quelques applications

de la géostatistique à l'hydrogéologie

J.-C.Martin J. Schwartz J.-J. Seguin

D. Thiery

avec la collaboration de

J.-P. Sauty

août 1989 R 30 177

EAU 4S 89

B U R E A U DE R E C H E R C H E S GEOLOGIQUES ET MINIERES SERVICES SOL ET S O U S - S O L

Département Eau B.P. 6009 - 45060 ORLÉANS CEDEX 2 - France - Tél.: (33) 38.64.34.34

QUELQUES APPLICATIONS DE LA GEOSTATISTIQUE A L'HYDROGEOLOGIE

J.C. MARTIN, J. SCHWARTZ, J.J. SEGUIN, V. TH1EM avzc la. coUabotuitLon de. J.P. SAUTV

PR 93.048.00263 - R 30177 EAU/4S/89

RESUME

Dans le cadre du programme de Recherche Scientifique de 1988 (Projet EG 26 : Hydrogéostatistique), il a été décidé de tester différentes possi­bilités d'application à l'étude des ressources en eau, des logiciels de géostatistique disponibles au département DT/ISA du BRGM. Le présent rapport expose la synthèse des résultats obtenus en 1988 et 1989 ; il comporte 5 parties :

1. (J.J. SEGUIN) Présentation des techniques et outils utilisés.

2. (J. SCHWARTZ et D. THIERY) Application à la cartographie des données de piézométrie et de trans-

missivité de l'aquifère calcaire de l'Hérault "dit de l'Etang de Thau".

Les données sont représentatives de l'étude classique d'une nappe plutôt bien connue (piézométrie mesurée en 114 points et transmissivité en 36 points), mais très hétérogène (facteur 100 000 entre les transmissivités extrêmes).

Le krigeage de la piézométrie a permis l'obtention de résultats cohérents en faisant intervenir un plan de dérive (variable non stationnaire), correspondant à la pente moyenne de la piézométrie, avec cependant des extra­polations hasardeuses ne respectant pas les conditions aux limites. Par contre, les données de transmissivité sont trop peu nombreuses et trop erra­tiques (aquifère karstifié), pour que le krigeage apporte des résultats exploitables.

3. et 4. (J.J. SEGUIN) Application à l'étude des teneurs en nitrate et rationalisation d'un

réseau de mesures hydrochimiques.

Ces chapitres présentent une synthèse des travaux antérieurs de J.J. SEGUIN :

. Les moyennes annuelles des concentrations en nitrate observées sur 250 fo­rages de la nappe des calcaires de Beauce, ont été interpolées pour déter­miner les valeurs aux noeuds du maillage régulier d'un modèle mathématique.

. Les cartographies des teneurs en nitrates dans deux nappes de la craie (Aisne et Seine-Maritime) constituent deux autres exemples d'application du krigeage comme outil de cartographie.

. Enfin l'étude des possibilités de rationalisation du réseau de mesures hydrochimiques de la nappe des calcaires de Champigny a porté sur les compositions en ions majeurs échantillonnés sur une centaine de points. Leur analyse en composantes principales suivie d'une classification ascen­dante hiérarchique a permis de déterminer des groupes chimiquement

homogènes ; cependant, l'étude des variogrammes n'a pas permis de déter­miner des corrélations spatiales bien marquées qui auraient pu être uti­lisées pour sélectionner un nombre restreint de points de mesure.

5. (J.C. MARTIN) La dernière phase de travail a consisté en l'adaptation aux problèmes

des hydrogéologues d'une récente version du logiciel MGRIDF transposé par DT/ISA sous forme de sous-programme.

Il a pu être intégré dans le logiciel UNIGRID du département EAU. Les trois possibilités de MGRIDF ont été testées (inverse des distances, krigeage linéaire et krigeage linéaire avec moindres carrés), de même que l'option prise en compte de failles sur un fichier comportant 89 points.

S O M M A I R E

INTRODUCTION

PREMIERE PARTIE - BREF APERÇU SUR LES TECHNIQUES DE KRIGEAGE LINEAIRE 3

1. INTRODUCTION A LA GEOSTATISTIQUE LINEAIRE 5 1.1. Le krigeage : définition et concepts de base 5 1.2. Le variogramme 7

2. TECHNIQUES D'ESTIMATION PAR KRIGEAGE 9 2.1. Le champ de valeurs ne présente pas de dérive 9 2.2. Le champ de valeurs ne peut être considéré comme 9

stationnaire

DEUXIEME PARTIE - APPLICATION AUX DONNEES HYDROGEOLOGIQUES DE LA 11 NAPPE DE L'ETANG DE THAU : PIEZOMETRIE ET TRANSMISSIVITE

1. APPLICATION A LA PIEZOMETRIE 12 1.1. Analyse des données 12 1.2. Analyse structurale 13 1.3. Cartographie des charges 19 1.4. Discussion des résultats 28

2. APPLICATION AUX TRANSMISSIVITE 29 2.1. Données de base 29 2.2. Krigeage sur les valeurs naturelles 29 2.3. Krigeage sur le logarithme des transmissivités 29 2.4. Conclusions 29

TROISIEME PARTIE - APPLICATION A DES DONNEES HYDROCHIMIQUES. TENEURS 31 EN NITRATES DANS LA NAPPE DES CALCAIRES DE BEAUCE ET DANS DEUX NAPPES DE LA CRAIE (Aisne et Seine-Maritime)

1. INTERPOLATION SUR UN MAILLAGE 33 1.1. Les données 33 1.2. Les variogrammes 35 1.3. L'interpolation 36

2. CARTOGRAPHIE DES TENEURS EN NITRATES DE LA NAPPE DE LA CRAIE 41 DANS L'AISNE 2.1. Les données 41 2.2. Variogrammes 41 2.3. Interpolation 42

3. CARTOGRAPHIE DES TENEURS EN NITRATES DE LA NAPPE DE LA CRAIE 46 EN SEINE MARITIME 3.1. Les données 46 3.2. Variogrammes 47 3.3. Cartes 48

QUATRIEME PARTIE - APPLICATION A LA RATIONALISATION DE MESURES 51 HYDROCHIMIQUES

1. DONNEES 53 2. POSITION DU PROBLEME 53 3. VARIOGRAMMES 53 4. CONCLUSIONS 57

CINQUIEME PARTIE - PRESENTATION D'UN MODULE DE KRIGEAGE 59

1. METHODES ET ALGORITHMES DE MGRIDF 61 1.1. Les méthodes d'interpolation 61 1.2. Les failles 61 1.3. La recherche du voisinage 62

2. EXEMPLES D'APPLICATION 62

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 65

ANNEXE 1 - LE KRIGEAGE : hypothèses et équations 67

ANNEXE 2 - Exemple de fichiers témoins du logiciel BLUEPACK 75

LISTE DES FIGURES

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

3

4

5

6

7

8

9

10

FIGURE 1 - Variogramme moyen du champ des hauteurs piézométriques 14 relevées de la nappe de l'étang de Thau

FIGURE 2 - Variogramme brut de la plézométrie suivant les direc- 14 tions principales des données

- Variogramme des résidus 17

- Charges : krigeage des résidus 20

- Charges : krigeage par covariance généralisée 20

- Charges : isovaleurs dessinées par l'hydrogéolgue 21

- Charges : interpolation par cercles de recherche de 21 4 à 9 km : logiciel INGRID du département EAU

- Ecarts-types des charges : krigeage des résidus 22

- Ecarts-types de charges : covariance généralisée 22

- Charges : différences entre covariance généralisée 23 et krigeage des résidus

FIGURE 11 - Ecarts-types : différences entre covariance généralisée 23 et krigeage des résidus

FIGURE 12 - Charges : interpolation régulière "sans extrapolation" 25 à partir des isovaleurs de 1'hydrogéologue

FIGURE 13 - Charges : différences entre le krigeage des résidus et 25 1'interpolation "hydrogéologue"

FIGURE 14 - Charges : Ecarts normes entre covariance généralisée 26 et krigeage des résidus

FIGURE 15 - Charges : écarts normes entre l'interpolation INGRID par 26 cercles de recherche et le krigeage des résidus

FIGURE 16 - Différences entre l'interpolation INGRID et l'interpola- 27 tion "hydrogéologue"

FIGURE 17 - Ecarts normes entre l'interpolation INGRID et l'inter- 27 polation "hydrogéologue"

FIGURE 18 - Localisation des points d'eau analysés en 1981 32

FIGURE 19 - Histogramme des teneurs moyennes en nitrates de l'année 32 1981 (nappe des calcaires de Beauce)

FIGURE 20 - Variogrammes du champ des teneurs en nitrates (nappe 34 des calcaires de Beauce)

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

21

22

23

24

FIGURE 25

FIGURE 26

FIGURE 27

FIGURE 28

FIGURE 29a

FIGURE 29b

FIGURE 30

FIGURE 31

FIGURE 32

FIGURE 33

FIGURE 34

FIGURE 35

- Carte des teneurs en nitrates obtenue par krigeage 38

- Carte des teneurs en nitrates obtenue par interpolation 38 déterministe (UNIRAS)

- Carte des reports de teneurs : nappe de la Craie 40

- Histogramme des teneurs moyennes en nitrates de l'année 40 1982 (nappe de la Craie)

- Variogrammes moyens d'un champ de teneurs en nitrates. 42 (nappe de la Craie, département de l'Aisne, 1982)

- Carte krigée des teneurs en nitrates (nappe de la Craie) 45

- Carte des écarts types de krigeage sur les teneurs en 45 nitrates (nappe de la Craie)

- Histogramme des teneurs en nitrates de la nappe de la 46 Craie en Seine-Maritime (1981)

- Variogramme des teneurs en nitrates suivant une direc- 47 tion Est-Ouest

- Variogramme moyen des teneurs en nitrates 47

- Nappe de la Craie. Carte krigée 49

- Nappe de la Craie. Iso-teneurs 49

- Localisation géographique des différents groupes de 54 points mis en évidence par classification automatique

- Variogrammes moyens de quelques variables chimiques 56

- Variogramme moyen de la composante principale n° 1 57

- Utilisation du module MGRIDF du logiciel UNIGRID. 63 Comparaison de différentes méthodes d'interpolation

LISTE DES TABLEAUX

TABLEAU 1 - Nappe de l'étang de Thau : critère de Thomas 18

TABLEAU 2 - Paramètres statistiques globaux relatifs aux teneurs 32 moyennes en nitrates (nappe des calcaires de Beauce)

TABLEAU 3 - Nombre de points préconisés à l'intérieur du voisinage 36 de recherche pour déterminer, par le krigeage selon BLUEPACK, l'ordre de la dérive

TABLEAU 4 - Paramètres statistiques globaux des valeurs krigées 39 des teneurs en nitrates

TABLEAU 5 - Paramètres statistiques globaux du champ de 41 teneurs en nitrates (nappe de la Craie, 1982)

TABLEAU 6 - Paramètres du krigeage sur la variable nitrates 43

TABLEAU 7 - Qualité des ajustements opérés par BLUEPACK 43

TABLEAU 8 - Teneurs en nitrates dans la nappe de la Craie. 46 Paramètres statistiques

TABLEAU 9 - Caractéristiques des variogrammes 55

- 1 -

I N T R O D U C T I O N

Dans le cadre des projets de recherche scientifique, dépendant du CORES Eaux Souterraines et géothermie, la Direction Scientifique a confié au département EAU la réalisation d'un projet d'application des techniques de la géostatistique au domaine de 1'hydrogéologie (aspects quantitatifs et quali­tatifs des ressource en eau).

Il s'agit du projet EG26 intitulé Hydrogéostatistique ; il est le fruit de la collaboration de J.C. MARTIN, J. SCHWARTZ, J.J. SEGUIN et D. THIERY ; il a été coordonné par J.P. SAUTY.

Différentes techniques ont été mises en oeuvre dans un but d'inter­prétation et de cartographie sur des jeux de données représentatifs :

- piézométrie et transmissivité de la nappe dite "Etang de Thau" ;

- teneurs en nitrate de la nappe des calcaires de Beauce et des nappes de la Craie dans l'Aisne et la Seine-Maritime.

Elles peuvent par exemple servir comme interpolation initiale des données d'un modèle (calcul des valeurs sur une grille régulière à partir de mesures éparses).

La géostatistique peut également être mise à profit pour rationaliser un réseau de mesures ; elle a été appliquée à l'étude d'une série d'analyses chimiques effectuées sur la nappe des calcaires de Champigny pour déterminer la zone de représentativité d'un point d'échantillonnage, d'où découle la densité optimale de la répartition spatiale des points de mesures.

On verra cependant tout au long du rapport, que la géostatistique n'est pas une technique aisément banalisable, et que son application nécessite une bonne dose d'expérience et d'intuition. On ne saurait trop insister sur la nécessité de consulter les spécialistes au moment de les mettre en oeuvre devant le risque d'obtention de résultats éloignés de la réalité des phéno­mènes naturels.

Ce travail a bénéficié de l'expérience acquise antérieurement par J.C. MARTIN en collaboration avec A. MENJOZ, lors de l'étude de l'Aquifère du Dogger du Bassin de Paris en tant que réservoir géothermique, et par J. J. SEGUIN au cours de diverses études sur la qualité des eaux souterraines. Enfin, il n'aurait pu être mené à bien sans l'assistance bienveillante des spécialistes du département DT/ISA (1) (J.P. CHILES et C. BELLIER).

(1) DT/ISA : Direction de la Technologie, Département Informatique Scientifique Appliquée

PREMIERE PARTIE

BREF APERÇU SUR LES TECHNIQUES DE KRIGEAGE LINEAIRE

- 5 -

1. INTRODUCTION A LA GEOSTATISTIOPE LINEAIRE

L'objet de ce rapport n'est pas d'entrer dans le détail d'une disci­pline vaste et extrêmement ramifiée, applicable à de très nombreux problèmes (miniers bien sûr, mais aussi océanographiques, météorologiques, pédologiques, . . . ) • Dans le domaine des Sciences de l'Eau qui nous importe ici, on pourra se reporter à la thèse de J.P. DELHOMME : "Application de la théorie des varia­bles régionalisées dans les Sciences de l'Eau" (1976, réf. [3]).

L'ouvrage de G. DE MARSILY : "Quantitative Hydrogeology" (1986, réf. [4]) comporte une partie constituant également une bonne introduction à la géostatistique.

Enfin, des développements plus théoriques pourront être trouvés dans :

- "La théorie des variables régionalisées et ses applications" (MATHE-RON, 1970, réf. [6]) ;

- "Géostatistique des phénomènes non stationnaires" (J.P. CHILES, 1977, réf. [2]).

On ne présentera donc dans cette première partie que les grands traits de la géostatistique linéaire nécessaires à la compréhension des exemples qui constituent l'essentiel de ce rapport.

1.1. Le krlgeage : définition et concepts de base

Les principales grandeurs de 1'hydrogéologie (piézométrie, transmis-sivité ou perméabilité, coefficient d'emmagasinement, infiltration de la pluie, ...) sont très variables dans l'espace. Cependant leur variabilité spatiale n'est pas purement aléatoire : les mesures effectuées en deux points différents ont d'autant plus de chance d'être semblables que ces points sont plus rapprochés :

- une certaine corrélation spatiale régit la distribution de ces gran­deurs appelées variables régionalisées (Matheron, 1965). Il existe deux grandes catégories de variables régionalisées :

. les variables non stationnaires dont la structure spatiale présente des tendances bien marquées dans certaines directions comme c'est le cas pour la piézométrie ;

. les variables stationnaires pour lesquelles ils n'existent a priori pas de telles tendances régulières, ce qui est généralement le cas de la transmissivité.

L'approche de la géostatistique a pour premier objet l'estimation des variables régionalisées : comment estimer la valeur de la variable en certains points (par exemple au centre de mailles ou aux noeuds d'une grille régu­lière) , à partir d'observations faites sur en ensemble nécessairement limité de points de mesures.

- 6 -

Le krigeage est une méthode d'estimation applicable aussi bien aux variables stationnaires que non stationnaires. La méthode est qualifiée d'optimale car, moyennant certaines hypothèses, elle fournit un estimateur :

- sans biais, - d'erreur quadratique moyenne minimale (c'est-à-dire de variance minimum).

De plus, chaque valeur estimée pourra être assortie de la variance minimale calculée que l'on pourra considérer comme un indicateur de précision.

Outre les problèmes d'interpolation, le krigeage peut également :

- servir à évaluer des valeurs moyennes sur des blocs donnés : sous-ensemble du domaine d'étude, maille d'un modèle mathématique...

- déterminer le nombre optimum de points d'observation d'un réseau de mesures, ainsi que l'emplacement le plus approprié de ces points, de façon à minimiser les investissements à réaliser pour une précision attendue.

Le krigeage est une méthode élaborée dans un cadre probabiliste (celui de la théorie des fonctions aléatoires). Le développement des calculs d'esti­mation nécessite en effet des hypothèses sur la structure du champ des varia­bles et ces hypothèses doivent permettre de résoudre les problèmes d'inférence statistique des grandeurs qui interviennent dans les calculs : en particulier le variogramme et la covariance généralisée porteurs de l'information struc­turale sur le champ des valeurs (cf. annexe 1 pour les hypothèses et les notions de base).

L'estimateur Z * proposé au point Xo est une combinaison linéaire des valeurs Z^ de la variable en différents points X^ d'un voisinage à définir :

z* - s xt z± i-i

Les coefficients de pondération AK^ seront calculés de façon à ce que cet estimateur soit sans biais et d'erreur quadratique moyenne minimale, ce qui se traduit par :

n E [Z* - ZQ] - E [ S AiZ(xi) - Z ] - 0 (condition de non biais)

i-1

E [ (ZQ - ZQ) 2] minimum

- 7 -

Dans le cas d'un phénomène non stationnaire dans l'espace (comme une piézométrie), la variable représentative de ce phénomène peut être décomposée en :

* une dérive m (x) supposée modélisable, tout au moins localement, par une expression du type :

m(x) - S a1 f1 (x)

1-0

où les f (x) sont le plus souvent des monômes (avec f°(x) — 1) et où les a^ sont des coefficients à déterminer,

* une fonction aléatoire Y(x), de moyenne nulle, intégrant les fluc­tuations du champ de valeurs.

Le krigeage utilise la notion de variogramme qui caractérise la structure du champ étudié et celle de covariance généralisée (théorie des fonctions aléatoires intrinsèques d'ordre k, ou FAIK, cf. Annexe 1) qui se substitue au variogramme dans les calculs d'estimation quand il y a lieu de prendre en compte une dérive (en l'absence de dérive, la covariance s'identi­fie au variogramme).

Les coefficients de pondéartion \ , sont toujours obtenus par résolu­tion d'un système linéaire comportant autant d'équations que de points inter­venant dans l'estimation et que de contraintes liées à la technique de kri­geage utilisée (conditions de non biais, dérive).

1.2. Le variogramme

Une grandeur essentielle apparaît en géostatistique : le variogramme qui permet d'analyser la structure spatiale du champ de valeurs de la variable étudiée et en particulier de mettre en évidence les éventuelles corrélations entre points de mesures.

Si Z(x) et Z(x+h) sont deux variables associées aux mesures z(x) et z(x+h) faites en deux points distants de h, le variogramme est alors défini par la fonction :

2 7(h) - Var [ Z(x+h) - Z(x)]

qui est la variance de l'accroissement de la variable Z pour un accroissement h de la distance.

7(h) est le "demi-variogramme" (par extension le variogramme) ; il peut être calculé à l'aide de l'expression suivante :

1 n(h) 7(h) S [ Z(Xi+h) - Z(Xi) ]

2

2n(h) i-1

où n(h) désigne le nombre de couples de points distants de la valeur h.

- 8 -

Pour tracer 7(h), il suffira donc de considérer tous les couples de points distants de h, puis tous ceux distants de 2h, 3h, etc.. (avec une certaine tolérance sur le pas d'espace h : on prendra en fait h + Ah).

Il est possible également de prendre en compte une direction de tracé particulière en sélectionnant les couples de points orientés sensiblement suivant cette direction.

Le variogramme peut être caractérisé par trois valeurs :

- la portée qui correspond à la distance au-delà de laquelle le vario­gramme se stabilise souvent autour d'une valeur moyenne (ou "oscille" de part et d'autre de cette valeur),

- le palier qui est cette valeur moyenne,

- l'ordonnée à l'origine : la discontinuité du variogramme à l'origine (7(h) non nul quand h — 0) est appelée "effet de pépite". Cette dis­continuité correspond à une variabilité très locale du phénomène étudié (microrégionalisation ou erreurs de mesure) ; un pas d'échan­tillonnage trop grand pourra par exemple induire une discontinuité à l'origine en masquant la structure d'une éventuelle microrégiona­lisation.

L'examen du variogramme fournit un certain nombre de renseignements sur le phénomène étudié ; les points suivants peuvent, par exemple, être décelés :

- continuité spatiale et régularité du phénomène : deux traits de structure mis en évidence par l'allure du variogramme près de l'ori­gine : une allure parabolique traduira une certaine régularité du phénomène, une discontinuité à l'origine, une microrégionalisation ;

- anisotropie : en traçant le variogramme suivant plusieurs directions, on pourra mettre en évidence une anisotropie du phénomène, par exemple la présence d'une dérive suivant une direction ;

- zone d'influence : pour des distances supérieures à la portée, l'écart quadratique moyen entre les deux variables Z(x+h) et Z (x) ne dépend plus de la distance h qui sépare les deux points de mesure : autrement dit, les variables Z(x+h) et Z(x) ne sont plus corrélées entre elles. La portée permet donc de définir une zone d'influence d'un point sur son voisinage.

Le variogramme expérimental est irrégulier, surtout aux grandes distances pour lesquelles on dispose de peu de couples de mesure. Il est donc nécessaire de la remplacer par un variogramme théorique dont les coefficients sont ajustés. C'est ce variogramme modélisé qui intervient dans certaines techniques d'estimation par krigeage.

- 9 -

2. TECHNIQUES D'ESTIMATION PAR KRIGEAGE

Suivant le degré de stationnarité de la variable qui dépend de l'échel­le à laquelle on se place (et qui est laissé à l'appréciation de l'utilisateur des techniques de la géostatistique), il est possible de choisir entre plu­sieurs types d'estimation par krigeage en distinguant deux grands cas suivant qu'il y a absence ou présence d'une dérive.

2.1. Le champ de valeurs ne présente pas de dérive

Le cas le plus simple est représenté par un champ de valeurs station-naire. Le krigeage associé s'appuie sur la notion classique de covariance et sur l'hypothèse que cette covariance dépend uniquement de la distance h entre points de mesure et non de leur localisation dans l'espace. On a donc :

E [Z(x)] - m - constante

Cov ( Zj/x), Z2(x) ) - C(h) stationarité d'ordre 2

Dans certains cas, cette hypothèse de stationnarité (qui implique une variance finie) ne peut être admise. On introduit alors une hypothèse moins contraignante qui est celle de la stationnarité des accroissements d'ordre 1 de la variable, ce qui se traduit par :

E [ Z(x+h) - Z(x) ] - m(h)

Var [ Z(x+h) - Z(x) ] fonction de h

On peut toujours supposer que l'espérance de l'accroissement de la variable est nulle (sinon, il suffirait de travailler sur Z(x) - m(x) pour qu'il en soit ainsi).

On a donc :

E [ Z(x+h) - Z(x) ] = 0

Var [ Z(x+h) - Z(x) ] - E [ (Z(x+h) - Z(x))2 ]

C'est donc sous l'hypothèse de stationnarité des accroissements d'ordre 1 de la variable (ou hypothèse intrinsèque) que l'on voit apparaître la notion fondamentale du krigeage qui est la variogramme :

7(h) - | E [ ( Z(x+h) - Z(x) ) 2 ]

2.2. Le champ de valeurs ne peut être considéré comme stationnaire

La variable n'apparaît pas comme stationnaire : il existe une dérive. Dans ce cas, on ne peut évidemment plus considérer que l'espérance de la variable étudiée est constante ; on a au contraire :

E [ Z(x) ] - m(x)

- 10 -

de sorte que le variogramme devient :

7(h) - ^ Var [ Z(x+h) - Z(x) ]

- 7 E [ (Z(x+h) - Z(x))2 ] - -J (m(x+h) - m(x)) 2

S'il est toujours possible de tracer et d'étudier la fonction : E [ (Z(x+h) - Z(x)) ] (c'est-à-dire le variogramme expérimental si la varia­ble était effectivement stationnaire), on ne peut par contre accéder au variogramme "vrai" 7(h). Pour faire face à cette difficulté, quatre techniques peuvent être envisagées :

1) considérer que la variable Z a un comportement stationnaire au voisi­nage des points à estimer et faire alors une estimation par "voisi­nages glissants" dans le cadre de l'hypothèse intrinsèque (on se ramène donc au premier cas) ;

2) modéliser la dérive à l'aide d'une surface polynômiale m (x) (ajuste­ment par moindres carrés) et travailler sur les "résidus" Y(x) - Z(x) - m (x) supposés stationnaires. On fait alors intervenir le vario­gramme des résidus 7i>(h) et l'on est donc là aussi ramené au krigeage sous hypoth résidus). Ls l'opération

sous hypothèse intrinsèque (stationnarité des accroissements des résidus). La valeur Z (x) à estimer est ensuite reconstituée par

Z*(x) - Y*(x) + m*(x)

Cette technique est appelée "Krigeage des résidus". L'inconvénient réside dans l'aspect arbitraire du calage de la dérive et dans le biais consécutif du variogramme des résidus.

3) considérer que l'on peut localement (et non globalement, comme ci-dessus) représenter la dérive par un polynôme (de degré 1 ou 2) et mettre en oeuvre la technique du "krigeage universel". Mais cela n'est possible que si l'on fait l'hypothèse que le variogramme "vrai" (qui intervient dans les équations du krigeage universel) est stationnaire, c'est-à-dire uniquement fonction de la distance h entre points de mesures (ce qui peut bien sûr ne pas être vérifié).

d'où la quatrième technique qui permet de surmonter cette difficulté et qui consiste à :

4) travailler dans le cadre de la théorie des fonctions aléatoires in­trinsèques d'ordre k (FAIK) en utilisant la notion de covariance généralisée (cf annexe 1).

- 11 -

DEUXIEME PARTIE

APPLICATION AUX DONNEES HYDROGEOLOGIQUES DE LA NAPPE DE L'ETANG DE THAU

Piézométrie et Transmissivités

- 12 -

1. APPLICATION A LA PIEZOMETRIE

1.1. Analyse des données

L'application des techniques de géostatistique à l'étude de champs de hauteurs piézométriques et de transmissivité a porté sur la nappe dite "de l'Etang de Thau", aquifère karstique de l'Hérault (rapports 86 SGN 684 LRO et 88 SGN 459 LRO).

1.1.1. Géométrie du réservoir

L'aquifère calcaire du Jurassique supérieur situé dans l'environnement de l'étang de Thau est constitué par des calcaires, des dolomies, des cal­caires dolomitiques, des calcaires marneux. Les niveaux franchement marneux qui peuvent constituer un écran imperméable ne se rencontrent que dans la partie supérieure du Lias, formations qui n'affleurent pratiquement pas, sauf à proximité de Murviel-les-Montpellier.

Les calcaires constituent deux ensembles géographiques distincts, avec au Nord le bassin d'Aumelas et la montagne de la Moure, et au Sud le massif de la Gardiole auquel on peut rattacher le mont Saint-Clair à Sète.

Entre ces deux grandes unités, c'est-à-dire dans le fossé de Mont-bazin-Gigean, les calcaires sont recouverts par des formations semi-perméables du Miocène, représentées par des argiles, marnes, molasses, sables.

Vers le Sud-Ouest, les calcaires jurassiques s'enfoncent progres­sivement et rapidement. Dans le secteur de Villeveyrac-Loupian, les nombreux sondages de recherche de bauxite ont permis de tracer avec précision les courbes isohypses du toit des formations jurassiques. Par contre, plus en aval ou encore dans le fossé de Montbazin-Gigean, le tracé de ces courbes reste encore imprécis en raison de l'absence de forages profonds atteignant le réservoir jurassique.

1.1.2. Piézométrie

Afin de déterminer le sens d'écoulement des eaux souterraines des mesures de niveau d'eau n'ont pu être réalisées que sur les ouvrages accessi­bles, la plus grande partie des forages existants étant exploités pour assurer des besoins privés sans possibilité de mesures (piézométrie mesurée sur 131 des 577 ouvrages recensés). Par ailleurs, en certains secteurs les niveaux d'eau observés se situent souvent à une profondeur importante, voir à plus de 50 ou 60 m, comme par exemple entre Pignan, Murviel-les-Montpellier et Saint-Georges-d'Orques ou entre Gigean, Balaruc et Fabrègues. Ainsi, ce n'est qu'après un inventaire le plus exhaustif possible des ouvrages, afin de déterminer les conditions d'accessibilité, qu'une campagne de mesures syn­chrones a pu être effectuée. Celle-ci s'est déroulée en août-septembre 1986 correspondant à la période de basses eaux (Annexe 6 du rapport 86 SGN 684 LRO) .

A proximité de Villeveyrac, deux importantes dépressions de la surface piézométrique correspondent à l'exhaure des mines de bauxite d'Aluminium PECHINEY (la Rouquette-Montplaisir) et d'ALUSUISSE (Saint-Farriol). La mine la plus méridionale qui était exploitée par Aluminium PECHINEY jusqu'en décembre 1986 se traduisait lors de la campagne de mesures systématiques sur l'ensemble de 1'aquifère par un cône très approfondi, mais assez limité dans l'espace.

- 13 -

Les piézomètres (il s'agit en fait des sondages de reconnaissance ayant traversé le niveau bauxitique et approfondi de quelques mètres seulement dans les formations jurassiques), situés à environ 500 m du puits d'exhaure, indiquaient encore une piézométrie très influencée avec des rabattements supérieurs à 30 m. Notons que durant la période correspondant à l'établis­sement de la carte piézométrique, le débit d'exhaure de la mine de la Roquette-Montplaisir atteignait environ 70 m /h, pointe maximale enregistrée en février 1979, suite aux très fortes précipitations du mois de janvier de cette même année. Cette singularité n'a pas été prise en compte dans l'étude géosta­tistique, car cet exhaure est maintenant arrêté. Par contre, elle est visible dans la carte piézométrique tracée manuellement.

L'exhaure de la mine Saint-Farriole exploitée par ALUSUISSE à proxi­mité du village de Villeveyrac, de l'ordre de 275 m /h lors de la campagne systématique de mesures, entraîne une dépression beaucoup moins marquée, avec de faibles rabattements (inférieurs à 2 ou 3 m) pour les piézomètres situés au Nord et au Sud

1.1.3. Localisation des points de mesure

L'emplacement des ouvrages où les hauteurs piézométriques ont été relevées, apparaît nettement sur les figures 6 et 7 (§ 1.3.1.) sous forme d'un petit cercle.

Ils s'inscrivent dans un rectangle de longueur 35 km suivant la direction SW-NE(parallèle au littoral) et de largeur 20 km (direction SE-NW).

L'emprise du modèle mathématique est représentée sur les mêmes figures par son contour. On constate un manque d'information extrêmement marqué dans tout le tiers occidental du domaine.

1.2. Analyse structurale

En application de la règle définie par A.G. JOURNEL (réf. [5]), le variogramme expérimental ne sera considéré comme significatif que sur des distances ne dépassant pas la moitié de la zone pourvue en données expé­rimentales soit un rectangle de 17,5 km (direction SW-NE) sur 10 km (direction SE-NW).

1.2.1. Analyse du variogramme brut "moyen"

Le variogramme "moyen" est calculé sur l'ensemble des couples dispo­nibles. La figure 1 représente ce variogramme. Il croit très lentement jusqu'à une distance d'environ 3 ou 4 km puis croît beaucoup plus rapidement pour se stabiliser à environ 600 m pour une portée de 8 km.

Ce brusque accroissement du variogramme "moyen" est à relier à la présence d'une très forte dérive (étudiée au paragraphe suivant).

1.2.2. Analyse des variogrammes directionnels

Le logiciel BLUEPACK permet de calculer des variogrammes "direction­nels" sur l'ensemble des couples de points suivant 4 directions ci-dessous définies :

- 14 -

D I R E C T V R R I O : 0 2 B 1 / 0 2 B L N - 1 1 4 . M - 1 8 . 7 1 3 7 . V - 4 9 5 . 1 O M

800.

CD

\J \mJ \J W

600.

400.

200.

0.

i

/

i1

1*

.̂ r̂—""

\ ¥

^—-"m- -m

-

MD 1_

oaei

600.

400.

200.

0. -0. 5. 10. 15.

DI5TRNCE HMODEL NflME i MO 1 NST i 1 NUGGET : 0 . 0+ § _ + _ M _ + m"l + 1 +"Ï5"

SILL + __ PSI __ + _Rfl.PSI +_Rfl-P9Û_4 R R . V E R +

T7ÔÔO0O + NTUSEO + i27oôo~+ N70SËD "N70SËD"+tm Kft<nt* m H / a a m m

Figure: 1- VARIOGRAMME MOYEN DU CHAMP DES HAUTEURS

PIEZOMETRIQUES RELEVEES DE LA NAPPE DE L'ETANG DE THAU

DIRECT VRRIO: 01B2/01BL N - 1U.H - 18 7137 V - 495DIRECT VRRIOi 01BM/01BL N = 114,M = 18.7137.V = 495*104

3000 300Ô.

2500.

2000.

1500.

1000.

500.

0.0.

direction N W . S E

/ S

±i

; v

/ direction N E . S W

5.^

!-' \

10.

2500.

2000.

1500.

1000.

500.

0.15. 20.

Figure:2— VARIOGRAMME BRUT DE LA PIEZOMETRIE, SUIVANT

LES DIRECTIONS PRINCIPALES DES DONNEES t S W . NE ET SE.NW

- 15 -

4\ \

N

\ \

/ i\ / i \

/ /

/

i i

i /

/ /

/

i \ "E

\

L'ensemble de ces 4 variogrammes et du variogramme "moyen" est dispo­nible dans un fichier dont le nom est demandé à l'utilisateur lors de l'exé­cution de BLUEPACK. Le logiciel GMGAM lit ensuite ces différents variogrammes et permet de caler sur les variogrammes expérimentaux les lois suivantes : sphérique, exponentielle, cubique, gaussienne, gravimétrique, magnétique ou linéaire.

La figure 2 représente les variogrammes expérimentaux suivant les directions 2 et 4. Pour de faibles distances (inférieures à 3 ou 4 km), les 2 variogrammes ont quasiment la même allure. Il existe donc une certaine iso-tropie du champ piézométrique à petite échelle.

Par contre, dès que les distances dépassent 4 à 5 km, les 2 vario­grammes divergent. On met ainsi en évidence une profonde anisotropie du champ piézométrique correspondant en fait à la présence d'une très forte dérive liée au gradient piézométrique très régulier.

La direction 4 correspond à peu près à la direction principale des écoulements. Le variogramme le long de cet axe croit très rapidement pour atteindre un palier de 2 000 m (écart-type de 45 m) à une portée d'environ 15 km.

La direction 2 correspond à peu près aux directions des principales isopièzes (donc perpendiculaires au gradient piézométrique). Le variogramme le long de cet axe est quasi constant. 150 m (écart-type de 12,5 m).

1.2.3. Variogramme des résidus

Il se stabilise à un palier d'environ

Cette méthode, bien qu'elle introduise théoriquement un biais (auto­corrélation des résidus), est souvent utilisée en concurrence avec la méthode plus classique de la covariance généralisée - annexe 1 et paragraphe suivant). Elle est utilisée dans le cas de variables aléatoires non stationnaires et consiste à travailler sur les "résidus" de la variable aléatoire d'origine, une fois enlevée l'influence de la dérive.

- 16 -

Pour calculer ces résidus R, on retire aux valeurs expérimentales Z(xi,yi) l'équation du plan de dérive ajusté sur les points par la méthode des moindres carrés. La variable étudiée s'écrit donc sous la forme :

Z (x, y) - aQ + aL x + a2 y + R (x, y)

aQ + a^ x &2 y : équation du plan de dérive

R (x, y) : résidus, de moyenne nulle.

L'application au cas étudié fournit les résultats suivants :

- aQ - 18,7 aj_ - - 2,8 a2 - 3,4 (a , a^ et a2 en mètres de charge par kilomètre de coordonnée),

o - résidus de variance 78,7 m (écart type - 9 m ) ,

o - variable initiale de variance brute 495 m (écart-type 22,5 m).

La faible valeur (16 %) du rapport variance des résidus/variance brute est caractéristique d'une variable aléatoire non stationnaire où l'effet du plan de dérive est très important (il explique à lui seul 84 % de la variance brute). L'existence de ce plan de dérive reflète la direction principale d'écoulement NW-SE, mise en évidence au paragraphe précédent.

2 Ce résidu R (x,y), de moyenne nulle et de variance 78,7 m (écart-type

9 m) est caractérisé par un variogramme expérimental auquel on tentera d'ajus­ter, grâce au logiciel GMGAM, l'un des modèles théoriques proposés par BLUE-PACK.

Les caractéristiques de plan de dérive et du modèle théorique ajusté au variogramme expérimental des résidus permettent au logiciel BLUEPACK de réaliser une interpolation optimale et de fournir l'écart-type d'estimation aux points d'un maillage choisi par l'utilisateur.

La figure 3 présente le variogramme expérimental des résidus et le modèle sphérique qui lui a été ajusté (ce qui est classique pour la piézo-métrie). Ce modèle a une portée de 9 km et un palier de 90 m (écart-type 9.5 m de charge) sans prise en compte d'effet de pépite" (régularité du phénomène, même à petite échelle).

Cette valeur de portée est cohérente avec le domaine de validité du variogramme expérimental défini par application de la règle de JOURNEL (cf § 1.2.).

- 17 -

DIRECT VRRIO: ÛMBl/ÛHBL N125

LD

0.

114,M - 0.0000006.V - 78.6831

125.

04B1

25.

0.15. 20. 25.

DI5TRNCE HMODELNflME i_MD L_NST t 1 NUGGET i 0^0

""PSÏ"~f~RfS "ÏS~"~90.Ô000 N.USËD"NTU5EÔ

Figure: 3 - VARIOGRAMME DES RESIDUS

1.2.4. Krlgeage utilisant la notion de covariance généralisée

Cette méthode est particulièrement adaptée au cas de variables aléa-toires non stationnaires présentant un effet de dérive important. Les coeffi-cients de pondération A^ des valeurs situées au voisinage du point de calculne sont plus fonction du variogramme (ou de la covariance comme dans le cas devariables stationnaires), mais d'une covariance généralisée K(h) définie par :

K(h) - AQ + Ax h + A2 h2 Log h + A3 h

3

BLUEPACK propose, dans le cas qui nous intéresse d'une dérive d'ordre 1,3 types de covariances :

. K(h) + A2 h2 Log h

. K(h) - AQ + A 2 h2 Log h + A3 h 3

. K(h) - Ao + Ax h

II détermine, par des tests, le type de covariance le mieux adapté.Dans notre cas, la covariance généralisée sélectionnée est

K(h) - 4,04.h2 Log h

1.2.5. Tests de validation (test Thomas)

Pour tester la pertinence d'un modèle retenu, (covariance généraliséeou méthode des résidus), il est possible d'estimer les valeurs de la variable"piézométrie" aux points où elles sont déjà connues, à partir des donnéesvoisines. Pour cela, BLUEPACK supprime l'un après l'autre un des points demesure x^ et calcule en chacun de ces points la valeur estimée z*(x.). Parconséquent, connaissant la valeur réelle z (xi), il est possible de calculerl'erreur e^ = z* (x^ - z (x^) .

- 18 -

Un ajustement correct se traduit par :

- un écart e moyen voisin de 0 : 1 n

em - - E (z (x^ - z* (x^) ~ 0 n i=l

- un écart quadratique réduit eqr proche de 1 (cohérence des écarts e^ avec les écarts-type d'estimation a- calculés par BLUEPACK)

1 n z(xL) - z*(XjL) 2

eqr - - S ( ) « 1 n i=l o,

La comparaison des deux modèles fait apparaître les résultats sui­vants, calculés sur l'ensemble des 114 observations disponibles :

Covariance généralisée

Méthode des résidus

Ecart moyen (m)

- 0,014

0,163

Ecart quadratique réduit (sans unité)

6,138

1,727

TABLEAU 1 - Nappe de l'étang de Thau : critère de Thomas

Contrairement à ce que l'on aurait pu attendre, il apparaît que la méthode des résidus (bien qu'introduisant un biais théorique) est préférable tout en étant de qualité moyenne (écart quadratique réduit surestimé de 73 % ) .

BLUEPACK peut également travailler sur les "meilleurs points" en éliminant ceux caractérisés par :

Z (x^ - Z* (Xj) > 2,5

°L

sur les 114 points initiaux, 29 sont éliminés dans le cas du modèle de cov­ariance généralisée et 10 dans lé cas du modèle par résidus. Il conviendrait donc de rechercher précisément l'origine de ces mauvaises reconstitutions qui pénalisent lourdement la qualité globale de la reconstitution (schématisée par l'écart quadratique réduit calculé sur l'ensemble des valeurs).

Il semble qu'elles proviennent en partie de très fortes hétérogénéités ponctuelles du champ piézométrique dues probablement à son caractère kar­stique, et tout à fait sensibles dans la partie nord du domaine.

- 19 -

1.3. Cartographie des charges hydrauliques

1.3.1. Cartes plézométriques

Les deux modèles présentés ont été utilisés pour cartographier la piézométrie sur l'ensemble du domaine :

- le modèle utilisant le plan de dérive et l'ajustement d'une loi sphérique aux résidus (fig. 4) ;

- le modèle utilisant la covariance généralisée (fig. 5).

La comparaison des deux cartes plézométriques montre des tracés relativement semblables au centre du domaine mais assez différents en bordure. Dans les deux cas cependant on remarque sur la limite Sud-Est des charges de :

* 8 mètres en-dessous de la mer pour la covariance généralisée,

* 19 mètres en-dessous de la mer pour le krigeage des résidus ce qui est assez ennuyeux car cette limite est justement fournie par la mer (charge zéro) et rendrait de telles cartes inutilisables pour une utilisation directe en modélisation hydrodynamique.

La figure 6 montre la carte telle qu'elle avait été dessinée par un hydrogéologue à partir des mêmes points de mesure avec la position de la mer. On voit nettement que les cartes krigées (avec les hypothèses retenues) ont été prises en défaut par la présence d'une forte dérive linéaire dans la partie Nord-Ouest d'environ 10 mètres pour 1 à 2 kilomètres, cette dérive se réduit vers la mer ou elle n'est plus que de 10 mètres pour 5 à 7 kilomètres.

La figure 7 montre à titre de comparaison la carte qui a été obtenue avec le logiciel INGRID du département EAU avec un algorithme très simple de recherche de points dans des voisinages compris entre 4 et 9 kilomètres (choisis pour être cohérents avec le variogramme identifié).

Cette carte, qui dépend assez peu des voisinages choisis, est proche de celle obtenue par krigeage des résidus. Les hypothèses choisies (pas d'extrapolation sauf par le point le plus proche) permettent en particulier de respecter le 2ème principe de la thermodynamique et l'équation de la chaleur (qui régit les écoulements en milieux poreux) : il ne peut y avoir d'extremum de charge en l'absence de puits d'injection ou de pompage.

1.3.2. Ecarts type

L'utilisation du krigeage permet également de calculer un écart type d'estimation. Celui-ci est nul aux points observés si l'on n'introduit aucun effet de pépite. Il croit très vite dès qu'une zone sans points d'observa­tions. Il permet de quantifier l'incertitude sur les valeurs interpolées et d'en déduire des intervalles de confiance autour des valeurs interpolées (intervalle de confiance à 80 % : + 1,28 écart-type, intervalle de confiance à 95 % : ± 1,96 écart-type).

Les cartes d'écart-type ont été dessinées sur les figures 8 et 9. Ces figures montrent que l'écart-type calculé est, pour les 2 modèles, de l'ordre de 3 à 5 mètres dans la zone centrale (c'est-à-dire un peu moins d'une demi-équidistance d'isovaleurs tracées tous les 10 mètres).

- 20 -

680 BBS B9Q 7JS X '32km

Figure :4 - CHARGES :KRIGEAGE DES RESIDUS (ISOVALEURS EN METRES)

680 700 730km

Figure:5- CHARGES: KRIGEAGE PAR COVARIANCE GENERALISEE

680 685 690 695 700 705 710 715 720

Figure:6 - CHARGES : ISOVALEURS DESSINEES PAR L'HYDROGEOLOGUE

7JS x 73okm

680 685 695 700 710 715 725 X ' 3 0 k m

Figure: 7-CHARGES: INTERPOLATION PAR CERCLES DE RECHERCHES DE 4 â 9km: LOGICIEL INGRID DU DEPARTEMENT EAU

- 22 -

6B0 68S 690 69S 70Q 705 710 715 720 725 X 730 k m

Figure-.8- ECARTS TYPES DES CHARGES: KRIGEAGE DES RESIDUS. ( ECARTS TYPES m )

ESO 665 695 700 705 710 715 720 725 X 730 K m

Figure:9 - ECARTS-TYPES DE CHARGES : COVARIANCE GENERALISEE

- 23 -

680 E9S 700 710 715 720 72s x "okm

Figure.10-CHARGES: DIFFERENCE ENTRE COVARIANCE GENERALISEE ET KRIGEAGE DES RESIDUS (ECARTS EN m )

y ISS

km

115

mo

130

125

660 665 690 69S 725 X 730 km

Figure : 11 - ECARTS-TYPES : DIFFERENCE ENTRE COVARIANCE GENERALISEE ET KRIGEAGE DES RESIDUS

- 24 -

Sur les limites les écarts-types sont très différents d'un modèle à l'autre. Ils sont nettement plus élevés pour la covariance généralisée que pour le krigeage des résidus puisqu'ils atteignent respectivement :

* 12 mètres et 8 mètres à proximité de la mer, * 50 mètres et 12 mètres sur la limite Ouest (ce qui est quand même assez différent).

La figure 10 montre la carte des différences entre les piézométries obtenues par covariance généralisée et par krigeage des résidus : les écarts sont généralement de plus ou moins 5 mètres sauf ponctuellement où ils attei­gnent plus ou moins 12 mètres. Ces écarts sont beaucoup plus importants près des limites, sans qu'il soit possible de choisir un schéma plutôt qu'un autre.

La figure 11 présente la carte des différences d'écarts-types entre les deux méthodes. Les différences sont de 1 mètre environ au centre du domaine et de 40 mètres sur la limite ouest.

1.3.3. Appréciation des incertitudes

La figure 12 présente la carte qui a été obtenue par interpolation régulière ("sans extrapolation") à partir des coordonnées des isovaleurs tracées par 1'hydrogéologue (en prenant en compte sa connaissance régionale). Cette carte a été calculée pour permettre une comparaison en tout point avec les autres schémas. On l'appellera par la suite le "semis des observations" .

La figure 13 présente la carte des écarts entre les cartes obtenues par krigeage des résidus et le semis des observations. Les écarts sont géné­ralement de l'ordre de 5 mètres, sauf près de la mer. Pour relativiser les écarts obtenus entre les différentes cartes, on a calculé les écarts normes par l'écart-type estimé (on a choisi l'écart-type du krigeage des résidus puisque le critère Thomas a montré qu'il était plus réaliste). On se souvien­dra donc qu'il est normal que l'écart norme soit compris dans l'intervalle (-1, +1) dans 65 % des cas et dans l'intervalle (- 2, + 2) dans 95 % des cas. La figure 14 montre la carte des écarts normes entre les cartes obtenues par covariance généralisée et par krigeage des résidus. Les écarts normes ne sortent généralement pas de l'intervalle (-1, + 1) ce qui montre qu'on peut considérer que les 2 estimations ne sont pas significativement différentes (en moyenne).

La figure 15 montre la carte des écarts normes entre l'interpolation INGRID par cercles de voisinage et le krigeage des résidus. Elle montre que ces 2 interpolations ne sont elles aussi pas significativement différentes. La méthode des cercles de recherche est cependant plus conservatrice car elle est moins entreprenante en extrapolation.

La figure 16 montre la carte des écarts entre la piézométrie obtenue par cercles de voisinages et le "semis des observations". La figure 17 montre la carte des écarts normes correspondants. Ces cartes font apparaître égale­ment une bonne cohérence.

- 25 -

7?5 X 7?okm

FigureM2-CHARGES: INTERPOLATION REGULIERE "SANS EXTRAPOLATION " A PARTIR DES ISOVALEURS DE L'HYDROGEOLOGUE

155

km

145

140

135

130

125

y

<

CD <y^A \t ' o o

o

u

lis Ses 690 695 700 70S 710 7?0 725 ^ 730kr

Figure: 13- CHARGES: DIFFERENCE ENTRE LE KRIGEAGE DES RESIDUS ET L'INTERPOLATION *HYDROGEOLOGUE"

- 26 -

120 660 E8S 690 ESS 700 70S 710 7J5 X 730Km

Figure: 14-CHARGES:ECARTS NORMES ENTRE COVARIANCE GENERALISEE ET KRIGEAGE DES RESIDUS (ECARTS EN NOMBRE D'ECARTS-TYPES)

y 155

km

150

us

110

130

125

120

\.

7W. / N

/ o •̂ ' *•' n

680 665 690 695 715 725 X 730km

Figure: 15-CHARGES:ECARTS NORMES ENTRE L'INTERPOLATION INGRID PAR CERCLES DE RECHERCHE ET LE KRIGEAGE DES RESIDUS

- 27 -

y 155

km

150

115

îuo

130

I2S

120

<

_ r ^

6S0 68S 690 69S 700 715 720 725 X 730km

Figures 16-DIFFERENCE ENTRE L'INTERPOLATION INGRID ET L'INTERPOLATION *HYDROGEOLOGE"

y ISS

km

150

11] 5

1MQ

130

125

120

Q y^ ses 700 705 710 ??s X '30 km

Figure :I7-ECARTS NORMES ENTRE L'INTERPOLATION INGRID ET L'INTERPOLATION ""HYDROGEOLOGUE"

- 28 -

1.4. Discussion des résultats et conclusions

L'utilisation du krigeage pour analyser un champ de données et le cartographier présente 2 intérêts majeurs :

* le calcul du variogramme permet (dans le cas du krigeage des résidus du moins) de visualiser la cohérence spatiale d'un champ de données et d'analyser les éventuels effets de pépites (réels ou provoqués par les incertitudes de mesure) ;

* l'interpolation est assortie d'une carte d'écart-type qui permet en tout point d'apprécier dans une certaine mesure la précision à la­quelle est connue le champ de données.

L'écart-type calculé permet également en hydrodynamique d'apprécier si le calage d'un modèle est réaliste et d'éviter de chercher à "trop bien" caler le modèle pour reproduire très précisément une carte d'isovaleur relativement imprécise (risque de sur-calage ou "d'overcalibrating").

Dans la majorité des cas la piézométrie est une variable non station-naire : c'est la dérive qui provoque le gradient responsable des écoulement. Il faut donc utiliser :

- soit le "krigeage des résidus", enlevant l'effet de dérive et uti­lisant un variogramme calculé sur les résidus ;

- soit la covariance généralisée, méthode en théorie mieux adaptée aux problèmes non stationnaires mais ne permettant plus une interprétation physique simple du variogramme (que l'on peut néanmoins toujours tracer).

Des méthodes d'interpolation plus rustiques par cercles de recherche se sont révélées de qualité comparable quoique produisant des cartes parfois un peu moins "lisses". Le principal avantage du krigeage semble donc bien être l'obtention d'un écart-type. Le critère de Thomas permet de contrôler a posteriori la représentativité d'un schéma. Les écarts-types sont cependant très dépendants du schéma retenu en particulier quand on atteint des régions éloignées des points d'observations : les extrapolations sont alors de simples spéculations mathématiques qui prolongent une dérive théorique. Il aurait été intéressant de voir sur d'autres exemples si la covariance généralisée ne permettait pas d'obtenir dans certains cas de meilleurs résultats.

Il convient donc d'être prudent pour les applications sur les champs piézométriques à densité de points très discontinus. Dans de tels cas, il est toujours indispensable de vérifier la cohérence entre le schéma retenu et la physique du phénomène étudié et en particulier de prendre en compte les limites naturelles ou physiques. Par exemple : cours d'eau ou lac ou niveau de la mer qui imposent un niveau ; limites étanches qui imposent la direction des équipotentielles (qui doivent être perpendiculaires à ces limites). Ces limites peuvent parfois être introduites en rajoutant un certain nombre de point d'observations fictifs.

- 29 -

2. APPLICATION AUX DONNEES DE TRANSMISSIVITE DE LA NAPPE DE L'ETANG DE THAU

2.1. Données de bases

S'agissant d'un aquifère karstique, la notion de transmissivité s'avère souvent délicate à obtenir.

On constate des transmissivités très élevées découlant de la fissura­tion et/ou de la dolomitisation intense avec des valeurs supérieures ou égales à 10 m /s. Dans la partie occidentale du système aquifère, à l'Ouest de Villeveyrac et dans le fossé entre Montbazin et Lavérune, les caractéristiques hydrauliques des formations jurassiques restent mal connues en raison de la rareté des forages ayant testé les calcaires ; il en résulte une incertitude notable.

Les transmissivités varient ainsi globalement de 0,710 à 1,810 m /s sur 36 points de mesure.

La variable étudiée ne présente pas de dérive régionale (variance des résidus/variance brute = 0,97) et peut être considérée comme stationnaire.

2.2. Krigeage sur les valeurs naturelles

Le modèle adopté par BLUEPACK est un modèle linéaire sans dérive. Le variogramme utilisé pour l'interpolation est de la forme K (h) - - 0,977 10 h. La carte obtenue (non représentée) ne présente aucun aspect de "carte de transmissivité".

2.3. Krigeage sur le logarithme des transmissivités

Le modèle obtenu est pratiquement pépitique. Il est de la forme : K(h) - 5,668 - 0,035 h.

La carte obtenue (non représentée) complètement différente de la précédente est complètement lissée, le variogramme étant quasi constant. On se trouve devant une variable tellement hétérogène qu'elle en devient quasi aléatoire.

2.4. Conclusions

Les transmissivités mesurées sont ici très hétérogènes (valeurs variant dans un rapport de 1 à 10 ) et quasi indépendantes les unes des autres. Aucune structure ne peut être mise en évidence. Le seul variogramme ajustable sur les valeurs naturelles est un variogramme linéaire. Le seul variogramme ajustable sur les logarithmes des transmissivités est un vario­gramme quasi constant. On se trouve devant un cas de figure où l'utilisation d'une telle méthode de cartographie n'apporte rien par rapport à une quelcon­que interpolation manuelle.

- 31 -

TROISIEME PARTIE

APPLICATION A DES DONNEES HYDROCHIMIQUES

TENEURS EN NITRATES DANS LA NAPPE DES CALCAIRES DE BEAUCE ET DANS DEUX NAPPES DE LA CRAIE (AISNE et SEINE-MARITIME)

- 32 -

NAPPE DES CALCAIRES DE BEAUCE POINTS DE MESURES (1981)

Figure:18 -LOCALISATION DES POINTS D'EAU ANALYSES EN 1981

1981

Nombre de points

247

Valeur minimale

0.1

Valeur maximale (mg/1)

92,0

Moyenne arithmétique

30.4

Ecart-type (mg/1)

19,0

Coefficient de variation

0,68

Tableau 2 - Paramètres statiques globaux relatifs aux teneurs moyennes en nitrates de l'année 1981 (nappe des calcaires de Beauce)

FREOUENCES a le 2B sa IB sa se 78 ea sa î w

B . I • • • ' i '

18. 1 1

î«. 1 1

se. 1 1

te. pi

se. —I 1

M .

7a. i—I

ea. •

98. •

188. J TENEURS m g / 1

Figure:19- HISTOGRAMME DES TENEURS MOYENNES EN NITRATES DE L'ANNEE 1981 (NAPPE DES CALCAIRES DE BEAUCE)

- 33 -

Dans les exemples qui suivent, le krigeage a été utilisé :

* d'une part à l'amont d'un modèle maillé de transport de masse pour obtenir un état initial complet de teneurs en nitrates : en partant de valeurs mesurées sur un ensemble de points irrégulièrement répartis dans l'espace, une valeur interpolée a été affectée à chacune des mailles du modèle.

Cet exemple est tiré du rapport B.R.G.M. 87 SGN 192 EAU : "Teneurs en nitrates dans la nappe des calcaires de Beauce -modélisation et prévision-" établi pour le Ministère de l'Environnement.

Il a été présenté de façon assez détaillée compte tenu de l'objectif assigné au présent rapport.

* d'autre part comme outil de cartographie offrant à l'utilisateur de nombreuses possibilités d'interpolation et permettant d'obtenir des cartes reflétant au mieux la réalité du phénomène étudié. Deux cas sont présentés tous les deux extraits du rapport B.R.G.M. 86 SGN 251 EAU "Cartographie automatique en hydrochimie -application aux teneurs en nitrates dans cinq départements du bassin Seine-Normandie-" , rapport réalisé à la demande du Ministère de l'Environnement ; dans les deux cas, il s'agit d'une cartographie des teneurs en nitrates dans deux nappes de la craie, l'une en Seine-Maritime, l'autre dans l'Aisne.

1. INTERPOLATION SUR UN MAILIAGE

Le maillage d'interpolation est prédéfini : il coïncide avec celui du modèle de transport de masse construit pour prévoir l'évolution des teneurs en nitrates dans la nappe des calcaires de Beauce ; le maillage comprend 478 mailles de 10 km chacune.

1.1. Les données

L'état initial était constitué par les teneurs en nitrates mesurées durant l'année 1987 sur environ 250 points d'eau (pour la plupart des captages d'alimentation en eau potable) ; ces points d'eau ayant fait l'objet de plusieurs mesures durant l'année, une valeur moyenne annuelle a été calculée sur chacun d'eux.

La localisation des points de mesure à l'intérieur du maillage du modèle est précisée par la figure 18 ; ces points sont assez bien répartis à l'intérieur du domaine, mais sont peu nombreux sur la limite sud-ouest du maillage.

Le tableau 2 rassemble les valeurs de quelques paramètres statistiques élémentaires et l'histogramme de la figure 19 précise l'allure de la distri­bution des valeurs moyennes calculées ; cette distribution est de type bimo-dal : la classe ] 0 - 10 ] mg/1, assez bien représentée (près de 20 % des points), correspond essentiellement aux points situés sous la forêt d'Orléans et donc peu affectés par la contamination nitrique.

- 34 -

FIGURE 20 VARIOGRAMMES DU CHAMP DES TENEURS EN NITRATES (NAPPE DES CALCAIRES DEBEAUCE)

h

500

303

203

IB0

0

y

f 1

\

3.0 6.0 9.0 12 15 18 21 24 27 k m 33

a) -VARIOGRAMME MOYEN DU CHAMP DE TENEURS EN NITRATES DE 1981

CJ

500

400

300

e 200

100 /

/

\

V / s

^ /

\ / V

/

V Y

Vj

1

^ H —

X| A

3.0 6.0 9.0 12 15 18 21 24 27 30

km b ) - DIRECTION S.O — * N E

500

400

300 CJ

en 200 E

100 /

J

\ _

/ i

3.0 6.0 9.E 12 1S 13 21 24 27 3D km

C )-DIRECTION S . E . — * N . O

- 35 -

1.2. Les variogrammes

Le variogramme moyen a été calculé en prenant en compte les données ci-dessus y compris celles de la forêt d'Orléans (soit 247 points). L'allure de ce variogramme construit avec un pas de 1.5 km est présentée par la figure 20a.

* Démarrant à peu près à 0 (mais seulement 9 couples de points trouvés pour une distance inférieure au km), il passe assez brusquement pour un accroissement spatial de 1.5 km à la valeur 180 (mais là encore le nombre de couples de points est faible, égal à 37). Les valeurs trouvées ne deviennent vraiment significatives qu'à partir de 3 km (avec 100 à 500 couples de points trouvés). A partir de 6 km, le variogramme croit lentement et assez régulièrement, mais sans que l'on puisse conclure nettement à l'existence d'une dérive.

* Si l'on élimine les deux premiers points, le variogramme moyen se caractériserait donc par un fort effet de pépite que l'on peut attri­buer à la prise en compte des points situés sous la forêt d'Orléans, points aux teneurs beaucoup plus faibles que celles du reste du domaine.

* Si l'on examine les variogrammes directionnels (S.O. -» N.E. et S.E. -* N.O.) (fig. 20b et 20c), on constate :

- d'une part qu'ils sont beaucoup moins réguliers avec une allure en "dents de scie" relativement accentuée ;

- d'autre part qu'ils ont un "comportement à l'origine" à peu près identique à celui du variogramme moyen (montée brusque) ; mais, comme pour le variogramme moyen, le nombre de couples de points trouvés pour des distances inférieures à 3 km ne permet pas de conclure à la robustesse des premières valeurs). Ils se caractérisent donc eux aussi par un fort effet de pépite qui traduit également, suivant ces deux directions, la discontinuité des teneurs en nitrates de part et d'autre des limites de la forêt d'Orléans.

* On peut enfin remarquer que le variogramme S.O. -» N.E. semble se stabiliser assez rapidement un peu au-dessus de la valeur 200 tandis que le variogramme S.E. -+ N.O. présente un palier plus élevé (proche de 300) puis une brusque montée au delà de 24 km. Si l'on se reporte à la figure 18, on peut constater que la direction S.O. •+ N.E. corres­pond à peu près aux directions d'allongement des grandes zones de teneurs tandis que la direction S.E. -* N.O. correspond au contraire à la traversée de ces zones avec des écarts de teneurs qui sont donc plus importants, ce qui explique les différences observées entre les deux variogrammes correspondants.

- 36 -

1.3. LfInterpolation

1.3.1. Options retenues

L'interpolation a été conduite conformément aux 5 points suivants :

1. en prenant une maille de calcul égale à la maille du modèle, soit 10 km de surface (3.16 km de côté) ;

2. en utilisant la méthode des "voisinages glissants" avec un rayon d'interpolation de 10 km ;

3. en fixant à 8 le nombre de points minimum à prendre en compte dans ce voisinage.

Remarque. Pour que les calculs propres à cette méthode puissent être correctement menés, en particulier les calculs d'estimation de la dérive éventuelle, il faut un nombre minimum de points dans les voisinages d'in­terpolation. Si l'on convient de représenter la dérive par un polynôme de degré k (k - 0,1 ou 2 dans la plupart des cas), le nombre de points requis est fonction du nombre de monômes de base (1, X, Y, XY, X , Y*) entrant dans la composition de la dérive (tableau 3).

k -k -k -

Ordre de la dérive

0 1 (dérive linéaire) 2 (dérive quadratique)

Monômes de base

1 1, X, Y 1, X, Y, XY, X% Yz

Nombre de points préconisés dans le voisinage de krigeage

8 12 16

Tableau 3 - Nombre de points préconisés à l'intérieur du voisinage de recherche pour déterminer, par le krigeage selon BLUEPACK, l'ordre de la dérive

Si pour un modèle de dérive testé, le nombre de points recommandé ne peut être trouvé, les calculs s'effectuent néanmoins sauf si le nombre de points rencontrés dévient inférieur au nombre de monômes de base (1, 3 ou 6 selon l'ordre k) auquel cas l'estimation aux points de calcul n'est pas faite.

4. En considérant la forêt d'Orléans comme une zone bien distincte, séparée du reste du domaine par une limite (digitalisée et introduite comme contrainte d'interpolation) qui sera reconnue par BLUEPACK comme discontinuité à ne pas franchir lors de la recherche des points de mesure dans un voisinage donné.

- 37 -

5. Enfin, en se plaçant dans le cadre très général de la théorie des F.A.I.K. (annexe 1) et en utilisant l'option "reconnaissance automa­tique" de BLUEPACK, c'est-à-dire l'identification automatique :

- d'une dérive éventuelle,

- d'une covariance généralisée.

1.3.2. Reconnaissance automatique

La "reconnaissance automatique" opérée par BLUEPACK a conclu :

- à l'absence de dérive,

- à l'émergence d'une covariance généralisée comprenant un terme "pépi-tique et un terme linéaire :

K (h) - 139 - 2.8 h

(puisqu'il n'y a pas de dérive, on peut identifier la covariance généralisée au variogramme et le modèle K (h) trouvé est cohérent avec le variogramme moyen de la figure 20a).

1.3.3. Vérification de la qualité de l'ajustement ("test THOMAS" de BLUEPACK)

Pour tester la pertinence du modèle retenu il est possible d'estimer les valeurs de la variable "nitrates" aux points où elles sont déjà connues, à partir des données du voisinage : pour cela, BLUEPACK supprime l'un après l'autre les points de mesure x^ et en chacun de ces points calcule la valeur estimée z*(xi) ; par conséquent, connaissant la valeur réelle z(x*), il est possible de calculer l'erreur e* - z*(x^) - z(x^). Un ajustement correct doit se traduire par :

- un écart moyen voisin de 0 (= ni sur-estimation, ni sous-estimation systématique)

1 n i = - 2 (zL - z*) ~ 0

n i=l

- un écart quadratique réduit proche de 1 (=• cohérence des écarts e* avec les écarts-types d'estimation ai calculés par BLUEPACK) :

I n (zi - zi*)2

ë - - E ~ 1 n i-1 a^

On obtient ici :

- un écart moyen de 0.43,

- un écart quadratique réduit de 1.01, ce qui permet de garder le modèle de covariance retenu par BLUEPACK.

- 38 -

NAPPE DES CALCAIRES DE BEAUCE TENEURS EN NITRATES (1981)

«F. A 5

OE S * t5

K 15 A 25

DE 25 * 40

DE 40 * 50

SUP. A M

Fig:21 -CARTE DES TENEURS EN NITRATES OBTENUE PAR KRIGEAGE

NAPPE DES CALCAIRES DE BEAUCE TENEURS EN NITRATES (1981)

Nitrates en| INF. A 3

• DE 5 A 15

• DE IJ * 25• DE 29 A 40

• DE tO A. 50• SU

Fig: 22 -CARTE DES TENEURS EN NITRATES OBTENUE PAR INTERPOLATIONDETERMINISTE (UNIRAS)

- 39 -

1.3.4. Résultats

Les résultats obtenus sont présentés sous la forme d'une carte repro­duite par la figure 21 (le tableau de valeurs, qui était le but recherché, étant de peu d'intérêt dans ce rapport).

A titre de comparaison, est également fournie une carte (fig. 22) obtenue à l'aide d'une méthode d'interpolation tout à fait différente asso­ciant interpolations linéaires et pondérations en fonction de la distance (logiciel UNIRAS). Cette dernière carte apparaît beaucoup moins lissée que la carte krigée ; les courbes isovaleurs sont beaucoup plus contournées, pré­sentant de nombreuses indentations ; elle fait également apparaître de nom­breuses petites inclusions qui ne correspondent pas toujours à un "singulari­té" du champ de valeurs (valeurs isolées beaucoup plus fortes ou plus faibles que les valeurs voisines).

Les caractéristiques statistiques du champ des valeurs krigées sont indiquées dans le tableau 4 :

Nombre de points

464

Valeur minimale (mg/1)

0,1

Valeur maximale (mg/D

56,2

Moyenne arithmétique

(mg/1)

28,7

Ecart-type (mg/D

15,9

Coefficient de variation

0,55

Tableau 4 - Paramètres statistiques globaux des valeurs krigées de teneurs en nitrate

Il y a eu 464 valeurs estimées (sur 478 mailles) l'estimation n'ayant pas été faite aux endroits où la densité de points était trop faible, notam­ment vers la limite Sud-ouest du domaine.

Si l'on compare ce tableau au tableau 2, on constate :

- que la valeur maximale krigée est bien inférieure à la valeur maximale observée : 66 mg/1 contre 92 mg/1 ;

- mais que les valeurs moyennes sont quant à elles à peu près identi­ques : 25 mg/1 valeur krigée et 30 mg/1 valeur observée.

Les "singularités" du champ de teneurs mesurées sont donc estompées, la carte krigée ne laissant transparaître que les tendances en grand du "phénomène", ce qui était le but recherché dans le cadre de l'étude dont cet exemple est extrait.

640

40 -

690

225

175

125

AISNE TENEURS EN NITRATES (1982)

740

— 225

ECHELLE: V f * 0 10 20 k 1 l I

LEGENDE

SITUATES (EN UG/L) :

* MOINS DE 5 • DE 5 A 15

° DE 15 A 25 • DE 25 A 40

• DE 40 A 50 A PLUS DE 50

Limite Sud du domaine d'interpolation

175

125

Figure:23 -CARTE DE REPORTS DE TENEURS: NAPPE DE LA CRAIE

B ' "

E

6e.

78.

88.

92 . -

188. • TENE

4 H i

JRS

28 38 18 58 88 78 FREQUENCES 88 ee in

Figure:24-HISTOGRAMME DES TENEURS MOYENNES EN NITRATES DE L'ANNEE 1982 ( NAPPE DE LA CRAIE)

- 41 -

2. CARTOGRAPHIE DES TENEURS EN NITRATES DE LA NAPPE DE LA CRAIE DANS L'AISNE

La démarche suivie est à peu près identique à celle exposée pour la nappe des calcaires de Beauce ; un test de sensibilité sur le variogramme et une carte des écarts-types de krigeage complètent l'exemple.

2.1. Les données

Elles sont constituées par les moyennes des teneurs en nitrates relevées durant l'année 1982 sur 160 points d'eau captant la nappe de la craie.

L'emplacement de ces points d'eau est précisé par la figure 23. La densité de points est relativement satisfaisante sauf dans le secteur enserré par l'Oise et la Serre.

Le champ de valeurs est caractérisé par les paramètres statistiques globaux rassemblés dans le tableau 5 :

Nombre d'échan­tillons

162

Valeur minimale (mg/l)

1.7

Valeur maximale (mg/l)

78,0

Moyenne arithmétique

(mg/l)

28,3

Ecart-type (mg/l)

12,6

Coefficient de

variation

0,44

Tableau 5 - Paramètres statistiques globaux (mg/l) du champ de teneurs en nitrates (nappe de la Craie, 1982)

Complétant ces paramètres, l'histogramme de la figure 24 montre une distribution des valeurs de type "loi normale" avec une classe (20-30 mg/l) regroupant près de 50 % de points

2.2. Variogrammes

Dans un premier temps, tous les points de l'état 1982 (au nombre de 162) ont été pris en compte pour le calcul du variogramme ; puis les points dont les teneurs étaient supérieures à 60 mg/l, à plus de deux écarts-types de la moyenne, (soient 6 points) ont été éliminés et le variogramme a été recal­culé.

La figure 25 présente les deux variogrammes obtenus avec un pas de calcul de 2.5 km

Dans les deux cas, on notera l'existence d'un effet de pépite impor­tant traduisant l'hétérogénéité du champ de valeurs et la coexistence dans une même zone de points à faibles et à fortes teneurs. Lorsque tous les points sont pris en compte le variogramme est d'allure ascendante, alors qu'il est assez plat après suppression des 6 points (- sans dérive apparente)

- 42 -

£310 -

200 .

150,

~ 130 .

~ 50 -

0.

/

\

•>

J \A —

r

V

'

s A

\

r i

/ ^

/ ~J

\

K ^ a <-ensemble des

points

b<-points à teneurs supérieures à 60mg/ l éliminés

0 5.2 10 15 23 25 32 35 43 .45 50 Km

Figure 25 - Variogrammes moyens d'un champ de teneurs en nitrates. Nappe de la Craie, département de l'Aisne, 1982

2.3. Interpolation

2.3.1. Options retenues

Comme pour le cas des nitrates dans la nappe des calcaires de Beauce l'interpolation a été menée en sç plaçant dans le cadre de la théorie des F.A.I.K.; l'option "reconnaissance automatique" a été retenue et la méthode des voisinages glissants a été utilisée (avec un rayon d'interpolation de 7,5 km).

La grille de calcul était constituée de mailles carrées de 2,5 km de côté.

Enfin, l'Oise a été considérée comme une ligne de discontinuité (en supposant qu'il n'existe pas de corrélations entre les teneurs des points situés d'un côté de la rivière et entre celles des points situés de l'autre côté.

Remarque. La limite Sud du domaine d'interpolation a été reportée sur la figure 23.

2.3.2. Reconnaissance automatique

La reconnaissance automatique opérée par BLUEPACK conduit aux valeurs suivantes de l'ordre de la dérive et des coefficients de la covariance géné­ralisée, modélisée par une expression de la forme : K (h) - CQ + aih aoh Log h + a-j h , h étant l'accroissement sur la distance entre points (tab. 6).

- A3 -

Points

tous

6 points supprimés (cf. 4.2.)

Ordre de la dérive

k - 0 (pas de dérive)

k - 1 (dérive linéaire)

Coefficients de la covariance généralisée

aO

55.6

36

al

-1.62

1

a2

0

0

a3

0

Tableau 6 - Paramètres du krigeage sur la variable nitrate.

On notera l'influence des points éliminés sur la modélisation effec­tuée : avec tous les points, le programme conclut à une absence de dérive et la covariance généralisée s'identifie à un variogramme modélisé par une droite de pente 1.62 avec effet de pépite de 55.6 (mg/1) . Après élimination des 6 points, il y a apparition d'une dérive linéaire et la covariance se réduit au seul terme pépitique.

2.3.3. Vérification de la qualité de l'ajustement

La qualité de l'ajustement des modèles de dérive et de covariance calculés par BLUEPACK peut s'apprécier à l'aide des deux critères suivants (cf. 1.3.3) :

- écart moyen entre valeurs observées et valeurs recalculées aux mêmes points voisin de 0 ;

- écart quadratique réduit proche de 1.

On obtient les valeurs suivantes (tab. 7) ; on remarque l'effet bénéfique sur la reconstitution des valeurs observées de la suppression des 6 points considérés.

Tous les points 6 points éliminés

Moyenne des écarts

0.335 0.088

Ecart quadratique réduit

1.920 1.909

Tableau 7 - Qualité des ajustements opérés par BLUEPACK

- 44 -

2.3.4. Résultats

La carte issue de l'interpolation avec tous les points est présentée par la figure 26. On notera l'aspect irrégulier des courbes isovaleurs et la présence de nombreuses petites "inclusions", ce qui est la manifestation d'un champ de valeur peu structuré (comme le variogramme le laissait déjà prévoir).

Remarque. Les zones "blanches" à l'intérieur du domaine cartographie corres­pondent à des mailles où l'estimation n'a pu être faite faute d'un nombre de points suffisant.

Cette carte peut être également assortie d'une carte des écarts-types de krigeage (fig. 27). chaque valeur estimée par krigeage est associée à un écart-type d'estimation. Cet écart-type est très sensible au modèle de vario­gramme ou de covariance retenu. Il sera parfois prudent de ne voir en lui qu'un simple indicateur de la densité d'informations disponibles autour du point à estimer et du degré d'incertitude affectant la valeur calculée. Ainsi, la carte de la figure 7 montre que cette incertitude est forte sur les marges du domaine et beaucoup plus faible autour des villes de Laon et Saint-Quentin où la densité des points est forte.

A I S N E TENEURS EN NITRATES (1982)

LEGENDE

NITRATES (EN MG/L) :

MOINS DE 5DE 5 A 15DE 15 A 2 5PE 2 5 A 40DE 40 A 50PLUS DE 5 0

A I S N E ECARTS-TYPES DE KRIGEAGE SUR N03

ECHELLE: *&""*

0 10 20 km

LEGENDE

ECART-TYPE(EN MG/L)

INF. A 1DE 1 A 2DE 2 A 3DE 3 A 4DE 4 A 5SUP. A 5

Figure:26-CARTE KRIGEE DES TENEURS ENNITRATES (NAPPE LA CRAIE)

Figure:27-CARTE DES ECARTS - TYPES DE KRIGEAGESUR LES TENEURS EN NITRATES (NAPPE DELA CRAIE)

- 46 -

3. CARTOGRAPHIE DES TENEURS EN NITRATES DE LA NAPPE DE LA CRAIE EN SEINE-MARITIME

On présente ici rapidement un exemple d'un champ de teneur assez bien structuré avec manifestation très nette d'une dérive.

3.1. Les données

180 points ont été analysés en 1981 sur l'ensemble de la nappe, certains plusieurs fois durant l'année après calcul d'une moyenne annuelle en chaque point, les paramètres statistiques globaux du champ de teneurs "moyen" ont été calculés (tableau 8).

Année

1981

Nombre de points

181

Valeur minimale

9.2

Valeur maximale

61.6

Moyenne

21.6

Ecart-type

10.1

Coefficient de variation

0.47

Tableau 8 - Teneurs en nitrates dans la nappe de la Craie. Paramètres statistiques (mg/1)

L'histogramme de la figure 28 fournit une répartition des teneurs en classes de valeurs.

TENEURS mg/l

M FREQUENCES ei 9B

Figure-. 28-HISTOGRAMME DES TENEURS EN NITRATES DELA

NAPPE DE LA CRAIE EN SEINE-MARITINE (1981 )

- 47 -

3.2. Varloerammes

Le variogramme calculé suivant la direction Est-Ouest (fig. 29a) met en évidence l'existence d'une dérive dans le champ des teneurs.

Le variogramme moyen (fig. 29b) est d'allure régulière, sans effet de pépite, présentant un palier stabilisé jusqu'à une distance de 25 km. Son augmentation à partir de 30 km traduit l'existence de la dérive Est-Ouest.

r2B

10:

90

75

'SB p

'iS

30

15

a A /

A

A \ / A

w/ N /

e 5.0 10 15 20 25 30 35 -18 45 50 km DMST10K EST^->œST

Figure:29 a-VARIOGRAMME DES TENEURS EN NITRATES SUIVANT UNE DIRECTION EST-OUEST

120

les

90

75

» 60

45

30

15 S~ÎÉ 0 5.0 1E 15 20 25 30 25 40 45 5B Km

Figure : 29 b-VARIOGRAMME MOYEN DES TENEURS EN NITRATES

- 48 -

3.3. Cartes

* La carte krigée des teneurs pour l'année 1981 (fig. 30) est remarqua­ble par l'homogénéité des 3 grandes zones de teneurs qu'elle fait apparaître et par la hiérarchisation spatiale des différentes classes utilisées qui n'est que la traduction de la dérive Est-Ouest mise en évidence par le variogramme de la figure 29a.

Les teneurs augmentent donc progressivement de l'Est du département vers l'Ouest où elles atteignent les 50 mg/1 aux abords du Havre.

* La carte UNIRAS correspondante est à peu près identique (fig. 31) les différences résidant dans le tracé des isovaleurs qui apparaît plus contourné que dans la carte krigée.

- 49 -

SEINE MARITIME Nappe de m CRAIE

TENEURS EN NITRATES (1961)

ECHELLE: l/lOOÛOOO i SEINE

•HG/LJ

MOINS DE 5DE 3 * 19DE 15 A 25DE 25 A 40DE « A 50PLUS DE M

Figure: 30 -NAPPE DE LA CRAIE. CARTE KRIGEE

SEINE MARITIME Nappe de la CRAIE

TENEURS EN NITRATES (1961)

ECHELLE: (/1OQ0O00

S / )

Figure =31 - N A P P E OE LA CRAIE. CARTE ISO-TENEURS (UNIRAS)

- 51 -

QUATRIEME PARTIE

APPLICATION A LA RATIONALISATION D'UN RESEAU DE MESURES HYDROCHIMIQUES

- 53 -

Le réseau à rationaliser était constitué par une centaine de points d'eau captant la nappe des calcaires de Champigny.

1. LES DONNEES

Les données sélectionnées pour cette étude ont été extraites de l'ensemble des résultats d'analyses effectuées en Mars 1977 sur l'eau de la nappe des calcaires de Champigny ; les échantillons ont été prélevés sur 110 points d'eau du réseau implanté en Seine-et-Marne pour la surveillance de la qualité chimique des eaux souterraines.

Les variables retenues pour l'étude sont au nombre de 8 :

Ca2+, Mg2+, Na+, K+, Cl", SC-£", HCO3", NOj

2. POSITION DU PROBLEME

Une analyse statistique multidimensionnelle a permis de constituer un certain nombre de groupes homogènes relativement aux variables étudiées (fig. 32).

Des points qui présentent une similitude de comportement relativement aux variables mesurées et qui sont spatialement proches fournissent des informations qui se recoupent sans doute et la suppression de certains d'entre eux ne diminuerait guère le contenu informatif du réseau.

Mais les proximités statistiquement dégagées sont purement géométri­ques, définies par rapport aux espaces euclidiens où les données sont proje­tées et la configuration spatiale des points de mesure, les traits structuraux du champ des variables ne sont pas pris en compte.

Pourtant, pour des phénomènes qui se manifestent par une distribution spatiale de valeurs, il serait important de pouvoir disposer de grandeurs permettant de résumer l'organisation spatiale de ces valeurs et l'intensité des liaisons qui peuvent s'établir entre elles.

Ces aspects structuraux peuvent être abordés par le biais du krigeage et notamment par l'examen des variogrammes des variables elles-mêmes ou des composantes principales (combinaisons linéaires de ces variables et fournies par une analyse "en composantes principales").

3. VARIOGRAMMES

Les variogrammes des 8 variables étudiées (Ca, Mg, Na, K, Cl, SO^, HCOn, NOo) et de la première composante principale ont été calculés sans direction de calcul privilégiée (fig. 33).

ws.w _ I Î 5 I

10 km

2

a numéro des groupes de la C.A.H.

points singuliers = groupe A de la C.A.H. (eaux à fortes teneurs en HCOJ)

Figure. 32-LOCALISATION GEOGRAPHIQUE DES DIFFERENTS GROUPES DE POINTS MIS EN EVIDENCE PAR CLASSIFICATION

AUTOMATIQUE (C.A.H.)

- 55 -

Leur examen permet, en premier lieu, de constater que le champ de toutes les variables est peu structuré (fig. 33 et tab. 9).

VARIABLES

Ca

Hg

Na

K

Cl

so4

HC03

N03

CP1

CARACTERISTIQUES

Portée (en km)

4

4

4

sans

4

4

2

4

2

Palier

750

50

60

10

(1000)

425

3.5

Varlance des données

690

43

59

9.7

455

968

1 150

420

3.45

AJUSTEMENT AUTOMATIQUE

Coordonnée à l'origine

200

10

0

9

100

400

600

200

2

Terme pêpitique

359.0

35.5

0

0

325.0

0

0

404.6

0

Terme linéaire

- 84.9

- 0.31

- 3.78

- 0.92

- 0.29

- 78.2

- 86.7

- 5.54

- 0.29

Tableau 9 - Caractéristiques des variogrammes

- La portée est courte, de l'ordre de 3-4 km ce qui témoigne d'une dégradation rapide des interdépendances entre points voisins.

- Les oscillations de part et d'autre d'un palier moyen qui correspond approximativement à la variance de données sont souvent fortes. La variable la plus erratique est le potassium (absence de portée).

- Un prolongement de la portée vers l'origine des axes conduit à une ordonnée non nulle (terme pêpitique) à l'exception du sodium.

- L'existence d'une dérive apparente suivant la direction S.E.-N.O. dans le cas des chlorures (fig. 33d) : le variogramme ne se stabilise pas et croit rapidement au-delà de 30 km.

Enfin, le variogramme de la première composante principale, (fig. 34) à laquelle sont liées les variables Cl, SO^, NO3 et Ca, résume bien également l'aspect peu structuré du champ de ces variables (portée inférieure à 3 km, nombreuses "oscillations").

- 56 -

1000

800

600

E 400

200

p

/

/

V /

-J

/ \ __

A

A 1 V \ 1

V V /

V

A

V Y ' \

\ j *»v

150

120

90

E 60

30

HO 20 30 c) Sodium

600

500

40O

300

70i

60

50

40

>M 7,0

^

S 20

10

0

)

y A / V '

j

/

y V

A v V

\

v •>

/

/

V V

K \

\

/

/

/

1 V v

10 20 30 40 km 50

a ) Calcium

f 1

/

J l

\J V

/—\

^ 1

r / '

X / A \

Y /

— i

\r V

A J '

70O

40 km 50

E 200

100

10 20 30 40 km 50

b) Magnésium

10 20 30 d) Chlorures

40 km 50

/

/

/

/ /

h, / V

^ /

V \ / V \f

V A

V

A / \

V " • v

/

/

J e) Nitrates

O 10 20 30 40 km 50

Figure:33 -VARIOGRAMMES MOYENS DE QUELQUES VARIABLES CHIMIQUES

- 57 -

r i

/ \

\

h

A / \ V \J V

K/ V u ^

iv/ V

0 10 20 30 40 50

Figure-.34-VARIOGRAMME MOYEN DE LA COMPOSANTE

PRINCIPALE N°1

Les ajustements automatiques à des modèles standards réalisés par le programme BLUEPACK conduisent tous à des modèles linéaires avec ou sans effet de pépite suivant les variables (cf. tableau 9).

4. CONCLUSIONS

Le trait structural marquant que l'on peut dégager de l'examen des variogrammes des variables étudiées est relatif à la "zone d'influence" d'un point donné : cette zone est restreinte (peu de corrélations spatiales entres points).

Les proximités statistiques dégagées (et qui ne peuvent être intéres­santes que lorsqu'elles se doublent de proximités géographiques), ne peuvent donc pas être, dans le cas présent, affinées, compte-tenu de la quasi-absence de corrélations spatiales entre points voisins.

- 59 -

CINQUIEME PARTIE

PRESENTATION D'UN MODULE DE KRIGEAGE : MGRIDF

(inclus dans le logiciel de cartographie UNIGRID)

- 61 -

Le module MGRIDF provient de la chaîne de programmes GDM développée au BRGM par le département Informatique Scientifique Appliquée (ISA). C'est un "interpolateur" qui permet de créer une grille régulière à partir de données ponctuelles 2D.

Les options de calcul proposées dans MGRIDF, ont été incluses dans le logiciel UNIGRID du département EAU. Le travail de préparation de cette version de MGRIDF a été faite par le département ISA. Un exemple concret de représentation graphique a été traité à l'aide de cette nouvelle version dans le but d'illustrer les possibilités de MGRIDF.

1. METHODES ET ALGORITHMES DE MGRIDF

1.1. Les méthodes d'interpolation

Trois méthodes sont proposées :

. Les inverses des distances : les valeurs aux noeuds de la grille sont interpolées en pondérant le poids des points voisins pris en compte par l'inverse des distances de ces derniers au noeud calculé. La puissance de la distance est définie par l'utilisateur (1/d, 1/d , 1/d3, . . . ) .

. Les moindres carrés + krigeage linéaire des résidus.

L'interpolation des valeurs aux noeuds s'effectue en 3 étapes :

- une surface polynômiale de degré maximum 5 est ajustée aux valeurs des points isolés et les résidus sont calculés pour chaque point isolé du semis en entrée. Le degré du polynôme est défini par l'utilisateur ;

- les résidus des noeuds sont calculés par un algorithme de krigeage linéaire sans dérive ;

- les valeurs des tendances et les résidus krigés sont additionnés pour obtenir les valeurs interpolées aux noeuds de la grille.

. Le krigeage par variogramme linéaire : les valeurs aux noeuds sont interpolées en utilisant un cas particulier du krigeage avec un variogramme linéaire sans effet de pépite avec ou sans dérive.

La première méthode (inverse des distances) est la plus rapide des trois.

1.2. Les failles

MGRIDF (F comme faille) peut effectuer une interpolation avec prise en compte de failles (ou de tout autre type de discontinuité) . Lorsque des données de failles sont prises en compte, le programme considère que les failles :

- ont une extension verticale,

- sont des barrières à l'interpolation (c'est-à-dire que les points situés de l'autre côté de la faille sont ignorés).

- 62 -

Pour une interpolation avec faille, l'option krigeage linéaire est la plus appropriée.

1.3. La recherche du voisinage

MGRIDF réalise une recherche des points voisins, à prendre en compte pour l'interpolation, par octant (l/8e de disque de rayon infini).

On peut demander une recherche anisotropique ou circulaire.

2. EXEMPLE D'APPLICATION

On a cartographie une variable Z connue à partir d'un échantillon de 89 points. La figure 35 montre les résultats obtenus pour 4 types d'interpo­lation :

1. inverse des distances, 2. moindres carrés + krigeage, 3. krigeage linéaire, 4. krigeage linéaire + faille.

Les interpolations ont été faites dans les conditions suivantes :

- domaine : 80 km x 50 km, - recherche circulaire (rayon - 50 km), - voisinage (8 à 12 points), - grille régulière : 1 066 noeuds (41 noeuds sur l'axe des x, et 26 noeuds sur l'axe des y),

- distance entre 2 noeuds : 2 km.

Les sorties graphiques ont été faites avec le logiciel UNIGRID.

COMMENTAIRES

Les cartes n° 2 et 3 donnent des résultats très similaires. On peut noter, pour ces deux exemples, que 1'isovaleur 25 est rectiligne au centre du domaine. L'exemple n° 4 prend en compte l'existence d'une faille. Celle-ci est parallèle à 1'isovaleur 25, et montre que la forme de celle-ci est due à la présence d'une discontinuité réelle dans le domaine d'étude (annoncée par les exemples n° 2 et 3). La réalisation d'une carte avec une faille permet d'ap­porter des explications à l'allure des courbes isovaleurs.

Dans cet exemple, le schéma n° 1 (inverse des distances) ne permet pas de prévoir l'existence d'une discontinuité ni de la prendre en compte ; par contre, il permet d'obtenir un résultat plus rapidement.

Inverse des distances (f/r)

40AXE DES X

Krigeage linéaire

40AXE DES X

50 -p

Afovndres carres •+• krxgeage

u-20 40

AXE DES X

Krxgeage hneatre

20 40AXE DES X

60 80

- 65 -

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] BEUCHER H., DELHOMME J.P., DE MARSILY G., 1981 .- Analyse stochastique des propriétés des systèmes poreux naturels hétérogènes. Compte-rendu de fin d'étude d'une recherche financée par la D.G.R.S.T.

[2] CHILES J.P., 1977 .- Géostatistique des phénomènes non stationnaires .- Thèse de Docteur Ingénieur, Université de Nancy

[3] DELHOMME J.P., 1976 .- Application de la théorie des variables régio­nalisées dans les Sciences de l'Eau .- Thèse de Docteur Ingénieur, Université Pierre et Marie Curie, Paris

[4] DE MARSILY G., 1986 .- Quantitative Hydrogeology .- Académie Press, inc.

[5] JOURNEL A.G., HUIJBREGTS Ch.J., 1978 .- Mining Géostatistics Académie Press, London

[6] MATHERON G., 1970 .- La théorie des variables régionalisées et ses applications .- Les Cahiers du Centre de Morphologie mathématique de Fontainebleau

- 67 -

A N N E X E 1

LE KRIGEAGE : HYPOTHESES - EQUATIONS

- 69 -

Le cadre conceptuel du krigeage est celui de la théorie des fonctions aléatoires.

Le phénomène auquel on s'intéresse est interprété comme la réalisation d'une fonction aléatoire, c'est-à-dire une variable aléatoire à plusieurs composantes : à chaque point x de l'espace on associe une variable aléatoire Z(x). En deux points différents x et x+h on aura deux variables aléatoires Z(x) et Z (x+h) différentes mais non indépendantes.

La réalisation du phénomène étant unique, l'inférence statistique, ne sera possible que sous certaines hypothèses.

1 - LES HYPOTHESES

Elles peuvent être ainsi hiérarchisées, en partant de la plus res­trictive :

1.1 - Stationnarité d'ordre 2

Si la fonction aléatoire Z (x) est supposée stationnaire d'ordre 2, alors :

. son espérance est E[Z(x)] - m Vx

. la covariance du couple Z(x), Z(x+h) existe et dépend seulement de la distance h entre les deux points ( stationnarité de la covariance) :

Cov [Z(x+h), Z(x)] - E[Z(x+h).Z(x)] - m2 - C(h) Vx

1.2 - Stationnarité d'ordre 2 des accroissements (- hypothèse intrinsèque).

Suivant cette hypothèse, les accroissements Z(x+h) - Z(x) seront :

- de moyenne nulle :

E[Z(x+h) - Z(x)] - 0 ou E[Z(x+h)] - E[Z(x)] - m Vx

(ce qui renvoie à l'hypothèse de moyenne spatiale constante).

- de variance finie, indépendante de point X mais fonction de la dis­tance h (stationnarité de la variance) :

Var [Z(x+h) - Z(x)] - E[(Z(x+h) - Z(x))2] - 2 7(h) Vx

La fonction 7(h) est appelée "demi-variogramme" (par extension "vario-gramme" ).

Remarque. La stationnarité de la covariance implique celle du variogramme :

7(h) - 1/2 E[(Z(x-h) - Z (x))2] - C(o) - C(h) Vx

La stationnarité d'ordre 2 implique donc celle des accroissements Z(x+h) - Z(x), mais la réciproque n'est pas vraie.

- 70 -

1.3 - Hypothèse intrinsèque d'ordre k

Elle est introduite pour résoudre les problèmes posés par l'existence d'une dérive et fait intervenir les notions :

- d'accroissement d'ordre k,

- de covariance généralisée.

On dira d'une combinaison linéaire

n Z(A) - S X± 2(x.L)

i-1

qu'elle est un accroissement d'ordre k si, pour tout monôme £(•*) de degré inférieur ou égal à k, la condition suivante est vérifiée :

n S X± f

1 ^ ) - 0 - 1,... k et f1 - 1 i-1

De la même façon que les accroissements simples Z(x+h) - Z(x) filtrent une constante, les accroissements d'ordre k filtreront une dérive polynômiale de la forme :

k , m(x) - S aL fi(x)

1-1

L'hypothèse intrinsèque d'ordre k généralise l'hypothèse de station-narité des accroissements simples (- d'ordre 0) en imposant que les combinai­sons linéaires :

-+ n

Z(A) - S A1 Z(x,) i-1

soient stationnaires d'ordre 2, c'est-à-dire :

E[Z(A)] - m (A)

Var[Z(A)] - K (A)

espérance et variance spatiale ne dépendent alors que du vecteur de pondéra­tion A.

Cette hypothèse conduit à définir une fonction K(h) - K(x^-x^) appelée covariance généralisée et telle que l'on puisse écrire :

Var [Z(A)] - Var [S A, Z^,)] - S S A, A, K^-x^) i i j J J

- 71 -

2 - LES EQUATIONS

L'hypothèse de stationnarité des accroissements d'ordre k de la variable Z(x) est supposée varifiée. Il existe donc une covariance généralisée K(h).

La dérive m(x) sera représentée, au moins localement, par une combi­naison linéaire de k fonctions de base (des monômes de degré inférieur ou égal à k) :

m(x) - S ax fX(x)

k-1

Dans le cas le plus général, il est possible d'estimer toute fonc­tionnelle linéaire L (Z) de la variable Z, en particulier :

- une valeur ponctuelle : L (Z) - Z(x )

- une moyenne spatiale : L (Z) - 1/V f Z(xQ+u) du V

un gradient : L (Z) /a z(x)\

\ au /x-x0

Pour des raisons de simplication, seul le cas d'une estimation ponc­tuelle sera envisagée (L(Z) - Z (xQ). L'estimateur retenu Z* est une combi­naison linéaire de n valeurs de la variable Z (prises dans le voisinage du point à estimer xQ ou sur la totalité du domaine) :

n Z*(xQ) S \L Z (Xi)

i-1

Les poids A* sont calculés de façon à ce que :

- l'estimation soit sans biais : E(Z*(xQ) - Z(xQ)) - 0 (1)

- et d'erreur quadratique moyenne minimale minimum :

E[(Z*(xQ) - Z(xQ))2] (2)

La première condition conduit à la relation :

n 2 XL fVi) " f

1^) 1-1 k i-1

- 72 -

Cette relation implique que l'erreur d'estimation n 2 XL Z(Xi) - Z(xQ) i-1

est un accroissement généralisé d'ordre k. Or, pour tout accroissement géné­ralisé d'ordre k, il existe une fonction K(h) (= covariance généralisée) telle que l'on puisse écrire :

Var [ S X, Z(Xj_)] - S S XL K, k^-x.) i i j J

Compte tenu de cette dernière relation, la variance de l'erreur d'estimation peut s'écrire :

Var [S XL Z(-x.±) - Z(xQ)] - S S XL X, KCx^x,) - 2 S A£ K ^ - x ) - K (0) i i j J J i

La variance minimale est obtenue en annulant les dérivés partielles de cette forme quadratique sous la contrainte (1). En introduisant k multiplica­teur de Lagrange T, on aboutit au système suivant :

k S Ai K(x1-xi) - K(Xi-x0) + E IVf^Xj) i-l,2,...n j-1 J J 1-1

n 2 X, f^x,) - fX(x ) - 1, ... k

j-1

Conclusions

La résolution de ce système nécessite de connaître :

- d'une part l'ordre K de la dérive, - d'autre part la covariance généralisée K(h).

Le calcul de l'ordre de la dérive et l'identification de la covariance généralisée peuvent être réalisés automatiquement par le programme BLUEPACK.

Remarque

Lorsque k-0, l'hypothèse de stationnarité des accroissements de la variable à l'ordre 2 suffit pour résoudre les problèmes d'inférence et la covariance K(h) peut être remplacée par le variogramme 7 (h).

- 73 -

Le système de krigeage se simplifie et devient :

n E Ai 7(xi-xi) - 7(x rx 0) + T j-1

n

J-1

et la variance, minimale, de l'erreur d'estimation s'écrit :

CTK " S Ai T<xi-xo) + r

i-1

- 75 -

A N N E X E 2

EXEMPLE DE FICHIERS PARAMETRES (fichiers témoins) DU LOGICIEL BLUEPACK

- 77 -

Tableau A 2.1 EXEMPLE DE FICHIER TEMOIN. Cas d'une reconnaissance automatique de la structure et d'un calcul du critère de THOMAS

DAT

FILE LIST VAR INSEFG IREAD NPREC NSKIP DLM REW FMT TYPCOD MONVAL

REC

FLUSER KFTRY NONUG LAZY NF (1) NF (2) NF (3)

OPT

DOMAIN OPTION DOMAIN OPTION DOMAIN

GAM

LAG KMAX NDIR ISKIP KTREND TOLDIS THETAO DTHETA DIROUT FILE

END

S

= « = = S

= = -= s

s

= = = = = s

=

= s

= =//

= = = s

= = = = = =

XY2 N

END Y

11

1 1 2

(3F15.0) 0

-0.100000E+31

N

N N

3

6 3 1

0 10 0 20

0.500000 60 4 1 1

0.500000 O.O0OO00E+0O

45.0000 0 12

CLIQUE DONNEES

unité logique du fichier de données liste des variables à traiter : X, Y, fonction

données formattées

nombre de lignes titre à sauter

format des données à lire

code de valeur absente

CLiqUE RECONNAISSANCE AUTOMATIQUE DE LA STRUCTURE

nombre de fonctions testées pour calculer la dérive

première fonction testée : dérive quadratique deuxième fonction testée : dérive linéaire troisième fonction testée : pas de dérive

CLIQUE OPTIONS DE CALCUL

critère de Thomas sur les valeurs et écart-type calculés

CLIQUE CALCUL DU VARIOGRAMME EXPERIMENTAL

pas de calcul des classes des variogrammes nombre maxi de classes nombre de directions de calcul des variogrammes

unité logique du fichier résultat (variogrammes)

CLIQUE FIN

- 78 -

Tableau A 2.2 EXEMPLE DE FICHIER TEMOIN (krigeage par méthode F.A.I.K.). Prise en compte d'un plan de dérive et des paramètres issus d'une reconnaissance automatique de la structure (interpolation d'un champ piézométrique)

DAT

FILE LIST VAR INSELF IREAD NPREC NSKIP DLM REW FMT TYPCOD MONVAL

GRI

NX NY DX DY XO THETA

NEI

UNIQUE

STR

FLPART NBFL

COPART NUGGET LINEAR SPLINE CUBIC TYPE (1)

OPT

DOMAIN OPTION DOMAIN OPTION DOMAIN ! ! ! END OF

S

= = s

-s

s

•

= = =

_ _

Il II

II

=

»

= s

= B

= = B

=

•

--

=

XYZ N

END Y

11

1 1 2

(3F15.0)

-

Y

N

N

//

// PATCH

0 0.100000E+31

101 71

0.500000 0.500000 680.000

0.000000E+00

3

O.000000E+00 O.OOOOOOE+00

4.04000 O.OOOOOOE+00

1 1 1

11

FROM UNIT 12

CLIQUE DONNEES

CLIQUE DE DEFINITION DE LA GRILLE D'INTERPOLATION

nombre de colonnes (noeuds des mailles) ... nombre de lignes (noeuds des mailles) ... taille des mailles (en unité des coordonnées)

... coordonnée du premier noeud en bas à gauche .. angle de rotation de la grille

CLIQUE DE DEFINITION DES PARAMETRES DE VOISINAGE

... voisinage unique (pas de voisinages glissants)

CLIQUE DE DEFINITION DES PARAMETRES DE STRUCTURE

type de dérive testée : 3 linéaire, 6 quadratiques, 0 pas

paramètres de la covarlance généralisée à prendre en compte (résultats d'un krigeage précédent avec l'option REC)

CLIQUE OPTIONS DE CALCUL

krigeage dans la grille régulière ... ci-dessus définie

- 79 -

T a b l e a u 2 . 2 . (suite)

EDI CLIQUE EDITION DES RESULTATS

DOMAIN = 1 sous forme de grille régulière OPTION = 1 FACTOR = 0.OOOOOOE+00 facteur d'échelle TITLE = PIEZO IFICH = Y NOMFILS = KRIGE01.GRD nom du fichier grille résultat IED = N NXDEB = 1 NXFIN = 101 définition de la fenêtre à l'Intérieur de laquelle NYDEB = 1 seront fournis les résultats NYFIN = 71 IBFF = N IOPT = Y NOPTSUP = 1 NOPTS = 11

END CLIQUE FIN

- 80 -

Tableau A 2.3 EXEMPLE DE FICHIER TEMOIN (krigeage des résidus) (krigeage avec un plan de dérive et une loi sphérique calée sur le variogramme expérimental des résidus (interpolation d'un champ piézométrique)

DAT

FILE LIST VAR

INSELF IREAD NPREC NSKIP DLM REW FMT TYPCOD MONVAL

GRI

NX NY DX DY XO Y0 THETA

NEI

UNIQUE

STR

FLPART NBFL COPART NUGGET LINEAR SPLINE CUBIC TYPE (1) RANGE (1) SILL (1) TYPE (2) ANGLE RATIO

= * = = s

= = = = = =

s

= -= = a

=

=

= = -= = = = = = m

= -=

XYZ N

END Y

11

1 1 2

(3F15.0)

Y

N

N

//

0 -0.100000E+31

101 71

0.500000 0.500000 680.000 120.000

0.0000000E+00

3

0.000000E+00 O.OO0000E+OO O.OOOOOOE+00 O.OOOOOOE+OO

1 9.00000 90.0000

O.00OO00E+0O 1.0000000

CLIQUE DONNEES

CLIQUE DE DEFINITION DE LA GRILLE D'INTERPOLATION

CLIQUE DE DEFINITION DES PARAMETRES DE VOISINAGE

CLIQUE DE DEFINITION DES PARAMETRES DE STRUCTURE

type de dérive testée : 3 linéaire, 6 quadratique, 0 pas

pas de paramètres de covarlance généralisée à prendre en compte

loi calée sur le variogramme expérimental des résidus : loi sphérique (type 1) de palier 90 m et de portée 9 km

- 81 -

Tableau 2.3 (suite)

OPT

DOMAIN OPTION DOMAIN OPTION DOMAIN

EDI

DOMAIN OPTION FACTOR TITLE IFICH NOMFILS IED NXDEB NXFIN NYDEB NYFIN IBFF IOPT NOPTSUP NOPTS

END

s

= = B

=

= = = = = = = = = = = = = = =

/ /

1 1 1 11

1 1

O.O0O000E+OO

PIEZO Y KRIGE04.GRD N

N Y

1 101 1 71

1 11

CLIQUE OPTIONS DE CALCUL

krlgeage dans la grille régulière ci-dessus définie

CLIQUE EDITION DES RESULTATS

CLIQUE FIN

R 30 177 EAU 4S 89