Radiación Electromagnética

Captulo 1

La radiacion electromagnetica

The spectral density of black body radiation ... represents something absolute, and since the search for the

absolutes has always appeared to me to be the highest form of research, I applied myself vigorously to its

solution. Max Planck

En general se llama radiacion a la energa emitida por un cuerpo. Si lo que se emite son ondas

electromagneticas, se habla de radiacion electromagnetica el tema de los cuatro primeros captu-

los de esta parte del curso pero si son partculas, en general se habla de radioactividad. La forma

en que ambos tipos de radiacion interactuan con la materia es muy distinta. Un problema semantico

es que en la vida diaria la palabra radiacion se ocupa en cualquiera de los dos sentidos.

En este curso nos ocuparemos solo de la radiacion electromagnetica.

1.1. Velocidad de fase de la radiacion electromagnetica

Los campos electrico (E) y magnetico (B) satisfacen la relacion

2E,B

z2=

1

c2 2E,B

t2(1.1)

por lo que en el espacio libre se propagan como ondas progresivas, con la velocidad de fase c. A la

propagacion de estas ondas se llama usualmente radiacion electromagnetica.

Todo cuerpo(1)emite radiacion electromagnetica en todas las longitudes de onda.

La rapidez con que la radiacion electromagnetica se propaga, habitualmente llamada velocidad

de la luz, se calcula como

c=

1

r0r0= f rac1

r0r0 =

c0

n(1.2)

en que 0 es llamada permitividad electrica del vaco, y vale 8,89x1012 (F/m), r es la permitividad

(relativa) de un material, 0 es la susceptibilidad magnetica del vaco, 4pix107 (H/m), y r es la

susceptibilidad (relativa) de un material. n es el ndice de refraccion.

1Todo cuerpo a temperatura distinta de 0 K.

Texto curso Meteorologa y Oceanografa Fsica I (DGEO/UdeC, 11 de mayo de 2015)

2 La radiacion electromagnetica

La velocidad de la luz en el vaco, que llamaremos c0, vale 299,8x106 m/s (3x108 m/s, o tres-

cientos mil kilometros en cada segundo)(2). En el agua, por ejemplo, dado que r es el del orden de80, c vale apenas unos 33500 km/s.

Dado que la luz es una onda, debe cumplirse que su velocidad de fase sea el producto de su

frecuencia y su longitud de onda:

c0 = (1.3)

Generalmente, se describe la radiacion en terminos de su longitud de onda, lo cual se hace en

milimetros (mm = 1x103 m), micrometros (m = 1x106 m) y nanometros (nm = 1x109 m).

1.2. Descripcion de la energa radiativa

Se denomina radiancia espectral (a veces radiancia monocromatica), y se denota como I (o

I ), a la energa en forma de radiacion electromagnetica que pasa o es emitida en una direccion

determinada, cruzando una unidad de area normal al rayo (dA), por unidad de angulo solido (d),por unidad de tiempo (dt) en un pequeno intervalo de longitud de onda (d ) o de frecuencia (d).Otro nombre, frecuente pero no tan recomendable, es intensidad espectral o monocromatica, o

(Goody & Young, 1989) intensidad especfica.

La radiancia espectral se expresa en Watt por metro cuadrado por unidad de angulo solido (es-

tereorradian) por unidad de longitud de onda [Wm2sr1m1] o de frecuencia [Wm2sr1Hz1].Notese que I e I tienen distintas unidades de medida.

Si es el flujo radiante (potencia emitida o que pasa, en Watts), se tiene

I =d3

dAdd(1.4)

y una relacion semejante para I . Si I no depende de la direccion se dice que es isotropica; si en

cierta region no es una funcion de la posicion se dice que es homogenea.

Se debe cumplir que

Id =Id o I =2

cI (1.5)

La radiancia (sin apellido), tambien llamada intensidad, se obtiene integrando la radiancia

espectral

I = 2

1Id (1.6)

y por supuesto tiene unidades Wm2sr1.Las cantidades anteriores son independientes de la distancia a la fuente. Sin embargo, habitual-

mente la energa radiante debe ser evaluada sobre alguna superficie. Para eso se define la irradiancia

espectral o densidad de flujo radiante espectral.

La radiacion incidente sobre una superficie, considerando la que le llega desde arriba (o desde

el frente, o desde adelante) es

F =2pi

I cos()d (1.7)

La unidad de medida de la irradiancia espectral es Wm2m1.

2Mas sobre esto, en la clase. Keyword: atomos; informacion; modelos macro


1.2 Descripcion de la energa radiativa 3

Finalmente se tiene la irradiancia (a secas) o densidad de flujo radiante (tambien llamada RFD)

para la radiacion que incide sobre una superficie plana

F =2pi

I cos()d = 2

1I cos()dd (1.8)

Esta variable se mide en Wm2. Notese que los angulos que aparecen en esta ultima ecuacion sonlocales, no remotos. Lo remoto es I o I .

Un ejemplo importante y conocido de densidad de flujo radiante o irradiancia corresponde a

la constante solar, 1366,1 Wm2, medida en la parte superior de la atmosfera, a una distanciaal Sol igual a la distancia promedio a la Tierra(3)(4). En este caso se considera todo el espectro

electromagnetico(5).

Cuanta es la radiancia emitida desde el Sol? Podemos usar la ecuacion (1.7). El angulo solido

que subtiende el Sol desde un punto de la orbita de la Tierra es piR2S/R2TS. Usando 700 mil km y

150 millones de km, respectivamente, tenemos que 6,8x105 sr. Como es un valor bastantepequeno, podemos suponer que cos 1 en esa ecuacion y obtener, suponiendo isotropa, que laradiancia del Sol es del orden de 2,0x107 Wm2sr1. Por supuesto este resultado es independientede la distancia al Sol.

El flujo radiante (= potencia), en Watts, incidente sobre una superficie o que pasa por ella se

puede calcular integrando la ecuacion (1.4) con respecto al area, de forma que queda

=S

2pi

21

I ( ,)cosdddA (1.9)

1.2.1. Que pasa con la radiacion que incide sobre un cuerpo?

La fsica de la interaccion entre la radiacion electromagnetica y la materia es el tema del segun-

do captulo de esta parte del curso. Pero es relevante que ahora veamos algunas definiciones.

La absorbancia espectral (o monocromatica) a de un cuerpo es la razon entre la RFD absor-

bida y la recibida por ese cuerpo, para cada longitud de onda.

La reflectancia se define como la fraccion de la potencia electromagnetica incidente que es

reflejada en una interfase. Es una propiedad espectral y dependiente del angulo de incidencia de

la radiacion y de la polarizacion de la radiacion incidente(6). Como un ejemplo, la Figura (1.1)

muestra como la reflectancia de la superficie pulida de un metal depende de la longitud de onda.

Quizas algo contraintuitivamente, estos metales difieren bastante en su reflectancia en longitudes

de onda visibles. En infrarrojo, sin embargo, ellos son muy eficientes reflectores.

3En unidades mas cotidianas, esto corresponde a unas 20 Kcal/min/m2. Notese que, al considerar el factor 1/4 por

la rotacion de la Tierra, esto implica una incidencia de unos 160 mil TW. De ellos, descontando albedo y energas

no utilizables (por ejemplo, por corresponder a temperaturas demasiado bajas para sacarles trabajo), quedan solo unos

1000TWutilizables para la humanidad. El consumo global actual de energa es del orden de 50 TW (unos 30 naturales

fotosntesis, etc. y unos 17 ocupados por los humanos en energa para trabajo), o sea como un 5% de lo utilizable.

Otras estimaciones elevan esta fraccion ya a un 10%.4Valores para otros planetas son: Venus, 2612; Marte, 589; Jupiter, 51; Saturno, 15; Neptuno, 1,5 Wm25En el caso de una onda electromagnetica monocromatica, y si la susceptibilidad magnetica es pequena (r 1),

la irradiancia esta dada por F = (1/2)c0n0|E|2, en que n es el ndice de refraccion, c0/c, y E el campo electrico.6The term reflection coefficient is used for the fraction of electric field reflected. The reflectance (or reflectivity) is

thus the square of the magnitude of the reflection coefficient. The reflection coefficient can be expressed as a complex

number as determined by the Fresnel equations for a single layer, whereas the reflectance (or reflectivity) is always a

positive real number.



Figura 1.1: (a) Reflectancia espectral de superficies pulidas de aluminio, plata y oro en el caso de

incidencia normal. (b) Reflectancia del agua limpia, de la vegetacion sana y del suelo desnudo y

seco.

A la derecha de la Figura (1.1) se muestra la reflectancia espectral del agua limpia, del suelo

desnudo seco, y de la vegetacion verde sana. La curva de reflectancia de la vegetacion verde sana

muestra un marcado mnimo en la parte visible del espectro, y luego aumenta muy rapido en el

infrarrojo cercano. La vegetacion bajo stress puede ser detectada porque tiene una reflectancia muy

baja en el infrarrojo.

La reflectancia espectral del suelo seco es mucho menos variable. Uno de los factores que mas

puede afectar la reflectancia del suelo es la humedad que pueda tener. El agua limpia tiene solo un

poco de reflectancia en el visible... y nada de reflectancia en infrarrojo. El agua turbia tiene mas

reflectancia en el visible que el agua limpia. Lo mismo si el agua tiene clorofila.

En este curso trataremos la reflectividad como sinonimo de reflectancia, aunque en algunas

disciplinas se hace distincion entre ellas(7).

Ver los siguientes links:

http://ricmorte.com/index.php/light-a-colour/optics/reflectance-a-reflectivity

http://en.wikipedia.org/wiki/Reflectivity

http://xdb.lbl.gov/Section4/Sec_4-2.html (la figura de mas abajo en la ultima pagina)

La transmitancia espectral es la fraccion de la radiacion electromagnetica incidente que, para

cierta longitud de onda determinada, pasa a traves de una muestra. La Figura (1.2) muestra la

transmitancia espectral para el caso de la atmosfera terrestre. (En captulos siguientes estudiaremos

los procesos que producen las bandas de absorcion que se observa en esta figura).

Dado que un cuerpo solo puede puede absorber, reflejar y/o transmitir la radiacion electro-

magnetica que le llega, para cada longitud de onda debe cumplirse que

a +R +T = 1 (1.10)

A partir de la absorbancia espectral (y de la reflectancia y la transmitancia) se calcula la absor-

bancia total o integral (y la reflectancia, etc.) como

7Reflectivity is the property of a material, reflectance is the property of a particular sample of that material or a

particular surface. reflectivity is distinguished from reflectance by the fact that reflectivity is a value that applies to

thick reflecting objects. When reflection occurs from thin layers of material, internal reflection effects can cause the

reflectance to vary with surface thickness. Reflectivity is the limit value of reflectance as the surface becomes thick;

it is the intrinsic reflectance of the surface, hence irrespective of other parameters such as the reflectance of the rear

surface. Another way to interpret this is that the reflectance is the fraction of electromagnetic power reflected from a

specific sample, while reflectivity is a property of the material itself, which would be measured on a perfect machine if

the material filled half of all space.


1.3 Radiancia espectral de un cuerpo negro 5

Figura 1.2: Transmitancia de la atmosfera terrestre.

a=

=0 aF

(inc)

d =0F

(inc)

d(1.11)

Notese que mientras a depende solo de la superficie, a depende de la distribucion espectral de

la radiacion incidente.

Tambien se tiene que

a+R+T = 1 (1.12)

1.3. Radiancia espectral de un cuerpo negro

Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe toda la radiacion que recibe, por lo que cumple que

a es 1 para toda longitud de onda (y que R y T son cero para toda ). Un cuerpo negro emiteradiacion en una distribucion espectral dada por la ley de Planck (ver mas abajo), con la temperatura

T como unico parametro.

Figura 1.3: Una cavidad como modelo de un cuerpo negro

En su investigacion de la emision y absorcion de la energa electromagnetica Planck sugirio en

1900 que la radiacion de un cuerpo negro estaba compuesta de unidades discretas de energa. Si

pensamos en la luz compuesta por fotones, entonces un foton tiene una energa E que es propor-

cional a su frecuencia

E = h (1.13)



en que h = 6,625x1034 Js es la constante de Planck, y es la accion(8) mnima que puede existiren la naturaleza.

La radiancia espectral de un cuerpo negro esta dada por la distribucion de Planck(9),

IB = B (T ) =2hc2

5[exp(hc/kBT )1] (1.14)

en que kB, la constante de Boltzmann, vale 1,38x1023 J/K. Las unidades de medida de IB son

Wm2sr1m1.Lo mismo expresado en funcion de la frecuencia queda

IB = B(T ) =2h3

c21

exp(h/kBT )1 (1.15)

Una descripcion alternativa de la radiacion de un cuerpo negro es a traves de su densidad de

energa espectral, que esta relacionada con la radiancia espectral en la forma

u (T ) =4pi

cIB (T ) u(T ) =

4pi

cIB(T ) (1.16)

Para calcular cuanta energa emite un cuerpo negro por unidad de area, se debe integrar la que

emite en todas las direcciones hacia adelante

FB =

pi/2

2pi

IB cos()sen()ddd (1.17)

Con respecto a las integrales de la radiancia espectral, y usando la ecuacion (1.14), debe tenerse

que

L= 0

IBd = 0

IBd (1.18)

En el Anexo 1A se muestra como calcular L. El extraordinario resultado es

L=

0

IBd =

piT 4

Juntando este resultado con la integracion de la parte geometrica de la ecuacion (1.17) en que

la integral sobre da 1/2 y la integral sobre da 2pi se llega a la RFD

FB =2pi5k4B15c2h3

T 4 = T 4 (1.19)

en que es la constante de Stefan-Boltzmann, 5,670x108 W/m2K4. Esta ecuacion (1.19) es llama-da Ley de Stefan-Boltzmann. Considerando la complejo de las expresiones para I o I , y de la in-

tegracion geometrica en coordinadas esfericas, esta ecuacion es de una extraordinaria simpleza(10)

8La accion es el producto de la energa implicada en un proceso y el tiempo que dura este proceso.9A la radiancia espectral de un cuerpo negro frecuentemente se la denomina B (T ).10La Ley de Stefan-Bolztmann se conoca desde 1879, cuando el fsico austriaco Jozef Stefan la dedujo basandose en

las mediciones experimentales realizadas por el fsico irlandes John Tyndall... pero el nombre de la ecuacion no llega a

Tyndall por ninguna parte. (Siempre pasa: la ecuacion lleva el nombre de quien la explica o la deducematematicamente,

no de quien hace las mediciones en que esas se basan. Piensese en las leyes de Kepler, quien dedujo las ecuaciones

basandose en el trabajo de toda la vida de Tycho Brahe.) Stefan murio en 1893, as que no alcanzo a conocer la

explicacion de Planck para su ley.


1.4 Cuerpos grises 7

Otro resultado muy importante es conocer a que longitud de onda un cuerpo a cierta tempera-

tura emite mas. Obviamente eso se puede saber derivando la radiancia espectral para encontrar el

maximo de la funcion. El resultado es que la longitud de onda a la cual la radiacion es maxima (ley

de corrimiento de Wien) se puede calcular de

maxT = 2898m K (1.20)

Si se calcula las longitudes de onda a las que el Sol y la Tierra mas emiten, se encuentra que

la radiacion solar esta preferentemente en la banda visible e infrarrojo cercano del espectro ( dedecimas de m) y la Tierra emite en la banda infrarroja del espectro ( de decenas de m). Lafigura (1.4) muestra una version simplificada de los espectros solar y terrestre.

Figura 1.4: Espectro de radiacion solar y terrestre

1.4. Cuerpos grises

Las relaciones anteriores son adecuadas para un cuerpo negro. La emisividad (o emitancia)

espectral de un material se define como la razon entre la radiancia emitida por el material en cada

longitud de onda y la radiancia emitida a esa longitud de onda por un cuerpo negro que este a la

misma temperatura del material. Entonces

=I

IB(1.21)

La tabla mostrada en la figura (1.5) muestra las propiedades radiativas de cuerpos no-negros.

Si la emisividad monocromatica es esencialmente independiente de la longitud de onda (o sea,

es practicamente constante), se habla de un cuerpo gris (graybody). Muchos cuerpos tienden a

comportarse de esta forma (el mismo Sol, sin ir mas lejos). La figura (1.6) muestra un ejemplo.

En el caso de un cuerpo no-negro (gris) la potencia emitida total es, entonces,

= AFB = AT4 (1.22)



Figura 1.5: Emisividades de varios materiales

Figura 1.6: Ejemplos de un espectro de cuerpo negro, un cuerpo gris y un emisor selectivo

1.5. Ley de Kirchhoff

En esta seccion se hara y se probara varias aseveraciones relevantes relacionadas a propie-

dades de la radiacion y su interaccion con la materia.

La primera aseveracion es: Un cuerpo negro debe emitir la maxima cantidad de energa radia-

tiva, mas que cualquier otro cuerpo a la misma temperatura.

Para mostrar esto consideremos dos cavidades negras, aisladas termicamente del exterior, y

cada una conteniendo un objeto pequeno, salvo que uno es negro y el otro no. De acuerdo a la

segunda ley de la termodinamica, luego de un tiempo largo ambas cavidades y los objetos en su

interior estaran a la misma temperatura.


1.5 Ley de Kirchhoff 9

Esto implica que cada parte dentro de la cavidad (paredes y objeto) deben emitir precisamente

tanta energa como absorben. Ambos objetos en las cavidades reciben exactamente la misma can-

tidad de energa radiativa. Pero el objeto negro absorbe mas energa (la maxima posible), y por

lo tanto debe emitir mas energa que el objeto no-negro (o sea, tambien debe emitir el maximo

posible).

Notese que esto significa que el que absorbe mucho, debe emitir mucho(11). O sea, en ecua-

ciones, a .Ahora veamos la siguiente aseveracion: Todo cuerpo rada a cada frecuencia exactamente con

la misma eficiencia con la que absorbe radiacion a esa frecuencia.

Esta aseveracion es algo paradojal, porque la emision de una superficie es determinada solo por

las propiedades fsicas y la temperatura de esa superficie, mientras que la absorcion, por otra parte,

depende tambien de la fuente desde la que la superficie absorbe radiacion. Pero, en fin, veamos si

esta aseveracion puede ser justificada.

Imaginemos que ponemos un cuerpo a alguna temperatura dentro de un horno que este a su

misma temperatura. En ese caso la segunda ley requiere que el cuerpo y el horno esten en equilibrio

termico uno con el otro mediante el campo radiativo dentro del horno. En particular requiere que el

cuerpo emita radiacion termica con la misma intensidad con la cual el la absorbe (de otra forma la

temperatura del cuerpo subira o bajara, y se violara la segunda ley).

Ahora imagine que el cuerpo es envuelto por una pantalla hecha de un material que refleja

toda la radiacion excepto aquella en una banda estrecha de frecuencias, donde el material de la

pantalla transmite (deja pasar) perfectamente. Reflexion y transmision perfectamente quiere decir

que la pantalla no absorbe nada de esa radiacion que le llega. La presencia de la pantalla no afecta

a las propiedades intrnsecas del cuerpo, en particular, no tiene por que alterar la emisividad o la

absorbancia del cuerpo. La presencia de la pantalla tampoco tendra que afectar de alguna manera

la radiacion dentro del horno.

Estos hechos requieren que a cualquier frecuencia dada el cuerpo emita radiacion con la misma

intensidad con que absorbe la radiacion a esa frecuencia. Asumamos que el cuerpo absorbe radia-

cion con cerca de 100% de eficiencia en la banda de frecuencias que pasan a traves de la pantalla.

La radiacion emitida por las paredes del horno golpean la pantalla y la radiacion en la banda de fre-

cuencias especiales pasa a traves de la pantalla y golpea al cuerpo. Esperamos que, de acuerdo con

esa absorcion, el cuerpo se caliente, y comience a radiar mucho mas a todas las longitudes de onda,

la mayora de las cuales se reflejan en la pantalla y vuelven al cuerpo, haciendolo aun mas caliente,

etc., en violacion de la segunda ley. La unica solucion para que la segunda ley no sea violada es

que el cuerpo rade a cada frecuencia exactamente tan eficientemente como el absorbe radiacion a

esa frecuencia. Para equilibrio termico un sistema debe radiar tanta energa como la que recibe en

cada banda de frecuencias.

As que en el equilibrio termodinamico debe cumplirse la llamada ley de Kirchhoff:

a = (1.23)

y, consecuentemente, tambien debe tenerse que a= .Notese que la ecuacion (1.23) vale o para la misma longitud de onda o para el espectro completo.

No puede aplicarse para longitudes de onda distintas.

Algunos ejemplos de aplicacion de la ley de Kirchchoff:

(a) Esta ley explica por que el vapor de sodio digamos absorbe fuertemente radiacion en ciertas

frecuencias, mostrando lneas oscuras en su espectro de absorcion, y tambien rada fuertemente en

11Interesante: Una version bblica de la ley de Kirchhoff se encuentra en Lucas 7:47.



esas mismas frecuencias cuando se hace incandescente, creando lneas brillantes en su espectro de

emision(12).

(b) Imaginemos un tubo cuyas paredes interiores no emitan ni absorban radiacion. Dos tapas metali-

cas cilndricas ocupan los extremos opuestos del tubo, en contacto con reservorios de calor pa-

ra mantener a ambas a la misma temperatura (por ejemplo, podemos suponer que todo el tubo

esta dentro de un recipiente con agua). Supongamos, por otra parte, que las tapas no transmiten ra-

diacion. La tapa 1 emite radiacion con una intensidad de E1 W/m2 y la tapa 2 absorbe una fraccion

a2 de esa emision. Del mismo modo, la tapa 2 emite radiacion con una intensidad de E2 W/m2 y

la tapa 1 absorbe una fraccion a1 de ella, reflejando el resto. Debido a la suposicion que el sistema

esta en equilibrio termico (todas sus partes estan a la misma temperatura), la segunda ley de la

termodinamica (en la forma de Clausius: el calor no fluye espontaneamente de los cuerpos fros

a los calientes) se requiere que la cantidad de radiacion que viene de una tapa sea la misma a la

que viene de la otra. Si esto no ocurriera, una tapa enviara mas radiacion a la segunda que la que

la segunda enviara a la primera, por lo que la primera se enfriara, y se acabara el equilibrio. La

cantidad de radiacion saliendo de la tapa 1 es la suma de E1 y la cantidad de E2 que ella refleja,

ambas cantidades multiplicadas por el area de la tapa. Una suma analoga vale para la radiacion

saliendo de la tapa 2.

La condicion que ambas temperaturas se mantengan constantes e iguales requiere que ambos

flujos totales sean iguales. Igualando las dos sumas, y dado que la cubierta de ambas tapas tienen

la misma area (y dividiendo por esa area) se tiene E1+E2(1 a1) = E2+E1(1 a2). RestandoE1+E2 de ambos lados de la ecuacion y dividiendo ambos lados por -1 da E2a1 = E1a2.

Finalmente, dividiendo la ecuacion por el producto A1A2 se obtiene

E1

a1=

E2

a2(1.24)

Esta ecuacion expresa el hecho que la emisividad de un cuerpo dado esta en proporcion directa

con la absorbancia de ese cuerpo. En la medida que la emisividad del cuerpo dependa de ciertas

propiedades del cuerpo, en la misma medida y en la misma forma la absorbancia dependera de

esas propiedades. Puesto en terminos simples, un buen absorbente tambien es un buen emisor de

radiacion.

(c) Mediante el mismo razonamiento se puede mostrar que una superficie negra es un absorbente y

emisor perfecto a cada longitud de onda.

(d) Otras consecuencias (o formas de ver el asunto):

- Un mal reflector es un buen emisor, y un buen reflector es un mal emisor.

- Otra forma: buenos absorbentes son buenos emisores.

- La emisividad no puede ser mayor a uno ( < 1), pues por la conservacion de la energa no esposible irradiar mas energa que un cuerpo negro, en equilibrio.

Como ejemplo practico, un vidrio transparente deja pasar la luz visible y por la ley de Kirchhoff

se sabe que no es buen emisor de luz visible.

12La ley de Kirchhoff es aplicable a gases, siempre que la frecuencia de colisiones entre las moleculas sea mucho

mayor que la frecuencia a la que las moleculas absorben y emiten radiacion en la longitud de onda de interes. La

frecuencia de colisiones entre dos gases neutros esta dada por NAAB(8kBT/piAB)1/2, en que NA es el numero de

Avogadro, AB es la masa reducida, y AB la seccion transversal. Si esto se cumple, se dice que el gas esta en equilibriotermodinamico local (LTE). En la atmosfera, esta condicion se satisface hasta unos 60 km de altura.


1.5 Ley de Kirchhoff 11

Anexo 1A: Integral de la radiancia espectral

En este Anexo se muestra como calcular la integral de la radiancia espectral, o sea

L=

0

IBd = 2hc2 0

d

5[exp(hc/kBT )1]Podemos definir una variable auxiliar x = hc/(kBT ), lo que significa que = (hc)/(kBTx),

y por lo tanto d =dx(kBT 2)/(hc). Reemplazando d y usando x en la ecuacion anterior (porahora la integral quedara mezclada durante un par de pasos), se tiene

L = (2hc2)(kBT/hc) 0

2dx

5[exp(x)1] =2ckBT 0

dx

3[exp(x)1]= 2ckBT

0

dx

(hc/kBTx)3[exp(x)1]Juntando las constantes e invirtiendo los lmites de integracion se tiene

L=2kBT (kBT )

3

h3c2

0

x3dx

exp(x)1 =2k4BT

4

h3c2

0

x3

exp(x)1dx

El problema es como evaluar la integral de x3/(ex1) entre cero e infinito. Esto se puede hacerde la siguiente manera:

0

x3

ex1dx= 0

x3[

ex

1 ex]dx=

0

x3

[

n=1

enx]dx=

n=1

0

x3enxdx

Veamos ahora solo la integral: Se puede hacer por partes: Al hacer u= x3 y v= enxdx, queda(x3/n)enx + (3/n) x2enxdx, todo esto evaluado entre cero e infinito. El producto se anulaen ambos lmites, y la integral queda reducida a (3/n)x2enxdx, de nuevo entre cero e infinito.Haciendo ahora u= x2 y v = enxdx, se llega a (3x2/n2)enx+(6/n2)xenxdx, lo que evaluadoen ambos lmites deja solo (6/n2)xenxdx. Por ultima vez se integra por partes, ahora u = x, yv= enxdx. Se obtiene 6/n2[(x/n)enx+(1/n)enxdx], evaluado entre cero e infinito. De nuevoel primer termino se anula en ambos lmites, y ahora la ultima integral se puede hacer facilmente,

obteniendose 6/n2[(1/n)(1/n)enx]. Al evaluar los lmites, queda solo 6/n4.Usando este resultado, tenemos que

0

x3

ex1dx= 6

n=1

1

n4= 6 (4) = 6

pi4

90

porque la sumatoria es la conocida funcion zeta de Riemann, la que en x= 4 es pi4/90. Con esto setiene, finalmente,

L=

0

IBd =2k4BT

4

h3c26

pi4

90=

2k4Bpi4

15h3c2T 4 =

2kBpi5

15h3c2T 4

pi=

piT 4

Ejercicios del captulo

1. (Este ejercicio es solo para que refresque sus conocimientos sobre angulo solido) Calcule el

angulo solido que subtiende America (el continente) vista desde el centro de la Tierra y vista

desde el Sol.

2. Justifique la aseveracion: Un mal reflector es un buen emisor, y un buen reflector es un mal

emisor.



Gua para la Practica de este captulo

Los alumnos deben seleccionar alguna temperatura cuya radiacion corresponda al rango visible

(Tvis) y otra para infrarrojo (Tir). Se supone que cada alumno elige temperaturas distintas a las de

sus companeros.

Para las temperaturas seleccionadas:

El alumno usaraMatlab u otro software que le parezca adecuado (Phyton?) para graficar la

distribucion espectral de Planck para un cuerpo negro B para sus temperaturas Tvis y Tir.

Hara otro grafico para B (para ambas temperaturas)

Para la temperatura Tvis calculara numericamente la pendiente de B (puede elegir un meto-

do; lo mas sencillo sera calcular numericamente la derivada de la funcion), y encontrara el

maximo de la funcion y lo comparara con lo que predice la ley de desplazamiento de Wien.

Usando la misma temperatura, integrara numericamente B (por ejemplo, con QUAD y com-

parara con T 4

- . . . y cualquier otra cosa que al ayudante le parezca adecuada.


La radiacin electromagnticaVelocidad de fase de la radiacin electromagnticaDescripcin de la energa radiativaQu pasa con la radiacin que incide sobre un cuerpo?

Radiancia espectral de un cuerpo negroCuerpos grisesLey de Kirchhoff

Documents

Radiación Electromagnética