Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

pour l’obtention du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

le 15 mars 2013

Par : M. Ivan BAVARD

Titre: Taux d’actualisation des Passifs d’assurance sous Solvabilité 2

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Membres du jury de l’Institut des Actuaires

M. Olivier CAYOT

Entreprise :

GENERALI France

M. Frédéric PLANCHET

Membres du jury I.S.F.A. Directeurs de mémoire en entreprise :

Mme Flavia BARSOTTI M. François CHAUMEL

M. Alexis BIENVENÜE Mme Brigitte DUBUS

M. Areski COUSIN

Mme Diana DOROBANTU Invité :

Mme Anne EYRAUD-LOISEL

M. Nicolas LEBOISNE

M. Stéphane LOISEL Autorisation de mise en ligne sur

un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de

l’éventuel délai de confidentialité)

Mlle Esterina MASIELLO

Mme Véronique MAUME-DESCHAMPS

M. Frédéric PLANCHET

Mme

M.

Béatrice REY-FOURNIER

Pierre RIBEREAU

M. Christian-Yann ROBERT Signature du responsable entreprise

M.

M.

Didier RULLIERE

Pierre THEROND

Secrétariat Signature du candidat

Mme Marie-Claude MOUCHON

Bibliothèque :

Mme Patricia BARTOLO

50 Avenue Tony Garnier

69366 Lyon Cedex 07

Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

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Résumé

Mots-clés : Best Estimate, Sovlabilité II, solvabilité d'une compagnie, Bilan, taux d'actuali-sation, taux sans risque, Prime Contracyclique, Matching Adjustment, Prime d'Illiquidité, Modèlede Jarrow, Lando et Turnbull (1997), Fair Value.

A travers ce mémoire, nous explorons les dernières directives règlementaires sur le taux d'ac-tualisation des ux d'un Passif d'assurance dans le calcul du Best Estimate.

Pour ce faire, nous commençons par étudier le contexte règlementaire qui entrera en vigueuren janvier 2014 : la réforme prudentielle Sovlabilité II, qui dénit les nouvelles règles de mesure durisque en assurance, entrainant une refonte de l'exigence de solvabilité d'une compagnie d'assurance.Après avoir rappelé les grandes lignes de cette réforme, nous revenons sur les nouvelles méthodesde valorisation des diérentes composantes du Bilan, et nous précisons les points règlementairesqui concernent le taux d'actualisation : la Prime Contracyclique et le Matching Adjustment.

Nous rappelons ensuite de façon théorique comment est construit le taux d'actualisation, telqu'il est décrit dans la directive Omnibus 2. Nous détaillons les critères de choix d'un modèle de tauxbien calibré, et nous choisissons de travailler avec la courbe proposée par l'Institut des Actuaires.Après avoir détaillé le modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997) permettant de risque-neutraliserles cash-ows d'une obligation, nous travaillons sur l'autre composante du taux d'actualisation :la prime additionnelle (Prime d'Illiquidité, Matching Premium ou Prime Contracyclique) qui estintroduite au Passif mais calculée sur la base d'un portefeuille d'actifs. Cette étude théorique,appuyée par quelques exemples, permet de bien cerner les enjeux sous-jacents de l'introduction decette prime complémentaire dans l'évaluation du Passif.

Enn nous évaluons l'impact de ces modications règlementaires en réalisant diérents testspour plusieurs niveaux de prime sur un portefeuille d'assurance. Nous utilisons pour cela un porte-feuille répliquant pour simplier les calculs et les projections nécessaires au calcul du Best Estimateen diminuant les volumes. Notre étude se concentre sur l'observation des variations de Best Esti-mate par rapport à un scénario central, en testant plusieurs scénarios et ce pour plusieurs niveauxde Prime.

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Abstract

Keywords : Best Estimate, Sovlency II, solvency of a compagny, Balance sheet, discountrate, risk-free interest rate, Counter-cyclical Premium, Matching Adjustment, Illiquidity Premium,Jarrow, Lando and Turnbull's model (1997), Fair Value.

The present report aims at exploring the various aspects of the latest statutory instructionsrelative to the discount rate of insurance Liabilities ows for the computation of the Best Estimate.

We will start with an overview of the statutory policy that will be eective January 2014 : theprudential reform Solvency II. The latter denes a new policy for risk measurement in the eld of in-surance, and therefore induces a vast revision of the solvency requirements of insurance companies.After reviewing the main aspects of this reform, we will report the latest valuation techniques forthe various constituents of the Balance Sheet. Eventually, the statutory instructions relative to thediscount rate will be detailed, namely the Counter-cyclical Premium, and theMatching Adjustment.

Thereafter, we will expose the theoretical denition of the discount rate, as it is mentioned indirective Omnibus 2. The various selection criteria for a tted rate model will be detailed ; and wewill choose to base our study on the graph provided by the French Institut des Actuaires. After adetailed review of Jarrow, Lando and Turnbull's model, allowing to risk-neutralize the cash-owsof a Liability, we will concentrate on the other component of the discount rate : namely the addi-tional option premium (Illiquidity or Matching Premium), which is introduced in Liabilities, butcomputed on the basis of an Assets portfolio. This theoretical study, complemented with variousexamples, aims at dening the underlying stakes raised by the introduction of this complementarypremium in the Liabilities measurement.

Finally, we will quantify the consequences of these statutory instructions through a numberof simulations for dierent premium levels on an insurance portfolio. With this end, we will relyon a simplied portfolio, in order to reduce the computations and projections required for thecalculation of the Best Estimate. Our study will focus of the variations of the Best Estimate withrespect to a reference Scenario ; therefore we will run dierent simulations for various premiumlevels.

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vi

Remerciements

Je souhaite ici remercier ceux qui ont rendu ce travail possible : Brigitte Dubus et AurélieLambertyn qui m'ont intégré au sein de l'équipe Veille Technique de la Direction Technique etdes Risques de Generali France, et ont accompagné le travail de veille de ce mémoire. Je remercieégalement François Chaumel qui m'a accueilli ensuite dans l'équipe Consolidation de la Valeur ausein de la Direction Financière, et a encadré la réexion autour de ce sujet de mémoire.

Je tiens aussi a remercier Rémi Bertholon, Camille Eymard et Madeleine Yalap pour leursprécieux conseils, et toute l'équipe de la Consolidation de la Valeur, Laurie Gaillou, BerengereGuitton-Bernard et Sophie Marton pour l'ambiance de travail conviviale et sympathique.

Enn je suis reconnaissant envers Christian Y. Robert, mon tuteur d'apprentissage ISFA, pourses conseils et son suivi pendant mon apprentissage, ainsi qu'à Phillippe Lenca de Télécom Bretagnepour ses nombreuses remarques constructives.

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viii

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Remerciements vii

Introduction xiii

I Contexte et règlementation 1

1 Contexte règlementaire 31.1 Diérents acteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Institutions européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Acteurs du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Autorités de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Exigence de solvabilité des compagnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Solvabilité d'une compagnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Quelques principes de Solvabilité I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Organisation générale de Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Exigences quantitatives sous Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Valorisation des Provisions Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Valorisation des Actifs Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Bilan économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Taux d'actualisation des Passifs d'assurance 112.1 Solvabilité II et taux d'actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Décomposition du taux de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Mesures de niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Prime Contracyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Origine et principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Portefeuille de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Règlementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Matching Adjustment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Cas d'application initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Évolutions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Enjeux et intérêts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Évolutions envisagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Package Deal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ix

Table des matières

II Construction du taux d'actualisation 19

3 Taux sans risque 213.1 Taux de base (taux spot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Zéro-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Taux instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Facteur d'actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Taux à terme (taux forward) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1 Contrat forward rate agreement (FRA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2 Taux forward instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3 Taux forward implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Taux swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1 Contrat swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Taux swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Diérents modèles de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.2 Critères de choix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Exemples de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.1 Historique de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.2 Taux de référence des marchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5.3 Taux de référence des assureurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Spread de crédit 334.1 Risque de crédit et notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Agences de notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Sub-division et sous-grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Rating des pays de la zone euro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Probabilité de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1 Diérentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Prix d'un zéro-coupon risqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.4 Flux d'une obligation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Modélisation par chaine de Markov homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.2 Étude sous la probabilité risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.3 Exemple d'utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.4 Matrices de transition stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.5 Dégradation des ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Calcul du spread de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Exemple de risque-neutralisation de cash-ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Taux d'actualisation 495.1 Prime d'Illiquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Décomposition du déateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2 Zéro-coupon risqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.3 Étude du Bilan sans Prime d'Illiquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.4 Étude du Bilan avec une Prime d'Illiquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.5 Utilité de la Prime d'Illiquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Prime Contracyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.1 Expression de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.2 Utilité de la Prime Contracyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Matching Adjustment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.1 Calcul de Matching Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.2 Taux d'actualisation pour des Actifs en gestion HTM . . . . . . . . . . . . 565.3.3 Exemple de calcul d'une Matching Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

x

Table des matières

III Application à la mise en place du bilan économique 61

6 Méthodes de calcul 63

6.1 Modèle Interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.1 Modèle Interne vs. Formule Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.2 Prophet/ALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.3 Market-Consistent Embedded Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.4 Present Value of Future Prots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Portefeuille d'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.1 Types de contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.2 Portefeuille simplié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Étapes de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.1 Étape 1 : sélection de Scénarios Économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.2 Étape 2 : cadrage des coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3.3 Étape 3 : calcul du Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Impact sur un portefeuille d'Épargne 71

7.1 Diérents niveaux de Prime Contracyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Cadrage des coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.2 Calcul du Best Estimate pour le Scénario central . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.1.3 Best Estimate des autres Scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.4 Importance des ux des années de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.1.5 Modication du Taux Minimum Garanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 Maturité maximale d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1 Modication de la courbe d'actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.2 Impact sur le Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Conclusion 79

Annexes 83

A Taux sans risque 83

A.1 Taux sans risque de l'IA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2 Taux forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.3 Taux swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B Taux d'actualisation 87

B.1 Table de notation Standard and Poor's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.2 Complément sur l'exemple d'utilisation du modèle de Jarrow, Lando et Turnbull(1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

B.3 Matrices de transition à diérents horizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

B.4 Détails de l'exemple de calcul de spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C Complément à l'exemple de calcul de Matching Premium 93

D Variation du déateur 95

xi

Table des matières

Références bibliographiques 97

Glossaire 100

Liste des gures 101

Liste des tables 103

xii

Introduction

La solvabilité d'une entreprise, fait d'avoir les moyens de rembourser ses créanciers 1 est unvaste sujet qui alimente les discussions dans le monde des assurances depuis plus de quarante ans.Plusieurs réformes ont vu le jour depuis 1970, mais la dernière en date ne satisfait toujours pas lesdiérents protagonistes. La question du rôle des marchés nanciers dans l'évaluation des Passifsd'assurance se pose alors, et de nombreuses propositions ont été soumises.

La proposition la plus récente propose de valoriser les Actifs du Bilan selon leur valeur de mar-ché, puis de corriger ensuite la valeur retenue du Passif. En eet le contexte de crise de la dettedepuis 2008 a mis en lumière certains risques jusqu'alors minimisés. La volonté des autorités estd'éviter de connaitre à nouveau une telle situation, et la prise de décision concernant cette réformeprudentielle des assurances s'en trouve donc ralentie, aussi bien par désir de réussir cette réforme,que par peur de s'engager dans des textes inappropriés.

C'est dans ce contexte que nous avons choisi d'étudier le taux d'actualisation utilisé dans lesProvisions Techniques, pour mieux comprendre son rôle et analyser les récentes propositions d'évo-lutions réglementaires. Dans un premier temps, nous présentons le contexte règlementaire qui estle fond de notre étude, en détaillant l'aspect quantitatif qui nous concerne. Ainsi nous précisonsle contexte général d'introduction de la réforme Solvabilité II, en insistant sur certains points dela directive qui concernent le taux d'actualisation, dont la valorisation des composantes du Bilan,et l'importance de la solvabilité d'une compagnie d'assurance. Nous revenons également sur lesdiérents points règlementaires liés au taux d'actualisation, à travers une décomposition du tauxde marché.

Nous détaillons ensuite les diérentes composantes d'un taux d'actualisation tel qu'il a étéproposé dernièrement : taux sans risque, Prime Contracyclique et Matching Premium. S'il existede nombreux modèles de taux, des critères permettent de choisir un taux cohérent avec son uti-lisation. La prise en compte du risque de crédit permet de risque-neutraliser les cash-ows d'uneobligation. Nous introduisons pour cela le modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997), qui mo-délise l'évolutions des ratings par un état d'une chaine de Markov. Nous étudions par la suite lesdiérentes composantes additionnelles possibles au taux sans risque pour former le taux d'actua-lisation : Prime d'illiquidité, Prime Contracyclique et Matching Premium.

Enn la suite de ce mémoire propose une étude pratique du taux d'actualisation, en utilisantdes Passifs d'une compagnie d'assurance comportant des contrats d'Épargne. Nous présentons dansun premier temps les méthodes de calcul utilisées pour cette étude, le portefeuille étudié et les choixdes Scénarios Économiques. Nous étudions enn les variations relatives du Best Estimate de ceportefeuille de Passif avec diérents niveaux de Prime Contracyclique.

1. Petit Larousse illustré, 2005

xiii

Table des matières

xiv

Première partie

Contexte et règlementation

1

Chapitre 1

Contexte règlementaire

Nous commençons l'étude du taux d'actualisation par une revue du contexte règlementaire envigueur. Si l'ensemble du marché des assurances a connu de profonds changements au cours desdix dernières années, il est aujourd'hui toujours en mouvement. Les diérents aléas nanciers, des-quels dépend directement le marché des assurances, ont amené les autorités dirigeantes à remettreen cause beaucoup de pratiques, pour assurer la solvabilité des compagnies et ainsi renforcer lacrédibilité de l'assurance auprès de ses clients.

Dans un premier temps, nous présentons les diérents acteurs européens et nationaux quitravaillent sur la législation dans l'Espace Économique Européen. Nous évoquons ensuite, la notionde solvabilité d'une compagnie d'assurance, et les grandes lignes de la réforme Solvabilité II quientrera prochainement en vigueur. Enn nous détaillons un point précis de la réforme qui motivela réexion de ce mémoire : le taux d'actualisation dans le calcul des Provisions Techniques.

1.1 Diérents acteurs

1.1.1 Institutions européennes

L'Union Européenne comporte trois grandes institutions : le Parlement Européen, la Com-mission Européenne et le Conseil de l'Union Européenne. Ces institutions, et en particulier leParlement Européen, sont chargées des décisions législatives. C'est la Commission Européenne quicoordonne et pilote les diérentes réformes à l'échelle Européenne, dont la réforme prudentielleSolvabilité II, ou encore la réforme de renforcement du système nancier Bâle 3. C'est aussi cesinstitutions qui dénissent les mesures d'application.

Ce sont ces instances Européennes qui ont la responsabilité de prendre les décisions législatives,avec les informations qu'elles ont en leur possession. Elles reçoivent ces informations des autresacteurs concernés, les positions des compagnies, des régulateurs européens ou nationaux, et doiventdénir le cadre règlementaire de travail de la profession.

1.1.2 Acteurs du marché

CFO/CRO Forum

Créé en 2002, le CFO Forum (pour Chief Financial Ocers Forum) est un groupe de discussionformé par les directions nancières des principales sociétés européennes cotées en bourse, ainsique par certaines compagnies d'assurance. CFO Forum compte par exemple parmi ses membresGenerali, Hanover Re, AVIVA, BNP Paribas Cardif ou encore Swiss Re.

Le CFO Forum permet à ses membres d'être représentés d'une seule et même voix, qui défendle point de vue des compagnies, notamment lors des discussions sur Sovabilité II. Les activités duCFO Forum sont complémentaires à celles des instances règlementaires présentées plus bas : sonrôle n'est pas de décider, mais d'orienter les discussions. Le CFO Forum portant la voix des plusgrands groupes, elle possède une certaine aura, et son point de vue est pris en compte dans lesdécisions.

3

Chapitre 1. Contexte règlementaire

Le CRO Forum (pour Chief Risk Ocers Forum) est a pour objectif principal d'identierles problèmes concrets en matière de gestion des risques dans les compagnies d'assurance. LeCRO Forum émet des proposions ou des commentaires techniques sur les nombreux sujets quipréoccupent les compagnies d'assurance.

Insurance Europe

Insurance Europe est la fédération européenne de l'assurance et de la réassurance. Elle contientaujourd'hui 33 membres issues des diérents pays du continent européen, dont la FFSA pour laFrance. Créée en 1953, elle représente aujourd'hui plus de 5000 compagnies qui emploient plus d'unmillion de personnes, pour plus de 1110 milliards d'euros d'encaissement en 2008.

Insurance Europe a notamment pour objectif de favoriser la création d'un cadre règlementaireadapté au développement de l'assurance européenne. Ses deux missions principales sont :

de représenter les intérêts communs des assureurs européens, par la promotion et la défensedes positions de ces derniers auprès des autres acteurs ;

d'établir des connexions permanentes favorisant les échanges d'informations entre les dié-rents marchés nationaux pour encourager et soutenir les transferts de bonnes pratiques et laréexion sur les sujets d'intérêt commun.

Fédération Française des Sociétés d'Assurance (FFSA)

La Fédération Française des Sociétés d'Assurance regroupe 266 sociétés (sociétés anonymes,sociétés d'assurance mutuelle et succursales de sociétés étrangères) pratiquant l'assurance et laréassurance. Le rôle de la FFSA en France est similaire à celui d'Insurance Europe en Europe,mais à l'échelle régionale. La FFSA a cinq missions principales 1 :

représenter les intérêts de la profession auprès des interlocuteurs ; être un outil de concertation entre les diérents partenaires du monde des assurances ; étudier en commun les problèmes techniques, nanciers et juridiques, mettre en place destatistiques rétrospectives et prospectives de l'assurance ;

informer le public (Site de la FFSA, la revue Risques) ; promouvoir les actions de prévention an de mieux appréhender les risques.

1.1.3 Autorités de contrôle

European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA)

L'EIOPA (anciennement CEIOPS) est l'autorité européenne de contrôle de référence. Cetteautorité de contrôle fait partie du système européen de surveillance nancière composé de troisautorités européennes de surveillance et du conseil européen du risque systémique. Il constitue unorgane consultatif indépendant auprès du Parlement européen et du Conseil de l'Union européenne.L'EIOPA coopère avec les diérentes autorités de contrôle européenne, dont l'ACP. En eet cesont les représentants à haut niveau de ces organes de contrôles régionaux qui composent l'EIOPA.L'EIOPA regroupe donc les 30 autorités de contrôle des États membres de l'Espace ÉconomiqueEuropéen.

L'EIOPA a pour responsabilités fondamentales de soutenir la stabilité du système nancier,la transparence des marchés et des produits nanciers ainsi que la protection des souscripteursd'assurances, des régimes de pension et des bénéciaires. L'EIOPA a un rôle central dans le dé-roulement des réformes. C'est l'EIOPA qui permet le lien entre les représentants des compagniesqui commercialisent ou gèrent des produits d'assurance (Insurance Europe) et la Commission eu-ropéenne qui prend les décisions les concernant, comme c'est le cas pour la réforme prudentielleSolvabilité II. Le schéma 1.1 propose une vision globale du fonctionnement de ces instances lors dela mise en place de cette réforme, dans lequel l'EIOPA occupe une place centrale.

1. Voir [FFS12].

4

1.2. Exigence de solvabilité des compagnies

Figure 1.1 Acteurs des diérentes réformes

Autorité de Contrôle Prudentiel (ACP)

L'Autorité de Contrôle Prudentiel est un organe qui assure la stabilité nancière et la protectiondes clients des banques, et des assurés (ou des bénéciaires) des contrats d'assurance. L'ACPreprésente la France sur la scène internationale et européenne, en collaborant avec les autres servicesde la Banque de France, et les représentants concernés de l'État. En plus de son rôle dans la miseen place des réformes, notamment Solvabilité II, le rôle de l'ACP est ensuite de contrôler la bonnemise en ÷uvre de ces réformes, et dans le cas de Solvabilité II, l'ACP est notamment chargée decontrôler l'adaptation du dispositif.

1.2 Exigence de solvabilité des compagnies

1.2.1 Solvabilité d'une compagnie

Une particularité des compagnies d'assurance est le cycle de production inversé. Quand uneentreprise vend un produit, elle doit d'abord le fabriquer. Par conséquent, elle doit d'abord payerdivers couts relatifs à la fabrication d'un produit, puis elle xe le prix de vente en fonction deson cout de revient, et reçoit après la vente un ux entrant dans sa trésorerie. Pour une entre-prise d'assurance, le mécanisme est inversé : elle reçoit d'abord les primes, avant de devoir fournird'éventuelles prestations en cas de sinistre. Ce mécanisme, inversé par rapport à celui de la plupartdes autres entreprises, nécessite des garanties de la part des organismes assureurs qui fournissentles contrats. En eet le souscripteur du contrat paie les primes en début de contrat, et l'organisme

5

Chapitre 1. Contexte règlementaire

assureur doit ensuite assumer l'engagement contractuel. C'est dans ce contexte qu'a été intro-duite la notion de solvabilité des entreprises, qui est la capacité d'une compagnie à assumer sesengagements.

1.2.2 Historique

Depuis la création de l'Union Européenne en 1950, le secteur des assurances n'a cessé de croître àl'échelle européenne. Les premières questions de solvabilité des compagnies d'assurance européennessont apparues dans les années 1970. Ces années ont amené les premières discussions à propos desexigences en termes de solvabilité des entreprises d'assurance. Les premières directives communesà ce sujet sont apparues en 1992, et elles visaient à encadrer la couverture de certains risquesnanciers. Le ratio de solvabilité est alors introduit comme un indicateur de la solvabilité desentreprises d'assurance. En 1997, le rapport Müller préconise un certain nombre d'améliorationsdu système de solvabilité européen. La réforme Solvabilité I initiée par ce rapport a été adoptéeen 2002 et est entrée en vigueur en 2004.

La dernière réforme Solvabilité II n'est pas encore entrée en application. Si la réexion autourdes trois piliers qui la composent n'est pas totalement terminée, son application prévue dansun premier temps pour janvier 2012, a été repoussée à plusieurs reprises pour permettre de lacompléter. Elle est, au jour d'aujourd'hui, prévue pour janvier 2014.

1.2.3 Quelques principes de Solvabilité I

La réforme Solvabilité I a permis de poser les premières règles en matière d'exigence de sol-vabilité. A partir de [Eur02], nous revenons sur certains principes qui concernent notre étude : lavalorisation des Actifs et le taux d'actualisation des Provisions Techniques.

Valorisation Solvabilité I des Actifs

La directive [Eur02] précise que la valeur retenue pour les Actifs représentatifs des ProvisionsTechniques est la valeur d'acquisition. La valeur retenue dans le Bilan ne change donc pas au coursdu temps, quelle que soit l'évolution du cours de l'Actif.

Provisions Techniques sous Solvabilité I

Si la méthode de calcul des Provisions Techniques n'est pas imposée dans la directive [Eur02],cette dernière précise qu'elle doit être choisie de façon prudente, et contrôlée par les autoritésnationales. On ne parle pas encore de ux futurs, d'actualisation ou de Best Estimate dans cettedirective, mais elle est axée sur la prise en compte et la mesure des risques dans le calcul du capitalnécessaire à assurer la solvabilité d'une compagnie.

Limites de Solvabilité I

La mise en application en 2002 a rapidement soulevé des interrogations. En eet bien quen'ayant pas conduit à constater une solvabilité insusante des entreprises d'assurance lors de larécente crise nancière, Solvabilité I a subit un certain nombre de critiques. La prise en compte durisque étant très prudente, les Provisions Techniques sont souvent surévaluées, ce qui entraine unbesoin excessif en capital nécessaire à la couverture de ces provisions. Cette situation ne prote àaucun des acteurs (assurés, assureurs et actionnaires).

Par ailleurs, cette directive n'a pas permis une harmonisation satisfaisante entre les diérentesautorités de contrôle européennes. En eet, les autorités de contrôle des diérents pays où s'appliqueSolvabilité I n'ont pas nécessairement les mêmes pratiques, ce qui entraine des diérences de miseen ÷uvre d'un pays à l'autre.

Enn les nouveautés règlementaires (Bâle III dans le domaine nancier, normes IFRS en comp-tabilité) et techniques (méthodes de gestion des risques) ainsi que la prise en compte de risquesnouveaux (pandémie, longévité, terrorisme) ont nécessité une mise à jour des diérentes exigencesde Solvabilité I.

6

1.3. Exigences quantitatives sous Solvabilité II

1.2.4 Organisation générale de Solvabilité II

Contexte et objectifs

Au vu des limites de la précédente réforme évoquées ci-dessus, les diérents acteurs de laprofession ont convenu de la nécessité de faire progresser la législation en question. C'est dans cecontexte que la réforme Solvabilité II a fait son apparition. Solvabilité II a pour objectif de mieuxévaluer la nature des diérents risques supportés par une compagnie d'assurance, an, d'une part,de calculer de façon plus précise les Provisions Techniques, et, d'autre part de permettre un suivide la gestion des risques et des performances nancières de la compagnie.

Organisation autour de trois piliers

Figure 1.2 Les trois piliers de Solvabilité II

Comme exposé sur la gure 1.2, la réforme s'est construite autour de trois piliers : Pilier 1 : exigences quantitatives (voir la section 1.3). Ce pilier concerne la déterminationdes seuils quantitatifs de calcul des Provisions Techniques : Solvency Capital Requierment(SCR, capital cible nécessaire à absorber un choc) et Minimum Capital Requierment (MCR,niveau minimum de fonds propres nécessaire à absorber un choc, en dessous duquel l'autoritéde contrôle doit intervenir) ;

Pilier 2 : exigences qualitatives. Il concerne le suivi de la gestion des risques dans les com-pagnies. Own Risk and Solvency Assessment (ORSA, démarche propre à chaque entrepriseayant pour objectif de démontrer la capacité de l'entreprise à apprécier et à maîtriser sesrisques) ;

Pilier 3 : exigences d'informations. Informations sur l'entreprise nécessaires à l'autorité decontrôle pour exercer son pouvoir de surveillance, et informations à transmettre au public.

1.3 Exigences quantitatives sous Solvabilité II

Notre étude du taux d'actualisation commence par une étude des textes en vigueur sur le sujet,et surtout de la directive Solvabilité II et de son complément qui l'aménage, Omnibus II. Nouscommençons donc par détailler le pilier 1 de Solvabilité II en nous concentrant sur les points quinous concernent : la méthode de calcul des Provisions Techniques (et le taux d'actualisation) et lavalorisation des Actifs dans le Bilan.

7

Chapitre 1. Contexte règlementaire

1.3.1 Valorisation des Provisions Techniques

Les Provisions Techniques sont évaluées en tant que somme du Best Estimate et de la margepour risque. Ces deux éléments sont dénis dans le complément Omnibus II 2. Le Best Estimateest la somme des ux futurs probables, actualisés avec un certain taux d'actualisation, lui-mêmebasé sur une courbe des taux sans risque pertinents . Cette dénition, datant de novembre 2009,a ensuite été complétée : c'est l'objet du chapitre 2.

1.3.2 Valorisation des Actifs Solvabilité II

Sous Solvabilité II, les Actifs sont comptabilisés en Fair Value. Selon la directive Omnibus II 3,les Actifs doivent être valorisés au montant pour lequel ils pourraient être échangés dans le cadred'une transaction conclue, dans des conditions de concurrence normale, entre des parties informéeset consentantes . Par conséquent, la valorisation des Actifs sous Solvabilité II utilise la Fair Valuedans tous les cas.

Par abus de langage, et en référence aux normes comptables, nous parlerons d'Actif HTM pourdésigner les Actifs qui sont détenus jusqu'à échéance, et dont le seul but est de couvrir des Passifsd'assurance (ils ne sont pas détenus dans le but d'être revendus).

Nous notons pour les Actifs en gestion HTM une diérence de taille entre la valorisation comp-table et la valorisation sociale de Solvabilité II. En eet, la directive Solvabilité II ne prévoit pasde gestion particulière pour ces Actifs, ils sont donc valorisés grâce à la Fair Value, et ceci parsouci de cohérence avec la valorisation des Provisions Techniques, elle aussi en Fair Value. Nousreviendrons sur ce point par la suite.

1.3.3 Bilan économique

ActifsM(valeurMdʹachat)

AutresMactifs

FondsMPropres

ProvisionsMTechniquesM

AutresMpassifs

ActifsM(valeurMdeMmarché)

AutresMactifs

FondsMPropresMéconomiquesM(dontMSCR)

BestMEsimateMM

AutresMpassifs

MargeMpourMrisqueMM

Solvabilité I Solvabilité II

Figure 1.3 Du Bilan comptable au Bilan économique

2. pages 223 à 225 de [Eur11], chapitre VI, section 1, article 773. pages 220-221 de [Eur11], chapitre VI, section 1, article 75-1.a

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1.3. Exigences quantitatives sous Solvabilité II

L'arrivée de Solvabilité II introduit une nouvelle vision du Bilan pour les compagnies d'assu-rance. S'il était auparavant question de Bilan comptable, on parle aujourd'hui de Bilan économique,dans le sens où ce Bilan suit l'évolution économique des Actifs et des Passifs.

Du coté des Actifs, la valeur retenue est modiée. Comme nous l'expliquons plus loin dans lasection 1.3.2, on ne valorise plus les Actifs avec la valeur d'achat, mais avec la Fair Value. De lamême façon, et comme indiqué dans 1.3.1, le Best Estimate est utilisé pour évaluer les engagements,et les Provisions Techniques correspondantes.

Conclusion

Ce chapitre nous a permis de poser les bases générales et le cadre de travail règlementaire dece mémoire : les trois acteurs principaux que sont les compagnies d'assurance, les autorités decontrôle et les législateurs, construisent les diérentes réformes en tenant compte des points de vuede chacun. Ces travaux permettent d'intégrer de nouvelles techniques de calcul, et une meilleureprise en compte du risque. L'objectif global est d'assurer la solvabilité des compagnies, et protégerainsi les clients qui souscrivent des contrats.

En ce qui concerne notre étude du taux d'actualisation, nous avons pu constater l'évolution dela règlementation le concernant : méthode de calcul des risques (Best Estimate) et valorisation desActifs dans le Bilan en Fair Value : la reforme Solvabilité II a apporté de nombreuses évolutions.

En revanche, ces évolutions ont été remises en question par les aléas des marchés nanciers et lacrise de la dette de 2008, qui a permis de mettre en évidence de nouveaux risques : l'illiquidité et lerisque de défaut inattendu. La Prime Contracyclique et le Matching Adjustment ajoutés selon lescas au taux sans risque, forment un nouveau taux d'actualisation qui tient compte de ces nouveauxrisques.

9

Chapitre 1. Contexte règlementaire

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Chapitre 2

Taux d'actualisation des Passifsd'assurance

La réforme prudentielle Solvabilité II entrera en vigueur prochainement 1. Comme nous l'avonsvu précédemment, un certain nombre de mesures vont modier en profondeur la prise en comptedu risque dans les compagnies d'assurance. Un des objectifs de cette réforme est la déterminationdes fonds propres nécessaires à une compagnie d'assurance, en plus de ce dont elle a besoin pourcouvrir son Passif.

Mais la première étape du Bilan sous cette réforme est la couverture Actif/Passif, en sachantque la valeur des Actifs retenue est maintenant la valeur de marché, ou Fair Value, quand les Passifsrelatifs aux provisions techniques sont valorisés avec le Best Estimate. A ce stade, la question sepose du taux à utiliser pour cette actualisation. En eet, le taux sans risque initialement préconisés'est révélé peu adapté à la réalité. Dans certaines circonstances de marché, la détermination de cetaux peut être biaisée.

Nous présentons d'abord une décomposition des composantes du taux de marché observé, etensuite les solutions envisagées pour choisir un taux d'actualisation qui satisfait aux contraintespratiques et aux diérents acteurs.

2.1 Solvabilité II et taux d'actualisation

2.1.1 Décomposition du taux de marché

Le choix du taux à utiliser dans l'actualisation des provisions techniques est très important.En eet il doit être bien calibré, car le moindre écart se répercute sur toutes les années jusqu'àmaturité du produit et donc sur la valeur retenue dans le Bilan, et ce sur tous les produits duPassif. En partant du taux observé sur les marchés, on peut décomposer le taux en quatre facteurs,comme sur la gure 2.1 :

le taux relatif au spread de crédit inattendu qui est une appréciation du risque de défautsupplémentaire au risque attendu en cas de maché stressé ;

le taux relatif au spread d'illiquidité qui est lui aussi observé en cas de marché stressé ; le taux relatif au spread de crédit attendu, qui correspond au risque attendu de défaillance dela contrepartie et estimé généralement par les agences de notation. Il est individuel à chaqueproduit nancier et à chaque émetteur ;

le taux sans risque de base qui est un taux théorique conceptuel, qu'on n'observe pas sur lesmarchés.

Lorsque le marché est en période calme, il peut alors être qualié de liquide (la grande majoritédes Actifs est liquide) et profond (beaucoup d'acheteurs et de vendeurs sur une large gamme deprix). L'écart constaté entre le taux de marché et le taux sans risque (en tenant compte de laprobabilité de défaut attendue) résultant d'un modèle de taux bien calibré n'est pas signicatif,

1. à la date de rédaction de ce mémoire, l'entrée en vigueur est prévue pour début 2014, mais certains acteurssont favorables à un nouveau report

11

Chapitre 2. Taux d'actualisation des Passifs d'assurance

Taux sans risque

Spread de crédit attendu

Spread de crédit inattendu

Spread dʹilliquidité

Figure 2.1 Décomposition du taux de marché

sauf dans des cas particuliers pour une entreprise en mauvaise santé économique par exemple. Maislorsque le marché devient stressé, le manque de conance des investisseurs introduit de l'illiquidité,un manque de profondeur (ore supérieure à la demande) et comme on a pu le constater récemmentavec la crise de la dette, un risque de défaut inattendu. On observe dès lors les deux spreadssupplémentaires, qui traduisent l'état incertain du marché. Mais les modèles de taux, sur lesquelsnous revenons plus loin (cf. chapitre 3), ne permettent pas de capter ces composantes complexes.

En faisant le lien avec les précisions apportées sur Solvabilité II, certaines incompréhensionssont apparues. D'un coté, les Actifs sont valorisés selon la valeur de marché. Mais de l'autre, si lestaux d'actualisation utilisés sont très satisfaisants en général, ils ne permettent pas de capter tousles risques en temps de crise.

Il est alors logique de se demander si le taux utilisé dans l'actualisation des provisions techniquesne doit pas être corrigé, éventuellement de façon temporaire, pour que ces courtes tensions sur lesmarchés n'aient pas un impact trop important sur la valeur des Passifs dans le Bilan. D'autantplus qu'un autre argument est à prendre en compte : la duration des Passifs d'assurance. En eetles périodes de stress du marché sont de courtes durées en comparaison aux maturités des Passifsd'assurance, bien plus longues en général. C'est dans ce contexte que sont apparues les mesures deniveau 2, évoquant dans un premier temps une Prime d'Illiquidité, puis une Prime Contracycliquepour résoudre cette situation complexe.

2.1.2 Mesures de niveau 2

Processus Lamfalussy

Un processus Lamfalussy est une démarche utilisée par la Commission européenne pour mettreen place des réformes. Cette méthode est principalement utilisée dans la nance ou les assurances.Elle consiste en quatre étapes, ou quatre niveaux :

élaboration de la législation par les acteurs législatifs de l'Europe (cf. chapitre 1) ; élaboration des mesures d'exécution (détails techniques) ; coopération des régulateurs nationaux ; contrôle du respect du droit.

Si la première étape est terminée depuis 2009, les discussions se portent aujourd'hui sur les mesuresd'exécution, ou mesures de niveau 2, fournies par les diérentes versions de la directive OmnibusII.

Evolutions, directive Omnibus II

Les diérentes avancées de la directive Omnibus II et les spécications du QIS 5 entrainentdes nouveautés en terme d'actualisation. S'il était question initialement d'introduire une Primed'Illiquité en plus du taux sans risque de base, la proposition de l'EIOPA d'introduire une primedite contracyclique en remplacement de la Prime d'Illiquidité a amené une réexion à ce sujet.

12

2.2. Prime Contracyclique

Nous développons dans les sections suivantes, ces diérentes solutions pour compléter le tauxd'actualisation.

Approches possibles du taux d'actualisation

Cette étude du taux d'actualisation peut être menée avec deux approches : Bottom up ou Topdown. Dans l'approche Bottom up, les diérentes composantes (primes) sont ajoutées au taux sansrisque initial (ou taux sans risque de base ) pour obtenir un taux d'actualisation. La dicultéest alors de calculer le taux sans risque initial, qui nécessite de trouver un Actif de référence(obligation d'état, swaps). Or certains états n'ont pas nécessairement d'Actif de référence dontles caractéristiques (profondeur, liquidité) soient susamment proches de celles d'un Passif d'unecompagnie d'assurance pour que les taux sans risque soient identiques. Dans l'approche Top Down,le taux de défaut attendu est retranché au taux de rentabilité observé sur les marchés pour obtenirle taux d'actualisation.

2.2 Prime Contracyclique

2.2.1 Origine et principe

Dans un premier temps, il a été question d'introduire une Prime d'Illiquidité dans le calcul dutaux d'actualisation (i.e. ajouter une Prime d'Illiquidité au taux sans risque de base ).

Cette Prime d'Illiquidité devait traduire la facilité à vendre un Actif sur le marché. En eet,comme expliqué plus haut, lors du calcul des prix des Actifs, les modèles utilisés sont basés surune hypothèse très forte : le marché est parfait, c'est à dire profond et liquide. Nous supposonsdonc qu'il existe toujours un acheteur au bon prix ( at the right price ). Or en pratique, cen'est pas forcément le cas, car les marchés ne sont pas parfaitement liquides, surtout en tempsde crise. Cette Prime d'Illiquidité avait un objectif contracyclique, puisqu'elle devait permettre detraduire dans la valorisation le manque de liquidité du marché et des Passifs d'assurance (contratde retraite par exemple). En eet lorsqu'un Actif perd en liquidité, il devient plus dicile de levendre sur les marchés nanciers, et son prix subit une baisse. L'actualisation des Passifs au tauxsans risque génère une baisse du taux de couverture liée à la sous-estimation passagère des Actifssur les marchés. La Prime d'Illiquidité permet de baisser l'estimation des Passifs pour contrer cebiais. Mais l'ajout de cette Prime d'Illiquidité s'est avéré insusant, car elle traduit mal la réalitédes mouvements du marché. (cf. section 5.1)

D'autre part, des évènements dans le monde nancier ont permis d'identier un autre risque :le risque de crédit qui excède le risque de crédit fondamental. C'est ce risque qui correspond auspread de défaut inattendu introduit dans la partie précédente. De la même façon, si le risquede crédit augmente (sur un marché stressé), le prix de l'Actif concerné baisse et un cycle se créé(voir la gure 2.2). De plus, un article de Mario V. Wüthrich dans [Wü11] explique, de façonplus théorique, l'incohérence de la Prime d'Illiquidité introduite dans le Passif avec les valeurs demarché.

L'EIOPA propose, pour remédier à cette Prime d'Illiquidité qui semble inadaptée, de mettreen place une prime dite contracyclique. L'EIOPA choisit ainsi une courbe d'actualisation à utiliserpour le calcul du Best Estimate composée de la somme :

d'une courbe des taux sans risque de base ; et d'une Prime Contracyclique (ou éventuellement d'un Matching Adjustement, présenté plusloin).

L'introduction d'une Prime Contracyclique permet de contrer les cycles potentiels introduitspar le risque d'illiquidité d'une part, et le risque de crédit supplémentaire (inattendu) d'autre part.

La Prime Contracyclique doit permettre aux assureurs de ne pas accentuer les cycles négatifssur les marchés nanciers (où ils achètent leurs Actifs et peuvent être amenés à les vendre). En eet,supposons que pour une raison quelconque (marché stressé, incertitude face à l'avenir), la liquiditéd'un Actif diminue, alors cet Actif est plus dicile à vendre. Par conséquent, les cours baissent,donc les investisseurs en possession de cet Actif (dont les assureurs concernés) vont chercher à levendre. En eet, sans modication du taux d'actualisation en conséquence, le Best Estimate restexe, et une diérence peut alors apparaitre entre le Best Estimate et la valeur de marché des Actifs.

13

Chapitre 2. Taux d'actualisation des Passifs d'assurance

Si le Passif n'a pas la capacité de compenser la baisse de l'Actif, un écart se créé. Pour combler cetécart, les assureurs chercheront à se séparer des Actifs en baisse pour acheter des Actifs plus sûrset assurer l'équilibre de leurs Bilans. Bien sûr, si les fonds propres sont susants pour absorberl'écart creusé entre l'Actif et le Passif, une diminution des fonds propres dans le Bilan permet degarder l'équilibre.

Marché stressé

Tentatives de vente

Baisse sur les marchés

Difficultés à vendre

Figure 2.2 Cycle

L'augmentation de l'ore, sans qu'il y ait à priori de modication de la demande, entraineraune diminution de la liquidité, et entrainera un nouveau cycle baissier. D'autre part, reporterintégralement dans les fonds propres du Bilan les écarts générés par des tensions passagères peutparticiper à renforcer le phénomène, et à fausser l'information nancière sur la situation à pluslong terme de l'assureur avec un eet d'auto-dévaluation.

L'enjeu évoqué ici est d'autant plus important que les volumes gérés par les compagnies d'as-surance sont très élevés. Rien que pour la partie Épargne des contrats d'assurance-vie, le volumedes placements sur les marchés nanciers est proche de 1200 milliards.

2.2.2 Mise en place

L'idée est donc d'adapter le calcul du Best Estimate, mais seulement en cas de marché stressé.En eet une augmentation du taux d'actualisation du Passif dans le calcul du Best Estimate, alorsque la situation ne l'impose pas, engendre un eet inverse : la valeur du Passif diminue et doncl'assureur aura besoin de moins d'Actif en apposition, ce qui pourra potentiellement ne pas sureà couvrir tous ses engagements. Il est donc nécessaire de garder le Best Estimate le mieux calibrépossible en temps normal, pour rester proche de la réalité.

Cette Prime Contracyclique ne sera donc utilisée qu'en cas de marchés nanciers stressés,l'existence d'une telle situation étant décidée par l'EIOPA sous certaines conditions (présence d'unfort spread d'illiquidité ou d'un spread de crédit excédant le risque de crédit de l'émetteur) et cemalgré des propositions de CRO Forum, CFO Forum et du CEA pour remplacer cette prérogativepar des critères de déclenchement.

Ce caractère temporaire permet d'utiliser cette prime comme un correcteur de taux lors despériodes de stress. Ainsi en diminuant momentanément la valeur retenue des Passifs, en résonanceaux variations temporaires des Actifs, les variations de courte durée relatives au stress du marchén'impactent pas la marge de solvabilité.

2.2.3 Portefeuille de référence

Le calcul de cette prime se base sur un portefeuille d'Actifs, dont l'EIOPA n'a pas encoreprécisé s'il sera national ou européen. Si un portefeuille de base européen permettait à toutes lescompagnies européennes d'utiliser la même Prime Contracyclique, cette solution semble complexe àmettre en ÷uvre. En eet, les Actifs utilisés en couverture des provisions techniques sont diérentsd'une compagnie à l'autre. Si cela est vrai entre deux compagnies d'un même pays, ça l'est encoreplus pour deux compagnies de deux pays européens. Par conséquent, un portefeuille représentatif

14

2.3. Matching Adjustment

des portefeuilles de toutes les compagnies européennes est dicile à mettre en place. D'autrepart, les représentants des compagnies sont favorables à une prime nationale. Une telle solutionpermettrait en eet d'obtenir un portefeuille de référence national plus proche du portefeuille dechaque compagnie, et donc une Prime Contracyclique plus adaptée à chaque compagnie.

Le portefeuille d'Actifs représentatifs est constitué par l'EIOPA de manière transparente, surla base d'Actifs inclus dans les indices disponibles publiquement. Ces Actifs doivent être repré-sentatifs des investissements des assureurs, en contenant des Actifs privés et obligations d'État,mais pas d'Actifs incorporels ou d'Actifs de réassurance. La présence d'obligations d'État dans leportefeuille de référence montre bien que la Prime Contracyclique couvrira un spectre plus largeque l'illiquidité des obligations corporate et qu'elle prendra donc en compte les modications desspreads souverains. Ce portefeuille d'Actifs représentatifs présentera un fort spread d'illiquiditéou un spread de crédit qui excède le risque de crédit de l'émetteur, pour bien traduire l'état dumarché.

Enn il y aura nécessairement un écart entre la Prime Contracyclique fournie par l'EIOPAet la même prime qui aurait été calculée sur la base des Actifs du portefeuille de la compagnieconsidérée. En eet les Actifs du portefeuille dépendent des caractéristiques du Passif. Ainsi selonles contrats sous-jacents correspondants, le choix des Actifs sera diérent, avec des caractéristiquesdiérentes (maturité, ...), et donc avec une Prime Contracyclique réelle diérente de celle fourniepar l'EIOPA qui correspond à un portefeuille moyen standard.

2.2.4 Règlementation

Quelques règles imposées par l'EIOPA vont accompagner la mise en place de cette PrimeContracyclique. En eet, la Prime Contracyclique :

sera fournie par l'EIOPA, au même titre que la courbe des taux sans risque de base. Ellereste aujourd'hui théorique, car aucune formule n'a été ociellement publiée par l'EIOPA ;

s'appliquera à toutes les compagnies d'assurance. On peut alors se poser la question de sonutilisation dans le modèle interne qui utilise son propre taux sans risque ;

sera nalement obligatoire pour toutes les compagnies (dans un premier temps, une claused'opt-out, qui laissait le choix à l'assureur d'utiliser ou non la Prime Contracyclique, avaitété envisagée par le Solvency Expert Group) ;

concernera toute les maturités de la courbe des taux ;Notons enn qu'il existe une obligation d'information à fournir au superviseur, avec une descriptionde l'impact de la réduction de la prime à zéro (et du plan d'action à mener si dans ce cas, le SCRn'est plus couvert).

2.3 Matching Adjustment

2.3.1 Principe général

La prime de Matching Adjustment (ou initialement appelée Matching Premium) est une dessolutions envisagées par l'EIOPA, en tant que prime d'adéquation Actif/Passif, dans les mesuresde niveau 2 de la mise en place de la réforme prudentielle Solvabilité II.

Le Matching Adjustment a un rôle similaire à la Prime Contracyclique présentée dans la sectionprécédente, et il remplace cette dernière dans des cas bien particuliers : lorsque les portefeuillesd'Actifs correspondent très bien au Passif et sont gérés jusqu'à maturité (ou HTM cf. section 1.3.2).Le Matching Adjustment est alors utilisé pour faire correspondre la valeur du Passif retenue dansle Bilan sous Solvabilité II à la valeur de l'Actif sur le marché. Lorsque l'Actif et le Passif ne sontpas parfaitement corrélés, le Best Estimate peut être calculé, non avec le taux sans risque, maisavec le taux de l'Actif représentatif.

Il convient d'insister sur la nature des Actifs concernés : ils sont détenus jusqu'à maturité(HTM). Dans le cadre de la couverture Actif/Passif, le risque de liquidité n'est donc pas supportépar l'assureur, puisqu'il ne tentera pas de le revendre. Or le prix de marché (celui qui est retenudans le Bilan sous Solvabilité II ) prend en compte ce risque de liquidité. Par conséquent, il existeun biais introduit dans le Bilan par la prise en compte d'un risque qui n'est, en réalité, pas supporté

15

Chapitre 2. Taux d'actualisation des Passifs d'assurance

par l'assureur. C'est tout l'intérêt de ce Matching Adjustement : il permet de corriger ce biais enéquilibrant la valeur retenue des Passifs, à travers cette prime ajoutée au taux d'actualisation.

2.3.2 Cas d'application initial

LeMatching Adjustment supplée la Prime Contracyclique lorsque l'Actif et le Passif remplissentdes conditions bien précises :

Caractéristiques des Actifs en face des contrats bénéciant du Matching Adjustment : Actifs cantonnés (Actifs isolés et les bénéces de la capitalisation reviennent automatique-ment sur ce contrat) ;

Portefeuille d'Actifs uniquement composé d'obligations ou d'Actifs de même nature répli-quant parfaitement les ux futurs du portefeuille d'assurance ;

Flux de l'Actif xes ou indexés sur l'ination (à condition que les ux des contrats qu'ilsreprésentent le soient également). Ils ne peuvent pas être modiés par l'émetteur ou unetierce partie ;

Pas plus de 30% d'Actifs notés BBB ; Pas d'Actifs de notation inférieure à BBB (autorisation de détenir 15% d'Actifs notés BBBà l'achat (1er janvier 2013) et dégradés par la suite) ;

Caractéristiques des contrats bénéciant du Matching Adjustment (Passif) : Portefeuille d'assurance géré séparément des autres activités, sans possibilité de transfert ; Pas de versement de primes futures dans les contrats ; Portefeuille soumis uniquement aux risques de longévité, de frais et de révision (il n'estpas soumis au risque de rachat) ;

Impossibilité de racheter le portefeuille à une valeur supérieure à la valeur de marché desActifs en représentation ;

Si l'utilisation duMatching Adjutment doit être communiquée au superviseur et est irréversible,elle ne concernait initialement pas les portefeuilles des assureurs français.

2.4 Évolutions et perspectives

2.4.1 Enjeux et intérêts

Le concept de Matching Adjutment, tel qu'il a été présenté en automne 2011, n'a pas encoreété adopté par la Commission Européenne. Le processus de mise en place de la réforme SolvabilitéII en est à la deuxième étape, à savoir l'élaboration des mesures d'exécution , et les discussionsà ce propos continuent.

LeMatching Adjustment initialement réservé au marché espagnol, concerne aussi celui des rentesau Royaume-Uni. En eet, le système de retraite au Royaume-Uni impose une forte implicationdes assureurs, puisque les retraites fournies par le régime général de base sont très faibles (encomparaison avec celles des autres pays européens). Le marché des rentes est donc très développé,et les fournisseurs de rentes ont un rôle important, puisque ce sont eux qui permettent à leursclients de bénécier de prestations de retraite à hauteur de celles des autres pays européens.

C'est dans ce contexte que s'est développé le Matching Adjustment. L'idée a été de développerune prime permettant aux fournisseurs de rentes de continuer à proposer des taux intéressantspour leurs clients, tout en tenant compte de l'utilité publique des fournisseurs de plans de retraite,et bien sûr des conditions particulières des contrats proposés dans ce cadre (pas de rachat parexemple).

Or le Matching Adjustment est avantageux pour une compagnie, principalement pour deuxraisons. Premièrement, le calcul se base sur le portefeuille d'Actifs réservés à la couverture duPassif. Il est donc plus adapté à chaque situation par rapport à la Prime Contracyclique, qu'ilremplace. En eet la Prime Contracyclique est elle plus générale car calculée sur un portefeuille deréférence diérent du portefeuille d'une compagnie donnée. Deuxièmement le Matching Adjusmentest utilisé de façon continue. Il permet donc de réduire les provisions techniques de façon continue,et non seulement en cas de choc, comme c'est le cas pour la Prime Contracyclique. De plus, plus

16

2.4. Évolutions et perspectives

les Actifs sont mal notés, plus le taux d'actualisation est important et donc moins l'évaluation desPassifs est importante.

Finalement on a d'une part une Prime Contracyclique et unMatching Adjustment au centre desdébats, puisque la règlementation les concernant n'a pas été entérinée, et d'autre part le MatchingAdjustment est plus intéressant à utiliser que la Prime Contracyclique telle qu'elle est proposéeaujourd'hui. Dans un contexte de débat sur l'introduction dans la règlementation en élaborationd'une Prime Contracyclique et d'un Matching Adjustment, avec un Matching Adjustment qui a uneet plus pesant sur les évolutions, on assiste à de nombreuses propositions, ayant pour objectifd'étendre les conditions d'application du Matching Adjustment.

2.4.2 Évolutions envisagées

Plusieurs scénarios d'évolution ont été envisageables au niveau européen. Ils ont été évoquéslors du comité Solvabilité II du 3 février 2012 :

adoption du texte de niveau 2 actuel tel quel, avec un champ d'application limité aux rentesbritanniques et aux produits de retraite espagnols. Cette solution conviendrait évidemmentaux espagnols et aux anglais (Trésors, superviseurs et industrie confondus), mais cette dis-torsion de concurrence générée pourrait entrainer une opposition de certains Trésors ;

extension du périmètre à tous les produits de retraite. Cette proposition n'est soutenue paraucun État Membre, et de son coté, l'EIOPA y semble opposée ;

suppression de la Matching Premium. Cette décision pourrait amener un véto de la partdes espagnols et des anglais, qui comptent sur la Matching Premium pour résoudre leursproblèmes de capitalisation. Néanmoins, une clause de transition UK est évoquée pourpermettre aux contrats utilisant le taux de rendement de l'Actif dans le taux d'actualisationsous Solvabilité I d'utiliser la Matching Premium, de façon transitoire ;

application à potentiellement tous les produits en fonction du degré de matching (i.e. degréde correspondance entre l'Actif et le Passif). Des contre-propositions venant de certainsassureurs proposent de calculer un degré de matching (en fonction des risques considérés auPassif, plus ou moins prévisibles) entre les Actifs et les Passifs, puis d'appliquer la MatchingPremium en fonction de ce degré de correspondance.

2.4.3 Package Deal

Au vue des dernières discussions à ce sujet, et à la date de rédaction de ce mémoire (n aout2012), le débat est encore engagé. Il est question d'introduire un Package Deal, qui contient desmises au point concernant ces deux sujets.

Pour le Matching Adjustment, assureurs et instances de régulation n'ont pas encore trouvé deterrain d'entente. Comme l'a indiqué le président de la FFSA, Bernard Spitz, lors d'une conférencede presse n juin (cf. [Spi12]), les assureurs souhaitent que le Matching Adjustment s'applique àtous les contrats dès lors que le ux est prédictible. La position du régulateur est diérente, ilsouhaite ne l'appliquer qu'aux produits de rentes n'acceptant pas de primes futures et soumis auxseuls risques de longévité.

Si les diérents partis reconnaissent l'utilité de la Prime Contracyclique, le mode de calcul n'apas encore été adopté. En eet, le régulateur souhaiterait que le calcul de la Prime Contracycliquesoit à la charge de chaque autorité de supervision, alors que les assureurs seraient plutôt favorablesà un dispositif avec des critères de déclenchement précis et une formule de calcul quasi automatique.

Conclusion

Si le détail de la décomposition du taux de marché a permis de bien saisir les enjeux relatifsà l'actualisation des provisions techniques, il a aussi permis de détailler les problématiques quisont introduites avec le passage à Solvabilité II, et les questions qui en découlent. Ainsi les primesproposées aujourd'hui dans les textes répondent plus ou moins à cet impératif de solvabilité entemps de marché agité. Des tests de sensibilité proposés plus loin permettront de mettre en évi-dence l'intérêt de telles primes pour l'assureur, et le rôle fondamental qu'elle peuvent jouer dansl'évaluation des provisions techniques.

17

Chapitre 2. Taux d'actualisation des Passifs d'assurance

Les perspectives d'évolution, guidées par des enjeux politiques et les intérêts des diérentsacteurs concernés, amènent plusieurs solutions envisageables qui nourrissent les discussions ac-tuelles sur le sujet. Pour alimenter notre réexion, nous nous proposons d'étudier précisément lesdiérentes composantes du taux d'actualisation.

18

Deuxième partie

Construction du taux d'actualisation

19

Chapitre 3

Taux sans risque

La partie I a posé le contexte règlementaire d'étude du taux d'actualisation : la réforme pruden-tielle Solvabilité II avec le pilier 1 qui concerne les exigences quantitatives et les problématiquesd'adéquation entre les Actifs valorisés en Fair Value et les provisions techniques évaluées avec leBest Estimate.

L'étude du taux d'actualisation nécessite l'étude de quatre composantes, que nous choisissonsd'étudier dans l'ordre présenté à la section 2.1.1 du chapitre 2.

Tout d'abord le taux sans risque, qui sert de base au taux d'actualisation, peut être calculéselon plusieurs méthodes, qui correspondent aux diérents modèles existant dans la littérature.L'étude de ce taux sans risque nécessite de bien dénir le taux spot. Le taux forward et le tauxswap seront utiles par la suite.

Nous étudions ensuite une méthode de calcul des spreads de crédit. Si ces spreads de créditn'entrent pas directement en considération dans le calcul du taux d'actualisation, ils permettentde risque-neutraliser les cash-ows des obligations dans le calcul du Matching Adjustment.

Nous détaillons enn la dernière composante du taux d'actualisation, qui peut être soit la PrimeContracyclique en période de crise ou de marché stressé, pour des Actifs ordinaires (non gérés defaçon HTM), soit le Matching Adjustment pour les Actifs gérés en gestion HTM.

3.1 Taux de base (taux spot)

Soit (Ω,P,F , (Ft)t), un espace probabilisé ltré. Nous admettons que nous travaillons dans unmarché complet, et sous absence d'opportunité d'arbitrage.

3.1.1 Zéro-coupon

L'outil de base d'un modèle de taux est l'obligation zéro-coupon. En eet c'est sur une obligationzéro-coupon que nous allons baser une grande partie de notre développement.

Dénition 3.1 (Zéro-coupon sans risque). L'obligation zéro-coupon est une obligation qui necomporte qu'un seul ux valant 1 en une date donnée, notée T : c'est un zéro-coupon d'horizon T .Nous supposons qu'il existe des zéro-coupons sans risque d'échéance T , dont nous dénissons le prixP (t, T ) comme la valeur que sont prêt à payer des investisseurs pour acquérir ce zéro-coupon en t.

Remarque : Par la suite, nous serons amenés à évoquer l'obligation zéro-coupon risquée. Aussidans un premier temps, et sauf mention contraire, les zéro-coupons évoqués sont des zéro-couponssans risque de crédit.

3.1.2 Taux instantané

Dénition 3.2 (Taux zéro-coupon). Nous appelons taux zéro-coupon, le taux d'intérêt instantanécontinûment composé, noté R(t, T ), et déni par

∀t ∈ [0;T [, R(t, T ) = − lnP (t, T )

T − t. (3.1)

21

Chapitre 3. Taux sans risque

Dénition 3.3 (Taux actuariel). Nous appelons taux actuariel, le taux d'intérêt périodiquementcomposé, noté Y (t, T ), et déni par

∀t ∈ [0;T [, Y (t, T ) =1

P (t, T )1/(T−t)− 1. (3.2)

Remarque : Ces deux taux ainsi dénis permettent d'exprimer le prix du zéro-coupon :

P (t, T ) = exp−(T−t)·R(t,T )

et

P (t, T ) =1

(1 + Y (t, T ))T−t.

Dénition 3.4 (Taux instantané). Nous dénissons le taux instantané (rt)t comme la limite deR ou Y lorsque T tend vers t.

rt = limT→t

R(t, T ) (3.3)

ou

rt = limT→t

Y (t, T ). (3.4)

L'étude qui va suivre sur le risque de crédit est faite dans un cadre discret : c'est le tauxactuariel, qui est périodiquement composé, qui sera utilisé.Remarque : Ces dénitions posent le temps restant avant maturité, T − t, comme une grandeurtrès importante. An que tous les acteurs la mesurent de la même manière, certaines conventionssont utilisées :

Actuel/365 : pour comptabiliser une année avec 365 jours ; Actuel/360 : pour comptabiliser une année avec 360 jours ; 30/360 : pour comptabiliser une année avec 360 jours et un mois avec 30 jours.

Remarque : A titre d'exemple, la gure 3.1 présente la courbe des taux sans risque fournie parl'IA pour l'actualisation des Passifs d'assurance, dont le détail des valeurs est fourni dans la tableA.1 de l'annexe A.1. Nous reviendrons sur cette courbe à la section 3.5.3.

Figure 3.1 Courbe des taux IA en juin 2012

22

3.2. Taux à terme (taux forward)

3.1.3 Facteur d'actualisation

Dénition 3.5 (Facteur d'actualisation). Soit B(t1, t2) le facteur d'actualisation entre deux ins-tants t1 ≤ t2

B(t1, t2) = exp

−∫ t2

t1

rsds

.

Notons que selon que le référentiel temporel utilisé (actualisation continue avec R ou discrète avecY ), ce facteur pourra être modié, ∀t1 ≤ t2 :

B(t1, t2) =(1 + rt1)t1

(1 + rt2)t2.

Ce facteur d'actualisation nous permet d'exprimer diéremment le prix du zéro-coupon.

Propriété 3.1. En notant Q la probabilité risque-neutre, nous avons ∀t ∈ [0, T ],

P (t, T ) = EQ [B(t, T )|Ft] . (3.5)

Preuve. Le ux du zéro-coupon d'échéance T en t est

FluxZC(t) = B(t, T ) · 1 = B(t, T ).

Nous savons de plus que sous la probabilité risque-neutre Q et sous absence d'opportunité d'arbi-trage, nous avons

P (t, T ) = EQ[FluxZC(t)|Ft

]= EQ [B(t, T )|Ft] .

Dénition 3.6 (Déateur). Nous appelons déateur et nous notons D(t) le facteur d'actualisationvu en t = 0,

D(t) = B(0, t).

3.2 Taux à terme (taux forward)

3.2.1 Contrat forward rate agreement (FRA)

Nous présentons dans un premier temps les contrats forward rate agreement (FRA). Nousn'utiliserons pas directement ce contrat dans la suite, mais il est à la base du taux forward. Cecontrat permet de bien comprendre l'utilité d'un taux forward. Commençons par dénir le tauxLIBOR, qui est un des taux de référence, similaire à ceux présentés dans la partie 3.1.2.

Dénition 3.7 (Taux Libor). Le taux LIBOR L est déni par

L(t, T ) =1− P (t, T )

P (t, T ) · (t− T ). (3.6)

Ce taux Libor, pour London interbank oerend rate, est un des taux de référence du marchémonétaire de diérentes devises. Il est calculé tous les jours ouvrés par la BBA 1 et publié à 12h(CET 2), et ce pour plusieurs maturités. Ce taux peut être utilisé comme taux de référence ducontrat FRA.

Dénition 3.8. Un contrat FRA de nominal N , d'expiration T et de maturité S est un contratqui donne à son souscripteur à la date S un versement à un taux xe K (simplement composé surla période [T ;S]) contre le paiement à cette même date S d'un taux variable de référence, qui peutêtre le taux Libor déni ci dessus (dénition 3.7).

1. British Bankers'Association2. Central European Time

23

Chapitre 3. Taux sans risque

Propriété 3.2. En notant PFRA(t;T, S,N,K) le prix en t d'un tel contrat, nous avons alors

PFRA(t;T, S,N,K) = N · (S − T )P (t, S)K − P (t, T ) + P (t, S) . (3.7)

La démonstration de cette propriété se trouve en annexe A.2. L'intérêt de cette propriété 3.2 estqu'elle permet d'exprimer le taux forward (simple) à la date T . En eet, sous absence d'opportunitéd'arbitrage, le prix de ce contrat en t doit être nul. Nous dénissons ainsi le taux forward commeétant la valeur de K annulant cette expression.

Dénition 3.9 (Taux Libor forward). Nous appelons taux forward (simple) expirant à la date Tet de maturité S > T , L(t, T, S) tel que ∀t,

L(t, T, S) =1

S − T

(P (t, T )

P (t, S)− 1

). (3.8)

Le taux foward est une vision en t correspondant à un achat en T d'un zéro-coupon d'échéance S.Remarque : Le prix d'un contrat FRA peut alors s'exprimer en fonction du taux forward

PFRA(t;T, S,N,K) = N(S − t)P (t, S) K − L(t, T, S) . (3.9)

3.2.2 Taux forward instantané

Dénition 3.10 (Taux forward instantané). Nous appelons taux forward instantané et nous notonsf(t, T ) la limite du taux forward lorsque S tend vers T , ∀t ∈ [0, T ],

f(t, T ) = limS→T

L(t, T, S). (3.10)

Le taux forward instantané est donc une vision en t correspondant l'achat en T d'un zéro-coupon de même échéance T . La caractérisation 3.3 est très souvent utilisée comme dénition dutaux forward instantané.

Propriété 3.3 (Caractérisation du taux forward).

∀t ∈ [0, T ], f(t, T ) = − ∂

∂TlnP (t, T ) (3.11)

ce qui équivaut à

P (t, T ) = exp

−∫ T

t

f(t, u)du

(3.12)

ou encore, en composition annuelle

∀t ∈ [0, T ], f(t, T ) = − ln

(P (t, T + 1)

P (t, T )

)(3.13)

ce qui équivaut à

P (t, T ) = exp

−T−1∑u=t

f(t, u)

. (3.14)

Preuve. En supposant que T 7−→ P (t, T ) est une fonction dérivable en tout point, nous avons

limS→T

L(t, T, S) = limS→T

1

S − T

(P (t, T )

P (t, S)− 1

)= limS→T

1

P (t, S)

limS→T

P (t, T )− P (t, S)

S − T

(car ces limites sont nies)

=−1

P (t, T )

∂P (t, T )

∂T

= − ∂

∂TlnP (t, T ) .

24

3.3. Taux swap

Remarque : Il existe un lien entre le taux forward et le taux spot. En eet, pour une compositioncontinue, nous avons

limt→T

R(t, T ) = limt→T− 1

T − tlnP (t, T )

= limt→T− ln P (t, T ) − ln P (t, t)

T − t

= −(∂

∂Tln P (t, T )

)T=t

= f(t, t).

Nous avons donc le résultat suivant, qui se vérie également pour le taux spot à compositionannuelle :

∀t, rt = f(t, t). (3.15)

3.2.3 Taux forward implicite

Nous serons également amenés à utiliser plus loin le taux forward implicite, qui découle du tauxspot. En eet, si t1 et t2 sont deux dates de [0;T ], le taux forward implicite équivaut à un facteurd'actualisation d'échéance t2 vu en t1.

Dénition 3.11 (Taux forward implicite). Soient t1, t2 ∈ [0;T ], nous appelons taux forwardimplicite le taux f implicite vu en t1 et d'échéance t2 le taux f implicite(t1, t2) tel que

(1 + f implicite(t1, t2))t2−t1 · (1 + rt1)t1 = (1 + rt2)t2 .

Remarque : Nous pouvons exprimer le taux forward implicite pour t1 6= t2 avec

f implicite(t1, t2)) =

((1 + rt2)t2

(1 + rt1)t1

) 1t2−t1

− 1.

À partir de la courbe de taux sans risque fournie par l'IA (gure 3.1), nous pouvons donc calculerle taux forward implicite à 1 an. En eet, ce taux forward implicite se calcule facilement avec laformule 3.16 ci-dessous. Nous obtenons la courbe de la gure 3.2

f implicite(t, t+ 1) =

((1 + rt+1)t+1

(1 + rt)t

)− 1. (3.16)

Remarque : Notons que ce taux forward implicite annuel peut être assimilé à un rendement.(f implicite(t, t+ 1)

)représente la variation de taux d'intérêt sur l'année [t; t+ 1] vu en 0. Supposons

qu'on dispose en t d'une provision mathématique PMt, alors le rendement nancier relatif à cetteprovision mathématique sera PMt · f(t, t+ 1) sur la période [t; t+ 1].

3.3 Taux swap

Nous présentons enn la dernière catégorie de taux, les taux swap. Ces taux swap sont baséssur les contrats swap, eux-même similaires aux contrats FRA présentés à la section 3.2.1.

3.3.1 Contrat swap

Le contrat swap est une généralisation des contrats FRA, à un échéancier de plusieurs dates depaiement. Pour présenter de façon complète les contrats swap, nous posons :

(Ti)i∈J0;MK un calendrier de M + 1 dates, où M ∈ N ; τi = Ti − Ti−1 la durée d'un intervalle ; α et β deux entiers de J0;MK ; N le nominal ; K le strike.

25

Chapitre 3. Taux sans risque

Figure 3.2 Courbe des taux forward implicte liés à la courbe des taux de l'IA

Dénition 3.12 (Contrat swap). Un contrat swap de nominal N et de strike K sur la périoded'investissement Jα;βK est un contrat échangeant à chaque date de (Ti)i∈Jα+1;βK un ux xe NKτicontre un ux variable NτiL(Ti−1 − Ti).Un contrat swap est dit receveur si le détenteur du contrat reçoit le ux xe et cède le uxvariable. Dans le cas inverse, le contrat est dit payeur .

Remarque : Un contrat swap peut aisément s'exprimer comme une somme de plusieurs contratsFRA à des dates et des horizons diérents. Nous avons ainsi en notant PSR(t;α, β,N,K) le prixd'un contrat swap receveur sur Jα;βK en t :

PSR(t;α, β,N,K) =

β∑i=α+1

PFRA(t;Ti−1, Ti, N,K). (3.17)

En eet chaque période JTi;Ti−1K contient des ux identiques à ceux d'un contrat FRA.

Propriété 3.4. Le prix d'un contrat swap vérie l'équation

PSR(t;α, β,N,K) = −N

(P (t, Tα)− P (t, Tβ) +

β∑i=α+1

τiKP (t, Ti)

). (3.18)

Preuve. En annexe A.3.

3.3.2 Taux swap

Comme pour le taux forward, nous construisons le taux swap comme le taux de référence Kqui annule le prix du contrat forward en t.

Dénition 3.13 (Taux swap). Nous appelons taux swap et notons Sα,β la quantité

Sα,β(t) =P (t, Tα)− P (t, Tβ)∑β

i=α+1 τiP (t, Ti). (3.19)

Remarque : Le taux swap et le taux forward simple L sont liés par la formule

Sα,β(t) =1−

∏βj=α+1

11+τjL(t,Tj−1,Tj)∑β

i=α+1 τi∏ij=α+1

11+τjL(t,Tj−1,Tj)

26

3.4. Méthodes de calcul

qui se démontre en remarquant que ∀k,

P (t, Tk)

P (t, Tα)=

k∏j=α+1

P (t, Tj)

P (t, Tj−1)=

k∏j=α+1

1

1 + τjL(t, Tj−1, Tj).

3.4 Méthodes de calcul

La littérature concernant les modèles de taux est très fournie. Nous pouvons citer par exempleles chapitres 3, 4 et 5 de [FM07] ou les chapitres 7 et 8 de [Kow08] qui fournissent les détails desmodèles les plus utilisés.

3.4.1 Diérents modèles de taux

Les banques et la plupart des compagnies qui possèdent un Passif d'assurance utilisent unmodèle de taux en interne. Il existe en eet de nombreux modèles de calcul des taux courts, et lechoix de ce dernier est cruciale car il va être utilisé très souvent dans diérents contextes. Si lepremier modèle introduit par Vasicek (1977) a rapidement montré ses limites pratiques, d'autresmodèles plus complexes sont apparus par la suite. Nous pouvons citer les modèles de Cox-Ingersoll-Ross (1985), Ho et Lee (1986), Hull et White (1990) ou encore Heath, Jarrow et Morton (1992) quigénéralisent l'approche de Vasicek. Par la suite, des modèles multifactoriels sont apparus, commele modèle de Vasicek et Fong (1991) ou Chen (1996). Ces modèles multifactoriels permettent dereproduire plus précisément les corrélations entre les variations de taux de diérentes maturités.Ils permettent aussi de se rapprocher des prix observés des obligations. Par conséquent, ce sont leplus souvent ces modèles qui sont utilisés en pratique, même s'ils sont souvent plus complexes àmettre en place et ne fournissent pas nécessairement de formule analytique.

3.4.2 Critères de choix

Avec le nombre important des méthodes de calcul des courbes de taux, il est nécessaire de pré-ciser les critères qui permettent de choisir ou d'éliminer un modèle de taux. Les critères importantssont :

capacité à reproduire les prix des options (swaptions, caps, oors) à une date donnée, et d'enprévoir les évolutions ;

capacité à reproduire dèlement les observations empiriques (retour à la moyenne, niveau decorrélation entre les forward) ;

capacité à générer les prix et les grecques des dérivées exotiques de façon viable et sansvariations importantes injustiées d'une période à l'autre ;

aspect pratique : le modèle doit pouvoir fournir des résultats dans un intervalle de tempsraisonnable.

3.5 Exemples de taux

3.5.1 Historique de taux

L'historique des taux est une donnée relativement facile à obtenir. En eet, un historique résultede l'observation des données à un moment donné. Certains sites internet proposent des historiquesde taux pour diérentes maturités. Le site de la Banque de France contient un grand nombre dedonnées historiques, dont les taux de certaines obligations. Sur la gure 3.3, nous regroupons lescourbes historiques des bons du trésor (pour diérentes maturités), ainsi que les données historiquesconcernant les OAT 3 à 10 ans.

3. Obligation assimilable au trésor, ou emprunts d'État

27

Chapitre 3. Taux sans risque

Figure 3.3 Données historiques de certains taux

3.5.2 Taux de référence des marchés

Si le taux instantané (rt)t est bien déni de façon mathématique, il n'est pas observable direc-tement sur les marchés, et son estimation est possible grâce à des méthodes empiriques. Les tauxde référence Eonia et Euribor sont les taux de référence les plus utilisés : ils traduisent les tauxd'échanges observés sur les marchés, et sont donc basés sur les swaps interbancaires.

Eonia

Le premier taux de référence, a été baptisé Eonia pour Euro Over Night Index Average . Cetaux instantané est une moyenne pondérée des taux de transaction de prêt jusqu'au lendemain ou-vré initiés au sein de la zone euro par 43 banques européennes 4. Le taux Eonia utilise la conventionActuel/360, et est publié chaque matin à 9h (CET) avec 3 décimales.

Euribor

Le second taux de référence est le taux Euribor, pour Euro Interbank Oered Rate . Cetaux est publié pour trois maturités hebdomadaires (de une semaine à trois semaines), et pour lesdouze maturités mensuelles d'un mois à un an. Pour chaque maturité, il est calculé en prenant lescotations proposées sur le marché interbancaire par les banques du panel, et en enlevant les 15%minimales et les 15% maximales. Les taux Euribor sont publiés chaque matin à 11h (CET) avectrois décimales. La gure 3.4 regroupe l'historique de ces taux de référence (moyennes mensuelles)depuis 1999. Nous observons des taux aux allures très proches, et qui traduisent donc l'état desmarchés.

4. le panel de banques désigne des banques ayant le plus d'activité dans ce secteur, comme par exemple la BanquePostale, BNP Parisbas, HSBC France, Société Générale, Crédit Agricole s.a., et Crédit Industriel et CommercialCIC pour la France. Voir [ee12].

28

3.5. Exemples de taux

Figure 3.4 Historique des taux de référence

Courbes de taux swap

Plusieurs sites internet publient régulièrement des courbes de taux swap, comme le site duFinancial Times 5 ou encore le site du Comité de Normalisation Obligataire 6. L'International Swapand Derivate Association (ISDA) propose aussi un taux swap chaque premier jour ouvré de chaquemois. Ainsi CNO propose un historique mensuel de deux ans des taux swap. Nous choisissons, à

Figure 3.5 Courbes des taux swap (CNO)

titre d'exemple, de fournir sur la gure 3.5 les courbes des taux swap en février, juillet et décembre2011, ainsi que la dernière parue n juillet 2012. Nous comparons aussi cette courbe avec les donnéesfournies par le Financial Times le 22 aout 2012, sur la gure 3.6.

5. Voir [Tim12].6. Voir [Fra12].

29

Chapitre 3. Taux sans risque

Figure 3.6 Courbes des taux swap (CNO)

3.5.3 Taux de référence des assureurs

La problématique des assureurs est légèrement diérente de celle des marchés. En eet, le tauxdoit être un taux actuariel, dans le sens où il doit servir à actualiser les Passifs du portefeuilled'assurance. Mais ce taux doit aussi capter les sensibilités du marché, pour traduire au maximumla réalité économique dans le Passif. Comme précisé plus haut, il existe de nombreux modèlesde calcul des taux, et nous choisissons de nous concentrer sur la méthode de calcul utilisée parl'Institut des Actuaires.

Courbe de taux de l'Institut des Actuaires

L'Institut des Actuaires utilise le modèle de Vasicek et Fong (1991) pour proposer une courbede taux publiée au début de chaque trimestre (gure 3.7). Le modèle de Vasicek et Fong (1991)se base sur une modélisation à deux facteurs. Nous ne nous attardons pas ici sur les détails de cemodèle, évoqués dans [FV91] et repris dans [Ste06]. La méthodologie de calibration de cette courbedes taux est présentée dans [dA10], et elle se base sur certaines obligations du marché (bons dutrésor, emprunts d'état et OAT). De plus, cette courbe se veut cohérente avec les évaluations del'Actif, car le calcul nécessite d'introduire des données du marché.

Conclusion

Si le taux d'actualisation se base sur un taux sans risque, nous avons pu voir qu'il existe denombreux modèles de calcul de ce taux sans risque. Nous utilisons par la suite la courbe de tauxde l'Institut des Actuaires, qui présente l'avantage d'être publique.

Par ailleurs, il existe d'autres taux souvent utilisés dans la gestion des compagnies d'assurance.Le taux forward implicite sera souvent assimilé à un rendement instantané des Actifs sur le marché,et le taux swap comme un indicateur de l'activité du marché. Nous les utilisons plus loin dans lescalculs de primes.

Auparavant, il est nécessaire de fournir une évaluation du risque de défaut attendu qui estprésent dans le taux de marché. En eet, la risque-neutralisation des cash-ows sera indispensableau calcul du Matching Adjustment, que nous détaillons plus loin.

30

3.5. Exemples de taux

Figure 3.7 Courbe des taux IA en juin 2012

31

Chapitre 3. Taux sans risque

32

Chapitre 4

Spread de crédit

Avant de pouvoir actualiser les cash-ows avec un taux d'actualisation commun à toutes lesobligations, il est nécessaire de risque-neutraliser les cash-ows de chaque obligation. En eet,pour actualiser les cash-ows d'une obligation, il faut tenir compte de la possibilité de défaut del'obligation.

La risque-neutralisation d'un risque consiste à évaluer le coût de ce risque en lui attribuant unevaleur nancière. Cette valeur nancière est calculée grâce aux informations du marché, dont leniveau de rating pour un risque de défaut par exemple. Une fois la valeur de ce risque calculée, ilest alors possible de calculer le prix de l'obligation risque-neutralisée.

Dans la suite, nous allons utiliser une modélisation du risque de crédit pour évaluer le cout dela prise en compte de ce risque. Ainsi à partir de cash-ows risqués au sens du risque de crédit,nous utilisons le rating de l'obligation pour en déduire des cash-ows risque-neutralisés. Une foisles cash-ows risque-neutralisés connus, il est alors possible de les utiliser pour répliquer les uxdes contrats d'assurance du portefeuille.

4.1 Risque de crédit et notation

Si la plupart des risques à caractère nancier auxquels sont soumis les obligations sont communsà toutes les obligations, certains risques sont propres à chaque obligation. C'est le cas du risquede crédit. En eet, le risque de crédit est la prise en compte du probable défaut de l'obligation,et il est donc propre à chaque obligation et il doit donc être évalué pour chaque obligation, oupour chaque classe d'obligations. Ainsi il existe des classes d'obligations, qui correspondent à desnotes qui sont attribuées par des agences de notation. Nous pouvons citer par exemple Standard &Poor's, Ficth Ratings, Moody's ou encore Dagong qui font partie des agences de notation les plusconnues.

4.1.1 Agences de notation

Chaque agence de notation possède sa propre échelle de notation (comme par exemple S & P,dont l'échelle de notation et présentée sur la gure 4.1). Nous distinguons également l'horizon dela dette, selon que l'obligation en question soit un crédit à court ou moyen terme. Comme sur latable B.1 de l'annexe B.1 pour l'agence Standard & Poor's, il existe un certain nombre de notesqui traduisent la ablilité de l'obligation, allant d'une situation très peu risquée à une situation dedéfaut (respectivement AAA et D pour Standard & Poor's).

La catégorie Investment Grade regroupe les dettes à forte capacité de remboursement et dontla sensibilité aux aléas économiques est faible. La seconde catégorie, Speculative Grade, concerneles dettes globalement plus risquées, c'est à dire avec des garanties de remboursement moins im-portantes, et plus sensibles aux uctuations économiques.

33

Chapitre 4. Spread de crédit

Tranche S & P Moody's Fitch Ratings Dadong

Première qualité AAA Aaa AAA AAA

Investment Haute qualité AA Aa AA AA

Grade Qualité moyenne supérieure A A A A

Qualité moyenne inférieure BBB B BBB BBB

Speculative Spéculatif BB Ba BB BB

Grade Très spéculatif B B B B

Risque très élevé CCC Caa CCC CCC

Default En défaut D D D D

Table 4.1 Échelles des agences de notation

4.1.2 Sub-division et sous-grades

En plus de classer les dettes par tranches, les agences de notation précisent ces notations grâce àdes sous-grades, qui sont des subdivisions des grades initiaux. La table B.1 de l'annexe B.1 présenteles sub-divisions utilisées par l'agence Standard and Poor's. Comme pour les tranches, il existe deséquivalences entre les sub-divisions de chacune des agences. La table 4.2 présente les sub-divisionséquivalentes utilisées par S & P et Moody's.

S & P Moody's

Tranche Grade Sous-grade Grade Sous-grade

Première qualité AAA AAA Aaa Aaa

AA+ Aa1

Haute qualité AA AA Aa Aa2

AA- Aa3

A+ A1

Qualité moyenne supérieure A A A A2

A- A3

Table 4.2 Échelle de notation équivalente

Enn les agences de notation classent aussi les obligations selon l'émetteur : obligation d'État,nancières, non nancières, télécommunication, etc.

4.1.3 Rating des pays de la zone euro

Nous pouvons comparer les ratings des diérents pays de la zone euro de la table 4.3. Nousobservons que certains pays ont des notes diérentes selon les agences. Les agences n'ont donc pasnécessairement les mêmes méthodes de calcul.

Mais avant de pouvoir attribuer une note de conance à une obligation, il est nécessaire decalculer sa probabilité de défaut, c'est à dire la probabilité que l'émetteur fasse défaut et ne puissepas rembourser sa dette.

4.2 Probabilité de défaut

4.2.1 Diérentes approches

Il existe plusieurs approches pour calculer la probabilité de défaut d'une obligation. L'approchepar modèle structurel proposée par Merton (1974), puis Black and Cox (1976) a été la premièreà proposer une évaluation de la probabilité de défaut. Cette approche se base sur une étude dela dette et des Actifs de la société suivant la même équation de diusion. Si des développements

34

4.2. Probabilité de défaut

Pays Moody's S & P Fitch Ratings Dadong

Allemagne Aaa AAA AAA AA+

Autriche Aaa AA+ AAA AA+

Belgique Aa3 AA AA A+

Chypre Ba3 BB BB+ -

Espagne Baa3 BBB+ BBB A

Estonie A1 AA- A+ A

Finlande Aaa AAA AAA AAA

France Aaa AA+ AAA A+

Grèce C CCC CCC CC

Irlande Ba1 BBB+ BBB+ BBB

Italie Baa2 BB+ A- BBB

Luxembourg Aaa AAA AAA AAA

Malte A3 A- A+ A-

Pays-Bas Aaa AAA AAA AAA

Portugal Ba3 BB BB+ BB+

Slovaquie A2 A A+ -

Slovénie Baa2 A A- -

Table 4.3 Notations des diérentes dettes de la zone euro (mi-aout 2012)

ultérieurs sur des logiciels de calculs utilisant les modèles structurels existent sur le marché (KMVcommercialisé par Moodys, ou encore CreditGrade par RiskMetrics), des limites apparaissent.Certaines hypothèses sont en eet quelque peu éloignées de la vie des entreprises. De plus, cesmodèles introduisent à moyen terme de la volatilité dû à l'utilisation du prix des actions dans lecalcul de la probabilité de défaut.

Une autre approche consiste à utiliser des modèles à intensité, comme l'ont fait Jarrow etTunrbull (1995) ou encore Madan et Unal (1998). Ces modèles utilisent le processus de défautNt = l1t≥τ où τ est l'instant de défaut qui est étudié par la suite. Si ces modèles à intensitépermettent d'obtenir dans certains cas une formule fermée (pour le prix d'un zéro coupon risquépar exemple), ils fournissent souvent des résultats complexes.

Une solution plus simple et qui donne des résultats convenables est le modèle de Jorrow, Landoet Turnbull proposé en 1997 et toujours utilisé aujourd'hui. Ce modèle basé sur les chaines deMarkov possède le principal avantage d'être très simple à mettre en place.

4.2.2 Données du problème

Nous nous plaçons toujours dans (Ω,P,F , (Ft)t), un espace probabilisé ltré. Nous préciseronsplus loin la ltration (Ft)t. Dans un premier temps, il est nécessaire de dénir certaines notations.

Dénition 4.1 (Notations). Nous notons dans la suite :

τ l'instant de défaut éventuel auquel est associée la ltration Gt = σ ( l1τ≤s, s ≤ t) ; Q la probabilité risque neutre ; T l'horizon de l'étude ; v(t, T ) le prix en t d'un zéro coupon risqué d'échéance T ; δ le taux de recouvrement constant en cas de défaut ; (rt)t le taux spot dénit précédemment, et nous lui associons la ltration Ht = σ (rs, s ≤ t).Nous posons alors Ft = Gt ∧Ht.

Par ailleurs, le processus de défaut et le taux sans risque sont supposés indépendants.

35

Chapitre 4. Spread de crédit

4.2.3 Prix d'un zéro-coupon risqué

On considère un zéro-coupon qui possède un risque de défaut. Son cash-ow en t est donc

Fluxt = δ l1τ<T + l1τ≥T ,

nous calculons le prix du zéro-coupon risqué en t.

Propriété 4.1. Le prix du zéro-coupon risqué en t ∈ [0, T ], noté v(t, T ), vérie

v(t, T ) = P (t, T ) ·(δ + (1− δ)Q (τ ≥ T |Ft)

). (4.1)

Preuve. Comme pour le zéro-coupon sans risque de défaut, nous savons que sous la probabilitérisque-neutre prix du zéro-coupon est une martingale. Par absence d'opportunité d'arbitrage, leprix en T est le ux du zéro-coupon.

v(t, T ) = EQ [B(t, T )(δ l1τ<T + l1τ≥T )|Ft]= EQ [B(t, T )|Ft]EQ [(δ + (1− δ) l1τ≥T )|Ft]= P (t, T ) ·

(δ + (1− δ)Q (τ ≥ T |Ft)

).

4.2.4 Flux d'une obligation

De la même façon, nous pouvons exprimer les cash-ows d'une obligation risquée (au sens durisque de défaut) en fonction des cash-ows initiaux de cette obligation. Nous allons chercher àrisque-neutraliser les cash-ows de l'obligation. Le ux aléatoire Ft en t s'exprime en fonction duux non risqué F init

t de la façon suivante :

Ft = F init

t · (δ l1τ<T + l1τ≥T ) . (4.2)

Nous obtenons donc le cash-ow FRNt espéré en t et vue en 0, après prise en compte du risque :

FRNt = EQ [Ft|F0]

= F init

t · EQ [(δ + (1− δ) l1τ≥T )]

= F init

t ·(δ + (1− δ)Q (τ ≥ T )

).

(4.3)

Il est donc nécessaire de connaitre la probabilité de défaut Q (τ ≥ T ) et nous allons pourcela utiliser le modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997) qui repose sur une base de donnéeshistorique, et dont l'évolution est modélisée par une chaine de Markov.

4.3 Modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997)

La modélisation de Jarrow, Lando et Turnbull a été introduite en 1997 par ces trois auteurs.Cette théorie propose une approche particulière du risque de crédit, en modélisant les états derating par une chaine de Markov. Elle permet, à partir d'une matrice de transition historique, decalculer des spreads de crédit d'une obligation à chaque instant. Cette section s'inspire largementde l'article [JLT97] intitulé A Markov Model for the Term Structure of Credit Risk Spread publiépar ces trois auteurs.

Cette modélisation est considérée comme un bon compromis entre diculté de modélisationet cohérence du résultat. En eet, la formule fermée que nous obtiendrons par la suite permet uncalcul simple des matrices de transition. De plus, l'intensité de défaut n'est pas considérée commeconstante, ce qui amène des résultats diérents selon les années, et donc plus précis.

36

4.3. Modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997)

4.3.1 Modélisation par chaine de Markov homogène

An de décrire l'évolution de la note de l'obligation dans un espace de temps discret, représentéepar un processus aléatoire Xt, nous utilisons une chaine de Markov homogène à espace d'état ni.Cette approche est détaillée dans [JLT97].Nous noterons K le nombre d'état et E = (E1; ...;EK) l'espace d'états de la chaine. Chaque étatest un niveau de notation (ou un note, ou un rating). Si nous reprenons comme exemple l'échelle denotation de Standard and Poor's proposé dans la table 4.1, l'état E1 représente donc l'état AAA+,E2 l'état AA+ et ainsi de suite pour arriver à l'état E23 qui est l'état de défaut D.A partir d'un état initial, le rating va donc passer dans un autre état à l'instant selon une certaineprobabilité. Nous noterons ainsi pi,j = P(Xt+1 = Ej |Xt = Ei) la probabilité de passer d'un étatEi à un état Ej entre deux instants de temps t et t+ 1. Les (pi,j)i,j∈J1;KK sont tels que :

pi,j ≥ 0, ∀(i, j) ∈ J1;K − 1K× J1;KKpK,j = 0, ∀j ∈ J1;K − 1KpK,K = 1

Nous remarquons que l'état EK est un état absorbant. En eet, si une société fait défaut, ellereste l'état de défaut sur tous les instants suivants. Par conséquent, la probabilité de passage entrel'état EK et un autre état diérent est nulle, et celle de rester dans cet état vaut 1.Notons également que

∀k ∈ J1;KK,K∑j=1

pk,j = 1. (4.4)

Nous obtenons donc une matrice de transition P sous la probabilité historique telle que

P =

p1,1 · · · p1,K...

...

pK−1,1 · · · pK−1,K

0 · · · 1

4.3.2 Étude sous la probabilité risque-neutre

Nous cherchons à calculer la probabilité de défaut sous la probabilité risque-neutre Q. Or souscette mesure, le processus Xt n'est plus nécessairement homogène. La modélisation de Jarrow,Lando et Turnbull (1997), fait alors l'hypothèse que la probabilité de transition entre les états Eiet Ej , i, j ∈ J1;KK, pour i 6= j, et les instants t et t+ 1 s'écrit :

qi,j(t, t+ 1) = πi,j(t)pi,j (4.5)

où : pi,j est la probabilité de transition sous la probabilité historique ; qi,j(t, t + 1) = Q(Xt+1 = Ej |Xt = Ei) est la probabilité de transition sous la probabilitérisque-neutre ;

πi,j(t) est une prime d'ajustement pour risque que nous supposons déterministe à chaqueinstant t du temps.

Jarrow, Lando et Turnbull supposent de plus que πi,j(t) = πi(t) est indépendant de j, ce quisignie que cette prime d'ajustement pour risque πi(t) est uniquement dépendante de l'état en tdu processus (Xt)t sous la probabilité risque neutre Q.

Propriété 4.2. Les coecients diagonaux des matrices de transition sous les probabilités historiqueet risque-neutre vérient l'équation

∀i ∈ J1;KK, qi,i(t, t+ 1) = 1− πi(t) · (1− pi,i).

37

Chapitre 4. Spread de crédit

Preuve. En utilisant la somme des probabilités 4.4 et en partant de l'équation 4.5, nous avonsl'equation suivante.

∀i, j ∈ J1;KK, qi,j(t, t+ 1) = πi,j(t)pi,j

∀i ∈ J1;KK,∑j 6=i

qi,j(t, t+ 1) =∑j 6=i

πi(t)pi,j

∀i ∈ J1;KK, 1− qi,i(t, t+ 1) = πi(t) · (1− pi,i)∀i ∈ J1;KK, qi,i(t, t+ 1) = 1− πi(t) · (1− pi,i).

Cette dernière expression permet d'exprimer la matrice de transition

Q(t, t+ 1) =

q1,1(t, t+ 1) · · · q1,K(t, t+ 1)

......

qK,1(t, t+ 1) · · · qK,K(t, t+ 1)

0 · · · 1

avec les données précédentes du problème. Pour cela nous notons :

Π(t) la matrice diagonale K ×K composée des (π(t))i∈J1;KK, en imposant πK(t) = 1.Π(t) = Diag (π1(t); · · · ;πK−1(t); 1) ;

IK la matrice identité de taille K ×K.Remarque : Nous notons au passage que comme Q est une matrice de transition d'une chaine deMarkov, ∀t ∈ J1;T K,

Q(0; t) = Q(0; 1)× · · · × Q(t− 1, t) =

t∏s=1

Q(s− 1, s).

Propriété 4.3.Q(t, t+ 1)− IK = Π(t) (P − IK) . (4.6)

Preuve. Il sut de faire le produit des matrices, et en utilisant l'expression de la propriété 4.2,nous obtenons le résultat.

Remarque : Notons au passage que la propriété précédente impose que les (πi(t))i soient positifs.Nous avons donc, ∀i ∈ J1,KK, πi(t) ≥ 0.

Si nous revenons au calcul de la probabilité de défaut, il faut calculer Q(τ > T |Ft), et le lemme4.1 permet de l'exprimer avec les données du problème.

Lemme 4.1. Soit Q(τ > T |Ft) la probabilité de défaut après T , où τ = inft ≥ 0, Xt = EK,alors nous avons :

Q(τ > T |Ft) = 1− qi,K(t, T ). (4.7)

Preuve. Notons tout d'abord que si en t, le processus de notation Xt se trouve dans l'état Ei,alors Q(τ > T |Ft) = Q(τ > T |Xt = Ei). De plus, l'état EK est absorbant, donc si le processus Xt

atteint cet état avant T , il reste dans cet état. Par conséquent, s'il n'y est pas en T , c'est qu'il n'ajamais atteint cet état. Par conséquent,

τ > T |Xt = Ei = XT 6= EK |Xt = Ei

etQ(τ > T |Ft) = Q(τ > T |Xt = Ei)

= Q(XT 6= EK |Xt = Ei)

= 1−Q(XT = EK |Xt = Ei)

= 1− qi,K(t, T ).

38

4.3. Modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997)

Reste alors à calculer les (πi(t))1≤i≤K−1 pour t ∈ J0;T K. Nous savons en eet que ∀t, πK(t) = 1.Commençons par t = 0.

Propriété 4.4. Si la probabilité de transition entre un état initial Ei et l'état de défaut pi,K estnon nulle, et P (0; 1) 6= 0, alors nous avons :

∀i ∈ J1,K − 1K, πi(0) =P (0; 1)− vi(0; 1)

pi,K · P (0; 1) · (1− δ)(4.8)

où vi(0; 1) est le prix d'un zéro-coupon risqué se trouvant dans un état Ei à l'instant initial.

Preuve. L'expression 4.1 permet d'écrire :

∀i ∈ J1;K − 1K et T ∈ J1; τK, Q(τ < T |X0 = Ei) =P (0;T )− vi(0;T )

P (0;T ) · (1− δ).

En particulier pour T = 1, et en écrivant Q(τ > T |X0 = Ei) = 1 − Q(τ < T |X0 = Ei), il endécoule

∀i ∈ J1;K − 1K, Q(τ < 1|X0 = Ei) =P (0; 1)− vi(0; 1)

P (0; 1) · (1− δ). (4.9)

D'autre part, l'équation du lemme 4.1 pris en t = 0 et T = 1 amène :

Q(τ > 1|X0 = Ei) = 1− qi,K(0; 1).

Et donc, en utilisant 4.9 :

qi,K(0; 1) = Q(τ < 1|X0 = Ei) =P (0; 1)− vi(0; 1)

P (0; 1) · (1− δ). (4.10)

Enn, en prenant t=0 dans la propriété 4.3, nous pouvons écrire :

Q− IK = Π(0) · (Q− IK).

En calculant le terme (i,K) de chaque matrice, nous obtenons l'égalité suivante 1 :

qi,K = πi(0) · pi,K . (4.11)

D'où le résultat en utilisant 4.10 et 4.11.

Nous allons maintenant établir une formule de récurrence permettant de calculer, en ayanttoutes les variables nécessaires en t à disposition, la valeur de ces mêmes variables en t+ 1.

Propriété 4.5. Supposons que Q(0; t) est connue, et que cette matrice est inversible. Alors ∀t ∈J1;T K et ∀i ∈ J1;K − 1K :

πi(t) =

∑Kk=1 q

−1i,k (0; t)

(P (0; t+ 1)− vk(0; t+ 1)

)P (0; t+ 1) · (1− δ) · pi,K

(4.12)

où q−1i,j (0; t) est l'élément (i, j) de la matrice Q−1(0; t).

Preuve. Pour établir cette formule de récurrence, nous reprenons le même procédé de calcul quepour le calcul des (πi(0))i. Nous disposons donc des éléments de Q(0; t), et de son inverse. Commepour l'équation 4.10,

qi,K(0; t) = Q(τ < t+ 1|X0 = Ei) =P (0; t+ 1)− vi(0; t+ 1)

P (0; t+ 1) · (1− δ). (4.13)

1. Notons que cette égalité est tout simplement la dénition des (πi(t))i. Mais la démarche de calcul, ici relati-vement simple, est reprise pour le calcul en tout instant t.

39

Chapitre 4. Spread de crédit

De plus, la propriété 4.3 permet d'écrire :

Q(0; t+ 1) = Q(0; t)Q(t, t+ 1)

= Q(0; t) · [Π(t)(P − IK) + IK ] .

∀i ∈ J1;K−1K, qui représente l'état Ei d'origine, nous obtenons l'équation suivante à la case (i,K)des deux termes matriciels de l'équation précédente :

K∑j=1

πj(t)pj,Kqi,j(0; t) = qi,K(0; t+ 1).

Ce qui nous amène donc au système matriciel 4.14, en utilisant l'équation 4.13.

Q(0; t)

π1(t)p1,K

...

πK(t)pK,K

=1

P (0; t+ 1) · (1− δ)·

P (0; t+ 1)− v1(0; t+ 1)

...

P (0; t+ 1)− vK(0; t+ 1)

. (4.14)

Une inversion du système, qui nécessite d'inverser la matrice Q(0; t) permet d'obtenir la solution4.12.

4.3.3 Exemple d'utilisation

Pour compléter cette étude théorique du modèle de Jarrow, Lando et Turnbull, nous allonsétudier un exemple d'utilisation de ce modèle pour calculer des probabilités de défaut d'un zéro-coupon risqué à horizon 1 puis 2. Supposons que nous disposons de trois états de notation, A, Bet D l'état de défaut, et d'une matrice des probabilités de défaut historique, que nous avons notéeP précédemment.

P =

0.9 0.05 0.05

0.1 0.8 0.1

0 0 1

.

Supposons également connues les informations de la ltration F0 : le taux de recouvrement δ = 40% constant ; le taux sans risque (rt)t jusqu'à l'horizon 2 ; les spreads (st)t de crédit correspondant à chaque zéro-coupons (horizon 1 et 2) et chaquenote.

Nous pouvons calculer les prix des zéro-coupons risqués ou non-risqués correspondants 2 et lesrésultats sont regroupés dans le tableau 4.4.

Horizon t rt sAt sBt P (0; t) vA(0, t) vB(0, t) vD(0, t)

1 1.08 0.010 0.020 0.926 0.917 0.909 0.343

2 1.09 0.015 0.030 0.842 0.819 0.797 0.337

Table 4.4 Informations initiales

Nous détaillons la suite des calculs en annexe B.2, et nalement, les matrices de transitionrisque-neutre suivantes sont obtenues.

Q(0, 1) =

0.969 0.015 0.015

0.030 0.939 0.030

0 0 1

pour Π(0) =

0.306 0 0

0 0.303 0

0 0 1

2. avec la formule suivante, ∀t ∈ 1; 2 et ∀i ∈ A;B :

vi(0, t) =1

(1 + rt + sit)tet P (0, t) =

1

(1 + rt)t.

40

4.3. Modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (1997)

Q(1, 2) =

0.941 0.030 0.030

0.061 0.879 0.061

0 0 1

pour Π(0) =

0.593 0 0

0 0.606 0

0 0 1

Ce qui amène donc la matrice de transition risque neutre d'horizon 2, Q(0, 2) = Q(0, 1) ×Q(1, 2) :

Q(0, 2) =

0.913 0.042 0.045

0.085 0.827 0.088

0 0 1

.

Remarque : En pratique nous disposons généralement directement des matrices Q sous la proba-bilité risque-neutre. Il est alors question d'en déduire les spreads de crédits à diérents instants etce pour diérents horizons. Ici nous pouvons retrouver les spreads initiaux en utilisant la formule4.1, et également le spread intermédiaire correspondant à

(vi(1, 2)

)i.

4.3.4 Matrices de transition stationnaires

Si la méthode présentée dans les parties précédentes permet de calculer les matrices de transitionen fonction du temps, il peut être utile de supposer la matrice de transition stationnaire, c'est àdire indépendante du temps. L'intérêt principal est le gain de temps dans les calculs, an de rendrela procédure plus simple, tout en gardant la structure de ce modèle. Ainsi il faut chercher unematrice Qannuelle telle que

Q(t, T ) = QannuelleT−t .

Nous parlons de matrice génératrice, que nous notons par la suite Λ. En eet en pratique, il estintéressant de réduire le temps de calcul. Or chaque étape de la détermination de la matrice Qnécessite une inversion de matrice pour calculer les (πi(t))i selon la formule 4.12. Par conséquent,supposer la matrice stationnaire permet donc de calculer une seule fois les (πi(t))i. D'autre part,nous ne disposons pas nécessairement de toutes les informations historiques nécessaires au calculde chaque matrice de transition. En eet supposons que nous avons à notre disposition une matricede transition risque-neutre à T années, Q(0, T ), comme il est possible d'en trouver sur certainssites internet 3. La matrice génératrice annuelle Λ est telle que :

Q(0, T ) = exp T · Λ (4.15)

où l'exponentielle de matrice est dénie par

Dénition 4.2 (Exponentielle et logarithme de matrice). Soit A une matrice carrée réelle de tailleK ∈ N, A ∈MK,K . L'exponentielle de matrice exp A est dénie par

exp A =∑k∈N

Ak

k!

et le logarithme, sous certaines conditions 4, ln A par

ln A =∑k∈N∗

(−1)k−1(A− IK)k

k.

Remarque : Le calcul d'une exponentielle de matrice réelle peut être complexe. En eet, le calculd'une puissance de matrice peut s'avérer dicile et demander beaucoup de temps. Pour simplierce calcul de puissance, il est possible d'utiliser la décomposition de Dunford, si elle existe, pourcalculer une exponentielle de matrice. Cette méthode permet de simplier le calcul des puissancesen décomposant une matrice en une somme d'une matrice nilpotente et d'une matrice diagonalequi commutent. Par conséquent le temps de calcul peut potentiellement être réduit.

3. le site de S & P [Poo12b] par exemple4. le logarithme est déni par cette série seulement pour une matrice A susamment proche de l'identité :

||I −A|| < 1 (pour une norme ||.|| bien choisie).

41

Chapitre 4. Spread de crédit

Nous utilisons ainsi le logarithme déni ci-dessus pour calculer la matrice génératrice annuelleΛ, avec

Λ =1

T· ln Q(0;T ) .

Dénition 4.3 (Matrice de transition annuelle). Nous dénissons alors la matrice de transitionQannuelle annuelle comme l'exponentielle de la matrice génératrice

Qannuelle = exp Λ . (4.16)

Dénition 4.4 (Matrice de transition). Nous dénissons alors la matrice de transition Q(t, T ),∀t ∈ J1;T K :

Q(t, T ) = exp (T − t) · Λ . (4.17)

Remarque : Notons que selon la dénition 4.2, il vient bien Q(t, t) = IK .

4.3.5 Dégradation des ratings

En général, il est possible de trouver une matrice de transition risque-neutre (ou plusieurs àdiérents horizons). En eet certaines agences mettent en ligne des matrices de transition pourcertains types d'Actifs. La table 4.5 présente une matrice de transition fournie en annexe d'unarticle de Stantdard and Poors sur les dettes souveraines (voir l'annexe 3 de [Poo11]), avec unhorizon d'un an et pour des données observées sur la période 1975 − 2011. Nous remarquons la

Number AAA AA A BBB BB B CCC/CC D NR

AAA 468 97.23 2.77 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

AA 279 3.23 93.91 2.15 0.00 0.36 0.36 0.00 0.00 0.00

A 299 0.00 4.01 90.97 4.68 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33

BBB 257 0.00 0.00 6.23 89.49 3.50 0.78 0.00 0.00 0.00

BB 316 0.00 0.00 0.00 6.33 87.03 4.75 1.27 0.63 0.00

B 296 0.00 0.00 0.00 0.00 7.77 86.49 3.04 1.69 1.01

CCC/CC 22 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 31.82 31.82 36.36 0.00

D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Table 4.5 Informations initiales sur les probabilités de transition

présence de deux colonnes supplémentaires : la colonne NR pour les dettes qui n'ont pas pu se voir attribuer un rating (par exemplepour un manque d'information comptable). Il faut alors ventiler cette proportion de dettesnon notées, pour obtenir une somme des probabilités de transition égale à 1. Pour cela il estpossible de choisir une répartition selon une clé xée à l'avance, ou bien de renormaliser lesprobabilités de défaut initiales. C'est cette dernière solution que nous choisissons car nousavons à notre disposition un grand nombre d'informations, et par conséquent les probabilitésinitiales sont considérées comme représentatives de la situation réelle ;

la colonne Number qui contient le nombre d'observations sur lequel est calculée la matricede transition.

Nous obtenons ensuite la matrice de transition 4.6, sur laquelle nous allons pouvoir eectuer descalculs. C'est cette matrice qui va nous servir de matrice génératrice pour la suite, puisque c'estune matrice annuelle et que nous allons dans un premier temps chercher à calculer des probabilitésde défaut annuelles.Pour obtenir par exemple la matrice de transition à 5 ans, il sut de prendrela matrice 4.6 à la puissance 5. La matrice de transition à 5 ans ainsi obtenue est dans la table 4.7.Il est alors possible de calculer des probabilités de transition pour tous les horizons.

L'annexe B.3 regroupe les matrices de transition pour certains horizons jusqu'à 50 ans. Commel'explique V. Brunel dans [Bru09], une dégradation des ratings au l du temps est constatée. Eneet, les probabilités de défaut pour un rating donné ont tendance à augmenter avec l'horizon del'étude. Si les bons ratings (AAA, AA, A et BBB) ont une probabilité de défaut croissante et doncdes courbes convexes sur la gure 4.1, les probabilités de défaut des ratings moins bons (BB, B,CCC/CC) sont plus stables, avec des courbes concaves (gure 4.2).

42

4.4. Calcul du spread de crédit

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0.972 0.028 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

AA 0.032 0.939 0.021 0.000 0.004 0.004 0.000 0.000

A 0.000 0.040 0.913 0.047 0.000 0.000 0.000 0.000

BBB 0.000 0.000 0.062 0.895 0.035 0.008 0.000 0.000

BB 0.000 0.000 0.000 0.063 0.870 0.047 0.013 0.006

B 0.000 0.000 0.000 0.000 0.078 0.874 0.031 0.017

CCC/CC 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.318 0.318 0.364

D 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000

Table 4.6 Matrice de transition risque-neutre à horizon 1 an

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 877 0, 116 0, 005 0 0, 001 0, 001 0 0

AA 0, 135 0, 745 0, 080 0, 010 0, 015 0, 014 0, 001 0, 001

A 0, 011 0, 149 0, 662 0, 160 0, 013 0, 004 0 0

BBB 0, 001 0, 019 0, 211 0, 611 0, 113 0, 037 0, 003 0, 005

BB 0 0, 001 0, 028 0, 196 0, 541 0, 160 0, 018 0, 054

B 0 0 0, 002 0, 034 0, 235 0, 572 0, 033 0, 123

CCC/CC 0 0 0 0, 009 0, 091 0, 308 0, 020 0, 572

D 0 0 0 0 0 0 0 1

Table 4.7 Matrice de transition risque-neutre à horizon 5 ans

Figure 4.1 Dégradation des ratings

4.4 Calcul du spread de crédit

Le spread de crédit, ou écart de crédit , correspond à la diérence de taux actuariel entreune obligation soumise à un risque de défaut et une obligation ayant les mêmes ux théoriques,mais sans risque de défaut.

Nous dénissons ici le spread de défaut relatif à une obligation, dans un cadre discret. En eet

43

Chapitre 4. Spread de crédit

Figure 4.2 Dégradation des ratings

il est possible de dénir ce spread dans un cadre plus général, mais l'intérêt est ici de le relier à laprobabilité de défaut et aux ratings étudiés dans la section 4.3, dans le cas discret. Par conséquent,t prend des valeurs dans J1;T − 1K, et le taux de référence est le taux actuariel à compositionannuelle.

Dénition 4.5 (Spread de crédit). Nous dénissons (S(t, T ))t∈J1;T−1K, le spread de crédit en trelatif à un zéro-coupon risqué d'échéance T , avec l'équation suivante

∀t ∈ J1;T − 1K,1

(1 + Y (t, T ) + S(t, T ))T−t = v(t, T ). (4.18)

Le spread de crédit est le montant qu'un acheteur est prêt à payer pour supporter le risque dedéfaut du zéro-coupon. En réécrivant l'équation 4.18, puis en utilisant la propriété 4.1 et le lemme4.1, ainsi que la dénition 3.3 du taux actuariel, nous obtenons l'expression du spread de défautavec les données du problème (pour un état initial Ei).

S(t, T ) =

[(1

1− (1− δ) · qi,K(t, T )

) 1T−t

− 1

]· (1 + Y (t, T )) . (4.19)

En dénissant le taux actuariel Y ∗(t, T ) du zéro-coupon risqué (dans un état Ei) comme

1

(1 + Y ∗(t, T ))T−t= v(t, T )

il vient une dénition plus naturelle du spread de crédit qui est alors plus explicitement un écartde taux actuariels. :

S(t, T ) = Y ∗(t, T )− Y (t, T ). (4.20)

4.5 Exemple de risque-neutralisation de cash-ows

Nous nous plaçons dans le même contexte que pour l'exemple de la sous-section 4.3.5, ande pouvoir utiliser les matrices de transitions calculées précédemment. Supposons que notre por-tefeuille d'Actif contient une obligation risquée (notée BB par les agences de notation) versantles coupons de la table 4.8, avec un taux de recouvrement xe δ = 30%. L'objectif est alors derisque-neutraliser ces cash-ows, an de prendre en compte le risque de crédit de l'obligation.

44

4.5. Exemple de risque-neutralisation de cash-ows

Horizons Coupons Taux sans risque

1 0.75 0.09434

2 0.75 0.34735

3 0.75 0.61446

4 0.75 1.00073

5 0.75 1.39505

6 0.75 1.75581

7 0.75 2.0744

8 0.75 2.3515

9 0.75 2.59057

10 15.75 2.79578

Table 4.8 Cash-ows initaux et taux sans risque

Horizons 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AAA 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0001 0, 0001 0, 0002 0, 0002 0, 0004

AA 0, 0000 0, 0001 0, 0003 0, 0006 0, 0011 0, 0017 0, 0024 0, 0031 0, 0040 0, 0049

A 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0001 0, 0002 0, 0005 0, 0008 0, 0013 0, 0019 0, 0027

BBB 0, 0000 0, 0004 0, 0013 0, 0027 0, 0047 0, 0071 0, 0099 0, 0130 0, 0164 0, 0201

BB 0, 0063 0, 0172 0, 0295 0, 0422 0, 0549 0, 0675 0, 0799 0, 0920 0, 1039 0, 1154

B 0, 0171 0, 0436 0, 0714 0, 0981 0, 1232 0, 1466 0, 1684 0, 1888 0, 2079 0, 2258

CCC/CC 0, 3636 0, 4847 0, 5317 0, 5555 0, 5716 0, 5847 0, 5963 0, 6069 0, 6168 0, 6260

D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Table 4.9 Probabilité de défaut en fonction des ratings initiaux

Dans la table 4.9 sont regroupés les vecteurs (qi,K(0, T ))i, qui seront utiles pour calculer lesspreads. En eet il sut alors d'utiliser l'expression du spread 4.19, ce qui permet d'obtenir latable 4.10 (jusqu'à horizon 10 ans) et la gure 4.3 (jusqu'à horizon 50 ans).

Figure 4.3 Evolution des spreads avec l'horizon

45

Chapitre 4. Spread de crédit

Les courbes de cette gure 4.3 sont croissantes jusqu'au rating BBB, puis décroissante à partird'un certain horizon pour le rating BB (les mauvais ratings ont tous cette même tendance). Cesvariations sont directement liées à la dégradation des ratings présentés à la sous-section 4.3.5. Eneet lorsque l'horizon augmente, nous avons constaté une augmentation convexe (pour les bonsratings). Cette augmentation convexe est susamment importante pour compenser la baisse de lapuissance (dû à l'augmentation de l'horizon) dans la formule 4.19. Inversement, la faible croissanceconcave des mauvais ratings ne sut pas à compenser cette augmentation de l'horizon, ce quiexplique, après une forte croissance lors des 10 premiers horizons, une diminution du spread surles horizons suivants.

Horizons 1 5 10 15 20 30 50

AAA 0, 0000 0, 0004 0, 0025 0, 0060 0, 0102 0, 0199 0, 0403

AA 0, 0000 0, 0158 0, 0355 0, 0509 0, 0632 0, 0821 0, 1072

A 0, 0000 0, 0033 0, 0195 0, 0418 0, 0649 0, 1051 0, 1551

BBB 0, 0000 0, 0666 0, 1455 0, 2004 0, 2374 0, 2791 0, 3035

BB 0, 4433 0, 7982 0, 8697 0, 8700 0, 8469 0, 7810 0, 6575

B 1, 2107 1, 8455 1, 7838 1, 6448 1, 5096 1, 2849 0, 9856

CCC/CC 34, 1740 10, 9112 6, 1017 4, 4055 3, 5024 2, 5274 1, 6587

Table 4.10 Spreads de crédit à diérents horizons

Par ailleurs, l'expression de la probabilité de défaut de la table 4.9 permet aussi de calculer lavaleur du coupon espérée. En eet, il sut de corriger le ux à venir avec l'expression 4.3. Ce calculpermet d'obtenir les ux espérés de la table B.11 en annexe B.4. Ces ux sont corrigés, de façonà tenir compte du défaut éventuel. Plus le risque de défaut est important (et le rating mauvais),plus la prise en compte de ce risque fait baisser la valeur du ux espéré, ce qui est cohérent.

La table 4.11 est un extrait de la table B.11 de l'annexe B.4, pour le rating BB.

Horizons Coupon initial Coupon corrigé

1 0, 75 0, 7467

2 0, 75 0, 7410

3 0, 75 0, 7345

4 0, 75 0, 7278

5 0, 75 0, 7212

6 0, 75 0, 7146

7 0, 75 0, 7081

8 0, 75 0, 7017

9 0, 75 0, 6955

10 15, 75 15, 5288

Table 4.11 Risque-neutralisationdes coupons BB

Conclusion

En conclusion de ce chapitre, nous faisons remarquer la facilité d'utilisation du modèle deJarrow, Lando et Turnbull (1997). Il permet en eet de risque-neutraliser rapidement les cash-

46

4.5. Exemple de risque-neutralisation de cash-ows

ows des obligations, en utilisant des matrices de transition risque-neutres disponibles sur certainssites internet. Ce modèle de défaut permet donc, à partir de cash-ows risqués, d'une note initialeet d'une matrice de transition, de donner le spread de crédit à tout instant pour un horizon donné.Cette méthode est aujourd'hui très utilisée dans les entreprises d'assurance pour fournir rapidementune bonne approximation des spreads de défaut.

Pour revenir au taux d'actualisation que nous étudions, ce développement de la méthode deJarrow, Lando et Turnbull (1997) nous permettra de risque-neutraliser les cash-ows, an decalculer la Matching Premium au chapitre 5.

47

Chapitre 4. Spread de crédit

48

Chapitre 5

Taux d'actualisation

Dans ce chapitre, nous allons étudier le taux d'actualisation des ux du Passif dans le calculdu Best Estimate. Nous commençons par donner la dénition mathématique du Best Estimate.

Dénition 5.1 (Best Estimate). Nous dénissons le Best Estimate (ou Best Estimate of Liabi-lities) comme la somme des ux risque-neutralisés et actualisés avec un taux d'actualisation it

BEL =∑t

FRNt(1 + it)t

. (5.1)

Le rôle du taux d'actualisation dans le calcul du Best Estimate est central : c'est un tauxpériodique qui intervient pour les ux de chaque maturité. Par conséquent, le choix du taux d'ac-tualisation est très important. Nous présentons les trois solutions envisagées dans la directiveOmnibus 2. Une étude de la Prime d'Illiquidité permet de comprendre pourquoi elle n'est pas unebonne solution. Nous étudions ensuite deux autres solutions envisagées : la Prime Contracycliqueet le Matching Adjustment.

5.1 Prime d'Illiquidité

La Prime d'Illiquidité était initialement prévue comme prime de complément au taux sans risquepour l'actualisation des ux probables dans le calcul du Best Estimate. Nous proposons ici unemodélisation de cette Prime d'Illiquidité. Dans un premier temps, nous présentons une modélisationdu taux d'actualisation issue de [BFW10], puis nous détaillons l'impact de l'utilisation d'une Primed'Illiquidité à partir d'un article de M. V. Wütrich intitulé An academic view on the illiquiditypremium and market-consistent valuation in insurance (cf. [Wü11]).

5.1.1 Décomposition du déateur

Dans [BFW10], M. V. Wütrich et coll. proposent une décomposition du déateur (introduit ensection 3.1.3) sur la base de deux composantes :

le déateur global de marché sur la période [0, t], noté ψt ; la distortion idiosyncratique de chaque période, notée (χu)u∈J0;tK qui traduit les variationssur une période. Il parait alors logique d'imposer : ∀t, E[χt] = 1

χt ⊥ σFt−1, ψ

Le déateur s'exprime alors comme un produit de ces composantes :

D(t) = ψt

t∏u=0

χu. (5.2)

49

Chapitre 5. Taux d'actualisation

Propriété 5.1 (Expression du prix du zéro-coupon). Le prix en t du zéro-coupon sans risqued'échéance T s'exprime de la façon suivante :

P (t, T ) =1

ψtEQ[ψT |Ft]. (5.3)

Preuve. Nous calculons en plusieurs étapes de prix du zéro-coupon en utilisant la décompositionprécédente :

P (t, T ) =1

D(t)EQ[D(T )|Ft]

=1

D(t)EQ

[ψT

T∏u=0

χu|Ft

]

=1

ψtEQ

[EQ

[ψT

T∏u=t+1

χu|FT−1, σψu, u ≤ T

]|Ft

]

=1

ψtEQ

[ψT

T−1∏u=0

χuEQ [χT ] |Ft

]car χT ⊥ FT−1, σψu, u ≤ T.

Il sut de ré-itérer cette opération T − t− 1 fois pour obtenir la relation recherchée.

Le prix du zéro-coupon est donc déterminé par le seul processus ψ. Il est donc indépendant duprocessus χ qui est utilisé plus loin pour traduire l'illiquidité.

5.1.2 Zéro-coupon risqué

Nous utilisons par la suite le processus (Nt)t présenté au chapitre 4, dont nous rappelons ladénition ici.

Dénition 5.2 (Processus de défaut). Nous appelons processus de défaut et notons (Nt)t le pro-cessus Ft adapté

Nt =

0 si le defaut a lieu sur [0, t]

1 si le defaut n'a pas lieu sur [0, t]

Par ailleurs, nous notons ψ = σ ψt, t et admettons l'existence de deux constantes p ∈]0;∞[et πil ∈ [0;∞[, telles que EQ[Nt|Ft−1, ψ] = Nt−1

1+p

EQ[Nt · χt|Ft−1, ψ] = Nt−1

(1+p)(1+πil)

La constante p peut être assimilée à une probabilité de défaut sur une période, sachant qu'il n'ya pas eu de défaut sur la période précédente. Elle est équivalente à une composante de défaut, etsi nous reprenons les notations de la section 4.3, cela revient à supposer la probabilité de défautd'une période sur l'autre Q (τ > t|Ft−1) constante dans le temps, et à écrire

1

1 + p= 1− (1− δ)Q (τ < t|Ft−1) .

La constante πil correspond à la liquidité de l'obligation sur le marché. En eet, si πil = 0,l'obligation est considérée comme liquide. Si πil > 0, χt et Nt sont négativement corrélés.

Notons enn que nous choisissons un terme d'illiquidité multiplicatif, et non additif, poursimplier les calculs. Cette dénition pourrait très bien se ré-écrire avec un terme πil venants'ajouter à p.

C'est dans ce contexte que nous ré-introduisons le zéro-coupon risqué au sens du risque dedéfaut et du risque d'illiquidité, similaire à celui détaillé au chapitre 4.

50

5.1. Prime d'Illiquidité

Propriété 5.2 (Prix du zéro-coupon risqué). ∀t ≤ T , le prix du zéro-coupon risqué s'exprime avecla formule suivante :

v(t, T ) =P (t, T )

(1 + πil)T−t(1 + p)T−t. (5.4)

Démonstration. Le calcul est similaire à celui du zéro-coupon non-risqué.

v(t, T ) = EQ[D(T )

D(t)·NT |Ft]

=1

ψtEQ[ψT

T∏u=t+1

χu ·NT |Ft]

=1

ψtEQ

[EQ

[ψT

T∏u=t+1

χu ·NT |FT−1, ψ

]|Ft

]

=1

ψtEQ

[ψT

T−1∏u=0

χuEQ [χT ·NT |FT−1, ψ] |Ft

]

=1

(1 + πil)(1 + p)· 1

ψt· EQ

[ψT

T−1∏u=0

χuNT−1|Ft

].

Ce qui donne le résultat en ré-itérant cette méthode T − t− 1 fois.

Remarque : De la même façon, il est possible d'exprimer le prix en t d'un zéro-coupon risquéd'horizon T sachant l'absence de défaut jusqu'à la date k ≤ t ≤ T , que nous notons v(k)(t, T ) :

v(k)(t, T ) =P (t, T ) ·N (k)

t

(1 + πil)T−t(1 + p)T−t. (5.5)

où N (k)t correspond à l'évènement pas de défaut avant t |Nk = 1.

5.1.3 Étude du Bilan sans Prime d'Illiquidité

Nous étudions le Bilan d'une compagnie qui comporte un Passif ayant un unique ux probableà couvrir (1 en t = 2), et une prime unique Π en t = 0. Nous notons (At)t la valeur de l'Actif, et(BELt)t le Best Estimate en t.

Dans un premier temps, nous pouvons écrire les valeurs des Passifs en tout t, sachant que nousn'utilisons pas de Prime d'Illiquidité dans un premier temps :

BEL0 = P (0, 2)

BEL1 = P (1, 2)

BEL2 = 1

∀t > 2, BELt = 0

Pour se couvrir, la compagnie achète un zéro-coupon sur un marché grâce à la prime initialedu contrat, Π. Ce zéro-coupon est donc risqué, et de valeur BEL0 pour respecter l'équilibre Ac-tif/Passif du Bilan. Nous avons donc

Π = A0 = P (0, 2) = v(0, 2)(1 + πil)2(1 + p)2.

À l'instant précédent 1, que nous notons 1−, l'Actif est donc valorisé selon l'expression suivante,

A1− = v(1−, 2)(1 + πil)2(1 + p)2

dans laquelle il est nécessaire d'introduire le terme N1 qui traduit l'absence de défaut de l'Actifsur [0; 1]. En eet si la compagnie constate un défaut avant t = 1, il faut alors qu'elle réinvestisse

51

Chapitre 5. Taux d'actualisation

BEL1 pour équilibrer le Bilan. Supposons que c'est chose faite en cas de défaut, il est alors possiblede fournir l'expression en t = 1 de l'Actif :

A1 = N1 ·(v(1, 2)(1 + πil)

2(1 + p)2)

= N1 · P (1, 2)(1 + πil)(1 + p).

De la même façon, nous pouvons écrire l'expression de la valeur de l'Actif en t = 2 en partant dela valeur en t = 0 :

A2 = N(1)2 (1 + πil)(1 + p).

En notant Ct = At −BELt la balance du Bilan, nous avons alorsC0 = 0

C1 = (1 + p)(1 + πil) ·N1 − 1P (1, 2)

C2 = (1 + p)(1 + πil) ·N (1)2 − 1

Il est alors possible d'obtenir les diérences de ux espérés :EQ [C0] = 0

EQ [C1] = πil · P (1, 2)

EQ [C2] = πil

oùEQ [C0] = 0, EQ [C1] ≥ 0, EQ [C2] ≥ 0.

Pour πil = 0, nous retrouvons bien des ux espérés nuls, ce qui est cohérent dans un marché alorsliquide. Lorsque les ux sont positifs, ils traduisent le risque d'illiquidité qui est pris en comptedans l'obligation utilisée comme Actif de couverture. Notons enn que sous AOA, les ux vérientl'équation suivante :

EQ

[2∑t=0

D(t)Ct

]= 0. (5.6)

5.1.4 Étude du Bilan avec une Prime d'Illiquidité

Nous utilisons maintenant la Prime d'Illiquidité pour actualiser les Passifs, en partant toujoursd'un contrat versant 1 en t = 2, pour une prime unique initiale Π.

Les Best Estimates en t = 0 et t = 1 sont modiés par la présence de la Prime d'Illiquidité. Ilvalent alors

BELil0 = P (0,2)(1+πil)2

BELil1 = P (1,2)(1+πil)

BELil2 = 1

De la même façon, il est possible de calculer les valeurs probables des Actifs. La valeur des Actifsen t = 0 est la même que celle des Passifs :

Ail0 = (1 + p)2 · v(0, 2).

Comme pour le cas initial, nous pouvons écrire :

Ail1− = (1 + p)2 · v(1, 2)

et donc

Ail1 =(1 + p)

(1 + πil)· P (1, 2) ·N1

52

5.1. Prime d'Illiquidité

etAil2 = (1 + p)2 · v(1)(2, 2)

=1

(1 + πil)2·N (1)

2 .

Or le montant de la prime initiale n'a pas changé. Par conséquent, c'est ce montant qui est prisen compte dans le Bilan en t = 0, pour valoriser l'Actif dans le Bilan. Il vient donc

Cil0 = Π−BELil0

= P (0, 2)− P (0, 2)

(1 + πil)2

=π2il + 2πil

(1 + πil)2· P (0, 2)

et donc Cil0 =

π2il+2πil

(1+πil)2

Cil1 = (1 + p)N1 − 1 P (1,2)(1+πil)

Cil2 =N

(2)2

(1+πil)− 1

Nous pouvons calculer la balance Actif/Passif du Bilan avec la Prime d'Illiquidité :

EQ[Cil0]

=π2il + 2πil

(1 + πil)2· P (0, 2) ≥ 0, EQ

[Cil1]

= 0, EQ[Cil2]

= 0

et comme nous travaillons sous AOA, nous avons :

EQ

[2∑t=0

D(t)Cilt

]= EQ

[Cil0]

+ EQ

[2∑t=1

D(t)Cilt

]= 0. (5.7)

Les gains observés en t = 1 et t = 2 sont en quelque sorte décalés en t = 0, et ils apparaissentdans le Bilan en tant que Fonds Propres. La compagnie est autorisée à consommer ces FondsPropres pour une autre utilisation, car cela ne fausse pas son Bilan en t = 0. Si la compagnieconsomme ces Fonds Propres en t = 0, nous avons alors

Cil0 = Cil0 −π2il + 2πil

(1 + πil)2· P (0, 2) = 0.

La balance globale sur les trois périodes concernant le contrat évoqué ici est alors négative :

EQ

[Cil0 +

2∑t=1

D(t)Cilt

]= −π

2il + 2πil

(1 + πil)2· P (0, 2).

Par conséquent, la solvabilité de la compagnie n'est plus assurée pour les dates suivantes.

5.1.5 Utilité de la Prime d'Illiquidité

En résumé, l'introduction d'une Prime d'Illiquidité dans l'actualisation des ux pour le calculdu Best Estimate évite une sur-évaluation des Provisions Techniques et une sous-évaluation desFonds Propres. Si le Bilan est bien équilibré, une telle situation ne permet pas de garantir lasolvabilité future de la compagnie, en cas de consommation de ces Fonds Propres.

La modélisation précédente permet de montrer que l'introduction d'une Prime d'illiquiditéau Passif pose problème, puisque lorsqu'elle est utilisée, la Prime d'Illiquidité fausse le Bilan ent = 0, ce qui peut améner la compagnie à de l'insolvabilité dans le futur. C'est l'avis d'une grandepartie des acteurs de la professions, c'est pourquoi la Prime d'illiquidité 1 a été abandonnée par leslégislateurs.

La directive Omnibus 2 propose de la remplacer par la Prime Contracyclique que nous avonsintroduite plus haut, et que nous étudions à la section suivante.

1. dont la dénition était : πil = 50% ·max (Sref − 40bp, 0) où Sref est le spread de marché d'un portefeuille deréférence.

53

Chapitre 5. Taux d'actualisation

5.2 Prime Contracyclique

La solution proposée par l'EIOPA pour résoudre ce problème est toujours d'introduire uneprime, mais cette fois-ci de façon temporaire. La Prime Contracyclique est ainsi introduite sur lemême principe que la Prime d'Illiquidité mais elle est activée uniquement dans un contexte decrise, comme indiqué dans la section 2.2.

Nous synthétisons ici les informations techniques à ce propos. La littérature concernant la PrimeContracyclique n'est pas très fournie, car la mesure est récente.

5.2.1 Expression de calcul

Il n'existe pas aujourd'hui (à la date de rédaction de ce mémoire) de formule ocielle de calculde la Prime Contracyclique. Selon les textes, elle est évaluée comme une proportion du spreadentre le rendement du portefeuille d'Actifs représentatifs et le taux d'intérêt sans risque .

Notons que la formule proposée pour la prime d'illiquidité dans le cadre du QIS 5 vérie cettedénition :

πil = 50% ·max (Sref − 40bp, 0) .

où Sref est le spread d'un portefeuille de référence.

Néanmoins, il est raisonnable de penser que cette Prime Contracyclique s'exprimera commeune proportion du spread observé sur les marchés. Nous utilisons donc la formule suivante pourévaluer la Prime Contracyclique.

Dénition 5.3 (Prime Contracyclique). Nous dénissons la Prime Contracyclique comme laproportion de spread suivante :

πcc = 50% woblig ·max (Soblig, 0) + wactions ·max (Sactions, 0) (5.8)

où Soblig et woblig sont respectivement le spread de marché et la proportion d'obligations dans leportefeuille de référence, et Sactions et wactions ceux des actions.

5.2.2 Utilité de la Prime Contracyclique

Supposons que le prix de l'Actif baisse sur le marché, à la suite d'un choc ou d'une situa-tion stressée. Une augmentation du taux de marché est observée. Selon les scénarios favorable oudéfavorable comme sur la gure 5.1.

Observons les deux possibilités qui se présentent : soit l'EIOPA peut considérer que la situationnécessite l'application de la Prime Contracyclique, auquel cas cette dernière viendrait s'ajouter autaux sans risque dans le calcul du taux d'actualisation des passifs. Le taux d'actualisation est alorscomposé de la somme du taux sans risque et de la Prime Contracyclique, qui découle directement dutaux de marché. L'ajout de la Prime Contracyclique au taux d'actualisation permet de compenserla baisse temporaire, et due au stress du marché, de la valeur des Actifs. Or, au moment où lasituation redevient plus calme, c'est à dire lorsque les spreads d'illiquidité et de crédit inattendubaissent, les valeurs de marché des Actifs augmentent. Alors le Best Estimate augmente avec lavaleur des Actifs dans le Bilan et la situation tend vers la donne initiale. L'EIOPA décide alors desuspendre l'utilisation de la Prime Contracyclique.

Soit l'EIOPA décide de ne pas utiliser la Prime Contracyclique, alors l'évaluation des passifsne change pas, et la couverture peut devenir insusante. Si cette insusance n'est que temporaireet peut amener les assureurs à modier la composition des portefeuilles d'Actifs en conséquence,elle créé potentiellement un cycle baissier.

54

5.3. Matching Adjustment

Actifsg(valeurgdegmarché)

Autresgactifs

FondsgPropresgéconomiquesg(dontgSCR)

BestgEsimategg

Autresgpassifs

Margegpourgrisquegg

Scénario Initial

Actifsg(valeurgdegmarché)

Autresgactifs

BestgEsimategg

Autresgpassifs

Margegpourgrisquegg

Scénario choqué sans PCC

Actifsg(valeurgdegmarché)

Autresgactifs

BestgEsimategg

Autresgpassifs

Margegpourgrisquegg

Scénario choqué avec PCC

FondsgPropresgéconomiquesg(dontgSCR)

FondsgPropresgéconomiquesg(dontgSCR)

Figure 5.1 Évolution des Bilan, avec et sans la Prime Contracyclique

5.3 Matching Adjustment

5.3.1 Calcul de Matching Premium

Taux actuariel

Dénition 5.4 (Taux actuariel). Soit un produit nancier ou un contrat d'assurance valorisé àun prix P et fournissant les ux espérés (Ft)t∈I sur un intervalle de temps I. Nous appelons tauxactuariel et notons TA le taux discret constant tel que∑

t∈I

Ft(1 + TA)t

= P. (5.9)

Nous insistons sur le caractère constant du taux actuariel : c'est un taux discret constant d'unepériode sur l'autre, et ce pendant toute la durée de l'étude, jusqu'au dernier cash-ow.

Dans le cas général, il n'existe pas de formule fermée pour calculer le taux actuariel. Il est doncnécessaire d'estimer ce taux d'actualisation avec une méthode d'estimation.

La fonction TRI (pour Taux de Rentabilité Interne) d'Excel permet de calculer cette valeur.A l'aide d'une valeur initiale (qui est demandée en entrée de la fonction TRI, ou par défaut 0.1),cette fonction fourni une valeur à 10−5 près, ce qui est tout a fait satisfaisant pour notre étude.Remarque : Il est aussi possible de dénir le taux actuariel d'un portefeuille d'Actifs. En notant,pour tout Actif a du portefeuille P, les ux (F at )t∈I,a∈P et les prix de marchés (P a)a∈P . Alors letaux actuariel global du portefeuille TPA est déni par

∑a∈P

∑t∈I

F at(1 + TPA )t

=∑a∈P

P a

où en notant les ux totaux du portefeuille en t,

FPt =∑a∈P

F at

55

Chapitre 5. Taux d'actualisation

et le prix total du portefeuille observé sur les marchés

PP =∑a∈P

P a.

Il est possible d'obtenir une formule similaire à la formule 5.9 :∑t∈I

FPt(1 + TPA )t

= PP .

Formule de calcul

Pour le calcul de la Matching Premium, c'est l'approche Top down qui est utilisée. La MatchingPremium se dénit comme la diérence entre le taux actuariel relatif à l'Actif et le taux actuarielrelatif au passif.

Nous posons T l'horizon global des cash-ows, à savoir la date du dernier ux espéré, et lesformules suivantes sont vraies pour un Actif seul, ou pour un portefeuille d'Actif.

Taux actuariel de l'Actif Le taux actuariel T aA permettant d'égaliser la valeur de marchédes Actifs, que nous notons Pm(0, T ), et la valeur actuelle nette des cash-ows des Actifs, aprèsdéduction de l'impact du défaut. Nous reprenons pour cela les notations de la section 4.2.4, oùFRNt est le ux risque-neutralisé en t de l'obligation. T aA est déni par l'équation 5.10.

Dénition 5.5 (Taux actuariel d'une obligation).

T∑t=0

FRNt(1 + T aA)t

= Pm(0, T ). (5.10)

Taux actuariel du passif Le taux actuariel T pA périodique permettant d'égaliser le Best Esti-mate des ux du passif, calculé sur la base de la courbe des taux sans risque (Y (0, t))t et la valeuractuelle nette des cash-ows du passif. T pA est déni par l'équation 5.11.

Dénition 5.6 (Taux actuariel du Best Estimate).

T∑t=0

FRNt(1 + T pA)t

=

T∑t=0

FRNt(1 + Y (0, t))t

(5.11)

où FRNt est le ux risque-neutralisé des passifs (à priori égal à ceux des Actifs, puisqu'on est dansun cas d'application du Matching Adjustement).

Matching Premium

Dénition 5.7. Nous appelons Matching Premium et notons πA la diérence entre le taux ac-tuariel de l'Actif et le taux actuariel du passif :

πA = T aA − TpA. (5.12)

5.3.2 Taux d'actualisation pour des Actifs en gestion HTM

Dans les cas d'application du Matchng Adjustment (précisés à la section2.3.2), il est alorspossible d'exprimer le taux d'actualisation des ux du passif pour constituer le Best Estimate.Supposons que nous nous trouvons avec des engagements d'assurance qui entrent dans le cadred'application du Matching Adjustment, comme par exemple des contrats de rentes. Les ux sontprévisibles. Supposons que l'on possède une couverture d'Actifs, dont les ux risques-neutraliséscorrespondent à ceux des engagements d'assurance, pour chaque maturité. Il est alors possible dedénir le taux d'actualisation des passifs.

56

5.3. Matching Adjustment

Dénition 5.8 (Taux d'actualisation dans les cas d'application du Matching Adjustment). Nousappelons taux d'actualisation et notons it la somme du taux sans risque et de la Matching Premium,

it = Y (0, t) + πA. (5.13)

Cette dénition revient à ré-hausser la courbe des taux sans risques pour constituer la courbedes taux d'actualisation. La valeur de l'écart, qui est laMatching Premium, dépend de la nature desActifs du portefeuille, et particulièrement du risque de crédit qu'il comporte. Avec cette expressiondu taux d'actualisation, il est alors possible d'écrire le Best Estimate, toujours dans le cas bienspécique d'application de la Matching Premium, avec ce nouveau taux d'actualisation :

BEL =∑t

FRNt(1 + Y (0, t) + πA)t

. (5.14)

5.3.3 Exemple de calcul d'une Matching Premium

An d'illustrer cette dénition de Matching Adjustment, nous nous proposons d'étudier unexemple de calcul d'un taux d'actualisation pour un portefeuille d'Actif en gestion HTM en cou-verture de passifs d'assurance. Nous considérons un passif d'une compagnie d'assurance qui satisfaitaux hypothèses de la Matching Premium. Les taux actuariels présentés ci-dessus sont calculés suc-cessivement : le taux de défaut attendu (qui amène un certain taux de recouvrement possible) estcalculé en premier, puis nous explicitons le taux actuariel de l'Actif. Enn nous travaillons surle Passif pour obtenir le taux actuariel du Best Estimate qui permet de conclure en donnant laMatching Premium.

Cet exemple de calcul fournit aussi un exemple de décomposition du taux à utiliser pourl'actualisation des passifs. Pour simplier, nous partons d'un portefeuille d'Actif, et nous supposonsensuite les ux d'assurance identiques aux ux risque-neutralisés. En pratique, le processus estinverse : la compagnie possède un passif d'assurance, avec des ux à couvrir. Il suit alors unerecherche d'Actifs de couverture, ayant les mêmes ux espérés après risque-neutralisation.

Portefeuille d'Actif

Le portefeuille d'Actifs P (qui satisfait aux conditions d'application du Matching Adjustment)est composé de trois types d'obligation d'État. An de satisfaire aux conditions d'applicationdu Matching Adjustement, nous préférons choisir des obligations d'État, dont la note initiale estsupérieure à BBB.

un Actif A qui est un bon du trésor allemand, d'échéance 12 ans et dont les ux, avant la correction due à la probabilité de défaut, sont regroupés dans le tableau 5.1. Cet Actif estnoté AAA par l'agence Standard & Poor's ;

un Actif B qui est un bon du trésor français, d'échéance 5 ans et dont les ux, avant la correction due à la probabilité de défaut, sont regroupés dans le tableau 5.1. Cet Actif estnoté AA par l'agence Standard & Poor's ;

un Actif C qui est un bon du trésor irlandais, d'échéance 10 ans, et dont les ux avant la correction due à la probabilité de défaut, sont regroupés dans le tableau 5.1. Cet Actif estnoté BBB par l'agence Standard & Poor's ;

Taux actuariel du portefeuille d'Actifs P

Pour calculer les ux espérés, il faut prendre en compte la probabilité de défaut attendue desActifs, qui dépend de la maturité de chaque ux, de la notation attribuée à l'Actif et du taux derecouvrement (que nous prenons constant égal à 30%). Ces probabilités de défaut, calculées avecla même méthode que dans l'exemple de la section 4.5 sont regroupées dans la table 5.2. En eetpour un ux initial Finit, les équations 4.3 permettent de calculer les ux espérés en tenant comptedu risque de défaut.

La risque-neutralisation des cash-ows permet d'obtenir la table 5.3, comme dans l'exemplede la section 4.5. Les cash-ows ainsi calculés vont servir de base au calcul du taux actuariel desActifs. C'est avec l'avant-dernière colonne de cette table 5.3 que l'on calcule le taux actuariel du

57

Chapitre 5. Taux d'actualisation

Date t Actif A Actif B Actif C1 0.75 1.60 1

2 0.75 1.60 1

3 0.75 1.60 1

4 0.75 1.60 1

5 0.75 33.67 1

6 0.75 − 1

7 0.75 − 1

8 0.75 − 1

9 0.75 − 1

10 0.75 − 21

11 0.75 − −12 15.75 − −

Prix de marché 13 33 19.75

Émetteur Allemagne France Irlande

Notation S&P AAA AA BBB

Table 5.1 Flux des Actifs avant la prise en compte du défaut

Horizons AAA AA BBB1 0.0000 0.0000 0.00002 0.0000 0.0001 0.00043 0.0000 0.0003 0.00134 0.0000 0.0006 0.00275 0.0000 0.0011 0.00476 0.0001 − 0.00717 0.0001 − 0.00998 0.0002 − 0.01309 0.0002 − 0.016410 0.0004 − 0.020111 0.0005 − −12 0.0006 − −

Table 5.2 Probabilités de défaut utiles à notre exemple

portefeuille d'Actifs P, avec la formule 5.10.

T aA = 4.644%.

Taux actuariel relatif au passif

Pour calculer la valeur actualisée du passif, il est nécessaire de connaitre : les ux risque-neutralisés, avant-dernière colonne de la table 5.3 ; la courbe des taux sans risque de base (cf table A.1 de l'annexe A.1) qui va permettred'actualiser ces ux.

Une fois calculé le Best Estimate sans Matching Adjustment, grâce aux valeurs de la dernièrecolonne de la table 5.3 qui est extraite de la table C.1 en annexe C, il est reste à en déduire le tauxactuariel du passif, avec la formule 5.11 :

BEL =

T∑t=0

FRNt(1 + Y (0, t))t

= 81.716,

T pA = 2.83138%. (5.15)

58

5.3. Matching Adjustment

Horizons Actif A Actif B Actif C Total Total actualisé1 0, 75 1, 60 1, 20 3, 5500 3.547

2 0, 75 1, 5999 1, 1997 3, 5496 3.525

3 0, 75 1, 5997 1, 1989 3, 5486 3.408

4 0, 75 1, 5993 1, 1977 3, 5470 3.408

5 0, 75 33, 6438 1, 1961 35, 5898 33.208

6 0, 75 − 1, 1940 1, 9440 1.751

7 0, 7499 − 1, 1917 1, 9416 1.682

8 0, 7499 − 1, 1891 1, 9390 1.610

9 0, 7499 − 1, 1862 1, 9361 1.538

10 0, 7498 − 21, 0304 21, 7802 16.531

11 0, 7497 − − 0, 7497 0.543

12 15, 7431 − − 15, 7431 10.888

Taux actuariel 6.644% 4.316% 3.501% 4.644% −Valeurs de marché 13 33 24 70 −

Table 5.3 Flux risque-neutralisés

Matching Premium

Avec les taux actuariels calculés précédemment, nous sommes en mesure de fournir la MatchingPremium de ce portefeuille, qui est la diérence entre ces deux taux :

πA = T aA − T bA = 2, 3570%.

Taux d'actualisation en utilisant le Matching Adjustment

La Matching Premium s'ajoute pour toutes les maturités de la courbe des taux sans risque (icisur 12 ans) pour obtenir la courbe des taux d'actualisation, dont les valeurs sont regroupées dansle tableau 5.4. Le calcul du taux d'actualisation de la table 5.4 permet donc de calculer le nouveau

Maturités Taux sans risque Y (0, t) Taux d'actualisation it1 0, 09434 2, 45134

2 0, 34735 2, 70435

3 0, 61446 2, 97146

4 1, 00073 3, 35773

5 1, 39505 3, 75205

6 1, 75581 4, 11281

7 2, 0744 4, 43140

8 2, 3515 4, 70850

9 2, 59057 4, 94757

10 2, 79578 5, 15278

11 2, 9712 5, 32820

12 3, 12061 5, 47761

Table 5.4 Taux d'actualisation

Best Estimate avec l'application du Matching Adjustment.

BEL =

12∑t=1

FRN

(1 + it)t= 70, 251.

Le Best Estimate vaut 70, 251 avec la Matching Premium, quand elle valait 81.72 sans. CetteMatching Premium permet donc bien de rééquilibrer la valeur du passif pour la rapprocher de lavaleur de marché de l'Actif, qui est de 70.

59

Chapitre 5. Taux d'actualisation

Concept Solvabilité II Solvabilité II + MP

Actifs 70 70

Best Estimate 81.716 70.125

Diérence −11.716 0.125

Table 5.5 Résultats

Conclusion

Les résultats regroupés dans la table 5.5 traduisent bien l'eet de la Matching Premium sur leBest Estimate. Dans le cas de notre exemple (pour lequel la valeur retenue de l'Actif est plus faibleque celle du Best Estimate initial), l'application de la Matching Premium permet de diminuerle Best Estimate qui se rapproche de la valeur retenue des Actifs. Par conséquent, l'allocationActif/passif en question ne nécessite pas d'allocation supplémentaire pour gérer des Actifs engestion HTM, ce qui conrme l'intérêt duMatching Adjustment.

L'intérêt de la Matching Premium est bien traduit lorsqu'on se place en temps de crise ou dechoc.

60

Troisième partie

Application à la mise en place dubilan économique

61

Chapitre 6

Méthodes de calcul

Les deux premières parties de ce mémoire ont permis de poser le contexte règlementaire et dedénir les diérentes composantes du taux d'actualisation. L'introduction d'une Prime Contra-cyclique au taux d'actualisation entraine des impacts très importants en terme d'allocation Ac-tif/Passif. Comme nous l'avons précisé plus haut, cette prime permet de diminuer la valeur deretenue des Passifs dans le Bilan, dans des cas de marchés stressés.

6.1 Modèle Interne

6.1.1 Modèle Interne vs. Formule Standard

Le nouveau référentiel règlementaire Solvabilité II ore aux compagnies d'assurance trois pos-sibilités de prise en compte des risques : la Formule Standard et le Modèle Interne qui peut êtrepartiel ou total. La Formule Standard est la méthode la moins complexe à mettre en place, car elleest basée sur des calculs simpliés reposant sur des paramètres xes, elle demande donc moins dejustication. Elle permet d'établir un besoin en capital.

Le Modèle Interne demande une évaluation plus précise des risques pris en compte par une so-ciété d'assurance. Il se base sur des simulations et des modélisations stochastiques, qui permettentd'obtenir la distribution des risques la plus probable . L'objectif est d'éviter le caractère forfai-taire voir arbitraire de la Formule Standard. Il peut être partiel (par exemple sur un domaine decompétence particulier) ou intégral.

6.1.2 Prophet/ALS

C'est dans ce contexte que certaines grandes compagnies commercialisant des produits d'assu-rance ont développé (ou fait développer) des Modèles Internes, c'est à dire un outil informatique detraitement de données et de calcul, et tous les systèmes d'alimentation correspondants. Au-delà del'aspect règlementaire, ces modèles permettent de prendre en compte les risques propres à chaqueportefeuille d'assurance et assurer ainsi un suivi de l'évolution et de la rentabilité des contrats.Ainsi les outils iWorks Prophet, commercialisé par SunGard, ou encore MoSes de Towers Watson

sont deux des logiciels informatiques utilisés à cet eet.L'outil à disposition pour cette étude est Prophet. Chaque contrat est considéré comme isolé.

Nous disposons donc de données sur les volumes (nombre de contrats, montant des primes,...) quenous pouvons modier dans un souci de condentialité. L'évolution du contrat dans les annéesà venir est modélisée par Prophet, et des hypothèses techniques permettent ensuite le calcul desdiérents éléments du Compte de Résultat et du Bilan. Les principes de calcul d'un Modèle Internesont détaillés dans [Rev10].

Nous utilisons par la suite un des résultats en sortie d'un modèle Prophet/ALS : les cash-ows.En eet un Modèle Interne permet le calcul des cash-ows annuels prévus, en tenant compte desdiérentes normes comptables et des hypothèses retenues.

63

Chapitre 6. Méthodes de calcul

6.1.3 Market-Consistent Embedded Value

Par ailleurs, nous travaillons dans une logique MCEV (Market-Consistent Embedded Value),évoquée elle aussi dans le premier chapitre de [Rev10], et détaillée dans [Kro09]. En eet, le ModèleInterne mis à disposition dans le cadre de cette étude est utilisé pour calculer laMCEV. Les calculsréalisés dans le chapitre 7 seront donc eectués selon cette approche.

Si le référentiel est diérent, les principes de calcul, de projection et de prise en compte desrisques sont similaires à ceux utilisés sous Solvabilité II. L'utilisation d'un modèle en approcheMCEV permettra donc une étude d'impact cohérente avec les premiers chapitres de ce mémoire.

Nous retenons que le référentiel MCEV permet de dénir des conventions nécessaires à lacommunication nancière, sur la base de 17 principes introduits par le CFO Forum en octobre2009 dans [For09]. Le principe 13 revient sur le taux d'actualisation, et mentionne une actualisation à des taux d'actualisation cohérents avec ceux qui seraient utilisés pour évaluer des cash-owssimilaires sur les marchés nanciers .

6.1.4 Present Value of Future Prots

Un des indicateurs que nous utilisons dans notre étude est la present value of Future Prots (ouplus simplement PVFP). La valorisation des Passifs dans le Bilan économique sous une approcheMCEV se base sur la PVFP, et elle est donc en sortie de Prophet. Le calcul de la PVFP est réaliségrâce à la méthode de Monte-Carlo, en se basant sur N scénarios que nous évoquons à la section6.3.1.

Dénition 6.1 (present value of Future Prots). Nous appelons PVFP la valeur actualisée desrésultats futurs :

PV FP =1

N

N∑i=1

∑t

Resi(t) ·Di(t) (6.1)

où Resi(t) et Di(t) sont respectivement le résultat et le déateur en t pour le scénario i.

C'est cette PVFP que nous utilisons au chapitre 7 pour étudier l'impact de la Prime Contra-cyclique sur le Bilan économique.

6.2 Portefeuille d'étude

Les portefeuilles d'assurance comportent trois types de contrats : Épargne, Prévoyance et Re-traite. Comme l'étude de tous les contrats (modélisés par des Models Points dans Prophet) duportefeuille global demande un temps de calcul important, nous utilisons un outil d'approximation :un portefeuille simplié.

6.2.1 Types de contrats

Contrat Épargne

Les contrats d'épargne s'apparentent à un placement nancier. Ils sont semblables aux contratsde capitalisation. Durant la vie du contrat, le souscripteur capitalise son épargne constituée deses primes ainsi que des produits de ces primes (intérêt nancier, participation aux bénéces). Leversement des prestations de l'assureur est conditionné par certains évènements aléatoires tels quele décès de l'assuré durant la vie du contrat, sa survie à échéance ou le rachat du contrat. Il existediérents types de support pour investir son épargne : Euros, Unités de Compte ou Multi-supports.

Support Euros : les contrats en euros correspondent aux contrats les moins risqués carils sont principalement investis en obligations. Le risque faible entraine un rendement faibleégalement. Il s'accompagne souvent d'une garantie de rendement minimal : le TMG 1. Laclause de participation aux bénéces doit aussi s'ajouter à ce taux minimum garanti ;

1. Taux Minimal Garanti

64

6.3. Étapes de simulation

Support en Unités de Compte : les contrats en unités de compte n'ont pas pour référenceune monnaie mais des titres : OPCVM 2, actions, SICAV 3, obligations. . . Ce sont des contratsavec un potentiel de rendement plus élevé mais ils sont plus risqués puisque l'assureur garantità son assuré, en contrepartie des primes versées, un nombre de titres sans s'engager sur lavaleur de ces titres ;

Multi-supports : suivant l'aversion au risque de l'assuré, il choisira d'investir son capital surun fond en euros ou sur un fond en unités de compte. Pour répondre au mieux aux attentesdes assurés, les contrats Multi-supports orent la possibilité d'investir sur plusieurs supports(euros et/ou unité de compte). La répartition de l'investissement peut être libre, imposée oupréétablie suivant les contrats. Par ailleurs, diérents prols de gestion de l'investissementpeuvent être adoptés : prudent, équilibré, dynamique.

Dans la suite du mémoire, nous nous concentrons sur les contrats d'Epargne. Nous travaillonssur des contrats ayant une Participation aux Bénéces de 100%, et un TMG initialement nul.

Contrat Prévoyance

Les contrats de prévoyance recouvrent un ensemble de produits d'assurance de personnes.Contre le paiement d'une prime de la part du souscripteur, l'assureur paiera des prestations en casde survenance d'une maladie, d'un accident, d'hospitalisation voire de décès. Le but essentiel dece type de contrat est de garantir à l'assuré son niveau de vie dans des circonstances diciles. Cescontrats peuvent être souscrits à titre individuel ou collectif.

Contrat Retraite

Les contrats de retraite consistent schématiquement en la constitution d'un capital diéré quipourra au terme être converti en rente. Il s'agit ici pour l'assuré de se constituer une retraitesupplémentaire (au-delà des retraites du régime de la sécurité sociale et des retraites complémen-taires AGIRC 4 et ARRCO 5). De la même manière, ils peuvent être souscrits à titre individuel oucollectif.

6.2.2 Portefeuille simplié

L'utilisation de Prophet sur un portefeuille réel d'assurance entraine un temps de calcul trèsimportant. En eet le grand nombre de contrats et la complexité du processus d'allocation Ac-tif/Passif rendent les calculs longs. Il est donc intéressant d'utiliser un portefeuille simplié. Unportefeuille simplié correspond à une version réduite du portefeuille d'assurés. Ce portefeuillesimplié repose sur deux principes, le premier étant d'utiliser des classes de variables au lieu desvariables elle-mêmes, et le second de grouper les contrats ayant des caractéristiques identiques, pourcréer des produits synthétiques. Ces produits ayant des volumes faibles par rapport aux volumesinitiaux, ils sont ensuite utilisés pour réaliser les calculs.

6.3 Étapes de simulation

6.3.1 Étape 1 : sélection de Scénarios Économiques

Un Scénario Économique est une évolution possible de l'environnement économique de gestiondes contrats d'assurance. Chaque Scénario modélise l'évolution du contexte nancier en se basantsur des hypothèses initiales identiques. Nous disposons d'une base de 1000 Scénarios Économiques,numérotés de 1 à 1000, et dont la moyenne, le Scénario dit central , est noté 1001.

S'il est intéressant d'observer l'impact que peut avoir l'ajout d'une Prime Contracyclique oud'Illiquidité dans le taux d'actualisation sur le scénario central, les règles d'application de la PrimeContracyclique nous imposent le choix d'un Scénario défavorable. En eet elle ne s'applique quedans un contexte de marché stressé ou en crise.

2. Organisme de Placement Collectif en Valeurs Mobilières3. Société d'Investissement à Capital Variable4. Association Générale des Institutions de Retraite des Cadres5. Association pour le Régime de Retraite Complémentaire des salariés

65

Chapitre 6. Méthodes de calcul

Figure 6.1 Évolution du résultat dans diérents Scénarios Économiques

Par conséquent, nous recherchons un Scénario Économique défavorable dans la base des Scé-narios. La gure 6.1 propose l'évolution des résultats annuels non actualisés, pour lesquels nousavons volontairement eacé les valeurs de l'axe des ordonnées. L'ordre de grandeur des résultatsde ces graphes s'estime en milliards. La gure 6.1 représente 100 Scénarios, choisis selon la valeurde la PVFP. Nous considérons un Scénario Économique favorable lorsque la PVFP fait partie desmeilleures PVFP. Ainsi la gure 6.1 représente un panel de 100 Scénarios Économiques, corres-pondant aux centiles de notre échantillon de 1000 Scénarios.

Pour trouver un Scénario favorable ou défavorable, nous classons l'ensemble des Scénarios dansl'ordre des PVFP/PM croissantes 6. Avec les PVFP/PM de chaque Scénario, nous pouvons dresserla table 6.1 qui représente l'écart relatif entre les rapports PVFP/PM de chaque Scénario et celuidu Scénario central.

A partir de la table 6.1, nous choisissons d'étudier les Scénarios de la table 6.2, que nousreprésentons sur la gure 6.2.

Nous disposons donc de plusieurs Scénarios Économiques pour notre étude. Nous utilisons lesScénarios défavorables en les assimilant à une situation de crise.

6.3.2 Étape 2 : cadrage des coupons

Après avoir choisi un Scénario Économique, il est nécessaire d'adapter les données nancièresà ce Scénario. En eet, le Scénario décrit une évolution possible de la situation économique, maisil doit respecter les valeurs initiales xées, car les calculs sont eectués sous la probabilité risque-neutre.

Pour bien xer les idées, nous considérons une obligation qui verse des coupons chaque année.Nous étudions alors la valeur des coupons nécessaire à un prix de marché constant. En pratique, lesobligations modélisées sous Prophet/ALS peuvent verser des coupons mensuels et les portefeuillessont plus complexes.

Dénition 6.2 (Notations). Nous notons pour la suite : Ci le coupon annuel initial constant qui est connu ; Cf le coupon annuel nal constant qui est à calculer ; MV i la valeur de marché (ou market value) initiale de l'obligation calculée avec les couponsinitiaux et une Prime Contracyclique ;

6. où PM représente la Provision Mathématique initiale

66

6.3. Étapes de simulation

Pourcentage initial Écart relatif de PVFP/PM du quantile0% −326%5% −166%10% −120%15% −94%20% −76%25% −61%30% −50%35% −42%40% −35%45% −29%50% −23%55% −18%60% −11%65% −2%70% 3%75% 8%80% 14%85% 22%90% 30%95% 42%100% 105%

Table 6.1 Évolution relative du rapport PVFP/PM

Nouvelle numérotation Scénario Pourcentage initial Écart relatif de PVFP/PM du quantile

0 central 0%

1 10% −120%

2 20% −76%

3 30% −50%

4 50% −23%

Table 6.2 Scénarios retenus pour l'étude

MV cible la valeur de marché cible correspondant à la situation initiale sans Prime au tauxd'actualisation.

La propriété martingale permet d'écrire la valeur de marché en t = 0 comme la somme des uxactualisés :

MV cible =∑t

EQ

[Ci

(1 + rt)

](6.2)

et

MV i =∑t

EQ

[Ci

(1 + rt + π)

]donc

MV i

Ci=∑t

EQ

[1

(1 + rt + π)

].

Et nous cherchons la valeur des coupons Cf telle que

MV cible =∑t

EQ

[Cf

(1 + rt + π)

].

67

Chapitre 6. Méthodes de calcul

Figure 6.2 Évolution du résultat des Scénarios Économiques retenus pour l'étude

Par conséquent, une règle de trois sut à cadrer les coupons pour respecter une valeur demarché constante. Ainsi nous avons :

Cf =MV cible

MV i· Ci. (6.3)

A titre d'exemple, nous pouvons étudier une obligation d'horizon 50 ans, versant initialementun coupon annuel de montant 1, et pas de versement nal. La valeur de marché cible, calculée avecla formule 6.2, s'obtient en actualisant le montant des coupons à l'aide du taux sans risque IA (cf.données de la table A.1 en annexe A.1).

MV cible = 23, 47. (6.4)

La table 6.2 regroupe les diérentes valeurs obtenues pour MV i, en fonction des diérentsniveaux de Prime Contracyclique

π Cf MV i Taux de coupons

0% 1.00 23.47 4.26%

0.25% 1.04 22.49 4.64%

0.50% 1.09 21.58 5.04%

0.75% 1.13 20.73 5.46%

1% 1.18 19.93 5.91%

1.50% 1.27 18.48 6.87%

2% 1.36 17.20 7.93%

3% 1.56 15.06 10.35%

5% 1.96 11.96 16.41%

Table 6.3 Cadrage des coupons

68

6.3. Étapes de simulation

6.3.3 Étape 3 : calcul du Best Estimate

Le cadrage des coupons introduit à la section précédente permet de garder une valeur demarché des Actifs constante, quelque soit la Prime Contracyclique. Pour évaluer l'impact de laPrime Contracyclique sur le Bilan, nous calculons le Best Estimate à partir des données d'unCompte de Résultat. La méthode de calcul du Best Estimate nécessite la formule 5.1. Ainsi nousretenons, comme ux risque-neutre :

les primes versées par les assurés ; les frais divers liés à la gestion du contrat (frais d'acquisition, frais d'administration...) ; les prestations versées aux assurés.

Enn les projections sont réalisées sur 35 ans. Or après 35 ans, la vie du contrat continue. Parconséquent, nous ajoutons à cette somme les Provisions Mathématiques restantes actualisées. Pré-cisons que nos contrats ne comportent ni de PPE 7, ni de Réserve de Capitalisation, qui sontthéoriquement à redistribuer entre l'assuré (par l'intermédiaire du Best Estimate) et l'assureur.

Dénition 6.3 (Best Estimate). Nous précisons le Best Estimate déni en 5.1, pour des projec-tions allant jusqu'à T :

BEL =

T∑t=1

D(t) prestationst + fraist − primest+D(T + 1) · PMT+1. (6.5)

Conclusion

Les méthodes de calcul présentées dans ce chapitre permettent de réaliser nos simulations.En eet le Modèle Interne permet de projeter l'évolution des contrats, et l'utilisation de certainsindicateurs comme la PVFP va nous aider à poser nos simulations. L'étude d'un portefeuilled'Epargne présentée dans ce chapitre permet d'observer l'impact de l'introduction d'une PrimeContracyclique dans le taux d'actualisation du Best Estimate.

Enn les étapes de simulation évoquées plus haut rendent possible une étude précise du BestEstimate, en comparant les variations relatives de ce dernier par rapport à une situation initialesans Prime. Si le Best Estimate permet d'obtenir une approximation de la valeur retenue desProvisions Techniques, il est alors possible de dresser un Bilan simplié de la compagnie, et doncde traduire l'importance d'une modication de la Prime Contracyclique sur ce dernier.

7. Provisions pour Participation aux Excédents

69

Chapitre 6. Méthodes de calcul

70

Chapitre 7

Impact sur un portefeuille d'Épargne

Avec la méthode de calcul présentée au chapitre précédent, nous pouvons maintenant testerl'impact de la Prime Contracyclique sur un portefeuille d'Épargne.

Dans un premier temps, nous testons le comportement du Best Estimate soumis à plusieursniveaux de Prime Contracyclique. Nous eectuons ensuite des tests avec une Prime Contracycliques'ajoutant au taux sans risque jusqu'à 20 ans seulement. Enn nous observerons l'impact de laPrime Contracyclique en imposant une convergence du taux forward implicite vers 4.2%.

Cette étude va permettre d'observer l'impact général de la modication du taux d'actualisation.Une augmentation du taux d'actualisation a deux impacts majeurs sur le calcul des ProvisionsTechniques :

augmentation des rendements : le calcul des rendements nanciers annuels se base sur lacourbe des taux forward implicite, elle-même calculée à partir du taux spot. L'ajout d'uneprime au taux spot entraine donc une augmentation des rendements, ce qui peut impliquerune augmentation des prots (par les Chargements de Gestion sur Encours, ou par le rende-ment nancier qui n'est pas redistribué à l'assuré, lorsque la Participation aux Bénéces estinférieure à 100%) ;

diminution de l'actualisation : le déateur augmente lorsque la prime est ajoutée au tauxspot. Par conséquent, l'actualisation est moins importante avec une prime, et donc la valeurramenée en t = 0 est plus petite.

D'un coté, l'ajout d'une Prime Contracyclique augmente les Produits Financiers, ce qui entrainedonc une augmentation des Provisions Mathématiques. Mais l'augmentation du déateur va, quandà lui, diminuer la valeur actuelle de ces Provisions. La question est donc de savoir laquelle de cesdeux variations va prendre le pas sur l'autre, pour entrainer la variation globale de la valorisationdes Provisions Techniques.

7.1 Diérents niveaux de Prime Contracyclique

Nous commençons par tester l'impact d'une Prime Contracyclique sur le portefeuille simplié,en xant un portefeuille d'obligations très simple. En eet nous considérons deux obligations :

une obligation d'horizon 5 ans qui représente 1/3 du portefeuille total d'obligations ; une obligation d'horizon 10 ans qui représente les 2/3 restants du portefeuille.Cette première étude concerne des contrats avec un taux de Participation aux Bénéces de

100%. Par conséquent, nous nous attendons à voir le Best Estimate baisser lorsque la PrimeContracyclique est appliquée.

7.1.1 Cadrage des coupons

Nous utilisons la méthode présentée au chapitre 6, appliquée au Scénario central. Ainsi la table7.1 regroupe l'évolution du taux de coupons pour chaque niveau de Prime Contracyclique.

71

Chapitre 7. Impact sur un portefeuille d'Épargne

πcc Taux de coupons

0% 4.302%

0.10% 4.329%

0.25% 4.370%

0.50% 4.440%

0.75% 4.510%

1% 4.581%

1.50% 4.724%

2% 4.870%

3% 5.172%

5% 5.807%

Table 7.1 Scénarios retenus pour l'étude

7.1.2 Calcul du Best Estimate pour le Scénario central

Avec le cadrage des coupons détaillé plus haut, il est maintenant possible de calculer la valeurdu Best Estimate pour chaque valeur de πcc. Cette première étude permettra de se rendre comptede l'impact de la Prime Contracyclique sur le Best Estimate, en gardant à l'esprit que nous utilisonsle Scénario central, donc il n'entre pas nécessairement dans les règles d'application de la PrimeContracyclique.

La gure 7.1 regroupe trois courbes : la courbe rouge correspond au niveau du Best Estimate ramené à celui de la valeur de marchéde l'ensemble des Actifs. C'est la proportion du Best Estimate par rapport à la valeur totaledes Actifs ;

la courbe verte sert de référence car c'est la valeur de marché totale de l'Actif ; la courbe bleue correspond à la proportion d'obligations dans le portefeuille total d'Actifs,évaluées en valeur de marché.

Figure 7.1 Évolution du Best Estimate pour plusieurs niveaux de Prime Contracyclique (en %)

72

7.1. Diérents niveaux de Prime Contracyclique

Figure 7.2 Écart relatif de Best Estimate

La première conclusion qui s'impose est que le Best Estimate est bien une fonction décroissantede la Prime Contracyclique. Étant donnée l'expression du Best Estimate, cette première conclusionparait logique. Cette première étude est conrmée par le tracé de la variation relative de BestEstimate de la gure 7.3.

Si l'augmentation des rendements entraine une augmentation des produits nanciers, le taux deParticipation aux Bénéces à 100% entraine un transfert de ce gain vers les assurés. L'impactest donc limité sur les Provisions Mathématiques (il se limite à la Dotation de Participation auxBénéces). D'autre part, le déateur impacte, quand à lui, directement le Best Estimate, puisquel'actualisation s'en trouve modiée pour chaque maturité. C'est donc la baisse de l'actualisationqui entraine la décroissance de la courbe.

7.1.3 Best Estimate des autres Scénarios

Nous conrmons cette première observation sur les autres Scénarios de la table 6.2. En eet, latable 7.2 regroupe les variations relatives de Best Estimate de chaque Scénario.

Scénariosπcc 0 1 2 3 4

0.1% −0.22% −0.23% −0.27% −0.18% −0.22%0.25% −0.54% −0.55% −0.68% −0.45% −0.54%0.5% −1.05% −1.61% −1.34% −0.88% −1.06%0.75% −1.55% −1.61% −2.00% −1.30% −1.56%

1% −2.04% −2.11% −2.66% −1.71% −2.06%1.5% −2.98% −3.08% −3.94% −2.49% −3.03%2% −3.91% −4.00% −5.21% −3.21% −3.99%3% −5.73% −5.78% −7.66% −4.56% −5.85%5% −9.19% −9.13% −10.99% −7.14% −9.40%

Table 7.2 Ecarts relatifs de Best Estimate

Nous constatons une évolution décroissante du Best Estimate en fonction de πcc.La gure 7.3 et le tableau 7.2 permettent de conrmer le caractère décroissant du Best Estimate

en fonction de la Prime Contracyclique. C'est donc la baisse du déateur qui prend le pas sur lahausse du rendement dans notre cas.

73

Chapitre 7. Impact sur un portefeuille d'Épargne

Figure 7.3 Écart relatif de Best Estimate

Néanmoins, nous observons des pentes diérentes pour nos 5 Scénarios. Or nous avons tracésur ce graphe les courbes correspondant à des évolutions relatives de Best Estimate. Ces écartsde pentes s'expliquent par des ux plus ou moins importants au début des projections. En eetselon les dates des ux, l'importance du déateur n'est pas la même. Ainsi un ux au début de laprojection a plus d'importance qu'un ux en n de projection. La position des ux dans les annéesde projection est signicative, nous nous proposons de détailler ce point.

7.1.4 Importance des ux des années de projection

Pour bien comprendre les diérentes pentes des courbes de la gure 7.3, il faut se reporterà la gure 6.2 du chapitre 6. En eet, les projections du Scénario 2 entrainent des pertes plusimportantes dans les premières années de la projection (notamment les années 2018 et 2019). Al'inverse, les pertes du Scénario 3 se concentrent plutôt sur la n de la projection (autour de l'année2040).

Avec la table D.1 en annexe D, nous pouvons tracer les graphes de la gure 7.7. Si l'impactdu déateur dans les projections du modèle interne ne se limite pas à l'actualisation (il entre encompte dans les Scénarios Économiques), ce graphe permet de se rendre compte de l'inuence dela Prime Contracyclique sur le déateur, et donc sur le Best Estimate. En eet, l'importance de ladiminution de l'actualisation due à la Prime Contracyclique est moindre sur les premières annéesde projection.

Par conséquent, les ux négatifs en n de projection du Scénario 3 ont moins d'importance avecla Prime Contracyclique, et le Best Estimate varie donc moins vite. Nous observons le phénomèneinverse sur le Scénario 2, dont les importants ux négatifs au début de la projection entrainentune diminution plus rapide du Best Estimate avec les diérents niveaux de Prime Contracycliquechoisis.

7.1.5 Modication du Taux Minimum Garanti

Impact sur le Best Estimate

Les contrats testés précédemment ont un TMG nul. Pour un TMG positif, valant 1%, l'assuréest certain de récupérer au moins 1% du rendement nancier annuel.

L'ajout d'une Prime Contracyclique au taux sans risque entraine une augmentation du tauxforward implicite et donc du rendement. Le TMG va niveler cette modication du rendement.

74

7.2. Maturité maximale d'application

Figure 7.4 Variation du déateur avec πcc = 5%

En eet, si le rendement dépasse le TMG avant la mise en place de la Prime Contracyclique,l'impact est identique à celui décrit plus haut. Si le rendement n'atteint pas le TMG, la PrimeContracyclique permet indirectement d'augmenter le rendement, et donc de se rapprocher du TMG(ou de dépasser).

L'impact de la Prime Contracyclique sur le Best Estimate peut donc être inversé : le BestEstimate devient une fonction croissante de la Prime Contracyclique dans le cas le plus favorable.Mais comme la Prime Contracyclique ne s'applique qu'en cas de crise, ce cas favorable n'est pascensé se produire en pratique.

Impact sur les rendements nanciers

Par ailleurs, l'introduction d'une Prime Contracyclique peut entrainer un eet pervers dansla modélisation des passifs. En eet pendant de nombreuses années, des contrats à fort TMGont été commercialisés par les compagnies d'assurance. Or le contexte actuel rend plus dicile lacommercialisation de tels contrats, car les rendements nanciers sont très instables et il est donctrès risqué de proposer des rendements certains dans un contrat. Si ces clauses à fort TMG sontplus rares aujourd'hui, beaucoup de compagnies possèdent dans leurs passifs d'anciens contrats àfort TMG, à gérer avec les rendements nanciers actuels.

Les compagnies possédant dans leurs passifs ces contrats à fort TMG en run-o doivent donccompenser les rendements faibles et incertains avec d'autres apports pour servir le taux contractuelà l'assuré. Or l'ajout d'une Prime Contracyclique entraine une augmentation des rendements. Parconséquent cette prime peut masquer le manque de rendement des contrats à fort TMG.

7.2 Maturité maximale d'application

7.2.1 Modication de la courbe d'actualisation

L'EIOPA a choisi d'appliquer la Prime Contracyclique sur toutes les maturités de la courbe destaux, en imposant une convergence du taux forward implicite vers 4.2% (ce qui correspond à 2%d'ination et 2.2% de croissance annuelle, à long terme). Il était dans un premier temps questiond'appliquer la Prime Contracyclique à certaines maturités de la courbe des taux.

Nous testons l'impact de ce changement sur l'évolution relative du Best Estimate. Nous choi-sissons d'appliquer la Prime Contracyclique jusqu'à la maturité 20 ans. Par conséquent, pour un

75

Chapitre 7. Impact sur un portefeuille d'Épargne

Figure 7.5 Diérentes courbes d'actualisation

Figure 7.6 Déateurs (gauche) et leurs variations relatives (droite)

niveau de Prime à 2%, nous obtenons les taux d'actualisation de la gure 7.5. De la même façon,nous choisissons d'étudier le cas retenu par l'EIOPA en se limitant à une Prime Contracycliquequi s'applique sur 20 ans au taux spot, puis nous faisons converger la courbe des taux forward vers4.2%, ce qui nous donne la courbe violette d'actualisation de la gure 7.5.

La gure 7.6 regroupe deux graphes : à gauche les déateurs dans les quatre cas évoqués jusquelà (sans ou avec Prime Contracyclique, avec une application sur 20 ans puis avec la convergencedu taux forward), et à droite les variations relatives du déateur, d'abord avec une Prime Contra-cyclique à 2% pour toutes les maturités, puis toujours avec la Prime Contracyclique à 2%, maisseulement jusqu'à la maturité 20 ans, et enn la variation relative du déateur basée sur une courbede taux forward convergeant vers 4.2%.

Si la courbe dont la Prime Contracyclique est limitée à 20 ans comporte une cassure à 20 ans,

76

7.2. Maturité maximale d'application

la courbe retenue nalement par l'EIOPA est très proche de la courbe initiale, même si elle s'enécarte un peu pour les maturités les plus longues.

L'impact sur le déateur de la Prime Contracyclique avec la convergence du taux forward estimportant sur les 30 premières années. Pour les années suivantes, nous observons une baisse de lacroissance. Cela signie que l'augmentation du rendement est probablement compensée dans lespremières années par le déateur, comme pour le cas initial. Mais si les Provisions Mathématiquesaugmentent sensiblement par rapport au cas initial dans ces premières années, cela va entrainerune augmentation des produits nanciers alors que le rendement tend vers le rendement initial.Par conséquent, le déateur risque de ne plus sure pour compenser cette baisse.

7.2.2 Impact sur le Best Estimate

Application sur 20 ans

Le Best Estimate est impacté par ce changement. En eet, nous augmentons le taux sans risque,donc le taux forward instantané subit lui aussi une augmentation. Comme nous travaillons dansce cas sans TMG, le rendement plus important entraine une augmentation des ux annuels. Maisnous pouvons voir sur la gure 7.6 que l'augmentation est relativement moins importante (parrapport au cas initial). C'est donc la partie de la projection la moins impactée par la modicationde taux d'actualisation qui va subir ce décalage de taux.

Figure 7.7 Évolutions relatives de Best Estimate (en %)

Comme nous pouvons le voir sur la gure 7.7, la situation change par rapport au cas initial :c'est l'augmentation du rendement qui a plus d'importance que la diminution du déateur. Eneet, le gain réalisé par l'augmentation du rendement n'est pas compensé par la perte due àla diminution du déateur. Le rendement nancier des premières années entraine une augmentationde la Provision Mathématique par rapport au cas initial, ce qui implique au nal une augmentationdu Best Estimate. Ceci explique donc la croissance du Best Estimate par rapport au cas initial.

Application sur 20 ans puis convergence du taux forward

Ce dernier cas est celui qui sera très probablement retenu par l'EIOPA. La courbe d'actualisa-tion est très proche de la courbe du cas initial, seules les maturités les plus longues sont impactéespar la convergence du taux forward vers 4.2%.

Nous observons logiquement des courbes très proches des courbes du cas initial. L'augmentationdes rendements nanciers n'impactent que très peu le Best Estimate nal. En eet, les rendements

77

Chapitre 7. Impact sur un portefeuille d'Épargne

Figure 7.8 Évolutions relatives de Best Estimates (en %)

sont redistribués à 100% aux assurés (clause de Participation aux Bénéces à 100%). Il n'y a doncpas d'augmentation directe de la Provision Mathématique, mais la Provision Mathématique peutaugmenter par l'intermédiaire de la Dotation de Participation aux Bénéces. Cette augmentationest donc toujours compensée par la baisse du déateur.

L'écart entre les courbes du cas initial et les courbes issues de ces simulations avec une conver-gence du taux forward peut s'expliquer par un impact moindre du déateur sur les maturités lesplus longues (cf. courbe 7.6). Ceci entraine donc une prise en compte légèrement plus importantedes Provisions Mathématiques pour ces années, et donc une légère augmentation du Best Estimate.

Conclusion

L'introduction d'une Prime Contracyclique au taux d'actualisation permet, toutes choses égalespar ailleurs, de diminuer le niveau du Best Estimate. Néanmoins, cette prime doit être ajoutée àtoutes les maturités de la courbe des taux, pour éviter que les premières années de projectionperdent de l'importance par rapport à la suite du développement.

Les contrats ayant un TMG sont impactés de façon diérente : le TMG équilibre les eets de laPrime Contracylique dans les cas les plus favorables (qui ne nécessitent théoriquement pas de PrimeContracyclique). Mais dans les cas d'application précisés par l'EIOPA, la Prime Contracycliqueentraine une réduction du Best Estimate. Mais l'introduction d'une Prime Contracyclique impactedirectement la gestion des contrats à fort TMG.

Enn choisir une courbe d'actualisation résultant de la convergence du taux forward vers 4.2%sur le long terme permet de garder de la cohérence, et cette démarche se rapproche du cas initialpour lequel nous avons ajouté une Prime Contracyclique à toutes les maturités de la courbe destaux spot.

78

Conclusion

Dans un premier temps, nous avons décrit dans le chapitre 1 le contexte règlementaire de notreétude : la réforme prudentielle Solvabilité II. Si les principes généraux de cette réforme sont bienacceptés par les diérents acteurs, la mise en place et les mesures de niveau 2 sont encore sujettesà discussion. La Fair Value qui est utilisée pour valoriser les Actifs nanciers, et le Best Estimate,qui traduit le niveau d'engagement envers les clients des compagnies d'assurance, sont au centrede ces discussions. Il est donc question d'ajouter une composante au taux sans risque pour formerle taux d'actualisation.

Pour les Actifs en gestion HTM, c'est la Matching Premium qui sera utilisée pour réduire l'im-pact des variations des prix de marché sur le Best Estimate en diminuant ce dernier quand lesprix de marché augmentent et inversement. Cette solution de correction parait ecace et permetde faire correspondre l'évaluation des engagements à celle de l'Actif, indépendamment du risquede crédit. Mais s'il est vrai que la notion de Fair Value est plus réaliste en général que la ValeurComptable utilisée sous Solvabilité I, une valorisation de certains Actifs HTM, sur le modèle desnormes IFRS, ne nécessiterait pas de correction ultérieure pour les produits de rentes concernéspar le Matching Adjustment.

Pour les autres actifs d'un portefeuille de couverture, nous avons souligné dans le chapitre 5l'incohérence de la Prime d'Illiquidité évoquée dans un premier temps. La solution proposée, laPrime Contracyclique, parait cohérente de part son caractère temporaire. Le régulateur acceptedonc une modication de la valorisation des engagements en cas de situation de marché stressé :cette Prime Contracyclique entraine une diminution du Best Estimate sur un portefeuille d'Épargnesans TMG. Si dans le même temps, les actifs de couverture voient leur valorisation diminuer, cetteprime permet donc d'équilibrer le Bilan.

Or de nombreuses compagnies d'assurance possèdent encore des contrats à TMG non nul dansleurs portefeuilles. Une étude de l'impact de l'ajout d'une Prime Contracyclique au taux sansrisque dans le calcul du Best Estimate de ces contrats permettrait d'approfondir cette question.

Nous soulignons enn que si l'utilisation de la Prime Contracyclique est décidée par l'EIOPA,la durée d'application n'est pas explicitée. Comme nous l'avons détaillé à la section 5.1, le caractèretemporaire est essentiel pour assurer la solvabilité future des compagnies d'assurance. Une étudeplus précise confrontant des engagements Passifs à une situation de crise plus longue permettraitd'en savoir plus sur la solvabilité des compagnies dans ce cas.

79

Chapitre 7. Impact sur un portefeuille d'Épargne

80

Annexes

81

Annexe A

Taux sans risque

A.1 Taux sans risque de l'IA

La table A.1 regroupe les valeurs, au 31 janvier de chaque année, fournies par l'IA pour lacourbe des taux sans risque.

A.2 Taux forward

Propriété A.1. En notant PFRA(t, T, S,N,K) le prix en t d'un tel contrat, on a alors

PFRA(t, T, S,N,K) = N · (S − T )P (t, S)K − P (t, T ) + P (t, S) . (A.1)

Démonstration. A partir de la dénition du contrat, on exprime le ux en S du contrat FRA, encomposant simplement les taux, comme

FluxFRA(S, T, S,N,K) = N ·K · (S − T )−N · L(T, S) · (S − T ).

On prend alors l'espérance sous Q du ux en S actualiser en t (sous absence d'opportunité d'arbi-trage).

PFRA(t, T, S,N,K) =EQ[B(t, S)FluxFRA(S, T, S,N,K)|Ft

]=EQ [B(t, S)N ·K · (S − T )|Ft]− EQ [B(t, S)N · L(T, S) · (S − T )|Ft]

oùEQ [B(t, S)N ·K · (S − T )|Ft] =N ·K · (S − T )EQ [B(t, S)|Ft]

=N ·K · (S − T )P (t, S)

et en sachant que (1− P (T, S)

P (T, S)

)est FT mesurable (d'après l'expression de P (T, S) de la propriété 3.1), on écrit

EQ [B(t, S)N · L(T, S) · (S − T )|Ft] = N · EQ [B(t, S)L(T, S) · (S − T )|Ft]

= N · EQ

[B(t, S) · 1− P (T, S)

P (T, S)|Ft]

= N · EQ

[EQ

[B(t, S) · 1− P (T, S)

P (T, S)|FT

]|Ft](car Ft ⊂ FT )

= N · EQ

[B(t, T ) · 1− P (T, S)

P (T, S)EQ [B(T, S)|FT ] |Ft

]= N · EQ [B(t, T ) (1− P (T, S)) |Ft]= N · P (t, T )− EQ [B(t, T )EQ [B(T, S)|FT ] |Ft] (où B(t, T ) est FT mesurable)

= N · P (t, T )−N · EQ [B(t, S)|Ft] car B(t, T )B(T, S) = B(t, S)

= N · P (t, T )−N · P (t, S).

83

Annexe A. Taux sans risque

Maturités Taux sans risque31/01/2013 0, 0943431/01/2014 0, 3473531/01/2015 0, 6144631/01/2016 1, 0007331/01/2017 1, 3950531/01/2018 1, 7558131/01/2019 2, 074431/01/2020 2, 351531/01/2021 2, 5905731/01/2022 2, 7957831/01/2023 2, 971231/01/2024 3, 1206131/01/2025 3, 2473831/01/2026 3, 3545231/01/2027 3, 4446731/01/2028 3, 5201831/01/2029 3, 5830731/01/2030 3, 6351531/01/2031 3, 6779731/01/2032 3, 7129231/01/2033 3, 7411831/01/2034 3, 7637931/01/2035 3, 7816431/01/2036 3, 7955231/01/2037 3, 806131/01/2038 3, 8139431/01/2039 3, 8195331/01/2040 3, 823331/01/2041 3, 8256131/01/2042 3, 8267431/01/2043 3, 8269731/01/2044 3, 8269731/01/2045 3, 8269731/01/2046 3, 8269731/01/2047 3, 8269731/01/2048 3, 8269731/01/2049 3, 8269731/01/2050 3, 8269731/01/2051 3, 8269731/01/2052 3, 8269731/01/2053 3, 8269731/01/2054 3, 8269731/01/2055 3, 8269731/01/2056 3, 8269731/01/2057 3, 8269731/01/2058 3, 8269731/01/2059 3, 8269731/01/2060 3, 8269731/01/2061 3, 8269731/01/2062 3, 8269730/06/2069 3, 82697

Table A.1 Taux sans risque publié par l'IA

84

A.3. Taux swap

A.3 Taux swap

Propriété A.2. Le prix d'un contrat swap vérie l'équation

PSR(t;α, β,N,K) = −N

(P (t, Tα)− P (t, Tβ) +

β∑i=α+1

τiKP (t, Ti)

). (A.2)

Démonstration. L'expression de la remarque précédente et du prix d'un contrat FRA 3.9 permetd'écrire

PSR(t;α, β,N,K) =

β∑i=α+1

PFRA(t;Ti−1, Ti, N,K)

= N ·β∑

i=α+1

P (t, Ti)(Ti − Ti−1) (K − L(t, Ti−1, Ti))

= N ·β∑

i=α+1

P (t, Ti)τiK −N ·β∑

i=α+1

P (t, Ti)

(P (t, Ti−1)

P (t, Ti)− 1

)(avec l'expression 3.8)

= −N

(P (t, Tα)− P (t, Tβ) +

β∑i=α+1

τiKP (t, Ti)

).

85

Annexe A. Taux sans risque

86

Annexe B

Taux d'actualisation

B.1 Table de notation Standard and Poor's

Tranche Long terme Court terme

Première qualité AAA

AA+ A1+

Haute qualité AA

AA−A+ A1

Qualité moyenne supérieur A

A− A2

BBB+

Qualité moyenne inférieur BBB A3

BBB−BB+

Spéculatif BB

BB− B

B+

Très spéculatif B

B−Risque élevé CCC+

Ultra spéculatif CCC

CCC− C

En défaut, avec espoir de recouvrement CC

C/CI/R

En défaut sélectif SD D

En défaut D

Table B.1 Échelle de notation Standard & Poor's

87

Annexe B. Taux d'actualisation

B.2 Complément sur l'exemple d'utilisation du modèle deJarrow, Lando et Turnbull (1997)

On détaille ici le calcul des matrices de transitions risque-neutre qui permettent ensuite decalculer les prix des zéro-coupons risqués à tout instant. On connait initialement les données dutableau 4.4, qui comportent notamment les données des prix des zéro-coupons risqués ou non-risqués. Les prix ont été établis avec la formule de calcul suivante, ∀t ∈ 1; 2 et ∀i ∈ A;B :

vi(0, t) =1

(1 + rt + sit)tet P (0, t) =

1

(1 + rt)t.

Horizon t rt sAt sBt P (0; t) vA(0, t) vB(0, t) vD(0, t)

1 1.08 0.010 0.020 0.926 0.917 0.909 0.343

2 1.09 0.015 0.030 0.842 0.819 0.797 0.337

Table B.2 Informations initiales

A partir de ce tableau, on possède toutes les informations nécessaires pour calculer Π(0) =diag (π1(0); · · · ;πK(0)), à partir de la formule de la propriété 4.4 :

πA(0) = P (0;1)−vA(0;1)pA,D·P (0;1)·(1−δ)

πB(0) = P (0;1)−vB(0;1)pB,D·P (0;1)·(1−δ)

πD(0) = 1

On obtient donc

Π(0) =

0.306 0 0

0 0.303 0

0 0 1

.

La dénition 4.5 et la propriété 4.2 permettent ensuite d'exprimer les éléments de la matrice detransition risque-neutre en fonction des éléments de la matrice de transition historique. On obtientainsi la matrice

Q(0, 1) =

0.969 0.015 0.015

0.030 0.939 0.030

0.000 0.000 1.000

.

Pour la suite, on a besoin d'inverser cette matrice. Si un des algorithmes usuels peut être utilisé, onremarque que dans notre cas, il sut d'inverser le bloc 2× 2 supérieur de gauche, puis de déduirela dernière colonne en sachant que la somme de chaque ligne est égale à 1. On obtient la matriceinverse

Q−1(0, 1) =

1.032 −0.017 −0.015

−0.033 1.065 −0.032

0.000 0.000 1.000

.

De la même façon, on calcule les éléments de Π(1) avec la propriété 4.5, et cela nous permet decalculer la matrice Q(1, 2) :

πA(1) =q−1A,A(0;1)(P (0;2)−vA(0;2))+q−1

A,B(0;1)(P (0;2)−vB(0;2))+q−1A,D(0;1)(P (0;2)−vD(0;2))

P (0;2)·(1−δ)·pA,D

πB(1) =q−1B,A(0;1)(P (0;2)−vA(0;2))+q−1

B,B(0;1)(P (0;2)−vB(0;2))+q−1B,D(0;1)(P (0;2)−vD(0;2))

P (0;2)·(1−δ)·pB,D

πD(1) = 1

88

B.3. Matrices de transition à diérents horizons

Q(1, 2) =

0.941 0.030 0.030

0.061 0.879 0.061

0 0 1

pour Π(0) =

0.593 0 0

0 0.606 0

0 0 1

.

B.3 Matrices de transition à diérents horizons

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 877 0, 116 0, 005 0 0, 001 0, 001 0 0

AA 0, 135 0, 745 0, 080 0, 010 0, 015 0, 014 0, 001 0, 001

A 0, 011 0, 149 0, 662 0, 160 0, 013 0, 004 0 0

BBB 0, 001 0, 019 0, 211 0, 611 0, 113 0, 037 0, 003 0, 005

BB 0 0, 001 0, 028 0, 196 0, 541 0, 160 0, 018 0, 054

B 0 0 0, 002 0, 034 0, 235 0, 572 0, 033 0, 123

CCC/CC 0 0 0 0, 009 0, 091 0, 308 0, 020 0, 572

D 0 0 0 0 0 0 0 1

Table B.3 Matrice de transition risque-neutre à horizon 5 ans

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 785 0, 189 0, 017 0, 003 0, 003 0, 003 0, 000 0, 000

AA 0, 220 0, 582 0, 116 0, 029 0, 024 0, 022 0, 001 0, 005

A 0, 037 0, 215 0, 485 0, 207 0, 037 0, 016 0, 001 0, 003

BBB 0, 006 0, 058 0, 274 0, 431 0, 142 0, 064 0, 005 0, 020

BB 0, 001 0, 010 0, 076 0, 237 0, 355 0, 191 0, 016 0, 115

B 0, 000 0, 001 0, 017 0, 087 0, 268 0, 376 0, 024 0, 226

CC/CCC 0, 000 0, 000 0, 005 0, 034 0, 124 0, 197 0, 012 0, 626

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.4 Matrice de transition risque-neutre à horizon 10 ans

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 714 0, 234 0, 031 0, 007 0, 006 0, 006 0, 000 0, 001

AA 0, 273 0, 477 0, 131 0, 047 0, 032 0, 027 0, 002 0, 011

A 0, 067 0, 241 0, 383 0, 213 0, 057 0, 028 0, 002 0, 009

BBB 0, 016 0, 093 0, 281 0, 338 0, 146 0, 079 0, 006 0, 041

BB 0, 003 0, 024 0, 111 0, 233 0, 266 0, 180 0, 014 0, 169

B 0, 000 0, 006 0, 038 0, 122 0, 246 0, 269 0, 018 0, 301

CCC/CC 0, 000 0, 002 0, 015 0, 053 0, 119 0, 138 0, 009 0, 664

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.5 Matrice de transition risque-neutre à horizon 15 ans

89

Annexe B. Taux d'actualisation

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 658 0, 262 0, 044 0, 013 0, 010 0, 009 0, 001 0, 003

AA 0, 306 0, 408 0, 137 0, 062 0, 038 0, 030 0, 002 0, 017

A 0, 096 0, 249 0, 320 0, 206 0, 070 0, 039 0, 003 0, 018

BBB 0, 030 0, 120 0, 269 0, 283 0, 141 0, 086 0, 006 0, 064

BB 0, 007 0, 040 0, 133 0, 219 0, 216 0, 159 0, 012 0, 214

B 0, 002 0, 013 0, 059 0, 138 0, 212 0, 204 0, 014 0, 359

CCC/CC 0, 001 0, 005 0, 025 0, 063 0, 104 0, 103 0, 007 0, 693

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.6 Matrice de transition risque-neutre à horizon 20 ans

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 613 0, 278 0, 057 0, 020 0, 014 0, 012 0, 001 0, 005

AA 0, 325 0, 361 0, 139 0, 072 0, 043 0, 033 0, 002 0, 025

A 0, 121 0, 248 0, 278 0, 194 0, 079 0, 047 0, 003 0, 029

BBB 0, 046 0, 139 0, 252 0, 248 0, 134 0, 087 0, 006 0, 087

BB 0, 013 0, 055 0, 144 0, 203 0, 182 0, 139 0, 010 0, 254

B 0, 004 0, 021 0, 076 0, 143 0, 180 0, 160 0, 011 0, 404

CCC/CC 0, 001 0, 009 0, 033 0, 066 0, 088 0, 080 0, 006 0, 716

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.7 Matrice de transition risque-neutre à horizon 25 ans

B.4 Détails de l'exemple de calcul de spreads

Horizons Coupon Coupon

initial AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

1 0, 75 0, 7500 0, 7500 0, 7500 0, 7500 0, 7467 0, 7410 0, 5591 0, 2250

2 0, 75 0, 7500 0, 7500 0, 7500 0, 7498 0, 7410 0, 7271 0, 4955 0, 2250

3 0, 75 0, 7500 0, 7498 0, 7500 0, 7493 0, 7345 0, 7125 0, 4708 0, 2250

4 0, 75 0, 7500 0, 7497 0, 7500 0, 7486 0, 7278 0, 6985 0, 4583 0, 2250

5 0, 75 0, 7500 0, 7494 0, 7499 0, 7475 0, 7212 0, 6853 0, 4499 0, 2250

6 0, 75 0, 7500 0, 7491 0, 7497 0, 7463 0, 7146 0, 6730 0, 4430 0, 2250

7 0, 75 0, 7499 0, 7488 0, 7496 0, 7448 0, 7081 0, 6616 0, 4369 0, 2250

8 0, 75 0, 7499 0, 7484 0, 7493 0, 7432 0, 7017 0, 6509 0, 4314 0, 2250

9 0, 75 0, 7499 0, 7479 0, 7490 0, 7414 0, 6955 0, 6409 0, 4262 0, 2250

10 15, 75 15, 7461 15, 6957 15, 7201 15, 5288 14, 4775 13, 2606 8, 8482 4, 7250

Table B.11 Risque-neutralisation selon diérents ratings

90

B.4. Détails de l'exemple de calcul de spreads

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 576 0, 287 0, 068 0, 027 0, 018 0, 015 0, 001 0, 008

AA 0, 335 0, 329 0, 139 0, 079 0, 047 0, 035 0, 002 0, 033

A 0, 143 0, 244 0, 248 0, 183 0, 083 0, 053 0, 004 0, 043

BBB 0, 062 0, 151 0, 235 0, 222 0, 127 0, 086 0, 006 0, 111

BB 0, 021 0, 068 0, 148 0, 188 0, 158 0, 121 0, 009 0, 288

B 0, 007 0, 031 0, 088 0, 141 0, 154 0, 130 0, 009 0, 441

CCC/CC 0, 003 0, 013 0, 039 0, 066 0, 075 0, 064 0, 005 0, 734

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.8 Matrice de transition risque-neutre à horizon 30 ans

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 518 0, 292 0, 085 0, 041 0, 026 0, 020 0, 001 0, 016

AA 0, 341 0, 290 0, 137 0, 088 0, 052 0, 038 0, 003 0, 052

A 0, 176 0, 234 0, 208 0, 162 0, 086 0, 058 0, 004 0, 072

BBB 0, 092 0, 165 0, 204 0, 187 0, 113 0, 079 0, 006 0, 154

BB 0, 038 0, 088 0, 146 0, 162 0, 123 0, 093 0, 007 0, 343

B 0, 017 0, 048 0, 099 0, 128 0, 115 0, 091 0, 007 0, 497

CCC/CC 0, 007 0, 021 0, 046 0, 061 0, 056 0, 045 0, 003 0, 762

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.9 Matrice de transition risque-neutre à horizon 40 ans

AAA AA A BBB BB B CCC/CC D

AAA 0, 474 0, 289 0, 097 0, 053 0, 032 0, 025 0, 002 0, 027

AA 0, 337 0, 268 0, 134 0, 091 0, 055 0, 040 0, 003 0, 072

A 0, 199 0, 225 0, 183 0, 146 0, 083 0, 058 0, 004 0, 103

BBB 0, 117 0, 169 0, 181 0, 162 0, 101 0, 072 0, 005 0, 194

BB 0, 056 0, 100 0, 137 0, 140 0, 100 0, 075 0, 005 0, 387

B 0, 028 0, 061 0, 099 0, 112 0, 089 0, 068 0, 005 0, 538

CCC/CC 0, 012 0, 028 0, 046 0, 053 0, 043 0, 033 0, 002 0, 782

D 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 000

Table B.10 Matrice de transition risque-neutre à horizon 50 ans

91

Annexe B. Taux d'actualisation

92

Annexe C

Complément à l'exemple de calcul deMatching Premium

Horizons Taux sans risque Fact. d'actu. Actif A Actif B Actif C Total

1 0.0943 0.999 0.749 1.598 1.199 3.547

2 0.3474 0.993 0.745 1.589 1.191 3.525

3 0.6145 0.982 0.736 1.571 1.177 3.484

4 1.0007 0.961 0.721 1.537 1.151 3.408

5 1.3951 0.933 0.700 31.392 1.116 33.208

6 1.7558 0.901 0.676 0.000 1.076 1.751

7 2.0744 0.866 0.650 0.000 1.032 1.682

8 2.3515 0.830 0.623 0.000 0.987 1.610

9 2.5906 0.794 0.596 0.000 0.942 1.538

10 2.79578 0.759 0.569 0.000 15.962 16.531

11 2.9712 0.725 0.543 0.000 0.000 0.543

12 3.12061 0.692 10.888 0.000 0.000 10.888

Flux total actualisé − − 18.195 37.687 25.834 81.716

Taux actuariel − − 2.8729% 1.3287% 2.5591% 2.2870%

Table C.1 Flux actualisés du passif

93

Annexe C. Complément à l'exemple de calcul de Matching Premium

94

Annexe D

Variation du déateur

Maturités Déateur sans PCC Déateur avec PCC Variation relative1 0.999 0.952 −5%2 0.993 0.901 −9%3 0.982 0.849 −14%4 0.961 0.792 −18%5 0.933 0.733 −21%6 0.901 0.676 −25%7 0.866 0.620 −28%8 0.830 0.567 −32%9 0.794 0.518 −35%10 0.759 0.472 −38%11 0.725 0.430 −41%12 0.692 0.392 −43%13 0.660 0.357 −46%14 0.630 0.325 −48%15 0.602 0.296 −51%16 0.575 0.270 −53%17 0.550 0.247 −55%18 0.526 0.225 −57%19 0.503 0.206 −59%20 0.482 0.188 −61%21 0.462 0.172 −63%22 0.444 0.158 −64%23 0.426 0.144 −66%24 0.409 0.132 −68%25 0.393 0.121 −69%26 0.378 0.111 −71%27 0.363 0.102 −72%28 0.350 0.094 −73%29 0.337 0.086 −74%30 0.324 0.079 −76%31 0.312 0.073 −77%32 0.301 0.067 −78%33 0.290 0.061 −79%34 0.279 0.056 −80%35 0.269 0.052 −81%

Table D.1 Variation du déateur avec πcc = 5%

95

Annexe D. Variation du déateur

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Bibliographie

98

Glossaire

cash-ow séquence de ux monétaire, 3, 13, 35, 45, 47, 49,50, 58, 60, 67, 68, 70

contracyclique qui vient contrer un cycle, 26, 27

duration la duration d'un instrument nancier à tauxxe, comme une obligation, est la durée de viemoyenne de ses ux nanciers pondérée par leurvaleur actualisée, 26

déateur facteur d'actualisation risque neutre , 37, 61, 76,85, 88

Fair Value traduction littérale juste valeur, c'est le mon-tant pour lequel un actif pourrait être échangé,ou un passif éteint, entre parties bien informées,consentantes, et agissant dans des conditions deconcurrence normale, 22, 23, 25, 35, 91

HTM (Held-to-maturity), détenus jusqu'à échéance,10, 22, 29, 35, 68, 71, 91

liquidité la liquidité d'un marché nancier représente lacapacité à acheter ou à vendre rapidement lesactifs qui y sont cotés sans que cela ait d'eetmajeur sur les prix. Plus un marché est liquide,plus il est aisé, rapide et peu coûteux d'y réaliserdes transactions (Wikipedia), 26

market value valeur de marché (qui peut être calculée commela moyenne des present value pour des simula-tions de Monte Carlo), 78

present value valeur actuelle d'un cash-ow ou d'un ux, 76

risque-neutraliser de l'anglais to risk-neutralize, qui signie sup-primer la partie risquée d'un ux ou d'un objetnancier, 13, 35, 47, 50, 58, 60

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Glossaire

taux d'actualisation (discount rate) : taux utilisé pour convertir lesvaleurs futures en valeurs actuelles. Ce taux per-met de rendre comparable un revenu futur àun revenu immédiat ou actuel. Il dépend dutaux d'intérêt du marché, du taux d'ination,du coût des capitaux de l'entreprise. Dans lescalculs de choix d'investissement, le taux d'ac-tualisation est le coût du capital de l'entreprise,parfois ajusté pour tenir compte du risque. Dic-tionnaire de la nance, 2ème édition (2001), Jo-sette et Max Peyrard, Vuibert, 3, 13, 17, 26, 88,89

100

Table des gures

1.1 Acteurs des diérentes réformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Les trois piliers de Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Du Bilan comptable au Bilan économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Décomposition du taux de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Courbe des taux IA en juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Courbe des taux forward implicte liés à la courbe des taux de l'IA . . . . . . . . . 263.3 Données historiques de certains taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Historique des taux de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Courbes des taux swap (CNO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6 Courbes des taux swap (CNO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7 Courbe des taux IA en juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Dégradation des ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Dégradation des ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Evolution des spreads avec l'horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Évolution des Bilan, avec et sans la Prime Contracyclique . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1 Évolution du résultat dans diérents Scénarios Économiques . . . . . . . . . . . . . 666.2 Évolution du résultat des Scénarios Économiques retenus pour l'étude . . . . . . . 68

7.1 Évolution du Best Estimate pour plusieurs niveaux de Prime Contracyclique (en %) 727.2 Écart relatif de Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3 Écart relatif de Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.4 Variation du déateur avec πcc = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.5 Diérentes courbes d'actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.6 Déateurs (gauche) et leurs variations relatives (droite) . . . . . . . . . . . . . . . 767.7 Évolutions relatives de Best Estimate (en %) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.8 Évolutions relatives de Best Estimates (en %) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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Table des gures

102

Liste des tableaux

4.1 Échelles des agences de notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Échelle de notation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Notations des diérentes dettes de la zone euro (mi-aout 2012) . . . . . . . . . . . 354.4 Informations initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Informations initiales sur les probabilités de transition . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Matrice de transition risque-neutre à horizon 1 an . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Matrice de transition risque-neutre à horizon 5 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8 Cash-ows initaux et taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9 Probabilité de défaut en fonction des ratings initiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.10 Spreads de crédit à diérents horizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.11 Risque-neutralisationdes coupons BB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Flux des Actifs avant la prise en compte du défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Probabilités de défaut utiles à notre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Flux risque-neutralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Taux d'actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1 Évolution relative du rapport PVFP/PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Scénarios retenus pour l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3 Cadrage des coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.1 Scénarios retenus pour l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2 Ecarts relatifs de Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.1 Taux sans risque publié par l'IA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.1 Échelle de notation Standard & Poor's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2 Informations initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.3 Matrice de transition risque-neutre à horizon 5 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.4 Matrice de transition risque-neutre à horizon 10 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.5 Matrice de transition risque-neutre à horizon 15 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.6 Matrice de transition risque-neutre à horizon 20 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.7 Matrice de transition risque-neutre à horizon 25 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.11 Risque-neutralisation selon diérents ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.8 Matrice de transition risque-neutre à horizon 30 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.9 Matrice de transition risque-neutre à horizon 40 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.10 Matrice de transition risque-neutre à horizon 50 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.1 Flux actualisés du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

D.1 Variation du déateur avec πcc = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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