Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
RAINBOW CONNECTION NUMBER DAN STRONG
RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA
SHACKLE GRAF ANTIPRISMA 𝑨𝑷𝟒
Dayinta Andira
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2018 M / 1439 H
i
RAINBOW CONNECTION NUMBER DAN STRONG
RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA
SHACKLE GRAF ANTIPRISMA 𝑨𝑷𝟒
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
Sarjana Matematika (S.Mat)
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh:
Dayinta Andira
1113094000031
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2018 M / 1439 H
ii
iii
iv
PERSEMBAHAN
Untuk ribuan tujuan yang akan kudaki,
jutaan impian yang akan kuselami,
dan segala pengharapan yang tertanam dalam hati,
kupijakkan diriku pada yang mampu memenuhiku
dengan kekuatan, dengan keikhlasan.
Pada yang kutumpahkan keluh dan kesahku,
dan kutampakkan langkah perjuanganku.
Teruntuk Bapak dan Ibu,
skripsi ini kupersembahkan.
v
MOTTO
“Boleh jadi kamu membenci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu, dan boleh
jadi (pula) kamu menyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu; Allah
mengetahui, sedang kamu tidak mengetahui.”
(Q.S. Al-Baqarah 2:216)
vi
INTISARI
Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Number
pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
Oleh
Dayinta Andira
1113094000031
Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial. Minimum 𝑘 warna sedemikian
sehingga 𝐺 memiliki rainbow- 𝑘-coloring merupakan rainbow connection
number, dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺). Minimum 𝑘 warna yang dibutuhkan untuk
mewarnai 𝐺 menjadi strongly rainbow connected merupakan strong rainbow
connection number, dinotasikan dengan 𝑠𝑟𝑐(𝐺). Operasi shackle 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐴𝑃4, 𝑡)
adalah graf yang dibentuk dari sebanyak 𝑡 graf 𝐴𝑃4 yang terhubung sehingga
untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ [1, 𝑡] dengan 𝑎 − 𝑏 ≥ 2 berlaku 𝐺𝑎 dan 𝐺𝑏 tidak mempunyai
titik yang sama, dan untuk setiap 𝑖 ∈ 1, 𝑡 − 1 , 𝐺𝑖 dan 𝐺𝑖+1 tepat mempunyai satu
titik yang sama, disebut titik penghubung, dan semua 𝑘 − 1 titik penghubung
berbeda. Shackle yang digunakan merupakan shackle dengan diameter konsisten
untuk setiap 𝑡 bilangan asli. Pada penelitian ini akan ditentukan rainbow
connection number dan strong rainbow connection number dari shackle graf
antiprisma 𝐴𝑃4.
Kata kunci: Graf antiprisma, pewarnaan pelangi, rainbow connection number,
shackle, strong rainbow connection number.
vii
ABSTRACT
On Rainbow Connection Number and Strong Rainbow Connection Number
from Shackle of Antiprism Graph 𝑨𝑷𝟒
By
Dayinta Andira
1113094000031
Let 𝐺 be a nontrivial connected graph. The minimum natural number 𝑘 of
𝑘-edge coloring graph 𝐺 is rainbow connection number of 𝐺, denoted by 𝑟𝑐(𝐺).
The minimum natural number 𝑘 of 𝑘-edge coloring graph 𝐺 to be a strongly
rainbow connected graph is called strong rainbow connection number of 𝐺,
denoted by 𝑠𝑟𝑐(𝐺). Shackle operation of some graphs, denoted as 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐴𝑃4, 𝑡),
is a graph of 𝑡 connected graph 𝐴𝑃4 such that for every 𝑎, 𝑏 ∈ [1, 𝑡] with 𝑎 −
𝑏 ≥ 2, 𝐺𝑎 and 𝐺𝑏 have no common vertex, and for every 𝑖 ∈ 1, 𝑡 − 1 , 𝐺𝑖 and
𝐺𝑖+1 have one common vertex, called linkage vertex, where all 𝑡 − 1 linkage
vertices are different. The shackle application used in this paper are the ones such
that its diameter is consistent for any natural number 𝑡. This paper deals with
rainbow connection number and strong rainbow connection number of the shackle
of antiprism graph 𝐴𝑃4.
Keyword: Antiprism graph, rainbow coloring, rainbow connection number,
shackle, strong rainbow connection number.
viii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi
yang berjudul “Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection
Number pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒”. Shalawat serta salam senantiasa
tercurahkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga dan para
sahabatnya.
Di balik terselesaikannya skripsi ini, begitu banyak pihak yang telah
berkontribusi, baik dalam memberikan bimbingan, bantuan, waktu, maupun dalam
bentuk kontribusi lainnya. Untuk itu melalui kesempatan ini, dengan segala
kerendahan hati, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom selaku Ketua Program Studi Matematika dan
Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika.
3. Ibu Yanne Irene, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irmatul
Hasanah, M.Si selaku Dosen Pembimbing II yang senantiasa memberikan
waktu, bimbingan, dan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
4. Bapak Taufik Edy Sutanto, Ph.D selaku Dosen Penguji I dan Bapak Wisnu
Aribowo, M.Si selaku Dosen Penguji II yang telah memberikan arahan dan
saran untuk perbaikan skripsi ini.
5. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan ilmu dan pengetahuan yang bermanfaat selama masa studi
penulis.
6. Orang tua penulis, Bapak Djoko Riyanto dan Ibu Retno Sarining, serta
kakak kandung penulis, Dipo Andara, yang tidak pernah berhenti
ix
mengalirkan kasih sayang dan doa serta dukungan moril maupun materil,
sekaligus sebagai motivasi terbesar sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
7. Kak Irvan Septiar Musti, M.Si yang telah banyak memberikan inspirasi
kepada penulis, terutama dalam ide penulisan skripsi ini.
8. Sofi, Cynthia, Nadya, Sarah, Imas, Otmilda, Alfi, dan Ayu, sahabat-sahabat
seperjuangan yang sekaligus menjadi rumah dalam berbagi suka dan duka
selama penulis mengarungi kehidupan di masa perkuliahan.
9. Agni, Icha, Shofa, Rizka, Monik, Cibeng, Tira, dan Sari, sahabat-sahabat
penulis sejak hampir sembilan tahun terakhir.
10. Almira Ghaisani, sahabat yang selalu setia menjadi pendengar terbaik.
11. Bagus, Angga, Aul, Nda, Ndi, Panjul, Asfar, Uta, Ady dan teman-teman
Matematika 2013 (Cypress Family) yang selama beberapa tahun terakhir
menjadi bagian dari semangat penulis dalam melanjutkan studi hingga
terselesaikannya skripsi ini.
12. Keluarga Himpunan Mahasiswa Matematika, Dewan Eksekutif Mahasiswa
Fakultas Sains dan Teknologi, dan Sanggar Tari Saintek (Srikandi). Terima
kasih untuk segala kesempatan, kepercayaan, ilmu, dan pengalaman yang
luar biasa.
13. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Penulis menyadari penulisan skripsi ini tidaklah sempurna. Kritik dan saran
yang membangun demi perbaikan dan penyempurnaan skripsi ini dapat
disampaikan melalui [email protected]. Akhir kata, penulis
berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Aamiin.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Jakarta, Oktober 2017
Penulis
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN PERNYATAAN ............................................................................ ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ iv
MOTTO ............................................................................................................. v
INTISARI .......................................................................................................... vi
ABSTRACT ..................................................................................................... vii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... viii
DAFTAR ISI ...................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1
1.1 Latar Belakang .............................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................................... 2
1.3 Batasan Masalah ........................................................................... 2
1.4 Tujuan Penelitian .......................................................................... 3
1.5 Manfaat Penelitian ........................................................................ 3
1.6 Sistematika Penulisan .................................................................... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 4
2.1 Fungsi ........................................................................................... 4
2.2 Konsep Dasar dan Terminologi Graf.................................................. 4
2.3 Diameter Graf ............................................................................... 6
2.4 Jenis Graf ...................................................................................... 6
2.5 Beberapa Graf Khusus dan Operasi Graf .......................................... 7
2.6 Rainbow Connection dan Strong Rainbow Connection .................. 9
BAB III PEMBAHASAN ............................................................................... 11
3.1 Rainbow Connection Number pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 12
xi
3.2 Strong Rainbow Connection Number pada Shackle Graf Antiprisma
𝐴𝑃4 ..................................................................................................... 17
BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 19
4.1 Kesimpulan ....................................................................................... 19
4.2 Saran .................................................................................................. 19
REFERENSI .................................................................................................... 20
xii
DAFTAR GAMBAR
2.1 (a) Contoh Fungsi, (b) Contoh Bukan Fungsi ................................................ 4
2.2 Graf dengan Order 5 dan Size 7 .................................................................... 5
2.3 Graf 𝐺 ........................................................................................................... 6
2 4 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu ....................................... 7
2.5 Graf Lintasan 𝑃2 dan 𝑃4 ................................................................................ 7
2.6 Graf Lingkaran 𝐶3, 𝐶4, dan 𝐶5........................................................................ 8
2.7 Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 ..................................................................................... 8
2.8 Graf Hasil Operasi Shackle 𝐶4 ....................................................................... 9
2.9 Graf Petersen dengan (a) 𝑟𝑐(𝑃) = 3 dan (b) 𝑠𝑟𝑐(𝑃) = 4 ............................ 10
3.1 Shackle dari Himpunan Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 3 ........................ 12
3.2 Pewarnaan-4 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 2 .... 13
3.3 Pewarnaan-6 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 3..... 14
3.4 Pewarnaan-8 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 4..... 16
3.5 Pewarnaan Rainbow pada Komponen ke-𝑖 Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 .... 17
3.6 Pewarnaan-2t Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 ......................... 18
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu dari cabang ilmu matematika yang cukup terkenal saat ini adalah
teori graf. Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736, yaitu ketika Leonhard
Euler memecahkan solusi atas permasalahan yang berkaitan dengan jembatan
Konigsberg [1]. Teori graf sebagai cabang dari matematika diskrit, kini menjadi
sebuah topik pembahasan yang telah banyak dikembangkan. Salah satu topik
bahasan yang dikembangkan dalam teori graf adalah rainbow connection.
Rainbow connection diperkenalkan pertama kali pada tahun 2008 oleh
Chartrand dkk [2]. Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial. Rainbow connection
adalah pemberian warna pada sisi graf 𝐺 dimana dua sisi yang bertetangga boleh
diwarnai sama. Untuk setiap pasang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺, suatu lintasan dengan 𝑢
dan 𝑣 sebagai titik ujung yang setiap sisinya memperoleh warna berbeda disebut
rainbow path. Pewarnaan sisi pada graf 𝐺 disebut rainbow coloring jika graf 𝐺
merupakan rainbow connected, yaitu untuk setiap dua titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺
mengandung rainbow 𝑢 − 𝑣 path. Jika pewarnaan pada sisi graf 𝐺 menggunakan
sebanyak 𝑘 warna, 𝑘 ∈ ℕ, maka disebut rainbow-k-coloring. Minimum dari 𝑘
yang terdapat pada rainbow-k-coloring pada graf 𝐺 merupakan rainbow
connection number pada graf 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺).
Misal 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → (1,2, . . . , 𝑘} suatu rainbow coloring pada suatu graf
terhubung 𝐺. Untuk sebarang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺, rainbow 𝑢 − 𝑣 geodesic di 𝐺
adalah rainbow path dengan panjang 𝑑(𝑢, 𝑣), dimana 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah jarak antara
titik 𝑢 dan 𝑣. Graf 𝐺 dikatakan strongly rainbow connected jika 𝐺 mengandung
minimal satu rainbow 𝑢 − 𝑣 geodesic untuk setiap pasang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺.
Dalam hal ini, 𝑐 dikatakan strong rainbow-c-coloring dari 𝐺. Nilai minimum yang
dibutuhkan untuk mewarnai graf 𝐺 menjadi strong rainbow connected merupakan
strong rainbow connection number pada graf 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑠𝑟𝑐(𝐺).
2
Para peneliti sebelumnya telah mengkaji dan mengembangkan bahasan
mengenai rainbow connection number dan strong rainbow connection number
pada graf. Pada tahun 2008, Chartrand dkk [1] melakukan penelitian rainbow
connection number dan strong rainbow connection number pada beberapa jenis
graf khusus seperti graf lingkaran, graf roda, graf lengkap, graf pohon, dan graf
lengkap k-partite. Dalam tesisnya pada tahun 2015, Darmawan [3] melakukan
penelitian rainbow connection number dan strong rainbow connection number
pada beberapa jenis graf khusus, salah satunya pada graf antiprisma (𝐴𝑃𝑛 ). Selain
itu, Darmawan juga melakukan penelitian rainbow connection number dan strong
rainbow connection number pada beberapa jenis graf khusus yang dioperasikan
menggunakan operasi graf, salah satunya adalah operasi shackle.
Berdasarkan beberapa penelitian tersebut, peneliti akan mengkaji dan
mengembangkan rainbow connection number dan strong rainbow connection
number pada hasil operasi shackle graf antiprisma. Dalam hal ini, peneliti
memfokuskan pada penggunaan graf antiprisma 𝐴𝑃4.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, permasalahan yang akan
diteliti dalam penelitian ini yaitu mengenai bagaimana menentukan rainbow
connection number dan strong rainbow connection number pada shackle graf
antiprisma 𝐴𝑃4.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, agar pembahasan tidak meluas maka penulis
membatasi objek kajian, yaitu:
1. Graf khusus yang digunakan adalah graf antiprisma 𝐴𝑃4.
2. Operasi yang digunakan pada pengoperasian graf adalah shackle.
3. Aplikasi shackle yang digunakan merupakan shackle dengan diameter
konsisten untuk setiap 𝑡 bilangan asli.
3
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah menentukan rainbow
connection number dan strong rainbow connection number pada shackle graf
antiprisma 𝐴𝑃4.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dalam melakukan penelitian ini adalah:
1. Dapat menentukan rainbow connection number pada shackle graf
antiprisma 𝐴𝑃4.
2. Dapat menentukan strong rainbow connection number pada shackle
graf antiprisma 𝐴𝑃4.
3. Menambah wawasan penulis tentang teori graf, khususnya mengenai
rainbow connection number dan strong rainbow connection number
pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4.
4. Sebagai penambah hasil-hasil penelitian yang dapat dijadikan bahan
acuan peneliti lain yang mengkaji permasalahan atau topik yang sama.
1.6 Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis dalam empat bab. Bab 1 sebagai pendahuluan yang terdiri
dari latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat
penelitian, dan garis besar penulisan skripsi. Pada bab 2 akan dijelaskan mengenai
tinjauan pustaka yang akan digunakan pada penelitian. Pada bab 3 akan
ditentukan rainbow connection number dan strong rainbow connection number
pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4. Terakhir, pada bab 4 sebagai kesimpulan dan
saran dari hasil yang diperoleh pada bab 3.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi
Misal 𝐴 dan 𝐵 himpunan tak kosong. Fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 adalah suatu
pemetaan setiap elemen di 𝐴 dengan tepat satu elemen di 𝐵 [6]. Fungsi 𝑓 dari 𝐴
ke 𝐵 dapat ditulis sebagai 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 yang artinya 𝑓 memetakan 𝐴 ke 𝐵. Berikut
ini ilustrasi fungsi dan bukan fungsi.
Gambar 2.1 (a) Contoh Fungsi, (b) Contoh Bukan Fungsi
2.2 Konsep Dasar dan Terminologi Graf
Graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐸). Dalam hal ini, 𝑉
merupakan himpunan tak kosong, dimana elemen-elemennya disebut titik dan 𝐸
himpunan yang mungkin kosong, dimana elemen-elemennya disebut sisi [4].
Berdasarkan definisi graf, dapat dinyatakan bahwa 𝑉 tidak boleh kosong,
sedangkan 𝐸 boleh kosong. Menurut Chartrand dkk [1], suatu graf yang hanya
memiliki sebuah titik tetapi tidak memiliki sisi, maka disebut graf trivial.
Himpunan titik di 𝐺 dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi di 𝐺 dinotasikan
𝐸 𝐺 . Jumlah titik pada graf 𝐺 disebut order dari 𝐺, dinotasikan dengan |𝑉 𝐺 |
dan jumlah sisi pada graf 𝐺 disebut size dari 𝐺, dinotasikan dengan |𝐸 𝐺 |.
Gambar 2.2 menunjukkan contoh graf 𝐺 dengan 𝑉 𝐺 = 5 dan 𝐸 𝐺 = 7.
(a) (b)
5
Gambar 2.2 Graf dengan Order 5 dan Size 7
Misal 𝑢 dan 𝑣 sebarang titik di 𝐺. Penotasian sisi dapat direpresentasikan
dengan 𝑢𝑣 atau 𝑣𝑢. Dua buah titik dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung
secara langsung. Titik 𝑢 dan 𝑣 dikatakan bertetangga di 𝐺, jika 𝑒 = 𝑢𝑣
merupakan sisi pada graf 𝐺. Sedangkan sisi 𝑒 = 𝑢𝑣 dengan titik 𝑢 dan 𝑣
dikatakan bersisian jika 𝑢 dan 𝑣 merupakan titik-titik ujung dari 𝑒. Ilustrasi pada
Gambar 2.2 merupakan suatu graf 𝐺 dengan 𝑉 𝐺 = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦} dan 𝐸 𝐺 =
{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7}. Sisi 𝑒1 = 𝑢𝑣 bersisian dengan 𝑢 dan 𝑣, tetapi tidak
bersisian dengan 𝑤, 𝑥, dan 𝑦. Sisi 𝑒1 dan 𝑒2 adalah dua sisi yang berbeda namun
memiliki titik yang sama sehingga 𝑒1 dan 𝑒2 bertetangga (begitu pula 𝑒1 dengan
𝑒3, 𝑒4, dan 𝑒5). Akan tetapi 𝑒1 dan 𝑒6 (dan 𝑒1 dan 𝑒7) tidak bertetangga.
Jalan yang memiliki panjang 𝑛 dengan titik awal 𝑣0 dan titik akhir 𝑣𝑛 adalah
barisan 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑛−1, 𝑒𝑛 ,𝑣𝑛 yang suku-sukunya bergantian antara titik
dan sisi, sedemikian sehingga 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖−1𝑣𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛. Sebuah jalan
dengan titik dan sisi yang berbeda dan tidak dilintasi secara berulang disebut
lintasan (path). Lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut
lintasan tertutup, sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada titik
yang sama disebut lintasan terbuka.
Graf 𝐺 dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap pasang titik 𝑢 dan
𝑣 di 𝐺 memuat lintasan 𝑢 − 𝑣, yaitu lintasan yang menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣.
Sebaliknya, jika terdapat titik-titik 𝑢 dan 𝑣 namun tidak memuat lintasan 𝑢 − 𝑣,
maka graf 𝐺 disebut tak terhubung (disconnected).
6
2.3 Diameter Graf
Pada suatu graf 𝐺 tak trivial dengan sepasang titik 𝑢, 𝑣 dari himpunan titik
𝑉(𝐺), jarak 𝑑(𝑢, 𝑣) antara titik 𝑢 dan 𝑣 adalah panjang dari lintasan terpendek
𝑢 − 𝑣. Maksimum dari panjang lintasan terpendek seluruh pasang titik pada graf
𝐺 disebut diameter graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) [1].
Gambar 2.3 Graf 𝑮
Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 2.3, diperoleh jarak untuk setiap pasang
titik di graf 𝐺 sebagai berikut.
𝑑 𝑣1, 𝑣2 = 1 𝑑 𝑣1, 𝑣3 = 2 𝑑 𝑣1, 𝑣4 = 1 𝑑 𝑣1, 𝑣5 = 2 𝑑 𝑣1, 𝑣6 = 2
𝑑 𝑣2, 𝑣3 = 1 𝑑 𝑣2, 𝑣4 = 2 𝑑 𝑣2, 𝑣5 = 3 𝑑 𝑣2, 𝑣6 = 3 𝑑 𝑣3, 𝑣4 = 1
𝑑 𝑣3, 𝑣5 = 2 𝑑 𝑣3, 𝑣6 = 2 𝑑 𝑣4, 𝑣5 = 1 𝑑 𝑣4, 𝑣6 = 1 𝑑 𝑣5, 𝑣6 = 1
Jadi, 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 3.
2.4 Jenis Graf
Menurut Sugeng dkk [8], graf dapat dikelompokkan ke dalam beberapa
kategori. Pengelompokan graf berdasarkan ada tidaknya sisi ganda terbagi dalam
dua jenis, yaitu:
1. Graf Sederhana
Graf sederhana adalah graf yang tidak memuat gelang (loop) ataupun
sisi ganda.
7
2. Graf Tidak Sederhana
Graf tidak sederhana adalah graf yang memuat gelang (loop) ataupun
sisi ganda. Terdapat dua jenis graf tidak sederhana,yaitu graf ganda
(multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf
yang memuat sisi ganda. Graf semu adalah graf yang memuat sisi ganda
dan loop.
Gambar 2 4 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu
2.5 Beberapa Graf Khusus dan Operasi Graf
Graf khusus adalah graf yang memiliki keunikan khusus. Keunikannya
adalah graf khusus tidak isomorfik dengan graf lainnya. Ada beberapa graf khusus
sederhana yang dapat dijumpai pada beberapa aplikasi, diantaranya sebagai
berikut:
1. Graf Lintasan (Path)
Graf lintasan merupakan graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf
lintasan dengan 𝑛 titik dinotasikan dengan 𝑃𝑛 , dimana 𝑛 ≥ 2.
Gambar 2.5 Graf Lintasan 𝑷𝟐 dan 𝑷𝟒
2. Graf Lingkaran (Cycle)
Graf lingkaran adalah graf yang setiap titiknya berderajat dua. Graf
lingkaran memiliki jumlah titik dan sisi yang sama dan dilambangkan
dengan 𝐶𝑛 , dimana 𝑛 ≥ 3.
(a) (b) (c)
8
Gambar 2.6 Graf Lingkaran 𝑪𝟑, 𝑪𝟒, dan 𝑪𝟓
3. Graf Antiprisma (Antiprism)
Graf antiprisma dinotasikan dengan 𝐴𝑃𝑛 adalah graf dengan himpunan
titik 𝑉(𝐴𝑃𝑛 ) = 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan himpunan sisi 𝐸(𝐴𝑃𝑛 ) = {𝑥𝑖𝑥𝑖+1|
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ 𝑥𝑛𝑥1 ∪ 𝑦𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ∪ 𝑦𝑛𝑦1 ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖 |
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ 𝑥𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ∪ 𝑥𝑛𝑦1 .
Gambar 2.7 Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
Operasi graf adalah suatu cara untuk menghasilkan graf baru dengan
mengombinasikan dua graf atau lebih. Salah satu operasi graf adalah shackle.
Definisi 2.5.1 Shackle [5] Graf shackle dinotasikan dengan 𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐺1, 𝐺2, . . . , 𝐺𝑘)
merupakan sebuah graf yang dibentuk dari 𝑘 graf terhubung tak trivial
𝐺1, 𝐺2, . . . , 𝐺𝑘 sehingga untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ [1, 𝑘] dengan 𝑠 − 𝑡 ≥ 2 berlaku 𝐺𝑠
dan 𝐺𝑡 tidak mempunyai titik yang sama, dan untuk setiap 𝑖 ∈ 1, 𝑘 − 1 , 𝐺𝑖 dan
𝐺𝑖+1 tepat mempunyai satu titik yang sama, disebut titik penghubung, dan semua
𝑘 − 1 titik penghubung berbeda. Jika shackle terbentuk dari sebanyak 𝑘 graf 𝐻
yang terhubung, maka shackle dinotasikan dengan 𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐻, 𝑘).
9
Berikut ilustrasi graf hasil operasi shackle.
Gambar 2.8 Graf Hasil Operasi Shackle 𝑪𝟒
2.6 Rainbow Connection dan Strong Rainbow Connection
Konsep rainbow connection pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk
[2]. Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial dengan pewarnaan sisi 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 →
{1, 2, , . . . , 𝑘}, 𝑘 ∈ ℕ, dimana sisi yang bertetangga boleh diwarnai sama. Suatu
lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺 merupakan rainbow path jika tidak ada dua atau lebih sisi
dengan warna yang sama. Jika graf 𝐺 memuat suatu rainbow 𝑢 − 𝑣 path untuk
setiap titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐺, graf 𝐺 disebut rainbow connected dengan pewarnaan 𝑐.
Dalam hal ini, pewarnaan 𝑐 disebut rainbow coloring. Jika pewarnaan 𝑐
menggunakan sebanyak 𝑘 warna, maka disebut rainbow-k-coloring. Minimum
dari 𝑘 yang terdapat pada rainbow-k-coloring pada graf 𝐺 merupakan rainbow
connection number pada graf 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺).
Misal 𝑐 suatu rainbow coloring pada suatu graf terhubung 𝐺. Untuk
sebarang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺, rainbow 𝑢 − 𝑣 geodesic di 𝐺 adalah rainbow path
dengan panjang 𝑑(𝑢, 𝑣), dimana 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah jarak antara titik 𝑢 dan 𝑣. Graf 𝐺
dikatakan strongly rainbow connected jika 𝐺 mengandung satu rainbow 𝑢 − 𝑣
geodesic untuk setiap pasang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺. Dalam hal ini, 𝑐 dikatakan strong
rainbow coloring dari 𝐺. Nilai minimum 𝑘 dari pewarnaan sisi 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 →
{1, 2, , . . . , 𝑘} yang dibutuhkan untuk mewarnai graf 𝐺 menjadi strongly rainbow
connected merupakan strong rainbow connection number pada graf 𝐺 dan
dinotasikan dengan 𝑠𝑟𝑐(𝐺).
Menurut Chartrand dkk [2], jika 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial dengan
size 𝑚 yang diameternya adalah 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺), maka
10
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑠𝑟𝑐(𝐺) ≤ 𝑚 (2.1)
Sebagai ilustrasi, diberikan contoh rainbow connection number dan strong
rainbow connection number pada graf petersen 𝑃. Pada Gambar 2.9 (a), akan
ditunjukkan bahwa 𝑟𝑐 𝐺 = 3. Jelas bahwa 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 3. Akan ditunjukkan bahwa
𝑟𝑐 𝐺 ≥ 3 Jika 𝑢 dan 𝑣 adalah titik yang tidak bertetangga pada 𝑃, maka
𝑑 𝑢, 𝑣 = 2 (𝑑 𝑢, 𝑣 adalah jarak dari 𝑢 ke 𝑣) dan panjang minimum dari lintasan
𝑢 − 𝑣 adalah 2. Jadi setiap pewarnaan rainbow di 𝑃 memuat sekurangnya 2 warna
sehingga 𝑟𝑐 𝑃 ≥ 2. Jika 𝑃 memuat pewarnaan-2 rainbow, maka terdapat dua sisi
bertetangga di 𝑃 yang diwarnai sama, misal 𝑒1 = 𝑢𝑣 dan 𝑒2 = 𝑣𝑤 adalah kedua
sisi yang diwarnai sama. Karena terdapat tepat satu lintasan 𝑢 − 𝑤 dengan
panjang 2 di 𝑃, maka tidak terdapat lintasan 𝑢 − 𝑤 rainbow di 𝑃. Berdasarkan
asumsi 𝑟𝑐 𝑃 ≤ 3 terjadi kontradiksi sehingga haruslah 𝑟𝑐 𝑃 ≥ 3. Oleh karena
itu 𝑟𝑐 𝑃 = 3.
Karena 𝑟𝑐 𝑃 = 3, maka 𝑠𝑟𝑐 𝑃 ≥ 3. Selanjutnya, karena diketahui
bilangan kromatik sisi pada graf petersen adalah 4, setiap pewarnaan-3 𝑐 pada
sisi-sisi di 𝑃 dimana dua sisi bertetangga 𝑢𝑣 dan 𝑣𝑤 diberikan warna yang sama.
Karena 𝑢, 𝑣, 𝑤 adalah satu-satunya lintasan 𝑢 − 𝑤 geodesic di 𝑃, maka pewarnaan
𝑐 bukan merupakan pewarnaan strong rainbow. Pewarnaan-4 pada sisi di 𝑃 yang
ditunjukkan pada Gambar 2.9 (b) adalah pewarnaan strong rainbow, 𝑠𝑟𝑐 𝑃 = 4.
Gambar 2.9 Graf Petersen dengan (a) 𝒓𝒄 𝑷 = 𝟑 dan (b) 𝒔𝒓𝒄 𝑷 = 𝟒
(a) (b)
11
BAB III
PEMBAHASAN
Sebagaimana telah diuraikan pada pendahuluan bahwa permasalahan yang
menjadi fokus adalah penentuan rainbow connection number dan strong rainbow
connection number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4 , pada bab ini akan
dijelaskan mengenai hasil penelitiannya. Langkah awal penelitian ini adalah
menentukan graf khusus yaitu graf antiprisma 𝐴𝑃4 , kemudian melakukan
operasi graf yaitu shackle. Hasil dari operasi graf shackle tersebut selanjutnya
akan diterapkan pewarnaan rainbow dan strong rainbow dan diuji apakah
pewarnaan tersebut sudah optimal dengan menggunakan teorema-teorema yang
sudah ada. Jika pewarnaan sudah optimal dan membentuk suatu pola maka
selanjutnya peneliti menentukan fungsi dari pewarnaan rainbow dan strong
rainbow.
Hasil dari fokus permasalahan dalam penelitian ini adalah teorema baru
mengenai rainbow connection number dan strong rainbow connection number
pada shackle graf antiprisma 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐴𝑃4, 𝑡) yang akan disajikan dengan paparan
teorema dan bukti pendukung berupa ilustrasi gambar.
Graf 𝐴𝑃4 merupakan graf antiprisma yang memiliki himpunan titik
𝑉(𝐴𝑃4) = 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 4 dengan 𝑉(𝐴𝑃4) = 8 dan himpunan sisi 𝐸(𝐴𝑃4) =
𝑥𝑖𝑥𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 3 ∪ 𝑥4𝑥1 ∪ 𝑦𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 3 ∪ 𝑦4𝑦1 ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 4}
∪ 𝑥𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 4 ∪ 𝑥4𝑦1 dengan 𝐸(𝐴𝑃4) = 16. Suatu operasi graf shackle
dari 𝑡 graf antiprisma 𝐴𝑃 4 1, 𝐴𝑃 4 2, … , 𝐴𝑃 4 𝑡 dinotasikan dengan
𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Graf 𝐺 memiliki himpunan titik
𝑉 𝐺 = {𝑤𝑖 , 𝑥𝑗 ,𝑘 , 𝑦𝑗 ,𝑘 , 𝑧𝑙 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 2, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑡 dengan
𝑉 𝐺 = 7𝑡 + 1 dan himpunan sisi 𝐸 𝐺 = 𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗 +1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪
𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 ∪ 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤
𝑡 ∪ 𝑤𝑖𝑧2𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖 |
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1} ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ {𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2}
12
∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ {𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1
≤ 𝑗 ≤ 2} dengan 𝐸(𝐺) = 16𝑡. Berikut ilustrasinya.
Gambar 3.1 Shackle dari Himpunan Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒 dengan 𝒕 = 𝟑
3.1 Rainbow Connection Number pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
Lema 3.1.1. Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 dimana 𝑡 = 2, maka 𝑟𝑐 𝐺 = 4.
Bukti. Diketahui 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 4. Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑚
4 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 32
Berdasarkan pertidaksamaan di atas, maka nilai 𝑟𝑐 𝐺 yang mungkin adalah
4, 5, . . . , 32. Untuk 𝑟𝑐 𝐺 = 4, didefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → {1, 2, 3, 4}
sebagai berikut.
13
𝑐 𝑒 =
1,
2,
3,
4,
𝑒 = 𝑥1,1𝑦1,1; 𝑒 = 𝑥1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑤1𝑧1;𝑒 = 𝑥1,2𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑦1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧2
𝑒 = 𝑥1,1𝑥1,2; 𝑒 = 𝑥1,1𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑧2; 𝑒 = 𝑤1𝑧2; 𝑒 = 𝑦1,1𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,2𝑧2; 𝑒 = 𝑤2𝑧1
𝑒 = 𝑥2,1𝑦2,1; 𝑒 = 𝑥2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑦2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧3;𝑒 = 𝑥2,2𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑤3𝑧4
𝑒 = 𝑥2,1𝑥2,2; 𝑒 = 𝑥2,1𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,1𝑧4; 𝑒 = 𝑤2𝑧4
𝑒 = 𝑦2,1𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑧4; 𝑒 = 𝑤3𝑧3
;
Karena 4 adalah nilai minimum dari interval batas nilai rainbow connection
number pada shackle graf 𝐺, maka untuk 𝑡 = 2, nilai 𝑟𝑐 𝐺 = 4. □
Berikut ilustrasi pewarnaan rainbow pada 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 2 .
Gambar 3.2 Pewarnaan-4 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
dengan 𝒕 = 𝟐
Lema 3.1.2. Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 dimana 𝑡 = 3, maka 𝑟𝑐 𝐺 = 6.
Bukti. Diketahui 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 6 dimana 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 adalah diameter dari graf 𝐺.
Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑚
6 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 48
14
Berdasarkan pertidaksamaan di atas, maka nilai 𝑟𝑐 𝐺 yang mungkin adalah
6, 7, . . . , 48. Untuk 𝑟𝑐 𝐺 = 6, didefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → {1, 2, . . . , 6}
sebagai berikut.
𝑐 𝑒 =
1,
2,
3,
4,
5,
6,
𝑒 = 𝑥1,1𝑦1,1; 𝑒 = 𝑥1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑤1𝑧1;𝑒 = 𝑥1,2𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑦1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧2;𝑒 = 𝑥1,1𝑥1,2; 𝑒 = 𝑥1,1𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑧2; 𝑒 = 𝑤1𝑧2; 𝑒 = 𝑦1,1𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,2𝑧2; 𝑒 = 𝑤2𝑧1
𝑒 = 𝑥2,1𝑦2,1; 𝑒 = 𝑥2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑦2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧3;𝑒 = 𝑥2,2𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑤3𝑧4
𝑒 = 𝑥2,1𝑥2,2; 𝑒 = 𝑥2,1𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,1𝑧4; 𝑒 = 𝑤2𝑧4;𝑒 = 𝑦2,1𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑧4; 𝑒 = 𝑤3𝑧3
𝑒 = 𝑥3,1𝑦3,1; 𝑒 = 𝑥3,1𝑤3; 𝑒 = 𝑦3,1𝑤3; 𝑒 = 𝑤3𝑧5;𝑒 = 𝑥3,2𝑦3,2; 𝑒 = 𝑥3,2𝑤4; 𝑒 = 𝑦3,2𝑤4; 𝑒 = 𝑤4𝑧6
𝑒 = 𝑥3,1𝑥3,2; 𝑒 = 𝑥3,1𝑧5; 𝑒 = 𝑦3,1𝑧6; 𝑒 = 𝑤3𝑧6;𝑒 = 𝑦3,1𝑦3,2; 𝑒 = 𝑥3,2𝑧5; 𝑒 = 𝑦3,2𝑧6; 𝑒 = 𝑤4𝑧5
Karena 6 adalah nilai minimum dari interval batas nilai rainbow connection
number pada shackle graf 𝐺, maka untuk 𝑡 = 3, nilai 𝑟𝑐 𝐺 = 6. □
Berikut ilustrasi pewarnaan rainbow pada 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 3 .
Gambar 3.3 Pewarnaan-6 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
dengan 𝒕 = 𝟑
15
Lema 3.1.3. Misalkan 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 dimana 𝑡 = 4, maka 𝑟𝑐 𝐺 = 8.
Bukti. Diketahui 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 8. Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑚
8 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 64
Berdasarkan pertidaksamaan di atas, maka nilai 𝑟𝑐 𝐺 yang mungkin adalah
8, 9, . . . , 64. Untuk 𝑟𝑐 𝐺 = 8, didefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → {1, 2, . . . , 8}
sebagai berikut.
𝑐 𝑒 =
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
𝑒 = 𝑥1,1𝑦1,1; 𝑒 = 𝑥1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑤1𝑧1;𝑒 = 𝑥1,2𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑦1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧2
𝑒 = 𝑥1,1𝑥1,2; 𝑒 = 𝑥1,1𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑧2; 𝑒 = 𝑤1𝑧2;𝑒 = 𝑦1,1𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,2𝑧2; 𝑒 = 𝑤2𝑧1 𝑒 = 𝑥2,1𝑦2,1; 𝑒 = 𝑥2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑦2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧3;𝑒 = 𝑥2,2𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑤3𝑧4
𝑒 = 𝑥2,1𝑥2,2; 𝑒 = 𝑥2,1𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,1𝑧4; 𝑒 = 𝑤2𝑧4;𝑒 = 𝑦2,1𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑧4; 𝑒 = 𝑤3𝑧3
𝑒 = 𝑥3,1𝑦3,1; 𝑒 = 𝑥3,1𝑤3; 𝑒 = 𝑦3,1𝑤3; 𝑒 = 𝑤3𝑧5;𝑒 = 𝑥3,2𝑦3,2; 𝑒 = 𝑥3,2𝑤4; 𝑒 = 𝑦3,2𝑤4; 𝑒 = 𝑤4𝑧6
𝑒 = 𝑥3,1𝑥3,2; 𝑒 = 𝑥3,1𝑧5; 𝑒 = 𝑦3,1𝑧6; 𝑒 = 𝑤3𝑧6;𝑒 = 𝑦3,1𝑦3,2; 𝑒 = 𝑥3,2𝑧5; 𝑒 = 𝑦3,2𝑧6; 𝑒 = 𝑤4𝑧5
𝑒 = 𝑥4,1𝑦4,1; 𝑒 = 𝑥4,1𝑤4; 𝑒 = 𝑦4,1𝑤4; 𝑒 = 𝑤4𝑧7;𝑒 = 𝑥4,2𝑦4,2; 𝑒 = 𝑥4,2𝑤5; 𝑒 = 𝑦4,2𝑤5; 𝑒 = 𝑤5𝑧8
𝑒 = 𝑥4,1𝑥4,2; 𝑒 = 𝑥4,1𝑧7; 𝑒 = 𝑦4,1𝑧8; 𝑒 = 𝑤4𝑧8;𝑒 = 𝑦4,1𝑦4,2; 𝑒 = 𝑥4,2𝑧7; 𝑒 = 𝑦4,2𝑧8; 𝑒 = 𝑤5𝑧7
Karena 8 adalah nilai minimum dari interval batas nilai rainbow connection
number pada shackle graf 𝐺, maka untuk 𝑡 = 4, nilai 𝑟𝑐 𝐺 = 8. □
16
Berikut ilustrasi pewarnaan rainbow pada 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 4 .
Gambar 3.4 Pewarnaan-8 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
dengan 𝒕 = 𝟒
Teorema 3.1.4. Misal 𝑡 bilangan bulat positif dengan 𝑡 ≥ 2 dan 𝐺 ≅
𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Maka 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡.
Bukti. Misal 𝐺 adalah 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 yang memiliki himpunan titik 𝑉 𝐺 = {𝑤𝑖 ,
𝑥𝑗 ,𝑘 , 𝑦𝑗 ,𝑘 , 𝑧𝑙 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 2, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑡 dengan 𝑉 𝐺 =
7𝑡 + 1 dan himpunan sisi 𝐸 𝐺 = 𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1|1 ≤
𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 ∪ 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ∪ {𝑤𝑖𝑧2𝑖 |
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡} ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗
= 1} ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ 𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 ∪ {𝑦𝑖 ,𝑗𝑣𝑖|1
≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1} ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1| 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2
dengan 𝐸(𝐺) = 16𝑡. Graf 𝐺 memiliki 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 2𝑡. Berdasarkan pertidak-
samaan (2.1) maka
17
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑚
2𝑡 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 16𝑡
Selanjutnya akan ditunjukkan 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡 yang dibagi ke dalam dua kasus.
(i) Akan ditunjukkan 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 2𝑡
Didefinisikan pewarnaan sisi 𝑐 sebagai berikut.
𝑐 𝑒 =
2𝑖 − 1
2𝑖
𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑦𝑖 ,𝑗 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖 ; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖+1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 ;𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 +1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1;
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡
Berdasarkan pendefinisian tersebut, diperoleh bahwa 𝑐 ∶ 𝐸(𝐺) →
{1, 2, . . . , 2𝑡} sehingga 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 2𝑡.
(ii) Akan ditunjukkan 𝑟𝑐 𝐺 ≥ 2𝑡
Graf 𝐺 memiliki 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 2𝑡. Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka
2𝑡 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 sehingga terbukti bahwa 𝑟𝑐 𝐺 ≥ 2𝑡.
Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. □
Gambar 3.5 Pewarnaan Rainbow pada Komponen ke-𝒊 Shackle Graf
Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
3.2 Strong Rainbow Connection Number pada Shackle Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Berdasarkan pertidaksamaan (2.1), nilai
𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑠𝑟𝑐 𝐺 . Pada subbab 3.1 telah ditunjukkan bahwa nilai 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡.
Dengan mendefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸(𝐺) → {1, 2, . . . , 2𝑡}, akan dibuktikan
bahwa 2𝑡 ≤ 𝑠𝑟𝑐 𝐺 .
18
𝑐 𝑒 =
2𝑖 − 1
2𝑖
𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑦𝑖 ,𝑗 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖 ; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖+1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 ;𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 +1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1;
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡
Berdasarkan pendefinisian tersebut, maka jelaslah bahwa 𝑠𝑟𝑐 𝐺 ≤ 2𝑡.
Setiap titik pada graf antiprisma 𝐴𝑃4 seluruhnya dihubungkan oleh lintasan
geodesic dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐴𝑃4 = 2, misal 𝑑 𝑤1, 𝑤2 = 𝑑 𝑧1, 𝑧2 = 𝑑 𝑤1 , 𝑥1,2 =
𝑑 𝑤1 , 𝑦1,2 = 𝑑 𝑤2, 𝑥1,1 = 𝑑 𝑤2 , 𝑦1,1 = 𝑑 𝑧1, 𝑦1,1 = 𝑑 𝑧1, 𝑦1,2 = 𝑑(𝑧2, 𝑥1,1)
= 𝑑 𝑥1,1 , 𝑦1,2 = 𝑑(𝑥1,2, 𝑦1,1) = 2. Hal ini juga berlaku untuk seluruh titik pada
graf 𝐺, sehingga setiap lintasan geodesic sudah diwarnai dengan pewarnaan-2𝑡
strong rainbow berdasarkan pendefinisian pewarnaan-2𝑡 rainbow. Jadi 𝑠𝑟𝑐 𝐺 =
𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. □
Gambar 3.6 Pewarnaan-2t Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒
19
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan lema 3.1.1, lema 3.1.2, dan 3.1.3 diperoleh rainbow connection
number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4, yaitu 𝑟𝑐 𝐺 = 4 untuk 𝑡 = 2, 𝑟𝑐 𝐺 =
6 untuk 𝑡 = 3, 𝑟𝑐 𝐺 = 8 untuk 𝑡 = 4, yang secara umum digeneralisasikan
menurut teorema 3.1.4, yaitu 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. Sedangkan strong rainbow connection
number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4, yaitu 𝑠𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. Sehingga dapat
disimpulkan dalam sebuah teorema baru, yaitu misal 𝑡 bilangan bulat positif
dengan 𝑡 ≥ 2 dan 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Maka 𝑟𝑐 𝐺 = 𝑠𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡.
4.2 Saran
Berdasarkan hasil penelitian mengenai rainbow connection number dan
strong rainbow connection number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4 , saran
yang dapat diberikan peneliti kepada pembaca adalah melakukan penelitian
penentuan rainbow connection number dan strong connection number pada
shackle graf 𝐴𝑃2𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3.
20
REFERENSI
[1] Chartrand, G., & dkk. (1993). Applied and Algoritmic Graph Theory. New
York: Mac Graw-Hill, Inc.
[2] Chartrand, G., & dkk. (2008). Rainbow Connection in Graphs. Math Bohem
133(1), 85-98.
[3] Darmawan, R. N. (2015). Analisis Rainbow Connection Number pada Graf
Khusus dan Hasil Operasinya. Tesis. Universitas Jember.
[4] Hartsfield, N., & Ringel, G. (1990). Pearls in Graph Theory. San Diego:
Academic Press, Inc.
[5] Maryati, T., Salman, A., Baskoro, E., Ryan, J., & Miller, M. (2010). On H-
supermagic Labelings for Certain Shackles and Amalgamations of a
Connected Graph . Utilitas Mathematica 87, 333-342.
[6] Rosen, K. H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. New York:
McGraw-Hill.
[7] Sugeng, K. A., Slamet, S., & Silaban, D. R. (2014). Teori Graf dan
Aplikasinya. Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.