RESISTENClA DE MATERlALES

B. 11. cnEO,nOCbEB

conPOT~BIIEH~EMATEPl1AJlOH

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V. l. FEODOSlEV

RESISTENCIA DE MATERIALES

EDlTORIA!. MIR

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Traducido del ru!iO porPedro Gulitrrez MoraCandidato a doctor en clendas ttcnlcas

Primera edicin 1972Primer. reimpresin 1980.Segunda reimpresin 1985Tercel1l reimpresin 1988

Ha lu:nahCJ(OM 1I3b1Ke

/mpff!KJ en la URSS

ISBN s.t13-OO11838 Clll1lduccin al e$paTiol, editorial Mir, 1980

lNDICE

lotroducctnI I.PI'Ilb~1IlQ Y m6t0d... d. b _bl,"",i. d. m'leriel.". 11I 2. SiltelIl...1 J 1ISq1ll'.' d. eleu.lo. l3J 3. Fuenu uUrl_ l.tlrlo_. 16J 4. T-.aioDlll. 2'2t ~. o.pl...m",,'OI J ....(o....clo-. 2.JI 6. Ley d. Hooke Y priDclplo de Nplrposlc~o de 1111 ruenu. Z&I 7. PtincipiOll ~el'Sl.. pat. el ~'Ie\llo d. 11;1$ ,lem,oIOl de lu

... truetUtU. 29

C.t.PITULO 1. T,_16ft 1 C'OlIlpr..I60.8. Fuen", iuterio"", y t~n~iones que lID dess.rrolllD ea lu lee-

clDollf Ir'llI~ersllles de unl b.rn eo h trlUi6n y w.mpresin. 32I 9. Alu1.mlento de l. blrrl r ley d, Hoo"'. 3~f 10. E"""Ile pO...."ci.1 d. l. defonnlcio. 41I t l. SlsltlllU esl.6liCll'Wm1l de .... rm.in.d ... (iMllUolitol) y .tllee

lDQl~ lodewrmioed. (hl,.mtf,Ucas. 431\2. Estado ....uion.l y de del_io en el caso d, Iraccin 1

coaprllll60. 47I 13. EIUlYO do teri.l., lBeeiH Y COlDPftSill. 511 U. Olqr'lDI ele tn.cein. :ilIi t~. '1ICUiam.n de Iu de'''"''''cio.-. 58I 16. Ptopied,dcs m""nieu .toei.l. del m'lIrl.l. Ut 17. Pluticid.d '1 fngilid.d. Dun.... 69f 18. lorluenci, d, la W'Dlperetur. '1 deL tiempo 00 1.. eet.clerll

ticu del m.W'ri'l. 72119. CotIllcl.nto do segurld.d. 78

CAPITULO JI. 71611.J W. O",UlImi'"10 (diatn

I ..diu

CUlMO lll. c.rw:lerllllcu e-'I1/eal1 1.. HIlCJ-.lU tr__....... la.....,...f~. WI)g'IIIOI estiticOI d. l. Mi6... tlllt 2&. MDID..,IOI d. 111_;" d. l. _6611. 118f 27. E}ts p'IRipl~ y 1Il0000'lll0l prlnepll. d. inereia. 121

CUlll1LD IV. nul6a.I 28. I"K""- H raen. lnt...i_ que .Urftll ... las te;...

ltun_1eI d. la Mm .. la n..l6u. 12112:9. T_iOtl. ca la llana -.ud flui611 ""... 13f,1XI. T"'ISi_ l ...~ d. l\ui6n tnOl.-t. 142f Sto BCUKioSudif"nftCial el. la 11_ olltlc.e d.l. vlp. Despl.....

mlelllos .. la lIuldCl. 151I U. ECll&

,1 ~3. OJ.~ circul d.t Ml.lIdo "'ll!IiOIl.I. ~154. ReeullIu d. los dlve~ tIpo'/:! de Ml.lIdd!l U1n110ll'let. 2601 M. &."do de delormeel6n. 26s156. Ley de Hooh eotrllllud. Eoellle pol.enehl ele lo clDfonue

d60 eo .1 cuu de UD eal.lldo uaa;ooel ubitnrlo. 268

U'lnll.. VII. fe""'... "'" Mtldea l..........n..f ~1. Cotol6lllllo d... tao.;. ele 1011 ella60s lumona.l. Hm.\tea.1M. Hip6t.is fuodem~IIt.l'"U 1011 Mt.ldO$ IImitM.I ~ll. T_I. el. 101 fIIIledot Ihllltp. Teorle de Wolor., eu eplkedO!!.

tAPlTIAO Il. TIllDI .. "Ie_ .._. y"'..., ,_ ,'re. e pan ..lecldU.160. Eeuaclonflll IUlldemaolelel pue el ~uo de un euerpo .JmlTl)

~>e

f '79. T_IOllN 7 dtl!!pb.nmlea~ ID 1011 ablL'lDas m!I ..lIupl.

c01lItltu5c1o. por baITU. CUlr>dO is~1I defOl'lllKi_p!.Utu. 378

J 80. Flui6tl .U.tko-pltka d. l. Hm.. 38418t. Ton161l. d. 1IR. bf,rP d.~ t.rllllu$1 tlrc.\lln ID el

cuo de oh'onaKlolI8I pllicu. 3111182. 'Wldam.lIlot del dlculo ae" .1 m'lodo d. 1.. ura_ 11-

mlt-.. ~t 83. f\UldllIUIIlIe d. l. teorla d. b. plullcldad. 4(JO

CAPlTIILO lIn. AIIlIl............1 ca.. d. t,.,ion..... n.l...r.rlca_'-,f 84. NoclDOQ IDbl"t b. .....ialeocla I l. I'III. 40S185. C,racle.htlcu Illodlment,18ll del deJo y Hm.!l. de .."i..

tellel l. f.llll" '12t 86. nnUlllcla de l. C d. ibftud.

R_ulC:ia. 'lISI lOS. O.c.llaeio_ dilt.emlll Cllll UriOl lrIId

t 107. O5G1l~_ lnnlI~_I" de l...'.. SIOt loe. MilodOll .pro...ldOllde d.tel'l:llillKl6n d.l" h..c:u_lu d.

las c:eeil.dOMS propia d. 101 .Ia~mu ~lUcOll. SI!t 10ll. N""'ro crlUul de ~1'011lCi0ll. del "bol. Wt HO. Resoll...cill p.~tMl.ric.e )" e.uloolcilKI-. 52St lit. c...u de i."'CIO, 529

e....'T\ILO ln .'IN per"""lat" " \lAo.llllCHol .. I0Il ..te4" tMllonAl,d ,.._ .....

Illl. EnlI.Yo d. 101 m.lut.l. y enu.yo de '" ..trotelur.,. !r3Gt H,t Oetermio.d6o de 1.. d~fOl1ll&c1oll.con 1.lltllmatl"Oll mee'

DiCO!. S38t 114, C.ptador1lll lOnIIOmtriCO! de r1llIl.IloDola, :144f liS. Mtodo 6ptlco de d.lermlnaci6n da 1.., lanllonOOl m*ianl,

modelOlf Ir.nsp.renlal, ~I I tG. Mtodo d. 1.. r..nlas d. mu.~, ~1117. Mtodo da loa ")'05 X d~ determlnacl6n dtl 1.. temlone!l. s:il,U8. Mtodo de rK'Obrilllieotlll wo barnll.. S62

SurtIdo d. K .... lamhu,do. SIl4lodlllll d. mawiu. !l78

IIIITRODUttlOIf

I ,. Probltmal y m"odol d. 11 resl,t.netade materiales

Todo" 1011 slidOll, en una u otro metlldl, tienen lll.'l propiedadesda r8ll1lteneia y rigidel, o se. que, dentro de eiertos limites son eapeees, ein rompeJ'l!e y lIin sufrir grandes \'IriaeloD. en tUl! dimenlionMgeom6triCllI, de NllIiltir euglt.

W resbtenci. de malerlalell ll!I la ciencia que trata de la resiltM-el. 'J de l. rigidez de 105 elementos de las astruetur8ll. Por 105 mtodOld. l. resilltenci. de l(lf m.teriales se rtlliun los eileulOlil prAetlUoS'J te determinan 1" dimensione!! necl'l!l8riu. IJtfU1YU, de lu piezasde mquinas y de dbllntOl5 tipos de estrueturu.

ws b.sm rundamentl.les de le resbteneia de materiales se epoYlnsobre los teoremas d. le mecniea genenl, /IObre todo de la esttica,sin conoeimien~o de los cuales el estudio da l. l"elIiisteneia de m'terl,-II!I leria imposible.

LI liferencla entre la resi!tencla de material. y la medllicate6rica consi!le en que para la primera lo l'genelal lIOD las propiedldesde. 101 cerpOll dtjQrmable., mientras que las ley. del movimientode.l slido interpretado como un euerpo rigldo no .olamonte pasaDa un segundo plano, Bino que. en muchOll caBOl! slmplement.e cart!(ltll\tle Importancia. Al mismo tiempo, teniendo en euenta que las dOlllenen mucho en comUD, se puede considerar a la primera comouna rllma de la segunda, llamada mednin de 103 Blidos deIormabll'9.

L. mecnica de 10/1 lIlido.s deformables abarca lIImbi~n a otraa&11lgnaLUras como la le

"poeibiUd.des del empleo pticlico dfl 10$ mtooO$ de la. teora de lada3ticided son muy limitadas, .. pesar d. que ellos 'DlJj~.n los'eo6manos de una minen mis completa.

La rtl!istenei. de mal.erlales tiene COtUO fia la elaboraci6n d.rdtodos simples d. clculo. aceptables desde el PUlIto de vbLlprctico, d. los elementOlJ tpico" m flllCueote5, de las estnu:turu.Peta ,Un se empleaD di ,-tirsos procedimientos aproIimldO!. L.necesidad de oblene.r resultad03 eoucretOl y numricos al l'tISolverlos problemas prcticos, nos obliga en algunos casos, recurrir enla resi,l(lOcla de 10lil m.leriales, 11 hiplelli' (Iuposicionllll) !implifi-clda! que deben ser justificadas comparalldo dWlpus los resultadO!!del dlculo con los de los ensayos. Al elaborar lo~ mtodos de tlCllloaproximados de la rllSlstenci. de materiales se emplean tambinJos resultados del e"'lisis haclo reallndo por los mtodOll de 18teoria matemtica de Ja elasticidad.

Los fiDes de la resistencia de matuialM , en virtud da su carietW'aplicado, 30D m amplios que los de la teorla mal.9mlica de l. alu-tieidad.

El problema MllllClal de la re!Il.!l.9ueia de materiales cOlllisleno aolamente en delAlrminar las particularidades int8riores de losalidos, sino, tambi'o, en darles uoa interpreucio eorreeU: alJuzgar sobre la etIpaeidad de trebJIjo y utHbaein prktica da la.truetun. que se aoalila. En. la t_la matemtica de l. elasticidadeste ltimo problema 110 se plantea.

Entre las ciencias que estudi," los problllmas relaeionadOll conlos slidos defonnables, lIurgieroD y se dMlrrollan en 1011 lUmOlldecenios ouevas ramas de la meeilliea, que ocupan un lugar illtennedioelltre la resistencia de materiales y la teorla de la elasticid.d, eomq,por ejemplo, la teorla aplicada de la elastieided. Aparecell lelllb'naslnaturas atines como la teod. de la plasticidad, leorla del es--cunimlento plstico y otras. Sobra la base de las leyes fundamentalesde la rllllilltencia de materiales han sido crudas nuovall ramas de laciencle sobre la reshtencla de orientacin prctica, Como la mednicade las construcciones estructurales y de los a"lones, la leorla de l.resistencia d. las estructuras soldadas y muchas ntras. Los mitodosde la rllll13t.encil de materiales no permanecen inalterebles sino quevarian al surgir problem8ll y exigencias nuevos de la prlctiea. Alrealiu.r loa ~leulos, los m'todos de la resulencil de materiales sed8ben emplur de manera uaadora y t8_ en cuenta qlH! el bito delclculo prctico r.dica no laoLo en el empleo de un aplrlto male-mitleo complicado como en Ja capacidad da penetrar en ellenmeno,de eneootrar las hiptesis ms apropiadas y de Uevar el clculo aresultados numideos delinitivos.

"I 2. 51itel'lll real '1 liqueN de clculo

p

Ag. 1.

En JI resistux:ie de materi.IM como en cualquier rama de lasciencias nlturales, el estudio de 1. rellsteocia del objelo o slstemt,...1 comienu. por escoger el esquema de dlculo. Al COlDe1Izar elclculo de l. estrue'un se debe, ante todo, sepa~r lo importante dalo qua careee de ImporlaOCia, es decir, se debe ll5quematbar la ...Lructura, p~indiendo de todO!! aquellos flctotelll que no inlluYloseriamente sobre el comportamiento del eneme como tal. Es..

~ipo de simplificacin del problema, al esquematlurlo, es In todos1011 usO! absolutamente necesario, puestoque la solucin del problema que consideretodas 1al propiedades de la 0IItructura llSImposible debido a que, prcticl'Iwente,50ninagotables.

SI, por ejemplo, se tul, del clculo dal. resi.stencia del cable d. un .scensor, sedeba considerarnte lodo, el pe50 de la u-bina, IU .celeracin y, en el cno de que.eele\"a a gran a!lura, el peso del cable. Almismo tiempo se debe wesc:indlr de Ill!I fae-\oree de poca importancia COlDO la resuten.cia aerodinmica que of~e el 8.9C8l13Or, l.presi6n baromtrica a distint..s alturu, lavariacin de la tempertura con la altura yotros factores semejantes e innumerables.

El cuerpo real, libre de todo lo quecareea de importancia, lItl denomina t.que-malk clcuw. Un mismo cuerpo o IIiStemapuede tener esquemas de dlculo distintOll,segn la .actitud que se exija del clculoy segn el aspec~o del fenmeno que jnle-fflile en el caso concrelo que lIe.naliza. As!,por ejemplo, si en el cuo anterior lo quainleresa es solamente l. t8l'listenci. del cable, l. cabina y cargapueden cOlUlideraf!l8 como un slido indeform.ble y sustituirse pnruna fllerUl aplicad1 exlremo del cable

el esquema del cable de la figura t, aolicitedo por una tuerta en suextremo, lIS muy frlll:uente liD numerosos cesos prcticos de clculollor rotura.

La eleccion del esquema de dlculo en la re:alstencia de materialescomiem;a por esquemeli18r las propiedades de los materiales. Seconsidere generalmente que todos los materiales son continuos Vhomogint'Ds independientemente de lu propiedadll5 internlls.

Un rnaleriel se cOllsidera homogl!neo, cuando cualquier parte deI!I tiene las mismas propiedades independientemente de su volumen.Claro e:atl que en reaUdad el material, debido a Su composicionmolecular, no puede ser, segn esta definici6n, homogneo. Losmeules do e:atructura policristllJina, es dlll:ir, compulli'llo por infinidad de cristales orientados ca6ticamenle tampoco son, en el sentidoriguroso de la palabra, homogneos, Pero estas particularidadllS sonde poca importancia, puesto que se trata del estudio de estructurllsCUYllS dimensiones son muy superiores, no s610 a bs de los tomos,sino tambin a las de loa cristales.

Del concepto de homogeneidad se deriva el de continuidad de lamaterill que ocupa plenatnente el volumen Iltribuido al s6lido. SiendoIIsi, se puede aplicar a los soJid

"rMbtencl. de m.teri,l" se es~udi.n prlllclpalmenta lOi!J m.teda/eslstropos.

Al escoger el esquema de eilculo' se introducen clcrla~ simplUluciones en l. propia geometria del objeto. La airapllflc.ei6n esenelal en

lO

la carga llerS. ID.dIDlaibll in~rodutir el eoacepto de fuen. eonewInda.

Los ejemplos t1t.1doe 00 "nun los m'todOl posibln par. Meogerel lII5queme d. dlculo. En lo adelaole ae hablui de atree conceptotf1llacionldOll con la .quem.Uzaci6n del objlto I"(llII. Lo impOftlnte que elleetor, al estudiar t. resistencia de mltetiales, DO MI ol\lidedel tsquema d. dltul0 elegido que COClStltUYI el primer paso delDlrodueci6n .1 dleuJo. Es neeewrio dejlf bien e1aro que el dleulo

'"o

mJ p (jVcJ e ~

'1. l.tonsilte no !(Ilament. en el empleo de frmulas. Antm de enCluzar.1 cAlculo por JI "11 de las ope18eloDM niatem'ticlS re!ult., confrecuencia, necesario UD estudio profundo para separar en el Ilsterol,de Plloera correcta. lo iwportante de lo lecundulo.

I 3. Fllertu ulerlofn inl&rlere.L.. fuarua miden l. acci6n de los cuerpOll enlre sI. SI l. estruc-

tur. 541 c005ider., dsleda de los cuerpos qUil l. rodean, 1/1 leel6nde estO$ ltlm~ sobre l. estruetur. ~ sustituye por fuenas que n.

aI'",ID~ ezj~rjortf.Las fuenas exteriores se dividen In fuerus de yolumen y dll

wpeieie. Lu primeras e!tn dl,lribuld.. en el volumen del Illdoy Iplieailll ud. pt.rtleul. del euerpo. Son fuenu de volumen elpeso propio o, por Ijemplo. lu luerus m.n'tieu. Lis fUIrul, deluperfieie 115tb ~pl;Cldu cilM"tu -'reu de I1 superficie y clr.cteri211I JI .ecin mutu. dlrectl de eont.eto entre el cuerpo qUI se lO"11r Y 101 que lo roduo.

"Entre la.! fllenas exteriores 58 IInGuentr.r no solamente las f~r

IU d.de que, I menudo, se interpretan eomo 1. Clusa principal dela posible rotura, sino tambin lu reauiones de las ligadoras quecompletan el listero. convirtindolo 811. un sistema equllib,.do.Por ej,mplo. eD el caso de l. nia de l. figura 4, a pullden comlderarseeomo fuerull artllrio!'d el peso P de l. car. qlulae levanta y el pesopropio de la estructura. Determinando las relceiones de 10001Ipoye.R. Y R. (!!Ilablllellmos el ,15t8ma eqUilibrado de fuen., indicado enla figura 4, b y denominado comnmente corga.

L., fuenas uterloree. !u magnitud y' el tipo de d15trlhucl6ndependen, ante lodo, de 1M limitas del objeto en estudio y d. 10l!Ique le roncan. Si por ejemplo. en el t&30 de III gr6 en CU99ti6n in-cluhnos en el edquema de cAlculo el cable. l. plataforma do cafg, ylos cerriles con las travIesas, entonees el sistema de fuerzas exter!orO!lser' otro(fig. 4, el. En el primer ca!lO las reacciones de apoyos se dele ....minllron con ecuaciones de la esttic., en el segundo. su determina-cin l'ilquiere otro mtodo. ya que el nmero de incgnllu R;,R;. ..., R~ es suporior al de las ecu.eiones de equilibrio. Estosslstemu &e llaman slstemo hlp~r~61tko. M adelante analiuremoselle.. cuestin con ms dee..lle.

Como ,emes. l. interaccin del cuerpo en cUelItln con 108 quelo rodean y que se encuentran /lUra de los IImlt.e!l caDvenclonalesfijados del znismo se uflcteri:r:.n por la5 fUerla! C11lifieadll COIIlOfuenas exteriores.

l.t interaccin entre las pllrte.s del cuerpo que se estudia. d~n.trode 1011 limites fijados, IHI CllraeleriUl por las /ueruu lnt~rlcrn. Enel CIlIO de l. gra. 111 fuerU3 R I Y R. de ioteraccln entre las rueduy loe rall811 (fig. 4. o) son exteriof1lll. Al .mpllu lO!! Iimitell del si$-lem. (fig. 4. e) tlllas fuenas pllsaron a ser interiortll.

Lu luenas interlorM surgen. no slo entre loa distintO!! elementosde l. estructura que Ilctuan mutuamente entl'il s. sino tllmbitlnentre todas las partlcuras contlgu!!s del cuerpo somelido a la accinde una c!!rga.

SupongamO!l un cuerpo en fonlla de borra (flg. 5. aj, solicitadopor ""a uJ'8'a. es decir, por un sislem!! de f\,lenas exteriores P"p ... , ~ft que se encuenlr!! en equilibrio. Las fuerz1lS InteriorDllque surgen en la barra se manifiestan solamente lli H secc::lona men-t.lmente l. barra en dos partes. por ejemplo, medi.nte la .seccin A.Este mtodo de manifestacin de In fuerus interiores 1I8 denominaen la re.sislenci!! de m.terial(lll mtodo dl! 16. IIrIXUmu. Puesto quese elimin.n las ligaduras entre las partes, IUrge la necesidad de sm-tituir l. accin de la parle derecba sobre l. hquierdiJ y viceversa porIln ,i'lezna de fuerus que aclli. sobre l. seccin, es decir. llurge lanecesidad delntrocfucir el.istema de fuenu inleriof'U (P,J (fig. S.b).

Aal pues. IlIll 'uen., interioreilll delet"min.n La interaccin entrelas part Icubs del slido que se encuentnn a los dos I.dos de la see-

_-r--- I----1-1-1-

--.L-...l....

,ir, ,, ,, -'-,.-R,.=-:l.L, ", ,~

1''''I :+-',-:''''.' ,ti Q..lf=il===.-

"cilio. trnada, mentalmente. Est elaro, que lu fuenlls interiores de-penden del lugar de.la seccin.

S~n el principio de .,cci6n y reaooi6u esta! fuerzas Interiorllllsiempre son reefprocas. La parte derecba de la barra _~cta Bobre laItqu,ierda de le misma manera !lue la Izquierda sobre la llerochil y elsistema de fuerzas ,que aparece ell el_plano A' es di' signo contrario al

8~tema que acla sobre el plano A" (fig. 5, bl.

(P~)i~+ (P Al = 0,-(P",1 + (Pft)" =0,

o tambin

Clllro est que IRa fuenas interiorllS IlStn distribuidas de una ma-nera compleja en el plano de la se

..

8.11 l. MICCin A 118 puede obte.IllW de l. l!Culei6o de equilibrio lUtode 1I parte derecu como del. parte ilqulerdl del euerpo!WICCionado.

Las fual'ZU Interiores deben distribuitse en l. seocin de ul ml-ner. que 188 lIuperficles deformdas de l. !leUI6n A. d jUDW IndOl p-.r!.eS, coincidan. En.. condici6n en l. re!islelleia d. malerlalMy en l. leocu de l. eutic:id.d MI denomill' condicin de colltilllltdDdtU loe t!ormacltJmc. Se puede demostrar 101 eliatl, Y es 11oleo. elaisteml de f\len" interlora que satillfee al condiciOll. de equili-brio, asl como las de continuidad. aunque pueden existir c:iertu el[-c1UJionos de e.n.. reBla 84 l1gunOll casos.

Volviendo I lu coodlc!oo.. de equilibrio. es evidente que ellasa610 permitllll detllnnilllf lu resultantes y no l. ley de dlalribuc:i6ode las fuenas interiores lIiempre y eu.lndo $UD conocida.! lodu 1..fuenas uteriores.

Trul8dew08, segn los principloe de J. 83thicI, el si5teme defuenu interiores 11 cenLro de gravetbd de la seccl6n. ObLendrtlll05entonces el vector principal Ji y el momeoto principal M (tig. 6).Escojamos el lIisteroa de coordenad8ll %, /l. s. orientando el eje :1:"glo l. nOfmal a l. IIt(;ci6n y ahuando % e /1 en el plano de la seccin.Al proyectar el vector prineipal y el mowenLo principal sobre losejes z, 11. :1: obtend:ernOSlllli.! componente!: tres luerus y tres moment05. Esw componentes se denominan lru:torll tU jlUrl4 fnlrrklrllrfl la 1C16f1 d. 14 IHarra.

lA eompODante de las tuenes ioteriares orientf,da seg.D la nonnala la secein eN) se deDomiDa IlUrUJ ISOrmal o Jo1\flhulultll de laMeCio. Lu fuenu Q6 Y QI se deoomillllD ftuntU mrl41f1UI.El momento respecto 11 eje nonnal (MJ '" deaomlnl motnvdo UlrltJry loa momentos M 6 '1 M,. momento. 1l1ru f'Ill'Ipeeto 105 ejes2: t. Conocieudo tu fuerzas exteriores, lit pueden determiolr loseeia f.etores de fueru hlLerlDn18 por medio d. 1u seis eeuaeiooCl deIquilibrfo de una de lu partes de la OOITll.

"De l. misma mane!'. N duifican los tipo! de solieltaeioDes de l.

hamo Si en las secciones de eierto llamo de l. barra surge solamentel.' (uln. normal N mientras que el resto de In fueru! inlerlon!llles Igual I cero, entonces In este tramo, " produce traai6n o com.prls6n. seg6n sea l. dlrecci6n de la fuerll N. Si en J. ~16n tnns-versal .urge solamente el momento MI' l. bura en este trullO tra-bija ne1usiv.mente a uu,16n. Y por himo, cuando las !uen.,uwlores est.in aplicadas de maoera tal que In las secciO8! traollo-... ,rule!! aparece sol.mente un momento !lector M" (a !ti,) tiene

~ A N'l'p p ;M~

laal

p~p e ,b)

n,_ l.

lugar lo que se llama flr:1I6n pura en el plano V' (o .n). Generalmente,en l. seccin traosvcrsal, el momento !lector (por ejemplo, M,.J ".acompaado de un. fueru cortante QT' Este tUO se denomina Ile-d6/1 lronn>tr'41 (en el piUlO V:). Son posibles los cnos de solicitaeln cuando la barra trabaja. torsin y Ilexln o mecin .imult"nelll.

Pare determinar si una barre trablja 1. torsi40, trlccin o no--%160 es neeesuio aplicar el ml!todo de las ser:c:lol1u. AsI, por ejen1plo,.1 seccionar la barra di 1. figun 7, 11 por AA, di las condiciones deequllibrio de la parte aep.rada determinaJ.nOl qUI en esu 500Ci6n.parece solameola UBI fUlr.. norm.1 N_{ P. Por lo tanto aquitiene luar traeci4n. En J. seeci6n HH d. la lDUlTla barra apal'1!C1uoa luerza cortaote Q_~ y UD momenlo neelor M=~. Asi

'"lrMUtcl

pues, llegamos a la conclus.!n de que el tramo hori:wnlal de la barratrabaja a flexin. Para las secciones AA, BH Y ce de la barra de lafigura 7, b obtenemos respectivamente f1uln lranavel"$lll con tor-sin, llexi6u transversal y traccin.

4. TansillnuPara caracteriur la ley de distribucin de las fuenu interiorl'L'l

en la seccio, es nooesario introducir el concepto da medida de suintensidad. Es18 medida se llama klllf6n.

Veamos la soocio A de cierto cuerpo (fg. 8). En el entorno delplinto K escogemos el rea elemental liF dentro de la cual file deter-minada la fuerla interior AR. Se entiende por tansi6n media eo el

FI~. a.

"

rea lit' la ltacein.AR'l;=>P.

Reducimos liF hacia el puDlo K. Puesto que el material escontinuo. as PQllible el palIO 'al lmite cuando AF -O. Como lmiteobtenemos

MJim _.,,=p.41"G ....

La magnitud veclorial p se. llama tmsMn computa en el punto Kde la seccin A. ti' tena{o se mide eo unidades de tuerza por unidadda 'rlll. En la te!\ica, las teosiones se mlpeD generalmente en ki-logramos por cenUmelro cuadrado o por millmetro cuadrado .1.

La tnsin completa_p se pUlIde descomponer en tras componentes,segln la normal al plano de l. seccin y segn los dos ejea situados enel pililO de b sac.ciljll (l. 9). La proyeccin del vactor de la tensineomplet.a sobre:la nrmal se anota por f1 y se dellomina /ensl6n normal.

"1 Abon &ll recomienda comn pl'lllerible el ~i.ltema de unlded8!l SI, en elcu11 la t/lDlli/in oe mide eil D"WIOnDe por meL'ro cuadrado. Ael, por ejemplo,la tt".{n 0_40 kgf/mm t en elite /l;"tODlI. nr' 392 '00 000 N/PI",

",.,. 1(1,

Lu componentes IIituadu en el plano d. r. seec:i6n se denominankNW~~ UzngmcJul )l H lnoU!n pOI" t. Segn sea l. orienlacl6n., notacl6n d. los eje:!!, a y t un IcompafiadM de UJl sistema delublndiees qUI Mr'o det.lU.dos en adelante.

SI tralamos por el punto K del slido otl1l S6CCi6n. 110_ telUin plO coiucidir' ya con 1, .owior. El conjunto d. tensiones en distin-tos planos que pUlID por el punto. forma el t.UUitJ Un,foflld dolpunto.

El eslado tensinnel, como veremos m'" adelante, SIIl determinllpor sei, magnitudes num'rlu! y eOrnltituye lO l. ,rtl!!Iillhncia de mattrlalos uno de 105 !':oneeptOlll ms Impartint. Ser' 'estudiado detallademenLO en el capUulo VII. Al principio del CUllIO se en.lhao lostUOlI particula'll8 mh limpIes y (recuentes del Ntado telllllon.1.

5. oe.plllllllllntOl 1 cltlormaclonnTodos loe materiales Oo.lOn .bsoJutlmante .gidos, lino que b.jo

lcel6o de le JuerulllzlllrJorN, dentro di cllrto. limites, amblanIU forma (118 detona. o). Esto lnnuye ootablemeote sobre In ley.de distribucl6n de lu tuenu inte-riOl'fl5 eD el llldo teMionado. 'UD-que In deformaeion. Ion leoeral-mente inrinjrn:.nt. y 1610 le pue-den Iprecllf en la m'yorl, de losea_ emplNndo iOlltrumeotOl muylensibles.

LOlI diferentes punw. del Ilidoc.amblan su pOllici6n en .l _""ciobajo lui6n de 11II fuenu eJ[- #1teriores. El vector con origen en el l'punto del cuerpo lIio dofofmlf ysu ezlremo en el mismo punto delcuerpo deformado, se dlnomina vector del a"piawml4lnto completodel pUJ1to. Sus proyocelonll8 eobre los ejM M denominen tk,pu4mlen-lo' rn dlnccSn de ID, ,". Se anotan por u, 11 y ID IfIgo los ejes %," Y , (fig. tOlo Ademb de 1011 d~plalamlontOl Hneal&S S& puede io-troducir tambin el concepto de lU'pla:r.am.nto anplar. S analilamOl el ..monto di la recta que une dos pUDtos cere.DOS. antes ydeapu& de l. deJormlcl6n del .'Iido, so advertir' ficlhnente qUI larecta gira en el .pado cierto llgulo.Eate nrulo de giro lImbiiHl.NI caracmisa por UD yecto.r que puede ser dfl:!lCompuIli!Itoseg6n loeel_ z, " y J.

SI un sstel1la de cuerpOll cuenta eon Urdur.. In elnUdad su-Uelenle pan. eliminar IU despluamillllto en el espacio como unslido rlido se diee que el ..ulema 01 clfWPI4tiUUMltU uworlobk.Este Upo de sis~emu es el que ~neralroeDtese estudia en la ruisten

ell de mlterilles. En caso eoolr,rio, de loa desplazlmienlos de todoslos punlo:! se deben rester aquellos despluamiontO!l que correspoodell11 movimiento del slilido inwrprelado como un cuerpo rlgido y man-teoer I1 componente propia riel slido deformlble. En este taSO, enla Inmensa mayora de sislamn. loe desflu.mientOll u, P y ID dicualquier punto serio pequeoe lO com~l"Icl6n COIl 1M dimemion(llleomflriclS geneRles del SlSlido.

Tenleodn esto en cuenta, en 11 reslstencil de materiales, 11 ana-lIur In lueru.s Luteriora, .se introducen limplifieaclona de ear'c-ter fundamental. Una de elbs lIl!J el prUlclpJo tU llu dimm.i.onunda/.u, aern el cual. al pllnteer lu ecuaciones de la esULiel(ecuaciones de equilibrio) el slido M considerl indeformlble, esdecir, que sus dimensiones geom4ilrlClI Ion luIles 1 las que tenialotes de .plicu llls eargas uteriores.

MI, por ejemplo, si.se aplica una fueru P 1I punlo A dellllstemarepresentado tUI I1 ligura U, 11, el cable AS al alarga, mieolr...

FJt. 11.

que I1 barra AC MI acortl y todo eleiatema en general, 98 deforma(fia:. ti, b). Para la determln.cl6n de las fUBn:a5 inleriom en elc.ble y en la barra mediante el m4itodo del.. iMIOtiooe5. le plaoteanIn ecuacloDeS de equilibrio del nudo A deformado (lig. t t, c).Surge entoDOes dorte dlficullad puesto que lu nuevu dimensionlleolllftrieu del ast.ema permanecerAn d-.onocidu h.,u que no ..determinen In fuena.!l interiores que, a IU Ve!. dependen de laa d.1-m8ll.1loDlll pom6tricas. Cuando loa d.plallmientos son peqUeOlesto no lIelle Imporla~ia, puesto qUI el Iilteml deformldo se di-fMoreia poco del original. En ate caso, de acuerdo con el prlnclpiode Ju dlmensionllS ioiclalllll... plant6an 11lI eeulciones de equili-brio pare el nodo sin deformu (fi. tt, el) J entonces

N,=-pV1: N, __ P.Claro est que este principio DO es aplicable al celO dedeformaci..

Des grandes. Al mismo tiempo, como excepci6n de la regla geDera.!,

01 priDc:ipio da In dimenaiones inieiales puedo no .ser Ipllt.lblo ln,tIIItindOlo do deformldooes pequeu, al ello implica un cambiocODlllder.ble de l. forma original. Por ejemplo, en el ceso de dOllblrras colineales articuladas, .. condieiones di e;qu.lllbriodelnudoA (fug. t2') debern lItV plenteadas. tenieJldo en eUllote- el 'o(l"ulo doinelln.ci6n e:t debioo el .I.rg.mlento do las b,rraa.

Este tipo de sitema!J son mecanismos instant'nl04, lo que dlmues.-tri que llI1 cierto momento el sisteme rNulte, einemAtfc.mentevari.ble, es deeir, los elementO!l admitan desplu.mienlOl no acom-paadO!l di deformaclonlll. En este caso J. yarlAbllidad elnem'Uea

P

flt. 12..

...----.......

FIlo 11.

tilDe lugar en las PfQJ:imid.des de le poalel6n oriinaJ cUllndo lastres Iniculaclones!16 encuentraD aob", 0111 Itlltma recte. El mee.nismoComIl,. diferencia del inal.ntineo por sercinelOl'tlt.lmenlll variableiodlpendllll1temente de II dispoaicl6n mutu. de 1111 elementO!!.

Parl I.pres:ar cuantitatlyamente la inten,idad de Jos cambiosde forma y dimensionell, conaiderem!! 1011 puntOll A y B del 11l-do aln deformar, aituados uno del otro a una distancia ~ (fg. f3).Suponllamos que como resultedo de la yarlacl6n de l. forma delBlido esta distanci. aument en tu. La ru6n entre el incu-menlo de la longitud del segmento 0" y 'u lonitud original se dt-nomina alargamiento medio en el segmente 1,

A.,-8...DisminuilllOS el Ir.mo l. aeere.ando el punto B al puntG A.

Como Imiu obtendremos,

La magnitud a... se denomina

..

Es oteaarlo subrt.yar que .1 tnDiuo .deformlci6o. llene undobla s.nUdo. Ceneralmonte,. Uama deformati6n I clUllquitll" cambiode f(IrIQ sin UD' nloracin cllAotatjn. En l. tl!:!listeneia de mate-riales y en la leOfb. de la elastielded l. deformacin tiene l. definici6n rigurOlll dada anteriormente, y se refleja cowo l. ID.nitudcUloUlati"'l que caraeleriu l..... ri.cio de 'as dimensiones 110m..trien en la vecindad del punto. LII deformael6n $lI mide eo unld.desadimensiollele3, o eo pOr cientos de 0., eDil colacin a l. PUMto quel. forma del .611do vara IDUY )Joco, lal! deformaciones 1I0n pequelln.Eo los cuerpos eUlIllcOI!I esLu deformaciones SOll del orden de lasmilisimlS.

Se puede Introducir tambl~D el eoneepto de diI/ormat:in tl.ntuLA,.COD:lideNm05 en el slido sin derl}fmar UD 6ngul0 recto tonudo porlas recto OD y OC (lig. 13). Despus de apllcu la cuga ezterlor,este Angula ....ri.d y ser' i!lal. CO'D'. DiJminultDos loa segmen-tos OC y 00, aprozimando 101 punt.o!l C y D .1 puuto O y maateniendoel !ngulo COD recto. Enton.e., en el ilmile, 1. diferencia de Ill!IiniUlOI COD '1 C'O'D' ser!.

11m (6ib-c~')-'1'coD'oc _ oUD ~ o

La magnitlld 'I'(OD!e denomIna tkforma.ct6n angular o "ngulod4 dl$lOf$l6n en el punlo O del pbno CODo Laa defofmacionll5 angulares que apueGeo en los pl.nos del astema de coordenadas se de-nol.arin por 1,.. 'l'u Y 'Y6 ,

El conjunto de le! deJonnaciolles lineales y .ngulara ~Il di&-tintas dlreecloo_ y planOi!l, eorNlSpondientu un mismo punto.forma el ,,/.4dc cklo~,"al del punto. El esllldo deformaciona!,al igual que el estado tenslOllal. _ti determinado por seis magoitudesnumlrieu. Coo ms detalle _la euesli611 M estudin; eo el capituloVII

6. ler ", HfOkt r prlMiplo de nperposieltlA la. !uu..NumerQSfJ8 ob!ervaclones del comportamiento de los 8lidos d.

muestrsn que, en la inmenSl mayorla de los casos. los tk'plawmn-t(JI, tkrtro fh crlo' lImUn. !Oll proporcio1U1.k,a la,ca.rla, q~ /Ictllar.

E!ta ley fue ezpuest. por primera vel; en el afio 1676 por Hookea! efirJilar: csegn H la fueru ul .ser' l. defOTUlac:l6U1. EAt. ley selIema ky I lJooke.

Si an.Hzamoa el desplazamiento de un punto arbitrarlo A(fil. 10) en ci8ft.a direcelll, por ejemplo, en la direccin del eje z.oblandremOl,

UA-66P, (0.1)alendo P la fueru que orlin. el desplaZlmlentn u.A '1 116 , al c:oefieiellte de proporclonaUdad entre la fuerza '1 el desptazamiento.

Es obvio que 'este coeficiente depende tanto de las propledad!!fbiClL9 del materIal como de le 'posicin relativa del punto A y elpuoto de aplicacin de la fuerza, y en general, de las particularidades,geomtricas del sistema.

La expresin (0.1) representa pues la ley de Hooke paro ti ,/!-,,=.(,la Interpretacin moderna de la ley de Hoob establ~cll ta depen-dencia lined entre la tElDJIi6n y la defonnaciD, y l!o la dependenciaentre la: fuer~a y el desplot8mhmtQ. ,Estas dependencias 1in.eaJe! sonpro'pia:! del estado del material ~n U1l pu~to.

[.08 coeUeilln\.e.'J de proporcionalidad IlOO, en este caso; COIl3tan-tes fisieall del material y no tienen ndaci6n con las propiedadesgeomlricas del sistema como tal. Es decir. la ley expr_ laspropiedades del propio material. Basind05e en 6818 interpretacinde la ley de Hoo\,;e, se pueden obwMr relaciones del tipo (0.1)eulre los despluamient08 y las fuertas para distintos sistemasconcretos. Las constantes fislcas del material se introducIrn encapitulos posteriores, al anali:1:ar casos def.{llidos de estados ten-sionales y deformacionales. La interpretll.cin general de la ley deHooke se formular en el capitulo VII. Por abora, para establecer)aa propiedades principales de los cuerpos tensionados, nos limitaremos al estudio de la rolacin (0.1) que es tpica para la inmensamayorla de los sistemas.

Es necesario advertir, que la dependencia lineal admitida entrelos desplaumientos y las fuenas 80 mantiene tanto al aumeularla carga como durante su disminuci6n y supone, de por si, que elsistema es elstico. Esto mismo 10 confirman 108 ensayos quo demueB-\ran que en el caso de relacin Uneal, el slido recobra completa-mente sus dimeIL'liones originales y au forma una vez retirada lacarga exterior.

LOllsistemas en los que se cumple la condicin de proporcionalidadentre los desple!amientos y las carg811 exteriores admiten el prin-cipio de superpf'slci6n o de inckpenckncla de accl6n de las fuerzas.De acuerdo con este principio, los despla!amient03 y las fuerzasinteriores que surgen en el cuerpo el'stlcose constderan Independientesdel orden de aplicaci6n de las fuerzas ex:teriores. Es decir, si en unsistema estRn aplicadas varias fuenas, se pueden determinar la1lluenas interiores, las ten1llones, los desplazamientos y las deformaciones de cade fuerza por separado y sumar despuiSs los resultadoocorroopondientes a cada fuena, obteniendo asl el resultado de laaccin de todas las fuenas.

Supongamos que a cierto sistema se le aplica la fuerza P,. Eldesplstamiento que E!5la luerza origina en el punto A yen direccin,por ejemplo, del eje ::1', sed segn \a expresl6n (0.1)

(0.2)

28

Supongamos ahora que se retira la fuen:a P, Y en su lugar. peroen otr(l punto del a6lido el 'sUco. ae apllea l. fUerza p." El deeplua-miento obtenido, originado por esta fuerza en el punto A, ser.

U,. +6".P.. (0.3)Los coeficientes de proporeionaliriad llx y ll~ sern, claro est,

diferentes, puesto que 18a fuenas P, Y p. es'tn aplieadll9 en distintospuntos del slido.

Veamos ahora la acci6n simultnea de elllaa dos fUllrz811 P, y p._Apliquemos al cuerpo elstico primero la fuena P, y despus, sinre~irar la primera, 1. fuena p . Entonces, el desplazamiento delpunto A sera:

(0.4)El eoeficieote 6", san!. el mismo qua en la frmula (0.2), ya que

la fllena PIse aplic al sistema sin carga. El coeficiente 6~ sediferencia del de la frmula (0.3), puesto que la fuenll p. se aplIc,no al sistema libre, sino al si~tama lIOHcitado por la luana P"

Si admitimos qua los coeficientes II~, y 11", 80n diferentes, debe-remos admitir tambin que 6~, depende de la fuena PI' lo que con-tradice a la suposicin fundamental sobre la dependencia lineal delos desplazamentos de las cargas exteriores. Es decir, que Il~, nodapende de as fuenes. La expresin (004) pare P,=-O deber coin-cidir con (0.3). es dllCir, que 6~,=Il", y, por lo tanto,

U A = 6",P, +6",P l' (0.5)Es decir, el despluamiento .se determina tomo la !luma de los

desplazamientos de las fuenll,a P, y p., Si variemos el orden de apli-cacin de as fuen:as, !le podr, con los mismos ratonamientos,llegar a la expresin (0,5), Por lo tanto, el resultado da la accinde las fuenas no dllpende del orden de aplicacin de ellas, lo que confacilidad so. generaliza para el caso de cualqui8f n6mero de fuenas.

As pUe.!, el principio de superposicin de las fuenas se basa sobre1/1 dependencia lineal autra los desplazamientos y las fuertas y 'sobrela suposicin. relacionada con la anterior, sobre la reverllibiUdadde loa procesos de cerga y de!lcargll. LOII sistemas para los cuales noes vlido el pricipio del padgrafo anterior sobre las dlmensionll'originales, revela4 dependencias no lineales entre la,1uerzas y losdespl81.amientos y pllfa l!8tos sistemas es Inaplicable el principiode superposici6n de las fuenas (vase por ejemplo el sistema de lafigura 12). Al mls!'10 tiempo, no todoa los sistemas para loa que esvlido el ptincip!o de 1~.':I. di,men.':lionea originales, se somelen al

'"principio de 'llperpo.sci6n d8 las fuenas. Si para desplazamientospequeos. ill~.propedades del m/lterial son te.les, que los desplaza-mientos DO dependen 'Iineal~eDte de Ial! fuerzas, entonces el sistema

llOmetl4!ndOM al primer principio, no se somete .1 8e(Il.Ildo. El prin-cipio de superposicin de Ju fuenu 8!1 bsIco pan la soluci6n de" m.yorla de los problemu de la re'stenela de IDaterial.

I 7. Priltcipiot lIen.raln para .1 ~i1~ulod. los elementlll de lu utr.eluru

El eAleulo de una 8!Itruetur. tiene por objeto eont8!ltar el lulerro-canle de si se cumplen o no la! eondicionll5 de Seguridad que SIl leedgen a la misma.. Para ello. es necesario cOmenzar por formularlos principios que sirven de bne para apreelu

paJ

fil. 14.

p

de l. ranura Illlrtll ..lUIiblemen\e m.lY0reJ que en el cuod. una bernJIu tr.eeioud. por In mbmu fuenn (t4, b). Pnlillndo d.1 mtodod. lu t.8a.slone, se deduu qua la barn con noura menos resisten"te, es decir resiste 1Il11l0l carga que 11 hura liJl. Sin IImb'rall, II!IlIIOno siempre 8:!1 ul. P,,.. t1gun~ materlalas como el ,,:ero de mIloChacarbono, el vidrio, la piedra y ottOll Dl.t.eri,lelllNlmejaoles, la barracon ranura l'f!Sull.. , 10 peelo, meDOS resistente que l. barra lisa.Pero liD al caso, cUlndo 1M barras ~on de acero de poco cubano, cobre,

bronce 11 aluminio. 1. barra con nnut1l,ine!lperadamllllLe, TtlIIiste una carga 011

..h.-+--,! ,I",......I.':4 menor slllo meyor que la lisa. Aal pues.. J' 18.J1 LIIllsiollClll al! UD punto no siempre1" caracterizan cabalmente lu condlclOO&ll'"r;'~ da rotura de la estructura.

Do acuerdo con lo expuesto, en algu.

I nos casos se empln el mitfHk tU ed/culo. por Mt14' de rotura. En este mtodo el6) clculo determina no Iu lell3ione:s. aino

la earga limite que puede re!li.sUr la es-tructura sin rOlDpene o .sIn Yuiar Hnsl-blemente .su loma. La carga limita (derotura)", compara con la de trabajo y sellega deepui..s. lu cooelU!iones pertinen-tes sobre el erado da I'Mlst.eoeia de la es-lruel1U'1ll en lu condiciones de trabajo.

Elta m'todo tlena UD ddeeto y 118 que 1, determlnaci6n de la cafiade Nll1U' 118 ,.ctlbl. aolamonte &JI lu e.structUTU m,s simples.

Los m'todO! da dleulo H E:l!CogM teniendo en cuenta lu condi-cionee de trabajo de lu eetructuru y laJI uigenciu que se plantean.Si se tratfl. de conseguir lu deformaciones mlnlmas de la estructura,por ejllmplo, al dlHtiJr el rofn.ctor de UD foco o elabtelDa de espejOllpfl.n. UD dispositIvo utron6mlco, el dlculo 10 realiza por los dupla.wmltnto6 odmt,Ullt, 0, como se dlco, .0 h.ce el e4lculo eh la rtgidez.Esto no excluye, clllro eaU, que fllIra esto miSD1(l81stema l!8a comprobada tambltln l. t'il8utencia por llls tttD!iones.

Aparte de f!L'Itoe m'todoa de e'lclo, exbleo otl'6e ml!todOll queeel4n retadonadOll con otros fenmeno.s de dbUnta natur.len, como,por ejemplo, la eeu,bilidad, el declo d"e lalI cargall repetidas, $Oli-cltacionElS dln!mleu y otros.

El cuno d. rll5i5teocia da materbl8ll no pretende dar nOmlU fijasIObre cmo y culndo MI debe emplear cada OIlO do lO! mtodos ex-pueetos de cAlculo de .truc:turu concretas.

La re:!btenc.ia de matNi.les da solameDte lO! mtodos prActica-monte aeeplablM para la solucin d. problemu relacionadO! conl. d.tenniolclD do lu len$lonll:!, delorm.clDnes, desptuamlentos,CSf'g1! de rotura, etc., 00. los elemontos llpicos de las estructuras. El

11. Pl1ltdpltt. par,. dkulo

Capitulo I

TRACCtON y COIllPfl.ESION

, 8. Fuenu Interior.. y tenllone. que $& dtUrrollan en las"CClOMI transveruln de una barra en l. traccin y comprelhln

Como se indic en el 3, se eDUende por traccin el caso de solicitacin cuaodo en Jos IICceioo~ treDSversaJes de los barras aparecenaolalUente iuenas normllles, mientru que el resto de las fuertesInleriotel! (fuena cortllnte, momenlo torsor y momento flector)ea Igual a cero.

Lo mis UlIl1al es el cua de traccin de uQt. bul'lI por fuerlaS apti-udas 11 Sllll e:zlreMOI. LlI tralll;mill'io. de loa lISfuenos a la barra pu.de ser raliuda de dialinl.. fOrm&ll, coma ae indica en la figura 15.

p

pd)

FIl, 111.

Eo. todos los cuas, sin embargo, el sillema de rUllrUlll uterlOf'lll sereduce. una fuerza P dirigida a lo Jerga del eje de la barrl. Por.0, iGdepBDdiant'emllnle de lu condidon.es de 5UJecin de 11 blrr.tI"IccloD.da, 81 elquem. de cAlculo es llDieo, el indicado en la 'iuniS, d.

SI eulpleamoe el m'todo de la. secciooes,. "'idente que en todulas seccioDes tn.llSverules de la barra aparecerin lu milltDu fuer.UlI nonnaJ.. N, iual8li e P (fig. 16).

N=P.

La compresin se diferen..ie de la traccin, dade el punto d.vlstl formal, por el signo de le fuen.a N. En .1 uso de tracci60 lafuena normel N va (Iirirlda desde la secci6n hecie duera, en el d.compresl6n, hacie la seeci6n. AsI pues, e1ellalilar laJ fuenas Inleri!>"f1lI " mantiene el mismo .mhodo pna l. tnccin y compreli60.

P e===l======:"!--' ~!:.-{===:>.!- ~{====::::::J..!..

Flg. 11.

Al mismo tiempo. entre Il:'IlOI dos tip09 da sollcltacI6n pueden apr&-clarae difenlOclas cualltalivas, como, pOr ejemplo, al invllltigarloe procesos de roture de los materiales o 11 investigar el comporta-miento de barril' I...gas y esbeltas, cUlOdo la compMi6n va acompa-J\lda eoerelmeoLe de Ouln.

Considlremoe las lloliooes qUI aparece.ll ID la aeecin lraMver-Sil de una barra trecclonada. La fuena normal N es la relultlotede las fuenas ioleriora eo le seecl6a (fi,. 17). Ea nllurallluponer que

fl .. n.

an al ClIO de una bar,. homognea, las fue"u Interiores se distrlbuyen uniformemente en la secci6n transversal. Entonces las tensJones normales serfin idnticas an todos 109 puntos da d(cba soceln.

h0=7' (1.1)slaodo F el 'rea de le .seect6n trall.!versal.

Es!' e1aro, que la supOlIicin enterlor aob,.. la distribucin unl.forme de lea tlnsiones Intornas eo J. seccin lr.naversal, ea v'l/daaiempl1l y cUlndo no SI In.lillD las patticullridldll5 de apoyo enlos .. tremoe de la barn dada. Aqu .!MI obra de acuerdo con el prln-cip~ dt Sslnl Vm4/1t, conocido e1ootlfieo francM del ,lglo pAS.do.El principio de Saiol Vent.nt es uD principio ,ener.l, pero en el C'IOconcrelo de barru M le puede formular como tluo: el modo COQ.creto de.plieacill de 1.. fu6l'us IIterioclli'J' la b.rt. tracciooad., co-mo regle Il'ellefl -j, Influ,e IOlam8ole di,undas 00 superiorll$

") Elclu,eade 1., "rr111 de pal'l)dill!l delltdu (..... Clp. XI).

C~p. l. Tr~et(o" ~ co,"p'trI6..

8 lBs dimensiones caracterllllieas de la secel6n transvorsal. Estoquiere decir que al anelizar una barra trllccionada es. suficiente tIlneren cOllsiderll

res 8 IIIS dimensiones de. las secciones de los crJstales, es dllCir, sincontar con los rletalles m.icro.scpicos. Estij reserVij se refiere no sola-mentE!!l la traccin y compresin sino, tambin, a todos los casos deeoiicitacin que sern analizados ms .adelante.

En el caso, de traccio no siempre surge un ~tado t!lnslon8.1 ho-mogllneo. Asl, por ejemplo, en el caso de la barra de seccin trasval'Sll1variable (fig. 19, a) la.!! tensiones varian a lo largo de 1& barra, re-sultando que el estadotensional no es homogneo. Lo mismo (lCurrecU!l!!do la berra est .!Iolicitada por.!lu pll.!lD -propio (flg. 19, b).

9. Alargamiento de II barra y ley de HookeLa.!l dimensiones de le barra traccinnada varlan segn SBa la mag-

nitud de las fnenaa aplicadas. Si antes de ijpliear la carga su longitudera l, despuM de aplicarla, ser ya l+61 (rig. lO). La magnitud 61se denomina aiargamleuw absoluto de la barra.

Q ~ 1/nn~dzfll' 20.

Consideraremo.- que el alargamiento absoluto y lB deformaci6neon consecuencias .!Iolamente de les tensionll8 que SUlgan an la berra.En realidad existan otrllll factores que tambin infiuyllJl sobre lamagnitud de le deformaci6n. As! por ejemplo, le deformecin dependede la temperatura y del tiempo de duracin de la carga. La magnitudde las deformaciones no elsticas depende de la thistoriu de la soli-citacin, es decir, de la manera en que tuvieron de crecer y disminuirlas fuerzas exteriores. Por ahora, no. trataremos estas cuestiones.

Puesto que en la barra solicitada (fig. 20), al estado temional eshomogneo y todos los tremos se encuentran an lBS mismas condicio-oes, la deformacl6D t a Lo largo del eje de la barra ~llr la mi~ma, eIgual al valor medio en le longitud 1,

"t=T' (t.21Esta magnitud sa denomina deformacin unitaria de la bura.

En el CIl.!lO de que el estado tenalona) no ruese homogneo, laderormaeill en la sec-ei6n A (lig. 20) se determinarla Il8tableclendo

..

el IlmJt. p.r. el lrUllO pequeo lb J elltoOeell,M,t _., (1.3)

6 ... (2,0 ... 2,1) tO"E_I,2tO"R _ (l,O t,2).lO"e_lO,' (),8)10"e -(0,08 0,12)'100

OburvemOB, quo en virtud de le distribucin uniforme de 188tensiones en la seccin, lO!! al'l'(.mientOll de todOB los tramos element8les de longitud IW (fig. 20) del segmento d: !IOn Iguales. Porlo tanto. ,i los ulremOll de lOiS tramos lIIl oncontr.b.o .ntes de lasolieitaci6n en UIl mismo plano, fotIDar'n despuis de eUa, ttmblnun pl'DO, pero dMplu.do 10 largo del eje de l. ha""" Esto puedeHl admllldo eomo base pa'" la JDl..-pretacin del mec.aoiamo de l.tracci6n y eompl't$16o y eoll!lltuye l. hlp6u.u tU l.u aea/4MI plaM.(hiptetsls d. Bornoulli). Si consideraUlO! est. hiptesis tomo base.entoneea la distribucl6n hOlDognOll de 181 lensioDelI en l. fllCCinlrall3voraalllll podr deducir de ell. Cuando lIe trata de .lugamientlltllpequeflos, para 1, lnmenu mayorla de 1011 materiales es v41ldll la leyde Hooke que lllIlablece la ~Iaein de proporcionalidad dlrecte entrelas tenaionfl:!l y In deformaciones,

o=Ee. (1.4)

E es el coeficleoLe de proporcionalidad denominado m~lo tk~Uutktd4d tk prinur rifUro. El mdulo de elutieidad es UIUI cooSounte fisie:. del materal que M obtiene el:perlm.nta1.Qleote y $ti mideen In mi3mlllJ unld.des que a, es dec:ir, en kgf/cm". El mdulo deelasticidad para lO!! material.. d. meyor uso 8lI el siguiente: (enkgtlcm"):

A~roCobnLoolo AllllDimo ., SlII al~ con a&l(lINio,,&de", (a lo Iart

"Volviendo a la expte!:l6n (1.4) y IU!t1tuYlndo en ella (1 por

N "'.b b d'7 y por 7J' o ten remos,

""4'6d:=u,El llitrgamiento absoluto de l. barTa en el tramo de longitud1 lIllri,

(Lb)

CUllodo 1/1 barra es~' cargada solllmeoLe en IUS extremos, l. fuenanormal N_P no depende de~. SI, al mismo tiompo, la barra 115 deIllCci6n constante F, In~oncllS de la erpr9ll1o (1.5) obtendremos.

"./ - EF (1.6)Al resolver mucbos problemas preUeos lurge la neeesldad d.

cOl\Jiderar, 00 solamente loe alargamientos ddbidOll las tensionesa, aino Lllmbln 1M relacionados con el eamblo de temperatura. Enale U50 se emplu el principio desuperpolllcl6n, obteniendo t comol. suma de la deformae.l6n debida I l. "rg. Y l. originada "clll&i-YlmlnUi por el cambio de l. temperatura,

o1-7+~'_todo (1 el eoeficiente d. dill\lcin lineal del materill.

En el caso de una bura homognea, solicitada en "US e%lrtlmOSy calentad. uniforIDeID8ote, obtendNlDos,

"t:Jl_y+Il. (1.1)Aal PU88, las deform.eion81 eorrespondJentB9 a J. earga y a la tempe-rltuta 18 eonlidaran Indopendientes. Elto M basa llObre el becho ea-t.blteldo expllrlmllntalmeule do que el m6dulo de olaaticldad EverIa muy poco cuando 18 tt.la de un c.leotamlenlo moderado, alrual que . que prcticamente, no depende de la ~DlJ60 O. En eleuo del .cero ealo ocurre huta temper.luraa deJ orden de 300 10- C. Par. m.yoree temperalul'J,!l. DecesIltlo CODtlr con IJ. depen-dencia do E de l.

Yeamos .trunos ejemplos de determinacl6n de Iu tel1liODlllI .,desplu.mientos en 108 eaaoe m lIimples de traeel6n ., compresl60.

E"lIIplo 1.1. o.~",l..., l. "Y" dinr~l6a d.l.. fu", llOnllIi_, tu-__ Ydesp1aUJai..toII.lo Wyo cI.a la bamI tsealonada.lIOi.lclt.d.a ea .. utn-lIlO por la flKonl P (ti. ztj, ul COlDO ~ml>l" lulEl.&(llit..des DUlIIlkicaa d.1alIIhllll' lIIdI60 1 a.I _pla.amieoto lII.imo. p_~ ti. '.2 eJIll 'J I=t DI.El _lcriaJ da la harn. es~ pal'l. .1 eul B_1 tOO krf/ec". ""'\0 .11'""""" P es COD$hkr.hla,lll peso propio eh l. buf. 00 tl_ iDlport.oel

38 Cap. l. T.aCOIM, compru16tl

De Iu Indicio",," de equilibrio de cu..lqui~r" del ..... I"'rlf!. ~par~du d.. l.bur., Illl deduet que l. fuena normal N en cada _ci6o de la barra es igual a l.fueTu ut.e.lor P. Construyamos el dl.gramo de la varhci6n de lo luet... N "lolargo del eje de la bUrI. Loo diagrama. de rnMera muy dlTa npl'MaD la. Jeyel!de YITlad60 do tu di.lintu magnitudes que le eumlllln. En I!!!tG caMl. el di.-i'ema de la fuen.. normal es~ repreMoudo en la fig. 21. b JlO' un rectogulo,

, ,

~,i:;~*y-a,p

; lIIillIIIIIIIII J1 '1I1111111111111111111111f,

El C)EF

yl que N_P_cotllltan"". En la [igura, el diagrama de N ""ta rapdo por lin.".orlentAdu eo l. mbml dJ~i6n en que,," colocan 1011 UIOffiS d. N. "'" d...:i,.vertlcalmellt.(l.

P..-II obtener el diagrama de las tension9S o, es !le_ro diVIdir Ju ordena-das del diagrama de N por el rea F {11g. 21.

"La l.ene DOf1Il-.l ID a. MCCi60 a Ifual al pao d.l. pe.tte ca'" b&mo qllll

IttKIMD1n llebjo ~ ... _161,N=lFJ.

ElIdalr '1 ... 1- ru.ru. DOnIL&I p.ro~oaI . El dlqra_ Q N u. at. e.uo Bra eoll 1111SiollU y d_plaulIlllou.:.

EDil seulo6n. l. dullac'" del borde lalUllru 1l0000Il de WlIlpra161l N ....

N_P+, SUt

P+, ~ FGt,,-lT----;;-- PF. _C(IGlM.

'"dOOlM ob~ieno.

()eflvllltlO IU dll'UFY'-,.di O-.

1

.

p+V~ Ftlt-:' F.pal'Ull de .. ipldad COlI I'tIlael611

Fi,. ta.

Inl.eaI'lDdo obtendnlDl03.

Fa-y;; (1.. F -lo el

l'L..!.F_C~ p

Cuando ._0, ,,,,,p Y. por lo laDlo. C=p. "" d",,]r, qlUl la ley dovariacIn de F ID cueatl o leri.,

~P-FfIl .CoovleD6 COlIllnUl la COllltnlCCIo do Jos dJagralDllll por .1 de o. que DO va-

ria lo largo del e.le d.l. WIUDlnl (flll. 23). Pu08to que le tenalo es eOIlllt&ote,le" tom\aote l.amblb el alargamiento unitario .: E. decir, .1 dplaumienlo11 IUlDllnte propol'CJonllmeow e la dlatooela a la bu& da la eolumnl.

La ruena ~orllial 110 1.1 !IOOCl60 I IlOlr""-N_oF_Pt P

El diagrama d. IV Blti. repreoelltado ID la figure 23-"r,'obllml aoalludo "" refiertl un taSO muy lrec:uolltll eo la AlIIUend. de

malllrb \JI cullldoeo bu_ la condicin de 19ualdd de reai.tencla. Sil. tenaloen cierto punto del cuerpo (en llUestro easo di. la columna) es igual para todos101 puoU/$ del volull1e" oeupado por eleuerpo. ute Upo de Wnst:nJOO;OD... selI.ma de gu.t resr.tenci . En ""15 estruetuc8.ll.el meterlar lMl aprovecha de Jam.Gela mib .fllttlv. p03lbl"

"flJ. 24.

A

Ej/llllplo, t.4. El 8Oporte:ABC tlene \lO. CJIrgl P In 8U eJt~mo (1111:. 24).Determinar-la aecelCio tr .uvenal di 1., barre.48 J Be de l.l.m.nerl q\l8 115t.snalo..... qu. en .U... !!Urgen ....o Idnticas e igu8Jes I O. El 'lllI'ulo'a debe ~o.8'lIW de l. condicin del-~ !DIDimo d. l., Wl1lItruCCIOll, pare l. loilritud -dad.del fol.dIUl._ 00 l. eondicl6n de ~ullibrlo deJIlI!., 1 Ndo B (fill'. U) ... obtlelllD las fuerz.. oOr' ....L ,;'mlles .0 1$11 b&rru. fE tr

N,_Pclga, N,,,~, ~ P~a p 1

Determinamos .,bora lu 61'U! de 1...!leCliloDes trtlllllv8l$1118ll de 115 barra., d.de11 1.8m160 ",

N, PF'-a="C1ll'''''F._!!J=.!:... _,_

o "NoaEl pe!O de l. 8$troetura del ilOpoft8 ea proporcional I .\1 volumen,

1'"",1,"'.+'0'._Introduciendo ''101 tu 100000!llldcs 'J las 'rw.s d. I't Nrras, obwndnmo.,

I'_~ (ctCl+IIO!Da1cosa)'El ~ol""'en V roelllla ..,r mnimo cu.ndo

cos'a_{: a ""M.I 10. Energra potencial lIe la delormaclCin

Veamos el prOC8!lo de deformacin del -rondo elbUco desde elpunto de vista energtico.

Las fuerzas eJ:teriorl3!l aplicadu al cuerpo elet(co realizan ciertotrabajo, que d9l'lignaremOll por A. Como l'9l'lultado del trabajo reali-ndo, en el cuerpo, se acumula cierta energla potencial U del slidodeformado. Al mismo tiempo. parte del trabajo sirve pua trasmitirciertall velocidades a la mua dol alldo, es dllClr, liIl transforma enenerga c1ntlca . El balance da la energla es el siguiente:

A .. U+K.Si la carga se aplica lentament-e, la velocidad del desplazamiento

de las masas del cuerpo 59r pequea. EsLe proeeso de carga se deno-mina t8ltieo. El cuerpo en cada momento 59 encuentra en astado daequilibrio y, en 8lIle ca~.

A_U.El trabsjo de las fuenas exteriores se trasforma totalmente en aner-gla potenclsl de la deformacin.

Al dll/lCllrgar el cuerpo a cuenta de la energa potencial 8El realizacierto lTelJajo. Es decir que el slido eUstico es un acumulador de

42

energa. Esu propiedad de los slldo., elbticos!loe aprovecba amplia-mente, por ejemplo, 9n los tMortes del mecanismo de los relojesy en diversos tipos de amortiguadores elstlcos (resortes. muelles.ejea de l.onin, etc.).

En la figura 25 est representada una barra !raccionada. Paramayor claridad en lO!! rnonemientos. ollllagramienlo de la barra serepresenta en escola exa~rllda. De acuerdo con el segmento 6l,en la parte inferior, Il:'it repre5elltlldll el rMico de la varIacinde la fllena P.

Como en el desplazamiento lla fuerza P no permanece constante,el trabajo rClIlhado al traccionar la barra tiene que ser r1etermiuado

"~::::::::.~_~E3~==_,~41f O e~ Jl tibJt)

FII_ n.

integrando Bobre lO/! trllmOll elemenhles del camino rec;orrido. En eldeaplaumiento elemental d(lil) el tnblljo de la fUBr7.l\ P ser,

dA = Pd(41).Claro est que el trabajo corre!lpondiente el deepluamiauto 41 esoumricamllnlo igual al rea del triaugulo OBC, es dllcir,

A = U -2 P4/.Asl pues, el trabajo da la fuerza en el desplaumiento elstico se

determina como la mitlld de.J producto del valor mximo de la fuerzapor el despl/ltami~nto l. SI la rolaci6u antre la Iuerza y el daspla-zamiento no fuera, lineal, entonces an el lugar del ooeficiente Y.figurarla otro coeficiente. Cuando la fuern es constante el coeficiente se hace igual a la unided. En adelante, al calcular el trabajode laS fuerzas extoriorElll; escribiremos el coeficiente Y! sin ms el-plicaciones. Eliminando, 41 de la expresin de U obtenida, hallarllmOll

Pll .U=w' (1.8)

SI la fuen.a. normal N varIa a lo largo del eje de la barra entollCIl:!lla energia potencial de' la defonDaei6n se determinar aumando sobretodos los tramos dI!. (Iig. 25). Para un trllnlCl elemental se obtiene,

N'd.dU = TEF

'1 para toda la barra,,eNOdoU = KUF . (1.9)

Las re18ciones energticas se '8.mplean ampliameota al determinarl()g desplazamientos ell.sisteines elstlcos complicads. Los teoremasgenerales que a esto se rofiaren sern estudiados en, el captulq V.

11. Sislemas estll.licamenle determInados (iloltll.tico.)y eshUicemente indeterminados (hipereslll.ticOJ)

En lodO/; los casos anelizadO!! has~a ahora, las fuerzas normalesen las secciones transvel"Sllles de las barras se de~erminaban por elmtodo de las secciones, arlllliundo el eq uilibrio de la parle separada.Pero este mtodo ele determinacin da las fuerzn normales y, engeneral, de las fuerzas inleriores en la barra no siempre es pD:!liblll. EIIla prActica, constantemente IIOS enconlramO$ con sistemas con grallnmern de ligaduras y, para delerminar las fuerzas ioterioresen es-tos ,iatemlls, las eeuaciolle5 de la esUtica son insuficientes. F.SI~sistemAS se denominan sistemAS esliftcame!lle IJ/etermin.ados (hi-peresllicos).

EII la (igura 26, a esta representado un voladizo compuesto pordos barr&!o Los esfuerzos, en las barras que lo constituyen se hallallsin dificultad de las condiciones de equilibrio del nudo A. Si com-plicamos la estructura del voladizo, agregndole una barra ms(lig. 26, b) entonces, por ei mtodo anterior, ser., impDlllble determi.nar los esfuenOll en las barras, puesto que, como antes, se pu~r1~uplantear para el nlldo A soiementedosecuaeiones de la estlticll, mi en-tus que el nmero de incgnitas es tras. En estos casos se dice queelsistema liene un grado de hiperestelicidad. Complicando la estructura mll.s an, introduciendo nuev&! barres, se pueden obtener si&-ternos de doble grado de hiperestaticidad (fig. 26, eJ, de triple grado

..

de hlperest.tieid.d, ete. En t. fiun. 'l:1 1M daD tnll'l .ulemas m.El primero de 11101 .. IIllIt'tieamente determllUldo (isoet't1co), elIefUll.do y ,1 tercero, tienen I'8!peethlmente IlDO y dos grados dekiperestatieidad.

Se puede .firlnar que el grado de hip8f"81t.\icidad del sisteru es"eUilooo el n6mero de ligaduras supon. el o6muo de ecuaciones ind.peodletes en 11 unidades. La detennin.aef6n de todu lu fuenndllllCOoocldu o, como M dlee, la super.eln de la hiperestatle1d,d,rMult. poIible sol.mente plute.ndo 8Culeioon que completen el

R..21.

nmero de lu ecu.clon. de la asl.tlGl. b...... igu,urlo .1 nmero deInc6oilu. E!Jlu ee,,,tlooes .dieional. reflejan lu parUcul.ridadellgeomEtrieas de 1.. ligadlUU Impuestu I los .istemal deform.blflS y,C:OO".oeloIUlLmente... deoomilum U4Clon.u de u,s MspLn4ml~nto'.En el cuo de 101 .iu.m" compulIllIloS por brru de l. ffur. 26.111 K\laeioD8'II de 101 dellplu.mlentoe Ueoen que reflejar el hecho deque el Dudo A del sistema deformado tia.oe que HJ' com6n pa,. too"lal barras. En el ejemplo de la figura 27. In ecuadoDee da IO!I dMplaullnJeoto:!l, cuando l. baml AS elI rlgld., deberl lodicn que todoslos utremo:!l Inferlorl!ll de los tiraotCll, una V8t carg.do eIIltem.,lIe encontrsrin en una misma rect.

AnaUcemOll 10ll .princlpios del planteamiento de l ecuacione.!de loa dll9plan.mieotOl en los caSOll mb elementales de sistemas hiperest'ticos.

S)Jm.plo t.5. La b.".. bomod_ d. la filUra Z8 at' ampotrad. '~n lIUtuu-elQ'ot J IOlieit.da ~ l. fuena p p!iead. a UD t.el'Gio da la IOll(ltud dal.M".. a partiJ da!. e.p(l\rlll:liaoto IUparJor. DatarmlDU la! t.bSiollt!l mhlmu111" .. pNduceD ... la .rn.

SI. aistema 'leDa \iD ndo da hlpare5taUd'l4, ~1.0 qua la$ dos nacel_es. 'POfOl Rj Y R. 110 .. pueHD daterllllllll!" a. la Ilrilca 1C\IK1611 d. equlllbrio,

RA+R._P.'La 1lC1lKi611 da IOf d.pl""Gliaat.os ran.)a"" al _!lo d. qva 1.. lqtud lo-

t.a.l "1.. barn. 110 .....1... El a1arpllli.llto da la. parta iIlIPI""ior ...6 Jcual al~Jaiellto 'al. iallor. Por lo "'D1.O.

IAl.. I_IAI.I

...

&I,_do 10$ alara.m.i8ll.IOlI por tu fuenu obteD4n..Oll,1 2B~T' BI3"'

sr--y-.-. R,,-UlIJ., reol .. lfttdo esta. K"K;. junto eoa la de equlllbrlo. ballalllllloe,

2 18"-3'" RII-'3'"

Lll IlIblma ~i61l ar',2P

0 ..oo-3P

Eje... ,lo 1.6. El .Istem. d. t~ barru de llfU.1 lle16o \111', 29, .} el"ufI.do

Cap. /. T~a""l6" N o~mp~~I!d"

E~ta ll! la Kuadn de 101 de!plaumielltQl que !IiI p",tendia plan\eM.Exp""....ndo 1"" alargamienlO!! por 1... fuerus eorre.pOlldienle! haJllI'em05,

NO"'l,_~p .ep e! aN,'

....l.~ eF'lIhlen/eodo,

F

.'

SlIplIngamos .hon que. como n!!ultadodel caleotamiento d. 10ll tiranl.la viga rogldaglra alndedo. del punto O y ocupa 1.

Da la ..mojan,. de loe td9ngul"" OAA' y OBB',

pd'

Flg. 30.

1 1:A -~ __.-

N,_N,COIIa.vea "",,,uelta esta ecu.ci6n conjuntamente o"" 1.. de equ;l1brio. le ....

dremOl,Po""',, P

N,=N'='+2cOSiCl' N.... 1+ icM.EJemplo 1.1. La viga riglda lrupnnd.rahle

.rticulad. en el pUlIl.O O e. cnlg.d. d. dost1rantosalkltleo. Igual... (Iig. 30, el. Determlnar 10ll ""fuen... en lO'! tir.ntes. 1I calentarlos Al OC.

eor\.llmoa .... tirantes e ;IlUodUtllllOl\ lafue.ua N, y N. (fig. 30, bl. Igualalldo a,;.ero l. lUma de lO! momelll.Qll de tu fueruareapec:1o a l. a.licul.d6n O, hallaremos

N,.+2N,o_0.6)

.,

u"

poelci6n A'8' (lig. 30.6).bllllnmne

o d. ocuerdn Coa

"" dec:ir,

M.=Uot,l. frmul. (1.7),

N,' I ,(No' I )w+ a ....f_ EP+ o./!,/ ,N.-ZN,_EFaM.

Resulv!ondo ",,1.& ec:uacin almlllune.meotl! con la de equilibcio obteod..,m"".2 ,

N'=--:rePaol, N'--rEFaOI.E~ signo Geg.llvo d, N 1 Indica qu, l. I/rlmerl hU'1 00 Ir.blj Ir.cei60

c:omo ~ m.f.u"", .oleriormeo!.e, sino a eompfiloilo.E~!'lP OJ,8. Duranle el wnnlaje dellirtema d. bl"'ll d. l.a figura 31, Q

le observ que aa IOUlIitudO! da In hsrrn llo coneuerdQo (vn" el oudo A l.EI.woot.elllll realiudQ ron.odo los utremoa de In b......, .rticuladon.. Ay C. Determinar lna 1ISIn.~ en laa hltr" d,,opu6s del mont.".

Telllmoa clnc:o boJ:tn y, pnr lo tanlo. eioeo fuenas. duwnoeidl\ll. Para 1011lIudos A y H "' pueden plaot.ear cu.tro eeu.ciolll!' de equilihrio. d"" paca r.ad.1100. Por lo tsnlo. el i$teme lltoe uo gnldo de hlpereotaticldad.

De In c:ondlelonea de equilibrio del05nudO'!.A y B (111.31.6 Yo) haHaQlOl,N,_N._N., N,_N,. N.+2N,c",,3O'=0.

SupooglmOll qua deapu65 del mont.je, la ..titulad" A 8Il deaplu. h.tlaahajo l. mall'0itud ".l. ocup.aodo r. posldn A' Yque la ..rlicul.dn B "" mOeva

llaelmu (fi,. 3t, ~., 4. EotODc.eII,41._ ....030"; 4l, __ ult'os3O".

Ellll''ll*IllI'D!D d. l. baml ",.dI. _,.6/,=d-uA-u".

Ellwlll,D1oe d...1.. ,,"p_10

.. Cap. /. TTltCCI6" ~

"tensiones_ ungend.les). E!u condici60 es uu propiedad gener.lde eUIIlquiar elItdo .tensl.onal y se deoooslo. le,. de' r-tt:iprocidDd tkh1. WUiollt.f tIilflgtllCiaks: A 1.La recia se le puede dar uaa intet'Jlre-aci6n muy i1u.l1lrativa. Si Mperal1lOS de l. barra lraeelonad. elelemento reeUlnular ABcn (fil. 33, a) ser! "eil observJt que,

llldtptrnii.m~nl' 4el valor de Iss t&nslOllelll notm.Jell r;1' y o,las tensiones tangllnelales T' y TI' debern ser de tal magollud y te.-ner orlent.aci6n 'tal que 106 momentos de los paNl9 de eslas tensiones

" ",l====O;===8-,,,

FlI_ M.

le uuleo mutu.menle (fig. 33, b). Pan UD elemento arbitruio deIrllpesor 11 es ,vidente que,

'1"' ABIlAD _ f" /tDhAS,,

r' _ f",

Al mismo tinmpo, como se ve de l. figura 33, b, 103 vllCloret de1.. teru;ionel tangenciales en d05 planos perpllndiculares entre siViO dirigidos, o los dos \Ul1 misma arista (uistu A 'f C), o losdos M .JejaD de 11 Ilri&ta eomD (B y D).

La ley de reciprocidad de tu teIWoDeI unaeDeJeles eu el talO111'-.5 enerel de UD estldo tel1Slonel complejo 18 eOllizar otrl vezen I1 uphoJo VII (I 50).

AJaJiclmOS Ihorl 1.. dlfonulclOlles de II barrl trlcclonadl.Loe: etl!ayos delllulStran que (dentro di ciet\03 Ihnltes) el a1.rgamilntodi le barra lO l. dlfeCl:.i60 loogitudin. VI Icomplldo de un tlItre.eh.mieoto propOfclonl1 tnll5versal de la hur. (fig. 34). Si designl-mos por,

41 4.e...... ""T' e" =.,

entonces como dl1Uuestran loa enuyoa,e"... -lIelOhl' (t.l2)

.I.odo ... el l:(Ieflelente adlmenslonal de proporcionalidad dt!uomlnado coellclenle de Pois3on. LI magnitud Iol canctuiu Inpropiedadll!l d.1 material y se determina uperi.lllllllt.lmente. PI"tlMlOl los mltarialet 10!l valon de .. le llllCuentrall entl"ll 0,25 y o,as.En adelante, In el upit\llo VII, 118 de.mostr.r que en el CIJO de \lOmltenal l!tropo, Iol, en genenl, no pueda lfI" mllyor que 0,5.

ClJp. J. rrlll61t 11 ~~"'pru16"

Al traecionllr la barra apll.recen no solamente deformaciones 11_ocal&, ~lno tambltln aogulne9. Para determinarlas, aDalleemos elAngulo BAC (lig. 35, 0.) formado por los ~egmentos AB y AC. AlInecloDar la barTa, los puntos A, B Y e se dflllplllZan, ocupando laposlci6nA', B', C' (lig. 35, b). El nguloB'A'C', en el caso general,dejar de ser recto. La diferencia enl~ 108 ngulOll BAC 'J B'A 'C',

.S$tll(IC L

rt K ",..... .)

rt'f' -i' A, L'')

FI;. 85. fll ".cllma sabemos, se denomina derormaci6n angular o ngulo de d\"lor-si6n. Dll.!IignmOlllo por y"

Y.'""LBAC-LB'A'C'.Caleulemos primeramente el ngulo ((l. de giro del l!(!gmento AB

al tracciooar la berra. Para ello hacemos coincidir loa puntos A y A'J analitamos la posicin mutua de los llegmentos AB y A'B' (flg.36).En l!!lln misrDo dibujo sealamos los puntos auxiliar6& K y h 'J larecta n perpendieular al lIngmento A'B'.

El alargamiento unitario longitudinal y el acortamiento trans-verSllI, como se deduee de la figura 36, lIon

8[, [,8'e l1 -1(8' t,,,., = AK'

de dondn 68 obUene,BL =.eII..r MIO a, LB' = el".,ll.r cos a

o, de acuerdo eon las expTe!lIOnell (1.4) y (1.12),BL= ~ ..lgena, LB'-lli..reO!la.

Perll determinar el ngulo de giro tol., proyectamOll la lneaquebrada BLB' A' sobra el eje n, obteniendo

Il.'!>lln (1). = BLCOlIa +LB' !len'a0, teniendo en euenta que el ngulo (0), ea -pequeo,

Bl; eoa ll';" LB' se" Q(1).... ,h

"In\roduelendo lu upraiooea de 1011 .!leImenlOl BL 1 LB' halla-remOS.

u.-i(1 +l:')sen"'~4.VUilOdo el 'ogulo a. ell 90". obtendremos el to,ulo de giro delaeme.nto AC.

"'e.+J1l" --"K (1 +}4)seo COIo._La deformacio angular (tngulo de distol'lin) se determina comola diferencia de los 'OiulOl de (Cito de los aement08 y, por lotanto,

oy", =

terllll. E)I .... dependen, ante todo, dol tipo de material y, en ciertamedida, de las condicionOll dol tratamiento trmico 'J mednico.

Pera la solucin de los problemas prcticOll, es indispell!8.ble tenortambin las C8l11cter.'lticas numricas de las propiedades del'i!Sistenciadel material. Al os~ud!ar los proeosoa de dobledo y estampado so ne-cesil.8.n ciertos OXpOllootll!l que caractericen le capacidad der ma1erialdo deformarse plsticamente. En toda una sorlo de asos so requierendatos sobro la cepacldad dol material de rOllistir las temperaturasaltes, de trabajar con cargas variables, etc.

De acuerno con lo expuest.o, se realiun diveCllOll tipos de ensayos,siendo los principales y mll difundidos los onsa)lOl! a traccin y com-presin. Con su ayuda. se consigue obtener las caractersticas prin-cipales dol material de aplicacin directa llJl los clculos pdcticos.

Flg. 117.

Para los enllllYOS a traccin se emplean probetas ll:!Ipecbles queen su mayor parhl se tornean 'de barras Oso hacen da lminas. Laparticularidad esencial do las probeta! es la existeneia de lugaresrefonadOll que Birveg para fijarlas y de una variaci.n paulatina dela seccin, hacl, la parte de trabajo, relativamente ms estrecha ydebilitada. En la Hgura 37 se' muestI'an algooos Upoa de probetas.La loogitud de la parte de trabajo ~"b es,'gen~ral[llente 15 vecessuperior al dimetro d. Al medir las deformaciones, ae ll9a soJarnentala parte de esta longitud que no supera. ,diez dlmet.r08. 'Exist'en almismo tiempo probetas ms cortas, para las cuales llr.lIJd no 011 mayorque 5. En 01 caso de'seccin transversal rectangular, sa-escoge comoearactllrlstica que determina' la longitud do trabajo l, el dimetrodel el.reulo equivalente d. .

En loa eOlia)los' a compresin se emplean probetas cillndriC8.8 eor-tas,cuYa altura.8ll mayor que las dlmensl()nes de le seccin en menOlldll-dos veces (Iig. 38). En el CaBO de gran altura, la COmprll8ilI de la

probela v. a~oQlpa.ad.,como regla coenl, de UD pandeo que iD-fluye sobre 1011 result.dOl de loa ensayos.

,1.85 dimensiones absoluus de las probetea. tanto eo lO!! e.ns.yos ~rlcci6n como a.eomproslo, d.lpenden de la potencia .Ide que d~ponen las mll.qulnas y, da las dimllllsiol'lOll do la .pi_~l' bruta ,de la cual.lle preptlran 1118 probetllS.

d,b, qf\;. 38.

El IONYO traccin o compresin se realltl an miquinu espe-ei.le!!I, donde 1.1 fueru lMl erea, o bien pOI" un peso que acta ,abril1.1 probeta mediante todo UD sislema de palllncu, o por medio de l.presin bidr'ulies trumitida .1 inLbolo.En el primer caso la m-quina se Uama de palanca, en ell8f\lndo, hidr'ulies.

,

,

':SiMiA,. iA

,

I1 ~"

I,id 'U,"

,

II,IZW~z'~1

'4 \ .. , '+'= ;:::w ,n,_ 3t.En la figura 39 se reprllS(lota el esquema de la m'quina de ensayo

de palanea mh simple. Del tornillo sin flll 1, a mano o con mandoelctrico, gif' 18 fUed. deollld8 2 qua despl.t8 h/lci/l .b.jo el lOf-

., CllUdo.. h8.ba deIs potencNI de "ns lllq"llll" 81lSo1J'0 0" IIIlS prlllSoI,"' l\eIW 8n tUllCIla, DO 81 tr8b&jo que ruliu por ollidMl d. tl6lllpo, ~illO \.I\IIlns-':rIDle q.. es eapu de d.... l'TOlbr Is ..quIM_

oillo de fuerza 3. EIl la probete lapaf1lCe ue esta mll.J1l1ra un esfueuoque a tra\'s de las palancas 5, 6 Y 7 se equilibra con el p~o de lacllrga P en el brazoa. En la palanca 7 existe una graduacin en uDida-de3 do fuerza aplicada a la probeLa, El de.'lplntemiento del pesoBobre la palanca puede realizarse no solamante a mullo, sioo tambinautomticamente,

Flg. ~O.

En I~ fig.-40,esLa rej:Jr,esentado el esquema de una mquina hIdru-lIca da enso)'o da tipo universal, es decir, diseiiada paro 109 ensayosa traccin y a compresin. En el espacio inlerior del cilindro 1, mediante lB bomba.,2, a pres6n, so introduce el aceIte, eleYl~dose asiel olimbolci 9. En el~mbolo se instala.el prtico 4, cuya pllrtesuperiortiene un' cierre qua fija la probeta 5 que so ensaYll a traccin. En elcaso de compresin la probeta so instala sobre la parte inferior de laplataforma. En la figura 40, la probeta para el ansayo a compresinest dUiujada coo' lnea punteada y Vil sea:lada con la cifrn 6. Elprtico 10 es inolvll. En la fira 4.0 su plano convencionalmaiHe se

hice coincidir coo el del dibujo y el del p6rUc;o '1. EllIllfuerzo se midecon un lI'Il.n6melro 7, cuya 8!lCala indica la fuena que actJI sobre l.probetB. Alle,minar el ensayo, l IICil, bajo la presin del J!6rtieo 4,i5& dllllplau por la ]lave 8 haela el recipiente de IIcche 9.

LII pqlenela di lu m~quinu de en8lYO varll entre algunos gra-mos (pllra el e~yo de fibru hilO/l) Y cleotos de toneladas (panlosenn)os de estructuras grandes). Las mquinu de pequea poten-da (huta una tonelada) SI haceD generalmente dll tipo de palanca.Pua mayores potencias es preferible el principio hiddulico.

Dun,ote los eo.sayos lracci6n, l. probela MI fija en los c:ieITe:!Ide la m'quioa, o medialll.e cuu que aprietan automiticameDte taprobetA (fig. Ji1, Aj, o mediante casqllillOll partidOll (fig. Jit, b).

Los cierres e.n las m'quinu.se dUean de tal manera queucluy.n lainclinaci6n de la probe~a y g.ranticen, denlro dI lo poelble, la lrans-misi6n cenlral del esfuerzo sin flexin suplementaria. En los el\4lyosa eompresin la probeta cillndrica se coloca libremente entre laslosas peraJelas.

El prop:sito principal de los enllayos a lracci6n y compresinCOOSlsla en la coolllruccin de los diagramas de tracci6n y compre-sin, OMII, IQ dependencia entre la fuen. que acta sobn la probel..y 5U alargamiento. Eo la m'quina dI palanea la fuena se mide, o porel ngulo dlll indinllci6n del pndulo, o por la posici6n deJ pe:!lo queequilibre. En la m'quina hidrulica, la magnitud de la fueru seeslablece por lo escala del m.o6metro gr.duada debidllmenle. Parala medici6n A gro~1O modo de los alllrgamiantos se usan dispositivos!limpIe" (a manullo d plllneaj que fijan el d\!!lplaumiento mutilo de105 cierres de 111 mquina. Este rlesplullmienlo n el caso de IIll1rgllmientOll lI'randt!l ae puede ilfllal:.r 11\ IIllITlfamienlo de la probeta.Pua 111 medicin l'xectll de pllquefiOll alargamientos se emplean .pa-nlD!l e:speeiales denominsd~ lensmetrus. E!te dispositho se 8l!Itabl~

50

ce directamente ~obre u probeta p.r. fijar el despluamieoto mutuod. dos HCCiooes da l. parte dI trabajo de 1. probela. El mecanismoy el (uncioumlento de algunOiS tipos de tens6metrol! ser lI!Itudl.doen el capitulo XVI.

La miquio. de ensayo moderna fellltllmente tllIU provist. deUD dispo!litiyo pllra obtener lutoro'Ueamlnte el diagrama de Lne-e16n - compresin. E!lo penaite, una VII re_Iludo el ell.Nlyo. ob-tener en tiertAI escala la curva P-/(61).

e,

A' eA' o

"FII_ 43.

e

I 14. DI.gr.",. de lruellVeamos le. partieuluidadllll t3enci.les del diagrama de Inccln.En la rlgll,,, 42 es" representldo el diagrama, tpico pan el

Icero al carbono, del I!R$lIYO de le probeta t!n el ,islema de fOOrde-nadas P, l. La curva obtenida MI puede dividir eooveneionalrneDleen In cuelto leDU siguientes. p

p

"" 42.Le lona OA .se llama zona fktll2$l/.cidad. En ella el material se com-

porta segn 11 ley de Hooke yPI

t!./. EF'En l. firura 42 este tramo. p.r. mayor d.rld.d, no est repl't'Selllldo ICII. L...larg&mieIltos t!.l en el tramo OA !0fI muy pequeoa y all. reeU OA fue. dlbuj.d esc.I ~oiDcldirl. ~OD el aje de lu or-denadas (teniendo eri ~ue.nt. el f:S.pt!Or del eje). La mqnitud de laruena para l. ~ual es dlida l. ley de Hooke depende de l"dimellSi~nes de 1.1 probeLa J de las propled.dM fl!icu del material. En elcaso d. aceros de alu ealid.d, esu m.nitud lIIII ,mis .I....d. ParameUles como el eobre. elllumlolo y el plomo es v.rias veeee menor.

1.1 tona AB se denomlfll. 1(I/UI /lurndo gr_ral J el tramo ASdel di.gra.aa. escal6n-de fluenela. Aqui tiene lugar un aumento ~onslderable de l. longitud de la probe~. sin el .umento apree.ble dela eerg. W e.t~tenci. del esulft de f1uencl.. AB no es ur.tleris-,llco pna los metlll!!l. En l. m.}"orl. de loe e.sos. en los ensayos tr.ceIn y compresin. no se obser". dicho escaln AB y el dilgruo.de tnul60 de la probeta I:!I semej.nte las curvas repre;entadas en

.'------.."

A

"la (jlun ~. lo. curv. 1 es tipica .plra el "I"minlo y el cobl'tl recocido.la turv. Z, pan loe Icer95 ,INdos d, .I~ reeillhDCil.

Lo- ton. Be H d'Il()fIIiM SQnlI cU endurUrt.Uratl1. Aqul el .Ju-s.mlento d,e l. probeta. va .eomp~.do del eorre:tpondiente IUDllllloa, ... e.r., pero de m,o.r. mucho m le01l (ciento de veces) queefl el tr.mo _ltico. Ea l. lUpa de Ilndlll"lCimieol.o en la probet.se .,bJumbrtl el lugar de l. -'uture roture y eoml8DU I formln. loqua enral~eDLe JIl denomina ~llo. e:strec.bllmienlo 10ClI1 de l.probllt. (lig. 44)..A medid. que se traccione l. probeu l. seccin

FIl' ....

D

,

del cuello.se reduce r.6pldlmeolt. Cuando l. dbIDlnuti60 nl.ti ... da!.ir" de la secel60 se iguaJa .1 ,umento I'fIletho d. la tensin, l.fuena P .Ieanta IU mblmo (puoto e del dl'if.ma). En IIdel.nle1 alugamle.nto de la probett. traneeurTG siml1ltnNmente. l. dismlnucl6n de 1, fuulI, peslr de quela tensl6tl (DecUa en la teeel6n trcu~ ,vetll.tl del cueUo aumenta. El alar-ga.tlllento de l. probeta tlelle, en'fI:lIte CUO, UD carcter local y, por Ilo t.lOto, el U1l.tllO CD d. la cur.... "se denomina %(}f/.lI. de /lu,ndG 141. #El punto D corl'8!lpoade a J. rotura L I Mde. l. probeta. En al uso de muchOl'J Df~t;!;;;----,"materlale!l la rotura oeurre sin la .,; la ,(-aparicin apreciable del cuello,

SI la probeta que se ellnya nose lleva huLe la rotura y se d88earga(punto K de la ligura 45), enLonces durante el proteso de deaearll'a,la dependencia entNl la fuer'l8 P y el alargamiento Abe reprlligentar'por la recta KL (fig. 45). El ensa.yo demu8SLra que eslll recta es p/lra-JeJa. OA. Al rlese.argar l. probel.l no d8llllpUfICelmpleUmentll elalargamiento. aloo que disminuye slo 110 una lIlegeltud igual a laparte elbtica del alargemiellto (segmento LM). El aegmento OLrepresenta el alargamiento roslduaJ y sa denomine &te, (Iwrgomi'f1t/J,U"ko. Su correspondiente deformacin ae l1ema dolormaclO.plhllca. AsI pues,

OM _ A/do + Al...'t de Kuerdo coo estu,

Cap. l. Tracdd" 11 cDmpa.ld"

Si la probeta fue cargada previamente dentro de los limites co-rrespondieut(lll si tramo OA ~'descargada despus. entonces la defor-macin ser puramente elstica y til,.. _O.

Al cargarla de nuevo, el diagrama de traccin ir por la recta LXy despus liegln la curva RCD (fJg. 45), como si [10 IIJ:isti8Se des-cargll intermedia alguna.

Supongamos ahora que disponemos de dos probetas idnticas, deun mismo material y que una da ellas no se someti a carga pre-,'iamente mientras que la otra si y rl!(:ibi deformacionl\!l re.,idul\le.~.

Al allsayar la primera de llls proberas, obtendremos el diagramade traccin OABCD reprl\!lentado en la figura 4(;, a. Al ensayur lu

p p, e, ,

"""'"1h1' : o o,,

o'M

"M

"o, h,FIl. 4a.

"",gundn, las deformaciones se mcdirn ya, claro c:st, a partir ,Iel/"!!tat!o sin carga y el alargamiento residual OL no se tendr pues ellconsideracin. Como resultado, obtenemos un diagrama mas cortoLXCD (fig. 46, b). El segmento MK corresponde a le fuerza con quefue cargada la probeta previamente. Asl pues, el aspecto del diagramepara Ul! mi~ruo materiel depende del grado de I!.!Itiramiento iujciely la prepie solicitacin aparece aqul coruo una operacin tecnolgicaprevia. Es IIIUY importante el heche de que el ~egmento LK (Iig. 46, a)resulta mayor que OA. Esto demuestra que, como resultado del es-tiramiento jnicia! del materiel, :ste r..quiere la ca.pacidad de rel!istirmayor8S cargas sin recibir delermacionllS l"esiduales.

Ellenmeno que consisw en al mejorainieto de las propiedadeselsticas del material como resultado de lea deformaciones pl~tlcasprav'ies, ~e denomina mdurtclmltnJo por dtformocUlI en fro y seemplea amplil!.meote eu bdeoica.

Por ejemplo, para que el cobre en placas o el latn adquiera pro-piedades elastices, se lamina I:8te en frio entre rodillos. Las cedenas,cebles y correas se smeten e menudo a un estirawiento previo Jlorfuerzas supariores a las de trabej6 pua que en adelante no surjanalargamientos residualoo. En algunos casos, el endl,lrecimia[lto pordefermacin en frfo no es deseable como, por ejemple, durante el.estampado de muches pielaS de paredes delgadas. En este case, pere

lO

que no.se rompa l. lamiDa, el estiramiento se hace lA rorma osealo-rud. Antes de rHlIZlr l. aiuiente operacin 91 fl5Uramien~. J.pieZl .. lomete a un ttcoeldo que elimiol" el Indurecimiento.

I 15. Meeanilmo de tu del.rmaelo",.HUl' .hora, al h..bln de Jos e'p-uyos de traccin de l. pt()o

beu, nos ocupbamos solamente del aspecto ulerior del fenmeno,lrin profundbar eD los procesos interiOl'e!!I que ocurren en 111 m.teria!.Al tu'cler de l. variaclo de 18 fuerte P en funcin de lJ.I.'J(lle pued.dar tambin un. interpret.el6n fsica, ai partimos de la composicinmolecular del slido.

Como IIIl sabo, los cuerpOll a6JidOll se dividen en amorfos yeriata-Hnos. En 108 primeros. el diagrama de traccin no tiene carctere!luble, sino que depende 8eo.lblemente del Ilempo de accin de tnafuenU y el propio material ae comporLll, huta cierto punto, tomoun liquido viscoso. Debido a esto, nos deU!nemos solamente en elmecanjsmo de la deformacin de 10lI metllll'$.

TodO!llos meLllles,en eleslado en que.50emplean en la construc-cin de m~quind, tienen estructura policristalina, es decir, estnconttlluidO!l por un. inmensid.d de pequeO! crbt.les situadOll ea6-tleamenl.e en "olumen del metal. En algunos tUOS, l(l,!i cristales lie-nen elert.ll orientacin que eslldbtieamente pre... lece y que dependedel e",ricler de la le;noloria (laminado. estirado). Dentro de 1Mtmt.les. los tomos del metal se sitan en cierto ardeD, formandoun. red e&pgcial retru!". El ,i,tema de displllrci6n de 1M 'tomosdepende de !\I!i propiedades y depende tambi4n de las condicionesIIsicn de la criSllllbac!6n.

Entre 10!l tomo! de l. red crisulina exislen luerua de inlerac-ci6n tonsWntcs. Cuando lo distancia entre dos 'tomos es grande,estoa se atraen, en el tllSO de pequeas diatanclllS, IIlS fuenas aonde repulsin. El sistema do crisl./llizaci6n propia dol metal dado sedetermina por estas fucrzas y por la, Jeyes que IlIs regulan en lasdislinlall direeeionll!l. En el callO de un crist.l libre de cargos, estesislema de fuenn es un determinado tomo la propia disposicin delos 'tomos.

B.Jo la .ccin de In (llerUlS, lO! ALomO! de la red cristalina recibendesplu.mien~ mutu05, ....ri.ndo asf lu fuerza, de interacci6n.La de~nrienci. que elisle entre las fuertl! de interaccin lO! des-.pluamientO! tiene un earicter fUDCiolY1 complic.do. Sin amb.r:o,cundo se t,."u de desplnlmientM pequaliOll, esta d.~ndene.il s.pueda toRlliderar lineal. Los del'iplazamienlos que .parecen en lar&d trisulina en las distlnt.lls direcciones y cOITll:!Iponden a un conjuntocatico de crisLllles crean, de un. manera integnl, l. relacl6n d.pl'1;lporeion.lidad enl/"ll 101 despl.umientos de 101 puntos del ,6lidoy las cargas e:tteriorn, lo que se eJp~ por la ley de Huoke.

50

Al eliminar las fuerz.lls exteriores, los tomos ocupan de llUIlVOsu posicin bien determinada en .Ia red cristalina y se restablecen881 plenamente lu dimensiones geomtricas de! cuerpo. As! se explicala propiedad de elasticidad.

Analizamos ahora el prooeSo de aparicin de las, deformacionesplsticas. Los MSRY05 demuestran que la aparicin de las derorma-eionllS plsticas est. I'(llacionada con los desplazamientos originadosxlr los deslitamlentos en la red crlslalina. Una comprobacin clara deesto nos la da, en particular, la observacin dll la superficie de ullaprobelll pulida y gom6Uda a traccin. En la tona de financia llenera!y de consolidacin del material, es decir, cuand'o surgen deformacio-De:! plslicas apreciablll.'l, la superficie de la probeta se Gubre de todoun sistema 06 lineas finas o, como 8(llas llama. de fronfa.' de des/isa-mlm/Q (flg 47). Estas lineas tienen cierte direccin que prevalece

y que formA un ingulo de cerea de 45 0 con el eje deI lA barra y, prcticamente, coincide con los planosde las tensiones tangenciales mhimas.

.,.:

Flll, 41. Fill' 48,

Como resultado de los desli!amientos en los planOll Inclinados,la barra se alarga. El mecanisDlo de la formacin de eate alargamientoest reprel;/lnLado esquemticamente en la figul'l\ 48. El, cuadro feales ms complicado. puesto' que tiene un carcter 118pacial y el des-litamiento' ocurre no' solamente en un conjun~o de planos paralelos,como se 'indica en el dibujo, sino en todos loa planos que fOfmanun 6nglilo de cerca de 450 con el eJo de la barra.

Oentro de los limites da un solo crilll.al la formacin da las de-forma'ciones"plsticas ocurra como. resultado del desplazamiento deuna part.e de! cr~~al on elerto pleno. un ,nm,ero entero de elenrentosde, la red cristalina (plano AA en' la figura 49). La deformacloSo pls-tica mlolma co~respondeal despluamiento igual a un elemento de'l.red. Ealo e'I un~ eapecie de cuanto de lli deformacin plstlea. Comore:!luhado de tlil desplazamiento cada- 6to010 anterior ocuparti ellugar del lomo posterior y todos lO!! tomo! ocupartin los lugares pro-

""'"l' = 1'""," a ."e_. GPero como -;=y y T=vr obtendremos, T'=2n

Al traceionar la barra, las tensiones tangenciales m'xlmas IIpll-recern en loa plellos inellnados 45 G respecto al eje de la probeh. yserb iguales a 0/2. Suponiendo que G=2~ , obtendremos a,",,=~.

As pues, es de esperar que la barra en la tracd6n ea capaz deresistir tensiones del orden de una udma de la magnitud del m6-

pios de la estructura eristalina dada; Por lo I.8nto, el_cristal manUena6US propiedades, cambiando solamente su configuracin', exterior.

Supongamos que el despLuameto de los it.otos_'durante eldeslinmiento ocurre simultneamente en todo el p!irio AA (fig. 4{}).f veamOll el orden del vdor de las tenlliones I.8ngencides neCesllfillspara, que en el cristal a'pafetoan il8fotmaclonell plsticas. Est\: claro,que la componente tangencial de lu fUenas de interacclon, sobre elplano AA, durante el desliumiento" varia 'en funcin del' desp IllU-miento muluo de las partes' del cristal segll.n cierta ley peridica

(fig,,~. .Mienll'as el desplazamionLo mutuo u as menor que la mil.8d de la

dishnchl. entre los litom();!l 0/2, las fuenas de adherencia se oponen al

fll_ &O.

eslbamlento. Siri embargo, una vez superada esta dbtancia. lasluen..1S de int.eracci6n contdbuirn al desplazamiento posterior dela red hacia una nueva pooiei6n estable de equilibrio. Asl pues,cuando u--i, la tensin l' verla de signo. Consideremos que Tvaria segn la sinusoida T=T.... sen ~u , donde T",.. representaIs tensin despus de la cual surgen las deformaeionllll plutlcas.

Cuando el desplazamiento u es pequeo,2>lu 211..~"-.-~-.- .

obteniendo asl la proporcionalidad dinlCtIl corre!pondlenta a laley Hooke

"dula de ela~lieidad e, sin que Il.Ir'n deformecjoD~ plaMic:l5. Sinembarro, 105 ensaY06 demuestran que esh .... Ioracin no es eorrecu.En re.lid.d, 118 deform.eloDIl! plistic.u Imienun. de5llrroll.rseen los eristales pI,. ten.sionlil!!l cieolos d. \'eees menOfM que lu quefe esperan.

El llIT'Of MelK:i,1 cometido ms arrib, lo consliluye la suposicinde que el dMplaurnieo\O de los lomOl durante 81 desHumienlo ocu-lTe en todo el plano al mismo tiempo_ Eo rt'.lid.d, el paso de 105.lo-mOl! I 105 logata vecinos V8 u.ompllilado de aberraciones loeaJesde l. estOlclnTI qUIl se denominan dllc:lCIlclones )' se trasmiten eomouna ond. , lo 1111'go del plano en funeiD del tiempo.

ECI l. figul"ll SI esti fllpresentado el esquema mis simple d. Ja nillamida dillloclci6o dI! borde quese e-r.ctuiu pOf' l. exist,"eia de un

.

.

fl" ".

Sllmiplano vertical superfluo d. 'lomO!! en In parte superior dal erist~l. Un~ vez que la dislocacin recorra lodo el crislal da iMluierd derecha (fig. 51), variar' 1.. form .. del cristal. aunque la estrucluraperfllanuca inalterad.

En l. Ilgure 52 estii dado el modelo de burbuju del plano'lmico que contiene dislocacin. Pan observar mejor se debe mir.rla fotografla bajo un ngulo pequeo, irindola 300 bacia la derechao hU.ia la hqulerda.

El despluamlento de la dillloc:aellI a travs del cristal lllI teme-jilote al movimiento del pliegue en la alfombn que cuando recorretoda la aUombn, esta ltima recibe cierto despluamiento. La fuenanecesaria J?llr. al d9llplaumienlo del pJierue es sell!ibllilmente manorque la nllCf!lSllria pUl mover toda la aUombn.

El peso del 'tomo a UD nuevo lugar va aeompaiado de efedMdin'miGOll. El "tomo adquiere cierta eoe"ll. cintica y realiza un

mO~'imi&llto oscilatorio alrededor de la nue~" poalei6n de equllibrio.Por lo tallto, tiene lugar cierta ...diacin da calor, resultando que l.probeta M calienta lIensiblemenUlIUt el proce,so de lu defomu,eionespljlltiUlI.

La formacl6n d8 Las deformaciones plbticu en 1M met.l. co-mienta ya pln carga! rel,tivamente pequeu. Entnl la inmen~lIid.dde crisl.les situados c.6ticamenle. siempre ~ encuentRO .lruOOfde orientacin desfavorable, toll defeclOll interiores, lo que hace

"posible la aparicin de variacionllS platiclIS neluao pUl cargas telll'Uvamoote pequeu y dentro de la lona elstica. El nmero de cri&-tales de esle tipo no ll!I grande y lea deformaciones plblita.!l localesno nfJuyen sensiblemente sobre la dependencia lineal general entrela fuen. y el desplanmlimto que es propia de la primera etapa desolicitacin de la probeta.

En el caso de fllena!! Ilufichmtllmllllte grandlll Jaa detorrnllciollesplsticas prevalecen ya en la probeta. LOlI deslizamientos Irrll\'ersi-

Fil. st.

bies ocurren en la mararla de los cristales en los planos lilas dbiles.sobre todo si !ltOll tienen uoa orillolacin semejante a 111 de 109 pla-005 de lu tensiones tangenciales mh:imu de la probeta. ElIto 1I1l-CUllntra su expresin eD le formacin dlllu Enojas de deslbamillnto.Al traccionar la probeta 101 cristales vooinOl aclan UIIOl sobreotl'Qll y comoconsetuencia, 101 despluamientOl plsticOlJ qUl se desa-rrollan en un crisl.al no pueden crooer indefinidamente pUll910 quel'86ullan bloqueadOll por 101 cristalll9 ...ooln09 de orientacin msfavorable. Asl se uplica la existencia de la zona de cort.'lotidacindel material y cierto aumenlo de la fuena de lrac.c16n duranle lasdeformaciones plticu. A!l1 pues, durante el proceso de tmdureci-miento por derormaci6n en frio ocurre, diriamos, la liquidaci6nde 109 punt09 dbiles en los cristales de oril.'nlaci6n menos fevorHble.

..

Al apli~r a t. probeta la carga euer:lor, ID los crlSlIlM IUreoeiel1.oll desplazamientos da los toeDOI, DO IlOI'lDeJlt.e ID UD DllDllI'O!lItuo de pol!IicloDM. SiDO que MI m.olilm tambin eiertll dafor.m.'cin de l. red eriatallo. &1 decir, jUlltO' l. deformacl6n plbtiCluiste tambi la deformacin elbtie.. Ounnl. l. desutga, l.forma de la red deIorm.d. se recupera, decir, desaparece l. de-formaci6n llJ'atla, miantru que l. def0I'U18ti6n plstica, e1.tO Mt.00 desapneee.

Tiene importancia el hee:.ho de que .1 proceso de desapllriei6nde l. deformacin .lhUeIo transeiirll por lu miawu leyes de YIHi.-ci6n de lu rUenas intererlst.alin15 q111 on la et.pe inicial de 111. cug.de l. probeta. & por IlO que l. I1ICU de l. dMe.tga KL (fi,.45)es plI.r.lel la rocta eorrMpondierite' la carga inicial OA.

Cuando los esfuonoe de-traccin son CQnsiderables, at delorm.-clones plbLICJI conducen I la de!ltruccin do lu ligadura!! entre 10!1crialllles y 10ll 'tomO!l, de!ltruytlndost III! la probelll. El meeaniJmode la deslzuccio e!lUi poco estudiado por ahora y 110 ulste unaleora que _ .dmitida por todos.

~ imporlllDUI obserl'lIf que la de5Crlpeln lIQ\..erior 1I0b,.. el oriI:'l'n de las d&formacioo. plbticas cot15Orve IIIS peculiuidadM cua-lilati ..as para los cuerpos de c~lquier forma iodependient.mentede las ley. de dislzibuci6n de las luen.,. uterior1lS. Por eso, la d..pendencia lineal ent,.. 10!l desplnlllmienlos Y' le fuorus es propia.dtfltro de cierLnlllmlt., no slo de la probetl tracciooada, lino, comoregla 1!nenl, lIlmbin de clUllquiu eJt.ru.c:tUf1l compleja. Lo mismose puede decir sobre la ley de 11 descarga. En .el diagrama del ensayode II estructura ta reclll de la deICarga es plralela a la de la