Revisão e Provas David Lay

8/18/2019 Revisão e Provas David Lay

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MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR

QUARTA EDIÇÃO

ÁlgebraLineare Suas Aplicações

David C. LayUniversity of Maryland − College Park

Tradução e Revisão Técnica

Valéria de Magalhães Iorio

Fundação Educacional Serra dos Órgãos (UNIFESO) – Teresópolis



Este Material Suplementar contém os Materiais de Revisão e Provas que podem ser usados como apoio para o livro ÁLGEBRALINEAR E SUAS APLICAÇÕES, Quarta Edição, 2013. Este material é de livre acesso para os leitores que adquiriram o livro.

Material Suplementar Materiais de Revisão e Provas traduzido do material original:Authorized translation from the English language edition, entitled LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS, 4th Edition

by DAVID LAY, published by Pearson Education, Inc, publishing as Pearson, Copyright © 2012 by Pearson Education, Inc.

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical,including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson education, Inc.

PORTUGUESE language edition published by LTC – LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA Ltda., Copyright © 2013.

Tradução autorizada da edição em língua inglesa intitulada LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS, 4th Edition byDAVID LAY, published by Pearson Education, Inc, publishing as Pearson, Copyright © 2012 by Pearson Education, Inc.Reservados todos os direitos. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida ou transmitida sobquaisquer formas ou por quaisquer meios, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação, ou porqualquer sistema de armazenagem e recuperação de informações sem permissão da Pearson Education, Inc.

Edição em língua PORTUGUESA publicada por LTC – LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA LTDA.,Copyright © 2013.

Obra publicada pela LTC Editora:ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES, QUARTA EDIÇÃODireitos exclusivos para a língua portuguesaCopyright © 2013 byLTC __ Livros Técnicos e Científcos Editora Ltda.

Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

Capa: Estúdio LoquazEditoração Eletrônica: Alsan Serviços de Editoração Ltda.



SUMÁRIO

Primeira Prova A 1Segunda Prova A 2Terceira Prova A 3Prova Final A 4Folha de Revisão para a Primeira Prova A 6Folha de Revisão para a Segunda Prova A 8Folha de Revisão para a Terceira Prova A 10Folha de Revisão para a Prova Final A 12Lista de Revisão para o Capítulo 6 13Lista de Revisão para o Capítulo 7 14Revisão das Aplicações Principais para a Prova Final A 15Solução da Primeira Prova A 16Solução da Segunda Prova A 18Solução da Terceira Prova A 19Solução da Prova Final A 20

Primeira Prova B 23Segunda Prova B 24Terceira Prova B 25Prova Final B 26Folha de Revisão para a Primeira Prova B 28Folha de Revisão para a Segunda Prova B 29Folha de Revisão para a Terceira Prova B 30Folha de Revisão para a Prova Final B 31

Lista de Estudo para o Capítulo 4 e as Seções 6.7 e 6.8 32Solução da Primeira Prova B 31Solução da Segunda Prova B 34Solução da Terceira Prova B 35Solução da Prova Final B 37

Primeira Prova C 39Segunda Prova C 40Terceira Prova C 41Prova Final C 42Folha de Revisão para a Primeira Prova C 44

Folha de Revisão para a Segunda Prova C 45Folha de Revisão para a Terceira Prova C 46Folha de Revisão para a Prova Final C 47Solução da Primeira Prova C 48Solução da Segunda Prova C 49Solução da Terceira Prova C 50Solução da Prova Final C 51





SEGUNDA PROVA — A

1. [15 Pontos] Suponha que A = [a1 a

2 … a

5] e B = [b

1 b

2 … b

5] sejam equivalentes por linha, em

que

a. Encontre uma base para o espaço coluna de A.

b. Diga a dimensão de Lin A, a dimensão de Nul A e o posto de A.

2. [10] Determine se os conjuntos a seguir são subespaços. Justique suas respostas.

3. [15] Suponha que duas matrizes em bloco satisfaçam a equação a seguir e tenham a forma mos-

trada, na qual A11 e B11 sejam matrizes quadradas. Encontre fórmulas para B11 e B12 em termos de A

11 e A

12. Mostre os detalhes de seu trabalho e mencione qualquer fato que use.

4. [20] a. Use informação do escalonamento de A dada a seguir para encontrar a fatoração LU de A.

b. Calcule det A para A como no item (a). Mencione o(s) fato(s) usado(s) sobre determinante paravocê obter sua resposta.

c. Como você pode usar a fatoração LU de A para resolver o sistema Ax = b? (Diga as equaçõesque têm de ser resolvidas e a ordem na qual têm de ser resolvidas.)

5. [15] a. Complete a armação do Teorema de Representação Única:

Seja ℬ = {b1, …, b

n} uma base para um espaço vetorial V. Então ______________.

b. Prove o teorema: O espaço nulo de uma matriz A n × n é um subespaço de ℝn. (Se você nãoconseguir começar a demonstração, dê a denição de espaço nulo e as propriedades de um subespaço.)

6. [10] Explique por que um conjunto linearmente independente de quatro vetores emℙ3é uma base

para ℙ3. [Mencione os fatos apropriados do Capítulo 4. Pode ser dada uma resposta aceitável ecurta que não mencione o conceito de isomorsmo.]

7. [15] Escreva um produto de matrizes 3 × 3 que giram pontos de ℝ2 em torno do ponto (−2, 4) deum ângulo de 60°

(no sentido trigonométrico) usando coordenadas homogêneas. Não calcule esse produto de matrizes, mas escreva-as na ordem apropriada.



TERCEIRA PROVA – A

1. [15 Pontos] Encontre uma base para todos os sinais em tempo discreto que satisfazem

Explique como você sabe que encontrou, de fato, uma base. (Mencione um teorema.)2. [10] Considere um sistema homogêneo com nove equações lineares e dez incógnitas escrito na

forma Ax = 0. Suponha que existam duas soluções desse sistema que não são múltiplas uma daoutra e todas as outras soluções são combinações lineares dessas duas. O sistema não homogêneoassociado Ax = b terá solução para todas as escolhas possíveis das constantes no vetor à direita dosinal de igualdade? Justique sua resposta cuidadosamente. Mencione qualquer teorema usado.

3. [15] Suponha que uma matriz A 2× 2 tenha autovalores 1,1 e 0,4, com autovetores correspondentes

v1 = e v

2 = . Seja {x

k } uma solução da equação de diferenças x

k +1 = Ax

k , x

0 = .

a. Encontre uma fórmula para x

k envolvendo k e os vetores v

1 e v

2.

b. A origem é um atrator, um repulsor ou um ponto de sela para o sistema dinâmico xk +1

= Axk ?

Por quê? c. Qual é a direção e o sentido de maior atração para esse sistema dinâmico?4. [10] Mostre que, se duas matrizes A e B n × n forem semelhantes, então A2 e B2 também serão se-

melhantes.

5. [10] Seja A= . Explique por que A tem de ser diagonalizável citando um teorema ou

mais de um. Depois, sem fazer cálculo algum, enuncie parte de um teorema que diz como construirmatrizes P e D que diagonalizam A e forneça a equação que envolve A, P e D.

6. [10] Encontre a projeção ortogonal de sobre a reta que contém o ponto e a origem.

7. [15] Suponha que A = aja em ℂ2. Um autovetor de A é , correspondente ao

autovalor 2 + 2i. Encontre uma matriz mudança de coordenadas P e use-a para mostrar que A é

semelhante a uma matriz da forma

8. [15] Sejam A = e ℬ = {b1, b

2}, em que b

1 = e b

2 = . Dena T :ℝ2 → ℝ2

por T (x) = Ax. Encontre a matriz de T relativa à base ℬ.



PROVA FINAL – A

Instruções: Mostre seus cálculos.

1. [10 Pontos] As matrizes A e B a seguir são equivalentes por linhas.

a. Encontre uma base para Nul A.

b. Qual é a dimensão do subespaço W de ℝ4 gerado pelas colunas de A? Mencione um teorema para justicar sua resposta.

2.

a. Encontre a fatoração LU de A. b. Descreva rápido um modo de usar a fatoração LU em um trabalho prático. c. Use um cálculo já efetuado para calcular det A, sem praticamente outros cálculos. [Muito pouco

crédito por usar uma expansão em cofatores ou um método especial que funciona para matrizes3 × 3, mas não para matrizes 4 × 4.] Explique como você encontrou sua resposta. [Se você nãoconseguiu resolver (a), diga como encontraria det A se tivesse a fatoração LU.]

3. [10] Sejam v1 = v2

= e y =

a. Verique que y não pertence ao plano gerado por v1 e v

2. Explique como seus cálculos apoiam

sua conclusão.

b. Use uma fórmula para calcular a projeção ortogonal de y sobre o plano gerado por v1 e v2

.

4. [15] Considere a forma quadrática Q( x1, x

2) = x

12 – 10 x

1 x

2 + x

22.

a. Encontre os autovalores da matriz A da forma quadrática.

b. Encontre uma mudança de variável ortogonal x = P u tal que a nova forma quadrática não tenhatermos cruzados.

c. Mostre a álgebra que transforma xT Ax na nova forma quadrática e escreva a nova forma usandoas variáveis u

1 e u

2.

d. Classique o tipo de forma quadrática: positiva denida, negativa denida ou indenida.

5. [10] a. Complete as denições:

i. Um conjunto {v1, …, v

p} de vetores em um espaço vetorial V é linearmente dependente

se …ii. Se A for uma matrizm × n ex for um vetor emℝn, então Ax é… (Você pode usar palavras para

completar a denição. Se usar símbolos, explique-os.)

iii. Uma base para um espaço vetorial V é um …iv. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T :V → W é uma transformação linear se …

b. Liste seis armações, cada uma delas equivalente à armação de que uma matriz A n × n é in-vertível. Os seguintes conceitos devem ser incluídos, um em cada afrmação: (i) a equação Ax =

0, (ii) o posto de A, (iii) as colunas de A, (iv) det A, (v) “injetora”, (vi) a matriz identidade I n.6. [10] a. Enuncie cuidadosamente a denição de um subespaço H em um espaço vetorial V .

b. Enuncie dois teoremas que descrevem os dois tipos básicos de subespaços em ℝn. Escolha dois entre os três problemas a seguir. Se você tentar todos os três, marque os que você

quer corrigidos para a nota. Se você tentar todos os três e não indicar quais devem ser corrigidos,daremos nota nos problemas 7 e 8.

7. [15] Um experimento produziu os seguintes dados ( x, y): (1, 3), (0, 1), (−1, 2), (1, 1). a. Escreva a versão matricial abstrata das equações normais para um problema de mínimos qua-

dráticos.

b. Encontre a equação da reta de mínimos quadráticos y = β 0 + β

1 x que se ajusta aos dados.

c. Monte uma matriz de projeto, baseada nos dados anteriores, que seria usada para ajustar os

dados por uma equação da forma y = β 1 x + β

2 x2 + β

3 x3.

8. [15] Um caixa de banco é observado a cada três minutos. Se o funcionário estiver ocupado aten-dendo um cliente em um instante de observação, existe uma chance de 80% de que ele também



Materiais de Revisão e Provas 5

estará ocupado no próximo instante de observação. Se o funcionário não estiver ocupado em uminstante de observação, existe uma chance de 60% de que ele também não estará ocupado no pró-ximo instante de observação.

a. Monte uma matriz estocástica para descrever essa cadeia de Markov. Denote os estados possíveis

desse local de atendimento por “O” (o caixa está ocupado) e por “NO” (o caixa não está ocupado).

b. Suponha que haja uma chance de 50% de que o caixa estará ocupado no primeiro instante deobservação. Qual a probabilidade de que o caixa estará ocupado no próximo instante de obser-vação?

c. Escreva uma equação algébrica para o vetor estado estacionário de uma matriz estocástica P .Depois, mostre os passos de álgebra matricial que levam a uma equação homogênea que seresolve, em geral, para obter o vetor estado estacionário.

d. Suponha que as probabilidades de transição permaneçam válidas durante todo o dia. Qual é a probabilidade de que o caixa estará ocupado em alguma hora especíca mais tarde no dia?

9. [15] a. Quais são as coordenadas homogêneas dos pontos (3, 5) e (2, 0) emℝ2 e por que elas sãoúteis?

b. Escreva um produto de matrizes (na ordem apropriada) que produz a seguinte transformaçãoem ℝ2 (use coordenadas homogêneas):

Reete pontos em relação ao eixo dos y, depois, gira de 30° e, depois, translada pelo vetor (2, 5).

c. Qual o vetor em ℝ3 que tem coordenadas homogêneas ?



FOLHA DE REVISÃO PARA A PRIMEIRA PROVA – A

A prova será sobre material discutido em sala e estudado em trabalhos para casa da Seção 1.1 à Seção2.3. A lista a seguir mostra as denições e teoremas mais importantes.

Definições:

A denição de Ax, tanto em palavras quanto em símbolos.ℒ{v}, ℒ{u, v} e interpretação geométrica em ℝ2 ou ℝ3.ℒ{v

1, …, v

p}.

Linearmente independente e linearmente dependente.Transformação linear.Injetora e sobrejetora (transformação linear).A denição de um produto matricial AB.

Teoremas:

Capítulo 1: Teorema 2 (Teorema de Existência e Unicidade). Teorema 3 (Equação matricial, equação vetorial, sistema de equações lineares). Teorema 4 (Quando as colunas de A geram ℝm?) Teorema 5 (Propriedades do Produto Matriz-Vetor Ax). Teoremas 7, 8, 9 (Propriedades de conjuntos linearmente dependentes). Saber as demonstrações dos Teoremas 8 e 9. Teoremas 11 e 12 (Transformações lineares injetoras e sobrejetoras).

Capítulo 2: Teoremas 4, 5, 6 e 7. Saber a demonstração do Teorema 5. O Teorema da Matriz Invertível.

Habilidades Importantes:Determinar quando um sistema é consistente. Escrever a solução geral em forma paramétrica vetorial.Determinar os valores dos parâmetros que tornam um sistema consistente ou tornam a solução única.Descrever existência ou unicidade de soluções em termos de posições de pivô.Determinar quando um sistema homogêneo tem uma solução não trivial.Determinar quando um vetor está em um subespaço gerado por vetores especicados.Exibir um vetor como combinação linear de vetores especicados.Determinar se as colunas de uma matriz m × n geram ℝm.Determinar se as colunas são linearmente independentes.Escrever as equações paramétricas de uma reta contendo o ponto p e paralela ao vetor a.Escrever as equações paramétricas de uma reta contendo os pontos p e q.Escrever a equação de uma reta ou de um plano em forma vetorial paramétrica.Usar a linearidade da multiplicação matricial para calcular A(u + v) ou A(cv).

Determinar se um conjunto de vetores é linearmente independente. Conhecer diversos métodos que podem, às vezes, produzir uma resposta “por inspeção” (sem muitos cálculos).Determinar se um vetor especicado está na imagem de uma transformação linear.Encontrar a matriz canônica de uma transformação linear.Determinar se uma transformação linear T : ℝn → ℝm é injetora ou sobrejetora.Usar uma matriz inversa para resolver um sistema de equações lineares.Usar álgebra matricial para resolver equações envolvendo matrizes.

Aplicações:

Usar combinações lineares de vetores para descrever problemas variados.(Veja o Exemplo 7 e os Exercícios 27 e 28 na Seção 1.3, os Exercícios de 5 a 10 na Seção 1.6 e o

Exemplo 6 na Seção 1.8.)




Montar uma matriz de migração e escrever as equações de diferença xk +1

= M xk (k = 0, 1, …) que des-

crevem o movimento populacional em uma região (supondo que não há nascimentos/morte, nemmigração). Calcular x

1 ou x

2 quando x

0 estiver especicado.



FOLHA DE REVISÃO PARA A SEGUNDA PROVA – A

A prova será sobre material discutido em sala e estudado em trabalhos para casa das Seções 2.4,2.5, 2.7, 2.8, de 3.1 a 3.3 e de 4.1 a 4.6. A lista a seguir mostra as denições e teoremas maisimportantes.

Definições:

Fatoração LU.Subespaço, espaço nulo, espaço colunas.Transformação linear.Independência linear, dependência linear, relação de dependência linear (para espaços vetoriais).Conjunto gerador, base, vetor de coordenadas.Dimensão de um espaço vetorial.Posto de uma matriz.

Teoremas:

Capítulo 2: O Teorema da Matriz Invertível (incluindo as novas armações nas Seções 3.2 e 4.6). Teorema 10 (expansão Coluna por Linha de AB).Capítulo 3: Teoremas 2, 3, 4, 5, 6 (propriedades de determinantes). A fórmula para det A como um produto de pivôs (Seção 3.2). Teorema 7 (Regra de Cramer). Teoremas 9 e 10 (determinantes como área ou volume).Capítulo 4: Teoremas de 1 a 4, 5 (Teorema do Conjunto Gerador), 6. Teorema 7 (Teorema da Representação Única), de 8 a 10. Teorema 12 (Teorema da Base), 13, 14 (Teorema do Posto). Saber as demonstrações dos Teoremas 2 e 7.

Habilidades Importantes:

Escrever AB usando uma expansão coluna por linha.Fazer cálculos com matrizes em bloco, como no Exemplo 5 e nos Exercícios de 1 a 10, na Seção

2.4.Construir uma fatoração LU de uma matriz, usar uma fatoração LU para resolver Ax = b. Veja os Exercícios de 1 a 16 e de 22 a 26 (outras fatorações) na Seção 2.5.Construir uma matriz 3 × 3 para fazer transformações com coordenadas homogêneas em ℝ2.Construir uma matriz 4 × 4 para fazer transformações lineares e translações (mas não projeções pers-

pectivas) com coordenadas homogêneas em ℝ3.Calcular um determinante 3 × 3 ou de uma matriz triangular.Calcular um determinante usando os Teoremas 3, 4, 5, 6.

Resolver um sistema 2 × 2 usando a Regra de Cramer.Determinar se um conjunto de vetores gera ℝn (ou forma uma base para ℝn).Determinar se um conjunto é um subespaço (usando os Teoremas 1, 2 ou 3 no Capítulo 4).Determinar se um vetor está em Nul A ou em Col A. Encontrar um vetor não nulo em Nul A ou em Col A.Determinar se um conjunto é uma base para um subespaço.Encontrar uma base para Nul A ou Col A, ou para outros subespaços.Encontrar o vetor de coordenadas de um vetor em relação a uma base.Encontrar a matriz de mudança de coordenadas.Usar vetores de coordenadas para vericar se um conjunto é linearmente independente.Encontrar a dimensão de um subespaço.Encontrar uma base para Lin A.




Aplicações:

Interpretar o que representam as colunas de uma matriz de exibilidade ou de rigidez.Compreender coordenadas homogêneas e saber a forma geral das transformações matriciais 4 × 4

usadas em computação gráca.Calcular áreas ou volumes de objetos simples usando determinantes.



FOLHA DE REVISÃO PARA A TERCEIRA PROVA – A

A prova será sobre material discutido em sala e estudado em trabalhos para casa das Seções de 4.6 a4.9, de 5.1 a 5.6, 6.1 e 6.2. A lista a seguir mostra as denições e teoremas mais importantes.

Definições:

Posto.Matriz mudança de coordenadas (Teorema 15 na Seção 4.7).Vetor probabilidade (vetor de estado), matriz estocástica, vetor estado estacionário.Matriz de Casorati (para um conjunto de sinais em tempo discreto).Autovalor, autovetor, autoespaço, diagonalizável.Matrizes semelhantes.Matriz de uma transformação linear T em relação a uma base ℬ, [T ]

ℬ.

Vetores ortogonais, conjunto ortogonal, base ortogonal.

Teoremas:

Capítulo 4: Teoremas 14 (Teorema do Posto), 15, 17.Capítulo 5: Teoremas 1, 2, 4, 5, 6 e 8.Capítulo 6: Teorema 2 (O Teorema de Pitágoras), Teorema 3. Saber a demonstração do Teorema de Pitágoras.

Habilidades Importantes (lista parcial):

Usar o Teorema do Posto como nos Exercícios de 19 a 25 na Seção 4.6.Encontrar uma matriz de mudança de coordenadas, usar essa matriz para achar um vetor de coorde-

nadas.Determinar se um número (vetor) é um autovalor (autovetor) de uma matriz.Encontrar a equação característica e os autovalores de uma matriz 2 × 2. Encontrar os autovalores de

uma matriz triangular, listados de acordo com suas multiplicidades.Encontrar uma base para um autoespaço.Se A for diagonalizável, encontrar P e D tais que A = PDP −1. Mostrar como calcular potências maio-

res de uma matriz diagonalizável.Encontrar a matriz [T ]

ℬ de uma transformação linear T : V → V em relação a uma base ℬ para V .

Vericar proposições envolvendo semelhança de matrizes.Encontrar autovalores complexos e autovetores correspondentes. Encontrar uma fatoração de uma

matriz 2 × 2 com um autovalor complexo, A = PCP −1, em que a transformação x ↦ C x é umacomposição de uma rotação com, possivelmente, uma mudança de escala. Determinar o ânguloda rotação e o fator de mudança de escala.

[Material dos Exercícios de 23 a 28 na Seção 5.5 não cairá na prova.]Encontrar a solução de uma equação de diferença x

k +1 = Ax

k em termos dos autovetores de A e des-

crever a evolução discreta do sistema dinâmico. Usar autovetores para descrever as direções esentidos da maior atração e da maior repulsão. Ser capaz de classicar a origem como um atrator,

um repulsor ou um ponto de sela.Descrever como uma mudança de variável pode desacoplar um sistema de equações de diferenças.Calcular o comprimento de um vetor e a distância entre vetores. Normalizar um vetor.Vericar se um conjunto é ou não ortogonal.Calcular a projeção ortogonal sobre uma reta (contendo 0). Decompor um vetor em uma componente

na direção de u e uma componente ortogonal a u.

Aplicações:

Vericar que um conjunto de sinais é linearmente independente.Encontrar uma base para o espaço solução de uma equação de diferença homogênea (cuja equação

auxiliar tem raízes reais distintas).Encontrar a solução geral de uma equação de diferença não homogênea, dada uma solução particular

da equação (não homogênea).




Montar uma matriz estocástica para uma cadeia de Markov. Determinar um vetor de estado em umou dois períodos depois de um estado inicial. Descrever as probabilidades no longo prazo (encon-trando o vetor estado estacionário).



FOLHA DE REVISÃO PARA A PROVA FINAL – A

A prova nal é sobre toda a matéria, mas focaliza nos conceitos e tópicos principais estudados ao lon-go do semestre. Como muitos tópicos dependem de material anterior, a maior parte das questõesirá envolver ideias dos Capítulos 4, 5, 6 e das Seções 7.1 e 7.2.

A prova pode ter algumas denições. As denições mais importantes incluem: o produto Ax, o pro-duto AB, transformações lineares, independência e dependência linear (em um espaço vetorial ge-ral), conjuntos geradores, base, subespaço, dimensão, posto, base ortogonal, autovetor, autovalor,solução de mínimos quadráticos.

Fatorações matriciais: fatoração LU, fatoração QR, diagonalização, diagonalização ortogonal. Saberas propriedades das matrizes na fatoração. Saber onde essas fatorações são usadas.

Algumas questões vão pedir que você dê razões para suas respostas. Essas razões envolverão, muitasvezes, referência a algum teorema. Os teoremas que têm um nome descritivo associado são bonscandidatos para uma questão. Exemplos: Teorema da Base, Teorema do Posto, Teorema de Me-lhor Aproximação, Teorema de Decomposição Ortogonal, Teorema de Diagonalização, Teoremados Eixos Principais. Particularmente importante é o Teorema da Matriz Invertível (Seções 2.3,2.9, 3.2, 4.6 e 5.2).

O tema dos dois primeiros capítulos é considerar sistemas de equações de diversos pontos de vista(sistema de equações, equações vetoriais, equações matriciais e transformações lineares). Pode

ajudar rever as diversas questões que envolvem existência e unicidade de soluções.Reveja as provas anteriores e as folhas de revisão dadas para essas provas. Preste bastante atenção a

qualquer questão que você achou difícil quando fez as provas.



LISTA DE REVISÃO PARA O CAPÍTULO 6

Definições:

Comprimento de um vetor, conjunto ortogonal.Projeção ortogonal de y sobre uma reta contendo 0.

Projeção ortogonal de y sobre um subespaço W .Fatoração QR.Solução de mínimos quadráticos de Ax = b.Equações normais, matriz de projeto, vetor de parâmetro, vetor de observação.

Teoremas:

Teorema 2 (Teorema de Pitágoras) – saber a demonstração.Teorema 4.Teorema 8 (Teorema da Decomposição Ortogonal).Teorema 9 (Teorema da Melhor Aproximação).Teorema 12 (Fatoração QR).Teorema 13 (Equações Normais).

Teoremas 15 e 16. Saber o cálculo básico para a demonstração do Teorema 14.


Determinar se um conjunto é ortogonal, normalizar um vetor; construir um conjunto ortonormal a

partir de um conjunto ortogonal. Saber que ||x||2 = xTx = x ⋅ x.Calcular a projeção ortogonal de um vetor sobre outro. Decompor um vetor na soma de um vetor na

direção de u e um vetor ortogonal a u.Calcular a projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço, encontrar o ponto mais próximo em

um subespaço, encontrar a distância de um vetor a um subespaço, decompor um vetor como noTeorema de Decomposição Ortogonal.

Fazer o processo de Gram-Schmidt, usar o processo de Gram-Schmidt para calcular uma fatoraçãoQR (e saber o que é uma fatoração QR).

Encontrar uma solução de mínimos quadráticos para Ax = b, encontrar o erro de mínimos quadráticosassociado a essa solução, conhecer as equações normais.

Aplicações:

Encontrar a reta de mínimos quadráticos que se ajusta a um conjunto de dados, montar uma matrizde projeto para um ajuste de mínimos quadráticos a dados por uma “equação de previsão” espe-cicada, identicar o vetor de parâmetros e o vetor de observação. Escrever as equações normais

para o modelo y = X β + ε (a saber, X T X β = X Ty).



LISTA DE REVISÃO PARA O CAPÍTULO 7

Definições:

Matriz simétrica, matriz diagonalizável por matriz ortogonal.Forma quadrática, forma positiva denida, forma negativa denida, forma quadrática indenida.

Teoremas:

Teoremas 1 e 2.Teorema 3 (O Teorema Espectral para Matrizes Simétricas).Teorema 4 (O Teorema dos Eixos Principais).Teorema 5 (Formas Quadráticas e Autovalores).


Diagonalizar por matriz ortogonal uma matriz simétrica, fornecendo P , D e a equação A = PDP −1, emque P é uma matriz ortogonal, ou seja, P −1 = P T.

Encontrar a matriz de uma forma quadrática, encontrar uma mudança de variáveis que elimina os ter-mos cruzados em uma forma quadrática, encontrar a nova forma quadrática, classicar uma formaquadrática examinando os autovalores.



REVISÃO DAS APLICAÇÕES PRINCIPAIS PARA A PROVAFINAL – A

A prova nal incluirá três problemas com vários itens sobre aplicações, escolhidos entre as cinco

principais aplicações do curso, dadas a seguir. Você terá de escolher dois dos três problemas. Cadaum valerá de 10 a 15 pontos. Se você tentar todos os três problemas, precisará indicar quais deles

você quer que valham para a nota. (Se tentar todos os três e não especicar quais deseja que valham,serão corrigidos os dois primeiros.)

1. Movimento Populacional e Cadeias de Markov (Seções 1.9, 4.9 e 5.2)

a. Conhecer os termos: vetor de probabilidade, matriz estocástica, vetor estado estacionário, ma-triz estocástica regular.

b. Montar uma matriz de migração (ou matriz estocástica) e uma equação de diferença que des-creve o movimento populacional (ou uma cadeia de Markov).

c. Dada uma condição inicial, calcular um ou dois vetores que descrevem o comportamento nocurto prazo da população (ou cadeia de Markov).

d. Para uma cadeia de Markov, escrever a equação que defne o vetor estado estacionário e mostrar

a álgebra matricial que leva a uma equação homogênea a ser resolvida. Encontrar o vetor estado

estacionário e usá-lo para descrever o comportamento no longo prazo da cadeia de Markov.2. Computação Gráca (Seção 2.8) a. Saber como um modelo de arame é armazenado em um programa de computador, por que ob-

jetos grácos são descritos por coleções de segmentos de reta e como é calculada a imagem de um objeto sob uma transformação.

b. Explicar o que são coordenadas homogêneas para objetos bidimensionais e por que elas são

úteis. c. Ser capaz de escrever uma matriz que produz uma transformação gráca especicada (uma

reexão, uma translação ou uma rotação em torno de um ponto). d. Escrever um produto de matrizes, na ordem apropriada, que produz uma transformação com-

posta 2D ou 3D usando coordenadas homogêneas.

3. Equações de Diferença e Sinais em Tempo Discreto (Seção 4.8)

a. Usar uma matriz de Casorati para vericar a independência linear de um conjunto de sinais.

b. Saber o que é uma solução de uma equação de diferença (linear de primeira ordem) e o quesignica resolver tal equação.

c. Encontrar um conjunto fundamental de soluções de uma equação de diferença linear homogênea

de segunda ordem. d. Ser capaz de explicar por que n soluções linearmente independentes de uma equação de dife-

rença linear homogênea de ordem n formam uma base para o conjunto de todas as soluções.(Veja o Exemplo 5 na Seção 4.8.)

4. Evolução Discreta de um Sistema Linear (Seção 5.6)

a. Encontrar autovalores e autovetores de uma matriz A 2 × 2 e usá-los para descrever a soluçãogeral da equação de diferença x

k +1 = Ax

k (k = 0, 1, …). Encontrar a solução (única) quando x

0

for especicado. b. Determinar se a origem é um atrator, um repulsor ou um ponto de sela. c. Determinar as direções e sentidos de maior atração e maior repulsão.

d. Em determinados modelos populacionais (como no Exemplo 1 e nos Exercícios 5 e 18 na Se-ção 5.6), usar o autovalor dominante para descrever a taxa de crescimento da população no

longo prazo; usar um autovetor associado para descrever a distribuição da população no longo prazo.

5. O Modelo Linear em Estatística (Seção 6.6) a. Conhecer os termos: matriz de projeto, vetor de parâmetro, vetor de observação, modelo linear,

vetor residual, reta de mínimos quadráticos, subespaço de projeto. b. Conhecer as equações normais para o vetor de parâmetros de mínimos quadráticos. Saber quan-

do as equações normais têm uma única solução. c. Encontrar a equação da reta de mínimos quadráticos que se ajusta a um conjunto de dados.

d. Montar a matriz de projeto quando for dada uma “equação de previsão” especíca.



SOLUÇÃO DA PRIMEIRA PROVA – A

Uma gura geométrica apropriada para o conjunto solução é um plano contendo a origem.2. a. Linearmente dependente porque os vetores são múltiplos um do outro. b. Linearmente dependente porque o conjunto contém o vetor nulo. c. Estude Ax = 0 para determinar se o conjunto é linearmente independente.

Neste ponto, a falta de uma posição de pivô na coluna 3 mostra que a equação Ax = 0 tem umavariável livre e, portanto, tem uma solução não trivial. Logo, as colunas de A são linearmente de-

pendentes.

3. a. Determine se a equação Ax = y tem solução.

A equação é consistente, logo y pertence à imagem da transformação linear T . b. Os cálculos em (a) mostram que A não tem um pivô em cada linha. Por um teorema (Teorema

4 na Seção 1.4), as colunas de A não geram ℝ3. Por outro teorema (Teorema 12 na Seção 1.8),T não é uma aplicação sobrejetora de ℝ2 emℝ3. (Você não precisa mencionar os números dos

teoremas.)4. a. … uma combinação linear das colunas de A usando as coordenadas (correspondentes) de x como pesos.

b. I − BAB−1 =C ⇒ I =C + BAB−1 ⇒ BAB−1 = I –C . Multiplique à esquerda por B−1 para obter

( ) ( )1 1 1 1 AB B I C AB B I C − − − −= − ⇒ = − . Multiplique à direita por B: ( )1 B I C B

−= − ⇒

( )1 B I C B−= − . Outras soluções são possíveis. Uma resposta equivalente é A = I − B−1CB.

c. T (3u + v) = T (3u) + T (v) = 3T (u) + T (v)

5. Veja a demonstração do Teorema 8 na Seção 1.6.

6. . O segundo vetor r2, por exemplo, lista em sua

segunda coordenada a resistência total no laço 2; as outras coordenadas em r2 mostram as resis-

tências nos laços adjacentes, com sinais negativos porque as correntes nesses laços uem contra acorrente no laço 2. A voltagem no laço 1 é negativa porque a corrente ui do lado negativo (maiscurto) da bateria para o lado positivo.

Depois de um período de dez anos, a população será

x1

= M x0

=




8. (i) A equação Ax = 0 tem apenas a solução trivial. (ii) A transformação x ↦ Ax é injetora. Ou: A transformação x ↦ Ax é sobrejetora. (iii) As colunas de A geram ℝn. (iv) A tem n posições de pivô.



SOLUÇÃO DA SEGUNDA PROVA – A

1. a. A matriz B mostra que as colunas dos pivôs de A (e de B) são as colunas 1, 2 e 4. Logo, uma base para Col A é {a

1, a

2, a

4}.

b. dim Lin A = 3, dim Nul A = 2, posto A = 3.

2. a. Se v for um vetor não nulo em H , então um múltiplo negativo de v não pertencerá a H , logo H não é um subespaço.

b. A equação mostra que H = ℒ Por um

teorema, H é um subespaço.3. A multiplicação de matrizes em bloco mostra que: (i) A

11 B

11 + A

120 = I . Como A

11 é quadrada, a equação A

11 B

11 = I mostra que A

11 é invertível pelo

Teorema da Matriz Invertível. Então A11

−1 A11 B

11 = A

11−1 I e B

11 = A

11−1.

(ii) A11 B

12 + A

12 I = 0. Isto leva a: A

11 B

12 = − A

12, A

11−1 A

11 B

12 = − A

11−1 A

12 e B

12 = − A

11−1 A

12.

4. a. U = Para L, copie as colunas dos pivôs (dos pivôs para baixo) que foram

encontrados no escalonamento até U ;

Divida cada coluna pelo pivô no topo e coloque na parte triangular inferior de L:

Coloque zeros acima da diagonal, se quiser. b. Por um teorema, det A = det LU = (det L)(det U ) = 1 ⋅ (3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5) = 90, já que o determinante

de uma matriz triangular é o produto de seus elementos na diagonal. Segundo método: U foi obtida de A sem trocas de linha e sem mudanças de escala, logo det

A = det U = (3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5) = 90, já que o determinante de uma matriz triangular é o produto deseus elementos na diagonal.

c. Ax = b ⇒ LU x = b. Dena y = U x. Resolva Ly = b para y e, depois, resolva U x = y para x.5. a. Veja a Seção 4.4. b. Veja a demonstração do Teorema 2 na Seção 4.2.6. dim ℙ3

= 4. Por um teorema, um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em umespaço vetorial V de dimensão quatro é uma base para V . Aqui V = ℙ

3.

7. A matriz que age primeiro em um vetor ca à direita no produto:



SOLUÇÃO DA TERCEIRA PROVA – A

1. r 2 + 8r + 15 = (r + 5)(r + 3) = 0, o que implica r = −5 ou r = −3. As duas soluções são (−5)k e (−3)k . Elas são linearmente independentes porque não são múltiplas

uma da outra. Por um teorema, os sinais (−5)k e (−3)k são sequências linearmente independentes.

Como a equação de diferença é de ordem 2, o espaço solução é bidimensional, por um teorema.Como existem dois vetores linearmente independentes em um espaço bidimensional, eles formamuma base para o espaço, pelo Teorema da Base.

Você também pode usar uma matriz de Casorati para vericar a independência linear de (−5)k e(−3)k .

2. A matriz de coecientes é 9 × 10. A armação sobre as soluções implica o espaço de soluções ser bidimensional. Então posto A = 10 – dim Nul A = 8. Logo, Col A é um subespaço de dimensão 8de ℝ9. Portanto, Ax = b não pode ter solução para todo b.

Solução usando ideias do Capítulo 1: Duas das dez colunas não são colunas dos pivôs, o que deixaapenas oito colunas dos pivôs. Logo não existe uma posição de pivô em todas as linhas. Por umteorema, a equação Ax = b não tem solução para todo b.

3. a. x0 = c

1v1 + c

2v2. Encontre c

1, c

2: , logo x0

= 3v1 + 2v2

.

Para k ≥ 0, xk = c1(λ 1)k v1 + c2(λ 2)k v2 = 3(1,1)k + 2(0,4)k .

b. A origem é um ponto de sela porque um autovalor é maior que 1 (em módulo) e outro autova-lor é menor que 1 (em módulo).

c. A direção e sentido de maior atração é dada por v2 = , o autovetor associado ao menor au-

tovalor. Todos os vetores múltiplos de v2 são atraídos para a origem.

4. Se A for semelhante a B, então A = PBP −1 para alguma matriz invertível P . Logo, A2 = ( PBP −1)

( PBP −1) = PBP −1 PBP −1 = PBBP −1 = PB2 P −1, o que mostra que A2 é semelhante a B2.5. A matriz é triangular, logo seus autovalores estão na diagonal: 3, −5 e 2. Como os autovalores são

distintos, um conjunto de três autovetores correspondentes a esses autovalores será linearmente

independente, por um teorema. Mas três vetores linearmente independentes em ℝ3 formam uma base paraℝ3 (pelo Teorema da Matriz Invertível ou pelo Teorema da Base). De modo alternativo,

o fato de que uma matriz 3 × 3 tem três autovalores distintos implica diretamente A ser diagona-lizável, por um teorema. A diagonalização de A é A = PDP −1, em que os elementos na matriz dia-gonal são os autovalores de A e as colunas de P são os autovetores correspondentes. Em algumlugar (aqui ou no argumento anterior), você deve mencionar que os autovetores são linearmenteindependentes, logo P é invertível.

6.

7. Um autovetor é x = . Seja P = [Re x Im x] = . Calcule

8. Seja P = [b1 b2

]. A matriz de T em relação à base ℬ é



SOLUÇÃO DA PROVA FINAL – A

1. Resolva Bx = 0 para encontrar uma base para Nul A. [ B 0] está quase em forma escalonada redu-zida:

Solução geral de Ax = 0:

x

b. dim Col A = 3 porque há três colunas dos pivôs e as colunas dos pivôs de A formam uma base paraCol A.

Logo L = . Os outros elementos em L são iguais a zero.

b. A fatoração LU é usada para resolver equações Ax = b mais rápido que usando A−1. Se A = LU ,então LU x = b será equivalente a Ly = b e U x = y. Resolva Ly = b primeiro para y e, depois,resolva U x = y.

c. A = LU , de modo que det A = (det L)(det U ), por um teorema. Então det A = 1 ⋅ (−135) = −135, já que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos na diagonal.

3. a. Estude c1v1

+ c2v2

= y. Se não for consistente, então y não estará no plano gerado por v1 e v2

.

b. É fácil ver que v

1 e v

2 são mutuamente ortogonais. (Apenas arme isso ou faça um cálculo.)

Logo, por uma fórmula

Os autovalores são λ = 6 e λ = −4. b. Para obter a mudança de variável x = P u, precisamos de autovetores para as colunas de P .

Para λ = 6, v

1 λ = −4, v

2 =

c. Use o fato de que A = PDP −1 = PDP T. Melhor ainda, mencione que P T AP = D.

sistema inconsistente




d. a forma quadrática é indefnida porque um autovalor é positivo e o outro é negativo.5. a. 4 pontos, um ponto para cada defnição. Veja o livro. Uma defnição tem de estar essencialmente

completa e correta para ganhar ponto.

b. 6 pontos, um para cada armação. i) A equação Ax = 0 tem apenas a solução trivial. ii) posto A = n.

iii) As colunas de A são linearmente independentes, ou: geram ℝn, ou: formam uma base paraℝn. iv) det A ≠ 0. v) A transformação x ↦ Ax é injetora. vi) A é equivalente por linhas a I , ou: AB = I para alguma matriz β , ou: CA = I para alguma

matriz C . Será tirado um ponto (total) se uma ou mais armações estiverem escritas como teoremas

que são verdadeiros sempre, mas o teorema contém a armação adequada que pertence ao Teorema da Matriz Invertível.

6. a. 3 pontos, um para cada parte da denição. Veja o livro.

b. 4 pontos para qualquer teorema enunciado primeiro, 3 para o segundo teorema. i) O espaço coluna de uma matriz é um subespaço, ou: o conjunto de todas as combinações

lineares de um conjunto de vetores é um subespaço.

ii) O espaço nulo de uma matriz é um subespaço, ou: o conjunto solução de um sistema deequações lineares homogêneas é um subespaço.

c. Matriz de projeto para a equação de previsão y = β 1 x + β 2 x2 + β 3 x3:

Resposta: 60% de probabilidade que o caixa está ocupado.

Assim, x = x2 . Escolha x = , faça a soma das coordenadas igual a 1 e obtenha q = .

Resposta: A probabilidade de que o caixa esteja ocupado muito mais tarde é de 2/3.

9. a. As coordenadas homogêneas para (3, 5) e (2, 0) são e . Elas são úteis porque a trans-

lação pode ser representada como uma transformação linear, além das transformações lineares

usuais em ℝ2.



22 Materiais de Revisão e Provas

c. O ponto com coordenadas homogêneas é ( x, y, z ), em que



PRIMEIRA PROVA – B

Instruções: Comece cada um dos oitos problemas em uma página nova, no seu caderno de respostas.Mostre seus cálculos.

1. [18 Pontos] Para cada matriz a seguir, determine se suas colunas formam um conjunto linearmente

independente. Justique suas respostas. (Faça o menor número possível de cálculos.)

2. [18] Para cada matriz no Problema (1), determine se suas colunas geram oℝ3. Justique suas res-

postas. (Faça o menor número possível de cálculos.)3. [10] Suponha que A, B, C e X sejam matrizes n × n invertíveis e A( X + B) = CA. Resolva essa

equação para X . Mostre seus cálculos.

4. [10] Seja T : ℝ2 → ℝ2 a transformação linear que gira pontos em torno da origem de um ângulode 3π/2 radianos. Encontre a matriz canônica de T .

5. [12] Suponha que as colunas de uma matriz A 5 × 5 sejam linearmente independentes. O que você pode dizer sobre equações da forma Ax = b? (Diga tudo que puder sobre Ax = b.) Justique sua

resposta.6. [12] Suponha que A seja uma matriz 6 × 6 tal que a equação Ax = b não tenha solução para algumb emℝ6. O que você pode dizer sobre a transformação x ↦ Ax? (Diga tudo que puder sobre x ↦

Ax.) Justique sua resposta.

7. [10] Sejam C uma matriz m × n e D uma matriz n × p. Dê a denição de CD. Depois, suponha quea primeira coluna de D seja a soma das colunas 2 e 3 de D. O que você pode dizer sobre as colunasdo produto CD? Diga tudo que puder. Justique sua resposta.

8. [10] Seja A uma matriz m × n com colunas a1, …, a

n (com m e n inteiros maiores que 1). Explique

por que as colunas de A são linearmente independentes se e somente se a equação Ax = 0 só tivera solução trivial. Sua explicação deve mostrar que você sabe a denição de Ax e a denição de in-dependência linear. (Se você tiver diculdade neste problema, comece escrevendo o que signicaos vetores a

1, …, a

n serem linearmente independentes.)



SEGUNDA PROVA – B

Comece cada um dos sete problemas em uma página nova, no seu caderno de respostas. Mostre seuscálculos.

1. a. [4 Pontos] Suponha que uma matriz A tenha uma fatoração LU. Descreva como usar L e U

para resolver a equação Ax = b. (Mencione apenas os passos básicos na solução; não escrevaum exemplo nem faça cálculos aritméticos.)

b. [12] Suponha que uma matriz A foi colocada em forma escalonada como a seguir. Use esta in-formação para construir a fatoração LU de A. (Mostre L e U .)

c. [4] Encontre a dimensão do espaço nulo da matriz A anterior e justique sua resposta. (Não

faça muitos cálculos.)

2. [15] Sejam A, B, C , X , Y e Z matrizes tais que . Encontre fórmulas

para X , Y , Z em termos de A, B, C . Se você usar uma matriz invertível, explique como sabe que amatriz é invertível. Mostre seus cálculos.

3. [15] Sejam v1 = , v

2 = , v

3 = , v

4 = . Encontre uma base para o subespaço

de ℝ4 gerado por {v1, v

2, v

3, v

4}. Qual é a dimensão desse subespaço?

4. [20] A matriz A = tem um autovetor v1 = (associado a um autovalor que você

terá de encontrar). Além disso, λ = 2 é um autovalor de A. Use esta informação para diagonalizar A. Construa matrizes P e D e escreva a relação que as relaciona com A. (Se tiver diculdade, des-creva cuidadosamente o método de construção de P e D.)

5. [10] Sejaℬ = {b1, b2}, em que b1 = , b2 = , e seja x = . Encontre o vetor de coorde-nadas de x em relação aℬ.

6. [12] Complete as lacunas nas denições a seguir. a. Um subespaço de ℝn é um conjunto H em ℝn com as seguintes propriedades: _______. b. Uma base para um subespaço H é um conjunto tal que _________________. c. A dimensão de um subespaço H é __________________.7. [8] Complete as lacunas nos enunciados dos teoremas a seguir. a. Seja A uma matriz n × n. Então 0 não é um autovalor de A se e somente se A for ______. b. Uma matriz A n × n é diagonalizável se e somente se A tiver _______. (Não descreva a fatora-

ção de A quando A é diagonalizável.)



TERCEIRA PROVA – B

1. [15 Pontos] Considere a equação diferencial matricial x(t ) = Ax(t ), em que A é uma matriz real

2 × 2 com um autovalor complexo λ = −3 + 5i e autovetor associado (complexo) v = .

a. Escreva a solução geral complexa de x = Ax. b. Escreva a solução geral real de x = Ax. c. Descreva (em palavras) a aparência de trajetórias típicas de uma solução real. Se a origem for

um atrator ou ponto de sela, forneça a direção e o sentido de maior atração; se a origem for umrepulsor, forneça a direção e o sentido de maior repulsão; se a origem for um ponto espiral, digase a espiral se aproxima da origem ou se afasta dela ou se tem trajetórias elípticas.

2. [10] Seja A uma matriz 5 × 4 com colunas ortonormais. Faça cálculos apropriados para mostrarque, quaisquer que sejam x, y em ℝ4:

a. Ax ⋅ Ay = x ⋅ y b. || Ax|| = ||x||

3. [15] Sejam u = , v = e b = . Note que u ⋅ v = 0. Encontre a distância de b ao

subespaço ℒ{u, v}.4. [10] Considere uma decomposição QR, A = QR, na qual A é uma matriz 5 × 3 com colunas line-

armente independentes. Descreva as propriedades de Q e R, como descritas em um teorema no

livro. Inclua o tamanho das matrizes.5. [20] Faça uma mudança de variável que transforma a forma quadrática 2 x

12 + 10 x

1 x

2 + 2 x

22 em

uma forma quadrática sem termo cruzado. Forneça a mudança de variável em forma matricial (emostre a matriz), mostre os cálculos algébricos que levam à nova forma quadrática e escreva a

nova forma quadrática.6. [15] Considere a seguinte decomposição em valores singulares:

a. Escreva uma base ortonormal para Col A. b. Escreva uma base ortonormal para (Col A)⊥.

c. Qual é outro nome para (Col A)⊥? (Use um teorema para responder.) d. Escreva uma base ortonormal para Nul A.

e. Escreva o maior autovalor de AT A.

7. [10] Sejam A = e b = . Encontre a solução de mínimos quadráticos de Ax = b.

8. [5] O que é uma matriz ortogonal? Dê duas maneiras diferentes, mas equivalentes, de denir umamatriz ortogonal.



PROVA FINAL – B

Instruções: Por favor, comece cada problema numerado em que vai trabalhar em uma página nova deseu caderno de respostas. Use a frente e o verso de cada página. Mostre seus cálculos.

1. [10 Pontos] Suponha que as matrizes A e B dadas a seguir sejam equivalentes por linhas.

a. Qual é o posto de A? Como você encontrou isto? b. Encontre uma base para o subespaço gerado pelas colunas de A.2. [15] Considere a forma quadrática Q(x) = x

12 + 12 x

1 x

2 + 10 x

22, em que x = ( x

1, x

2).

a. Determine se Q é positiva denida, negativa denida ou indenida. Mostre como você encontrou sua resposta.

b. Encontre uma mudança de variável x = P u, com u = (u1, u

2), que produz uma forma quadráti-

ca sem termo cruzado. (Encontre P .) Mostre os cálculos algébricos que levam a essa nova

forma quadrática e escreva a nova forma em termos de u1 e u

2.

3. [10] Sejam u1 = , u

2 = e y = . Calcule a distância de y ao subespaço W gerado

por u1 e u

2.

4. [6] Suponha que A = QR = [q1 q

2 q

3 q

4] , em que Q é uma matriz 5 × 4

com colunas q1, …, q

4. Mostre que você sabe a denição de multiplicação de matrizes escreven-

do uma expressão que fornece a terceira coluna de A.

5. [6] Complete as lacunas nas denições: i. Um conjunto {v

1, …, v

p} em um espaço vetorial V é linearmente dependente se …

ii. “Uma base para um espaço vetorial V é …”

iii. “Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função T : V → W é uma transformação linear se …”6. [15] Seja A uma matriz n × n. Escreva cinco sentenças, cada uma delas equivalente à armação

de que A é invertível. Use os termos a seguir, um em cada sentença: ( i) a equação Ax = b, (ii) aequação Ax = 0, (iii) autovalor, (iv) equivalente por linhas, (v) posto.

7. [8] Suponha que A seja uma matriz m × n cujas colunas são linearmente independentes. a. Se a solução de Ax = b existir para algum b, a solução será única? Por quê? b. O que você pode dizer sobre a relação entre os números m e n para essa matriz A? c. O que você pode dizer sobre m e n se a equação Ax = b tiver solução para todo b em ℝm?

Aplicações:Escolha dois dos quatro problemas a seguir. Se você tentar mais de dois, diga quais deles você querque sejam avaliados. Caso contrário, serão avaliados os dois primeiros problemas que você tentou.

a. Verique que v1 e v

2 são autovalores de A.

b. Encontre a solução do sistema dinâmico xk +1

= Axk (k = 0, 1, …) com x

0 = w. Classique a ori-

gem como sendo um repulsor, um atrator ou um ponto de sela do sistema. c. Encontre a solução do sistema dinâmicox(t ) = Ax(t ), t ≥ 0, com x(0) =w. Classifque a origem

como sendo um repulsor, um atrator, um ponto de sela ou um ponto espiral. Forneça a direçãoe o sentido de maior repulsão e/ou atração.

9. [15] Seja V o espaço C [0, 1] munido do produto interno denido por

em que f , g pertencem a V .




a. Calcule a norma da função f em V , na qual f (t ) = t . b. Seja W o subespaço de V gerado pela função f (t ) = t . Decomponha a função g (t ) = t 2 na soma

de duas funções, uma em W e outra ortogonal a W . [Sugestão: Use a abordagem em ℝn que decompõe um vetor na soma de duas componentes

ortogonais.]10. [15] Considere a equação de diferenças y

k +3 – y

k +2 – 4 y

k +1 + 4 y

k = 0 (k = 0, 1, 2, …).

a. Escreva a solução geral dessa equação de diferença. [Você pode usar o fato de que r 3 – r 2 – 4r + 4 = (r 2 – 4)(r – 1).] b. Mostre como escrever a equação de diferença como um sistema (matricial) de primeira ordem

da forma xk +1

= Axk . (Construa A e x

k .)

c. Explique por que um conjunto de n soluções linearmente independentes de uma equação dediferença linear homogênea de ordem n gera, de fato, o conjunto de todas as soluções.

11. a. [4] Suponha que A seja uma matriz 8 × 10 que admite uma fatoração LU. Quais as formasdas matrizes L e U e que propriedades elas têm? Descreva um problema em álgebra linear

para o qual ajudaria conhecer a fatoração LU de A, e explique como usar a fatoração LU pararesolver o problema.

b. [6] Suponha que A seja uma matriz 20 × 5 com colunas linearmente independentes. Então

A admite uma fatoração QR. Quais as formas das matrizesQ e R e que propriedades elas têm?Descreva um problema em álgebra linear [diferente do problema no item (a)] para o qual

ajudaria conhecer a fatoração QR de A, e explique como usar a fatoração QR para resolver o problema. c. [5] Suponha que A seja uma matriz 3 × 5. Descreva a decomposição em valores singulares de

A escrevendo a fatoração de A, fornecendo os tamanhos das matrizes na fatoração e listandoas propriedades especiais dessas matrizes. (Você não tem de descrever uma base para Nul A,

para Col A etc.) Como você pode determinar o posto de A a partir de uma análise da decom- posição em valores singulares?



FOLHA DE REVISÃO PARA A PRIMEIRA PROVA – B

A prova versará sobre o material discutido em aula e estudado nos trabalhos para casa da Seção 1.1até a Seção 2.3. A lista a seguir mostra as denições e teoremas mais importantes.

Definições:

A denição de Ax, tanto em palavras quanto em símbolos.ℒ{v}, ℒ{u, v} e interpretação geométrica em ℝ2 ou ℝ3.ℒ{v

1, …, v

p}

Linearmente independentes e linearmente dependentes.Transformação linear.Matriz canônica de uma transformação linear.A denição de um produto matricial AB.

Teoremas:

Capítulo 1: Teoremas de 3 a 10, 12.Capítulo 2: Teoremas de 3 a 7, 8 (o Teorema da Matriz Invertível)


Determinar quando um sistema é consistente. Escrever a solução geral em forma vetorial paramé-

trica.Determinar valores dos parâmetros que tornam um sistema consistente ou fazem com que a solução

seja única. Descrever existência ou unicidade de solução em termos de posições de pivôs. Deter-minar quando um sistema homogêneo tem solução não trivial.

Determinar quando um vetor pertence a um subespaço gerado por vetores especicados. Exibir umvetor como combinação linear de vetores especicados.

Determinar se as colunas de uma matriz m × n geram ℝm. Determinar se as colunas são linearmente

independentes.Usar a linearidade da multiplicação matricial para calcular A(u + v) ou A(cv).Determinar se um conjunto de vetores é linearmente independente. Conhecer diversos métodos que

podem, algumas vezes, produzir uma resposta “por inspeção” (sem muitos cálculos.)Encontrar a matriz canônica de uma transformação linear.Determinar se uma transformação linear é injetora e se a transformação é sobrejetora.Usar uma matriz inversa para resolver um sistema de equações lineares.Conhecer a fórmula para a inversa de uma matriz 2 × 2.Usar álgebra matricial para resolver uma equação envolvendo diversas matrizes.Usar o TMI (Teorema da Matriz Invertível) para ligar várias propriedades de uma matriz quadrada.



FOLHA DE REVISÃO PARA A SEGUNDA PROVA – B

A prova cobrirá o material nas Seções 2.4, 2.5, 2.9, de 5.1 a 5.3 e 5.5.

Definições:Fatoração LU.Subespaço, espaço nulo, espaço coluna.Independência linear, conjunto gerador, base.Vetor de coordenadas em relação a uma base.Dimensão de um subespaço.Posto de uma matriz.Autovalor, autovetor, autoespaço, diagonalizável, semelhança.

Teoremas:

Capítulo 2: Teorema da Matriz Invertível (mais: det A ≠ 0 e 0 não é um autovalor).

Teorema 10 (Expansão Coluna-por-Linha de AB). Teoremas 12, 13, 14 (Teorema do Posto) e 15 (Teorema da Base) (na Seção 2.9). Saber a demonstração do Teorema 12.Capítulo 5: Teoremas 1, 2, 4. Teorema 5 (o Teorema da Diagonalização), Teorema 6, Teorema 9. Saber a demonstração do Teorema 6.

Habilidades (lista parcial):

Deduzir a função transferência de um sistema ITL (invariante no tempo e linear), começando com atransformada de Laplace de um sistema de equações diferenciais na forma do espaço de estados.(Exercício 19 na Seção 2.4.)

Construir uma fatoração LU de uma matriz; usar uma fatoração LU para resolver Ax = b.

Determinar se um conjunto de vetores gera (ou é uma base para)ℝn

.Determinar se um vetor pertence a Nul A ou a Col A. Encontrar um vetor não nulo em Nul A ou Col A.Determinar se um conjunto é uma base para um subespaço.Encontrar uma base para Nul A ou para Col A.Encontrar o vetor de coordenadas de um vetor em relação a uma base.Encontrar a dimensão de um subespaço.Determinar se um número (vetor) é um autovalor (autovetor) de uma matriz.Encontrar uma base para um autoespaço.Encontrar a equação característica e os autovalores de uma matriz 2 × 2. Encontrar os autovalores de

uma matriz triangular.Se A for diagonalizável, encontrar P e D tais que A = PDP −1. Mostrar como calcular potências altas

de uma matriz diagonalizável. Encontrar uma fórmula para Ak .Encontrar uma fatoração de uma matriz A 2 × 2 que exibe a rotação associada a um autovalor com-

plexo.Determinar se A é diagonalizável.



FOLHA DE REVISÃO PARA A TERCEIRA PROVA – B

A prova cobrirá o material nas Seções 5.6, 5.7, de 6.1 a 6.5, 7.1, 7.2 e 7.4.

Definições:Vetores ortogonais, conjunto ortogonal, base ortogonal, complemento ortogonal.Projeção ortogonal sobre um subespaço.Fatoração QR.Solução de mínimos quadráticos, equações normais.Matriz simétrica, diagonalizável por matriz ortogonal.Eixos principais de uma forma quadrática.Formas quadráticas positivas denidas, negativas denidas, indenidas.Valores singulares, decomposição em valores singulares, número de singularidade.

Teoremas:Capítulo 6: Teorema 2 (Teorema de Pitágoras), Teoremas 3, 4, 5, 6, 7.

Saber a demonstração de 7 (partes a e b). Teorema 8 (Teorema da Decomposição Ortogonal) Teorema 9 (Teorema da Melhor Aproximação) Teorema 12 (Fatoração QR), Teoremas 13 e 15.Capítulo 7: Teoremas 1, 2, 4 (Teorema dos Eixos Principais), 5, 9, 10.

Habilidades (lista parcial):Encontrar a equação característica e os autovalores de uma matriz 2 × 2. Encontrar uma base para

um autoespaço.Fazer uma mudança de variável para desacoplar um sistema dinâmico x

k +1 = Ax

k ou x(t ) = Ax(t ).

Se {xk } for uma solução da equação de diferença x

k +1 = Ax

k (ou se x(t ) satiszer x = Ax), usar uma

decomposição de x0 em autovetores para calcular o que acontece com x

k quando k → ∞.

Calcular o comprimento de um vetor e a distância entre vetores. Normalizar um vetor.Vericar se um conjunto é ou não ortogonal.Calcular a projeção ortogonal sobre uma reta (contendo 0) ou sobre um subespaço. Decompor um

vetor em uma componente na direção de u e uma componente ortogonal a u. Decompor um vetorna soma de um vetor em um subespaço W com um vetor em W ⊥.

Encontrar o vetor em um subespaço W mais próximo a um vetor especicado.Encontrar a distância de um subespaço a um vetor especicado.Efetuar o processo de Gram-Schmidt em um conjunto linearmente independente de vetores.Calcular a fatoração QR de uma matriz com colunas linearmente independentes.Encontrar a solução de mínimos quadráticos de Ax = b. Calcular o erro de mínimos quadráticos.Diagonalizar uma matriz simétrica A por uma matriz ortogonal.Escrever a matriz de uma forma quadrática.Fazer uma mudança de variável que transforma uma forma quadrática em uma sem produtos cruza-

dos. Especicar os eixos principais de uma forma quadrática.

Classicar uma forma quadrática usando os autovalores da matriz associada.Construir uma DVS para uma matriz A.Saber como se relacionam os subespaços fundamentais de uma matriz.

Aplicações:Para um sistema dinâmico x

k +1 = Ax

k , quando A é uma matriz 2 × 2, determinar se 0 é um atrator, um

repulsor ou um ponto de sela. Encontrar a direção e o sentido de maior atração ou repulsão.Para um sistema dinâmico x = Ax (quando A é uma matriz 2 × 2), encontrar a solução geral, encontrar

soluções reais quando os autovalores são complexos e determinar se 0 é um atrator, um repulsor, um

ponto de sela ou um ponto espiral. Encontrar a direção e o sentido de maior atração ou repulsão.Construir uma fatoração QR de uma matriz, usar uma fatoração QR para produzir uma solução de

mínimos quadráticos de Ax = b.



FOLHA DE REVISÃO PARA A PROVA FINAL – B

A prova nal é sobre toda a matéria, mas focaliza nos conceitos e tópicos principais estudados ao lon-go do semestre. Como muitos tópicos se baseiam em conceitos anteriores, a maioria das questõesenvolverá ideias dos Capítulos 4, 5, 6 e 7.

Podem cair algumas denições na prova. As denições mais importantes incluem:O produto Ax, o produto AB, transformação linear, independência e dependência lineares, con-

junto gerador, base, subespaço, dimensão, posto, base ortogonal, autovetor, autovalor, soluçãode mínimos quadráticos.

Fatorações de uma matriz A: fatoração LU, fatoração QR, diagonalização, diagonalização pormatriz ortogonal, decomposição em valores singulares. Saber as propriedades das matrizes nafatoração. Saber onde essas fatorações são usadas.

Número de singularidade.Diversas questões irão pedir que você justique suas respostas. Essas justicativas envolverão, mui-

tas vezes, referência a um teorema. Os teoremas que têm um nome descritivo são, em geral, bonscandidatos para uma questão. O Teorema da Matriz Invertível é particularmente importante.

O tema dos dois primeiros capítulos é olhar sistemas de equações sob muitos pontos de vista diferen-tes (sistemas de equações, equação vetorial, equação matricial e transformações lineares). Pode

ajudar rever as diversas questões que envolvem existência e unicidade de soluções.

Observações variadas: Reveja as provas de três horas e as folhas de revisão dadas para elas. As Seções 2.8 e 2.9 contêm muitos conceitos importantes do Capítulo 4. A prova irá incluir material das Seções 7.1, 7.2, 7.4, 4.1, 4.3, 4.8, 6.7 e 6.8.

Aplicações:

Aplicações Principais (cerca de 20% da prova): Seção 2.5 Fatorações de Matrizes. Seção 4.8 Equações de Diferença. Seção 5.6 Sistemas Dinâmicos Discretos. Seção 5.7 Aplicações a Equações Diferenciais. Seção 7.2 Formas Quadráticas.

Seção 6.8 Séries de Fourier.Explicar o signicado físico das colunas de uma matriz de exibilidade ou de uma matriz de rigidez(Seção 2.2).

Construir uma fatoração LU de uma matriz, usar uma fatoração LU para resolver Ax = b. Veja os

Exercícios de 1 a 15 e de 22 a 26 (outras fatorações) na Seção 2.5.Encontrar uma mudança de variável que desacopla um sistema de equações de diferença (ou dife-

rencial).Encontrar um conjunto fundamental de soluções de uma equação diferencial. Encontrar soluções reais no caso de autovalores complexos.Construir uma fatoração QR de uma matriz, usar uma fatoração QR para produzir uma solução de

mínimos quadráticos de Ax = b.Encontrar uma mudança de variável que transforma uma forma quadrática em outra sem termos cru-

zados.Saber como calcular normas e produtos internos em C [a, b].

Encontrar aproximações de Fourier de terceira ou quarta ordem de uma função.



LISTA DE ESTUDO PARA O CAPÍTULO 4 E AS SEÇÕES 6.7 E 6.8

Definições:

Conjunto linearmente independente (dependente), base para um subespaço.Dimensão de um subespaço.O produto interno em C [a, b] (Seção 6.7).

Teoremas:

Seção 4.1, Teorema 1.Seção 4.5, Teorema 12 (O Teorema da Base).Seção 4.8, Teorema 17.

Habilidades:

Explicar por que um conjunto de n soluções linearmente independentes de uma equação de diferençalinear homogênea de ordem n (ou de uma equação diferencial linear de ordem n) é uma base parao conjunto de todas as soluções.

Calcular || f || e < f , g > para f e g em C [a, b].Encontrar uma base ortogonal para um conjunto de polinômios em C [a, b].Explicar como a fórmula para uma aproximação de Fourier está relacionada à projeção ortogonal de

um vetor sobre um subespaço, e por que essa aproximação fornece a melhor aproximação de umafunção no espaço C [0, 2π].



SOLUÇÃO DA PRIMEIRA PROVA – B

1. a. Os vetores são linearmente independentes porque não são múltiplos. (De forma mais precisa,nenhum dos vetores é múltiplo do outro.)

b. . O conjunto de três vetores

é linearmente dependente porque a equação Ax = 0 tem uma variável livre e, portanto, tem umasolução não trivial. Veja 1.6: Exercícios de 7 a 24.

c. As colunas são linearmente dependentes porque uma coluna é o vetor nulo.

2. a. O conjunto de dois vetores não pode gerarℝ3, por um teorema, pois a matriz pode

ter, no máximo, duas posições de pivô e, portanto, não pode ter uma posição de pivô em cadalinha. Veja o Teorema 4, Seção 1.4.

b. O escalonamento em 1(b) mostra que a matriz não tem uma posição de pivô na terceira linha.Por um teorema, as colunas da matriz não geram ℝ3.

c. . Cada linha tem uma posi-

ção de pivô. Por um teorema, as colunas geram ℝ3. Veja 1.4: Exercícios de 23 a 28; 1.8: Exercício 27.3. A( X + B) = CA. Como A é invertível, podemos multiplicar à esquerda por A−1 para obter

, de modo que X + B = A−1CA e X = A−1CA – B. Veja 2.2: Exercícios 17 e

19.

4. Rotação de 3π/2 radianos, leva e1 em e leva e

2 em . Por um teorema, a matriz canônica

de T é . Veja 1.8: Exercícios de 5 a 14.

5. Como A é uma matriz quadrada com colunas linearmente independentes, A é invertível pelo TMI.Por outro teorema, a equação Ax = b tem uma única solução para todo b em ℝ5. (Outra justica-

tiva, por exemplo, poderia omitir o TMI e a menção de outro teorema e explicar, simplesmente,que toda coluna de A tem de ser uma coluna pivô, já que a equação Ax = 0 só tem a solução trivial.Então, como A é quadrada, os pivôs têm de estar na diagonal principal de A. Como cada linha temum pivô, a equação Ax = b tem solução para todo b, por um teorema. A solução é única porquenão podem existir variáveis livres.) Veja 2.3: Exercício 19.

6. A condição dada implica A não ser invertível. Logo, todas as armações no TMI são falsas. Por -tanto, a transformação x ↦ Ax não pode ser sobrejetora de ℝ6 em ℝ6 e também não pode ser in-

jetora. (Não há necessidade de mencionar que a transformação não é invertível, já que o conceitode transformação invertível está na parte do livro que foi especicamente excluída da matéria da

prova.) Veja 2.3: Exercício 21.7. A primeira coluna de CD é a soma das colunas 2 e 3 de CD. Seja D = [d1

… d p]. Pela denição de

multiplicação de matrizes, C [d1 … d

p] = [C d

1 … C d

p]. Como d

1 = d

2 + d

3 por hipótese, uma pro-

priedade da multiplicação de matrizes por vetores mostra que C d1 = C (d

2 + d

3) = C d

2 + C d

3. (Você

também poderia dizer que as colunas de CD são linearmente dependentes, mas o ponto principalque eu queria era mostrar como as colunas de CD estão relacionadas. Veja 2.1: Exercício 19.8. As colunas a

1, …, a

n são linearmente independentes se e somente se a equação x

1a

1 + x

2a

2 … +

xna

n = 0 só tiver a solução trivial. Essa equação pode ser escrita na forma Ax = 0, pela denição

de Ax. Logo, as colunas de A são linearmente independentes se e somente se a equação Ax = 0 sótiver a solução trivial.



SOLUÇÃO DA SEGUNDA PROVA – B

1. a. Para resolver Ax = b quando A = LU , resolva primeiro Ly = b para y e depois resolva U x = y. b. Coloque a última matriz mostrada em forma escalonada reduzida, obtendo U =

. Para L, copie as colunas dos pivôs (dos pivôs para baixo) encontradas

durante o escalonamento para chegar a U : . Divida cada coluna pelo

pivô no topo e coloque-a na parte triangular inferior de L; depois, preencha a coluna de L que

falta com a última coluna da matriz identidade 4 × 4: L = .

c. dim Nul A = 2, já que a equação Ax = 0 tem duas variáveis livres.2. A equação matricial implica XA + 0 B = I , YA + ZB = 0 e Y 0 + ZC = I . A primeira equação, XA =

I , implica A ser invertível pelo Teorema da Matriz Invertível, já que A é quadrada. Então XAA−1

= IA−1 e X = A−1. Pelas mesmas razões, a terceira equação, ZC = I , implica C ser invertível e Z = C −1.Finalmente, usando que Z = C −1 na segunda equação, temos YA = −C −1 B. Multiplicando à direita

por A−1, obtemos YAA−1 = −C −1 BA−1 e Y = −C −1 BA−1.3. Escalone a matriz A = [v

1 v

2 v

3 v

4] para localizar as colunas dos pivôs de A:

Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4, logo {v1, v

2, v

4} forma uma base em ℝ4 para o espaço gerado

por {v1, v

2, v

3, v

4}.

4. ≈ Av1 = = −9v

1, de modo que λ

1 = −9 é um autovalor de

A. A seguir, use o autovalor dado λ 2 = 2 para encontrar uma base para o autoespaço associado, ou

seja, resolva ( A – 2 I )x = 0:

5. [x]ℬ = , em que a e b satisfazem , ou .

Escalone a matriz ou use a inversa de para encontrar [x]ℬ = .

6. e 7. Veja o livro.

Uma solução: em que

Uma base para o autoespaço:



SOLUÇÃO DA TERCEIRA PROVA – B

1. a. x(t ) = c1 e(–3+5i)t + c

2 e(–3–5i)t (com c

1 e c

2 números complexos).

b. Encontre as partes real e imaginária de uma das duas soluções básicas em (a):

A solução real geral tem a forma c1 Re x(t ) + c

2 Im x(t ), ou seja,

c. A origem é um ponto espiral. Como a parte real de −3 + 5i é negativa, a exponencial negativae−3t puxa a espiral na direção da origem.

2. Como A tem colunas ortonormais, AT A = I . A folha de revisão dizia para saber a demonstração doTeorema 7, veja o Exercício 25.

3. A distância de b aℒ{u, v} é o número b b ˆ , em que b é a projeção ortogonal de b sobre ℒ{u,v}. Como u e v são ortogonais,

4. A = QR, em que Q é 5 × 3 com colunas ortonormais e R é 3 × 3, triangular superior, com elemen-

tos positivos em sua diagonal.5. xT Ax, com A = . det = λ 2 − 4λ + 4 – 25 = (λ − 7)(λ + 3).

Autovalores: λ = 7, v1 = ; λ = −3, v

2 = . Normalize v

1 e v

2, e dena

A mudança de variável é x = P y, com P como anteriormente. Substituindo e usando que P T P = I ,temos

6. Dado que A = U ΣV T, escreva U = [u1 … u

4] e V = [v

1 … v

5]. Note que A tem 3 valores singulares

não nulos e Av1 = 16,70u1, Av2 = 14,36u2, Av3 = 2,44u3 e Av4 = Av5 = 0. a. Os vetores unitários u1

, u2, u3

formam uma base ortonormal para Col A.

b. A quarta coluna, u4, é uma base para (Col A)⊥.

c. (Col A)⊥ = Nul AT.

d. Como Av4 = Av

5 = 0, {v

4, v

5} é uma base ortonormal para Nul A. Para mostrar que você sabe

quais são esses vetores, liste suas coordenadas: v4 = (−0,35, −0,13, 0,11, 0,23, −0,89) e v

5 =

(0,34, 0,72, 0,27, 0,53, −0,6).

e. O maior autovalor de AT A é σ1

2 = (16,7)2 = 278,89.

O número de linhas em A é determinado por U .

Note:




O número de colunas em A é determinado por V . A forma de A ca clara analisando-se Σ.

7. Resolva AT Ax = ATb, x = . As operações nas linhas ⇒ x = .

8. Uma matriz U é ortogonal se U for invertível e U T = U −1. Equivalentemente, U é uma matriz ortogonal se U for quadrada e tiver colunas ortonormais.



SOLUÇÃO DA PROVA FINAL – B

1. a. Posto A = 3, pois a matriz B mostra que A tem três colunas de pivôs. b. As colunas 1, 3 e 5 de A formam uma base para Col A.

2. a. A matriz para a forma quadrática xT Ax é . Para encontrar a equação característica,

calcule det = λ 2 – 11λ – 26 = (λ – 13)(λ + 2). Os autovalores de A são 13 e

–2. A forma quadrática é indenida porque A tem um autovalor positivo e outro negativo. b. Efetuando os cálculos usuais, vemos que os autovetores para λ = 13 e –2 são, respectivamen-

te, v1 = e v

2 = . Normalizando, obtemos P = .

[Opcional: Então A = PDP −1, em que D = diag(13, –2) e P −1 = P T. Logo, P T AP = D.]

A mudança de variável x = P u é

3. Note que u1 e u

2 são ortogonais, de modo que o ponto mais próximo de y em W é a projeção or-

togonal y de y sobre W e a distância de y a W é y y

ˆ .

4. Se A = QR, então a terceira coluna de A é Q vezes a terceira coluna de R.

6. Veja o Teorema da Matriz Invertível.

7. a. Toda coluna de A é uma coluna de pivô, pois as colunas de A são linearmente independentes.

Logo, a equação Ax = b não tem variáveis livres. Portanto, se Ax = b tiver solução, a soluçãoserá única. (Existem outros argumentos possíveis.)

b. m ≥ n, já que as colunas de A seriam linearmente dependentes se A tivesse mais colunas quelinhas.

c. A equação Ax = b tem solução para todo b se e somente se m = n.

b. A solução geral é xk = c

1(−0,2)k v

1 + c

2(0,6)k v

2. Para fazer x

0 = w, resolva [v

1 v

2]x = w.

A solução é xk = −3(−0,2)k v

1 + 5(0,6)k v

2. A origem é um atrator.

[Não é necessário: A direção de maior atração é determinada por v2 (ou seja, é dada pela reta

paralela a v2 contendo a origem), pois (−0,2)k → 0 mais depressa que (0,6)k → 0.]

c. A solução geral é x(t ) = c1e−0,2t v1

+ c2e0,6t v2

. Para fazer x(0) = w, use os mesmos coecientes que o item (a). Então a solução é x(t ) = −3e−0,2t v

1 + 5e0,6t v

2. A origem é um ponto de sela. A

direção de maior atração é determinada por v1 (porque e−0,2t → 0 quando t → ∞) e a direção

de maior repulsão é determinada por v2 (porque e0,6t → ∞ quando t → ∞).

b. A projeção ortogonal de g sobre Q = ℒ{ f } é

(usando a denição de Qx)Logo




10. a. A equação auxiliar é r 3 – r 2 – 4r + 4 = 0. Da sugestão: (r 2 – 4)(r – 1) = 0, de modo que r = ±2,

1. A solução geral é yk = c

12k + c

2(−2)k + c

3 ⋅ 1k .

b. Escreva yk +3

= −4 yk + 4 y

k +1 + y

k +2 (mas não é necessário).

c. O conjunto solução de uma equação de diferença linear homogêneo de ordem n é um espaçovetorial de dimensão n. Pelo Teorema da Base, qualquer conjunto de n vetores linearmenteindependentes em um espaço de dimensão n é, de forma automática, uma base para o espaço.

11. a. A = LU , em que L é uma matriz 8 × 8 triangular inferior com todos os elementos diagonaisiguais a 1 e U é uma matriz 8 × 10 triangular superior. A equação Ax =b pode ser escrita como L(U x) = b. Escalone [ L b] até [ I y] e, depois, escalone [U y] para obter a descri-ção de todas as soluções x. Ou mencione resolver Ly = b e depois U x = y.

b. A = QR, em que Q é uma matriz 20 × 5 com colunas ortonormais e R é 5 × 5, triangular superior e invertível. O problema de mínimos quadráticos Ax = b pode ser resolvido por meioda solução de Rx = U Tb obtida via substituição de trás para frente (já que R é triangular).

c. A = U ΣV T , em que U é 3 × 3, ortogonal, V é 5 × 5, ortogonal e Σ é uma matriz 3 × 5 “diagonal”, com os valores singulares não nulos de A na diagonal. O número de valores singulares

não nulos de A é o posto de A.

Já vimos que Calcule:

Além disso,

A decomposição desejada é:

Não é necessário: verique que

em queA forma matricial é



PRIMEIRA PROVA – C

Instruções: Comece cada um dos sete problemas numerados em uma página nova de seu caderno derespostas. Mostre seus cálculos.

1. [20 Pontos] Encontre a solução geral do sistema homogêneo de equações a seguir. Expresse sua

resposta em forma vetorial paramétrica. Use o método desenvolvido em sala de aula.

a. Dê uma descrição geométrica de ℒ{u, v}. (Com o que ele se parece?)

b. Determine se w pertence a ℒ{u, v}.

c. Dê uma descrição de ℒ{u, v, w}. Justique sua resposta. Sugestão: Considere a matriz A cujas colunas são u, v e w.3. [10] Nos itens (a) e (b), decida por inspeção se as colunas da matriz A são linearmente independen-

tes. Não efetue operações nas linhas. Justique suas respostas. (Você pode citar fatos ou teoremas bem conhecidos.)

4. [15] Complete as denições a seguir.

a. Se A for uma matriz n × n e x for um vetor em ℝn, então Ax _____. (Complete com palavras,se possível.)

b. Um conjunto {v1, …, v

p} em ℝn é linearmente independente se _____. (Leia com cuidado.)

c. Uma transformação linear T : ℝn → ℝm é uma função que satisfaz as seguintes propriedades: _____.

5. [5] Quantas linhas e colunas uma matriz A tem de ter de modo a denir uma transformação linearT :ℝ5 → ℝ7 pela regra T (x) = Ax?

6. [15] Suponha que A seja uma matriz 4 × 3. As colunas de A podem gerar ℝ4? Por quê? (Se apro- priado, mencione um teorema em sua discussão.)

7. [15] Uma companhia de mineração possui duas minas. Um dia de operação da mina #1 produz

minério que contém 20 toneladas de cobre e 550 quilos de prata, enquanto um dia de operação damina #2 produz minério que contém 30 toneladas de cobre e 500 quilos de prata. Suponha que acompanhia tenha pedidos para 150 toneladas de cobre e 2.825 quilos de prata. Considere o problema: Quantos dias a companhia deve operar cada mina para produzir exata-

mente as quantidades nesses pedidos? a. Monte (mas não resolva) uma equação vetorial que descreve esse problema. Inclua uma frase

sobre o que as variáveis na equação representam.

b. Escreva uma equação matricial equivalente para esse problema. (Não resolva.)



SEGUNDA PROVA – C

1. [15 Pontos] a. Seja A uma matriz n × n invertível. O que você pode dizer sobre equações da forma Ax = b? (Mencione armação (ou armações) de teorema(s).)

b. Dê a defnição do produto matricial AB quando A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × p.

Introduza qualquer notação necessária para a denição. (Não dê a regra linha por coluna para o cálculo de AB.) c. Dê a defnição (em palavras, se possível) do espaço coluna de uma matriz m × n.2. [10] Suponha que A, B e C sejam matrizes invertíveis que satisfazem a equação B( A + I ) B –1 = C .

Resolva a equação para A em termos das outras matrizes. Mostre seus cálculos.

3. [15] Suponha que as colunas de uma matriz G 6 × 6 não gerem ℝ6. O que você pode dizer sobrea equação Gx = 0? Explique sua resposta (em uma ou duas frases).

4. [15] As matrizes A e B a seguir são equivalentes por linhas. Use este fato para encontrar uma base para o espaço nulo de A.

5. [15] Explique por que o conjunto H a seguir é um subespaço de ℝ3.

6. [15] a. O conjunto gera ℝ3? Por quê?

b. O conjunto em (a) é uma base paraℝ3? Por quê?7. [15] Considere uma economia com dois setores, Bens e Serviços. Para cada unidade de produção,

o setor de Bens usa como insumo 0,40 de unidade de sua própria produção e 0,30 de unidade dosetor de Serviços. Para cada unidade de produção, o setor de Serviços usa como insumo 0,10 de

unidade de sua própria produção e 0,20 de unidade do setor de Bens. Suponha que exista uma de-manda externa de 170 unidades para o setor de Bens e de 75 unidades para o setor de Serviços. a. Escreva em símbolos o modelo abstrato de produção de Leontief para esta situação e, depois,

preencha com os valores numéricos apropriados retirados dos dados anteriores. b. Mostre os passos algébricos que levam a uma fórmula para a solução da equação de produção

de Leontief. Não calcule os valores numéricos.

c. Suponha que a solução da equação de produção seja . O que as coordenadas desse vetorrepresentam?



TERCEIRA PROVA – C

1. [20 Pontos] Sejam u e seja W = ℒ{u, v}. É claro que {u,

v} é uma base ortogonal para W . a. Escreva y como a soma de dois vetores, um em W e outro ortogonal a W . b. Calcule a distância de y ao subespaço W .

2. [10] A matriz A = é diagonalizável? (Não faça cálculos numéricos.) Mencione um ou

mais teoremas que justicam sua resposta.

3. [25] A matriz A = tem autovalores 2 e 3.

a. Use esta informação para encontrar P e D que diagonalizam A e escreva a equação (em símbo-los) que relaciona A às matrizes P e D.

b. Enuncie uma fórmula matricial que mostra um modo simples de calcular A8 (mas não efetue

cálculo numérico algum.)4. [20] Considere um sistema dinâmico x

k +1 = Ax

k (k = 0, 1, 2, …) que modela um sistema predador-

presa de falcões e ratos, em que xk = ( H

k , M

k ) fornece o número de falcões e o número (em milha-

res) de ratos no k -ésimo censo anual. Suponha que A tenha autovalores λ 1 = 1,05 e λ

2 = 0,75, com

autovetores correspondentes v1 = e v2

= , respectivamente.

a. Dado o vetor inicial x0 = , use uma decomposição de x

0 em autovetores para obter uma

fórmula especíca para xk para k > 0.

b. O que os autovalores e autovetores lhe dizem sobre o comportamento no longo prazo desse

sistema dinâmico e a distribuição nal de falcões e ratos?5. [10] A solução geral de determinado sistema homogêneo com oito equações e dez variáveis pode

ser descrita usando-se três parâmetros livres. Qual o menor número de equações homogêneas ne-cessário para determinar completamente esse conjunto solução? Dê uma explicação curta de comoencontrou sua resposta.

6. [15] a. Considere uma matriz m × n A e um vetor b emℝn. Explique o que signica uma solução

de mínimos quadráticos de Ax = b. b. Seja A uma matriz n × n. Escreva quatro armações do Teorema da Matriz Invertível que são

equivalentes à proposição “ A é invertível”. Cada armação tem de usar um dos termos ou sím- bolos a seguir, um diferente em cada armação: (i) Nul A; (ii) dimensão; (iii) posto; (iv) auto-valor.

v y



PROVA FINAL – C

Por favor, comece cada problema numerado em uma página diferente de seu caderno de respostas.

1. [15 Pontos] Suponha que A = é equivalente por linhas a

B = .

a. Encontre uma base para o subespaço gerado pelas colunas de A. b. Qual é a dimensão do subespaço em (a)? c. Encontre uma base para o espaço linha de A. d. Dê a defnição de um subespaço: “Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço

se ….”

2. Sejam

a. [12] Encontre as matrizes P e D que diagonalizam A por matriz ortogonal. Escreva a equaçãoque relaciona A às matrizes P e D. Não calcule inversa alguma.

b. [2] Escreva a forma quadrática (usando as variáveis x1 e x

2) associada à matriz A.

c. [3] A forma quadrática xT Ax é positiva denida? Por quê? d. [3] Encontre o vetor unitário x que maximiza o valor de xT Ax sujeita à restrição xTx = 1. Qual

é esse valor máximo?

e. [5] Escreva a equação de uma mudança de variável que elimina os termos cruzados na formaquadrática xT Ax. Depois, mostre os cálculos matriciais que transformam xT Ax nesta forma qua-drática nova. Encontre a forma quadrática nova proveniente da mudança de variável.

3. [4] Explique por que a matriz A = é diagonalizável.

4. [6] Sejam A uma matriz m × n e b em ℝm. a. Explique por que b pertence a Col A se e somente se a equação Ax = b tiver solução.

b. Suponha que a equação Ax = b tenha solução para todo b emℝm. O que você pode dizer sobreuma forma escalonada de A?

5. [5] Resolva a equação AX + B = CA para X supondo que A, B, C , X sejam matrizes n × n com A, B e C invertíveis.

6. [15] a. Descreva a imagem mental que você tem de um subespaço bidimensional de ℝ4.

b. Sejam v1 = , v2

= , y = e W =ℒ{v1, v2

}. Encontre a projeção ortogonal y de y

sobre W . c. Diga as duas propriedades que o vetor y em (b) tem, como descritas no Teorema da Decompo-

sição Ortogonal e no Teorema da Melhor Aproximação. d. Encontre a distância de y a W em (b). Resolva dois dos três problemas a seguir. Se tentar todos os três, indique quais dois deles de-

vem ser corrigidos.7. [15] Suponha que uma economia tenha dois setores, Bens e Serviços. Uma unidade de produção

do setor de Bens usa como insumo 0,2 de unidade de sua própria produção e 0,6 de unidade dosetor de Serviços. Uma unidade de produção do setor de Serviços usa como insumo 0,5 de unida-de do setor de Bens e 0,3 de unidade de sua própria produção. A demanda do “setor aberto” é de400 unidades de Bens e 300 unidades de Serviços.

a. Escreva o modelo de produção abstrato de Leontief e determine a matriz e os vetores especí- cos para esta economia.

b. Forneça os passos algébricos abstratos que levam à solução teórica da equação de Leontief.

Mostre todos os detalhes.







FOLHA DE REVISÃO PARA A SEGUNDA PROVA – C

A prova será sobre material discutido em sala de aula e estudado nos deveres para casa das Seções 2.4,2.6, de 3.1 a 3.3 e de 4.1 a 4.4. A lista a seguir mostra as denições e teoremas mais importantes.

Definições:

O produto AB de duas matrizes. Produto externo. Determinante. Subespaço, espaço nulo e espaço coluna. Independência linear, dependência linear, relação de dependência linear. Conjunto gerado, base, vetor de coordenadas.

Teoremas:

Capítulo 2: Teoremas 4, 5, 6(b), 8 (Teorema da Matriz Invertível).

Teorema 11. Saber a demonstração do Teorema 5. Capítulo 4: Teoremas de 1 a 4, 5 (Conjunto Gerador), 6. Teorema 7 (Representação Única). Saber as demonstrações dos Teoremas 2 e 7.


Saber a fórmula especial para a inversa de uma matriz 2 × 2.Usar A –1 para resolver um sistema de equações.Resolver equações matriciais usando álgebra matricial.Usar o Teorema da Matriz Invertível para ligar fatos sobre uma matriz, uma equação matricial, uma

equação vetorial, as colunas de uma matriz etc. (Omitir os itens f e i do Teorema 8.)

Encontrar elementos em uma matriz em blocos, dada uma equação envolvendo a matriz.Resolver um sistema 2 × 2 usando a Regra de Cramer.Determinar se um conjunto de vetores gera (ou forma uma base para) ℝn.Determinar se um conjunto é um subespaço (usando os Teoremas 1, 2 ou 3 no Capítulo 4).Determinar se um vetor pertence a Nul A ou a Col A. Encontrar um vetor não nulo em Nul A ou Col A.Determinar se um conjunto é uma base para um subespaço.Encontrar o vetor de coordenadas de um vetor em relação a uma base.

Aplicação:

Montar o modelo de produção de Leontief: x = C x + d, identicando cada elemento na equação.Mostrar a álgebra matricial que leva à solução. Resolver um caso numérico 2 × 2. Saber o signi-cado econômico dos elementos em ( I – C ) –1.



FOLHA DE REVISÃO PARA A TERCEIRA PROVA – C

A prova será sobre material discutido em sala de aula e estudado nos deveres para casa das Seções4.5, 4.6, 4.9, de 5.1 a 5.3, 5.6 e de 6.1 a 6.3. A lista a seguir mostra as denições e teoremas mais

importantes.

Definições:

Dimensão, posto.Vetor de probabilidade, matriz estocástica.Autovalor, autovetor, autoespaço, diagonalizável.Vetores ortogonais, conjunto ortogonal, base ortogonal.Problema abstrato de mínimos quadráticos, solução de mínimos quadráticos (começando na Se-

ção 6.5).

Teoremas:

Capítulo 4: Teoremas 9, 12, 13. Teorema 14 (Teorema do Posto), Teorema da Matriz Invertível. Capítulo 5: Teorema 1, 2, 5 (Teorema da Diagonalização). Capítulo 6: Teoremas 2 (Teorema de Pitágoras), 4, 5. Teorema 8 (Teorema da Decomposição Ortogonal). Teorema 9 (Teorema da Melhor Aproximação).


Encontrar uma base para : Nul A, Col A e Lin A. Ou encontrar as dimensões destes espaços.Usar o Teorema do Posto para relacionar dimensões de subespaços e fatos sobre equações matri-

ciais.

Determinar se um número (vetor) é um autovalor (autovetor) de uma matriz.Encontrar a equação característica e os autovalores de uma matriz 2 × 2. Encontrar os autovalores deuma matriz triangular. Encontrar uma base para um autoespaço.

Se A for diagonalizável, encontrar P e D tais que A = PDP –1. Mostrar como calcular potências altasde uma matriz diagonalizável.

Calcular comprimento de um vetor, distância entre vetores.Vericar se um conjunto é ortogonal.Calcular a projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta (contendo 0) ou sobre um subespaço. De-

compor um vetor em uma componente na direção de u e uma componente ortogonal a u. Decom- por um vetor em uma soma de um vetor em W com um vetor em W ⊥.

Encontrar o vetor em um subespaço W mais próximo de um vetor especíco. Encontrar a distânciade um vetor a W .

Aplicações:Montar uma matriz estocástica para um problema aplicado, determinar o vetor estado estacionário e usá-

lo para descrever o comportamento no longo prazo do sistema modelado pela cadeia de Markov.Usar uma decomposição em autovetores de um vetor x

0 para determinar o comportamento no longo

prazo da solução de uma equação de diferença xk +1

= Axk (k = 0, 1, 2, …). Conhecer as duas equa-

ções básicas (6) e (7) na Seção 5.6 (para o caso em que λ 1 é um autovalor dominante e os outros

autovalores são menores que 1 em módulo) e usá-las para descrever o comportamento de um sis-tema dinâmico no longo prazo.



FOLHA DE REVISÃO PARA A PROVA FINAL – C

A prova nal é sobre toda a matéria, mas focaliza nos conceitos e tópicos principais estudados ao

longo do semestre. Como muitos tópicos se baseiam em conceitos anteriores, a maioria das questõesenvolverá ideias dos Capítulos 4, 5, 6 e 7. A matéria para a prova inclui material das Seções 7.1, 7.2

e 7.3.O tema dos três primeiros capítulos é considerar sistemas de equações de diversos pontos de vistadiferentes (sistema de equações, equação vetorial, equação matricial e transformações lineares). Podeajudar rever as várias questões envolvendo existência e unicidade de soluções.

Podem cair algumas denições na prova. As denições mais importantes incluem: o produto Ax,o produto AB, transformação linear, independência e dependência lineares, conjunto gerador, base,subespaço, dimensão, posto, base ortogonal, autovetor, autovalor, solução de mínimos quadráticos.

Diversas questões irão pedir que você justique suas respostas. Essas justicativas envolverão,

muitas vezes, referência a um teorema. Em geral, teoremas que têm um nome descritivo associadosão bons candidatos para uma questão. Particularmente importantes são o Teorema da Matriz Inver-tível, o Teorema do Posto e o Teorema da Melhor Aproximação.

Aplicações Principais (de 25% a 30% da prova):Seção 2.7 O Modelo Entrada-Saída de Leontief

Seção 4.9 Cadeias de MarkovSeção 5.6 Aplicações a Sistemas DinâmicosSeção 6.6 Modelos Lineares em Estatística Uma boa maneira de começar sua revisão é estudar as provas de três horas e as folhas de revisão

correspondentes. Preste bastante atenção a qualquer questão que você tenha achado difícil quando fezas provas. Eis uma lista de revisão para o material dado após a terceira prova.

LISTA DE ESTUDO PARA O MATERIAL DEPOIS DA TERCEIRA PROVA

Material nas Seções 6.5, 6.6, 7.1, 7.2 e 7.3.

Definições:

Matriz ortogonalSolução de mínimos quadráticos de Ax = b, equações normais, erro de mínimos quadráticos.Um modelo linear (em estatística).Matriz simétrica, diagonalizável por matriz ortogonal.

Teoremas:

Capítulo 6: Teorema 6, 7 e 14.Capítulo 7: Teoremas 1, 2, 4 (Teorema do Eixo Principal), 6.


Calcular a solução de mínimos quadráticos, encontrar o erro de mínimos quadráticos.Montar a matriz de projeto, o vetor de parâmetros e o vetor de observação para diversos tipos de

problemas de mínimos quadráticos em aplicações. Encontrar o vetor de parâmetros de mínimosquadráticos quando a matriz X T X é 2 × 2.

Diagonalizar, por matriz ortogonal, uma matriz simétrica com autovalores distintos.Escrever a matriz de uma forma quadrática.Encontrar uma mudança de variáveis que transforma uma forma quadrática em outra sem termos

cruzados.Encontrar o valor máximo de uma forma quadrática em um conjunto de vetores unitários.



SOLUÇÃO DA PRIMEIRA PROVA – C

2. a. ℒ{u, v} é um plano em ℝ3 contendo u, v e a origem. b. Queremos saber se a equação x

1u + x

2v = w tem solução. Escalone a matriz aumentada para

essa equação:

Então, a equação vetorial x

1u + x

2v = w não tem solução e w não está em ℒ{u, v}.

c. O conjunto ℒ{u, v, w} é maior que ℒ{u, v}, já que ele contém w e w não está em ℒ{u, v}.

De fato, se A = [u v w], então o escalonamento anterior mostra que A tem três posiçõesde pivô, um em cada linha. Por um teorema, as colunas de A geram ℝ3.

3. a. Por inspeção, nenhuma das colunas de A é múltipla da outra, logo as colunas são linearmenteindependentes.

b. Uma coluna de A é o vetor nulo. As colunas são linearmente dependentes, por um teorema quediz que um conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.

4. a. … é uma combinação linear das colunas de A usando as coordenadas correspondentes de x como pesos.

b. … a equação x1v

1 +⋯ + x

pv

p = 0 só tem a solução trivial.

c. (i) T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u, v em ℝn e (ii) T (cv) = cT (v) para todo v em ℝn e todo escalar c.5. Se T (x) = Ax e T : ℝ5 → ℝ7, então A terá de ter 7 linhas e 5 colunas.

6. Uma matriz 4 × 3 pode ter no máximo três posições de pivô porque só tem 3 colunas. Logo, A não pode ter uma posição e pivô em cada uma de suas 4 linhas. Por um teorema, as colunas de A não geram ℝ4

7.

Sejam x

1 os dias de operação da mina #1 e x

2 os dias de operação da mina #2. Então o problema

é encontrar x1 e x

2 que satisfazem a equação vetorial

b. A equação matricial equivalente é (existem diversas respostas possíveis):

Nota: Uma resposta incorreta comum é a matriz aumentada , que representa um

sistema de duas equações lineares, mas não é o que chamamos de “equação matricial”. Veja o Teo -rema 3, Seção 1.4.

e variáveis livres.

A equação 0 x1 + 0 x

2 = 2 é impossível.

ou

ou

em que e



SOLUÇÃO DA SEGUNDA PROVA – C

1. a. Como A é invertível, o Teorema da Matriz Invertível mostra que a equação Ax = b tem umaúnica solução para todo b em ℝn. Outro teorema diz isso também e continua armando que a única solução é x = A –1b.

b. Se as colunas de B forem b1, …, b p, então AB será a matriz m × p cujas colunas são Ab1, …, Ab

p. Em símbolos: AB = [ Ab1

… Ab p].

c. O espaço coluna de A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A.

Finalmente, A = B –1CB – I . (A sequência de operações pode ser mudada ligeiramente, mas a resposta nal não pode ser simplicada para “C – I ”. A resposta pode ser escrita de maneira diferentecomo A = B –1(C – I ) B, se preferir.)

3. Se as colunas de G não gerarem ℝ6, então G não será invertível, pelo TMI. E, de acordo com oTMI, a equação Gx = 0 tem solução não trivial.

4. a. De Bx = 0, obtemos x1 – 2 x2 + 5 x4 – 4 x5 = 0, x3 – 3 x4 + 2 x5 = 0 e x6 = 0. A solução geral de Ax =0 é

Essa equação mostra que o espaço nulo de A é gerado por {v

1, v

2, v

3}. Como esse conjunto é de

forma automática linearmente independente por construção, ele é uma base para Nul A.

5. Como e como a eb são arbitrários na descrição de H , o conjunto

H é o conjunto gerado por , então H é um subespaço de ℝ3 por um teorema.

6. a. O conjunto dado gera ℝ3 porque a matriz formada pelos quatro vetores tem uma posição de

pivô em cada linha. b. O conjunto em (a) não é linearmente independente porque o conjunto tem mais vetores que o

número de coordenadas em cada vetor. Logo, o conjunto não é uma base para ℝ3.

c. As coordenadas de x representam as quantidades que cada setor deve produzir para satisfazer

a demanda externa. O setor de Bens deve produzir 350 unidades e o de Serviços, 200 unidades.

7. a.

b.



SOLUÇÃO DA TERCEIRA PROVA – C

1. a. Primeiro calcule y= . A decomposição dese-

jada é

b. A distância de y a W é a distância de y a y, que é ||y – y|| = 3.

2. Por um teorema, os autovalores de uma matriz triangular estão na diagonal. Logo os autovalores são1, 4, 6. Como autovetores correspondentes a autovalores diferentes são linearmente independentes,

A tem três autovetores linearmente independentes. Como A é 3 × 3, A é diagonalizável, por um teo-rema. (Uma vez que você observe que os autovalores são distintos, você também poderia mencionarum teorema que diz que uma matriz n × n com n autovalores distintos é diagonalizável.)

4. a. v1 = , v

2 = , x

0 = . Para escrever x

0 na forma c

1v

1 + c

2v

2, escalone a matriz au-

mentada [v1 v

2 x

0] para encontrar c

1 = 5, c

2 = 3. Da decomposição em autovetores

x0 = 5v

1 + 3v

2, temos

b. Para valores grandes de k , xk é aproximadamente igual a 5(1,05)k v

1. O autovalor λ = 1,05 nos

diz que, para valores grandes de k , ambas as populações de falcões e de ratos aumentam porum fator de 1,05 (ou seja, cerca de 5%) a cada ano. O autovetor correspondente v1 nos diz que,

para valores grandes de k , há cerca de 2 (mil) ratos vivendo para cada falcão.5. Seja A a matriz de coecientes. O problema implica A ser uma matriz 8 × 10 com um espaço nulo

tridimensional. Logo, apenas 7 das 10 colunas conterá uma posição de pivô. Portanto, uma formaescalonada de A terá 7 linhas não nulas. Então são necessárias somente 7 equações homogêneas

para determinar o conjunto solução. (Você também pode usar o Teorema do Posto para parte doargumento.)

6. a. Uma solução de mínimos quadráticos de Ax = b é um vetor x que torna Ax o mais próximo

possível de b (ou: um vetor x que minimiza || Ax – b||).

b. Nul A = {0}, dim Col A = n, posto A = n, 0 não é um autovalor de A.

em que

em queLogo e

Autovalor Autovetor:



SOLUÇÃO DA PROVA FINAL – C

1. A segunda matriz mostra que as colunas pivôs de A são 1, 3 e 5, de modo que uma base para Col A é formada pelas colunas 1, 3 e 5 de A. A dimensão é 3. Uma base para Lin A consiste nas linhasnão nulas de B. Veja a Seção 4.1 para a denição de subespaço.

c. A forma quadrática xT Ax não é positiva denida porque nem todos os autovalores são positivos.

d. O vetor unitário que maximiza xT Ax é . O valor máximo é 9.

3. Os autovalores de A estão na diagonal, já que A é uma matriz triangular. Esses autovalores são

todos distintos, logo, por um teorema, A é diagonalizável.4. a. A equação Ax = b pode ser escrita como x

1a

1 +⋯ + x

na

n = b. Essa equação vetorial tem solução

se e somente se b for uma combinação linear das colunas de A, ou seja, se e somente se b per-tencer ao espaço coluna de A.

b. Se Ax = b tiver solução para todo b, então toda forma escalonada de A terá um pivô em cadalinha.

6. a. Um plano contendo a origem.

7. a. x = C x + d, em que x é o vetor de produção, d é a demanda do setor aberto e C é a matriz de

consumo.

8. Para escrever x0 = c

1v

1 + c

2v

2 escalone . Logo, x

0 =

3v1 + 2v

2. Como v

1 e v

2 são autovetores de A,

a. No longo prazo, x

k se aproximará de um múltiplo de v

1, x

k ≈ 3(1,2)k v

1 e x

k +1 ≈ 1,2x

k . Então, no

longo prazo, ambas as populações de predador e de presa crescerão por um fator de 1,2 a cadaano (cerca de 20% ao ano) e a razão entre lobos e ratos (em milhares) estará na mesma razão,4 para 3, que as coordenadas de v1.



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Revisão e Provas David Lay