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Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica EducativaComité Latinoamericano de Matemática [email protected] ISSN (Versión impresa): 1665-2436MÉXICO
2006 Juan D. Godino / Vicenç Font / Miguel R. Wilhelmi
ANÁLISIS ONTOSEMIÓTICO DE UNA LECCIÓN SOBRE LA SUMA Y LA RESTA Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa, número especial
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa Distrito Federal, México
pp. 131-155
Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal
Universidad Autónoma del Estado de México
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Análisis ontosemiótico de una lección
sobre la suma y la resta
Juan D. Godino 1
Vicenç Font 2
Miguel R. Wilhelmi 3
RESUMEN
En este trabajo aplicamos algunas nociones del enfoque ontosemiótico de la cognicióne instrucción matemática al análisis de una lección sobre la suma y la resta de un librode 5º grado de educación primaria del estado español. La finalidad es doble: (1) ilustrarla técnica de análisis de textos matemáticos propuesta por el enfoque ontosemiótico dela cognición matemática y (2) identificar criterios de idoneidad de unidades didácticaspara el estudio de las estructuras aditivas en educación primaria. Los resultados obtenidospueden ser de utilidad para la formación de profesores de matemáticas.
PALABRAS CLAVE: Idoneidad didáctica, conflictos semióticos, análisis textosmatemáticos, formación profesores.
ABSTRACT
In this paper, we apply some theoretical notions of the onto-semiotic approach tomathematical cognition and instruction to analyse a lesson on addition and subtractiontaken from a Spanish textbook directed to the fifth grade in primary education. Our aimsare: (1) to illustrate a technique for analysing mathematics textbooks based on the onto-semiotic approach, and (2) to identify suitability criteria for developing didactical units tostudy the additive structures in primary education. The results obtained might be usefulin the training of prospective mathematics teachers.
KEY WORDS: Didactical aptitude, semiotic conflicts, analysis of mathematicaltexts, teachers training.
Fecha de recepción: Enero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006
Universidad de Granada.
Universidad de Barcelona.
Universidad Pública de Navarra.
Relime Número, Especial, 2006, pp. 131-155.
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RESUMO
Neste trabalho aplicamos algumas noções do enfoque ontosemiótico da cognição einstrução matemática al análise de uma lição sobre a soma e a divisão de um livro do
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ensino fundamental do estado espanhol. A finalidade é dupla: (1) ilustrar a técnica deanálise de textos matemáticos proposta pelo enfoque ontosemiótico da cogniçãomatemática e (2) identificar critérios de idoneidade de unidades didáticas para o estudodas estruturas aditivas na educação fundamental. Os resultados obtidos podem ser deutilidade para a formação de professores de matemáticas.
PALAVRAS CHAVE: Idoneidade didática, conflitos semióticos, análise textosmatemáticos, formação professores.
RÉSUMÉ
Dans cet article nous appliquons quelques notions théoriques de l’approche onto-sémiotique à la cognition et à l’instruction mathématique pour analyser une leçon surl’addition et la soustraction tirée d’un manuel scolaire espagnol de la cinquième année.Nos objectifs sont : (1) d’illustrer une technique pour analyser des textes scolaires baséesur l’approche onto-sémiotique; et (2) d’identifier des critères souhaitables pour ledéveloppement d’unités didactiques pour l’étude des structures additives dans l’éducationprimaire. Les résultats obtenus pourraient être utiles dans la formation des futursenseignants en mathématiques.
MOTS CLÉS: Aptitude didactique, conflits sémiotiques, analyse textesmathématiques, formation des enseignants.
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1. Introducción
Como afirman Hiebert, Morris y Glass(2003), un problema persistente eneducación matemática es cómo diseñarprogramas de formación que influyansobre la naturaleza y calidad de la prácticade los profesores. La ausencia de efectossignificativos de los programas deformación de profesores en dicha prácticase puede explicar, en parte, “por la faltade un conocimiento base ampliamentecompartido sobre la enseñanza y laformación de profesores” (p. 201). El saberdidáctico que progresivamente vaproduciendo la investigación en educaciónmatemática queda reflejado en diversasfuentes dispersas y heterogéneas(revistas, monografías de investigación,etc.), pero de manera más accesible a losprofesores se refleja en los libros de textoescolares. Los libros de texto escolares
constituyen la fuente inmediata donde seacumula la experiencia práctica de losprofesores y, en cierta medida, losresultados de la investigación. Enconsecuencia, el análisis crítico de lostextos escolares, la evaluación de supertinencia, idoneidad, adecuación, etc.debe ser un componente importante en losprogramas de formación de profesores dematemáticas.
La preparación de programas deformación puede ser más efectivacentrándola en ayudar a los estudiantesa que adquieran las herramientas quenecesitarán para aprender a enseñar,en lugar de competencias acabadassobre una enseñanza efectiva. (Hiebert,Morris y Glass, 2003, p. 202)
Pensamos que entre estas herramientas
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 133
deben figurar los criterios para analizar lapropia práctica docente y las lecciones delos textos escolares como fuente próximapara el diseño de unidades didácticas.
Dado que el uso de las leccionespropuestas en los libros de texto (o en unformato virtual multimedia) es una decisiónimportante, ya que en gran medidacondiciona el proceso de estudio del tema,los profesores deben tener conocimientosbásicos que les permitan evaluar lascaracterísticas de las lecciones paraseleccionar (o elaborar) las másadecuadas y adaptarlas al nivel educativocorrespondiente. Consideramosimportante introducir en la formación(inicial y continua) de profesores dematemáticas criterios para valorar laidoneidad de los procesos de estudiomatemático, tanto si son basados en el usode libros de texto, como si se trata deprocesos apoyados en el uso de materialesy documentos de trabajo elaborados porel propio profesor.
En este artículo vamos a utilizar algunasherramientas del “enfoque ontosemióticode la cognición e instrucción matemática”(EOS) desarrollado por Godino ycolaboradores (Godino y Batanero, 1994;Godino, 2002; Godino, Batanero y Roa,2005; Contreras, Font, Luque y Ordóñez,2005; Font y Ramos, 2005; Godino,Contreras y Font, en prensa; etc.) paravalorar la idoneidad de un textomatemático escolar. En este marco teóricose postula que la idoneidad global de unproceso de enseñanza-aprendizaje sedebe valorar teniendo en cuenta los cincocriterios siguientes (Godino, Contreras yFont, en prensa):
Idoneidad epistémica se refiere algrado de representatividad de lossignificados institucionalesimplementados (o pretendidos),respecto de un significado dereferencia4. Por ejemplo, laenseñanza de la adición en laeducación primaria actual puedelimitarse al aprendizaje de rutinas yejercicios de aplicación de algoritmos(baja idoneidad), o tener en cuentalos diferentes tipos de situacionesaditivas e incluir la justificación de losalgoritmos (alta idoneidad).
Idoneidad cognitiva expresa el gradode proximidad de los significadosimplementados respecto de aquéllosque son personales iniciales de losestudiantes o, de maneraequivalente, la medida en que el“material de aprendizaje” esté en lazona de desarrollo potencial(Vygotsky, 1934) de los alumnos yalumnas.
Un proceso de enseñanza-aprendizaje con un alto grado deidoneidad cognitiva sería, en elestudio las operaciones aritméticascon números de tres o más cifras, queel profesor realizara una evaluacióninicial para saber si los alumnosdominan los números de uno y doscifras y, en caso de no ser así,comenzara el proceso de instruccióntrabajando dichos números.
Idoneidad semiótica. Un conflictosemiótico es cualquier disparidad odiscordancia entre los significadosatribuidos a una expresión por dos
Chevallard (1991) considera que todo proceso de enseñanza-aprendizaje comporta la transposición del saber: Saber
sabio Saber a enseñar Saber enseñado. La noción de idoneidad epistémica puede ser reinterpretada en términos
transpositivos de la siguiente forma: grado de representatividad del saber enseñado respecto del saber a enseñar.
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sujetos (personas o instituciones) eninteracción comunicativa. Unproceso de enseñanza-aprendizajees idóneo desde el punto de vistasemiótico si las configuraciones ytrayectorias didácticas (Godino,Contreras y Font, en prensa)permiten, por una parte, resolverconflictos semióticos potenciales(que se puedan detectar a priori), ypor otra parte permitan resolver losconflictos que se producen duranteel proceso de instrucción (mediantela negociación de significados). Porejemplo, un proceso de estudiorealizado de acuerdo con unasecuencia de situaciones de acción,formulación, validación einstitucionalización (Brousseau,1997) tiene potencialmente mayoridoneidad semiótica que un procesomagistral que no tenga en cuenta lasdificultades de los estudiantes.
Idoneidad mediacional, grado dedisponibilidad y adecuación de losrecursos materiales y temporalesnecesarios para el desarrollo delproceso de enseñanza-aprendizaje.Si el profesor y los alumnos tuvierana su disposición medios informáticospertinentes al estudio del tema encuestión (Cabri-géomètre, p.e., parala geometría plana), el proceso deestudio que se apoye en estosrecursos tendría mayor idoneidadmediacional que otro tradicionalbasado exclusivamente en la pizarra,lápiz y papel. Asimismo, un ejemplode un proceso de enseñanza-aprendizaje con un alto grado deidoneidad mediacional con relacióna los medios temporales sería unaclase magistral, donde el profesorreproduce de manera íntegra y sininteracción con los estudiantes elsignificado pretendido.
Idoneidad emocional, grado deimplicación (interés, motivación, …)del alumnado en el proceso deestudio. La idoneidad emocional estárelacionada tanto con factores quedependen de la institución como deaquéllos que dependen básicamentedel alumno y de su historia escolarprevia. Por ejemplo, tendránidoneidad emocional alta losprocesos basados en el uso desituaciones-problemas que sean deinterés para los estudiantes.
Como se puede deducir de los ejemplospropuestos, la idoneidad de una dimensiónno garantiza la idoneidad global delproceso de enseñanza-aprendizaje. Estasidoneidades deben ser integradasteniendo en cuenta las interacciones entrelas mismas, lo cual requiere hablar de laidoneidad didáctica como criterio sistémicode adecuación y pertinencia respecto delproyecto educativo global (Godino,Wilhelmi y Bencomo, 2005).
En la siguiente sección presentamosbrevemente algunos de los constructos delEOS que nos permitirán fundamentar loscriterios de análisis y valoración de unalección de un libro de texto. Estos criteriosserán aplicados al análisis de una lecciónsobre la suma y la resta de un libro de textopara 5º grado de educación primaria(Ferrero y cols., 1999).
2. Herramientas teóricas delenfoque ontosemiótico
Para poder valorar la idoneidad epistémicade un proceso de instrucción realmenteimplementado, o bien de un proceso deinstrucción planificado en un libro de texto,es necesario establecer un “significado dereferencia” que sirva de comparación. Este
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significado de referencia se interpreta enel EOS en términos de sistemas deprácticas (operativas y discursivas)compartidas en el seno de una instituciónpara la resolución de una cierta clase desituaciones-problemas.
Para la realización y evaluación decualquier práctica es necesario activar unconglomerado formado por algunos (otodos) de los siguientes elementos:lenguaje, situaciones, reglas (conceptos,proposiciones, procedimientos) yargumentos. A este conglomerado deobjetos se le llama configuración. Estasconfiguraciones pueden ser cognitivas(conglomerado de objetos personales) oepistémicas (conglomerado de objetosinstitucionales) según que se considerela práctica desde la perspectiva personalo institucional. A su vez, estasconfiguraciones son emergentes de lasprácticas realizadas para resolver uncampo de problemas.
Los objetos matemáticos que intervienenen las prácticas matemáticas y losemergentes de las mismas, según el juegode lenguaje en que participan(Wittgenstein, 1953) pueden serconsiderados desde las siguientesdimensiones duales: personal-institucional,elemental-sistémico, expresión-contenido,ostensivo-no ostensivo y extensivo-intensivo (Godino, 2002).
Personal-institucional: si los sistemasde prácticas son compartidos en elseno de una institución, los objetosemergentes se consideran “objetosinstitucionales”, mientras que si estossistemas son específicos de unapersona se consideran como “objetospersonales” (Godino y Batanero, 1994).
Ostensivo-no ostensivo.Los objetosinstitucionales y personales se pueden
considerar como objetos no-ostensivos. Ahora bien, cualquiera deestos objetos se usa en las prácticaspúblicas por medio de sus ostensivosasociados (notaciones, símbolos,gráficos, …). Se entiende por ostensivocualquier objeto que es público y que,por tanto, se puede mostrar a otro. Estaclasificación entre ostensivo y noostensivo es relativa al juego delenguaje en que participan. El motivoes que un objeto ostensivo puede sertambién pensado, imaginado por unsujeto o estar implícito en el discursomatemático (por ejemplo, el signo demultiplicar en la notación algebraica).
Extensivo-intensivo: un objeto queinterviene en un juego de lenguajecomo un caso particular (un ejemploconcreto, la función y = 2x + 1) y unaclase más general o abstracta (p.e., lafamilia de funciones y = mx + n).
Elemental-sistémico: en algunascircunstancias los objetos matemáticosparticipan como entidades unitarias(que se suponen son conocidaspreviamente), mientras que otrasintervienen como sistemas que sedeben descomponer para su estudio.En el estudio de la adición ysustracción, en los últimos niveles deeducación primaria, el sistema denumeración decimal (decenas,centenas,…) se considera como algoconocido y en consecuencia comoentidades elementales. Estos mismosobjetos, en el primer curso, tienen queser considerados de manera sistémicapara su aprendizaje.
Expresión-contenido: antecedente yconsecuente de cualquier funciónsemiótica.
La actividad matemática y los procesos
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de construcción y uso de los objetosmatemáticos se caracterizan por seresencialmente relacionales. Losdistintos objetos no se deben concebircomo entidades aisladas, sino puestosen relación unos con otros. Ladistinción entre expresión y contenidonos permite tener en cuenta el carácteresencialmente relacional de laactividad matemática. La relación seestablece por medio de funcionessemióticas, entendidas como unarelación entre un antecedente(expresión, significante) y unconsecuente (contenido, significado)establecida por un sujeto (persona oinstitución) de acuerdo con un ciertocriterio o código de correspondencia.
Estas facetas se presentan agrupadas enparejas que se complementan de maneradual y dialéctica. Se consideran comoatributos aplicables a los distintos objetosprimarios y secundarios, dando lugar a
distintas “versiones” de dichos objetos. EnGodino, Batanero y Roa (2005) sedescriben los seis tipos de entidadesprimarias y los cinco tipos de dualidadescognitivas mediante ejemplos relativos auna investigación en el campo delrazonamiento combinatorio.
En la Figura 1 se representan lasdiferentes nociones teóricas que se handescrito sucintamente. En el EOS laactividad matemática ocupa el lugarcentral y se modeliza en términos desistema de prácticas operativas ydiscursivas. De estas prácticas emergenlos distintos tipos de objetos matemáticos,que están relacionados entre sí formandoconfiguraciones. Por último, los objetosque intervienen en las prácticasmatemáticas y los emergentes de lasmismas, según el juego de lenguaje enque participan, pueden ser consideradosdesde las cinco facetas o dimensionesduales.
Figura 1. Herramientas teóricas del EOS
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Por último, dentro del “enfoqueontosemiótico” se están introduciendonuevas herramientas teóricas quepermiten abordar el estudio de losfenómenos de instrucción matemática.Godino, Contreras y Font (en prensa)proponen, como unidad primaria deanálisis didáctico, la configuracióndidáctica, constituida por las interaccionesprofesor-alumno a propósito de una tareamatemática y usando unos recursosmateriales específicos. El proceso deinstrucción sobre un contenido o temamatemático se desarrolla en un tiempodado mediante una secuencia deconfiguraciones didácticas, cada una delas cuales incorpora una determinadaconfiguración epistémica.
3. Configuraciones epistémicasasociadas con las situacionesaditivas. Reconstrucción del
significado de referencia
Para poder valorar la idoneidad epistémicade un proceso de instrucción realmenteimplementado (significado implementado)o bien de un proceso de instrucciónplanificado en un libro de texto (significadopretendido) es necesario establecer elsignificado de referencia que sirva decomparación. En esta sección describimosde manera sintética los principaleselementos del significado de referenciapara las estructuras aditivas, agrupandodichos elementos en los seis tipos deentidades que propone el EOS: lenguaje,situaciones, acciones, conceptos,propiedades y argumentos y losorganizaremos en configuracionesepistémicas.
El primer tipo de configuración epistémicaque consideraremos son las “formales”. Endichas configuraciones se usa el método
axiomático, es decir, se eligen ciertosenunciados de la teoría como axiomas yse exige que todos los demás seanprobados a partir de ellos.
3.1 Configuraciones formales
Las entidades matemáticas que se ponenen juego en las situaciones aditivascontextualizadas son analizadas demanera formal o estructural en el marcointerno de las matemáticas. Para ello, losnúmeros dejan de ser considerados comomedios de expresión de cantidades demagnitudes (números de personas ocosas, papel que cumplen en unasituación, etc.) y son interpretados biencomo elementos de una estructuracaracterizada según la teoría de conjuntos,bien según los axiomas de Peano. En estecontexto de formalización matemática seplantean preguntas tales como:
- ¿Cómo se debería definir la adición,a partir de los axiomas de Peano?
- ¿Cómo se debería definir la adición,cuando los números naturales sondefinidos como los cardinales de losconjuntos finitos?
- ¿Qué tipo de estructura algebraicatiene el conjunto N de los númerosnaturales dotado de la ley decomposición interna de adición?
- ¿Es la sustracción una ley decomposición interna? ¿Quépropiedades cumple?
La respuesta a estas preguntas requierede la elaboración de recursos lingüísticosespecíficos, técnicas operatorias(recursión, operaciones conjuntistas),conceptos (definiciones conjuntistas deadición y sustracción; definicionesrecursivas; definición algebraica de
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sustracción), propiedades (estructura desemigrupo de N) y argumentaciones(deductivas), en definitiva unaconfiguración epistémica con rasgos ocaracterísticas específicas, adaptadas a lageneralidad y rigor del trabajo matemático.Estos tipos de configuraciones formales noson las que nos pueden resultar útiles paradeterminar la idoneidad epistémica de unproceso de instrucción planificado para unainstitución escolar de enseñanza primaria.Para este tipo de institución necesitamos unaconfiguración, que llamaremos intuitiva (ocontextualizada), que presuponga una ciertaconcepción empírica de las matemáticas. Esdecir, una concepción que considere que lasmatemáticas son (o se pueden enseñarcomo) generalizaciones y formalizaciones dela experiencia; una concepción de lasmatemáticas que suponga que, al aprendermatemáticas, recurrimos a nuestro bagajede experiencias sobre el comportamiento delos objetos materiales.
3.2. Configuración empírica
Las operaciones aritméticas de la adición yde la sustracción se construyen inicialmentecomo medio de evitar los recuentos ensituaciones que incluyen distintascolecciones parcialmente cuantificadas. Lassituaciones concretas o contextualizadasponen en juego un proceso de modelizaciónque produce, como etapa intermedia, unasituación aditiva formal; esto es, unasituación en la que se requiere realizar unasuma o una resta, cuyo resultado debe serinterpretado según el contexto inicial. Elaprendizaje de la suma y la resta implica,
La clasificación de los problemas aditivos contextualizados ha sido objeto de numerosas investigaciones, ya que
cada tipo comporta subconfiguraciones puntuales específicas que deben ser tenidas en cuenta en los procesos de
enseñanza-aprendizaje. Verschaffel y De Corte (1996) presentan una síntesis de estas investigaciones y mencionan los
tres tipos básicos de problemas aditivos: cambio, combinación y comparación.
En la Figura 7 mostramos otro ejemplo de configuración puntual correspondiente a una página del libro que analizamos
en las secciones 4 y 5 donde explicitamos dichas relaciones.
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por tanto, el dominio de las situacionesformales y de los algoritmos de sumar yrestar.
La resolución de los problemas aditivos poneen funcionamiento diversos recursosoperatorios, lingüísticos, conceptuales,proposicionales y argumentativos que debenser dominados progresivamente para lograrcompetencia en dicha resolución. La Figura2 resume los principales elementos ocomponentes de la configuración epistémicaempírica formada por el sistema de objetosy relaciones implicadas en la solución delos problemas aditivos5 en el nivel deeducación primaria (significadoinstitucional de referencia). Por razones deespacio, los componentes de laconfiguración se muestran de maneratabular. Sin embargo, hay que tener encuenta que dichos elementos estánrelacionados entre sí6.
El lenguaje (verbal, gráfico, simbólico)describe las situaciones-problemas;representa a las entidades conceptuales,proposicionales (adición, sustracción,sumandos, commutativa, asociativa, …) yprocedimentales (algoritmos). Lasnotaciones, disposiciones tabulares,diagramas, etc., sirven de herramientas parala realización de los algoritmos y laelaboración de argumentos justificativos. Lasdefiniciones y proposiciones relacionan losconceptos entre sí y hacen posible eldesarrollo de algoritmos de cálculo eficaces.Los argumentos justifican las propiedadesy permiten la realización de lasoperaciones.
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 139
LENGUAJE
Verbal- Juntar, añadir, sacar, suma, resta, “cuánto falta”, más menos, adición, sustracción, sustraendo, minuendo, diferencia, paréntesis, operación, propiedad conmutativa, propiedad asociativa, etc.Gráfico- Dibujos en los que se presentan situaciones contextualizadas de adición y sustracción (se representan con objetos los cardinales de los dos conjuntos y en algunos casos también el cardinal del resultado)- En la recta numérica se representan sumas y restas- Etc.Simbólico: +, – , 24 + 30, 45 – 23, a + b, a – b, a – b = c, “(” , “)” …
SITUACIONES
- Problemas contextualizados en los que: se añade, hay que seguir contando, se saca, se cuenta hacia atrás , se pide “cuánto falta” , se compara, etc.- Problemas descontextualizados de sumas y resta
CONCEPTOS
Previos
- Sistema de numeración decimal- Suma y resta
Emergentes-Adición; Sustracción; Sumandos- Sustraendo; Minuendo; Diferencia- Sumas y restas equivalentes
PROCEDIMIENTOS
- Descontextualización del enunciado del problema;- Contextualización de enunciados descontextualizados- Aplicar los algoritmos de la suma y de la resta- Comprobación de los resultados de una resta- Cálculo mental de sumas y restas- Utilización de las propiedades conmutativa y asociativa para realizar las operaciones más fácilmente-Cálculo de sumas y resta con calculadora.- Resolución de problemas de sumas y restas- Etc.
PROPIEDADES
- La suma es una operación interna (la resta no)- Elemento neutro- Conmutativa (suma)- Asociativa (suma)- El total de una suma siempre es mayor que los sumandos (si estos son diferentes de cero)- (a + c) – (b + c) = a – b- La diferencia siempre es menor que el minuendo (si el sustraendo es diferente de cero)- Relación entre diferencia, sustraendo y minuendo:S – M = D; S = D + M; S – D =M
ARGUMENTOS- Comprobación de las propiedades en casos particulares (casi siempre extra matemáticos)- Justificación de las propiedades, utilizando elementos genéricos- Justificación de los algoritmos a partir de las características del Sistema de Numeración Decimal
Figura 2. Configuración epistémica “empírica” de la adición y de la sustracción
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Se trata de una configuración epistémicaen la que los conceptos y las propiedadesque se introducen se intentan justificar porsu acuerdo con una realidad extramatemática. Este intento topa con unadificultad que se convierte en el origen deimportantes conflictos semióticos, que noes otra que el carácter convencional dealgunas reglas matemáticas. Nopretendemos entrar aquí en la discusiónde si todas las reglas en matemáticas sonconvencionales, puesto que no se puedenjustificar por su acuerdo con la experiencia;nos limitamos a señalar que, incluso en elsupuesto de que la mayoría de las reglasmatemáticas se pudieran justificar por suacuerdo con situaciones extramatemáticas, hay ciertas reglas, como porejemplo, la prioridad de las operaciones,que indiscutiblemente son convencionalesy que, por tanto, difícilmente se puedenjustificar con base en su acuerdo consituaciones extra matemáticas.
4. Análisis global de la lección
El análisis ontosemiótico de una lección debeabordarse primero desde una perspectivaglobal que identifique su objetivo y estructuraen configuraciones didácticas, para pasardespués, en un segundo nivel, a un estudiodetallado de cada una de ellas (en estetrabajo nos centraremos, sobre todo, en lasconfiguraciones epistémicas asociadas y enlos conflictos semióticos potenciales). Estesegundo análisis lo haremos en la sección5, centrándonos sobre todo en las funcionessemióticas (dualidad expresión-contenido)que relacionan objetos que pueden serextensivos o intensivos (dualidad extensivo-intensivo).
A continuación comenzamos el análisisglobal de la lección de Ferrero y cols.(1999)7. La lección sobre la suma y la restaincluida en este libro de texto escolar seinterpreta en el EOS como el significadopretendido en clases de 5º grado deeducación primaria (alumnos españoles de10 años de edad).
El estudio comienza recordando el usoconcreto de la suma y la resta:
Sumamos cuando reunimos o juntamosvarias cantidades en una sola. Restamoscuando separamos, quitamos una parte deotra o hallamos la diferencia entre doscantidades. (p. 18)
Sigue con la presentación de una situaciónintroductoria general donde se presentauna escena de clase con grupos de niñosjugando diversos juegos mediante loscuales consiguen puntos. Se planteanproblemas cuya solución requiere realizaruna suma o una resta. El tipo de situación-problema que se presenta al inicio de launidad tiene un objetivo que se puededescribir del siguiente modo: ¿Cómodiscriminar las situaciones de suma y restay cómo resolverlas? Esta pregunta generalque guía el desarrollo de la lección sedescompone en sub-preguntas que sonabordadas en las distintas secciones en quese estructura. La Figura 3 muestra laestructura global de la lección, centrando laatención en la secuencia de configuracionesligadas a los tipos de problemas planteados(figuras hexagonales); una de dichasconfiguraciones (config. 1) será analizada enla sección 5.1., teniendo en cuenta losinstrumentos teóricos introducidos por elEOS.
El libro de texto de Ferrero y cols. (1999) es un ejemplar prototípico de los que en la actualidad se utilizan en el
sistema educativo español (actualizados en euros como unidad monetaria) y, por lo tanto, el estudio que realizamos no
sólo representa un modelo para el análisis de otros libros de texto, sino que determina una “pauta genérica” para la
valoración de libros de texto del mismo grado y contexto.
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Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 141
Figura 3. Estructura global de la lección
Las seis primeras secciones (sobre lasque centraremos el anál is isontosemiótico) tienen una estructurasimilar:
-Planteamiento de una situación-problema.
-Un apartado titulado “Observa”, dondese describe la solución del problema,se presentan las definiciones y seexplican las técnicas.
-Una colección de 4 o 5 ejercicios yaplicaciones.
Las seis primeras secciones se titulan:(1) La suma. Signif icados, (2) Laspropiedades de la suma, (3) La resta.Significados, (4) Relaciones entre lostérminos de la resta, (5) Restasequivalentes y (6) Sumas y restascombinadas. Uso del paréntesis. En ellasse desarrolla el tema y los algoritmos queaparecen son con lápiz y papel. En lasección siguiente, cuyo título es (7)Conoce tu calculadora, se introducen dostécnicas alternativas a los algoritmos con
lápiz y papel: el cálculo estimado y elcálculo con calculadora. En la siguientesección, cuyo título es (8) Recuerda, losautores presentan a los alumnos aquelloque es esencial recordar de lo que se haestudiado anteriormente. A continuaciónse propone una sección deautoevaluación, cuyo título es (9) ¿Te lohas aprendido? En la sección siguiente,cuyo título es (10) Cálculo mental, seintroduce otra técnica alternativa a losalgoritmos con lápiz y papel: el cálculomental exacto. A continuación, en lasección titulada (11) Arco iris se proponeun problema cuyo contexto es “la comprade comida para el hogar” en la quetambién se introducen los valores deigualdad entre el hombre y la mujer a lahora de participar en las tareas delcuidado de la casa. Como sección finalse propone una sección de consolidaciónde conocimientos, cuyo título es (12)Resolución de problemas en la queademás se introduce la estrategiaheurística “descomposición del problemaen partes”.
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5. Análisis ontosemiótico deconfiguraciones parciales
En esta sección vamos a realizar un análisisdetallado de la primera configuracióndidáctica dedicada al estudio de la suma.
Figura 4. Problema introductorio
B. La explicación de la solución del problema que sirve como sistematización de lossignificados de la suma y del algoritmo de sumar en columna (Figura 5).
C. También incluyen cuatro actividades de ejercitación y aplicación (Figura 6).
5.1. Sección 1: La suma. Significados
Los autores de la lección han organizadoun proceso de estudio puntual paraexplicar los significados de la adición,incluyendo los siguientes apartados:
Figura 5. Explicación del problema introductorio
Figura 6. Ejercicios y aplicaciones
A.Un problema introductorio (Figura 4).
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 143
La Figura 7 describe la configuración epistémica asociada a esta sección.
Realizamos a continuación un análisisdetallado del texto, mostrando losconflictos semióticos que se puedenpresentar para los lectores potenciales.Dividimos el fragmento del texto en trespartes correspondientes al enunciado delproblema introductorio (A), la explicaciónde los significados y el algoritmo de sumar(B), y el enunciado de 4 ejercicios (C).
PARTE A: Situación introductoria
En esta parte se propone el enunciado deun problema, el cual se acompaña con undibujo que no tiene ninguna relación conel texto. El objetivo de este problemacontextualizado es que sirva de ejemplopara definir el concepto de “suma” y“recordar” el algoritmo de la suma (ambosconceptos se suponen conocidos decursos anteriores). Los autores suponen
Figura 7. Configuración epistémica de la “La suma. Significados”
que las consideraciones hechas sobre elejemplo particular son suficientes para quelos alumnos comprendan (o recuerden) elconcepto de “suma” y su “algoritmo”. Esteejemplo es utilizado implícitamente por losautores como un “elemento genérico” delos problemas que se resuelven mediantesumas, ya que implícitamente se suponeque lo que se dice para este caso particulares válido para todos los problemas que seresuelven “sumando”. Dicho de otramanera, el objetivo de este problema noes su resolución, sino activar la dualidadextensivo-intensivo en los párrafosposteriores.
Sin embargo, no parece que este problemasea un buen representante del tipo deproblemas aditivos que se pretendeabordar. La situación se describe demanera incompleta y ficticia. No se dice el
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nivel educativo a que corresponden losnuevos alumnos, por lo que se tiene unaprimera operación de unión de dosconjuntos de elementos disjuntos (niños deinfantil y de primaria), y después otraoperación de unión de elementos de otroconjunto cuya naturaleza no distingue elnivel escolar de los niños. Parece que lainformación del nivel escolar a quecorresponden los niños introduce unadistinción innecesaria que puede confundira los alumnos. Otro elemento contextualque influye en la solución está el hecho deque no se informa sobre los alumnos delcurso anterior que no continúan en elcentro; de hecho, una respuesta razonablepara el problema puede ser: No se puedesaber.
Lo dicho no tiene que suponernecesariamente un “fracaso generalizadoen la realización de la tarea”. Es muyposible que los alumnos acepten elenunciado y realicen la suma requerida,pero por razones de “contrato didáctico” ypor la observación de la palabra clave“total” que previamente habrán asociado asumar los números que intervienen. Entodo caso, la realización exitosa de la tareapor la mayor parte de la clase no esatribuible al problema, sino a reglaspreviamente establecidas y conocimientosculturales aceptados en la institución.
PARTE B: Observa
Se comienza diciendo que para hallar elnúmero total de alumnos y alumnas serealiza una suma. A continuación, se definequé es sumar:sumar es reunir, juntar,añadir, aumentar, incrementar, … . Ahorabien, se trata de una definición incompletaya que no se dice que la suma es el“número de elementos” (cardinal) delconjunto unión (dados dos conjuntosdisjuntos). Si el alumno se guía sólo poresta definición puede considerar como
situaciones de “suma” muchas que no loson. Por ejemplo, “reunir” mis regalos conmis libros (cuando algún libro es unregalo); “juntar” dos bolas de plastilina dacomo resultado una bola de plastilina(¿1 + 1 =1?); al “juntar” todos los númerosde teléfono de mis amigos, en el mejor delos casos, obtengo una agenda, pero deninguna manera una “suma”; …
De hecho, al tratarse de verbos de accióntransitivos que se aplican sobre loselementos de dos o más conjuntos elreconocimiento de las situaciones en lasque es pertinente sumar no estará exentode dificultades dada la generalidad de lasacciones que se mencionan comoequivalentes a sumar, las cuales ademásno agotan todas las posibilidades ycircunstancias de uso. Asimismo, no seespecifica de manera explícita o implícitala necesidad de que los conjuntos debenser disjuntos.
El conflicto semiótico que se podríaproducir es que los alumnos identificasencomo situaciones de suma algunas que nolo son. Ahora bien, es de suponer quedicho conflicto no se va a producir dadoslos conocimientos previos de los alumnossobre la adición de números naturales (hayque recordar que esta unidad estápensada para alumnos de 10 años).
En el EOS se considera que cadadefinición se debe entender como unadefinición-regla que, de entrada, no pareceque indique que haya algo que sea precisohacer. A partir de las definiciones-reglaspodemos atribuir valores veritativos(verdadero y falso) a ciertas proposiciones.Ahora bien, de una definición-reglatambién se puede deducir una reglapráctica que nos da instrucciones para“realizar una práctica”. Esta práctica sepuede dar en diferentes situaciones, porlo que se puede afirmar que una definición
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta
genera un conjunto de prácticas. A su vez,otra definición equivalente generará otrosubconjunto de prácticas. Por tanto, si ladefinición de suma fuese completa yespecificara que la suma es el cardinal dela unión, de ella se podría deducir unapráctica para hallar la suma (por ejemplocontar el número de elementos delconjunto unión) y a partir de la necesidadde buscar un método más ágil para hallardicho cardinal aparecerían otras técnicas(tabla de sumas elementales, cálculomental, algoritmo escrito, uso de lacalculadora, etc.).
La situación que presenta el libro es que,por una parte, da una definición incompletade la cual no se puede deducir una reglapara calcular la suma y, por otra parte, acontinuación pasa a explicar el algoritmode la suma (con dos registros diferentes:enunciado y simbólico). El registro verbales deliberadamente incompleto, ya quesupone que el algoritmo es conocido porlos alumnos. El registro simbólico no es elalgoritmo habitual, sino que es un pre-algoritmo que se suele usar como pasoprevio al algoritmo habitual para facilitar sucomprensión. Es al final de este algoritmocuando la suma se identifica con el “total”(es decir, implícitamente como el cardinaldel conjunto unión). Puesto que los autoresconsideran conocido este pre-algoritmo, esel lector quien tiene que interpretar eldiagrama tabular y sagital de la izquierda.La descripción del algoritmo contienediversos convenios que el lector debieraconocer previamente, ya que no se aportainformación al respecto. Las letras C, D, Ucolocadas encima de los datos significanCentenas, Decenas y Unidades y evocanlas reglas del sistema de numeracióndecimal. Los números escritos comosuperíndices y las flechas inclinadasresumen el algoritmo de sumar con“llevadas” de cifras de un orden alsiguiente. El esquema incluye tres
definiciones implícitas: sumandos (cadauno de los tres números que se suman),suma (resultado de la adición), total (quesignifica lo mismo que suma). Se evita, enesta parte del texto, distinguir entre laadición como operación aritmética y lasuma como resultado de la adición.
Diagrama lineal
Se supone que el lector está familiarizadocon los convenios de representación delos números en la recta numérica: elecciónde un origen y de un segmento que se usacomo unidad de medida; lo que permiteasignar a cada número natural unsegmento de recta que será su medida conel segmento tomado como unidad (o unadistancia desde el origen). En este caso,como los números son grandes no sepuede mostrar la unidad por lo que sepierde el carácter discreto de los conjuntosrepresentados (aunque hay que resaltarque, en este caso, el dibujante haprocurado que las longitudes de lossegmentos mantengan aproximadamentela misma proporción entre ellas que lossumandos). El diagrama lineal se incluyeaquí como medio de explicación de laoperación de sumar tres sumandos. Ladefinición de suma que se da de maneraimplícita se basa en el recuento: sumar ay b es “seguir contando b a partir de a”.Se pone así en juego un significado parcialde suma distinto del dado anteriormente,basado en el cardinal de un conjunto.
La técnica de sumar sugerida por eldiagrama lineal es difícil de poner enpráctica, en el sentido de que no se puedeaplicar efectivamente cuando los númerosson grandes. La faceta dual ostensivo-noostensivo es aceptada implícitamentecomo transparente, no problemática. Sepresupone que el diagrama lineal(ostensivo), como recurso didáctico, esuna expresión gráfica de la adición que
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transmite “de forma automática” elsignificado de la adición (no ostensivo)basado en la aplicación sistemática (y porsupuesto, implíc i ta) de la funciónsiguiente que se introduce en laaxiomática de Peano.
La parte B concluye con una explicaciónque pretende dar a entender que “sumares una operación que a partir de ciertosnúmeros (sumandos) obt iene otronúmero (suma)” para ello introduce lostérminos valor y parte (¿Por qué usaraquí una terminología de procedenciaeconómica?):
“En una suma se conoce el valor decada parte y se calcula el total” (p.19).
En esta sección el alumno se encuentracon una gran complejidad semiótica, yaque en media página se le presentanmezcladas diferentes interpretaciones dela “suma”: como una acción (reunir,juntar, etc.), como el cardinal del conjuntounión, como “seguir contando” y comooperación. Además, aparecen diferentesregistros: verbal, simbólico y gráfico. Estagran complejidad semiótica podría ser lacausa potencial de numerosos conflictossemiót icos que, en la mayoría dealumnos, no se producen gracias a susconocimientos previos sobre la suma. Elprofesor que use este libro como apoyode sus clases debe ser consciente de losconflictos semióticos potenciales quehemos descrito.
PARTE C (Ejercicios)
En el primer problema se proponen hacercuatro sumas de cuatro sumandos denúmeros hasta de 5 cifras. Se tratan desumas descontextualizadas que, comoprincipal novedad respecto del ejemploresuelto, se presentan dispuestos en fila.
Parece que el elevado número de cifrasde los sumandos tienen por objetivoconseguir que los alumnos los disponganen columnas y apliquen el algoritmo dela suma que se ha recordadoanteriormente.
En el segundo, se espera que losalumnos realicen el planteamiento yresolución de un enunciado de problemaa partir de sumandos expresados en undiagrama lineal. El objetivo es que losalumnos apliquen la dualidad extensivo-intensivo y confeccionen el enunciado deun problema cuya descontextualizaciónse corresponda con el diagrama lineal.
El tercero es un problemacontextual izado de sumar con tressumandos sin que se indique ningunapalabra clave alusiva a las “acciones desumar”. Incluso, admite como respuestacorrecta repetir los datos de visitantes encada día, o decir que no se puede saberya que no se dicen los visitantes de losotros días en los que se podía visitar laexposición.
El cuarto es un problema concreto de dossumandos. Tampoco se incluye términosalusivos a las acciones de sumar. Lainferencia de hacer una suma se derivade un conocimiento práct ico de lasituación. Es de destacar que mientrasel enunciado hace referencia a un sololibro en el dibujo aparecen dos libros.
5.2. Algunos conflictos semióticosidentificados en las secciones 2-6
Sección 2: Las propiedades de la suma
El problema introductorio (Figura 8)pretende motivar las propiedadesconmutativa y asociativa de la suma.
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Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 147
En primer lugar, la Figura 8 presenta unconflicto semiótico entre los códigos detransmisión: en el marco gráfico, el númerode fichas es 30 (11 fichas en cada caja y 8sobre la mesa); en el marco semántico, elnúmero de fichas es 580 (24 y 36 en lascajas, respectivamente, y 520 sobre lamesa). Se supone, por lo tanto,transparente el código de comunicaciónque identifica el “número en una tarjeta”con el “número de fichas”. ¿Por qué nointerpretar que en la caja “24” hay 11fichas?, máxime cuando sobre la mesa hayclaramente menos fichas que en las cajasy, en todo caso, no parece admisible quehaya 520 fichas. De esta forma, la tareaprecisa de aclaraciones del tipo “el número24 representa el número de fichas que hayen la caja de la izquierda”.
En segundo lugar, la primera pregunta,“¿cuántas fichas hay en las dos cajas?”,impide que los alumnos se planteen por símismos las distintas posibilidades derealizar la suma de los tres sumandos ycomprobar que el resultado es el mismo.Una manera de conseguir este propósitosería suprimir la primera pregunta yplantear directamente “¿cuántas fichashay en total?” De esta manera la situaciónqueda más abierta a la exploración personaldel lector. Asimismo, habrá que tener encuenta que muchos potenciales lectoresdarían por finalizada la actividad, obtenidauna respuesta. Una opción es planificar unasesión de interacción en aula, que conlleveresponder a preguntas del tipo:
Figura 8. Situación introductoria. Propiedades de la suma
-¿Cambia el resultado, si cambias elorden en que se hacen las sumas delos números?
-¿Ocurre igual si los números defichas en cada caja y sobre la mesason diferentes?
-¿Da igual que sumemos primero lasfichas de las cajas y luego las de lamesa o, por ejemplo, primero las deuna caja con las de la mesa ydespués las de la otra caja?
En el apartado “Observa” que sigue alenunciado se ve con claridad que elobjetivo del problema no es que losalumnos descubran por si mismo lapropiedad asociativa. La primera preguntaestá pensada para poder explicar con elejemplo de las dos cajas la propiedadconmutativa y la segunda para explicar laasociativa. En efecto, en la sección“Observa” (Figura 9) se presenta lasolución del problema y los enunciadosgenerales de las propiedades conmutativay asociativa. Nos parece unageneralización prematura, basada en lacomprobación de un solo ejemplo. Por otraparte, bajo el epígrafe “Propiedadasociativa” se da, en realidad, elenunciado de una técnica de cálculo parasumar tres números: “Para sumar tresnúmeros, sumamos dos cualesquiera deellos y el resultado se suma con el tercero”.De esta forma, se confunde el enunciadode una técnica, con el de una propiedad.
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Además, la técnica de cálculo es enmuchos casos interpretada como: si secambia el orden en que hacemos lassumas el resultado no varía, donde la voz“orden” es polisémica: por un lado, “elorden en que se suman tres sumandosdados en una lista” (primero a más b y elresultado sumarlo a c o bien sumar primerob y c y al resultado agregarle a), por otrolado, “el orden en que se colocan lossumando dados, que supone unageneralización de la propiedad conmutativaa tres números” (a+b+c = a+c+b =b+a+c = b+c+a = c+a+b = c+b+a ).
Sección 3: La resta. Significados
La presentación de la resta (Figura 10) se hacede manera similar a la de la suma. Primero sepresenta un problema contextualizado en el quese pide cuánto falta para llegar a 9.450 puntossi tenemos 6.750. Contrariamente al caso dela suma, el problema escogido sí se puedeconsiderar un buen representante de losproblemas de resta.
Figura 9. Propiedades de la suma
Figura 10. La resta. Significados
Se comienza diciendo que para hallar elnúmero de puntos que falta se realiza unaresta. A continuación se define qué es restar:restar es quitar, separar, disminuir, comparar,etc. Ahora bien, como en el caso de la suma,se trata también de una definición incompletaya que no se dice, por ejemplo, que la restaes el número de elementos que quedan enel conjunto después de quitar algunos. Si elalumno se guía sólo por esta definiciónpuede considerar como situaciones de“resta” muchas que no lo son. Al igual queen el caso de la suma de esta definición deresta no se puede inferir una regla pararealizar la resta.
La situación que presenta el libro es que, poruna parte, da una definición incompleta dela cual no se puede deducir una regla paracalcular la resta y, por otra parte, acontinuación pasa a explicar el algoritmo dela resta (con dos registros diferentes:enunciado y simbólico). El registro verbal esdeliberadamente incompleto, ya que suponeque el algoritmo es conocido por los alumnos.El registro simbólico que se presentadescribe el pre-algoritmo previo al algoritmode restar “tomando prestado”, que no es elque habitualmente se enseñan en España(que suele ser el algoritmo de “restarllevándose”). Puesto que los autoresconsideran conocido este pre-algoritmo, esel lector quien tiene que interpretar eldiagrama tabular de la izquierda. Ladescripción del algoritmo contiene diversosconvenios que el lector debiera conocerpreviamente, ya que no se aportainformación al respecto. El esquema incluyetres definiciones implícitas: minuendo,sustraendo y diferencia. Se evita, en estaparte del texto, distinguir explícitamente entrela resta como operación aritmética y la restacomo resultado de la sustracción(diferencia).
Es de resaltar la alta “densidad semiótica”del esquema de sustracción presentado.
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 149
A diferencia del caso de la suma, seintroducen abreviaturas lingüísticas paralas palabras minuendo (M), sustraendo (S)y diferencia (D) (la letra D también significaaquí decena, lo que produce un nuevofenómeno de polisemia), que son referidasmediante flechas a los númeroscorrespondientes a la sustracción delproblema propuesto. Estas abreviaturasnotacionales serán usadas en el siguienteapartado para enunciar, de manerageneral, las relaciones entre los tresnúmeros que definen una sustracción. Elalgoritmo de restar “tomando prestado” sesupone conocido y, por ello, sólo se describetachando las cifras correspondientes delminuendo y anotando encima del mismo lanueva cifra con los incrementos de unidadescorrespondientes. Hay que resaltar que losautores seguramente han tenido en cuenta,aunque sea sólo de manera implícita, lacomplejidad semiótica del algoritmo de“restar llevándose” ya que han optado, encursos anteriores, por explicar un algoritmode menor complejidad semiótica: elalgoritmo de restar “tomando prestado”.
Se incluye también un diagrama lineal quepone en juego un significado parcial deresta distinto del dado anteriormente.Ahora la resta se entiende en términos de“sumando desconocido”: 6.795 + (?) =9.450. Se concluye con una explicaciónque pretende dar a entender que “restares una operación que a partir de ciertosnúmeros (total y parte) obtiene otro número(otra parte)”, pero se deja a cargo delalumno la identificación de “total” con“minuendo”, de “parte” con “sustraendo” yde “otra parte” con “diferencia”.
En esta sección el alumno se encuentracon una gran complejidad semiótica, yaque en media página se le presentanmezcladas diferentes interpretaciones dela “resta”: como una acción (quitar,
comparar, etc.), como “sumandodesconocido” y como operación.Además, aparecen diferentes registros:verbal, simbólico y gráfico. Esta grancomplejidad semiótica podría ser lacausa potencial de numerosos conflictossemiót icos que, en la mayoría dealumnos, no se producen, al igual queen el caso de la suma, gracias a susconocimientos previos sobre la resta. Porotra parte, es de destacar que no se daa la resta el significado parcial de “contarhacia atrás”.
Sección 4: Relaciones entre los términosde la resta
Esta sección comienza con el siguienteproblema introductorio:
“Para pagar la carpeta, Jaime entregómil pesetas y le devolvieron 165 pesetas(en un dibujo se indica que la carpetacuesta 835 pta). Comprueba si soncorrectas las vueltas” (Ferrero y cols,1999, p. 22).
Puesto que se trata de relacionar la sumay la resta sería más conveniente formularla pregunta de manera más abierta.
Una consigna alternativa podría ser: ¿Decuántas maneras dist intas podríascomprobar si la vuelta (es decir, el dinerodevuelto) es correcta?”
A continuación, en el apartado “Observa”(Figura 11) se explican tres manerasalternativas de resolver el problema.Cada una de ellas se simboliza medianteuna expresión algebraica en forma deigualdad. De la segunda igualdad sederiva una técnica para comprobar si laresta está bien hecha: “Para comprobarsi una resta está bien hecha se suma elsustraendo con la di ferencia y elresultado debe ser el minuendo”. (p. 22)
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165→ D
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Figura 11. La prueba de la resta
En este apartado también se observa unacomplejidad semiótica importante, ya quelos autores dejan a cargo de los alumnosla aplicación de las funciones semióticasque relacionan extensivos con intensivos(faceta extensivo-intensivo). Esperan quesean los alumnos quienes conviertan enintensivos los símbolos M, S y D.Consideran que la flecha será interpretadapor los alumnos como el paso de un valora una variable:
Y también esperan que sean los alumnosquienes establezcan la relación entre lastres igualdades obtenidas, ya que losautores evitan entrar en la explicación depropiedades de las expresionesalgebraicas (por ejemplo, que sumando elmismo término a cada miembro de laigualdad ésta se mantiene, o bien que untérmino de uno de los miembros de laigualdad pasa al otro miembro con el signocambiado). Ahora bien, sólo si el alumnorelaciona M–S= D con S+D=M se puedeentender que de la segunda igualdad sederiva una técnica general para comprobarel resultado de una resta (primeraigualdad).
Esta sección del libro de texto terminacon cinco ejercicios. En el primero, seproponen seis restas (por ejemplo,2.500–865 =1.635) y se pide a los alumnosque comprueben si los resultados soncorrectos. En el segundo, se les presentan9 igualdades en las que falta uno de lostres números (el minuendo, el sustraendo
1.000→ M 835→ S
o bien la diferencia) y se les pide que hallenel término que falta. En el tercero, se lespresenta una resta descontextualizada yse les pregunta que confeccionen unenunciado que se resuelva mediante dicharesta. En el cuarto y quinto, se lespresentan dos de los tres términos por sunombre (el minuendo, el sustraendo o bienla diferencia) sin que en ellos aparezca lapalabra resta o bien el signo de restar y seles pide que hallen el término que falta.
Sección 5: Restas equivalentes
Esta configuración se genera para estudiaruna propiedad de la sustracción:
“En una resta, la diferencia no varíacuando se suma o se resta un mismonúmero al minuendo y al sustraendo”.(p. 23)
Para llegar a esta propiedad se comienzacon un problema contextualizado sobre ladiferencia de precio entre dos gafas(primero sin funda y después con funda).A continuación, en el apartado “Observa”(Figura 12) se explica la solución delproblema. También se simbolizan mediantelos símbolos M, S y D, aunque en este casolas letras intervienen como antecedentesy los números como consecuentes.Además, las letras M, S y D sólo se utilizanpara el cálculo de la diferencia “sin funda”.Si en el apartado anterior los alumnostenían que ir del extensivo al intensivo, eneste caso tienen que seguir el caminoinverso, tienen que ir del intensivo (M, S y D)al extensivo (los números correspondientes).Los autores consideran que la flecha seráinterpretada por los alumnos como laasignación de valores a las variables M, Sy D:
Por otra parte, la flecha se utiliza tambiénpara expresar la suma de un mismonúmero al minuendo y al sustraendo. Siantes la flecha relacionaba intensivos con
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 151
extensivos, ahora relaciona extensivoscon extensivos. También hay que destacarque el signo + se usa como operador(+1.000) y que el resultado se generalizano sólo a la suma (el ejemplo utilizado) sinotambién a la resta (el caso másproblemático)
Figura 12. Restas equivalentes
Podemos observar que para obtener unresultado general: (M ± A) – (S ± A) = M–S,los autores comienzan con un caso general(sugerido por las letras, M, S y D) paradespués hacer intervenir un caso particular:(12.700 + 1.000) – (9.500 + 1.000) =12.700 – 9.500 para concluir finalmente unresultado general que expresan medianteun enunciado: “En una resta, la diferenciano varía cuando se suma o se resta unmismo número al minuendo y alsustraendo” (p. 23). Se observa que losautores han tenido muy presente lacomplejidad semiótica asociada y hanbuscado (1) una explicación que la reduzcaconsiderablemente y (2) una formulaciónde la propiedad que permita obviar el usode paréntesis y el doble uso del signomenos (como símbolo de la resta y comosímbolo del “opuesto de un número”). Apesar de ello, en este apartado tambiénse observa una complejidad semióticaimportante, ya que los autores vuelven adejar a cargo de los alumnos la aplicaciónde las funciones semióticas que relacionanextensivos con intensivos (facetaextensivo-intensivo).
Esta sección del libro de texto termina contres ejercicios. En el primero, se proponendos casos en los que se suma el mismo
número al minuendo y al sustraendo y doscasos en los que se resta el mismo númeroy se les pide que comprueben que elresultado no varía. En los otros dosproblemas se les proponen dossituaciones contextualizadas en las quehan de aplicar la propiedad explicadaanteriormente.
Sección 6: Sumas y restas combinadas.Uso del paréntesis
La situación contextualizadora propuestapara motivar el uso de los paréntesis en larealización de las operaciones se puederesolver mediante la realización de dosrestas sucesivas:
“En el quiosco había 3.000 periódicos.Por la mañana se vendieron 1.948 y porla tarde, 896. ¿Cuántos periódicosquedaron sin vender? (p. 24)
La solución presentada (Figura 13) pareceforzada, ya que no se pide como pasointermedio hallar la cantidad de periódicosvendidos. ¿Por qué no operar sin usar losparéntesis, primero 3.000 – 1.948 ydespués al resultado restarle 896?
Figura 13. Uso de paréntesis
En este apartado, podemos observar unconflicto semiótico potencial ya que elalumno puede entender, implícitamente,que se hace lo mismo que en los otrosapartados, es decir, que a partir de unejemplo particular se obtiene un resultadogeneral. Sin embargo, lo que se estáhaciendo es introducir una convención:
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“el paréntesis indica la operación quetenemos que hacer en primer lugar” (p.24). Además, esta convención,implícitamente, puede entrar encontradicción con lo que se ha dicho alexplicar anteriormente la propiedadasociativa. Según dicha propiedad, si seha de efectuar, por ejemplo, (30 + 50) +25, no es necesario sumar primero 30 con50, puesto que, si se quiere se puedesumar primero 50 con 25.
6. Consideraciones finales
Con relación a la idoneidad epistémica dela lección analizada, nuestra conclusión esque su grado de idoneidad esmoderadamente elevado, si tomamoscomo referencia la configuración empíricadescrita en el apartado 3.2.
En cambio, la idoneidad semiótica esbastante más discutible. Basándonos,sobre todo en dos de las cinco facetasduales (expresión-contenido y extensivo-intensivo), hemos mostrado una variedadde conflictos semióticos potenciales,algunos de los cuales se pueden resolvermediante ciertos cambios en las tareas yen las explicaciones proporcionadas. Dehecho, la identificación de conflictossemióticos lleva consigo, en algunasocasiones, la posibilidad de establecercondiciones de control de posiblesprocesos de estudio con relación a losobjetos matemáticos que se ponen enfuncionamiento en la lección.
Sin embargo, ciertos conflictos semióticosidentificados tienen difícil solución (si nosatenemos a los conocimientos didáctico-matemáticos actuales). Un tipo de estosconflictos semióticos son aquellosoriginados por configuraciones didácticasque presuponen que las matemáticas son(o se pueden enseñar como)
generalizaciones de la experienciaempírica. En este tipo de configuracioneslos conceptos y las propiedades seintentan justificar por su acuerdo con unarealidad extra matemática. Este intentotopa con una dificultad que se convierteen el origen de importantes conflictossemióticos, que no es otra que el carácterconvencional de algunas reglasmatemáticas. Este tipo de conflictos hanaparecido en la lección en el momento deintroducir la regla “el paréntesis indica laoperación que tenemos que hacer enprimer lugar” a partir de una justificaciónbasada en su acuerdo con situacionesextra matemáticas. Para solucionar estetipo de conflictos semióticos es necesarioque los autores de los textos seanconscientes de las limitaciones que tienela concepción que considera que “lasmatemáticas son (o se pueden enseñarcomo) generalizaciones de la experienciaempírica”.
Otro tipo de conflictos semióticospotenciales de difícil solución son losrelacionados con el intento de soslayarciertas características del razonamientoalgebraico. Los autores, por una parte,pretenden el inicio de una reflexión sobrela estructura algebraica de los conjuntosy operaciones con números; tal es el casode los enunciados generales de laspropiedades conmutativa, asociativa, o dela relación entre el minuendo, elsustraendo y la diferencia. Por otra parte,conscientes de la complejidad semióticaque ello representa intentan soslayarciertas características del razonamientoalgebraico, en especial la consideraciónde que los símbolos no estáncondicionados por la situación queinicialmente representaban y que, portanto, son objetos sobre los cuales sepueden realizar acciones. En la lecciónanalizada, los símbolos substituyen anúmeros y su función es representarlos,
Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 153
los símbolos representan objetos, accionessobre objetos o relaciones entre objetos,pero ellos mismos no se consideran objetossobre los cuales se pueden realizaracciones. Este tipo de conflictos semióticoshan aparecido en la lección en el momentode introducir la relación entre los términosde una resta.
Un problema didáctico de mayor alcance,relacionado con el criterio de idoneidad“mediacional” expuesto en la introducción,se pone de manifiesto cuando relacionamoslas situaciones introductorias de las distintasconfiguraciones y las prácticas operativas ydiscursivas asociadas. Se supone que talessituaciones deben permitir lacontextualización de los conocimientospretendidos y crear las condiciones para laexploración personal de los alumnos. Sinembargo, el texto presenta inmediatamentela solución y las generalizacionespretendidas, lo que convierte de hecho alproceso de estudio en una presentaciónmagistral. Se trata de un problema relativoa la gestión del tiempo didáctico(cronogénesis) y a la gestión de lasresponsabilidades del profesor y de losalumnos en el proceso de aprendizaje(topogénesis) (Chevallard, 1991).
Para terminar, queremos resaltar que elanálisis de textos se revela como un
componente importante del análisis didácticode los procesos de enseñanza y aprendizajede las matemáticas. Con frecuencia, lostextos y documentos de estudio asumen unaparte sustancial de la dirección del procesode enseñanza y aprendizaje. Es cierto queen los niveles de educación primaria elalumno no afronta solo el estudio de loscontenidos curriculares, usando el libro demanera personal y autónoma. El profesordesempeña un papel de mediador entre ellibro y el alumno. Pero un libro de textoescolar que tenga una baja idoneidadepistémica y semiótica implicará una mayorcarga para el profesor y menor autonomíapara los alumnos.
La metodología de análisis descrita puedeser una herramienta útil para la preparaciónde profesores. El diseño y desarrollo deunidades didáctica debe tener en cuenta lasexperiencias e investigaciones previasrealizadas, las cuales se concretanhabitualmente en las lecciones elaboradaspor equipos de expertos. Una pregunta clavepara el profesor es: ¿cómo puedo adaptar ami contexto y circunstancias la unidaddidáctica que me ofrece este libro de texto yen la medida de lo posible optimizarla? Pararesponder esta pregunta es necesarioadoptar unos criterios de mejora oidoneidad de un proceso de estudiomatemático.
Reconocimiento:
Trabajo realizado en el marco del proyecto MCYT – FEDER: SEJ2004-00789, Ministeriode Ciencia y Tecnología, Plan Nacional de Investigación Científica, Desarrollo eInnovación Tecnológica. Madrid.
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Juan D. GodinoDepartamento de Didáctica de la MatemáticaUniversidad de GranadaEspaña
E-mail: [email protected]
Vicenç FontDepartament de Didáctica de les Ciències Experimentals i la MatemàticaUniversitat de BarcelonaEspaña
E-mail: [email protected]
Miguel R. WilhelmiDepartamento de Matemáticas e InformáticaUniversidad Pública de NavarraEspaña
E-mail: [email protected]
