Referências Bibliográficas - Bibliotecas PUC-Rioªncias Bibliográficas 110 ISSA R.I., KEMPF M.H.W., Simulation of slug flow in horizontal and nearly horizontal pipes with the two-fluid

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APÊNDICE A

Para selecionar a malha a ser utilizada, de forma a obter a precisão desejada

com baixo esforço computacional, é necessário investigar a influência na solução

de distintas malhas, de forma a garantir a independência da solução com a malha

computacional. Neste trabalho foram testadas três malhas, no mesmo domínio

computacional (mesma geometria), com uma distribuição e quantidade de nós

computacionais como indicado na Tab. 4.1 (repetida aqui por conveniência) e com

uma secção transversal como é mostrada na Fig. 4.3.

Tabela 4.1- Teste de Malha

Total de VC VC na seção transversal VC na direção axial

Malha 1 5 100 102 50

Malha 2 29 000 290 100

Malha 3 232 000 1160 200

Os casos selecionados para serem testados correspondem aos Casos 2 e 11,

descritos no Capítulo 5, por serem os testes de menor e maior vazão,

respectivamente.

1.1. Perfis de Velocidade

A grandeza utilizada para comparação nos testes foi o componente axial da

velocidade, nas coordenadas descritas na Fig. 5.17, porque é a grandeza fornecida

pelos dados experimentais. Nesta secção, são apresentados apenas os perfis nas

coordenadas -0,8D, -0,2D, +0,2D e +0,8D.

A Figura A.1 ilustra os perfis de velocidade para o Caso 2 nas coordenadas

-0,8D e -0,2D, localizadas a jusante do nariz da bolha. Pode-se observar na Fig.

A.1 que a Malha 2 (cor vermelha) apresenta perfis bem próximos aos perfis

obtidos com a malha mais fina, Malha 3 (cor preto). Similares resultados são

obtidos para as coordenadas +0,2D e +0,8D, como apresentado na Fig. A.2.

DBD


APÊNDICE A 116

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R

W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a)-0,8D b)-0,2D Figura A.1- Perfis de velocidade para o Caso 2 na zona a jusante do nariz da bolha.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a)+0,2D b)+0,8D Figura A.2- Perfis de velocidade para o Caso 2 na zona a montante do nariz da bolha.

Para o Caso 11, os perfis do componente axial da velocidade a jusante do

nariz da bolha encontram-se na Fig. A.3, enquanto que os perfis à montante da

bolha encontram-se na Fig. A.4. Observa-se que neste caso, a influência da malha

é menor, e assim com observado no Caso 2, os resultados da Malha 2 encontram-

se bem próximos aos resultados obtidos com a Malha 3.

De acordo com estes resultados selecionou-se a Malha 2, uma vez que um

refinamento adicional na malha só traz um maior esforço computacional, sem

fornecer um aumento na acurácia.

DBD


APÊNDICE A 117

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a)-0,8D b)-0,2D Figura A.3- Perfis de velocidade para o Caso 11 na zona a jusante do nariz da bolha.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a)-0,8D b)-0,2D Figura A.4- Perfis de velocidade para o Caso 11 na zona a montante do nariz da bolha.

1.2. Distribuição Axial da Malha

A distribuição axial da malha, ilustrada na Fig. 4.4, foi definida de acordo

Ujang et al (2008), a qual apresenta uma forte não uniformidade. Visando

investigar a influência da não uniformidade axial da malha, realizou-se um teste,

mantendo-se o mesmo número de pontos que a configuração 2 de malha, porém,

reduziu-se significativamente a não uniformidade da distribuição axial dos

volumes de controle, conforme ilustrado na Fig. A.5. Esta malha foi denominada

de Malha 4.

DBD


APÊNDICE A 118

Figura A.5- Domínio Computacional com maior uniformidade na direção axial.

Os resultados das comparações entre os perfis de velocidade axial à

montante e jusante do nariz da bolha para as Malhas 2 e 4 são ilustrados na

Fig. A.6.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R

W (m/s)Malha 4 Malha 2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a) -0,8D b) -0,2D

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


c) +0,2D b) +0,8D Figura A.6- Comparação dos perfis de velocidade para as malhas 2 e 4.

Pode-se observar que os perfis de velocidade são praticamente coincidentes

para ambas as malhas, nas diversas seções com uma pequena discrepância na

coordenada -0,8D, Fig. A.6(a).

DBD


APÊNDICE A 119

A Fig. A.7 ilustra o perfil de velocidade axial do líquido numa linha que

passa no eixo axial da malha computacional. Novamente observa-se uma ótima

concordância entre os perfis, indicando que a malha mais grosseira na região de

entrada e saída do domínio não prejudica a formação da bolha. Portanto,

selecionou-se a Malha 2, para captar com mais precisão a interface do nariz da

bolha, pois a malha é bem mais fina nesta região.

0,0 0,2 0,4 0,60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Malha3 Malha4

Wm

ax(m

/s)

Z (m)

Figura A.7- Velocidade axial no eixo axial do domínio computacional.

1.3. Simetria da Malha

Um último teste foi realizado para avaliar a geometria da malha utilizada

neste trabalho. Este teste avaliou os resultados obtidos nos perfis de velocidade

com a malha número 2, simétrica na sua secção transversal, com outra de secção

inteira, respeitando a mesma distribuição nodal axial que denominamos malha 5

(Fig. A.8).

Figura A.8- Secção transversal da malha 5

DBD


APÊNDICE A 120

A Fig. A.9 apresenta os perfis de velocidade para o Caso 2 nas coordenadas

-0,8D, -0,2D, +0,2D e +0,8D, as linhas contínuas representam os perfis de

velocidade para a malha 2 e os símbolos representam os perfis para a malha 5.

Nota-se a independência dos resultados quando mudamos o domínio

computacional para um com domínio inteiro.

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R

W(m/s) D. inteiro D. simetrico

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a) -0,8D b) -0,2D

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


c) +0,0D d) +0,8D Figura A.9- Perfis de velocidade para o Caso 2 na zona a jusante e montante do nariz da

bolha no domínio computacional inteiro.

1.4. Modelo de Turbulência κ−ε

Visando avaliar a influência do modelo de turbulência no campo de

escoamento, compararam-se as soluções obtidas com o modelo κ−ε RNG e com o

modelo κ−ε tradicional. Estes modelos foram selecionados, pois Ujang et al.

(2008) utilizaram o modelo κ−ε tradicional enquanto que Kumara et al. (2008)

utilizaram o modelo κ−ε RNG.

DBD


APÊNDICE A 121

A Malha 2 foi selecionada e mais uma vez, os perfis do componente axial da

velocidade à jusante e à montante do nariz da bolha foram comparados.

As Figs. A.10(a) e A.10(b) correspondem aos resultados para as linhas à

jusante (coordenadas -0,8D e -0,2D), enquanto que as Figs. A10(c) e A.10(d)

referem-se às coordenadas à montante (0,8D e 0,2D). O modelo κ−ε tradicional é

representado pelas linhas pretas e o modelo κ−ε RNG pelas linhas vermelhas.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R

W (m/s) κ-ε κ-ε RNG

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


a) -0,8D b) -0,2D

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y/R


c) +0,2D d) +0,8D Figura A.10- Perfis de velocidade para o Caso 11 na zona a jusante e montante do nariz

da bolha.

Analisando as figuras pode-se observar que a solução é praticamente

independente da escolha de qualquer dos dois modelos de turbulência. Observa-se

na Fig. A.10(a), que o modelo de turbulência κ−ε RNG forneceu uma velocidade

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APÊNDICE A 122

máxima ligeiramente maior para a fase gasosa, enquanto que para a fase líquida,

ambos os modelos apresentaram perfis coincidentes.

Selecionou-se o modelo κ−ε RNG, pois para o presente problema

apresentou-se mais estável com melhor taxa de convergência.

Vale informar que a escolha da malha adequada para uma simulação

depende diretamente do modelo de turbulência. Para a malha selecionada, baseada

em um compromisso entre custo e acurácia, obteve-se a distância adimensional y+

do primeiro ponto nodal à parede maior que 11,5 indicando o uso da lei da parede

tradicional nesta região.

DBD


APÊNDICE B

A determinação dos limites de transição entre padrões de escoamento e a

criação dos mapas de arranjos, é importante para a seleção dos modelos

matemáticos e numéricos adequados para prever o fenômeno real.

Neste trabalho, o mapa de padrões de escoamento foi criado baseado nos

trabalhos de Taitel e Dukler (1976), Barnea (1986) e Chen et al. (1997). Os limites

de transição foram obtidos através de um código implementado em MATLAB™.

O desenvolvimento destes limites está baseado em cinco grupos

adimensionais calculados de acordo com as propriedades dos fluidos, a geometria

da tubulação e as velocidades superficiais das fases líquida e gasosa.

( )( )

2/1

/

/

=

g

l

dxdP

dxdPX (B.1)

( )( )g

gl

dxdP

sengY

/

βρρ −= (B.2)

βρρρ

cosDgw

F sl

gl

g

−= (B.3)

( )

−=

l

sl

gl

sgg

vwD

gDw

Kβρρ

ρcos

22 (B.4)

( )( )

2/1

cos/

−=

βρρ gdxdP

Tgl

l (B.5)

onde X é o conhecido parâmetro introduzido por Lockhart e Martinelli (1949). Y é

zero para tubulações horizontais e representa a razão entre as forças atuando no

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APÊNDICE B 124

líquido na direção do escoamento devido à gravidade e a queda de pressão. F é o

número de Froude modificado pela razão de densidades. K é o produto do número

de Froude modificado, vezes a raiz quadrada do número de Reynolds baseado na

velocidade superficial do líquido. Finalmente, T é a relação das forças turbulentas

e as forças gravitacionais atuando no gás. Para auxiliar o cálculo de ditos

parâmetros e as condições onde as transições acontecem, precisamos introduzir as

seguintes geometrias adimensionais:

sg

gg

sll

lg

gl

ll

l w

WW

wW

WD

AA

D

AA

Dh

h ===== ~;~;~;~;~22

(B.6)

onde Wl, Wg são as velocidades físicas das fases, Al e Ag são as áreas ocupadas por

cada fluido e hl é a altura do líquido num escoamento estratificado liso em

equilíbrio. Estas grandezas foram adimensionalizadas com D nas grandezas de

comprimento, D2 nas grandezas de área e com as velocidades superficiais wsl e wsg

nas grandezas de velocidades. Todas elas possuem um til (~).

B.1. Limite Estratificado – Não Estratificado

Para tubulações horizontais e levemente inclinadas, Taitel e Dukler (1976)

sugeriram que a transição a partir de um regime Estratificado estável é dada pelo

mecanismo de instabilidade de Kelvin Helmholtz. Eles consideraram o

escoamento estratificado com uma onda finita na superfície sobre a qual o gás

escoa. Na medida em que o gás acelera por cima da crista da onda, a pressão na

fase gasosa diminui criando um efeito Bernoulli que faz a onda crescer. Por outro

lado, a força da gravidade faz a onda cair. Segundo Taitel e Dukler (1976) o

critério no qual dita transição acontece é expresso por:

( ) 11

12

2 ≥

− g

l

ll

l AhdAd

W

hF ~

~~

~

~ (B.7)

com:

DBD


APÊNDICE B 125

( )21~21~~

−−= ll

l hhdAd (B.8)

A equação B.6 envolve apenas lh~ . Conhecendo as propriedades dos fluidos

e a geometria da tubulação, dita transição pode ser encontrada resolvendo as

equações de quantidade de movimento linear para cada fase em escoamento

estratificado.

B.2. Limite Estratificado Liso – Estratificado Ondulado

Ondas podem ser formadas em uma superfície lisa do líquido devido à ação

do gás escoando acima do líquido ou como resultado da ação da gravidade,

inclusive na ausência da fase gasosa (tubos inclinados). Taitel e Dukler (1972)

sugerem que a geração de ondas pelo efeito “vento” é dado por:

≥

sWWK

lg~~

2 (B.9)

com s sendo o coeficiente de escudo (“sheltering”) que é a razão entre a taxa de

perda de energia devido à viscosidade turbulenta e a velocidade mínima do gás

necessária para manter as ondas no líquido apesar desta perda (Young, 1999). No

presente este trabalho, utilizou-se s igual a 0,01 (Taitel e Dukler, 1976). Como no

item anterior, esta condição depende apenas de lh~ .

B.3. Limite Intermitente – Bolhas Dispersas

A transição a partir do padrão intermitente para o regime de bolhas dispersas

está baseada no mecanismo onde as flutuações turbulentas do líquido rompem e

dispersam a fase gasosa em pequenas bolhas dispersas, transformando a energia

cinética turbulenta em energia livre de superfície nas bolhas dispersas (Chen et al.,

1997). Dita transição obedece a seguinte condição:

DBD


APÊNDICE B 126

2/165,12Eo

Yww

sg

sl = (B.10)

sendo Eo o número de Eötvös, definido na Eq. B.11:

( )σρρ 2Dg

Eo GL −= (B.11)

B.4. Limite Anular – Intermitente

A Eq. B.6 apresenta o critério para o qual ondas finitas que aparecem no

líquido estratificado podem crescer. Uma golfada estável apresenta-se quando é

fornecida uma vazão de líquido no filme, suficiente para manter dita golfada.

Quando o líquido fornecido é insuficiente, a onda é empurrada para as paredes e o

regime anular é produzido. Isto dá a idéia que o limite entre os regimes

intermitente e anular depende só do nível de líquido em equilíbrio no regime

estratificado. É sugerido que para lh~ < 0,5 estaremos no regime Anular e para lh~ ≥

0,5 estamos no regime intermitente (Taitel e Dukler, 1976).

B.5. Sub-regiões no Regime Intermitente

O regime intermitente apresenta sub-regiões, sendo as típicas a Bolha

alongada, a Golfada e o regime Caótico. Estes regimes possuem uma configuração

parecida, que são golfadas de líquido separadas por bolhas de gás. No regime de

Golfadas, existe uma transferência de gás da bolha para a golfada líquida, de

forma que esta possui uma saturação de ar. No regime caótico a saturação do gás

dentro da golfada líquida atinge um valor no qual a golfada colapsa. O regime de

bolha alongada é um caso de Golfada onde a saturação do gás na golfada líquida é

nula. Barnea e Brauner (1985) propuseram uma relação para encontrar o valor

máximo da saturação do gás que uma golfada líquida pode acomodar dentro dela

em forma de bolhas dispersas para uma determinada velocidade de mistura Wm.

Isto está expresso na Eq. B.12:

25/35/23 725,0

2058,0

−

=

σρ

α lm

mcg W

Df

d (B.12)

DBD


APÊNDICE B 127

onde dc é o diâmetro crítico das bolhas dispersas, e será tomado como o valor

mínimo entre dCD (diâmetro crítico acima do qual a bolha é deformada) e dCB que

é o diâmetro crítico da bolha abaixo do qual a migração de bolhas para o topo da

tubulação é evitada. Ditos diâmetros estão expressos da Eq. B.13.

( ) ( ) βρρρ

ρρσ

cos83;4,02

22/1

gWf

dg

d mm

gl

lCB

glCD

−=

−= (B.13)

onde fm é o fator de atrito para a mistura, dado pela relação:

nmm Cf −= Re (B.14)

O cálculo do fator de atrito depende dos coeficientes C e n, que são eleitos

de acordo como o número de Reynolds da mistura:

2400Re2,0;046,02400Re1;16

>⇒==≤⇒==

m

m

nCnC

(B.15)

As expressões para obter o número de Reynolds encontram-se no Capítulo 5

nas equações 5.1 e 5.2.

DBD


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Referências Bibliográficas - Bibliotecas PUC-Rioªncias Bibliográficas 110 ISSA R.I., KEMPF M.H.W., Simulation of slug flow in horizontal and nearly horizontal pipes with the two-fluid