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Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
ROTACIÓN DE ESFUERZOS EN UN
MATERIAL GRANULAR DEBIDO A UNA
CARGA PRODUCIDA POR UN NEUMÁTICO
Realizado por:
Laura Moreno López
Asesor:
Nicolás Estrada Ph.D.
Diciembre de 2014
i
“Unfortunately, soils are made by nature
and not by men and the products of nature
are always complex”
Terzaghi. 1936
ii
AGRADECIMIENTOS
Realizando este proyecto de grado pude darme cuenta de la importancia de la voluntad y
perseverancia que me han enseñado mis padres y que he venido fortaleciendo con el
ejemplo de los profesores de la Universidad. Sólo me resta agradecerles por enseñarme
con paciencia e insistencia, no sólo los conceptos teóricos, sino la importancia de estudiar
para darle al país una mejor versión de mí misma.
iii
CONTENIDO
Agradecimientos ................................................................................................................. ii
Tabla de figuras, ecuaciones y tablas............................................................................. iv
Figuras ....................................................................................................................... iv
Ecuaciones ................................................................................................................. iv
Tablas ......................................................................................................................... v
1. Introducción ................................................................................................................ 1
2. Esfuerzos geoestáticos ............................................................................................... 2
3. Esfuerzos en pavimentos flexibles .............................................................................. 4
3.1 Pavimentos flexibles ............................................................................................ 4
3.2 Distribución de esfuerzos ..................................................................................... 4
3.3 Limitaciones de la teoría de Boussinesq y otros métodos .................................... 6
4. Modelo numérico ........................................................................................................ 8
4.1 Simulación de modelos y sus métodos ................................................................ 8
4.1.1 Método de elementos discretos en la ingeniería geotécnica ......................... 8
4.2 Construcción de la muestra ................................................................................. 9
4.2.1 Generación ................................................................................................... 9
4.2.2 Densificación ................................................................................................ 9
5. Resultados ................................................................................................................ 13
5.1 Modelo sin neumático ........................................................................................ 13
5.2 Modelo con neumático ....................................................................................... 16
5.3 Diferencias notables entre los modelos ............................................................. 19
5.4 Alcance del estudio ............................................................................................ 20
6. Conclusiones ............................................................................................................ 22
7. Referencias .............................................................................................................. 24
iv
TABLA DE FIGURAS, ECUACIONES Y TABLAS
Figuras
Figura 1. Diagrama de fase para una muestra de suelo de volumen unitario. Fuente:
Principles of Geotechnical Engineering. (Das, 2006) ......................................................... 2
Figura 2. Presiones sobre un corte seleccionado. Fuente: Principles of Geotechnical
Engineering. (Das, 2006) ................................................................................................... 3
Figura 3. Distribución de esfuerzos sobre un pavimento flexible. ....................................... 4
Figura 4. Esfuerzos en un medio elástico. Fuente: Pavement Desing and Materials
(Papagiannakis & Masad, 2008) ........................................................................................ 5
Figura 5. Bulbos de esfuerzos ante una carga puntual. Fuente: Paviment Analysis.
(Ullidtz, 1987) .................................................................................................................... 6
Figura 6. Huella de un neumático. Fuente: Evaluation of effects of tire size and inflation
pressure on tire contact stresses and pavement response. (Emmanuel G., Musani, Park, &
Liu, 2004) ........................................................................................................................... 6
Figura 7. Arreglo de partículas. .......................................................................................... 9
Figura 8. Proceso de densificación estado inicial. ............................................................ 10
Figura 9. Proceso de densificación estado intermedio. .................................................... 10
Figura 10. Proceso de densificación. ............................................................................... 10
Figura 11. Proceso de densificación estado final ............................................................. 10
Figura 12. Muestra del marco inicial, con el neumático sin tocar la muestra del suelo. .... 11
Figura 13. Muestra del marco inicial, con el neumático cuando la toca muestra del suelo.
........................................................................................................................................ 11
Figura 14. Muestra del maco final con el neumático con la densidad equivalente al peso
del vehículo. .................................................................................................................... 12
Figura 15. Muestra del maco final en detalle con el neumático con la densidad equivalente
al peso del vehículo. ........................................................................................................ 12
Figura 16. Red de contactos del modelo. ......................................................................... 13
Figura 17. Red de fuerzas escalada. ............................................................................... 13
Figura 18. Diagrama de esfuerzo verticales. .................................................................... 15
Figura 19. Tensores de esfuerzos de la muestra sin neumático ...................................... 15
Figura 20. Red de fuerzas del modelo con un neumático de bajo peso. .......................... 16
Figura 21. Red de fuerzas del modelo con el neumático de peso apropiado. .................. 17
Figura 22. Red de contacto del modelo con el neumático de peso apropiado. ................. 17
Figura 23. Tensores de esfuerzos de la muestra con el neumático. ................................. 18
Figura 24. Distribución de esfuerzos verticales calculados según Boussinesq y los
esfuerzos geoestáticos. ................................................................................................... 19
Ecuaciones
Ecuación 1. Relación de vacíos en una muestra de suelo de volumen unitario. ................. 2
Ecuación 2. Esfuerzos efectivos en una muestra de suelo seca. ....................................... 2
Ecuación 3. Esfuerzos verticales según la teoría de Boussinesq.en una dimensión. ......... 5
Ecuación 4. Coeficiente de presión lateral de tierras........................................................ 20
Ecuación 5. Esfuerzo horizontal de una muestra de suelo. .............................................. 20
v
Tablas
Tabla 1. Esfuerzos geoestáticos y su error según sus coordenadas. ............................... 14
Tabla 2. Relación de vacíos del primer modelo. ............................................................... 16
Tabla 3. Esfuerzos verticales ........................................................................................... 19
Tabla 4. Relación de vacíos de la muestra con sobrecarga. ............................................ 19
1. INTRODUCCIÓN
En el oficio de la ingeniería se establecen ciertos métodos para calcular los esfuerzos
máximos producidos en un material según una solicitación; para el caso de diseño de
pavimentos, o del estudio de suelos en general, las metodologías se basan en
comportamientos ideales o incluso en métodos empíricos. Este tipo de metodologías no se
ciñen a la realidad sino más bien a un comportamiento que se aleja de lo que está pasando
in-situ.
Como cualquier material, los pavimentos se someten a cargas debido al tránsito de los
vehículos que circulan sobre éstos durante periodos prolongados de tiempo desde el primer
hasta el último día de servicio, estas cargas se caracterizan por cambiar su posición en
función del tiempo.
Uno de los factores que ha sido poco estudiado y que no ha sido introducido ante las
metodologías mecanicistas más usadas, o incluso en ensayos triaxiales en suelos
granulares, es la rotación en los ejes principales de los esfuerzos. Este factor es un punto
clave para la caracterización de la carga que los pavimentos sostienen a diario.
Como se explicó anteriormente, la rotación de esfuerzos principales provee información
sobre el plano de mayor concentración de esfuerzos, los cuales pueden variar con respecto
a la anisotropía del material. Cuando no se tienen en cuenta esta consideración, se puede
llegar a sobreestimar la capacidad del suelo. Por lo que el propósito de este proyecto de
investigación es verificar la rotación de los esfuerzos principales ante una solicitación de
carga.
De tal manera, este estudio se basa en realizar la modelación de un suelo granular que
recibe esfuerzos geoestáticos y aquellos que son impuestos por el hombre, en este caso,
la carga del neumático de un vehículo, utilizando un software de simulación de elementos
discretos(SandBox) en dos dimensiones para determinar las condiciones de esfuerzos
sobre el material.
2
2. ESFUERZOS GEOESTÁTICOS
El suelo se forma a través de la erosión y transporte de las rocas que se fragmentan en
partículas formando arreglos de las mismas. Por lo mismo, una muestra de suelo de
determinado volumen se puede encontrar suelo, formado por minerales, y espacios vacíos
llenados por agua o aire. Los diagramas de fase, tal como se muestra en la Figura 1,
permiten observar como está compuesto el suelo y como sus propiedades de masa y
volumen se relacionan. En Ecuación 1 se encuentra descrita la relación de vacíos de una
muestra, esta permite caracterizar la relación del cuanto volumen de vacíos con respecto a
los sólidos en la misma.
Figura 1. Diagrama de fase para una muestra de suelo de volumen unitario. Fuente: Principles of Geotechnical Engineering. (Das, 2006)
Ecuación 1. Relación de vacíos en una muestra de suelo de volumen unitario.
𝑒 =𝑉𝑣𝑉𝑠
=𝐺𝑠𝛾𝑤
𝛾− 1
Estos espacios vacíos los cuales, pueden ser llenados por agua o aire, junto con el peso
natural del suelo producen un esfuerzo sobre este. Tales esfuerzos son calculados en una
sección trasversal de la muestra (Das, 2006). En Figura 2 se encuentran descritas las
presiones sobre un corte seleccionado cuya descomposición en un área infinitesimal y
suma de los mismos resultan en:
Ecuación 2. Esfuerzos efectivos en una muestra de suelo seca.
𝜎′ = 𝛾𝑧
3
Figura 2. Presiones sobre un corte seleccionado. Fuente: Principles of Geotechnical Engineering. (Das, 2006)
Debido a la configuración que se trabajará durante el estudio, un suelo seco, no será
necesario tener en cuenta cómo la presión de poros influye con el esfuerzo efectivo que es
definido como aquel esfuerzo que soporta el suelo. Además, es importante observar que
este esfuerzo aumente a medida que la distancia a la superficie incrementa, debido a que
la magnitud de los vectores de fuerza son cada vez mayores debido a que el volumen
aumenta según su espesor.
4
3. ESFUERZOS EN PAVIMENTOS FLEXIBLES
3.1 PAVIMENTOS FLEXIBLES
Los pavimentos hacen parte de nuestra vida cotidiana, con estos se construyen vías,
aeropuertos, caminos y demás; por lo que hacen parte esencial del desarrollo comercial y
de la calidad de vida de un país (Mallick & El-Korchi, 2009). Su principal función es
garantizar seguridad a los usuarios de construcción que se trasladan en a un lugar
específico, se asocia con la capacidad de resistir los esfuerzos impuestos sin obtener
grandes deformaciones que impliquen la seguridad y comodidad al usuario.
El pavimento es una estructura conformada por capas superpuestas que se suponen
horizontales diseñadas para soportar los esfuerzos producidos por las cargas repetidas del
tráfico de vehículos. Los pavimentos flexibles son un tipo de estas estructuras, éstos están
formados por tres capas: una bituminosa y otras dos no rígidas conocidas como la base y
sub-base (Montejo Fonseca, 2006). Cualquiera de estas dos capas puede estar compuesta
por suelos gruesos y son aquellas que transmiten los esfuerzos al terreno natural conocido
como sub-rasante (Montejo Fonseca, 2006).
3.2 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS
Para comprender la transmisión de esfuerzos sobre este tipo de pavimentos es
indispensable conocer cómo se aplica la carga sobre el suelo, tal y como se muestra en la
Figura 3, en donde se pretende disminuir el esfuerzo sobre la sub-rasante. Este se puede
simplificar tal y como se propone en el modelo propuesto por Boussinesq en 1883 (Das,
2006).
Figura 3. Distribución de esfuerzos sobre un pavimento flexible. Fuente: Pavement Desing and Materials (A.T. Papagiannakis & E.A. Masad, 2008)
5
En su teoría de distribución de esfuerzos, los esfuerzos producidos por una carga uniforme
circular en un elemento infinitesimal cuya dimensión longitudinal es infinita. Es importante
resaltar que se considera que la masa es elástica, homogénea e isotrópica (Montejo
Fonseca, 2006). Este modelo se observa en la Figura 4, y sus esfuerzos vienen descritos
en la Ecuación 3.
Figura 4. Esfuerzos en un medio elástico. Fuente: Pavement Desing and Materials (Papagiannakis & Masad, 2008)
Ecuación 3. Esfuerzos verticales según la teoría de Boussinesq.en una dimensión.
𝜎𝑧 = 𝑝
[
1 −1
(𝑎2
𝑍2 + 1)
32
]
En donde,
𝑝 : Presión de inflado
𝑎 : Radio de placa circular
𝑍 : Profundidad
𝜎𝑧 : Esfuerzo vertical
Se puede observar, que los esfuerzos verticales son proporcionales a la carga y disminuyen
según la profundidad. Tal y como se propone en la Figura 5, en la cual se muestran el
cálculo de bulbos de esfuerzos verticales. También, se pueden encontrar otros modelos
propuestos de varios materiales como bicapas, tricapas y multicapas.
6
Figura 5. Bulbos de esfuerzos ante una carga puntual.
Fuente: Paviment Analysis. (Ullidtz, 1987)
3.3 LIMITACIONES DE LA TEORÍA DE BOUSSINESQ Y OTROS MÉTODOS
Como se expuso anteriormente, esta teoría supone homogeneidad, carga circular, isotropía
y elasticidad del material y un medio semi-infinito. A diferencia de la realidad, en la cual, se
podría afirmar que se trata de un material viscoelástico, no homogéneo y sometido a cargas
que presentan una variedad de formas ilimitadas, ya que estas dependen del tipo de
neumático, de la presión de inflado y demás, evidencia de esto se presenta en la Figura 6
en donde se puede observar las huellas de unos neumáticos y cómo éstas varían sobre la
suposición de forma circular.
Figura 6. Huella de un neumático.
Fuente: Evaluation of effects of tire size and inflation pressure on tire contact stresses and pavement response. (Emmanuel G., Musani, Park, & Liu, 2004)
7
Sin embargo, existen otras herramientas para el análisis de la respuesta de un suelo ante
una carga, como:
Método de elementos finitos
Método de elementos discretos
Métodos no lineales
Cada uno de estas tiene limitaciones importantes pero aportan análisis fundamentales ante
los esfuerzos y deformaciones para el diseño del pavimento (Montejo Fonseca, 2006). En
este documento se hablará específicamente sobre el método de los elementos discretos
donde no existe un material continuo, sino, partículas con las mismas propiedades
mecánicas. Este método, como cualquier otro, tiene limitaciones, relacionadas tanto del
modelo numérico preparado, como con el método de análisis escogido, éstas se
mencionarán más adelante.
8
4. MODELO NUMÉRICO
4.1 SIMULACIÓN DE MODELOS Y SUS MÉTODOS
La simulación de modelos de sistemas complejos se ha vuelto un paradigma, ya que se
busca una representación simplificada del sistema a estudiar con el fin de proveer
predicciones sobre su comportamiento en una situación particular. El modelo es esta
representación simplificada que guarda ciertos aspectos del prototipo para poder medir y
analizar la información que se esté estudiando. Incluso, cuando se habla de modelar se
relaciona con la abstracción y la simplificación, ya que si se reprodujera cada detalle el
modelo sería muy costoso computacionalmente, por lo que se busca es representar la de
la mejor manera el sistema sin incurrir a grandes errores o por el contrario, grandes costos
computacionales (Altiok & Melamed, 2007).
En consecuencia, el modelo propuesto pretende explicar y analizar la rotación de esfuerzos
sobre un material granular, específicamente con una carga generada por un neumático. De
tal manera, se simplificó el sistema de tal forma que su representación fuera sencilla y el
comportamiento del material fuera fácil de analizar. Sin embargo, existen limitaciones que
se refieren al esfuerzo distribuido, la configuración, la forma del material y el número de
partículas que actualmente existe en un prototipo.
4.1.1 Método de elementos discretos en la ingeniería geotécnica
Existen varios métodos para la modelación de muestras, entre ellos los elementos discretos
o DEM permiten simular materiales compuestos por partículas que interactúan entre ellas.
Esta herramienta se ha vuelto cada vez más popular en las últimas tres décadas para
analizar sistemas discontinuos, como en la geotecnia donde describe las interacciones de
la partícula (Johnson & Williams, 2002).
Varios métodos pueden agruparse bajo DEM, uno de estos y el más utilizado en mecánica
de suelos es el de la dinámica molecular el cual viene descrito por las ecuaciones de la
dinámica: las fuerzas de contacto. Básicamente, es un algoritmo de integración del
movimiento y una estrategia de solución. (Estrada). En un primer nivel, las ecuaciones de
la dinámica son aquellas que se gobiernan por la primera ley de Newton, donde se relaciona
las fuerzas y torques ejercidas por cada partícula sobre las demás.
Por otro lado, las fuerzas de contacto entre partículas encontacto, se obtienen componentes
de fuerzas normales y tangenciales. Las partículas en contacto se deforman,fenómeno que
es representando por un traslapo entre ellas, donde la fuerza ejercida se puede modelar
como un material con aportes viscosos y elásticos. La parte elástica asegura una
deformación, mientras que la viscosa disipa energía durante las colisiones. Con respecto al
algoritmo de integración del movimiento, su objetivo es resolver las ecuaciones de las
partículas, en donde, básicamente, se calculan las posiciones y velocidades en el tiempo.
(Estrada).
9
Finalmente, se debe establecer una estrategia de solución en donde se asignen grados de
libertad a las partículas, ya sean fuerzas o posiciones; luego, para cada paso de tiempo, se
detectan las partículas que están en contacto, se calcula las fuerzas entre partículas, y
finalmente se calculan nuevas posiciones y velocidades. (Estrada)
4.2 CONSTRUCCIÓN DE LA MUESTRA
El modelo generado se implementó en el software SandBox. Para la construcción de la
muestra de deben seguir los pasos de generación y densificación, para luego establecer el
sistema que se compone de la muestra granular modelada con 9,800 discos y el neumático
encima ésta. En general, en el modelo se especifican parámetros de entrada, como: el radio
mínimo y el máximo, el tamaño de la muestra, el tamaño del neumático y su peso.
4.2.1 Generación
Este hace referencia a la creación de las partículas que conforman el sistema, para esto,
se introducen parámetros de entrada en las que se especifica el tamaño de la muestra y el
ancho de la misma. Se obtiene una grilla de 140 columnas y 70 filas separadas por 0.01m
donde se ubican discos de radios aleatorios como el que se muestra en la Figura 7.
Figura 7. Arreglo de partículas.
4.2.2 Densificación
En este proceso, se obtiene el modelo producido en el paso anterior y en donde ninguna
partícula se toca contra otra, y se deja actuar la fuerza de gravedad, expresada en el
sistema internacional de unidades.
Este proceso se encuentra descrito en las imágenes en la Figura 8, Figura 10, Figura 9 y
Figura 11, en donde por medio de pasos de tiempo de 0.25 segundos se obtiene una
imagen, es decir que casi toda la densificación dura menos de 1 segundo.
La configuración final se encuentra en la Figura 11, a partir de este modelo se pueden
generar figuras para establecer la red de contactos de la muestra y las fuerzas que se están
generando, su magnitud se especifica en el ancho de las líneas que unen los centroides de
las partículas. Ambas, son esenciales para la comparación de las mismas luego de
establecer un esfuerzo sobre la capa de material granular
10
Figura 8. Proceso de densificación estado inicial.
Figura 9. Proceso de densificación estado
intermedio.
Figura 10. Proceso de densificación.
Figura 11. Proceso de densificación estado final
11
Luego, se construyó otra partícula con una densidad y radio mucho mayor que se deja caer
desde una pequeña distancia ésta representará un neumático con un ancho unitario con la
misma densidad del suelo para no producir grandes deformaciones. En la Figura 12 y Figura
13 se muestra el proceso del neumático cayendo sobre la muestra.
Figura 12. Muestra del marco inicial, con el neumático sin tocar la muestra del suelo.
Figura 13. Muestra del marco inicial, con el neumático cuando la toca muestra del suelo.
12
En este punto, se cambia la densidad de la partícula para que alcance un peso de 250 kg,
equivalente un cuarto de la masa de un vehículo de 1 tonelada. En la Figura 14 se observa
el marco final luego de cambiar la densidad del neumático, en la Figura 15 se puede ver el
detalle de la misma.
Figura 14. Muestra del maco final con el neumático con la densidad equivalente al peso del vehículo.
Figura 15. Muestra del maco final en detalle con el neumático con la densidad equivalente al peso del vehículo.
Con estas simulaciones desarrolladas se puede proceder al cálculo de fuerzas internas y
comparación con los cálculos de las teorías de esfuerzos geoestáticos y de Boussinesq y
verificar cómo se comporta el tensor de esfuerzos en la muestra con y sin neumático y como
los esfuerzos cambian según posición espacial.
13
5. RESULTADOS
5.1 MODELO SIN NEUMÁTICO
Al correr el modelo sin neumático se obtienen imágenes que proporcionan información
sobre la red de contactos y de fuerzas como se observa en la Figura 16 y Figura 17
respectivamente. En ambas figuras se puede afirmar que existen algunas partículas que no
hacen parte de éstas redes.
Figura 16. Red de contactos del modelo.
Figura 17. Red de fuerzas escalada.
14
Es importante aclarar que en la Figura 17 la magnitud de la fuerza es proporcional al ancho
de las líneas de la red. Por lo que se puede determinar que el esfuerzo es proporcional a la
profundidad, tal y como sugiere la teoría de esfuerzos geoestáticos.
También se puede calcular el tensor de esfuerzos sobre una región específica del modelo,
estos vectores son escalados según el mayor encontrado y se tiene en cuenta la dirección
y magnitud de cada uno de ellos. Es importante resaltar que se trabajó con una muestra
pequeña en el modelo debido a su costo computacional, por lo que se corrieron
simultáneamente cuatro muestras construidas, es decir que la distribución de tamaños de
partículas es diferente en cada una. Con estas se promedió los esfuerzos de valores
propios.
Debido a las condiciones establecidas, sabemos que no todas las partículas interactúan de
la misma forma, por lo que el tensor de esfuerzos tiende a variar en función de la
profundidad y de la posición. Para verificar éstos se comparó con los esfuerzos obtenidos
del cálculo por esfuerzos geoestáticos. Se obtuvo la relación de vacíos a través del
programa y se calculó la densidad seca de la muestra sabiendo que:
𝐺𝑠 =𝜌𝑠
𝜌𝑤=
2600𝑘𝑔𝑚3
1000𝑘𝑔𝑚3
= 2.6
Por lo que,
𝛾 =𝐺𝑠𝛾𝑤
1 + 𝑒=
2.6 ∗ 9810𝑁𝑚3
1 + 0.296= 19.677
𝑘𝑁
𝑚
Y se calculan los esfuerzos verticales en función de la profundidad, cuyas magnitudes y
errores asociados se presentan a continuación,
Tabla 1. Esfuerzos geoestáticos y su error según sus coordenadas.
Coordenadas Esf. Geostáticos
x y σ % Error
0.07 0.05 7239.252 6.980%
0.21 0.05 7239.252 4.667%
0.35 0.05 7239.252 5.612%
0.49 0.05 7239.252 9.103%
0.63 0.05 7239.252 6.313%
0.07 0.15 5170.894 11.337%
0.21 0.15 5170.894 11.358%
0.35 0.15 5170.894 12.886%
0.49 0.15 5170.894 10.941%
0.63 0.15 5170.894 11.205%
Coordenadas Esf. Geostáticos
x y σ % Error
0.07 0.25 3102.536 23.789%
0.21 0.25 3102.536 20.405%
0.35 0.25 3102.536 18.865%
0.49 0.25 3102.536 17.942%
0.63 0.25 3102.536 17.256%
0.07 0.35 1034.179 51.535%
0.21 0.35 1034.179 53.838%
0.35 0.35 1034.179 48.451%
0.49 0.35 1034.179 46.996%
0.63 0.35 1034.179 46.253%
15
Por último, se dibujan los esfuerzos encontrados por la simulación al igual que su
inclinación, tal y como se representan en la Figura 19, en donde los tensores de esfuerzos
tienen poca rotación, de la misma forma que son proporcionales a su profundidad. Sin
embargo existen fluctuaciones a medida que la profundidad disminuye, tal como se muestra
en la Figura 18.
Figura 18. Diagrama de esfuerzo verticales.
Figura 19. Tensores de esfuerzos de la muestra sin neumático
16
Adicionalmente, se estableció la relación de vacíos como punto clave de verificar
deformaciones en el modelo que se presenta en la Tabla 2, estos tienen poca variabilidad
entre los sistemas y dependen de la distribución gravimétrica de cada sistema.
Tabla 2. Relación de vacíos del primer modelo.
Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 Promedio
e 23.575% 23.223% 23.231% 23.231% 23.315%
5.2 MODELO CON NEUMÁTICO
Se corrió el modelo con las posiciones y características del modelo anterior y se agregó
una partícula extra cuya posición será en la mitad del modelo en x y un poco más arriba de
la muestra. Básicamente, en la posición (0.35, 0.45) con la misma densidad del suelo
establecido, 2600 kg/m3. En la Figura 20 se muestran los esfuerzos del suelo, donde el la
magnitud de la fuerza es proporcional al ancho de la misma. Estos toman una forma de
bulbo tal como se había mencionado anteriormente, pero debido a que el peso no es el
correcto no se pueden evidenciar grandes diferencias con el anterior modelo.
Figura 20. Red de fuerzas del modelo con un neumático de bajo peso.
Luego de esta simulación, se corre el modelo la densidad apropiada del neumático,
equivalente a 5100 kg/m3, debido al peso adicional el neumático se entierra y genera
esfuerzos adicionales los cuales se pueden evidenciar en la Figura 21 por un bulbo de
presiones sobre el neumático.
17
Figura 21. Red de fuerzas del modelo con el neumático de peso apropiado.
Figura 22. Red de contacto del modelo con el neumático de peso apropiado.
18
Así también, la red de contactos de la Figura 22, evidencia nuevos contactos entre el
neumático y la muestra. Aquí, también se puede observar que no todas las partículas
aportan su resistencia en el modelo y que el peso del neumático es tal que produce
deformaciones plásticas en el material.
Es importante aclarar que, a partir de los cuatro modelos producidos en el programa se
obtuvieron esfuerzos promedios para observar la variación del tensor de esfuerzos en un
área específica de la muestra. En la Figura 23 se muestra la variación de los tensores a
través de sus posiciones, en esta se pueden identificar las regiones de la muestra que
fueron afectadas por el peso del neumático, ya sea por la rotación de los esfuerzos
principales o por la magnitud asociada a los mismos. Estos tensores fueron escalados al
mayor esfuerzo entre ellos.
Figura 23. Tensores de esfuerzos de la muestra con el neumático.
Para corroborar los resultados, se calcularon los esfuerzos producidos por una carga
circular con un área equivalente a la producida por el modelo de ancho unitario y una
longitud de contacto de 0.094 m la cual fue medida con el software. De tal manera,
𝑃 = 𝐹𝐴 = 250 𝑘𝑔 ∗ 9.81𝑚
𝑠2∗ 1 𝑚 ∗ 0.094𝑚 = 230.5
𝑘𝑁
𝑚
Y el área circular equivalente será,
𝐴 = 𝜋𝑟2 ∴ 𝑟 = √𝐴
𝜋= 0.173 𝑚
19
Y se calcula los esfuerzos según su profundidad sumándole los esfuerzos geoestáticos
como se hizo anteriormente. En la Tabla 3 se encuentra los resultados obtenidos y el error
relativo.
Tabla 3. Esfuerzos verticales
Profundidad (m) Esfuerzos verticales (kN/m2) % Error
0.05 1264.60757 61%
0.15 3282.73543 37%
0.25 5297.37599 12.54%
0.35 7337.49595 4.78%
Figura 24. Distribución de esfuerzos verticales calculados según Boussinesq y los esfuerzos geoestáticos.
Al igual que en el anterior modelo, los valores de relación de vacíos se presentan en Tabla
4 en donde se puede evidenciar hay una reducción con respecto al anterior de 0.5%. Se
puede entonces intuir que existe una reacomodación de partículas en el material.
Tabla 4. Relación de vacíos de la muestra con sobrecarga.
Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 Promedio
e 22.979% 22.694% 22.534% 22.760% 22.742%
5.3 DIFERENCIAS NOTABLES ENTRE LOS MODELOS
La diferencia más obvia entre los modelos corresponde a los tensores de esfuerzos: en el
primer modelo, los tensores de esfuerzos se parecen entre sí en cada escalón de
profundidad, además el esfuerzo principal vertical siempre es mayor al esfuerzo principal
horizontal, esto es típico en una muestra de suelo sin ninguna carga. Debido a que
20
coeficiente de presión de tierras siempre es menor a 1 y no existe ninguna perturbación en
el suelo, tal como se muestran en la Ecuación 4 y Ecuación 5.
Ecuación 4. Coeficiente de presión lateral de tierras.
𝐾0 = 1 − sin𝜙
Ecuación 5. Esfuerzo horizontal de una muestra de suelo.
𝜎ℎ = 𝜎𝑣𝐾0
Además en esta modelo, se pueden verificar la rotación de los esfuerzos principales, estos
deberían ser perpendiculares a los ejes de origen, pero estos se encuentran ligeramente
rotados debido a los pocos contactos entre las partículas con una relación de vacíos alta.
Por otro lado, en el modelo con neumático, los tensores de esfuerzos difieren
espacialmente, y no sólo en profundidad, esto se debe al bulbo de esfuerzos generado por
la sobrecarga impuesta al sistema. Debido a la misma, la muestra de suelo se deforma
plásticamente, pues no retorna a su estado original, disminuyendo su relación de vacíos,
pues se reacomodan las partículas reduciendo los vacíos.
Adicionalmente, los esfuerzos determinan el bulbo de esfuerzos, tal como lo sugirió
Boussinesq, ya que varían el ángulo y la magnitud de los esfuerzos geoestáticos, por lo
que, se producen máximos esfuerzos en un plano diferente al estudiado. Es importante
conocer estas condiciones puesto que los materiales granulares pueden presentar
anisotropía, especialmente debido a las condiciones iniciales. Estos, con una pequeña
variación pueden producir grandes cambios frente a las características generales de la
muestra, como el ángulo de fricción interna (Camacho Tauta, Reyes Ortiz, & Nieto Leal,
2006).
5.4 ALCANCE DEL ESTUDIO
Este estudio facilita evidenciar la rotación de esfuerzos en un material granular ante una
sobrecarga considerada como un neumático. Gracias a la dinámica de contactos se pueden
establecer modelos numéricos basados en algoritmos que puedan representar la realidad
de tal modo que se pueda comparar las teorías de esfuerzos, ya sea geoestáticos o
producidas por una carga.
Sin embargo, debido a que estos modelos sólo consideran ciertos parámetros de entrada,
se puede caer en errores debido a sus suposiciones. Por ejemplo, la carga en el neumático
se distribuye en un área que es generada por la deformación elástica del neumático que no
es considerada en el modelo, ya que se considera al neumático como una partícula rígida
con una densidad determinada. Además, esta interacción entre neumático-superficie
produce alteraciones entre la uniformidad de distribución de la carga sobre un área, según
el estudio de Emmanuel G. et al (2004), ésta distribución no es uniforme sobre el área y
cambia debido a la presión del aire contenido en el neumático, en su forma y demás
condiciones físicas aleatorias, efectos que no se tienen en cuenta en el modelo propuesto.
Así también, como se observó en la Figura 19 y la Figura 23, donde se muestran los
tensores de esfuerzos, estos están escalados al máximo esfuerzo producido en ambos. Por
21
lo que, la diferencia entre cada uno difiere en un máximo de 1000 kN/m2, que sólo genera
un incremento de un máximo de 8.3% de esfuerzos de más. Esta es una cantidad muy
pequeña para representar un gran cambio frente a la magnitud de esfuerzos, por lo que, si
se aumentara la carga y la cantidad de partículas, se podría apreciar cambios de esfuerzos
y magnitud más pronunciados.
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6. CONCLUSIONES
En conclusión, se puede observar como este el estudio proporciona información sobre el
comportamiento de la rotación de esfuerzos principales y cómo éstos varían en el modelo
propuesto y con respecto a las teorías expuestas al inicio del estudio. Esta información es
valiosa, debido a que si presenta un giro en el plano de esfuerzos principales en un material
anisotrópico se puede producir errores al caracterizar una muestra de suelo según su
resistencia al corte (Camacho Tauta, Reyes Ortiz, & Nieto Leal, 2006), por lo que su
dimensionamiento podría ser erróneo.
De manera general, el modelo se trata de una simulación basada en algoritmos de dinámica
de contactos que se basa en el software SandBox proporcionado por el profesor, a este se
le ajustaron parámetros de entrada básicos para generar una muestra de 9800 partículas
con una distribución probabilística uniforme de radios máximos y mínimos. Se generó la
sedimentación de dicha muestra de partículas por efectos gravitatorios y a partir de ésta,
se añadió una partícula más grande que representara un neumático, por lo que se cambió
la densidad para generar un peso equivalente a un cuarto de tonelada, peso que sostiene
un neumático en un automóvil pequeño.
Al desarrollar estos modelos se prosiguió a posprocesar la información para obtener los
tensores de esfuerzos según las posiciones en x y y, al igual que la rotación de los mismos.
Se realizó un esquema general con esta información escalada al mayor esfuerzo
encontrado para tener una idea de las diferencias entre ambas e identificar la influencia de
una sobrecarga solicitada como un neumático de manera acorde con el bulbo propuesto en
la teoría de Boussinesq.
Luego, se verificó la red de contactos y de fuerzas cuya información permitió observar y
concluir que no todas las partículas hacen parte de estas redes, por lo que no contribuyen
a la resistencia del material. Sin embargo, la red de fuerzas sugiere como los esfuerzos se
distribuyen según su espacialidad. Por ejemplo, se observa que el esfuerzo actúa como
función de la profundidad y como la carga del neumático se distribuye en la misma.
Para tener generar las comparaciones entre los esfuerzos obtenidos y los calculados se
verificó las magnitudes verticales con respecto a los esfuerzos geoestáticos y la teoría de
Boussinesq, que se basan en la mecánica de suelos con supuestos que hay que considerar,
específicamente Boussineq. En ambos casos se utilizó ecuaciones para las relaciones
gravimétricas y volumétricas para encontrar la densidad del material con respecto a los
vacíos calculados por el programa. Las magnitudes entre el valor obtenido en el modelo y
por la teoría sugieren que a pesar de que existen ciertas diferencias, no difieren de manera
significativa.
A partir de estos resultados se puede notar que existe una rotación de esfuerzos en el
tensor de la misma naturaleza, al imponer una carga como la de un neumático; en contraste,
ante la ausencia de dicha carga, simplemente los tensores de esfuerzos no presentarían
23
ningún tipo de rotración. Sin embargo, en el modelo sin el neumático, se presentan ciertas
variaciones a este supuesto, esto se debe al tamaño del modelo y a los contactos entre las
partículas. Si se hubiese desarrollado un modelo con más partículas, dichas variaciones
serían imperceptibles. Además, se verificó como cambió la relación de vacíos en ambos
casos, la cual disminuyó para el caso con neumático. Por lo tanto, se puede concluir que
el peso del neumático reacomodó las partículas reduciendo los vacíos y deformando la
muestra.
En definitiva, el estudio cumple con su propósito a la hora de discernir sobre la rotación de
esfuerzos sobre el tensor de los mismos. Sin embargo existen limitaciones en cuanto a la
distribución de la carga sobre un área específica, el tamaño de la muestra y el peso del
neumático. Estos parámetros proporcionan información sobre la carga y podría registrar
mejor como es la verdadera influencia de la misma sobre un suelo granular. Finalmente, se
pudo evidenciar una rotación en los tensores de esfuerzos y un aumento de magnitud por
parte de los esfuerzos principales debido a una sobrecarga que fue solicitada como un
neumático.
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7. REFERENCIAS
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Academic Press.
Camacho Tauta, J. F., Reyes Ortiz, O. J., & Nieto Leal, A. (Julio de 2006). Anisotropía de
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