Quad Rip Oles Cours - Impression - MASSON

1Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles

Les quadripôles

ÉÉcole Polytechnique Universitaire de Nice Sophiacole Polytechnique Universitaire de Nice Sophia--AntipolisAntipolisCycle Initial PolytechniqueCycle Initial Polytechnique

1645 route des Lucioles, 06410 BIOT1645 route des Lucioles, 06410 BIOT

Christian PETER

&

Pascal MASSON([email protected]

[email protected])

quadripôle

I1 I2

V1 V2

I1

V1= 0

V2Y1 Y3

Y2

I2

I1 I2

V1 V2

I1’ I2

’

V1’ V2

’Q’

I1’ ’ I2

’ ’

V1’ ’ V2

’ ’Q ’’

Q

Edition 2008-2009


Sommaire

I. Généralités

II. Le quadripôle en représentation impédance

II.1. Les paramètres impédances

III. Le quadripôle en représentation admittance

IV. Le quadripôle en représentation hybride

V. Le quadripôle en représentation transfert

II.3. Schéma équivalent

II.2. Grandeurs fondamentales

II.4. Association en série

VI. Lien entre tous les paramètres


I.1. Définition

I. Généralités

� Un quadripôle est un composant ou un circuit (ensemble de composants) à

deux entrées et deux sorties qui permet le transfert d’énergie entre deux

dipôles.

� Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature

différente (tension, courant, puissance)

� On distingue deux types de quadripôles : actifs et passifs

I.2. Représentation

quadripôle

I1 I2

V1 V2

I.3. Origine

� On doit les premières études sur les quadripôles au mathématicien

Allemand Franz BREISIG (1868 – 1934) dans les années 1920.

� Par convention, on donne le sens

positif aux courants qui pénètrent

dans le quadripôle


I.4. Intérêt de la représentation quadripôle

� La représentation quadripôle a pour principal intérêt de considérablement

simplifier l’étude des circuits électroniques.

� Exemples : le filtre sélectif passe bas du 5ème ordre

I. Généralités

C

R

VE VS

R R R R

C1 C1

C2 C2


I.5. Rappel sur les matrices 2×2

� Multiplication

=

2

1

2

1X

X.

dc

ba

Y

Y

+=

+=

212

211X.dX.cY

X.bX.aY

� Inversion

−

−

−=

=

−

2

1

2

11

2

1Y

Y.

ac

bd

c.bd.a1

Y

Y.

dc

ba

X

X0c.bd.a ≠−avec

++

++=

h.df.cg.de.c

h.bf.ag.be.a

hg

fe.

dc

ba!

Ce produit n’est

pas commutatif.

I. Généralités


II. Représentation impédance


� On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments de la matrice

ont la dimension d’impédances (résistances).

quadripôle

I1 I2

V1 V2

� Définition

� Représentation matricielle

=

2

1

2221

1211

2

1I

I.

ZZ

ZZ

V

V

+=

+=

2221212

2121111I.ZI.ZV

I.ZI.ZV


I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

� Détermination de Z11 : Si I2 = 0 alors V1 = Z11.I1

2121

111 RR

0IIV

Z +==

=


I1

V1 V2

R1 R3

R2

I2 = 0

V2

I1

� Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode)

==

=0II

VZ

21

221




01II

VZ

2

112

==



I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZV1 V2

R1 R3

R2

I2

I2

V1

I1 = 0


==

=0II

VZ

12

222




+

+=

322

221

2221

1211RRR

RRR

ZZ

ZZ

� Écriture de la matrice :

I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

I1

V1 V2

R1 R3

R2

I2

I1 + I2





( ) ( )

=

+=++=++=

V

I.ZI.ZI.RI.RRII.RI.RV

2

21211122121212111

� Autre méthode : on écrit la loi des mailles en entrée et en sortie:

� Exemple : association de résistances en étoile

I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

I1

V1 V2

R1 R3

R2

I2

I1 + I2

1 2

1

2

� Exemple : association de résistances en étoile (2ème méthode)




� Quand le quadripôle est attaqué par un générateur (EG, RG) et qu’il est fermé

sur une charge (RC), il existe un état électrique du quadripôle qui dépend du

générateur et de la charge.

� Il est possible de définir des grandeurs caractéristiques comme l’impédance

d’entrée, l’impédance de sortie, les gains en courant, tension et puissance.

I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

Générateur Charge

quadripôle


II.2. Les grandeurs fondamentales


C22

211211

1

1E RZ

Z.ZZ

IV

R+

−==

� Si le quadripôle n’est pas chargé (RC → ∞) alors RE = Z11.

� RE est l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une

impédance RC. La matrice impédance permet d’écrire :

−=+=

+=

2C2221212

2121111I.RI.ZI.ZV

I.ZI.ZV

I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RE

quadripôle



� Impédance d’entrée RE


I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RS

quadripôle



� Impédance de sortie RS

� RS est l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance

du générateur RG. La matrice impédance permet d’écrire :

+=

−=+=

I.ZI.ZV

I.RI.ZI.ZV

2221212

1G2121111 ==2

2S I

VR


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE



� Gain en courant Ai

2C2221212 .IR I.ZI.ZV −=+= ==1

2i I

IA


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE



� Gain en tension AV

==1

2v V

VA


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE



� Gain composite en tension AVG

GE

Ev

G

1

1

2

G

2vg RR

R.A

EV

.VV

EV

A+

===

� Si le quadripôle n’est pas chargé (RC → ∞) alors :11

21

GE

Evg Z

ZRR

RA

+=


I1

V2

I2

V1RGIG RCRE



� Gain composite en courant AiG

EG

Gi

G

1

1

2

G

2ig RR

R.A

II

.II

II

A+

===

� Ce gain n’a de sens que si la charge est présente : I2 ≠ 0


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE

RGS

EGS


� Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a :

+=

+=

2221212

121111I.ZI.ZV

2I.ZI.ZV

+=

−=

2GSGS2

1GG1I.REV

I.REV

avec :

+−+

+=+

+

−=

−=+=

2G11

211222G

G11

21222

G11

12G212

1GG121111

I.RZ

Z.ZZ.E

RZZ

I.ZRZ

2I.ZE.ZV

I.RE2I.ZI.ZV



I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE

RGS

EGS


� Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a :

=+

=

+−==

+−=

GvgGG11

21GS

G11

211222SGS

C22

211211E

E.A.ERZ

ZE

RZ

Z.ZZRR

RZ

Z.ZZR





� Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma

équivalent donné par la matrice du quadripôle.

� La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque

le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte

de mesures.

I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

I1

V1 V2

Z11 Z22

Z12.I2

I2

Z21.I1




� Schéma équivalent en étoile (en T) uniquement si Z12 = Z21

+

+=

322

221

2221

1211RRR

RRR

ZZ

ZZ

I1

V1 V2

R1 R3

R2

I2

I1 + I2

avec :

� Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma

équivalent donné par la matrice du quadripôle.

� La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque

le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte

de mesures.



� On utilise les matrices

impédances [Z’] et [Z’’] des deux

quadripôles associés.

II.4. Association série

=

'I

'I.

'Z'Z

'Z'Z

'V

'V

2

1

2221

1211

2

1

et

� Comme et

=

''I

''I.

''Z''Z

''Z''Z

''V

''V

2

1

2221

1211

2

1

==

==

''I'II

''I'II

222

111

+=

+=

''V'VV

''V'VV

222

111

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

=

+=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1I

I.Z

I

I.''Z'Z

''I

''I.''Z

'I

'I.'Z

''V

''V

'V

'V

V

Valors :

I1 I2

V1 V2

I1’

I2’

I1’ ’ I2

’ ’

Q ’’

Q

Q’

I1’

I2’

V1’ V2

’

V1’ ’ V2

’ ’

I1 I2


III. Représentation admittance

III.1. Les paramètres admittances

� Définition

� On exprime les courants en fonction des tensions. Les éléments de la matrice

ont la dimension d’admittances.

quadripôle

I1 I2

V1 V2


=

2

1

2221

1211

2

1V

V.

YY

YY

I

I

+=

+=

2221212

2121111V.YV.YI

V.YV.YI


I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

� Détermination de Y11 : Si V2 = 0 alors I1 = Y11.V1

2121

111 YY

0VVI

Y +==

=


I1

V1 V2= 0

Y1 Y3

Y2

I2

� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)

==

=0VV

IY

21

221




I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY



==

=0VV

IY

12

222

I1

V1= 0

V2Y1 Y3

Y2

I2




==

=0VV

IY

12

112


+−

−+=

3YYY

YYY

YY

YY

22

221

2221

1211


I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

I1

V1 V2Y1 Y3

Y2

I2





� Autre méthode : on écrit la loi des noeuds en entrée et en sortie:

( ) ( )

=

+=−+=−+=

I

V.YV.YV.YV.YYVV.YV.YI

2

212111221212121111

2

I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

I1

V1 V2Y1 Y3

Y2

I21 2

� Exemple : association de résistances en triangle (2ème méthode)




I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

I1

V1 V2

Y11 Y22

I2

Y12.V2 Y21.V1

+−

−+=

3YYY

YYY

YY

YY

22

221

2221

1211

I1

V1 V2Y1 Y3

Y2

I2

avec :


III.2. Schéma équivalent

� Schéma équivalent avec admittances et sources de courant

� Schéma équivalent en triangle (en ππππ) uniquement si Y12 = Y21.


III.3. Association parallèle

I2’

V1’ V2

’

I1’ ’ I2

’ ’

V1’ ’ V2

’ ’Q ’’

Q

Q’

I1’

V1 V2

I1 I2

� On utilise les matrices

admittances [Y’] et [Y’’] des deux

quadripôles associés.

=

'V

'V.

'Y'Y

'Y'Y

'I

'I

2

1

2221

1211

2

1

et

� Comme et

=

''V

''V.

''Y''Y

''Y''Y

''I

''I

2

1

2221

1211

2

1

+=

+=

''I'II

''I'II

222

111

==

==

''V'VV

''V'VV

222

111

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

=

+=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1V

V.Y

V

V.''Y'Y

''V

''V.''Y

'V

'V.'Y

''I

''I

'I

'I

I

Ialors :



� Pour des raisons de simplicité, la détermination de la matrice admittance

peut passer par la détermination de la matrice impédance .

III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances

=

2

1

2221

1211

2

1I

I.

ZZ

ZZ

V

V

=

=

−

2

11

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1V

V.

ZZ

ZZ

V

V.

YY

YY

I

I

−

−

−=

1112

2122

211222112221

1211ZZ

ZZ.

Z.ZZ.Z1

YY

YYavec




I1

V1

I2

I1 + I2

I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY


( )

323121

32

321

132

21

111 R.RR.RR.R

RRYYYY.YY

0VVI

Y++

+=

++

+=

==

V2= 0


==

=0VV

IY

21

221

Y1 = 1/R1 Y3 = 1/R3

Y2 = 1/R2




� La matrice admittance s’obtient plus rapidement à partir de la matrice

impédance (plus simple à déterminer) :


I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YYV

I1

V1

I2

I1 + I2

V2

+−

−+

++=

+

+=

−

212

232

323121

1

322

221

2221

1211RRR

RRR.

R.RR.RR.R1

RRR

RRR

YY

YY

Y1 = 1/R1 Y3 = 1/R3

Y2 = 1/R2




IV.1. Les paramètres hybrides

� On exprime le courant de sortie et la tension d’entrée en fonction du courant

d’entrée et de la tension de sortie. C’est une représentation utilisée pour

l’étude des transistors.

quadripôle

I1 I2

V1 V2

� Définition


=

2

1

2221

1211

2

1V

I.

hh

hh

I

V

+=

+=

2221212

2121111V.hI.hI

V.hI.hV

� h11 est une impédance, h22 une admittance, h12 et h21 sont des nombres.

IV. Représentation hybride



I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

� Détermination de h11 : Si V2 = 0 alors V1 = h11.I1

21

21

21

111 RR

R.R0VI

Vh

+=

==

I1

V1 V2= 0

R1 R3

R2

I2

� Détermination de h21 (gain en courant): Si V2 = 0 alors I2 = h21.I1

==

=0VI

Ih

21

221





I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

� Détermination de h12 (gain en tension inverse): Si I1 = 0 alors V1 = h12.V2

I1 = 0

V1 V2R1 R3

R2

I2

� Détermination de h22 : Si I1 = 0 alors I2 = h22.V2

==

=0IV

Ih

12

222



==

=0IV

Vh

12

112


( )

+

++

+

−

++=

321

321

21

121

1

21

21

2221

1211

R.RRRRR

RRR

RRR

RRR.R

hh

hh


I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

I1

V1 V2R1 R3

R2

I2





� On écrit la loi des mailles en entrée et des noeuds en sortie:

I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

I1

V1 V2R1 R3

R2

I2

� Exemple : association de résistances en triangle (2ème méthode)

1

2

1

2

−+=

2

12111 R

VVI.RV

=2I




−=+=

+=

C

22221212

2121111

RV

V.hI.hI

V.hI.hV

� RE est l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une

impédance RC. La matrice impédance permet d’écrire :

I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RE

quadripôle

IV.2. Les grandeurs fondamentales

� Impédance d’entrée RE

C22

211211

1

1E

R1

h

h.hh

IV

R+

−==



+=

−=+=

V.hI.hI

I.RV.hI.hV

2221212

1G2121111


I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RS

quadripôle

� Impédance de sortie RS

� RS est l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance

du générateur RG. La matrice impédance permet d’écrire :

==2

2S I

VR




I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE

� Gain en courant Ai

C22

21

1

2i R.h1

hII

A+

==


2C221212221212 I.R.hI.hV.hI.hI −=+=



I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE


� Gain en tension AV

==1

2v V

VA


IV.3. Schéma équivalent

� Le circuit équivalent est composé d’une impédance (h11), d’une admittance

(h22), d’une source de tension (h12.V2) et d’une source de courant (h21.I1).

I1

I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hhV2

h22

I2

h21.I1

V1

h11

h12.V2



IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires

� Les composants actifs utilisés en électronique sont très souvent non linéaire.

C’est le cas notamment des transistors bipolaires et MOS.

� Les valeurs des éléments de la matrice du quadripôle équivalent ne sont

valables que pour le point de fonctionnement : ils dépendent des potentiels et

courants en entrée du quadripôle.

� Le quadripôle équivalent n’est utilisable qu’en régime petit signal (petit

signal alternatif ajouté à la polarisation continue).

� On obtient les paramètres de la matrice par la connaissance des équations

qui régissent le fonctionnement du composant ou par l’utilisation des

caractéristiques (courbes) de ce composant.



� Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal

� i et v correspondent à de petites variations de I et V

iB

vCE

h22

iC

h21.iB

vBE

h11

h12.vCE

� La matrice hybride s’écrit :

+=

+=

CE22B21C

CE12B11BEv.hi.hi

v.hi.hv

VCE+ vCE

IC + iCIB + iB

VBE + vBE

C

EB

iB iC

vBE vCE

2221

1211hh

hh




� On détermine le paramètre h11 à partir

de la courbe IB(VBE) qui correspond ici à

la caractéristique d’une diode.

� VCE est considéré comme constant.

� Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal

VBE

IB

0 VBE-P

IB-P

P_BEBE VVB

BE11 I

Vh

=∂

∂=

� h11 est égale à l’inverse de la pente de cette courbe au point de polarisation :




IV.5. Association série parallèle

I2’

V1’ V2

’

I1’ ’ I2

’ ’

V1’ ’ V2

’ ’Q ’’

Q

Q’

I1’

V2

I2

I1

V1

I1’

I1’ ’

I1� On utilise les matrices hybrides

[h’] et [h’’] des deux quadripôles

associés.

=

'V

'I.

'h'h

'h'h

'I

'V

2

1

2221

1211

2

1

et

� Comme et

=

''V

''I.

''h''h

''h''h

''I

''V

2

1

2221

1211

2

1

==

==

''V'VV

''I'II

222

111

+=

+=

''I'II

''V'VV

222

111

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

=

+=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1V

I.h

V

I.''h'h

''V

''I.''h

'V

'I.'h

''I

''V

'I

'V

I

Valors :



� On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d’entrée

quadripôle

I1 I2

V1 V2

� Définition


−

=

1

1

2221

1211

2

2I

V.

TT

TT

I

V

−=

−=

1221212

1121112I.TV.TI

I.TV.TV

� T12 est une impédance, T21 une admittance, T11 et T22 sont des nombres.

V. Représentation transfert

V.1. Les paramètres transferts



I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TTV1 V2

R1 R3

R2

I2

I1 + I2

2

32

11

211 R

RR0IV

VT

+=

==

� Détermination de T11 (gain en tension) : Si I1 = 0 alors V2 = T11.V1

I1 = 0

� Détermination de T21 : Si I1 = 0 alors I2 = T21.V1

==

=0IV

IT

11

221





I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TTV2

R1 R3

R2

I1 + I2

� Détermination de T12 : Si V1 = 0 alors V2 = T12.I1

� Détermination de T22 (gain en courant) : Si V1 = 0 alors I2 = T22.I1

I1

V1= 0

I2

==

−=0VI

IT

11

222



==

−=0VI

VT

11

212


+

+++

=

2

1

2

2

3121

2

3

2221

1211

RR

1R1

RR.R

RRRR

1

TT

TT


I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TT

I1

V1 V2

R1 R3

R2

I2

I1 + I2





V.1. Association en cascade (en chaîne)

I1 I2

V1 V2

I1’ I2

’

V1’ V2

’Q’

I1’ ’ I2

’ ’

V1’ ’ V2

’ ’Q ’’

Q

� On utilise les matrices de transfert [T’] et [T’’] des deux quadripôles associés.

−

=

'I

'V.

'T'T

'T'T

'I

'V

1

1

2221

1211

2

2

−

=

''I

''V.

''T''T

''T''T

''I

''V

1

1

2221

1211

2

2et

� Comme V1’’ = V2’ et I1’’ = I2’ alors :

−

=

=

1

1

2221

1211

2221

1211

2

2

2221

1211

2

2I

V.

'T'T

'T'T.

''T''T

''T''T

'I

'V.

''T''T

''T''T

I

V

� La matrice de transfert du quadripôle équivalent est donc égale au produit de

la deuxième matrice, [T’’], par la première, [T’].




I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TT

I1

V1

R1 R3

R2

I2

I1 + I2

V2

T1 T2 T3

V.2. Association en cascade (en chaîne)

� On décompose l’association de résistances en étoile en 3 quadripôles :

[ ] =1T [ ] =3T[ ] =2T



−

∆

222122

222212TTT1

TTTT

−

∆

222221

221222Z1ZZ

ZZZZ

∆

−

111121

111211YYYY

YYY1

2221

1211hh

hh

2221

1211TT

TT

−

∆−

212221

212111ZZZ1

ZZZZ

∆−

−

211121

212122YYYY

Y1YY

−−

−∆−

212122

211121h1hh

hhhh

∆

212221

212111TTT1

TTTT

2221

1211ZZ

ZZ

∆∆−

∆−∆

YYYY

YYYY

1121

1222

−

∆

222221

221222h1hh

hhhh

−

∆−

121112

121222TTT1

TTTT

∆∆−

∆−∆

ZZZZ

ZZZZ

1121

1222

2221

1211YY

YY

∆

−

111121

111211hhhh

hhh1

hYZT

h

Y

Z

T

VI. Lien entre tous les paramètres

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