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Escalares y Vectores

Alfredo Enrique Lora M

Dpto. de FísicaUniversidad del Norte

January 26, 2013

Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 1 / 36

Precursores (1/3)

Galileo Galilei Sir. Isaac Newton Leohnard Euler(1564-1642) (1642-1727) (1707-1783)


Precursores (2/3)

Jean D Alembert Joseph Lagrange Pierre Laplace(1717-1783) (1736-1813) (1749-1827)


Precursores (3/3)

Siméon Poisson Gaspard Coriolis Albert Einstein(1781-1840) (1792-1843) (1879-1955)


Magnitudes

Fundamentales: No son definibles en términos de otras magnitudes.Ejemplos

Masa⇐⇒ [m] = MTiempo ⇐⇒ [t] = TLongitud ⇐⇒ [l] = LCarga Electrica ⇐⇒ [C]

Derivadas: Son definibles en términos de las magnitudesfundamentales.

Ejemplos

Area ⇐⇒ [A] = L.L = L2

Volumen ⇐⇒ [V] = L.L.L = L3

Velocidad ⇐⇒ [~v] = LT

Aceleración ⇐⇒ [~a] = LT2

Momentun Lineal ⇐⇒ [~p] = MLT

Fuerza ⇐⇒[~F]= ML

T2

Energía ⇐⇒ [E] = ML2

T2


Magnitudes

Fundamentales: No son definibles en términos de otras magnitudes.Ejemplos

Masa⇐⇒ [m] = MTiempo ⇐⇒ [t] = TLongitud ⇐⇒ [l] = LCarga Electrica ⇐⇒ [C]

Derivadas: Son definibles en términos de las magnitudesfundamentales.

Ejemplos

Area ⇐⇒ [A] = L.L = L2

Volumen ⇐⇒ [V] = L.L.L = L3

Velocidad ⇐⇒ [~v] = LT

Aceleración ⇐⇒ [~a] = LT2

Momentun Lineal ⇐⇒ [~p] = MLT

Fuerza ⇐⇒[~F]= ML

T2

Energía ⇐⇒ [E] = ML2

T2


Unidades y sistemas de medida usuales

Unidad S. I S. Gaussiano U. S. C. Uz

Masa Kilogramo ( kg) Gramo ( g) Slug (S lg)Longitud Metro (m) Centímetro ( cm) Foot ( ft)Tiempo Segundo ( s) Segundo ( s) Segundo ( s)

z U.S. Customary Units



Escalares: Se especifican completamente dando solo su magnitud(número + unidades)

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30◦C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Vector: Se especifican completamente dando su magnitud (número +unidades), dirección y sentido.

Ejemplos

Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30◦ E, dirigido hacia arriba.Fuerza: ~F = 9.8 N, E 15◦ S dirigida hacia abajo.Aceleración: ~g = −9.8 m/ s2 = −32 ft/ s2 .Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.



Escalares: Se especifican completamente dando solo su magnitud(número + unidades)

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30◦C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Vector: Se especifican completamente dando su magnitud (número +unidades), dirección y sentido.

Ejemplos

Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30◦ E, dirigido hacia arriba.Fuerza: ~F = 9.8 N, E 15◦ S dirigida hacia abajo.Aceleración: ~g = −9.8 m/ s2 = −32 ft/ s2 .Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.


Representación geométrica y algebráica de un vector

A

θx

y

Línea de acción del vector

Direccióndel vector

El símbolo ~A es la representación algebráica de la cantidad vectorial A

Su norma, magnitud o módulo, se denota por A o bien∥∥∥~A∥∥∥

En la gráfica A =∥∥∥~A∥∥∥ = 7u. Observación: A =

∥∥∥~A∥∥∥ ≥ 0

El ángulo θ define la dirección de la cantidad vectorial A.Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 8 / 36

Suma de vectoresMétodo del polígono

La suma de vectores es conmutativa.

La suma de vectores es asociativa.

Cuando el resultado obtenido al sumar n vectores es un polígonocerrado, entonces la resultante ~R =~0: Vector cero o nulo.












Suma de vectoresMétodo del paralelográmo

Toda cantidad vectorial debe obedecer la regla del paralelogramo.Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 10 / 36

Iustración


Resta de vectoresEl negativo o el opuesto de un vector

El negativo de un vector ~A se denota por −~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y−~A son antiparalelos.

La resta de dos vectores ~A y ~B se define

~A− ~B = ~A+(−~B)

Ilustración



El negativo de un vector ~A se denota por −~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y−~A son antiparalelos.La resta de dos vectores ~A y ~B se define

~A− ~B = ~A+(−~B)

Ilustración




~A− ~B = ~A+(−~B)

Ilustración




~A− ~B = ~A+(−~B)

Ilustración


Producto de un vector por un escalar

El vector k~A donde k ∈ R, k 6= 0, se caracteriza por.∥∥∥k~A∥∥∥ = |k| ∥∥∥~A∥∥∥

Si k > 0 =⇒ k~A ‖ ~A

Si k < 0 =⇒ k~A ‖ −~A.

Ilustración


Producto de un vector por un escalar

El vector k~A donde k ∈ R, k 6= 0, se caracteriza por.∥∥∥k~A∥∥∥ = |k| ∥∥∥~A∥∥∥

Si k > 0 =⇒ k~A ‖ ~A

Si k < 0 =⇒ k~A ‖ −~A.

Ilustración


Vectores unitarios

Dado un vector ~A, el vector unitario en la dirección de ~A se denotapor a y se define como

a =~A∥∥∥~A∥∥∥ ⇐⇒ ~A =

∥∥∥~A∥∥∥ a

a se caracteriza por que tiene magnitud 1 y define una dirección dada.

Ilustración

aA


Vectores unitarios

Dado un vector ~A, el vector unitario en la dirección de ~A se denotapor a y se define como

a =~A∥∥∥~A∥∥∥ ⇐⇒ ~A =

∥∥∥~A∥∥∥ a

a se caracteriza por que tiene magnitud 1 y define una dirección dada.

Ilustración

aA


Vectores unitarios Cartesianos

Para R2

El conjunto {ı, } forma una base para R2.

~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay



Para R2

El conjunto {ı, } forma una base para R2.

~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay



Para R3

y

z

x

k

ji

z

y

x

Fy

Fz

Fx

F

El conjunto {ı, , k} forma una base para R3.

~F = ~Fx + ~Fy + ~Fz = Fx ı+ Fy + Fz k


Componentes rectangulares de un vectorEn el plano

En la figura:~Ax = Ax ı y ~Ay = Ay se llaman los vectores componentesrectangulares de ~A.Ax y Ay son las componentes rectangulares de ~A.

Además:~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay (1)


También de la figura

Ax = A cos θ y Ay = A sin θ

Sustituyendo en (1)

~A = A cos θ ı+ A sin θ (2)

Igualmente, de la figura, se obtiene para ~A:Su magnitud

A =√

A2x + A2

y (3)

Su dirección

θ = tan−1(

Ay

Ax

)(4)


Criterio de igualdad entre vectores

Dos vectores~A = Ax ı+ Ay + Az k

~B = Bx ı+ By + Bz k

son iguales, en cuyo caso se escribe

~A = ~B⇐⇒ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz

Equivalentemente

Dos vectores son iguales si y solo si tienen iguales magnitud, dirección ysentido






~A = ~B

⇐⇒ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz

Equivalentemente








Equivalentemente








Equivalentemente



Suma de vectores (Método de la componentesrectangulares)

Dados los vectores

~A1 = A1x ı+ A1y + A1z k, ~A2 = A2x ı+ A2y + A2z k, ...~An = Anx ı+ An1y + Anz k, n = 1, 2, 3...

Su resultante se determina según

~R = ~A1 + ~A2 + ...+ ~An =(

A1x ı+ A1y + A1z k)+(

A2x ı+ A2y

+A2z k)

...+ ...(

Anx ı+ An1y + Anz k)

Aplicando distributiva

~R = Rx ı+ Ry + Rz k = (A1x + A2x + ...+ Anx) ı+(

A1y + A2y+

...+ Any)

+ (A1z + A2z + ...+ Anz) k

O equivalentemente


~R = Rx ı+ Ry + Rz k =n

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aiz k

Aplicando el criterio de igualdad entre vectores

Rx =n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz

Si cada ~Ai ∈ R2, entonces Rz = 0. Ilustración:



∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aiz k


Rx =n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz




∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aiz k


Rx =n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz

Si cada ~Ai ∈ R2, entonces Rz = 0.

Ilustración:



∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aiz k


Rx =n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz



EjerciciosEjercicio 1

Si ~M y ~N son los vectores representados en la figura y la resultante~R = ~M+ ~N + ~S = 5 ı− 2 , Halle el vector ~S.

x

y

N

M


Ejercicio 2

Dos cables con tensiones conocidas están atados al extremo superior deuna torre AB. Si se usa un tercer cable AC como tirante de alambre,determine la tensión en el cable AC sabiendo que la resultante de todaslas fuerzas que actuan sobre el extremo superior de la torre (punto A)debe ser vertical. Halle también la magnitud de dicha resultante.

24m

32m

20kN45kN

12o30o

A

B C


Ejercicio 3

Determine la resultante de todas las tensiones que actuan sobre unapartícula situada en el origen del sistema coordenado como se ilustra en lafigura


Ejercicio 4

While steadily pushing the machine up an incline, a person exerts a 180 Nforce P as shown. Determine the components of P which are parallel andperpendicular to the incline


Ejercicio 5

Determine the resultant ~R of the two forces applied to the bracket. Write~R in terms of unit vectors along the (x− y) and (x′ − y′) axes shown.Compare your answers. What can you conclude?


Ejercicio 6

The guy cables AB and AC are attached to top the transmission tower.The tension T in the cable AC is 8 kN. Determine the required tension Tin cable AB such that the net efect of the two cable tensions is adownward force at point A. Determine the magnitud R of this downwardforce. Ans. T = 5.68 kN, R = 10.21 kN.


Ejercicio 7

Determine la resultante de las fuerzas que actuan sobre el perno de lafigura el cual se encuentra localizado en el punto A.


Ejercicio 8

En el punto C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en lafigura. Si se sabe que α = 20 ◦, determine la tensión en los cables AC yBC. Asuma que el sistema está en equilibrio.


Ejercicio 9

En el punto C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en lafigura. Si se sabe que la tensión máxima permisible en cada cable es de800 N, determine la magnitud de la fuerza máxima ~P que puede aplicarseen C y el valor correspondiente al ángulo α. Asuma que el sistema está enequilibrio.


Ejercicio 10

Una carga ~Q de magnitud 1800 N se aplica a la polea C, la cual puederodar sobre el cable ACB. La polea se sostiene en la posición mostrada enla figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa a través de lapolea A y sostiene una carga ~P. Determine la tensión en el cable ACB y lamagnitud de la carga ~P. Asuma que el sistema está en equilibrio.


Ejercicio 11

Si en la figura α = 75 ◦, determine la resultante de las fuerzas que actuansobre el bloque. Asuma que los efectos del peso del bloque y la reacciónde la supeficie del plano sobre el mismo, estan de alguna forma, implícitosen las fuerzas mostradas en la figura.


Ejercicio 12

The two structural members, one of which is in tension and the other incompression, exert the indicated forces on joint O. Determine themagnitud of the resultant R of the two forces and the angle θ which Rmakes with the positive x−axis.


Ejercicio 13

At what angle θ must the 800lb force be applied in order than theresultant R of the two forces has a magnitude of 2000lb? For thiscondition, determine the angle β between R and the vertical?


Ejercicio 14

At what angle θ must the 400lb force be applied in order than theresultant R of the two forces has a magnitude of 1000lb? For thiscondition, determine the angle β between R and the vertical?

400lb

700lb O

q


Referencias

[1] Física para Ciencias e Ingeniería. Quinta edición. Tomo 1 Serway &Beichner. Ed. Mc. Graw-Hill.

[2] Física cuarta edición. Vol. 1 Resnick Halliday & Krane. Ed. CECSA.

[3] Física Universitaria. Duodecima edición. Vol. 1. Sears, Semansky,Young & Freedman. Ed. Pearson-Addison Wesley.

[4] Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica. Novena edición. Beer,Jonhston & Cornwell. Ed. Mc. Graw-Hill.

[5] Engineering Mechanics. Dynamics. Sixth Edition. J.L Meriam & L.G.Kraige. John Wiley.


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