RECHERCHE OPERATIONNELLE

0. Introduction.Ce cours a´eteenseign´ejusqu’en 2002, enann´ee delicence, `alaMIAGE deNANCY.L’ob jectif principal de ce cours est d’acqu´erirune connaissance approfondie decer-taines techniques consid´erees `a l’heure acutelle comme des m´etho des de base enRecherche Op´erationnelle.Celles-ci se retrouvent en effet, sous des formes pluscomplexes, dans les analyses professionnelles de faisabilit´eou d’optimisation.Les exercices qui accompagnent ce cours permettent aux´etudiants de mo d´eliser desproblemes simples en utilisant les techniques dela Recherche Op´erationnelle.Cesexercies ne tiennent´evidemmentpas compte de tous lesparam`etres d’une v´eritableanalyse professionnelle.Ils sontsimplifies volontairement et sont choisis suivantl’orientation desetudiants,en ma jorit´e dans le domaine de la gestion;mais lestechniques utilis´ees s’appliquent´egalement `alamod´elisation en ing´enierie et ensciences.

Certainesmetho desde la Recherche Op´erationnelle se d´emontrent- au niveaumathematique -assez facilement.L’algorithme dusimplexe,par exemple,rep osesur des arguments´elementaires de l’alg`ebre lineaire.D’autres m´etho des pr´esent´eesdans cecours, parexemplecelles delaprogrammationdynamique, sontdescasparticuliers ded´evelopp ements analytiques et sto chastiquesplus avanc´es,qui, a un niveau g´eneral,ne sont plusa la portee d’unetudiant enlicence (mˆeme en math´ematiques).Une justification´elementaire de certains cas par-ticuliers est cep endant faisable et donne lieu`aquelques applications int´eressantes.D’autres m´etho des encore sont purement heuristiques, comme la m´etho de par s´epara-tion etevaluation (branch and bound) en programmation lin´eaire `a valeurs enti`eres.Il est peut-ˆetre surprenant deconstater que la presque totalit´e des probl`emes d’optimi-sationsenonc´es dans ce cours (hormis ceuxrelevant de la programmation dynamique)peuventetre resolus `a l’aide d’un algorithme de programmation lin´eaire.Cep endant,des solutions sp´ecifiques,parexemple au probl`eme du flot maximalou du flot deco ˆut total minimal dans un r´eseau, sont prop os´ees.Elles sontsouvent d´evelopp´ees`a partir d’un programme lin´eaire adapt´eau probleme sp´ecifique et fontpartie desmetho des standards dans la litt´erature recente.Ainsi la question du flot de co ˆuttotal minimal permet de pr´esenter quelques´elements du simplexe des r´eseaux.Le cours est divis´een cinq chapitres.

Les deux premiers traitent de la programmation lin´eaire.Ilscontiennent:- une intro duction`alatechnique du simplexe,une metho de standard pour la

resolution d’un programme lin´eaire;- la dualite;

–2–

-lam´ ethode des coup es et la m´etho de par s´eparation etevaluation pour laresolution deprogrammes lin´eaires quiimp osent`acertaines variables d’ˆetre`a valeurs enti`eres ou mˆeme binaires;

- l’analyse post-optimale,qui determine la variation delasolution en fonctiond’un changement desvaleursdes param`etres du programme.

Le troisieme chapitre traitede la th´eorie des jeux `a deux personnes et`asomme z´eroet s’appuie fortement sur les deux chapitres pr´ecedents.

Au quatrieme chapitre nous exp osons deux probl`emesd’optimisation deflots dansdes reseaux:le flot maximal (avec sa coup e minimale) et le flot `acoˆut total minimal.

Le dernier chapitre est une intro duction aux m´etho des´elementaires de laprogram-mation dyamique.Cedomaine esttres vaste et de nombreux asp ects ne sont pasetudies, en particulier l’aspect sto chastique en cas d’incertitudes sur les param`etres.

Les algorithmesd’optimisation li´es aux graphes (chemin delongueurmaximale ouminimale par exemple) ne figurent pas dans ce cours parce qu’ils sonttrait´es dansles cours d’outils conceptuels et d’algorithmique´egalement enseign´es `a la Miage deNancy.

Les versions initiales de ce cours, ont´etelargement inspir´ees par le trait´e(non publi´e)intitule ”Recherche Op´erationnelle” de Francis Conrad,Professeural’UniversiteHenri Poincare Nancy 1. Nous le remercions d’avoir mis ce texte `a notre disp o-sition. Nous n’avons pasconnaissance d’unlivre oud’unemonographie dontlapresentation corresp ond`a ses notes,mais nousavons puconstater queles livresrecents en Recherche Op´erationnelle, ab ordent les sujets trait´es dans ce cours.Uneliste, certainement incompl`ete, d’ouvrages r´ecents est donn´ee ci-dessous.

Bibliographie:C. Gueret, C. Prins, M. Sevaux , Programmation lin´eaire, Eyrolles, 2000.

R. Favre, B. Lemaire, C. Picouleau , Pr´ecis de recherche op´erationnel le,5`emeed., Duno d, 2000.

Y. Nob ert, R. Ouellet, R. Parent, La recherche op´erationnel le,Ga¨etan Morin,1995.

J. F. Phelizon,Methodes et mod`eles de la recherche op´erationnel le,Economica,1998.

J. F. Maurras,Programmation lin´eaire, compl´exite, Springer, 2002.

D. Alevra, M. Padb erg,Linearoptimization andextensions:problems andsolutions, Springer, 2001.

V.K. Balakrishnan , Network optimization, Chapman and Hall, 1995.

G.B. Dantzig, M.N. Thapa , Linear programming, Springer, 1997.

H.A. Eiselt, C.L. Sandblom , Integer programming and network models, Springer2000.

B. Korte, J. Vygen , Combinatorialoptimization,2nd ed.,Springer, 2002.

–3–

G. Sierksma , Linear and integer programming, Marcel Dekker, 2001.

R.J. Vanderb ei, Linear programming foundations and extensions, Kluwer, 2001.

W. Domschke, A. Drexl, Einf ¨uhrung in Operations Research, 3.Auflage, Springer,1995.

W. Domschke, A. Drexl, B. Schildt, A. Scholl, S. Voss,Ubungsbuch Opera-tions Research , Springer, 1995.

H.J. Zimmermann,Operations Research Methoden und Model le.2. Auflage.,Vieweg, 1992.

–4–

I. Programmation lin´eaire: Algorithmedu simplexeNous commen¸conspar quelques exemples quipeuventetre resolus en termes deprogrammes lin´eaires.

I.1 Exemples.a) Probleme du melange

La table ci-dessous donne la comp osition et le coˆut de 9 alliages standards de plomb,zinc etetain.

Alliage 123456789

plomb (%) 20 50 30 30 30 60 40 10 10

zinc (%) 30 40 20 40 30 30 50 30 10

etain (%) 50 10 50 30 40 10 10 60 80

co ˆut unitaire 7.3 6.9 7.3 7.5 7.6 6.0 5.8 4.3 4.1

Le but est de trouver un m´elange des 9alliages quipermet de fabriquer `acoˆutminimal un alliage contenant

. 30%de plomb;

. 30%dezinc;

.40%d’´etain.

Remarquons que l’alliage 5 a la bonne comp osition;son co ˆut unitaire est de 7.6.Lemelange, `a parts´egaux, des alliages 6, 7, 8 et 9 donne la comp osition souhait´eeaussi:

. plomb:14

(60 +40+10+10)=30%

. zinc :14

(30 +50+30+10)=30%

.´etain :14

(10+10+60+80) =40%

co ˆut unitaire:14

(6.0 + 5.8 + 4.3 + 4.1) = 5.05< 7.6.

Pro cedons de fa¸con plus syst´ematique pour obtenir le m´elange de co ˆut minimal:

xj partie de l’alliage j dans le m´elange recherch´e(j=1,...,9),

xj ≥ 0,g

j =1

xj =1(1)

Lecout unitaire du m´elange recherch´e est le minimum de la fonction z,d´efinie par

z(x1,x2,...,x 9)=7 .3x1 +6.9x2 + ... +4.1x9

–5–

sous les contraintes:

30% de plomb:0.2x1 +0.5x2 + ... +0.1x9 =0.3 (2)

30% de zinc : 0.3x1 +0.4x2 + ... +0.1x9 =0.3 (3)

40% d’etain : 0.5x1 +0.1x2 + ... +0.8x9 =0.4 (4)

Le programme lin´eaire consiste `a minimiserz(x1,x2,...,x 9) sous les contraintes(1)-(4).La fonction z est souvent app el´ee la fonction - objectif (ou fonction ob jec-tive).

Remarque: (1)-(4) est un syst`eme lineaire de quatreequations et 9 inconnus.Le probleme est donc de trouver,dans l’espaceaffinedessolutions,la solution quiminimise la valeur dez(x1,...,x 9).

b) Probleme de transp ortSupp osons que 250 (resp.450) containers sont disp onibles au d´epˆotD1 (resp. audepˆotD2) et que les magasins A, B et C ont command´es 200 containers chacun.Les coˆuts de transp ort par containers sont les suivants:

magasin ABC

depˆotD1 3.4 2.2 2.9

depˆotD2 3.4 2.4 2.5

Le but est de minimiser le coˆut total de transp ort des containers des d´epˆots vers lesmagasins en respectant les disp onibilit´es et les demandes.

xj nombre de containers transp ort´es du depˆoti vers le magasinj

(i =1,2,j= A, B, C)

Le programme lin´eaire s’´enonce de la fa¸con suivante:minimiser z(xi j ,i=1 , 2,j= A, B, C)=3 .4x1A +2.2x1B +2.9x1C +3.4x2A +2.4x2B +2.5x2C

sous les contraintes

- de disp onibilit´e:x1A +x 1B +x 1C ≤ 250x2A +x 2B +x 2C ≤ 450

- dedemande:x1A +x 2A =200x1B +B 2B =200x1C +x 2C =200xij ≥ 0, avaleurs enti`eres

La forme g´enerale du probl`eme de transp ort s’´enonce comme suite:pdepˆotsD1,D 2,...,D p

–6–

qmagasinsM1,M 2,...,M q

ai quantite disp onible au d´epˆotDi i=1,...,p

bj quantitedemandee par le magasinMj j=1,...,q

f ij coˆut unitaire de transp ort deDi vers M j

xij quantite transp ort´ee deDi versMj

programme lin´eaire:

minimiserz(xij ,i=1, .. ., p, j =1,...,q)=p

i=1

q

j =1

f ij xij

sous les contraintesq

j =1

xij(≤)=a i i=1,...,p (depˆots)

p

i=1

xij(≥)=b j j=1,...,q (magasins)

xij ≥ 0(´eventuellement `a valeurs enti`eres)

Remarque:

1) Lechoixdu signed’ egalite ou d’inegalitedans les contraintes concernant lesdepˆots et les magasins d´ep end du contexte concret.

2)p

i=1

ai ≥q

j =1

bj (quantite disp onible≥ quantitedemandee)

I.2. Solution graphique pour programmes lin´eairesadeuxvariables.

Exemple: maximiserz(x1,x2)=4x 1 +3x 2

sous les contraintes

3x1 +4x2 ≤ 12

7x1 +2x 2 ≤ 14,x 1,x2 ≥ 0

L’intersection des demiplans d´etermin´es par les droites qui corresp ondent aux con-traintes repr´esente l’ensemble des solutions quisatisfontauxcontraintes (domaineh a chu r´e). La direction qui corresp ond`a la fonction-ob jectif est donn´ee par

z(x1,x2)=4x 1 +3x 2 =constante

–7–

solution graphique:

01234

1

2

3

4

5

6

7

X2

X1

X1 X27  +2  =14

X1 X23  +4  =12­1 4

3,()

1611

2111,()

(lignecoupee−−−). Onobtientlasolutionoptimalex=1611

,2111

eneffectuant

unetranslationparalleledecettedirectionduhautverslebasjusqu’`acequeledomainehachur´eestatteint. Lepointxestunpointextremaldecedomaine.Lasolutiongraphiquen’estevidemmentapplicablequ’auxprogrammesavectroisvariablesauplus.

I.3. Lam ethodedusimplexe.I.3.1.Formegeneraled’unprogrammelineaire.Enformegeneraleunprogrammelin´eaireselitdefa¸consuivante:

(P)

maximiser z(x1,x2,...,x n)= nj =1 cj xj

souslescontraintesa11x1 +a12x2 +...+a 1nxn ≤ b1

a21x1 +a22x2 +...+a 2nxn ≤ b2...

...am1x1 +am2x2 +...+a mnxn ≤ bm

x1,x2,...,x n ≥ 0.

Enformevectorielle(P)selit:

–8–

maximiserz(x)=cxsouslescontraintesAx ≤ b, x ≥ 0,

o`uonapose:

x=

x1

x2...

xn

,c=(c 1,c2,...,c n),b=

b1

b2...

bm

A=(a ij ,i=1,...,m, j=1,...,m)=

a11 a12 ...a 1n

a21 a22 ...a 2n...

am1 am2 ...a mn

Onditque (P) estsousformecanonique.

Autreforme:(P=) maximiserz(x)=cxsouslescontraintesAx=b, x ≥ 0.

Onditque (P=) estsousformestandard.

Proposition3.1.Chaqueprogrammelin´eaireenformestandards’ecritenformecanoniqueetinversement.

Preuve.a)Ax ≤ b, x ≥ 0 (formecanonique)

⇔n

j =1

aij xj ≤ bi i=1,...,m

⇔n

j =1

aij xj +ei =bi o`u ei =bi −n

j =1

aij xj ≥ 0

ei : variabled’ecart.

Soit I m =

10

...01

lamatriced’identited’ordrem,

e=

e1...

em

levecteurd’ecart.

AlorsAx ≤ b, x ≥ 0⇔ (A,I m)xe

=b,xe

≥ 0 (formestandard).

Posonsz (x,e)=cxe

, o`uc =(c,0)=(c 1,...,c n ,0,...,0

m−fois

).

b)Ax=b (formestandard)

–9–

⇔ Ax ≥bAx ≤b

⇔ Ax ≤b(−A )x≤−b

⇔ A−A

x ≤ b−b

(formecanonique).

Exercice: Ecrireleprogrammelineairesuivantsousformecanonique:maximiserz(x)=cxsouslescontraintesAx ≤ b, x2,x3,...,x n ≥ 0.

Indication: x1 =max{0,x1},x 1”= −min{0,x1}. Remplacerx1 par x1,x1” ≥0.

I.3.2.Solutionsdebaserealisables.Retournonsal’exempledeI.2.Sousformestandard,ilselit:

maximiserz(x1,x2,x3,x4)=4x 1 +3x2

souslescontraintes3x1 +4x2 +x 3 =127x1 +2x2 +x 4 =14,x 1,x2,x3,x4 ≥ 0

Onposec=(4 ,3,0,0),b =1214

, (A,I 2)=34107201

· Onvoitfacile-

mentquex=

x1

x2

x3

x4

=

001214

satisfaitauxcontraintes.Onditque x est

solutiondebaserealisable,labase etant J= {3,4} (troisiemeetquatriemecomposantedex),lesvariablesbases´etant x3 =12etx 4 =14.Remarquonsquexn’estpasoptimal:z(x)=cx=0. Laprocedured’optimisationsefaitparunesuitedetableaux,appelestableauxdusimplexe.Lepremierresumelesdonneesc,b,A etlesvariablesdebase.Laderniereligneestegale`a−c.

Premiertableaudusimplexe

c 4300

cj variablesdebase x1 x2 x3 x4

0 xJ1 =x 3 12 3410

0 xJ2 =x 4 14 7201

z(x) 0 -4 -3 0 0

Retouraucasgeneral:(P=) maximiserz(x)=cx

sous Ax=b, x ≥ 0o`ux ∈Rn

+,c ∈Rn ,b ∈Rm,Aunematricem × n.Onpeutsupposersansrestrictiondeg´eneralitequerangA=m<n.

Rappel: RangA=nombre(maximal)deligneslineairementind´ependantesdeA=nombre(maximal)decolonneslin´eairementind´ependantesde

–10–

A.Enfait, si RangA<mil yadescontraintesredondantesquipeuventetresup-

primees exemple:5x1 +5x2 ≤ 10,10x1 +10x2 ≤ 20,Rang5510 10

=1.

Sim=n,lasolutiondeAx=bestuniqueetdonn´ eeparx=A−1b. Iln’yadonc

rienamaximiser.

Definition.PosonsA=(a 1,a2,...,a n)( aj estlaj −emecolonnedeA),et,pourJ ⊂{1,2,...,n },posonsA J = {aj ,j ∈J }.

. J ⊂{ 1,2,...,n } estunebasede(P=) ,si |J | =metsi RangA J =Rang(aj ,j ∈J)=m

. Soitx=

x1...

xn

∈R n+.x j estvariabedebase(variablehorsbase),si j ∈

J(j/ ∈J). Onnotex J =(x j ,j ∈J).

. solutiondebaserealisable: x=

x1...

xn

∈Rn+ telquexj =0pourj/ ∈Jettel

queAx=A J xJ =b(c’est-`a-direquexJ satisfaitauxcontraintes).

Exemple(suite): Posons A=34107201

· AlorsRangA=2=m, n=4

J= {3,4},A J =1001

,RangA J =2

. variabledebase:x3 =12,x 4 =14

. variablehorsbase:x1 =x 2 =0

. solutiondebaserealisable:x=

001214

A J xJ =

1001

1214

=1214

=

b.

Remarque: L’avantagedepasserdelaformecanonique`alaformestandardestqu’onobtientimmediatementunesolutiondebaserealisablequisertdesolutiondedepartpourl’algorithmedusimplexe.Lesvariablesdebasesontlesvariablesd’ecart.

I.3.3.Changementdebaserealisable.Soitxunesolutiondebaser ealisablede(P=). Onaalors

z(x)=cx=c J xJ o`u cJ =(c j ,j ∈J).

Lebutestdetrouveruneautrebaser´ ealisable,noteeJ, etunesolutiondebaserealisableassoci´ee,noteex,telque z(x)>z(x)( xestmeilleurquex).

–11–

Lam ethodedusimplexeconsiste`aremplacerunevariabledebase,noteexr , parunevariablehorsbase,not´eexk. Onditque

xr estvariablesortantedelabaseJ:x r −→ xr =0,xk estvariableentrantedanslabaseJ:x k =0 −→ xk >0.

Onauradonc J=J −{r} ∪{k}.

Question:Commentchoisirretk?Reponse:

. Choisirrtel queA J xJ =betx J ≥ 0(c’est-`a-direchoisirrtelquetouteslescontraintessontsatisfaitesparx).

. Choisirktelquez( x)>z(x)(augmentationdelavaleurdez).Il fautmaintenantdesformulespourlechoixderetdek. Cesformulessontdevelopp´eesdanslasuite.

1)Choixder .Notonsbi (i ∈J)lescolonnesdeA J . Dansl’exempleona

b1 =10

,b 2 =01

·

CommeRangA J =m, touteslescolonnesdeAs’ ecriventcommecombinaisonlineairedeb1,b2,...,b m ;enparticulier

ak =i∈J

aik bi =i∈J −{r}

aik bi +ark br

⇔ br =1

arkak −

i∈J −{r}aik bi Ilfautsupposerark =0.

(1)

Remarquonsque,grˆace`alaformeparticuli`eredesb1 etb2 dansl’exemple,lescoef-ficientsaik ci-dessus(i=1,2;k ∈{1,2,3,4})sontdes elementsdeA.

AJ xJ =i∈J

bi xJi =

i∈J −{r }bixJ

i +br xJr

=i∈J −{r}

bi xJi +

1ark

ak −i∈J −{r}

aik bi xJr

=i∈J −{r}

bi xJi

− aik

arkxJ

r +ak xJr

ark=

i∈J

bi xJi =A J xJ

def=x J

idef=x J

k

(2)

Commexestsolutiondebaser ealisable,onaA J xJ =b. Onposex Ji =0pour

i/∈J. xestalorssolutiondebaserealisablede(P=)parrapport aJsix Ji

≥ 0. Il

–12–

s’ensuitde(2)que

xJi

≥ 0⇔ xJi

≥ aik

arkxJ

r⇔ xJ

i

aik≥ xJ

r

ark·

↑

aik >0

Ilfautdoncchoisirrtelque

xJr

ark=min

xJi

aik,a ik >0,i ∈J . (3)

2)Choixdek.Soitxunesolutiondebaser ealisableparrapportalabaseJ. Alors

z(x)=cx=i∈J

cixJi =

i∈J −{r}ci xJ

i− aik

arkxJ

r +ckxJ

r

ark

=i∈J

cixJi

− cr xJr

−i∈J −{r}

ciaik

arkxJ

r +ckxJ

r

ark

=z(x) −i∈J

ciaik

arkxJ

r +ckxJ

r

ark

=z(x)+xJ

r

arkck −

i∈J

ci aik

z(x)>z(x) ⇔ ck −i∈J

ci aik >0.

Notonszk =i∈J

ci aik . Ilfautdoncchoisirktelque

zk −ck <0

ouencore

zk − ck =minj =1,...,n

zj − cj ,z j <c j etilexistei ∈Jtelquea ij >0. (4)

Retoural’exemple: J= {3,4},c 3 =c 4 =0, etdoncz j =0pourj=1 ,2,3,4.Donczj −cj = −cj ,j=1,2,3,4. Donck=1.

Choixder:xJ

r

ar1=min

xJi

ai1; ai1 >0,i ∈ J =min

123

,147

=2. Donc

r=2.x 4 sortdelabase, etx 1 entreenbase. NouvellebaseJ= {3,1}. D’apres

–13–

(2)ona xJ1 =x 3 =x J

1− a11

a21xJ

2 =12 − 3714=6, xJ

2 =x 1 =xJ

2

a21=2. Donc

x=(2 ,0,6,0).z (x)=c J1xJ

1 +c J2xJ

2 =c 3x3 +c1x1 =4 × 2=8. LepassagedeJ= {3,4} `aJ= {3,1} adoncpermisd’augmenterlavaleurdez`a8,maiscen’estpasencorelavaleurmaximale.

3)Calculdunouveautableau.Reprenonslatransformationobtenueen1)dex−→ xquiapermisd’augmenterlavaleurdez. Puisquelavaleurz(x) >z(x) n’estpasnecessairementmaximale,il estnecessaire,engeneral,der epeterlesdemarches1)et2)plusieursfoispourarriveraunesolutiondebaserealisablequiestunpointmaximaldez.

Il nousfautdoncundeuxi emetableauouxJ estremplaceparx J etqui admetlamemeinterpretationquelepremier. Il fautappliquerlamemetransformationlineaireauxcolonnesdeAquiapermisdepasserdex`ax voir(2). A=(a ij ,i=1,...,m,j=1,...,n)estremplac´ epar A=(a ij ,i=1 ,...,m,j=1,...,n),suivantlesformules:

aj =

a1j...

amj

−→ aj =

a1j...

amj

, o`uaij =a ij − aik arj

ark(sii=r)eta rj =

arj

ark· (5)

Onauraalorsn

j =1

aij xj =bi ⇔n

j =1

aij xj =bi , (6)

o`ubi ,i=1,...,m,sontlesnouvellesvariablesdebasexJi .

Ladernierelignedunouveautableausecalculedelamˆemefa¸con:

zj − cj =z j −cj − arj

ark(zk −ck). (7)

Onaenfait zj − cj = i∈J ci aij −cj parceque

i∈J

ciaij − cj =i∈J −{r}

ci aij − aik arj

ark+ck

arj

ark− cj

=i∈J

ci aij −cr arj − arj

ark i∈J −{r}ci aik +ck

arj

ark−cj =z j − cj − arj

ark(zk −ck).

Enappliquantcecianotreexemplenousobtenonsledeuxi`emetableaudusimplexeparrapportalabase J= {3,1} .

–14–

DeuxiemetableaudusimplexeJ= {3,1}

c 4300

cj variablesdebase x1 x2 x3 x4

0 xJ1 =x 3 6 0 22/7 1 -3/7

4 xJ2 =x 1 2 1 2/7 0 1/7

z(x) 8 0 -13/7 0 4/7

Commeonad ej`avuepartie2)lavaleurdezestpass´eedezero`a8,maisil yaencoredesvaleursn´egativesenderni`erelignedutableau.Unautrechangementdebasedoitetreeffectu´eenappliquantlesformules(3)et(4)remplac´epar J:

k=2, minxJ

i

ai2; i=1,2 =min

22/7

,6

22/7=min 7,

2111

=2111

,

r=1,x 3 sortdebase.J= {2,1} estlanouvellebase.

Remarquonsque,d’apres(6), ledeuxiemetableaus’interpr`etedememefa¸conquelepremier:

0 227 1 −3

71 2

7 0 17

x1

x2

x3

x4

=6

2=

x3

x1=

xJ1

xJ2

avecsolutiondebaserealisablexJ =x1

x3=

26

et x2 =x 4 =0.

Notonsaussiquelastructuredescolonnesqucorrespondentauxvariablesdebase(x1 etx 3)estlamˆ emequecelledescolonnesquicorrespondentauxvariablesdebasedutableaudedepart.Cecipermetdeprocederdememefa¸conpourpasserautroisiemetableau,enappliquantlesformules(2)`a(7). Lavaleurdezpassealorsde8 a127/11,etcettevaleurestmaximaleparcequetouteslesvaleursdeladerni`erelignesontnonnegatives.Lasolutionoptimaleestdonc˜x=(x1,˜x2)= 16

11, 2111 ,

cequiconfirmeleresultatobtenuenI.2.

Elleestuniqueparcequ’aucunchangementdebasen’estpluspossible.

–15–

TroisiemetableaudusimplexeJ= {2,1}

c 4300

cj variablesdebase x1 x2 x3 x4

3 ˜xJ1 =x 2 21/11 0 1 7/22 -3/22

4 ˜xJ2 =x 1 16/11 1 0 -1/11 2/11

z(x) 127/11 0 0 13/22 7/22

I.4. Existenceetunicited’unesolutionoptimale.Danscettesectionnousr´esumonscequiaeteditenI.3,etnous´etudionslesdiverscasquipeuventseproduireenr´esolvantunprogrammelin´eaire`al’aidedusimplexe.

Apresavoir ecritlepremiertableaudusimplexeetajout ez j = −cj enderniereligne,troiscassontpossibles:

(i)z j −cj ≥ 0pourj=1,...,n. Lasolutiondebaserealisablexestdej`aoptimale.Elleestsolutionoptimaleuniqueounonunique(voirlesexemplesci-dessous).

(ii)Il existej ∈{1,...,n } tel quezj − cj <0eta ij ≤ 0pourtousi ∈ J.Ledomainedessolutionsr´ealisablesestalorsnon-born´eetleprobl emeaetemalpose,parcequemaxz(x)=+ ∞ .Exemple: maximiserz(x1,x2)=x 1 +x 2 souslescontraintes−x1 +x 2 ≤ 1,x1,x2 ≥ 0.

(iii)Lecashabituel: ilexistej ∈{1,...,n } telquezj −cj <0,etilexistei ∈Jtelqueaij >0. Lechangementdebasetelqu’ilaet´ed´ecritenpartieI.3ci-dessusestalorspossibleetdoitetreeffectu´e, eventuellementplusieursfois,jusqu’`acequ’onarriveaucas(i)ci-dessus.

Est-cepossiblequelesimplexen’aboutitpas,c’est-`a-direque,danslecas(iii), onarrivedansunloop? Lar eponseestoui,etdetelsexemplesont eteconstruits.Maisenpratiqueilssonttr esrares.

Exempleso`ulasolutionoptimalen’estpasunique:

1)maximiserz(x1,x2)=2x 1 − x2

souslescontraintes 2x1 −x2 ≤ 4, −x1 +x2 ≤ 1, −x1 +2x2 ≤ 4, 2x1 +x2 ≤12,x1,x2 ≥ 0.

Ladroitequi correspondalapremi erecontraintedonneexactementladirectionindiqueeparlafonction` amaximiser. Lapartiedecettedroitequi appartientauborddel’ensembledessolutionsrealisablesestdoncl’ensembledessolutionsrealisablesoptimales.Remarquonsquelesimplexenousdonneseulementlespointsextr´emauxdusegmentdessolutionsoptimales.Cesontpr ecisementlessolutionsdebaser ealisable

–16–

optimales.Lesautressolutionsrealisablesoptimalessontlescombinaisonsconvexesdecessolutionsdebaseoptimales.Il esttoujoursvrai quelessolutionsdebaseoptimalessontdespointsextr´emauxdel’ensembleconvexedessolutionsoptimales(voirTh eoreme5.2).

2)maximiserz(x1,x2,x3)=x 1 − 2x2 +x 3,souslescontraintesx1 − 2x2 +x 3 ≤ 10,2x1 − 3x2 − x3 ≤ 6,x 1,x2,x3 ≥ 0.

Premiertableau

c 1-2100

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5

0 xJ1 =x 4 10 1-2110

0 xJ2 =x 5 6 2-3-101

z(x) 0 -12-100

Deuxiemetableau

c 1-2100

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5

0 xJ1 =x 4 7 0 -1/2 3/2 1 -1/2

1 xJ2 =x 1 3 1 -3/2 -1/2 0 1/2

z(x) 3 0 1/2 -3/2 0 1/2

Troisiemetableau

c 1-2100

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5

1 xJ1 =x 3 14/3 0 -1/3 1 2/3 -1/3

1 xJ2 =x 1 16/3 1 -5/3 0 1/3 1/3

z(x) 10 00010

Letroisiemetableaunousfournitlasolutiondebaseoptimale.x= t 163

, 0,143

·

Eneffectuantuneetapesuppl´ementairedusimplexe(k=5,r=2)onarrive` auneautresolutiondebaseoptimalex= t(0, 0, 10):

–17–

Quatriemetableau

c 1-2100

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5

1 xJ1 =x 3 10 1-2110

0 xJ2 =x 5 16 3-5011

z(x) 10 00010

Touteslescombinaisonsconvexesdecesdeuxsolutionsoptimalessontdoncdessolutionsoptimalesaussi.Independantdusimplexeonpeutverifierdirectementquelesvecteurssuivantssontdessolutionsoptimaleseuxaussi:

xϕ = t 163

+53ϕ, ϕ,

143

+13ϕ pourtousϕ>0

Ona´evidemmentz(x)=z(x)=z(x ϕ)=10pourtousϕ>0.

Terminonsceparagraphepardespreuvesmath´ematiquesdequelques´enonc´escon-cernantlesimplexe.Retournonsalaformestandard:

(P=)maximiserz(x)=cxsouslescontraintesAx=b, x ≥ 0

Theoreme4.1.Soitx ∈Rn+ unesolutiondebaserealisablede(P=)parrapport

`aunebaseJ |J | =m=rangA. Soitz j =i∈J

ciaij .Siz j − cj ≥ 0pourtous

j=1,...,n,xestsolutiondebaser´ ealisableoptimale.

Preuve.SoitA=(a 1,a2,...,a n),A J =(a j ,j ∈J)=(b i ,i=1,...,m).Soitx0 uneautresolutionrealisablede(P=)parrapportalabaseJ.Ad´ emontrer:z(x) ≥ z(x0).

Ax0 =b ⇔n

j =1

aj x0j =b ⇔

n

j =1

m

i=1

aij bi x0j =

m

i=1

bin

j =1

aij x0j =b

Ax=b ⇔ A J xJ =b ⇔m

i=1

xJi bi =b

DoncxJi =

n

j =1

aij x0j i=1,...,m

z(x)=m

i=1

ci xJi =

m

i=1

ci

n

j =1

aij x0j =

n

j =1

x0j

m

i=1

ci aij

=n

j =1

x0j zj ≥

n

j =1

x0j cj =z(x 0)

–18–

Theoreme4.2.Soitx ∈Rn+ unesolutiondebaserealisablede(P=)parrapport

`aunebaseJ. |J | =m=rangA. Soitz j =i∈J

ci aij . Supposonsqueaij ≤ 0pour

tousi ∈Jetpourtousj ∈{1,...,n } telquezj −cj <0. Alorsl’ensemblez(x),xestsolutionrealisableestunensemblenonborn´e.

Preuve.OnreprendlesnotationsduTheoreme4.1.

AJ xJ =m

i=1

bi xJi =

m

i=1

bixJi

− ϕak +ϕak =bk/ ∈J,z k <ck,ϕ>0

⇔m

i=1

bi xJi

−ϕm

i=1

aik bi +ϕak =b

⇔m

i=1

bi (xJi

− ϕaik )+ϕa k =b.

Commeaik ≤ 0parhypothese,xϕi

def=x J

i− ϕaik ≥ xJ

i . Onposexϕk

def=ϕ>0.

Doncxϕ definieparxϕi i ∈J ∪{k} commeci-dessusetparxϕi =0pouri/ ∈J ∪{k}

estunesolutionrealisablede(P=),maispasn ecessairementunesolutiondebaserealisable.

z(xϕ)=m

i=1

ci xϕi +ckxϕ

k =m

i=1

ci (xJi

− ϕaik )+c kϕ

=z(x) − ϕm

i=1

ci aik −ck =z(x) − ϕ(zk −ck)>z(x)

puisquezk − ck <0. Enfaisanttendre ϕ +∞ onvoitquez(x ϕ)n’estpasborne.

I.5. Structuregeometriquedessolutionsr´ealisables.Pourlesexemplesqu’onar esolugraphiquement,laoulessolutionsoptimalessetrouventtoujourssurleborddel’ensembleconvexedessolutionsr´ealisables.Silasolutionoptimaleetaituniqueil s’agissaitd’unpointextremal.Cecin’estpasunhasard;c’estenfaittoujourslecas,commelemontrentlesenonc´esquisuivent.

Commen¸consparquelquesd´efinitions:. UnensembleE⊂R n estconvexesi

x1,x2 ∈E,0<λ<1= ⇒ λx1 +(1 −λ)x2 ∈E.

. xestpointextremaldel’ensembleconvexeEsil’enonc´esuivantvaut

ilexiste x1,x2 ∈Eetλ ∈[0,1]telquex=λx 1 +(1 −λ)x2 =⇒ x1 =x 2 =x

–19–

Rappelonslaformecanoniqued’unprogrammelin´eaire:

(P)maximiserz(x)=cx

souslescontraintesAx≤ b, x ≥ 0,

o`uonsupposequelamatriceAestunematricem× nderang´egal`am(<n). Laformestandardestalorsdonn´eepar

(P=)maximiserz(x)=cx

souslescontraintes(A,Im)xe

=b,x ∈Rn+,e ∈Rm

+

Lemme5.1.SoitΓ(resp. Σ)l’ensembledessolutionsr´ealisablesde(P) resp.de(P=)):

Γ= {x ∈Rn , ; Ax ≤ b, x ≥ 0}

Σ=xe

∈Rm+n , (A,I m)xe

=0,x ∈Rn+,e ∈Rm

+

ΓetΣsontdesensemblesconvexesetferm´es.

Esquissedelapreuve.Ad emontrer

a)x 1,x2 ∈Γ, 0<λ<1= ⇒ xdef=λx 1 +(1 − λ)x2 ≥ 0etAx ≤ b

b) {xn}n∈N ⊂ Γ,x n −→n↑∞

x=⇒ x ∈Γ

etpareilpourΣ.

Rappelonsquelamethodedusimplexesesertuniquementdesolutionsdebasede(P=). Letheoremesuivantnousditquecesontenfaitlespointsextr´emauxdeM.

Theoreme5.2x0

e0 estsolutiondebaserealisablede(P=)si etseulementsi

x0

e0 estpointextremaldeΣ.

Remarque.Ils’ensuitquechaquepointextr´emaldeΓestsolutiondebaser´ealisablede(P=).

Lesexempleso`ulasolutionn’estpasuniquemontrentquelessolutionsoptimalessetrouventsurlebord. Leth eoremesuivantconfirmecefait.

Theoreme5.3. Chaquesolutionoptimalede(P)(resp.de(P=))faitpartieduborddeΓ(resp. deΣ).

–20–

Preuve.Soituunpointint´erieurdeΣ,telquez(u)=cu=max {z(v),v ∈Σ}.Il

existealorsε>0telque {v ∈Rn+m ; |u−v| <ε}⊂ Σ,enparticulier v=u+εz

tc|c|

.

Maisz( v)=c v=cu+ε2|c| >z(u),cequiestunecontradictional’hypothesequeu

estunpointmaximaldez.

Est-cepossiblequ’ilexistedessolutionsoptimales,maisqu’iln’existepasdesolutiondebaserealisableoptimale?Lesimplexe,netraitantquedesolutionsdebasenepermettraitalorspasdetrouverunesolutionoptimale.Leth eoremesuivantditquececin’estpaslecas.

Theoreme5.4.Si(P=)poss`edeunesolutionoptimale,alors(P=)possedeunesolutiondebaserealisableoptimale.

Conclusion.S’ilexistedessolutionsoptimales,ellessetrouventsurleborddeΣparletheoreme5.3.,etilexistetoujoursunesolutiondebaser´ealisableoptimale,quiestunpointextremaldeΣd’apresleTh eoreme5.2.etqu’ontrouveal’aidedusimplexe.

I.6. Initialisationdelamethodedusimplexe.Jusqu’`apresentonasupposequeleprogrammelin eairededepartestenformecanonique. Dans cecas unesolutionr ealisableinitialeestfacileaobtenir, etl’algorithmedusimplexes’appliquedirectement`alaformestandardassociee.Sileprogrammeded´epartestdej`aenformestandard,unesolutiondebaser´ealisablequisertdesolutioninitialen’estpastoujoursimm´ediatecommelemontrel’exemplesuivant:

Maximiserz(x)= −x1 +2x2 − 2x3

souslescontraintesx1 +x 2 − x3 =3, −x1 +3x2 = −4etx 1,x2,x3 ≥ 0.

Nouspresentonsdanscettesectiondeuxtechniquesquipermettentdetrouverunesolutiondebaserealisablequisertdesolutioninitialepourlesimplexe.

I.6.1.LaM´ethodeM.Supposonsqueleprogrammelin´eaire`aresoudreestdonn´epar

(P=)maximiserz(x)=cx,

souslescontraintesAx=b,x ≥ 0

(Amatricem ×n,RangA=m<n).

Enajoutantdesvariablesd’´ecarts(designepositifoun´egatif)ilesttoujourspossibledemettreunprogrammelin´eaireenlaforme(P=)ci-dessusavecb∈Rm

+ . S’iln’est

–21–

pasevidentdetrouverunesolutiondebaserealisablequipeutservirdesolutioninitialepourlesimplexe,onajouteauxcontraintesdesvariablesartificiellesyi ≥ 0:

Ax=bestremplaceparAx+y=b, y= t(y1,y2,...,y m) ∈Rm+ .

Lesnouvellescontraintesnesontbiensurpas´equivalentesauxcontraintesinitiales.Onp enaliselesyi >0enrempla cantlafonction-objectifz(x)parz(x,y)=cx −

Mm

i=1

yi ,o uMestunevaleurpositivetr` eselevee. Onchoisiralesy i =b i ,i=

1,...,m,commesolutiondebaserealisablequisertdesolutioninitiale.Diminuantconsiderablementlavaleurdez,ellesvontdisparaˆıtredelabaseaucoursdesetapesdusimplexe.Etantfinalementdesvariableshorsbase,leurvaleursera´egale`az´eroetleprogrammelineaireresoluseraquandmemeleprogramme(P=).

Defaconplusprecise,onpartduprogrammelineairesuivant:

(PM )maximiserz(x,y)=cx − Mm

i=1

yi

souslescontraintesAx+y=b, x ∈Rn+,y ∈Rm

+ ,b ∈Rm+ .

S’il yadescomposantesdebqui sontnegatives,onmultipliepar( −1)lescon-traintesinitialesconcern´ees.

Lasolutiondebaserealisableinitialeesty=b.Onexprimez entermesdevariableshorsbaseensubstituantlesyi :

n

j =1

aij xj +yi =bi ⇔ yi =bi −n

j =1

aij xj

z(x,y)=cx − Mm

i=1

bi −n

j =1

aij xj

=n

j =1

cj +Mm

i=1

aij xj − Mm

i=1

bi

1ercas.Letableaufinal dusimplexeappliqu´e`a(PM )comporteunouplusieursyi >0. Leprogrammeinital(P=)n’aalorspasdesolutionsdebaser ealisablesetdoncpasdesolutionsrealisablesdutout.

Eneffet: Si (P=)poss`edeunesolutiondebaserealisable(c’est-`a-dire∃ x ∈R n+

tel queAx=b), leM>>0auraitfaitsortirtouslesy i delabaseenlesposantegal`azero.

2ndcas.Letableaufinal necomportepasdeyi envariablesdebase.Lasolutionoptimalede(PM )estalorssolutionde(P=), parcequeyi =0( i=1 ,2,...,m).Ilrestealors`asepersuaderqu’ils’agitdela(oud’une)solutiondebaserealisableoptimalede(P)(voirTh´eoreme4.1.).

–22–

Exemple(suite): Lesnouvellescontraintesselisentx1 +x2 −x3 +y1 =3, −x1 +3x2+y2 = −4,x 1,x2,x3,y1,y2 ≥ 0. Apresavoirsubstitu´ey1 ety2 danslafonction-objectif,onobtientz(x,y)=( −1+2M)x 1 +(2 − 2M)x2 +(−2−M)x 3.

Premiertableau

c -1+2M 2-2M -2-M 00

c variablesdebase x1 x2 x3 y1 y2

0 y1 3 11-110

0 y2 4 1-3001

-7M z(x) -7M 1-2M -2+2M 2+M 00

Deuxiemetableau

c -1+2M 2-2M -2-M 00

cj variablesdebase x1 x2 x3 y1 y2

-1+2M x1 3 11-110

0 y2 1 0-41-11

-7M z(x) -3-M 0 -3+4M 3-M -1+2M 0

Troisiemetableau

c -1+2M 2-2M -2-M 00

c variablesdebase x1 x2 x3 y1 y2

-1+2M x1 4 1-3001

-2-M x3 1 0-41-11

-7M z(x) -6 0902+ M -3+M

Lasolutionoptimaleuniqueestdonn´eeparx1 =4,x 2 =0,x 3 =1etz(x 1,x2,x3)=−6.

I.6.2.Leprogrammeauxiliaire.Supposonsqueleprogrammelin´eaire`aresoudresoitdonn´epar

(P=)maximiserz(x)=cx,

souslescontraintesAx=b,x ≥ 0.

–23–

Lamethodeduprogrammeauxiliaireconsiste`afairetendreM ↑+∞ dans(PM )etresoudreleprogrammequ’onobtientapr`eslepassage`alalimite.Soit

z”(x,y)def=

1M

z (x,y)=c

Mx −

m

i=1

yi .

Maximiserz(x,y)revientamaximiserz”(x,y)ouencore`amaximiserlimM →∞

z”(x,y)=

−m

i=1

yi .Onr´esouddoncleprogrammeauxilaire(PA ),donnepar

(PA )maximiserz”(y)=−

m

i=1

yi

souslescontraintesAx+y=b, x ∈Rn+,y ∈Rm

+ ,b ∈Rm+ .

Onappliquelesimplexe`a(PA )enpartantdelasolutiondebaser ealisabley=b.

1ercas.maxz”(y)<0. Il existeyi >0,i ∈{1,2,...,m }. (P=)n’adoncpasdesolutionsrealisables.Sinonmaxz”(y)=0.

Exemple.maximiserz(x1,x2,x3,x4)=x 1 +x2 +x 3 +x 4

sous x1 +2x2 +x 3 =2,x1 +x 2 +5x3 =12,x1 +2x2 +6x3 +x 4 =13,x 1,x2,x3,x4 ≥ 0

maximiserz”(x,y)=−y1 −y2 = −14+2x1 +3x2 +6x3

sous x1 +2x2 +x 3 +y1 =2,x1 +x 2 +5x3 +y2 =12,x1 +2x2 +6x3 +x 4 =13,x 1,x2,x3,x4,y1,y2 ≥ 0.

Premiertableau(x4 tientlieudevariableartificielle)

c 236000

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 y1 y2

0 xJ1 =y1 2 121

∗010

0 xJ2 =y2 12 115001

0 xJ3 =x 4 13 126100

-14 z”(x) -14 −2-3-6000

–24–

Deuxiemetableau

c 236000

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 y1 y2

6 xJ1 =x 3 2 121010

0 xJ2 =y2 2 -4 -9 0 0 -5 1

0 xJ3 =x 4 1 -5 -10 0 1 -6 0

-14 z”(x) -2 490060

Lasolutionoptimaleest: x1 =x 2 =0,x 3 =2,x 4 =1,y 1 =0y 2 =0. Lavaleurmaximaledez”(x,y)etantnegative,leprogrammelineaireenquestionn’apasdesolutionrealisable.

2ndcas.maxz”(y)=0. Lasolutionoptimalede(P A )peutservirdesolutiondebaserealisableinitialepourl’algorithmedesimplexeappliqu´e`a(P=).Ilfautalorsexprimerlafonction-objectifde(P=)entermesdesvariableshorsbaseetappliquerlesimplexe`a(P=).

Exemple:

maximiser z(x1,x2,x3,x4)=x 1 +x 2 +x 3 +x 4

sous 2x2 +x 3 =2

x1 +x 2 +5x3 =12

x1 +2x2 +6x3 +x 4 =13,x 1,x2,x3,x4 ≥ 0.

(PA )

maximiser z”(x,y)= −y1 − y2 = −14+x1 +3x2 +6x3

sous 2x2 +x 3 +y1 =2

x1 +x 2 +5x2 +y2 =12

x1 +2x2 +6x3 +x 4 =13,x 1,x2,x3,x4,y1,y2 ≥ 0

Premiertableau(x4 tientlieudevariableartificielle)

c 136000

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 y1 y2

0 xJ1 =y1 2 021

∗010

0 xJ2 =y2 12 115001

0 xJ3 =x 4 13 126100

-14 z”(x) -14 -1 -3 -6 0 0 0

–25–

Deuxiemetableau

c 136000

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 y1 y2

6 xJ1 =x 3 2 021010

0 xJ2 =y2 2 1-900-51

0 xJ3 =x 4 1 1

∗-10 0 1 -6 0

-14 z”(x) -2 -190060

Troisiemetableau

c 136000

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 y1 y2

6 xJ1 =x 3 2 021010

0 xJ2 =y1 1 01

∗0-111

1 xJ3 =x 1 1 1 -10 0 1 -6 0

-14 z”(x) -1 0-10100

Quatriemetableau

c 136000

c variablesdebase x1 x2 x3 x4 y1 y2

6 xJ1 =x 3 0 0012-1-2

3 xJ2 =x 2 1 010-111

1 xJ3 =x 1 11 100-9410

-14 z”(x) 0 000011

Lasolutionoptimaleest: x1 =11,x 2 =1,x 3 =x 4 =y 1 =y 2 =0,z ”(x,y)=0.Cettesolutionsertdesolutioninitialepourlesimplexeappliqu´eauprogrammededepart.Afind’exprimerz(x1,x2,x3,x4)=x 1 +x2 +x3 +x4 entermesdevariableshorsbase,onlitlequatri emetableaudelafaconsuivante:

0=x 3 +2x4

1=x 2 − x4

11=x 1 − 9x4

–26–

Onend eduitz(x1,x2,x3,x4)=x 1 +x2 +x3 +x4 =9x4 +12(x4 etantvariablehorsbase).

Cinquiemetableau

c 0009

c variablesdebase x1 x2 x3 x4

0 xJ1 =x 3 0 0012

∗

0 xJ2 =x 2 1 010-1

0 xJ3 =x 1 11 100-9

12 z(x) 0 000-9

Sixiemetableau

c 0009

c variablesdebase x1 x2 x3 x4

9 xJ1 =x 4 0 0 0 0.5 1

0 xJ2 =x 2 1 0 1 0.5 0

0 xJ3 =x 1 11 1 0 4.5 0

12 z(x) 0 0 0 4.5 0

Lasolutionoptimaleduprogrammeded´epartestalorsx1 =11,x 2 =1,x 3 =x 4 =0.z(x1,x2,x3,x4)=12.

–27–

II. Programmationlineaire: Dualite, programma-tionennombresentiers,analysepostoptimale.

II.1. Leprogrammelineairedual.Commen¸consparuneinterpr´etationeconomiqueduprogrammedual.Exemple.Problemedelaproduction.Notons:xj nombred’unit´esduproduitP j fabriqueesenentrepriseI(j=1,2,...,n)aij nombred’unitesdelamati erepremiereM i utiliseespourlafabricationd’une

unit´edePjcj beneficedel’entrepriseIenvendantuneunit´edePj .

Leprogrammelineairepourdeterminerleplandeproductionquipermetdemax-imiserlebeneficedel’entrepriseIs’enoncecommesuite:

maximiser z(x)=cx

souslescontraintesdedisponibilit´en

j =1

aij xj ≤ bi (i=1,2,...,m),x j ≥ 0( j=1,2,...,n).

Enformematriciellelescontraintesselisent: Ax ≤ b, x ≥ 0o uA=(a ij ; i=1,2,...,m,j=1,2,...,n),b= t(b1,b2,...,b m).Supposonsquel’entrepriseIIessaiedes’emparerdumarch´e. Sousl’hypoth`esed’uncomportement´economiquedel’entrepriseI,celle-ciestprete`acederlesmatierespremieres`aunprixqui estaumoinsaussi elevequeleb´eneficequ’elleferaenvendantsesproduits.Soityi leprixquel’entrepriseIIdevrapayerpouruneunit´edeMi (i=1,2,...,m).Lescontraintessontlessuivantes:

m

i=1

yi aij ≥ cj (j=1,2,...,n),y i ≥ 0( i=1,2,...,m).

EnformematricielleyA≥ c, y ≥ 0ouy=(y 1,y2,...,y m). L’entrepriseIIessaierademinimiserlecoˆutd’achatdesmatierespremieres: elleessaierademinimiserm

i=1

yi bi .

Leprogrammelineairepourl’entrepriseIIestdoncdeminimiserw(y)def=ybsous

lescontraintesyA≥ c, y ≥ 0.Commeonverrail yaunlienmath´ ematiqueetroitentrelesdeuxprogrammeslineaires.

Definition. Programmeprimal Programmedual

(P)maximiserz(x)=cxsousAx ≤ b, x ∈Rn

+(D)

minimiserw(y)=ybsousyA≥ c, y ∈Rm

+

–28–

Remarque.Onalienssuivants:m=nombredecontraintesde(P)=nombredevariablesde(D),n=nombredevariablesde(P)=nombredecontraintesde(D).Si (P)contientdeuxcontraintes,(D)contientdeuxvariablesetpeutˆetreresolugraphiquementquelquesoitlenombredevariablesde(P).

Quelleestlaformede(D)si(P)n’estpasenformecanonique?Ond´ etermine(D)enramenant(P) alaformecanonique,commelemontrel’exemplesiuvant:

Exemple:

(P)maximiser z(x)=cx

sous Ax=b, x ≥ 0⇐⇒ A−A

x ≤ b−b

,x ≥ 0.

Parlad´efinitionci-dessusledualde(P)estdonnepar

(D) minimiser w(u,v)=(u,v)b

−b=(u − v)b

sous (u,v)A

−A=(u −v)A ≥ c, u,v ∈Rm

+ .

Enposanty=u −v,onobtient

(D)minimiserw(y)=ybsousyA ≥ c, ysansrestrictiondesigne not´e(y).

Ler esultatgeneralestlesuivant. Pourcomprendreprecisementsonmessage,ilconvientd’etudiersapreuve.

Theoreme1.1.Lesliensentreleprogrammeprimaletsondualsontlessuivants:

Primal Dualmaximisation minimisationcoefficientdez secondmembredescontraintessecondmembredescontraintes coefficientdew

contrainte

=≤≥

variable

sanscontraintedesigne≥ 0≤ 0

variable

sanscontraintedesigne≥ 0≤ 0

contrainte

=≥≤

–29–

Preuve.Onsedonne

(P)maximiserz(x,y)=cx+dysousAx+By ≤ a, Cx+Dy=b, x ≥ 0, (y)

(c,x) ∈Rs,d,y ∈Rn−s,Amatricer × s, Bmatricer × (n − s)

matrice(m−r) × s, Dmatrice(m − r) × (n −s).

Ond emontrequeledualde(P)estdonn epar:

(D)minimiserw(u,v)=ua+vbsousuA+vC ≥ c, uB+vD=d, u ≥ 0, (v)

maximiserz(x)=cx+dysousAx+By ≤ a

Cx+Dy=bx ≥ 0, (y)

⇐⇒

maxz(x)=cx+dysousAx+By ≤ a

Cx+Dy ≤ bCx+Dy ≥ b

x ≥ 0, (y)

⇐⇒

maxz(x)=cx+dy 1 − dy2

sousAx+By 1 − By2 ≤ aCx+Dy 1 −Dy2 ≤ b

−Cx −Dy1 +Dy 2 ≤−bx ≥ 0,y 1 ≥ 0,y 2 ≥ 0

⇐⇒

maxz(x)=(c,d, −d)

xy1

y2

sous

AB −BCD −D

−C −DD

xy1

y2

≤

ab

−b

Passonsaudual:

minw(y )=y

ab

−b

sousy

AB −BCD −D

−C −DD

≥ (c,d,−d)

y ≥ 0

⇐⇒ (avecy =(u,v 1,v2))

minw(u,v1,v2)=ua+v 1b−v2b=ua+(v 1 − v2)bsousuA+v1C − v2C=uA+(v 1 −v2)C ≥ c

uB+v 1 D −v2D=uB+(v 1 − v2)D ≥ d−uB − v1D+v 2D= −uB − (v1 −v2)D ≥−du ≥ 0,v 1 ≥ 0,v2 ≥ 0

⇐⇒ (avecv=v1 −v2)

minw(u,v)=ua+vbsousuA+vC ≥ c

uB+vD ≥ d−uB −vD ≥−du ≥ 0, (v)

⇐⇒

minw(u,v)=ua+vbsous uA+vC ≥ c

uB+vD=du ≥ 0, (v)

L’interpretationestalorslasuivante:lacontrainteegalit´ede(P)estCx+Dy=b,etbestli´eavdans( D)qui estunevariablesanscontraintedesigne.Lavariable

–30–

yestsanscontraintedesignedans(P). ElleestfacteurdeBetDqui formentlacontrainteegalitedans(D).

Theoreme1.2.Ledual dudualestleprimal.

Preuve.Pourledualdelad´efinitionci-dessusona

minw(y)=ybsousyA≥ c

y ≥ 0⇐⇒

max − w(y)= t(−b)tysous(−tA)ty ≤−c

y ≥ 0.

Ledualestdoncdonneparminz(x)= −cxsoustx(−tA) ≥ t(−b)

x ≥ 0⇐⇒

max − z(x)=cxsousAx ≤ b

x ≥ 0.

Lad emonstrationdanslecasplusg´eneralduTh eoreme1.2estanalogue.

II.2. Letheoremededualite.Apresavoirdefinileduald’unprogrammelin´eaire,nousetudionsdanscettesectionlesliensentrelessolutionsdeprogrammesendualit´e.

Proposition2.1.Soit(x,y)unesolutionr´ealisablede(P)et(u,v)unesolutionrealisablede(D). Alors:1)z(x,y) ≤ w(u,v)2)z(x,y)=w(u,v)= ⇒ (x,y)et(u,v)sontdessolutionsoptimalesde (P)et(D).

Preuve.1)z(x,y)=cx+dy ≤ (uA+vC)x+(uB+vD)y(D)

=u(Ax+By)+v(Cx+Dy) ≤ ua+vb=w(u,v)(P)

Danscettechained’in´egalitesilestimportantdenoterquex ≥ 0etu ≥ 0.2)ua+vb etantunebornesup´erieurepourz(x,y),l’egalitez(x,y)=ua+vbsignifieque(x,y)estunpointmaximaldez. Raisonnementanaloguepourw(u,v).

Rappelonslestroiscasquipeuventseproduireenappliquantlesimplexe`a(P):

(i)ilexisteune(ouplusieurs)solutionsoptimalesfinies(ii)l’ensembledessolutionsr´ealisablesestnonborn´eetmaxz(x,y)=+∞

(iii)( P)neposs edepasdesolutionsrealisables.

Lem emeraisonnements’applique`a(D). Leth eoremesuivantditquetroiscasseulementseproduisentparmiles9caspossibles(voirtableauci-dessous).

–31–

(D)

(i) (ii) (iii)

(i) a) × ×

(P) (ii) × × b)

(iii) × b) c)

Theoreme2.2. (Theoremededualite). Seulslestroiscassuivantspeuventseproduire:a)( P)et(D)poss`edentdessolutionsoptimalesetmaxz(x,y)=minw(u,v).b)(P)ou(Dposs`edeunesolutionrealisable,maispaslesdeux.c)Ni( P)ni(D)poss` edentdessolutionsr´ealisables.

Preuve.Essentiellement`al’aidedelaproposition2.1.Pourlapartiec)ilsuffitdedonnerunexempleo`uni( P)ni(D)ontdessolutionsrealisables:(P)maximiserz(x 1,x2)=x 1 +x 2 sousx1 − x2 =1,x 1 − x2 = −1,x 1x2 ≥ 0(D)minimiserw(y1,y2)=y 1 −y2 sousy1 +y2 ≥ 1,y 1 +y2 ≤−1, (y1),(y2)

Supposonsmaintenantquelecasa)dutheoremeprecedents’estrealise. Quellessontlesliensentrelessolutionsoptimalesde(P)etde(D)? Commentcalculerl’uneapartirdel’autre?Lar´ eponsesededuitfacilementdutheoremesuivant.

Theoreme2.3. Soient(x,y)resp. (u,v)dessolutionsr ealisablesde(P)resp.de(D). (x,y)et (u,v)sont alorsdessolutionsoptimalesde(P)et de(D)si etseulementsilesenoncessuivantsvalent:

. Si unecontrainteestsatisfaiteentantqu’in´egalitedans( P)resp. (D), alorslavariablecorrespondantede(D)resp. de(P)estnulle.

. Si lavaleurd’unevariablerestreinte(c’est-a-direunevariable≥ 0ouunevariable≤ 0)dansl’undesprogrammes(P)ou(D)est=0,alorslacontraintecorrespondantedel’autreprogrammeestune´egalite.

Preuve.Soitξ ≥ 0telqueAx+By+ξ=a,etsoitη ≥ 0telqueuA+vC −η=c(ξ,ηsontdesvariablesd’ecart).Alors

z(x,y)=cx+dy=(uA+vC − η)x+(uB+vD)y=u(Ax+By)+v(Cx+Dy) −ηx

w(u,v)=ua+vb=u(Ax+By+ξ)+v(Cx+Dy)=u(Ax+By)+v(Cx+Dy)+uξ

Doncz(x,y) − w(u,v)= −ηx− uξ ≤ 0parconstruction.D’apresleth eoreme2.2(x,y)et(u,v)sontoptimalessietseulementsiηx+ξu=0. Doncsietseulement

–32–

siu i ξi =0pourtouti=1,2,...,retη j xj =0pourtoutj=1,2,...,s. L’assertions’ensuit:ξi >0 contrainte= dans (P) ⇒ ui =0variable =0 dans (D)ui >0 variable =0 dans (D) ⇒ ξi =0contrainte = dans (P)ηi >0 contrainte= dans (D) ⇒ xi =0variable =0 dans (P)xj >0 variable =0 dans (P) ⇒ ηj =0contrainte = dans (D)

Exemple.(P)maximiserz(x)=4x1 +5x2

sous3x1 +x 2 ≤ 1,x 1 +4x2 ≤ 1,x 1,x 2 ≥ 0

(D)minimiserw(y)=y1 +y2

sous3y1 +y2 ≥ 4,y 1 +4y2 ≥ 5,y 1,y 2 ≥ 0

solutionoptimalede(P):x=311

,211

· Commentendeduirelasolutionoptimale

de(D)?D’apresleTh eoreme2.3ona

x1 >0 ⇒ 3y1 +y2 =4x2 >0 ⇒ y1 +4y2 =5

⇒ (y1,y2)=(1 ,1)

Doncy1 =y2 =1estsolutionoptimalede(D). Eneffetz311

,211

=2=w(1,1).

Lelienentrelessolutionsduprimaletledualsontfacilementvisiblessionlesr´esoudparlesimplexe.Enfait, lestableauxfinauxserecouvrentpartiellementcommelemontreleschemaci-apres. Lesvariablesd’ecartξde( P)sontnot eesξ1,ξ2, etlesvariablesd’´ecartηde( D)sontnot eesη1,η2.

(P) →→ x1 x2 ξ1 ξ2 solution

↓ (D) → η1 η2 y1 y2 optimalede(D)

↓↓

ξ1 y1 -4/11-1/11 101

ξ2 y2 -1/113/11 011

x1 η1 10 0

x2 η2 01 0

solution 3/11 2/11 00

optimalede(P)

Lescolonnesdex1 etx2 etladernierecolonnerepr´esententletableaufinaldusim-plexeappliqu´eauprimal. Lasolutionoptimaleduprimalapparaˆıtenderniereligne:x1 =3/11,x 2 =2/11(letableauesttranspos eparrapport`alarepr esentationhabituelle:leslignesdutableauhabituelsontlescolonnesici).

–33–

Leslignesdey1 ety2 etladerni ereligneformentletableauoptimaldusimplexeappliqueaudual. Lasolutionoptimaledudual apparaˆıtenderni erecolonne:y1 =y2 =1.Il n’estdoncpasnecessairederesoudre(P)et(D). Il suffitder esoudre(P)ou(D), lasolutionoptimaledel’autresetrouvedansletableauoptimaldupremier,enderniereligne.Ilsuffitalorsd’identifierlesvariables:

xi → ηi ,ξ i → yi (i=1,2)

–34–

II.3.ProgrammationennombresentiersDans beaucoupdeproblemesd’optimisationunesolutionavaleurs entieresestexigee. Parexempledansleprobl emedelaproduction, o`ul’oncherchelenom-breoptimaldepieces`afabriquereto`ucenombreest,pourdesraisonspratiques,souvententier.L’exemplesuivantmontrealorsquecenombreoptimalentiern’estpastoujoursl’entierleplusprochedelasolutionoptimalesicelle-ciestfractionnaire.

Exemple.maximiser10x1 +11x2,souslacontrainte10x1 +12x2 ≤ 59,x1,x2 ≥ 0`avaleursenti`eres.Lasolutionoptimalexestdonn´eeparx=(x 1,x2)=(5 .9,0). Eneffet, x1 ≤5.9− 1.2x2,etonobtientlasolutionoptimaleenposantx 1 =5.9,x 2 =0. Maislasolutionx =(6,0)n’estpasr ealisableetlasolutionx =(5,0)n’estpasoptimaleparmilessolutionsavaleursentieres. Lasolutionoptimaleavaleursentieresestdonneepar˜x=(1,4).

Les methodespresent´eesci-dessouspour trouverlasolutionoptimale avaleursentieresutilisentlesimplexe`aplusieuresreprises.

II.3.1.Lam ethodeparseparationetevaluation(BranchandBound).

Exemple.

(P)maximiserz(x1,x2)=x 1 +4x2

souslescontraintes5x1 +8x2 ≤ 40,−2x1 +3x2 ≤ 9,x 1,x 2 ≥ 0et avaleursenti`eres.

1 17.67

517

2 3.75

2 15.67

1 3.67

313

1 3

4

Pas de solutionsréalisables

6 15.2

3.2 3

9

Pas de solutionsréalisables

715

33

814

1.55 4.03

X 1 1 X 1 2

X 2 3 X 2 4X 2 3

X 1 3 X 1 4

X 2 4

–35–

Etapes:

1)R esoudre(P) al’aidedusimplexesanstenircomptedelacontraintex 1,x2 `avaleursenti`eres.Solutionoptimale:x=(x 1,x2)=(1 .55,4.03).z(x)=17,67.Brancherparrapportax 1 :x 1 ≤ 1oux 1 ≥ 2.

2)Ajouterlacontraintex1 ≤ 1a(P)etr´esoudreceprogramme`al’aidedusimplexe,sanstenircomptedelacontraintex1,x2 `avaleursenti`eres.Solutionoptimalex=(1,3.67),z(x)=15 .67.Brancherparrapportax 2 :x 2 ≤ 3oux 2 ≥ 4.

3)Ajouter`a(P)lescontraintesx 1 ≤ 1etx 2 ≤ 3. Lasolutionoptimaledeceprogrammeest`avaleursenti`eres: x=(1,3),z (x)=13.Bornera13(c’est-`a-direnepaspoursuivrelebranchementsionobtientdessolutionsoptimales<13).

4)Ajouter`a(P)lescontraintesx 1 ≤ 1etx 2 ≥ 4. Ceprogrammen’apasdesolutionsrealisables.

5)Ajouter`a(P)lacontraintex1 ≥ 2. Lasolutionoptimalex=(2,3.75),z(x)=17.Brancherparrapportax 2 :x 2 ≤ 3oux 2 ≥ 4.

6)Ajouter`a(P)lescontraintesx1 ≥ 2etx2 ≤ 3. Solutionoptimalex=(3.2,3),z (x)=15 .2.Brancherparrapportax 1 :x 1 ≤ 3oux 1 ≥ 4.

7)Ajouter`a(P)lescontraintes2 ≤ x1 ≤ 3etx 2 ≤ 3. Solutionoptimalex=(3,3),z (x)=15.Bornera15.

8)Ajouter`a(P)lescontraintesx 1 ≥ 4etx 2 ≤ 3. Cassansint eretparcequez(x)=14<15pourlasolutionoptimalex.

9)Ajouter`a(P)lescontraintesx1 ≥ 2etx 2 ≥ 4. Pasdesolutionsrealisables.

Lasolutionoptimaleavaleursentieresestdonccelletrouveeen7): x1 =x 2 =3,z (x)=15.

Remarque:Lamethodeparseparationetevaluationn’intervientpasseulementenprogrammationlin´eaire,maisdanstouslesprobl`emesd’optimisation,o`uontravailleavecdesarbresdedecision.

II.3.2.Lam ethodedescoupes.

Exemple: maximiserz(x1,x2)=2x 1 +x 2

souslescontraintesx1 − 4x2 ≤ 0, 3x1 +4x2 ≤ 15,x1,x2 ≥ 0 avaleursentieres.

–36–

1

2

3

X2

0 12 3 45

3X 1 + =15

X1=3

X24X1=

X24

X 1

solutions réalisables a valeurs entières

solution optimale (a valeurs non entières)

Lamethodedescoupesconsiste`aajouterdescontraintessuppl´ementairesquiper-mettentd’approcherlessolutionsr´ealisables`avaleursenti`eressanslesecarterdudomainedessolutionsr´ealisables.Dansl’exempleci-dessusunetellecontrainteestdonneeparx1 ≤ 3(oncoupe ax 1 =3).

Commenttrouverdetellescontraintessuppl´ementairessileprogrammelineairecontientplusdedeuxvariables?

Soit(P)

maximiserz(x)=cxsouslescontraintesAx=b,x ≥ 0, o`uAestunematricem× n.

Posons,pourunebaseJ(avec |J | =m)etunesolutionr ealisablex,

Ax=A J xJ +A J C

xJ C

=b, o`uxJ =(x Jj ,j ∈J),x J C

=(x J C

j ,j ∈J C ).

PuisqueAJ estregulier,xJ +(AJ )−1A J C

xJ C

=(A J )−1b. Posons:A

def=(A J )

−1AJ C

et bdef=(A J )

−1b. Onadonc

xJ +Ax J C

= b, o`uxJi +j/∈J

¯aij xJ C

j = bi (i ∈J), etA=(¯aij ,i,j=1,...,n).

Soit[¯aij ]lapartieentierede¯aij , ¯aij lapartiefractionnairede¯aij =[ aij ]+¯a ij ·

Exemples:[3 .5]= 3, 3.5 =0.5[−3.5]=−4, −3.5 =0.5

Ils’ensuit:xJ

i +j/∈J

[¯aij ]+¯a ij xJ C

j =[ bi ]+ bi

⇔ xJi +

j/∈J

[¯aij ]xJ C

j− [bi ]= bi −

j/∈J

¯aij xJ C

j

(1)

–37–

Soitx unesolutionrealisablede(P=) avaleursentieres.L’egalite(1)vautpourx,lecˆot´egaucheetantavaleursentieres.Enplus,

xJi +

j/∈J

[¯aij ]xJ C

j≤ xJ

i +j/∈J

¯aij xJ C

j = bi (2)

Commelapartiegauchede(2)est`avaleursenti`eres,

xJi +

j/∈J

[¯aij ]xJ C

j≤ [bi ].

Comme(1)estvalablepourtoutesolutionrealisable,ils’ensuitque:

b −j/∈J

¯aij xJ C

j≤ 0

Proposition3.1.Enajoutant`a(P=),lacontrainte

j/∈J

¯aij xJ C

i≥ bi , (i ∈J)

onn’ecartepasdesolutionsr´ealisables`avaleursentieresdel’ensembledessolutionsrealisables.

Remarque.Commel’exemplesuivantmontre,onarrive alasolutionoptimale`avaleursenti`eresenajoutant, aplusieursreprisessi necessaire,descontraintessupplementairessuivantlapropositionci-dessous.

Exemple.

(P)maximiserz(x1,x2)=2x 1 +x z souslescontraintes− x1 +x 2 ≤ 0,5x1 +2x2 ≤ 18,x 1,x2 ≥ 0entiers

Pourr esoudre(P)procedeparetapes:

1)R esolutionaveclesimplexesanstenircomptedelacondition”x1,x2 `avaleurs

entieres”.Solutionoptimalex=t 187

,187

,0,0.

Tableauinitial

c 2100

cJ variablesdebase x1 x2 x3 x4

0 xJ1 =x 3 0 -1110

0 xJ2 =x 4 18 5201

z(x) 0 -2 -1 0 0

–38–

Tableaufinal

c 2100

cJ variablesdebase x1 x2 00

1 xJ1 =x 2

187 01 5

717

2 xJ2 =x 1

187 10 −2

717

z(x) 547 00 1

737

NouvellecontraintesuivantlaProposition3.1(choisiri=1):

(S1)57x3 +

17x4 ≥ 4

7Pourexprimer(S1)entermesdesvariablesinitialesx1,x2,observerque

187

=x 2 +57x3 +

17x4 ≥ x2 +

47

=⇒ x2 ≤ 2

(voirgraphiqueplusbas)

2)R esolutionde(P), (S1)inclus, parlesimplexe. Exigelepassageparunpro-grammeauxiliaire.

Programmeauxiliaire,tableauinitial

c 00 57

17 -1 0

cJ variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5 y

0 xJ1 =x 2

187 01 5

717 00

0 xJ2 =x 1

187 10 −2

717 00

0 xJ3 =y 4

7 00 57

∗ 17 -1 1

−47 z” −4

7 00 −57

−17 10

Lafonction-objectifduprogrammeauxiliaireestdonn´epar:

maximiserz”(y)=−y= −47

+57x3 +

17x4 − x5

Programmeauxiliaire,tableaufinal

c 00 57

17 -1

cJ variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5

0 xJ1 =x 2 2 01001

0 xJ2 =x 1

145 100 1

5−2

557 xJ

3 =x 345 001 1

5−7

5

−47 z” 0 00000

–39–

Commemaxz”=0,leprogramme(P)+(S1)prossedeunesolutionrealisable.Elle

estdonneeparx J = t(x1,x2,x3)= t 145

,2,45

Tableaufinalsecondephase

c 000 −25

−15

cJ variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5

0 xJ1 =x 2 2 01001

0 xJ2 =x 1

145 100 1

5−2

5

0 xJ3 =x 3

45 001 1

5−7

5385 z 38

5 000 25

15

Lafonction-objectif,exprimeeentermedesvariableshorsbase, estdonneepar

z(x1,x2)=2x 1 +x 2 =385

− 25x4 − 1

5x5

Lasolutionoptimaleestegale`ax= t 145

,2,45,0,0. Nouvellecontrainteselonla

Propositon3.1:

(S2)15x4 +

35x5 ≥ 4

5

Pourexprimerentermesdex1 etdex 2 observerque

145

=x 1 +15x4 − 2

5x5

2=x 2 +x 5

245

=x 1 +x 2 +15x4 +

35x5 ≥ x1 +x 2 +

45

Doncx1 +x 2 ≤ 4(voirgraphiqueplusbas).

3)R esolutionde(P), (S1)et(S2)inclus, exigeanouveaulepassageparunpro-grammeauxiliaire.

Secondephasedusimplexe,tableaufinal

c 000 −13 0 −1

3

cJ variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 xJ1 =x 2

23 010 −1

3 0 53

0 xJ2 =x 1

103 100 1

3 0 −23

0 xJ3 =x 3

83 001 2

3 0 −73

0 xJ4 =x 5

43 000 1

3 1 −53

223 z(x) 22

3 000 13 0 1

3

–40–

Lasolutionoptimaleestegale`ax=t 103

,23,83,0,

44,0. Nouvellecontrainteselon

laProposition3.1:

(S3) x4 +x 6 ≥ 1

Exprimeentermesdex1,x2 (S3)selit: 2x1 +x 2 ≤ 7(voirgraphiqueplusbas).

4)R esolutionde(P), (S1),(S2)et(S3)inclus, exigeanouveaulepassageparunprogrammeauxiliaireetm`ene,cettefois,`aunesolutionoptimale`avaleursentieres,quiest

x= t(3,1,2,0,1,1,0),

lasolutionoptimaleavaleursentieresde(P)estdoncdonn´eeparx 1 =3 ,x2 =1,z (x1,x2)=7.

tableaufinaldelasecondephasedusimplexe

c 000000 −12

cJ variablesdebase x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 xJ1 =x 2 1 010002 −1

2

0 xJ2 =x 1 3 10000-1 1

2

0 xJ3 =x 3 2 00100-31

0 xJ4 =x 5 1 00001-2 1

2

0 xJ5 =x 6 1 000101 −3

2

7 z(x) 7 000000 12

Surlegraphiqueonvoitque, enajoutantsuccessivement(S1),(S2)et(S3),onn’ecartepasdesolutions`avaleursenti`eres,etoncoupel’ensembledessolutionsrealisablesdefa¸conquelasolutionoptimaleavaleursentieresapparaˆıtcommepointextremal.

–41–

12340

1

2

3

4

X 2

X 2X 1 4=+

X 2X 1 7=+2 X 2X 1 18=+52

X 1

X 2 =X 12eme nouvelle

contrainte

3eme nouvellecontrainte

contrainteinitiale

contrainteinitiale

premiere solution optimale (18/7,18/7)

deuxieme solution optimale (14/5,2)

1ere nouvellecontrainte

X 2 2

troisieme solution optimale (10/3,2/3)

solution optimalea valeurs 

entieres (3,1)