ANTOLOGA
Investigacin de operaciones 2
Investigacin de operaciones 2INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE
ALVARADO
ANTOLOGACARRERA DE INGENIERA INDUSTRIAL
INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE ALVARADO
ANTOLOGA DECALCULO VECTORIAL
CARRERAINGENIERA INDUSTRIAL
MATERIAINVESTIGACION DE OPERACIONE
H. y G. Alvarado Ver. DICIEMBRE 2013
NDICEUNIDAD V OPTIMIZACIN DE REDES
INTRODUCCIN.................................................................................................5.1
Terminologa...5.2 Problema de la ruta ms corta. Redes cclicas y a
cclicas...5.3 Problema del rbol de mnima expansin.5.4 Problema de
flujo mximo5.5 Problema de flujo de costo mnimo.5.6 Programacin
lineal en teora de
redesConclusin..........................................................................................................Bibliografa..........................................................................................................
Unidad 1REDES DE OPTIMIZACION- QUINTA UNIDAD INTRODUCCIN
Los problemas de redes surgen en una gran variedad de
situaciones. Las redes de transporte, elctricas y de comunicaciones
predominan en la vida diaria. La representacin de redes se utiliza
ampliamente en reas tan diversas como produccin, distribucin,
planeacin de proyectos, localizacin de instalaciones, administracin
de recursos y planeacin financiera, para nombrar slo unos ejemplos.
De hecho, una representacin de redes proporciona un panorama
general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las
relaciones entre los componentes de los sistemas, que se usa casi
en todas las reas cientficas, sociales y econmicas. Uno de los
mayores desarrollos recientes en investigacin de operaciones (IO)
ha sido el rpido avance tanto en la metodologa como en la aplicacin
de los modelos de optimizacin de redes. La aparicin de algunos
algoritmos ha tenido un impacto importante, al igual que las ideas
de ciencias de la computacin acerca de estructuras de datos y la
manipulacin eficiente de los mismos. En consecuencia, ahora se
dispone de algoritmos y paquetes de computadora y se usan en forma
rutinaria para resolver problemas muy grandes que no se habran
podido manejar hace dos o tres dcadas. Muchos modelos de
optimizacin de redes son en realidad tipos especiales de problemas
de programacin lnea. Algunos mtodos para resolver problemas de
rutas (ms cortas, arborescencias, flujo mximo, flujo mnimo, etc.)
son:
PRIM
5.1 TERMINOLOGASe ha desarrollado una terminologa relativamente
extensa para describir los tipos de redes y sus componentes.Una red
consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen
ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vrtices).
Las lneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas). Los arcos
se etiquetan dando nombre a los nodos en sus puntos terminales; por
ejemplo, AB sera el arco entre los nodos A y B. Los arcos de una
red pueden tener un flujo de algn tipo que pasa por ellos; si el
flujo a travs de un arco se permite slo en una direccin (como en
una calle de un sentido), se dice que el arco es un arco dirigido.
La direccin se indica agregando una cabeza de flecha al final de la
lnea que representa el arco.Al etiquetar un arco dirigido con el
nombre de los nodos que une, siempre se pone primero el nodo de
donde viene, despus el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido
del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra
manera de etiquetarlo es A > B. Si el flujo a travs de un arco
se permite en ambas direcciones (como una tubera que se puede usar
para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que el arco es
un arco no dirigido. Para ayudar a distinguir entre los dos tipos
de arcos, con frecuencia se har referencia a los arcos no dirigidos
con el sugestivo nombre de ligadura.Aunque se permita que el flujo
a travs de un arco no dirigido ocurra en cualquier direccin. Se
supone que ese flujo ser en una direccin, en la seleccionada, y no
se tendrn flujos simultneos en direcciones opuestas. Sin embargo,
en el proceso de toma decisiones sobre el flujo en un arco no
dirigido, se permite hacer una secuencia de asignaciones de flujos
en direcciones opuestas, pero en el entendimiento de que el flujo
real ser el flujo neto (la diferencia de los flujos asignados en
las dos direcciones). Por ejemplo, si se asigna un flujo de 10 en
una direccin y despus un flujo de 4 en la direccin opuesta, el
efecto real es la cancelacin de 4 unidades de la asignacin
original, lo que reduce el flujo en la direccin original de 10 a 6.
Aun para un arco dirigido, en ocasiones se usa la misma tcnica como
una manera conveniente de reducir un flujo previamente asignado. En
particular, se puede hacer una asignacin ficticia de flujo en la
direccin "equivocada" a travs de un arco dirigido para registrar
una direccin en esa cantidad en el flujo que va en la direccin
"correcta".Una red que tiene slo arcos dirigidos se llama red
dirigida. De igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos, se
dice que se trata de una red no dirigida. Una red con una mezcla de
arcos dirigidos y no dirigidos (o incluso una con todos sus arcos
no dirigidos) se puede convertir en una red dirigida, si se desea,
sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en
direcciones opuestas. (Despus se puede optar por interpretar los
flujos a travs de cada par de arcos dirigidos como flujos
simultneos en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto
en una direccin, segn se ajuste al caso.)Cuando dos nodos no estn
unidos por un arco surge la pregunta natural de si estn conectados
por una serie de arcos. Una trayectoria entre dos nodos es una
sucesin de arcos distintos fue conectan estos nodos. Por ejemplo,
una de las trayectorias que conectan a los nodos O y T en la
siguiente figura, es la sucesin de arcos OB-BD-DT (O B D T), y
viceversa.Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos
dirigidos, se hace la distincin entre trayectorias dirigidas y
trayectorias no dirigidas. Una trayectoria dirigida del nodo i al
nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin(Si la tienen) es hacia
el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j a travs de
esta trayectoria es factible. Una trayectoria no dirigida del nodo
i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tienen)
puede ser hacia o desde el nodo j. (Observe que una trayectoria
dirigida tambin satisface la definicin de trayectoria no dirigida,
pero el inverso no se cumple.)Con frecuencia una trayectoria no
dirigida tendr algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros
desde l (es decir, hacia el nodo i); las trayectorias no dirigidas
juegan un papel muy importante en el anlisis de las redes
dirigidas.Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el
mismo nodo.En una red dirigida un ciclo puede ser dirigido o no
dirigido, segn si la trayectoria en cuestin es dirigida o no
dirigida. (Como una trayectoria dirigida tambin es no dirigida, un
ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso
no es cierto.)Se dice que dos nodos estn conectados si la red
contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Observe
que no es necesaria que la trayectoria sea dirigida aun cuando la
red es dirigida.) Una red conexa es una red en la que cada par de
nodos est conectado.Los problemas de optimizacin de redes se pueden
representar en trminos generales a travs de uno de estos cuatro
modelos: Modelo de minimizacin de redes (Problema del rbol de mnima
expansin). Modelo de la ruta ms corta. Modelo del flujo mximo.
Modelo del flujo del costo mnimo. Modelo de minimizacin de redesEl
modelo de minimizacin de redes o problema del rbol de mnima
expansin tiene que ver con la determinacin de los ramales que
pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de
las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos
en la solucin del problema. Para crear el rbol de expansin mnima
tiene las siguientes caractersticas:1. Se tienen los nodos de una
red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las
ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se
inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de
una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)2. Se desea disear
la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de
que haya un camino entre cada par de nodos.3. El objetivo es
satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud
total de las ligaduras insertadas en la red.Una red con n nodos
requiere slo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria
entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal
manera que la red resultante formen un rbol de expansin. Por tanto
el problema es hallar el rbol de expansin con la longitud total
mnima de sus ligaduras.
5.2 PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTA. REDES CCLICAS Y ACCLICAS.
Se trata de encontrar la ruta de menor distancia o costo entre
en punto de partida o el nodo inicial y el destino o nodo terminal.
Redes cclicasEJEMPLO 1 REMPLAZO DEL EQUIPOUna compaa arrendadora de
automviles est desarrollando un plan de reemplazo de su flotilla
para los prximos cinco aos. Un automvil debe de estar en servicio
cuando menos un ao antes de que se considere ser reemplazado. La
tabla 8-1 resume el costo de reemplazo por unidad (en miles de
unidades monetarias) como funcin del tiempo y el nmero de aos en
operacin. El costo incluye la compra, prima del seguro, operacin y
mantenimiento.Este problema se puede representar mediante una red
como sigue. Cada ao est representado por un nodo. La longitud de
una rama que une a dos nodos es igual al costo de reemplazo
asociado que se da en la tabla 8-1. La figura 8-6representa la red.
El problema se reduce a determinar la ruta ms corta del nodo 1 al
5. La ruta ms corta se puede determinar mediante el uso de
algoritmo que representaremos en la seccin 8.3.2. La solucin optima
producir la ruta 1 - 2 - 5 Tabla 8-1Ao12345
14.05.49.813.7
24.36.28.1
34.87.1
44.9
13.712345
9.8 5.44 4.3 4.8 4.96.2 8.1 7.1
Figura 8-6Con un costo total de 4+ 8.1 = 12.1 (miles de unidades
monetarias). Esto quiere decir que cada automvil debe reemplazarse
al segundo ao de uso y desecharse al quinto ao.Apliquemos el
procedimiento a la red en la figura8-10. Una hiptesis bsica del
algoritmo es que en todas las distancias en la red son no
negativas.13425
100 15
20 10 50 30 60Figura 8-10
Iteracin 0: el nodo 1 lleva la etiqueta permanente
[0,-].Iteracin 1: los nodos 2 y 3, que se pueden alcanzar
directamente desde el nodo 1 (el ultimo nodo rotulado
permanentemente), llevan ahora las etiquetas temporales [0+100, 1]
y [0+30,1] o bien [100,1], respectivamente.Entre las etiquetas
temporales corrientes, el nodo 3 tiene la menor distancia d
=30(=min {100,30}). Si el nodo 3 esta etiquetado
permanentemente.Iteracin 2: los nodos 4 y 5 se pueden alcanzar
desde el ltimo nodo rotulado permanentemente (nodo 3) y sus
etiquetas temporales son [30+10,3] y [30+60,3] (o bien [40,3] y
[90,3]), respectivamente. En este punto tenemos las 3 etiquetas
temporales [100,1], [40,3] y [90,3] asociados con los nodos 2, 4 y
5, respectivamente. El nodo 4 etiquetado temporalmente tiene la
menor d = 40 (=min {100, 40,90}) y, por consiguiente, su etiqueta
[40,3] se convierte a un estado permanente.Iteracin 3: del nodo
cuatro rotulamos ahora el nodo 2 con la etiqueta temporal [40+15,4]
= [55,4], que reemplaza a la etiqueta temporal anterior [100,1]. A
continuacin el nodo 5 se etiqueta temporalmente con [40+50,4] =
[90,4]. Las etiquetas temporales incluyen ahora a [55,4] y [90,4]
asociadas con los nodos 2 y 5, respectivamente. Rotulamos entonces
al nodo 2 en forma permanente con la etiqueta [55,4].El nico nodo
restante es el nodo destino 5, que convierte su etiqueta [90,4] a
una etiqueta permanente, con lo que se termina el procedimiento.Los
pasos de clculo anteriores se resumen grficamente en la figura 8-11
observe que los clculos se basan en el concepto de recursin
empleado en el algoritmo a cclico.La diferencia principal entre los
dos algoritmos estriba en que un nodo en el algoritmo cclico puede
rotularse (temporalmente) sin tener en cuenta que todos los nodos
que llegan directamente a l se hayan o no rotulado.La solucin en la
figura 8-11 proporciona la distancia ms corta a cada nodo en la
red, junto con su ruta.
5.3 PROBLEMA DEL RBOL DE MNIMA EXPANSINEste problema considera
una red no dirigida y conexa. En ella se debe encontrar un rbol de
expansin con la longitud mnima de sus arcos.Algoritmo para el
problema del rbol de expansin mnima.1.- selecciona, de manera
arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una
ligadura) al nodo distinto ms cercano.2.- se identifica el nodo no
conectado ms cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos
nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se
repite hasta que todos los nodos estn conectados.3.- Empates. Los
empates para el nodo ms cercano distinto (paso 1) o para el nodo
conectado ms cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria
y el algoritmo debe llegar a una solucin optima. No obstante, estos
empates son seal de que pueden existir (pero no necesariamente)
soluciones optimas mltiples. Todas esas soluciones se pueden
identificar si se trabaja con las dems formas de romper los empates
hasta el final.La manera ms rpida de ejecutar este algoritmo en
forma manual es el enfoque grafico que se ilustra enseguida.
Aplicacin de este algoritmo al problema del rbol de expansin
mnima de seervada park La administracin de seervada park necesita
determinar los caminos bajo los cuales se deben entender las lneas
telefnicas para conectar todas las estaciones con una longitud
total mnima de cable. Se describir paso a paso la solucin de este
problema con base en los datos que se dan a continuacin.Los nodos y
distancias para el problema se resumen enseguida, en donde las
lneas delgadas ahora representan ligaduras potenciales.
0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
4
En forma arbitraria, se selecciona el nodo 0 como inicio. El
nodo no conectado ms cercano a 0 es A. se conecta el nodo A al nodo
0.0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
El nodo no conectado ms cercano a cualquiera de los nodos 0 o A
es el nodo B (ms cercano a A). Se conecta el nodo B al nodo A.
0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
4
El nodo no conectado ms cercano a 0, A o B es el nodo C (ms
cercano a B). se conecta el nodo C al nodo B.0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
4El nodo no conectado ms cercano a 0, A, B o C es el nodo E (ms
cercano a B). se conecta el nodo E al nodo B.0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
4
El nodo no conectado ms cercano a los nodos 0,A, B, C o E es el
nodo D (ms cercano a E).Se conecta el nodo D al nodo E. 0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
4El nico nodo no conectado es el nodo T. Est ms cerca del nodo
D. se conecta el nodo T al nodo D.0CBAEDT
7
2 2 5 5 4
3 1 7 4 1
4
Todos los nodos han quedado conectados, por lo que esta es la
solucin (optima) que se buscaba. La longitud total de las ramas es
14 millas.Aunque con este procedimiento a primera vista puede
parecer que la eleccin del nodo inicial afectara la solucin final
(y la longitud total de las ligaduras), en realidad no es as. Se
sugiere que se verifique este hecho para el ejemplo, aplicando de
nuevo el algoritmo, pero con un nodo inicial distinto de 0.Se
considera que dentro de este captulo el problema del rbol de
expansin mnima es el que cae dentro de la amplia categora de diseo
de redes. En esta categora, el objetivo es disear la red ms
apropiada para el problema dado (con frecuencia se trata de
sistemas de transporte) y no de analizar una red ya diseada. La
referencia 8 proporciona una investigacin en esta importante
rea.
5.4 Problema de flujo mximoEn una red con flujo de capacidades
en los arcos, el problema es determinar el flujo mximo posible
proveniente de los orgenes de forma tal de ahogar las capacidades
de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con
un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como
Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta
red, deseamos encontrar el flujo total mximo en la red, F, del nodo
1 al nodo m.
En la formulacin de la programacin lineal, el objetivo es
maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para
cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En
algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La
capacidad que puede ser enviada a una direccin en particular tambin
es mostrada en cada ruta.
5.5 Problema de flujo de costo mnimoEl problema de flujo de
costo mnimo tiene una posicin medular entre los problemas de
optimizacin de redes; primero, abarca una clase amplia de
aplicaciones y segundo, su solucin es muy eficiente.Todos los
problemas de red anteriores son casos especiales del problema de
flujo de costos mnimo. Al igual que el problema de flujo mximo,
este considera flujos en las redes con capacidades. Al igual que el
problema del camino mas corto, este considera un costo por flujo
hacia un arco. Al igual que el problema de transporte, este permite
mltiples orgenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas
pueden ser vistos como casos especiales del problema de flujo de
costos mnimo. El problema es minimizar el costo total sujeto a la
disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexin
superior de flujo a travs de cada arco
La solucin ptima es: X12 = 12, X13 = 8, X23 = 8, X24 = 4, X34 =
11, X35 = 5, X45 = 10, todos los dems Xij = 0. El costo ptimo es
$150
5.6 PROGRAMACIN LINEAL EN TEORA DE REDESLa programacin lineal es
actualmente la tcnica matemtica utilizada ms actualmente gracias a
que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la
computacin. Lo que se busca con la aplicacin de la programacin
lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la
empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer
con cierto nmero de recursos limitados o escasos y con el objetivo
de lograrlo en forma ptima. Ejemplo Una empresa ha dejado de
fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de
produccin que tenan sus equipos en los departamentos de maquinado.
Ahora se tienen horas mquina que se pueden utilizar en los
productos denominados 1, 2,3 de la siguiente manera:Mquina Horas
por pieza de producto Horas Maq. Disponibles1 2 3 por
semanaFresadora 9 3 5 500Torno 5 4 - 350Rectificadora 3 - 2
150Utilidad$/ pieza 50 20 25Recomendacin del MnimoDepto. Vtas a
Prod. 30 15 20Formular un modelo de Programacin Lineal para este
problema1. Definicin de variables a utilizar en el mtodo de
programacin linealSea: Xj = nmero de piezas de producto j(j=1,2,3)
a fabricar para maximizar la utilidad.1. Funcin econmica y
objetivo:MAX Z= 50X1 + 20X2 + 25X3 [ (Dls/Unidad) (Unidad/Sem)] =
[Dls/Sem.]Sujeta a restricciones de horas mquinas disponibles por
semanaFresadora: 9X1 + 3X2 + 5X3 * 500 horas mquina fresadoraTorno:
5X1 + 4X2 * 350 horas mquina tornoRectificadora: 3X1 + 2X3 * 150
horas maquina rectificadoraCondiciones de signos pare las
variables:X1 * 30 piezasX2 * 15 piezasX3 * 20 piezas
CONCLUSIN
Como vimos en esta investigacin las redes de optimizacin nos
brinda una herramienta muy eficaz para buscar la mejor solucin a
algn problema como podra ser en las redes de transporte, elctricas
y de comunicaciones que es en lo que mas predominan este tipo de
problemticaYa que la resolucin de estos mtodos proporcionan
algoritmos fciles de comprender y aplicar y disminuyen el nmero de
complicaciones que pudieran existir que resuelven el problema. Con
los modelos de redes solo habra que aplicar las iteraciones al
grafo que origina la representacin de la red del problema y luego
aplicar el algoritmo que corresponde, que puede ser el algoritmo de
la ruta ms corta, algoritmo para encontrar el rbol de expansin
mnima, algoritmo de la trayectoria de aumento o el algoritmo de
flujo mximo.
BIBLIOGRAFA
Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigacin De
Operaciones. McGraw-Hill. Sptima Edicin. 2002.
Hamdy A. Taha. Investigacin De Operaciones. Ediciones Alfaomega.
Cuarta Edicin.
1991http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52496.PDF
I.I. ELENA G. GONZLEZ PEA
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