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United Nations Educational Scientific and Cultural Organizationand

International Atomic Energy Agency

THE ABDUS SALAM INTERNATIONAL CENTRE FOR THEORETICAL PHYSICS

QUASI-BIGEBRES DE LIE ET ALGEBRESQUASI-BATALIN-VILKOVISKY DIFFERENTIELLES

Momo Bangoura1

Departement de Mathematiques, Universite de Conakry,BP 1147, Conakry, Guinee2

andThe Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy.

Abstract

Lie quasi-bialgebras (also called Jacobian quasi-bialgebras) are generalisations of Lie bialge-

bras, introduced by Drinfeld, while differential quasi-Batalin-Vilkovisky algebras are generalisa-

tions of differential Batalin-Vilkovisky algebras, introduced by Getzler. We show that differential

quasi-Batalin-Vilkovisky algebras with vanishing Laplacian are UFoo-algebras. We generalize a

result of Getzler by establishing a one-to-one correspondence between Lie quasi-bialgebra struc-

tures (F, /x, γ, φ) on a finite-dimensional vector space F such that d^cf) e Imγ, and differential

quasi-Batalin-Vilkovisky structures on AJ7*, the exterior algebra of the dual of F.

MIRAMARE - TRIESTE

November 1999

1Regular Associate of the Abdus Salam ICTP. E-mail: bangm@ictp.trieste.it2Permanent address.

Resume

Les quasi-bigebres de Lie (appelees aussi quasi-bigebres jacobiennes) sont des generalisations

introduites par Drinfeld des bigebres de Lie, tandis que les algebres quasi-Batalin-Vilkovisky

differentielles sont des generalisations introduites par Getzler des algebres de Batalin-Vilkovisky

differentielles. Nous montrons que les algebres quasi-Batalin-Vilkovisky a laplacien nul sont des

i3Foo-algebres. Nous generalisons un resultat de Getzler en etablissant une correspondance bijec-

tive entre les structures de quasi-bigebre de Lie (F, //, γ, φ) sur un espace vectoriel F de dimension

finie telles que d^cf) e Imγ, et les structures d'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur

AJ7*, l'algebre exterieure du dual de F.

1 Introduction

Nous donnons un exemple d'algebre de Batalin-Vilkovisky a homotopie pres et nous generalisons

un resultat de Getzler [7] qui etablit une correspondance bijective entre les structures de bigebre

de Lie sur un espace vectoriel F de dimension finie, muni d'un co-caractere, et les structures

d'algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur I\T*.

Les quasi-bigebres de Lie [6] ou quasi-bigebres jacobiennes ([2], [10]) sont des generalisations

des bigebres de Lie, introduites par Drinfeld comme etant les limites classiques des algebres

quasi-Hopf; elles sont caracterisees par l'existence d'un defaut d'identite co-Jacobi pour le co-

crochet, qui est en fait le cobord d'un certain element de f\3 F, ou F est l'espace vectoriel sur

lequel est definie la structure de quasi-bigebre de Lie, alors que pour les bigebres de Lie, ce defaut

est nul. Dans la section 3, nous rappelons la definition et les proprietes des quasi-bigebres de

Lie et a partir d'une structure de quasi-bigebre de Lie donnee (F, /x,7), nous definissons trois

operateurs d^, 9 7 et iφ sur f\T* qui sont lies par un ensemble de relations, consequences des

axiomes d'une structure de quasi-bigebre de Lie.

Les algebres quasi-Batalin-Vilkovisky differentielles sont des generalisations introduites par

Getzler des algebres de Batalin-Vilkovisky differentielles. Une structure d'algebre quasi-Batalin-

Vilkovisky differentielle est caracterisee par la donnee d'une algebre commutative gradueeA mu-

nie de trois operateurs differentiels A, δ, Φ verifiant un ensemble de relations (voir [7] et section

4). Dans la section 4, nous montrons qu'a toute algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle

correspond une structure d'algebre BVoo sur le noyau de son operateur laplacien.

La section 5 est consacree a la demonstration du resultat qui etablit le lien entre les structures

de quasi-bigebre de Lie et les structures d'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle. En

consequence nous remarquons qu'outre la structure standard d'algebre de Batalin-Vilkovisky

differentielle associee a une bigebre de Lie (F, /x,7) [11], chaque co-caractere de la co-algebre de

Lie (F, γ) permet de definir une nouvelle structure d'algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle.

2 Preliminaires

Dans cette section, nous rappelons certaines notions standard utiles pour la suite.

Soit G = (F, fi) une algebre de Lie sur le corps K, suppose egal a R ou C, ou fi : /\2 J7 F> J7

est le crochet d'algebre de Lie sur l'espace vectoriel F.

Definition 2.1 Le crochet de Schouten algebrique ([10], [13], [15]) est la structure d'algebre de

Lie graduee, [, Y, sur Valgebre exterieure, fyj7 = 0 p > _ i A P + 1 ^ de F qui :

(i) s'annule si l'un des arguments est dans K,

(ii) etend le crochet de Lie [i, et

(iii) satisfait la regie de Leibniz graduee

[X, Y A Z f = [X, Y]flAZ+ ( - l ) P ( " + 1 ) r A [X, Z]

pour X G AP + 1 F,Ye /\q+l F,Z

Dans le cas ou r G J7 F , le crochet de Schouten algebrique de r avec lui-meme est l'element

[r, r]^ G J7 <g> J7 <g> J7 telle que pour £,,r],( eJ7*,

[r, r-ne, v, C) =< C, r(ad%ri - ad%£) - /x(r(£), r(r?)) >,

ou r considere comme application lineaire de J7* dans F est defini par < r(ξ),η > = r( <g> η)

p o u r £,r) G J7*, e t < ad*/^y >= - < £,fi(x,y) p o u r x,y £ J7, {; £ J7*.

En particulier, si a G A2 F , alors [a, a]M est l'element de A3 F tel que pour ξ,η,ζ G J7*,

ou / designe la somme sur les permutations circulaires des elements ξ, η, ζ; ou dans la notation

en termes de produits tensoriels triples,

[a, a]'" = -2([ai2, a1 3] + [a12, a2 3] + [a13, a 2 3]).

Si a = J2i ai ® bi, alors par definition,

J ^ i ® 1 ® bi, a 2 3 =

H ,aj) (gibi® bj, [a12, a2 3] = a a» c

[ai3, a2 3] = ^2 en <8> (ij <8> //(fcj, &.,•).

Remarquons qu'on peut definir un tel crochet sur fyj7 pour tout pi G Hom(/\2 F, F). L'anti-

commutativite graduee et la regie de Leibniz graduee restent en vigueur, mais en general le

crochet [, ]M ne verifie pas l'identite de Jacobi graduee et il la verifie si et seulement si {F,pi) est

une algebre de Lie.

Soit G = (F, pi) une algebre de Lie et soit M un G-module, c'est-a-dire que G agit sur

M. Par exemple G agit sur elle-meme (plus generalement sur son algebre tensorielle) par la

representation adjointe.

Definition 2.2 L'espace vectoriel des applications k-lineaires antisymetriques sur Q a valeurs

dans M est appele l'espace des k-cochaines de Q a valeurs dans M.

Designons par Ck(G, M), l'espace vectoriel des k-cochaines de Q a valeurs dans M et C(G, M) =

Definition 2.3 L'operateur cobord de Chevalley-Eilenberg de Q a valeurs dans M, note

C(G,M) —>• C(G,M), est l'application lineaire de degre 1 definie par

pour α G Ck(G,M), xi G F,i = 0,1,...k; xi.a designant l’action de Xi G Q sur a G M et

indiquant l'omission de l'argument xi.

Remarque 2.1 On peut definir un tel operateur pour tout fi G Hom(/\2 F,F). En general

5f / 0 et 5f = 0 si et seulement si (F, jj) est une algebre de Lie.

Definition 2.4 Une k-cochaine α est appele un k-cocycle si 5^a = 0. Une k-cochaine α est

appele un k-cobord si il existe une (k — 1)-cochaine β, telle que α = 5^(3.

Definition 2.5 Un operateur differentiel d'ordre zero sur une algebre commutative graduee A

est un operateur qui commute avec les elements de A, ces derniers agissant par multiplication.

Un operateur differentiel d'ordre n sur A, n > 1, est un operateur dont le commutateur avec les

elements de A est un operateur differentiel d'ordre n — 1. Par ailleurs une derivation d'ordre 1 de

A est une derivation dans le sens usuel, alors qu'une derivation d'odre n de A est un operateur

L tel que [L,a] — La est une derivation d'odre n — 1 pour tout a e i

Ainsi une derivation du second ordre sur A est un operateur A satisfaisant la relation

A(abc) =

-(Aa)bc - (-l)lAIHa(A6)c - ( -

pour tous a,b,c e A, ou |A| et |a| designent respectivement les degres de A et a.

Definition 2.6 On dit q'un operateur differentiel A de degre —1 sur une algebre commutative

graduee A engendre un crochet [,]A sur A, si pour tous a,b e A,

[a, b]A = (- l) | a | (A(a6) - (Aa)6 - (- l) | a | aA6).

Dans [15] il est etabli que Poperateur transpose de Poperateur de Chevalley-Eilenberg engendre

le crochet de Schouten algebrique.

Soit A Palgebre exterieure f\!F*, ou F est un espace vectoriel de dimension finie sur K = R

ou C, et T* le dual de F. Pour une base donnee (ei) de F de base duale (e l), designons par ai

Poperateur de degre —1 consistant en la contraction avec ei, et par bi l'operation de multiplication

exterieure par e\ Ces operateurs satisfont les relations de commutation canoniques,

On a le resultat suivant [7] :

Proposition 2.1 Un operateur sur A = j\T* est un operateur differentiel d'ordre n, s'il s'ecrit

comme une somme de monomes, chacun desquels etant au plus d'ordre n en les operateurs (ai).

Le crochet de dualite entre f\F et j\T* etendant celui entre F et T* est defini par

< 6 A {2 A ... A £ m , X\[\X2[\ ••• A xn >= 5^det(< £*, Xj >)

3 Quasi-bigebres de Lie

Les quasi-bigebres de Lie [6] (appelees quasi-bigebres jacobiennes dans ([2],[10])) sont les limites

classiques des algebres quasi-Hopf, introduites par Drinfeld. Plus precisement

Definition 3.1 Un quadruplet (F,/x, γ, φ) est une quasi-bigebre de Lie si et seulement si F est

un espace vectoriel muni d'un crochet pi e Hom(/\2 F,F), d'un co-crochet γ e Hom(F, f\2 F)

et d'un element <f> e 3 F tels que

3.1. G = (F, jj) est une algebre de Lie,

3.2. γ est un 1-cocycle de Valgebre de Lie G = (J7,^), a valeurs dans f\2 F pour l’action adjointe

definie par pi,

3.3. | [ 7 , 7 ] W B + V/> = °,

3.4. 5^ = 0,

oil [,}^r*R designe le crochet de Nijenhuis-Richardson [19] des formes sur fyj7* a valeurs dans

J7*, 5^ (resp. δγ) est I'operateur cobord associe a Vaction adjointe definie par [i (resp. γ).

Remarque 3.1 Dans 3.3, φ : K —> 3 F est considere comme une 0—forme sur J7 a valeurs

dans /\3 F tandis que dans 3.4, φ : /\3 F —>• K est considere comme une 3—forme sur J7* a

valeurs dans K.

Remarque 3.2 Dans le cas ou φ = 0, le triplet (F, /x, γ) satisfaisant les conditions ci-dessus,

n'est rien d'autre qu'une bigebre de Lie.

Dans toute la suite, nous supposerons que l'espace vectoriel F est de dimension finie sur K,

et que K = R ou C. Ainsi, en termes de grand crochet [, ] ([2], [9], [10], [17]), une quasi-bigebre

de Lie peut etre definie de la maniere suivante :

Definition 3.2 Un quadruplet (J7, fi, 7, (/>) avec fi £ /\2 J7* ® J7, j £ J7* ® /\2 J7, (f) £ /\3 J7, est

une quasi-bigebre de Lie si et seulement si [pi + γ + φ, /JL + γ + φ] = 0 .

En tenant compte des bidegres, la condition [pi + γ + φ, /x + γ + φ] = 0 est equivalente aux

suivantes :

3.5. [/x,/x]=0,

3.6. [/x,7]=0,

3.7. 21[γ,γ] + ^ , 0 ] = O ,

3.8. [γ,φ] = 0 .

Remarque 3.3 La denomination "quasi-bigebre jacobienne" utilisee dans [1], [2], [10] se justifie

par le fait que c'est le crochet qui verifie Pidentite de Jacobi, alors que le co-crochet ne verifie pas

6

Pidentite co-Jacobi. Ainsi, contrairement a la notion de bigebre de Lie, la notion de quasi-bigebre

jacobienne n'est pas auto-duale; l'objet dual est appele une quasi-bigebre co-jacobienne.

La donnee d'une structure de quasi-bigebre de Lie sur F determine une structure d'algebre

de Lie [,]D sur l'espace vectoriel D = J F 0 T * en posant:

[x,y]D = n(x,y),

pour tous x, y G F, ξ, η G J7*.

L'identite de Jacobi pour le crochet [,]D sur D est equivalente aux conditions definissant la

structure de quasi-bigebre de Lie sur F.

De fagon plus precise, on montre dans [10] que les structures de quasi- bigebre de Lie sur F

sont en correspondance biunivoque avec les structures d'algebre de Lie sur D = F Q) J7* laissant

invariant le produit scalaire canonique, dont F est une sous-algebre de Lie.

Plus exactement, les conditions definissant une quasi-bigebre de Lie s'ecrivent sous la forme

3.9. §/i(ii(x,y),z)=0, Vx^^eJ7,

3.10. J(JJL(X, y)) = (ad£ (8) 1 + 1 eg) ad£)j(y) - (ad$ eg) 1 + 1 eg) ad$)j(x), Vaj, y G F,

ou de faqon equivalente,

(3.10)'. /x(7({, rj)) = (adj eg) 1 + 1 eg) adj)[i(r)) - (ad% eg) 1 + 1 eg) ad^)fi(O, V£, rj G J7*,

3.11. ;^

3.12.

o u ad^.y = n(x,y) p o u r x,y G F, adγξη = γ ( ξ , η ) p o u r ξ,η G J7*, § d e s i g n e l a s o m m e s u r

les p e r m u t a t i o n s c i r c u l a i r e s d e s e l e m e n t s x,y,z G F, o u ξ,η, ζ G J7*, φ : f\2 F —>• J7 a v e c <

<f>(£, *]),(>= <f>(£, V, (), < ad*/£,y >= - < £,[i(x,y) > pour x,y G J7,£ G J7* et < ad^x, rj >=

- < x, γ(ξ, η) > pour x G F, ξ, η G J7*.

On a les equivalences suivantes :

3.9 traduit le fait que /x est un crochet de Lie sur F.

3.10 et (3.10)' sont equivalentes et traduisent la condition de cocycle 5^ = 0,

3.11 traduit Pequation ^ [ 7 , 7 ] ^ + 6^ = 0,

3.12 traduit Pequation δγφ = 0.

Rappelons a present la notion de couple de Manin due a Drinfeld [6].

Definition 3.3 Un couple de Manin consiste en un couple (D,F) oil D est une algebre de Lie

munie d'un produit scalaire invariant non degenere et F une sous-algebre de Lie isotrope de

dimension maximale de D.

L'etude des quasi-bigebres de Lie est rendue facile grace au twist [6], (appele en frangais mod-

ification [1]), qui consiste a construire de nouvelles structures de quasi-bigebre de Lie sur T a

partir d'une deja connue; ce qui permet de les etudier en termes de classes d'equivalence ([6],

[10]), en montrant que les classes d'equivalence de quasi-bigebres de Lie modulo modification

sont en correspondance biunivoque avec les couples de Manin.

Par le choix d'une base de F et de sa base duale dans J7*, les conditions definissant une

quasi-bigebre de Lie s'expriment en fonction des composantes cijk, fkij , et φijk de pi, γ et φ

respectivement, comme suit :

6.16. CijCmk + cjkmclmi + ckimclmj = 0,

^• i4- CmkJl ~CmlJk ~ cmkf +' CmU'k — CklJmi

3.15. fmijflmk

3.16. f^m

Pour une quasi-bigebre de Lie donnee (F, pi, γ, φ), nous pouvons definir sur A -T7* les operateurs

suivants :A • A " " t * * , A A?—I— 1 -x**

a/j. • A •> ~^ l\ •> 1

o>7 : A f c ^ * ^ Kk~lF*,

V : A f c ^ * ^ A f c " 3 ^ * ,ou

(rfu£)(^-i A ... A Xu+i) = y • •(—l)l~'~^£(u(a;j 3 7) A s i A ... t\ Xi A ... A a% A ... A ^Ct+i)

A ... A &) = E t < J (- i) t + J 7(6,60 A 6 A - A 6 A - A £j A - A 6 ,

^1 A - A ^fc-3) =

pour £ G /\k J7*, £; G J "*, i = l,...,fc, Xi £ J7, i = l,...,k + 1.

L'operateur dM est l'operateur de Chevalley-Eilenberg (a coefficients triviaux) associe a pi, d1 est

le transpose de l'operateur dγ associe a γ (γ ne definissant pas une structure d'algebre de Lie

sur J7*). Pour plus de details sur les proprietes de l'operateur de Chevalley-Eilenberg et de son

operateur transpose, voir par exemple ([11], [15], [16]).

On a le resultat suivant :

Theoreme 3.1 Les operateurs d^, d1 et iφ satisfont les proprietes suivantes :

3.17. d^ est une derivation de degre 1 de (fyJ7*, A) telle que d2^ = 0,

3.18. d-( est une derivation du second ordre de (hJ7*, A) de degre —1,

3.19. I'operateur d^dj + 97dM est une derivation de (A-?7*, A) de degre 0,

3.20. iφ est un operateur differentiel d'ordre 3 de (A-?7*, A) de de^re —3 tel que iφ2 = 0

3.21. 9^ + d M ^ + i^d^ - id^ = 0,

3.22. d-ficf, + i^d-y = 0,

oil d^ est Voperateur transpose de d^, defini sur

Demonstration : Les proprietes 3.17, 3.18 et 3.19 sont standard et se demontrent exactement

comme dans le cas des bigebres de Lie (voir par exemple ([14], [16]). On voit que 9 7 est une

derivation du second ordre de (fyJ7*, A) en utilisant le fait que d1 engendre le crochet [,]γ et la

regie de Leibniz graduee pour ce crochet. Prouvons 3.20, 3.21 et 3.22.

3.20. En fait iφ est par definition un operateur differentiel d'ordre 3 de degre —3 et comme φ

est de degre impair, on a i2φ = 0.

3.21. Par definition de d γ et d'apres la condition (3.7) de la definition d'une quasi-bigebre de

Lie, on a :

Mais, I'operateur d'homologie <9M engendrant le crochet de Schouten algebrique [, ]^, on a :

d^AX) = (d^)AX-^A(d^X) - [<j>,XY, VIeAf, c'est-a-dire [<j>,Xf = ( i ^ -d^ -

i*(f)d^)(X),\IX e A ^ ; d'ou d 7 = i*d ^ — d^ — i^d^. Par transposition, on obtient

γ2 + d + i φ + idfi4> = 0.

3.22. Comme dγ est une derivation de (A-?7) A), on a

dy((t)AX) = (dy(t>) AX-(/)A(dyX), V I e / \ 5 .

Mais par hypothese δγφ = 0, ce qui est equivalent a d γ φ = 0; d'ou d 7i^ + i^d7 = 0. Par

transposition, on obtient

d~(i4> + i^d-y = 0. •

R e m a r q u e 3.4 Pour une bigebre de Lie (F,/x,γ), I'operateur L = d7<9M + <9Md7 est appele le

laplacien de la bigebre de Lie (F,/x,γ) ([12], [16]), et I'operateur transpose C* = dM97 + 97dM

est le laplacien de la bigebre de Lie duale (^,7,/x).

Proposition 3.1 Pour i e f , on a :

Demonstration. En effet ce resultat se demontre par un calcul direct. Pour les details voir

par exemple la proposition 1 de [11]. •

9

Exemple 3.1 Toute bigebre de Lie est une quasi-bigebre de Lie; il suffit de prendre φ = 0.

Exemple 3.2 Soit (F, /x) une algebre de Lie. Alors tout choix d'un element r £/\ 2 j f definit

une structure de quasi-bigebre de Lie sur F en posant

7 = V> <t> = -7^,*Y-

Une telle structure est dite strictement exacte ([1], [2]).

Exemple 3.3 Soit (F, /x) une algebre de Lie. Alors tout element r e J7®J7 de partie symetrique

acP-invariante definit une structure de quasi-bigebre de Lie sur F en posant

7 = V , a,φ = -\[r, rf = -i([a, a]" + [s, < ) ,

ou a (resp. s) est la partie antisymetrique (resp. symetrique) de r. Une telle structure est dite

quasitriangulaire [1], [2].

Exemple 3.4 Soit (D, F) un couple de Manin; alors tout choix d'un sous-espace supplemental

isotrope de F dans D definit une structure de quasi-bigebre de Lie sur F [6].

4 Algebres quasi-Batalin-Vilkovisky differentielles

Les algebres quasi-Batalin-Vilkovisky differentielles sont des generalisations introduites par Get-

zler des algebres de Batalin-Vilkovisky differentielles [7] en vue d'applications a la theorie con-

forme des champs topologique.

Definition 4.1 Une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle est un quadruplet (A, A, δ, Φ)

ou A est une algebre commutative graduee munie d'une derivation du second ordre A de degre

— 1, d'une derivation δ de degre 1 et d'un operateur differentiel Φ d'ordre 3 de degre —3 tels que

4.1. δ2 = 0,

4.2. δA + A5 est un operateur differentiel du premier ordre,

4.3. A 2 + δ Φ + Φδ = 0,

4.4. A $ + $A = Φ2 = 0.

Remarque 4.1 Dans le cas ou $ = 0, le triplet (A, A, δ) satisfaisant les conditions 4.1,4.2

et 4.3 ci-dessus, est une algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle ([7], [11]); le couple (A, A)

satisfaisant la condition A 2 = 0 est une algebre de Batalin-Vilkovisky.

Tenant compte des degres des differents operateurs, une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky

peut etre definie de maniere equivalente en termes de commutateurs gradues d'operateurs comme

suit :

Proposition 4.1 Un quadruplet (A, A, δ,Φ) ou A est une algebre commutative graduee, A une

derivation du second ordre de degre —ldeA,5 une derivation de degre 1 de A etΦ un operateur

10

differentiel d'ordre 3 de degre -3 de A, est une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle si

et seulement si

4.5. [δ,δ] = 0,

4.6. [δ, A] est un operateur differentiel du premier ordre,

4.7. I [ A , A ] + [δ,Φ] = 0 ,

4.8. [A,$] = [Φ,Φ] = 0 .

Definition 4.2 L'operateur L = [δ, A] est appele le laplacien de I'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky

differentielle (A, A, δ,Φ).

On a le resultat suivant :

Proposition 4.2 Dans une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle (A, A,δ,Φ), le lapla-

cien L commute a la fois avec les operateurs A, δ et Φ, i.e.,

Demonstration. En effet, de 4.5 et 4.7, on a :

[ L , A ] = [[δ, A], A] = - [ [ A , A], δ] = [[δ,Φ],δ] = -[[5,5], Φ ] = 0 .

De meme, [L, δ] = 0 est une consequence de 4.5. En effet

[L, δ] = [[δ, A], 5} =-[[5,δ], A] =0.

Enfin, [L, Φ] = 0 est une consequence de 4.7 et 4.8. En effet

[L,Φ] = [[δ, A],$] = -[[A, Φ],δ] + i[[A, A], A] = 0. n

Ainsi, les trois operateurs A, δ et Φ agissent sur KerL et les relations definissant la structure

d'algebre quasi- Batalin-Vilkovisky differentielle sur A restent en vigueur sur KerL. l'operateur

L etant une derivation sur A, KerL est stable pour le produit defini sur A et par consequent,

KerL est une algebre commutative graduee dont la structure est induite par celle de A. Dans

le cas ou $ = 0, le triplet (KerL, A, δ) est une algebre de Gerstenhaber-Batalin-Vilkovisky

differentielle (DGBV-algebra) au sens de ([3], [4], [8], [18]).

Nous rappelons maintenant la definition suivante d'une -BFoo-algebre commutative donnee

par Kravchenko [7]:

Definition 4.3 Soit A = 0 j Ai un espace vectoriel Z-gradue. Une application lineaire D : A —>

A est dite impaire, si D : Ai —> k Ai+2k+1, k G Z pour chaque i.

11

Definition 4.4 Un triplet (A,d,D) est une BVoo-algebre commutative si

4.9. A est une algebre commutative graduee,

4.10. d : A —> A est une differentielle de degre 1 de A,

4.11. D : A —>• A est un operateur differentiel impair de carre nul, tel que le degre de D — d est

negatif.

On a le resultat suivant :

Theoreme 4.1 Soit (A, A, δ, Φ) une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle; soit H(KerL, δ)

la cohomologie de KerL. Alors

4-12. Voperateur A induit sur H(KerL,δ) une structure d'algebre de Batalin-Vilkovisky,

4-13. Voperateur D = δ + A + Φ induit sur KerL une structure de BV^-algebre commutative.

Demonst ra t ion. Demontrons 4.12. En effet sur KerL, on a δ A + A5 = 0; cela signifie que A

agit sur H(KerL,δ). Par ailleurs, d'apres 4.3, A 2 = —(5$+ Φδ), ce qui signifie que sur H(A,δ),

en particulier sur H(KerL,δ), A 2 = 0. Par consequent (H(KerL,5),A) est une algebre de

Batalin-Vilkovisky.

Demontrons 4.13. KerL etant stable par les operateurs A, δ et Φ, il s'ensuit que Poperateur

D = δ + A + Φ agit sur KerL. Il est clair que Poperateur D = δ + A + Φ est impair, car δ

est de degre 1, A est de degre —1 et Φ est de degre —3; les memes hypotheses montrent que

Poperateur D — δ est de degre negatif. D'autre part,

D2 = \[5,8\ + [δ, A] + (i[A, A] + [δ,Φ]) + ^ [Φ,Φ].

Des conditions 4.5, 4.7 et 4.8, et du fait que [δ, A] = 0 sur KerL, on obtient D2 = 0 sur KerL.

Par consequent (KerL,δ,D) est une -BFoo-algebre commutative avec D = ^ZnDn, ou D1 = δ,

D2 = A, D3 = Φ et Dn = 0 pour n > 4. •

Nous venons ainsi de montrer que si (A, A, δ, Φ) est unimodulaire, c'est-a-dire L = 0,

alors A est munie d'une structure de -BFoo-algebre et (H(A,5),A) est une algebre de Batalin-

Vilkovisky. Dans ces conditions, tenant compte des degres des commutateurs gradues des

differents operateurs, on voit que les conditions 4.5-4.8 sont equivalentes a la nullite du carre de

Poperateur δ + A + Φ.

Dans le cas general, H(KerL,δ) est munie d'une structure d'algebre de Gerstenhaber "ex-

acte" ([11], [20]) dont le crochet de Lie est defini par

[a, b]A = (-l)H(A(a6) - (Aa)6 - (- l ) l a

pour a, b e H(KerL, δ).

Soit (A, A, δ, Φ) une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle. Associons a Poperateur

D = δ + A + Φ les applications lineaires suivantes ΦDn : A™ KerL —>• KerL definies par

D1(a) = D(a),

12

pour a, a1,..., an+1 e KerL.

Posons

On a le resultat suivant:

Proposition 4.3 Les applications lineaires

proprietes suivantes :

4.14. (Φ1D)2 = 0 ,

4.15. ΦD1 est une derivation du crochet [,]D,

4.16. Φ1

DΦ2D + Φ2

D

Φ

D1 = 0,

4.17. (Φ2

D)2 + ΦD1Φ3

D + ΦD3Φ1

D = 0,

- (Da)b - (- , Va,6 e

e t l e crochet [,]D ci-dessus definis satisfont les

^.15. $^ = 0, pourn > 4.

Demonstration. D'apres le theoreme 4.1, D est un operateur impair de carre nul sur KerL.

Ainsi, la propriete 4.14 est evidente. Montrons a present la propriete 4.15. En effet, pour

a, b G KerL, on a :

) - (Da)b - (-l)\a\a(Db)) = -(-l)\a\D((Da)b) - D(a(Db))-(-lp((-l)lal+lDlD(a)D(b) + (-l)\a\+\D\[Da,b]D)-(D(a)D(b) + (-l)\a\[a,Db]D) = [Da,b]D + (-l)\a\+1[a,Db]D

d'ou 4.15.

Demontrons 4.16. En effet, pour a, b G KerL, on a :

)(a, b) = D(D(ab) - (Da)b - (-1)^a(Db)) = -D((Da)b) - {-l)\a\D{a{Db))1D)(a,b) = ΦD2(Da,b) + (-l)\a\&D(a,Db)

= D((Da)b) - (-l)\a\+\D\(Da)(Db) + (-l)HJD(a(JD6)) - (-l)

d'ou $ i , $ | , + <S>2

D$l

D = 0.

Les proprietes 4.17 et 4.18 se demontrent aussi par un calcul direct mais long; en fait elles

decoulent de la proposition 2 de [8], tandis que la propriete 4.19 est une consequence du fait que

D est par definition un operateur au plus d'ordre 3, car δ est d'ordre 1, A est du second ordre

et Φ est d'ordre 3. •

Remarque 4.2 La propriete 4.17 exprime le fait que le crochet [,]D ne verifie pas Pidentite

de Jacobi graduee et ne definit donc pas une structure d'algebre de Lie graduee sur KerL;

toutefois, il definit une structure d'algebre de Lie sur H(KerL,D). Par ailleurs, les proprietes

13

4.15 et 4.16 sont equivalentes. En effet Φ1

DΦ2

D + ΦD2ΦD1 = 0 si et seulement si

a)) A b + ( " l ) H a A $i,(a)), Va, b e KerL i.e.,

_ (-l)2l-l [a, Db]D = (- l )H[Da, b]D - [a,

d'oii 1D[a,b]D = [ΦD1(a),b]D + (- l)

Soit A = f\ T*, ou F est un espace vectoriel de dimension finie. Soient A, δ, Φ respectivement

une derivation du second ordre de degre —1, une derivation de degre 1 et un operateur d'ordre

3 de degre —3, de A. Alors, d'apres ce qui precede, ces trois operateurs s'expriment en fonction

des operateurs ai et bi comme suit :

A = fkijaiajbk +piai, δ = ckijbibjak, Φ = 1φijkaiajak,

avec

R e m a r q u e 4.3 Les coefficients 4 , fkij ,φijk ci-dessus definis sont les doubles de ceux definis

dans [6].

On a le resultat suivant :

Proposition 4.4 Pour A, δ,Φ definis ci-dessus, on a :

4.19. δ2 = 0 si et seulement si les coefficients ckij sont les constantes de structure d'une algebre

de Lie, i.e., satisfont la relation 3.13.

4.20. A5 + δA est un operateur du premier ordre si et seulement si les coefficients 4 e^ fk

satifont la relation 3.14.

4.21. A 2 + δΦ + Φδ = 0 si et seulement si les coefficients 4 , fkij ,φijk etpi satisfont les relations

3.15 et

k ij _ j kmi i kmjP Jk — Cmk(V ~ cikmφ

4.22. A $ + $ A = 0 si et seulement si les coefficients fkij et φijk satisfont la relation 3.16.

Demonstration. Ces differentes proprietes se demontrent aisement par un calcul direct en

utilisant les proprietes des operateurs ai et V, notamment Pantisymetrie et les relations de

commutation canoniques. Les proprietes 4.19 et 4.20 decoulent du lemme 3.3 et de la proposition

3.4 de [7]. Prouvons 4.21 et 4.22.

4.21. D'apres le lemme 3.2 de [7], on a

A2 = 2fr&ata3ak + 2pkfiiaiaj.

D'autre part en utilisant Pantisymetrie et les relations de commutation canoniques, on a

δΦ = -2ck^mnblamanak - 2ckijφijmamak - Φδ

14

Ainsi, par identification, A 2 + δΦ + Φδ = 0 si et seulement si on a 3.15 et

k ij _ j kmi _ i kmjP Jk = Ckm9 Ckm9 k

ce qui prouve 4.21.

4.22. En utilisant de nouveau l'antisymetrie et les relations de commutation canoniques, on a

d'ou A $ + $ A = 0 si et seulement si on a 3.16. •

R e m a r q u e 4.4 En posant x = pkek et φ = 13φijkei A ej A ek, ou (ei) est une base de F, la

relation pkfk = ckmjφkmi — cikm

φkmj dans 4.21 est equivalente a d^cf) = γ(x) ou les ckij (resp. fk

ij)

sont les coefficients de /x (resp. γ).

Ainsi, on vient de prouver que si (A, A, δ, Φ) est une structure d'algebre quasi-Batalin-

Vilkovisky differentielle sur ^J7*, alors il existe un crochet de Lie /x sur F, un co-crochet γ

sur F, <f> G 3 F, x 0 J 7 tels que

e t <9M(/>

5 Correspondance entre quasi-bigebres de Lie et algebres quasi-

Batalin-Vilkovisky difFerentielles

Dans cette section, nous etablissons une bijection entre certaines structures de quasi-bigebre

de Lie sur un espace vectoriel F de dimension finie et les structures d'algebre quasi-Batalin-

Vilkovisky differentielle sur [\F*. Plus precisement :

Theoreme 5.1 SoitF un espace vectoriel de dimension finie. Les structures de quasi-bigebre de

Lie (F, n, γ, φ) sur F telles que d^cf) e Imγ, sont en correspondance bijective avec les structures

d'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur I\!F*.

Demonstration. Ce theoreme est une consequence des propositions 3.1 et 4.4 et du theoreme

3.1. En effet :

Soit (F, n, γ, φ) une structure de quasi-bigebre de Lie sur F telle que d^cf) e Imγ, i.e., il

existe x 0 J7 tel que γ(x0) = d^cf). Posons

A = /\J7*, A = dy + ix0, δ = d^, Φ = i

Il est clair d'apres le theoreme 3.1 que A est une derivation du second ordre de degre —1 de A,

5 est une derivation de degre 1 de A de carre nul et Φ est un operateur d'ordre 3 de degre —3 de

A. De plus, L = [δ, A] = [dM,97] + [d^,iXo\. D'apres le theoreme 3.1, [dM,97] est une derivation

de A; comme ix0 est une derivation de A, [d^,ixo] Test aussi, etant le commutateur gradue de

15

deux derivations de A. Par consequent L est un operateur d'ordre 1 de A.

De la definition de A, on a A 2 = <92 + d1ixo + ixod1; du theoreme 3.1 et de la proposition 3.1, on

obtient A 2 + δΦ + Φδ = 0. Enfin les conditions A $ + $ A = 0 et Φ2 = 0 suivent par le theoreme

3.1. En definitive, (A, A, δ,φ) est une structure d'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle

sur A^"*-

La reciproque suit par la proposition 4.3. •

R e m a r q u e 5.1 Dans les conditions du theoreme 5.1, le laplacien de Palgebre quasi-Batalin-

Vilkovisky differentielle correspondante est donne par L = [d^, <97] + adx^.

Corollaire 5.1 A toute structure de quasi-bigebre de Lie strictement exacte sur un espace

vectoriel F de dimension finie, il correspond une structure d'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky

differentielle sur f\ J7*.

Demonstration. En effet, soit (F, /x, γ, φ) une structure de quasi-bigebre de Lie strictement

exacte sur F, i.e., il existe r £ /\2 F tel que

Le co-crochet γ est defini explicitement par

γ(x) = ad%r = [x, r ] M , \fx G F.

d^ etant une derivation dans (hJ7, [, ]M), on a

Ainsi, d^cf) G Imγ et la conclusion suit par le theoreme 5.1. •

R e m a r q u e 5.2 Dans les conditions du corollaire 5.1, Poperateur A et le laplacien L sont definis

explicitement par A = [ir, dl_l] — 2ir0 et L = —2adtg, ou r 0 = d^r = — /x(r). En effet, la restriction

de d-( a F est l'oppose du cocycle γ, i.e., dγ(x) = —7(0;) = [r, x]^, Mx G F. En utilisant le fait

que dγ est une derivation dans (fyJ7, A), on montre que

L'operateur d'homologie d^ engendrant le crochet de Schouten algebrique [, Y, on a d^(r A

X) = (d^r) A X + r A (d^X) + [r, X]^, i.e., d γ = <9Mi* — i*9M — i*0. D'ou par transposition

d-( = irdn — d^ir — ir0 = [ir, d^\ — ir0. D'apres les formules A = 9 7 + ix0 et d^cf) = —^{d^r), on a

A = <97 + i(-d^r) = [ir,d^] - 2ir0.

Par ailleurs, d'apres la definition de L et de ce qui precede, on a :

L = [δ, A] = [d^ [ir, dp]] - 2[dp, ir0] = -2[dp, ir0].

16

En utilisant le fait que d^ engendre le crochet [, ]M, on a :

< L(O,X >= 2 < £, [r0, J*7 = - 2 < ad*Y%X >, V£ G /\.T,VX G /\;F;

d'ou

L = -2ad*/0.

Ainsi une large classe de structures d'algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle est fournie

par celles associees aux structures de quasi-bigebre jacobienne strictement exactes.

Remarque 5.3 Dans le cas ou uφ = 0, (F, /x,7) est une structure de bigebre de Lie sur F. Un

element x G F tel que γ(x) = d^cf) est alors un element de kerγ; c'est-a-dire un "co-caractere de

la co-algebre de Lie (F, γ)". Ainsi, nous retrouvons le resultat de Getzler [7] qui etablit une corre-

spondance bijective entre les structures de bigebre de Lie sur un espace vectoriel F de dimension

finie, muni d'un co-caractere et les structures d'algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur

j\T*. Dans ce cas, nous pouvons introduire une parametrisation sur les structures d'algebre de

Batalin-Vilkovisky differentielle sur j\T* en termes de co-caractere. En effet, soit (F,/x,γ) une

structure de bigebre de Lie sur F. Pour tout co-carctere x de (F,γ), posons

A^ = dj + ix, δ = d^.

Alors de ce qui precede, (/\ J7*, Ax, δ) est une algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle. Un cal-

cul explicite ([5],[16]) montre que le laplacien d'une telle algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle

est donne par L = 12(adγξ — ad*Jt) + ad*/1, ou ξ e T* et xγ G F sont definis respectivement

par ^(y) = tr(ad^),y G F et xγ(η) = tr{ad^),r] F T*. L'element 0 G F est naturellement

un co-caractere trivial, et la structure d'algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle obtenue

{j\T*',A0,5) est la structure standard donnee en exemple dans [11]. ix etant une derivation

sur (/\P*,A), il est evident que tous les operateurs A , ainsi construits engendrent le meme

crochet de Batalin-Vilkovisky [, ]A0; done a toutes les structures d'algebre de Batalin-Vilkovisky

(A,AX), il correspond la meme algebre de Gerstenhaber. Notons enfin que (/\Jr*, Ao,5) etant

une structure d'algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur f\!F*, alors (/\ J7,5*, AQ) est une

structure d'algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur /\ F, car /x et γ jouent des roles duaux

pour F et J7*.

Remerciements. L'auteur tient a remercier Madame Y. Kosmann-Schwarzbach pour ses

differentes remarques et suggestions sur le contenu du travail. Les remerciements vont egalement

au Centre Abdus Salam ICTP pour Phospitalite et le soutien materiel, qui ont permis la

realisation de ce travail.

This work was done within the Associateship Scheme of the Abdus Salam International

Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy. Financial support from the Swedish International

Development Cooperation Agency is acknowledged.

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