÿM>�8�)B��ú�15?�8%,VC�>@?��13�uû��7ú¼>@G�6=���MG�üz�7G©��ù�>'G�13ÿMù*�º8 )

r = +,

6I?�C©25>äü��u8f)r = − , ý G�6=?�A�ù�>@�<�=ü¼}��=4�13?�ÿ<ü�>@G}�13�7?��n. G ?*�G���C�~�Aä813?�ÿ)��ù�><���M�H6I27?�~�} ý >@G!�Mú�>@G�6=��7G��7)P}�>¥6I��~�G>@C���13��ù©G�>@�ú�>_A@�%���

�ù�>�ÿMG��7~�?�C'���H6I��>�,Nrs

ü��7G ý G�6=?�A�ùr6=?�C»�ú�13?

s�¼��ù�>V���7��6=2

)PA�ù�6=Gÿ7>�6=?�C���ú�13?B,)?�~�} ý >@G�6I?�C�A@~�G�G>@?����7ú¼>@G�6=���MG��Nν , Jν6IG�>

Nν =1√2

[(N+,↑ + N−,↑)± (N+,↓ + N−,↓)],)���,

6I?�C

Jν =1√2

[(N+,↑ − N−,↑)± (N+,↓ −N−,↓)],)���,

��ù�>@G�>��ù�>�~�ú�ú¼>@G�6=?�C©23��� >@G"�15ÿM?��"A@�7GG�>@�ú��M?�C���ν = ρ

6=?�Cσ��G>@��ú¼>@A@�1347>@23û�.ø�ù�> �7ú¼>@G�6=���MG��

Φν6=?�C

Πν13? D����¥.h)���,�6I?�C )���,

� ý >_û�� �M��>�8u231�I7>�A@�M}�}�~���6=�15�M?�G�>@2B6I��13�7?��(W[Φν(x),Πµ(y)] =

iδνµδ(x − y).��<�7?��>���~�>@?���23û6�!6=�)25>n6=���)ü��MG

g1 = 0��D���.P)���,

C�>@��A@G1 ý >@�<13?�C�>@ú¼>@?�C�>@?�� 23�7?�ÿ=8&� 6n4M>@23>@?�ÿ7�ù��7�A@13232Ò6I��13�7?��!�=ü¼��ù�>A�ù�6IG�ÿM>�6I?�C���ú�15?ªC�>@?��15�uû6�E��13��ù�2313?�>¥6IG�C�13��ú¼>@G��13�7?�G�>@2B6I��13�7?��ων(k) = uν |k|

�P)uν13�)��ù�>�4M>@23�*A_15�uû'�Iü >@23>@}�>_?*��6=Gû»>��*A_15��6n8

�13�7?���, 6I?�C���ù�>0�û*���>@}Ñ15�<A@�M?�C�~�A@�13?�ÿ�."ø�ù�>)�7?�23û©?��7?��G�134�1Ò6I213?���>_GH6=A_��13�7?0>�;�>@A@��%13? )���,¼A@�M}�>�ü�G�7} ��ù�>%A_�7��13?�>Î��>@G}¾."9)���<8>_47>@G(��üz�7G�G�>_ú�~�23��1347>©/��0)���,�13?�476=G1B6=?�� 13?���>_GH6=A_��13�7?���)

g1 > 0,��

�ù�13����>@G} 13��G�>@?��MG�}'6=231�2@>@C����2@>_G���13?'��ù�>�23�7?�ÿI8'��6n47>@23>@?�ÿ7��ù2313}�13�(�76=?�C�6I����ù�>4�B��>@C'ú��M13?*���M?�>�ù�6I�

K∗σ = 1.%ø�ù�>���ù�G>@>

G>@}»6I13?�13?�ÿ�ú�6=G�6=} >@��>@G�015? )��(,)��ù�>@?(A_�7}�ú�25>_��>@23û'C�>@�>@G�} 15?�>�ù�>023�7?�ÿI8;C�13��H6=?�A@>�ú�G�7ú¼>@G��13>@���Iüj��ù�>��û�����>_}���13?�ú�6IG��15A_~�2B6=G��KρC�>_��>@G}�13?�>@�<��ù�>023�7?�ÿ=8uC�13���H6I?�A@>�C�>_A¥6nû��Iüj6=232���ù�>�A_�7G�G>@2B6n8

�13�7?�üz~�?�A@�15�M?����=ü"��ù�>V��û����>@}¾.V(>�?�����A_�7?��15C�>@G 6 ���!/5�D�=A@�M?���13���13?�ÿ��Iü 60G>@ú¼>¥6=�>@C�ú�6I�u8

�>@G�?��Iü��&�<��C�1<;�>@G>@?��f���QC ����13��ù©ú�6IGH6=} >@��>_G��uλ,ν

�Kλ,ν

6=?�C�1�2@>@�

Lλ)λ = 1, 2

,<ú�>@Gºü�>@A@�23û�A@�7?�?�>@A@�>@Ch)c.�13ÿ�.���,@.jV(>�~���>�ù�>�6=C�1B6 ý 6=�15A'6=ú�ú�G�����13}»6=�13�=?��!13?i��ù�13AHùÁ��ù�>'�A¥6=23>'�=ü0��ù�>13?�ù��7}��Mÿ7>@?�>@13�uû ý >@�&�<>@>@?À�ù�>��&� �(231���~�13C���13��}�~�AHù 2B6=Gÿ7>@G�ù�6=? ��ù�>3.�>@G}�14��6n47>@23>@?�ÿM��ù

2π/kF. ø�ù�~��(�0��ù�>Á��13?�ÿM25>ä8

ú¼6=G��13A@23> ý 6=A�I���An6=���>@G�13?�ÿ ü�G�7} ��ù�>V15?�ù��7} �7ÿ7>_?�>@13��13>@�<A¥6=? ý >?�>@ÿ723>@A@�>@C!. M A@A@�7GC�13?�ÿ723û6�7�ù�>023���<8;>@?�>@G�ÿMû�ú�G��Mú�>@G��13>@���Iüj��ù�15�

2

L1 1νu 1νK

2νL u������������������������������������������������������������������������������ 2νK

������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������

������������������! "�$#&%�'(���&���*)����$+!�*,�'!%-'(��.�,/.�01%324�5'!'(�6,"�����876��9�����:;+(��<)4�*�!7�%-'!'(���$��=?>@�*����A

uλ,νAKλ,ν

%B,5:Lλ

%B���&'( "�8C-�*7�.D�*��'(���$+$AE�6,�'!�*�!<%��F'(��.�,G)"%���%-#&�$'!�*��+H%B,5:I+(��J$�$+H.�0K'(LM.N24�5'!'(�6,"���*�H76��9�����:O+&P

λ Q ��A R�S*=

T�TVU4TXW�Y�ZG[4ZB\*]BY�^`_�ZB[a_5bdcOZBe4ZBY$WDf`^`gB^`e4cih*j4ZGk4\�klW�fH_�m�\�mOe4^`gBZB[n?W�oi^`f`h�mOe4^pWDeGmDq1r1sKtEu*v-wNW�\@qxm�f`f`mDyN\-z

H =1

ν=ρ,σ

∫dx

{uν(x)Kν(x) (∂xΘν)

2

+uν(x)

Kν(x)(∂xΦν)

2

},

u({�w

yNj4ZBY*Z|h�j4Z}\�k4o~ZB�5h�Z�e4[4\�mD��Z�YI\*ZB�lWDY$WDh*ZB[�]Fj�WDY�cOZ$�iuν = ρ

wWDe�[�\*�4^`e5��u

ν = σw}[4Z�c�Y�Z�ZB\/m�q�qxY*ZBZB[4mOo/�8Z-WD]$j�mDqIyNj4^`]$j

yN^`h�j�^`e5h�Z�YFWD]�h�^`m�e5��WDe�[�fpW�b�ZBY���[4Z��lZBe�[4ZBe5h&�lWDY$WDoiZ�h�ZBY*\uν(x)WDe�[

Kν(x)ta��m�Y

xm�eah*j4Z���Y�\�h�u�\�ZB]�m�e4[lw}�6fpW�b�Z�Y-�EmOe4ZijlW�\

Kν(x) = K1,νuK2,ν

wNW�e4[uν(x) = u1,ν

uu2,ν

w�t�Nj4ZH_�m�\*m�e��4j�WD\�Z��lZBf`[4\

ΦνW�Y�Z@Y�ZBfpWDh*ZB[�h*m�h�j�Z�]$jlW�Y�c�Z@WDe4[

\���^�eG[4ZBe�\�^`h�^`ZB\��ρWDe�[

σ��h*j4Y�mOk4c�j √

2∂xΦν(x)/π = ν�-yNj�^�f`Z

Θν^�\M\*k4]$j�h�jlW�h

∂xΘν^�\Mh*j4Z�o}m�o}ZBe5h�k4o��lZBf`[G]Bm�e-��k4c"W�h�Z@h�m

Φνz

[Φν(x), ∂yΘµ(y)] = iδν,µδ(x−y)tM�8m�h�ZNh*jlWDh

Πν(x) =∂xΘν(x)

^`edr1s"\�t�u*v-w@WDe4[aup�5wBt�Nj4Z&ZBs5klWDh*^`m�e4\Nm�q�oimOh�^`m�eGq(m�Y@h�j4Z&��ZBf`[4\

ΦνW�e4[

ΘνWDY�Z

∂tΦν = uν(x)Kν(x)∂xΘν ,u(��w

∂tΘν =uν(x)

Kν(x)∂xΦν ,

u(��w

yNj�^�]$j�^`f`f`k4\�h*YFWDh*Z h�j4Z�^�Y�[4klWDf`^`h!b¡k4e�[4ZBY�h�j4Z¢Y�ZB�4fpW�]BZBoiZ�e"hKν (x)→ 1/Kν (x)

tHU5k4_4\*h�^`h�k�h�^`e4c|ux��w@^`e5h�m|ux�Ow@b5^�Z�f�[�\

∂ttΦν − uνKν∂x

(uνKν

∂xΦν

)= 0,

u�v�£�w

W�e4[�W�\*^`oi^`fpWDYHZBs5klW�h�^`m�e¤qxm�YΘνt

¥aZ&e4mDy�j�W���Z&h�m�\*ZBh�k4�¦h�j4Z�o|WDh*]Fj�^�e�c�ZBs5klWDh*^`m�e4\�W�hNh�j4Z^`e5h�Z�Y!q�W�]BZB\&_lZ�h!y�ZBZ�e/fpW�b�Z�Y�\-t8�Nj4Z�Z�s"k�WDh�^`mOe4\�m�q1o}m�h*^�mOeif`Z-W�[h*m/h*j4Z|]Bm�e5h*^�e5k4^`h!bam�q

ΦνWDe4[

ΘνWDe�[§h*j4ZB^`YGh�^`oiZ}[4ZBY�^`��W¨�

h*^`��ZB\�t��Nj4ZGY�^`c�j5h8jlWDe4[;\�^`[4Z�\?m�q©r1s"\�tMux������w8b5^`ZBf`[��EWD\�WD[�[4^ª�h*^`m�elW�f�]BmOe4[4^`h�^`mOe4\-�Mh*j4Z|]Bm�e5h�^`e5k4^`h!b;mDq?_�m�h*j

(uν/Kν) ∂xΦνW�e4[uνKν∂xΘν

WDh}h�j4Z;]BmOe"h$WD]Bh*\-t«�8m�h�Z;h�j�WDhih*j4Z;]Bm�e5h�^ª�e5k4^`h!b¬m�q

ΦνWDe4[

Θνc�klW�YFW�e"h*ZBZB\;h�jlW�h�mDq�h�j�ZaqxZBY*oi^`m�e�^�]

��ZBf`[�t ­-®*¯ ­B°�¯ ­$­�±Mj5b5\�^`]-WDf`f`b5�Mh�j4ZB\*Z/_�m�k�e4[lWDY*ba]Bm�e�[4^`h�^`m�e4\�\*^`o����f�bGZBe4]�m"[�Zi²�³�´�µ$¶�·5¸B´�¹$º-»O²x¼p¶O·/¶*½&¾F¶O²�³|µ$³4»O¹p¿�´G»�·�À�¸(ÁK¼p·|µ�Â5¹�ù!´�·4²�¸

jν =√

2∂tΦν/πup\*^`e4]BZGy�ZIW�Y�Z�e�ZBc�f`ZB]Bh*^`e4ciÄ8oiÅ5fpWD�4�

��Y�m5]BZB\*\�ZB\|WDe4[a_lW�]$Å"\*]-WDh*h�ZBY*^`e4c/m�q�Z�f�Z�]Bh�Y*m�e4\�yN^`h�jamO�4��m�\�^`h*Z\*�4^`elwBt&¥aZG\�h*Y�ZB\*\�h�j�WDh-�Æk4e4[4ZBY&h*j4ZB\�Z�]�m�e4[4^`h*^�mOe4\-�Æh�j4ZB\*ZiWDY*Zh*j4ZNm�e�f�b&k4e�^��OZBY�\$WDf4Y*ZBs5k4^`Y�ZBo}ZBe5h�\HmOeIh*j4Z@�lZBf`[4\��D^`Y�Y*ZB\���ZB]Bh*^��OZm�q�h*j4ZIWD]�h�klW�fE^�e5h*ZBY!q�W�]BZ���m�h*ZBe5h�^pWDf`\-t

�Nj4Z�\*k4�lZ�Y�fpWDh*h�^`]BZ�\*h�Y�k�]Bh�k4Y*ZI^`\@^`e4]Bm�Y*�lmOYFW�h�ZB[�^`e5h�mGh�j�Z?\*mD�f`k4h*^`m�eXm�q?h*j4Z�ZBs5klW�h�^`m�e4\�m�q�oim�h*^`m�e;^�e¬W;yNW�ba]Bm�o}�4f`ZBh�Z�f�bW�elWDf`mOc�m�k�\Eh�m&h�j4Z@[4^`\�]�k4\�\*^�mOe�mDqlY*Z$ÇlZB]�h�^`m�eiW�e4[�h�Y$WDe4\*oi^`\�\*^`m�e^`e�h*j4ZNÈ&Y�m�e�^�c���±VZBe�e4ZBb�oim5[4Z�f�tÆ�NjlWDhH^`\��Dy�Z8[4^pWDcOm�elW�f�^`gBZ�h�j4Zn&WDo}^�f`h*m�e4^pWDe�u({�w�_"bGZB�5�lW�e4[4^`e4c�h*j4Z&�4jlWD\*ZN�lZ�f�[�\�^`e�e4mOY�odW�fo}m5[4ZB\

Φν(x, t) = −i∑

p6=0

\�^`cOe(p)

φp,ν(x)

2√ωp,ν

[b−p,νe

iωp,νt + b†p,νe−iωp,νt]− φ0,ν(x) + γλνt,

u*v�v-w

Θν(x, t) = i∑

p6=0

θp,ν(x)

2√ωp,ν

[b−p,νe

iωp,νt − b†p,νe−iωp,νt]

+ θ0,ν(x)− τλνt,u*v-É�w

yNj4ZBY*Zb†p,ν

�HWDY�Z|_�m�\*m�ea]BY*Z-WDh*^�mOeXmO�lZBY$WDh*m�Y�\�up > 0

wBt;�Nj4Ze4mOY�odW�f�o}m"[�Z�ZB^`cOZBe5qxk4e�]Bh�^`m�e�\

φp,ν(x)WDe4[GZB^`c�ZBe5��W�f�k�ZB\

ωp,ν\FW�h�^`\!q(b

ω2p,νφp,ν(x) + uνKν∂x

(uνKν

∂xφp,ν

)= 0,

u�v-ÊOw

Ë m�_4h$WD^`e4ZB[¦_"b|h$WDÅ5^`e4c�u�vOv-w8^`e"h*m�u�v�£�w(Ì���\�k�_��$ZB]Bh�h*mih*j4ZI\$WDo}Z_�m�k4e4[�WDY�b«]BmOe4[4^`h�^`mOe4\§W�hXh�j�Z�]BmOe5hFWD]�h�\�W�\X_�Z$qxm�Y*Z��|yN^`h�jφp,ν(x)

Y�ZB�4fpW�]B^`e4cΦν(x)

tM�Nj4Z3ZB^`c�ZBe5��WDf`k4Z�\�W�Y�Z�cO^��OZBei_5b

cos p(L1 + L2) = cos(ωp,νL2

u2,ν) cos(

ωp,νL1

u1,ν)

− ∆ν

2sin(

ωp,νL2

u2,ν) sin(

ωp,νL1

u1,ν),u*vB�"w

yNj�ZBY�Z∆ν = ην + η−1

ν

WDe�[ην = K1,ν/K2,ν

tX��m�Yp �

π/(L1+L2)�Dh�j�ZN[4^`\���ZBY�\*^�mOeIY*ZBfpWDh*^�mOe�mDqEh�j�Z�TVT�U4T}^`\Mf�^`e4Z�WDY-�

1u. >7.��ων(p) = cν |p|

�6��13��ù�6=? >�;�>@A@��134M>�4M>@23�*A_15�uû

cν =u1,ν(1 + `)√

1 + ∆ν`u1,ν/u2,ν + (`u1,ν/u2,ν)2,

)�� ��,

��ù�>@G>` ≡ L2/L1

�)A@23>¥6IG�23û��cν → u2,ν

6=�` → ∞ � 6I?�C

cν → u1,ν6I�` → 0

. M 25��B��ü�G�7} D���.0)�� ��,�13��ü��M2523�����<��ù�6I���ù�>���ú¼>@A@�G�~�} �=ü�>_25>_}�>@?��H6IG�ûÁ>���A@13�H6=�13�7?����IüV6 �1�!/^� ù¼6=�ý 6I?�C���6I?�C'ÿ*6Iú�����G�>���>_A@��13?�ÿ'��ù�>���~�ú¼>@G2Ò6I���15A_>����G�~�A@�~�G�>M. G ?��ù�15��G>@ÿ*6IG�C���13�<��ù��M~�23C ý >0}�>_?*�13�7?�>@C��ù�6=�(�Mü��7G�6*��~�����13?�ÿM>@G231��*~�15C ��15�ù�6)ú�>@G13�*C�15An6=2323û�}���C�~�2B6I��>@C�ú¼6=G��13A@23>�C�>@?��15�uû6�M��ù�>ú�G>@��>@?�A@>��=ü%6©ú�2B6=��} �7?�ÿ�6=ú���6=��G>@ú¼�7G��>@C!.>��#�9)>@G�>8�^�<>���13252ü���A@~����M?�23û��7?'��ù�>�23��� >_?�>@G�ÿMû'ú�G��Mú�>@G��13>@�)�=ü%��ù�>��1�!/^�Î.�)?���ù�>»�M��ù�>_G�ù�6=?�C1�%��ù�>/2_>@G��Á}���C�>©ü�~�?�A@��13�7?��

φ0,ν(x)6=?�Cθ0,ν(x)

����6=�15�ºü�û

τλν =uν(x)

Kν(x)∂xφ0,ν(x),

)�� �8,

γλν = uν(x)Kν(x)∂xθ0,ν(x),)����8,

��ù�13A�ù©ü��72323���(üzG��7}�D����n.7)���,Î6=?�C-)���,_.�V ù�1325><üz�7G%�ù�>�ù��M}��I8ÿ7>_?�>@�7~�����û����>@} �7?�>0ù�6I�

φ0,ν (x) = πNνLx,

)�����,

6=?�C

θ0,ν (x) = πJνLx,

)�� ��,

ü��MG%��ù�>H�1�!/^�Ä��ù�>@G>H��13232 ý >��713?�ÿM>@?�>@G�6=2&�*6I?�13?�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~��ú¼>@G�13��C�13A�C�>_?���13�uû�ú�G��S��23>7. M �0�<>N��13252Î��>@>��Î��ù�>_G�>�13��6'��>_?�8C�>@?�A@û'ü��MG���ù�>�A�ù�6IG�ÿ7>©����6IA@A@~�}�~�2B6I��>0}��MG�>013?���ù�>Z`!]�Y�Y0b����a+]�_&X8d�a+b�(]7`!X��]�_ �Îø�ù*~����=�ù�>f2_>@G���} ��C�>�ü�~�?�A@�13�7?�����132327G�> ��>@A@���ù�15�<13?�ù��M}��7ÿM>@?�>@13�uû�.>�������������13?�A_>�>n6=A�ù�2B6nû7>_G 13��60�1�D�

φ0,ν6=?�Cθ0,ν

��15232�476IG�û 13? ��~�A�ùÀ6 ��6nû��ù�6=�∆φ0,ν = πNλν6=?�C

∆θ0,ν = πJλν6=A@G�7�� >¥6IA�ù�2B6nû7>@G

λ�8��13��ù�2B6nû7>@Gº8;�ú�>_A@1R��A

?�~�} ý >@G 6I?�C'A@~�GG�>@?����Mú�>_GH6=��7G�¥.DV(>0�ù�>@?'� ý ��6=13?

φ0,ν(x) = Am,λν +πNλνx

Lλ,

)�����,

θ0,ν(x) = Bm,λν +πJλνx

Lλ,

)�� ��,

��ù�>@G>

Am,λν =

(m − 1)πL2

(N2ν

L2− N1ν

L1

) 1Xüλ = 1,

mπL1

(N1ν

L1− N2ν

L2

) 1Xüλ = 2,

)�� ��,

��13��ù�6I?�6=?¼6=23�7ÿM�7~���>��*ú�G�>@���13�7?Áü��MGBm,λ,ν

� ý �H6I13?�>@C ��13��ù��ù�>»G>@ú�2B6=A_>@}�>@?����Iü

Nλ,νý û

Jλ,ν.i9�>@G>

m = 1, 2, 3, ....2B6 ý >@23�0��ù�>©~�?�13��A_>@232;. M ?�6I23�7ÿ7�M~���23û6��ü�G�7} D����n.D)��8,�6I?�C3)���,�<>�ù¼6n47>

γλν = πuν(x)Kν(x)JλνLλ

,)�� ��,

τλν = πuν(x)

Kν(x)

NλνLλ

.)�� ��,

G ?�64���Q�=��ù�>�ÿMG��M~�?�C©���H6I��>�476I25~�> �Iüτρ} >¥6=�~�G�>_�%��ù�>�A�ù�6IG�ÿM>

A_�7}�ú�G�>@���1 ý 132315�uû6����ù�>_G�>¥6I�τσ15�<G�>_2Ò6I��>@C'�����ù�>0��ú�15? ��~��A@>@ú�8

�1 ý 132513�uû�. �<�7?��15C�>@G�13?�ÿ0��ù�> ����/^�Z2@>@G��} �*C�>@��� D=�*�n.^)�����,"6=?�C)�� �(,��j6=?�C���ù�>�9�6I}�1323���7?�1Ò6n? )��8,�� >F��?�C���ù¼6=����ù�>��~�ú¼>@G�2B6=�º8�13A@>0A@�7} ú�G�>@���1 ý 132313�uû�13��ÿ7134M>@? ý û

1

κs=

1 + `

κ1 + `κ2,

)�� ��,

��ù�>@G�>κλ = 2Kλ,ρ/πuλ,ρ

13�©��ù�>'A@�M}�ú�G>@���1 ý 132513�uû��Iü�>¥6IA�ù2B6nûM>@G¥.��<25>n6=G�23û

κs13�0?��7�ù�13?�ÿ ý ~���6=?(6n47>_GH6=ÿM>��Iü ��ù�>�15?�C�1X8

4�13C�~�6I2�A@�7} ú�G�>_����1 ý 132313��13>@�D�<>@13ÿ7ù��>@C ý û ��ù�>02B6nû7>_G�25>_?�ÿ7�ù��¥.G ?���>@G�6=A@�15�M?��013?Ä6©�M?�>�8uC�13}�>@?���13�7?�6I2���û����>@} A¥6I?�>@?�ù�6I?�A@>

A�ù�6IG�ÿM>�C�>@?��15�uû(�MG���~�ú�>@GA@�7?�C�~�A@�15?�ÿ ��~�A@�~�6=�15�M?���C�>_ú�>@?�C�813?�ÿ'�M? ��ù�>_��ù�>@G©��ù�>@û 6IG�>�G>@ú�~�23��134M>��7G�6=���GH6IA@��134M>7./� >@��~���ù�>@?(A@�M?���13C�>_G���ù�>�A_�7G�G>@2B6=�15�M?�üz~�?�A@�15�M?��0ü��MG0��ù�>��1�!/^� 6=�T = 0

."ø�ù�>�6=�û�}�ú���7��13A�)P1;. >7.��Mü��MGf�<>@232!�>@ú�6IGH6=�>@Cx6=?�C

y,

ý >@ù�6n4�13�7G<�=ü%�ù�>0C�>@?��15�uûM8uC�>@?��13�uû»A_�7G�G>@2B6=�15�M?�ü�~�?�A@��13�M?»13�

〈n(x)n(y)〉 ∼ αρ

π2 |x− y|2+A1

e2i(φ(x)−φ(y))

|x− y|K∗ρ+K∗σ

+ A2e4i(φ(x)−φ(y))

|x− y|4K∗ρ,

)�� ��,

��ù�>@G�>

K∗ν =

√1 + ∆ν`u1,ν/u2,ν + (`u1,ν/u2,ν)

2

1K1,ν

+ ` 1K2,ν

u1,ν

u2,ν

≡ f(K1,ν ,K2,ν),)�����,

αν = K∗ν

1 + `

K1,ν

K2,ν+ `

u1,ν

u2,ν

2

×

(K1,ν

K2,ν

)2 1Xüx6=?�C

y ∈ 1,K1,νu1ν

K2,νu2ν

1Xü(x, y) ∈ (1, 2),

(u1ν

u2ν

)2 1Xüx6I?�C

y ∈ 2,)�����,

6I?�Cφ(x) = kFx−φ0,ρ(x)

.�ø�ù�>%�>@A@�M?�C�6I?�C��ù�13G�C��>@G�} �!�7?�ù�>�G�13ÿMù*�º8;ù¼6=?�C��13C�> �Iü D=��.6)�� ��,�G>@��ú¼>@A@�154M>@23û�A@�7GG�>@�ú��M?�C�����ù�>

2kF6I?�C

4kFA@�MG�G�>_2Ò6I��13�7?���13?���ù�>©ù��M}��7ÿM>@?�>@�M~��0A¥6=�>7.

M ?�C��Î��13}�132B6=G25û'��¾�ù�>'ù��7} �7ÿ7>_?�>@�7~����û*���>@}-�"��ù�> ü��MG�} >@GC��7}�13?�6I��>)�=47>@G)��ù�>�2B6I����>_G�ü��MG

K∗ρ ≥ 13

)P��>@>8��ù����<>@47>@G(��|�>�üH.� ��,@.ø�ù�>(A@�MG�G�>_2Ò6I��13�7? ü�~�?�A@��13�7?��'ü��7G'�ú�13?�8;�ú�13?��0��13?�ÿM23>@� )�/�/^,

6I?�C'��G15ú�25>_��)Bø�/^,<�~�ú�>_G�A@�M?�C�~�A@�13?�ÿ�ú�6I13G�13?�ÿ�6=G�>0ÿM154M>@? ý û

〈 � (x). � (y)〉 ∼ ασ

π2 |x− y|2+ B1

e2i(φ(x)−φ(y))

|x− y|K∗ρ+Kσ

+ B2e2i(φ(x)−φ(y))

|x− y|K∗ρ+K∗σ,

)�� ��,

⟨O†SS(x)OSS(y)

⟩=⟨O†TS0

(x)OTS0 (y)⟩ )�����,

∼ C1

|x− y|Kρ+K∗σ,

)�� ��,

⟨O†TS±1

(x)OTS±1 (y)⟩∼ C2

|x− y|Kρ+Kσ

,)�� ��,

��ù�>@G>Kν = f(1/K1,ν, 1/K2,ν)

�]D���.�)����8,����¼G�>��¼>@A@��13?�ÿª��ù�>C�~�6I2315�uû ú�G�7ú¼>@G��13>@� )P13? �ù�>(ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~��'2513} 15�N�<>�ù�6n47>Kν → 1/Kν

,_.P�)?�>��ù��7~�25C©?��M��><��ù�6I�j�ù�>�A@�MG�G�>_2Ò6I��13�7?Vü�~�?�A�8��13�M?��0C�>@ú¼>@?�C�?��7���M?�23û»�M?(��ù�>�C�1<;�>@G>@?�A@>

x − y � ý ~��©6=23����7?ª��ù�>�6=A@�~�6=2"ú¼�7�15�13�7?��x6=?�C

y���ù�G��M~�ÿ7ù��ù�>02_>@G��'}���C�>

ü�~�?�A@��13�7?��¥. G �'13�»13?���>_G�>@���13?�ÿ ���Á?��7�>¾�ù�6=�(��>@4M>@? ��ù��M~�ÿ7ù�<>�?����Àù¼6n47>�?�>��E>�;�>@A@�154M>�A@�7~�ú�2315?�ÿ�A@�7?���H6I?*���)

K∗ν�Kν,��

��ù�>���A¥6I2513?�ÿ02B6(��� ý >@�&�<>@>@?��ù�>�>���ú¼�7?�>@?��� �Iü��ù�>�A@�7GG�>@2B6I��13�7?ü�~�?�A@��13�7?��o6IG�><?��7� ý G��8I7>@? ý û���ù�> �~�ú�>_G�2B6=���13A@>����G�~�A_��~�G>7. G ?�7�ù�>@G7�<�7GC�������ù�>�G>@ú�2B6=A_>@}�>@?��

Kν → K∗ν6=?�C

K−1ν → Kν13?¾�ù�>�>���ú¼�7?�>@?�����Iü �ù�>�A@�7GG�>@2B6I��13�7?�ü�~�?�A@��13�M?��0�=ü���ù�> ù��=8

}��Mÿ7>@?�>@�7~��)��û����>@} û�15>_25C����ù�>©>���ú��M?�>@?�����ÿM1347>@?(6 ý �=47>0üz�7G��ù�>��~�ú¼>@G�2B6=���13A@>7..�15?¼6=2323û��5� >©C�13��A@~������ù�>�A@�7?�C�~�A@�15?�ÿ�ú�G��Mú�>_G���13>@�n.���>_��~��

��G����A_�7?��15C�>@G�6N���!/5��15?'�ù�>�ú�G>@��>@?�A@>��=ü 6*�<>¥6�I'>�����>_G�?�6I2��ú¼6=A@>�8!6=?�C���13}�>ä8;C�>_ú�>@?�C�>@?���>@23>@A@�G��7��H6I��13A ú¼�7�>@?���1B6=2

V (x, t)�

��~�AHù ��ù�6I���ù�>�>@23>@A@�G�13A ��>_25CE(x, t) = −∂xV (x, t)

.Áø�ù�>13?���>@G�6=A@�15�M?��Iü!��ù�>)ü�>@G}�13�7?��P��13�ù

V (x, t)13� C�>_��A@G1 ý >@C ý û�6

���M~�G�A_>���>@G}

Hext = −e∫dxρ(x)V (x, t).

)�� �8,

����� ��ù�>�>��*~¼6=��13�M?��=ü%} �7��13�M?�ü��MGΦρ13���(�� �� �� ����� ���

[− ∂ttuρ (x)Kρ (x)

+ ∂x

(uρ (x)

Kρ (x)∂x

)]Φρ(x, t) = −eE(x, t).

)�� ��,g)>���?�13?�ÿ©��ù�> ý �M���M?�13AUO¯G�>@>@?1C �<üz~�?�A@�15�M?

G(x, y, t) = −iθ(t) 〈[Φρ(x, t),Φρ(y, 0)]〉 , )�� �8,��ù�>�?��7?�23��A¥6=2�A_�7?�C�~�A@��134�13�uû�13��ÿ71347>_? ý û

σ(x, y, t) = −2g0

π∂tG(x, y, t),

)�� �8,

��ù�>@G>g0 = e2/h

13���ù�>�A_�7?�C�~�A@�H6I?�A@>*�*~¼6=?���~�}�.D.�15G���(�B�<>A@�M?���13C�>@G©��ù�>�~��~�6=2<�7GC�>@G©�=ü�2513} 15����¼�H6SI�15?�ÿ

q → 0ý >äü��7G>

ω → 0,��ù�13A�ù�û�13>@23C�����ù�>Ug)G~�C�>4� >_15ÿMù�����6=ú�ú�G��Mú�G�1B6=�>)ü��7G�6

��13�~�6=�15�M?��Iüo6©~�?�1Xü��MG�}���H6I��13A0>@23>@A@��G13A4��>@23C!.>�$� G ?���ù�15��An6=��>

σ(q = 0, ω→ 0) = 2g0cρK∗ρδ(ω),

)����8,��ù�13A�ù�ù�6I� �ù�>0�H6I}�>�üz�7G�}�6I�<ü��7G%�ù�>0ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~��%A¥6I��>��>�$�ý ~��7��13�ù���ù�>�>@;�>@A_��1347>�4M>@23��A@13�uû�6=?�C >�;�>_A@��1347>V>���ú��M?�>@?���G>�8ú�2B6=A_15?�ÿ��ù�>�A_�7G�G>@��ú¼�7?�C�13?�ÿ�~�?�1Xü��7G} ��~�6I?���13��13>@�

uρ6I?�C

Kρ.

ø%6�I�13?�ÿ���ù�> 2313}�13���¼13?���ù�> G>@47>@G��>��MG�C�>@GÎû*13>@23C�����ù�>7�!6I?�C�6I~�>@GA@�M?�C�~�A@��6=?�A_>��"��ù�13A�ù'A@�7GG�>@�ú��M?�C��0����6©�15�~�6=�13�7? ��ù�>@G>�6=?>@23>@A@�G�13A4��>_25C 13� 6Iú�ú�2313>@C����6U��?�13��>0G>@ÿ713�7? �=ü"��ù�>0�H6I}�ú�23>7.>�$�G ?'��ù�>��1�!/^�-�<>0ù�6n47>

σ(q → 0, ω = 0) = 2g0K∗ρ δ (q) ,

)����8,��ù�13A�ù�13����13}�132B6=G<�����ù�>©ù��7} �7ÿ7>_?�>@�7~�� A¥6I��>��>���V>���A@>@ú��0��ù¼6=���ù�>»>@;�>@A_��1347>'>���ú¼�7?�>@?���6Iú�ú�>n6=G��n. ��6I��~�G�6=2323û�����ù�>»A_�7?�C�~�A�8�H6I?�A@>�G>@?��7G}»6I251�2¥6I��13�7?0�Iü D���.^)����8,!13�"~��~�6=2323û0ù�13C�C�>@?�13?©��ù�>ú�G>@��>@?�A@>��Iü=.�>@G�} 1�231���~�13C�23>¥6IC��¥. �(�� �� �� �?�49)��� >@4M>@G���13� �ù��7~�23Cý >�6IA@A@>@���1 ý 23>�13? M � } >¥6=�~�G�>@} >@?����(��1Xü

ω > cρ/L���ù�>�13?�8

47>_G���>V��GH6n4M>@G���6=2���13}�>)�=üj�ù�>0�H6I}�ú�23>7. ���

������������������������������������������������������������������ �������������������������������������� ����������

1U 1U 1U U2 U2 U2 1U 1U 1U 1U U2 U2 U2

t

t

2t2

1U

(a)

(b)

t t t t t t t tt tt

U U U U U U U U U U U U U U

1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1

t t t t t t t tt tt t

¢]§_�7�����I���=­º·*��±0�¥�z¢]­<���«7����¦u��7�u�n�z¢]°@��°_²�ÍÎ�7½M½*�_����¦z�M«����u¬]�n�u�z¢]­���¦�¶ ���B�= ��z·*�η*°_«7«7¢£��§�¢]¦��M�7¢£²B°@��± ½7���j�z·��%¢£�7�u����n­��z¢]°@� ¢]¦

Uλ¢£���z·*�

λ¦z�7½7µz­u·*�_¢£��¶ �(�3½� ��z·*�0¢£�7�u����n­H�z¢]°_�(¢]¦��M�7¢£²B°_��±�®"³"·��������n¦0�z·*�

·�°@«M«7¢£��§�­��_���n¦u¦z�*±0���z³"°0¤@�@¬£����¦�¶

î@î@î_ï ��ö�������óVõ���ö�� �<ó ��� ò)ò�î�÷ ���

.��MG��ù�>'�H6SI7>��Iü�132323~����GH6=�13?�ÿ'��ù�>L����/^� ��15�ù�6ª��ú¼>@A@1R��AG>¥6=231�2¥6I��13�7?��1�<>�?����ÃC�13��A@~����6Ä�7?�>�8uC�13}�>_?���13�7?¼6=2�9�~ ý�ý 6=GC�~�ú¼>@G�2B6=���13A@>�)e9�/^�1,@. ����� ����� �@�@� ���4V(>7�¼G�����A_�7?��15C�>@G�6Vú�>_G�13��C�13A6IG�G�6=?�ÿM>@}�>@?����Iü

L1��13��>@�013?L��ù�13A�ù��ù�>��M?�8u��13��>©A@�7~�ú�2315?�ÿ�15�

U1 ≥ 0�Iü��M2523���<>@C ý û

L2�7�ù�>@G�f��13��ù©�7?�8;�15�>�A@�7~�ú�2315?�ÿ

U2 >0�7�ù�>�ù��7ú�ú�13?�ÿVú�6=G�6=}�>_��>@G(�

t��13�%~�?�1Xü��MG�}-�76=�%�ù�����?�13?�.�13ÿ�.

�5)�68,@.iV(>���~ ý ��>���~�>_?*�23û�A_�7?��15C�>@G���ù�>'�M?�8;�13��>'13?*�>@GH6IA@��13�M?6I� ý >@13?�ÿª~�?�1Xü��7G} ý ~����ù�>�ù��Mú�ú�13?�ÿ'13?*�>@ÿ7G�6=23��6=�0ú¼>@G�13��C�13A�Wt1ý >@�&�<>@>@?

L1�13��>@�(��ü��M2523���<>@C ý û

t2ý >_�&� >@>_?

L2��13��>@� �¼��>@>

.�13ÿ�. �5) ý ,_.� �M��ù A¥6I��>@��6 ý �=4M>»6=G>'A@�7?���>_}�ú�2B6=�>@C(1Xü��7?�> ��G15�>@�©��ù�>

906=} 1523��7?�1B6=?�6=�

H = −∑

i,σ

ti,i+1(c†iσci+1σ +H.c.) +∑

i

Ui ni↑ni↓,)�� ��,

��ù�>@G�>��©13?E��H6I?�C�6=GCE?��M�H6I��13�7?��iG~�?����=47>@G���ù�>Á��13��>_�(�=ü

6ª�7?�>�8;C�15} >@?��15�M?�6=2<2B6=���13A@>��c†iσ(ciσ)

A@G>¥6=�>@� )�6=?�?�13ù�132Ò6I��>@��,6�ü�>@G�} 13�7? 6I�¾�15�>

i15?À�ù�>��ú�13?À����6=��>

σ =↑ �7G ↓ 6=?�Cniσ = c†iσciσ

. G � 13�%13}�ú¼�7G�H6I?*�"���?��7�13A@>��ù�6=�%�ù�>�/5�����G�~�A�8�~�G�> ý G�>¥6SI���ú�6IG���13A@23>�8uù��M25>0�û*} }�>@�G�û�. �@�<ø�ù�>�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~��9)~ ý�ý 6IG�C�}���C�>@2&��15?�6�ÿMGH6I?�C�8uA¥6=?��M?�13A¥6=2">@?���>@} ý 23>�C�>@��A@G13ú�8�13�7?��013�'13?*476IG�1B6=?�� ~�?�C�>@G(6Áú�6=G��13A@23>�8uù��723>(�GH6=?��uü��MG�}»6I��13�7?[ciσ → c†iσ(−1)i

] �7?�25ûK��ù�>@?µ = U/2

. G ?(�ù�>���~�ú�>@G2B6=�u8�13A@> An6=��>8�*6)~�?�1Xü��MG�} A�ù�>@}�13A¥6I2�ú��M��>@?���1B6I2*An6=?�?��M�">@?���~�G�>���ù�15��û�}�}�>_��G�û��ù�G��M~�ÿ7ù��7~����ù�>���ù��M25>0�û*���>@}�. G ?����>¥6=C��¼~�?�C�>@G6�ú�6=G��13A@23>�8uù��723><��G�6=?��ºü��7G}»6=�13�7?��ù�>���û����>@}Ï15�"}'6=ú�ú¼>@C��M?*��6¸C�1R;�>_G�>@?����M?�>0��13�ù 6¸��ú�6I��1B6=2323û'}���C�~�2B6=�>@C'A�ù�>@}�13A¥6I2!ú¼�=8�>@?���1B6=2u.M �<>¥6�I�A@�7~�ú�2315?�ÿ�ú¼>@G��~�G ý 6I��13�7?Á��ù�>_�7G�û6���15} 132Ò6IG���»�ù�6=�

üz�7G���ù�>�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~���}���C�>@2�An6=? ý >�~��>@C ��(��ù���� �ù�6=�D=��.�)��8,�13?�C�>@>@C�C�>@��A@G1 ý >@���ù�>�23���Ã>@?�>_G�ÿ7û�6I?�C��}»6I252"} �=8} >@?���~�} �>@A@��7G©�=ü���ù�>�C�13�A@G�>@�>'}���C�>@2"�=ü�D���.D)�� ��,)13?���ù�>2313}�13�%�Iü 23�7?�ÿ�2B6nûM>@G�� ���>@>©��ù�> M ú�ú¼>@?�C�1!��.�ø�ù�>@?���13?�D���.�)���,�M?�>�ù�6I�

Kν(x) = Kλν6=?�C

uν(x) = uλνü��7G

x�M? ��ù�>

2B6nûM>@Gλ = 1, 2

�D��ù�>_G�>Kλν

6I?�Cuλν

6=G>���ù�>�~���~¼6=2�~�?�1X8üz�7G�} �<>¥6SI¾A@�M~�ú�2313?�ÿ/�1�Áú�6=G�6=}�>_��>@G��üz�7G0>¥6=A�ù(2B6nû7>_G¥. G �015�ý û�?����T� >@232">@��H6 ý 2513�ù�>@C(��ù¼6=��6��1��C�>@��A@G13ú���13�7?(13�06=ú�ú�G�=8ú�G�1B6=�>©ü��7G��ù�>�23���<8;>_?�>@G�ÿMû¾�>@A@��7G©�=ü���ù�>Z9�~ ý�ý 6=G�C(} ��C�>@2&�

]��]��3b��ia��5]NY�a+_������ d��8[�\E`!b���� `!b�0b aU → ∞ .>�$� ��������>¥6=A�ù

23�7?�ÿ*9�~ ý�ý 6=GC���~ ý 8;A�ù�6I13?»13�����13232!6 ��?�13��>�8u��1�2@>_C ���Q����ù��M~�ÿ7ùA@�M?�?�>@A@�>@C����ú�6IG��15A_25>)G�>@�>@G�4M�713G��06=�<>¥6=A�ù'>@?�C�. ���V(>���ù�>@G�>�8ü��MG�>%}'6�I7>���ù�>Q�*~�15�>%G�>n6=���M?�6 ý 25><6=���~�}�ú���13�7?)��ù�6I�!��ù�> 6 ý �=47>����/^�ÁC�>@�A@G�13ú��15�M?(G�>@}'6=13?��0476=2313C�>@4M>@?(13?¾�ù�>����G��M?�ÿ�A@�M~�8ú�2313?�ÿ(2313}�13�¥.:V 13��ù G�>@�ú�>@A_����� }»6Iÿ7?�>_��13A'ú�G��Mú�>@G��13>@�(�0��ù�>��~�ú�>@G2B6=���13A@>����G�~�A@��~�G> )e��15�ù(G�>@ú�~�23��1347>�13?���>@G�6=A@�13�7?���,�C��*>_�?��M� ý G�>n6�I(/��0)���,V��û�}�} >@��Gû��¼���ª��ù�6I����ù�> 13?�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~��Kσ13�����13232�>���ú�>@A_��>@C�����G>@?��7G}»6I251�2@>)���

Kσ → 1.

� >_A¥6=~��>'>¥6=A�ù ��~ ý 8;A�ù�6I15?Á13��6I?��\^]��h���D����ù�>@G�>L��13232 ý >6VA@>@G���6=13?»6I}��M~�?��%�=ü!A�ù�6IG�ÿ7>0G>@C�13���G�1 ý ~��15�M? ý >@�&�<>@>@?'��ù�>_} �23>¥6=C�15?�ÿ�����6�?��7?�8u~�?�1Xü��MG�}ÃA�ù�6=Gÿ7>�ú�G����¼25>M.D��>@��~��Q��G����A@�M?�8��13C�>_G �ù�>��ú�>@A_1Ò6I2�A¥6=�>��Iü!�&� ��2B6nûM>@G��%�M?�23û �>��13��ù©ú�6IGH6=} >@��>_G��(U1, t1)

6I?�C(U2, t2)

�o13?�13�1Ò6I2325û©C�13��A_�7?�?�>_A@��>@C�6I?�CL��13��ùª��ù�>�H6I}�>�13?�13��1B6I2�C�>@?��13�uû

n = N/L. G ? ÿ7>@?�>@GH6I2'���ù�>@�>��&�<�©��~ ý 8

��û����>@} ����13252�?��7�Vù�6n47>©��ù�>���6=} >�A�ù�>@} 13A¥6=2"ú¼�7��>_?*�1B6=2u.*V(>��ù�>@? ý G�13?�ÿ©��ù�>_}�13?�A@�M?*��6=A@�7��13�ù�>¥6IAHù'�M��ù�>@G(������ù�6=�<ú�6=Gº8��13A@23> >���AHù¼6=?�ÿM>�13��6I2325���<>@C!.�D"23>@A@�G��7?��N��15232 �¼���Ãü�G��M} �7?�>��û����>@} ��¾�ù�>��7�ù�>@G ~�?���132���ù�>_15G�A�ù�>_}�13A¥6=2<ú¼�7��>_?*�1B6=23��>��M86=A_��23û�}'6=��A�ù�W

µ(t1, U1, n1) = µ(t2, U2, n2),)�����,

��ù�>@G>µ6I?�C

nλ6IG�>0��ù�>0A�ù�>@} 13A¥6=2¼ú��M��>@?��1Ò6I2�6I?�C��ù�>0>���~�1X8

231 ý G�13~�}�C�>@?���13�15>_���Iü >¥6IAHùª2Ò6nûM>@G���G�>@�ú�>_A@��1347>_25û�.)ø�ù�13��13� þ ~������ù�>�A@�7?�C�15�13�7?Vü��7G���ù�>@G}���C�û�?�6I}�13A">���~�13251 ý G13~�}¾. ��6I��~�G�6=2323û��A@�M?���>@G476=�15�M?'�=üj��7��6=2�A�ù�6=Gÿ7>�C�15A_�H6=�>@����ù¼6=�

n1 + `n2 = n(1 + `).) � �(,

G ?(�7GC�>@G©����C�>@��>@G}�13?�>n16=?�C

n2���<>�}�~������72347>��13}�~�2X8

�H6I?�>@�M~���23û»D=�*�n.�)�� �8,�6=?�C ) � ��,_.<ø�ù�>�>�����>_?���13�7?ª������ù�>�A¥6=�>�=ü%} �7G�>)��ù�6I?��&�<��2Ò6nûM>@G���23>¥6IC������?���}���C�1R��An6=��13�M?�� �Iü%��ù�>6 ý �=47>�>��*~¼6=��13�M?���6=?�C���ù�>�A�ù�6=Gÿ7>�ú�G����23>Z��15232 ý >�ú¼>@G15��C�13A��13��ù'��ù�>�C�>@?���13�15>_��C�>@�>@G�} 13?�>@C�6=��6 ý �=4M>7.ø�ù�>�C�>_ú�>@?�C�>@?�A@> �=ü

µ�M?¾�ù�>©C�>@?��15�uû

n6I?�C¾�M?���ù�>�13?�8

��>_GH6=A_��13�7?UA¥6I? ý >�� ý �H6I13?�>@C�ü�G�7} �ù�>�>���6=A_����723~���13�M?¾�Iü

��ù�>�ù��M}��Mÿ7>@?�>_�7~��79)~ ý�ý 6IG�C�} �*C�>@2u. ��� M ��6©ü�~�?�A@��13�M?»�Iün�

��ù�>�A�ù�>@}�13A¥6I2�ú¼�7�>@?���1B6=2µ(t, U, n)

13?�A@G>¥6=�>@��} �7?��M���7?�15An6=2323û6=?�C�13��C�13��A_�7?���13?�~��7~���6=�)ù�6=2XüB8+��232313?�ÿB�6��ù�>_G�>©15� þ ~�} ú��<ü�G��M}µ−(t, U )

���µ+(t, U ) = U − µ−(t, U )

.�ø�ù*~�������ù�>�ù��7}��Mÿ7>�8?�>@�M~��0}���C�>@2�13�06�F'�M����13?��~�2B6=��7G�6I��ù�6I2XüB8c�¼252313?�ÿ¼.

µ−(t, U )13����ù�>023���<>@G�A�ù�>@}�13A¥6I2�ú¼�7�>@?���1B6=2!6I��ù�6=2XüB8+��232313?�ÿB�=ÿM1347>@? ý û^���

µ−(t, U ) = 2t− 4t

∫ ∞

0

J1(ω)dω

ω[1 + e12ωU/t]

,)�����,

��ù�>@G>J1(ω)

13� 6 � >@���>@2¼üz~�?�A@�15�M?!.�øj�013?�A@G>¥6=�>��ù�>�ú�6=G��13A@23>?�~�} ý >@Gj6 ý �=4M>%ù�6=2XüB8+��232313?�ÿB���<> ?�>@>@C����0ú�6nû�6I?�>@?�>@Gÿ7û©ÿ71347>_?ý û

∆H = µ+(t, U )− µ−(t, U ) = U − 2µ−(t, U ),)����8,

��ù�13A�ù 13����ù�>-��~�6=�13ú�6=G��13A@23>'ÿ*6=ú�. .��7G�2B6I��>@G ~���>��F�<>¾6=23�����~��7�>0��ù�>0A�ù�>@} 15An6=2¼ú��M��>@?���1B6I2��=üj�ù�>0?��7?�8;13?���>@G�6=A@�13?�ÿ�An6=��>8�

µ(t, 0, n) = −2t cos(πn

2

).

)�� ��,

0 2 4 6 8 10U2/t

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

n

l=0.5l=2

n’n’’

n’’’

¢]§_�7�����7� ·*�n¦u���I¢]�¥§_���¥± °@²��'ÍÎ�7½M½*�_���(¦z�7«���u¬]�¥�u�z¢]­��'³"¢]�z·U1 = 0

�_�*�t1 = t2 = t

²B°@����³"°Î¬]�@�n����¬]��*§n�z·����n�z¢]°n¦��` = 0.5

�@���2. °_�!���¥­º·

`®¥�z·*����"�_���%��³"°%±0���u�_¬£¬£¢]­<«7·*�n¦u��¦!�_�*�0�z³j°Î¢£�*¦z�M¬]�¥�z¢£��§

°_�*��¦�¶"¿"·*���z³"°0�7°n�u¦%¬]°=­��n�u�(Uc, nc)

®�³"·*����Uc/t = 3.2309

�_�*�nc = (2 + `) / (1 + `) .

��ï ò����U1 = 0 ����� �

V(>N��G���©A@�7?���13C�>@G©��ù�> A¥6=�>'15? ��ù�15A�ù(�M?�>��Iü���ù�> 2Ò6nûM>@G��13� J ü�G>@>�C7)

U1 = 0,©6=?�C ��6�I7>

t1 = t2 = tü��7G��13}�ú�2313A@13�uû*.

.�13ÿ7~�G�>����ù������0��ù�>�ú�ù�6=�>�C�1B6Iÿ7GH6I} ü��7G` = L2/L1 = 0.56I?�C�� ����ù�>�An6=��>

` = 1ù�6I� ý >@>@?�C�13�A@~����>@C�15?�|�>�üH. ����.f.��7G

�ù�>���6�I7>ª�=ü�A@�M}�ú�6IG�13���M?��%�M?�>��ù��7~�23C 6I23��� I7>_>@ú 13? }�13?�C�ù�>�ú�ù�6=�>¾C�1Ò6Iÿ7G�6=} ü��7G'��ù�>¾ù��M}��Mÿ7>@?�>_�7~����1�D�<13?h��ù�13A�ù�ù�>@G>�13��6��13?�ÿ723>0ÿ*6Iú�ú�>_C3)�F'�M����,�13?���~�2Ò6I��13?�ÿ©ú�ù�6I��>0ü��MG�6I?*û?��7?�8&2@>@G��G�>_ú�~�23��13�7? 6I��ù�6I2]üP8c��232313?�ÿ �"~�ú��M? >@13��ù�>_G�>@23>@A@�G��M?�8�MG�ù��M23>�8;C��7ú�13?�ÿ(�ù�>¾�û�����>_} ý >@A@�7} >@�'}�>@��6=232313A7. G ?h��ù�6=�üz�72323���������<>%����6=G��1��13��ù�6���~�6I2513��6=��134M>!C�13��A_~����15�M?��=ü��ù�>%ú�ù�6I��>C�1Ò6Iÿ7G�6=} ��69ü���>@G ��ù�13AHù �<>�ú�G�=4*13C�>©��ù�>�C�>@��6=1323���=ü�ù����Ï��ù�>ý �7~�?�C�6=G13>@��6=?�C'�ú�>@A_1Ò6I2!ú¼�713?�����6IG�>0C�>@�>@G�} 15?�>@C!.G ?¾�ù�>©A¥6=�>��=ü 6¸��~�ú¼>@G�2B6I����13A@>8����ù�1323>0ü��MG

n < 1��ù�>��û��u8

�>@} 13��6=2���6nû���}�>@��6=232315A8��13?���>@G>@���15?�ÿ�}�>@��6=2X8u15?���~�2B6=��7G<��G�6=?�8�13��13�7?��Vù�6n47> ý >@>@? ü��7~�?�C�ü��MG

n > 1�j6I��C�13��ú�2B6nûM>@C(13? .�13ÿ�.

��. G ?�C�>@>@C���ü��7G�6VC�>@?���13�uûnþ ~�����6 ý �=47>)ù�6=2XüB8+��232315?�ÿB�=�ù�>0��û��u8

�>@} 13�����13232%}�>@��6=232313A��"��13��ù(} �7G�>�ú¼6=G��13A@23>@����A@A_~�ú�û*13?�ÿª��ù�>üzG�>@>02B6nû7>@G<��ù¼6=?��ù�>0G�>@ú�~�23��1347>0�7?�>�13?��MG�C�>@G����C�>@A@G�>n6=��>V��ù�>�=4M>@GH6I232�>@23>@A@��G�7?�13A�G>@ú�~�23�15�M?�WD�)?�>0ù�6=�

n1 > 16=?�C

n2 < 1�

6I����ù�����?'13?L.�15ÿ¼.���. M ���ù�>�C�>_?���13�uû�13��13?�A@G>¥6=�>@Cªü��7G�ÿM154M>@?`6I?�C

U2��>@23>@A_��G��M?��H��13232 ý >�6=A_A@�7} }���C�6=�>@C©15? ý �M��ù 2Ò6nûM>@G��

��13�ù��7~���6 ;�>_A@��13?�ÿ'��ù�>�}�>@��6=232313A�A�ù�6=G�6=A@�>@G � ��>@>N.�15ÿM�¥. ��6=?�C�¼.<ø�ù�13�H��13232�ú�>@G��13���0~�?��152���ù�>VG�>@ú�~�25�1347>�2B6nû7>_G�15�)ù�6=2Xü1��2325>_C)n2 = 1

,��6��ù�>@?ª15� ý >@A@�7} >@��6�����a+a%13?��~�2B6=���MG¥.%|�>@A¥6=232��ù�6=�6I?�13?��~�2B6=��13?�ÿ©ú�ù�6I��>013?��M?�>0�=üj�ù�>0��~ ý ��û����>@}��)15�<��13ÿM?�6=2323>@C13? .!13ÿ¼. � ý û 6�ù��7G�1�2@�M?��H6=2�ú�2Ò6I��>¥6I~ 15? �ù�>'A@�7GG�>@�ú��M?�C�13?�ÿni(µ)

)i = 1,

�8,"ú�23�7��¥.�ø�ù�>���û����>@} 6I� 64��ù��M25>�13�%�ù�>@G>�ü��7G>6I?kb�� Y@[8`�X�a���_�����13?�A_>»13�©A¥6=? ý >'��ù��M~�ÿ7ù��©�=ü¯6I��6ª��>_G�13>@�»6IGu8G�6=?�ÿM>@}�>_?*���Iü%G�>@�15����MG��¥.j9����<>@47>@G(���ù�>�~�?�~��~�6=2�ü;6IA@��13����ù�>

0.5

1.0

1.5

2.0

nn1

n2

-2.0 0.0 2.0 4.0 6.0

µ/t

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

nn1

n2

U2=2t

U2=4t

(a)

(b)

¢]§_�7�����M� ��_���z¢]­¬]�0�7��*¦z¢]�z¢]��¦�²B°_� �z·*�` = 2

ÍÎ�7½M½*�_����¦z�7«���u¬]�n�zµ�z¢]­���³o¢]�z·

U1 = 0®!�n¦�²3�M�*­��z¢]°@��¦�°_² �z·*��­º·*��±)¢]­��@¬%«�°n�u��7�z¢]�@¬B�

n¢]¦��z·*�0°@¤n����@¬£¬%­º·*�_��§¥�0�7���¦z¢]�����3²3�7¬£¬�¬£¢£�*��¦� ®n1

¢]¦��z·*�0�M����¦z¢]��� �¥�²3������¦z¢]�u��¦0�B¦z·�°@���zµ��M�¥¦z·�����­�7��¤n�H¦� ®��_�*�

n2

¢]¦��z·*�0�M����¦z¢]��� �¥�<���µ«7�M¬]¦z¢]¤¥�V¦z¢]�u�H¦)�3¬]°_�*§_µ��7�n¦z·*���'­�7��¤n�H¦� ¶"¿�³"°0­H�n¦u��¦ �_����­�°@��¦z¢]�7���������B�= 

U2 = 2t < Uc®7�_�*�'�3½� 

U2 = 4t > Uc¶

�8X�\B`�]�Y�Y�?�6I��~�G>'�=ü���ù�13��13?��~�2B6=��13?�ÿ�ú�ù�6I��>�WªA�ù�6=Gÿ7>'A¥6=? ý >6=A_A@�7} }���C�6=�>@C�13?'��ù�>�ü�G>@>©2Ò6nûM>@G�6=�)?���>_?�>@G�ÿMû�A@�M�����¼�15?�A@>��ù�>���û����>@} 13�)A@�7} ú�G�>@���1 ý 23>N)

∂n/∂µ 6= 0,�15?'�ù�13��GH6I?�ÿ7>V�=ü

n����>_>0.�15ÿ¼.���.M ����ù�>ÁC�>@?��13�uûÀ15�ªü�~�G��ù�>_G¾13?�A@G>¥6=�>@C����ù�>��û�����>_} G>�8

��ú¼�7?�C���13?��&�<�»C�1<;�>@G>@?���� 6nû��(��C�>@ú¼>@?�C�13?�ÿ'�M? ��ù�>_��ù�>@GU213�"2Ò6IG�ÿM>@G"�7G%�}»6=2323>@G���ù�6I?

Uc ≡ 3.2309t)Òü��7G%6I252

`, �M��>_> .�13ÿ7�¥.

��6I?�C��¼. G üU2 < Uc

�<.�13ÿ�. �B)�68,������ù�>�13?��~�2B6=��13?�ÿ���H6I��>©A¥6=?�7?�25û ý >��~�����6=13?�>@C(~�ú(��¾6 2315} 13��>@C�6=} �7~�?��)�=ü�6=C�C�13�15�M?�6=2A�ù�6=Gÿ7> �¼�ù�6=��13���¼6=��23�7?�ÿ�6=��13��13��>@?�>_G�ÿ7>_��13A¥6=2323û�üu6n47�7G�6 ý 23>)���6=A_A@�7} }���C�6=�>��ù�13��>��*�GH6�A�ù�6IG�ÿ7> 13?���ù�>�üzG�>@> 2Ò6nûM>@G��Q��ù�1323>I7>_>@ú�13?�ÿ

n2 = 1.0.�~�G��ù�>@G�13?�A_G�>¥6I��>�13?

n�����7?�23>¥6=C������6=?

13?�A@G>¥6=�>¾13? ��ù�>'��A@A@~�ú�6=�15�M? �=ü��ù�>�G�>_ú�~�23��1347>'2B6nû7>_GL) ��13��ù2 > n1 > n2 > 1

,�6I?�C��ù�>'��û����>@} G>@>@?���>_G���6=?Á�=47>@G�6=232

0 2 4 6 8 10U2/t

0

2

4

6

Gap

HomogeneousSuperlattice

¢]§_�7�����I� ¿"·�����°n�u�zµ�ÍÎ�7½7½��@���©§n�@«��¥�n = nc

�¥¦"��²3�M�*­��z¢]°@��°_²�z·��%°_�7µ�¦z¢]�u�<­�°@�M«7¬£¢£�*§)²B°_�!½�°¥�z·��z·��"·*°n±0°¥§n��*��°@��¦%±0°=�7�¬��B�7�n¦z·*���¬£¢£���@ ��_�*���z·��"¦z�7«���u¬]�¥�u�z¢]­����3²3�7¬£¬M¬£¢£�*�@ ¶!¿"·M¢]¦�½��·*�@¤n¢]°_�!¢]¦��z·��"¦u�¥±0�²B°_� �_¬£¬

} >@�H6I232513A%ú�ù�6=�>7."ø�ù�13� } >@�H6I232513A%A�ù�6IGH6IA@��>@G7��13232 ý >�23�7�� 6=ÿ�6=13?üz�7G<2Ò6IG�ÿM>@G

n�6��ù�>@?'��ù�>�üzG�>@>02B6nû7>@G ý >@A@�7} >@��A@�M}�ú�23>@�>@23û�ü�~�252

)n1 = 2, 1 < n2 < 2

,�����15�ù(��ù�>'�~�ú�>_G�2B6=���13A@>'C�13��ú�2B6nû�13?�ÿ13?��~�2B6=�15?�ÿ ý >@ù�6n4�13�7Gn. M ÿ�6=13?����ù�13��15?���~�2B6=�13?�ÿ�ú�ù�6=�>�13��ÿ*6=ú�823>@��¥.G üU2 > Uc

�<.�13ÿ�. �E) ý , ���!�M?���ù�>��7�ù�>@G©ù�6=?�C��%6=232�6=C�C�>_C>_25>_A@��G�7?��Z��15232 ý >�6=A@A@�M}�} �*C¼6=��>_C¾13? ��ù�> ü�G>@>�2B6nû7>_G/)

1 <n1 < 2, n2 = 1

,�������ù�6=�0��ù�>��~�ú�>_G�2B6=���13A@>�G�>_}»6=13?���13?��ù�>��H6I��>0�=ü 6Vÿ*6=ú�25>_����13?���~�2Ò6I���MG¥.�.�~�G��ù�>_G�13?�A@G>¥6=�>�13?���ù�>�>_25>_A�8�G��M?�C�>_?���13�uû©25>n6=C��"���0�ù�><ü�G�>_>�2Ò6nûM>@G ý >@A@�M}�13?�ÿ06���X����©15?���~�82B6I���7GF)

n1 = 2,��6��ù�1323>7I7>_>@ú�13?�ÿ©��ù�>0G�>_ú�~�23��1347>)�7?�>)ú�13?�?�>@C'6=�

ù¼6=2XüB8+��232513?�ÿ �n��ù�>0C�>@?���13�uû��nc��6I�7��ù�13AHù ��ù�13�<��A@A@~�G��C�>@ú¼>@?�C��

�M?��ù�>�6=��ú¼>@A@�)GH6I��13�B�`��6=?�C»13�<ÿ71347>_? ý û � d�� � ��D���.") � ��,<6=?�C

|�>�ü��n. ���6� ��� �nc = (2 + `) / (1 + `)

.L��?�25û(6=�V��ù�13�©��ú¼>@A@1B6=2C�>@?���13�uû(C���>@���ù�>��~�ú¼>@G�2B6=���13A@> ý >@A@�M}�>�6�F'�7���13?��~�2B6=��7G���13?�A@>�13�"13�%13?�A@�M}�ú�G>@���1 ý 25>�)

∂n/∂µ = 0, �M��>@>4.!13ÿ¼. �B) ý ,@.�.��MG

n > nc�M��ù�>)ü�G>@>�2B6nûM>@G%G�>_}»6=13?��ÎA@�7} ú�23>@��>@23ûVü�~�232&�=���©��ù¼6=� 6I252

6IC�C�>@C�>_25>_A@��G�7?��%ÿM�0���0��ù�>�G>@ú�~�23�154M>�2B6nû7>@G �=��ù�>��~�ú¼>@G�2B6=���13A@>ý >@ù�6n4M>@��6Iÿ*6I15?�6I��6©ÿ*6Iú�23>@����13?��~�2B6=���MG¥.M �"��ù�13�"ú��M13?*��13�j13�1� �MG���ù©A@�M}�}�>_?*�13?�ÿ �ù�6=�"�ù�> ú�ù�6=�>�C�1X8

6Iÿ7G�6=}E�IüP.�15ÿ¼.��¯C�1R;�>@G� 13?��&�<��6=�ú�>_A@���<ü�G�7}Ã��ù�>��7?�><ü��7~�?�Cüz�7G0a �^b �¾2B6nûM>@G��(��� ý ��6=13?�>@C ý ûª}�>¥6I?����Iü �!6I?�A�2@�M��C�1Ò6Iÿ7�M?�6=2X81�2¥6I��13�7?���W G ? |�>�üH. ����?�� ��X@\B`�]�Y�Y�13?���~�2Ò6I��13?�ÿ�ú�ù�6I��>@� �<>@G�>ú�G�� ý >@C��"6=?�C¾�ù�>�13?���~�2B6I��13?�ÿ�ú�ù�6=�>©ü��7G

n = nc� 6I�)ü��7~�?�C

���>�����>@?�C¾C�����?ª����6=?�ûU2 > 0

.<ø�ù�>0üz�7G�} >@G�C�1R;�>@G�>@?�A@>�13�C�~�>���� ��ù�>¯ü;6=A@�)��ù�6I���M?�23û�ÿ*6Iú�ú¼>@C�13?���~�2Ò6I��13?�ÿ©ú�ù�6I��>@�4�<>@G�>ú�G�� ý >@C��5��ù�1323>���ù�>�2B6=���>@G�A¥6I? ý >0��G�6=A@>@C ý 6=A�I�����¼?�13��>�8u��1�2@>>@;�>@A_���¥.��>@��~�� ?���� ��232�13?��ù�>�C�>@�H6I1523�<�7? ù���� ��ù�>�2313?�>@��6=?�C ��ú¼>�8

A_1Ò6I2�ú¼�713?����<�=ü�.!13ÿ¼.���6IG�>�C�>_��>@G}�13?�>@C!."ø�ù�>�C��M����>_C�ù��7G1!2_�7?�8��6=2¼2315?�>�6=�

n = nc15�<� ý �H6=13?�>_C ý û��>@���13?�ÿ ý �7�ù

n1 = 26=?�C

n2 = 1.�9)��� >@4M>@G��¼�ù�13��A@�7?�C�15�13�7?'A¥6=?ª�7?�23û ý >�� ý �H6I15?�>@C�1Xü

U2 > Uc,��ù�>@G�>

Uc13��C�>_��>@G}�13?�>@C�13} ú�2315A_15�23û ý û )B�>@> .�13ÿ�.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0n

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

K* ρ

l=0.5l=2

U2/t=2

¢]§_�7�����M��¿"·���­�°_�u���¬]�¥�z¢]°_�¾��Ðn«�°@�����7�K∗ρ�n¦��V²5�M�*­��z¢]°_�¾°@²%�z·��

�7���¦z¢]���n²B°_�

U1 = 0®U2/t = 2

�_�*�` = 0.5, 2

��,

µ+(t, Uc) = µ(t, 0, n1 = 2) = 2t.) ���8,

/�13?�A@>'?�>_15�ù�>@G�D���.7) ����,¯?��7G�D���.�)�����,VC�>@ú¼>@?�C�� �7?`�Î��ù�13�

A@�M?�C�13��13�7?Áû�15>_25C����ù�>'�H6=} >Uc ≈ 3.23097t

ü��7G�6=?�û-��?�13�>6=�ú�>_A@��G�6=��13�¼.� >_��13C�>@�(��ü��MG

U2 < Uc���ù�>��û*���>@} 13�'6=2�� 6nû��©ÿ*6Iú�23>@���n.

.��7GU2 > Uc

6I?�Cn = nc,

��ù�>���û����>@} ��ù������Ä6(FÄ�7���º89�~ ý�ý 6=GC'ÿ*6=ú�ÿM1347>@? ý û��ù�>0>@?�>@Gÿ7û C�1R;�>@G>@?�A@> ý >@�&�<>@>@?ª��ù�>ù�13ÿ7ù�>@������A@A@~�ú�13>@C ���H6I��>�����ù�13A�ù 13���ù�>'~�ú�ú¼>@G�>@C�ÿM>��=ü0��ù�>?��M?�8;13?���>_GH6=A_��13?�ÿ ý 6=?�C 6I�

2t��6I?�C��ù�>�23��� >_���©~�?���A@A@~�ú�15>_C

23>@47>_2'�E��ù�13A�ù'13����ù�>�ù�13ÿMù�>@G�A�ù�>_}�13A¥6=2�ú��M��>@?��1Ò6I2!�Iü ��ù�>Vù�6=2XüB8��2323>@C�9)~ ý�ý 6IG�C�A�ù�6I13?»6=�

µ+(t, U2)

∆S = µ+(t, U2)− 2t = U2 − 2t− µ−(t, U2).)�����,

.��7G���ù�>��M?�>�8uC�13}�>@?���13�7?�6I2B9)~ ý�ý 6IG�C'}���C�>_2'���M?�>0ù�6=�∆H ∼

(8√tU/π) exp(−2πt/U )

13? � >n6�I�A@�M~�ú�2313?�ÿ�6=?�C∆H ∝ U13?(���G��7?�ÿ¾A@�M~�ú�2313?�ÿ�.L.��7GV��ù�>Z9�/^�Q��� >©ü��M~�?�CÁ��ù�6I�

∆S13�

2313?�>¥6=G7��13�ùU2ü��7G)2B6=G�ÿM>

U26=?�C»13�06=2�� 6nû��<23��� >@G��ù�6=?ª��ù�>

ÿ*6Iú0�=ü��ù�>%A@�MG�G�>_��ú¼�7?�C�13?�ÿ0ù��M}��Mÿ7>@?�>_�7~����û*���>@} �=��>_> .�13ÿ�. ��.ø�ù�>��&� �Á}�>@��6=232315A'ú�ù¼6=��>_�¾6=G>¾A�ù�6IGH6=A_��>@G1!2_>@C ý û

n1 <2, n2 < 1

)B23��� >_G��7?�>(,�6I?�Cn1 < 2, n1 > 1

)B~�ú�ú�>_G��M?�>�,@.ø�ù�>0}�>_�H6=2X8u13?���~�2B6I���7G"�GH6=?���13��13�7?-)�F G øH,<2313?�>@�<A¥6I?»�ù�>@G>�ü��7G>ý >»� ý �H6I13?�>@C ý û(}�>¥6I?����Iü¯D����n.H)�����,��H)�� ��,��%��ù�> � 13> ý 8&V(~A�ù�>@} 15An6=2<ú��M��>@?���1B6I2

µ (t, U2, n2)6=?�C:)�� �6,@.(ø�ù�>@G�>�üz�7G�>8��13?

.�13ÿ�. �5�B)P1 ,n′13�%��ù�>)2315?�>�15?*��ù�13A�ù���ù�>)23��� >@GQ9�~ ý�ý 6=G�C ý 6=?�C

�=ü<��ù�>�13?���>_GH6=A_��13?�ÿ��~ ý 8uA�ù�6=13? ý >@A_�7}�>_��ü�~�2323û���A@A_~�ú�13>@C��D)P131 ,n′′13�<��ù�>)�7?�>�13?N��ù�13A�ù��ù�>�~�ú�ú�>@G�9�~ ý�ý 6=GC ý 6I?�C�����6=G���<���

��232&��6I?�C3)B13131 ,n′′′13���ù�>�2313?�>�13?L��ù�13A�ù��ù�>�?��7?�8u13?*�>@GH6IA@��13?�ÿ

��~ ý 8;A�ù�6I13?��¼2523�<~�ú!."ø�ù�~��(�

µ− (t, U2) = −2t cos(π

2[(1 + `) n− `]

),

)�����,

µ+ (t, U2) = −2t cos(π

2[(1 + `) n− `]

),

)�����,

2t = µ

(t, U2,

(1 + `)n− 2

`

).

)�����,

ø�ù�>H��� C�>_��A@G15ú���13�7?��Iü�/�>@A7. G�G 13�j�M?�23û�476=2313C013?��ù�>�}�>@��6=2X82313A�G�>_ÿ713�7?��<�=ü!�ù�>0ú�ù�6I��>�C�1Ò6Iÿ7G�6=} �(��ù�>_G�>0?��©ÿ*6=ú�13�%ú�G�>@�>@?��13? >@13��ù�>@G��ù�>��ú�13?'�7G<��ù�>)AHù¼6=G�ÿM>0��>@A@��7G�¥. G ?��ù�>@��>0G>@ÿ713�7?�����<>0ù�6n47>

cρ =vF (1 + `)√

1 + ∆ρ`vF /u2,ρ + (`vF /u2,ρ)2,

cσ =vF (1 + `)

1 + `vF /u2,ρ,

��ù�>@G�>vF13�»�ù�> .�>@G}�1047>_25��A@13�uû�. V ù�>@?À�ù�>�15?���~�2B6=�13?�ÿ

ú�ù�6=�>�13��6=ú�ú�G��*6IA�ù�>@Cªü�G��M} ��ù�>©23��� >@G0} >@�H6I252313A�G>@ÿ713�M? )P��>@>.�13ÿ�. �8,��

cρ → 06=��6©G�>_��~�23���Iü

u2,ρ → 015? ��ù�>V15?��>@GH6IA@��13?�ÿ

2B6nûM>@G¥. G ? .�13ÿ�. �5�6� >V��ù���� ��ù�>V>�;�>_A@��1347>V>���ú��M?�>@?��K∗ρ

6=��6üz~�?�A@�15�M?'�=üj�ù�>4��232313?�ÿ

n.D.��7G�6I?*û

`� ý �M��ù'}�>@��6=232313A�ú�ù�6=�>@�

ù¼6n47>1/2 < K2,ρ < K∗ρ < 1

6I?�C��ù�>�A�ù�6=Gÿ7>�6I?�C'��ú�13?'A@�MGu8G>@2B6=�15�M? ü�~�?�A@�13�7?���C�>_A¥6nû ü;6=���>@G)��ù�6I?»13?'��ù�>�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~���û�����>_}¾. ø�ù�15��13�'6�C�13G�>@A@� A@�7?���>���~�>@?�A@>(�=ü0��ù�> J>�<>@13ÿ7ù���>_C6n4M>@GH6Iÿ7>�C�A�ù�6=G�6=A@�>@G��=ü%�ù�>�>@;�>@A_��1347>©>���ú��M?�>@?��

K∗ρ. �<û'��ù�>

��6=} >%���8I7>@?��9ü��7G%6�ÿM1347>@?n�7?©��ù�>�23���<>@G!} >@�H6I232513A"ú�ù�6I��>��

K∗ρC�>@A@G�>n6=��>_��6=�`13?�A@G>¥6=�>@�¥. G ?���ù�>)~�ú�ú¼>@G<}�>@��6=232315AÎú�ù�6=�>��

K∗ρ6I2�� 6nû��%�>@?�C��������ù�>0?��M?�8;13?���>_GH6=A_��13?�ÿ�476I25~�>��=ü ��6I� �ù�>0~�ú�8ú¼>@G013?���~�2Ò6I��13?�ÿ G�>@ÿM15�M?�13��6Iú�ú�G���6=A�ù�>@C��¼ü��7G0�ù�>��~�ú¼>@G�2B6=���13A@>��13�ù�2B6=Gÿ7>@G

`, K∗ρG�>¥6IA�ù�>@� ��6I��6�23���<>@G��=47>_GH6=232�C�>_?���13�uû�.

�¯ï ò ����� ������� ��� ����� � U2 ≥ U1 6= 0

V(>Ã?���� A@�M?���13C�>@GE6Ñ}��MG�>Ïÿ7>@?�>_GH6=2i9�/^�Q� ��13��ù C�1]üP8üz>@G�>@?���?��7?�8;476I?�13��ù�13?�ÿ A@�M~�ú�2313?�ÿ A@�M?�����6=?������7?À>¥6IA�ùE2B6nû7>@G)U1 6= U2

,��Q��ù�1323>NI7>@>@ú�15?�ÿ¾�ù�>'�H6=} >�ù��7ú�ú�13?�ÿ¾6=} ú�2313��~�C�>t��ù�G��7~�ÿ7ù��M~����ù�>�2B6=���13A@>-)c.�13ÿ�. �^)z6�,$,@. ����13?�ÿ(�M?�A@>�6=ÿ�6=13?�ù�>�>���6IA@�%>���ú�G>@���13�7? ü��7G"�ù�>�A�ù�>@} 13A¥6=2�ú¼�7�>@?���1B6=2¼6=� 6)üz~�?�A�8�13�7?��Iü ý �M��ù

U6=?�C

n�>�?�U� >©ù�6n47>VC�>@��>_G�}�13?�>_C���ù�>�A�ù�6IG�ÿM>

ú�G����¼25>��Iü���ù�>��~�ú¼>@G�2B6=���13A@>'��û����>@}�.'ø�ù�>�A�ù�6=Gÿ7>��>@?�C��©���6IA@A@~�}�~�2Ò6I��>�13?���ù�>�2B6nû7>@G���13��ù��ù�>��}»6=2323>@G%A_�7~�ú�2313?�ÿE����ù�13A�ù�<>©AHù��*�M��>����A¥6I252Î2Ò6nûM>@G �M.�ø�ù�13�013�0GH6=�ù�>@G013?���~�13��134M>��¼��13?�A@>>_25>_A@��G�7?��<C�>@A@G>¥6=�>���ù�>@13G%}�~���~¼6=2�G�>@ú�~�23��13�7? >@?�>@Gÿ7û ý û �¼���<813?�ÿ©13?����©��ù�>�23>@���13?*�>@GH6IA@��13?�ÿ�2B6nûM>@G¥.ø�ù�>©ú�ù�6=�>�C�1Ò6Iÿ7G�6=}Ñü��7G0��ù�15�F9�/^�Á13��4M>@G�ûªG�13A�ù!.HV(>V� ý 8

�>@G�4M>%��1��0C�1R;�>@G�>@?���ú�ù�6=�>@���I��ù�G>@>%}�>_�H6=232313Af)zF1�=F

26I?�C�F

3,

6I?�C©��ù�G>@>�13?���~�2B6I��13?�ÿ�) G1� G

26I?�C G

3,��=>¥6IA�ù�AHù¼6=GH6IA@��>_G�1�2@>@C ý û

13���AHù¼6=G�ÿM>0ú�G��S��23>���6I����ù�����? ü��MG���ù�G>@>�132325~�����G�6=�154M>�A¥6I��>@�)13?.�13ÿ�.���.�ø�ù�><���7ú¼�723�Mÿ7û0�=ü��ù�><ú�ù�6=�> C�1Ò6Iÿ7G�6=}À13�!�ù�>��H6I}�>�ü��7G6I?�û

`6=?�Cª��ù�>�2313}�13�15?�ÿ�A¥6=�>@�

U1 → 0)�/�>@A_��13�7? G$G�G M ,)6=?�C

U1 = U2)Pù��7} �7ÿM>@?�>@�M~���A�ù�6=13?B,©6=G>�G>@A@�=47>_G�>@C!.i��? >¥6IA�ù

ú�ù�6=�>�C�1B6=ÿMGH6I}À�=üP.�13ÿ�.��5�7�ù�>@G�>06=G>7��4M>�F G ø 2513?�>_���M2Ò6 ý >_25>_Cý û

nI�ù�G��M~�ÿ7ù

nV�6��ù�13A�ù�6=G�>)C�>@�>@G�} 15?�>@C���13}�132B6=G23û����V��ù�>

An6=��>U1 = 0

C�13�A@~����>@C ý >�ü��MG�>�)P��>@>�ø%6 ý 23> G ,@.�V(>0ÿM>@��W`�b��^]��EW

µ−(t, U1) = µ

(t, U2,

(1 + `)n− 1

`

);

)�����,

`�b��^]�� �BW

µ+(t, U1) = µ

(t, U2,

(1 + `)n − 1

`

);

)�� ��,

0 1 2 3U1/t

0.8

1.2

1.6

2.0

nI3

(a) U2/t=3

M2M1

M3I2

I1

0 1 2 3 4U1/t

0.8

1.2

1.6

2.0

n

(b) U2/t=4

I3

M3I2

M2

(Ua/t,nc )

nI

nIII

nIV

nV

M1

0 4 8 12 16U1/t

0.8

1.2

1.6

2.0

n

(c) U2/t=16

M1

I3

I2

M3

M2 (U*/t,1)

(Ua/t,nc)

nII

I1

¢]§_�7�����=� ·*�n¦u���=¢]�n§_���¥± ²B°_���` = 1

�nc = 1.5

 �ÍÎ�7½7½��@���¦z�7«���u¬]�n�u�z¢]­H�'³"¢]�z·

U1 > 0®"�@���¾�z·M���H���I¢£¹�������7�©¤@�_¬£�*��¦�°_²

U2

¶ �Ä���n­u·�­��¥¦u�V�z·*������_�����z·7������±0���u�@¬£¬£¢]­'� ��  «7·��¥¦u��¦�®!�_�*���z·M�����a=Zf�\]T�LL ¢£�*¦z�7¬]�n�z¢£�*§¸�  �«M·*�n¦u�H¦�� a=Zf=f*T�S ¢£��¦z�7¬]�n�z¢£�*§)«7·��¥¦u��¦"�@«M«��H�_��n¦�·*°_�u¢]Ì�°@�7�u�_¬ �M�¥¦z·��H�Ĭ£¢£�*��¦�¶ �(�B�= ®

U2 = 3t�_�*�

U∗ ≈ 2.15t�B¦u�����u��Ð=�� ���¢£���3½� ®U2 = 4t

®U∗ ≈ 2.39t

®��_�*�Ua ≈ 0.64t

���_�*�¢£���B­@ ®

U2 = 16t®U∗ ≈ 3.02t

®M�@���Ua ≈ 12.2t

¿��_½7¬]� ��¿"·M¢]¦0�u�@½M¬]�©¬£¢]¦u�u¦��z·*�©¤@�_�u¢]°@��¦�±0�H�u�_¬£¬£¢]­�� �1

® �2

�_�*��

3

 <�_�*� ¢£�*¦z�M¬]�¥�z¢£��§ «7·*�n¦u��¦�� 1

® 2

�_�*� 3

 <°@² ¢]§M¶��V³"¢]�z·��z·*�­�°_�u����¦z«�°_�*�I¢£�*§0¦z�7½Mµ�­u·��@¢£�©�7��*¦z¢]�z¢]��¦�¶"¿"·*��¬]�n¦u�!­�°@¬£��±)�¯¦z·�°@³%¦��z·*����¥�z�M��� °_²��z·*�<�z���@��¦z¢]�z¢]°@��¬£¢£���H¦o½����z³"�H����z·*�Ϋ7·��¥¦u��¦<�

nI�z·7��°_�*§_·

nV¢£� ¢]§7¶��n ¶�¨�Í��

λ�_�*� Í��

λ����¦z«��H­��z¢]¤n�¬]��¦u�u�@���0²B°@��¬]°@³"��

ÍÎ�7½M½*�_���©½*�_�*���_�*�©�M«7«��� ÍÎ�7½M½*�_���©½*�_�*�©¢£�©¬]�@�¥��λ = 1, 2

�n�M½7µ�­º·*�_¢£�»�M����¦z¢]�z¢]��¦ ¿¼���@��¦z¢]�z¢]°@� ¬£¢£�*��

1 n1 < 1®n2 < 1

µ

⇓ µ ¨¼Í���� ËM¬£¬]¦%�M«��nI 

1 n1 = 1

®n2 < 1

µ

⇓ µ Í�� ��¦u�u�_���u¦ �u°)ËM¬£¬j�nII 

�2 n1 > 1

®n2 < 1

µ

⇓ µ ¨¼Í�����Ë7¬£¬]¦<�M«»�nIII

  2 n1 > 1

®n2 = 1

µ

⇓ µ Í����)¦u�u�@���u¦%�u°)ËM¬£¬j�nIV 

�3 n1 > 1

®n2 > 1

µ

⇓ µ Í�� �<ËM¬£¬]¦<�7«��nV 

`�b��^]�� � �BW

µ(t, U1, (1 + `)n − `

)= µ−(t, U2);

)�� ��,

`�b��^]����0W

µ(t, U1, (1 + `)n− `

)= µ+(t, U2);

)�� ��,

`�b��^]��*W

µ(t, U1, n1 = 2) = µ−

(t, U2,

(1 + `)n − 2

`

).

)�� ��,

.��7GU1 = 0

�¼��ù�>�2313?�>@�nIII , nIV ,

6I?�CnVC�>@��>_G�}�13?�>V��ù�>

ú�ù�6=�>�C�1Ò6Iÿ7G�6=}��Iüo/�>@A_��13�7? G�G$G M �]D����¥.") � ��,�� ) ����, ��. ����)?�>��Iü���ù�> A@�7?��>���~�>@?�A_>@���Iü�6'?��7?�8&2@>@G�

U113������ú�~��ù

�ù�>�23���<>@G<}�>@��6=232315A<ú�ù�6I��>)�=ü=.�13ÿ�.��0����}»6=2323>@G"C�>@?���13��13>@�(��6=��ù�����?�15? .�13ÿ�. �-)�F

1,@. G ?�6=C�C�13��13�7?���'��ù�13�0ú�ù�6I��>��1��ù�13A�ù

�ú�6=?���6=232�476=23~�>@�<�=üU1 < U2

����ù�>_G�>�6IG�>0�&� ���M��ù�>_G�}�>@��6=232315AG>@ÿ713�M?���)�F

26=?�C(F

3,@. M ?�C(13?�8 ý >@�&�<>@>@?(} >@�H6I252313A0ú�ù�6I��>@�(�

�M?�>7�¼?�C���13?���~�2Ò6I��13?�ÿ�ú�ù�6=�>@�����7?�>)�=üP��ù�15A�ù-) G1,%13�<?���� ����6n8

ý 25>©üz�7Gn < 1

�!~�?�231!IM>���ù�>�An6=��>¸ü��7GU1 = 0

.'ø�ù�>_��>�13?��~�82B6I��13?�ÿ'ú�ù�6I��>@��ù�6n4M>�>@13�ù�>@G

nλ = 1, λ = 1, 2,�MG

n1 = 2)P��>@> ø%6 ý 23> G ,@.��)?�A@>'6=ÿ�6=13?����ù�>@G�> 13��6KJ C�154�13��13�M?��=ü�2B6 ý �7G�Cý >@�&�<>@>@? ��ù�>��&�<�0�uû*ú¼>@�%�Iü��~ ý 8uA�ù�6=13?��(W���ù�1323><�7?�>�13�"ÿ*6Iú�ú�>_C)zF'�7��?,<�MG�A@�7} ú�23>@��>@23û*��2323>@C-) ý 6I?�CB,�� ý >_15?�ÿ�G�>@�ú��M?���1 ý 23>)ü��7G�ù�>013?���~�2B6I��13?�ÿ ý >@ù¼6n4*13�MG �Iüo�ù�>0��û����>@} ���ù�>��M��ù�>@G�G>@}»6I13?��ÿ�6=ú�23>@���6=?�C'���C���>@����ù�>V��û����>@} 6I��6*��ù��723>7..�15ÿM~�G�> �^)z6�,"�ù������ �ù�>0ú�ù�6I��>�C�1Ò6Iÿ7G�6=}Àüz�7G

U2 = 3t < Uc)Uc13����ù�>���6=} >¯6I��ü��MG���ù�>VA¥6=�>

U1 = 0,@.<ø�ù�> 9�/^� ù�6=��6

ÿ�6=ú¾6I���ù�>�C�>@?���13�uûn = 1

ü��MGU1 > U∗ ≈ 2.145608t

���ù�13�n = 1

2313?�>���>@ú¼6=GH6I��>@���ù�> G1)P1u. >M.!�

n1 = 1�n2 < 1

,�6=?�C�ù�> G

2)n1 > 1

�n2 = 1

,0ÿ*6Iú�23>@����13?��~�2B6=�15?�ÿ»ú�ù�6=�>@�¥.L.��7GU1 < U∗

�7?�>)ÿ7��>@�%�ù�G��M~�ÿ7ù'60��>��*~�>@?�A@>0�=ü!F G ø�C ���M13?N��ù�13A�ù6I232�15?���~�2B6=�13?�ÿ�ú�ù�6I��>@�06=G>�ÿ�6=ú�23>@��¥.G ? .�13ÿ�. �5) ý ,��H�<>¾�ù���� ��ù�>(ú�ù�6=�>¾C�1Ò6Iÿ7G�6=} ü��7G

U2 =4t > Uc

. M ���ù�>��=4M>@GH6I252<C�>@?���13�uû(13��13?�A@G>¥6=�>@CÁü�G��M} ��13?�ù�>�13?���>@G476=2

Ua < U1 < U∗����ù�>@G�>

Ua ≈ 0.6433t6I?�C

���

0 2 4 6 8 10U2/t

0

2

4

6U

1/tU

*

Ua

One gapTwogaps

One gapGapless

U2

_

¢]§_�7�����M� ��@���n±0���u����¦U∗�_�*�

Ua�¥¦�²3�7��­H�z¢]°_�*¦<°_²

U2

¶�¿"·�� �z³"°­�7��¤n��¦ ±0�����j�n�

U 2 = 6.25261t.

U∗ ≈ 2.39149t����ù�> ��û����>@} ÿ7��>@�©��ù�G�7~�ÿMù�6'�>���~�>@?�A@>ª�=ü

F G ø�C ����13�ù��7~���>@47>_G ý >@13?�ÿ)ÿ*6=ú�ú�>@C�.�9)��� >@4M>@G��9ü��7GU1 < Ua

���ù�>�13?*�>@G�} >@C�1B6=�> G

2)n1 > 1

�n2 = 1

,�6=?�C»�ù�> G3)n1 = 2

�n2 > 1

,0ÿ�6=ú�23>@���13?��~�2B6=�15?�ÿ»ú�ù�6=�>@��6IG�> ��>@ú�6IGH6I��>@C ý û(�ù�>C�6I��ù�>@C 2315?�>�6=�%�ù�>�C�>_?���13�uû

nc = (2 + `)/(1 + `)�6��ù�>_G�>0��ù�>

��û����>@} 13�0üz~�2325ûªÿ*6=ú�ú�>@C�.¾/�13}�132B6=G23û���6=?��M��ù�>@GVÿ*6=ú�6Iú�ú¼>¥6=G�6=���ù�>0C�>@?��13�uû

n = 1ü��MG

U1 > U∗�^��ù�13A�ù�6=ÿ*6I13?���>_ú�6=G�6=��>_�

ÿ*6Iú�23>@��� 13?���~�2B6I��13?�ÿ(ú�ù�6I��>@� G1)n1 = 1

�n2 < 1

,�6I?�C G2)

n1 > 1�n2 = 1

,_..��MG

U2 = 16t > Uc�<.�13ÿ�.��^)BA(,��o6I?�C

U∗ < U1 < Ua)B?����

U∗ = 3.01509t6I?�C

Ua = 12.1724t,���ù�>��û*���>@}Ñ15�Î}�>@��6=232315A

�7?�25û ý >_25���À2313?�>I�E��ù�13AHù(6=ú�ú�G���6=A�ù�>@�

n = 1ü��7G)2B6=G�ÿM>

U1�

6=23��B�nÿ*6Iú�ú�>_C ý >_ù�6n4�15�MG�13�j6=ÿ�6=13?0� ý �>@G�4M>@C�6=��C�>@?���13��13>@�n = 16=?�C

nc�D��13��ù 6I252<�7�ù�>@G�13?��~�2B6=��13?�ÿªú�ù�6=�>@� ý >@13?�ÿ�ÿ*6Iú�23>@���n.

.��7G<>¥6=A�ù'�=ü!�ù�>0G�>@ÿM15�M?��U1 < U∗

6=?�CU1 > Ua

��6 J£��13ú�ú¼>@C�C}�>_�H6=232313A�ú�ù�6I��>013��� ý �>@G�4M>@C!.ø�ù�>�6 ý �=47>�C�15�A@~����13�7?(13?�C�13A¥6I��>@�©��ù¼6=���ù�>@G�>'6=G>���ú¼>@A@1B6I2

476=23~�>_���=üU1�U∗

6I?�CUa�7��ù�13A�ù G�>@�ú�>@A_��1347>@23û G>@ú�G>@��>@?��

��ù�> J �13ú�C¼ú��M��13��13�7?����Iü �ù�>�23���<8�6=?�C�ù�13ÿ7ù�8;C�>_?���13�uû�} >@�H6I252313Aú�ù�6I��>@�n.©ø�ù�>@13G0C�>@ú¼>@?�C�>@?�A@>��M?

U2A¥6I? ý >�>�����G�6=A@�>@C�ü�G��M}

��ù�>���723~��15�M?����=ü

µ+(t, U2) = µ(t, Ua, n1 = 2) = 2t+ Ua)�� ��,

6=?�C»�Iü

µ+(t, U∗) = µ+(t, U2),)�� ��,

6=?�C 6IG�>���ù�����?¾13? .!13ÿ¼. ��. G ���ù��7~�25C ý >�?��7�>@C¾�ù�6=�V��ù�>@�>476=23~�>_�o6IG�><13?�C�>@ú¼>@?�C�>_?*�Î�=ü���ù�>�6I��ú¼>@A@�%G�6=��13�

`. M �D.!13ÿ¼. �)G>�8

47>n6=23���n�7?�>%��ù��M~�23C�?��M� ý > } 15�23>@C ý û)��ù�><C�1R;�>@G�>@?��"ù��MG�1�2@�7?���6=2��An6=23>@�©15?3.�13ÿ�.��^W��ù�>�23���<8uC�>@?��13�uû���13ú(C���>@�©?��7�VG�>@A@>_C�>�6=�U215?�A@G�>¥6I��>@�(�<��13?�A@>

U∗6IA@��~�6I2325ûª15?�A@G�>¥6I��>@��} �7?��M���M?�13A¥6=2323û

��13��ùU2�<�H6=�~�GH6I��13?�ÿ�6I�

Uc6I�

U2 → ∞.h�)? ��ù�>ª�7��ù�>@G

ù�6I?�C���.�13ÿ�. ����ù��������ù�6=�Ua13���M?�23û'C�>���?�>_C 6 ý �=4M>�6¸A@>@Gu8

�H6I13?��ù�G�>@�ù��723C��U2 = Uc

�=G�> ��>@A@�15?�ÿ��ù�>%üu6=A@�%�ù�6=����ù�>_?���ù�>

0 4 8 12 16U1/t

0

4

8

12

Gap

s

∆*S

∆S,a

U* Ua

U2/t=16

¢]§_�7�����M�%¿"·*� ��°n�u�zµ�ÍÎ�7½M½*�_����§n�@«�¦∆∗S�@���

∆S,a

�n� �z·����7��Mµ¦z¢]�z¢]��¦

n = 1�_�*�

nc = (2 + `) / (1 + `)®����H¦z«���­��z¢]¤¥�¬]�n¶ Í ����n®

U2 = 16t�_�*�

` = 1¶

A_�7~�ú�2313?�ÿ�13? 2Ò6nûM>@G �013� �}»6=232&�=�ù�>0��13��~�6I��13�7?n1 = 2, n2 = 113�"?�>@4M>@G%G>¥6=231�2@>@C ��6 ý �=4M>

Uc�Ua15?�A@G�>¥6I��>@�<2313?�>¥6=G23û���13��ù

U2.

M A@A@�MG�C�13?�ÿ�����7~�G�ú�G�>_4*13�M~���6=?¼6=23û���>@�(�!�ù�>@��> �&� �ªA@~�G�4M>@�)e��ù�13A�ù�13?*�>@G��>@A@��6I�

U2 = 6.25261t,ÎC�>���?�>�G>@ÿ713�7?���13?'��ù�>

(U1, U2)ú�2Ò6I?�><AHù¼6=GH6IA@��>_G�1�2@>@C ý û0��ù�>�?�~�} ý >@G��=ü�ÿ�6=ú���15?V��ù�>

�~ ý 8u~�?�13���<üz�7G�6=ú�ú�G��Mú�G�1B6=�>F��232513?�ÿM����6=���ú�>@A_1<�¼>@C�13?L.!13ÿ¼. ��./�13}�132B6=G25ûV������ù�>�An6=��>

U1 = 0����ù�>�ÿ*6Iú���6=���ù�>0C�>@?��15�13>@�

n = 16I?�C

n = nc6=G>�ÿ71347>_?���G�>@�ú�>_A@��1347>_25û6� ý û

∆∗S = µ+(t, U1)− µ−(t, U2),)�����,

∆S,a = µ+(t, U2)− 2t− U1,)�����,

6I?�C��¼6=ÿ*6I13?����ù�>@û'C���?��7��C�>@ú�>_?�C¾�M?`.)ø�ù�>�ÿ�6=ú��

∆∗S6=?�C

∆S,a�_ü��MG

U2 = 16t�=6=G�><��ù�����?�13?0.�13ÿ�. ��6=��ü�~�?�A@��13�M?��"�=ü

U1.

ø�ù�>�ÿ�6=ú¾6I�n = 1

�n = nc

�%13?�A@G�>n6=��>_� �£C�>@A@G>¥6=�>@� ��2315?�>¥6=G25û��13�ù

U16I?�C'476=?�13�ù�>@�<ü��MG

U1 < U∗�U1 > Ua

�º..��MG �ù�>49�~ ý�ý 6=GC»} ��C�>@2E��15�ù�G>@ú�~�23��134M>�13?���>@G�6=A@�15�M?��7�<>

ù¼6n47>uσ ≤ vF

6=?�Cuρ > vF

.>�$�0.��MGU2 = 4t

6=?�CU1 = 2t

��ù�>0>�;�>@A@��134M>�A�ù�6IG�ÿM>¯6I?�C��ú�13?�4M>@23�*A_15�13>@�%üz�7G<��ù�>

` = 1�M?�>�8

C�15} >@?��15�M?�6=2�9)~ ý�ý 6IG�C(��~�ú�>@G2B6=���13A@>�6=G�>��ù�����?�13? .�15ÿ¼. ���6I�<ü�~�?�A_��13�7?��)�=ü

n.%ø�ù�>�>�;�>@A@��134M>�A�ù�6IG�ÿ7>V47>@23��A@13�uû )Òü�~�232!2313?�>

13?k.�13ÿ�. ����,¸476=?�13��ù�>@�'~�ú��M? 6=ú�ú�G���6=A�ù�13?�ÿ��ù�>�15?���~�2B6=�13?�ÿG>@ÿ713�M?���6I��6ªG�>@�~�23���Iü���ù�> 476=?�13��ù�15?�ÿ�A�ù�6=Gÿ7>�4M>@23��A@13��13>@�©�=ü�ù�>'13?�C�134�15C�~�6=2%�~ ý 8uA�ù�6=13?��

uλ,ρ → 0.Áø�ù�~����

cρ�ù�������6

G>�8u>@?���GH6I?�� ý >@ù�6n4�13�7G�6I��6 ü�~�?�A@��13�M?(�=ün)BA�ü�.L.!13ÿ¼. �8,@. M �

13? ��ù�>�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~���A¥6=�>����ù�>¾>@;�>@A_��1347>���ú�13? 47>_25��A@13�uûÁ15�6I2�� 6nû��"��}'6=2323>@G!�ù�6=?��ù�>H.�>_G�}�1�47>@23��A@13�uû�6=?�C��7?�23û�476I?�13��ù�>@�13?Á��ù�>'~�ú�ú¼>@G�13?��~�2B6=��13?�ÿªú�ù�6=�> )BC�6I��ù�>@C 2313?�>�13? .!13ÿ¼. ����,@.ø�ù�>�C�1R;�>_G�>@?�� ý >_ù�6n4�15�MG��)�=ü

cρ6=?�C

cσAn6=? ý >��GH6IA@>@C ý 6=A�I

��¾�ù�>'��ù�>¸ü;6=A_����ù�6I�K∗ρ

13�©��>@?��13��1347>'������ù�>»�~�ú¼>@G�2B6=���13A@>���G~�A@��~�G�>��4��ù�1323>

K∗σ = 1�<��13?�A_>

K1σ = K2σ = 16I�»6

G>@��~�25�)�=ü"��ù�>�/��*)���,<�û�}�}�>_��G�û ý >@13?�ÿ�ú�G�>_��>@G47>@C!.ø�ù�> ú�G>@��>_G�476=�13�7?��Iüª/ �0)��8,���û�}�} >@��GûE6=23���À23>¥6IC��(���

Kσ = K∗σ = 1.Ãø�ù�~��(��ü�G�7} D����n.�)�� ��,�6I?�C )�� �8,����ù�>

C�>@?���13�uûM8uC�>@?��15�uûE6I?�CÀ��ú�15?�8;�ú�13?ÀA@�7GG�>@2B6=�13�7? ü�~�?�A@��13�7?��'ü��7G

� �

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0n

0.0

1.0

2.0ve

loci

ties

cρcσ

U2/t=4;U1/t=2

¢]§_�7�������M��¿"·*�©�¹��H­��z¢]¤n��­º·*�_��§¥� �@���¾¦z«M¢£��¤¥�¬]°=­¢]�z¢]��¦cρ�3²3�7¬£¬

¬£¢£�*�@ ©�_�*�cσ�B�M�¥¦z·��H��¬£¢£���@ V²Ò°_���'ÍÎ�7½7½��@���(¦z�M«����u¬]�n�u�z¢]­����n¦��

²3�7��­H�z¢]°_��°_²n²B°@�

U1 = 2t®U2 = 4t

�@���` = 1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0n

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Kρ∗

U2/t=4, U1/t=2

U2/t=16, U1/t=2

U2/t=16, U1/t=8

¢]§_�7��� � �n�%¿"·���­�°@�u���¬]�n�z¢]°@����Ðn«�°@����7�K∗ρ�n¦<�0²3�7�*­��z¢]°_�»°_²j�z·��

½*�_�*�ªË7¬£¬£¢£��§n²B°@�

` = 1�_�*��¦u�H¤n����@¬�¤@�_¬£�*��¦©°@²��z·*�©­�°@�M«7¬£¢£�*§

­�°@��¦u�u�@�7�u¦�¶

��ù�>f90/^��6IG�>%C��M}�13?�6I��>@C ý û 〈O†O〉 ∼ |x− y|−1−K∗ρ .�ø�ù�>@�>��>_G�}��ÎA@�7GG�>@�ú��M?�C����

2kF8 �7gjV 6=?�C

2kF8�/^g7V 13?��ù�>0ù��=8

}��Mÿ7>@?�>@�7~����û�����>_}¾.T9)>@G�>��K2ρ < K∗ρ < K1ρ

6=?�C ��ù�>C�>@?���13�uûM8;C�>_?���13�uûE6=?�CÀ��ú�13?�8u��ú�13?ÀA@�MG�G>@2B6=��13�M? ü�~�?�A@�13�7?��'üz�7G��ù�>/90/^� C�>@A¥6nû�ü;6I���>@GL)B�25���<>@G�,©��ù�6I?(ü��MG�6�ù��7}��Mÿ7>@?�>@�7~����û����>@} ��13�ù

U = U2)U = U1

,@.'/�13}�132B6=G�23û6��ú�6I13G�13?�ÿ'A@�7Gº8G�>_2Ò6I��13�7? ü�~�?�A_��13�7?���6=G> 〈O†O〉 ∼ |x− y|−1−Kρ

. G ?��ú�13��>�=ü0��ù�>'ú�G>@��>_?�A@>��Iü�>�;�>@A@�154M>�>���ú¼�7?�>@?���

K∗ρ6=?�C

Kρ�Î��ù�>

A@�M?�C�13��13�7?ªü��MG���~�ú¼>@GA@�7?�C�~�A@��13?�ÿ-��~�6=�1X8;23�7?�ÿ»G�6=?�ÿM>��7GC�>@G�13�6=ÿ�6=13?

K∗ρ > 1��6=?¼6=23�7ÿM�7~��)�����ù�>©ù��7} �7ÿ7>_?�>@�7~���A¥6=�> �!�ù�13�

A@�M?�C�13��13�7?1��?��7?�>_��ù�>@23>@����¼G�>_}»6=13?��<~�?���6=�15�%��>@C!.

G ? .�13ÿ�. � �8���ù�>�A@�MG�G�>_2Ò6I��13�7?'>���ú¼�7?�>_?*�K∗ρ

�=ü"��ù�>*9�/5��15��ù�����?�6I��6Äü�~�?�A@�13�7?(�=ü ý 6=?�C ��232513?�ÿE��üz�7G�C�1R;�>@G�>_?*�

` = 1�~�ú¼>@G�2B6=���13A@>@�(W�90/^�¼8 ����13��ùU2 = 4

��6I?�CU1 = 2t

� 9�/^��8 ���13�ù

U2 = 16t6I?�C

U1 = 2t�19�/^��8 � ��13�ù

U2 = 16t6=?�C

U1 = 8t.D.��MG�6=?�û

`�¼6=232�}�>@��6=232313A�ú�ù�6=�>@��6IG�>0A�ù�6=G�6=A@�>@G�1�2@>_C

ý û1/2 < K∗ρ < 1

.DV(>�?��7��>V��ù�6I�79�/^��8 �0ù�6I����ù�G>@>©}�>@��6=2X82313A<ú�ù�6=�>@���690/^�¼8��0ù�6I�%�&�<��}�>@��6=232313Ajú�ù�6=�>@� 6I?�CN9�/5�¼8��0ù�6=��M?�23û��7?�>�}�>@��6=232315AÎú�ù�6=�>7.D�)?��ù�>�23����C�>@?���13�uû���13C�>��

K∗ρ6=ú�8

ú�G��*6IA�ù�>@� ��� �<13?0A@�7?��GH6=��!�����ù�>%An6=��>U1 = 0

)�/�>@AM. G$G�G M ,��n15?��ù�15A�ù

K∗ρG�>_}»6=13?�� ý >_�&� >@>_?���� ��6I?�C �M.P.�G��M}ED���.^)�����,��7?�>

�>@>@�"��ù¼6=�K∗ρ13?*�>@G�ú¼�72B6I��>@��}��7?��7���M?�13A¥6=2323û ý >@�&�<>@>@?

K1ρ6=?�C

K2ρ6=�`13�%476=G13>@C�ü�G�7} �0�� ∞ �7ù�15ÿMù�2313ÿ7ù���13?�ÿ)��ù�>0ú¼�7���1 ý 132]813�uû��Iüo6©A@�M?*�13?*~��7~��4J£}���C�~�2Ò6I��13�7?1C¥�Iüo6©ú�ù�û���13A¥6I2�ú�6=G�6=} >@��>@G

�ù�G��M~�ÿ7ù'�ù�>0��~�?�13?�ÿ��Iüj�ù�>0��~�ú¼>@G�2B6I����13A@>©���G�~�A_��~�G>7.

÷�ï ò�������� ��� ���� �������� � � � t2 ≥ t1 � ��� Uλ = U > 0

V(> ?����(A@�7?��13C�>@G%�&�<�49�~ ý�ý 6=G�C©A�ù�6=13?��%6IG�GH6I?�ÿ7>_C�ú¼>@G�13��C�813A¥6I2325ûN��13�ù»�ù�>©�H6=} >�A@�M~�ú�2313?�ÿ

Uλ = U > 0� ý ~���C�1<;�>@G>@?��

ù��7ú�ú�13?�ÿM�t2 > t1

)+.!13ÿ¼. �^) ý ,�,@. ���G ?�13��1B6=2323û6���ù�>�A�ù�6IG�ÿM>���>_?�C��©���¾6IA@A@~�}�~�2B6I��>©15?(�ù�>�2B6nû7>@G

��13�ù�2B6=G�ÿM>@G!ù��7ú�ú�13?�ÿ*)B2B6nû7>_G ��,�� ý >@A¥6=~���>�13���"A�ù�>@} 15An6=27ú¼�7�>@?�8�1B6=2¼15�<��ù�>��}»6I2523>@��¥.!Do47>@?���~¼6=2323û��M��ù�>_15G�A�ù�>_}�13A¥6=2�ú��M��>@?���1B6I25�ý >@A@�M}�> >���~�6=2�6=�©��ù�> ��ú¼>@A@1B6=2�C�>@?���13�uû

n∗�"C�>@�>@G�} 15?�>@C ý û

µ(tλ, U, n∗) = 0

.�ø�ù�>@?���üz�7Gn > n∗

�"��ù�>'A�ù�6=Gÿ7> �����Ã15�G>@47>_G���>_C�6=?�C�ú�G���A@>_>@C��Vü�G��M} 2Ò6nûM>@G ����»2B6nûM>@G �M.

n∗13�015?�8

C�>@ú�>_?�C�>@?��0�=ür = t2/t1

6I?�C`��6=?�C»C�>@A@G�>n6=��>_� ��13�ù

U)B�>@>

.�13ÿ�. � ��,_.G ��13��13?���>@G>@���13?�ÿ(����ú�23�7��6ªú�ù�6I��>'C�1B6=ÿMGH6I} 13?Á��>@G}��©�=ü

�ù�><C�>@?��15�uû©6=?�C��ù�>�GH6I��13� ý >@�&�<>@>@?��ù�> �&�<��ù��7ú�ú�13?�ÿ06=} ú�231]8�~�C�>@�(�

r ≡ t2/t1.�V(>%��ù�>_?�15C�>@?���1Xü�û��>@47>@?�C�1<;�>@G>@?��%ú�ù�6I��>@�(�

�ù�G�>_>�}�>@��6=232313A�)�F1��F

26I?�C�F

3,�6I?�C ü��7~�G�15?���~�2B6=�13?�ÿ/) G

1�

G2� G

36=?�C G

4,��=6I����ù�����?�13?�.�13ÿ�. � �Îü��7G

U = 4t16I?�C

U = 8t1��13�ù` = 1

6I?�C�2513���>@C(13?(ø%6 ý 23> G�G . ø�ù�>�476=23~�>©�=ün∗2513>@�

��13�ù�13?���ù�>¾F1ú�ù¼6=��>M.hV(>'}�>@?��15�M?��ù�6=���>@47>@G�6=20C�1R;�>@Gu8

>_?*�V15?���~�2B6=�13?�ÿ»6I?�C(}�>@��6=232313A�ú�ù�6I��>@���<>@G>»6=23���üz�7~�?�C�13? 6ú�8;} >@G�1�2@>@CZ9�~ ý�ý 6=GC�A�ù�6=13?�13?'6©}»6=ÿM?�>@�15Aj��>@23C!. ���.��M2325����13?�ÿ ��ù�> �H6I}�>�G�>n6=���M?�13?�ÿ7�©6=� ý >�üz�7G�>8�"��ù�> 2513?�>_��13?

�ù�>0ú�ù�6I��>�C�1B6Iÿ7GH6I}Ã15?L.�13ÿ�. � ��6IG�>0ÿ71347>_? ý û"W`�b��^]��EW

µ(t1, U, n1 = 0) = µ

(t2, U,

n′I(1 + `)

`

),

)�� ��,

`�b��^]�� �BW

µ−(t1, U ) = µ

(t2, U,

n′II(1 + `)− 1

`

),

)�����,

`�b��^]�� � �BW

µ+(t1, U ) = µ

(t2, U,

n′III(1 + `) − 1

`

),

)�� ��,

`�b��^]����0W

µ (t1, U, n′IV (1 + `) − `) = µ−(t2, U ),

)�� ��,`�b��^]��*W

µ (t1, U, n′V (1 + `) − `) = µ+(t2, U ),

)�� ��,

� �

1 2 3 4 5r=t2/t1

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

n

(a) U/t1=4

M3

(rc,nc ) (ri,nc )

(r*,1)

I1

M2

M1

I4

I3

n’I

n’IIIn’III2

1 2 3 4 5r=t2/t1

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

n

(b) U/t1=8

M1

(rc,nc )

(r*,1)

I1

M2

M3

I3

I4

n’IVn’V

n’VI

I2

¢]§_�7��� �@�=�� �·��¥¦u���I¢]�¥§_���n± ²Ò°_���'Í%�M½7½*�_����¦z�7«���u¬]�¥�u�z¢]­��'³"¢]�z·�=¢£¹������7�"·*°_«7«M¢£�*§n¦

t1�@���

t2®¥¢£���u���±0¦j°_²�ËM¬£¬£¢£�*§

n�_�*�V·*°_«7«M¢£�*§

���n�z¢]°t2/t1

�%�z·*�©°@�Mµ�¦z¢]�u��­�°@�M«7¬£¢£��§�¢]¦)·*°n±0°¥§n��*��°_�*¦©�@���¾¦u���0�u°U = 4t1

¢£���B�= %�_�*�U = 8t1

¢£�¾�3½� ¶<¿"·*����)�@���0�z·7�����)±����u�_¬£¬£¢]­� �� ��@����²B°@�M��¢£�*¦z�M¬]�¥�z¢£��§��  �«7·*�n¦u��¦"�

` = 1�@���

nc = (2+`)/(1+`) ¶ ���B�= ®

r∗ = 1.94847®rc = 2.26984

�_�*�ri = 4.4227

�@����¢£��3½� ®

r∗ = 3.818576®rc = 1.57735

�_�*�ri = 6.02322

¶ �"��¦z¢]�7��¦�®�z·*�Τ@�@¬£����¦j°_²

n∗�@�����B¦u���%�u��Ð=� ²Ò°_�j�M�Ë7�7¢]�z¢]°_��  �B�9 

n∗ = 0.670511�_�*�'�3½� n∗ = 0.594067

`!b �^] � �BW

µ(t1, U, n1 = 2) = µ

(t2, U,

n′V I(1 + `) − 2

`

).

)�� ��,

M ÿ�6=13?��¼��ù�>���7ú¼�723�7ÿMû��=ü<��ù�>�ú�ù¼6=��>©C�1B6=ÿMGH6I}���13? .�13ÿ�. � ��13���ù�>���6=} >�ü��MG�6=?�û

`.

M ���}»6I252<C�>@?���13��13>@�-) G1ú�ù�6I��>�,���A�ù�6=Gÿ7>�6=A@A_~�}�~�2B6=�>@��13?

2B6nû7>@G��K��ù�1325>�2B6nûM>@G � 13��>_}�ú��uû )n1 = 0

, �Î��ù�>'�û*���>@} 13���ù�>@G�>�üz�7G�>©6©ÿ*6=ú�25>_����13?���~�2Ò6I���MG¥.M �"��ù�>�C�>@?��15�uû©13?�A@G>¥6=�>@����2B6nû7>_G �<�M?�23û���H6IG���� ý >@13?�ÿU��2325>_C

6=�n = n′I(r)

�"C�>@�>@G�} 13?�>@C ý û D=��.�)�� ��,�����ù�13AHù(23��A¥6I��>@��6��G�6=?��13��13�7?����6�} >@�H6I252313A���H6I��> )�F

1, �¼��>_> .�13ÿ�.�� ��.F.�~�G��ù�>_G

13?�A@G>¥6=�>�15?V��ù�><�=47>@G�6=2327C�>@?���13�uû�23>¥6IC��"���06=?�13?�A@G>¥6=�>�13? ý �M��ùn16=?�C

n2.�V ù�>@?�2Ò6nûM>@G � ý >_A@�7} >@�0ù�6=2XüB8+��2323>@C��^��ù�15A�ù���A�8

A@~�G�¾6=�n = n′II(r)

6=�'C�>_��>@G}�13?�>@C üzG��7} D=��.4)�����,����ù�>

¿��_½7¬]� ��¿"·7¢]¦)�u�@½M¬]�0¬£¢]¦u�u¦0�z·*�0¤@�_�u¢]°@��¦�±0���u�_¬£¬£¢]­'� �1

® �2

�_�*��

3

 ��@����¢£��¦z�7¬]�n�z¢£�*§�«M·*�n¦u��¦%� 1

® 2

® 3

�_�*� 4

 �°_² ¢]§M¶ �@�"³"¢]�z·0�z·*�­�°_�u����¦z«�°_�*�I¢£�*§0¦z�7½Mµ�­u·��@¢£�©�7��*¦z¢]�z¢]��¦�¶"¿"·*��¬]�n¦u�!­�°@¬£��±)�¯¦z·�°@³%¦��z·*����¥�z�M��� °_²��z·*�<�z���@��¦z¢]�z¢]°@��¬£¢£���H¦o½����z³"�H����z·*�Ϋ7·��¥¦u��¦<�

n′I�z·7��°_�*§_·

n′V I¢£� ¢]§M¶ �ä�n ¶�¨¼Í��

λ�_�*��<Í��

λ����¦z«���­��z¢]¤n��¬]��¦u�u�_�*�'²B°_�

¬]°_³j���ÍÎ�7½M½*�_����½��@���'�@�����M«7«����ÍÎ�7½M½*�_����½��@��� ¢£�»¬]�_�¥��λ =

1, 2¶

�n�M½7µ�­º·*�_¢£�»�7���¦z¢]�z¢]�H¦ ¿¼���_�*¦z¢]�z¢]°_��¬£¢£��� 1 n1 = 0

®n2 < 1

µ

⇓ µ ¨¼Í���� ¦u�u�_���u¦%�u°)Ë7¬£¬"�n′I 

�1 n1 < 1

®n2 < 1

µ

⇓ µ ¨¼Í����<Ë7¬£¬]¦Î�7«��n′II 

2 n1 = 1

®n2 < 1

µ

⇓ µ <Í�� ��¦u�u�@���u¦<�u°)Ë7¬£¬"�n′III

 �

2 n1 > 1®n2 < 1

µ

⇓ µ ¨¼Í�����Ë7¬£¬]¦<�M«»�n′IV 

3 n1 > 1

®n2 = 1

µ

⇓ µ Í�� �)¦u�u�_���u¦ �u°)ËM¬£¬j�n′V 

�3 n1 > 1

®n2 > 1

µ

⇓ µ <Í�� �<Ë7¬£¬]¦<�M«»�n′V I 

4 n1 = 2

®n2 > 1

µ

�û�����>_} G>@>@?���>@G��6Vÿ*6Iú�23>@����13?��~�2B6=��13?�ÿV���H6I��>N) G2,@. G ü

r < r∗�

��ù�>@G�>

r∗ =µ+(t1, U )

µ−(t2, U ),

)�� ��,

~�ú��M?(15?�A@G�>¥6I��13?�ÿ���ù�> C�>@?��13�uû(��ù�> ��û����>@} ÿM��>@���ù�G��M~�ÿ7ù�6ÿ�6=ú�ú¼>@C�ú�ù�6=�>�6I�

n = 1.�ø�ù�>©C�>@ú¼>@?�C�>_?�A@>@�©�=ü

r∗��13��ù

U�

6I?�C'�=ü"��ù�>0ÿ*6Iú�6=�n = 1

∆∗r = µ+(t1, U )− µ−(t2, U ),)�� ��,

��13�ùr��6=G�>©��ù�����?¾13? .�13ÿ7�n. � � 6=?�C � �E��G>@��ú¼>@A@�154M>@23û �"?��7�>

�ù�6=�r∗(U = 4t1) = 1.94847

6=?�Cr∗(U = 8t1) = 3.818576

.�<û©A@�7?���G�6=�����1Xü

r > r∗�M��ù�>��û*���>@}Ñ>@?���>@G� 60} >@�H6I232513A"ú�ù�6I��>

)zF2, ý �M~�?�C�>_C ý û

n′III(r)�"6=?�C

n′IV��ÿ71347>_? ý û(D����¥.D)�� ��,

6I?�C )�� ��,@.V ù�>@?Ã13?�A@G>¥6=�13?�ÿ �ù�>�C�>@?���13�uûÃ6 ý �=47>(ù�6I2]üN�¼252313?�ÿE�0��ù�>

�>���~�>@?�A_>¾�Iü¯ú�ù�6=�>@�'C�>@ú¼>@?�C��'A@G~�A@1B6=2323û��M? ��ù�>@��ù�>_Gr∗15�

�}»6I2523>@GÎ�7G�2B6=Gÿ7>@G��ù�6=?

rc =µ(t1, U, n1 = 2)

µ+(t2, U ),

)�����,

��ù�15A�ù���6IA@A@�MG�C�13?�ÿ ��k.�13ÿ�. � �^�)�*A_A@~�G�� ��ù�>@?U < U ≈

4.4191t1�7G���ù�>@?

U > U,G>@��ú¼>@A@�1347>@23û�.

��>@�'~�� ��G����A@�M?���13C�>_GU < U

����ù�13A�ù 13����ù�>���13�~�6=�15�M?�Iü0.!13ÿ¼.�� �5)�68,@. G ü

r < r∗ < rc���7?�>�ÿ7��>@� ��ù�G�7~�ÿMù �&�<�

�GH6I?���13��13�M?�� 6I�n13?�A@G>¥6=�>@��W G

3 →F

36=�n′V

�£��>@>�D���.")�� ��, �%�6I?�C F

3 →G46=�

n′V I�]D���.7)�� ��, �º. G ü

r∗ < r < rc�Î��ù�>

�>���~�>@?�A_>�13��F28 G

38�F

38 G

4�"~�?���132 �ù�>�2B6I����13A@> 13��A@�7} ú�23>@��>_25û

�¼2523>@C�. M ?��7�ù�>@G�G>@ÿ713} >�13��C�>@�>@G�} 15?�>@C ý û

ri =µ(t1, U, n1 = 2)

µ−(t2, U ),

)�����,

� �

0 2 4 6 8 10U/t1

0

2

4

6

8

10r=

t 2/t1

r*

rcri

Gapless

Gapless

One gap

Two gaps

_U/t1

One gap

¢]§_�7��� � �M� ��@���n±0�H�u���¦r∗, rc

�_�*�ri�¥¦V²3�7�*­��z¢]°_�*¦�°_²

U/t1¶

Í<�����n®U = 4.4191t1

1 2 3 4r=t2/t1

0

2

4

6

8

10

Gap

s

∆*r

∆c,r

U/t1=8

¢]§_�7��� � �M�!¿"·*� ��°n�u�zµ�Í%�M½7½��@����§n�@«�¦∆∗r�@���

∆c,r

�n�%�M����¦z¢]�z¢]��¦n = 1

�_�*�nc = (2 + `)/(1 + `)

®�����¦z«���­��z¢]¤n��¬]�n¶0Í ����n®U = 8t1�_�*�

` = 1¶

��ù��M��>�C�>@ú¼>@?�C�>@?�A@>��M?U/t1

15��6I25�����ù�����?(15? .�13ÿ�. � ��. G ürc < r < ri

�%��ù�>»�û�����>_} ÿM�*>_�©ü�G��M} 6�} >@�H6I232513A )�F2,V���

6(ÿ�6=ú�23>@��'15?���~�2B6=�13?�ÿ(ú�ù�6I��>3) G3,���6I?�C ��ù�>@?��06=�

n = nc�

6=?��7��ù�>@G�F'�7��u8&9�~ ý�ý 6=GC»ÿ�6=ú'�7ú¼>@?��(�^��ù�13A�ù'13� ÿM154M>@? ý û

∆c,r = µ+(t2, U )− µ(t1, U, n1 = 2).)�� �8,

.��7G�6-�E�*>_C GH6I��13�U/t1

�∆c,r

ý >_ù�6n47>@�'6=� ��ù�����? 13?h.�13ÿ�.� �¼. M)ý �=4M>

nc� �ù�>�ÿ�6=ú�23>@���13?���~�2Ò6I��13?�ÿ�����6=��> G

413��6=ÿ*6I13?

����6 ý 13231�2@>@C!. G �V��ù��M~�23C�6=23��� ý >�?��M��>@CÁ��ù�6I� ý �M��ù(ÿ�6=ú���)∆∗r6=?�C

∆c,r,©C�13��ú�2B6nû�~�?�1347>@G�H6=2 ý >_ù�6n4�15�MG�13?��ù�>��>@?���>���ù¼6=�

��ù�>@û�C���?��7�<C�>@ú¼>@?�C��M?`. �)�7��>�6I25����ù�6=��D����¥.1)�� ��,��")����8,��

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0n

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

K* ρ

r=2, U/t1=4

r=2, U/t1=8

r=4, U/t1=4

¢]§_�7��� � �I��¿o·*�<��¹���­��z¢]¤¥�<­�°@�u���¬]�n�z¢]°@����Ðn«�°_�*��7�K∗ρ�` = 1

  �¥¦"�²3�M�*­��z¢]°@��°_²!�z·*�<½��@���©Ë7¬£¬£¢£��§

n²B°@�<�=¢£¹�������7��¤_�@¬£���H¦<°_²

U/t1�_�*�

6I?�C )����8,%C��©?��M� C�>_ú�>@?�C»�M?`�����©��ù¼6=�

U13� 6I25���~�?�1347>@G�H6=2u.

V(> ?����(A@�7?��13C�>@GU > U

�M6=?©>���6=}�ú�25>"�Iü ��ù�13A�ù�13�"��ù�����?13? .�15ÿ¼. � �5) ý ,_.L.��MG

r < rc < r∗���7?�>*��?�C��©��ù�>���6=} >��>�8

��~�>_?�A@> G38ºF

38 G

4����13��ù�6=232713?��~�2B6=�15?�ÿ�ú�ù�6I��>@� ý >@13?�ÿ0ÿ�6=ú�23>@��¥.

G ürc < r < r∗

�j6 ÿ*6Iú�ú¼>@C(13?���~�2B6I��13?�ÿ�ú�ù�6=�>�15�VA@G��M����>_C�6=�n = nc

.%/�13} 152B6IG�23û��_ü��7Gr > r∗

�7?�>0ÿ7��>@�<üzG��7} 6�} >@�H6I252313A����6¯ÿ*6=ú�25>_���<15?���~�2B6=�13?�ÿ0ú�ù�6=�>0)zF

2 →G3,���6=?�C�6=ÿ*6I13?�A@G��M����13?�ÿ

�ù�>�F'�7��u8&9�~ ý�ý 6=GC»ú�ù�6=�>�6=�nc.

ø�ù�>�>�;�>@A@�1347>�A�ù�6IG�ÿ7>�6I?�C'��ú�13?'47>@23��A@13��13>@��6IG�>0ÿ7134M>@? ý û

cν =u1,ν(1 + `)√

1 + ∆ν`ru1,ν/u2,ν + (r`u1,ν/u2,ν)2,

)�����,

��ù�15A�ù 476=?�13��ù¸ü��7Gn < n∗

6=?�C'6=G>��}»6I2523>@GÎ��ù�6I?���ù�>�4M>@23��A@1X8�13>@� �Iüj�ù�>�ù��M}��Mÿ7>@?�>_�7~��%�û�����>_} )

cν < uν,_.D.�~�G��ù�>_G�}��MG�>��

cρC�13��ú�2B6nû��<G�>�8u>@?���G�6=?�� ý >@ù�6n4�13�7G�6I��60ü�~�?�A@��13�M?»�Iü

n.

.�15?¼6=2323û��M��ù�>0>�;�>@A@�1347>�13?���>@G�6=A@�13�7?'ú�6=G�6=} >@��>@GK∗ρ13�

K∗ρ =

√1 + ∆ν`ru1,ν/u2,ν + (r`u1,ν/u2,ν)

2

1K1,ν

+ ` 1K2,ν

ru1,ν

u2,ν

.)�� ��,

G ?3.�15ÿ¼. � �^�K∗ρ

13���ù�����?(6=��6¸ü�~�?�A@�13�7?��=ü ý 6I?�CK��232513?�ÿE�üz�7G�C�1R;�>@G�>@?��0A@�M~�ú�2313?�ÿ7��13?'��~�ú¼>@G2Ò6I���15A_>@����13��ù

` = 1WD9�/5�¼8

M ��13��ùU = 4t1

6=?�Cr = 2

�D90/^�¼8 � ��13��ùU = 8t1

6=?�Cr = 2

�490/^�¼8��A��13��ùU = 4t1

6=?�Cr = 4

. �)�7�>¾�ù�6=�1/2 < K∗ρ < 1

ü��MG�6=?�û`13?���ù�>�}�>@��6=232313A�ú�ù�6=�>@�¥. ø�ù�>

476IG�13�7~��%A¥6=�>@�<C�>@ú�13A@�>@C'15?�.�13ÿ�. � �0�ù���� ��ù�G>@>N) M ,��7�M?�>�)��7,6I?�C��&�<� )��7,�}�>_�H6=232313A�ú�ù¼6=��>_�¥. G ?��ù�>�ù��7}��Mÿ7>@?�>@�7~��79)~ ý 8ý 6=G�C A�ù�6=13?��M��ù�>0C�>_?���13�uûM8;C�>@?���13�uû�6I?�C��ú�13?�8;�ú�13?�A@�MG�G>@2B6=��13�M?üz~�?�A@�15�M?���C�>@An6nû�ü;6I����>_GH��ù�>@?'�ù�>�ù��Mú�ú�13?�ÿ©15?�A@G�>¥6I��>@�(�¼��13?�A@>Kρ13?�A_G�>¥6I��>@�D��13�ù���ù�>�G�6=�15�

t/U.�ø�ù�> >�;�>@A@�1347>�A@�MG�G�>_2Ò6I��13�7?

>��*ú¼�7?�>@?��%�=ü"9�/^��8 �Á13�"2B6=G�ÿM>@G"��ù�6I?�13?090/^�¼8 M )B�>@>H.�13ÿ�. � ��,��ý >@A¥6I~���> �=ü���ù�>�2B6IG�ÿ7>_G�ù��7ú�ú�13?�ÿ�6=}�ú�2513�~�C�>��Iü �~ ý 8uAHù¼6=13? �13?Z9�/^��8 � 6=?�C'�ù�>*J 6n4M>@GH6Iÿ713?�ÿEC7?�6I��~�G>��=ü

K∗ρ.

V(>��ù��7~�23C ����G>@�����ù�6=�<13?��ù�>�ù��M}��Mÿ7>@?�>_�7~��%�û�����>_} �M��ù�>� ~����13?�ÿ7>@G4��1���~�13C'C�>@��A_G�13ú���13�M? ý G>¥6�I��0C�����?�6=�)ù�6=2XüB8+��232313?�ÿB�

� �

��ù�>@?�6Vÿ*6Iú��7ú¼>@?���13?��ù�>0AHù¼6=G�ÿM>0)P��ù��M~�ÿ7ù ?��7��13?���ù�>��ú�13?B,��>_A@���MG¥. G ?'�ù�>���~�ú�>@G2B6=���13A@>����ù�13� ý G�>n6�I�C�����?'��A@A@~�G��13?'��ù�>13?���~�2Ò6I��13?�ÿ�ú�ù¼6=��>_����6=�%6�G>@��~�23�%>_15�ù�>@G"�=ü ��}�I�2B6=ú�ú�ú�G���A@>@���>@�)�FÄ�7��� ÿ*6Iú��<25���<>@G�ú�ù¼6=��>��=ü0.�13ÿ�. �5��ú�ù�6I��>@� G

16I?�C G

2�Iü

.�13ÿ�. ��6I?�C¾ú�ù�6=�>@� G26=?�C G

3�Iü .�13ÿ�. � �8,��¼�7G0�=ü�6 ý 6=?�C�13?

�7?�> �Iü���ù�>��~ ý 8u2B6=���13A@>@� ý >_A@�7} 15?�ÿ�A@�M}�ú�23>@�>@23û�üz~�2327�7G">@} ú��uû)B~�ú�ú�>_G�ú�ù�6=�>��Iü .�15ÿ¼. �5��ú�ù�6=�> G

3�=üf.�13ÿ�. � 6=?�Cªú�ù�6=�>@� G

16=?�C G4�Iü=.�13ÿ�. � �8,��

î���ïð÷0ô�ñ�÷ �"ö ��îHôVñ �

V(>�ù�6n4M>�C�13�A@~����>@C�13?ªü�~�232"ÿ7>@?�>@GH6I2513�uû��ù�>�ú�G�7ú¼>@G��15>_���Iü��~�����13?�ÿM>@G©251���~�13C��~�ú�>_G�2B6=���13A@>@�n. V(>�ù¼6n47>���>_>@?�ù����Ã} �7���ü�>¥6I��~�G>@���Iü¸6ÁA@�M?*4M>@?���13�7?¼6=2���~����13?�ÿM>@G'251���~�13C C�>_��A@G15ú���13�7?��~�G�4�1347>�13?��ù�>���~�ú¼>@G2Ò6I���15A_>����G~�A@��~�G�>7. G ?�ú�6IG���13A@~�2Ò6IG���6)ü�>��>�;�>@A@�154M>�ú�6IGH6=} >@��>_G����Î��ù�> ��ú�13? 6=?�C�A�ù�6=Gÿ7> 47>@23��A@13��13>@�L)

cρ6=?�Ccσ,�6I?�C���ù�>©���1<;�?�>@���>@�L)

K∗ν6=?�C

Kν,�6=G>�6I232j�ù�6=�013�

G�>��*~�15G>@C©ü��MGo6)A@�M}�ú�23>@�> C�>@��A@G13ú���13�7?��Iü���ù�>�25���<8u>@?�>_G�ÿ7ûV��>@A�8���MG¥.�ø�ù�>@�>���~�G�?��7~��%��� ý >�A@�7} ý 13?�6I��13�7?����=ü���ù�>4��� ú�6=G�6=}¸8>@�>@G��"�=ü��ù�> �~�ú¼>@G�2B6=���13A@><��~ ý 8;~�?�15��!A@�M} ý 13?�>@C)15?0ú�G�7ú¼�7G��13�7?�����ù�>@13G���ú¼6=��1B6I2�>�����>@?��¥. M �F� >0ù�6n4M>����G�>@���>@C(13? ��ù�>�13?���G�=8C�~�A_��13�7?��¼�ù�13���7ú¼>@?��0�ù�>0��6nû ü��7G)ú��M���1 ý 25> J >_?�ÿ713?�>@>_G�13?�ÿBC¼�Iü��~�����13?�ÿM>@G�231��*~�15C��¥.ø�ù�13�)ü�GH6I}�>��<�7G$I/��6=��6Iú�ú�2313>@C¾�����ù�>�����~�C�û¾�Iü �ù�>�ÿ7>_?�8

>@G�6=2�ú�ù¼6=��>�C�1Ò6Iÿ7G�6=} �=ü"9�~ ý�ý 6=G�C©��~�ú�>@G2B6=���13A@>@�¥. G ��� 6I�!��ù�>@?132325~�����G�6=�>@C�ù���� �7?�>)A¥6=? ��~�?�> ý >@�&� >_>@?'C�1R;�>@G>@?���ú�ù�6I��>@� ý û6=?'6=ú�ú�G��7ú�G�1B6=�>�A�ù��713A@>0�Iüj��~�ú�>@G2B6=���13A@>�}���C�~�2Ò6I��13�7?�. G ����6=�ü��M~�?�C��ù�6=���ù�>0��~�ú¼>@G2Ò6I���15A_>�C�13��ú�2B6nû���6V476=G�13>@�uû��Iüj} >@�H6I252313A6=?�C�13?���~�2Ò6I��13?�ÿ�ú�ù�6=�>@������ù�>)}��7��%ú�G�7}�13?�>_?*�oü�>¥6=�~�G�> ý >@13?�ÿ��ù�>�6=ú�ú¼>¥6=G�6=?�A_>��=ü<ÿ*6=ú�25>_����13?��~�2B6=��13?�ÿ ú�ù�6I��>@�(�%6=��6 G�>@�~�23��=ü���ù�>��7?�>�8uC�13}�>_?���13�7?¼6=2!A�ù�6IGH6IA@��>@GV�=ü���ù�>��û*���>@} �!ÿ�6=ú�ú¼>@C13?���~�2Ò6I��13?�ÿ©ú�ù�6I��>@�4�<>@G�>�6=23���©üz�7~�?�C�6I�����7} >0��ú¼>@A@1B6=2"C�>@?���1X8��13>@�n./�13?�ÿ723>�8&��6=232¥} >@�H6I232513A�A¥6=G ý �M?�?�6I?��7�~ ý >@�f)z/6V F �*C ��,��>@>@}

���Àú�G��=4�13C�> 6 ú�G�7}�13�15?�ÿ G��M~���> ���� 6IG�C��ÁG�>¥6I231!2_15?�ÿÀ��ù�>@�>����/^�DC �n. G ?�C�>@>@C1��?��7�&��13��ù���H6I?�C�13?�ÿ©��ù�>0üu6=A@���ù�6=��/6V F �0C �6=G>��M15?�ÿM>@?�>@G�6=2&�MC�>@��A_G�1 ý >_C ý û�6023>@���<��13} ú�2315���13A%} �*C�>@2�)Bú¼�7�º8��1 ý 23û0>@4M>@?0��13�ù�}��MG�> ý GH6I?�A�ù�>@�� ��S� �$��,��=��ù�>7��� A@�M~�ú�2313?�ÿ�A@�M?�8����6=?���C�>@ú¼>@?�C����M?�13����)P��G~�>�,�6I��ú¼>@A@�)GH6=�13����ù�G�7~�ÿMùB $�

Kρ =

{1 +

8e2

πκ~vFln

L

2πR

}−1/2

,)�� ��,

��ù�>@G>κ13�'��ù�>(C�15>_25>_A@��G15A(A_�7?���H6=?��(��6=?�C

L6I?�C

R6IG�>��

G�>_��ú¼>@A@��134M>@23û��<��ù�>�?�6=?��7��~ ý >'23>@?�ÿM��ù�6I?�C GH6IC�13~�� ���uû�ú�13A¥6I2325û�7?�> ù�6I�

Kρ ' 0.28 ��. ��. F'�7G> G>@A@>@?���23û6����ù�> ÿ7G������ù

�=ü�13?���G�6=} �723>@A@~�2B6IG þ ~�?�A@��13�7?����=ü»/6V F �0C �L��13��ùÀC�1<;�>@G>@?��GH6IC�131¾ù¼6=� ý >@>_? 6IA�ù�13>@47>@C��13��ù ��ù�>Ï13?*�G���C�~�A_��13�7? �=ü�6ú¼>@?��H6=ÿM�7?�6=?�C 6 ù�>@ú��H6Iÿ7�M?+13?����À�ù�> ù�>���6Iÿ7�M?�6=2�A¥6IG ý �7?2B6=���13A@>��> $��� ����� �@#�� �(�� �@ �� ����� �?�ª���(��ù¼6=����ù�>'ü;6 ý G�13A¥6=�13�7?��Iü¯6��~�8ú¼>@G�2B6=���13A@>'}»6IC�>�~�úÁ�=ü¯/ V F �0C �*��13��ù�C�1<;�>@G>@?���A@�7~�ú�2513?�ÿA@�M?�����6=?����)ù�6=� ý >@A@�M}�>�6©A_�7?�A@G>@��>©ú¼�7���1 ý 132513�uû�.V(>���ù�>_G�>�ü��MG�>�>��*ú¼>@A@���ù�>'ú�ù�6I��>'C�1B6=ÿMGH6=} �=ü0��ù�13�ZJ ?¼6=?�8

�7�~ ý >Ä6IG�G�6nû C"��¾�ù�6=G>���>_47>@G�6=2�üz>¥6=�~�G�>@�Z��13��ù��ù�>'ÿ7>@?�>@GH6I29�~ ý�ý 6=GC ��~�ú�>@G2B6=���13A@>7. ø�ù�13��13� ý >@A¥6=~���>���ù�>��M?�23û(13?�ÿ7G>�8C�13>@?������ù�6=��>_?*�>@G�13?�������ù�>»ú�ù�6=�>�C�>@�>@G�} 15?¼6=��13�M?�6=G�>ª��ù�>

�ù�>@G}���C�û�?�6=} 13A�>���~�13231 ý G�13~�} A@�7?�C�13��13�7? 6I?�C AHù¼6=G�ÿM>¾A_�7?�8�>@G�476I��13�7?�. G ?ª��ù�>�An6=��>V�=ü 6�� ~����15?�ÿ7>@G�231���~�13C»�ù�>@�>�A¥6I? ý >>n6=��1323û*��G�13���>@?�C�����?�1Xü!�M?�>HI�?������%ù������ù�>����'ú¼6=GH6I}�>@�>@G��C�>@ú�>_?�C��7?'�ù�>0C�>@?��15�uû

δµ =π

2L

vρKρ

δN.

ø�ù�~��(�=��ù�>���>���~�>@?�A@>��Iü�13?���~�2B6I��13?�ÿ�6I?�C�} >@�H6I252313A"ú�ù�6I��>@�%�ù�6=��<>%ù�6n4M>�ü��7~�?�C�13?49�~ ý�ý 6=GC���~�ú�>@G2B6=���13A@>@�"��ù��M~�23C ý >%ú�G�>@�>@?��13?Á�7��ù�>@G��û*���>@} ��6=�N�<>@232&� XSY/a �^]���Db�` `7_&]��f]�d(aNa��5]*\ �5X�Y�]�8b X �8_&X�� � a��5] Y�[ � ��[��^b aeY@. V(>�ù��7ú¼>»�ù�13��G13AHùÁ476=G15>_�uû(�=üý >@ù�6n4�13�7G�D��13232����15}�~�2Ò6I��>"üz~�G��ù�>@G<>���ú�>@G13}�>@?��H6I2^�<�7G�I�6=23�M?�ÿ�ù�>02315?�>@���=ü"A¥6=G>�ü�~�2323û�A@�M?���G��M2325>_C�?�6I?��7�~ ý >©6=G�G�6nû��¥.

� ��� ��� � � � � ������ �

ø�ù�> 6I~���ù��MG��Ã6=G�>Ñÿ7GH6I��>�üz~�2��� M .>�©.���6=23C�>_15G�6^� M .>�%.Fª6=2347>�2�2@1&�96I?�C�ø�.�j6I13476Îü��7G�C�13��A@~����13�7?��¥.�.!13?�6I?�A@1B6=2M��~�ú�ú��MG��üzG��7} ��ù�> �<GH6S2@13251B6I? M ÿM>@?�A@13>@� ������"��. M %D%/ )zD�.£F(.>,��=6=?�C. M %D%|�--)�|V. |V. C!.£/�.>,!13��6I25���ÿMGH6I��>�ü�~�2523û�6IA?I�?�����23>@C�ÿ7>@C!.�

� ��� ������� � �� � ��� ÷0ô�ö � �"î�ñ�� ��ô ��ôVñ�î�����ò�î�ô�ñô�� � ��ö�������óVõ ��ö � � ó ����ò�ò)î�÷ �

9�>@G>��<>�A_�7?��15C�>@G�6�9)~ ý�ý 6IG�C'��~�ú�>@G2B6=���13A@>�13?��<>¥6�I�A_�7~�8ú�2513?�ÿ�6=?�C ��ù�������ù�6I��13��13�©ú��M����1 ý 23>'���(C�>@��A@G1 ý >��ù�>'23���<8>_?�>@G�ÿMû�ú�G��Mú�>_G���13>@�<13?���>@G}��"�=üj6 ��~����13?�ÿ7>_G%231!��~�13C��~�ú¼>@G�2B6=�º8�13A@>7."ø�ù�>�906=} 1523��7?�1B6n?©�=ü 6�9)~ ý�ý 6IG�C'��~�ú�>@G2B6=���13A@>�13�

H = −t∑

j,σ

(Ψ†j,σΨj+1,σ + h.c.) +∑

j

Ujnj,↑nj,↓

− µ∑

j,σ

Ψ†j,σΨj,σ.) M ��,

V(>�ü���A@~��!�7?V��ù�>%23����>@?�>@Gÿ7û�} ��C�>@��?�>¥6IG!�ù�>f.�>@G�} 17��~�Guü;6IA@>�������ù�6I��>¥6=A�ù ü�>@G}�13�7?�13�7��G15���>@?�6I����

Ψj,σ ≈ e−ikF jaΨ−,j,σ + eikF jaΨ+,j,σ ,) M ��,

��ù�>@G�>a13����ù�>%2Ò6I���15A_>jú¼6=GH6I}�>@�>@G��=6I?�C0��ù�>%�~ ý �A@G�13ú���

+6=?�C

− G�>@�ú�>_A@��1347>_25û'C�>_?��7�>�G�13ÿ7ù���6=?�C 23>�ü���}��=4M>@G��n.!ø�ù�> I�13?�>@�13A>_?�>@G�ÿMû�ú¼6=G��"13�%�ù�>@?©2513?�>n6=G�1�2@>_C�6=�"13?��ù�>�ù��7} �7ÿM>@?�>@�M~��!A¥6I��>

H0 = −t∑

j,σ

(Ψ†j,σΨj+1,σ + h.c.)− µ∑

j,σ

Ψ†j,σΨj,σ

≈ vF∑

σ

∫dx[Ψ†−,σ(x)∂xΨ−,σ(x)− Ψ†+,σ(x)∂xΨ+,σ(x)

].

�BÂ �= 

ø�ù�>Vü�>@G�} 13�7?�13A7�¼>@23C���6=G�>Vÿ71347>@?ª15?ª��>@G}����Iü%��ù�> ý �M���M?�13A�M?�>@�(�

Φ±,σ��6I����

Ψ±,σ(x) =1√2πα

U †±,σe∓2i√πΦ±,σ ,

� �

9�>@G>α13��6(A@~����;Àú�6=G�6=} >@��>@G'6=?�C

U±,σ15� ��ù�>���23>@13?

ü;6IA@���MG¥.R���� %�)ø�ù�~��7�<>0ÿ7>@�

H0 =vF2π

ν=ρ,σ

∫dx[(∂xΘν)2 + (∂xΦν)2

],

) M ��,

��ù�>@G>Φν = (Φ↑ ± Φ↓)/

√26=?�C

Θν =1√2

[(Φ+,↑ − Φ−,↑)± (Φ+,↓ − Φ−,↓)].) M ��,

V(>�?���� � �MG�I(�M~�����ù�>�23���Ã>@?�>@Gÿ7û�ú¼6=G��©�=ü��ù�>��M?�8u��13��>9�~ ý�ý 6=GC'15?��>@GH6IA@��13�7?�. M ÿ*6I13?��6� >0~��>�D���.!) M �8,<����ÿ7>_�

Hint =∑

j

Uj : nj,↑ :: nj,↓ :

≈∑

j

Uj

[(J+,j,↑ + J−,j,↑)(J+,j,↑ + J−,j,↑)

+ (Ψ†+,j,↑Ψ−,j,↑Ψ†−,j,↓Ψ+,j,↓ + h.c.)

],

) M ��,

��ù�>@G>: . . . :

C�>_?��7�>@�À?��7G}»6I2»�MG�C�>_G�13?�ÿB�R��J±,j,σ =:

Ψ†±,j,σΨ±,j,σ := 1√π∂xΦ±,σ

�96I?�C��ù�> �)}�I�2B6=ú�ú)��>@G}���ù�6n47>ý >@>@?�?�>_ÿ723>@A@�>@C!.%ø�ù�>@?

Hint ≈ a

∫dx U (x)

1

π(∂xΦ↑)(∂xΦ↓)

+ a

∫dx U (x)

[1

(2πα)2e2i√π(Φ↑−Φ↓) +

ù�. AM.],

) M ��,

��ù�>@G�>�ù!. A7.¸���H6I?�C��0üz�7G0ù�>@G}�13��1B6=?ªA@�7? þ ~�ÿ*6I��>7. G ?���>_G�}��V�=üA�ù�6IG�ÿM> )

ρ,)6=?�C'��ú�15?-)

σ,��¼>@23C��7� >0ù�6n4M>

Hint ≈ a

∫dx

πU (x)

[(∂xΦρ)

2 + (∂xΦσ)2]

+ a

∫dxU (x)

1

2(πα)2cos(√

8πΦσ),) M ��,

�ù�>'2B6=�����>@G�} A@�MG�G�>_��ú¼�7?�C�13?�ÿÁ������ù�>'�ú�13? ý 6=A�I���A¥6I����>_G�13?�ÿ13?���>_GH6=A_��13�7?��6��ù�15A�ù'13��13G�G�>_25>_476=?���13?»�ù�>�|7OÀ�>@?���>M.H.�15?¼6=2323û���ù�>�23���(>@?�>@Gÿ7ûN906=}�1323���M?�1B6n?)ü��7G"��ù�>79�~ ý�ý 6=G�C��~�ú¼>@G�2B6=���13A@>13�

H =vF a

∫dx

{(∂xΘρ)2 +

[1 +

U (x)

πvF

](∂xΦρ)2

}

+vF a

∫dx

{(∂xΘσ)2 +

[1− U (x)

πvF

](∂xΦσ)2

}.

) M ��,

ø�ù�15�0ù�6I�0��ù�>©�H6I}�>0ü��MG�} 6I�¯D=��.Q)���,��"��ù�13A�ù�C�>@�A@G�1 ý >@�©��ù�>� ~����13?�ÿ7>@G�231���~�13C���~�ú¼>@G2Ò6I���15A_>7.

∗ � ¬]��­��z��°@�M¢]­��n�7�I����¦u¦����u�����¦u°@��¦��΢£Ë�¶ �M�7¢]­��n±�«¼¶ ½M�† � ¬]��­��z��°@�M¢]­��n�7�I����¦u¦��j��±)¢£���@���7���΢£Ë�¶ �7�7¢3­��¥±)«�¶ ½7�‡ � ¬]��­��z��°@�M¢]­��n�7�I����¦u¦��!�u���M¦��΢£²;¶ �7²3����¶ ½M� ��¶7¿��_�u�*­º·*�M®7¿�¶=Í °_�*�M�7®��_�*�©¿�¶ �=�_´=��® �=°_¬£¢]� �=�u�n�u��"°n±0±��M��¶�� ® � ���©� � � � �¥ ¶

� Â�¶��!�n­�°@½7�n®�Í)¶*¨�¶ �I�u°@��±0��@®��)¶ ��¶ ¡ ¢£��§@�������®¼¨!¶���¶ �²B�¢£¹���@®� ¶ ¡ ¶ �"�@¬]�M³"¢£��®��_�*� � ¶ ¡ ¶ ¡ ��¦u��® �·7�=¦�¶��%��¤�¶"¨����u��¶�����®� � �ä��� � � � �= ¶

� ��¶ �nÌ¢]°7® ¶ ¡ ¶7�M¶=Í<��´=´=¢£��§7®M�@�����)¶ � ¶ � ·*±0�¬£�7¢]�u¦z´=¢£¢B®� �·7�=¦�¶�%��¤�¶*¨¼���u��¶�����® � � � ��� � � � �9 ¶

� ��¶ ¢ �z¢]±0�7®��<�¥�z�M������ ® � ��� � � � �@ ¶! �'¶ � ���7°M®���¶ ¢ �z¢]±0�7®��_�*� �'¶ ��¶��Î���H¦u¦u�¬£·��@��¦�® g�Z=y�^�R=K#" Z=KMsR=NBQ7^T�L � ����§¥�n±0°@�¼®�$<Ðn²B°_����® � � � �= ¶

% ¿�¶ ¡ ¶ � ½M½���¦u���® g�Z=y�^R=K&" Z=K�R=NBQM^�T�L �'(��� �����¦u¦�® �"°=­����Î�@µ�u°@�¼® ¬]°_�u¢]�7�M® � � � �n ¶

) ��¶ �M¶"¿��@��¦�®��'¶"Í�¶"� ��¤n°@������®�Í)¶o�M¶"� �_¢B®�Â�¶"¿"·��H¦u¦�®*��¶ � ¶�=±0�@¬£¬]����®"¨!¶��M¶�+<�����u¬£¢]§n¦�®"�@���, ¶��<��´=´=��@®-� �n�z�7���.����/�® � � �� � � � �n ¶

0 �'¶ �"°=­º´=���¥�z·¼®7��¶=Í)¶1"°_½��7���®� �¶=¨!¶ ��­ � �����¼®��)¶1+)¶��·*°_«7���M®Â�¶�2����u�z¬B®�Â)¶�¿"·*��¦u¦�®��_�*�3��¶ � ¶ �=±0�_¬£¬]�H��®��I­�¢]���­H�&4��� �® � �=�¥�� � � � �n ¶

5 ��¶@Í<�¥±0�n�7�M® ��¶ �=�@³"�n�7�M®9�_�*�)Â�¶6$<¦z·7¢]�n�n±��M®� �·7�=¦�¶7�%��¤�¶¥¨¼�H�u��¶/8��® � � � ��� � � �9�n ¶

�9 �M¶ �'¶*¨��*�u�z¢£��§¥��@®��M¶ ���n�z·�¶ �·7�=¦�¶ ® � � � ��� � � � �= ¶: ��¶�<¶ ���¥�u�z¢]¦"�_�*� � ¶=Í)¶¥¨�¢]��½¼®*�M¶ ���n�z·�¶� ·7�=¦�¶8/�® �n� �0� � � � �n ¶

�� Â)¶7¨����z·*����@��� ¶ ���¦u­º·*�¬B® ·7�=¦�¶��%��¤�¶�� � ®*� � � ��� � � � �= ¶�� �M¶ �<;@¬]�n°¥±©®�Â%�M¤�¶ ·7�=¦�¶�4���®��@� �0� � � � �= ¶��>= ¶*�M¶ � ±0�����®=¢£�@? O£a@bM\]È)Y�R=K�S=Q7Y_NBO3K9a�R=K*Täs;S=O3e�T_K7L�O]R=K�Z_\=LHRn\]O3SnL ®���=¢]�u���(½7�(�M¶!¿�¶"�<�H¤n������¦u�n®A��¶ ¶ � ¤n���@����® �_�*� = ¶ � ¶j¤@�_��<°@������ �¬]��=��±�®��<��³B�!°_�u´�® � � � �9 ®�­º·*�_«�¶�7®M«7«¼¶�� � �DC��¥� �M¶

�! ¶���¶ �'¶�Í<�@¬]�M�@���¥®��M¶� �·7�=¦�¶�FE ®�� � � �V� � � � �ä ¶�% �M¶ = °@¢]��®��%�«�¶ ���°n§7¶ �·7�=¦�¶� ���® � � �V� � � � �= ¶ ) <¶¼¨!¶ � �@�����@��� �'¶ ¶�Â)¶ ¢]¦z·*��@® �·7�=¦�¶-�%��¤�¶ � /�® �n� � �� � � �=�¥ ¶

�0 � ¶���°=°_��®�Í)¶��΢B®G<¶�¨!¶ � �_�*�n® ��¶��'¶�+΢£��¤n¢£��®��@��� �'¶ �¶�Â)¶ ¢]¦z·*��@® ·7�=¦�¶8�%��¤�¶�¨����u��¶8�HEM® � � � �V� � � � �= ¶

�5 ¶ ¶ �©¢£¬£¬£¢£´=���®�<¶ �¶ <±�½��¥­º·�®7�_�*�I��¶=Â)¶ ¡ ��½M½�® �I°@¬£¢]� �=�u�n�u�"°n±0±��7�¼¶ � ��® �¥� �©� � � � �= ¶

�:9 Â)¶ �'¶��·*�_�*§M®�¨�¶8�)¶ ²B��¢£¹���@®��_�*� � ¶ ¡ ¶ ¡ ��¦u��® �·7�=¦�¶��Î�H¤�¶¨¼�H�u��¶��8��®�� � � ��� � � � �9 ¶

�D �'¶G+Î���_�=¦u°@�¼®��)¶�<¶¼¿�¦z�7¢B®�¨�¶��)¶ �²B�¢£¹���@® � ¶ ¡ ¶ ¡ ��¦u��®��_�*�Â)¶ �'¶�j·*�_�*§M® ·7�=¦�¶8�%��¤�¶�¨����u��¶�����® �H� �9��� � � � �= ¶

�:� �'¶ �"°=­º´=���¥�z·¼®!��¶¼Í�¶�o°@½��7��¼®j�M¶�¨��¼®�Â�¶-+)¶��"¢£��Ì�¬]��@®J��¶ � ¶�=±0�_¬£¬]����®!¨!¶ �"�_¬]��7�u¦�®��_�*� �¶�¨�¶���­ � �*���®H� �n�z�7���&� � ��® � � �� � � � �9 ¶

�:� 2¼¶��!�n°7®MÍ�¶ ¡ ¶�<¶� �°n¦u�u±��M®�¨!¶ �"�_¬]��7�u¦�®��@���K<¶7�<��´=´=��@®8�<�_µ�z�7��� ��4�®�� � ��� � � � �= ¶

�:� ��¶ � §¥§n��@® Â)¶ �j�n­u·7�u°_¬]��® �'¶ ��¶ �M·7����@® �'¶ �"°=­u´=���n�z·�®���¶Í)¶�"°_½��M���®��@��� ¶j¨�¶ ��­ � �*���®Î¢£� J�K*NPT@y�Z=Y_NBO3K9aML!\]T�Y_NBy�R=KMLO3KB" Z=K�RnL�NBy�QMY@NBQ7yzT�L ®!���=¢]�u���(½7�B��¶%Í<�_�*§��_�*�ÁÍ�¶��I­u·*°=�¬£¬]��

� �

� �n«7�u¢£��§¥��@®��_�¥� �@ ®�­H°_�*�Iµ�±0�¥���_�n�¥� �¥�n� �7¶�:! $)¶ �'¶¥ÂÎ�*¦z¬]�n�����7��@®7Â)¶6�!�n­�°@½7�n®���¶¥�M� �¢]­�­¢]°¥�u�u°M® � ¶ ¡ ¶ �"�@¬]�Iµ³"¢£��®�¨�¶8�)¶� ²Ò�¢£¹���@®��@��� � ¶ ¡ ¶ ¡ ��¦u��® �·7�=¦�¶��%��¤�¶�¨����u��¶8� ®� � � �¸���@�n�¥�= ¶

�:% ��¶ ¡ ¶ ¡ �@��§7® Â�¶��M¶ �©¢£¬£¬£¢]¦�®��_�*� ��¶��7�n¦ �I�@��±0�M®�­H°_�*�Iµ±��n���_�¥�n� � � � � ���@�n� �ä ¶

� ) �'¶ �_½7�u¢]Ì¢]°'�@����Â)¶G$)¶J+<°¥§n°_¬£¢£��® �·7�=¦�¶-�%��¤�¶ � �EM® � � �=� �� � � � �n ¶

�:0 ��¶ � §¥§n�����®�Í�¶��n°_·*�_�7���H¦u¦u°_��®"�_�*�'Â�¶����n�u�u¦u¦u°_��® �·7�=¦�¶-�%��¤�¶¨����u��¶8��/�® � �_� �©� � � � �= ¶

�:5 Â�¶ � ¶ ���¥�u�u¦u¦u°_��® ��¶ � §¥§n�����®¥�_�*�)Í�¶¥�n°_·*�_�7���H¦u¦u°_��®� ·7�=¦�¶ �%��¤�¶� 8/�® � � � � �©� � � � �n ¶

�:9 �M¶ = °_¢]��®��)¶ ¡ �_�*§M®��_�*� �'¶�+Î�u¢]°@�M¢B® �·7�=¦�¶H�%��¤�¶ �F/HEM® � � �¥����@�n�¥�= ¶

�D ��¶=¨�¶ ���n¦z¬]°@¤0�_�*� �'¶ �=�u°_�*�n®� ·7�=¦�¶��%��¤�¶ � �4�® � � � �V� � � � �n ¶�:� ¶ �I�@Ë��_�*��Í)¶*�M¶ �I­u·=�M¬]Ì¥® ·7�=¦�¶8�Î�H¤�¶ � �4�® � �@� �n��� � � � �¥ ¶�:�>= ¶ = ¶ �°@��°¥±0�_�����M´9°M® �·7�=¦�¶��%��¤�¶�� 84�® � � � ��� � � � �n ¶�:� ¶ �I�@Ë��_�*��Í)¶*�M¶ �I­u·=�M¬]Ì¥® ·7�=¦�¶8�Î�H¤�¶ � � ®��n� �n��� � � � �= ¶�:!>= ¶ = ¶ �°@��°¥±0�_�����M´9°��_�*� ��¶(� �n§n�¥°n¦u�7® �·7�=¦�¶(�%��¤�¶ � /���®� � � � �©� � � � �= ¶

�:% Â�¶ �'¶ ¢£�M´9�¬�� ¦u�u�¢£���_�*�>��¶�$Î����§M®� �·7�=¦�¶��Î�H¤�¶M¨����u��¶8� ®�� � � �� � � � �n ¶

� ) ��¶ � ¶��·7´=¬]°_¤=¦z´=¢£¢��@��� � ¶ ¶nÍ �_¬£«���u¢£��®� ·7�=¦�¶ �%��¤�¶ �@ 8��® � � � �� � � � �= ¶

�:0 <¶*�M��<¶��·��¥±0°_���@��� � ¶ ���¥�I´=¢£��®� �·7�=¦�¶��%��¤�¶ � �/�®��@� �ä�� � � � �n ¶

�:5 ¨!¶-�·7¢]­�°M® = ¶�Í)¶������¦z«7¢B®�¨!¶���¶ �"��*���I¢]­H��® ��¶�+)¶�¨¼°_�7¢]�n®��@����'¶*¨�¶8"°_·*���® �·7�=¦�¶��Î�H¤�¶�¨¼�H�u��¶��8/�® � � �0� � � � �9 ¶

�:9 �¶�+)¶�"°@¬£¬£¢£��¦�® Â)¶�2����u�z¬B® Í)¶ �"�_�*�7°M® Â)¶!¿"·���¦u¦�®j�_�*�B��¶ � ¶�=±0�@¬£¬]����® �=­¢]��*­���4�����® ���¥�©� � � � �n ¶

�D ��¶����_���u�¬B®¾¿�¶ �=­u·�±)¢]�7��®�Í)¶.��¶ �n·����7®�¿�¶©Í ����u�¬B®'�@��� �¶7Â�¤n°@�M�u¢]¦�®�Â%«M«7¬B¶ �·7�=¦�¶�¨¼�H�u��¶��8��®�� � � ��� � � � �= ¶

�:� ��¶=�M¶@¿��@��¦�® ��¶ �'¶ = ����¦u­º·=�*������®=�_�*�&<¶@�<��´=´=��@®�� �n�z�7����� � ��®� ��� � � � �= ¶

�:� ­n¶ ��� ¬ �� ® ��¶��¢£���n­¢B® $)¶�+�7¬]¦u������®��_�*�(¿�¶(�΢£¬]�=¢£�u¢]±©® �·7�=¦�¶�%��¤�¶�� /84�®�� � � � � �����@�n�¥�= ¶

�:� Â)¶��)¶�ÂÎ�*�=�u¢]°n�z¢]¦�® �'¶ �����°@�¼®!��¶��9�u¢]¤@�¥¦u�u�_¤@�7®"�_�*��¨�¶G�·���uµ�*°nÌ��¥�u°_�*¦z´=¢£¢B®� �·7�=¦�¶��%��¤�¶�¨����u��¶8����®�� � � �n�=�©���@�n� �ä ¶

�:! ¿�¶� ��_¢]¤@�©�@���3��¶���¶7�7°n¦��=�_�7�u°¥¦�® ·7�=¦�¶8�%��¤�¶�¨¼���u��¶8��/�® � �ä� �� � � � �9 ¶

�:% ¿�¶ ��_¢]¤@���_�*�B��¶J��¶"�7°n¦ �I�@�7�u°n¦�® �·7�=¦�¶(�%��¤�¶ � ���® � �¥� �� � � � �9 ¶

� ) ¿�¶ ��_¢]¤@���_�*�B��¶J��¶"�7°n¦ �I�@�7�u°n¦�® �·7�=¦�¶(�%��¤�¶ � /�4�®��_�¥� ����_�¥�n�9 ¶

�:0 �)¶< ¶<o�@½M���7®=Â)¶9�M� ���_���z¢£�*°M®*Â)¶=Í °_�*��­u´=��@®� �¶ �� �u°_¬B®7�_�*� �¶�n¢]±0°_��® ·7�=¦�¶*¨¼���u��¶* 48/���® � � �©���@�n�¥�= ¶

�:5 �M¶ �9¢£¬]¤@�@µ = �_¬]����­¢]�7® � ¶ �©¢£���_�*�7�M®��@��� ��¶J��¶"�7°n¦��=�_�7�u°¥¦�®��M¶ �·7�=¦�¶X��"°_�*�M����¦�¶����¥�u�u���E���®�¨ � � �©���_�¥� �@ ¶

!:9 Â)¶ +Î���¥±0�n�7���@��� �'¶ � ¶(�%�_¢£´=·�® �·7�=¦�¶��%��¤�¶ � � �® � � � �� � � � �¥ ¶

!D Â)¶¥Í)¶1"�n¦u�z��° �<���u°7®�<¶n�7��<¶��·*�n±0°@�¼®9�_�*�><¶ �<�@�n�@´�®� �·7�=¦�¶�%��¤�¶�¨����u��¶8� � ® � �=� ��� � � � �n ¶

!:� ¿�¶� ��@¢]¤@�'�_�*�@��¶G��¶��M°¥¦ �I�@�7�u°n¦�® �·7�=¦�¶ �%��¤�¶�� /�EM® ��� � �n����_�¥�n�9 ¶

!:� � ¶ ¡ ¶ ���7�u°_��® ·7�=¦�¶8�Î�H¤�¶�� /�® � � � �©� � � �=�¥ ¶!:� Í)¶*�M¶ �=­º·=�7¬]Ìn® ·7�=¦�¶8�Î�H¤�¶�¨¼�H�u��¶�/ ®�� � � ��� � � �¥�= ¶!:! ¡ ¶*ÂΫ���¬��_�*�©¿�¶ �'¶��"¢]­��¥® ·7�=¦�¶8�Î�H¤�¶�� 4�/�® �_� � �©� � � �=�¥ ¶!:% � ¶!Â)¶ ���n�u¤¥����¤��_�*�(¨�¶ ¶(+ά]�¥Ì�±0�@�¼® ·7�=¦z¢]­H� � E1� � ®%� � �� � � � �9 ¶

! ) � ¶nÍ�¶@¨�¢]�½��@��� ¶ �)¶ ¡ �¼® ·7�=¦�¶1�Î�H¤�¶n¨����u��¶ 4���® � � � �)� � � � �9 ¶!:0 ��¶ � §¥§n����@���¾Â)¶�$)¶J+<°¥§n°_¬£¢£��® ·7�=¦�¶��Î�H¤�¶�¨����u��¶J� � ® �_� �=�� � � � �¥ ¶