INFERENSI STATISTIKAINFERENSI STATISTIKAINFERENSI STATISTIKAINFERENSI STATISTIKADISTRIBUSI SAMPEL

MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial

PENAKSIRANUJI HIPOTESIS

MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial6 September 2012

Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI SAMPELDISTRIBUSI SAMPEL

2

Beberapa definisiBeberapa definisiBeberapa definisiBeberapa definisi Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang

j di h i menjadi perhatian. Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi. Misalkanlah X X X merupakan n peubah acak bebas Misalkanlah X1, X2, ..., Xn merupakan n peubah acak bebas

yang masing-masing berdistribusi peluang f(x). X1, X2, ..., Xndidefinisikan sebagai sampel acak ukuran n dari populasi f(x) dan distribusi peluang gabungannya sebagai,

f(x1, x2, ..., xn) = f(x1), f(x2), ..., f(xn) Setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu Setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu

sampel acak disebut statistik. Contoh statistik : rataan sampel ( ) , variansi sampel Xp ( ) p

(S2), ...

Rataan dan Variansi SampelRataan dan Variansi SampelRataan dan Variansi SampelRataan dan Variansi Sampel Bila X1, X2, ..., Xn merupakan suatu sampel acak ukuran n,

k l di k l h i ikmaka rataan sampel dinyatakan oleh statistik,1 n

iX Xn

dan variansi sampel oleh statistik,

1in

21 1

n n n

2 2 2

1 1 1

1 1( )1 1

i i ii i i

S X X n x xn n n

Simpangan baku sampel dinyatakan dengan Sdidefinisikan sebagai akar positif variansi sampel.

Distribusi sampelDistribusi sampelDistribusi sampelDistribusi sampel

Distribusi peluang suatu statistik disebut p gdistribusi sampel.

Simpangan baku distribusi sampel suatu S pa ga ba u st bus sa pe suatu statistik disebut galat baku dari statistik tersebut.

Distribusi sampel dari rataan,Distribusi sampel dari rataan,XDistribusi sampel dari rataan,Distribusi sampel dari rataan, Misalkan sampel acak berukuran n diambil dari populasi

l d d 2

X

normal dengan rataan dan variansi 2. tiap pengamatan Xi, i = 1, 2, ..., n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama dengan populasiy g g p pyang diambil sampelnya.

1 1n nE X E X E X

1 1

11 1...

i ii i

n

E X E X E Xn n

E X E X nn n

n n

21 1

1 1n n

i ii i

Var X Var X Var Xn n

1 1

22

12 21 1...

i i

n

n n

Var X Var X nnn n

Teorema Limit PusatTeorema Limit PusatTeorema Limit PusatTeorema Limit Pusat Bila rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari

l d d 2 b h X

populasi dengan rataan dan variansi 2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi,

X

bila n , ialah distribusi normal baku N(0,1)./XZ

n

Distribusi sampel dari selisih dua Distribusi sampel dari selisih dua rataan,rataan,

Bila sampel bebas ukuran n1 dan n2 diambil secara acak d i d l i di k i k i i i

1 2X X

dari dua populasi, diskrit maupun kontinu, masing-masing dengan rataan 1 dan 2 dan variansi 1

2 dan 22, maka

distribusi sampel dari selisih rataan, , berdistribusi 1 2X Xphampir normal dengan rataan dan variansi berturut-turut adalah,

d 2 2

2 1 2 dan sehingga,

1 2 1 2X X 1 2

2 1 2

1 2X X n n

1 2 1 2X XZ

2 21 2

1 2

Z

n n

Secara hampiran merupakan peubah normal baku.

Distribusi sampel dari (Distribusi sampel dari (nn--1)1)SS22//22Distribusi sampel dari (Distribusi sampel dari (nn 1)1)SS //

Bila S2 variansi sampel acak ukuran npdiambil dari populasi normal dengan variansi 2, maka statistik

22

2

1X

n S

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan = n 1

kebebasan = n-1.

Distribusi Distribusi -- ttDistribusi Distribusi tt Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah

acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Zdan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

ZTdiberikan oleh,

TV

1 2

1 221 21 ,

2th t t

Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat kebebasan .

Distribusi Distribusi FFDistribusi Distribusi FF Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-

i b di ib i khi k d d d j masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,

1UF

Diberikan oleh,

1

2

FV

1 1

1 2

2 2 11 2 1 2

21 2 1 2

2, 0

2 2 1 2

fh f f

f

Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan dan

1 2 1 2

derajat kebebasan 1 dan 2.

SkemaSkema PenaksiranPenaksiran & Uji Hipotesis& Uji Hipotesis

µσ2 diketahui

σ2 tidak diketahui Distribusi t

σ21 POPULASI

2 POPULASI BERPASANGAN

σ tidak diketahui Distribusi t

Tabel2

1n Distribusi normal baku, z

POPULASI σ12 , σ2

2 diketahui

p Distribusi Binomial

POPULASI σ1 , σ2 diketahui

σ12 = σ2

2 , tidak diketahui

σ12 ≠ σ2

2 , tidak diketahui2 POPULASI

µ Distribusi t

POPULASI

Tabel1 2,v vFσ2 Distribusi

normal baku, z12 p Distribusi Binomial

PENAKSIRAN (ESTIMASI)PENAKSIRAN (ESTIMASI)

13

Metode PenaksiranMetode PenaksiranMetode PenaksiranMetode Penaksiran

Penaksiran Titik1

Penaksiran 2

Penaksiran Titik gSelang

Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d

Nilai sesungguhnya dari suatub d di lmelalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.

Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah MAxx, ketika di

Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut

awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul MAxx adalah B.

mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB

Nilai : B = 3 IP : AB = [3.5, 4]

14

a : 3 : [3.5, ]

IlustrasiIlustrasi

P r m t r P pul siParameter Populasi

σ2µ

Populasi

Sampelσ2µ

menaksir

? ?titik?? selang??

Parameter Sampel

? ?

Parameter sampel menaksir parameter populasi

m mp

15

PenaksiranPenaksiran TitikTitik

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran

16

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksirantitik disebut penaksir atau fungsi keputusan.

X22 s

X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi dan 2?

PenaksirPenaksir TakbiasTakbias dandan Paling Paling EfisienEfisien

Definisi17

Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,

]ˆ[ˆ E

Dari semua penaksir takbias yang mungkindibuat, penaksir yang memberikan variansiterkecil disebut penaksir yang paling efisienterkecil disebut penaksir yang paling efisien

2ˆ

2ˆ

21

PenaksirPenaksir TakTak Bias Bias untukuntuk dan dan 22

Misalkan peubah acak X ~ N( 2) 18

Misalkan peubah acak X N(, ) penaksir tak bias untuk .

n

iiX

nX

1

1

penaksir takbias untuk 2.

i 1

n

i XXs 22

11 p

iin 11

Bukti : dengan menunjukkan bahwa,

][XE22 ][ sE ][ sE

PenaksiranPenaksiran SelangSelanggg19

Taksiran selang suatu parameter populasi :

2 2121

ˆˆ

1

g p p p

dan : nilai dari peubah acak dan

dan dicari sehingga memenuhi : 1 2 1ˆˆP

2 211 p

121P

taraf/koefisien keberartiandengan 0 < < 1.

taraf/koefisien keberartian

21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang

berdasarkan sampel acak berdasarkan sampel acak.

KurvaKurva Normal Baku Normal Baku (Z~N(0,1))(Z~N(0,1))menghitungmenghitung tabeltabel zz

1 -

/2/2 P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)

= 0

1

z1-/2-z1-/2

(1-/2)

= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975

20

dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.

KurvaKurva tt--Student Student ((T~T~ttvv))menghitungmenghitung tabeltabel tt

/2/2

1 -

/2/2 P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)

= 0

1

t/2-t/2

= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025

d t t 2 262

21

dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk gg p yp y (( )) Kasus 1 populasi, 2 diketahui

22

1

21

21

zZzP

TLP : )1,0(~/

NZn

X

1

21

21 n

zXn

zXP

zXzX

SK (1-) untuk jika 2 diketahui :

nn

21

21

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk

Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui

23

1

22

tTtP

1~/ n

X ts n

2 2

1s sP X t X tn n

s sX t X t

SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :

2 2

X t X tn n

Contoh 1Contoh 1Contoh 1Contoh 1

Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.D k t f k b ti 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

24

Contoh 2Contoh 2Contoh 2Contoh 2

Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan b k 10 j D k t fbaku 10 jam. Dengan menggunakan tarafkeberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengancontoh 2?contoh 2?

25

AnalisisAnalisis ContohContoh26

Contoh 1 Contoh 2Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10 55X 55X

Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)

Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2

diketahui,kasus menaksir dengan 2

tidak diketahui,

Jawab : z1 /2 = z0 99 = 2,33 t/2;n 1 = t0 01;49 = 2,326Jawab : z1-/2 z0,99 2,33 t/2;n-1 t0,01;49 2,326

nzX

nzX

11

nStX

nStX

22

nn 22 nn 22

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk 11-- 22KasusKasus 2 2 populasipopulasiKasusKasus 2 2 populasipopulasi

27

X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2

2)

1. SK (1-) untuk (1 - 2) jika 12 dan 2

2 diketahui

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 21 2 1 2

( ) ( )X X Z X X Zn n n n

1 2 1 2n n n n

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk 11-- 22

KasusKasus 2 2 populasipopulasi28

2. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2

2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 2 1 2

( ) ( ) s s s sX X t X X tn n n n

22 21 2s s

1 22 2 2 21 1 2 2

dimana ( / ) ( / )

1 1

n ns n s nn n

1 21 1n n

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk 11-- 22

3 SK (1-) untuk (1 2) jika 12 2

2 tidak diketahui dan 12 = 2

2

KasusKasus 2 2 populasipopulasi29

3. SK (1-) untuk (1-2) jika 1 , 2 tidak diketahui dan 1 2

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s 1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

( ) ( )p pn n n n

2 22 1 1 2 2( 1) ( 1)dimana

n S n SS dan v = n1 + n2 - 21 2

dimana 2

pS

n n

1 1 2 22 2

2 21 1 1 2 2 2

n n n n

X X n X X n

dan v n1 n2 2

1 1 2 2

1 1 1 12

1 2

atau 2

p

X X X X

Sn n

JK JK

1 2 2

n n

PengamatanPengamatan BerpasanganBerpasanganPengamatanPengamatan BerpasanganBerpasangan

Ciri ciri:Ciri-ciri: Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang

pengamatanp g Data berasal dari satu populasi yang sama

hContoh Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan

20002000 Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)

beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia

30

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk ddSelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1 ) ) untukuntuk dd

SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan dSK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan dan simpangan baku Sd :

s s

d

1; 1;2 2

d dn D n

s sd t d tn n

21 ddimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.

d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.

31

KurvaKurva khikhi kuadratkuadrat (x(x~ ~ ))menghitungmenghitung tabeltabel

2v2menghitungmenghitung tabeltabel

/2 /2

/2

1

12

2

22

21

XP

0 2

2

2

21

1 -

22

023,1929;025,0

2

1,2

n = 5% dan n =10 maka,

32

7,229;975,0

2

1,2

1

n

KurvaKurva fisher (Ffisher (F~ ~ ))menghitungmenghitung tabeltabel FF

21,vvFmenghitungmenghitung tabeltabel FF

/2 /2

/2

1

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

1,1;1,1;

21

12

21

1

nnnn f

f

0

2f

21

f

1 - 1,1;2 12 nn

22

36,48,9;025,01,1;2 21

ffnn = 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan

111

33

24,01,4

111

9,8;975,01,1;2

1,1;2

112

21

fff

nnnn

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk σσ22

Kasus 1 populasi34

12

2

22

21

XP

2 2( 1) ( 1)

22 2

12

( 1) ~ nn sX

2 22

2 2/2 1 /2

( 1) ( 1) 1n s n sP

2

2 22

2 2

( 1) ( 1)n s n s

SK (1 - ) 100% untuk 2 :

2 2

( 1); ( 1);12 2

n n

SelangSelang KepercayaanKepercayaan (1(1--) ) untukuntuk 112 2 //22

22

Kasus 2 populasi35

2 22 1sF f

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

1 2

2 12 2 , ,1 2 2

~v v

sF fs

2 2 21s s

SK (1 ) 100% t k 2 / 2

2 1

1 2

1 1 12 2 2 ; ,2 2 2 2; ,

2

1 1v v

v v

s sP fs f s

SK (1 - ) 100% untuk 12 /2

2 :2 2 21 1 12 2 2 ;

1v v

s s fs f s

2 1

1 2

; ,2 2 2 2; ,

2

v vv v

s f s

UJI HIPOTESISUJI HIPOTESIS

36

PengertianPengertianPengertianPengertian

Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu

l i l bih l di jipopulasi atau lebih yang perlu diujikebenarannya

1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandungtanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

d ( ) d h2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <.

37

GalatGalat ((errorerror))GalatGalat ((errorerror))

H0 benar H0 salah

d l k P(menolak H0 | H0 benar)H0 ditolak P(menolak H0 | H0 benar)= galat tipe I = α keputusan benar

( d k l k |H0 tidak ditolak keputusan benar

P(tidak menolak H0 | H0salah)

= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini

38

bahasan ini

SkemaSkema UmumUmum UjiUji HipotesisHipotesisSkemaSkema UmumUmum UjiUji HipotesisHipotesis

H

•Hipotesis yang ingin diuji•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)•Dapat berupa

Hipotesis Statistik

H0p p

- hasil penelitian sebelumnya- informasi dari buku atau- hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikanH1

Hipotesis yang ingin dibuktikan•Disebut juga hipotesis alternatif•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)???

mungkin terjadiKeputusan

H0 ditolak H0 tidak ditolak

Kesalahan

Tipe I Tipe II

g j

H0 ditolak H0 tidak ditolak

Kesimpulan Kesimpulan

Tipe I

Menolak H0 padahal H0 benar

P(tipe I) = α= tingkat signifikansi

Tipe IIMenerima H0 padahal

H0 salahP(tipe I) = β

39

H1 benar Tidak cukupbukti untukmenolak H0

g g

StatistikStatistik UjiUji dandan TitikTitik KritisKritisjj

Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistikyang telah dirumuskan Notasinya berpadanan denganyang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan denganjenis distribusi yang digunakan.

Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaanH Di l h d i t b l t ti tik b k tH0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

daerah daerah penerimaan H daerah daerahdaerah

1 -

kritis = /2

titik

penerimaan H0

titik 0

titik

1 -

daerah penerimaan H0

daerahkritiskritis = /2

40

titik kritis

titik kritis

titik kritis

diperoleh dari tabel statistik

UjiUji RataanRataan SatuSatu PopulasiPopulasiUjiUji RataanRataan SatuSatu PopulasiPopulasi

1. H0 : = 0 vs H1 : 0

uji dua arah

0 0 0 2. H0 : = 0 vs H1 : > 0 3 H H <3. H0 : = 0 vs H1 : < 0

uji satu arah

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

41

StatistikStatistik UjiUji untukuntuk RataanRataanSatuSatu PopulasiPopulasiSatuSatu PopulasiPopulasi

1. Kasus σ2 diketahui

0XZ N(0 1)0

/Z

n

~ N(0,1) Tabel Z (normal baku)

X2. Kasus σ2 tidak diketahui

0

/

XTs n

~ t(n-1) Tabel t

42

/s n

Daerah Daerah KritisKritis UjiUji RataanRataanSatuSatu PopulasiPopulasipp

σ2 diketahui σ2 tidak diketahuiStatistikStatistik ujiuji :: ZZ TTStatistikStatistik ujiuji :: ZZ TT

H0 : = 0 vs H1 : 0 Z < - Z1-α/2 atau Z > Z1-α/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2

H0 : = 0 vs H1 : > 0 Z > Z1-α T > Tα

H0 : = 0 vs H1 : < 0 Z < - Z1-α T < - Tα

n titik kritis dengan

derajat kebebasan n - 1

43

UjiUji RataanRataan DuaDua PopulasiPopulasiUjiUji RataanRataan DuaDua PopulasiPopulasi

uji dua arah

1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

j

2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0 0 1 2 0 1 1 2 0 uji satu arah

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

44

StatistikStatistik UjiUji untukuntuk RataanRataanDuaDua PopulasiPopulasiDuaDua PopulasiPopulasi

1. Kasus σ12 dan σ22 diketahui

1 2 0X X μ 1 2 0H 2 2

1 2

1 2

μZ =

σ σn n

2. Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ22

1 2 0H 2 2

X X μT =

H 2 2

1 2

1 2

S Sn n

3 Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ223. Kasus σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 = σ2

1 2 0H

X X μT =

1 1S

dengan

2 22 1 1 2 2p

1 2

(n 1)S (n 1)SS =n n 2

45

p1 2

1 1Sn n

1 2

Daerah Daerah KritisKritis UjiUji RataanRataanDuaDua PopulasiPopulasiDuaDua PopulasiPopulasi

σ12, σ2

2

diketahuiσ1

2, σ22 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ12 = σ2

2 σ12 ≠ σ2

2

Derajat Kebebasan n1 + n2 - 2

22 21 2

1 22 22 2

S Sn n

v =S S1 1

j 1 2

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2

T < - Tα/2 atau T > Tα/2

T < - Tα/2 atauT > Tα/2

2 21 2

1 1 2 2

S S1 1(n 1) n (n 1) n

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

Z > Zα T > Tα T > Tα

H0 : 1 - 2 = 0 vs Z < Z T < T T < T

46

H1 : 1 - 2 < 0Z < - Zα T < - Tα T < - Tα

UjiUji untukuntuk RataanRataan BerpasanganBerpasangan

1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0

2 H : = vs H : > 2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0

3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0

Statistik uji menyerupai statistik untukkasus satu populasi dengan variansip p gtidak diketahui.

0 ;/

D μT =S n

47

/dS n

ContohContoh 11ContohContoh 11

Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan p j j ( glama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata i k h h j d l h d l h 71 8 tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm

dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata rata tingkat curah literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm.a Nyatakan dugaan tersebut dalam a. Nyatakan dugaan tersebut dalam

pernyataan hipotesis statistikb. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah

48

b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah pernyataan literatur tersebut?

SolusiSolusiSolusiSolusiDiketahuiDitanya: X 71 8 s 8 90 70, 0 05 Ditanya:a. Hipotesis statistikb. Kesimpulan uji hipotesis

X 71.8, s 8.9,0 70, 0,05

b. es pu a uj potes sJawab:Parameter yang akan diuji : μy g j μa. Rumusan hipotesis: H0: μ = 70H1: μ > 70b. Kesimpulan???

49

ContohContoh 11--modifikasi 1modifikasi 1ContohContoh 11 modifikasi 1modifikasi 1

Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan p j j ( glama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata i k h h j d l h d l h 71 8 tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm

dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata rata tingkat curah literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak lebih dari 70 mm.a. Nyatakan dugaan tersebut dalam

pernyataan hipotesis statistik

50

p y pRumusan hipotesis akan sama dengan Contoh 1.

ContohContoh 11--modifikasi 2modifikasi 2ContohContoh 11 modifikasi 2modifikasi 2Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak kurang dari 70 mmdari 70 mm.a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan

hipotesis statistikpRumusan hipotesis akan berbeda dengan Contoh 1,

menjadi:

51

H0: μ 70H1: μ < 70

ContohContoh 22ContohContoh 22Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan

di kib k l h k d i d b h dil i i yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiappotong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potongp g p g p p gbahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamatidalamnya keausan. S l b h 1 b ik t t k ( d hSampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudahdisandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausansebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata rata keausan bahan 2

52

rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusihampir normal dengan variansi yang sama.

Solusi Solusi Solusi Solusi Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakanrata rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2 rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahanadalah sama. Rumusan hipotesis yang diujiadalah:adalah:H0 : μ1 - μ2 2H1 : μ1 - μ2 > 2

53

ContohContoh 22 –– modifikasi 1modifikasi 1ContohContoh 22 modifikasi 1modifikasi 1Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkanoleh gosokan dari dua bahan yang dilapisi Dua belas potong bahan 1 diujioleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diujidengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluhpotong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnyakeausan. keausan.

Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5 memberikan rata rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5.

Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausanbahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 sebesar dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

Rumusan hipotesis menjadi :H : μ μ = 2

54

H0 : μ1 - μ2 = 2H1 : μ1 - μ2 2

ContohContoh 3 (data 3 (data berpasanganberpasangan))ContohContoh 3 (data 3 (data berpasanganberpasangan)) Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa

h b i l h li h d k dpengaruh obat succinylcholine terhadap kadarperedaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebasp y g pdiambil melalui urat nadi leher segera setelahsuccinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusak di di bil l i d h ki ki 30 kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusatersebut dilepaskan. Kadar androgen padap g pwaktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukurdalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut

55

Data terdapat pada tabel berikut

No. Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik

Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik

Selisih (di)

1 2 76 7 02 4 26123

2.765.182.68

7.023.105.44

4.26-2.082.76

456

3.054.107 05

3.995.2110 26

0.941.113 216

78

7.056.604.79

10.2613.9118.53

3.217.3113.74

91011

7.397.3011 78

7.914.8511 10

0.52-2.450 6811

1213

11.783.9026.00

11.103.7494.03

-0.68-0.1668.03

1415

67.4817.04

94.0341.70

26.5524.66 56

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikanAnggap populasi androden sesaat setelah suntikandan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah,pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasip g , pandrogen berubah setelah ditunggu 30 menit.

57

SolusiSolusiSolusiSolusiIni adalah data berpasangan karena masing-masing unit

b ( ) l h d k l kpercobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran

Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata Misalkan μ1 dan μ2 masing masing menyatakan rata rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 01 μ1 μ2 μD μ1 μ2

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05

58

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu PopulasiPopulasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk

kasus variansi satu populasi adalah

2 2 2 21 H H 2 2 2 20 0 1 01. H : = vs H :

2 2 2 20 0 1 02. H : vs H :

2 2 2 20 0 1 03. H : vs H :

Dengan 02 menyatakan suatu konstanta

mengenai variansi yang diketahui.

59

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketigahipotesis di atas adalah :

22 ( 1)n s

Jika H benar maka statistik uji tersebut

20

Jika H0 benar, maka statistik uji tersebutberdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1.

60

Untuk hipotesis , l k d k k b k

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : 2 2 2 2

1 ( 1) ( 1) atau

n n

Untuk hipotesis , tolak H pada tingkat keberartian α jika

1 ,( 1) ,( 1)2 2

n n

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

tolak H0 pada tingkat keberartian α jika2 2

1 ,( 1)n nilai dari tabel

distribusi chi-square dengan derajatk b b

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

kebebasan n - 1

61

tolak H0 pada tingkat keberartian α jika2 2

,( 1)n

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua PopulasiPopulasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya

untuk uji hipotesis mengenai ariansi untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,

2 2 2 21 H : vs H : 0 1 2 1 1 21. H : vs H : 2 2 2 2

0 1 2 1 1 22. H : vs H :

D 2 d 2 i i

2 2 2 20 1 2 1 1 23. H : vs H :

Dengan σ12 dan σ2

2 masing-masingadalah variansi populasi ke-1 danvariansi populasi ke-2

62

variansi populasi ke 2

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketigahipotesis di atas adalah,

21sF

Jik H b i ik ji b b di ib i

122

Fs

Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusiFisher dengan derajat kebebasan,v = n – 1 dan v2 = n2 – 2 v1 = n1 1 dan v2 = n2 2

63

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H : p 0 p g

keberartian α jika : 0 1 2 1 1 2

1 2 1 21 ,( , ) ,( , ) atau

v v v vF f F f

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkatkeberartian α jika :

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

v v v v

2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H :

Untuk hipotesis tolak H pada tingkat

1 21 ,( , )v vF f

2 2 2 2H : vs H : Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkatkeberartian α jika :

0 1 2 1 1 2H : vs H :

1 2( )v vF f 1 2,( , )v vf

1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) / 2,( , ) 1 / 2,( , ), , , dan v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilai

dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v1 dan v2

64

Contoh 4Contoh 4Contoh 4Contoh 4

Suatu perusahaan baterai mobil pmenyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan p gsimpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut pmenghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > p j0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!

65

SolusiSolusiSolusiSolusiH0 : σ2 = 0.81H1 : σ2 > 0.811α = 0.05

Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2S kStatistik uji

22

20

( 1) (9)(1.44) 160.81

n s

Titik kritis adalah2 2

, 1 0.05,9 16.919 n 2 2

Karena , maka H0 tidak ditolak. Simpulkanbahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi0.9

2 20.05,9

66

Contoh 5Contoh 5Contoh 5Contoh 5

Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh p g j2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0 10Gunakan taraf keberartian 0.10.

67

Solusi Solusi Solusi Solusi

Misalkan σ12 dan σ2

2 adalah variansi populasi1 2 p pdari masing-masing keausan bahan 1 danbahan 2. rumusan hipotesis yang akan diujiadalahadalahH0: σ1

2 = σ22

H1: σ12 ≠ σ2

21 1 ≠ 2

α = 0.10

68

Statistik uji f = s12/ s2

2 = 16 / 25 = 0.64

H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau

v v v v

f f f f

α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 20.95,(11.9)1 ,( , )

2

0.34

v v

f fdan

1 20.05,(11.9),( , )

2

3.11 v v

f f

f f fKarena , maka jangan tolak H0.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwai i b b d

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

v v v vf f f

69

variansinya berbeda.

RReferensieferensiRReferensieferensi

Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and pAnalysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.Wild C J d S b G A F Ch E t A fi t Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.y

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , g , J yHall, 2007.

70