Tema 2: Representación de la información

1. Sistemas numéricos• Sistemas de numeración y cambio de base• Aritmética binaria• Sistemas de codificación y representación de los

números

2. Codificación binaria• Representación binaria de datos e instrucciones• Características de los espacios de representación• Aspectos de los sistemas de representación

3. Sistemas alfanuméricos• Características de los códigos• Principales sistemas d codificación

4. Códigos redundantes• Características de los códigos• Códigos detectores• Códigos correctores

Contenido

v 3.0

Sistemas de numeración y cambio de base

Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras

Ejemplos:

b = 10 (decimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

b = 2 (binario) {0,1}

El número se expresa mediante una secuencia de cifras:

N ≡ ... n4 n3 n2 n1 n0 n-1 n-2 n-3 ...

El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia

1. Sistemas numéricos 1/24

El valor del número se calcula mediante el polinomio:

N ≡ ...+ n3·b3 + n2·b

2 + n1·b1 +n0· b

0 +n-1·b-1 ...

∑≡i

ii b·nN

Ejemplos:

3278,5210 = 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 101 +

+ 8 · 100 + 5 · 10-1 + 2 · 10-2

175,3728 = 1· 82 + 7 · 81 + 5 · 80 + 3 · 8-1 +

+ 7 · 8-2 + 2 · 8-3 = 125,488281210

Sistemas de numeración y cambio de base

1. Sistemas numéricos 2/242/4

Conversión decimal - base b

Método de divisiones sucesivas entre la base b

Para números fraccionarios se realizan multiplicaciones sucesivas por la base b.

Consideración de restos mayores que 9 y Error de truncamiento

Ejemplos:

2610 = 110102

0,187510 = 0,00112

26,187510 = 11010,00112

1. Sistemas numéricos 3/24Sistemas de numeración y cambio de base 3/4

b = 2 (binario)

{0,1}

1101002 = (1· 25) + (1· 24) + (1 · 22) =

= 25 + 24 + 22 = 32 + 16 + 4 = 5210

0,101002 = 2-1 + 2-3 = (1/2) + (1/8) = 0,62510

10100,0012 = 24 + 22 + 2-3 = 16 + 4 +(1/8)

= 20,12510

Ejemplos:

0 000

1 0012 010

3 011

4 100

5 101

6 1107 111

Decimal Binario

Números binarios del 0 al 7

Rango de representación: Conjunto de valores representable. Con n cifras en la base b podemos formar bn combinaciones distintas. [0..bn-1]

Sistema de numeración en base dos o binario

1. Sistemas numéricos 4/24Sistemas de numeración y cambio de base 4/4

Operaciones básicas

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0 (1)

A B A*B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B A – B

0 0 0

0 1 1 (1)

1 0 1

1 1 0

A B A/B

0 0 --

0 1 0

1 0 --

1 1 1

1. Sistemas numéricos 5/24

Aritmética binaria

Ejemplos

Sumas y restas

Multiplicaciones

División

1. Sistemas numéricos 6/24Aritmética binaria 2/2

Octal

b = 8 (octal) {0,1,2,3,4,5,6,7}

Correspondencia con el binario

8 = 23 ⇒ Una cifra en octal

corresponde a 3 binarias

10001101100.110102 = 2154.648

Ejemplos

537.248 = 101011111.0101002

Conversión Decimal - Octal

760.3310 ≅ 1370.25078

1. Sistemas numéricos 7/24

Sistemas de codificación y representación de números

Hexadecimalb = 16 (hexadecimal)

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,}

Correspondencia con el binario

16 = 24 ⇒ Una cifra en hexadecimal

corresponde a 4 binarias

Hexadecimal Decimal Binario

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C 12 1100

D 13 1101

E 14 1110

F 15 1111

1. Sistemas numéricos 8/24Sistemas de representación y codificación de números 2/18

Ejemplos

10010111011111.10111012 = 25DF.BAH

4373.7910 ≅ 1115.CA3D16

Conversión Decimal - Hexadecimal

273

553

1174373

17113 16

16

1

16

1 1

1. Sistemas numéricos 9/24Sistemas de representación y codificación de números 3/18

Código no ponderado, contínuo y cíclico

Basado en un sistema binario

Dos números sucesivos sólo varían en un bit

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1 0 3

1 1 0 0 1 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 5 1 0 1 0 1 0 1 6 1 0 0 0 1 0 0 7

1 1 0 0 81 1 0 1 91 1 1 1 101 1 1 0 111 0 1 0 121 0 1 1 131 0 0 1 141 0 0 0 15

2 bits 3 bits 4 bits Decimal

1. Sistemas numéricos 10/24Sistemas de representación y codificación de números 4/18

Código Gray

Conversión Binario - Gray

A partir del primer bit sumamos el bit binario que queremos obtener con el de su izquierda

1 1 0 1 1

+ + + +

1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 Binario↓11 + 0 1 1 0 ↓1 11 0 + 1 1 0

↓1 1 11 0 1 + 1 0

↓1 1 1 01 0 1 1 + 0

↓1 1 1 0 1 Gray

Conversión Gray - Binario

1. Sistemas numéricos 11/24Sistemas de representación y codificación de números 5/18

Código BCD - Binary Coded Decimal

Dígitos decimales codificados en binario

Ejemplo

9 8 3 2 510 = 1001 1000 0011 0010 0101BCD-natural

Decimal BCD natural BCD exceso 3 BCD Aiken BCD 5421

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 7 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0

BCD natural tiene pesos 8421

BCD Aiken tiene pesos 2421

9 8 3 2 510 = 1111 1110 0011 0010 1011BCD-Aiken

1. Sistemas numéricos 12/24Sistemas de representación y codificación de números 6/18