Upload
zakkou
View
1.060
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
مـــلخــص الــــــــــذوال الـــــــــــــعـذديـــت إشارة كثير حذود من الذرجت االولى او من الذرجت الثانيت
𝑎𝑥إشاسج انؼثاسج + 𝑏 حم انؼادنح 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 جذ 0 = −𝑏
𝑎 ي نذا
اإلشاسج
𝑎𝑥2حم يؼادنح ي انذسجح انثاح إشاسج انؼثاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐
=∆: حث ∆حغة انض 𝑏2 − 4𝑎𝑐
>∆إرا كا =∆إرا كا 0 <∆إرا كا 0 0انؼادنح ال ذمثم حهل
𝑎𝑥2 إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥2 :نذا + 𝑏𝑥 + 𝑐ال مثم ذحهم
∞ +∞- x
𝑎 𝑎𝑥2 فظ إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥انؼادنح ذمثم حم يضاػف = −𝑏
2𝑎
𝑎𝑥2إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐
:نذا
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
∞ + −𝑏
2𝑎 ∞- x
𝑎 𝑎𝑥2 فظ إشاسج 𝑎 فظ إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐
: انؼادنح ذمثم حال يراضا ا
𝑥1 =−𝑏+ ∆
2 𝑥2 =
−𝑏− ∆
2𝑎 إشاسج
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥1: تفشض < 𝑥2
:نذا
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
∞ + 𝑥2 𝑥1 ∞- x
فظ إشاسج
𝑎
ػكظ
𝑎 إشاسج
فظ إشاسج
𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
= 𝑓 𝑥 ذكرة ي انشكم 𝑓 𝑥انؼثاسج - 𝑥 − 𝑎 𝑔 𝑥 ؼ أ 𝑔 𝑥 حاصم انمغح اإللهذح نـ 𝑓 𝑥 ػهى
𝑥 − 𝑎
- 𝑓 𝑎 = = 𝑓 𝑥ي انشكم 𝑓 𝑥 ؼ أ ك كراتح 0 𝑥 − 𝑎 𝑔 𝑥 حث 𝑔 𝑥 حاصم انمغح اإللهذح نـ
𝑓 𝑥 ػهى 𝑥 − 𝑎
𝑓 دانح صجح ػهى I ℝ ؼ أ :( 𝑥 ∈ 𝐼, −𝑥 ∈ 𝐼 ) 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑓 دانح فشدح ػهى I ℝ ؼ أ :( 𝑥 ∈ 𝐼, −𝑥 ∈ 𝐼 ) 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
دساعح شفؼح انذانح ؼ دساعح إرا كاد صجح أو فشدح
:مركز التناظر ومحور التناظر
, 𝐴 𝑎انمغح - 𝑏 يشكض ذاظش نـ 𝐶𝑓 ؼ أ 𝑓 2𝑎 − 𝑥 + 𝑓 𝑥 = 2𝑏أ𝑓 𝑎 − 𝑥 + 𝑓 𝑎 + 𝑥 = 2𝑏
𝑥انغرمى رانؼادنح - = 𝑎 يحس ذاظش نـ 𝐶𝑓 ؼ أ𝑓 2𝑎 − 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎أ0 − 𝑥 − 𝑓 𝑎 + 𝑥 = 0
التقاطع مع المحاور
= 𝑓 𝑥 يغ يحس انفاصم كف حم انؼادنح 𝐶𝑓 نرحذذ ذماعغ - حهل انؼادنح فاصم ز انمظ انرشاذة 0
يؼذيح
,0 إ جذخ ذك حا مغح انرماعغ راخ اإلحذاثاخ 𝑓 0حغة نرحذذ مظ انرماعغ يغ يحس انرشاذة - 𝑓 0
:نقطت االنعطاف
- 𝑓′′ ( انشرمح انثاح نـ𝑓) ذؼذو ػذ𝑎 يغشج إشاسذا ؼ ا انمغح 𝐴 𝑎 , 𝑓 𝑎 مغح إؼغاف نـ 𝐶𝑓
, 𝐴 𝑎 نى ذغش إشاسذا فانمغح 𝑎إرا اؼذيد انشرمح األنى ػذ - 𝑓 𝑎 مغح إؼغاف نـ 𝐶𝑓 ششط كاف غش الصو ،
: 𝑪𝒇 نقط من
, 𝐴 𝑎انمغح - 𝑏 ذر إنى 𝐶𝑓 ؼ أ 𝑓 𝑎 = 𝑏
, 𝐴 𝑎انمغح - 𝑏 رسج نـ 𝐶𝑓 ؼ أ 𝑓 𝑎 = 𝑏 𝑓 𝑎 = 0
8من1
∞ + −𝑏
𝑎 ∞- x
𝑎 𝑎𝑥 ػكظ إشاسج 𝑎 0 فظ إشاسج + 𝑏
:المستقيماث المقاربت
- lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝑏أ lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 𝑏 ؼ أ انغرمى ر انؼادنح𝑦 = 𝑏 يماسب نـ 𝐶𝑓 ياصي نحس
ػهى انرشذة∞− ا ∞+انفاصم ػذ
- lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎 أ∞+ 𝑓 𝑥 = 𝑥 ؼ أ انغرمى ر انؼادنح ∞− = 𝑎 يماسب نـ 𝐶𝑓 ياصي نحس
انرشاذة
- ∆ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐶𝑓 +∞−∞
lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
- 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑔 𝑥 a ≠ 0lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = أ 0
lim𝑥→−∞ 𝑔 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐶𝑓 +∞−∞
:الوضع النسبي لمنحني بياني ومستقيم
- 𝐶𝑓 ∆ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 𝐶𝑓 ∆
𝑥𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 𝐶𝑓 ∆
𝑥𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝐶𝑓 ∆
:الوضع النسبي لمنحنيين بيانيين
- 𝐶𝑓 𝐶𝑔 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 > 0 𝐶𝑓 𝐶𝑔
𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 < 0 𝐶𝑓 𝐶𝑔
𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0 𝐶𝑓 𝐶𝑔
:الحل البياني لمعادلت او متراجحت
= 𝑓 𝑥انحم انثا نهؼادنح - 𝑎 ؼ ذحذذ فاصم مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى األفم ر انؼادنح :𝑦 = 𝑎
< 𝑓 𝑥انحم انثا نهرشاجحح - 𝑎 ؼ ذحذذ انفاصم تحث 𝐶𝑓 فق انغرمى األفم ر انؼادنح :𝑦 = 𝑎
> 𝑓 𝑥انحم انثا نهرشاجحح - 𝑎 ؼ ذحذذ انفاصم تحث 𝐶𝑓 ذحد انغرمى األفم ر انؼادنح :𝑦 = 𝑎
= 𝑓 𝑥انحم انثا نهؼادنح - 𝑔 𝑥 ؼ ذحذذ فاصم ذماعغ 𝐶𝑓 يغ 𝐶𝑔
𝑦 يغ انغرمى ر انؼادنح 𝐶𝑓 فاصم ذماعغ - = 𝑎𝑥 + 𝑏 حهل انؼادنح 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
المناقشت البيانيت
= 𝑓 𝑥نالشح ػذد حهل انؼادنح - 𝑚 كف أ حذد ػذد مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى األفم ر انؼادنح 𝑦 = 𝑚 يغ
𝑚 رغش ف ℝ غى انحم يضاػفا ػذيا غاي 𝑚 غى حال حذاانشجع مغح امغح انضاح ذشذثح انزسج ػذ
= 𝑓 𝑥نالشح ػذد حهل انؼادنح - 𝑚 كف أ حذد ػذد مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى األفم ر انؼادنح
𝑦 = 𝑚 يغ 𝑚 رغش ف ℝ مصذ تـ 𝑚 ػثاسج تذالنح 𝑚 2− يثال𝑚 أ 𝑚
= 𝑚 نرجة انخغأ ا األحغ أ ضغ 𝛼 أي الش حهل انؼادنح 𝑓 𝑥 = 𝛼 تفظ عشمح 𝑓 𝑥 = 𝑚
𝛼فإرا كا يثال = −2𝑚 ( لها يثال𝛼 < 𝑚إرا كاد )فزا ؼ أ ( انؼادنح ذمثم حال يضاػفا حم آخش1 > −1
2
𝛼ال (انؼادنح ذمثم حم يضاػفا حم آخش < 2𝑚− ؼ ا 1 < 𝑚 تانران 1 > −1
2 ا إنى
8من2
> 𝑎 خاص انمح انغمح 𝑏 ؼ ا −𝑏 < 𝑎 < 𝑏
𝑎 = 𝑏 ؼ ا 𝑎 =– 𝑏 أ 𝑎 = 𝑏
𝑎 > 𝑏 ؼ ا 𝑎 > 𝑏𝑎 < −𝑏
= 𝑓 𝑥نالشح ػذد حهل انؼادنح - 𝑎𝑥 + 𝑚 كف أ حذد ػذد مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى انائم ر انؼادنح
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑚 يغ 𝑚 رغش ف ℝ ا إنى يا ه :
𝑦 يغرم يؼادنرا ػهى انرشذة ′∆ ∆ إرا كا = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑎′𝑥 + 𝑏′
ػهى انرشذة ′∆ ∆ يؼايه ذج انغرم ′𝑎 𝑎غى انؼذد -
ػهى انرشذة يغ يحس انرشاذة ′∆ ∆ ذشذثر ذما عغ ′𝑏 𝑏ثم انؼذد -
𝑎 يراصا إرا كا ′∆ ∆ ك - = 𝑎′
𝑎 يرؼايذا إرا كا ′∆ ∆ ك × 𝑎′ = −1
𝑏 إرا كا ′∆ ذحد ∆ يراصا فإ ′∆ ∆ إرا كا < 𝑏′ ( انؼكظ)
يغ يغرمى يائم ك زا انغرمى ياصا نغرمى يماسب 𝐶𝑓 فك انؼغاخ انغاتمح فإ ػادج ف حانح انالشح نرماعغ
تانغثح نهماسب ا نهاط حغة انحانح𝑏 تانمح 𝑚نهح ا ناط ػذ مغح ، ماس ف ز انحانح
𝑚إرا كا < 𝑏 فزا ؼ ا انغرمى انرحشن ترغش انـ 𝑚 ذحد انماسب أ اناط حغة انحانح ، حذد ف ز انحانح ػذد
𝑚انرماعؼاخ ارا كا > 𝑏 فزا ؼ ا انغرمى انرحشن ترغش انـ 𝑚 فق انماسب أ اناط حغة انحانح ، حذد ف ز
𝑚انحانح ػذد انرماعؼاخ إرا كا = 𝑏 فزا ؼ ا انغرمى انرحشن ترغش انـ 𝑚 غثك ػهى انماسب أ اناط حغة
انحانح ، حذد ف ز انحانح ػذد انرماعؼاخ
𝑚 اصي ياعا ػذ مغح غى انحم يضاػفا ػذيا 𝑚إرا كا انغرمى انرحشن ترغش انـ - = 𝑏 غى حال انزسج ػذ
حذا
∆ : ا نهرضح أكثش أخز يثال
= 𝑓 𝑥: انشعى انماتم نهذانح 𝑥2+2𝑥+3
𝑥+1 1 3
2 انغرم انظاش تانه األحش يراصا ا اناعا ػذ
يؼادنراا ػهى انرشذة– 2 0انمغرا راذا انفاصهرا
𝑦 = −𝑥 + 3 𝑦 = −𝑥 − 4 الحظ أ األل مغغ يحس ) 5
( - 5 انثا 3انرشاذة ػذ انمغح راخ انرشذثح
انغرماخ تانه األخضش ياصح نهغرم آف انزكش
1 𝑦 = −𝑥 + 5 5
5 4 𝑦 = −𝑥 − 4
𝑓 𝑥 = −𝑥 + 𝑚
𝑚 < −5 ∆′
∆′ 5
𝑚 = −5 ∆′
−5 < 𝑚 < 3 𝑚
𝑦 = −𝑥 + 𝑚 ∆ ∆′ 2 3 4
𝑚 = 3 ∆
𝑚 > 3 ∆′ 1
8من3
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑚 𝐶𝑓
𝑦 = 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑥 + 1
𝑚 < 1𝑚 > 1𝑚 ≠ 1
𝑚 = 1
-
𝑓 𝑔 𝑙lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = 𝑙lim𝑥→+∞ 𝑥 = 𝑙
𝑥𝑔 𝑥 < 𝑓 𝑥 < 𝑥 lim𝑥→+∞ 𝑥 = 𝑙
1𝑓 𝑔𝑙lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = +∞𝑥
𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = +∞
2𝑓 𝑔𝑙lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = −∞𝑥
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = −∞
𝑓𝐷𝑓𝑎𝐷𝑓 𝑓𝑎
𝑓𝑎𝑓 𝑎 𝑓𝑎lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠ℝ
1𝑓 , 𝑏 𝑘𝑓 𝑎 𝑓 𝑏
c 𝑎 𝑏𝑓 𝑥 = 𝑘
2 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑘
𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑎, 𝑏
𝑓𝐼 ℝ𝑎 𝑎 + 𝐼 ≠ 0
𝑓 𝑎𝑓 𝑎+ −𝑓 𝑎
0
𝑓 𝑎 𝑓′ 𝑎
𝑓′ 𝑎 = lim→0𝑓 𝑎+ −𝑓 𝑎
𝑓′ 𝑎 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎 𝑥 = 𝑎 +
𝑥𝐼𝐼
𝑓′ : 𝑥 → 𝑓′ 𝑥 𝑓
𝑓𝐼 ℝ 𝐶𝑓 𝑂; 𝑖 ; 𝑗
𝑓 𝑥0 𝐶𝑓 𝐴 𝑥0 , 𝑓 𝑥0
∆ 𝑓′ 𝑥0 𝑦 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − x0 + 𝑓 𝑥0
8من4
1lim𝑥
>→𝑎
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎= 𝑙lim
𝑥<→𝑎
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎= 𝑙′𝑙 ≠ 𝑙′𝑓 𝑎
𝐶𝑓 𝐴 𝑎 , 𝑓 𝑎 𝑙′𝑦 = 𝑙′ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎
𝑙𝑦 = 𝑙 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎 𝐴 𝐶𝑓
2lim𝑥
>→𝑎
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎= ∓∞lim
𝑥<→𝑎
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎= 𝑙′𝑓 𝑎
𝐶𝑓 𝐴 𝑎 , 𝑓 𝑎 𝑙′𝑦 = 𝑙′ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎
𝐴 𝐶𝑓
𝐶𝑓 𝐴
𝑓𝐼
𝑓𝐼 ℝ
𝑥𝐼𝑓′ 𝑥 > 0𝑓
𝑓𝐼
𝑥𝐼𝑓′ 𝑥 < 0𝑓
𝑓𝐼
𝑥𝐼𝑓′ 𝑥 = 0𝑓𝐼
𝑓 𝑔 𝐼 ℝ 𝑔𝑥𝐼
𝒙 → 𝒏𝒂𝒙𝒏−𝟏𝑥 → 𝑎𝑥𝑛𝑛𝑎
𝒇′ + 𝒈′𝑓 + 𝑔
𝒇′𝒈 + 𝒈′𝒇𝑓 × 𝑔𝒇′𝒈−𝒈′ 𝒇
𝒈𝟐
𝑓
𝑔−𝒂
𝒙+𝒃 𝟐𝑎
𝑥+𝑏
𝒏𝒇′𝒇𝒏−𝟏𝑓𝑛
𝒙 →𝒇′ 𝒙
𝟐 𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑓 𝑥 𝑓𝐼
𝒙 → −𝒔𝒊𝒏𝒙𝑥 → 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝒙 → 𝒄𝒐𝒔𝒙𝑥 → 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝒙 → −𝒇′ 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥
𝒙 → 𝒇′ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑠𝑖𝑛 𝑓 𝑥 𝒇′
𝒇𝑥 → 𝑙𝑛 𝑓 𝑥 𝑓𝐼
𝒙 → 𝒇′ 𝒙 𝒆𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑒𝑓 𝑥
𝑓 𝐼 ℝ𝑣
𝑢 𝐼 𝑣 ∘ 𝑢𝐼 𝑥𝐼 𝑣 ∘ 𝑢 ′ 𝑥 = 𝑢′ 𝑥 𝑣 ′ 𝑢 𝑥
8من5
1 𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 0𝑢𝐼R𝐽
𝑥𝑎𝑥 + 𝑏𝐼
𝑓: 𝑥 → 𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐽 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏
2 𝑥 → 𝑢 𝑥 𝑢𝐼 ℝ 𝐼 𝑢
𝐼 𝑢′
=𝑢 ′
2 𝑢
3 𝑥 → 𝑢 𝑥 𝑛
𝑛𝑛 ≥ 2 𝑢𝐼 ℝ
𝑢𝑛𝐼 𝑢 𝑛 ′ = 𝑛𝑢′𝑢𝑛−1
𝑓I 𝑓 𝑥𝐼ε
𝑥 + 𝐼 𝑓 𝑥 + = 𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 + 𝜀 lim→0 𝜀 = 0
0𝑓 𝑥 + ≈ 𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥 + 0 𝑓
𝑥 → 𝑥 + 1𝑥 1
2𝑥 + 1
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1𝑓′ 𝑥 =1
2 𝑥
𝑓 𝑥 + 1 ≈ 𝑓 1 + 𝑥𝑓′ 1 𝑥 𝑥1
𝑓′ 1 =1
2 𝑓 1 = 1𝑓 𝑥 + 1 = 1 + 𝑥
1
2 𝑥 + 1 ≈
1
2𝑥 + 1
𝑥 →1
2𝑥 + 1 𝑥 → 𝑥 + 1𝑥0
𝒂𝒃𝒄
= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 انمغح𝐴 𝑎 , 𝑏 ذر إنى 𝐶𝑓
= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = , 𝐴 𝑎انمغح 0 𝑏 رسج نـ 𝐶𝑓
= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = 0𝐴 𝑎 , 𝑏
= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = 𝛼𝐴 𝑎 , 𝑏 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽
= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 × 𝛼 = −1𝐴 𝑎 , 𝑏 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽
= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = 𝛼𝐴 𝑎 , 𝑏 𝛼
𝑦𝑓 𝑥 𝑦′𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 𝑥
𝛼𝑥 + 𝛽 + 𝑐
𝑥 𝑔 𝑥
𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
𝑥
𝛼𝑥 + 𝛽 + 𝑐
𝑥
1𝑎𝑦′ = 𝑎𝑦𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑥 = 𝑐𝑒𝑎𝑥 𝑐
8من6
2𝑎𝑦′ = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑥 = 𝑐𝑒𝑎𝑥 −𝑏
𝑎
1𝑐
1 𝑓 1 = 0
2𝑓 𝑓
𝑦𝑓 𝑥 𝑦′𝑓′ 𝑥
+ 𝑦: انؼادنح انرفاضهح ℝ ؼرثش ف 𝑦 = 𝑒−𝑥 ………… . 𝐸
= 𝑢 𝑥 : تانشكم ℝ انؼشفح ػهى 𝑢ذأكذ أ انذانح 𝑥𝑒−𝑥 𝐸 حم نهؼادنح
𝑢′ 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥
حال نؼادنح ذفاضهح𝑢 حرى ذك 𝑎 𝑏ػ
− 𝑦 : ؼرثش انؼادنح انرفاضهح :كمن 2𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 ………… 1.
= 𝑢 𝑥 : تانشكم ℝانذانح انؼشفح ػهى 𝑢ػذد حمما 𝑎 𝑏نك 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒𝑥 ػ،𝑎 𝑏 حرى ذك 𝑢 1 حال نهؼادنح = 𝑢′ 𝑥 :نذا 𝑎𝑒𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒𝑥 أي 𝑢′ 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏 𝑒𝑥
𝑢′ 𝑥 − 2𝑢 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑒𝑥 − 2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒𝑥
𝑢′ 𝑥 − 2𝑢 𝑥 = −𝑎𝑥 + 𝑎 − 𝑏 𝑒𝑥
𝑢 1 حال نهؼادنح𝑥 −𝑎 = 1
𝑎 − 𝑏 = 0 −𝑎𝑥 + 𝑎 − 𝑏
𝑥1 × 𝑥 + 1𝑎 = −1𝑎 = 𝑏𝑏 = −1
𝑓 𝑎 𝑓′ 𝑎 = lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎0
0
lim𝑥→𝑎𝑔 𝑥 −𝑔 𝑎
𝑥−𝑎 𝑔′ 𝑎 Sin
Cos
𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑐𝑥𝑔 0 = 𝑐𝑜𝑐0 = 1
𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥
lim𝑥→0𝑔 𝑥 −𝑔 0
𝑥−0𝑐𝑜𝑠 𝑔′ 0 0
lim𝑥→0𝑐𝑜𝑠𝑥 −1
𝑥= 0
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1𝑔 0 = 1 = 1
𝑔′ 𝑥 =1
2 𝑥+1
lim𝑥→0𝑔 𝑥 −𝑔 0
𝑥−0𝑔0 𝑔′ 0
1
2
lim𝑥→0 𝑥+1−1
𝑥=
1
2
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 + 3𝑥
𝑔 0 = 1 + 3 × 0 = 1
𝑔′ 𝑥 =1
2 𝑥+1+ 3lim𝑥→0
𝑔 𝑥 −𝑔 0
𝑥−0
𝑔0 𝑔′ 0 1
2+ 3 =
7
2
lim𝑥→0 𝑥+1−1+3𝑥
𝑥=
1
2
8من7
Sin𝜋
2𝜋
3 3
2
2𝜋
3𝜋
4
2
2
3𝜋
4𝜋
6
1
2
5𝜋
6
Cos 3
2
2
2
1
2−
3
2 −
2
2 −
1
2 π-cos
11𝜋
6
−1
2
7𝜋
67𝜋
4
− 2
2
5𝜋
45𝜋
3
− 3
2
4𝜋
3
−𝜋
2
-sin
8من8