rangkuman persamaan differensial

8/16/2019 rangkuman persamaan differensial

1/12

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

A. Persamaan Differensial Variabel Terpisah

Suatu persamaan differensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari

persamaan itu bersama-sama masing-masing didiferensianya, dapat ditempatkan di ruas

yang berlawanan.

• Bentuk Umum :

f ( x ) dx+g ( x ) dy=0

• Penyelesaian umum PD :

∫ f ( x ) dx+∫ g ( x ) dy=c , adalah konstanta sebarang• !ontoh :

"entukan penyelesaian PD berikut :

16

y

dy

dx +9

x=0

Penyelesaian :

16 y dy=9 x dx=0

∫16 y dy+∫ 9 x dx=c 16

2 y

2+9

2 x

2=c

8 y2

+9

2 x2

=c

#adi penyelesaian umum :8 y

2+9

2 x

2=c

B. Reduksi ke Variabel-Variabel Terpisah

• Bentuk PD :

f 1 ( x ) g

1 ( y ) dx+ f

2 ( x ) g

2( y ) dx=0

Direduksi dengan faktor integral

1

g1( y ) f

2 ( x) men$adi :

f 1( x)

f 2( x)

dx ± g 1( y)

g2( y)

dy=0

f 1( x)

f 2( x)

dx=± g1( y )

g2( y )

dy

• Penyelesaian Umum PD :

∫

f 1( x )

f 2( x )dx ±

g1( y)

g2( y)dy=c

, adalah konstanta sebarang

1


2/12

• !ontoh :


y dx+(1+ x2 ) dy=0

Penyelesaian :

y dx+(1+ x2 ) dy=0

%aktor integrasi

1

y (1+ x2) , men$adi :

1

y (1+ x2)[ y dx+ (1+ x2 ) dy ]=0

1

(1+ x2)dx+

1

y dy=0

∫ 1(1+ x2)

dx+∫ 1 y

dy=c

1

2 ln (1+ x2)+ ln y=c

ln(1+ x2)+2 ln y=2c

ln(1+ x2) y2=ln c

(1+ x2) y2=c

C. Persamaan Differensial Homogen

f ( x , y ) dikatakan homogen berdera$at n $ika : f ( λx , λy)= λ2

f ( x , y)

• Bentuk PD :

M ( x , y )dx+ N ( x , y ) dy=0

Syarat persamaan differensial diatas dikatan &omogen $ika M ( x , y ) dan

N ( x , y ) adalah homogeny dan berdera$at sama.

• Penyelesaian umum PD :

'angkah-langkah menentukan penyelesaian umum PD :

a( )unakan transformasi y=ux →dy= x du+u dx , atau

x=uy→dx= y dy+u du

b( P.D homogen tereduksi ke P.D terpisah

( )unakan aturan P.D terpisah untuk mendapatkan solusi umum P.D

d( )antilah :

u= y x $ika menggunakan transformasi y=ux

2


3/12

u= y

x $ika menggunakan transformasi x=uy

Untuk mendapatkan kembali variabel semula

• !ontoh :

"entukan penyelesaian PD berikut :( x+3 y ) dx+2 x dy=0

Penyelesaian :

( x+3 y ) dx+2 x dy=0

a. )unakan "ransformasi y=ux

dy=u dx+ x du

b. PD tereduksi, men$adi :( x+3 y ) dx+2 x dy=0

( x+3(ux)) dx+2 x (u dx+ x du )=0

x dx+3ux dx+2 xu dx+2 x2 du=0

x dx+5ux dx+2 x2du=0

x (1+5u)dx+2 x2 du=0

. Dengan faktor integrasi1

x2 (1+5u )

d. PD tereduksi, men$adi :1

x2 (1+5u )

[ x(1+5u)dx+2 x2 dy ]

x

x2 dx+

2

1+5u dy=0

1

x dx+

2

1+5udy=0

e. *ntegrasi

∫ 1 x

dx+∫ 21+5u

dy=c

ln x+2ln (1+5u)=c

3


4/12

x (1+5u)2=c

f. #adi solusi umum PD

x (1+5u)2

D. Persamaan Differensial Linier Tak Homogen

• Bentuk PD :

Persamaan ini merupakan persamaan linier tetapi tidak homogen

(ax+by+c ) dx+ ( px+qy+r ) dy=0

a , b , c , p , q , r merupakan konstanta

• Penyelesaian PD :

"erdapat tiga kemungkinan :

+

a

p

=b

q

=c

r

=α

'angkah penyelesaian :

arenaa

p=

b

q=

c

r= λ

, maka menggunakan trasnformasi px+qy+r=u

yang berarti bahwa ax+by+c= λ u

Bentuk persamaan tereduksi men$adi persamaan dengan variabel terpisah dan

kemudian diselesaikan

a

p

=b

q

≠ c

r'angkah penyelesaian :

)unakan trasnformasi px+qy=u , dan dari sini berarti dy=du− p dy

q ,

ataudx=

du−qdy p

isalkana

p=

b

q= μ

, maka ax+by= μu

Persamaan teredksi men$adi persamaan variabel terpisah

( βx+C ) dx+(u+r )( du− p dyq )=0 , atau( βx+C )( du− p dyq )+(u+r ) dy=0

Selesaikan persamaan variabel terpisah ini dan kemudian gantilah

x= px+qy untuk mendapatkan solusi umumnya.

4


5/12

/a

p ≠

b

q

'angkah penyelesaian :

)unakan transformasi

ax+by+c=u⟶

a dx+b dy=du px+qy+r=v⟶ p dx+q dy=dv

Dari dua persamaan diatas diperoleh bahwa :

dx=q du−b dv

aq−bp dandy=

adu – pdv

aq−bp

Bentuk PD men$adi :

u( q du−b dvaq−bp )+v ( adu – pdvaq−bp )=0

arena aq−bp ≠0 maka : (qu− pu )du+ (av−bu )dv=0 PD homogen

Selesaikan persamaan differensial diatas dan kemudian gantilah kembali u dan

v dengan transformasi semula untuk mendapatkan solusi umu persamaan

differensial semula.

• !ontoh :


+( (2 x−5 y+2 ) dx+ (10 y−4 x−4 ) dy=0

(dy

dx=1−2 y−4 x1+ y+2 x

/(dy

dx=6 x−2 y−72 x+3 y−6

Penyelesaian :

+( (2 x−5 y+2 ) dx+ (10 y−4 x−4 ) dy=0

a

p=

2

−4=−12 0

b

q=−510 =

−12 0

c

r=

2

−4=−12

aka,

a

p

=b

q

=c

r

= λ=−1

2

o px+qy+r=u

ax+by+c= λ u=−12

u

o (2 x−5 y+2 ) dx+(10 y−4 x−4 ) dy=0

−12

u dx+u dy=0

5


6/12

−12

dx+dy=0

∫−12

dx+∫ dy=0

−12

x+ y=C

aka solusi umumnya adalah−12

x+ y=C

(dy

dx=1−2 y−4 x1+ y+2 x

(1−2 y−4 x )dx=(1+ y+2 x ) dy=0

a p=−4−2=

2 0

bq=−2−1=

2 0

cr=−7

6

aka,a

p=

b

q ≠

c

r= μ=2

o px+qy=u → ax+by= μu

−2 x+(− y )=u −4 x−2 y=2u

−2 x− y=u

o Pengganti dx atau dy

−2 x− y=u ⟶ −2 x− y=u

x=u+ y−2

y=−(u+2 x )

dx=du+dy−2

dy=−du−2dx

o Solusi Umum

(1−2 y−4 x )dx=(1+ y+2 x ) dy=0

(1−2u )( du+dy−2 )−(1−u )dy=0 (1−2u ) (du+dy )−2 (1−u ) dy=0

du+dy+2udu+2udy−2dy+2udy=0

du−dy+2udu+4udy=0

(1+2u )du+ (4u−1 ) dy=0

6


7/12

(1+2u )( 4u−1 )

du+dy=0

∫ (1+2u )(4u−1 )

du+∫ dy=0

∫ 1(4u−1 ) du+∫ 2 x

(4u−1 ) du+∫dy=0

ln|4 x−1|+2u ln|4u−1|+ y=C

aka, solusi umunya adalah ln|4 x−1|+2u ln|4u−1|+ y=C

/(dy

dx=6 x−2 y−72 x+3 y−6

(6 x−2 y−7 ) dx−(2 x+3 y−6 ) dy=0

aka,a

p=

6

−2=−3:

b

q=−2−3

=2

3; c

r=

1

−1=−1

a

p ≠

b

q

(qu− pv ) du+(qv−bu ) dv=0

(−3u+2v )du+ (bv+2u )dv=0⟶ PD hoog!n

"ub#$#u"$:

%=u

v , a#au u= %v → du=v d%+ % dv

Solusi umum :

(−3u+2v )du+ (bv+2u )dv=0

(−3 %v+2v ) (v d%+ % dv )+ (bv+2u ) dv=0

v2 (−3 %+2 ) d%+v (−3 %2+4 %+6 ) dv=0

( −3 %+2−3 %2+4 %+6 )d%+vdv=0 ∫( −3 %+2−3 %2+4 %+6 )d%+∫ v dv=0 ∫( −3 %−3 %2+4 %+6 )d%+∫(

2

−3 %2+4 %+6 )d%+1

2v2

dv=0

7


8/12

−3 % ln|−3 %2+4 %+6|+2 ln|−3 %2+4 %+6|+ 12

v2

dv=C

−6 % ln|−3 %2+4 %+6|+4ln|−3 %2+4 %+6|+v2dv=C

aka solusi umumnya :−6 % ln|−3 %2+4 %+6|+4ln|−3 %2+4 %+6|+v2dv=C

E. Persamaan Differensial Eksak

• Bentuk PD :

M ( x , y )dx+ N ( x , y ) dy=0

Dikatakan PD eksak $ika& M

& y =

& N

& x

•

Penyelesaian Umum PD :a( Perhatikan bahawa :& f

& x= M ( x , y ) ,dan

& f

& y= N ( x , y )

b( *ntegrasikah dari M ( x , y ) terhdap x dengan y tetap

& f

& x= M ( x , y ) dx

f ( x , y )=

[∫❑

x

M ( x , y )dx

]+∅( y)

Dimana ∅( y ) adalah fungsi sebarang dari y sa$a

( %ungsi f ( x , y ) dideferensialkan parsial terhadap y , diperoleh :

& f

& y=

&

& y [∫❑ x

M ( x , y ) dx]+ &∅& y d( arena

& f

& y= N ( x , y ) a'a,

& f

& y= N ( x , y )− &

& y [∫❑ x

M ( x , y ) dx ] ∅( y ) akan diperoleh

e( ∅1y( yang baru sa$a diperoleh, disubtitusika ke f ( x , y )

• !ontoh :


y2

dx+2 xy dy=0

Penyelesaian :

8


9/12

y2

dx+2 xy dy=0

M ( x , y )= y2

→& M

& y =2 y

N ( x , y )=2 xy →& N

& x =2 y

arena& M

& y =2 y=

& N

& x maka merupakan PD eksak

Penyelesaian umum P.D

arena& f

& x= M

maka,

M ( x , y )dx+¿∅ ( y )=∫ y2 dx+∅ ( y )= x y2+∅ ( y )

f ( x , y )=∫ ¿enari ∅ ( y ) dengan mendiferensialkan parsiil fungsi f ( x , y ) terhadap y

& f

& y=2 xy+

&

& y ∅ ( y )

arena& f

& y= N

maka,

2 xy+ &

& y ∅ ( y )=2 xy

&& y

∅ ( y )=0

∅ ( y )='

Sehingga f ( x , y )= x y2+'

#adi, solusi umum PD 2ksak : x y2=c dengan nilai c='

+( ( x−2 y )dx+( y2−2 x ) dy=0

M ( x , y )

= x−2 y →& M

& y =−2

N ( x , y )= y2−2 x →

& N

& x =−2

arena& M

& y =−2=

& N

& x maka merupakan PD eksak

Penyelesaian umum P.D

arena& f

& x= M

maka,

9


10/12

M ( x , y )dx+¿∅ ( y )=∫ x−2 y dx+∅ ( y )=12

x2−2 xy

f ( x , y )=∫¿

enari ∅ ( y ) dengan mendiferensialkan parsiil fungsi f ( x , y ) terhadap y

& f

& y=−2 x+

&

& y ∅ ( y )

arena& f

& y= N

maka,

−2 x+ &

& y ∅ ( y )= y2−2 x

&

& y ∅ ( y )= y2

∅ ( y )=∫ y2=1

3 y3+'

Sehinggaf ( x , y )=1

2 x

2−2 xy+1

3 y

3+'

#adi, solusi umum PD 2ksak :1

2 x

2−2 xy+1

3 y

3=c dengan nilai c='

. Persamaan Differensial Bernauli

• Bentuk Umum PD:dy

dx+ P ( x ) y=( ( x) yn

Persamaan bernauli akan tereduksi ke persamaan linier ordo satu dengan

transformasi:

%= y−n+1

d%

dx= (−n+1) y−n

dy

dx

dydx=(1−n ) y

n d%dx

Persamaan linier ordo satud%

dx= (1−n ) P ( x ) y−n=(1−n )( ( x )

Denga faktor integrasi: !∫ (1−n ) P ( x ) dx

• Solusi Umum PD:

!∫ (1−n ) P ( x ) dx

%=∫(1−n)(( x )!∫(1−n) P ( x)dx

dx+C

10


11/12

• !ontoh :

!ari solusi dari PD :

dy

dx+

y

x =

y2

x

Penyelesaian :

dy

dx+

y

x =

y2

x

P ( x )=1 x ,

( ( x )=1 x ,

n=2

%= y−n+1= y−2+1= y−1

d%

dx

= y−1 dy

dx

d%

dx=− y−2

dy

dx

dy

dx=− y2

d%

dx

dy

dx+

y

x =

y2

x

− y2 d%

dx+

y

x =

y2

x , kedua ruas dibagi − y2

d%

dx− x−1 y−1=− x−1

d%

dx− x−1 %=− x−1

P ( x )=− x−1 , ( ( x )=− x−1

!∫ P ( x)=!∫− x−1

=!−ln x=1 x

% 1

x=∫−1

x

1

x dx

1

x %= x−1 dx

%= x

−1+c

x−1 =1+c

#adi, solusi umum PD : y−1=1+c

11


12/12

12

Documents

rangkuman persamaan differensial