Rojas, Trujillo, Barba, Calculo

8/22/2019 Rojas, Trujillo, Barba, Calculo

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G. Rojas - J. C. Trujillo - F. Barba

CLCULO EN UNA VARIABLE

Clculo diferencial - Integral

Editado por J. C. Trujillo

Escuela Politcnica Nacional

Febrero 2010


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Tabla de contenidos

1 Lmites 9

1.1 Aproximar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 La recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Formulacin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Aproximacin numrica al concepto de lmite . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 La definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Solucin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 La definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Dos observaciones a la definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4 Continuidad de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5 Interpretacin geomtrica de la definicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6 Energa solar para Intipamba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.6.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6.3 El problema matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.4 Solucin del problema matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.5 Solucin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6.6 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.7 Propiedades de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.7.2 Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.8 El lmite de una composicin: cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.9 El teorema del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.10 Lmites unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.11 Lmites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.11.1 Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.11.2 Propiedades de los lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.11.3 Lmites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.11.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


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4 TABLA DE CONTENIDOS

2 La derivada: su motivacin 101

2.1 La recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.2 Cmo medir el cambio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.2.1 Cunto cuesta producir autos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.2.2 Las variables representan magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2.3 La funcin como modelo de la dependencia entre magnitudes . . . . . 1052.2.4 La variaciones absoluta y relativa como medidas del cambio . . . . . . 107

2.3 Razn de cambio, elasticidad y magnitudes marginales . . . . . . . . . . . . . 1092.3.1 Magnitudes marginales en Economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.3.2 Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.4 La descripcin del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.4.1 El concepto de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.4.2 Caso general: movimiento no-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.5 Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3 La derivada: definicin y propiedades 1253.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.3 Propiedades de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.5 La regla de la cadena o la derivada de la compuesta . . . . . . . . . . . . . . . 1393.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.7 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.9 Derivacin implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.11 Derivada de la funcin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.13 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.15 Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 La derivada: aplicaciones 153

4.1 Romeo y Julieta: la modelizacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.1.1 Identificacin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.1.2 Elaboracin del modelo matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.2 Extremos globales o absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.3 Extremos locales o relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.4 Monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.6 Teoremas del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.8 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.8.1 Punto intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.8.2 Segmento que une dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.8.3 Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dados en E2 . . . . . . . 1714.8.4 Funciones convexas y cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.9 Puntos de inflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.11 Graficacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


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TABLA DE CONTENIDOS 5

4.13 Problemas de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.15 Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.15.1 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.15.2 Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.16 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5 La integral indefinida 193

5.1 Primitivas e integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.2 La diferencial y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.3 Cambios de variables en integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.5 Integrales de potencias de sen y cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.6 Integrales de potencias de sec y tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.7 Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.8 Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.8.1 Integracin de fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.8.2 El mtodo de las fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.8.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6 La integral definida 223

6.1 El Palimpsesto de Arqumides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.2 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.3 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.4 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.5 El valor medio o promedio de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.6 El teorema del valor medio para la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 2366.7 Otra propiedad de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.8 El teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.9 El cambio de variable para la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7 Aplicaciones de la integral definida 249

7.1 La ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.2 Definicin de longitud, rea y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3 El rea de una figura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.4 Clculo de volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.4.1 Volumen de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.4.2 Clculo de volmenes por elementos de seccin (rodajas) . . . . . . . . 2567.4.3 Clculo de volmenes de slidos de revolucin por arandelas . . . . . . 258


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7.4.4 Clculo de volmenes de slidos de revolucin por cortezas . . . . . . . 2597.5 Modelizacin y solucin al problema de la ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . 261

7.5.1 Identificacin del modelo matemtico a usarse . . . . . . . . . . . . . . 2617.5.2 Solucin del problema matemtico del volumen de la cruz . . . . . . . 2627.5.3 Solucin del problema de la ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.5.4 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.6 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.7 rea de superficies de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.7.1 Caso con giro alrededor del eje Ox. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.7.2 Caso con giro alrededor del eje Oy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.8 El valor medio de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.9 Masa y densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.10 Posicin, velocidad y aceleracin de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.11 Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.11.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7.12 Presin hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837.12.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

7.13 Momentos de masa y Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.13.1 Caso de sistemas en lnea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.13.2 Caso de sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.13.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

7.14 Aplicaciones en economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

7.14.1 Ingreso de una empresa o un gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.14.2 Supervit del consumidor y del productor . . . . . . . . . . . . . . . . 2947.14.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.15 Integracin de funciones racionales de seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . 2957.15.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

7.16 Sustituciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2977.16.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

7.17 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037.17.1 Tipo I. Integrales impropias de dominios infinitos . . . . . . . . . . . . 3037.17.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3047.17.3 Tipo II. Integrales con integrandos no acotados . . . . . . . . . . . . . 305

7.17.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3057.17.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

7.18 Integracin aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.18.1 Mtodo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.18.2 Mtodo de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3077.18.3 El mtodo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3097.18.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8 Funcin logaritmo y exponencial 3138.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3138.2 Sentido de la expresin ax para x Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.3 La funcin logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

8.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.4 Funcin exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319


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TABLA DE CONTENIDOS 7

8.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3228.5 Definicin de ax, a > 0, x R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

8.5.1 generalizacin de la regla de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 3258.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.6 Funcin loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.7 Funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.8 Ejercicios adicionales de funciones Exponenciales y logartmicas . . . . . . . . 331

9 Sucesiones y series 333

9.1 Sucesiones numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339.1.1 Las sucesiones numricas vistas como -tuples . . . . . . . . . . . . . 3339.1.2 Las sucesiones como funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.1.3 Sucesiones acotadas, de Cauchy y convergentes . . . . . . . . . . . . . 3359.1.4 Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3359.1.5 Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

9.1.6 Convergencia de sucesiones montonas y acotadas . . . . . . . . . . . 3389.1.7 Criterio de Cauchy. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419.3 Series numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

9.3.1 Series telescpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449.3.2 Propiedades algebraicas de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

9.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3489.5 Series de trminos no-negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3489.6 Criterio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509.7 Criterios de comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9.7.1 Criterio de la razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589.9 Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3619.11 Criterio general de la razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3619.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3629.13 Error de aproximacin del lmite de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3639.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3659.15 Convergencia puntual de sucesiones y series de funciones reales . . . . . . . . 3659.16 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3669.17 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3719.18 Derivacin e Integracin de Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

9.19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3749.20 Series de Taylor y de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3759.21 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3799.22 Serie Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3799.23 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

A Tablas de integracin 381A.1 Formas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381A.2 Formas en las que interviene

a2 + u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

A.3 Formas en las que interviene

a2 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382A.4 Formas en las que interviene

u2 a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

A.5 Formas con las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383A.6 Formas con funciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . 384A.7 Formas con funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385


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Lmites 11.1 Aproximar

Aproximar es la palabra clave de la ciencia y de la tecnologa modernas. En efecto, conscienteo no, el trabajo de todo cientfico ha sido el de elaborar modelos que se aproximan a unarealidad compleja que el cientfico quiere comprender y explicar. Los nmeros son, quizs, laprimera herramienta que cre el ser humano para la elaboracin de dichos modelos.

A pesar de que se han construido conceptos de un alto nivel de abstraccin para la nocinde nmero, la prctica cotidiana se remite casi exclusivamente a la utilizacin de nmerosdecimales. Ms an, se utilizan frecuentemente una o dos cifras decimales a lo ms. Porejemplo, en la representacin de cantidades de dinero, se utilizan hasta dos cifras decimalesque indican los centavos. O, si se requiere dividir un terreno de 15 hectreas entre sieteherederos y en partes iguales, se dividir el terreno en parcelas de aproximadamente 157 de

hectrea y, en la prctica, cada parcela tendr unas 2.14 hectreas.En realidad, todo lo que se hace con cualquier nmero a la hora de realizar clculos es

aproximarlo mediante nmeros decimales. Es as que, cuando en los modelos aparecen nmeroscomo ,

2 o 43 , en su lugar se utilizan nmeros decimales.

Veamos esta situacin ms de cerca. Si convenimos en utilizar nmeros decimales consolo dos cifras despus del punto, qu nmero o nmeros decimales deberamos elegir paraaproximar, por ejemplo, el nmero 43 ? Los siguientes son algunos de los nmeros decimalescon dos cifras despus del punto que pueden ser utilizados para aproximar a 43 :

1.31; 1.32; 1.33; 1.34; 1.35.

Dado que ninguno de ellos es exactamente el nmero 43 , el que elijamos como aproximacindebera ser el menos diferente del nmero 43 . Ahora, la resta entre nmeros es el modo comose establece la diferencia entre dos nmeros. A esta diferencia le vamos a considerar como elerror que se comete al aproximar 43 con un nmero decimal con dos cifras despus del punto.

As, si se utilizara 1.31 como aproximacin, el error cometido se calculara de la siguientemanera:

4

3 1.31 = 4

3 131

100

=400

300 393

300=

7

300.

Es decir, el error que se comete al aproximar 43 con 1.31 es7

300 .


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10 Lmites

En cambio, si se utilizara 1.32 para aproximar 43 , el error cometido sera:

4

3 1.32 = 4

3 132

100

=400

300 396

300=

4

300.

Vemos que 1.32 es una mejor aproximacin de 43 que 1.31 en el sentido de que el error quese comete al aproximar 43 con 1.32 es de

4300 , que es menor que

7300 , el error que se comete al

aproximar 43 con 1.31.

Veamos qu sucede si aproximamos4

3con 1.33. En este caso, el error cometido sera:

4

3 1.33 = 4

3 133

100

=400

300 399

300=

1

300.

sta tercera aproximacin es mejor que las dos anteriores, porque el error cometido cuandose aproxima 43 con 1.33, que es

1300 , es menor que el error de aproximar

43 con 1.31 o 1.32.

El error cometido al aproximar 43 con 1.34 es:

4

3 1.34 = 4

3 134

100

=400

300 402

300= 2

300.

El signo negativo indica que el nmero utilizado como aproximacin es mayor que el nmeroque se quiere aproximar. Sin embargo, si no nos interesa saber si el nmero que aproximaa 43 es mayor o menor que ste, podemos tomar siempre la diferencia positiva, es decir, ladiferencia entre el nmero mayor y menor, la misma que es igual al valor absoluto de la restade ambos nmeros (sin importar cul es el mayor). En este caso, la diferencia positiva es:

4

3 1.34

=

2300

=2

300.

A este nmero le denominamos error absoluto cometido al aproximar 43 con el nmero 1.34.Anlogamente, calculemos el error absoluto que se comete al aproximar 43 con 1.35:

4

3 1.35

=

4

3 135

100

=

400

300 405

300

=5

300.

Finalmente, si se toma un nmero decimal con dos cifras despus del punto, mayor que1.35 o menor que 1.31 para aproximar 43 , podemos ver que el error absoluto cometido en estaaproximacin ser mayor que cualquiera de las ya obtenidas. Por lo tanto, vemos que 1.33 es,efectivamente, la mejor aproximacin de 43 con un nmero decimal con dos cifras decimalesdespus del punto, porque el error que se comete al hacerlo es menor que el cometido concualquier otro nmero con solo dos cifras despus del punto.

Podemos, entonces, decir que la proximidad entre dos nmeros se mide a travs del valorabsoluto de la diferencia entre ellos. De manera ms precisa: si x e y son dos nmeros reales,entonces la cantidad

|x y|

mide la proximidad entre x e y; y, mientras ms pequea sea esta cantidad, consideraremosa los nmeros x e y ms prximos. Al contrario, si esta diferencia es grande, diremos que losnmeros son menos prximos.


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1.2 La recta tangente a una curva 11

En lo que sigue, usaremos como sinnimo de aproximar la palabra acercar y de la palabraprximo, la palabra cerca. As, significar lo mismo la frase x est prximo a y que la frase

x est cerca de y.

1.2 La recta tangente a una curva

O

t

P

El dibujar primero y luego el encontrar la ecuacin de la rectatangente a una curva en un punto dado de ella no es, en absoluto,un problema trivial.

Euclides (325 a.C.-265 a.C.) defini la tangente a una circun-ferencia como la recta que tocndola no corta a la circunferencia.Esto significa que la recta tangente tiene con la circunferenciaun nico punto en comn: el punto de tangencia. Con regla ycomps, el gemetra griego construy la lnea recta tangente t auna circunferencia en el punto P de la siguiente manera: traz

por el punto P la recta perpendicular al radio de la circunferencia que tiene por uno de susextremos el punto P. Demostr, adems, que ninguna otra recta se interpondr en el espacioentre la tangente y la circunferencia.

Esta ltima propiedad se convirti, ms adelante, en la definicin de la recta tangente,pues la definicin de Euclides no describe el caso general. En efecto, en las siguientes figurasse muestra dos ejemplos de lo afirmado:

y = x2 y = 2x 1

x = 1

x

y

(1, 1)

(a)

y = x3

x

y

y = 0.75x 0.25x

(b)

En el primero, la parbola con ecuacin y = x2 y la recta con ecuacin x = 1 tienen un

nico punto de contacto: el de coordenadas (1, 1); sin embargo, esta recta no es tangente a lacurva en este punto. Es decir, para ser tangente no es suficiente con tener un nico punto encomn con la curva. Por otro lado, puede apreciarse, en la figura, que la propiedad de Euclidesde que ninguna otra recta se interpondr en el espacio entre la tangente y la curva s esverdadera en este caso.

En el segundo ejemplo, se puede observar que la recta tangente a la curva cuya ecuacines y = x3 en el punto (0.5, 1.25) tiene por ecuacin y = 0.75x 0.25 (esto se probar msadelante). Sin embargo, esta recta tiene an otro punto en comn con la curva, sin que porello deje de ser tangente en el punto (0.5, 1.25). Puede apreciarse que la propiedad de Euclideses verdadera pero solo en una regin cercana al punto de tangencia.

En general, la propiedad: entre la curva y la recta tangente, alrededor del punto de

tangencia, no se interpone ninguna recta pas a ser la definicin de tangente, la misma queya fue utilizada por los gemetras griegos posteriores a Euclides.

Aunque el problema de formular una definicin de tangente adecuada para cualquier caso


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12 Lmites

fue resuelto como se indic, los matemticos griegos y los de la edad media no encontraronun mtodo general para obtener esa recta tangente a cualquier curva y en cualquier punto deella. Este problema fue uno de los temas centrales de la matemtica en la modernidad: unode los primeros intentos por resolverlo fue realizado por el francs Pierre Fermat (1601-1665)en 1636. Poco despus, se obtuvo una solucin. Pero sta trajo consigo un nuevo concepto en

las matemticas: el de derivada. Entre los protagonistas de estos descubrimientos estuvieronel matemtico ingls Isaac Newton (1643-1727) y el alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Con el concepto de derivada se encontr un mtodo general para obtener la rectatangente a una curva de una clase amplia de curvas.

Ahora bien, el concepto de derivada descansa sobre otro: el de lmite. En los tiempos deNewton y Leibiniz, este concepto fue tratado de una manera informal, lo que provoc seriascrticas y dudas sobre la validez del mtodo. Tuvieron que transcurrir aproximadamente 150aos para que la comunidad matemtica cuente con el fundamento de la derivada: recin en1823, el matemtico francs Augustin Cauchy (1789-1857) propuso una definicin rigurosade lmite, y sa es la que usamos hasta hoy en da. El tema de este captulo es estudiar,precisamente, esa definicin de lmite como base para el estudio tanto del concepto de derivada

como del concepto de integral, otro de los grandes descubrimientos de la modernidad.Pero antes de ello, vamos a presentar una solucin no rigurosa del problema de encontrar

la tangente a una curva cualquiera.

1.2.1 Formulacin del problema

Dada una curva general C, como la de la figura (a), y un punto P en ella, se busca la recta ttangente a C en el punto P:

C

P

t

(a)

P

t

Q

Q1

Q2

Q3

(b)

Procedamos de la siguiente manera. Imaginemos que un mvil puntual se mueve a lo largo de

la curva C hacia el punto P desde un punto Q, distinto de P. Sean Q1, Q2 y Q3 algunos delos puntos de la curva por los que el mvil pasa. Las rectas que unen cada uno de esos puntosy el punto P son rectas secantes, como se puede observar en la figura (b). El dibujo sugiereque, a medida que el mvil est ms prximo al punto P, la correspondiente recta secanteest ms prxima a la recta tangente t; lo que se espera es que la recta tangente buscada seala recta a la cual se aproximan las rectas secantes obtenidas cuando el mvil se acerque alpunto P. A esa recta la llamaremos recta lmite de las secantes.

Pero, qu significa ser la recta lmite? Para tratar de encontrar un significado, supon-gamos que la curva C est en un plano cartesiano y que su ecuacin es

y = g(x),

donde g es una funcin real. Supongamos tambin que las coordenadas del punto P son(a, g(a)). Entonces, encontrar la recta tangente a la curva C en el punto P significa conocerla ecuacin de dicha recta en el sistema de coordenadas dado.


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Ahora, para obtener la ecuacin de una recta es suficiente conocer su pendiente (la tangentedel ngulo que forma la recta con el eje horizontal) y un punto por el que la recta pase. Comola tangente t debe pasar por P, ya tenemos el punto. Busquemos, entonces, la pendiente dela recta t. Cmo? Utilizando las pendientes de las rectas secantes que unen los puntos de lacurva por los que se desplaza el mvil desde Q hacia al punto P, pues, as como creemos que

las rectas secantes alcanzarn la recta t como una posicin lmite, tal vez, las pendientes delas rectas secantes alcancen un valor lmite: la pendiente de la recta tangente. Con esto enmente, calculemos la pendiente de cualquiera de esas rectas secantes.

Sea R cualquier punto de la curva C que indica la posicin del mvil en su trayecto desdeQ hasta P. Aunque el punto R no se mueve (ni ningn otro punto de la curva), diremos que

el punto R se mueve hacia P para indicar que es el mvil el que se est moviendo. Esto nospermitir indicar la posicin del mvil a travs de las coordenadas de los puntos de la curva.En este sentido R no indica un nico punto, sino todos los puntos por dnde est pasando elmvil en su camino hacia al punto P.

Sea x la abscisa de R; entonces, sus coordenadas son (x, g(x)):

P

R

x

y

a

g(a)

x

g(x)

S

Sabemos que la pendiente de la recta que pasa por P y R es igual a la tangente del ngulo

que forma la recta con el eje horizontal; este ngulo mide lo mismo que el ngulo SP R deltringulo rectngulo SP R. Por lo tanto, la tangente de este ngulo es igual al cociente entrela longitud RS (que, en el caso de la curva de la figura, es igual a la diferencia g(x) g(a))y la longitud P S (que, en este caso, es igual a la diferencia x a = 0, pues el punto R no esigual al punto P); es decir, si representamos con mx la tangente del ngulo SP R, podemosafirmar que:

mx =g(x) g(a)

x a . (1.1)La pendiente de cualquier secante que une el punto R, cuyas coordenadas son (x, g(x)) y quese est moviendo hacia P, y el punto P se calcular mediante la frmula (1.1)1.

Ahora, notemos que el mvil ubicado en el punto R se mueve hacia P cuando la abscisa x

de R se acerca hacia la abscisa a del punto P. Entonces, el problema de obtener la pendientede la recta tangente a la curva C en el punto P, en el que se concibe a dicha recta tangentecomo la recta lmite de las secantes que pasan por P y R, que se aproxima a P, se sustituyepor el problema de encontrar un nmero al que los cocientes

g(x) g(a)x a

se aproximan cuando el nmero x se aproxima al nmero a. A ese nmero le llamaremos,provisionalmente, lmite de los cocientes.

Y cmo se puede hallar este lmite? Como un primer acercamiento a la solucin de estenuevo problema, consideremos un ejemplo. Pero, antes, ampliemos un poco ms el significado

de aproximar que se discuti en la primera seccin.1La frmula (1.1) es vlida no solamente para curvas crecientes como la de la figura. Su validez ser

demostrada cuando se presente una definicin general para la pendiente de la recta tangente a una curva.


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14 Lmites

1.2.2 Aproximacin numrica al concepto de lmite

Supongamos que la curva C es una parbola cuya ecuacin es y = 3x2 y el punto P tienecoordenadas (2, 12). Entonces, g(x) = 3x2. Queremos calcular el lmite de los cocientes

mx = g(x) g(2)x 2 = 3x2

12x 2cuando el nmero x se aproxima al nmero 2, pero x = 2. Si encontramos ese nmero lmite,lo usaremos como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (2, 12). Obtendremosluego la ecuacin de la recta tangente.

Para empezar, observemos que, como x = 2, entonces:

mx =3x2 12

x 2 =3(x 2)(x + 2)

x 2 .

Por lo tanto:

mx = 3(x + 2),

para x = 2.Para ver qu sucede con mx cuando el nmero x se aproxima al nmero 2, construyamos

una tabla con los valores que mx toma para valores de x prximos a 2, unos mayores y otrosmenores que 2:

x mx3 15

2.5 13.52.1 12.3

2.01 12.032.001 12.0032.0001 12.0003

2.00001 12.000032 No existe

1.99999 11.999971.9999 11.9997

1.999 11.9971.99 11.97

1.9 11.71.5 10.5

1 9

La aproximacin de x a 2 por valores mayores que 2significa que el punto R se aproxima al punto P desde laderecha, mientras que la aproximacin de x a 2 por valoresmenores que 2 significa que el punto R se aproxima al puntoP desde la izquierda. En los dos casos, se puede observarque, mientras x est ms cerca de 2, mx est ms cercade 12; es decir, mientras el punto R est ms cerca delpunto P, la pendiente de la recta secante que pasa porP y por R est ms cerca del nmero 12. Esta primeraevidencia nos sugiere y alienta a pensar que la pendientede la recta tangente es igual a 12. Sin embargo, cmopodemos estar seguros? Lo siguiente nos proporciona unaevidencia adicional que nos hace pensar que estamos en locorrecto.

Hemos visto que para todo x = 2, se verifica que

mx = 3(x + 2).

Por otro lado, si evaluamos la expresin de la derecha enx = 2, obtenemos que:

3(x + 2) = 3(2 + 2) = 12;

que es el valor al que parece aproximarse mx cuando x se aproxima a 2.Todo parece indicar, entonces, que el nmero 12 es el lmite de mx cuando x se aproxima

a 2. Sin embargo, podemos asegurar tal cosa?Para poder responder esta pregunta, antes que nada necesitamos una definicin para el

lmite. sta lleg en el ao 1823 de la mano del matemtico francs Augustin Cauchy. Enla siguiente seccin vamos a estudiarla y, con ella, podremos asegurar que el lmite de mx

cuando x se aproxima a 2 es, efectivamente, el nmero 12.Aceptando como verdadero este resultado por el momento, obtengamos la ecuacin de la

recta tangente a la curva de ecuacin y = 3x2 en el punto (2, 12).


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Ya sabemos, entonces, que la pendiente de dicha recta es igual a 12. Recordaremos que laecuacin de una recta de pendiente m que pasa por un punto de coordenadas (a, b) es

y b = m(x a).

En este caso m = 12 y (a, b) = (2, 12). Entonces, la ecuacin de la recta tangente a la curvade ecuacin y = 3x2 que pasa por el punto (2, 12) es

y 12 = 12(x 2),

que puede ser escrita de la siguiente manera:

y = 12x 12.

En resumen:

La pendiente de la recta tangente a la curva y = 3x2 en el punto (2, 12) es igual al

lmite demx =

3x2 12x 2 = 3(x + 2),

cuando x, siendo distinto de 2, se aproxima a 2. Este lmite es igual al nmero 12.La ecuacin de la recta tangente es:

y = 12x 12.

Aparte de la definicin de lmite, persiste an otro problema: podemos asegurar que larecta encontrada es la recta tangente? Es decir, cmo podemos estar seguros de que en elespacio entre la recta de ecuacin y = 12x

12 y la curva y = 3x2 no se interpondr ninguna

otra recta, alrededor del punto (2, 12)?Ms adelante, en un captulo posterior, provistos ya con el concepto de lmite dado por

Agustin Cauchy, probaremos que el mtodo seguido para la consecucin de la recta tangentees correcto y general.

1.2.3 Ejercicios

1. Sean C una curva cuya ecuacin es y = x3,s un nmero real distinto de 1 y ms la pen-diente de la recta secante a C en los puntos de

coordenadas (1, 1) y (s, s3).(a) Calcule ms.

(b) Elabore una tabla de dos columnas. En laprimera, coloque valores de s cercanos a1; en la segunda, los valores de ms corres-pondientes. Con la ayuda de esta tabla,determine un candidato para el valor dela pendiente de la recta tangente a la cur-va C en el punto de coordenadas (1, 1).

(c) Use el valor de la pendiente hallado en elliteral anterior para escribir la ecuacin de

la recta tangente.(d) Dibuje la curva C, las secantes correspon-

dientes para s {1.1, 1.5, 2} y la recta

tangente.

2. Para cada una de las funciones definidas a con-tinuacin, elabore una tabla para los valoresf(xi) con xi = a 10i con i {1, 2, . . . , 15}.Tiene f(x) un lmite cuando x se aproxima aa? En otras palabras, existe un nmero al quef(x) parece acercarse cuando x toma valorescercanos al nmero a?

(a)

f(x) =

3 + 2x x2 si x < 1,x2 4x + 7 si x > 1

para a = 1.

(b)

f(x) =

x2

4x + 5 si x < 1,3 si x = 1,

x + 3 si x > 1


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16 Lmites

para a = 1.

(c)

f(x) =3x 15

x2 10x + 25con a = 5.

(d)

f(x) =sin(3x)

2x

con a = 0.

(e)

f(x) =1

(x 2)2con a = 2.

(f)

f(x) = sin

x

con a = 0.

Guardan alguna relacin el hecho de que lafuncin est o no definida en a y que parezcatener lmite cuando x se aproxima al nmeroa?

3. El mtodo utilizado en los ejercicios anteriores

para encontrar el lmite de una funcin puedesugerir la no necesidad de elaborar un conceptoadecuado para la definicin del lmite y el co-rrespondiente desarrollo de tcnicas de clculo.Sin embargo, la funcin h definida por

h(x) =3

x3 + 8 2x3

nos alerta sobre el mtodo heurstico de laaproximacin numrica. Intente determinarun nmero al que parece acercarse h(x) cuandox toma valores cercanos al nmero 0 utilizan-

do el procedimiento propuesto en el ejercicioanterior.

1.3 La definicin de lmite

Vamos a tratar de precisar lo que queremos decir con el lmite de los cocientes

mx =3x2 12

x 2es 12 cuando x se aproxima a 2.

Para empezar, este cociente no est definido en x = 2, pero para todo x = 2:mx = 3(x + 2).

Existir algn x = 2 para el cual mx = 12? Si as fuera, entonces

3(x + 2) = 12.

De aqu, obtendramos quex = 2.

Pero esto es absurdo, pues x = 2. Qu podemos concluir? Que para x = 2:

mx = 12.

Sin embargo, vimos en la seccin anterior, que para valores de x cercanos a 2, mx tomavalores cercanos a 12, aunque nunca tomar el valor 12. Surge, entonces, la siguiente pregunta:qu tan cerca de 12 puede llegar mx? En otras palabras, podemos encontrar valores de x,cercanos a 2, para los cuales mx no difiera de 12 en alguna cantidad dada; por ejemplo, que nodifiera en ms de 102 (es decir, en ms de 0.01)? Y qu tan cerca debe estar x del nmero2 para que ello ocurra? Para responder esta pregunta, formulemos el problema con mayorprecisin.

En primer lugar, qu queremos decir con que mx no difiera de 12 en ms de 102? Queel error de aproximar 12 con mx, es decir, el valor absoluto de la diferencia entre mx y 12 sea

menor que 102. En otras palabras, que se verifique la siguiente desigualdad:

|mx 12| < 102.


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1.3 La definicin de lmite 17

En segundo lugar, existen valores de x para los que se cumple esta desigualdad? Y siexisten, qu tan cerca de 2 debern estar los x? Ms an, Para responder estas preguntas,primero notemos que podemos medir la cercana de x a 2 mediante el valor absoluto de ladiferencia entre x y 2:

|x

2

|.

En efecto, mientras ms pequeo sea este valor absoluto, x estar ms cercano a 2; por elcontrario, mientras ms grande sea, x estar ms lejos de 2. Por ello a |x 2| nos referiremostambin como distancia de x a 2.

Notemos tambin que como x es diferente de 2, entonces se debe cumplir la desigualdad:

0 < |x 2|.

En todo lo que sigue, supondremos que x = 2.Ahora bien, la pregunta:

qu tan cerca debe x estar del nmero 2 para asegurar que

|mx 12| < 102?

equivale a la siguiente:

a qu distancia debe estar x de 2 para asegurar que

|mx 12| < 102?

A su vez, esta segunda pregunta equivale a esta otra:

a qu cantidad debe ser inferior |x 2| para asegurar que

|mx 12| < 102?

Y esta tercera pregunta equivale a la siguiente:

existe un nmero > 0 tal que

si 0 < |x 2| < , entonces |mx 12| < 102?

Responder esta pregunta equivale a resolver el siguiente problema:

Si para todo valor de x = 2 se tiene que

mx = 3(x + 2),

se busca un nmero real > 0 tal que, si las desigualdades

0 < |x 2| < (1.2)

fueran verdaderas, la desigualdad

|mx 12| < 102

(1.3)tambin sera verdadera.


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18 Lmites

1.3.1 Solucin del problema

Este es un problema de bsqueda: debemos encontrar el nmero . Para ello, el mtodo quevamos a aplicar consiste en suponer temporalmente que ya ha sido encontrado; es decir,suponer que si x es un nmero tal que x = 2 y que satisface la desigualdad

|x 2| < , (1.4)

entonces, se debe cumplir la desigualdad

|mx 12| = |3(x + 2) 12| < 102. (1.5)

A partir de esta ltima desigualdad vamos a tratar de encontrar propiedades del nmero ,an desconocido, que nos permitan hallarlo.

Qu camino seguir? Para no hacerlo a ciegas, el trabajo que realicemos con la desigual-dad (1.5), o con una parte de ella, debe llevarnos de alguna manera a ; es decir, debe llevarnosa la desigualdad (1.4) o a una similar. Con esto en mente, empecemos el trabajo con el miem-

bro izquierdo de la desigualdad (1.5), en el cual podemos aplicar propiedades conocidas delvalor absoluto de un nmero:

|3(x + 2) 12| = |3x + 6 12|= |3x 6|= 3|x 2|.

Es decir,|3(x + 2) 12| = 3|x 2|. (1.6)

Pero hemos supuesto que

|x

2|

< .

Entonces:3|x 2| < 3.

Por lo tanto, por la propiedad transitiva de la relacin menor que, vemos que esta ltimadesigualdad y la igualdad (1.6) implican una nueva desigualdad:

|3(x + 2) 12| < 3. (1.7)

En resumen:

bajo el supuesto de que existe el nmero > 0, si x = 2 satisficiera la desigualdad

|x 2| < , (1.4)

se debera satisfacer la desigualdad

|3(x + 2) 12| < 3. (1.7)

En otras palabras,

si 0 < |x 2| < , entonces |3(x + 2) 12| < 3.

Recordemos que queremos que el nmero que encontremos nos garantice el cumplimientode la desigualdad

|3(x + 2) 12| < 102. (1.5)


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Para lograrlo, comparemos entre s las desigualdades (1.7) y (1.5). Qu podemos observar?Que si el nmero 3 fuera menor o igual que 102, entonces obtendramos:

|3(x + 2) 12| < 3 102;es decir:

si 3 102, entonces |3(x + 2) 12| < 102,donde la desigualdad de la derecha es la que queremos obtener. Por lo tanto, como la desigual-dad

3 102es equivalente a la desigualdad

102

3,

podemos asegurar que:

si se elige el nmero > 0 tal que

1023

y si x = 2 satisface la desigualdad

|x 2| < , (1.4)

la desigualdad requerida|3(x + 2) 12| < 102. (1.5)

es satisfecha. Es decir,

si 0 < 102

3 y 0 < |x 2| < , entonces |3(x + 2) 12| < 102.

Y esto es precisamente lo que queramos hacer.Resumamos el procedimiento seguido para la bsqueda de . Observemos que consiste de

dos etapas:

1. La bsqueda del nmero . En esta etapa se supone encontrado el nmero . Bajo estasuposicin, se encuentra uno o ms valores candidatos para el nmero .

2. La constatacin de que el valor o valores encontrados para satisfacen, efectivamente,las condiciones del problema.

Para nuestro caso, estas etapas se ejemplifican as:1. Bsqueda: se supone que existe un nmero > 0 tal que para x = 2:

si |x 2| < , entonces |3(x + 2) 12| < 102.Trabajando con la expresin |3(x + 2) 12| y bajo las suposiciones de que |x 2| < y x = 2, se demuestra que

|3(x + 2) 12| < 3.Esta ltima desigualdad sugiere que el nmero > 0 debe satisfacer la desigualdad:

3 102,lo que equivale a sugerir que debe cumplir esta otra desigualdad:

102

3. (1.8)


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20 Lmites

2. Constatacin: con la eleccin del nmero que satisface la desigualdad (1.8) y bajo lossupuestos de que x = 2 y |x 2| < , se verifica el cumplimiento de la desigualdad

|3(x + 2) 12| < 102.

La solucin que acabamos de encontrar al problema planteado nos permite responder lapregunta:

qu tan cerca debe estar x del nmero 2 para asegurar que mx difierade 12 en menos de 102?

La respuesta es:

si x difiere de 2 en menos de102

3, mx difiere de 12 en menos de 10

2.

Podremos encontrar valores de x cercanos a 2 que garanticen que mx difiera de 12 enuna cantidad an ms pequea que 102? Por ejemplo, qu difiera en menos de 106? Larespuesta es afirmativa, pues, si repasamos el modo cmo se resolvi este mismo problemapara el caso en que queramos que mx difiriera de 12 en menos de 102, descubriremos losiguiente:

si x difiere de 2 en menos de106

3, mx difiere de 12 en menos de 10

6.

Si el lector tiene dudas de este resultado, deber leer una vez ms, en las pginas 16-19, elprocedimiento para resolver el problema cuando la diferencia entre mx y 12 difera en menosde 102. Cada vez que encuentre un 102, deber sustituirlo por un 106. Esto lo convencerdel todo.

Y ahora podemos responder a una pregunta ms general:

qu tan cerca debe estar x del nmero 2 para asegurar que mx difierade 12 en menos de ?

donde representa cualquier nmero positivo. Y la respuesta la encontraremos de maneraidntica a cmo hemos respondido las dos preguntas anteriores; esa respuesta ser la siguiente:

si x difiere de 2 en menos de

3, mx difiere de 12 en menos de .

Como este nmero puede ser cualquier nmero positivo, puede ser elegido tan pequeocomo queramos. Y lo que ya sabemos es que, en esa situacin, si x es tal que

|x 2| < 3

,

garantizamos que|mx 12| < .

Es decir, aseguraremos para tales x que mx estar tan cerca del nmero 12 como queramos.Es ms, podremos afirmar que se garantiza que mx est tan cerca como se desee del nmero

12, si x est lo suficientemente cerca de 2. En efecto, en este caso, para que la distancia demx a 12 sea menor que , bastar que la distancia de x a 2 sea menor que 3 .

Esto tambin puede ser expresado de la siguiente manera:

12 puede ser aproximado por los cocientes mx con la precisin que sedesee, con la condicin de que x, siendo distinto de 2, est suficiente-mente cerca de 2.


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Y, cuando una situacin as ocurre, siguiendo a Cauchy, diremos que

12 es el lmite de mx cuando x se aproxima al nmero 2 y escribiremos:

12 = lmx2

mx.

Al inicio de la seccin, nos habamos propuesto precisar la frase el lmite de los cocientesmx es 12 cuando x se aproxima a 2. De lo mostrado anteriormente, vemos que esta frase debeser cambiada por la siguiente: 12 es aproximado por los cocientes mx con la precisin que sedesee, con tal que x, siendo distinto de 2, est lo suficientemente cerca de 2. Y ahora estafrase tiene pleno sentido.

El proceso seguido para afirmar que 12 es el lmite de mx puede ser resumido de la siguientemanera:

dado cualquier nmero > 0, encontramos un nmero > 0, que en nuestro casofue 3 , tal que 12 puede ser aproximado por mx con un error de aproximacin menorque , siempre que x, siendo distinto de 2, se aproxime a 2 a una distancia menor

que .

Y este texto puede ser expresado simblicamente mediante desigualdades de la siguiente ma-nera:

dado cualquier nmero > 0, encontramos un nmero > 0 tal que

|mx 12| < ,

siempre que0 0, existe un nmero > 0 tal que L puedeser aproximado por f(x) con un error de aproximacin menor que ,siempre que x, siendo distinto de a, se aproxime a a a una distanciamenor que .

Finalmente, todo lo anterior nos lleva a la siguiente definicin:

Definicin 1.1 (Lmite de una funcin)Sean:

1. a y L dos nmeros reales,

2. I un intervalo abierto que contiene el nmero a, y

3. f una funcin real definida en I, salvo, tal vez, en a; es decir, I Dm(f) {a}.

Entonces:

L = lmxa f(x)

si y solo si para todo > 0, existe un > 0 tal que

|f(x) L| < ,

siempre que

0 < |x a| < .

Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con esta definicin.

Ejemplo 1.1

Probemos que9 = lm

x3x2.

Es decir, probemos que 9 puede ser aproximado por valores de x2 siempre y cuando elijamosvalores de x lo suficientemente cercanos a 3.

Solucin. Para ello, de la definicin de lmite, sabemos que, dado cualquier > 0, debemos hallar un > 0 tal que

|x2

9

|< (1.9)

siempre que x = 3 y|x + 3| < . (1.10)


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Bsqueda de : Empecemos investigando el miembro izquierdo de la desigualdad (1.9), que mideel error de aproximar 9 con x2. Podemos expresarlo as:

|x2 9| = |(x 3)(x + 3)| = |x 3||x + 3|.

Entonces, debemos encontrar los x

=

3, pero cercanos a

3, para los que se verifique la desigualdad:

|x 3||x + 3| < , (1.11)

que es equivalente a la desigualdad (1.9). Es decir, debemos encontrar los x = 3, pero cercanos a3, que hacen que el producto

|x 3||x + 3| (1.12)est tan cerca de 0 como se quiera.

Ahora bien, como x est cerca a 3, el factor |x + 3| estar cerca de 0. Por lo tanto, para queel producto (1.12) est tan cerca de 0 como se quiera, ser suficiente con que el otro factor, |x 3|,no supere un cierto lmite; es decir, est acotado por arriba. Veamos si se es el caso. Para ello,investiguemos el factor |x 3|.

Como x debe estar cerca a

3, consideremos solamente valores de x que estn en un intervalo que

contenga al nmero 3. Por ejemplo, tomemos valores de x distintos de 3 y tales que estn en elintervalo con centro en 3 y radio 1, como el que se muestra en la siguiente figura:

01234

Esto significa que x debe cumplir las siguientes desigualdades:

4 < x < 2,

que son equivalentes a estas otras: 1 < x + 3 < 1, (1.13)

las que, a su vez, son equivalentes a la siguiente:

|x + 3| < 1. (1.14)

Bajo la suposicin del cumplimiento de estas desigualdades, veamos si el factor |x3| est acotadopor arriba. Para ello, construyamos el factor |x 3| a partir de las desigualdades (1.13).

En primer lugar, para obtener la diferencia x 3, podemos sumar el nmero 6 a los miembrosde estas desigualdades. Obtendremos lo siguiente:

7 < x 3 < 5. (1.15)

Pero esto significa que, para x = 3 tal que

|x + 3| < 1, (1.14)la diferencia

x 3es negativa, y, por lo tanto:

|x 3| = (x 3);es decir:

x 3 = |x 3|,con lo cual podemos reescribir las desigualdades (1.15) de la siguiente manera:

7 5.


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24 Lmites

Hemos probado que, si x = 3 es tal que |x + 3| < 1, se verifica que el factor |x 3| est acotadosuperiormente por el nmero 7:

|x 3| < 7.Con este resultado, volvamos al producto (1.12). Ya podemos afirmar que, si x = 3 y |x + 3| < 1,

se debe verificar lo siguiente:

|x2 9| = |x 3||x + 3| < 7|x + 3|,es decir:

|x2 9| < 7|x + 3|, (1.16)siempre que

x = 3 y |x + 3| < 1.

Ahora, si elegimos los x = 3 tales que |x + 3| < 1 y7|x + 3| < , (1.17)

por la desigualdad (1.16), obtendramos la desigualdad (1.9):

|x2

9|

< ,

es decir, haramos que el error que se comete al aproximar 9 por x2 sea menor que .Pero elegir x de modo que se cumpla la desigualdad (1.17) equivale a elegir a x de modo que se

cumpla la desigualdad:

|x + 3| < 7

. (1.18)

Por lo tanto: la desigualdad|x2 9| < (1.9)

ser satisfecha si se eligen los x = 3 tales que se verifiquen, simultneamente, las de-sigualdades:

|x + 3| < 1 y |x + 3| < 7

.

Esto quiere decir que para el > 0 buscado, la desigualdad |x + 3| < deber garantizar elcumplimiento de estas dos desigualdades. Cmo elegir ? Pues, como el ms pequeo entre los nmeros1 y

7:

= mn

1,

7

.

Al hacerlo, garantizamos que

1 y 7

,

de donde, si x = 3 tal que|x + 3| < ,

entonces|x + 3| < 1 y |x + 3| <

7,

con lo cual garantizamos que se verifique la desigualadad (1.9):

|x2 9| < . (1.9)En resumen:

dado > 0, podemos garantizar que

|x2 9| < ,

siempre que elijamos x = 3 tal que

|x + 3| < mn

1,

7

.

En otras palabras, el nmero 9 puede ser aproximado tanto como se quiera por x2 siempreque x est lo suficientemente cerca de 3. Esto demuestra que 9 = lmx3 x2.


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Antes de estudiar otro ejemplo, tratemos de obtener un procedimiento para demostrar queun nmero L es el lmite f(x) cuando x se aproxima al nmero a, a partir del que acabamosde utilizar para encontrar el dado el .

Si leemos la demostracin realizada una vez ms, podemos resumir, en los siguientes pasos,el procedimiento seguido:

1. El valor absoluto de la diferencia entre x2 y el lmite 9 se expres como el producto dedos factores en valor absoluto:

|x2 9| = |x 3||x + 3|.

Uno de los factores es el valor absoluto de la diferencia entre x y el nmero 3, que esel nmero a dnde se aproxima x.

2. Como |x + 3| debe ser menor que el nmero , para que la cantidad

|x2 9|sea tan pequea como se desee (es decir, menor que ), se busca una cota superior parael segundo factor |x 3|. En este ejemplo, se encontr que:

|x 3| < 7,

bajo el supuesto de que |x + 3| < 1. Esta ltima suposicin es realizada porque los xdeben estar cerca de 3, por lo que se decide trabajar con valores de x que estn en unintervalo con centro en el nmero 3. En este caso, un intervalo de radio 1.

3. El resultado anterior sirve de prueba de la afirmacin:

|x2 9| < 7|x + 3|,

siempre que 0 < |x + 3| < y |x + 3| < 1.4. Para obtener |x2 9| < siempre que 0 < |x + 3| < , el resultado precedente nos dice

cmo elegir el nmero :

= mn

1,

7

.

La eleccin de este muestra que:

|x2

9

|=

|x

3

||x + 3

|< 7|x + 3|, pues |x + 3| < 1,< 7, pues |x + 3| < , 7

7= , pues

7.

Por lo tanto:|x2 9| < ,

siempre que

0 < |x + 3| < = mn

1,

7

.

Generalicemos este procedimiento para probar queL = lm

xa f(x).


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26 Lmites

1. Hay que tratar de expresar el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y el lmite Lpara x = a de la siguiente manera:

|f(x) L| = |g(x)||x a|.

2. Se busca una cota superior para el factor |g(x)|. Supongamos que esta cota superior seael nmero M > 0. Entonces, debe cumplirse la siguiente desigualdad:

|g(x)| < M.

Probablemente, para encontrar este valor M haya que suponer adicionalmente que

0 < |x a| < 1,

con cierto 1 > 0. Esta suposicin puede ser el resultado de trabajar con valores cercanosal nmero a, para lo cual se decide trabajar con valores de x en un intervalo con centroen el nmero a.

3. El resultado anterior sirve de prueba de la afirmacin:

|f(x) L| < M|x a| < ,

siempre que 0 < |x a| < M y |x a| < 1.4. El resultado precedente nos dice cmo elegir el nmero :

= mn

1,

M

.

La eleccin de este muestra que:

|f(x) L| = |g(x)||x a|< M|x a|, pues |g(x)| < M debido a que |x a| < 1,< M , pues |x a| < , M

M= , pues

M.

Por lo tanto:|f(x) L| < ,

siempre que

0 < |x a| < = mn

1,

M

.

Apliquemos este procedimiento en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2

Demostremos que

2 = lmx3

5x 3x + 3

.

Es decir, probemos que el nmero 2 puede ser aproximado por valores de

5x 3x + 3

siempre que x = 3 est lo suficientemente cerca de 3.


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Solucin. Dado > 0, debemos encontrar un nmero > 0 tal que

5x 3x + 3

2

< (1.19)

siempre que x = 3 y|x 3| < . (1.20)

Vamos a aplicar el procedimiento descrito. Lo primero que tenemos que hacer es expresar el valorabsoluto de la diferencia entre 5x3x+3 y 2 para x = 2, de la siguiente manera:

5x 3x + 3

2

= |g(x)||x 3|. (1.21)

Para ello, trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad (1.19). ste puede ser simplificadode la siguiente manera:

5x 3x + 3

2

=

5x 3 2(x + 3)x + 3

=

3x 9x + 3

= 3

x 3x + 3

= 3|x 3||x + 3| .

Es decir:

5x 3x + 3

2

=3

|x + 3| |x 3|. (1.22)

Entonces, si definimos:

g(x) =3

x + 3,

ya tenemos la forma (1.21).

Lo segundo que hay que hacer es encontrar una cota superior para g(x). Es decir, debemos hallarun nmero positivo M y, posiblemente, un nmero positivo 1 > 0 tales que:

3

|x + 3| < M, (1.23)

siempre que0 < |x 3| < 1.

Para ello, como los x deben tomar valores cercanos al nmero 3, consideremos valores para x queestn en el intervalo con centro en 3 y radio 1:

0 1 2 3 4

Esto significa que x debe satisfacer las siguientes igualdades:

2 < x < 4, (1.24)

que son equivalentes a estas otras:1 < x 3 < 1,

que, a su vez, son equivalentes a la siguiente desigualdad:

|x 3| < 1. (1.25)

Lo que vamos a hacer a continuacin es encontrar M reconstruyendo g(x) a partir de las desigual-

dades (1.24). Para ello, sumemos el nmero 3 a los miembros de estas desigualdades. Obtendremos losiguiente:

5 < x + 3 < 7. (1.26)


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28 Lmites

Esto significa que x + 3 > 0. Por lo tanto:

x + 3 = |x + 3|,con lo que las desigualdades (1.26) se pueden reescribir as:

5 < |x + 3| < 7. (1.27)Adems, como |x + 3| > 0, existe el cociente

1

|x + 3| ,

y las desigualdades (1.27) son equivalentes a las siguientes:

1

5>

1

|x + 3| >1

7.

Ahora, si multiplicamos por 3 cada miembro de estas desigualdades, obtenemos que:

35

> 3|x + 3| > 37 .

Es decir:

|g(x)| = 3|x + 3| 0 y

x > 0,

entonces x +

a >

a,

de donde se obtiene que, para todo x > 0, se verifica la desigualdad

1x +

a

0.Ya tenemos M:

M =1

a.

Entonces:

|x a| < 1a|x a|,

para todo x > 0. Por ello, si para un > 0, se tuviera que

|x a| < ,entonces se cumplira que:

|x a| < 1a|x a| <

a.

De esta desigualdad se ve que podemos elegir de la siguiente manera:

a

= .

Es decir: = a.

En efecto:

|x a| = 1x +

a|x a|

0. Debemos hallar > 0 tal que

|f(x) 2| < (1.32)

siempre que x = 1 y |x 1| < .Utilicemos el mtodo descrito en esta seccin para encontrar dado . Lo primero que tenemosque hacer es encontrar una funcin g para expresar el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 2,para x = 1, de la siguiente manera:

|f(x) 2| = |g(x)||x 1|. (1.33)Para ello, debemos trabajar con el lado izquierdo de la desigualdad (1.32). Pero, como f est definidapor dos frmulas una para valores menores que 1 y otra para valores mayores que 1, vamos adividir el anlisis en dos casos: cuando x < 1 y cuando x > 1.

Antes de estudiar cada caso, como el lmite que nos interesa es cuando x tiende a 1, nos interesannicamente valores cercanos a 1. Por ello, en todo lo que sigue, suponemos que x toma valores en elintervalo de centro 1 y radio 1; es decir, suponemos que x satisface la desigualdad |x 1| < 1, que esequivalente a 0 < x < 2.Por lo tanto, los dos casos a analizar son: 0 < x < 1 y 1 < x < 2.

Caso 1: 0 < x < 1. Analicemos el lado izquierdo de la desigualdad (1.32). Recordemos que parax < 1 se tiene que f(x) = x2 + 1. Por lo tanto:

|f(x) 2| = |(x2 + 1) 2| = |(x2 + 1) 2|= |x2 1| = |x + 1||x 1|.

Como x > 0, entonces x + 1 > 0, de donde

|f(x) 2| = (x + 1)|x 1|.

Entonces, si definimos g(x) = x + 1, ya tenemos la forma (1.33).Lo que ahora debemos hacer es encontrar una cota superior para g(x). En este caso, esto es sencillo,pues, como x < 1, entonces g(x) = x + 1 < 2. Por lo tanto, tenemos que

|f(x) 2| = g(x)|x 1| < 2|x 1|.En resumen, si 0 < x < 1, entonces

|f(x) 2| < 2|x 1|. (1.34)Ahora bien, si el miembro de la derecha de la expresin anterior fuera menor que , el de la

izquierda tambin lo sera; es decir, se verifica la siguiente implicacin lgica:

2|x 1| < |f(x) 2| < 2|x 1| < ,

la misma que puede ser expresada de la siguiente manera:

|x 1| < 2

|f(x) 2| < .


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Vemos, entonces, que, si 0 < x < 1, un buen candidato para es 2

.Sin embargo, recordemos que supusimos que tambin se verifica la condicin |x 1| < 1. Por lo

tanto, el nmero 1 tambin es un candidato para . Cul de los dos debemos elegir? El ms pequeo.As, para este primer caso, la eleccin para es la siguiente:

= mn

1,

2

. (1.35)

Caso 2: 1 < x < 2. Puesto que, para estos valores de x, se tiene que f(x) = 2x2 + 8x 4, ellado izquierdo de la desigualdad (1.32) puede ser expresado de la siguiente manera:

|f(x) 2| = | 2x2 + 8x 4 2|= |2x2 8x + 6|= 2|x2 4x + 3| = 2|x 3||x 1|.

Si definimos g(x) = 2|x 3|, tenemos que:|f(x) 2| < g(x)|x 1|.

Ahora encontremos una cota superior para g(x). Para ello, recordemos que 1 < x < 2. De estasdesigualdades, tenemos que:1 3 < x 3 < 2 3.

Es decir, se verifica que2 < x 3 < 1 < 2.

Por lo tanto:|x 3| < 2 y g(x) = 2|x 3| < 4.

Entonces, para x tal que 1 < x < 2, se verifica la desigualdad:

|f(x) 2| < 4|x 1|.De esta desigualdad tenemos la siguiente implicacin:

4|x 1| < |f(x) 2| < 4|x 1| < ,la misma que puede ser expresada de la siguiente manera:

|x 1| < 4

|f(x) 2| < .

Con un razonamiento similar al caso anterior, la eleccin de es la siguiente:

= mn

1,

4

. (1.36)

Conclusin. De los dos casos estudiados, podemos concluir que, si 0 < x < 2, el buscado debeser elegido de la siguiente manera:

= mn

1, 2

, 4

.

Pero, como

4 0. Debemos encontrar un nmero > 0 tal que se verifique la igualdad

|f(x) 3| < , (1.37)siempre que

0 < |x 1| < .Para hallar el nmero , ya sabemos qu hacer. En primer lugar, tenemos que:

|f(x) 3| = |(2x + 1) 3|= |2x 2|= 2|x 1|.

Es decir, se verifica que:|f(x) 3| < 2|x 1|.

Por lo tanto, si existiera el nmero , debera satisfacerse la desigualdad:

|f(x) 3| < 2|x 1| < 2.De esta ltima desigualdad, se ve que, para que se verifique la desigualdad (1.37), basta elegir

el nmero tal que2 = ,

es decir, tal que =

2.

En efecto: si x es tal que0 < |x 1| < =

2,

entonces:

|f(x) 3| = 2|x 1|< 2

= 2

2= .


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2. Sea g : R R la funcin definida por

g(x) =

2x + 1 si x = 1,1 si x = 1.

Entonces:

g(x) = f(x)

para todo x = 1. Es decir, g y f son casi la misma funcin, excepto por el valor que cada unade ellas toma en el nmero x = 1, pues

g(1) = 1 y f(1) = 3.

Sin embargo:3 = lm

x1g(x).

En efecto: sea > 0. Debemos hallar un nmero > 0 tal que

|g(x) 3| < , (1.38)

siempre que0 < |x 1| < .

Ahora bien, encontrado el nmero , lo que tenemos que probar es que si

0 < |x 1| < ,se verifica la desigualdad (1.38). Es decir, debemos probar que para x = 1, pues |x 1| > 0,tal que |x 1| < , se verifica la desigualdad (1.38). Pero, recordemos que

g(x) = f(x)

para todo x = 1. Entonces, para estos x, la desigualdad (1.38) se transforma en la desigualdad:

|f(x) 3| < . (1.37)Y ya probamos, en el ejemplo anterior, que esta desigualdad se cumple siempre que

0 < |x 1| < = 2

.

De manera que para todo x que cumpla con estas dos desigualdades se cumple la desigual-dad (1.38). Y esto significa que el nmero 3 es el lmite de g(x) cuando x se aproxima alnmero 1.

3. Sea h : R {1} R la funcin definida por

h(x) =2x2 x 1

x 1.

En este caso, h no est definida en 1 por lo que es distinta tanto de f como de g. Sin embargo,para todo x = 1, se verifican las igualdades:

h(x) =2x2 x 1

x 1 =(2x + 1)(x 1)

x 1 = 2x + 1 = g(x) = f(x).De manera anloga al caso de g, podemos demostrar que

3 = lmx1

h(x).

En estos tres ejemplos podemos ver que, en lo que se refiere al lmite de una funcin enun punto a, no importa el valor que pueda tomar la funcin en el punto a; incluso, la funcin

puede no estar definida en este punto. Lo que importa realmente es el comportamiento de lafuncin alrededor del punto a. Las grficas de las funciones f, g y h, que estn a continuacin,ilustran esta ltima afirmacin:


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36 Lmites

x

f(x)

1

3

f: R Rx f(x) = 2x + 1

lmx

1

f(x) = 3 = f(1)

x

g(x)

1

3

1

g : R Rx g(x) =

2x + 1 si x = 11 si x = 1

lmx1

g(x) = 3 = g(1)

x

h(x)

1

3

h : R {1} Rx h(x) = 2x + 1

lmx1

f(x) = 3

h(1) no existe

Podemos sistematizar la situacin que se ilustra en estos ejemplos, al mostrar que si dosfunciones solo difieren en un punto de su dominio, o bien las dos tienen lmite en dicho punto,y es el mismo lmite, o bien ninguna tiene lmite. De manera ms precisa, se tiene el siguienteteorema.

Teorema 1.1Sean I y J dos intervalos abiertos y f: I R y g : J R tales que a I J y:

1. f(x) = g(x) para todo x I J y x = a; y2. existe L tal que:

L = lmxa g(x).

Entonces f tambin tiene lmite en a y:

L = lmxa f(x).

Este es el caso de las funciones f, g y h. Se diferencian nicamente en a = 1. Como ellmite de f existe y es igual a 3, entonces los lmites de g y h existen tambin y son iguales a3.

Este teorema se utiliza de la siguiente manera. Supongamos que queremos calcular

lmxa f(x).


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Se busca una funcin g cuyo lmite en a se conozca y tal que

g(x) = f(x)

para todo x en la interseccin de los dominios de f y g y que sea diferente de a. Entonces, lo

que podemos afirmar es que lmxa f(x) = lmxa g(x).

Ejemplo 1.5

Supongamos conocido quelmx1

(x + 2) = 3.

Calcular

lmx1

x2 + x 2x 1 .

Solucin. Sea f: R 1 R tal que

f(x) =x2 + x 2

x 1 .

Debemos hallar una funcin g que sea igual a f, excepto en 1, y cuyo lmite conozcamos.Esto se puede hacer, pues

f(x) =x2 + x 2

x 1 =(x 1)(x + 2)

x 1 = x + 2,

para todo x

= 1. Por lo tanto, si se define

g(x) = x + 2,

sabemos que:

1. f(x) = g(x) para todo x = 1; y2. lm

x1g(x) = 3.

Por lo tanto, el teorema (1.1), podemos afirmar que:

lmx1

x2 + x 2x 1 = lmx1 g(x) = 3.

Para terminar esta seccin, presentamos el siguiente teorema, que es una consecuenciainmediata de la definicin de lmite, que es muy til en diferentes aplicaciones del conceptode lmite.

Teorema 1.2Sea f: Dm(f) R. Entonces:

L = lmxa f(x) 0 = lmxa(f(x) L) 0 = lmxa |f(x) L|.

La demostracin es un buen ejercicio para trabajar la definicin de lmite por lo que sesugiere al lector la haga por s mismo.


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38 Lmites

Un uso tpico de este teorema es el siguiente. Queremos demostrar que

3 = lmx0

x + 3

x + 1.

En lugar de ello, probaremos que

0 = lmx0

x + 3

x + 1 3.

Pero, comox + 3

x + 1 3 = 2x

x + 1,

lo que hay que probar es0 = lm

x02 x

x + 1.

Y, como

2 xx + 1

= 2

x

x + 1

,

una alternativa es probar que0 = 2 lm

x0x

x + 1.

En sentido estricto, no hay mayor diferencia en la manera cmo se demuestra cualquierade estas igualdades, salvo, en ciertas ocasiones, en las que algunas operaciones algebraicassuelen simplificarse. El lector debera realizar cada una de estas prueba para que compare ydetermine cules podran ser esas simplificaciones.

1.3.4 Ejercicios

1. Demuestre, usando la definicin de lmite, que:

(a) lmx8

(3

x2 + 2 3

x + 4) = 12

(b) lmx3

(8x 15) = 9(c) lm

x2(5x + 14) = 4

(d) lmx9

1x + 3

=1

6

(e) lmx2

2x2 8x + 2

= 8

(f) lmx

1

2x + 3

x

2= 5

(g) lmx1

(x2 + x + 1) = 3

(h) lmx 13

(9x2 + 3x + 1) = 1

(i) lmx1

x + 4x 1 = 32

2. Use el teorema 1.1 para hallar los siguienteslmites:

(a) lmx1

2x2 + x 3x2 3x + 2

(b) lmx9

x 3

x 9

(c) lmx1

x2 + 5x + 4

x2 1(d) lm

x8x 83

x 2

1.4 Continuidad de una funcin

Las tres funciones utilizadas en la seccin precedente tienen lmite en el nmero 1. La primeray la segunda tambin estn definidas en 1; es decir, 1 est en el dominio de f y g. Sin embargo,en el caso de la primera, como f(1) = 3, el valor de f en 1 es igual al lmite; en el caso de lasegunda, como g(1) = 1 = 3, esto no ocurre. Para la tercera funcin, el nmero 1 no est enel dominio de h.

Los dibujos de estas tres funciones muestran que en el grfico de las funciones g y h hayun salto al cruzar la recta vertical de ecuacin x = 1 (en la jerga matemtica, se suele decir


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1.4 Continuidad de una funcin 39

que hay un salto al pasar por 1). Si dibujramos los grficos de estas funciones, trazndolode izquierda a derecha, en el caso de la segunda y de la tercera, deberamos interrumpiro discontinuar el trazo. Para f eso no ocurrir. Por esa razn, la funcin f va a ser unafuncin continua, mientras que las otras dos no.

Lo que diferencia a f de g y h es el hecho de que, a ms de existir el lmite en 1, la funcin

est definida all y su valor es igual al lmite. sta es la definicin de continuidad:

Definicin 1.2 (Funcin continua)defi Una funcin f: Dm(f) R, donde I Dm(f) es un intervalo abierto, es continuaen asi y solo si:

1. a I;2. existe lmxa f(x); y

3. f(a) = lmxa f(x).

Una funcin es continua en el intervalo abierto I si es continua en todos y cada uno de loselementos de I.

La continuidad de una funcin es un tema central en el estudio del Clculo. A lo largo deeste libro, conoceremos diversas propiedades de las funciones continuas. Por ahora, veamosque la definicin de lmite ofrece una definicin equivalente de continuidad:

Teorema 1.3 (Funcin continua)Sea f: Dm(f) R, donde I Dm(f) es un intervalo abierto. Sea a I. Entonces, f es

continua en a si y solo si para todo > 0 existe un nmero > 0 tal que|f(x) f(a)| < 0,

siempre que |x a| < y x I.

Observemos que no hace falta excluir el caso x = a, como se hace en la definicin de lmite,porque, al ser f continua en a, si x = a, se verifica que:

|f(x) f(a)| = |f(a) f(a)| = 0 < .

Veamos un par de ejemplos sencillos de funciones continuas.

Ejemplo 1.6

La funcin constante es continua en su dominio.

Solucin. Sean c R y f: R R tal que

f(x) = c

para todo x R. Probemos que la funcin f es continua en todo a R.Para ello, sea a R. Puesto que a Dm(f), solo nos falta verificar que:

1. existe lmxa f(x); y que

2. f(a) = c = lmxa

f(x).


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40 Lmites

Probaremos la segunda condicin nicamente, ya que con ello es suficiente para probar la primera.Sea > 0. Debemos encontrar un nmero > 0 tal que

|f(x) c| < (1.39)siempre que

|x a| < .Ahora bien, puesto que

|f(x) c| = |c c| = 0 < para todo x R, la desigualdad (1.39) ser verdadera cualquiera que sea el > 0 elegido. Es decir, elnmero c es el lmite de f(x) cuando x se aproxima al nmero a.

Por lo tanto, este lmite existe, lo que prueba que la funcin constante es continua en a y, como aes cualquier elemento del dominio de f, la funcin es continua en su dominio.

Este ejemplo nos muestra, adems, la veracidad de la siguiente igualdad:

c = lmxa c. (1.40)

Esta igualdad suele enunciarse de la siguiente manera:

el lmite de una constante es igual a la constante.

Ejemplo 1.7

La funcin identidad es continua en todo su dominio

Solucin. Sea f: R R tal quef(x) = x

para todo x

R. Probemos que la funcin f es continua en todo a

R.

Para ello, sea a R. Puesto que a Dm(f), solo nos falta verificar que:1. existe lm

xa f(x); y que

2. f(a) = a = lmxa

f(x).

Probaremos la segunda condicin nicamente, ya que con ello es suficiente para probar la primera.Sea > 0. Debemos encontrar un nmero > 0 tal que

|f(x) a| < (1.41)siempre que

|x a| < .Como

|f(x) a| = |x a|,es obvio que el nmero buscado es igual a . Si lo elegimos as, habremos probado que a es el lmitede f(x) cuando x se aproxima al nmero a. Por lo tanto, ste lmite existe, lo que prueba que lafuncin identidad es continua en a, de donde, es continua en su dominio.

Este ejemplo nos demuestra que la siguiente igualdad es verdadera:

a = lmxa x. (1.42)

Esta igualdad se enuncia de la siguiente manera:

el lmite de x es igual al nmero a cuando x se aproxima al nmero a.

En una seccin posterior, desarrollaremos algunos procedimientos para el clculo de lmiteslo que, a su vez, nos permitir estudiar la continuidad de una funcin.


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1.5 Interpretacin geomtrica de la definicin de lmite 41

1.5 Interpretacin geomtrica de la definicin de lmite

Como hemos podido ver, encontrar el nmero dado el nmero no siempre es una tareafcil. Los ejemplos que hemos trabajado son sencillos relativamente. En general, demostrarque un cierto nmero es el lmite de una funcin suele ser una tarea de considerable trabajo.

Por ello, el poder visualizar la definicin es de mucha ayuda para poder manipular luego lasdesigualdades con los y . Esta visualizacin puede ser realizada de la siguiente manera.

En primer lugar, recordemos que la desigualdad

|x x0| < r, (1.43)

donde x, x0 y r son nmeros reales y, adems, r > 0, es equivalente a la desigualdad

x0 r < x < x0 + r.

Por lo tanto, el conjunto de todos los x que satisfacen la desigualdad (1.43) puede ser repre-

sentado geomtricamente por el intervalo ]x0 r, x0 + r[; es decir, por el intervalo abierto concentro en x0 y radio r:

x0 r x0 x0 + r

La longitud de este intervalo es igual a 2r.Supongamos que el nmero L es el lmite de f(x) cuando x se aproxima al nmero a.

Esto significa que, dado cualquier nmero > 0, existe un nmero > 0 tal que se verifica ladesigualdad

|f(x) L| < , (1.44)

siempre que se satisfagan las desigualdades

0 < |x a| < . (1.45)

Con la interpretacin geomtrica realizada previamente, esta definicin de lmite puedeexpresarse en trminos geomtricos de la siguiente manera:

dado cualquier nmero > 0, existe un nmero > 0 tal que f(x)se encuentre en el intervalo de centro L y radio , siempre que x seencuentre en el intervalo de centro a y radio y x = a.

Esta formulacin puede ser visualizada de la siguiente manera. En un sistema de coorde-nadas, en el que se va a representar grficamente la funcin f, dibujemos los dos intervalosque aparecen en la definicin de lmite: ]a , a + [ y ]L , L + [. Obtendremos lo siguiente:

x

f(x)

a a a +

L L

L +


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42 Lmites

A continuacin, dibujemos dos bandas: una horizontal, limitada por las rectas horizontalescuyas ecuaciones son y = L y y = L + , y una vertical, limitada por las rectas verticalescuyas ecuaciones son x = a y x = a + :

x

f(x)

a a a +

L L

L +

El rectngulo obtenido por la interseccin de las dos bandas est representado por el

siguiente conjunto:

C = {(x, y) R2 : x ]a , a + [, y ]L , L + [}.

La definicin de lmite afirma que f(x) estar en el intervalo ]L , L + [ siempre que x,siendo distinto de a, est en el intervalo ]a , a + [. Esto significa, entonces, que la pareja(x, f(x)) est en el conjunto C. Es decir, todos los puntos de coordenadas

(x, f(x))

tales que x = a pero x ]a , a + [ estn en el interior del rectngulo producido por lainterseccin de las dos bandas. Pero todos estos puntos no son ms que la grfica de la funcinf en el conjunto ]a , a + [{a}. En otras palabras:

dado cualqui

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