Relatividad General - Instituto de Física y Matemáticassarbach/teaching/maestria/rg13/RG.pdfLa relatividad general tambi en predice varios nuevos efectos (corrimiento al rojo, ondas

Relatividad Generalcurso de maestrıa

Olivier SarbachInstituto de Fısica y Matematicas

Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo

27 de enero de 2011

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Indice general

Prologo 5

1. Introduccion 71.1. Una breve historia de la gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Teorıa de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Las transformaciones de Poincare . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante . . . . . . 161.3.4. Las ecuaciones de movimiento para una partıcula relativista 18

1.4. La estructura causal del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . 201.5. Apendice: Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Teorıas escalares de la gravedad 23

3. Geometrıa diferencial 273.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Campos vectoriales y tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2. Transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3. La diferencial de un mapeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.4. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.5. Campos de covectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.6. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3. Conexiones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. La derivada covariante de campos tensoriales . . . . . . . 493.3.2. El transporte paralelo a lo largo de una curva . . . . . . . 513.3.3. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Metricas pseudo-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.1. La metrica como isomorfismo entre TpM y T ∗pM . . . . . 603.4.2. La conexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3. Integracion de funciones sobre una variedad . . . . . . . . 65

3.5. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5.1. El flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

4 INDICE GENERAL

3.5.2. El pull-back y el push-forward de un difeomorfismo . . . . 733.5.3. La derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5.4. La interpretacion geometrica de la derivada de Lie . . . . 79

3.6. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.6.1. La interpretacion geometrica de la curvatura . . . . . . . 863.6.2. La curvatura asociada a la conexion de Levi-Civita . . . . 88

3.7. Apendice: Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. El principio de equivalencia 954.1. La formulacion fısica del principio . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2. La formulacion matematica del principio . . . . . . . . . . . . . . 974.3. Las ecuaciones de movimiento para una partıcula . . . . . . . . . 994.4. El lımite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5. Las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo . . . . . . . . . . . 104

4.5.1. La descripcion a traves de potenciales . . . . . . . . . . . 1074.6. El lımite geometrico en un fondo curvo . . . . . . . . . . . . . . . 1094.7. Campos estacionarios y estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.7.1. El principio de Fermat para campos estaticos . . . . . . . 1164.8. El corrimiento al rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.9. Sistemas de referencia no-rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.9.1. La diferencia fısica entre espacio-tiempos estaticos y esta-cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5. Las ecuaciones de Einstein 1255.1. La interpretacion fısica de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2. Las ecuaciones de Einstein en vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3. Las ecuaciones de Einstein con materia . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4. Fluidos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5. El lımite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6. La solucion de Schwarzschild 1516.1. La derivacion de la solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . 151

7. Campos gravitacionales debiles 153

8. Los universos de Friedmann-Lemaıtre 155

Prologo

Estas notas se basan en gran parte en los cursos de relatividad general de losDrs. Markus Heusler y Norbert Straumann de la Universidad de Zurich y en ellibro del Dr. Straumann, General Relativity and Relativistic Astrophysics [1]. Enparticular, se trata de formular las leyes de la fısica en su forma independiente decoordenadas locales, es decir, directamente sobre la variedad del espacio-tiempo.Por esta razon, se introducen los conceptos de la geometrıa diferencial que sonrelevantes para la relatividad general.

Estas notas tambien contienen material que no se encuentra en todos loslibros estandares de relatividad general, como por ejemplo una teorıa de in-tegracion de funciones sobre variedades pseudo-Riemannianas que evita la in-troduccion de formas diferenciales, una formulacion Lagrangiana de los fluidosrelativistas y (planeado) una derivacion geometrica de la metrica de Schwarz-schild.

Para referencias adicionales sobre la relatividad general, el lector puede con-sultar el libro de Wald [2], el libro de Misner, Thorne y Wheeler [3] o el libromas reciente de Carroll [4].

Agradezco a mi esposa, Susana, y a mis estudiantes, sobre todo al Mtro.Nestor Ortiz Madrigal por varias correcciones o sugerencias que ayudaron amejorar estas notas.

Morelia, 2011, Olivier Sarbach

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6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Una breve historia de la gravitacion

1600: Galileo Galilei introduce la idea de sistemas de referencia en movimien-tos y encuentra que la aceleracion de cuerpos en caıda libre es universal.

1666: Isaac Newton formula la ley universal de la gravedad y las ecuacionesde movimiento de la mecanica clasica.

1854: Georg Friedrich Bernhard Riemann interpreta el espacio como unmedio e introduce la nocion de distancia a traves de una metrica. Estollevara a la formulacion de la geometrıa diferencial.

1873: James Clerk Maxwell formula las ecuaciones completas de la electro-dinamica. Ademas, la teorıa de Maxwell ofrece un modelo de la luz comoun efecto electromagnetico y predice la velocidad de la luz.

1887: Michelson y Morley muestran a traves de experimentos que la existen-cia del eter queda descartada.

1905: Albert Einstein formula la teorıa de la relatividad especial y revolucionalos conceptos de espacio y de tiempo.

1915: Albert Einstein formula la teorıa de la relatividad general que explicala precesion del perihelio del mercurio. La relatividad general tambienpredice varios nuevos efectos (corrimiento al rojo, ondas gravitacionales)algunos de ellos que son sorprendentes (agujeros negros, expansion deluniverso).

1919: Eddington y Dyson miden la desviacion de la luz durante un eclipse so-lar y encuentran que concuerda con la prediccion de la relatividad general.Einstein se vuelve famoso.

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8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

La relatividad general juega un papel importante en varias ramas de la fısicaactual. Por ejemplo, es fundamental para entender el colapso de una estrellay para entender el universo. Tambien juega un papel importante en teorıasmodernas de unificacion de las fuerzas.

1.2. Teorıa de Newton

En la teorıa de Newton existen sistemas de referencias (t, x) = (t, x, y, z)preferidos que se llaman los sistemas inerciales. Estan caracterizados por lassiguientes propiedades:

(i) Las partıculas libres se mueven en trayectorias rectas,

d2x

dt2= 0.

(ii) Sean (t1, x1) y (t2, x2) dos eventos, entonces la cantidad

|t1 − t2|

es independiente del sistema inercial.

Ademas, sean (t, x1) y (t, x2) dos eventos simultaneos, entonces la cantidad

|x1 − x2|

es independiente del sistema inercial.

Las propiedades (i) y (ii) implican que dos sistemas inerciales (t, x) y (t, x)estan conectados por una transformacion de coordenadas de la forma

t = λ t+ a, (1.1)x = Rx+ v t+ b, (1.2)

donde λ = ±1, a ∈ R, b y v son vectores en R3 y R ∈ O(3) es una transformacionortogonal. Para ver esto, observamos primero que la propiedad (i) implica quela transformacion L : (t, x) 7→ (t, x) mapea rectas sobre rectas. El Teorema 1en el apendice implica1 que L debe ser una transformacion afın. Entonces lapropiedad (ii) lleva a la forma (1.1,1.2).

(1.1,1.2) se llaman transformaciones de Galilei. Forman un grupo dedimension 10.

Las ecuaciones de movimiento de Newton para una partıcula en un potencialgravitacional φ son

mix = F (t, x) = −mg∇φ(t, x), (1.3)∆φ(t, x) = 4πGρ(t, x), (1.4)

1De ahora en adelante, vamos a suponer que todas las transformaciones de coordenadasson invertibles.

1.2. TEORIA DE NEWTON 9

donde ρ es la densidad gravitacional de masa, mi es la masa inercial de lapartıcula, mg su masa gravitacional,

G = 6,6743× 10−11m3kg−1s−2

la constante de Newton, ∇ = (∂x, ∂y, ∂z) el operador nabla y ∆ = ∂2x + ∂2

y + ∂2z

el operador de Laplace.

Ejemplo: Considere un objeto puntual de masa M en el origen. Entonces,ρ(t, x) = Mδ(x) y

φ(t, x) = −GM|x|

.

Entonces,

F (t, x) = −GMmg

|x|3x.

Los experimentos de Galilei surgieren que la aceleracion es independiente dela masa de los cuerpos, lo que implica que la masa inercial es igual a la masagravitacional,

mi = mg .

Es facil ver que las ecuaciones de movimiento de Newton son invariantesbajo transformaciones de Galilei. Hasta aqui todo esta consistente. Un problemaaparece a la hora de considerar las ecuaciones de Maxwell,

∇ ·B = 0, ∇∧ E +1c

∂

∂tB = 0, (1.5)

∇ · E = ρc , ∇∧B − 1c

∂

∂tE =

1cjc, (1.6)

donde E y B denotan el campo electrico y magnetico, c es la velocidad de la luz,ρc la densidad de carga y j

cla densidad de corriente electrica. En la ausencia de

fuentes (ρc = 0, jc

= 0) las ecuaciones de Maxwell implican que las componentesu de E y B satisfacen la ecuacion de onda

1c2∂2

∂t2u−∆u = 0. (1.7)

En particular, la radiacion electromagnetica se propaga a la velocidad de laluz. Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) no son invariantes bajotransformaciones de Galilei. Por ejemplo, supongamos que E(t, x) y B(t, x)satisfacen las ecuaciones de Maxwell, y sean E(t, x) = E(t, x − vt), B(t, x) =B(t, x− vt) los campos transformados. Entonces

∇∧ E(t, x) +1c

∂

∂tB(t, x)

= ∇∧ E(t, x− vt) +1c

∂B

∂t(t, x− vt)− 1

c

3∑j=1

∂B

∂xj(t, x− vt)vj (1.8)

= −1c

3∑j=1

∂B

∂xj(t, x− vt)vj , (1.9)


y obtenemos un termino extra.Fısicamente, la falta de invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo trans-

formaciones de Galilei tiene que ver con el siguiente problema: Considere unrayo de luz y un observador que viaja a la velocidad de la luz

c = 299, 792, 458m/s,

en la misma direccion que el rayo de luz. El observador ve el rayo de luz (quefue emitido en el sistema de reposo) como una onda estacionaria y no un rayode luz.

Geometricamente, esta falta de invariancia esta relacionada con la falta deinvariancia del cono de luz en un evento (t, x)

Ce := (s, y) ∈ R4 : c|s− t| = |y − x|,

bajo transformaciones de Galilei. Si L es una transformacion de Galilei quelleva el evento e al evento e′, entonces L(Ce) solamente es igual a Ce′ paratransformaciones con v = 0.

1.3. Relatividad especial

Para resolver este problema, Albert Einstein postulo en 1905:

(a) Los sistemas inerciales estan caracterizados por las siguientes propiedades:

(i) Las partıculas libres se mueven en trayectorias rectas,

d2x

dt2= 0.

(ii)’ La velocidad de la luz es independiente del sistema inercial.

(b) Las leyes de la mecanica y de la electrodinamica son las mismas en cadasistema inercial

Como vemos, la propiedad (ii)’ reemplaza la propiedad (ii) en la teorıa Newto-niana. Implica que el cono de luz en un evento e = (t, x),

Ce := (s, y) ∈ R4 : c|s− t| = |y − x|,

es independiente del sistema inercial: Si L es una transformacion entre dossistemas inerciales tal que L(e) = e′, entonces L(Ce) = Ce′ .

Los postulados de Einstein sugieren el siguiente programa: Primero, tenemosque encontrar el grupo de transformaciones de un sistema inercial a otro, es de-cir, tenemos que encontrar las transformaciones de coordenadas (t, x) 7→ (t, x)que son compatibles con los puntos (i) y (ii)’ arriba. Las transformaciones queresultan se llaman las transformaciones de Poincare y reemplazan las transfor-maciones de Galilei. Luego, tenemos que reformular las ecuaciones de movimien-to de Newton (1.3,1.4) y las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) en una forma quees invariante bajo transformaciones de Poincare.

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL 11

1.3.1. Las transformaciones de Poincare

Para encontrar las transformaciones que son compatibles con los puntos (i)y (ii)’ es conveniente introducir la notacion que sigue

x = (xµ) = (ct, x), (µ = 0, 1, 2, 3).

Ademas introducimos la matriz2 simetrica

(ηµν) :=

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Con esta notacion, y el convenio de sumacion sobre ındices repetidos, podemoscaracterizar el cono de luz C por

0 = ηµν∆xµ∆xν = −c2(∆t)2 + |∆x|2,

donde ∆xµ := xµ2 −xµ1 . ηµν define una forma bilineal (“producto escalar Loren-

tziano”),

(v,w) := ηµνvµwµ = −v0w0 + v1w1 + v2w2 + v3w3, v,w ∈ R4,

que no es positivo. El cono de luz consiste de los vectores ∆x ∈ R4 para loscuales (∆x,∆x) = 0. De hecho, no es difıcil mostrar que cualquier otra formabilineal (., .)′ que caracteriza el cono de luz de esta manera esta relacionada con(., .) a traves de una constante multiplicativa, es decir, existe α 6= 0 tal que

(v,w)′ = α(v,w)

para todos v,w ∈ R4.Ahora sea L : x 7→ x una transformacion de un sistema inercial a otro. Como

antes, la propiedad (i) implica que L mapea rectas sobre rectas y el Teorema 1en el apendice implica que L debe ser una transformacion afın. Entonces existenA ∈ GL(4,R) y a ∈ R4 tales que

x = Lx = Ax + a.

Puesto que L debe dejar el cono de luz invariante (por la propiedad (ii)’), tene-mos que

(Av, Aw) = α(v,w) (1.10)

para todos v,w ∈ R4, donde α 6= 0 es una constante. Esta constante debeser positiva porque de otra manera, la transformacion lineal A mapearıa elinterior, (v,v) < 0, del cono de luz (un conjunto desconectado) sobre el exterior,(v,v) > 0, del cono de luz (un conjunto conectado) lo que no es posible dadoque A es continua.

2Como vamos a ver pronto, η no es realmente una matriz sino un tensor.


En forma matricial, la condicion (1.10) tambien se puede escribir como

vTAT ηAw = αvT ηw

para todos v,w ∈ R4. Entonces, A tiene la forma

A = ΩΛ, (1.11)

donde Ω > 0 es una constante positiva y Λ ∈ GL(4,R) satisface

ΛT ηΛ = η. (1.12)

Una transformacion lineal Λ : R4 → R4 que satisface (1.12) se llama trans-formacion de Lorentz. El conjunto de todas estas transformaciones forma ungrupo que se llama el grupo de Lorentz. Elementos particulares de este gruposon:

(1) Un boost (empuje) con velocidad v (|v| < c) en la direccion x:

Λ =

γ γβ 0 0γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, γ =1√

1− β2, β =

v

c.

(2) Rotaciones:

Λ =(

1 0T

0 R

), R ∈ SO(3).

(3) Inversion del sentido del tiempo:

Λ =

−1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

(3) Inversion de la paridad:

Λ =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

Se puede mostrar que cualquier transformacion de Lorentz se puede escribircomo una composicion de estos elementos particulares. Existe un boost y unarotacion en cada direccion, por lo tanto, el grupo de Lorentz es hexadimensional.

Ahora regresamos al resultado (1.11), A = ΩΛ. Queremos concluir que elfactor de escala, Ω, debe ser uno. Para mostrar esto vamos a suponer que cada


sistema inercial posee una escala fija. Esto implica que Ω debe ser constantepara Λ fijo y que A solamente puede depender de Λ,

A = A(Λ) = Ω(Λ)Λ, Ω(Λ) > 0.

Ademas, tenemos que A(Λ1) A(Λ2) = A(Λ1 Λ2) para todas las transforma-ciones de Lorentz Λ1,Λ2. Entonces,

Ω(Λ1) · Ω(Λ2) = Ω(Λ1 Λ2) (1.13)

para todas las transformaciones de Lorentz Λ1,Λ2. Pero esta condicion y lapositividad de Ω implican que Ω(Λ) = 1 para todas las transformaciones deLorentz, como vamos a mostrar ahora: Primero, eligiendo Λ1 = Λ2 = I (laidentidad) en (1.13) obtenemos Ω(I) = 1. Luego, si Λ es una inversion de paridado del sentido del tiempo, tenemos que Λ2 = I y (1.13) implica que Ω(Λ) = 1.Luego, sea Λ una rotacion por el eje e, y sea S una rotacion con el angulo π porun eje perpendicular a e. Entonces, S2 = I y Λ−1 = SΛS. Por lo tanto, (1.13)implica que Ω(Λ) = 1. De manera similar, sea Λ un boost en la direccion x y S larotacion con el angulo π por el eje z. Entonces S2 = I y Λ−1 = SΛS y concluimosque Ω(Λ) = 1, como antes. Finalmente, ya que cualquier transformacion deLorentz se puede representar por la composicion de transformaciones analizadashasta el presente, concluimos que Ω(Λ) = 1 para todas las transformaciones deLorentz.

Concluimos que las transformaciones L que llevan de un sistema inercial aotro tienen la forma

Lx = Λx + a, x ∈ R4, (1.14)

donde Λ es una transformacion de Lorentz y a ∈ R4. El conjunto de todasestas transformaciones generan un grupo de dimension 10 llamado grupo dePoincare. Notamos que las rotaciones, las translaciones y la inversion de laparidad y del sentido del tiempo tambien son elementos del grupo de Galilei.Los boosts reemplazan las transformaciones de Galilei

t = t, x = x+ vt.

Por ejemplo, un boost en la direccion x tiene la forma

t = γ(t+

v

c2x), (1.15)

x = γ(x+ vt) (1.16)

(y y = y, z = z), donde γ = [1 − (v/c)2]−1/2. Entonces recuperamos las trans-formaciones de Galilei en el lımite formal c → ∞. Para c finito ocurren efectoscinematicos que no se dan en la teorıa Newtoniana:

(a) Dilatacion del tiempo: Considere un reloj en reposo en el sistema inercial(t, x), y sea ∆t una unidad de tiempo fija medida por este reloj. Un ob-servador que se mueve en un sistema inercial (t, x) con velocidad v 6= 0con respecto a (t, x) nota que ∆t = γ∆t > ∆t.


(b) Contraccion del espacio: Considere un objeto de tamano L que se encuen-tra en reposo en el sistema inercial (t, x). Un observador que se mueve enun sistema inercial (t, x) con velocidad v 6= 0 con respecto a (t, x) mideque el objeto tiene el tamano L/γ < L.

(c) Adicion de velocidades: Considere la composicion de dos boosts en la di-reccion de x con velocidades v1 y v2,

Λ1 =

γ1 γ1β1 0 0

γ1β1 γ1 0 00 0 1 00 0 0 1

, Λ2 =

γ2 γ2β2 0 0

γ2β2 γ2 0 00 0 1 00 0 0 1

,

donde βm = vm/c, γm = (1− β2m)−1/2, m = 1, 2. Entonces,

Λ1Λ2 =

γ1γ2(1 + β1β2) γ1γ2(β1 + β2) 0 0γ1γ2(β1 + β2) γ1γ2(1 + β1β2) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

=

γ γβ 0 0γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

,

donde β = (β1 + β2)/(1 + β1β2), γ = (1− β2)−1/2. Entonces, Λ1Λ2 es unboost con velocidad

v = cβ =v1 + v2

1 + v1v2c2

. (1.17)

En particular, |v| < c si |v1| < c y |v2| < c.

1.3.2. Tensores de Lorentz

Definimos el espacio de Minkowki M := (R4, (., .)), donde (., .) es el pro-ducto

(v,w) := ηµνvµwµ = −v0w0 + v1w1 + v2w2 + v3w3, v,w ∈ R4.

Las definiciones que siguen podrıan parecer un poco artificiales a primera vista.Las transformaciones que se encuentran a continuacion se volveran claras en elcontexto mas general de tensores sobre variedades (ver el capıtulo 3).

Definicion 1 Sea xµ = Λµνxν + aµ una transformacion de Poincare, dondeΛµν denotan las componentes de la matriz Λ con respecto a la base canonica enR4.

1. Una funcion Φ : M→ R se llama un escalar de Lorentz si

Φ(x) = Φ(x), x ∈M.

2. Un campo vectorial X : M→ R4 se llama un vector de Lorentz (o cuadri-vector) si

Xµ(x) = ΛµνXν(x), x ∈M.

Ademas, un cuadrivector v ∈M se llama tipo tiempo si (v,v) < 0, tipoespacio si (v,v) > 0, y nulo si (v,v) = 0.


3. Un covector de Lorentz es un mapeo V : M→ R4 tal que

Vµ(x) = ΛµνVν(x), x ∈M,

donde Λµν denota las componentes de (Λ−1)T . Notamos que ΛαµΛαν =ΛµαΛνα = δµ

ν y que la contraccion de un vector con un covector de Lo-rentz es un escalar de Lorentz:

XµVµ = ΛµαXαΛµβVβ = δαβXαVβ = XαVα .

4. De manera mas general, un tensor de Lorentz del tipo (r, s) es unmapeo T : M→ R4(r+s), x 7→ Tµ1µ2...µr

ν1ν2...νs(x) tal que

T µ1...µrν1...νs(x) = Λµ1

µ1 ···ΛµrµrΛν1ν1 ···ΛνsνsTµ1...µr

ν1...νs(x), x ∈M.

Notamos que si Tµ1µ2...µrν1ν2...νs ≡ 0 en un sistema inercial, T µ1...µr

ν1...νs

tambien es cero en cualquier otro sistema inercial.

Ejemplos:

1. ηµν es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (0, 2) dado que

ηµν = ΛµµΛν νηµν =[(Λ−1)T ηΛ−1

]µν

= ηµν .

2. ηµν := (η−1)µν = ηµν es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (2, 0)puesto que

ΛµµΛν νηµν =[ΛηΛT

]µν= ηµν .

3. Los tensores ηµν y ηµν se pueden usar para “subir” y “bajar” los ındices detensores. Por ejemplo, sea Xµ(x) un campo vectorial de Lorentz, entonces

Vµ(x) := ηµνXν(x)

es un covector de Lorentz:

Vµ = ηµνXν = ηµνΛν νXν = [ηΛ]µνXν

= [(Λ−1)T η]µνXν = ΛµαηανXν = ΛµαVα .

De manera similar, Xµ(x) := ηµνVν(x) es un campo vectorial de Lorentzsi Vµ(x) es un covector de Lorentz.

Ejercicio 1.

(a) Muestre que ηµν = ηνµ = δµν , y que el tensor del tipo (2, 0) que se obtiene

al subir los ındices de ηµν es consistente con la definicion de ηµν .

(b) Muestre que el operador

∂µ :=∂

∂xµ(1.18)

se transforma como un covector de Lorentz bajo tansformaciones de Poin-care.


(c) Defina el siguiente tensor totalmente antisimetrico:

εαβγδ :=

+1, si αβγδ es una permutacion par de 0123,−1, si αβγδ es una permutacion impar de 0123,

0, de otra manera.(1.19)

Muestre3 que εαβγδ se transforma como un tensor del tipo (0, 4) si nosrestringimos a las transformaciones de Poincare con det(Λ) = 1.

(d) Sean Sµ1...µrν1...νs y Tα1...αp

β1...βq tensores de Lorentz del tipo (r, s) y(p, q), respectivamente. Muestre que

(S ⊗ T )µ1...µrα1...αpν1...νsβ1...βq (x) := Sµ1...µr

ν1...νs(x) · Tα1...αpβ1...βq (x)

define un tensor de Lorentz del tipo (r + p, s+ q).

1.3.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante

Consideramos primero las ecuaciones de Maxwell homogeneas,

∇ ·B = 0, ∇∧ E +1c

∂

∂tB = 0.

Estas ecuaciones se pueden resolver introduciendo un potencial escalar Φ y unpotencial vectorial A tales que

B = ∇∧A, (1.20)

E = −∇Φ− 1c

∂

∂tA. (1.21)

Los potenciales (Φ, A) no son unicos; la transformacion de norma

Φ 7→ Φ− 1c

∂

∂tχ, A 7→ A+∇χ, (1.22)

donde χ es una funcion diferenciable arbitraria, dejan E y B invariantes. Comovemos de (1.22) es conveniente definir el cuadrivector

A = (Aµ) ≡ (−Φ, A). (1.23)

Con el operador (∂µ) = (c−1∂t,∇) definido en (1.18) la transformacion (1.22)se puede escribir como

Aµ 7→ Aµ + ∂µχ. (1.24)

3Para este ejercicio es conveniente mostrar la identidad

εαβγδAαµA

βνA

γτA

δρ = det(A)εµντρ

para una matriz 4× 4 A = (Aµν) arbitraria.


Por otro lado, las componentes de (1.20,1.21) son

B1 = ∂2A3 − ∂3A2 , y permutaciones cıclicas de 123, (1.25)Ej = ∂jA0 − ∂0Aj , j = 1, 2, 3. (1.26)

Entonces, si definimosFµν := ∂µAν − ∂νAµ , (1.27)

obtenemos

(Fµν) = (−Fνµ) =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 B3 −B2

E2 −B3 0 B1

E3 B2 −B1 0

. (1.28)

Puesto que el tensor εαβγδ definido en (1.19) es totalmente antisimetrico, tene-mos que

εαβγδ∂βF γδ = 2εαβγδ∂β∂γAδ = 0.

Estas son las ecuaciones homogeneas de Maxwell.Ahora consideramos las ecuaciones inhomogeneas,

∇ · E = ρc , ∇∧B − 1c

∂

∂tE =

1cjc.

Definiendo el cuadrivector(jµ) := (cρc, jc) (1.29)

no es difıcil ver que se pueden escribir de la forma

∂βFαβ =

1cjα. (1.30)

Resumiendo, si consideramos E y B como componentes del tensor anti-simetrico

(Fµν) =

0 E1 E2 E3

−E1 0 B3 −B2

−E2 −B3 0 B1

−E3 B2 −B1 0

, (1.31)

y si introducimos el cuadrivector (jµ) := (cρc, jc), las ecuaciones de Maxwell sepueden escribir como

εαβγδ∂βF γδ = 0, (1.32)

∂βFαβ =

1cjα. (1.33)

Pidiendo que Fµν se transforme como un tensor de Lorentz del tipo (2, 0) y quejµ se transforme como un vector de Lorentz, (1.32,1.33) se vuelven ecuacionesentre tensores de Lorentz y por lo tanto tienen la misma forma en cualquiersistema inercial.


Observaciones

1. La ecuacion de continuidad ∂tρc+∇jc

= 0 es una consecuencia inmediatade (1.33):

∂µjµ = c∂µ∂νF

µν = 0.

2. Aplicando la regla de transformacion Fµν = ΛµαΛνβFαβ a un boost convelocidad v = cβ en la direccion x,

x0 = γ(x0 + βx1),x1 = γ(βx0 + x1), γ = (1− β2)−1/2,

y x2 = x2, x3 = x3, encontramos que

E1 = E1 , E2 = γ(E2 + βB3), E3 = γ(E3 − βB2),(1.34)B1 = B1 , B2 = γ(B2 − βE3), B3 = γ(B3 + βE2).(1.35)

Entonces un boost mezcla el campo electrico con el campo magnetico.Por ejemplo, si q es una carga electrica en reposo con respecto al sistemainercial (t, x) un observador que se mueve a una velocidad constante nocero con respecto al sistema inercial (t, x) detecta un campo magnetico(B 6= 0) aun si B = 0.

Ejercicio 2.

(a) Analice de que manera se transforman los campos E y B bajo rotacionesy bajo la inversion de la paridad.

(b) ¿Como se transforman E, B, ρc y jc

bajo la inversion del sentido deltiempo?

1.3.4. Las ecuaciones de movimiento para una partıcularelativista

Logramos formular las ecuaciones de Maxwell de tal manera que son inva-riantes bajo transformaciones de Poincare. Ahora generalizamos la ecuacion demovimiento de Newton,

mix = F (t, x), (1.36)

al caso relativista. Para esto, pensamos primero como definir la velocidad enrelatividad. Una posibilidad es dxµ/dt, pero el problema con esta definicion esque no resulta en un vector de Lorentz puesto que t no es un escalar de Lorentz.

Sea xµ(λ) la linea de mundo de una partıcula con masa inercial mi, dondeλ es un parametro de curva. Suponemos que la partıcula se mueve con unavelocidad menor que la de la luz. Geometricamente, esto significa que para todo


λ el cuadrivector dxµ/dλ es de tipo tiempo. En vez de t introducimos el tiempopropio τ definido por

dτ =1cds,

ds

dλ:=

√−ηµν

dxµ

dλ

dxν

dλ. (1.37)

Por definicion, τ es un escalar de Lorentz que no depende de la parametrizacionλ de la curva. Entonces

uµ :=dxµ

dτ(1.38)

es un vector de Lorentz independiente de λ, llamado cuadrivelocidad. Las defi-niciones (1.37,1.38) son independientes del parametro λ. Si usamos λ = t paraparametrizar la trayectoria de la partıcula encontramos que

dτ =

√1− |v|

2

c2dt =

dt

γ

y por lo tanto, (uµ) = γ(c, v), donde v := dx/dt. En el lımite Newtoniano|v|/c 1 vemos que dτ ≈ dt y uj ≈ vj , j = 1, 2, 3.

Con estas definiciones es obvio como generalizar (1.36) al caso relativista:Reemplazamos v = dx/dt por la cuadrivelocidad uµ = dxµ/dτ , el momentolineal p = miv por el cuadrimomento pµ = miu

µ y (1.36) por

dpµ

dτ= Fµ, (1.39)

donde pedimos que Fµ se transforme como un vector de Lorentz bajo transfor-maciones de Poincare. La energıa cinetica relativista esta definida por E = cp0.Puesto que (

E

c

)2

− |p|2 = −pµpµ = m2i γ

2(c2 − |v|2) = m2i c

2,

encontramos que

E = c√m2i c

2 + |p|2 = γmic2.

La pregunta que queda es como elegir el cuadrivector Fµ de fuerza. Para darun ejemplo, consideremos una partıcula con masa inercial mi y carga q que semueve bajo la influencia de un campo electromagnetico Fµν . En un sistemainercial tal que v(0) = dx/dt|t=0 = 0 (reposo momentaneo) la partıcula nosiente el campo magnetico al tiempo t = 0, y

mid2x

dt2

∣∣∣∣t=0

= qE(0, x(0)).

Esta ecuacion es equivalente a

dpµ

dτ=q

cFµνuν (1.40)


al tiempo t = 0. No obstante, (1.40), siendo una ecuacion para vectores deLorentz, vale en cualquier sistema inercial y por esta razon, Fµ = qc−1Fµνuν .Si v 6= 0, obtenemos

d

dtγmic

2 = q v · E, (1.41)

d

dtγmiv = q

(E +

v

c∧B

). (1.42)

La primera ecuacion expresa la conservacion de la energıa. El lado derecho dela segunda ecuacion es la fuerza de Lorentz.

En los capıtulos que siguen veremos como definir la fuerza relativista Fµ parauna partıcula que se mueve bajo la influencia de un potencial gravitacional.

1.4. La estructura causal del espacio-tiempo

En la teorıa Newtoniana, el tiempo es absoluto. Dado un evento e = (t, x),cualquier otro evento ocurre o en el futuro de e, o en el pasado de e o bien almismo tiempo que el evento e. Existen las superficies distinguidas

Σt = (t, x) : x ∈ R3, t ∈ R

que caracterizan el conjunto de eventos simultaneos. Los sistemas inercialesestan relacionados a traves de las transformaciones de Galilei.

En la relatividad especial, la simultaneidad es una nocion relativa. Las es-tructuras invariantes son los conos de luz

Ce := (s, y) ∈ R4 : −c2(s− t)2 + |y − x|2 = 0,

en cada evento e = (ct, x). Dado dos eventos e1 = (ct1, x1) y e2 = (ct2, x2), losobservadores inerciales solamente pueden ponerse de acuerdo si e1 y e2 estanrelacionados de manera

causal: (e1 − e2, e1 − e2) ≤ 0,

estrictamente causal: (e1 − e2, e1 − e2) < 0,

acausal: (e1 − e2, e1 − e2) > 0.

Los sistemas inerciales estan relacionados a traves de las transformaciones dePoincare.

La estructura causal del espacio-tiempo no es fija en la relatividad generalcomo en la teorıa Newtoniana o en la relatividad especial, sino que esta in-fluenciada por la presencia de materia y de radiacion. Como en la relatividadespecial, la estructura causal se define a traves de un cono de luz

gµνXµXν = 0,

pero en la relatividad general el tensor metrico gµν(x) puede variar de un puntodel espacio-tiempo a otro. Ademas, la topologıa del espacio-tiempo no tiene por

1.5. APENDICE: TRANSFORMACIONES AFINES 21

que ser R4, puede ser mas complicada. Como vamos a ver, el tensor metrico gµνno solamente describe la estructura causal del espacio-tiempo sino tambien elcampo gravitacional. Las ecuaciones de Einstein relacionan la (curvatura de) lametrica con el tensor de energıa-impulso. Una propiedad importante de la relati-vidad general es que no existen sistemas de referencia preferidos. Las ecuacionesde campo valen en todos los sistemas de referencia.

1.5. Apendice: Transformaciones afines

En este apendice demostramos el teorema siguiente:

Teorema 1 Sean n ≥ 2 y L : Rn → Rn una biyeccion de Rn que mapearectas sobre rectas. Entonces L es una transformacion afın, es decir, existenuna transformacion lineal A : Rn → Rn invertible y un vector b ∈ Rn tales que

L(x) = Ax+ b

para todo x ∈ Rn.

Observacion: El teorema no vale para n = 1 porque en este caso todas lasbiyecciones de R a R mapean rectas sobre rectas.

Demostracion del Teorema 14.Definimos la aplicacion A : Rn → Rn, x 7→ A(x) := L(x)−L(0) que satisface

A(0) = 0. El objetivo consiste en demostrar que A es lineal.

Paso 1: Notamos primero que si R y R′ son dos rectas distintas paralelas, entoncesL(R) y L(R′) tambien son rectas distintas paralelas. De otra manera, L(R)y L(R′) tendrıan un punto en comun lo que violarıa la inyectividad de L.

Paso 2: Sean x, y ∈ Rn dos vectores linealmente independientes, y considere elparalelogramo P con vertices 0, x, x+ y, y. Dado que A mapea rectas pa-ralelas sobre rectas paralelas, la imagen de P tambien es un paralelogramocon vertices 0, A(x), A(x+ y), A(y). Entonces, encontramos que

A(x+ y) = A(x) +A(y),

para x, y ∈ Rn linealmente independientes.

Paso 3: Sea x ∈ Rn \ 0 y considere las rectas

R := k x : k ∈ R, R′ := A(R) = k′A(x) : k′ ∈ R.

Entonces, la funcion A : R → R′ y la funcion inducida σ = σR : R → R,k 7→ k′ son biyectivas. Ahora mostramos que σ es un automorfismo, esdecir, satisface

σ(λ+ µ) = σ(λ) + σ(µ), σ(λ · µ) = σ(λ) · σ(µ)4Adaptado de M. Berger, Geometry, Springer-Verlag, Volume 1 y de un comunicado privado

de D. Giulini


para todos λ, µ ∈ R. Esto se puede ver de manera similar a la demostracionen el paso 2 tomando un punto y ∈ Rn \R y usando el resultado del paso1.

Paso 4: La funcion σ : R → R no depende de la recta R: Sea λ ∈ R \ 0 ysean x, y ∈ Rn linealmente independientes. Considere la recta R que pasapor los puntos 0, x y la recta R1 que pasa por los puntos 0, y. Entonces,la recta que pasa a traves de x y de y es paralela a la recta que pasaa traves de λx y λy. Dado el resultado del paso 1, la recta que pasa atraves de los puntos A(x) y A(y) es paralela a la recta que pasa a travesde los puntos A(λx) = σR(λ)A(x) y A(λy) = σR1(λ)A(y). Entonces,A(λy) = σR(λ)A(y) y σR1(λ) = σR(λ).

Paso 5: De los pasos anteriores concluimos que A : Rn → Rn es una transformacionsemi-lineal. Esto significa que existe un automorfismo σ : R→ R tal que

A(λx+ µy) = σ(λ)A(x) + σ(µ)A(y) (1.43)

para todos x, y ∈ Rn, λ, µ ∈ R.

Paso 6: Sea σ : R → R un automorfismo de R. Entonces σ debe ser la identidad.Para demostrar esta afirmacion notamos primero que q ∈ R \ 0 implicaque σ(q) 6= 0. De otra manera, σ(p) = σ(q)σ(p/q) = 0 para todo p ∈ Ry σ serıa identicamente cero. Luego, notamos que 0 + 0 = 0 y 1 · 1 =1 implican que σ(0) = 0 y σ(1) = 1. Sea n = 1 + 1 + ... + 1 ∈ N.Entonces σ(n) = σ(1) + σ(1) + ... + σ(1) = 1 + 1 + ... + 1 = n. Luego,p+ (−p) = 0 implica que σ(−p) = −σ(p) para todos p ∈ R. En particular,σ(−n) = −σ(n) = −n para n ∈ N. Ahora, p · 1/p = 1 implica queσ(1/p) = 1/σ(p) para p 6= 0. Entonces si m,n ∈ Z, n 6= 0, tenemos queσ(m/n) = σ(m · 1/n) = σ(m)/σ(n) = m/n. Concluimos que σ : Q → Qes la identidad.

Finalmente, sea p = q2 > 0. Entonces σ(p) = σ(q)2 > 0. Esto muestra quep1 < p2 implica que σ(p1) < σ(p2). Ahora sea p ∈ R arbitrario, y seanak y bk sucesiones en Q que convergen a p por debajo y por arriba de p,respectivamente. Puesto que

ak = σ(ak) < σ(p) < σ(bk) = bk , k ∈ N,

obtenemos que σ(p) = p tomando el lımite k → ∞ a ambos lados. Estoconcluye la demostracion del teorema.

Capıtulo 2

Teorıas escalares de lagravedad

En este capıtulo nos preguntamos si es posible reemplazar las ecuaciones demovimiento de Newton,

mix = F (t, x) = −mg∇φ(t, x), (2.1)∆φ(t, x) = 4πGρ(t, x), (2.2)

por ecuaciones que son covariantes (es decir, su forma es invariante) bajo trans-formaciones de Poincare. En la seccion 1.3.4 ya encontramos una generalizacioncovariante de la primera parte de la ecuacion (2.1),

mid2xµ

dτ2= Fµ,

donde τ es el tiempo propio de la partıcula y Fµ es un vector de Lorentz.Para obtener una generalizacion covariante de (2.2) reemplazamos

∆ por − ≡ − 1c2∂2

∂t2+ ∆ = ηµν∂µ∂ν (un escalar de Lorentz),

ρ por −Tµµ = −ηµνTµν (un escalar de Lorentz),

donde Tµν es el tensor de energıa-impulso de la materia. Entonces, obtenemos

Φ = 4πGTµµ . (2.3)

Si existe un sistema inercial (t, x) tal que Φ = 0, T00 = ρ y T xx+T yy+T zz = 0,entonces la ecuacion (2.3) se reduce a la ecuacion (2.2).

¿Como definir el cuadrivector de fuerzas, Fµ? Para esto notamos primeroque las trayectorias de partıculas libres se pueden obtener a traves del siguienteprincipio variacional: Sean e1 = (ct1, x1) y e2 = (ct2, x2) dos eventos fijostales que (e1 − e2, e1 − e2) < 0, y sea xµ : [0, 1] → M una curva causal que

23

24 CAPITULO 2. TEORIAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD

empieza en xµ(0) = e1 y termina en xµ(1) = e2. Entonces la trayectoria fısicaesta determinada por los puntos estacionarios del funcional

S[xµ(λ)] =

e2∫e1

ds =

1∫0

√−ηµν xµxνdλ, xµ ≡ dxµ

dλ. (2.4)

Notamos que para una curva xµ(λ) dada, la cantidad S[xµ(λ)]/c da el tiempopropio de e1 a e2. Entonces la trayectoria fısica es aquella que maximiza1 eltiempo propio entre dos eventos e1 y e2 que son causalmente relacionados.

Sea xµ(λ) una curva que maximiza S. Podemos suponer que para esta curvaλ = τ/T es proporcional al tiempo propio de tal manera que

√−ηµν xµxν = Tc.

Ahora consideramos una variacion δxµ(λ) de esta curva. Dado que e1 y e2 sonfijos, tenemos que δxµ(0) = δxµ(1) = 0. La variacion de S da

0 = δS[xµ(λ)] = − 1cT

1∫0

ηµν xµδxνdλ

= − 1cT

ηµν xµδxν |1λ=0 +

1cT

1∫0

ηµν xµδxνdλ

=

1∫0

ηµν xµδxνdλ,

donde hemos usado integracion por parte en el segundo paso. Esto vale paratodas las variaciones δxµ(λ) con δxµ(0) = δxµ(1) = 0. Entonces, encontramosque

d2xµ

dτ2= 0, (2.5)

la ecuacion para una partıcula libre en relatividad especial.Ahora postulamos que una partıcula que se mueve bajo la influencia del po-

tencial gravitacional Φ obedece el principio variacional definido por (2.4) dondereemplazamos ηµν por el tensor metrico2

gµν =(

1 +Φc2

)2

ηµν . (2.6)

Entonces, buscamos curvas estacionarias del funcional

S[xµ(λ)] =

1∫0

(1 +

Φc2

)√−ηµν xµxνdλ, xµ ≡ dxµ

dλ. (2.7)

1¿Porque se trata de un maximo y no de un mınimo?2Notamos que Φ tiene las unidades m2/s2.

25

Con respecto a un parametro λ que es proporcional al tiempo propio τ , dondeahora

dτ

dλ=

1c

√−gµν xµxν =

1c

(1 +

Φc2

)√−ηµν xµxν ,

la variacion de S da la ecuacion de movimiento

d

dτ

[(1 +

Φc2

)2d

dτxµ

]= −η

µν∂νΦ1 + Φ

c2

. (2.8)

En el lımite Newtoniano donde |v|/c 1 y Φ c2 esta ecuacion se reduce ad2x/dt2 = −∇Φ, la ecuacion de Newton (2.1) con mi = mg.

Para resumir, las ecuaciones (2.8,2.3) ofrecen una generalizacion relativistade las ecuaciones de movimiento de Newton (2.1,2.2). Teorıas similares fueroncontempladas por el fısico teorico finlandes Gunnar Nordstrom en 1912 y 1913.Sin embargo, la teorıa que acabamos de describir debe ser descartada por lassiguientes razones experimentales:

1. Puesto que las geodesicas nulas son invariantes bajo transformaciones con-formes de la metrica, gµν 7→ Ω2gµν (como vamos a ver en el ejercicio 16,los rayos de luz siguen rectas en la teorıa de Nordstrom, y la teorıa nopredice la desviacion de la luz.

2. La precesion del perihelio de mercurio no concuerda con el experimento(otro ejercicio en el futuro). Para un objeto que gira alrededor de unaestrella de masa M con momento angular L la teorıa de Nordstrom prediceun angulo de precesion

∆φ = −π(GM2

cL

)2

= −16

∆φEinstein

por orbita. Para la orbita de mercurio alrededor del sol, se encuentra que

∆φ100y ≈ 43′′ ≈ ∆φEinstein,100y ,

despues de restar los efectos inducidos por los otros planetas.

3. Para campos materiales que satisfacen Tµµ = 0 (como el electromagnetis-mo, por ejemplo), la unica solucion estacionaria y asintoticamente planade (2.3) es la solucion trivial, Φ ≡ 0. En este caso, las trayectorias departıculas son rectas.

Ejercicio 3.

(a) Muestre que la ecuacion (2.3) se puede obtener al variar la accion

S[Φ] =∫L d4x, L = −1

2∂µΦ · ∂µΦ + gΦT,

donde g = 4πG y T = Tµµ es la traza del tensor de energıa-impulso de lamateria.

26 CAPITULO 2. TEORIAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD

(b) Muestre que el tensor de energıa-impulso del campo gravitacional Φ esta da-do por

τµν = − ∂L∂(∂µΦ)

∂νΦ + ηµνL = ∂µΦ · ∂νΦ− 12ηµν (∂αΦ · ∂αΦ− 2gΦT ) .

(c) Muestre que para una configuracion estatica, la energıa W =∫τ00 d

3xesta dada por

W = − g2

8π

∫ ∫T (x)T (y)|x− y|

d3x d3y.

En particular, la fuerza es atractiva si T es positivo.

(d) Considere la posibilidad de describir la gravitacion a traves de un campovectorial Aµ, como en la teorıa de Maxwell:

S[A] =∫L d4x, L = −1

4FµνFµν + gAµJµ ,

donde g es una constante de acoplamiento, Fµν := ∂µAν −∂νAµ y Jµ des-cribe las corrientes materiales. Muestre que para configuraciones estaticascon distribucion de masa ρ = J0 positiva, la fuerza resultante es repulsiva.

Capıtulo 3

Geometrıa diferencial

El espacio-tiempo es un “medio cuadridimensional” en el sentido que senecesitan cuatro numeros reales para caracterizar un evento. Entonces se vecomo R4 localmente. A pesar de esto, la topologıa del espacio-tiempo puede sermas complicada que R4.

Una descripcion matematica adecuada del espacio-tiempo esta dada por ladefinicion de una variedad diferenciable. Esta definicion que se discute en la sec-cion 3.1 captura la idea de que el espacio-tiempo se ve como R4 localmente. Paradescribir cantidades fısicas como la velocidad de partıculas, el campo electro-magnetico, la estructura causal del espacio-tiempo etc. necesitamos introducircampos tensoriales sobre la variedad, lo que se discute en la seccion 3.2.

A continuacion, analizaremos en la seccion 3.3 como transportar vectores demanera paralela a lo largo de una curva. Esto nos llevara a la nocion de cone-xiones que tambien nos permite definir una derivada covariante para campostensoriales. Para medir la distancia entre dos puntos de una variedad se intro-duce una metrica. Como vamos a ver en la seccion 3.4, dado una variedad conuna metrica existe una conexion preferida llamada la conexion de Levi-Civita oconexion de Riemann. En relatividad general, es esta la conexion que se usa paradefinir el transporte paralelo y la derivada covariante de campos tensoriales.

A parte de definir el transporte paralelo de vectores y tensores la conexiontambien se puede usar para definir la curvatura de una variedad. Esto se explicaen la seccion 3.6.

Las derivadas de Lie toman un papel importante para el estudio de simetrıasde variedades y se estudiaran en la seccion 3.5.

Puesto que no hay ninguna ventaja en restringuirnos al caso de variedadescuadridimensionales dejaremos la dimension arbitraria.

3.1. Variedades diferenciables

Definicion 2 Sea n ∈ N. Una variedad (C∞–) diferenciable de dimensionn es un conjunto M con una familia de mapeos biyectivos φα : Uα ⊂M → Vα ⊂

27

28 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL

Rn de Uα ⊂M sobre conjuntos abiertos Vα en Rn tal que

(i)⋃αUα = M ,

(ii) para todos α, β tales que Uαβ := Uα ∩ Uβ 6= ∅, los conjuntos φα(Uαβ) yφβ(Uαβ) son abiertos en Rn y los mapeos

φαβ := φβ φ−1α : φα(Uαβ)→ φβ(Uαβ)

son C∞–diferenciables.

(iii) La familia (Uα, φα) es maxima con respecto a las condiciones (i) y (ii),es decir, si (Vα, ψα) es otra familia que satisface (i) y (ii), entonces(Vα, ψα) ⊂ (Uα, φα).

Cada par (Uα, φα) se llama una carta local o un sistema local de coorde-nadas. Una familia de cartas locales (Uα, φα) que satisface los puntos (i) y(ii) se llama un atlas diferenciable de M . Un atlas diferenciable de M que esmaximo en el sentido del punto (iii) se llama una estructura diferenciablesobre M .

Observaciones

1. La condicion (iii) en la definicion de la variedad asegura que no se puedeobtener una nueva variedad al anadir o eliminar cartas locales. Dado unatlas diferenciable (Uα, φα) es posible completarlo a un atlas diferencia-ble maximo tomando la union de (Uα, φα) con el conjunto de todas lascartas locales (U, φ) que satisfacen la condicion (ii) con cualquiera de lascartas (Uα, φα).

2. Obviamente, tenemos que

φαα = id, φβγ φαβ = φαγ ,

de tal manera que φ−1αβ = φβα : φαβ : φβ(Uαβ) → φα(Uαβ) tambien es

C∞–diferenciable.

3. Dada una variedad diferenciable M existe una topologıa natural sobre M :Definimos que U ⊂M es abierto si y solo si φα(U ∩Uα) es abierto en Rnpara todo α.

No es difıcil verificar que esto define una topologıa sobre M con la pro-piedad que todos los conjuntos Uα son abiertos y tal que los mapeosφα : Uα → Vα son continuos.

4. Por razones tecnicas vamos a requerir que M satisfaga la condicion deHausdorff y que M posee una base contable. La primera condicion signi-fica que para dos puntos distintos de M existen vecindades abiertas deestos dos puntos que no se intersectan. La segunda condicion significa queM puede ser cubierta por un numero contable de cartas locales. Estas

3.1. VARIEDADES DIFERENCIABLES 29

condiciones se necesitan para construir una particion de la unidad lo quepermite de globalizar varios resultados locales (ver la referencia [5]). Va-mos a ver una aplicacion de la particion de la unidad a la integracion defunciones sobre variedades en la seccion 3.4.3.

Ejemplos de variedades diferenciables

1. M = Rn. Un atlas diferenciable se puede formar al tomar la unica cartalocal (Rn, id).

2. Cualquier subconjunto abierto U de Rn tambien es una variedad diferen-ciable (con el atlas diferenciable maximo obtenido al completar la cartalocal (U, id)).

3. SeaM = S2 = x ∈ R3 : x2

1 + x22 + x2

3 = 1la esfera con radio uno. S2 es una variedad diferenciable de dimension 2que no se puede cubrir con una sola carta local. Para construir un atlasintroducimos las cartas locales que siguen:

Ui+ := x ∈ S2 : xi > 0, Ui− := x ∈ S2 : xi < 0, i = 1, 2, 3,φ1±(x) := (x2, x3), φ2±(x) := (x1, x3), φ3±(x) := (x1, x2),

para x ∈ S2. No es difıcil verificar que las funciones de transicion φi±j± =φj± φ−1

i± son C∞. Por ejemplo,

φ1− φ−12+(x1, x3) = (

√1− x2

1 − x23 , x3), x2

1 + x3 < 1, x1 < 0.

Un atlas mas “economico” de S2 esta dado por la proyeccion estereografica:Sean N := (0, 0, 1) y S := (0, 0,−1) el polo norte y el polo sur, y defina

U1 := S2 \ N, φ1(x) :=(

x1

1− x3,

x2

1− x3

), x ∈ U1 ,

U2 := S2 \ S, φ2(x) :=(

x1

1 + x3,

x2

1 + x3

), x ∈ U2 .

Como se puede verificar, la funcion de transicion φ12 = φ2 φ−11 : R2 \

(0, 0) → R2 \ (0, 0) esta dada por

φ12(X,Y ) =1

X2 + Y 2(X,Y ), (X,Y ) 6= (0, 0),

y es indefinidamente diferenciable.

4. Sean m > 0 y

H+m := (t, x) ∈ R4 : t2 − x2

1 − x22 − x2

3 = m2, t > 0.

En los ejercicios se verifica que H+m es una variedad diferenciable de di-

mension 3. ¿Que pasa para m = 0? ¿Es H+0 una varidad diferenciable?


5. Considere el conjunto

GL(2,R) := A : R2 → R2 : A es lineal e invertible. (3.1)

Con la multiplicacion definida por la composicion de transformacioneslineales, GL(2,R) es un grupo. Ademas, podemos identificar un elementode GL(2,R) con una matriz real de la forma

A =(a bc d

), det(A) = ad− bc 6= 0.

Con esto, obtenemos una carta global Φ : GL(2,R) → V ⊂ R4, A 7→(a, b, c, d), donde

V = (a, b, c, d) ∈ R4 : ad− bc 6= 0. (3.2)

Puesto que V ⊂ R4 es abierto, concluimos que GL(2,R) es una variedaddiferenciable de dimension 4. Es un ejemplo particular de un grupo de Lie.

Observacion: Los ejemplos 3 y 4 son casos particulares de superficies de di-mension n− 1 en Rn. Para tratar estos casos tenemos el siguiente resultado:

Teorema 2 Sean n ≥ 2 y F : Rn → R una funcion C∞-diferenciable. Consi-dere el conjunto

S := x ∈ Rn : F (x) = 0 .

Entonces S define una variedad C∞-diferenciable de dimension n− 1 si

∇F (x) 6= 0 para todo x ∈ S.

Demostracion. Con el teorema de la funcion implıcita.

Ejemplo: Para el caso de la esfera podemos definir F : R3 → R, x 7→ x21 +x2

2 +x2

3 − 1. Entonces F es C∞-diferenciable, x ∈ Rn : F (x) = 0 = S2 y ∇F (x) =2(x1, x2, x3) 6= 0 para todo x = (x1, x2, x3) ∈ S.

Definicion 3 Sean M y N variedades diferenciables de dimension m y n, res-pectivamente. Un mapeo continuo F : M → N se llama diferenciable en unpunto p ∈M si dado una carta local (U, φ) con p ∈ U y una carta local (V, ψ)con f(p) ∈ V , el mapeo

ψ F φ−1 : φ(F−1(V ) ∩ U) ⊂ Rm → Rn (3.3)

es diferenciable en el punto φ(p).F se llama C∞–diferenciable si dado una carta local (U, φ) de M y una

carta local (V, ψ) de N tal que F (U)∩ V 6= ∅ el mapeo (3.3) es indefinidamentediferenciable.

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES 31

Observacion: La condicion (ii) en la definicion de una variedad diferenciableimplica que la definicion de la diferenciabilidad de F : M → N en un puntop ∈M es independiente de las cartas locales (U, φ) y (V, ψ).

Ejemplo: Sea M una variedad diferenciable de dimension n, y sea (U, φ) unacarta local. Entonces las n funciones xi : U → R, p 7→ φi(p), i = 1, 2, ...n, sonC∞–diferenciables.

Definicion 4 Sea F : M → N una funcion C∞–diferenciable y biyectiva conla propiedad que F−1 : N → M tambien es C∞–diferenciable. Entonces F sellama un difeomorfismo.

Ejemplo: Sean M = GL(2,R) la variedad definida en (3.1) y N = V el conjunto

definido en (3.2). Entonces F : GL(2,R) → V , A =(a bc d

)7→ (a, b, c, d) es

un difeomorfismo.

3.2. Campos vectoriales y tensoriales

3.2.1. Vectores tangentes

Definicion 5 Sea M una variedad diferenciable. Sean p ∈ M y ε > 0. Unafuncion C∞–diferenciable

γ : (−ε, ε)→M, γ(0) = p

se llama una curva (a traves de p).

¿Como se puede definir el vector tangente de γ en el punto p?Para responder esta pregunta supongamos primero que M = Rn. Si γ(t) =

(x1(t), x2(t), ..., xn(t)), t ∈ (−ε, ε) es una curva, entonces podemos definir elvector tangente a γ en el punto p por el vector

X := γ(0) = (x1(0), x2(0), ..., xn(0)) ∈ Rn.

Ahora sea f : U → R una funcion diferenciable definida sobre una vecindadU de p. La derivada direccional de f en el punto p con respecto al vector Xesta definida por

X[f ] :=d

dtf(γ(t))

∣∣∣∣t=0

=∂f

∂xi(p)Xi =

(Xi ∂

∂xi

)f(p).

Existe una correspondencia uno a uno entre la derivada direccional (visto comoun operador diferencial actuando sobre una funcion diferenciable y evaluado enun punto p) y los vectores X en el punto p. Vamos a usar esta correspondenciapara definir vectores sobre variedades diferenciables.


Definicion 6 Sea M una variedad diferenciable y γ una curva que pasa a travesde un punto p ∈M . Sea Dp el conjunto de funciones f : M → R que son C∞–diferenciables en una vecindad del punto p. El vector tangente a la curva γen el punto p esta definido como la funcion γ(0) : Dp → R dada por

γ(0)[f ] =d

dtf(γ(t))

∣∣∣∣t=0

, f ∈ Dp . (3.4)

Un vector tangente en el punto p es un vector tangente a alguna curvaen el punto p. Para lo que sigue, denotamos el conjunto de todos los vectorestangentes en p ∈M por TpM . TpM se llama el espacio tangente en el puntop.

Un vector tangente Xp := γ(0) ∈ TpM es una derivacion en el punto p,es decir, una funcion Dp → R que satisface las siguientes condiciones:

(i) Xp[af+bg] = aXp[f ]+bXp[g] para todos a, b ∈ R y f, g ∈ Dp (linealidad),

(ii) Xp[f ·g] = f(p)Xp[g]+g(p)Xp[f ] para todos f, g ∈ Dp (regla de Leibnitz).

Por otro lado, se puede mostrar (ver el apendice 3.7) que cualquier derivacionen el punto p se puede escribir como un vector tangente Xp en p. Entoncesotra definicion equivalente de un vector tangente es una funcion Dp → R quesatisface las dos propiedades (i) y (ii) arriba. En particular, TpM es un espaciovectorial.

Para determinar la dimension de TpM elegimos una carta local (U, φ) de Mtal que p ∈ U y consideramos las curvas particulares a traves de p definidas por

γi(t) := φ−1(φ(p) + tei), |t| < ε, i = 1, 2, ...n,

donde e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..,0), ... , en = (0, 0, 0, ..., 1). Definimoslos vectores tangentes correspondientes

∂

∂xi

∣∣∣∣p

f := γi(0)[f ] =d

dtf φ−1(φ(p) + tei)

∣∣∣∣t=0

=∂f φ−1

∂xi(φ(p)), (3.5)

para todo f ∈ Dp, donde notamos que f φ−1 : φ(U) ⊂ Rn → R es una funcionde un subconjunto abierto de Rn a R, y que ∂fφ−1

∂xi (φ(p)) es su i’esima derivadaparcial en el punto φ(p).

Lema 1 Los n vectores ∂∂x1

∣∣p, ∂∂x2

∣∣p, ... , ∂

∂xn

∣∣p

definidos en (3.5) forman unabase de TpM . En particular, dimTpM = dimM = n.

Demostracion. Primero vamos a demostrar que los vectores ∂∂x1

∣∣p, ... , ∂

∂xn

∣∣p

son linealmente independientes. Para esto, consideramos las funciones C∞–diferenciables particulares xj : U → R, q 7→ φj(q), j = 1, 2, ...n. Usando (3.5)encontramos que

∂

∂xi

∣∣∣∣p

xj = δij , i, j = 1, 2, ...n, (3.6)


lo que implica la independencia lineal buscada. Por otro lado, sea Xp ∈ TpM unvector tangente en p y γ : (−ε, ε)→ M una curva a traves de p tal que γ(0) =Xp. Denotando con (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) = φ(γ(t)), |t| < ε, la proyeccion dela curva sobre la carta local (U, φ), y usando (3.5) encontramos que

Xp[f ] =d

dtf φ−1 φ γ(t)

∣∣∣∣t=0

=d

dtf φ−1(x1(t), x2(t), ..., xn(t))

∣∣∣∣t=0

= xi(0)∂

∂xi

∣∣∣∣p

f,

para todo f ∈ Dp, lo que demuestra que los vectores ∂∂x1

∣∣p, ... , ∂

∂xn

∣∣p

generanTpM .

Resumiendo, un vector tangente Xp ∈ TpM se puede expander de la forma

Xp = Xip

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(3.7)

con respecto a una carta local (U, φ) tal que p ∈ U , donde los vectores ∂∂xi

∣∣p,

i = 1, 2, ..., n, estan definidos en (3.5). Los n numeros reales X1p , X

2p , ..., X

np se

llaman las componentes del vector Xp con respecto a las coordenadaslocales (U, φ). Se pueden obtener usando la propiedad (3.6),

Xip = Xp[xi], i = 1, 2, ...n. (3.8)

Ejemplo: Sea M = S2 las 2-esfera, y sea N = (0, 0, 1) el polo norte. Considerela curva

γ(t) :=(cos(t) sen(t), sen2(t), cos(t)

), 0 < t < 2π.

Vamos a calcular las componentes del vector tangente γ(s), 0 < s < 2π, en elpunto p = γ(s) con respecto a la carta local (U, φ) definida por la proyeccionestereografica φ : U := S2 \N → R2, x 7→ (y1, y2) :=

(x1

1−x3, x2

1−x3

). De acuerdo

a (3.8) tenemos

X1p = Xp[y1] =

d

dty1(γ(t))

∣∣∣∣t=s

=d

dt

cos(t) sen(t)1− cos(t)

∣∣∣∣t=s

= − cos(s)− 11− cos(s)

,

X2p = Xp[y2] =

d

dty2(γ(t))

∣∣∣∣t=s

=d

dt

sen2(t)1− cos(t)

∣∣∣∣t=s

= − sen(s),

y entonces

Xp =(− cos(s)− 1

1− cos(s)

)∂

∂y1

∣∣∣∣p

− sen(s)∂

∂y2

∣∣∣∣p

.


3.2.2. Transformaciones de coordenadas

Sean (U, φ) y (V, ψ) dos cartas locales que contienen el punto p ∈ M . Seaq ∈ U ∩ V y

φ(q) = (x1, x2, ..., xn) = x,

ψ(q) = (y1, y2, ..., yn) = y,

entonces y = ψ φ−1(x). Sea γ : (−ε, ε) → M una curva a traves de p, y seanx(t) = φ(γ(t)), y(t) = ψ(γ(t)). Sea Xp := γ(0) ∈ TpM . Entonces por un ladotenemos que

Xp[f ] =d

dtf ψ−1(y(t))

∣∣∣∣t=0

=d

dtf ψ−1

(ψ φ−1(x(t))

)∣∣∣∣t=0

=(∂

∂yif ψ−1

)(y(0)) · ∂(ψ φ−1)i

∂xj

∣∣∣∣p

xj(0)

=∂yi

∂xj

∣∣∣∣p

·Xjp

∂

∂yi

∣∣∣∣p

f.

Por otro lado, sabemos de (3.7) que

Xp = Xip

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= Y ip∂

∂yi

∣∣∣∣p

.

Entonces, encontramos las siguientes reglas de transformaciones:

Y ip =∂yi

∂xj

∣∣∣∣p

Xjp , (componentes de vectores) (3.9)

∂

∂xj

∣∣∣∣p

=∂yi

∂xj

∣∣∣∣p

∂

∂yi

∣∣∣∣p

, (regla de la cadena). (3.10)

3.2.3. La diferencial de un mapeo

Definicion 7 Sean M y N variedades diferenciables, y sea F : M → N unmapeo C∞–diferenciable. Sea g : N → R una funcion que es C∞–diferenciableen la vecindad de un punto q = F (p), p ∈ M . Definimos el pull-back de gcomo

F ∗g := g F : M → R.Dado que F es C∞–diferenciable, F ∗g es C∞–diferenciable en una vecindad delpunto p y F ∗ : Dq → Dp. Definimos la diferencial de F en el punto p por elmapeo dFp : TpM → TqN dado por

dFp(Xp)[g] := Xp[F ∗g] = Xp[g F ],

donde Xp ∈ TpM , g ∈ Dq.


Observaciones

1. Obviamente, dFp : TpM → TF (p)N es una transformacion lineal.

2. Sea γ una curva en M a traves de p, y sea Xp := γ(0) ∈ TpM . Entoncesµ := F γ es una curva en N a traves del punto q = F (p) y podemosdefinir Yq := µ(0). Puesto que para g ∈ Dq,

Yq[g] =d

dtg µ(t)

∣∣∣∣t=0

=d

dtg F γ(t)

∣∣∣∣t=0

=d

dt(F ∗g)(γ(t))

∣∣∣∣t=0

= Xp[F ∗g] (3.11)

encontramos que Yq[g] = dFp(Xp)[g], y entonces Yq = dFp(Xp).

3. Otras notaciones comunes para dFp son

dFp ≡ F∗p ≡ TpF.

Si F : M → N es un difeomorfismo tambien podemos definir dF−1q : TqN →

TpM , y dF−1q dFp = id. En este caso dFp es un isomorfismo. El siguiente

teorema muestra que si dFp : TpM → TqN es un isomorfismo, entonces F :M → N es un difeomorfismo en una vecindad del punto p:

Teorema 3 Sea F : M → N una funcion C∞–diferenciable de una variedaddiferenciable a otra. Supongamos que en un punto p ∈M , dFp : TpM → TF (p)Nes un isomorfismo. Entonces, F es un difeomorfismo local en p, es decir, existeuna vecindad U de p tal que F |U : U → F (U) ⊂ N es un difeomorfismo.

Demostracion. Con el teorema de la funcion inversa.

3.2.4. Campos vectoriales

Definicion 8 Un campo vectorial sobre una variedad diferenciable M es unafuncion X que asocia a cada punto p ∈M un vector Xp ∈ TpM .

Sean (U, φ) una carta local y p ∈ U . De acuerdo a (3.7,3.8) tenemos que

Xp = Xip

∂

∂xi

∣∣∣∣p

, (3.12)

donde Xip = Xp[xi]. Las n funciones p 7→ Xi

p, i = 1, 2, .., n, definidas sobre Use llaman las componentes de X con respecto a la carta local (U, φ).


Segun la ley de transformacion (3.9) las componentens Xip de X con respecto

a otra carta local (U , φ) que contiene el punto p son

Xip =

∂xi

∂xj

∣∣∣∣p

Xjp .

Definicion 9 Un campo vectorial X se llama C∞–diferenciable si para cual-quier carta local (U, φ) las funciones U → R, p 7→ Xi

p, i = 1, 2, ..., n, sonC∞–diferenciables.

Observacion: La propiedad (ii) de la definicion de una variedad diferenciableimplica que si p 7→ Xi

p es C∞–diferenciable con respecto a una carta local(U, φ), entonces la funcion p 7→ Xi

p tambien es C∞–diferenciable con respecto aotra carta local (U , φ) sobre la interseccion U ∩ U . Una definicion de un campovectorial diferenciable que no requiere el uso de coordenadas locales se puededar a traves del fibrado tangente,

TM := (p, v) : p ∈M,v ∈ TpM.

TM posee una estructura diferenciable que se puede construir a partir de laestructura diferenciable de la variedad diferenciable M . Con esto, TM es unavariedad diferenciable de dimension 2n (ver [5] para mas detalles). Entonces, uncampo vectorial diferenciable tambien se puede obtener a traves de un mapeoC∞–diferenciable M → TM .

Para lo que sigue, solamente consideramos campos vectoriales que son dife-renciables y usamos la notacion

F(M) : la clase de funciones M → R que son C∞–diferenciables,X (M) : la clase de campos vectorial C∞–diferenciables sobre M.

Sean f ∈ F(M) y X,Y ∈ X (M). Entonces podemos definir los nuevoscampos vectoriales f ·X y X + Y a traves de

(f ·X)p := f(p)Xp ,

(X + Y )p := Xp + Yp ,

para p ∈M . Para f, g ∈ F(M) y X,Y ∈ X (M) tenemos que

f · (X + Y ) = f ·X + f · Y,(f + g) ·X = f ·X + g ·X,f · (g ·X) = (f · g) ·X.

Definicion 10 Sean f ∈ F(M) y X ∈ X (M), entonces definimos la funcionXf ∈ F(M) a traves de

(Xf)p := Xp[f ], p ∈M.

Xf se llama la derivada de f con respecto al campo vectorial X.


Entonces tambien podemos interpretar un campo vectorial como un mapeo X :F(M)→ F(M). Se satisfacen las siguientes reglas:

(i) X(f + g) = Xf +Xg (linealidad),

(ii) X(f · g) = (Xf) · g + f · (Xg) (regla de Leibnitz),

para X ∈ X (M), f, g ∈ F(M).Con la interpretacion de un campo vectorial como un operador sobre F(M)

tambien podemos considerar la composicion X Y : F(M) → F(M) de doscampos vectoriales X,Y ∈ X (M). Sin embargo, X Y no necesariamente tieneque ser un campo vectorial. Sean f, g ∈ F(M), entonces las reglas (i) y (ii)implican que

(X Y )(f · g) = X [(Y f) · g + f · (Y g)]= (X Y f) · g + f · (X Y )g + (Y f) · (Xg) + (Xf) · (Y g),

y la regla de Leibnitz para X Y solamente se satisface si la suma de los dosultimos terminos es cero. En cambio, el conmutador [X,Y ] := X Y − Y Xsatisface la regla de Leibnitz.

Lema 2 Sean X,Y ∈ X (M) dos campos vectoriales. Entonces el conmutador[X,Y ] : F(M)→ F(M), definido por

[X,Y ]f := X(Y f)− Y (Xf), f ∈ F(M),

es un campo vectorial. Ademas, el conmutador satisface las siguientes reglas:

(i) [X + Y,Z] = [X,Z] + [Y,Z] (linealidad)

(ii) [X,Y ] = −[Y,X] (antisimetrıa)

(iii) [f ·X,Y ] = f · [X,Y ]− (Y f) ·X

(iv) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (identidad de Jacobi)

para todos X,Y, Z ∈ X (M) y f ∈ F(M).

Ejercicio 4. Demostrar el Lema 2.

Observaciones

1. Las reglas (i)-(iv) implican que X (M) forma una algebra de Lie (de di-mension infinita) con respecto al conmutador [, ., ] : X (M)2 → X (M).

2. Sea (U, φ) una carta local con respecto a la cual

X = Xi ∂

∂xi,

Y = Y j∂

∂xj.


Entonces, si f ∈ F(M), obtenemos de acuerdo a (3.5),

(X Y )f = X(Y j∂

∂xjf) = Xi ∂Y

j

∂xi∂

∂xjf +XiY j

∂2f φ−1

∂xi∂xj,

y

(X Y )f − (Y X)f =(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂

∂xjf.

Entonces,

[X,Y ] = [X,Y ]i∂

∂xi, [X,Y ]i = Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj. (3.13)

3. Como vamos a ver en la seccion 3.5, el conmutador [X,Y ] entre dos camposvectoriales X y Y tambien se puede interpretar como el cambio infinitesi-mal de Y a lo largo del flujo generado por X.

Dado un campo vectorial X ∈ X (M) diferenciable y dado un punto p ∈M ,existe una unica curva γ a traves de p tal que su vector tangente coincida conX. Demostramos primero la version local de esta afirmacion.

Definicion 11 Sea X ∈ X (M), y sea p ∈ M . Una curva γ : (a, b) → M atraves de p que satisface

γ(t) = Xγ(t), a < t < b, (3.14)

se llama una curva integral de X a traves del punto p.

Lema 3 Sea M una variedad diferenciable, y sea X ∈ X (M) un campo vec-torial diferenciable sobre M . Sea p ∈ M . Entonces existe una curva integralγ : (−ε, ε) → M de X a traves del punto p. Ademas, si µ : (a, b) → Mes otra curva integral de X a traves de p, entonces µ(t) = γ(t) para todomaxa,−ε < t < mınb, ε.

Demostracion. Sea (U, φ) una carta local en una vecindad de p con coorde-nadas locales correspondientes x1, ..., xn. Si parametrizamos (x1(t), ..., xn(t)) =φ(γ(t)), |t| < ε, y expandemos X = Xi ∂

∂xi , entonces la ecuacion (3.14) para|t| < ε es equivalente a

xi(t) = Xi(φ−1(x(t))), |t| < ε.

Por los teoremas de existencia local para ecuaciones diferenciales ordinarias(ver la referencia [6], por ejemplo) existe una unica solucion (x1, x2, ..., xn) :(−ε, ε)→ Rn con (x1, x2, ..., xn)(0) = φ(p) si ε > 0 es suficientemente pequeno.


3.2.5. Campos de covectores

Nos acordamos del algebra lineal: Sea V un espacio vectorial real de di-mension finita n. El espacio dual V ∗ esta definido como el espacio vectorialque consiste de todos los funcionales lineales η : V → R. Dada una baseB = e1, e2, ..., en de V , se definen los funcionales lineales particulares

ηi(v) := vi, v = viei ,

para i = 1, 2, ..., n. Los elementos η1, η2, ... ,ηn forman una base de V ∗ llamada labase dual de B. Entonces V ∗ tambien es un espacio vectorial real de dimensionn. Si ω ∈ V ∗, entonces tenemos la expansion

ω = ωi ηi, ωi = ω(ei).

El doble dual, V ∗∗, de V se puede identificar de manera natural con V medianteel mapeo siguiente:

I : V → V ∗∗, (Iv)(η) := η(v), η ∈ V ∗, v ∈ V. (3.15)

No es difıcil demostrar que I es lineal e invertible.Si V posee una forma bilineal < ., . >: V × V → R no degenerada existe un

isomorfismo natural entre V y V ∗ dado por

J : V → V ∗, Jv :=< v, . >, v ∈ V.

En este caso, los espacios V y V ∗ tambien se pueden identificar.

Definicion 12 Sea M una variedad diferenciable, y sea p ∈M . El espacio dualdel espacio tangente TpM en p se llama el espacio cotangente en p y sedenota por T ∗pM .

Definicion 13 Sea f : U ⊂ M → R una funcion diferenciable definida en unsubconjunto U abierto de M . Sea p ∈ U . Definimos la diferencial de f en elpunto p como

(df)p(Xp) := Xp[f ], Xp ∈ TpM.

Entonces, (df)p ∈ T ∗pM .

Observacion: En la seccion 3.2.3 definimos la diferencial de una funcion f :M → N diferenciable de una variedad diferenciable M a otra N . En el casoparticular que N = R, esta definicion implica que para una curva γ en M quepasa a traves del punto p con vector tangente Xp = γ(0),

Yq[g] = (df)p(Xp)[g] =d

dtg f(γ(t))

∣∣∣∣t=0

= g′(q)Xp[f ],

donde q = f(p), y g : R → R es una funcion que es diferenciable en q. Siidentificamos TqN con R a traves de TqR 3 Y = y ∂

∂y ↔ y ∈ R, obtenemos


y = Xp[f ], y entonces (df)p(Xp) = Xp[f ]. En este sentido, la definicion de dfp,f : U ⊂ M → R, que acabamos de dar coincide con la definicion dada en laseccion 3.2.3.

Sea (U, φ) una carta local en una vecindad de p ∈ M , y sea f : U → Rdiferenciable en p. Entonces,

(df)p

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)=

∂f

∂xi

∣∣∣∣p

.

En particular, si f = xj : U → R es la funcion dada por xj(q) := φ(q)j ,j = 1, 2, ..., n, obtenemos

(dxj)p

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)= δji . (3.16)

Concluimos que dx1p, dx

2p, ..., dx

np es la base de T ∗pM que es dual a la base

∂∂x1

∣∣p, ∂∂x2

∣∣p, ..., ∂

∂xn

∣∣p de TpM . En particular, si ω ∈ T ∗pM , tenemos la ex-

pansion

ω = ωj dxjp , ωj = ω

(∂

∂xj

∣∣∣∣p

). (3.17)

Los n numeros ω1, ω2, ..., ωn se llaman las componentes de ω con respecto alas coordenadas locales (U, φ). Sea (V, ψ) otra carta local en una vecindad dep, y considere las funciones yj : V → R, yj(q) := ψ(q)j , j = 1, 2, ..., n. Entonces,

(dyj)p

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)=∂yj

∂xi

∣∣∣∣p

,

y obtenemos las leyes de transformaciones

(dyj)p =∂yj

∂xi

∣∣∣∣p

(dxi)p , (3.18)

∂

∂yi

∣∣∣∣p

=∂xj

∂yi

∣∣∣∣p

∂

∂xj

∣∣∣∣p

. (3.19)

La ecuacion (3.19) tambien se obtuvo en (3.10). Las ecuaciones (3.17) y (3.18)implican que las componentes ηj y ωi de ω con respecto a las coordenadas locales(V, ψ) y (U, φ), respectivamente, estan relacionadas por

ηj =∂xi

∂yj

∣∣∣∣p

ωi (componentes de covectores). (3.20)

Definicion 14 Un campo de covector sobre una variedad diferenciable Mes una funcion ω que asocia a cada punto p ∈M un covector ωp ∈ T ∗pM .

Con respecto a una carta local (U, φ) podemos expander

ωp = ωj(p)dxjp, p ∈ U,


donde las n funciones p 7→ ωj(p), j = 1, 2, ..., n, definidas sobre U se llaman lascomponentes de ω con respecto a la carta local (U, φ). Segun (3.17) sepueden obtener a traves de

ωj(p) = ωp

(∂

∂xj

∣∣∣∣p

), j = 1, 2, ..., n, p ∈ U.

Definicion 15 Un campo de covector ω se llama C∞– diferenciable si paracualquier carta local (U, φ) las n funciones U → R, p 7→ ωi(p), i = 1, 2, ..., n,son C∞–diferenciables. Denotamos por X ∗(M) la clase de campos de covectoresC∞–diferenciables sobre M .

Ejemplo: Si f ∈ F(M) es una funcion C∞–diferenciable sobre M , entonces sudiferencial df ∈ X ∗(M).

Observacion: Como en el caso de los campos vectoriales diferenciables, unadefinicion de un campo de covector diferenciable que no requiere el uso de coor-denadas locales se puede dar a traves del fibrado cotangente,

T ∗M := (p, ω) : p ∈M,ω ∈ T ∗pM.

3.2.6. Campos tensoriales

Nos acordamos del algebra lineal: Sea V un espacio vectorial real de dimen-sion finita n con espacio dual correspondiente V ∗. Un tensor del tipo (r, s)es una funcion multilineal (V ∗)r × V s → R. En particular, un tensor del tipo(0, 1) es un elemento de V ∗ (un funcional lineal) y un tensor del tipo (1, 0) esun elemento de V ∗∗ ' V (un vector).

Sean ω y η dos funcionales lineales (es decir, dos tensores del tipo (0, 1)).Entonces podemos definir un tensor ω⊗ η del tipo (0, 2) a traves del productotensorial,

(ω ⊗ η)(v, w) := ω(v)η(w), v, w ∈ V.

De hecho, cualquier tensor t del tipo (0, 2) se puede escribir como una combi-nacion lineal de productos tensoriales entre dos funcionales lineales: Sea B =e1, e2, ..., en una base de V con base dual correspondiente B∗ = η1, η2, ..., ηnde V ∗. Entonces, para dos vectores v = viei, w = wjej en V la multilinealidadde t implica que

t(v, w) = viwjt(ei, ej)

= t(ei, ej)ηi(v)ηj(w)

= t(ei, ej)(ηi ⊗ ηj)(v, w),

y entoncest = tijη

i ⊗ ηj ,

donde tij = t(ei, ej) son las componentes de t con respecto a la base B.


De manera similar, si a y ω son tensores del tipo (1, 0) y (0, 1), respectiva-mente, definimos el producto tensorial a⊗ω como el tensor del tipo (1, 1) dadopor

(a⊗ ω)(ν, w) := a(ν)ω(w), ν ∈ V ∗, w ∈ V.

Si s es cualquier tensor del tipo (1, 1) y ν = νiηi ∈ V ∗, w = wjej ∈ V , entonces

s(ν, w) = νiwjs(ηi, ej)

= s(ηi, ej)ν(ei)ηj(w)

= s(ηi, ej)(Iei)(ν)ηj(w),

donde I : V → V ∗∗ es el isomorfismo definido en (3.15). Entonces, tenemos que

s = sijIei ⊗ ηj ,

donde sij := s(ηi, ei) son las componentes de s con respecto a la base B y labase dual correspondiente B∗. Para lo que sigue, identificamos V con V ∗∗ yescribimos simplemente s = sijei ⊗ ηj en vez de s = sijIei ⊗ ηj .

De la misma manera podemos escribir un tensor del tipo (r, s) arbitrariocomo una combinacion lineal de productos tensoriales de la forma

ei1 ⊗ ei2 ⊗ ...⊗ eir ⊗ ηj1 ⊗ ηj2 ⊗ ...⊗ ηjs .

Definicion 16 Sea M una variedad diferenciable y sea p ∈ M . Sea (TpM)rsel conjunto de los tensores del tipo (r, s) definidos sobre V = TpM . Un campotensorial del tipo (r, s) sobre M (o r veces contravariante y s vecescovariante) es una funcion t que asigna a cada punto p ∈ M un tensor tp ∈(TpM)rs.

Ejemplos:

1. r = s = 0: p 7→ tp es una funcion sobre M .

2. r = 1, s = 0: p 7→ tp es un campo vectorial sobre M .

3. r = 0, s = 1: p 7→ tp es un campo de covectores sobre M .

4. r = 0, s = 2: Como vamos a ver, la metrica g es un tensor del tipo(0, 2). Entonces g asigna a cada punto p ∈M de la variedad un elementogp : TpM × TpM → R que toma dos vectores Xp, Yp ∈ TpM y les asignaun numero real gp(Xp, Yp) ∈ R. Ademas, la metrica es simetrica en Xp yYp: gp(Xp, Yp) = gp(Yp, Xp) para todos Xp, Yp ∈ TpM .

5. r = 0, s = 2: Otro ejemplo de un campo tensorial del tipo (0, 2) es el tensorelectromagnetico F . A diferencia del tensor metrico, F es antisimetrico enXp y Yp: Fp(Xp, Yp) = −Fp(Yp, Xp) para todos Xp, Yp ∈ TpM y todop ∈M .

6. r = 1, s = 3: Como vamos a ver, el tensor de curvatura es un campotensorial del tipo (1, 3).


Sean t y u campos tensoriales del tipo (r, s), y sea f ∈ F(M). Entonces,u+ v y f · u definidos por

t+ u : p 7→ tp + up ,

f · t : p 7→ f(p)tp ,

tambien son campos tensoriales del tipo (r, s). Sea (U, φ) una carta local, en-tonces podemos expander t con respecto a las bases ∂

∂x1

∣∣p, ..., ∂

∂xn

∣∣p de TpM

y (dx1)p, ..., (dxn)p de T ∗pM ,

tp = ti1...ir j1...js(p)

(∂

∂xi1

∣∣∣∣p

⊗ ...⊗ ∂

∂xir

∣∣∣∣p

)⊗((dxj1)p ⊗ · · · ⊗ (dxjs)p

).

Las funciones U → R, p 7→ ti1...ir j1...js(p) se llaman las componentes de t conrespecto a la carta local (U, φ). Usando (3.16) y la isometrıa I : V → V ∗∗

definida en (3.15) obtenemos que

ti1...ir j1...js = t

(dxi1 , ..., dxir ,

∂

∂xj1, ...,

∂

∂xjs

). (3.21)

Sean (U, φ) y (V, ψ) dos cartas locales en una vecindad de un punto p ∈ M ,y sean ti1...ir j1...js y ti1...ir j1...js las componentes de t con respecto a (U, φ) y(V, ψ) respectivamente. Las leyes de transformaciones (3.18) y (3.19) implicanque

ti1...ir j1...js(p) =∂yi1

∂xk1· · · ∂y

ir

∂xkr∂xl1

∂yj1· · · ∂x

ls

∂yjstk1...kr

l1...ls(p), (3.22)

donde x = φ(q) y y = ψ(q), para q ∈ U ∩ V .

Definicion 17 Un campo tensorial t se llama C∞–diferenciable si para to-das las cartas locales (U, φ), las componentes p 7→ ti1...ir j1...js(p) son funcionesC∞–diferenciables sobre U . Denotamos por T rs(M) la clase de campos tensoria-les del tipo (r, s) que son C∞–diferenciables. En particular, T 0

0(M) = F(M),T 1

0(M) = X (M), T 01(M) = X ∗(M).

Definicion 18 Sean T ∈ T rs(M) y S ∈ T r′s′ dos campos tensoriales sobre M .Sean ω1, ..., ωr, η1, ..., ηr

′ ∈ X ∗(M) y X1, ..., Xs, Y1, ...Ys′ ∈ X (M). El produc-to tensorial de T y S esta definido por

(T ⊗ S)(ω1, ..., ωr, η1, ..., ηr′, X1, ..., Xs, Y1, ...Ys′)

:= T (ω1, ..., ωr, X1, ..., Xs) · S(η1, ..., ηr′, Y1, ...Ys′).

Obviamente, T ⊗ S ∈ T r+r′s+s′(M).

Definicion 19 Sea t ∈ T rs(M), y sean X1, X2, ..., Xs ∈ X (M) campos vec-toriales y ω1, ω2, ..., ωr ∈ X ∗(M) campos de covectores sobre M . Definimos la


contraccion total del campos tensorial t⊗ ω1 ⊗ ...⊗ ωr ⊗X1 ⊗ ...⊗Xs comola funcion F := C

(t⊗ ω1 ⊗ ...⊗ ωr ⊗X1 ⊗ ...⊗Xs

): M → R definida por

F (p) := tp(ω1(p), ..., ωr(p), X1(p), ..., Xs(p)

), p ∈M.

Tambien denotamos esta funcion simplemente por t(ω1, ..., ωr, X1, ..., Xs).

En coordenadas locales, ωb = ωbibdxib , Xa = Xja

a∂

∂xja , tenemos que

t(ω1, ..., ωr, X1, ..., Xs) = ti1...ir j1...jsω1i1 ...ω

rirX

j11 ...X

jss .

En particular, el mapeo F = t(ω1, ..., ωr, X1, ..., Xs) : M → R es C∞-diferenciable.Con estas observaciones podemos interpretar t ∈ T rs(M) como un mapeo

(X ∗(M))r × (X (M))s → F(M)

que es F(M)-lineal, es decir, satisface

t(ω1, ..., ωp + fη, ..., ωr, X1, ..., Xs)= t(ω1, ..., ωp, ..., ωr, X1, ..., Xs) + ft(ω1, ..., η, ..., ωr, X1, ..., Xs),

t(ω1, ..., ωr, X1, ..., Xq + gY, ...,Xs)= t(ω1, ..., ωr, X1, ..., Xq, ..., Xs) + gt(ω1, ..., ωr, X1, ..., Y, ..., Xs),

para todas las funciones f, g ∈ F(M) y todo ω1, ..., ωr, η ∈ X ∗(M) yX1, ..., Xs, Y ∈X (M).

Finalmente, generalizamos la definicion del pull-back para tensores covarian-tes.

Definicion 20 Sean M y N dos variedades diferenciables, y sea ψ : M →N diferenciable. Sea t ∈ T 0

s(N) un campo tensorial sobre N que es s vecescovariante. El pull-back de t esta definido como el siguiente campo tensorialψ∗t ∈ T 0

s(M) sobre M :

(ψ∗t)p(X1p, ..., Xsp) := tψ(p) (dψp(X1p), ..., dψp(Xsp)) ,

donde p ∈M , X1, ..., Xs ∈ X (M).

Ejemplos:

1. s = 0: Sea f ∈ F(N). En este caso, (ψ∗f)(p) = f(ψ(p)), p ∈M se reducea la definicion que dimos en la seccion 3.2.3.

2. s = 1: Sea f ∈ F(N). Entonces, df ∈ X ∗(N) y para X ∈ X (M) tenemosque

(ψ∗df)(X) = df (dψ(X))= dψ(X)[f ]= X[f ψ] = X[ψ∗f ]= [d(ψ∗f)](X), (3.23)

3.3. CONEXIONES AFINES 45

donde hemos usado la definicion 13 en el segundo y ultimo paso y ladefinicion 7 en el tercer paso. Dado que (3.23) vale para todo X ∈ X (M)obtenemos que

ψ∗(df) = d(ψ∗f) (3.24)

para todo f ∈ F(M).

Ejemplo: Sea N = R3 el espacio Euclideano con la metrica h = dx2 +dy2 +dz2.Considere la subvariedad

M = S2 := (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1.

La metrica inducida g sobre S2 esta definida por el pull-back

g := ι∗h,

donde ι : S2 → R3, (x, y, z) 7→ (x, y, z) denota la inclusion. Con respecto a lascoordenadas polares (ϑ, ϕ) ∈ (0, π)× (0, 2π) de S2 tenemos que

ι∗x = x ι = senϑ cosϕ,ι∗y = y ι = senϑ senϕ,ι∗z = z ι = cosϑ,

y entonces

ι∗dx = d(ι∗x) = cosϑ cosϕ dϑ− senϑ senϕ dϕ,ι∗dy = d(ι∗y) = cosϑ senϕ dϑ+ senϑ cosϕ dϕ,ι∗dz = d(ι∗z) = − senϑ dϑ.

Con esto, obtenemos

g = (ι∗dx)2 + (ι∗dy)2 + (ι∗dz)2 = dϑ2 + sen2 ϑ dϕ2. (3.25)

3.3. Conexiones afines

Dada una curva γ que conecta dos puntos p y q de una variedad diferenciableM , nos preguntamos como transportar vectores de manera paralela a lo largo dela curva γ. Entonces necesitamos un mapeo (el transporte paralelo) que nos per-mita obtener un vector tangente Xq en el punto q a partir de un vector tangenteXp en el punto p, de tal manera que se puedan comparar los vectores tangentesen p con los vectores tangentes en q. Como vamos a ver, el transporte paralelopuede depender de la eleccion de la curva γ. Esta dependencia esta directamen-te relacionada con la curvatura de M . A parte de la curvatura, el transporteparalelo tambien nos permite definir una derivada para campos tensoriales (laderivada covariante) y curvas preferidas sobre M (las geodesicas) que tienen lapropiedad que su vector tangente es transportado de manera paralela.

Empezamos con la version “infinitesimal” del transporte paralelo:


Definicion 21 Una conexion afın es un mapeo ∇ : X (M)×X (M)→ X (M),(X,Y ) 7→ ∇XY que satisface las siguientes propiedades

(i) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

(ii) ∇f ·X+g·Y Z = f · ∇XZ + g · ∇Y Z,

(iii) ∇X(f · Y ) = f · ∇XY + (Xf) · Y ,

para todos f, g ∈ F(M) y todos X,Y, Z ∈ X (M).

Sea (U, φ) una carta local con coordenadas locales x1, x2, ..., xn correspon-dientes, y sean X,Y ∈ X (M). Entonces en U podemos expander

X = Xi ∂

∂xi, Y = Y j

∂

∂xj.

Sea ∇ una conexion afın, entonces usando sus propiedades (i)–(iii) encontramosque

∇XY = Xi∇ ∂

∂xi

(Y j

∂

∂xj

)= XiY j∇ ∂

∂xi

∂

∂xj+Xi ∂Y

j

∂xi∂

∂xj

= Xi

[∂Y k

∂xi+ ΓkijY j

]∂

∂xk, (3.26)

donde hemos definidos los sımbolos de Christoffel Γkij : U → R a traves de

∇ ∂

∂xi

∂

∂xj= Γkij

∂

∂xk. (3.27)

Puesto que∇ ∂

∂xi

∂∂xj ∈ X (U), las n3 funciones Γkij : U → R son C∞-diferenciables.

Observaciones

1. La ecuacion (3.26) muestra que el vector ∇XY en un punto p ∈ M dadode la variedad solamente depende del vector Xp en p y del campo vectorialY en una vecindad de p. En otras palabras, (∇XY )p = 0 si Xp = 0 o Yes cero en una vecindad de p.

2. Los sımbolos de Christoffel no se pueden interpretar como las componentesde un campo tensorial del tipo (1, 2). Sean (U, φ) y (U , φ) dos cartas localescon U ∩ U 6= ∅, entonces en U ∩ U tenemos que

Γcab∂

∂xc= ∇ ∂

∂xa

∂

∂xb

= ∇“∂xi

∂xa∂

∂xi

”(∂xj∂xb

∂

∂xj

)=

∂xi

∂xa∂xj

∂xb∇ ∂

∂xi

∂

∂xj+

∂

∂xa

(∂xj

∂xb

)· ∂

∂xj

=∂xi

∂xa∂xj

∂xbΓkij

∂

∂xk+

∂2xk

∂xa∂xb∂

∂xk.


donde hemos usado la regla de la cadena, (3.10) en el segundo paso y laspropiedades (i)–(iii) de la conexion en el tercer paso. Usando una vez masla regla de la cadena,

∂

∂xk=∂xc

∂xk∂

∂xc,

obtenemos que

Γcab =∂xc

∂xk∂xi

∂xa∂xj

∂xbΓkij +

∂2xk

∂xa∂xb∂xc

∂xk. (3.28)

El primer termino a la derecha se transforma como las componentes deun campo tensorial del tipo (1, 2), pero la presencia del segundo terminoimplica que Γkij no se transforma como las componentes de un campotensorial. En particular, vemos que Γkij(p) = 0 en un punto p ∈ M noimplica que Γcab(p) = 0.

Definicion 22 Sea ∇ una conexion afın sobre M , y sea Y ∈ X (M) un campovectorial diferenciable. Definimos la derivada covariante de Y como el campotensorial ∇Y ∈ T 1

1(M) dado por

∇Y (ω,X) := ω(∇XY ), ω ∈ X ∗(M), X ∈ X (M). (3.29)

Notamos que esta definicion tiene sentido, pues si f ∈ F(M), entonces

∇Y (fω,X) = fω(∇XY ) = f∇Y (ω,X)

y

∇Y (ω, f ·X) = ω(∇(f ·X)Y ) = ω(f∇XY ) = fω(∇XY ) = f∇Y (ω,X).

Con respecto a unas coordenadas locales x1, x2, ..., xn podemos expander

Y = Y j∂

∂xj,

y elegir

X =∂

∂xi, ω = dxk.

Entonces las componentes (∇Y )ki del campo tensorial ∇Y con respecto a lascoordenadas locales x1, x2, ..., xn son

(∇Y )ki = dxk(∇ ∂

∂xiY)

=∂Y k

∂xi+ ΓkijY j ,

donde hemos usado la ecuacion (3.26). En vez de (∇Y )ki vamos a usar la nota-cion mas comun ∇iY k. Entonces,

∇iY k =∂Y k

∂xi+ ΓkijY j . (3.30)

Ejercicio 5. Verifique que ∇iY k satisface la ley de transformacion (3.22)usando (3.28) y (3.30).


Ejemplos:

1. Sea M = Rn, y sean x1, x2, ..., xn coordenadas Cartesianas. Podemos iden-tificar campos vectorialesX = Xi ∂

∂xi en Rn con mapeos C∞-diferenciablesX : Rn → Rn, x 7→ (X1(x), X2(x), ..., Xn(x)). Definimos

(∇XY )i := Xk ∂

∂xkY i, i = 1, 2, ..., n (3.31)

para X,Y ∈ X (Rn). Entonces ∇ define una conexion afın sobre Rn. Lossımbolos de Christoffel con respecto a las coordenadas Cartesianas soncero.

2. Sea M una subvariedad de dimension n− 1 en Rn, n ≥ 2. Definimos

(∇XY )i(x) := Πij(x)Xk(x)

∂

∂xkY j(x), x ∈ Rn, (3.32)

donde Πjk(x) es el proyector ortogonal que asigna a cada vector tangente

Zx = (Z1(x), Z2(x), ..., Zn(x)) ∈ Rn su proyeccion ortogonal sobre TxM .Verificamos facilmente que ∇ satisface las propiedades (i)–(iii) y defineuna conexion afın sobre M . ∇ se llama la conexion afın inducida deRn.

Para ver un caso mas concreto, consideramos M = S2 ⊂ R3 y calculemoslos sımbolos de Christoffel asociados a ∇ en coordenadas polares (ϑ, ϕ).Para esto, conviene introducir los tres campos vectoriales

er := (senϑ cosϕ, senϑ senϕ, cosϑ),

eϑ :=∂

∂ϑer = (cosϑ cosϕ, cosϑ senϕ,− senϑ),

eϕ :=1

senϑ∂

∂ϕer = (− senϕ, cosϕ, 0),

sobre S2 que forman una base orthonormal de R3 en cada punto de S2.Entonces la proyeccion ortogonal de un vector Z = Zrer+Zϑeϑ+Zϕeϕ ∈R3 es simplemente Π(Z) = Zϑeϑ + Zϕeϕ. Usando la regla de la cadena yla relacion x = er para un punto x ∈ S2 sobre la esfera, encontramos que

∂

∂ϑ= eϑ · ∇,

∂

∂ϕ= senϑ eϕ · ∇,

de tal manera que podemos identificar ∂∂ϑ ↔ eϑ y ∂

∂ϕ ↔ senϑ eϕ. Con


estas observaciones tenemos

∇ ∂∂ϑ

∂

∂ϑ↔ Π

(∂

∂ϑeϑ

)= Π(−er) = 0,

∇ ∂∂ϑ

∂

∂ϕ↔ Π

(∂

∂ϑsenϑ eϕ

)= Π

(cosϑ eϕ

)= cotϑ senϑ eϕ,

∇ ∂∂ϕ

∂

∂ϑ↔ Π

(∂

∂ϕeϑ

)= Π

(cosϑ eϕ

)= cotϑ senϑ eϕ,

∇ ∂∂ϕ

∂

∂ϕ↔ Π

(∂

∂ϕsenϑ eϕ

)= Π

(− sen2 ϑ er − cosϑ senϑ eϑ

)= − cosϑ senϑ eϑ.

Entonces los sımbolos de Christoffel que son diferentes de cero son

Γϕϑϕ = Γϕϕϑ = cotϑ, Γϑϕϕ = − cosϑ senϑ.

3.3.1. La derivada covariante de campos tensoriales

Deseamos extender la definicion de la derivada covariante a campos ten-soriales. Sea X ∈ X (M) un campo vectorial sobre una variedad diferenciable

(M,∇) con conexion afın ∇. Sea T (M) :=∞⊗

r,s=0T rs(M) el algebra de campos

tensoriales sobre M . Pedimos que la derivada covariante, ∇X , con respecto deX sea un mapeo ∇X : T (M)→ T (M) tal que

(i) ∇XT ∈ T rs(M), T ∈ T rs(M).

(ii) ∇X(S + T ) = ∇XS +∇XT para todos S, T ∈ T rs(M).

(iii) ∇X(S⊗T ) = ∇XS⊗T +S⊗∇XT para todo S ∈ T rs(M) y T ∈ T pq(M).

(iv) ∇X conmuta con las contracciones totales C (ver la definicion 19).

(v) Para un campo tensorial Y ∈ X (M) del tipo (1, 0), ∇XY coincide con laaccion de la conexion afın ∇ sobre (X,Y ).

(vi) Para un campo tensorial f ∈ F(M) del tipo (0, 0), ∇Xf = X[f ] es laderivada direccional de f con respecto a X.1

Como vamos a ver ahora, las propiedades (i)-(vi) determinan de maneraunica la extension de la derivada covariante para campos tensoriales. Tomamosprimero un campo de covectores ω ∈ X ∗(M), y sea Y ∈ X (M). Entonces lapropiedad (iii) implica que

∇X(ω ⊗ Y ) = ∇Xω ⊗ Y + ω ⊗∇XY.1Notamos que esta propiedad es una consecuencia de las propiedades (iii) y (v). Pa-

ra ver esto, tomamos S = f ∈ F(M) y T = Y ∈ X (M) y obtenemos por un lado∇X(fY ) = (∇Xf)Y + f∇XY usando (iii) y por otro lado ∇X(fY ) = f∇XY + (Xf)Yusando las propiedades de la conexion afın. Entonces, ∇Xf = Xf .


Tomando la contraccion total C a ambos lados, y usando las propiedades (iv) y(vi) encontramos que

X [ω(Y )] = ∇XC(ω × Y )= C(∇Xω ⊗ Y + ω ⊗∇XY )= (∇Xω)(Y ) + ω(∇XY ).

Entonces,

(∇Xω)(Y ) = X [ω(Y )]− ω(∇XY ), Y ∈ X (M). (3.33)

Notamos que para Y, Z ∈ X (M) y f ∈ F(M) vale

(∇Xω)(Y + fZ) = X [ω(Y ) + fω(Z)]− ω (∇XY + f∇XZ + (Xf)Z)= X [ω(Y )] + fX [ω(Z)] + (Xf)ω(Z)− ω(∇XY )− fω(∇XZ)− (Xf)ω(Z)= (∇Xω)(Y ) + f(∇Xω)(Z),

de tal manera que (3.33) define un campo de covectores ∇Xω. Con respecto acoordenadas locales x1, ..., xn, sean X = ∂

∂xi , Y = ∂∂xj y ω = ωkdx

k. Entonces,

∇iωj :=(∇ ∂

∂xiω)( ∂

∂xj

)=

∂ωj∂xi− ωkdxk

(∇ ∂

∂xi

∂

∂xj

)=

∂ωj∂xi− Γkijωk ,

donde hemos usado la definicion de los sımbolos de Christoffel (3.27). Resu-miendo, las expresiones para las componentes de las derivadas covariantes deun campo vectorial Y = Y i ∂

∂xi y de un campo de covectores ω = ωjdxj son

∇iY j =∂Y j

∂xi+ ΓkijY k, (3.34)

∇iωj =∂ωj∂xi− Γkijωk . (3.35)

En particular, para Y = ∂∂xi y ω = dxj obtenemos que

∇ ∂

∂xi

(∂

∂xj

)= Γkij

∂

∂xk, (3.36)

∇ ∂

∂xi

(dxj)

= −Γjikdxk. (3.37)

Ahora sea t ∈ T rs(M) un campo tensorial del tipo (r, s) arbitrario, y seanω1, ..., ωr ∈ X ∗(M) y X1, ..., Xs ∈ X (M). Entonces,

∇X(t⊗ ω1...⊗ Ys) = ∇Xt⊗ ω1...⊗ Ys+ t⊗∇Xω1 ⊗ ω2...⊗ Ys + ...+ t⊗ ω1...⊗ Ys−1 ⊗∇XYs .


Tomando la contraccion total C a ambos lados obtenemos

(∇Xt)(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys) (3.38)= X

[t(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)

]− t(∇Xω1, ω2, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− ...− t(ω1, ..., ωr−1,∇Xωr, Y1, ..., Ys)− t(ω1, ..., ωr,∇XY1, Y2, ..., Ys)− ...− t(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys−1,∇XYs).

Como antes, se puede verificar que (3.38) define un campo tensorial ∇Xt ∈T rs(M) del tipo (r, s). Con respecto a coordenadas locales x1, ..., xn, sean X =∂∂xk

, ωp = dxip y Yq = ∂∂xjq

. Entonces usando (3.38), (3.36) y (3.37) encontramosque

∇kti1...ir j1...js :=(∇ ∂

∂xkt)(

dxi1 , ..., dxir ,∂

∂xj1, ...,

∂

∂xjs

)=

∂ti1...ir j1...js∂xk

+ Γi1kltli2...ir j1...js + ...+ Γirklti1...ir−1lj1...js

− Γlkj1ti1...ir

lj2...js − ...− Γlkjsti1...ir

j1...js−1l . (3.39)

Finalmente, no es difıcil comprobar que (3.38), tomada como definicion parala derivada covariante de campos tensoriales, satisface todas las propiedades(i)-(vi). A continuacion, se discute una definicion mas geometrica de la derivadacovariante.

3.3.2. El transporte paralelo a lo largo de una curva

Definicion 23 Sea γ : I ⊂ R → M una curva en M , y sea X un campovectorial definido en una vecindad de γ(I). X se llama autoparalelo a lolargo de γ si

DX

dt(t) := (∇γX)γ(t) = 0, t ∈ I.

DX/dt se llama la derivada covariante de X a lo largo de γ.

Notamos que ∇γX esta bien definido dado que su valor en γ(t) solamente de-pende del vector γ(t) y del campo vectorial X en una vecindad de γ(t). Si (U, φ)es una carta local con coordenadas locales correspondientes x1, ..., xn, entoncestenemos

γ = xi∂

∂xi, xi(t) = φ(γ(t))i.

Entonces (3.26) implica que

DX

dt=

(xi∂Xk

∂xi+ Γkij xiXj

)∂

∂xk

= (Xk + Γkij xiXj)∂

∂xk, Xγ(t) = Xk(t)

∂

∂xk

∣∣∣∣γ(t)

. (3.40)


De esta ecuacion vemos que de facto, ∇γX solamente depende de Xp para lospuntos p ∈ γ(I) de M que se encuentran sobre la curva γ. Resumiendo, elcampo vectorial Xp es autoparalelo a lo largo de γ si y solo si sus componentesXk(t) = dxk(X)γ(t) satisfacen la ecuacion diferencial lineal ordinaria

Xk(t) = Mkj(t)Xj(t), (3.41)

donde Mkj(t) := −Γkij(γ(t))xi(t). De los teoremas para ecuaciones diferenciales

lineales ordinarias obtenemos:

Lema 4 Sean a > 0 y γ : (−a, a) ⊂ R→M una curva en M que pasa a travesdel punto p = γ(0). Sea Yp ∈ TpM un vector en p. Entonces existe un unicocampo vectorial X autoparalelo sobre γ tal que Xp = Yp.

Demostracion. Supongamos primero que la curva γ(−a, a) ⊂ U este contenidaen una carta local (U, φ). Entonces definimos Xγ(t) = Xk(t) ∂

∂xk

∣∣γ(t)

, |t| < a,

donde Xk(t) es la solucion unica de (3.41) con dato inicial Xk(0) = dxk(Y )p.Por construccion, X es autoparalelo a lo largo de γ y Xp = Yp.

Si la curva γ no esta contenida en una sola carta local, la podemos cubrirpor un numero finito de cartas locales (Uα, φα) dado que γ(−a, a) es compacto.Entonces podemos dividir γ en un numero finito de segmentos γα, donde laimagen de γα esta enteramente contenida en Uα. Aplicando el resultado delprimer paso a cada segmento γα, obtenemos un campo X que es autoparalelo alo largo de γ.

Finalmente, sea Z otro campo autoparalelo a lo largo de γ tal que Zp =Xp. Vamos a demostrar que Zγ(t) = Xγ(t) para todo t ∈ [0, a). Para esto,sea t∗ := supt ∈ [0, a) : Zγ(t) = Xγ(t), y supongamos que t∗ < a. Sea(U, φ) una carta local en una vecindad de γ(t∗). Entonces Xk(t) = dxk(X)γ(t)

y Zk(t) = dxk(Z)γ(t) satisfacen la ecuacion (3.41) en U , y Xk(t) = Zk(t) parat < t∗ tal que γ(t) ∈ U . Por unicidad de las soluciones de (3.41) encontramosque Xk(t) = Zk(t) para todo t ∈ [0, a) tal que γ(t) ∈ U , lo que contradice ladefinicion de t∗. Entonces, t∗ = a y Zγ(t) = Xγ(t) para todo t ∈ [0, a). De lamisma manera probamos que Zγ(t) = Xγ(t) para todo t ∈ (−a, 0].

Del resultado del Lema 4 obtenemos para cada curva γ : (−a, a) → M unmapeo

τt,s : Tγ(s)M → Tγ(t)M, s, t ∈ (−a, a),

que transforma un vector X ∈ Tγ(s)M en un vector Y = τt,sX ∈ Tγ(t)M a travesdel transporte paralelo a lo largo de γ. Este mapeo, llamado el transporteparalelo, satisface las siguientes propiedades:

(i) τt,s : Tγ(s)M → Tγ(t)M es lineal,

(ii) τt,t = id,

(iii) τt,s τs,r = τt,r ,


(iv) Con respecto a coordenadas locales en una vecindad de γ(t) vale

d

dt(τt,s)kj

∣∣∣∣t=s

= −Γkij(γ(s))xi(s). (3.42)

(v) Sea X un campo vectorial a lo largo de γ, entonces2

DX

dt(t) = (∇γX)γ(t) =

d

dsτt,sXγ(s)

∣∣∣∣s=t

. (3.43)

para todos r, s, t ∈ (−a, a).

Las propiedades (i)-(iii) son consecuencias directas del resultado del Lema 4 yde la linealidad de (3.41). En particular notamos que (ii) y (iii) implican queτt,s es invertible y que τ−1

t,s = τs,t. La propiedad (iv) es una consecuencia directade (3.41). Para demostrar (v) fijamos t ∈ (−a, a) e introducimos coordenadaslocales x1, ..., xn en una vecindad de γ(t). Usando

d

dsτt,s

∣∣∣∣s=t

= −τt,s(d

dsτs,t

)τt,s

∣∣∣∣s=t

= − d

dsτs,t

∣∣∣∣s=t

y la propiedad (iv), obtenemos con la regla de Leibnitz

d

ds

(τt,sXγ(s)

)k∣∣∣∣s=t

= − d

ds(τs,t)kjXj(t)

∣∣∣∣s=t

+ Xk(t)

= Γkij(γ(t))xi(t)Xj(t) + Xk(t) =DXk

dt(t).

El transporte paralelo se puede generalizar a campos tensoriales de maneranatural:

Definicion 24 Sea γ : (−a, a) → M un curva, y sean s, t ∈ (−a, a). Sea ω ∈T ∗γ(s)M un covector en el punto γ(s). Entonces definimos el transporte paraleloτt,sω ∈ T ∗γ(t)M de ω en el punto γ(t) a traves de la ecuacion

(τt,sω) (τt,sY ) = ω(Y ) (3.44)

para todo Y ∈ Tγ(s)M , es decir por

(τt,sω) (Z) = ω(τ−1t,s Z) (3.45)

para todo Z ∈ Tγ(t)M .De manera mas general, si T ∈ (Tγ(s)M)qr es un tensor del tipo (q, r) en el

punto γ(s), entonces definimos τt,sT ∈ (Tγ(t)M)qr a traves de

(τt,sT ) (ω1, ..., ωq, X1, ..., Xr) := T (τ−1t,s ω

1, ..., τ−1t,s ω

q, τ−1t,s X1, ..., τ

−1t,s Xr) (3.46)

para todo ω1, ..., ωq ∈ T ∗γ(t)M y X1, ..., Xr ∈ Tγ(t)M .

2Notamos que τt,sXγ(s) ∈ Tγ(t)M para todo s ∈ (−a, a). Dado que Tγ(t)M es isomorfo a

Rn, el lımite ddsτt,sXγ(s)

˛s=t

:= lımh→0

1h

ˆτt,t+hXγ(t+h) −Xγ(t)

˜∈ Tγ(t)M tiene sentido.


Observacion: Sea X ∈ X (M) un campo vectorial sobre M , y sea I : X (M)→T (M)1

0 el isomorfismo definido en (3.15). Entonces,

(τt,sIX) (ω) = IX(τ−1t,s ω)

= (τ−1t,s ω)(X)

= ω(τt,sX)= (Iτt,sX) (ω),

de tal manera que τt,s conmuta con I. Entonces podemos identificar elementosde X (M) con elementos de T (M)1

0 como siempre.

La ecuacion (3.43) sugiere la definicion siguiente para la derivada covariantede un campo tensorial:

Definicion 25 Sea X ∈ X (M) un campo vectorial sobre M , y sea T ∈ T (M)qrun campo tensorial del tipo (q, r) 6= (0, 0). Sea p ∈ M y considere una curvaintegral γ : (−ε, ε) → M de X a traves del punto p. Definimos la derivadacovariante de T en la direccion de X por

(∇XT )p :=d

dsτ0,sTγ(s)

∣∣∣∣s=0

. (3.47)

Lema 5 La definicion 25 es equivalente a la definicion previa (3.38).

Demostracion. Solamente damos una demostracion para el caso de un campotensorial T = ω del tipo (0, 1). Sean x1, ..., xn coordenadas local en una vecindaddel punto p. Tenemos que

(τ0,sωγ(s))i = (τ0,sωγ(s))(

∂

∂xi

)= ωγ(s)

(τs,0

∂

∂xi

)= (τs,0)jiωγ(s)

(∂

∂xj

),

entonces(τ0,sωγ(s))i(p) = (τs,0)jiωj(γ(s)).

Tomando la diferencial con respecto a s a ambos lados y usando (3.42) obtene-mos que

(∇Xω)i(p) = −Γjki(p)Xk(p)ωj(p) + δji∂ωj∂xk

∣∣∣∣p

Xk(p)

= Xk(p)

(∂ωi∂xk

∣∣∣∣p

− Γjki(p)ωj(p)

),

lo que coincide con (3.35).


Ejercicio 6. Consideramos la esfera S2 ⊂ R3 con la conexion afın inducida ∇.

(a) Calcule el transporte paralelo τ−π/2,π/2 : TpS2 → TqS2 entre los puntos

p := (0,−1, 0) y q := (0, 1, 0) a lo largo de la curva equatorial γ : (−π, π)→S2 dada por

γ(t) := (cos t, sen t, 0), −π < t < π.

(b) Calcule el transporte paralelo Xq := τ−π/2,π/2Xp del vector Xp := (1, 0, 0)a lo largo de la curva γ del inciso (a).

(c) Calcule el transporte paralelo Xq := τ−π/2,π/2Xp del vector Xp := (1, 0, 0)a lo largo de la curva µ : (−π, π)→ S2 definida por

µ(t) = (0, sen t, cos t), −π < t < π.

3.3.3. Geodesicas

A continuacion analizamos curvas especiales en M , llamadas geodesicas.

Definicion 26 Sea (M,∇) una variedad diferenciable con conexion afın ∇.Sea γ : (−a, a) → M una curva en M con campo de velocidad correspondienteX = γ. γ se llama geodesica si existe una funcion f : (−a, a)→ R tal que

(∇XX)γ(t) = f(t)Xγ(t), |t| < a. (3.48)

Entonces una geodesica tiene la propiedad que la derivada covariante de sucampo de velocidad a lo largo de si misma es paralela al campo de velocidad.Con respecto a una carta local (U, φ) la ecuacion (3.40) implica que

xk(t) + Γkij(γ(t))xi(t)xj(t) = f(t)xk(t), (3.49)

donde xk(t) = φ(γ(t))k.

Observaciones

1. Sea s otro parametro de γ. Entonces,

X =d

dtγ =

ds

dt

d

dsγ = sY, Y :=

d

dsγ,

y∇XX = ∇X(sY ) = sY + s2∇Y Y.

Entonces la ecuacion (3.48) se convierte en

∇Y Y = fY, f = s−2(fs− s).


Concluimos que la ecuacion (3.48) es invariante bajo reparametrizacionesde la curva. La funcion f es cero si eligimos s(t) tal que

s(t) = A exp

t∫0

f(τ)dτ

, |t| < a,

con una constante A 6= 0. Notamos que s 6= 0, asi que la transformaciont 7→ s es invertible. La ecuacion s(t) = f(t)s(t) determina s(t) de maneraunica con la excepcion de las transformaciones s(t) = As(t) +B, donde Ay B son dos constantes y A 6= 0. Por esta razon, un parametro s tal que

(∇Y Y )γ(s) = 0 (3.50)

se llama un parametro afın.

2. Por los teoremas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, la ecuacion(3.50) implica que para cada p ∈M y vector v ∈ TpM existe una geodesi-ca maximal y unica γ : (a, b)→M (a < 0 < b) tal que ∇γ γ = 0 y tal queγ(0) = p y γ(0) = v.

3. Si γ(t) es una geodesica con parametro afın t tal que γ(0) = p y γ(0) = v,entonces µ(t) := γ(At), A 6= 0, es una geodesica con parametro afın talque µ(0) = p y µ(0) = Av.

4. Sea p ∈M . Entonces las observaciones anteriores implican que existe unavecindad V ⊂ TpM del origen 0 ∈ TpM del espacio tangente en p talque todas las geodesicas γv(t) con parametro afın t y con γv(0) = p yγv(0) = v ∈ V existen para t ∈ [0, 1].

Ahora vamos a introducir el mapeo exponencial que nos permite identificaruna vecindad de p con una vecindad del origen en el espacio tangente TpM :

Definicion 27 Sea p ∈ M , y sea V ⊂ TpM como en la ultima observacion.Sea γv(t) la geodesica con parametro afın tal que γv(0) = p y γv(0) = v ∈ V . Elmapeo exponencial en el punto p esta definido por

expp : V ⊂ TpM →M,v 7→ expp(v) := γv(1). (3.51)

Dado que γtv(s) = γv(ts) para s, t ∈ [0, 1] encontramos que

expp(tv) = γv(t), t ∈ [0, 1]. (3.52)

Ademas, la diferencial d expp : TpM → TpM de expp satisface, por definicion,

d expp(v) =d

dtexpp(tv)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγv(t)

∣∣∣∣t=0

= v,

3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS 57

para v ∈ V . Por la linealidad de d expp, obtenemos que d expp : TpM → TpMes la identidad. El Teorema 3 implica que expp : V ⊂ TpM → M es un difeo-morfismo local. En otras palabras, existe una vecindad W ⊂ TpM del origen0 ∈ TpM tal que expp : W → U := expp(W ) es un difeomorfismo. De estamanera, podemos identificar puntos en U con vectores en W .

Como aplicacion importante, vamos a introducir coordenadas locales x1, x2, ..., xn

particulares sobre U : Sea e1, e2, ..., en una base del espacio vectorial TpM . Seaq ∈ U un punto en U y vq = exp−1

p (q) ∈ TpM el vector correspondiente en W .Entonces, definimos las coordenadas x1(q), x2(q), ... ,xn(q) a traves de la ex-pansion

vq = xi(q)ei .

Las coordenadas x1, x2, ..., xn que construimos de esta manera se llaman coor-denadas Gaussianas o coordenadas normales con respecto al punto p.Puesto que γv(t) = expp(tv) para v = viei ∈ W , t ∈ [0, 1], γv(t) posee las coor-denadas xi(t) = tvi. Entonces en estas coordenadas, las geodesicas que pasan atraves del punto p son rectas, xi(t) = 0. Introduciendo esta informacion en laecuacion geodesica (3.50) encontramos que

Γkij(p)vivj = 0

para todo v ∈W , lo que implica

Γkij(p) + Γkji(p) = 0. (3.53)

En particular, si la conexion es tal que Γkij es simetrico en los indices ij (lo queocurre para las conexiones de Levi-Civita como vamos a ver en la seccion quesigue) obtenemos que Γkij(p) = 0.

Ejercicio 7. Consideramos una vez mas la esfera S2 ⊂ R3 con la conexion afıninducida ∇.

(a) Demuestre que la curva equatorial γ : (−π, π]→ S2 dada por

γ(t) := (cos t, sen t, 0), −π < t ≤ π

es una geodesica.

(b) Demuestre que las geodesicas sobre S2 son los cırculos con circunferencia2π.

3.4. Metricas pseudo-Riemannianas y conexio-nes de Levi-Civita

En la seccion previa introducimos una conexion afın que nos permite definirla nocion del transporte paralelo de campos tensoriales a lo largo de una curvay de definir derivadas de campos tensoriales. En esta seccion introducimos otra


estructura sobre la variedad, la metrica. En el caso que la metrica es definidapositiva, nos permite definir la longitud de una curva. En el caso de relatividadgeneral, le metrica no es definida positiva, y nos da una distincion entre losvectores de tipo tiempo, de tipo espacio y de tipo nulo. Dado una metrica, existeuna conexion afın unica que satisface dos condiciones naturales (compatibilidadcon la metrica y cero torsion). Esta conexion afın se llama la conexion de Levi-Civita. La mtrica tambien nos da una manera de definir la integral de funcionessobre la variedad.

Definicion 28 Una metrica pseudo-Riemanniana sobre una variedad dife-renciable M es un campo tensorial g ∈ T 0

2(M) del tipo (0, 2) que satisface lassiguientes propiedades:

(i) g(X,Y ) = g(Y,X) para todos X,Y ∈ X (M) (simetrıa)

(ii) Para todo p ∈M , gp es no degenerada. Esto quiere decir que gp(Xp, Yp) =0 para todo Yp ∈ TpM implica que Xp = 0.

Si gp es definido positivo en cada punto p ∈M , g tambien se llama una metricaRiemanniana.

El par (M, g) se llama variedad (pseudo-) Riemanniana.

Sean p ∈M y g una metrica pseudo-Riemanniana sobre M . Denotando porF ⊂ TpM un subespacio de TpM definimos

r := maxdimF : gp|F es definido positivo,s := maxdimF : gp|F es definido negativo,

La diferencia r − s se llama la signatura de la metrica g.Sean x1, ..., xn coordenadas locales en una vecindad de p, entonces podemos

expander

g = gijdxi ⊗ dxj , gij = gji = g

(∂

∂xi,∂

∂xj

).

Con respecto a otras coordenadas locales x1, ..., xn en un vecindad de p, lascomponentes gkl de g estan relacionadas con gij a traves de

gkl =∂xi

∂xk∂xj

∂xlgij .

Si definimos la matriz de Jacobi J(p) por

J ik(p) :=∂xi

∂xk

∣∣∣∣p

podemos reescribir la relacion entre gkl y gij en forma matricial:

g(p) = J(p)T g(p)J(p).


Ahora, sea p ∈M fijo. Dado que g(p) es simetrico, existe una transformacion or-togonal A ∈ O(n) tal que AT g(p)A = diag(λ1, λ2, ..., λn) es diagonal. Ningunode los eigenvalores λ1, ..., λn es cero dado que gp es no degenerada. Ademas,podemos elegir A tal que λ1, λ2, ...λs < 0 < λs+1, ...λn. Si definimos la transfor-macion

B := diag

(1√−λ1

, ...,1√−λs

,1√λs+1

, ...,1√λn

),

obtenemos BTAT g(p)AB = diag(−1, ...,−1, 1, ..,1). Entonces, definiendo lascoordenadas x1, ..., xn a traves de

xi = J ijxj , J = AB,

logramos que las componentes de la metrica en el punto p3 se reduzcan a

gkl(p) = ηkl =

−1, 1 ≤ k = l ≤ s,1, s+ 1 ≤ k = l ≤ n,0, k 6= l.

Entonces la signatura de la metrica es (n − s) − s = n − 2s. Dado que los au-tovalores λ1(p), ..., λn(p) dependen da manera continua4 de gij(p) y no puedenser ceros, y dado que g es un campo tensorial diferenciable, la signatura es in-dependiente de p.

Ejemplos:

1. Sea (M, g) con M = Rn y

g(X,Y ) := δijXiY j , X = (X1, ..., Xn), Y = (Y 1, ..., Y n) ∈ Rn,

el espacio Euclideano de dimension n. Entonces g es una metrica Rieman-niana. Las transformaciones de coordenadas que dejan gij = δij invariantesconsisten de las transformaciones afines de la forma

xi = Rijxj + ai,

donde R ∈ O(n) y a ∈ Rn.

2. Sea (M, g) con M = Rn y

g(X,Y ) := ηijXiY j , X = (X1, ..., Xn), Y = (Y 1, ..., Y n) ∈ Rn,

donde (ηij) = diag(−1, 1, 1, ..., 1), el espacio de Minkowski de dimension n.Entonces g es una metrica pseudo-Riemanniana con signatura n− 2. Lastransformaciones de coordenadas que dejan gij = ηij invariantes consistende las transformaciones de Poincare

xi = Λijxj + ai,

donde Λ ∈ O(1, n− 1) es una transformacion de Lorentz y a ∈ Rn.3¿Porque en general no es posible lograr que gkl(p) tenga esta forma no solamente en el

punto p pero en toda una vecindad de p?4Ver [7], parrafo II.5 para una formulacion precisa de esta afirmacion.


3. En relatividad general, el espacio-tiempo esta descrito por (M, g), dondeM es una variedad diferenciable de dimension 4 y g es una metrica pseudo-Riemanniana con signatura 2. Entonces podemos introducir coordenadaslocales x0, x1, x2, x3 en la vecindad de cada punto p tal que en este punto

gp = −dx0p ⊗ dx0

p + dx1p ⊗ dx1

p + dx2p ⊗ dx2

p + dx3p ⊗ dx3

p .

3.4.1. La metrica como isomorfismo entre TpM y T ∗pM

La segunda condicion (ii) de la definicion 28 nos permite identificar en cadapunto p ∈ M el espacio tangente TpM con su espacio dual T ∗pM a traves delmapeo lineal TpM → T ∗pM : X 7→ X˜ := gp(X, .). Dado que gp es no degenerada,esta transformacion es invertible. Entonces existe para cada ω ∈ T ∗pM un unicovector X ∈ TpM tal que X˜ = ω. Con respecto a coordenadas locales x1, ..., xn

podemos expander

g = gijdxi ⊗ dxj , X = Xi ∂

∂xi, X˜ = X˜ jdxj ,

y las componentes de X˜ con respecto a estas coordenadas son

X˜ j = X˜(

∂

∂xj

)= g

(X,

∂

∂xj

)= gijX

i.

Entonces las componentes de X˜ se obtienen a partir de las componentes de Xal “bajar” sus indices con las componentes de la metrica gij y las componentesde X se obtienen a partir de las componentes de X˜ al “subir” los indices conlas componentes de la inversa de la matriz gij , denotados por gij .

Esto se puede generalizar para campos tensoriales. Por ejemplo, sea T ∈T 0

2(M), entonces podemos definir un campo tensorial T ∈ T 20(M) a traves de

T (X˜ , Y˜ ) := T (X,Y ), X, Y ∈ X (M).

Con respecto a coordenadas locales x1, ..., xn y eligiendo

X =∂

∂xi, Y =

∂

∂xj

obtenemos X˜ = gkidxk, Y˜ = gljdx

l y entonces

gkiglj Tkl = Tij ,

oT kl = gkigljTij .

En particular, si T = g es el tensor metrico, encontramos que

gkl = gkl,

dado que definimos gij como las componentes de la matriz inversa de gij . En-tonces vemos porque denotamos la inversa de esta manera: Las componentes dela matriz inversa de gij son las componentes del tensor g ∈ T 2

0.


3.4.2. La conexion de Levi-Civita

Dado un variedad (pseudo-) Riemanniana (M, g), nos preguntamos si existeuna conexion afın ∇ natural asociada a g.

Para contestar esta pregunta, consideramos primero una conexion ∇ sobreM . Sea γ : (−ε, ε) → M una curva en M , y sean Xγ(t) y Yγ(t) dos camposvectoriales autoparalelos definidos sobre γ. Suponemos que el producto escalarentre X y Y esta constante a lo largo de γ:

gγ(t)

(Xγ(t), Yγ(t)

)= const, |t| < ε.

Por otro lado, usando el transporte paralelo τt,s a lo largo de γ tenemos que

gγ(t)

(Xγ(t), Yγ(t)

)= gγ(t)

(τt,0Xγ(0), τt,0Yγ(0)

)= (τ0,tg)γ(0)

(Xγ(0), Yγ(0)

).

Usando la definicion 25 encontramos que

0 =d

dt

∣∣∣∣t=0

(τ0,tg)γ(0)

(Xγ(0), Yγ(0)

)= (∇γg)γ(0)

(Xγ(0), Yγ(0)

).

Entonces el transporte paralelo a lo largo de cualquier curva preserva el productoescalar entre dos vectores si y solo si

∇g = 0.

Definicion 29 Sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana. Una conexionafın ∇ sobre M se llama una conexion metrica si

∇g = 0. (3.54)

A continuacion, analizamos el hessiano covariante de una funcion f ∈ M,∇df . Sean X,Y ∈ X (M) dos campos vectoriales, entonces obtenemos de laecuacion (3.33)

(∇df)(X,Y ) := (∇Xdf)(Y ) = X[df(Y )]− df(∇XY ) = X(Y [f ])− df(∇XY ).

Entonces la parte antisimetrica de ∇df es

(∇df)(X,Y )− (∇df)(Y,X) = [X,Y ]f − df(∇XY −∇YX)= −df(∇XY −∇YX − [X,Y ]). (3.55)

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 30 Sea M una variedad diferenciable con conexion afın ∇. La tor-sion de ∇ se define como el mapeo T : X (M) × X (M) → X (M) dado por

T (X,Y ) := ∇XY −∇YX − [X,Y ], X, Y ∈ X (M). (3.56)


Notamos que T (Y,X) = −T (X,Y ) es antisimetrico en X,Y ∈ X (M) y quepara X,Y, Z ∈ X (M) y f ∈ F(M) valen

T (X,Y + fZ) = ∇X(Y + fZ)−∇Y+fZX − [X,Y + fZ]= ∇XY + f∇XZ +X(f)Z −∇YX − f∇ZX− [X,Y ]− f [X,Z]−X(f)Z= T (X,Y ) + fT (X,Z).

Entonces T define un campo tensorial T ∈ T 12(M) a traves de

T (ω,X, Y ) := ω(T (X,Y )), ω ∈ X ∗(M), X, Y ∈ X (M). (3.57)

Con respecto a coordenadas locales x1, ..., xn, tenemos que

T kij = dxk[T

(∂

∂xi,∂

∂xj

)]= dxk

(∇ ∂

∂xi

∂

∂xj−∇ ∂

∂xj

∂

∂xi−[∂

∂xi,∂

∂xj

])= dxk

(Γlij

∂

∂xl− Γlji

∂

∂xl− 0)

= Γkij − Γkji ,

donde hemos usado la definicion de los sımbolos de Christoffel (3.27) en el tercerpaso. Entonces,

T kij = Γkij − Γkji . (3.58)

Definicion 31 Sea M una variedad diferenciable con conexion afın ∇. Se diceque ∇ es simetrica o libre de torsion si

T = 0. (3.59)

Con respecto a coordenadas locales esto quiere decir que los sımbolos de Chris-toffel Γkij asociados a ∇ son simetricos en ij.

De acuerdo a la ecuacion (3.55), ∇ es simetrica si y solo si para cada funcionf ∈M el hessiano covariante ∇df es simetrico.

Ahora viene el resultado importante:

Teorema 4 Sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana. Entonces existeuna unica conexion afın ∇ tal que

(i) ∇g = 0 (∇ es metrica)

(ii) T = 0 (∇ es simetrica).

Esta conexion unica se llama conexion Riemanniana o conexion de Levi-Civita.


Demostracion. Sean ∇ una conexion afın y X,Y, Z ∈ X (M) tres camposvectoriales. Entonces la ecuacion (3.38) implica que

(∇Zg)(X,Y ) = Z[g(X,Y )]− g(∇ZX,Y )− g(X,∇ZY ),

y la condicion (i) es equivalente a

Z[g(X,Y )] = g(∇ZX,Y ) + g(X,∇ZY ) (3.60)

para todos X,Y, Z ∈ X (M). La ecuacion (3.60) se llama identidad de Ricci.Para demostrar el teorema suponemos primero que existe una conexion afın

que satisface las propiedades (i) y (ii). Usando la identidad de Ricci (3.60) y lasimetrıa de ∇ encontramos que

Z[g(X,Y )]−X[g(Y,Z)]− Y [g(Z,X)]= g(∇ZX −∇XZ, Y ) + g(∇ZY −∇Y Z,X) + g(∇XY −∇YX,Z)− 2g(∇XY,Z)= g([Z,X], Y ) + g([Z, Y ], X) + g([X,Y ], Z)− 2g(∇XY,Z)

Entonces,

2g(∇XY, Z) = −Z[g(X,Y )] +X[g(Y, Z)] + Y [g(X,Z)]+ g([X,Y ], Z) + g([Z,X], Y ) + g([Z, Y ], X). (3.61)

La parte derecha de esta ecuacion no depende de ∇. Entonces, dado que g esno-degenerada, la unicidad de ∇ queda demostrada.

Para demostrar la existencia de ∇, fijamos X,Y ∈ X (M) y definimos paracada Z ∈ X (M) la funcion ω(Z) por la parte derecha de la ecuacion (3.61). Po-demos verificar que ω es lineal en Z y que para una funcion f ∈ F(M) tenemosque ω(fZ) = fω(Z). Entonces ω ∈ X ∗(M) define un campo de covectores. Da-do que la metrica es no-degenerada existe un unico campo vectorial W ∈ X (M)tal que 2W˜ = ω, es decir, tal que

2g(W,Z) = ω(Z)

para todo Z ∈ X (M) (ver la seccion 3.4.1). Ahora definimos ∇ por ∇XY := W .No es difıcil verificar que el mapeo ∇ : X (M)×X (M)→ X (M), (X,Y ) 7→ ∇XYdefinido de esta manera satisface todas las propiedades de una conexion afın.Ademas, obtenemos de (3.61)

2g(∇XY −∇YX,Z) = 2g([X,Y ], Z)

para todo Z ∈ X (M) lo que muestra ∇ es libre de torsion. Finalmente, ∇satisface la identidad de Ricci (3.60) puesto que (3.61) implica que

2g(∇XY,Z) + 2g(∇XZ, Y ) = 2X[g(Y,Z)],

y entonces ∇ es metrica. Esto concluye la demostracion del teorema.


Observaciones

1. Sean x1, ..., xn coordenadas locales de M . Si introducimos los campos vec-toriales

X =∂

∂xi, Y =

∂

∂xj, Z =

∂

∂xk,

en la ecuacion (3.61), obtenemos que

2glkΓlij = 2g(

Γlij∂

∂xl,∂

∂xk

)= − ∂

∂xkgij +

∂

∂xigjk +

∂

∂xjgik .

Entonces, encontramos

Γkij =12gkl(

∂

∂xigjl +

∂

∂xjgil −

∂

∂xlgij

). (3.62)

Esta formula nos permite calcular los sımbolos de Christoffel asociada ala conexion de Levi-Civita a partir de las componentes de la metrica y desus primeras derivadas.

2. Sea ∇ la conexion de Levi-Civita. Como mostramos en la seccion previa,dado un punto p ∈ M , siempre podemos encontrar coordenadas localesx1, ..., xn en una vecindad de p tal que Γkij(p) = 0. Esta condicion semantiene si hacemos un cambio de coordenadas xi = Aijx

j , donde A esuna matriz n × n constante. Ademas, como vimos, podemos elegir A talque gij(p) = ηij , (ηij) = diag(−1, ..,−1, 1, ..,1).

Resumiendo, sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana con cone-xion de Levi-Civita ∇. Entonces dado un punto p ∈ M , podemos encon-trar coordenadas locales en una vecindad de p tales que en el punto p sesatisfacen gij(p) = ηij y Γkij(p) = 0. Como vamos a ver en el capıtulo quesigue, un sistema de coordenadas locales con estas propiedades se llama unsistema inercial local y constituye un ingrediente clave para la relatividadgeneral.

3. En el capıtulo que sigue, tambien mostraremos que las geodesicas con res-pecto a la conexion de Levi-Civita corresponden a las curvas estacionariasdel funcional de longitud de arco,

L[γ] =

(2)∫(1)

√|gγ(t)(γ(t), γ(t))|dt,

donde los puntos extremos de la curva, (1) y (2), son fijos.

Ejercicio 8. Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana con conexion afın deLevi-Civita correspondiente ∇. Definimos la divergencia de un campo vectorialX ∈ X (M) como la contraccion

divX := C(∇X) ∈ F(M). (3.63)


Demuestre que en coordenadas locales,

divX = ∇iXi =1√

|det(gij)|∂i

(√|det(gij)|Xi

). (3.64)

3.4.3. Integracion de funciones sobre una variedad

Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana de dimension n. Sea f ∈ F(M)una funcion C∞-diferenciable sobre M , y sea K ⊂M un subconjunto compactode M . Entonces podemos definir la integral de f sobre K de la manera siguiente:

Primero, vamos a suponer que K ⊂ U esta enteramente contenida en unacarta local (U, φ). Sean gij : U → R las n× n componentes de la metrica g conrespecto a esta carta. Entonces definimos∫

K

f :=∫

φ(K)

f(φ−1(x))√|det(gij(φ−1(x))|dnx. (3.65)

Sea (U , φ) otra carta local tal que K ⊂ U . Sean gkl : U → R las componentesde g con respecto a esta carta. Entonces, la ley de transformacion (3.22) paralas componentes de campos tensoriales implica que

gij(p) = Jki(p)J lj(p)gkl(p), Jki(p) =∂xk

∂xi

∣∣∣∣p

, x = ψ(φ−1(x)),

para todo p ∈ K y por lo tanto,√|det(gij(p))| =

√|det(gkl(p))| |det J(p)|.

Ahora la formula de transformacion de variables para integrales sobre Rn nosda ∫

φ(K)

f(φ−1(x))√|det(gij(φ−1(x))|dnx

=∫

φ(K)

f(φ−1(x))√|det(gkl(φ−1(x))| |det J(φ−1(x))|dnx

=∫

ψ(K)

f(ψ−1(x))√|det(gij(ψ−1(x))|dnx,

lo que demuestra que la definicion (3.65) es independiente de la eleccion dela carta local. Ahora, si K no esta enteramente contenida en una carta local,usamos una particion de la unidad.


Definicion 32 Sea M una variedad diferenciable. Una particion de la uni-dad es una familia (Uα, φα, hα), donde los (Uα, φα) forman un atlas diferen-ciable de M y donde hα ∈ F(M) son funciones C∞-diferenciables sobre M detal manera que

(i) La familia Uα es localmente finita, es decir cada punto p ∈ M posee unavecindad abierta U ⊂ M tal que la interseccion U ∩ Uα es no vacıa sola-mente para una numero finitos de α’s.

(ii) hα ≥ 0 y supphα ⊂ Uα para todo α.

(iii)∑αhα(p) = 1 para todo p ∈M .

Observaciones

1. Notamos que gracias a la condicion (i), para cada p ∈M , hα(p) 6= 0 sola-mente para un numero finito de α’s de tal manera que no hay problemasde convergencıa en la condicion (iii).

2. Se puede demostrar que una variedad diferenciable M posee una particionde la unidad si y solo si cada componente conexa de M es Hausdorff yposee una base contable (ver [5] y referencias a dentro).

Volviendo a la definicion de la integral de f sobre M , tomamos una par-ticion de la unidad (Uα, φα, hα) de M . Entonces las funciones hαf son C∞-diferenciables y son cero fuera del conjunto compacto Kα := supphα∩K ⊂ Uα.Entonces definimos∫K

f :=∑α

∫Kα

hαf =∑α

∫φα(Kα)

(hαf)(φ−1α (x))

√|det(gij(φ−1

α (x))|dnx. (3.66)

Notamos que la condicion (i) y la compacticidad de K implican que solamenteun numero finito de las funciones hαf son diferentes de cero, de tal manera quela suma en (3.66) es finita.

Finalmente, demostramos que la definicion (3.66) is independiente de la elec-cion de la particion de la unidad: Sea (Vβ , ψβ , kβ) otra particion de la uni-dad de M . Entonces (Wαβ , ζαβ ,mαβ), donde Wαβ := Uα ∩ Vβ , ζαβ := φα|Vβ ,mαβ := hαkβ tambien es una particion de la unidad de M de tal manera que∑

β

mαβ(p) = hα(p),∑α

mαβ(p) = kβ(p),

para todo p ∈M . Entonces,∑α

∫supphα∩K

hαf =∑α,β

∫suppmαβ∩K

mαβf =∑β

∫supp kβ∩K

kβf,


lo que demuestra que la definicion (3.66) is independiente de la eleccion de laparticion de la unidad.

A veces es posible calcular la integral de funciones sobre subconjuntos com-pactos que no estan enteramente contenidos en una carta local sin usar ningunaparticion de la unidad.

Ejemplo: Sea M = S2R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = R2 la esfera con

radio R > 0 con la metrica inducida h = R2(dϑ2+sen2 ϑ dϕ2). Sean 0 < δ < π/2y Kδ := R(cosϕ senϑ, senϕ senϑ, cosϑ) : δ ≤ ϑ ≤ ϑ − δ, δ ≤ ϕ ≤ 2π − δ.Entonces para una funcion f ∈ F(S2

R) diferenciable tenemos

∫Kδ

f =

π−δ∫δ

2π−δ∫δ

f (R(cosϕ senϑ, senϕ senϑ, cosϑ))R2 senϑdϕdϑ.

Puesto que f es diferenciable, podemos tomar el lımite δ → 0 y obtenemos laintegral de f sobre S2. En particular, para f = 1, obtenemos

Vol(S2R) :=

∫S2R

1 =

π∫0

2π∫0

R2 senϑdϕdϑ = 4πR2.

A continuacion demostramos el teorema de Gauss en su version covariante.Empezamos con el caso mas simple de un cubo K := [−1, 1]n en (Rn, g), dondeg es una metrica pseudo-Riemanniana sobre Rn. Sean Si± := (x1, x2, ..., xn) ∈K : xi = ±1, i = 1, 2, ..., n, los lados del cubo con covectores normales νi± co-rrespondientes proporcional a ±dxi. En lo que sigue, suponemos que las metricasinducidas hi± sobre Si± son no-degeneradas. Entonces podemos normalizar νi±de tal manera que los vectores normales correspondientes, νi±, satisfacen

|g(νi±, νi±)| = 1, i = 1, 2, ..., n.

Con estas suposiciones tenemos:

Lema 6 Sea (Rn, g) una variedad pseudo-Riemanniana, y sean K, Si± y νi±definidos como arriba, donde suponemos que las metricas inducidas sobre Si±son no-degeneradas. Entonces vale para todo X ∈ X (Rn),∫

K

divX =∫∂K

ν(X) :=n∑i=1

∑±

∫Si±

νi±(X),

donde divX := C(∇X) es la divergencia de X con respecto a la metrica deLevi-Civita.


Demostracion. Trabajando con la carta trivial (Rn, id) tenemos que∫K

divX =∫K

∂k

(√|det(gij)|Xk

)dnx

=n∑k=1

∫Sk+

√|det(gij)|Xkdn−1x−

∫Sk−

√|det(gij)|Xkdn−1x

donde usamos la expresion (3.64) para la divergencia y la definicion 3.65 en elprimer paso y el teorema fundamental del calculo en el segundo paso.

Ahora veamos primero la integral sobre el lado S1+. Podemos expander lametrica de la siguiente forma,

g = adx1 ⊗ dx1 + hAB(dxA + βAdx1)⊗ (dxB + βBdx1) A,B = 2, 3, ..., n,

donde a 6= 0 sobre S1+ y donde hABdxA ⊗ dxB es la metrica inducida sobreS1+. Con esta notacion, es facil verificar que

ν1+ =√|a|dx1, |det(gij)| = |a||det(hAB)|,

de tal manera que ∫S1+

√|det(gij)|X1dn−1x =

∫S1+

ν1+(X).

Luego, para el lado S1− se tienen las mismas expresiones excepto que ν1− =−√|a|dx1, y entonces

−∫S1−

√|det(gij)|X1dn−1x =

∫S1−

ν1−(X).

Conclusiones similares aplican a los lados S2±, ... , Sn±.

Ahora podemos generalizar el teorema de Gauss a subconjuntos compactosK ⊂M que se pueden obtener de una union finita de cubos deformados.

Teorema 5 Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana de dimension n conconexion afın de Levi Civita correspondiente ∇. Sea K ⊂ M un subconjuntocompacto de la siguiente forma: Existen cartas locales (U1, φ1), ... ,(Um, φm) ysubconjuntos compactos K1 ⊂ U1, ... , Km ⊂ Um tales que

(i) K =m⋃l=1

Kl,

(ii) Ki ∩ Kj = ∅ para i 6= j, donde Kj := Kj \ ∂Kj,

(iii) φl(Kl) = [−1, 1]n para todo l = 1, 2, ...,m.


(iv) La metrica inducida sobre ∂Kl es no-degenerada para todo l = 1, 2, ...,m.

Sea ν el campo de covectores normal unitario exterior sobre ∂K, es decir νsatisface ν(X) = 0 para cada X ∈ T (∂K), |g(ν, ν)| = 1 y νp(Xp) > 0 si Xp esun vector tangente en p ∈ ∂K que apunta fuera de K. Entonces∫

K

divX =∫∂K

ν(X) =∫∂K

g(X, ν)

para cada campo vectorial X ∈ X (M).

Demostracion. Usando la definicion 3.65 y el resultado del Lema 6 tenemosque ∫

K

divX =m∑l=1

∫Kl

divX

=m∑l=1

∫[−1,1]n

divX(φ−1l (x))

√|det(gij(φ−1

l (x)))|dnx

=m∑l=1

n∑i=1

∑±

∫φ−1l (Si±)

φ∗l νi±(X).

Las integrales sobre los lados conjuntos se cancelan, y quedan las integralessobre los lados exteriores que forman ∂K.

Ejemplos:

1. Sea (M, g) = (R3, h) con h = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz la metricaEuclideana. Sea K = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ R la bola con radioR > 0 con frontera ∂K = S2

R. Entonces podemos escribir K como la unionde siete cubos deformados, y el covector normal unitario exterior sobre S2

R

es ν = dR = R−1(xdx+ ydy + zdz).

Para el campo vectorial particular X(x, y, z) = x∂x + y∂y + z∂z tenemosdivX = 3 y ν(X) = R. Entonces el teorema de Gauss implica la relacion

Vol(K) :=∫K

1 =13

∫S2

R =13RVol(S2) =

4π3R3.

2. Consideramos una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) con las siguientespropiedades:

(a) M = R× Σ, donde Σ es una variedad diferenciable de dimension n.

(b) Las hojas Σt := t ×Σ con las metricas inducidas correspondientesht forman variedades Riemannianas para cada t ∈ R.


(c) La metrica inducida sobre las lıneas R×p es negativa definida paratodo p ∈ Σ.

El campo de covectores normal unitario N sobre las hojas Σt es propor-cional a dt. Entonces existe una funcion α : M → R tal que N = αdt. Deacuerdo al propiedad (c), esta funcion no tiene ceros. Elegimos la orienta-cion tal que N(∂t) > 0, entonces α es estrictamente positivo.

Si S ⊂ Σ es un subconjunto compacto de Σ que satisface las propiedades(i)–(iii) del Teorema 5, entonces para t1 < t2 el subconjunto compactoK := [t1, t2] × S ⊂ M de M satisface todas las condiciones (i)–(iv) delteorema, y ∂K = S1 ∪ S2 ∪ T , donde S1 := t1 × S, S2 := t2 × S yT := [t1, t2]× ∂S. Entonces el teorema de Gauss implica que∫

K

divX = −∫S1

N(X) +∫S2

N(X) +∫T

ν(X), (3.67)

donde ν es el campo de covectores normal unitario exterior a K sobre T .

En particular, si divX = 0 y X tiene soporte compacto sobre cada reba-nada St := t×S, t1 ≤ t ≤ t2, de K, entonces la ecuacion (3.4.3) implicaque ∫

S2

N(X) =∫S1

N(X),

es decir, la cantidad∫StN(X) =

∫Stαdt(X) es independiente de t.

3.5. Derivada de Lie

En esta seccion vamos a introducir la derivada de Lie de una campo tensorialT con respecto a un campo vectorial X. Intuitivamente, esta derivada nos da el”cambio infinitesimal de T a lo largo de X”. La derivada de Lie es importantepara describir las simetrıas de una variedad, y algunos de los conceptos que sevan a ver en este capıtulo tambien son utiles para el estudio de los grupos deLie.

En esta seccion denotamos por M una variedad diferenciable. Empezamoscon la definicion del flujo asociado a un campo vectorial.

3.5.1. El flujo de un campo vectorial

Para definir el flujo necesitamos primero el siguiente resultado que se puededemostrar con los teoremas clasicos para las ecuaciones diferenciales ordinarias(ver, por ejemplo, la referencia [6]):

Teorema 6 Sea X ∈ X (M) un campo vectorial sobre M . Entonces existe paracada p ∈M una unica curva integral maximal γp de X a traves de p. Es decir,dado p ∈M existe una unica curva γp : (a, b)→M con a < 0 < b tal que

3.5. DERIVADA DE LIE 71

(i) γp(0) = p,

(ii) γp(t) = Xγp(t) para todo a < t < b,

(iii) Si µ : (c, d)→M es otra curva integral de X a traves del punto p, entoncesa ≤ c, d ≤ b y µ(t) = γp(t) para todo c < t < d.

Demostracion. Sea p ∈ M , y sea Cp(X) el conjunto de todas las curvas in-tegrales a X a traves del punto p. El resultado del Lema 3 implica que elconjunto Cp(X) no es vacıo. Sean γ1 : (a1, b1) → M y γ2 : (a2, b2) → M doselementos de Cp(X). Entonces vamos a demostrar que γ1(t) = γ2(t) para todot1 := maxa1, a2 < t < t2 := mınb1, b2. Para ver esto, sea t∗ := supt ∈R : 0 < t < t2, γ1(t) = γ2(t). Si t∗ < t2 obtenemos una contradiccion conel resultado de unicidad local del Lema 3 aplicado al punto γ(t∗), y entoncest∗ = t2, lo que implica que γ1(t) = γ2(t) para todo 0 ≤ t < t2. De la mismaforma, se muestra que γ1(t) = γ2(t) para todo t1 < t ≤ 0.

Ahora definimos la curva integral maximal γp : (A,B)→ M de la siguientemanera:

A := ınfa ∈ R : γ : (a, b)→M es un elemento de Cp(X),B := supb ∈ R : γ : (a, b)→M es un elemento de Cp(X).

Sea t ∈ (A,B), entonces existe una curva integral γ : (a, b)→M de X a travesde p tal que t ∈ (a, b), y definimos γp(t) = γ(t). Esta definicion es independientede la curva γ de acuerdo al resultado de unicidad que acabamos de demostrar.La curva γp : (A,B)→M definida de esta manera es una curva integral a X atraves de p que es maximal.

Definicion 33 Sea X ∈ X (M) un campo vectorial. Denotamos para cada puntop ∈M de la variedad por γp : Ip →M la unica curva integral maximal de X atraves de p. Sean

D := (t, p) : p ∈M, t ∈ Ip ⊂ R×M,

Dt := p ∈M : t ∈ Ip ⊂M.

Entonces el mapeo ϕ : D → M , (t, p) 7→ ϕ(t, p) := γp(t) se llama el flujo deX. Para cada t ∈ R fijo tambien definimos el mapeo

ϕt : Dt →M,p 7→ ϕt(p) := ϕ(t, p) = γp(t),

que deja ”fluir un punto p por el tiempo t a lo largo de la curva γp”.

Ejemplos:

1. Sean M = R y X ∈ X (R) el campo vectorial X = x2 ∂∂x . La curva integral

x(t) de X a traves del punto p = x0 ∈ R satisface el problema de Cauchyx(t) = x(t)2,x(0) = x0


con la solucion formalx(t) =

x0

1− tx0.

Observamos que x(t) diverge cuando t→ 1/x0. Por lo tanto, los intervalosmaximal de existencia Ip son dados por

Ip =

R, p = x0 = 0,(

−∞, 1x0

), p = x0 > 0,(

1x0,∞), p = x0 < 0,

y el flujo esϕt : Dt →M,x0 7→ ϕt(x0) =

x0

1− tx0,

donde

Dt =

R = M, t = 0,(−∞, 1

t

), t > 0,(

1t ,∞

), t < 0,

2. Sean M = R2 y X ∈ X (R2) el campo vectorial X = y ∂∂x − x

∂∂y . La curva

integral (x(t), y(t)) de X a traves del punto (x0, y0) ∈ R2 obedecex(t) = y(t), y(t) = −x(t)x(0) = x0, y(0) = y0 ,

con las solucion(x(t)y(t)

)= ϕt(x0, y0) =

(cos(t) sen(t)− sen(t) cos(t)

)(x0

y0

).

En este caso, el intervalo maximal de existencia es Ip = R para cada puntop = (x0, y0) de M , y D = R×M .

Definicion 34 Sea X ∈ X (M) un campo vectorial. Entonces X se llama com-pleto si D = R×M .

Observacion: En el primer ejemplo de arriba, X no es completo porque lascurvas integrales no siempre pueden ser extendidades a todo el intervalo R deltiempo. En el segundo ejemplo, X es completo.

El flujo de un campo vectorial satisface las siguientes propiedades:

Lema 7 Sea X ∈ X (M) un campo vectorial con flujo asociado ϕ : D → M .Entonces valen las siguientes afirmaciones:

(i) ϕ0 = idM .

(ii) Sean t, s ∈ R. Entonces valen para todo p ∈ Ds+t, ϕt(p) ∈ Ds, ϕs(p) ∈ Dty

ϕs+t(p) = ϕs ϕt(p) = ϕt ϕs(p).


(iii) D ⊂ R×M es un conjunto abierto.

(iv) ϕ : D ⊂ R×M →M es C∞-diferenciable.

(v) Para cada t ∈ R, el mapeo ϕt : Dt → M es un difeomorfismo de Dt enD−t con inversa ϕ−t.

(vi) Si U ⊂ Dt es abierto, entonces ϕt : U →M es un difeomorfismo de U enϕt(U).

(vii) Si M es compacto, entonces D = R×M y X es completo.

Demostracion. Consultar un libro, por ejemplo [8].

3.5.2. El pull-back y el push-forward de un difeomorfismo

Sean M y N variedades diferenciables, y sea φ : M → N un mapeo C∞-diferenciable. Preguntamos si φ induce un mapeo natural de T rs(M) a T rs(N).Nos acordamos de que para campos tensoriales del tipo (0, s) habıamos definido(ver la definicion 20) el pull-back φ∗ : T 0

s(N)→ T 0s(M) a traves de

(φ∗T )p(Y1, Y2, ..., Ys) := Tφ(p) (dφp(Y1), dφp(Y2), ..., dφp(Ys))

para todo T ∈ T 0s(N), Y1, Y2, ..., Ys ∈ TpM y p ∈ M , donde dφp : TpM →

Tφ(p)N denota la diferencial de φ en el punto p, ver la definicion 7.A continuacion preguntamos si φ induce un mapeo similar para campos

tensoriales contravariantes. Para un campo vectorial X ∈ X (M), por ejemplo,podrıamos tener la tentacion de definir el “push-forwar” de X con respecto a φa traves de dφ(X). Sin embargo, es claro que esta definicion tiene problemas siexisten puntos p, q ∈ M , p 6= q tal que φ(p) = φ(q) pero dφp(Xp) 6= dφq(Xq).Para evitar estos problemas vamos a pedir que φ : M → N es invertible en loque sigue. Para definir el pull-back y el push-forward de campos tensoriales ar-bitrarios en este caso, empezamos con las siguientes consideraciones del algebralineal:

Sean E y F dos espacios vectoriales reales de dimension finita, y sea A :E → F un isomorfismo lineal (es decir, un mapeo lineal e invertible) con inversaA−1 : F → E. Sean E∗ y F ∗ los espacioes duales correspondientes a E y F .Definimos el adjunto de A como el mapeo A∗ : F ∗ → E∗, w∗ 7→ A∗w∗ definidopor

(A∗w∗)(v) := w∗(Av), v ∈ E. (3.68)

A∗ define un isomorfismo de F ∗ en E∗ con inversa (A∗)−1 = (A−1)∗. SeanErs, F rs los espacios de tensores del tipo (r, s) sobre E y F , respectivamente.Entonces el ismomorfismo A : E → F induce un isomorfismo Ars : Ers → F rs,T 7→ ArsT definido por

(ArsT )(Y ∗1 , ..., Y∗r , Y1, ..., Ys) := T (A∗Y ∗1 , ..., A

∗Y ∗r , A−1Y1, ..., A

−1Ys),

donde T ∈ Ers, Y ∗1 , ..., Y∗r ∈ F ∗, Y1, ..., Ys ∈ F . En particular, notamos los

siguientes casos particulares:


1. A00 = idR, porque un tensor del tipo (0, 0) sobre E o F es un numero

real.

2. A01 = (A−1)∗, porque para T ∈ E0

1 = E∗ y Y ∈ F tenemos que(A0

1T )(Y ) = T (A−1Y ) =[(A−1)∗T

](Y ) de acuerdo a la definicion 3.68.

3. A10 = A, porque para T ∈ E1

0 = E∗∗ ' E y Y ∗ ∈ F ∗ tenemos que(A1

0T )(Y ∗) = T (A∗Y ∗) = (A∗Y ∗)(T ) = Y ∗(AT ) = AT (Y ∗), donde usa-mos de nuevo la definicion 3.68.

Ahora aplicamos la definicion de Ars al caso E = TpM , F = Tφ(p)N y A =dφp : E → F , donde φ : M → N es un difeomorfismo.

Definicion 35 Sean M y N variedades diferenciables, y sea φ : M → N undifeomorfismo. Entonces definimos el push-forward con respecto a φ comoel mapeo φ∗ : T rs(M)→ T rs(N), T 7→ φ∗T definido por

(φ∗T )q := (dφp)rsTp, p = φ−1(q),

para T ∈ T rs(M) y q ∈ N .De manera similar, definimos el pull-back con respecto a φ como el

mapeo φ∗ : T rs(N)→ T rs(M), S 7→ φ∗S definido por

(φ∗S)p := [(dφp)rs]−1Sφ(p),

para S ∈ T rs(N) y p ∈M .

Observaciones

1. De acuerdo a la definicion, valen φ∗φ∗ = id|T rs(M) y φ∗φ∗ = id|T rs(N).

2. Si X ∈ X (M) es un campo vectorial sobre M , entonces

(φ∗X)q = dφp(Xp), p = φ−1(q),

para todo q ∈ N .

3. Si r = 0, entonces la definicion 35 es equivalente a la definicion original 20del pull-back para campos tensoriales covariantes.

4. Para un campo tensorial T ∈ T 11(M) del tipo (1, 1) sobre M , tenemos,

explicitamente,

(φ∗T )q(ωq, Yq) = Tp((dφp)∗ωq, (dφp)−1(Yq)

), p = φ−1(q) (3.69)

para todo q ∈ N , ωq ∈ T ∗qN y Yq ∈ TqN .

A continuacion, vamos a encontrar las expresiones en coordenadas localespara el pull-forward de un campo tensorial. Sean p ∈ M y q = φ(p) ∈ N , sean


x1, x2, ..., xn coordenadas locales en una vecindad U de p, y sean y1, y2, ..., yn

coordenadas locales en la vecindad φ(U) de q. Entonces podemos expander

dφp

(∂

∂xj

∣∣∣∣p

)= Aij(p)

∂

∂yi

∣∣∣∣q

, p ∈ U, q = φ(p),

donde los coeficientes Aij(p) son dados por

Aij(p) = dyiq

[dφp

(∂

∂xj

∣∣∣∣p

)]

=

[dφp

(∂

∂xj

∣∣∣∣p

)](yi)

=∂

∂xj

∣∣∣∣p

[yi φ]

=∂yi

∂xj

∣∣∣∣p

,

donde hemos usado las definiciones 13 y 7 en el segundo y tercer paso, respec-tivamente. De acuerdo a la definicion 20 del pull-back, tambien tenemos que

∂yi

∂xj

∣∣∣∣p

= dyiq

[dφp

(∂

∂xj

∣∣∣∣p

)]=[(dφp)∗(dyiq)

]( ∂

∂xi

∣∣∣∣p

),

y entonces podemos expander

(dφp)∗(dyiq) =∂yi

∂xj

∣∣∣∣p

dxjp,

(dφp)−1

(∂

∂yj

∣∣∣∣q

)= (A(p)−1)ij

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=∂xi

∂yj

∣∣∣∣p

∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

Basandonos en la ecuacion (3.69), encontramos la siguiente relacion

(φ∗T )i1...ir j1...js(q) = (φ∗T )q

(dyi1q , ..., dy

irq ,

∂

∂yj1

∣∣∣∣q

, ...,∂

∂yjs

∣∣∣∣q

)

=∂yi1

∂xk1· · · ∂y

ir

∂xkr∂xl1

∂yj1· · · ∂x

ls

∂yjsT k1...kr

l1...ls(p),(3.70)

q ∈ φ(U), p = φ−1(q), entre las componentes de un campo tensorial T ∈T rs(M) del tipo (r, s) sobre M y las componentes de su push-forward φ∗T . Estaecuacion se ve formalmente equivalente a la ley de transformacion (3.22) paralas componentes de un campo tensorial. La diferencia entre las dos ecuacionesreside en su interpretacion: Aquı, la ecuacion (3.70) describe la relacion entrelas componentes de dos campos tensoriales distintos (T sobre M y φ∗T sobre N ,


respectivamente) con respecto a coordenadas locales x1, ..., xn y y1, ..., yn en lavecindad de dos puntos distintos (p ∈ M y q = φ(p) ∈ N , respectivamente). Adiferencia de esto, la ecuacion (3.22) describe la relacion entre las componentesdel mismo campo tensorial T con respecto a coordenadas locales en la vecindaddel mismo punto p. Para el caso M = N esta diferencia refleja la diferenciaentre transformaciones activas y pasivas.

3.5.3. La derivada de Lie

Ahora tenemos todos los ingredientes para definir la derivada de Lie de uncampo tensorial:

Definicion 36 Sea M una variedad diferenciable, y sea X ∈ X (M) un campovectorial C∞-diferenciable con flujo asociado ϕt. Entonces definimos para cadaT ∈ T rs(M) su derivada de Lie con respecto a X a traves de

(£XT )p :=d

dt

[(ϕt)∗T

]p

∣∣∣∣t=0

= lımt→0

1t

[(ϕt)∗T

]p− Tp

, p ∈M. (3.71)

Observacion: Como vimos en la seccion 3.5.1 el flujo ϕt no siempre esta definidopara todos los puntos p ∈ M . Sin embargo, el Lema 7 implica que para cadat ∈ R el mapeo ϕt : Dt → D−t es un difeomorfismo, y que para p ∈ M dado,p ∈ Dt para |t| suficientemente pequeno. Entonces dado p ∈M , [(ϕt)∗T ]p defineun tensor del tipo (r, s) sobre TpM para cada |t| suficientemente pequeno y laecuacion (3.71) tiene sentido.

La derivada de Lie satisface las siguientes propiedades basicas:

Lema 8 Sea M una variedad diferenciable, y sea X ∈ X (M). Entonces,

(i) £XT ∈ T rs(M) para cada T ∈ T rs(M).

(ii) £X(T1 + T2) = £XT1 + £XT2 para todo T1, T2 ∈ T rs(M).

(iii) £X(T ⊗ S) = (£XT ) ⊗ S + T ⊗ (£XS) para todo T ∈ T rs(M) y S ∈T pq(M).

(iv) £X conmuta con las contracciones totales.

(v) £Xf = X[f ] = df(X) para todo f ∈ F(M).

(vi) £XY = [X,Y ] para todo Y ∈ X (M).

Demostracion. Con respecto a la afirmacion (i), notamos que [(ϕt)∗T ]p esC∞-diferenciable en t y en p de acuerdo al Lema 7(iv) y la definicion 35 del pull-back. Por esta razon, £XT define un campo tensorial del tipo (r, s) que es C∞-diferenciable. Las afirmaciones (ii) y (iii) son consecuencias directas de las iden-tidades (ϕt)∗(T1 +T2) = (ϕt)∗T1 +(ϕt)∗T1 y (ϕt)∗(T ⊗S) = [(ϕt)∗T ]⊗ [(ϕt)∗S].Para demostrar la afirmacion (iv) notamos que (ϕt)∗C(T ) = C ((ϕt)∗T ) paraun campo tensorial T ∈ T rr(M) del tipo (r, s) con r = s.


Para demostrar la afirmacion (v) tomamos f ∈ F(M) y p ∈ M . Entoncesde acuerdo a la definicion 36 de la derivada de Lie,

£Xfp =d

dt

[(ϕt)∗f

]p

∣∣∣∣t=0

=d

dtf ϕt(p)

∣∣∣∣t=0

= Xp[f ],

de acuerdo a las definiciones del pull-back para funciones, y usando el hecho deque Xp es el vector tangente a la curva Ip →M , t 7→ ϕt(p) en el punto p.

Finalmente, para demostrar (vi), tomamos f ∈ F(M) y definimos la funcionC∞-diferenciable h : D →M a traves de

h(t, q) := f(ϕt(q))− f(q), (t, q) ∈ D.

Dado que h(0, q) = 0 para todo q ∈M tenemos que

h(t, q) =

1∫0

d

dsh(st, q)ds = t

1∫0

∂h

∂t(st, q)ds ≡ tg(t, q)

donde g : D →M es C∞-diferenciable. Entonces encontramos que

f ϕt(q) = f(q) + tg(t, q) (3.72)

para todo (t, q) ∈ D, lo que implica que

Xq[f ] =d

dtf ϕt(q)

∣∣∣∣t=0

= g(0, q)

para todo q ∈M . Por otro lado, la ecuacion (3.72) tambien implica que

(dϕtY )ϕt(q)[f ] = Yq[f ϕt] = Yq[f ] + tYq[g(t, ·)].

para todo (t, q) ∈ D, y entonces

(£XY )p[f ] = lımt→0

1t

[(ϕt)∗Y ]p − Yp

[f ]

= lımt→0

1t

[dϕ−t(Y )]p[f ]− Yp[f ]

= lım

t→0

1t

Yϕt(p)[f ]− Yp[f ]

− lımt→0

Yϕt(p)[g(−t, ·)]

= Xp[Y f ]− Yp[g(0, ·)]= [X,Y ]p[f ].

Notamos que las propiedades (i)–(vi) que satisface el operador £X son lasmismas que las propiedades (i)–(vi) que satisface la derivada covariante ∇X , verla seccion 3.3.1. Entonces usando el mismo procedimiento que en esta seccion,


encontramos la siguiente expresion explıcita para la derivada de Lie de un campotensorial T ∈ T rs(M) con respecto a X ∈ X (M):

(£XT )(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys) (3.73)= X

[T (ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)

]− T (£Xω

1, ω2, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− ...− T (ω1, ..., ωr−1,£Xωr, Y1, ..., Ys)

− T (ω1, ..., ωr, [X,Y1], Y2, ..., Ys)− ...− T (ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys−1, [X,Ys]).

para ω1, ..., ωr ∈ X ∗(M) y Y1, ..., Ys ∈ X (M). En particular para ω ∈ X ∗(M),tenemos

(£Xω)(Y ) = X[ω(Y )]− ω([X,Y ]), Y ∈ X (M). (3.74)

En coordenadas locales x1, ..., xn, sean X = Xk ∂∂xk

, ω = dxi, Y = ∂∂xj tenemos

£X

(∂

∂xj

)=

[X,

∂

∂xj

]= −∂X

k

∂xj∂

∂xk,

£Xdxi =

[Xk ∂

∂xk(δij) + dxi

(∂Xk

∂xj∂

∂xk

)]dxj =

∂Xi

∂xjdxj ,

y entonces encontramos de la ecuacion (3.73) que

(£XT )i1...ir j1...js = (£XT )(dxi1 , ..., dxir ,

∂

∂xj1, ...,

∂

∂xjs

)= Xk ∂

∂xkT i1...ir j1...js

− ∂Xi1

∂xkT ki2...ir j1...js − ...−

∂Xir

∂xkT i1...ir−1k

j1...js

+∂Xk

∂xj1T i1...irkj2...js + ...+

∂Xk

∂xjsT i1...ir j1...js−1k .(3.75)

Observacion: Comparando la ecuacion (3.73) con la expresion (3.38) corres-pondiente para la derivada covariante,

(∇XT )(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)= X

[T (ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)

]− T (∇Xω1, ω2, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− ...− T (ω1, ..., ωr−1,∇Xωr, Y1, ..., Ys)− T (ω1, ..., ωr,∇XY1, Y2, ..., Ys)− ...− T (ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys−1,∇XYs).

podemos notar lo siguiente:

(£XT )(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)= (∇XT )(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− T ((£X −∇X)ω1, ω2, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− ...− T (ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys−1, (£X −∇X)Ys).


Ahora, si la conexion afın ∇ es libre de torsion, entonces

(£X −∇X)Y = [X,Y ]−∇XY = −∇YX

y[(£X −∇X)ω](Y ) = −ω ([X,Y ]−∇XY ) = ω(∇YX)

para todo Y ∈ X (M) y ω ∈ X ∗(M), y concluimos que

(£XT )(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys) (3.76)= (∇XT )(ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− T (ω1(∇X), ω2, ..., ωr, Y1, ..., Ys)− ...− T (ω1, ..., ωr(∇X), Y1, ..., Ys)+ T (ω1, ..., ωr,∇Y1X,Y2, ..., Ys)...+ T (ω1, ..., ωr, Y1, ..., Ys−1,∇YsX),

donde para ω ∈ X ∗(M), ω(∇X) se refiere al campo de covectores definido por[ω(∇X)](Y ) := ω(∇YX), Y ∈ X (M). En coordenadas locales,

(£XT )i1...ir j1...js = Xk∇kT i1...ir j1...js (3.77)− (∇kXi1)T ki2...ir j1...js − ...− (∇kXir )T i1...ir−1k

j1...js

+ (∇j1Xk)T i1...irkj2...js + ...+ (∇jsXk)T i1...ir j1...js−1k ,

es decir, podemos reemplazar todas las derivadas parciales por derivadas cova-riantes en la expresion (3.75) si la conexion afın ∇ es libre de torsion.

Ejemplo: Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana con conexion de Levi-Civita ∇. Entonces la formula (3.76) y ∇g = 0 implican que

(£Xg)(Y,Z) = g(∇YX,Z) + g(Y,∇ZX)

para todo X,Y, Z ∈ X (M). Usando la identidad de Ricci (3.60) podemos rees-cribir

g(∇YX,Z) = Y [g(X,Z)]− g(X,∇Y Z) = Y [X˜ (Z)]−X˜ (∇Y Z) = (∇YX˜ )(Z),

y entonces(£Xg)(Y,Z) = (∇X˜ )(Y,Z) + (∇X˜ )(Z, Y ) (3.78)

para todo X,Y, Z ∈ X (M), donde X˜ := g(X, ·). En coordenadas locales,

(£Xg)ij = ∇iXj +∇jXi. (3.79)

3.5.4. La interpretacion geometrica de la derivada de Lie

Empezamos con el resultado siguiente:

Lema 9 Sea M una variedad diferenciable, y sean X,Y ∈ X (M) y λ ∈ R.Entonces valen

(i) £λX+Y = λ£X + £Y .


(ii) [£X ,£Y ] = £[X,Y ].

Demostracion. De acuerdo a la formula 3.73 es suficiente verificar que lasafirmaciones sean ciertas para funciones y campos vectoriales, dado que los ope-radores £λX+Y −λ£X−£Y y [£X ,£Y ]−£[X,Y ] satisfacen las propiedades (i)–(iv) del Lema 8. Obviamente, se satisface la afirmacion (i) dado que £λX+Y f =(λX + Y )[f ] = λ£Xf + £Y f y £λX+Y Z = [λX + Y, Z] = λ£XZ + £Y Z paratodo f ∈ F(M) y Z ∈ X (M).

Para verificar (ii) tomamos primero una funcion f ∈ F(M) y calculamos

[£X ,£Y ]f = £X(Y f)−£Y (Xf) = [X,Y ]f = £[X,Y ]f.

Luego, tomamos un campo vectorial Z ∈ X (M) y encontramos que

[£X ,£Y ]Z = £X [Y, Z]−£Y [X,Z]= [X, [Y,Z]]− [Y, [X,Z]]= −[Z, [X,Y ]]= £[X,Y ]Z,

donde hemos usado la identidad de Jacobi (ver el Lema 2) en el tercer paso.

Ahora llegamos a la interpretacion geometrica de la derivada de Lie:

Teorema 7 Sea M una variedad diferenciable y sean X,Y ∈ X (M). Sean ϕt

y ψs los flujos asociados a X y Y , respectivamente. Entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) [X,Y ] = 0.

(ii) £X £Y = £Y £X .

(iii) ϕt ψs = ψs ϕt (donde definido)

En particular, los campos vectoriales X y Y conmutan si y solo si los flujosasociados ϕt y ψs conmutan.

Demostracion. La equivalencia de (i) y (ii) es una consecuencia directa delLema 9(ii). Ahora vamos a demostrar la implicacion (iii) ⇒ (i). Sea p ∈ M ysupongamos que

ϕt ψs(p) = ψs ϕt(p)

para todo |t| y |s| suficientemente pequenos. Derivando con respecto a t y eva-luando en t = 0 obtenemos

Xψs(p) = dψsp(Xp),

de acuerdo a la definicion de X y de la diferencial de ψs. Entonces,

Xp = (dψsp)−1Xψs(p) = [(ψs)∗X]p


para todo |s| suficientemente pequenos. Esto implica que £YX = [Y,X] = 0 deacuerdo a la definicion 36 de la derivada de Lie.

Finalmente, demostramos la implicacion (i)⇒ (iii). Supongamos que [X,Y ] =0. Entonces, vale para todo p ∈M y t ∈ Ip

d

dt

[(ϕt)∗Y

]p

=d

ds

[(ϕs+t)∗Y

]p

∣∣∣∣s=0

=[(ϕt)∗ d

ds(ϕs)∗Y

]p

∣∣∣∣∣s=0

=[(ϕt)∗(£XY )

]p

= 0, (3.80)

donde usamos la identidad (ϕs+t)∗ = (ϕs ϕt)∗ = (ϕt)∗ (ϕs)∗ en el segundopaso. Ahora sean (t, p) ∈ D fijos. Definimos γs(p) := ϕ−t ψs ϕt(p) para |s|suficientemente pequeno, de tal manera que ϕt γs(p) = ψs ϕt(p). Derivandocon respecto a s obtenemos

dϕtγs(p)

(d

dsγs(p)

)= Yψs(ϕt(p)) = Yϕt(γs(p)),

de tal manera que

d

dsγs(p) = (dϕtγs(p))

−1Yϕt(γs(p)) =[(ϕt)∗Y

]γs(p)

= Yγs(p),

de acuerdo a la ecuacion (3.80). Dado que γ0(p) = p, s 7→ γs(p) es una curvaintegral al campo vectorial Y a traves del punto p. Por unicidad de las curvasintegrales, γs(p) = ψs(p), lo que demuestra la afirmacion.

Definicion 37 Sean M una variedad diferenciable, X ∈ X (M) un campo vec-torial con flujo asociado ϕt y T ∈ T rs(M) un campo tensorial. Entonces T sellama invariante bajo el flujo ϕt si[

(ϕt)∗T]p

= Tp

para todo (t, p) ∈ D.

Observaciones

1. Usando la definicion de la derivada de Lie y un argumento similar a laecuacion (3.80) obtenemos que T es invariante bajo ϕt si y solo si

£XT = 0.

2. Sea M una variedad diferenciable de dimension n, y sean X ∈ X (M) yΣ ⊂ M una subvariedad de dimension n − 1 transversal a X, es decir,


Xp /∈ TpΣ para todo p ∈ Σ (en particular, esto implica que X 6= 0 en unavecindad de Σ). Sea (V, ψ) una carta local de Σ con coordenadas localesasociadas x2, x3, ..., xn tal que V ⊂ Σ es acotado. Sea ε > 0 suficientementepequeno tal que (t, p) ∈ D para todo |t| < ε y p ∈ V . Consideramos elmapeo

F : (−ε, ε)× ψ(V ) → M,

(x1, x2, ..., xn) 7→ ϕx1 ψ−1(x2, ..., xn),

donde ϕt denota el flujo de X. Las propiedades del flujo y la transversa-lidad de X implican que F : (−ε, ε)× ψ(V )→ U := F ((−ε, ε)× ψ(V )) esun difeomorfismo si ε > 0 es suficientemente pequeno. Entonces la inversaΦ := F−1 : U → (−ε, ε)×ψ(V ), q 7→ (x1, x2, ..., xn) = F−1(q) de este ma-peo define una carta local (U,Φ) de M tal que Φ(Σ∩U) = (0, x2, ..., xn) ∈Φ(U). Ademas, sean p ∈ U y Φ(p) = (x1, x2, ..., xn). Para |t| suficiente-mente pequeno, Φ−1(Φ(p) + te1) = ϕx

1+t ψ−1(x2, ..., xn) = ϕt(p) es lacurva a traves de p con vector tangente ∂

∂x1

∣∣p

de tal manera que

Xp[f ] =d

dtf ϕt(p)

∣∣∣∣t=0

=∂

∂x1

∣∣∣∣p

[f ]

para todo f ∈ F(M). Concluimos que en las coordenadas locales (x1, x2, ..., xn)

X =∂

∂x1,

es decir, las componentes de X son simplemente (Xi) = (1, 0, ..., 0). Enparticular, la ecuacion (3.75) implica que en estas coordenadas

(£XT )i1...ir j1...js =∂

∂x1T i1...ir j1...js

para un campo tensorial T ∈ T rs(M).

3. De manera mas general podemos preguntar si dado dos campos vecto-riales X,Y ∈ X (M) existen coordenadas locales (x1, x2, ..., xn) sobre unsubconjunto abierto U ⊂ M tales que X = ∂

∂x1 y Y = ∂∂x2 . Obviamente,

tales coordenadas solamente pueden existir si Xp y Yp son linealmenteindependientes y si [X,Y ]p = 0 en cada punto p ∈ U . Resulta que estascondiciones son necesarias y suficientes:

Teorema 8 Sea M una variedad diferenciable, y sea X1, X2, ..., Xm unconjunto de campos vectoriales C∞-diferenciables que satisface

(i) Los vectores X1p, X2p, ..., Xmp son linealmente independientes paracada p ∈M .

(ii) [Xi, Xj ] = 0 para todo 1 ≤ i < j ≤ m.

3.6. CURVATURA 83

Entonces, dado p ∈M existe una carta local (U,Φ) tal que p ∈ U y tal que

Xi =∂

∂xi, i = 1, 2, ...,m.

Demostracion. Generalizando los argumentos de la observacion previay usando el resultado del Teorema 7 que implica que los flujos asociadosa Xi y Xj conmutan.

3.6. Curvatura

Definicion 38 Sea (M,∇) una variedad diferenciable con conexion afın ∇. Lacurvatura asociada a ∇ esta definida por el mapeo R : X (M) × X (M) ×X (M)→ X (M) dado por

R(X,Y )Z := ∇X(∇Y Z)−∇Y (∇XZ)−∇[X,Y ]Z,

X, Y, Z ∈ X (M).

Notamos que R(Y,X)Z = −R(X,Y )Z es antisimetrico en X y Y , y queR(X,Y )Z es lineal en X,Y y Z. Ademas, si f ∈ F(M), entonces

R(fX, Y )Z = f∇X∇Y Z −∇Y (f∇XZ)−∇f [X,Y ]−Y (f)XZ

= f∇X∇Y Z − f∇Y∇XZ − Y (f)∇XZ − f∇[X,Y ]Z + Y (f)∇XZ= fR(X,Y )Z,

y

R(X,Y )(fZ) = ∇X [f∇Y Z + Y (f)Z]−∇Y [f∇XZ +X(f)Z]− f∇[X,Y ]Z − ([X,Y ]f)Z= f∇X∇Y Z +X(f)∇Y Z + Y (f)∇XZ + [XY (f)]Z− f∇Y∇XZ − Y (f)∇XZ −X(f)∇Y Z − [Y X(f)]Z− f∇[X,Y ]Z − ([X,Y ]f)Z= fR(X,Y )Z.

Entonces R define un campo tensorial R ∈ T 13(M) a traves de

R(ω,Z,X, Y ) := ω(R(X,Y )Z), ω ∈ X ∗(M), X, Y, Z ∈ X (M).

Sean x1, x2, ..., xn coordenadas locales, y ω = dxl, X = ∂∂xi , Y = ∂

∂xj y Z = ∂∂xk

.Entonces,

Rlkij = dxl(∇ ∂

∂xi∇ ∂

∂xj

∂

∂xk−∇ ∂

∂xj∇ ∂

∂xi

∂

∂xk−∇[ ∂

∂xi, ∂

∂xj]∂

∂xk

)= dxl

(∇ ∂

∂xi

(Γrjk

∂

∂xr

)−∇ ∂

∂xj

(Γrik

∂

∂xr

))= dxl

(∂Γrjk∂xi

· ∂

∂xr+ ΓrjkΓsir

∂

∂xs− ∂Γrik

∂xj· ∂

∂xr− ΓrikΓsjr

∂

∂xs

),


de tal manera que

Rlkij =∂Γljk∂xi

+ ΓrjkΓlir −∂Γlik∂xj

− ΓrikΓljr . (3.81)

Definicion 39 Sea X1, X2, ..., Xn una base local de TM y θ1, θ2, ..., θn labase local dual correspondiente de T ∗M . El tensor de Ricci esta definido atraves de la siguiente contraccion del tensor de curvatura:

Ric(Z, Y ) := R(θi, Z,Xi, Y ) = θi(R(Xi, Y )Z), Y, Z ∈ X (M). (3.82)

Como se demuestra en un ejercicio,Ric es independiente de la base X1, ..., Xny define un campo tensorial del tipo (0, 2). Con respecto a coordenadas localesx1, x2, ..., xn podemos elegir Xi = ∂

∂xi y θi = dxi, y obtenemos que

Rickj = Ric

(∂

∂xk,∂

∂xj

)= Rikij

=∂Γijk∂xi

+ ΓrjkΓiir −∂Γiik∂xj

− ΓrikΓijr . (3.83)

Muchas veces, se usa la notacion Rkj para denotar las componentes Rickj deltensor de Ricci, y tambien la notacion Rlkij (sin la barra) para denotar lascomponentes del campo tensorial R.

Para formular el proximo resultado necesitamos lo siguiente: SeaA : X (M)s →X (M) un mapeo que es F(M)-lineal en todos sus argumentos, es decir, que sa-tisface

A(X1 + fY,X2, ..., Xs) = A(X1, X2, ..., Xs) + fA(Y,X2, ..., Xs)

para todos X1, ..., Xs, Y ∈ X (M) y todo f ∈ F(M) y lo mismo para cadaargumento de A. Entonces podemos definir un campo tensorial asociado A deltipo (1, s) a traves de

A(ω,X1, ..., Xs) := ω(A(X1, ..., Xs)), ω ∈ X ∗(M), X1, ..., Xs ∈ X (M).

Por ejemplo, el tensor de torsion define un campo tensorial del tipo (1, 2) y eltensor de curvatura uno del tipo (1, 3). Definimos la derivada covariante ∇YAde A con respecto de un campo vectorial Y ∈ X (M) a traves de la condicion

ω [(∇YA)(X1, ..., Xs)] = (∇Y A)(ω,X1, ..., Xs)

para todo ω ∈ X ∗(M) y todos X1, ..., Xs ∈ X (M). Usando (3.38) encontramosque

ω [(∇YA)(X1, ..., Xs)] = Y[A(ω,X1, ..., Xs)

]− A(∇Y ω,X1, ..., Xs)

− A(ω,∇YX1, ..., Xs)− ...− A(ω,X1, ...,∇YXs)= Y [ω(A(X1, ..., Xs))]− (∇Y ω)(A(X1, ..., Xs))− ω(A(∇YX1, ..., Xs))− ...− ω(A(X1, ...,∇YXs)).

3.6. CURVATURA 85

Por otro lado, (3.38) tambien implica que

(∇Y ω)(Z) = Y [ω(Z)]− ω(∇Y Z)

para todo Z ∈ X (M). Entonces,

(∇YA)(X1, ..., Xs) = ∇Y (A(X1, ..., Xs))− A(∇YX1, ..., Xs)− ...−A(X1, ...,∇YXs) (3.84)

para todos X1, ..., Xs, Y ∈ X (M).

Teorema 9 (identidades de Bianchi) Sea (M,∇) una variedad diferencia-ble con conexion afın ∇, y sean T y R la torsion y curvatura asociados a ∇,respectivamente. Entonces,∑

(XY Z)

R(X,Y )Z =∑

(XY Z)

[(∇XT )(Y,Z) + T (T (X,Y ), Z)] , (3.85)

∑(XY Z)

(∇XR)(Y, Z) = −∑

(XY Z)

R (T (X,Y ), Z) (3.86)

para todos X,Y, Z ∈ X (M), donde∑

(XY Z)

denota la suma cıclica sobre X, Y y

Z.

Observacion: Si la conexion∇ es simetrica (T = 0), las expresiones a la derechade (3.85) y (3.86) son ceros. En particular, esto ocurre para la conexion de Levi-Civita.Demostracion del Teorema 9. Para demostrar la primera ideantidad (3.85)tomamos X,Y, Z ∈ X (M). Entonces,∑(XY Z)

R(X,Y )Z =∑

(XY Z)

∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

=

∑(XY Z)

∇X∇Y Z −∇X∇ZY −∇[Y,Z]X

=

∑(XY Z)

∇X (T (Y, Z) + [Y, Z])−∇[Y,Z]X

=

∑(XY Z)

∇X (T (Y, Z)) + T (X, [Y,Z]) + [X, [Y, Z]]

=∑

(XY Z)

(∇XT )(Y, Z) + T (∇XY,Z) + T (Y,∇XZ) + T (X, [Y, Z])

=∑

(XY Z)

(∇XT )(Y,Z) + T (∇XY −∇YX − [X,Y ], Z)

=∑

(XY Z)

(∇XT )(Y,Z) + T (T (X,Y ), Z) ,


donde hemos usado la definicion de la torsion en el tercer, cuarto y ultimo paso,la identidad de Jacobi (ver el Lema 2) en el quinto paso y el resultado (3.84) enel quinto paso.

Ejercicio 9. Demuestra la segunda identidad de Bianchi (3.86).

3.6.1. La interpretacion geometrica de la curvatura

A continuacion, vamos a dar una interpretacion geometrica de la curvaturabasada en el transporte paralelo. Sean X,Y ∈ X (M) dos campos vectorialesdiferenciables que conmutan, [X,Y ] = 0. Como vimos en el Teorema 7, estoimplica que los flujos correspondientes, ϕt y ψs, conmutan. Sea p ∈ M fijo,sean γs(t) := ϕt(ψs(p)) las curvas integrales a X a traves del punto ψs(p), yµt(s) := ψs(ϕt(p)) las curvas integrales a Y a traves del punto ϕt(p). Consi-deramos el transporte paralelo de un vector tangente Zp ∈ TpM a lo largo deun paralelogramo pqrs generado por dichas curvas integrales, donde q := γ0(ε),r := µε(δ) = γδ(ε) y s := µ0(δ). Entonces tenemos el siguiente resultado:

Lema 10 Sea (M,∇) una variedad diferenciable con conexion afın. Sean X,Y ∈X (M) tales que [X,Y ] = 0. Con la notacion de arriba, denotamos por

Z ′p := Gp(ε, δ)Zp, Gp(ε, δ) := τ(µ0)0,δ τ

(γδ)0,ε τ

(µε)δ,0 τ

(γ0)ε,0 . (3.87)

el transporte paralelo del vector tangente Zp ∈ TpM a lo largo del paralelogramopqrs.

Entonces vale para todo ε, δ ∈ R tal que h := max|ε|, |δ| es suficientementepequeno,

Gp(ε, δ) = I − εδ R(X,Y )|p +O(h3). (3.88)

Demostracion. Primero, notamos que la ecuacion (3.87) es equivalente a

τ(γδ)ε,0 τ

(µ0)δ,0 Z ′p = τ

(µε)δ,0 τ

(γ0)ε,0 Zp (3.89)

Para calcular ambos lados de esta ecuacion, suponemos que h := max|ε|, |δ|es suficientemente pequeno, de tal manera que existan los flujos y que podamossuponer que el paralelogramo pqrs se encuentre dentro de una carta local (U, φ).Si X es paralelo a Y , Gp(ε, δ) = I es trivial y R(X,Y ) = 0. Entonces podemossuponer que X no es paralelo a Y . En este caso, el Teorema 8 garantiza quepodemos encontrar coordenadas locales x1, x2, ..., xn sobre U tales que

X =∂

∂x1, Y =

∂

∂x2.

De acuerdo a la formula (3.41) para el transporte paralelo, las componentes delcampo vectorial V (t) := τ

(γ0)t,0 Zp satisfacen

V k(t) = Mkj(t)V j(t), 0 < t < ε,

V k(0) = Zkp ,

3.6. CURVATURA 87

donde Mkj(t) := −Γk1j(γ0(t)). Entonces,

V k(ε) = Zkp + εMkj(0)Zjp +

ε2

2

[Mk

j(0) +Mki(0)M i

j(0)]Zjp +O(ε3). (3.90)

De la misma manera, las componentes del campo vectorial V (ε, δ) := τ(µε)δ,0 V (ε) =

τ(µε)δ,0 τ

(γ0)ε,0 Zp satisfacen

V k(ε, δ) = V k(ε)+δNkj(0)V j(ε)+

δ2

2

[Nk

j(0) +Nki(0)N i

j(0)]V j(ε)+O(δ3),

donde Nkj(s) := −Γk2j(µε(s)). Introduciendo (3.90) en esta ecuacion y usando

el teorema de Taylor para encontrar

Nkj(0) = −Γk2j(µ0(ε)) = −Γk2j(p)− ε

∂

∂x1Γk2j

∣∣∣∣p

+O(ε2)

obtenemos que

V k(ε, δ) = Zkp − εΓk1j(p)Zjp − δΓk2j(p)Zjp

− ε2

2

[∂

∂x1Γk1j − Γk1mΓm1j

]p

Zjp

− δ2

2

[∂


]p

Zjp

− εδ

[∂


]p

Zjp +O(h3).

Al intercambiar ε con δ, 1 con 2 y Z con Z ′, obtenemos la expresion corres-pondiente para las componentes del vector τ (γδ)

ε,0 τ(µ0)δ,0 Z ′p. Introduciendo los

resultados en la ecuacion (3.89) obtenemos

(Z ′p)k = Zkp − εδ

[∂

∂x1Γk2j − Γk2mΓm1j − (1↔ 2)

]p

Zjp +O(h3).

= Zkp − εδRkj12(p)Zjp +O(h3),

donde hemos usado la expresion (3.81) para las componentes del tensor de cur-vatura.

Tambien podemos interpretar el resultado del lema de la siguiente forma:

Definicion 40 Sea p ∈M , y sea Cp el conjunto de todos los lazos cerrados enp,

Cp := γ : [0, 1]→M : γ es una curva tal que γ(0) = γ(1) = p.


Entonces para cada curva γ ∈ Cp el transporte paralelo τ(γ)1,0 : TpM → TpM

define una transformacion lineal e invertible sobre el espacio tangente TpM enp. El conjunto

H(p) := τ (γ)1,0 ∈ GL(n,R) : γ ∈ Cp

forma un subgrupo de GL(n,R) que se llama el grupo de holonomıa de(M,∇) en el punto p.

Ejercicio 10. Sean p, q ∈M , y sea γ una curva que conecta p con q: γ(0) = p,γ(1) = q. Demuestre que

H(q) = τ(γ)1,0H(p)τ (γ)

0,1 .

Entonces los dos grupos H(p) y H(q) son isomorfos si p y q son en la mismacomponente conexa de M .

Para un paralelogramo pqrs generado por dos campos vectoriales X y Y queconmutan demostramos en el Lema 10 que el elemento correspondiente Gp(ε, δ)de H(p) satisface

∂2Gp(ε, δ)∂ε∂δ

∣∣∣∣ε=δ=0

= − R(X,Y )|p .

De manera mas general, se puede demostrar el siguiente

Teorema 10 (caso particular del teorema de Ambrose-Singer) Sea (M,∇)una variedad diferenciable con conexion afın. Sea p ∈ M . Entonces el algebrade Lie del grupo H(p) de holonomıa en el punto p es

R(X,Y )|p : X,Y ∈ TpM.

Demostracion. Ver, por ejemplo [9].

Una consequencia directa de este teorema es5

Corolario 1 Sea (M,∇) una variedad diferenciable con conexion afın ∇. En-tonces el transporte paralelo es independiente de la curva si y solo si el tensorde curvatura es cero.

3.6.2. La curvatura asociada a la conexion de Levi-Civita

Si ∇ es la conexion de Levi-Civita correspondiente a una metrica pseudo-Riemanniana, el tensor de curvatura posee simetrıas adicionales:

Teorema 11 Sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana, y sea ∇ la co-nexion de Levi-Civita correspondiente. Definimos el siguiente campo tensorialde tipo (0, 4):

R(W,Z,X, Y ) := g(W,R(X,Y )Z), X, Y, Z,W ∈ X ∗(M). (3.91)5Una demostracion directa del corolario tambien se puede encontrar en [1].

3.6. CURVATURA 89

Entonces R satisface las siguientes simetrıas:

R(W,Z,X, Y ) = −R(W,Z, Y,X) (3.92)R(W,Z,X, Y ) = −R(Z,W,X, Y ), (3.93)R(W,Z,X, Y ) = R(X,Y,W,Z), (3.94)

para todo X,Y, Z,W ∈ X (M).

Demostracion. La primera idenditad (3.92) es una consecuencia directa de ladefinicion de R. Para demostrar (3.93) partimos de la identidad de Ricci (3.60),

Y [g(Z,Z)] = 2g(Z,∇Y Z).

Usando la identidad de Ricci otra vez encontramos que

XY [g(Z,Z)] = 2g(Z,∇X∇Y Z) + 2g(∇XZ,∇Y Z).

Usando este resultado y una vez mas la identidad de Ricci obtenemos

2g(Z,∇[X,Y ]Z) = [X,Y ][g(Z,Z)] = 2g(Z,∇X∇Y Z −∇Y∇XZ)

y entoncesR(Z,Z,X, Y ) = g(Z,R(X,Y )Z) = 0

para todos X,Y, Z ∈ X (M). Reemplazando Z por Z = U +W , U,W ∈ X (M),esta ecuacion implica que

R(U,W,X, Y ) +R(W,U,X, Y ) = 0.

Para demostrar (3.94) usamos la primera identidad de Bianchi (3.85), no-tando que T = 0, y obtenemos

g(W,R(X,Y )Z) = −g(W,R(Y,X)Z) = g(W,R(X,Z)Y ) + g(W,R(Z, Y )X)(3.95)

para todos X,Y, Z,W ∈ X (M). Usando (3.93) y otra vez la primera identidadde Bianchi tambien encontramos que

g(W,R(X,Y )Z) = −g(Z,R(X,Y )W ) = g(Z,R(Y,W )X) + g(Z,R(W,X)Y ).(3.96)

Sumando (3.95) y (3.96) obtenemos que

2R(W,Z,X, Y ) = g(W,R(X,Z)Y ) + g(Z,R(Y,W )X)+ g(W,R(Z, Y )X) + g(Z,R(W,X)Y ).

Puesto que R(X,Y ) = −R(Y,X) y dado (3.93) se ve que el lado derecho esinvariante bajo el intercambio de los pares (X,Y ) ↔ (Z,W ). Esto concluye lademostracion de (3.94).


Con respecto a coordenadas locales x1, x2, ..., xn las simetrıas del tensor decurvatura correspondiente a la conexion de Levi-Civita se pueden resumir de lasiguiente manera:∑

(jkl)

Rijkl = 0 (primera identidad de Bianchi (3.85)),

∑(klm)

∇mRijkl = 0 (segunda identidad de Bianchi (3.86) ),

Rijkl = −Rijlk (de (3.92)),Rijkl = −Rjikl (de (3.93)),Rijkl = Rklij (de (3.94)),

donde Rijkl = Rijkl = gimRmjkl.

Observaciones

1. La simetrıa (3.94) implica que el tensor de Ricci es simetrico: De su defi-nicion (3.82) encontramos que

Rkj = Rikij = δilRlkij = gilRlkij = gilRijlk = Rjk .

Como esta ecuacion vale para cualquier sistema local de coordenadas,tenemos que Ric(X,Y ) = Ric(Y,X) para todos X,Y ∈ X (M).

2. Sea p ∈ M un punto fijo de la variedad, y sean x1, ..., xn coordenadasnormales con respecto a p (tales que Γkij(p) = 0). De la expresion (3.62)para los sımbolos de Christoffel,

Γkij =12gkl(

∂

∂xigjl +

∂

∂xjgil −

∂

∂xlgij

),

encontramos que en el punto p,

∂Γkij∂xs

∣∣∣∣p

=12gkl[

∂2

∂xi∂xsgjl +

∂2

∂xj∂xsgil −

∂2

∂xl∂xsgij

]p

.

Entonces de la expresion (3.81) obtenemos que

Rkjsi(p) =12gkl[

∂2

∂xi∂xsgjl +

∂2

∂xj∂xsgil −

∂2

∂xl∂xsgij

− ∂2

∂xs∂xigjl −

∂2

∂xj∂xigsl +

∂2

∂xl∂xigsj

]p

.

o

Rljsi(p) =12

[∂2

∂xj∂xsgil −

∂2

∂xl∂xsgij −

∂2

∂xj∂xigsl +

∂2

∂xl∂xigsj

]p

.

(3.97)Esta expresion nos permite verificar las simetrıas algebraicas (3.85), (3.93)y (3.94) de manera directa.

3.6. CURVATURA 91

3. Se puede mostrar que las simetrıas algebraicas (3.85), (3.93) y (3.94) deltensor de curvatura correspondiente a la conexion de Levi-Civita sobre unavariedad diferenciable (M, g) de dimension n implican que Rklij solamenteposee

n2(n2 − 1)12

componentes independientes. En particular, para n = 2, Rklij esta ente-ramente determinado por el escalar de Ricci, R := gljRlj = gljRilij ,

Rklij =12

(gkigjl − gligjk)R

(ver el ejercicio abajo). Para n = 3 el tensor de curvatura posee 6 gradosde libertades que estan contenidos en el tensor de Ricci, y

Rklij = gkiRjl − gliRjk + gljRik − gkjRil −12

(gkigjl − gligjk)R.

Para n = 4 el numero independientes de componenentes de Rklij es 20.10 de ellas estan contenidas en el tensor de Ricci.

4. La segunda identidad de Bianchi y las simetrıas algebraicas del tensor decurvatura implican la siguiente identidad para el tensor de Ricci:

divRic− 12∇R = 0. (3.98)

Para demostrar esta identidad contraemos la segunda identidad de Bian-chi,

∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk = 0

sobre i = k para obtener

∇mRjl +∇iRijlm −∇lRjm = 0.

Contrayendo ambos lados con gmj y usando el hecho de que ∇lgjm = 0encontramos que

∇jRjl +∇iRil −∇lR = 0,

lo que demuestra (3.98). Para lo que sigue, definimos el tensor de Ein-stein G ∈ T 0

2(M) a traves de

G := Ric− R

2g.

Con esta definicion, las identidades de Bianchi (3.98) contraidas son sim-plemente

divG = 0. (3.99)

Como vamos a ver en el capıtulo 5 esta identidad juega un papel funda-mental para el acople de la gravitacion a la materia.


Ejercicio 11. Sea M una variedad diferenciable bidimensional con metricapseudo-Riemanniana g.

(a) Demuestre que siempre existen coordenadas locales x, y sobre M de talmanera que la metrica tiene la forma

g = εA(x, y)2dx2 +B(x, y)2dy2,

donde A y B son funciones C∞ estrictamente positivas, y ε = ±1, depen-diendo de la signatura de g.

(b) Calcule los sımbolos de Christoffel correspondientes a la metrica g.

(c) Muestre que el tensor de curvatura tiene la forma

Rmlij = κ (δmigjl − δmjgil) .

La funcion κ se llama la curvatura de Gauss.

(d) Muestre que

κ = − 1AB

[ε

(BxA

)x

+(AyB

)y

].

(e) Calcule κ para el caso de la esfera S2R con radio R > 0.

(f) Calcule κ para la metrica6

g = −(

1− 2Mr

)dt2 +

(1− 2M

r

)−1

dr2, t ∈ R, r > 2M.

3.7. Apendice: Derivaciones

En este apendice analizamos una definicion alternativa para un vector tan-gent y mostramos que es equivalente a la definicion dada en la seccion 3.2.1.

Definicion 41 Sea M una variedad diferenciable de dimension n, y sea p ∈M .Denotamos con Dp la clase de todas las funciones f : M → R que son C∞–diferenciables en una vecindad de p. Una derivacion en el punto p es unmapeo Dp → R que satisface

(i) Xp[af+bg] = aXp[f ]+bXp[g] para todos a, b ∈ R y f, g ∈ Dp (linealidad),

(ii) Xp[f · g] = f(p)Xp[g] + g(p)Xp[f ] para todos f, g ∈ Dp (regla de Leibnitz).

6Como vamos a ver en el capıtulo 6, la metrica g describe la geometrıa radial del exteriorde una estrella esfericamente simetrica.

3.7. APENDICE: DERIVACIONES 93

Si aplicamos la regla de Leibnitz a las funciones constantes f = g = 1 iguala uno obtenemos Xp[1] = Xp[1] + Xp[1]. Con la linealidad, esto implica queXp[f ] = 0 para una funcion f constante.

Dado dos derivaciones Xp y Yp en el punto p, y dado un numero real a ∈ Rpodemos definir nuevas derivaciones Xp + Yp y aXp a traves de

(Xp + Yp)[f ] := Xp[f ] + Yp[f ],(aXp)[f ] := aXp[f ],

para f ∈ Dp. Con esto, el conjunto de las derivaciones en p forma un espaciovectorial real.

Ahora mostramos que cada derivacion Xp en p es un vector tangente enp en el sentido de la seccion 3.2.1. Para ver esto, probamos que si Xp es unaderivacion en p se puede escribir como

Xp = Xip

∂

∂xi

∣∣∣∣p

,

con respecto a una carta local (U, φ) tal que p ∈ U . Entonces consideramos laderivacion

Yp := Xp −Xip

∂

∂xi

∣∣∣∣p

, Xip := Xp[xi], i = 1, 2, ..., n,

y vamos a demostrar que Yp = 0 es la derivacion trivial. Notamos primero quepor contruccion, Yp[xi] = 0 para todo i = 1, 2, ..., n. Luego, usamos

Lema 11 Sean ε > 0 y V = Bε(y) la bola abierta con radio ε en Rn centradaen el punto y ∈ Rn, y sea f : V → R una funcion que es C∞–diferenciable.Entonces existen funciones h1, h2, ..., hn : V → R que son C∞–diferenciablestales que

f(x) = f(y) + hi(x)(xi − yi), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ V.

Demostracion. Sea x ∈ V , entonces

f(x)− f(y) =

1∫0

d

dtf(y1 + t(x1 − y1), ..., yn + t(xn − yn))dt

= (xi − yi)1∫

0

∂

∂xif(y1 + t(x1 − y1), ..., yn + t(xn − yn))dt

≡ (xi − yi)hi(x),

donde hemos definido las funciones C∞–diferenciables hi(x) :=1∫0

∂∂xi f(y1 +

t(x1 − y1), ..., yn + t(xn − yn))dt, i = 1, 2, ..., n. Esto concluye la demostraciondel lema.


Ahora sean f ∈ Dp, y := φ(p) ∈ Rn y F := f φ−1 : φ(U) ⊂ Rn → R.De acuerdo al lema que acabamos de demostrar existe ε > 0 y funciones C∞–diferenciables h1, ..., hn : Bε(y) → R tales que F (x) = F (y) + hi(x)(xi − yi)para todo x ∈ Bε(y). Entonces f(q) = f(p) + hi(φ(q))(φ(q)i − φ(p)i) para todoq ∈ U , y usando la linealidad y la regla de Leibnitz encontramos que

Yp[f ] = Yp[F φ] = Yp[f(p)] + hi(φ(p))Yp[xi] = 0,

lo que queriamos demostrar.

Capıtulo 4

El principio de equivalencia

En el capıtulo 2 describimos una teorıa escalar relativista de la gravitacion(una teorıa con espın 0), y tambien consideramos la posibilidad de una teorıavectorial (una teorıa con espın 1) en el ejercicio 4. Como vimos, estas teorıasdeben ser descartadas por razones experimentales o teoricas. En este capıtuloempezamos con la discusion de la teorıa de relatividad general de Einstein. Comovamos a ver en el capıtulo 7 esta teorıa se reduce a una teorıa relativista conespın 2 en el lımite de campos debiles. En los capıtulos 6 y 7 analizaremos variosexperimentos que confirman la relatividad general, por lo menos en el regimende campos gravitacionales debiles.

Uno de los ingredientes mas importantes de la relatividad general es el prin-cipio de equivalencia. Este principio lleva de manera natural a la formulacioncinematica de la teorıa y determina como la materia se acopla a un campogravitacional externo.

4.1. La formulacion fısica del principio de equi-valencia

La relatividad general se basa en los dos postulados siguientes:

la universalidad de la gravitacion

el principio de equivalencia

Universalidad de la gravitacion (Galilei)El movimiento de un cuerpo de prueba en un campo gravitacional es indepen-diente de su masa o composicion (despreciando las interacciones del espın y delmomento cuadrupolar de la partıcula con el campo gravitacional).

Como vimos en la seccion 1.2, en la teorıa de Newton la universalidad de lagravitacion es una consecuencia de la igualdad de la masa inercial con la masa

95

96 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

gravitacional. Esta igualdad se ha verificado de manera experimental hasta unaprecision relativa de 10−12.El principio de equivalencia (Einstein)En un campo gravitacional arbitrario, ningun experimento local puede distinguirun sistema en caıda libre no-rotante (un sistema inercial local) de un sistemaen movimiento uniforme en la ausencia de un campo gravitacional.

En otras palabras, siempre es posible hacer desaparecer el campo gravita-cional al nivel local mediante una transformacion de coordenadas. Ejemplos desistemas inerciales locales son un ascensor en caıda libre no-rotante o una naveespacial en una orbita terrestre. En ambos casos existe un campo gravitacional(el campo gravitacional terrestre), pero ni las personas que se encuentran den-tro del ascensor ni los astronautas pueden medirlo con experimentos locales (enla seccion siguiente definimos de manera mas precisa lo que significa “local”).Por otro lado, un sistema en reposo sobre la superficie de la tierra no es unsistema inercial local; observadores en este sistema miden un campo gravitacio-nal no trivial. Al pasar al sistema del ascensor es posible deshacerse del campogravitacional al nivel local. Sin embargo, no es posible deshacerce del campogravitacional al nivel global, porque la orbita de la nave espacial constituye unatrayectoria cerrada.

Ejemplo: Considere una partıcula Newtoniana en un campo gravitacional ho-mogeneo con aceleracion g:

mix = mgg.

La universalidad implica que mi = mg, entonces la ecuacion de movimiento sereduce a x = g. Con respecto al sistema de referencia acelerado y = x − 1

2gt2

tenemos quey = 0.

Entonces, en la teorıa Newtoniana, el principio de equivalencia es una consecuen-cia de la universalidad de la gravitacion. En general, esto no tiene que ocurrircomo lo muestra el ejercicio que sigue.

Ejercicio 12. Considere una partıcula de carga q y masa inercial m en uncampo electrico homogeneo E = E(1, 0, 0) con dato inicial

xµ(τ = 0) = 0, (uµ(τ = 0)) = γ0(c, 0, v0, 0),

donde γ0 = (1− v20/c

2)−1/2.

(a) Use las ecuaciones relativistas de movimiento

mduµ

dτ=q

cFµνuν

para calcular el tiempo td necesario para que la partıcula se mueva dex = 0 a x = d.

4.2. LA FORMULACION MATEMATICA DEL PRINCIPIO 97

(b) Considere un mundo (ficticio) donde q/m es una constante universal paratodas las partıculas. Use el resultado del inciso (a) para mostrar que eneste mundo vale la universalidad pero no el principio de equivalencia.

4.2. La formulacion matematica del principio deequivalencia

El modelo matematico para el espacio-tiempo (el conjunto de todos los even-tos) es una variedad cuadridimensional pseudo-Riemanniana (M, g), donde lametrica g posee la misma signatura que la metrica de Minkowksi η. En estecaso, (M, g) se llama una variedad Lorentziana. La metrica describe:

La estructura causal del espacio-tiempo: Los rayos de luz emitidos en unevento p ∈M se propagan en el cono de luz futuro del punto p.1

El potencial gravitacional.

Definicion 42 Un sistema inercial local (SIL) con respecto a un puntop ∈ M es un sistema de coordenadas locales x0, x1, x2, x3 definidas en unavecindad del punto p tal que

(i) gµν(p) = ηµν .

(ii) ∂gµν∂xσ (p) = 0.

En el capıtulo previo mostramos que en cada punto p ∈M existe un SIL. Laexistencia de SIL’s es la version matematica del principio de equivalencia, quedice que es posible deshacerse del campo gravitacional al nivel local. Entonces“local” se refiere al hecho de que en un evento p ∈ M dado, siempre es posibleencontrar un sistema de referencia tal que las componentes de la metrica y susprimeras derivadas son ceros en este evento. En otras palabras, las componentesde la metrica en un SIL tienen la forma

gµν(xσ) = ηµν +O(xσ)2,

donde suponemos que el punto p esta representado por xµ = 0. Los terminoscuadraticos son relacionados con la curvatura del espacio-tiempo y no puedenser eliminados.

Ejercicio 13. Sean xσ coordenadas normales con respecto al punto p ∈ M .Demuestre que la metrica posee la expansion

gµν(xσ) = ηµν −13Rµσντ (p)xσxτ +O(xσ)3

1Asumimos que existe en cada punto p una distincion entre el cono de luz futuro y el conode luz pasado que depende de manera continua de p.


cerca del punto p, donde Rµσντ son las componentes del tensor de curvaturacon respecto a las coordenadas xσ.

Para encontrar las leyes de la fısica sobre (M, g) vamos a pedir lo siguiente:

(i) Covarianza general. Nos acordamos de que en la relatividad especialexisten sistemas de referencia preferidos (los sistemas inerciales) que sonconectados a traves de las transformaciones de Poincare. Se requiere quelas leyes de la fısica sean invariantes con respecto a estas transformacio-nes (covarianza de Lorentz). En la relatividad general no existen sistemasde referencia preferidos (excepto en casos particulares con simetrıas). En-tonces, pedimos que las leyes de la fısica sean invariantes con respecto acualquier transformacion de coordenadas.

(ii) Principio de equivalencia. Las leyes de la fısica se reducen a las leyescorrespondientes en relatividad especial en el origen de un sistema inerciallocal.

(iii) Aparte de la metrica y de sus derivadas, las leyes de la fısica deben in-volucrar solamente cantidades que tambien estan presentes en la teorıaespecial de relatividad.

La propiedad (i) sugiere que las leyes de la fısica se deben describir por ecua-ciones entre campos tensoriales2 sobre la variedad M . Entonces, una ecuacionde primer orden tendrıa la forma

∇T = J,

donde ∇ es la derivada covariante asociada a la conexion de Levi-Civita, yT, J ∈ T (M) son campos tensoriales. Con respecto a coordenadas locales (verla ecuacion (3.39)),

∂

∂xµT ...... + Γ...T ...... + ...− Γ...T ...... = J ...... ,

donde Γ... son los sımbolos de Christoffel asociados a ∇. En un sistema inerciallocal con respecto a un punto p ∈ M esta ecuacion evaluada en el punto p sereduce a (dado que Γ...(p) = 0)

∇µT ......|p =∂

∂xµT ......

∣∣∣∣p

= J ......(p).

Entonces obtenemos la siguiente receta para acoplar la materia al campo gra-vitacional: Si en relatividad especial una ley fısica se describe a traves de unaecuacion de primer orden de la forma

∂T = J,

2Para sistemas que involucran fermiones tambien se necesitan campos espinoriales. Porfalta de tiempo no consideramos espinores en estas notas.

4.3. LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA 99

donde T y J son tensores de Lorentz, entonces en relatividad general la mismaley se describe a traves de la ecuacion

∇T = J,

donde T y J son campos tensoriales sobre (M, g). Dado que los sımbolos deChristoffel dependen de la metrica y de sus primeras derivadas, obtenemos unacople de la materia al campo gravitacional.

Ejemplo: Como vimos en la seccion 1.3.3 las ecuaciones de Maxwell inho-mogeneas en su forma relativista son

∂νFµν =

1cjµ,

donde Fµν describe el tensor electromagnetico y jµ el cuadrivector de flu-jo electrico. Entonces en relatividad general, las ecuaciones de Maxwell inho-mogeneas son

∇νFµν =1cjµ,

donde Fµν son las componentes de un campo tensorial del tipo (2, 0) y dondejµ son las componentes de un campo vectorial sobre (M, g).

4.3. Las ecuaciones de movimiento para una partıcu-la de prueba en un campo gravitacional

Nos acordamos de que en la relatividad especial, la trayectoria de una partıcu-la libre se puede determinar a partir de los puntos crıticos del funcional

S[x(λ)] =

e2∫e1

√−ηµν xµxν dλ, xµ ≡ dxµ

dλ, (4.1)

donde x es una curva causal que conecta dos eventos e1 y e2 fijos. La generali-zacion obvia para la relatividad general es el funcional

S[γ] =

e2∫e1

√−g(γ, γ) dλ, (4.2)

donde γ es una curva causal que conecta dos eventos fijos e1, e2 ∈ M delespacio-tiempo. Notamos que el funcional (4.2) es independiente de la elecciondel parametro λ. Fısicamente3, S/c representa el tiempo propio que necesita unobservador para moverse de e1 a e2 a lo largo de la curva γ. Para calcular la

3Para que S tenga las unidades de una accion, podrıamos multiplicar (4.2) por mc2 dondem es la masa de la partıcula. Sin embargo, esta multiplicacion no afecta las trayectoriasclasicas, y por lo tanto no es necesaria para nuestras consideraciones clasicas.


variacion de S consideramos una familia γµ = γ( . , µ) de curvas causales queconectan e1 y e2. Podemos elegir el parametro λ de tal manera que la curvacrıtica γ0 satisfaga −g(γ, γ) = −c2, es decir, λ es el tiempo propio para la curvacrıtica. Con esto obtenemos primero

0 =d

dµS[γ]

∣∣∣∣µ=0

= δS[γ] = − 12c

e2∫e1

δg(γ, γ) dλ.

Para calcular δg(γ, γ) notamos primero que la variacion δ es igual al vectortangente a la curva µ 7→ γ(λ, µ) en el punto γ(λ, 0), y por lo tanto δ conmutacon γ. Usando la identidad de Ricci (3.60) encontramos que

δg(γ, γ) = 2g(γ,∇δγ),

donde ∇ es la conexion de Levi-Civita asociada a g. Puesto que ∇ es libre detorsion y que δ y γ conmutan, ∇δγ = ∇γδ, y usando otra vez la identidad deRicci obtenemos4

δg(γ, γ) = 2g(γ,∇γδ) = 2γ [g(γ, δ)]− 2g(∇γ γ, δ) = 2d

dλg(γ, δ)− 2g(∇γ γ, δ).

Puesto que δ = 0 en los dos eventos fijos e1 y e2, obtenemos

0 = δS[γ] =1c

e2∫e1

g(∇γ γ, δ)dλ.

4Otra posibilidad para calcular δg(γ, γ) es usar una carta local, de tal manera que g(γ, γ) =gµν xµxν , y entonces

δg(γ, γ) =∂gµν

∂xαδxαxµxν + 2gµν x

µδxν

=∂gµν

∂xαδxαxµxν − 2

»∂gµν

∂xαxαxµ + gµν x

µ

–δxν + 2

d

dλ[gµν x

µδxν ]

= −2

gµν x

µ +1

2

»∂gµν

∂xα+∂gαν

∂xµ−∂gµα

∂xν

–xµxα

ffδxν

+ 2d

dλ[gµν x

µδxν ] .

Acordandonos de la expresion (3.62) para los sımbolos de Christoffel,

Γµαβ =1

2gµν

»∂gαν

∂xβ+∂gβν

∂xα−∂gαβ

∂xν

–,

y de la expresion (3.26) para la derivada covariante,

(∇γ γ)µ = xµ + Γµαβ xαxβ ,

obtenemos el mismo resultado

δg(γ, γ) = −2g(∇γ γ, δ) + 2d

dλg(γ, δ).

4.3. LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA 101

Dado que esta ecuacion se debe cumplir para todas las variaciones δ (tales queδe1 = δe2 = 0), concluimos que la curva crıtica debe satisfacer

∇γ γ = 0. (4.3)

Esta es la ecuacion para una geodesica con parametro afın λ. Concluimos quelas ecuaciones de movimiento para una partıcula de prueba en caıda libre enun campo gravitacional estan descritas por las geodesicas causales del espacio-tiempo M .

Observaciones

1. Con respecto a coordenadas locales, (4.3) tiene la forma

xµ + Γµαβ xαxβ = 0, (4.4)

donde Γµαβ son los sımbolos de Christoffel correspondientes a la conexionde Levi-Civita, ver la ecuacion (3.62).

2. Notamos que (4.3) satisface el principio de equivalencia; en un SIL conrespecto a un punto p, Γµαβ(p) = 0 y la ecuacion (4.4) se reduce a

xµ|p = 0,

la ecuacion para una partıcula libre en relatividad especial.

3. Tambien notamos que (4.3) satisface el principio de la universalidad de lagravitacion.

4. La ecuacion (4.4) generaliza la primera ley de Newton d2xdt2 = 0 para

partıculas de prueba en un campo gravitacional. Sin embargo, hay quesubrayar que la interpretacion de −Γµαβ xαxβ como fuerza gravitacionalpor unidad de masa no tiene ningun sentido fısico puesto que este terminose puede hacer cero en un SIL. Solamente la cuadrivelocidad u = γ y laaceleracion a = ∇γ γ poseen un sentido geometrico y fısico.

5. La ecuacion (4.3) implica que

d

dλg(γ, γ) = γ [g(γ, γ)] = 2g(γ,∇γ γ) = 0,

donde hemos usado la identidad de Ricci (3.60) en el tercer paso. Entonces,la norma de γ, g(γ, γ), es constante a lo largo de las trayectorias. Enparticular, una partıcula de prueba en caıda libre con cuadrivelocidadinicial que es de tipo tiempo no puede adquirir una velocidad igual a omayor que la velocidad de la luz.

6. Como vamos a justificar pronto, los rayos de luz estan descritos por geodesi-cas nulas,

∇γ γ = 0, g(γ, γ) = 0.


En este caso, la accion S definida en (4.2) ya no tiene sentido puesto queno es diferenciable para curvas nulas. Sin embargo, en este caso la ecuacionde la geodesica se puede obtener al variar la accion modificada

S0[γ] =

e2∫e1

g(γ, γ) dλ. (4.5)

4.4. El lımite Newtoniano

En la seccion previa vimos que las trayectorias de partıculas de prueba encaıda libre son geodesicas del espacio-tiempo (M, g). En esta seccion vamos ademostrar que las geodesicas satisfacen las ecuaciones de movimiento de Newtonen el lımite de campos debiles y cuasi-estacionarios y de velocidades pequenascomparadas a la velocidad de la luz. Mas precisamente, suponemos que existencoordenadas locales en una region U ⊂M del espacio-tiempo tales que

(i) La metrica es casi plana, es decir,

gµν = ηµν + hµν , |hµν | 1,

donde (ηµν) = diag(−1, 1, 1, 1) es la metrica de Minkowski.

(ii) 1c |∂thµν | |∂ihµν |, i = 1, 2, 3.

(iii) La velocidad v := dxdt de la partıcula con respecto a estas coordenadas

satisface |v| c.

Sea xµ(τ) la parametrizacion de una geodesica con respecto a estas coordenadas,donde τ es el tiempo propio a lo largo de la trayectoria. Entonces

xµ + Γµαβ xαxβ = 0, xµ :=dxµ

dτ. (4.6)

Despreciando terminos que son por lo menos cuadraticos en hµν y v/c, encon-tramos que

−1 =1c2gµν x

µxν = gµν1c

dxµ

dt

1c

dxν

dt

(dt

dτ

)2

= −(1− h00)(dt

dτ

)2

,

de tal manera que

dt

dτ= 1 +

12h00 , (xj) = v, j = 1, 2, 3.

Por otro lado, los sımbolos de Christoffel en nuestra aproximacion son

Γµαβ =12ηµν

[∂hαν∂xβ

+∂hβν∂xα

− ∂hαβ∂xν

].

4.4. EL LIMITE NEWTONIANO 103

Entonces las componentes espaciales de (4.6) dan

d2xk

dt2+ Γk00c

2 = 0, k = 1, 2, 3.

Usando la hipotesis (ii) encontramos que

Γk00 = −12ηkj

∂h00

∂xi= −1

2∂kh00 .

Concluimos qued2x

dt2=c2

2∇h00 .

Esto concuerda con la ley de Newton (1.3) si igualamos la masa inercial con lamasa gravitacional, y si

h00 = −2φc2

, (4.7)

donde φ es el potencial gravitacional Newtoniano. En otras palabras, recupera-mos las ecuaciones de movimiento de Newton bajo las suposiciones (i),(ii) y (iii)si

g00 = −(

1 +2φc2

), (4.8)

Γk00 =1c2∂kφ, k = 1, 2, 3. (4.9)

Estas ecuaciones motivan los nombres “potencial gravitacional” y “fuerza gravi-tacional” para gµν y Γµαβ , respectivamente, aunque insistimos en que fuera delregimen de validez de la aproximacion Newtoniana los sımbolos de Christoffelno tienen ningun significado fısico.

Ejercicio 14. Verifique la consistencia de la componente temporal de la ecua-cion (4.6).

La suposicion (i) y la ecuacion (4.7) implican que la aproximacion Newto-niana es valida si

|φ|c2 1. (4.10)

Como ejemplo, podemos considerar el valor de φ/c2 en la superficie de un objetoesfericamente simetrico de masa M y radio R, por lo cual φ = −GMR :

|φ|/c2 en la superficie10−9 de la tierra10−6 del sol10−4 de una enana blanca10−1 de una estrella de neutrones

1 en el horizonte de eventos de un agujero negro10−39 de un proton


4.5. Las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo

Como vimos en la seccion 1.3.3, la forma covariante de las ecuaciones deMaxwell en relatividad especial es

∂σFµν + ∂µFνσ + ∂νFσµ = 0, (4.11)

∂νFµν =

1cjµ, (4.12)

donde

(Fµν) = (−Fνµ) =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 B3 −B2

E2 −B3 0 B1

E3 B2 −B1 0

es el tensor electromagnetico, Fµν = ηµσηντFστ , y donde (jµ) = (cρc, j) esel cuadrivector de densidad de corriente electrica. Puesto que Fµν = −F νµes antisimetrico, las ecuaciones inhomogeneas (4.12) implican la ecuacion decontinuidad,

∂µjµ = 0. (4.13)

La ecuacion de continuidad a su vez implica la conservacion de la carga total,

Q(t) :=1c

∫R3

j0(t, x) d3x =∫R3

ρc(t, x) d3x. (4.14)

Asumiendo que Fµν dacae suficientemente rapido para |x| → ∞, la ecuacion(4.13) y el teorema de Gauss implican que

d

dtQ(t) = 0.

Ejercicio 15. Demuestre que la carga total, como esta definida en (4.14), esindependiente de la eleccion del sistema inercial.

Para obtener la generalizacion de las ecuaciones de Maxwell en un fondocurvo (M, g) dado, aplicamos el metodo descrito en la seccion (4.2). Entonceselevamos Fµν a las componentes de un campo tensorial del tipo (0, 2) sobreM , jµ a las componentes de un campo vectorial sobre M , y reemplazamos lasderivadas parciales por derivadas covariantes en (4.11,4.12). El resultado es

∇σFµν +∇µFνσ +∇νFσµ = 0, (4.15)

∇νFµν =1cjµ, (4.16)

donde Fµν = gµσgντFστ . La forma libre de coordenadas de estas ecuaciones es∑(XY Z)

∇XF (Y,Z) = 0, (4.17)

divF = −1cj˜, (4.18)

4.5. LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN UN FONDO CURVO 105

donde∑

(XY Z)

denota la suma cıclica sobre X, Y y Z, donde divF se refiere a

la contraccion de ∇F sobre las primeras dos entradas, y donde j˜ := g(j, ·) es elcampo de covectores correspondiente a j.

Ahora el campo electromagnetico esta acoplado al campo gravitacional pues-to que la metrica aparece en la relacion entre Fµν y Fµν y en los sımbolos deChristoffel asociados a ∇. Sin embargo, un analisis mas detallado revela que laecuacion (4.15) no depende de g, puesto que∑

(σµν)

∇σFµν =∑

(σµν)

(∂σFµν − Γτ σµFτν − Γτ σνFµτ )

=∑

(σµν)

(∂σFµν − Γτ σµFτν − Γτ µσFντ )

=∑

(σµν)

∂σFµν , (4.19)

donde hemos usado la simetrıa de los sımbolos de Christoffel, Γτ µσ = Γτ σµ y laantisimetrıa de Fτν = −Fντ en el ultimo paso. Entonces la ecuacion (4.15) sereduce a la ecuacion (4.11) en cualquier sistema de coordenadas.

¿Que pasa con las ecuaciones inhomogeneas (4.16)? ¿Dependen de la metri-ca? ¿Y cual es la generalizacion correcta de la ecuacion de continuidad (4.13)?Para contestar a estas preguntas vamos a usar el siguiente

Lema 12 Sean n ∈ N y ε > 0. Sea A : (−ε, ε) → GL(n,R) un mapeo diferen-ciable del intervalo abierto (ε, ε) en las transformaciones lineales e invertiblessobre Rn. Entonces

d

dtlog |det(A(t))| = tr

(A(t)−1 d

dtA(t)

)para todo |t| < ε.

Demostracion. Sea s ∈ (−ε, ε). Defina B(t) := A(s)−1A(t), |t| < ε. Puestoque B(s) = 11 tenemos que

d

dtdet(B(t))

∣∣∣∣t=s

=d

dt

∑π∈S(n)

σ(π)B1π(1)(t)B2π(2)(t) · · ·Bnπ(n)(t)

∣∣∣∣∣∣t=s

=n∑j=1

∑π∈S(n)

σ(π)B1π(1)(s) · · ·d

dtBjπ(j)(t)

∣∣∣∣t=s

· · ·Bnπ(n)(s)

=n∑j=1

d

dtBjj(t)

∣∣∣∣t=s

=d

dttr(B(t))

∣∣∣∣t=s

.

Entonces,

d

dtlog |det(A(t))|

∣∣∣∣t=s

=d

dtdet(B(t))

∣∣∣∣t=s

= tr(A(t)−1 d

dtA(t)

)∣∣∣∣t=s

.


Ahora veamos las ecuaciones de Maxwell inhomogeneas (4.16). Tenemos

∇νFµν = ∂νFµν + ΓµνσFσν + ΓννσFµσ .

El segundo termino a la derecha de la ecuacion es cero puesto que Γµνσ = Γµσνes simetrico en νσ mientras que F νσ = −Fσν es antisimetrico. Para el tercertermino notamos que

Γννσ =12gνµ

[∂gνµ∂xσ

+∂gσµ∂xν

− ∂gνσ∂xµ

]=

12gνµ

∂gνµ∂xσ

=12∂

∂xσlog |g|

=1√|g|

∂

∂xσ

√|g|, (4.20)

donde hemos definido |g| := |det(gµν)| y usado el resultado del Lema 12. En-tonces obtenemos

∇νFµν =1√|g|

∂ν

(√|g|Fµν

),

y podemos reescribir las ecuaciones inhomogeneas (4.16) en la forma

∂ν

(√|g|Fµν

)=

1c

√|g| jµ. (4.21)

Aplicando el operador ∂µ a ambos lados de la ecuacion y usando la antisimetrıade Fµν , obtenemos la ecuacion de continuidad

0 = ∂µ

(√|g| jµ

). (4.22)

Usando otra vez el resultado del Lema 12 podemos reescribir esto de formacovariante,

∇µjµ = 0, (4.23)

odiv j = 0, (4.24)

y obtenemos la generalizacion de (4.13) que esperamos del principio de equiva-lencia. Para fuentes localizadas sobre una region del espacio-tiempo de la forma[t1, t2]× S, la ecuacion (4.24) implica la conservacion de la carga total

Q :=1c

∫S

αjt,

4.5. LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN UN FONDO CURVO 107

ver el segundo ejemplo al final de la seccion 3.4.3.

Ejercicio 16. Muestre que las ecuaciones de Maxwell (4.15,4.16) son invarian-tes bajo transformaciones conformes gµν 7→ e2φgµν , jµ 7→ e−4φjµ, Fµν 7→ Fµν .

¿Que implicaciones tiene este resultado para la propagacion de la luz en unespacio conformemente plano, como en las teorıas escalares de la gravitacion?

4.5.1. La descripcion a traves de potenciales

Las ecuaciones de Maxwell homogeneas (4.15) implican la existencia local5

de un potencial Aµ tal que

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (4.25)

Notamos que la simetrıa de Γαµν = Γανµ en µν implica que esta ecuaciontambien se puede escribir como

Fµν = ∇µAν −∇νAµ,

lo que muestra que (4.25) es independiente de las coordenadas locales si es queAµ son las componentes de un campo de covectores sobre M . En cambio,

Fµν = ∇µAν −∇νAµ 6= ∂µAν − ∂νAµ

en general. Introduciendo (4.25) en las ecuaciones de Maxwell inhomogeneas (4.16)obtenemos

−∇ν∇νAµ +∇ν∇µAν =1cjµ. (4.26)

El primer termino a la izquierda de la ecuacion tiene la forma de un operadorde onda que actua sobre Aµ = gµνAν . Para eliminar el segundo termino, con-mutamos los operadores covariantes ∇ν y ∇µ y imponemos la norma de Lorentzcovariante

∇νAν = 0. (4.27)

Para conmutar los operadores covariantes, partimos de la definicion 38 del tensorde curvatura,

R(∂µ, ∂ν)A = (∇µ∇ν −∇ν∇µ)A, A = Aα∂α,

o,Rαβµν = (∇µ∇ν −∇ν∇µ)Aα.

Contrayendo sobre α = ν obtenemos

−RicβµAβ = ∇µ∇νAν −∇ν∇µAν = −∇ν∇µAν ,

5Ver el lema de Poincare, por ejemplo en la referencia [10].


donde usamos la definicion 39 del tensor de Ricci y la norma de Lorentz cova-riante (4.27). Ahora, la ecuacion (4.26) implica

−∇ν∇νAµ +RicµνAν =

1cjµ, ∇νAν = 0. (4.28)

Esto describe un sistema acoplado de ecuaciones de onda, sujeto a una constric-cion.

Ejercicio 17.

(a) Demuestre que siempre es posible satisfacer la norma de Lorentz, por lomenos localmente. Es decir, dado un campo de covectores A ∈ X ∗(M)y un evento p ∈ M , existe una funcion χ ∈ F(U) definida sobre unavecindad U de p tal que A := A+ dχ satisface ∇νAν = 0 sobre U .

(b) Verifique que el sistema de ecuaciones de onda para A implica la siguienteecuacion para la divergencia de A, C := ∇νAν ,

−∇µ∇µC =1c∇µjµ.

Esta ecuacion muestra que la norma de Lorentz covariante es consistentecon el sistema de ecuaciones de onda para A siempre y cuando se cumplala ecuacion de continuidad (4.23).

Observacion: En relatividad especial, la ecuacion (4.26) se reduce a

−∂ν∂νAµ + ∂µ∂νAν =

1cjµ,

donde usamos el hecho de que las derivadas parciales conmutan. Si aplicamosla receta descrita en la seccion (4.2) para acoplar el campo gravitacional alcampo electromagnetico y reemplazamos las derivadas parciales por derivadascovariantes a esta ecuacion, obtenemos en vez de la ecuacion (4.26) la ecuacion

−∇ν∇νAµ +∇µ∇νAν =1cjµ. (4.29)

La diferencia entre las ecuaciones (4.29) y (4.26) consiste justamente en el con-mutador

(∇µ∇ν −∇ν∇µ)Aν = −RµνAν .Este ejemplo muestra que la transicion de la relatividad especial a la relatividadgeneral involucra ambiguedades inevitables cuando las ecuaciones de campocontienen derivadas del orden dos o mayor. Estas ambiguedades son similares alas que aparecen en la transicion de la mecanica clasica a la mecanica cuantica,y tienen que ver con la no-conmutatividad de las derivadas covariantes.

En nuestro ejemplo, podemos descartar la ecuacion (4.29) observando queno es invariante bajo las transformaciones de norma A 7→ A+ dχ. Con respectoa dicha transformacion,

−∇ν∇νAµ +∇µ∇νAν 7→ −∇ν∇νAµ +∇µ∇νAν −∇ν∇ν∇µχ+∇µ∇ν∇νχ= −∇ν∇νAµ +∇µ∇νAν −Rµν∇νχ,

4.6. EL LIMITE GEOMETRICO EN UN FONDO CURVO 109

mientras que la ecuacion (4.26) es, por supuesto, invariante bajo las transfor-maciones de norma.

4.6. El lımite geometrico en un fondo curvo

En esta seccion vamos a analizar el lımite geometrico de las ecuaciones deMaxwell, y demostrar que en este lımite los rayos de luz se pueden describir porgeodesicas nulas.

Para esto, nos acordamos primero de la electrodinamica en relatividad espe-cial. En la ausencia de una campo gravitacional y de las fuentes electromagneti-cas, las ecuaciones de Maxwell son equivalentes a

∂ν∂νAµ = 0, ∂νA

ν = 0. (4.30)

Soluciones particulares son las ondas planas

Aµ(x) = aµeik·x, (4.31)

donde (aµ) ∈ R4 es el vector de amplitud y (kµ) = (c−1ω, k) ∈ R4 el vector deonda, y donde k · x = kµx

µ = −ωt+ k · x. Las ecuaciones (4.30) implican que kes un vector nulo y que a es ortogonal a k, de tal manera que

|ω|c

= |k|, ω

ca0 + k · a = 0.

Ejercicio 18. Muestre que es posible aplicar una transformacion de norma quepreserva la norma de Lorentz de tal manera que a0 = 0.

El campo electromagnetico correspondiente a (4.31) es

Fµν(x) = i(kµaν − kνaµ)eik·x.

Si a0 = 0 el campo electrico Ej = Fj0 y el campo magnetico Bj = εjklFkl/2

son dados por

E(x) = iω

ca eik·x,

B(x) = i(k ∧ a)eik·x,

donde a · k = 0 y |ω| = |k|c. La parte real de estas ecuaciones describen unrayo de luz monocromatico con polarizacion lineal. Esta parametrizado por sufrecuencia ω, su vector de onda k y su vector de amplitud a.

En la presencia de un campo gravitacional vimos que se deben reemplazarlas ecuaciones (4.30) por

−∇ν∇νAµ +RicµνAν =

1cjµ, ∇νAν = 0, (4.32)

y en general no se esperan soluciones de la forma (4.31), puesto que los coe-ficientes en las ecuaciones (4.32) ya no son constantes. Sin embargo, los rayos


de luz se pueden describir en el lımite geometrico si el campo gravitacionalvarıa poco sobre distancias comparables a la longitud de onda. Para definir ellımite geometrico, consideramos una onda electromagnetica monocromatica conpolarizacion lineal, y consideramos las siguientes cantidades:

λ: la longitud de onda tıpica,

L: una longitud tıpica sobre la cual la amplitud, la polarizacion y la lon-gitud de onda varıan de manera significativa,

R: El radio de curvatura de la geometrıa. Por ejemplo, este radio se puededefinir como

R := |una componente tıpica del tensor de curvatura en un SIL|−1/2.

Entonces el lımite geometrico consiste de las suposiciones

λ L, λ R. (4.33)

y del siguiente ansatz para la solucion de (4.32):

A = aeiψ,

donde a ∈ X ∗(M) es una amplitud que varıa poco sobre distancias del orden Lo R y donde ψ ∈ F(M) es una fase oscilatoria. Definiendo

ε :=λ

mınL,R 1,

podemos expandera = a+ εb+O(ε2),

donde a, b ∈ X ∗(M). Dado que ψ(x) = k · x y k ' λ−1 en relatividad especial,conviene definir ψ := εψ, de tal manera que nuestro ansatz tenga la forma

A =[a+ εb+O(ε2)

]eiε−1ψ. (4.34)

Para lo que sigue, suponemos que el campo vectorial a correspondiente a a =g(a, ·) es de tipo espacio y definimos

k := ∇ψ (vector de onda),|a| := g(a, a∗)1/2 > 0 (amplitud escalar),

f := a/|a| (vector de polarizacion),θ := div k (expansion).

Con esto, encontramos las siguientes expansiones en coordenadas locales,

∇νAµ =[i

εkνaµ + (ikνbµ +∇νaµ) +O(ε)

]eiε−1ψ,

∇ν∇νAµ =[− 1ε2kνkνaµ +

1ε

(−kνkνbµ + 2i∇kaµ + iθaµ) +O(ε0)]eiε−1ψ.

4.7. CAMPOS ESTACIONARIOS Y ESTATICOS 111

Al orden dominante cuando ε→ 0 obtenemos las condiciones

g(k, k) = 0, g(k, a) = 0.

Entonces el vector de onda es un vector nulo, y el vector de amplitud es ortogonala k, exactamente como en relatividad especial con la diferencia que ahora losterminos nulo y ortogonal se refieren a la metrica g del espacio curvo. Mientrask 6= 0 los conjuntos ψ = const. de fase constante (las frente de ondas) definensuperficies nulas. Ademas, dado que k˜ = ∇ψ, tenemos

∇ν(kµkµ) = 2kµ∇ν∇µψ = 2kµ∇µ∇νψ = 2kµ∇µkν = 2∇kkν ,

donde usamos el hecho de que la torsion de ∇ es cero en el segundo paso. Puestoque kµkµ = g(k, k) = 0, aprendemos que las curvas integrales a k (los rayos deluz) son geodesicas nulas. Dado que k es nulo, es a la vez ortogonal y tangentea las superficies ψ = const. y cada una de las geodesicas generadas por kesta dentro de una de estas superficies.

Al siguiente orden en ε obtenemos

2∇ka+ θa = 0, ig(k, b) + div a = 0.

En terminos de la amplitud escalar y del vector de polarizacion la primeraecuacion es equivalente a

∇k|a| = −θ

2|a|, ∇kf = 0. (4.35)

En particular, el vector de polarizacion es autoparalelo a lo largo de las geodesi-cas generadas por k. Entonces es suficiente conocer los valores de la amplitudescalar |a| y del vector de polarizacion f en un punto p de la geodesica nula,los valores en los otros puntos se obtienen al resolver las ecuaciones (4.35). Sifp es ortogonal a kp y es unitario, el transporte paralelo de f garantiza que lascondiciones g(k, f) = 0 y g(f, f∗) = 1 se satisfacen sobre todos los puntos de lageodesica dado que la conexion es metrica.

La primera ecuacion en (4.35 tambien se puede escribir como la ley de con-servacion

divJ = 0, J := |a|2k. (4.36)

Al nivel de la mecanica cuantica, J describe la corriente de fotones en los rayosde luz generados por k. La cantidad conservada correspondiente se refiere alnumero de fotones. Por supuesto, la ley de conservacion (4.36) solamente esvalida en el lımite geometrico sobre un fondo curvo fijo; en general los fotonespueden interactuar con el campo gravitacional.

4.7. Campos estacionarios y estaticos

En esta seccion queremos definir lo que son los espacio-tiempos estaciona-rios y estaticos. Intuitivamente, un espacio-tiempo estacionario es una variedad


Lorentziana (M, g) donde la metrica g “no depende del tiempo”. Dado que enrelatividad general no existe un tiempo absoluto, tenemos que definir con masprecision lo que queremos decir por “no depende del tiempo”. Una posibilidades pedir que existan coordenadas locales x0 = ct, x1, x2, x3 tales que

∂tgµν = 0, (4.37)

es decir, las componentes de la metrica no dependen del tiempo en estas coor-denadas particulares. Sin embargo, esta definicion no satisface el principio decovarianza general y esta restringida a una carta local.

Para dar una definicion geometrica de un espacio-tiempo estacionario, par-timos de la siguiente observacion. Si definimos el campo vectorial k := ∂t enuna carta local donde vale la ecuacion (4.37), entonces en estas coordenadasparticulares, tenemos

(£kg)µν = kσ∂σgµν + (∂µkσ)gσν + (∂νkσ)gµσ = 0,

donde usamos la formula general (3.75) para las componentes de la derivada deLie y el hecho de que (kσ) = (1, 0, 0, 0) es constante. Entonces en esta cartalocal, la ecuacion (4.37) es equivalente a

£kg = 0. (4.38)

Pero a diferencia de la ecuacion (4.37), la ecuacion (4.38) es independiente delas coordenadas locales.

Definicion 43 Un campo vectorial k ∈ X (M) que satisface la ecuacion (4.38)se llama un campo vectorial de Killing.

Ahora podemos dar una definicion geometrica de un espacio-tiempo estacio-nario.

Definicion 44 Un espacio-tiempo (M, g) se llama estacionario si existe uncampo vectorial de Killing k que es de tipo tiempo, es decir existe k ∈ X (M) talque

£kg = 0, g(k, k) < 0.

Observaciones

1. Sea k un campo vectorial de Killing y sea ϕt el flujo correspondiente a k.Entonces la ecuacion (4.38) es equivalente a

(ϕt)∗g = g,

ver la observacion debajo de la definicion 37. En este sentido, la metricaes invariante bajo el flujo de k.

2. Dado un campo vectorial de Killing k y un evento p ∈M , siempre es posi-ble encontrar coordenadas locales x0, x1, x2, x3 en una vecindad de p talesque k = ∂0 como demostramos al final de la seccion 3.5.4. En estas coor-denadas, tenemos 0 = £kgµν = ∂0gµν , y recuperamos la ecuacion (4.37).


3. Es posible que una variedad Lorentziana (M, g) posee un campo vectorialde Killing k que es de tipo tiempo en una region, pero nulo o tipo espacioen otra region del espacio-tiempo. De hecho, vamos a ver que esto ocurreen la solucion de Schwarzschild. En este caso, decimos que la metrica esestacionaria en la region donde k es tipo tiempo.

4. De acuerdo a la formula (3.78), un campo vectorial de Killing k satisface

(∇k˜)(X,Y ) + (∇k˜)(Y,X) = 0 (4.39)

para todo X,Y ∈ X (M), donde k˜ := g(k, ·) es el campo de covectorcorrespondiente a k. La ecuacion (4.39) se llama ecuacion de Killing.Es equivalente a pedir que ∇k˜ sea antisimetrico. Su forma en coordenadaslocales es

∇µkν +∇νkµ = 0. (4.40)

De acuerdo al teorema de Noether, a cada simetrıa del sistema le corres-ponde una cantidad conservada. A continuacion mencionamos dos resultadosimportantes donde la presencia de un vector de Killing en el espacio-tiempo dalugar a cantidades conservadas:

Lema 13 Sea (M, g) un espacio-tiempo con campo vectorial de Killing k, y seaγ una geodesica en (M, g) con parametro afın λ y campo de velocidad u = d

dλγ.Entonces vale

u[g(u, k)] = 0, (4.41)

es decir, el producto escalar g(u, k) se conserva a lo largo de γ.

Demostracion. Usando la ecuacion de Killing (4.39) y la ecuacion geodesica∇uu = 0 encontramos que6

u[g(u, k)] = u[k˜(u)] = (∇uk˜)(u) + k˜(∇uu) = (∇k˜)(u, u) = 0.

Lema 14 Sea (M, g) un espacio-tiempo con campo vectorial de Killing k, y seaT ∈ T 2

0(M) un tensor de energıa-impulso, es decir, un campo tensorial del tipo(2, 0) simetrico que satisface divT = 0. Entonces la corriente j := −T (k˜, ·) esconservada, es decir,

div j = 0. (4.42)

Demostracion. Sea p ∈ M y sean x0, x1, x2, x3 coordenadas locales en unavecindad de p. Entonces

div j = ∇νjν = −∇ν(Tµνkµ) = −(∇νTµν)kµ − Tµν∇νkµ = 0,

6En coordenadas locales, u[g(u, k)] = uβ∇β(uαkα) = (uβ∇βuα)kα + uβuα∇βkα = 0,

puesto que uβ∇βuα = ∇uuα = 0 y que ∇βkα es antisimetrico en αβ.


dado que ∇νTµν = 0, y que Tµν es simetrico en µν mientras que ∇νkµ esantisimetrico en µν de acuerdo a la ecuacion de Killing (4.40).

Los espacio-tiempos estaticos son casos particulares de los espacio-tiemposestacionarios. En estos casos, el espacio-tiempo se puede dividir (por lo menoslocalmente) de manera natural en un“tiempo” y un“espacio”.

Definicion 45 Un espacio-tiempo (M, g) se llama estatico si existe un campovectorial de Killing k ∈ X (M) que es de tipo tiempo y que satisface la condicion∑

(XY Z)

k˜⊗∇k˜(X,Y, Z) = 0, (4.43)

para todos X,Y, Z ∈ X (M), donde∑

(XY Z)

denota la suma cıclica sobre (X,Y, Z).

En coordenadas locales, la condicion (4.43) es∑(σµν)

kσ∇µkν = 0. (4.44)

De acuerdo a un teorema general de Frobenius (ver, por ejemplo, [9]) lacondicion (4.43) implica la existencia local de subvariedades tridimensional es-paciales que son ortogonales a k. En vez de usar el teorema de Frobenius, vamosa demostrar directamente:

Lema 15 Un espacio-tiempo (M, g) es estatico con respecto al campo vectorialde Killing k si y solo si existen en la vecindad de cada evento p ∈M coordenadaslocales x0, x1, x2, x3 tales que k = ∂0 y tales que

g = −N(x)dx0 ⊗ dx0 + gij(x)dxi ⊗ dxj , x = (xi) = (x1, x2, x3), (4.45)

donde N(x) > 0 y gij(x) es definido positivo. Entonces las componentes de lametrica tienen la siguiente forma:

(gµν(x)) =

−N(x) 0

0 gij(x)

, x = (xi) = (x1, x2, x3). (4.46)

Demostracion. Supongamos primero que en una carta local (U,Φ), k = ∂0 yque la metrica tiene la forma (4.45). Entonces k es un campo vectorial de Killingsobre U y g(k, k) = −N < 0 sobre U . Ademas, k˜ = −Ndx0, de tal manera que∑

(σµν)

kσ∇µkν =12

∑(σµν)

kσ(∇µkν −∇νkµ) =12

∑(σµν)

kσ(∂µkν − ∂νkµ) = 0.

Por otro lado, si k ∈ X (M) es un campo vectorial de Killing de tipo tiempoque satisface la condicion (4.43). Entonces dada una carta local (U,Φ) tenemos

0 = kσ∇µkν + kµ∇νkσ + kν∇σkµ

= −kσ∇νkµ +12kµ∇νkσ −

12kµ∇σkν + kν∇σkµ,


donde usamos la ecuacion de Killing (4.40) en el segundo paso. Contrayendocon kµ encontramos que

0 =12

[kσ∇νN −N(∇νkσ −∇σkν)− kν∇σN ] ,

=N2

2

[∇σ(kνN

)−∇ν

(kσN

)], (4.47)

donde definimos N := −g(k, k) = −kµkµ > 0. Entonces el campo de covectoresuν := kν/N satisface la ecuacion

0 = ∇σuν −∇νuσ = ∂σuν − ∂νuσ.

Esto implica la existencia local7 de una funcion f ∈ F(U) tal que uσ = ∂σf .Con esta funcion podemos escribir k de la forma

kσ = N∂σf, N = −g(k, k) = −kµkµ > 0. (4.48)

Notamos que −kσ∂σf = −N−1kσkσ = 1. Ahora definimos las superficies

Σx0 := p ∈ U : −f(p) = x0, x0 ∈ R. (4.49)

De acuerdo a la ecuacion (4.48) estas superficies son regulares y ortogonales a k.Por lo tanto, son superficies espaciales. Ahora podemos construir coordenadasLagrangianas (x0, x1, x2, x3) adaptadas a las superficies Σx0 como describimosal final de la seccion 3.5.4, de tal manera que k = ∂0. Con respecto a estascoordenadas tenemos

k˜ = g00dx0 + g0idx

i, i = 1, 2, 3.

Por otro lado, la ecuacion (4.48) implica que k˜ = Ndf = −Ndx0, de tal maneraque g00 = −N y g0i = 0. Finalmente, dado que k = ∂0 es un vector de Killing,las componentes de la metrica no dependen de x0. Entonces la metrica tiene laforma (4.45) en U .

Observaciones

1. Las superficies Σx0 de tiempo constante definidas en (4.49) con la metricainducida son mutualmente isometricas puesto que (ϕt)∗g = g, donde ϕt

denota el flujo de k.

2. Para un espacio-tiempo estacionario podemos definir un observador enreposo como un observador que se mueve a lo largo de una curva inte-gral del campo vectorial de Killing de tipo tiempo k. Vamos a ver en laseccion 4.9 que en general, un observador en reposo puede adquirir unarotacion si el espacio-tiempo es estacionario pero no estatico.

3. Si el espacio-tiempo es estatico, entonces existe una distincion natural en-tre el espacio y el tiempo, dado por el sistema de coordenadas del Lema 15.

7Ver el lema de Poincare, por ejemplo en la referencia [10].


4.7.1. El principio de Fermat para campos estaticos

Como aplicacion vamos a derivar el principio de Fermat para los rayos de luzen un espacio-tiempo estatico. Como vimos en las secciones 4.3 y 4.6 los rayosde luz en el lımite geometrico se pueden describir a traves del funcional

S0[γ] =

e2∫e1

g(γ, γ)dλ,

con la constriccion g(γ, γ) = 0. De acuerdo a los calculos que hicimos en laseccion 4.3 la variacion de S0 da

δS0[γ] =

e2∫e1

δg(γ, γ)dλ = 2 g(γ, δ)|e2e1 − 2

e2∫e1

g(∇γ γ, δ)dλ

Si la variacion es cero en e1 y e2, obtenemos δS0[γ] = 0 de acuerdo a la ecuacionde la geodesica∇γ γ = 0, pero aquı vamos a considerar variaciones mas generalesque no fijan los eventos e1 y e2. En este caso, la variacion de S0 alrededor deun rayo de luz γ da

δS0[γ] = 2 g(γ, δ)|e2e1 . (4.50)

En lo que sigue, vamos a usar el resultado del Lema 15 para introducircoordenadas locales x0, x1, x2, x3 adaptadas a la estaticidad en una vecindad Ude M , tales que U = I × Σ y

g = −N(x)dx0 ⊗ dx0 + gij(x)dxi ⊗ dxj , (x0, x) ∈ I × Σ,

donde N(x) y gij(x) son definidos positivos. Vamos a suponer que e1, e2 y lageodesica nula que conecta e1 y e2 se encuentra dentro de la region U . Con-sideramos variaciones del funcional S0 que consisten de curvas que satisfacenδxi∣∣e1,e2

= 0. De acuerdo al resultado del Lema 13 el producto escalar g(γ, k),k = ∂0, es constante a lo largo del rayo de luz. Podemos normalizar el parametroafın λ de tal manera que g(γ, k) = 1. Con esto, la ecuacion (4.50) implica que

δS0[γ] = 2 g(γ, δx0k)∣∣e2e1

= 2 δx0∣∣e2e1

= 2δ

e2∫e1

x0dλ.

En particular, si consideramos curvas nulas que satisfacen δxi∣∣e1,e2

= 0, enton-ces S0 = 0 a lo largo de la variacion y

0 = g(γ, γ) = −N(x)(x0)2 + gij(x)xixj

de tal manera que

x0 =√hij(x)xixj , hij(x) :=

1N(x)

gij(x), (4.51)

4.8. EL CORRIMIENTO AL ROJO 117

Entonces obtenemos el principio variacional

0 = δ

p2∫p1

dt = δ1c

p2∫p1

√hij(x)xixjdλ, (4.52)

con la metrica efectiva hij(x) := N(x)−1gij(x), donde p1 y p2 denotan la pro-yeccion de e1 y e2 sobre Σ.

Esta ecuacion describe el principio de Fermat: La trayectoria seguida porla luz al propagarse de un punto p1 a otro p2 del espacio es tal que el tiempoempleado en recorrerla es mınimo. La comparacion con el principio de Fermat enla optica revela que el factor 1/

√N(x) juega el papel de un ındice de refraccion

en la geometrıa Riemanniana (Σ, gijdxi ⊗ dxj). La ecuacion (4.52) tambienimplica que los rayos de luz en una metrica estatica son geodesicas en el espacioRiemanniano (Σ, hijdxi ⊗ dxj).

4.8. El corrimiento al rojo

Consideramos las trayectorias de dos observadores γ1 y γ2 en el espacio-tiempo. Uno de los observadores, γ1, el transmisor, emite una onda electro-magnetica en un evento e1 que sera recibida por γ2, el receptor, en el evento e2.Preguntamos cual es la relacion entre la frecuencia emitida por el transmisor yla frecuencia recibida por γ2.

Para calcular esta relacion, vamos a suponer la validez del lımite geometricode tal manera que podemos describir la onda electromagnetica a traves delpotencial

A = a eiε−1ψ,

donde a ∈ X ∗(M) es el covector de amplitud y ψ ∈ F(M) es la fase. Comohabıamos visto en la seccion 4.6, el gradiente k = ∇ψ de ψ es un vector nuloque satisface ∇kk = 0, es decir, las curvas integrales a k son geodesicas nulas.Ademas, k es tangente a las superficies ψ = const. de fase constante.

Sean ψj(τj) = ψ(γj(τj)), j = 1, 2, las fases sobre las curvas γ1 y γ2 en funcionde los tiempos propios τj respectivos. Definimos la frecuencia emitida y recibidaa traves de

νj :=1

2πεd

dτjψj(τj), j = 1, 2.

Usando la definicion 13 de la diferencial y de k encontramos que

2πενj = dψ(uj)|γj(τj) = k˜(uj)∣∣γj(τj)

= g(k, uj)|γj(τj) , j = 1, 2,

donde uj := γj se refiere a la cuadrivelocidad de γj . Entonces encontramos lasiguiente formula general para la razon entre ν1 y ν2:

ν1

ν2=g(k, u1)|e1g(k, u2)|e2

. (4.53)


Como vamos a ilustrar en los ejemplos que siguen, esta formula representa losefectos combinados del efecto Doppler (un efecto puramente cinematico) y elcorrimiento al rojo gravitacional.

Ejemplos:

1. Sea (M, g) = (R4, η) el espacio-tiempo de Minkowski. Entonces las geodesi-cas nulas son rectas y en este caso k es un vector constante. Suponga-mos que el receptor se encuentra en reposo, u2 = ∂t, y que el trans-misor se mueve a una velocidad v constante con respecto al transmisor,u1 = γ(∂t + v · ∇), donde β := v/c, γ := (1 − |β|2)−1/2. Con la parame-trizacion k = ω

c (∂0 + k · ∇), donde |k| = 1, la formula (4.53) implica que

ν1

ν2= γ

(1− β · k

). (4.54)

Esta es la formula para el efecto Doppler en relatividad especial. En par-ticular, si β y k apuntan en la misma direccion (es decir, el transmisor semueve hacia el receptor), entonces

ν1

ν2=

1− β√1− β2

=

√1− β1 + β

,

donde β := |β| = |v|/c. Si β 1, ν1/ν2 ≈ 1− |v|/c se reduce a la formulano-relativista del efecto Doppler.

2. Sea (M, g) un espacio estacionario con campo vectorial de Killing tipotiempo T . Supongamos que tanto el transmisor como el receptor son obser-vadores en reposo, de tal manera que su cuadrivelocidad es u = cN−1/2Tcon N := −g(T, T ) > 0. Entonces g(k, u) = cN−1/2g(k, T ). Pero dado que∇kk = 0, el resultado del Lema 13 implica que el producto escalar g(k, T )es constante a lo largo de los rayos de luz. Entonces la formula (4.53)implica

ν1

ν2=

√N(e2)N(e1)

. (4.55)

Esta formula muestra que dos observadores en reposo perciben frecuen-cias distintas si el factor N = −g(k, k) es diferente en e1 y e2. Si el cam-po gravitacional es debil en el sentido que existen coordenadas localesx0, x1, x2, x3 tales que k = ∂0 y |gµν − ηµν | 1, entonces estamos en elregimen de validez del lımite Newtoniano, y la ecuacion (4.8) implica queN = −g00 = 1 + 2φ/c2 con el potencial gravitacional Newtoniano φ. Eneste caso podemos reescribir la ecuacion (4.55) como

ν1

ν2≈ 1 +

1c2

[φ(e2)− φ(e1)] ,

o en terminos del factor z de corrimiento al rojo,

z :=ν2 − ν1

ν1≈ 1c2

[φ(e1)− φ(e2)] . (4.56)

4.9. SISTEMAS DE REFERENCIA NO-ROTANTES 119

Para el campo gravitacional terrestre, φ(x) = gx, de tal manera que unfoton que se mueve en la direccion x de x1 a x2 = x1 + H percibe uncambio relativo de frecuencias dado por z = −gH/c2. Si H > 0, entoncesν2 < ν1 y el foton pierde energıa en este proceso, es decir, su frecuenciase recorre hacia el rojo.

Ejercicio 19. Considere un proceso donde una partıcula de masa m inicial-mente en reposo cae en el campo gravitacional Newtoniano φ(x) = gx de x = Ha x = 0. En x = 0 convertimos toda la energıa de la partıcula en un foton quese mueve en la direccion −x hasta llegar a x = H. En x = H convertimos todala energıa del foton en un partıcula en reposo y seguimos el proceso de estamanera.

Demuestre que para conservar la energıa en este proceso, el foton debe per-cibir un corrimiento hacia el rojo dado por z = −gH/c2.

Ejercicio 20. Considere dos observadores que se mueven a lo largo de lascurvas integrales al campo vectorial ∂

∂t en la metrica8

g = −c2dt2 + a(t)2(dx2 + dy2 + dz2

),

donde a : (0,∞) → (0,∞) es una funcion C∞-diferenciable. Demuestre que elfactor de corrimiento al rojo entre los dos observadores tiene la forma

z =a(t1)a(t2)

− 1. (4.57)

Calcule la relacion entre t1 y t2.

4.9. Sistemas de referencia no-rotantes

En esta seccion consideramos la trayectoria tipo tiempo γ(τ) de un obser-vador, parametrizado por su tiempo propio τ , de tal manera que u = γ es lacuadrivelocidad, es decir, u es el vector tangente tal que g(u, u) = −c2. Defini-mos la aceleracion a := ∇uu. Usando la identidad de Ricci (3.60) encontramos

g(a, u) = g(∇uu, u) =12u[g(u, u)] =

12u[−c2] = 0,

y concluimos que la aceleracion es ortogonal a u.Preguntamos si se puede definir en cada punto p ∈ γ una base ortonormal

e0, e1, e2, e3 preferida de TpM . Es muy natural elegir e0 = u/c, de tal maneraque e0 sea alineada con el vector tangente a γ. Sin embargo, queda la preguntade como elegir los tres vectores espaciales e1, e2, e3. Si γ fuera una geodesica,a = ∇uu = 0, podrıamos elegir tres vectores tangentes e1, e2, e3 mutualemente

8Como vamos a ver en el capıtulo 8 esta metrica describe nuestro universo a grandes escalas.


ortonormales y ortogonal a up en un punto p ∈ γ dado y transportalos demanera paralela a todos los otros puntos de la curva. Dado que la conexion ∇ deLevi-Civita preserva los productos escalares, esto definirıa una base ortonormale0, e1, e2, e3 en cada punto de la curva.

Para generalizar esta construccion a trayectorias que no necesariamente seencuentran en caıda libre, nos basamos en la siguiente definicion.

Definicion 46 Sea (M, g) un espacio-tiempo, y sea u ∈ X (M) un campo vec-torial tal que g(u, u) = −c2. Entonces definimos para cada X ∈ X (M) la deri-vada de Fermi de X con respecto a u por

IFuX := ∇uX + c−2g(u,X)a− c−2g(a,X)u, (4.58)

donde a := ∇uu.

La derivada de Fermi satisface las siguientes propiedades:

(i) IFuu = 0.

(ii) IFu = ∇u si a = 0.

(iii) Si X es ortogonal a u, entonces IFuX es la componente de ∇uX ortogonala u.

(iv) u[g(X,Y )] = g(IFuX,Y ) + g(X, IFuY ) para todo X,Y ∈ X (M).

(v) IFu(fX + Y ) = fIFuX + u[f ]X + IFuY para todo X,Y ∈ X (M) y todof ∈ F(M).

De la misma forma que el transporte paralelo podemos definir el transportede Fermi de un vector X a lo largo de la curva γ a traves de

IFuX = 0. (4.59)

Si γ es una geodesica, el transporte de Fermi coincide con el transporte paralelo.En general, la propiedad (iv) del transporte de Fermi implica que si IFuX =IFuY = 0, entonces el producto escalar g(X,Y ) es constante a lo largo de γ. Eltransporte de Fermi permite definir un sistema de referencia no-rotante:

Definicion 47 Sea γ(τ) una curva tipo tiempo en un espacio-tiempo (M, g),parametrizada por su tiempo propio τ . Un sistema de referencia no-rotantea lo largo de γ es una base ortonormal e0, e1, e2, e3 en cada punto p ∈ γ talque e0 = u/c y IFuei = 0, i = 1, 2, 3, donde u = γ.

Observaciones:

1. Un sistema de referencia no-rotante a lo largo de una curva tipo tiempo γes unico salvo una rotacion global de e1, e2, e3.


2. Un trompo (o una partıcula con espın) se puede describir por un campovectorial S a lo largo de γ que satisface

IFuS = 0, g(S, u) = 0. (4.60)

En el origen de un sistema inercial local tal que u = ∂t estas ecuacionesse reducen a d

dtS = 0 de tal manera que se satisface el principio de equi-valencia. Con respecto a un sistema de referencia no-rotante, S = Sieidonde u[Si] = 0, es decir, las componentes de S con respecto al sistemade referencia no-rotante son constantes.

A continuacion, consideramos toda una familia de observadores, descrita porlas curvas integrales a un campo u de cuadrivelocidades, es decir u ∈ X (M) estal que g(u, u) = −c2. Sea X ∈ X (M) un campo vectorial que es transversal a ue invariante bajo el flujo de u, es decir, £uX = 0. Entonces definimos el campode desviacion Y ∈ X (M) correspondiente a X por su proyeccion ortogonal a u,es decir,

Y := X + c−2g(u,X)u. (4.61)

El campo Y mide la distancia infinitesimal entre dos trayectorias vecinas. Usan-do las formulas £uu = [u, u] = 0 y

u[g(u,X)] = g(∇uu,X) + g(u,∇uX)= g(a,X) + g(u,∇Xu+ £uX)

= g(a,X) +12X[g(u, u)]

= g(a,X)= g(a, Y )

donde usamos la simetrıa de ∇ en el segundo paso para obtener £uX = [u,X] =∇uX −∇Xu, encontramos que el campo de desviacion Y satisface la ecuaciondiferencial

£uY = c−2g(a, Y )u. (4.62)

Ahora vamos a reescribir esta ecuacion en terminos de un sistema de referenciano-rotante e0, e1, e2, e3 con respecto a uno de los observadores que se muevesobre una curva integral a u. Dado que Y es ortogonal a u podemos expanderY = Y iei, i = 1, 2, 3. Por otro lado, usando la definicion (4.58) de la derivadade Fermi y la simetrıa de ∇ encontramos que

u[Y i]ei = IFuY = ∇uY − c−2g(a, Y )u = ∇uY − [u, Y ] = ∇Y u = Y j∇eju.

Puesto que g(u,∇eju) = 12ej [g(u, u)] = 0 podemos expander

∇eju = Bijei, (4.63)

y obtenemos la siguiente ecuacion para las componentes de Y ,

u[Y i] = (Σij + Ωij)Y j , (4.64)


donde descompusimos Bij = g(ei,∇eju) = Σij + Ωij en su parte simetrica,Σij := B(ij) y su parte antisimetrica, Ωij := B[ij]. Notamos que para dos camposde desviacion Y y Z tenemos

u[g(Y,Z)] = u[δijY iZj ] = (Σij + Ωij)Y jZi + Yj(Σji + Ωji)Zi = 2ΣijY iZj ;

por esta razon Σ se llama el tensor de deformacion, mientras que Ω se llamael tensor de rotacion porque genera rotaciones infinitesimales con respecto altransporte de Fermi.

4.9.1. La diferencia fısica entre espacio-tiempos estaticosy estacionarios

Ahora consideramos el caso particular de observadores en reposo en unespacio-tiempo (M, g) con campo vectorial de Killing de tipo tiempo k. Eneste caso, u = cN−1/2k donde N = −g(k, k), y

Bij = g(ei,∇eju) = −g(∇ejei, u) = −cN−1/2k˜(∇ejei) = cN−1/2(∇ejk˜)(ei).

De acuerdo a la ecuacion de Killing (4.39) la parte derecha es antisimetrica, detal manera que

Σij = 0,

Ωij = −cN−1/2(∇k˜)(ei, ej).

Entonces para observadores estacionarios en un espacio-tiempo estacionario, eltensor de deformacion es cero, lo que implica que el producto escalar entre dosvectores de desviacion es constante a lo largo de sus trayectorias. Sin embargo,los vectores de desviacion pueden girar en el sistema de referencia no-rotante siel espacio-tiempo es estacionario pero no estatico:

Lema 16 Sea (M, g) un espacio-tiempo estacionario con campo vectorial deKilling de tipo tiempo k. Entonces Ωij = 0 para todos los observadores en repososi y solo si (M, g) es estatico con respecto a k.

Demostracion. De acuerdo a la ecuacion (4.43) el espacio-tiempo es estaticocon respecto a k si y solo si el tensor totalmente antisimetrico

ω(X,Y, Z) :=∑

(XY Z)

k˜⊗∇k˜(X,Y, Z), X, Y, Z ∈ X (M),

es cero. Sus componentes con respecto a la base no-rotante e0, e1, e2, e3 son

ωkij =∑(kij)

k˜(ek)(∇k˜)(ei, ej) = 0,

ω0ij = k˜(e0)(∇k˜)(ei, ej) =N

cΩij ,


donde usamos el hecho de que k˜(e0) = g(k, e0) = N1/2g(e0, e0) = −N1/2 yk˜(ej) = 0, j = 1, 2, 3.

El resultado del Lema 16 nos lleva a la siguiente conclusion: Sea (M, g) unespacio-tiempo estacionario. En un sistema de referencia no-rotante, los vectoresde desviacion correspondientes a los observadores en reposo son constantes si ysolo si el espacio-tiempo es estatico. En otras palabras, si el espacio-tiempo esestacionario pero no estatico existen vectores de desviacion que adquieren unarotacion con respecto al sistema no-rotante. Esta rotacion proviene del espacio-tiempo mismo.

Ejercicio 21. Sea (M, g) un espacio-tiempo que es estacionario con respecto alcampo vectorial de Killing k. Demuestre que (M, g) es estatico si y solo si todoslos trompos que se mueven a lo largo de un observador en reposo son invariantesbajo el flujo de k, es decir, si y solo si dichos trompos satisfacen £kS = 0.Instrucciones:

(a) Sea X ∈ X (M) un campo vectorial que es ortogonal a k. Demuestre que£kX tambien es ortogonal a k.

(b) Derive la formula

£kej = −1cN1/2Ωijei

para un sistema no-rotante e0, e1, e2, e3 a lo largo de un observador enreposo.

(c) Usando el resultado del inciso (b), demuestre que un trompo S que semueve a lo largo de un observador en reposo satisface

£kS = −1cN1/2ΩijSjei, S = Sjej . (4.65)


Capıtulo 5

Las ecuaciones de Einstein

En el capıtulo anterior analizamos la parte cinematica de la teorıa general dela relatividad, es decir, examinamos los efectos de un espacio-tiempo dado (M, g)sobre los sistemas fısicos. En particular, vimos de que manera el campo gravi-tacional afecta la trayectoria de partıculas libres y el campo electromagnetico,incluyendo la propagacion de la luz. En el lımite Newtoniano, la ecuacion delas geodesicas que describe la trayectoria de partıculas en caıda libre se reducea la ecuacion de movimiento Newtoniana para una partıcula en un potencialgravitacional Newtoniano.

En este capıtulo abordamos la pregunta de como determinar la variedad My la metrica g. Como vamos a ver, las famosas ecuaciones de campo de Einsteinrelacionan el campo gravitacional g con los campos materiales. En el lımiteNewtoniano, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuacion de Poissonpara el potencial gravitacional Newtoniano.

5.1. La interpretacion fısica de la curvatura

Antes de discutir las ecuaciones de Einstein, queremos preguntarnos comomedir el campo gravitacional en un espacio-tiempo (M, g) dado. Esta preguntano es totalmente trivial, porque como vimos en el capıtulo anterior, dado unevento p ∈ M , siempre se pueden encontrar coordenadas locales x0, x1, x2, x3

en una vecindad de p (un sistema inercial local) de tal manera que

gµν(p) = ηµν , (5.1)∂σgµν(p) = 0. (5.2)

Entonces en tal sistema de coordenadas se necesitan medir por lo menos lasdesviaciones cuadraticas del evento p para detectar si existe o no un campo gra-vitacional, es decir, si la metrica es realmente distinta a la metrica de Minkowksiηµν . Como vamos a ver pronto, estas desviaciones cuadraticas estan relaciona-das con la desviacion geodesica. Pero antes de analizar la desviacion geodesica,queremos reforzar el resultado (5.1,5.2) y demostrar que existe un sistema de

125

126 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

coordenadas locales en una vecindad de una trayectoria en caıda libre de talmanera que las ecuaciones (5.1,5.2) valgan para todos los puntos de la trayec-toria. Esto es la justificacion matematica para la existencia del “ascensor deEinstein”.

De manera un poco mas general, consideramos la trayectoria γ(τ) de unobservador tipo tiempo, parametrizada por su tiempo propio τ . Sea e0, e1, e2, e3

un sistema de referencia no-rotante a lo largo de γ, ver la definicion 47. Enparticular, e0 = u/c y IFuej = 0, j = 1, 2, 3, donde u := γ/c es la cuadrivelo-cidad del observador. Entonces construimos un sistema de coordenadas localesx0, x1, x2, x3 adaptado al sistema de referencia no-rotante de la siguiente mane-ra: Sea τ fijo, y sea n ∈ Tγ(τ)M un vector unitario ortogonal a u, g(n, n) = 1,g(u, n) = 0. Podemos expander n = njej con respecto al sistema de referenciano-rotante. Sea

α(s;n, τ) := expγ(τ)(sn)

la geodesica a traves de γ(τ) con direccion inicial n, parametrizada por su lon-gitud de arco s. En una vecindad U de γ cada punto se encuentra sobre exac-tamente una de estas geodesicas. Es decir, para cada q ∈ U existe exactamenteun triple (τ, s, n) tal que q = α(s;n, τ). Entonces asociamos a q las coordenadas

x0(q) := cτ, (5.3)xj(q) := snj , j = 1, 2, 3. (5.4)

Por construccion, estas coordenadas satisfacen

(eα)p =∂

∂xα

∣∣∣∣p

, α = 0, 1, 2, 3,

para todo evento p ∈ γ sobre la curva γ. Como consecuencia, tenemos

gαβ(p) = gp(eα, eβ) = ηαβ ,

para todo p ∈ γ. Ademas, usando 0 = IFueα = ∇ueα+c−1g(e0, eα)a−c−1g(a, eα)e0

y

(∇ueα)µ|p =∂

∂τeαµ|p + uσΓµσνeαν |p = cΓµ0α(p)

para p ∈ γ encontramos tambien

Γ000(p) = 0, Γk00(p) =

1c2ak∣∣p,

Γ00j(p) =

1c2aj |p , Γk0j(p) = 0,

para todo p ∈ γ. Finalmente, porque para cada τ y n fijos, α(s;n, τ) es unageodesica con parametro afın s, parametrizada por las coordenadas (xµ(s)) =(cτ, snj) tenemos

0 =[d2xµ

ds2+ Γµαβ

dxα

ds

dxβ

ds

]p

,= Γµij(p)ninj ,

5.1. LA INTERPRETACION FISICA DE LA CURVATURA 127

y entonces Γµij(p) = 0 para todo p ∈ γ. Usando la formula

∂σgαβ(p) = ∇σgαβ(p) + Γµσα(p)gµβ(p) + Γµσβ(p)gαµ(p)= ηαµΓµσβ(p) + ηβµΓµσα(p),

encontramos que todas las derivadas parciales de primer orden de gαβ son cerosobre γ con la excepcion de ∂kg00(p) = −2c−2ak(p). Concluimos que en lascoordenadas locales (5.3,5.4) la cuadrivelocidad es

u =∂

∂τ= c

∂

∂x0,

y la metrica tiene la siguiente forma simple

g = −(

1 +2c2ak(τ)xk

)dx0 ⊗ dx0 + δijdx

i ⊗ dxj +O(|x|2)αβdxα ⊗ dxβ , (5.5)

x = (x1, x2, x3), en la vecindad U de la curva γ. Para todos los puntos p ∈ Usobre la curva γ, las componentes de la metrica son iguales a las componentesde la metrica de Minkowksi. A primer orden en la desviacion x de la curva, launica perturbacion que el observador puede medir es la aceleracion de sı mismo.Si γ es una geodesica, entonces a = 0 y se satisfacen las ecuaciones (5.1,5.2)para todos los puntos p ∈ γ de la curva.

Para que un observador pueda medir el campo gravitacional, tiene que me-dir las desviaciones cuadraticas entre dos trayectorias vecinas. Como en la sec-cion 4.9 consideramos una familia de observadores descrita por su campo decuadrivelocidades u ∈ X (M), normalizado de tal manera que g(u, u) = −c2.Sea Y ∈ X (M) un campo de desviacion. De acuerdo a la ecuacion (4.62) Ysatisface

£uY = c−2g(a, Y )u, (5.6)

donde a = ∇uu es el campo de aceleracion. En terminos de la derivada de Fermi,ver la ecuacion (4.58), esta ecuacion y la simetrıa de ∇ implican que

IFuY = ∇uY − c−2g(a, Y )u = ∇uY − [u, Y ] = ∇Y u.

Aplicando el operador IFu a ambos lados de esta ecuacion y usando la defini-cion 38 de la curvatura, obtenemos

IFuIFuY = ∇u∇Y u+ c−2g(u,∇Y u)a− c−2g(a,∇Y u)u= ∇u∇Y u−∇Y (∇uu− a)−∇[u,Y ]−c−2g(a,Y )uu− c−2g(a,∇Y u)u

= R(u, Y )u+∇Y a+ c−2g(∇Y a, u)u+ c−2g(a, Y )a,

donde hemos usado la ecuacion (5.6) y g(u,∇Y u) = Y [g(u, u)]/2 = 0 en elsegundo paso y la ecuacion 0 = Y [g(a, u)] = g(∇Y a, u) + g(a,∇Y u) en el tercerpaso. Denotando por Z⊥ := Z + c−2g(u, Z)u la parte del vector Z ortogonal au concluimos que un vector de desviacion Y satisface la ecuacion

IF 2uY = R(u, Y )u+ (∇Y a)⊥ + c−2g(a, Y )a. (5.7)


En particular para geodesicas, a = 0 y la ecuacion (5.7) se reduce a la ecuacionde desviacion geodesica

∇2uY = R(u, Y )u. (5.8)

Con respecto a un sistema de referencia no-rotante e0 = u/c, e1, e2, e3 podemosexpander Y = Y iei, y dado que ∇uei = IFuei = 0, i = 1, 2, 3, tenemos ∇uY =u[Y i]ei, ∇2

uY = u2[Y i]ei, de tal manera que la ecuacion (5.8) tambien se puedeescribir como

d2

dτ2Y i = c2Ri00jY

j . (5.9)

Esto constituye un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias lineales desegundo orden para las tres componentes (Y 1, Y 2, Y 3) del vector de desviacionY . El vector Y mide la distancia infinitesimal entre dos trayectorias vecinas encaıda libre. La aceleracion de esta distancia esta directamente relacionada conel tensor de curvatura. En particular, si el tensor de curvatura es cero, entoncesel vector de desviacion Y depende linealmente de τ como es el caso para ladistancia que separa dos rectas en el plano Euclideano.

Para lo que sigue resulta ser instructivo comparar la ecuacion (5.9) con ladesviacion entre trayectorias x(t) en la teorıa Newtoniana que se mueven bajola influencia de un potencial gravitacional φ:

xi = −(∂iφ)(x).

Tomando la variacion a ambos lados de esta ecuacion obtenemos

Y i = −(∂i∂jφ)(x)Y j , (5.10)

donde Y i = δxi denota la variacion entre las trayectorias. Comparando estaecuacion con la ecuacion (5.9) de desviacion geodesica, descubrimos la corres-pondencia

Ri0j0 ↔ c−2∂i∂jφ (5.11)

entre el caso relativista y el caso Newtoniano. En particular, la traza de (5.11)da

R00 ↔ c−2∆φ. (5.12)

Al nivel fısico la parte derecha de la ecuacion (5.8) representa la fuerza demarea por unidad de masa inducida por el campo gravitacional. A diferenciade la “fuerza gravitacional por unidad de masa” que no tiene ningun sentidofısico en general, la fuerza de marea tiene un sentido covariante independientedel observador, puesto que corresponde a contracciones de vectores con el tensorde curvatura. En particular, mientras que la “fuerza gravitacional” puede sertransformada a cero a lo largo de una trayectorıa en caıda libre dada, las fuer-zas de mareas no pueden ser transformadas a cero. Concluimos que el campogravitacional g del espacio-tiempo (M, g) se puede medir a traves de la fuerzade marea entre dos partıculas de prueba en caıda libre. De esta manera, se midela metrica g a traves de su curvatura.

5.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN EN VACIO 129

Observacion: Como vimos en la seccion 4.3, las trayectorias de partıculas encaıda libre se obtienen de la primera variacion del funcional

S[γ] =

e2∫e1

√−g(γ, γ) dλ, (5.13)

para curvas γ de tipo tiempo que conectan el evento e1 al evento e2. (Recordamosque S[γ]/c mide el tiempo propio de e1 a e2 a lo largo de la curva γ.) Laecuacion de desviacion geodesica (5.8) se puede obtener de la segunda variaciondel funcional S[γ], ver por ejemplo [11]. La segunda variacion de S[γ] juega unpapel importante en los teoremas de singularidad.

Ejercicio 22. Sea (U,Φ) una carta local del espacio-tiempo donde vale el lımiteNewtoniano. Usando la expresion (4.8), demuestre que en U vale la siguienteexpresion para el tensor de curvatura:

Ri0j0 = ∂i∂j

(φ

c2

).

5.2. Las ecuaciones de Einstein en vacıo

Postulamos un principio variacional para el campo metrico g que es de lasiguiente forma:

S[g] :=∫K

f [g], (5.14)

donde K ⊂ M es un subconjunto compacto del espacio-tiempo M , y dondef [g] ∈ F(M) es una funcion C∞-diferenciable sobre M que depende de g. Te-nemos el siguiente resultado para la variacion de S:

Lema 17 La variacion del funcional S[g] definido en (5.14) es

δS[g] =∫K

[δf [g] +

12fTr(g−1δg)

], (5.15)

donde Tr(g−1δg) := C[g−1 ⊗ δg] = gµνδgµν .

Demostracion. Podemos suponer que K ⊂ U esta enteramente contenidoen una carta local (U, φ); de otra manera usamos una particion de la unidad.


Entonces en las coordenadas locales correspondientes,

δS[g] = δ

∫K

f√|det(gµν)|d4x

=∫K

[δf + f

12gµνδgµν

]√|det(gµν)|d4x

=∫K

[δf +

12fTr(g−1δg)

],

donde usamos el resultado del Lema 12 en el segundo paso.

Ahora nos preguntamos como elegir la funcion f . Queremos que f dependaalgebraicamente de gµν y de sus derivadas parciales. No puede depender nadamas de gµν y de sus derivadas parciales de primer orden, porque si no f serıaconstante. Efectivamente, en el origen de un sistema inercial local tal funcionsolamente dependerıa de ηµν . Entonces para obtener una accion no-trivial nece-sitamos que f dependa de gµν y de sus primeras derivadas parciales de primery de segundo orden. La funcion mas simple que cumple con estos requisitos esel escalar de Ricci, R = Tr(g−1Ric). Esto nos lleva a la accion de Einstein-Hilbert,

SEH [g] :=c3

16πGN

∫K

R[g], (5.16)

donde el factor c3/(16πGN ) con c la velocidad de la luz y GN la constante deNewton se introduce para que SEH tenga las dimensiones de una accion. Vamos acalcular la variacion de SEH con la suposicion que δg y sus derivadas covariantesde primer orden,∇δg, son cero en la frontera ∂K. Para esto necesitamos calcularla variacion del escalar de Ricci, R[g].

Introduciendo coordenadas locales x0, x1, x2, x3 observamos primero

δR[g] = δ(gµνRµν) = gµνδRµν + δ(gµν)Rµν . (5.17)

Para calcular el segundo termino notamos que la variacion de

gµνgνβ = δµβ

daδ(gµν)gνβ + gµνδgνβ = 0,

de tal manera queδ(gµν) = −gµαgνβδgαβ . (5.18)

Para calcular el primer termino en (5.17) calculamos las variaciones de las for-mulas (3.62) y (3.83) y obtenemos

δΓαµν =12gαβ (∇µδgνβ +∇νδgµβ −∇βδgµν) (5.19)

5.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN EN VACIO 131

yδRµν = ∇αδΓαµν −∇νδΓααµ. (5.20)

Usando todo esto en la ecuacion (5.17) obtenemos

δR[g] = −Rµνδgµν + divW, (5.21)

donde W ∈ X (M) es el campo vectorial con componentes Wµ := (gµν∇α −gαν∇µ)δgαν . Introduciendo este resultado en la formula del Lema 17, aplicandoel teorema de Gauss en su forma covariante y usando el hecho de que W |∂K = 0,obtenemos

δSEH [g] = − c3

16πGN

∫K

Tr(Gδg), (5.22)

donde G ∈ T 20(M) es el tensor de Einstein definido por

Gµν := Rµν − 12gµνR. (5.23)

Entonces concluimos que los puntos estacionarios de la accion de Einstein-Hilbert corresponden a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacıo,

Gµν = 0. (5.24)

Observaciones

1. Si no se asume que ∇δg = 0 en la frontera ∂K, la variacion de SEH [g] daterminos adicionales en la frontera que deben ser cancelados modificandola accion de Einstein-Hilbert (ver el apendice E.1 en la referencia [2]).

2. Las ecuaciones Gµν = 0 son equivalentes a Rµν = 0, puesto que la trazadel tensor de Einstein, G := gµνGµν = −R es cero si y solo si R = 0.

3. Las ecuaciones (5.24) constituyen un sistema nolineal acoplado de diezecuaciones con derivadas parciales para las componentes del tensor metri-co gµν . Entonces no es sorprendente que se conozcan solamente pocassoluciones exactas con relevancia fısica.

La solucion mas simple es la metrica de Minkowski, gµν = ηµν para lacual todas las componentes del tensor de curvatura son cero. De hecho,cualquier transformacion de coordenadas,

gµν =∂xα

∂yµ∂xβ

∂yνηαβ

tambien satisface las ecuaciones de Einstein, dado que Gµν son las compo-nentes de un campo tensorial, pero esta nueva solucion solamente repre-senta la metrica de Minkowski en una carta de coordenadas y0, y1, y2, y3

curvilineas. Una solucion no-trivial de las ecuaciones de Einstein en elvacıo se derivara en el proximo capıtulo.


4. La accion (5.16) es invariante bajo difeomorfismos ϕ : M →M que dejanK invariante,

SEH [ϕ∗g] = SEH [g].

En particular, si X ∈ X (M) es un campo vectorial C∞-diferenciable que esidenticamente cero fuera de K, y si ϕλ es el flujo correspondiente, entoncesla familia de metricas g(λ) := (ϕλ)∗g satisface

SEH [g(λ)] = SEH [g].

para todo |λ| suficientemente pequeno. Tomando la variacion a amboslados de esta ecuacion y usando (5.22) obtenemos

0 =d

dλSEH [g(λ)]

∣∣∣∣λ=0

= − c3

16πGN

∫K

Tr(Gδg),

donde

δg =d

dλ(ϕλ)∗g

∣∣∣∣λ=0

= £Xg,

donde tomamos en cuenta la definicion (3.71) de la derivada de Lie. Porotro lado, usando la ecuacion de Killing (3.79), tenemos

Tr(Gδg) = 2Gµν∇µXν = 2∇µ(GµνXν)− 2(∇µGµν)Xν ,

y entonces usando el teorema de Gauss en su forma covariante y el hechode que X|∂K = 0 llegamos a

0 =∫K

g(divG,X)

para todo X ∈ X (M) identicamente cero fuera de K, lo que implica que

divG = 0. (5.25)

Estas son las identidades de Bianchi contraidas (3.99). Entonces dichasidentidades son una consecuencia directa de la invarianza de la accion deEinstein-Hilbert bajo difeomorfismos.

Ejercicio 23.

(a) Sea (M, g) una variedad Lorentziana con dos conexiones, ∇ y ∇ libres detorsion pero no necesariamente compatibles con la metrica g. Demuestreque C(X,Y ) := ∇XY −∇XY , X,Y ∈ X (M) define un campo tensorial deltipo (1, 2) sobre M . Calcule sus componentes en terminos de los sımbolosde Christoffel asociados a ∇ y ∇.

5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA 133

(b) Demuestre que los tensores de curvatura asociados a ∇ y ∇ estan relacio-nados entre ellos a traves de

Rαβµν = Rαβµν + 2∇[µCαν]β + 2Cασ[µC

σν]β ,

donde los parentesis B[µν] := (Bµν −Bνµ)/2 denotan la antisimetrizacionen µν.

(c) Considere la accion de Einstein-Hilbert

S[g,∇] =c3

16πG

∫K

Tr(g−1Ric[∇]),

donde la metrica g y la conexion ∇ se toman como campos indepen-dientes, y donde Ric[∇] es el tensor de Ricci asociado a la conexion ∇.Suponiendo que g y ∇ son ceros en la frontera ∂K, obtenga las ecua-ciones que describen los puntos estacionarios de S y demuestre que sonequivalentes a las ecuaciones de Einstein en el vacıo (5.24).

5.3. Las ecuaciones de Einstein con materia

Ahora consideramos, aparte de la metrica g, un campo de materia Φ. Estecampo puede ser o un campo escalar, en tal caso Φ es una funcion sobre lavariedad, o bien un campo electromagnetico, en tal caso Φ = A es un campo decovectores. En general Φ puede ser cualquier campo tensorial sobre el espacio-tiempo (M, g), posiblemente con grados de libertad internos.1

Supongamos que en relatividad especial, la dinamica de Φ esta descrita porun Lagrangiano que depende de manera algebraica de Φ, de sus primeras deri-vadas parciales ∂µΦ y de la metrica de Minkowki ηµν ,

LM = LM (Φ, ∂µΦ, ηµν).

Suponiendo que LM es un escalar de Lorentz, definimos la accion correspon-diente a la materia a traves de2

SM [Φ] =1c

∫K

LM (Φ, ∂µΦ, ηµν)d4x,

donde K ⊂ R4 es un subconjunto compacto del espacio-tiempo de Minkowski.Como en la mecanica clasica, las ecuaciones de movimiento se obtienen de lospuntos estacionarios de la accion, δSM = 0, suponiendo que la variacion de Φ

1Para los fermiones, Φ es un campo espinorial, pero por simplicidad excluimos este casoen este curso.

2El factor de 1/c en la definicion de SM se pone para que LM y las componentes τ00 deltensor de energıa-impulso tengan las unidades de una densidad de energıa.


es cero en la frontera ∂K del dominio K. El resultado son las ecuaciones deEuler-Lagrange,

∂µΠµ =∂LM∂Φ

, Πµ :=∂LM∂(∂µΦ)

, (5.26)

donde Πµ es el momento canonico. La satisfaccion de las ecuaciones de Euler-Lagrange implican la conservacion del tensor de enrgıa-impulso canonico,

τµν := −Πµ∂νΦ + ηµνLM , ∂µτµν = 0,

lo que a su vez implica la conservacion de la energıa y del momento lineal totaldel sistema,

P ν :=∫R3

τ0νd3x,

asumiendo que Φ decae a cero suficientemente rapido para |x| → ∞.

Ejemplos:

1. La ecuacion de onda con potencial

Φ = F (Φ), F (Φ) := −∂V∂Φ

(Φ),

se obtiene del Lagrangiano

Lescalar(Φ, ∂µΦ) = −12ηµν∂µΦ · ∂νΦ− V (Φ).

El tensor de energıa-impulso canonico es

τµνescalar = ∂µΦ · ∂νΦ− 12ηµν [∂αΦ · ∂αΦ + 2V (Φ)] .

2. Las ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentes se pueden obtener delLagrangiano

Lem(∂µAν) = −14ηµαηνβFµνFαβ , Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.

El momento canonico es

Πµνem =

∂Lem∂(∂µAν)

= −12Fαβ

∂Fαβ∂(∂µAν)

= −Fµν

y el tensor de energıa-impulso canonico es

τµνem = Fµα∂νAα −14ηµνFαβFαβ .


Cuando pasamos a la relatividad general, el principio de equivalencia nosdice que debemos reemplazar ηµν por las componentes de la metrica curva gµνy las derivadas parciales ∂µΦ por las derivadas covariantes ∇µΦ. Con esto, elLagrangiano para la materia tiene la forma

LM = LM (Φ,∇Φ, g), (5.27)

y como antes, suponemos que LM es una funcion sobre la variedad. Entonces laaccion correspondiente es

SM [Φ, g] =1c

∫K

LM (Φ,∇Φ, g), (5.28)

con K ⊂ M compacto. Para simplificar los calculos de abajo, suponemos queK ⊂ U esta contenido dentro de una carta local. La variacion de SM con respectoa Φ dejando la metrica g fija da

δΦSM =1c

∫K

δΦLM (Φ,∇Φ, g)

=1c

∫K

[∂LM∂Φ

δΦ +∂LM∂(∇µΦ)

(∇µδΦ)]

=1c

∫K

[∂LM∂Φ

−∇µ(

∂LM∂(∇µΦ)

)]δΦ +

∫K

∇µ[∂LM∂(∇µΦ)

δΦ],

donde usamos el hecho de que δΦ(∇µΦ) = ∇µδΦ en el segundo paso. Aplicandoel teorema de Gauss podemos convertir la segunda integral en una integral defrontera que es cero si suponemos otra vez que δΦ|∂K = 0. Entonces los puntosestacionarios de SM [Φ, g] con metrica fija g, es decir los campos Φ para los cualesδΦSM [Φ, g] = 0 para todas las variaciones δΦ que son cero en ∂K, satisfacen lasecuaciones de Euler-Lagrange covariantes,

∇ ·Π =∂LM∂Φ

, Π :=∂LM∂(∇Φ)

. (5.29)

Ahora variamos SM con respecto a la metrica g, fijando Φ. Usando el resul-tado del Lema 17 obtenemos

δgSM =1c

∫K

[δgLM +

12LMTr(g−1δg)

]

=1c

∫K

[∂LM∂(∇µΦ)

δg(∇µΦ) +∂LM∂gµν

δgµν +12LMgµνδgµν

].

En general, la expresion ∇µΦ depende de la metrica dado que ∇ es la conexionde Levi-Civita, y en coordenadas locales tiene la forma

∇µΦ...... = ∂µΦ...... + Γ...Φ...... + ...− Γ...Φ......,


de tal manera que

δg(∇µΦ......) = δΓ...Φ...... + ...− δΓ...Φ.......

Por otro lado, vimos en la ecuacion (5.19) que la variacion de los sımbolosde Christoffel forman las componentes de un campo tensorial que se puedeescribir en terminos de las primeras derivadas covariantes de la variacion dela metrica, δg. Aplicando el teorema de Gauss, y asumiendo que δg|∂K = 0podemos factorizar la variacion de g, y podemos escribir la variacon de SM conrespecto a g en la forma

δgSM =12c

∫K

Tr(Tδg) =12c

∫K

Tµνδgµν , (5.30)

donde el campo tensorial T ∈ T 20(M) es simetrico y se llama tensor de

energıa-impulso. De esta manera, el tensor de energıa-impulso tambien sepuede interpretar como la derivada funcional de SM , y se escribe

Tµν := 2cδSMδgµν

. (5.31)

Observaciones:

1. A diferencia del tensor de energıa-impulso canonico τµν , Tµν = T νµ essimetrico por definicion.

2. Se puede mostrar que en relatividad especial siempre es posible sumar untermino a τµν para obtener un nuevo tensor Θµν simetrico con el mismocontenido fısico que τµν . Este tensor coincide precisamente con el tensorTµν definido en (5.31) en el lımite donde gµν = ηµν es la metrica deMinkowski, ver la referencia [12].

3. Podemos usar el mismo tipo de argumentos que en la seccion previa parademostrar que las ecuaciones de Euler-Lagrange y la invarianza de SMbajo difeomorfismos implican que

divT = 0. (5.32)

Para demostrar esta afirmacion, tomamos el flujo ϕλ de un campo vectorialX ∈ X (M) que es identicamente cero fuera de K, y consideramos lavariacion particular Φ(λ) := (ϕλ)∗Φ, g(λ) := (ϕλ)∗g. La invarianza deSM bajo difeomorfismos implica

SM [Φ(λ), g(λ)] = SM [Φ, g]

para todo |λ| suficientemente pequeno. Tomando la variacion a amboslados, encontramos

0 = δSM = δΦSM + δgSM .


La variacion con respecto a Φ es cero si se satisfacen las ecuaciones deEuler-Lagrange (5.29). Usando la definicion del tensor de energıa-impulsoy δgµν = £Xgµν = ∇µXν +∇νXµ concluimos que

0 =∫K

Tµν∇µXν ,

lo que implica la ecuacion (5.32) despues de aplicar el teorema de Gauss.

En el espacio de Minkowski, la ecuacion (5.32) se reduce a ∂µTµν = 0 ycomo vimos, esto da lugar a la conservacion de la energıa y del momentolineal total del sistema. Para espacios curvos, la ecuacion (5.32) no dalugar a ninguna cantidad conservada en general. Efectivamente, para unametrica curva se pierde la invarianza traslacional, y por este motivo no seespera conservacion de energıa o de momento lineal, ni siquiera al nivellocal. Una excepcion es cuando el espacio-tiempo (M, g) admite un vectorde Killing k; en este caso se conserva la corriente Jµ := −Tµνkν , ∇µJµ =0, como vimos en el Lema 14, y el teorema de Gauss covariante da una leyde conservacion. Otra excepcion son los espacio-tiempos asintoticamenteplanos para los cuales se pueden definir la masa y el momento lineal totaldel espacio-tiempo, ver el capıtulo 11 en [2].

Ejemplos: Retomamos los ejemplos de la ecuacion de onda con potencial y dela teorıa de Maxwell, y calculamos el tensor de energıa-impulso en ambos casos:

1. Para la ecuacion de onda con potencial sobre un espacio curvo, la acciones

Sescalar[Φ, g] = − 12c

∫K

[gµν∇µΦ · ∇νΦ + 2V (Φ)] .

Usando la formula (5.18) para la variacion de la metrica inversa y usandoel resultado del Lema 17 encontramos

δgSescalar =12c

∫K

∇µΦ · ∇νΦ− 1

2gµν [∇αΦ · ∇αΦ + 2V (Φ)]

δgµν ,

y obtenemos

Tµνescalar = ∇µΦ · ∇νΦ− 12gµν [∇αΦ · ∇αΦ + 2V (Φ)] .

En el caso particular de un fondo de Minkowski, esto coincide precisamentecon el tensor de energıa-impulso canonico.

2. Para el caso de Maxwell la accion es

Sem(A, g) = − 14c

∫K

gµαgνβFµνFαβ , Fµν = ∇µAν −∇νAµ


y

δgSem =14c

∫K

[(gµσgαρgνβ + gµαgνσgβρ)FµνFαβ −

12gσρFαβFαβ

]δgσρ

=12c

∫K

[FσαF ρα −

14gσρFαβFαβ

]δgσρ.

Entonces el tensor de energıa-impulso es

Tµνem = FµβF νβ −14gµνFαβFαβ .

A diferencia de la expresion correspondiente para el tensor de energıa-impulso canonico, Tµνem es simetrico e invariante bajo transformaciones denorma Aµ 7→ Aµ +∇µχ.

Finalmente, describimos el sistema acoplado formado por el campo gravita-cional g y el campo de materia Φ. La accion para este sistema es la suma de laaccion de Einstein-Hilbert y de la accion material,

S[Φ, g] = SEH [g] + SM [Φ, g], (5.33)

donde SEH [g] esta definido en (5.16) y SM [Φ, g] en (5.28). Las ecuaciones demovimiento corresponden a los puntos estacionarios de S,

0 = δS = δΦS + δgS,

para todas las variaciones de Φ y de g que son cero cerca de ∂K. Fijandog y variando Φ obtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.29), puesto queSEH [g] no depende de los campos materiales. Por otro lado, fijando Φ y variandocon respecto a g obtenemos las ecuaciones de Einstein en presencia de materia,

Gµν =8πGNc4

Tµν . (5.34)

Entonces la materia determina la curvatura del espacio tiempo a traves de lasecuaciones de Einstein. Por otro lado, la curvatura de la metrica afecta los cam-pos materiales a traves de las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.29) covariantes.Este acople en ambas direcciones entre la metrica y los campos materiales haceque sea difıcil encontrar soluciones del sistema total, pues hay que resolver elsistema acoplado (5.29,5.34).

Notamos tambien que las propiedades del tensor de energıa-impulso Tµν soncompatibles con las propiedades correspondientes del tensor de Einstein. Pri-mero, Tµν es simetrico en µν, segundo, su divergencia covariante es cero si sesatisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange, lo que encaja perfectamente con lasimetrıa de Gµν y las identidades de Bianchi contraidas (5.25).

5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS 139

Ejemplo: El sistema acoplado formado por un campo electromagnetico y uncampo gravitacional se describe a traves de las ecuaciones de Einstein-Maxwell,

∇µFµν = 0, Fµν = ∇µAν −∇νAµ, (5.35)

Gµν =8πGNc4

Tµνem =8πGNc4

[FµβF νβ −

14gµνFαβFαβ

]. (5.36)

Dado que la traza del tensor de energıa-impulso es cero en el caso de Maxwell3,gµνT

µνem = 0, las ecuaciones de Einstein son equivalentes a

Rµν =8πGNc4

Tµνem.

5.4. Una formulacion Lagrangiana para los flui-dos relativistas

En la seccion previa vimos dos ejemplos de campos materiales clasicos: elcampo escalar y el campo electromagnetico. En esta seccion vamos a formularun principio variacional para una clase importante de campos materiales queson los fluidos. Aunque a diferencia de los ejemplos previos estos campos no sonfundamentales, su descripcion fenomenologica juega un papel muy importanteen procesos astrofısicos con campos gravitacionales fuertes, como por ejemploun disco de acrecion alrededor de un agujero negro o el colapso gravitacional deuna estrella suficientemente masiva.

Describimos el fluido de la siguiente forma.4 Consideramos una variedadtridimensional Γ que describe el fluido en su forma de reposo. Es decir, cadapunto q ∈ Γ representa un elemento dado del fluido. En este sentido, los puntosq de Γ se pueden interpretar como etiquetas que dan un nombre a cada elementode fluido. El movimiento del fluido esta descrito por un mapeo C∞-diferenciableF : M → Γ del espacio-tiempo (M, g) en Γ que tiene la siguiente interpretacion:q = F (p) es el elemento de fluido que se encuentra en el evento p. Entonces lalınea de flujo γq del elemento de fluido q es

γq := F−1(q) = p ∈M : F (p) = q ⊂M.

Para garantizar que γq sea una curva diferenciable tipo tiempo hacemos lassiguientes suposiciones sobre la diferencial dFp : TpM → TF (p)Γ del mapeoF : Su nucleo, ker(dFp) ⊂ TpM , es de dimension uno y de tipo tiempo paratodo p ∈ M . Por el teorema de la funcion implıcita, esto implica que existe encada evento p ∈ M una unica curva γ : (−ε, ε) → M a traves de p tal queF (γ(t)) = F (p) para todo |t| < ε. Por unicidad, γ ⊂ γq, y concluimos que γqes una curva diferenciable. Su vector tangente up esta en el kernel de dFp paratodo p, dado que

0 =d

dtq =

d

dtF (γq) = dFp(up),

3Esto ya no es cierto en teorıas de la gravedad con dimensiones extra.4De hecho, la misma descripcion se puede usar para cuerpos elasticos, ver por ejemplo la

referencia [12].


y entonces γq es una curva tipo tiempo. Normalizamos u para que g(u, u) = −c2,de tal manera que u sea la cuadrivelocidad del fluido.

Ejemplo: Sean (M, g) = (R4, η) el espacio de Minkowki y (Γ,m) = (R3, δ) elespacio Euclideano. Un flujo homogeneo con velocidad v se describe a traves delmapeo F : M → Γ definido por

y = F (x) = x− tv, (t, x) ∈M.

La lınea de flujo correspondiente al elemento de fluido y es

γy = (t, y + tv) : t ∈ R

y su cuadrivelocidad es

u =1√

1− |v|2

c2

(∂t + v · ∇) .

Para describir la dinamica del fluido vamos a necesitar definir su densidad,aparte de su cuadrivelocidad. Para esto equipamos Γ con una metrica Rieman-niana m que tiene el siguiente papel: El numero N(V ) de partıculas contenidasen un subconjunto compacto V ⊂ Γ del fluido es

N(V ) :=∫V

1.

Si V esta contenido en una carta local (W,ψ) con coordenadas (ya) = (y1, y2, y3),entonces N(V ) =

∫ψ(V )

√det(mab)(ψ−1(y))d3y. En particular, las componentes

mab de m tienen las unidades de uno entre longitud al cuadrado. Mediante elmapeo F : M → Γ, podemos introducir el pull-back de la metrica m sobre M ,

H := F ∗m. (5.37)

Lema 18 El campo tensorial H = F ∗m ∈ T 02(M) satisface las siguientes

propiedades:

(i) H es simetrico: H(X,Y ) = H(Y,X) para todo X,Y ∈ X (M).

(ii) H es semi-positivo: H(X,X) ≥ 0 para todo X ∈ X (M) y H(X,X) = 0 siy solo si X es proporcional a u.

(iii) H es ortogonal a u: H(u, Y ) = 0 para todo Y ∈ X (M).

(iv) H es invariante con respecto al flujo de u: £uH = 0.

Demostracion. (i) es una consecuencia directa de la simetrıa de m. Paraver (ii) tomamos X ∈ X (M). Entonces H(X,X) = m(dF (X), dF (X)) ≥ 0y H(X,X) = 0 si y solo si dF (X) = 0. Como ker(dF ) es generado por elvector u, esto es equivalente a decir que X es proporcional a u. Para (iii)


tomamos Y ∈ X (M). Entonces H(u, Y ) = m(dF (u), dF (Y )) = 0, dado queu ∈ ker(dF ). Para demostrar (iv) notamos primero que si ϕt es el flujo de u,entonces t 7→ ϕt(p) es la lınea de flujo a traves del punto p y F ϕt(p) = F (p)para todo (t, p) ∈ D. Entonces

£uH =d

dt

∣∣∣∣t=0

(ϕt)∗H =d

dt

∣∣∣∣t=0

(F ϕt)∗m =d

dt

∣∣∣∣t=0

F ∗m = 0.

A continuacion, definimos la densidad de partıculas n ∈ F(M) y la co-rriente de partıculas J ∈ X (M). Para esto, tomamos una tetrada e0, e1, e2, e3

tal que e0 = u/c y consideramos las componentes Hab := H(ea, eb), a, b = 1, 2, 3del pull-back de la metrica m. Entonces definimos

n :=√

det(Hab), J := nu. (5.38)

Observamos primero que la definicion de n es independiente de la orientacionde los tres vectores e1, e2, e3, porque si R = (Rab) ∈ O(3) es una rotacion ouna inversion de la paridad y e′a := Ra

beb, entonces H ′ab = RacRb

dHcd de talmanera que det(H ′ab) = det(Hab)|det(R)|2 = det(Hab). Luego, demostramosque la corriente J es conservada.

Teorema 12 La corriente J = nu satisface divJ = 0.

Demostracion. Vamos a calcular el cambio infinitesimal £un = u[n] de ladensidad de partıculas a lo largo de una lınea de flujo. Usando el resultado delLema 12 encontramos primero que

2n£un = £u(n2) = n2Habu[Hab] = n2Hab [(£uH)(ea, eb) + 2H(ea,£ueb)] ,

donde Hab denota las componentes de la matriz inversa a (Hab). El primertermino a la derecha es cero dado el resultado del Lema 18(iv). Para evaluarel segundo termino usamos la simetrıa de la conexion para escribir £ueb =∇ueb−∇ebu. Para analizar el primer termino desarrollamos∇ueb = Abu+Cbcec.Puesto que

0 = (∇ug)(ea, eb) = u[g(ea, eb)] + g(∇uea, eb) + g(ea,∇ueb)= Ca

cδcb + Cbcδac = Cab + Cba,

Cab es antisimetrico, y por lo tanto, HabH(ea,∇ueb) = HabCbcHac = δbcCb

c =0. Finalmente, desarrollamos ∇ebu = Bcbec, y encontramos HabH(ea,∇ebu) =HabBcbHac = δbcB

cb = divu. Concluimos que

£un = −nHabH(ea,∇ebu) = −ndivu,

o div (nu) = 0.


Mediante el teorema de Gauss, ver el Teorema 5, la ecuacion div J = 0implica que el flujo total, ∫

∂Ω

ν(J) =∫Ω

div J = 0,

de J a traves de la frontera ∂Ω de una region Ω ⊂M del espacio-tiempo es cero.Esto refleja la conservacion del numero de partıculas. En particular podemosaplicar este resultado a un region del espacio-tiempo de la siguiente forma:

Ωε := ϕt(p) : 0 ≤ t ≤ ε, p ∈ S,

donde S es una superficie tridimensional espacial y compacta S, con frontera∂S suave, que fluye a lo largo del flujo ϕt de u. La frontera de Ωε consiste de lasuperficie inicial S0 = S, de la superficie final, Sε = ϕε(S), y de la superficie defrontera T := ϕt(p) : 0 ≤ t ≤ ε, p ∈ ∂S. La integral sobre T es cero, dado queel campo de covectores normal unitario aniquila J : ν(u) = 0 sobre T . Entoncesobtenemos la ley de conservacion

N(S) :=∫S

αdt(J) =∫Sε

αdt(J)

para el numero de partıculas N(S) contenidas en el interior de las superficiesSε, donde α > 0 es una funcion que normaliza dt. Con respecto a coordenadasLagrangianas x0 = ct, x1, x2, x3 adaptadas a u y S de tal manera que

∂

∂x0=

1cu,

∂

∂xjtangente a St, j = 1, 2, 3,

tenemos dt(J) = ndt(u) = n y entonces

N(S) =∫

φ(S)

n(φ−1(x))√−det(gµν)(φ−1(x))d3x,

donde suponemos que S ⊂ U se encuentre dentro de la region de validez de lacarta Lagrangiana (U, φ) de M .

Por otro lado, tenemos el resultado siguiente:

Lema 19 Sean x0, x1, x2, x3 coordenadas locales tales que u = c ∂∂x0 . Entonces

podemos escribir la densidad de partıculas n de la siguiente forma,

n =

√det(Hij)−det(gµν)

,

donde Hij = H(∂∂xi ,

∂∂xj

), i, j = 1, 2, 3.


Demostracion. Sea e0 = u/c, e1, e2, e3 una tetrada adaptada a las lıneas delfluido. Podemos expander

eα = Aα∂

∂x0+Bα

i ∂

∂xi.

Dado que e0 = u/c tenemos A0 = 1 y B0i = 0. Puesto que H es ortogonal a u

tenemosHab = H(ea, eb) = Ba

iBbjHij ,

de tal manera que det(Hab) = det(Hij)|det(Bai)|2. Por otro lado,

gµν = ηαβeαµeβ

ν ,

de tal manera que det(gµν) = det(ηαβ)|det(eαµ)|2 = −|det(Bai)|2.

Dado este resultado, podemos escribir

N(S) =∫

φ(S)

√det(Hij)(φ−1(x))d3x.

Finalmente, podemos reescribir esta integral como una integral sobre la regionV := F (S) en Γ. Para esto, expandemos la diferencial de F en terminos de lascoordenadas locales Lagrangianas xµ de M y de coordenadas locales ya de Γ,

dF (X) =∂F a

∂xµXµ ∂

∂ya, X = Xµ ∂

∂xµ.

Entonces

Hij = H

(∂

∂xi,∂

∂xj

)= m

(dF

(∂

∂xi

), dF

(∂

∂xi

))=∂F a

∂xi∂F b

∂xjmab,

para i, j = 1, 2, 3, y√det(Hij) =

√det(mab)

∣∣∣∣det(∂F a

∂xi

)∣∣∣∣ .Aplicando la regla de sustitucion de variables ya = F a(x1, x2, x3), obtenemos

N(S) =∫

φ(S)

√det(Hij)(φ−1(x))d3x

=∫

φ(S)

√det(mab)(φ−1(x))

∣∣∣∣det(∂F a

∂xi

)∣∣∣∣ d3x

=∫

ψ(V )

√det(mab)(ψ−1(y))d3y,


lo que es precisamente el numero de partıculas contenidas en el volumen V deΓ.

A continuacion queremos describir la dinamica del fluido. Para simplificar eltratamiento vamos a hacer un par de suposiciones. Primero, vamos a despreciarlos efectos de viscosidad y de transporte de calor. En este sentido, el fluido queconsideramos es perfecto. Segundo, suponemos que la entropıa de cada elementode fluido no cambia en el tiempo. Con estas suposiciones, la accion toma la formasiguiente,

SM [F, g] =1c

∫K

LM (F, n),

donde el Lagrangiano depende algebraicamente del mapeo F y de la densidadde partıculas n. De manera mas precisa introducimos las siguientes cantidades:

v := 1/n: el volumen por partıcula,

ε(F, v): la energıa interna del elemento de fluido F ,

p := − ∂ε∂v : la presion.

Entonces el Lagrangiano LM (n) = −nε(F, v) representa menos la densidad deenergıa. Para calcular las variaciones de SM necesitamos los siguientes resulta-dos:

Lema 20 Las derivadas de la densidad de partıculas n con respecto a los camposF a, ∂µF a y gµν son dados por

(i) ∂n∂Fa = 0,

(ii) ∂n∂(∂µF c)

= nmcd∂Fd

∂xν Hµν , donde Hµν := Habea

µebµ,

(iii) ∂n∂gµν

= −n2hµν , donde hµν := δabea

µebν = gµν + 1

c2uµuν .

Demostracion. Usando otra vez el resultado del Lema 12, calculamos la va-riacion de n2 = det(Hab) con respecto a F y g:

2nδn = δ(n2) = n2HabδHab,

de dondeδn =

n

2HabδHab. (5.39)

Luego, Hab = H(ea, eb) = m(dF (ea), dF (eb)) = mcd∂F c

∂xµ∂Fd

∂xν eaµeb

ν , lo que im-plica

δn = nHab

[mcdδ

(∂F c

∂xµ

)∂F d

∂xνeaµeb

ν +mcd∂F c

∂xµ∂F d

∂xνδ(eaµ)ebν

]= nmcdδ

(∂F c

∂xµ

)∂F d

∂xνHµν + nHabHµνδ(eaµ)ebν .


Por otro lado, podemos expander δea = Aae0 + Bacec. Variando la ecuacion

δab = g(ea, eb) con respecto a g, obtenemos

0 = (δg)(ea, eb) + g(Aae0 +Bacec, eb) + g(ea, Abe0 +Bb

cec)= (δg)(ea, eb) +Ba

cδcb +Bbcδac,

lo que implica la ecuacion B(ab) = −(δg)(ea, eb)/2 para la parte simetrica deBab. Con esto encontramos

HabHµνδ(eaµ)ebν = HabH(δea, eb) = HabH(Aae0 +Bacec, eb)

= HabBacHcb = δabBab = −1

2δab(δg)(ea, eb)

= −12hµνδgµν .

donde usamos e0 = u/c y el hecho de que H es ortogonal a u en el tercer paso.

Para encontrar las ecuaciones de campo usamos

∂LM∂n

= −ε+1n

∂ε

∂v= − 1

n(p+ nε)

y la definicion del tensor de energıa-impuslo Tµν ,∫K

Tµνδgµν = 2cδgSM =∫K

(2δgLM + LMgµνδgµν)

=∫K

[(p+ nε)hµν − nεgµν ] δgµν

y obtenemos

−∇µΠµc =

∂LM∂F c

, Πµc = −(p+ nε)Hµνmcd

∂F d

∂xν(5.40)

Gµν =8πGNc4

Tµν , Tµν =nε

c2uµuν + phµν . (5.41)

Estas son las ecuaciones acopladas para los campos F y g, dada una ecuacion deestado ε = ε(F, v), v = 1/n. En la practica, conviene reescribir las ecuaciones deEuler-Lagrange (5.40) de otra forma. Como demostramos en la seccion anterior,estas ecuaciones implican que el tensor de energıa-impulso tiene divergencia cero.Como vamos a demostrar ahora, la ecuacion∇µTµν = 0 es, de hecho, equivalentea las ecuaciones de movimiento (5.40). Para ver esto, notamos primero que lageneralizacion a la relatividad general de la expresion del tensor de energıa-impulso canonico es

τµν = −Πµc∇νF c + gµνLM .


Usando el resultado del Lema 20 y el hecho de que F c se comporta como unescalar sobre M , encontramos

−Πµc∇νF c = (p+ nε)mcd

∂F d

∂xσHµσgνρ

∂F c

∂xρ= (p+ nε)gνρHσρH

µσ

Luego, gνρHσρHµσ = ηαβeα

νeβρHσρH

cdecµed

σ = ηαβeανHβdH

cdecµ = δacea

νecµ =

hµν . Con esto encontramos que

τµν = (p+ nε)hµν − gµνnε = Tµν ,

es decir, la generalizacion covariante del tensor de energıa-impulso canonico esexactamente Tµν . Por otro lado,

∇µTµν = ∇µτµν = −(∇µΠµc)∇νF c −Πµ

c∇µ∇νF c +∇νLM

=[∂LM∂F c

−∇µΠµc

]gνρ

∂F c

∂xρ+ Πµ

c(∇ν∇µ −∇µ∇ν)F c

=[∂LM∂F c

−∇µΠµc

]gνρ

∂F c

∂xρ. (5.42)

Puesto que el rango de dFp es maximal, las ecuaciones de Euler-Lagrange ∂LM∂F c −

∇µΠµc = 0 se satisfacen si y solo si la divergencia covariante del tensor de

energıa-impulso es cero.Podemos escribir las ecuaciones ∇µTµν = 0 de forma mas explıcita, notando

que un observador que se mueve sobre una de las lıneas de flujo del fluido mide lassiguientes componentes del tensor de energıa-impulso con respecto a un sistemade referencia no-rotante e0 = u/c, e1, e2, e3:

T00 = nε (densidad de energıa)T0j = 0 (flujo de energıa cero)

Tij = pδij (tension diagonal)

En terminos de las cantidades

ρ := nε (densidad de energıa),θ := ∇µuµ (expansion),

aµ := ∇uuµ = uν∇νuµ (aceleracion),

la ecuacion ∇µTµν = 0 da

1c2

[(∇uρ)uν + (ρ+ p)θuν + (ρ+ p)aν ] + hµν∇µp. (5.43)

Las componentes paralelas y ortogonales a u dan las ecuaciones relativistas decontinuidad y de Euler,

∇uρ = −(ρ+ p)θ, (5.44)(ρ+ p)aµ = −c2hµν∇νp, (5.45)

respectivamente.


5.5. El lımite Newtoniano

En esta seccion vamos a demostrar que en el lımite Newtoniano, las ecuacio-nes de Einstein (5.34) se reducen a la ecuacion de Poisson. Para esto, partimosde basicamente las mismas suposiciones (i),(ii) y (iii) que en la seccion 4.4,salvo la suposicion (iii) que debe ser adaptada a condiciones sobre el tensorde energıa-impulso. Entonces postulamos la existencia de coordenadas localesx0 = ct, x1, x2, x3 en una region del espacio-tiempo tales que

(i) La metrica es casi plana, es decir,

gµν = ηµν + hµν , |hµν | 1,

donde (ηµν) = diag(−1, 1, 1, 1) es la metrica de Minkowski.

(ii) 1c |∂thµν | |∂ihµν |, i = 1, 2, 3.

(iii) La componente T00 del tensor de energıa-impulso domina, es decir |Tµj | |T00| para todo µ = 0, 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3.

La suposicion (iii) se puede justificar facilmente en el caso del fluido perfectoconsiderado en la seccion previa, donde Tµν = (nε + p)uµuν/c2 + pgµν . En ellımite Newtoniano, la energıa interna de un elemento de fluido se puede escribircomo

ε(v) = m0c2 + εN (v), |εN (v)| m0c

2,

donde m0c2 representa la energıa de reposo y εN (v) la energıa interna Newto-

niana. Suponiendo que εN (v) no varia mucho en v, concluimos que la presion

p = − ∂ε∂v

= −∂εN∂v

es mucho mas pequena que la densidad de energıa ρ = nε. Usando esto con(uµ/c) = γ(−1, v/c) y |v| c encontramos que T00 ≈ nm0c

2 = ρ0c2, donde

ρ0 = nm0 describe la densidad de masa de reposo, y Tµj ≈ 0 en la aproximacionNewtoniana, lo que justifica la suposicion (iii).

Ahora calculamos las componentes del tensor de Ricci bajo las suposiciones(i) y (ii),

Rµν = ∂αΓαµν − ∂νΓααµ +O(Γ2),

donde

Γαµν =12ηαβ [∂µhνβ + ∂νhµβ − ∂βhµν ] +O(h2).

Despreciando terminos que son por lo menos cuadraticos en hµν y v/c y usandola hipotesis (ii) encontramos, en particular, que

R00 = ∂kΓk00, Γk00 = −12∂kh00.


Usando la correspondencia (4.7) entre h00 = −2φ/c2 y el potencial gravitacionalNewtoniano φ encontramos que

R00 =1c2

∆φ, (5.46)

como se esperaba de la correspondencia (5.12). Por otro lado, las ecuaciones deEinstein (5.34) son equivalentes a

Rµν =8πGNc4

(Tµν −

12gµνg

αβTαβ

). (5.47)

Calculando las componentes 00 de la parte derecha tomando en cuenta la con-dicion (iii) encontramos

8πGNc4

(T00 −

12T00

)=

4πGNT00

c4.

Comparando con (5.46) obtenemos la ecuacion de Poisson,

∆φ = 4πGNρ0, (5.48)

para la densidad de masa ρ0 = T00/c2.

Ejercicio 24. Demuestre que las componentes 0j y ij, i, j = 1, 2, 3, de la ecua-cion (5.47) son compatibles con la ecuacion de Poisson en el lımite Newtonianosiempre y cuando

h0j = 0, hij = −δij2φc2.

Ejercicio 25. Las ecuaciones Rµν = 4πGNc−4Tµν tambien poseen el lımiteNewtoniano correcto. Sin embargo, tienen un problema, ¿cual es?

Ejercicio 26. Demuestre que en el lımite Newtoniano las ecuaciones (5.44,5.45)se reducen a la ecuacion de continuidad y las ecuaciones de Euler no-relativistas,

ρ0 +∇ · (ρ0v) = 0, (5.49)ρ0 [v + (∇ · v)v] = −∇p− ρ0∇φ. (5.50)

Ejercicio 27. Considere un teorıa escalar donde el campo gravitacional sedescribe a traves de una metrica conformemente plana, gµν = Ω2ηµν , dondeΩ ∈ F(M) es una funcion positiva y ηµν es la metrica plana de Minkowksi. Enesta teorıa, se hacen los siguientes postulados:

Las partıculas de prueba en caıda libre siguen geodesicas de tipo tiempo.


La dinamica del campo gravitacional esta determinada por las siguientesecuaciones de campo,

R = κT, (5.51)

con R el escalar de Ricci, T la traza del tensor de energıa-impulso y κ unaconstante de acoplamiento.

(a) Muestre que R = −6Ω−3ηµν∂µ∂νΩ.

(b) Elija la constante κ de tal manera que la teorıa posea el lımite Newtonianocorrecto. ¿Cual es la relacion entre el factor conforme Ω y el potencialgravitacional Newtoniano φ?

(c) Compare (5.51) con la ecuacion correspondiente (2.3) del capıtulo 2.


Capıtulo 6

La solucion deSchwarzschild

En este capıtulo analizamos las soluciones esfericamente simetricas de lasecuaciones de Einstein en el vacıo. La metrica correspondiente fue encontradapor Karl Schwarzschild en 1916, solamente dos meses despues de que Ein-stein publico sus ecuaciones de campo. Fısicamente la metrica de Schwarzschilddescribe el campo gravitacional en el exterior de una distribucion de masa esfe-ricamente simetrica. Como vamos a ver, si esta distribucion de masa esta con-centrada en una region suficientemente pequena, la metrica de Schwarzschilddescribe un agujero negro.

Empezamos con la derivacion de la metrica de Schwarzschild en la seccionque sigue. Las propiedades fısicas y geometricas de la metrica se discuten en lassecciones posteriores.

6.1. La derivacion de la solucion de Schwarz-schild

151

152 CAPITULO 6. LA SOLUCION DE SCHWARZSCHILD

Capıtulo 7

Campos gravitacionalesdebiles

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154 CAPITULO 7. CAMPOS GRAVITACIONALES DEBILES

Capıtulo 8

Los universos deFriedmann-Lemaıtre

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156 CAPITULO 8. LOS UNIVERSOS DE FRIEDMANN-LEMAITRE

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Relatividad General - Instituto de Física y Matemáticassarbach/teaching/maestria/rg13/RG.pdfLa relatividad general tambi en predice varios nuevos efectos (corrimiento al rojo, ondas