7/30/2019 Re Scaling 1

http://slidepdf.com/reader/full/re-scaling-1 1/3

P h a s e e l d m o d e l i n g : R e s c a l i n g o f t h e u n i t s  

P . M u r a l i  

∗

I . T H E M O D E L  

I n t h e p h a s e e l d m o d e l , t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e g i v e n b y ,  

Π =

ˆ Fdx ← F  =

1

2κ (∇φ)2 + (e(x)− ec)g(φ) ( 1 ) 

w h e r e   g(φ) = 4φ3− 3φ4

φ = −M δ Π

δφ= −M 

∂F 

∂φ−∇ ·

∂F 

∂ ∇φ

= −M 

(e− ec)g(φ)− κ∇2φ

( 2 ) 

ρui = σij,j +  η∇2ui ( 3 ) 

σij = g(φ) (δ ijλkk + 2µij) ( 4 ) 

e =λ

22kk + µijij ( 5 ) 

I I . D I S C U S S I O N A N D N O T E S  

B a s i c m a t e r i a l p a r a m e t e r s t h a t w e c h o o s e t o s o l v e t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e , c r i t i c a l e n e r g y  

d e n s i t y   ec , Y o u n g ' s m o d u l u s ,  Y  , s u r f a c e e n e r g y   γ , d e n s i t y   ρ, v i s c o s i t y   η ( a r b i t r a r i l y s e l e c t e d ) ,  

e l a s t i c w a v e s p e e d   c = λ/ρ w h i c h l i n k s t h e l e n g t h s c a l e w i t h t h e t i m e s c a l e .  

T h e g r a d i e n t c o e c i e n t   κ i s r e l a t e d t o t h e   γ  b y t h e r e l a t i o n   κ = γ 2/ec ( s e e n e x t s e c t i o n ) .  

T h e r e s c a l e d e q u a t i o n s a r e a s f o l l o w s :  

φ

Mecτ =

κ

l2ec∇

2φ−

e

ec− 1

=

γ 2

l2e2c∇

2φ−

e

ec− 1

( 6 ) 

∗E l e c t r o n i c a d d r e s s : m u r a l i p a l l a @ g m a i l . c o m  

7/30/2019 Re Scaling 1

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2 

l2ρ

τ 2λui = σ

ij,j +η

λτ ∇

2ui ( 7 ) 

σ

ij = σij/(0λ

∗

)( 8 ) 

N o t e s  

1 .  ec a n d  λ a r e r e l a t e d b y   ec = 1

2(2.5λ)2f  a s s u m i n g P o i s s o n ' s r a t i o ,  ν = 1/4. I f w e a s s u m e ,  

f o r o r g a n i c ,  f  ∼ 0.4472 a n d h e n c e   ec = λO/4

2 .  l i s c h o s e n s u c h t h a t   l = γ/[2ec] a n d t h e n o r m a l i z e d   κ(= κ/[l2ec]) = 4

3 . F r o m d i m e n s i o n a l a n a l y s i s , t h e d i u s i v e i n t e r f a c e c o r r e l a t i o n l e n g t h c a n b e e x p r e s s e d  

b y  l2c = κ/ec ( H e n c e i n e e c t t h e l e n g t h s c a l e w e h a v e c h o s e n i s a b o u t h a l f o f t h i s  

c o r r e l a t i o n l e n g t h , i f t h e g r i d s p a c i n g i s o n e , w e s h o u l d s e e t h e g r a d i e n t f o r t w o g r i d  

s p a c i n g s )  

4 .  τ  = l/c∗ , w h e r e   c∗ i s t h e e l a s t i c w a v e s p e e d i n t h e s p e c i c c o m p o n e n t ( e i t h e r o r g a n i c  

o r m i n e r a l , w h i c h e v e r i s c h o s e n f o r n o r m a l i z a t i o n ) ,  

5 . A g a i n f r o m d i m e n s i o n a l a n a l y s i s , m o b i l i t y ,  M  c a n b e b e d e n e d a s   M  ≡ 1/[ecτ ] ∼

2c/γ  (c/[ecl]), w h i c h i s s o m e k i n d o f ' u x ' ( v o l u m e p e r s e c o n d ) p e r t h r e s h o l d e n e r g y  

( w h i c h d r i v e s t h e u x ) .  

6 . D e n s i t y (  ρα ) i s a s s u m e d s a m e f o r b o t h t h e c o m p o n e n t s =   (λ∗/c∗2). H e n c e t h e e l a s t i c  

w a v e s p e e d s a r e d i e r e n t , f o r e x a m p l e   cα = c∗ 

λαλ∗

, i n o r d e r t o k e e p t h e t i m e s t e p  

s u c i e n t l y s m a l l , t h e n o r m a l i z a t i o n i s b e t t e r d o n e w i t h t h e s t i c o m p o n e n t .  

7 . I n e q u a t i o n ( 4 ) :   σ ,  λ a n d  µ a r e e x p r e s s e d i n t h e u n i t s o f  λ∗( p e r t a i n i n g t o o n e o f t h e  

c o m p o n e n t s ) a n d t h e s a m e s t r e s s i s u s e d i n e q u i l i b r i u m e q u a t i o n ( 7 ) . I n e q u a t i o n ( 5 ) ,  

t h e e l a s t i c c o n s t a n t s n e e d t o b e n o r m a l i z e d b y   ec

I I I . G R A D I E N T C O E F F C I E N T ,  κ

U n d e r e q u i l i b r i u m ( s e e e q . 2 ) w e h a v e ( 1 D e q u a t i o n ) ,  

7/30/2019 Re Scaling 1

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3 

κd2φ

dx2= (e− ec)

dg

dφ( 9 ) 

=⇒κ2

dφdx

2

= (e− ec)g(φ) + p(x) ( 1 0 )  

w h e n   dφ/dx= 0 ,  φ = 0 o r 1 , a n d   g(φ) = 0 o r 1 , a s s u m i n g   g(φ) = 1,  p(x) = −(e(x)− ec) ; 

w h e n   g(φ) = 0,  e(x) = ec

κ

2

dφ

dx

2

= (e− ec)[g(φ)− 1]

γ =ˆ  κ

2dφdx2

dx =ˆ  κ

2dφdxdφ

=⇒ γ =

ˆ  κ

2(ec − e)(1− g(φ)dφ ( 1 1 )  

W h e n l o a d i s z e r o ,  e = 0

=⇒ γ 2 =κec

2

 (1− g(φ)dφ

2

( 1 2 )  

γ 2 ∼ κec4

( 1 3 )  

[ 1 ] M u r a l i e t . a l .