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UNIDAD I

ESTADISTICA DESCRIPTIVA La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis; Se divide la estadística en: Estadística descriptiva o deductiva Estadística inferencial o inductiva.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA: La parte de la estadística que solo se ocupa de describir y analizar un grupo dado, sin sacar conclusiones sobre un grupo mayor, se llama estadística descriptiva o deductiva. ESTADISTICA INFERENCIAL O INDUCTIVA: Es aquella que a partir de una muestra representativa de la población se dan conclusiones sobre la población a partir del análisis de la muestra. Con ayuda de la estadística en general se puede organizar y procesar la información utilizando tablas gráficas, el cálculo de medidas de tendencia (media, mediana, moda), medidas de dispersión como percentiles deciles y cuartiles; Y el cálculo de medidas de dispersión (rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de simetría y coeficiente de curtosis). Antes de entrar de lleno al estudio de la estadística definamos algunos conceptos para su interpretación a lo largo de la unidad. Variables: discretas y continuas Discretas: variable que puede tomar valores que no estén entre valores ya dados. Continuas: variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados. Población: grupo entero a examinar puede ser finito o infinito Muestra: parte de la población a examinar.

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Organización y representación de información estadística mediante tablas y gráficos para datos no agrupados y agrupados. Datos agrupados:

1. Su fin es resumir la información 2. Generalmente los elementos son de mayor tamaño, por lo cual requieren ser

agrupados esto implica: ordenar, clasificar y expresarlos en una tabla de frecuencias.

3. Se agrupan datos si se cuentan con muchos elementos y también si son repetitivos, se debe verificar que los datos sean clasificables y que dicha clasificación tenga coherencia y lógica, al final se representa por medio de una “tabla de frecuencias”

4. La agrupación de los datos puede ser simple o mediante intervalos de clase. Datos no agrupados

1. Los datos son brutos, es decir no se presentan clasificados. 2. Tiene pocos elementos 3. No es repetitiva 4. Se ordenan no se agrupan.

Tabla de frecuencias o distribución de frecuencias Al resumir grandes colecciones de datos, es útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar el número de individuos que pertenecen a cada clase, llamado frecuencia de clase. Una tabla que contiene los datos por clase junto con sus respectivas frecuencias de clase se le denomina “tabla de frecuencias” Para formar la tabla de frecuencias se deben seguir los siguientes pasos:

1º. PASO Calculo de rango denotado por “R”. Formula R= Dato mayor – Dato menor

Donde dato mayor es el elemento más grande de la muestra. Donde dato menor es el elemento más pequeño de la muestra. 2º. PASO Determinar el número de grupos denotada por “K”.

Formula K= Donde n= Número total de datos. El valor de K se redondea al valor más cercano según la naturaleza de los datos.

K = 5.2275 ≈ 5

K = 9.873 ≈ 10

K = 7.5 ≈ 8

K = 6.45 ≈ 6

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3º. PASO Se calcula la amplitud denotada por “C”

Formula C= R/K El valor de la amplitud se pasa al valor siguiente y debe estar de acuerdo a la naturaleza de los datos

C = 5.0082 ≈ 6 ENTEROS

C = 1.3120 ≈ 1.313 MILESIMAS

C = 0.8203 ≈ 0.83 CENTESIMAS

4º. PASO Se forman los intervalos de clase en forma de columna empezando por

escribir el dato menor; Debajo se escribirá el resultado R1 donde R1 = dato menor + C (la amplitud) y después se repite el proceso pero ahora con R1 sumándole la amplitud; así sucesivamente hasta formar el mismo número de grupos que ya se calculó en el 2° paso.

Los intervalos de clase se clasifican en LCI Y LCS escritos en dos columnas.

Donde LCI es “Limite de Clase Inferior” y Donde LCS es “Limite de Clase Superior” 5º. PASO Una vez se tengan los I.C. (intervalos de clase) se debe calcular sus

respectivas frecuencias para cada I.C. formada, para ello se debe hacer un conteo y acomodar cada elemento de la muestra en un único I.C.

NOTA: No se puede tener un mismo elemento en dos distintos I.C.

EJEMPLO 1 Las 40 cantidades siguientes son las tarifas que se cobraran en dólares por entregar bultos el jueves pasado:

4.03 4.30 5.46 4.15 5.02

3.56 3.86 3.87 4.07 5.24

2.10 4.57 6.84 3.77 4.02 6.04 3.59 4.91 5.77 5.44

5.62 4.57 3.62 7.86 4.65

3.16 5.16 3.62 4.63 3.89

2.93 2.88 3.80 4.81 4.00

3.82 5.02 3.70 2.86 2.90

a) Obtener la distribución de frecuencia ( f ) b) Obtener la distribución de frecuencia acumulada ( F ) c) Obtener la distribución de frecuencia relativa ( fr ) d) Obtener la distribución de frecuencia relativa acumulada ( Fr )

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SOLUCION R = 7.86 – 2.10 = 5.76

K = = = 6.3245 ≈ 6 C = 5.76 / 6 = 0.96 ≈ 0.97

GRUPOS E INTERVALOS DE

CLASE

CONTEO f F fr Fr

1) 2.10 -- 3.06 IIIII 5 5 5/40=0.125 0.125 2) 3.07 -- 4-03 IIIII IIIII

IIIII 15 20 15/40=0.375 0.5 LCI = Limite de Clase

Inferior 3) 4.04 -- 5.00 IIIII IIII 9 29 9/40=0.225 0.725 4) 5.01 -- 5.97 IIIII III 8 37 8/40=0.2 0.925 LCS = Limite de Clase

Superior 5) 5.98 -- 6.94 II 2 39 2/40=0.05 0.975 6) 6.95 -- 7.91 I 1 40 1/40=0.025 1

LCI LCS 40 1

f: frecuencia (número de elementos que están dentro de ese intervalo) F: frecuencia acumulada (sumas sucesivas descendentes de la frecuencia) fr: frecuencia relativa (la división de cada frecuencia entre N; donde N es el total de datos) Fr: frecuencia relativa acumulada (sumas sucesivas descendentes de la frecuencia relativa) EJEMPLO 2 Los siguientes datos representan las tazas de octanaje de combustible de motor de varias mezclas de gasolina:

88.5 90.4 93.3 89.9 86.7 90.3 94.2 90.6 91.2 90.3 88.3 87.5 R = 96.1 – 83.4 = 12.7 93.2 87.7 89.3 91.8 93.4 87.6 K = = = 5.47 ≈ 5 96.1 87.8 90.7 89.3 92.3 88.5 C = R/K = 12.7 / 5 = 2.54 ≈ 2.6 88.9 91.0 83.4 89.7 94.4 90.4

GRUPOS DE INTERVALOS DE

CLASE

CONTEO f F fr Fr

1) 83.4 -- 85.9 I 1 1 0.033 0.333 2) 86.0 -- 88.5 IIIII III 8 9 0.266 0.3 3) 88.6 -- 91.1 IIIII IIIII

II 12 21 0.4 0.7

4) 91.2 -- 93.7 IIIII I 6 27 0.2 0.9 5) 93.8 -- 96.3 III 3 30 0.1 1

30 1

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Las tablas de frecuencias se usan para elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono y la ojiva. Histograma: consiste en un conjunto de rectángulos con (a) bases en el eje x horizontal, centros en las marcas de clase y longitudes iguales a los tamaños de los intervalos de clase y (b) áreas proporcionales a las frecuencias de clase. Donde X= marca de clase (punto medio del intervalo de clase; Se obtiene promediando el LCI y LCS)

Polígono: es una gráfica de línea de las frecuencias de clase, dibujada con respecto a la marca de clase, puede obtenerse uniendo los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma.

Ojiva: Es la distribución de frecuencias acumuladas, es decir, que en ella se permite ver cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores, en lugar de solo exhibir los números asignados a cada intervalo. Existen dos tipos de ojivas; mayor que y menor que

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Para construir la ojiva se necesita de frecuencia acumulada en el eje “Y” e IRC en el eje “X” Donde IRC= intervalos reales de clase; se calculan al restar a cada elemento en la columna de LCI el grado de aproximación y se le suma a cada elemento en la columna de LCS el grado de aproximación. El grado de aproximación (α) se obtiene de la resta del LCS de un Intervalo de Confianza y LCI del siguiente Intervalo de Clases por último el resultado de la resta se divide entre dos; α= LCS-LCI siguiente/2 En el caso de la ojiva “mayor que” se utiliza IRC en el eje “X” y se utiliza la frecuencia acumulada mayor (F) en el eje “Y”; la frecuencia acumulada mayor se obtiene al restar a N la frecuencia en cada IC, cabe mencionar que el resultado es acumulativo. Donde N= total de elementos.

EJEMPLO 3 Sea X el tiempo en minutos que debe esperar un vehículo para cruzar una intercepción transitada que cuenta con semáforos. Los datos siguientes se obtienen de una muestra aleatoria de 36 vehículos.

0.2 1.5 2.6 5.1 1.2 2.0 1.4 3.7 1.5 2.5 4.5 1.2 1.9 3.1 2.1 R = 5.8 – 0.2 = 5.6 2.3 4.1 1.1 1.7 3.0 1.4 3.7 K = = 6 4.0 0.7 1.6 2.8 1.4 2.1 1.4 C = 5.6/ 6 = 0.93 ≈ 1 0.5 1.6 2.9 5.8 1.3 3.0 2.2

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a) Determinar la distribución de frecuencia b) Construir histograma y polígono de frecuencia c) Construir ojiva

GRUPOS DE INTERVALOS DE

CLASE

CONTEO f F INTERVALOS REALES

1) O.2 -- 1.1 IIII 4 4 0.15 -- 1.15 2) 1.2 -- 2.1 IIIII IIIII IIIII

I 16 20 1.15 -- 2.15 LRI = limite real

3) 2.2 -- 3.1 IIIII IIII 9 29 2.15 -- 3.15 Inferior 4) 3.2 -- 4.1 IIII 4 33 3.15 -- 4.15 5) 4.2 -- 5.1 II 2 35 4.15 -- 5.15 LRS = limite real 6) 5.2 -- 6.1 I 1 36 5.15 -- 6.15 superior

(-) (+) 36 LRI LRS

0.1/2 = 0.05

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA, MODA. Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos; Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central. Se definen varios tipos siendo los más comunes la media, mediana y moda. Ahora se explicara cada medida de tendencia central en los dos casos posibles que son para: Datos no agrupados y Datos agrupados

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

MEDIA Es el promedio aritmético de un conjunto de datos y se calcula como la sumatoria de los datos entre el número de datos.

Símbolo

Formula n = total de datos x= datos de la muestra

MEDIANA Es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de números

acomodados si tenemos datos impares o el promedio de los dos valores centrales si tenemos datos pares.

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Símbolo

MODA Es el dato que más se repite, si dos valores se repiten con la misma

frecuencia se dice que la distribución es bimodal si tres valores se repiten con la misma frecuencia es trimodal, etc.

Símbolo EJEMPLO 4 Seis temperaturas máximas en una ciudad de florida fueron 22, 20, 24, 21, 26 y 22 en grados Celsius A) Calcular media B) Calcular mediana C) Calcular moda SOLUCION A) Media

B) Mediana

Primero se ordenan y después se busca el elemento que está en el centro de los elementos, en este caso se tienen dos elementos en el centro, por lo tanto se realiza un promedio de los dos números como a continuación se puede apreciar: 20, 21, 22, 22, 24, 26 22+22/2=22 Por lo tanto la mediana es 22 C) Moda El número 22 se repite 2 veces por lo tanto tiene moda bimodal

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

MEDIA Se calcula como la sumatoria de los datos por la frecuencia, entre el total de datos.

Símbolo

Formula n = total de datos x= datos de la muestra

f= frecuencia

MEDIANA

Símbolo

Formula

LQ= n/2 n= total de datos

LRI= limite real inferior con respecto a LQ F anterior= frecuencia acumulada anterior, con respecto a LQ f= frecuencia con respecto a LQ C= amplitud

MODA

Símbolo

Formula

LRI= limite real inferior con respecto a f C= amplitud

d1= f -f anterior d2= f -f posterior f = frecuencia de la moda (frecuencia del que más se repite)

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EJEMPLO 5 El primer día de clases del semestre pasado se preguntó a 50 estudiantes de ingeniería acerca del tiempo requerido para desplazarse de su casa a la división de ciencias básicas (redondeando a 5 minutos). Los datos restantes fueron los siguientes:

20 20 30 25 20 25 30 15 10 40

35 25 15 25 25 40 25 30 5 25

25 30 15 20 45 25 35 25 10 10

15 20 20 20 20 25 20 20 15 20

5 20 20 10 5 20 30 10 25 15

A) Hacer tabla de frecuencias B) Calcular media C) Calcular mediana D) Calcular moda a) R= 45-5=40

K= =

C= R/K = 40/7=5,71 6

I.C. f x fx F

5-10 8 7.5 60 8

11-16 6 13.5 81 14

17-22 14 19.5 273 28

23-28 12 25.5 306 40

29-34 5 31.5 157.5 45

35-40 4 37.5 150 49

41-46 1 43.5 43.5 50

50 1071

b)

c)

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d)

d1= f -f anterior= 14 - 6= 8 d2= f -f posterior= 14 - 12= 2 MEDIDAS DE POSICION: PERCENTILES, DECILES Y CUARTILES. Si un conjunto de datos esta ordenado por magnitud, el valor central (o la media de los dos centrales) que divide al conjunto en dos mitades iguales, es la mediana. Extendiendo esa idea podemos pensar en aquellos valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales. Esos valores denotados Q1, Q2 Y Q3, se llaman primer, segundo y tercer cuartiles, respectivamente. El Q2 coincide con la mediana. Análogamente los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales se llaman deciles, y se denotan D1, D2, …., D9, mientras que ls valores que los dividen en 100 partes iguales se llaman percentiles, denotados por P1, P2, P3, ..., P99. El 5° decil y el 50° percentil coinciden con la mediana. Los 25° y 75° percentiles coinciden con el primer y tercer cuartiles. Se pueden calcular las medidas de posición para datos agrupados y no agrupados como se muestra a continuación:

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MEDIDAS DE POSICION: PERCENTILES, DECILES Y CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS. Se tienen las siguientes fórmulas para cada caso: CUARTILES

Qx Símbolo

Formula

LQx=

(localización del cuartil)

N= total de datos LRI= limite real inferior con respecto a LQ F anterior= frecuencia acumulada anterior, con respecto a LQ f= frecuencia con respecto a LQx C= amplitud

DECILES

Dx Símbolo

Formula

LDx=

(localización del decil)


PERCENTILES

Px Símbolo

Formula

LPx=

(localización del percentil)


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EJEMPLO 6 Tomando los valores del enunciado del ejemplo 5 calcular: A) El tercer cuartil. B) El tercer decil. C) El sexagésimo quinto percentil. SOLUCION: A)

B)

C)

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MEDIDAS DE POSICION: PERCENTILES, DECILES Y CUARTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS.

QUARTILES

Qx Símbolo

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3, ..., Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

- El primer cuartil: donde n= total de datos

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

Para el tercer cuartil

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

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DECILES

Dx Símbolo

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

Donde A el número del decil y n= total de datos.

PERCENTILES

Px Símbolo Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3, ..., Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

Para los percentiles, cuando n es par:

Cuando n es impar:

Donde A, el número del percentil y n= total de datos.

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EJEMPLO 7 El diámetro intermedio de las lavadoras producidas por una empresa se mide con exactitud de milésimas de pulgada

0.321 0.324 0.327 0.330 0.333 0.336

0 1 2 3 4 5 6

Quartil-1

= 1.5

1.5 + 0.5 = 2 1.5 - 0.5 = 1

Quartil-3

4.5 + 0.5 = 5 4.5 - 0.5 = 4

Decil-1

0.6 + 0.5 = 1.1 0.6 - 0.5 = 0.1

Decil-9

5.4 + 0.5 = 5.9 5.4 - 0.5 = 4.9

Percentil-15

0.9 + 0.5 = 1.4 0.9 - 0.5 = 0.4

Percentil-63

3.78 + 0.5 = 4.28 3.78 - 0.5 = 3.28

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MEDIDAS DE DISPERSION La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cuan esparcidos se encuentran estos; Hay varias medidas de tal dispersión, siendo las más comunes el rango, la desviación media, el rango cuartilico, rango percentilico, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación. Se pueden calcular las medidas de dispersión para datos agrupados y no agrupados como se muestra a continuación: MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS

1) Rango = Dato mayor – Dato menor.

El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos. EJEMPLO 8

El dato mayor es 46 y el dato menor es 5, por lo tanto tiene un rango R= 46 – 5 = 41

2) Rango Cuartilico =

EJEMPLO 9

Partiendo de los datos del ejemplo 5, Calculamos entonces :

Calculamos entonces

I.C.

5-10

11-16

17-22

23-28

29-34

35-40

41-46

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Calculamos entonces

Por lo tanto el

3) Rango Percentilico = = - EJEMPLO 10

Partiendo de los datos del ejemplo 5, Calculamos entonces :

Calculamos entonces

Calculamos entonces

Por lo tanto = - = 34.5 – 8.25 = 26.25

4) Desviación media ⟹

La desviación media o desviación promedio, de un conjunto de N números, es abreviada por DM.

Donde el resultado de la operación ⟹ nos da un valor absoluto.

20

5) Varianza ⟹

=

La varianza de un conjunto de datos se define como el resultado de la desviación

estándar y viene dada en consecuencia por .

6) Desviación estándar ⟹ S =

La desviación estándar de un conjunto de N números, se denota por S; si N números ocurren con frecuencia, la desviación estándar se expresa como en la ecuación dada.

7) Coeficiente de Variación ⟹ CV =

La fórmula del C.V. viene de la fórmula de la dispersión relativa dada por

Dispersión relativa=

La dispersión relativa se llama el coeficiente de variación, la desviación estándar es S y

el promedio es por lo tanto surge la nueva ecuación:

EJEMPLO 11 El primer día de clases del semestre pasado se preguntó a 50 estudiantes de ingeniería acerca del tiempo requerido para desplazarse de su casa a la división de ciencias básicas (redondeando a 5 minutos). Los datos restantes fueron los siguientes:

20 20 30 25 20 25 30 15 10 40

35 25 15 25 25 40 25 30 5 25

25 30 15 20 45 25 35 25 10 10

15 20 20 20 20 25 20 20 15 20

5 20 20 10 5 20 30 10 25 15

A) Calcular desviación media. B) Calcular desviación estándar. C) Calcular varianza. D) Calcular coeficiente de variación.

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I.C. f x fx F I.R.C.

5-10 8 7.5 60 8 4.5 - 10.5 13.92 111.36 1550.1312

11-16 6 13.5 81 14 10.5 - 16.5 7.92 47.52 376.3584

17-22 14 19.5 273 28 16.5 - 22.5 1.92 26.88 51.6096

23-28 12 25.5 306 40 22.5 - 28.5 4.08 48.96 199.7568

29-34 5 31.5 157.5 45 28.5 - 34.5 10.08 50.40 508.0320

35-40 4 37.5 150 49 34.5 - 40.5 16.08 64.32 1034.2656

41-46 1 43.5 43.5 50 40.5 - 46.5 22.08 22.08 487.5264

50 1071 371.52 4207.68

a)

b)

c)

d)

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MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS

1) Rango = Dato mayor – Dato menor. El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos. EJEMPLO 12 El rango del conjunto 2, 3, 3, 4, 4, 4, 8, 10,12 es 12 – 2 = 10. A veces el rango se indica dando el par de valores extremos, así, en este ejemplo, seria 2 – 12.

2) Media

Donde “x” son los datos y “n” es total de datos

3) Rango Cuartilico =

4) Rango Percentilico = = -

5) Desviación media ⟹

La desviación media o desviación promedio, de un conjunto de N números, es abreviada por DM.

Donde el resultado de la operación ⟹ nos da un valor absoluto. Y “x” son los datos

6) Varianza ⟹

=

La varianza de un conjunto de datos se define como el resultado de la desviación

estándar y viene dada en consecuencia por .

7) Desviación estándar ⟹ S =

La desviación estándar de un conjunto de N números, se denota por S.

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8) Coeficiente de Variación ⟹ CV =

La fórmula del C.V. Viene de la fórmula de la dispersión relativa dada por

Dispersión relativa=

La dispersión relativa se llama el coeficiente de variación, la desviación estándar es S y

el promedio es por lo tanto surge la nueva ecuación:

EJEMPLO 13 Cinco temperaturas máximas en una ciudad de florida fueron 22, 20, 24, 21 y 26 en grados Celsius.

A) Calcular media B) Desviación media C) Varianza D) Desviación estándar E) Coeficiente de variación

a) Media

b) Desviación media

x 22 0.6

20 2.6

24 1.4

21 1.6

26 3.4

9.6

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c) Varianza

d) Desviación estándar

e) Coeficiente de variación

MOMENTOS SESGOS Y CURTOSIS MOMENTOS

Los momentos son una forma de generalizar toda la teoría relativa a los parámetros estadísticos y guardan relación con una buena parte de ellos.

Dada una distribución de datos estadísticos x1, x2,..., xn, se define el momento central o momento centrado de orden k como

x

22 0.6 0.36

20 2.6 6.76

24 1.4 1.96

21 1.6 2.56

26 3.4 11.56

9.6 23.20

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Sesgos o coeficiente de asimetría. Se conoce como sesgo al grado de asimetría de una distribución, es decir, cuando se aparta de la simetría. Si la curva de frecuencias (polígono de frecuencia suavizado) de una distribución tiene a la derecha una cola mas larga que a la izquierda, se dice sesgada a la derecha o de sesgo positivo. En caso contrario, sesgada a la izquierda, o de sesgo negativo. Si es igual se dice que es simétrica.

Donde

Para datos no agrupados.

Para datos agrupados.

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CURTOSIS Mide cuan puntiaguda es una distribucion, en general por rederencia a la a normal. Si tiene un pico alto , como en la figura “A.1” Se dice leptocurtica, mientras si es aplastada, como la de la figura “A.2” se dice platocurtica. La distribucion normal, mostrada en la figura “A.3” que nop es muy puntiatguda ni muy aplastada, se llama mesocurtica

Donde se calcula mediante

Para datos no agrupados.

Para datos agrupados.

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 1 EJEMPLO 14 La siguiente información representa la duración (en miles de ciclos) de perfiles rectangulares

a) Construir histograma, polígono de frecuencias b) Construir ojiva c) Calcular los 4 cuartiles en forma gráfica y en forma analítica d) Calcular el decil-3, decil-9, percentil-10 y percentil-90

I de C F F Intervalos Reales 750 -- 949 8 8 749.5 -- 949.5 950 -- 1149 1

7 25

949.5 -- 1149.5

1150 -- 1349 19

44

1149.5 -- 1349.5

1350 -- 1549 19

63

1349.5 -- 1549.5

1550 -- 1749 11

74

1549.5 -- 1749.5

1750 -- 1949 17

91

1749.5 -- 1949.5

1950 -- 2149 3 94

1949.5 -- 2149.5

C= 950-750= 200 Grado de aproximación=1 / 2 = 0.5

0

20

40

60

80

100

OJIVA

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= Localización de cuartil-x

⟹

⟹

Quartil-2

Quartil-3

Quartil-4

Decil-3

Decil-9

Percentil-10

Percentil-90

INTERPOLACIÓN 949.5 -- 8 -- 23.5 1149.5 -- 25

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EJEMPLO 15 La siguiente tabla muestra los salarios de 70 empleados

I de C f F

250.00 -- 259.99 8 8 260.00 -- 269.99 10 18 270.00 -- 279.99 16 34 Calcular 280.00 -- 289.99 15 49 290.00 -- 299.99 10 59 300.00 -- 309.99 5 64 310.00 -- 319.99 3 67 320.00 -- 329.99 3 70

Grado de aproximación=.01 / 2 = 0.005 Quartil-1

Quartil-3

Decil-2

Decil-7

Percentil-2

Percentil-98

30

EJEMPLO 16 En el torneo internacional de ajedrez de grandes maestros, participaron 10 reconocidos maestros. La siguiente es una lista de la duración (de numero de movimientos) de los 9 participantes que se disputaron 41 42 47 30 32 66 46 18 32.

Calcular

18 30 32 32 41 42 46 47 77

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Quartil-1

= 2.25

2.25 + 0.5 = 2.75 2.25 - 0.5 = 1.75

Quartil-3

6.75 + 0.5 = 7.25 6.75 - 0.5 = 6.25

Decil-2

1.8 + 0.5 = 2.3 1.8 - 0.5 = 1.3

Decil-9

8.1 + 0.5 = 8.6 8.1 - 0.5 = 7.6

Percentil-16

1.44 + 0.5 = 1.94 1.44 - 0.5 = 0.94

Percentil-92

8.28 + 0.5 = 8.78 8.28 - 0.5 = 7.78

31

EJEMPLO 17 Los datos siguientes representan las calificaciones finales que obtuvieron en matemáticas 8 alumnos de una universidad.

84 79 65 78 78 62 80 67

62 65 67 78 78 79 80 89

EJEMPLO 18 Los siguientes datos representan las distancias en millas que recorren 9 estudiantes de su casa a la universidad 15.7 6.2 4.8 3.2 4.4 3.9 1.1 4.4 4.8 Calcular media, mediana, moda y determinar qué tipo de sesgo hay.

1.1 3.2 3.9 4.4 4.4 4.8 4.8 6.2 15.7

32

EJEMPLO 19 En los siguientes datos representa los pesos dados a la libra más cercana de 5 estudiantes.

138 146 1668 146 161

138 146 146 161 168

R = dato mayor – dato menor = 168 – 138 = 30 = - = 162.75 – 144 = 18.5

Quartil-1

= 1.25

1.25 + 0.5 = 1.75 1.25 - 0.5 = 0.75

Quartil-3

3.75 + 0.5 = 4.75 3.75 - 0.5 = 3.25

= - = 168 – 138 = 30 Percentil-10

0.5 + 0.5 = 1 0.5 - 0.5 = 0

Percentil-90

4.5 + 0.5 = 5 4.5 - 0.5 = 4

S = = 12.2963

CV =

-2628.072 36267.3436 -195.112 1131.6496 4251.28 68874.7535 -195.112 1131.6469 778.688 7163.9296

2011.672 114569.376

X 138 190.44 146 33.64 168 262.44 146 33.64 161 84.64

759 604.8

33

DISTRIBUCION ASIMETRICA CON SESGO POSITIVO

DISTRIBUCION PLATOCURTICA EJEMPLO 20 El número de accidentes que ocurren durante un periodo de 7 días es

0 2 2 6 7 8 9 Calcular todas las medidas de dispersión. Rango = 8 – 0 = 8 Rango Cuartilico = - = 7.75 – 2 = 5.75

Quartil-1

= 1.75

1.75 + 0.5 = 2.25 1.75 - 0.5 = 1.25

Quartil-3

5.25 + 0.5 = 5.75 5.25 - 0.5 = 4.75

Rango Percentilico

= - = 8.8 – 0.4 = 8.4 Percentil-10

0.7 + 0.5 = 1.2 0.7 - 0.5 = 0.2

Percentil-90

6.3 + 0.5 = 6.8 6.3 - 0.5 = 5.8

34

Varianza X 0 23.5914 2 8.1630 2 8.1630 6 1.3062 7 4.5920 8 9.8778 9 17.1636

34 72.8570

S = = 3.4847 Coeficiente de variación

CV =

Coeficiente de simetría

-114.5859 556.5551 -23.3226 66.6349 -23.3226 66.6349 1.4929 1.7062 9.8402 21.0867

31.0.450 97.5713 71.1072 294.5898

-47.7458 1,104.779

DISTRIBUCION ASIMETRICA CON SESGO NEGATIVO

Coeficiente de Curtosis

DISTRIBUCION PLATOCURTICA

35

EJEMPLO 21 Ingenieros civiles ayudan a que las plantas municipales de tratamientos de aguas residuales funcionen de manera más eficiente, al recolectar datos acerca de la calidad de las aguas residuales. En 7 ocasiones las cantidades de salidas suspendidas (partes por millón) en una planta fueron

X

14 196 -2744 38416

12 256 -4096 65536

21 48 -343 2401

28 0 0 0

30 4 8 16

65 1369 50653 1874161

26 4 -8 16

196 1878 43470 1980546

S = = 17.6918 Coeficiente de variación

CV =

Coeficiente de simetría

DISTRIBUCION ASIMETRICA CON SESGO POSITIVO

36

DISTRIBUCION LEPTOCURTICA

EJEMPLO 22 La siguiente información representa la duración en miles de ciclos de perfiles

rectangulares.

a) Construir Histograma y Polígono de Frecuencia

b) Construir Ojiva

c) Partir cuatro cuartiles en forma gráfica y analítica

d) Calcular el decil-3, decil-9, percentil-16

C=200

Grado de aprox.=1

n= 94

Int. de Clase f Intervalos

Reales F

750 - 949 8 749.5 - 949.5 8

950 - 1149 17 949.5 - 1149.5 25

1150 - 1349 23 1149.5 - 1349.5 48

1350 - 1549 15 1349.5 - 1549.5 63

1550 - 1749 11 1549.5 - 1749.5 74

1750 - 1949 17 1749.5 - 1949.5 91

1950 - 2149 3 1949.5 - 2149.5 94

37

1. Cuartiles forma analítica

LQx = Localización Cuartil x

1131.8529

2. Calcular decil-3 y 9 así como percentil-16

LDx = Localización Decil x

= 28.2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

749.5 949.5 1149.5 1349.5 1549.5 1749.5 1949.5 2149.5 2349.5

F

I.R

Ojiva

Ojiva

25%

50%

75%

100%

38

=

= 84.6

=

1974.2059

LPx = Localización Percentil x

= 15.04

=1032.3235

39

EJEMPLO 23 Una agencia publicitaria está evaluando diferentes medios de promoción para

cada uno de sus clientes, para uno de sus clientes que es fabricante de productos

de aseo destinado a los ancianos. Realiza una carrera de automóviles, en seguida

se da la distribución de edades del público que asistió a la carrera. Calcular Q1,

Q3, D5, D9, P1, y P9.

c=6

n=390

Grado de aprox. =1

= 97.5

= 40.91

= 292.5

= 55.13

= 195

= 49.27

= 351

= 61.27

= 3.9

= 19.18

= 261.3

=

53.3136

Edades f Intervalos

Reales F

15 - 20 5 14.5 - 20.5 8

21 - 26 20 20.5 - 26.5 25

27 - 32 24 26.5 - 32.5 49

33 - 38 30 32.5 - 38.5 79

39 - 44 46 38.5 - 44.5 125

45 - 50 88 44.5 - 50.5 213

51 - 56 103 50.5 - 56.5 316

57 - 62 44 56.5 - 62.5 360

63 - 68 30 62.5 - 68.5 390

390

40

EJEMPLO 24

1. El peso en kg de los campeones intramuros es: 56.6, 137.4, 73.9, 82, 86.1,

97.5 y 79.3. Calcular Q1, Q3, D2, D8, P15 y P83

= 1.75 75.25

2.25

1.125

= 5.25 94.65

5.75

4.75

= 1.4 72.17

1.9

0.9

= 5.6 101.49

6.1

5.1

= 1.05 66.115

1.55

0.55

= 5.81 109.869

6.31

5.31

41

EJEMPLO 25 El número de aviones extranjeros al nuevo aeropuerto de cd. De Guanajuato. En 7 días seleccionados al azar fueron 8, 3, 9, 5, 6, 8, 5, calcular madia, moda, mediana 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9

EJEMPLO 26 La siguiente tabla muestra la distribución de la edad de 100 ancianos, calcular las medidas de tendencia central

años f F x fx 60 – 62 5 5 61 305 63 – 65 18 23 64 1152 66- 68 42 65 67 2814 69 – 71 27 92 70 1890 72 – 74 8 100 73 584

½ = 0.5 100 6745

Frecuencia de la moda d1 = 42-18 = 24 d2 = 42- 27 =15 16, 16, 16, 16, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 37, 37,

42

EJEMPLO 27

Un psicólogo deportivo reunió datos de un grupo de corredores formando la

siguiente distribución, calcular la media, mediana y moda.

C=0.40 MILLAS POR DÍA

INTERVALOS f x fx F

1.60-1.39 32 1.195 38.24 32

1.40-1.79 43 1.595 68.585 75

1.80-2.19 81 1.995 161.595 156

2.20-2.59 122 2.345 292.19 278

2.60-2.99 131 2.795 366.145 409

3.00-3.39 130 3.195 415.35 539

3.40-3.79 111 3.595 399.045 650

3.80-4.19 95 3.995 379.525 745

4.20-4.59 82 4.395 366.39 827

4.60-4.99 47 4.795 225.365 874

5.00-5.39 53 5.195 275.335 927

927 2987.765

d1= diferencia uno

d1= f – f ant d2= = f

f = frecuencia de moda

f ant= frecuencia anterior

f post= frecuencia posterior

43

EJEMPLO 28

Es una oficina de un diario se registró el tiempo en que tardaron en imprimir la

primera plana durante 50 días. Obteniéndose la siguiente distribución.

Int. de clase f x fx F

1.90-20.1 7 19.55 136.86 7

20.2-21.3 11 20.75 228.25 18

21.4-22.3 7 21.95 153.65 25

22.6-23.7 10 23.15 231.5 35

23.8-24.9 11 24.35 267.85 46

25.0-26.1 3 25.55 76.65 49

26.2-27.3 1 26.75 26.75 50

50 1121.51

d1=11-7=4 d1=11-10

d2=11-7=4 d2=11-3=8

LRI= 20.2-0.05=20.15 23.8-0.05-23.75

44

EJEMPLO 29

La sig. Distribución representa la edad de 100 ancianos que varía entre 60 y 74

años.

I.C. No. Ancianos

60-62 5

63-65 18

66-68 42

69-71 27

72-74 8

n 100

Int. clase f F X fx f f

60-62 5 5 61 305 32.25 208.0125 -1341.6866 8653.8400

63-65 18 23 64 1152 62.10 214.245 -739.1453 2550.0511

66-68 42 65 67 2814 18.9 8.505 -3.8273 1.7223

69-71 27 92 70 1890 68.85 175.5675 447.6971 1141.6277

72-74 8 100 73 584 44.4 246.42 1367.631 7596.3521

100 6745 226.5 -269.3311 19943.5932

(-)

1.

2. RQ= Q3 – Q1)= 69.6111-65.6428=3.9683 18

LQ3=

75

69.6111

3. Rp=P90-P10

LP90=

45

LP10=

RP=71.2778-63.3333=7.9445

4. D.M. =

5. S2=

6. S=

7. C.V. =

8.

=

46

EJEMPLO 30

La siguiente distribución representa los diámetros en pulgadas n=40

Int. clase f F x fx f f

5.97-6.18 2 2 6.075 12.15 0.8141 0.3314

6.19-6.24 5 7 6.295 31.475 0.8736 0.1326

6.41-6.62 7 14 6.515 45.605 0.2749 0.0107

6.63-6.84 13 27 6.735 87.555 6.292x10-3 3.0453x10-6

6.85-7.06 7 34 6.955 48.685 0.4099 0.0246

7.07-7.28 6 40 7.175 43.05 1.2507 0.2733

40 268.52 3.6289 0.7920

n=40

Rp=P90-P10

40≥36 C=0.22

Rp=7.1383-6.273= 0.8653

47

EXAMENES

(PRIMER EXAMEN PARCIAL UNIDAD-1)

EJEMPLO 31 TIPO A

1.- En la siguiente tabla, se muestra las observaciones del nivel de agua en metros

en una presa.

a) Calcular media, moda, percentil-18.

b) Determinar el coeficiente de simetría.

INTERVALOS REALES

f

40.05-43.05 7

43.05-46.05 9

46.05-49.05 14

49.05-52.05 18

52.05-55.05 20

SOLUCIÓN.

a)

Media=3338.4/68=49.0941

= 52.05+

x f xf F

41.55 7 290.85 7 -3005.5461

44.55 9 400.95 16 -844.4836

47.55 14 665.7 30 -51.5429

50.55 18 909.9 48 55.5458

53.55 20 1071 68 1769.4209

3338.4 -2076.6059

48

b)

Distribución asimétrica sesgo negativo.

EJEMPLO 32

2.- Los contenidos de alquitrán el 6 marcas de cigarrillos son: 9.3, 7.3, 8.6, 16.1,

10.4, 12.2. Determinar el coeficiente de variación y desviación media.

x

9.3 1.35 1.8225

7.3 3.35 11.2225

8.6 2.05 4.2025

16.1 5.45 29.7025

10.4 0.25 0.0625

12.2 1.55 2.4025

14 49.415

EJEMPLO 33

3.- Los siguientes datos representan el tiempo que tardaron en imprimir la primera

plana en 40 días, construir polígono de frecuencia.

19.0 19.8 20.7 20.9 21.8 22.5 23.1 27.3

19.0 19.9 20.8 20.9 21.9 22.7 23.3 27.8

19.0 20.1 20.8 20.9 22.0 22.8 23.5 27.9

19.0 20.7 20.8 21.1 22.0 22.8 27.3 27.9

19.7 20.7 20.9 21.1 22.2 22.8 27.3 28.2

49

SOLUCIÓN.

Intervalos de clase f Intervalos reales

1) 19.0-20.5 8 18.95 – 20.55

2) 20.6-22.1 16 20.55 -22.15

3) 22.2-23.7 9 22.15 – 23.75

4) 23.8-25.3 0 23.75 – 25.35

5) 25.4-26.9 0 25.35 – 26.95

6) 27-28.5 7 26.95 – 28.55

50

EXAMEN

EJEMPLO 34 TIPO B

1.-Las cantidades siguientes son las tarifas de cobro por entrega de bultos

pequeños.

4.13 3.56 3.10 6.04 5.62 2.93 3.16

4.30 3.86 4.57 3.59 4.57 2.88 5.16

5.46 3.87 6.81 4.91 3.62 3.80 3.62

4.15 4.07 3.77 5.77 7.86 4.81 4.63

5.02 5.24 4.02 5.44 4.65 4.00 3.89

Determinar la distribución de frecuencia y construir histograma.

SOLUCIÓN.

Intervalos Reales

2.875 - 3.715

3.715 - 4.555

4.555 - 5.395

5.395 - 6.235

6.235 - 7.075

7.075 - 7.915

51

EJEMPLO 35

2.-El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas es: 34.2.

33.6, 37.8, 32.6, 35.4 y 35.9. Calcular el rango cuartílico y el coeficiente de

simetría.

SOLUCIÓN.

X

34.2 -0.3681

33.6 -2.2826

37.8 23.9707

32.6 -12.4334

35.4 0.1129

35.9 0.9508

9.9505

52

. Distribución asimétrica positiva

EJEMPLO 36

3.- Calcular el cuartil-3, percentil-5 y la moda.

SOLUCIÓN.

Limites f F

2.86-3.57 7 7

3.58-4.29 15 22

4.30-5.01 7 29

5.02-5.73 7 36

5.74-6.45 5 41

6.46-7.17 2 43

53

EXAMEN

EJEMPLO 37 TIPO C

1. Calcular mediana, moda y coeficiente de variación

Int. de Clase

f F

170-189 2 2

190-209 10 12

210-229 17 29

230-249 23 52

250-269 32 84

270-289 45 129

EJEMPLO 38

2. El tiempo que tardaron en imprimir la primera plana, fue registrada durante

5 días fue: 20.8, 19.0, 23.9, 25.1, 20.7 ¿Calcular el coeficiente de Kurtosis y

el rango cuartilico?

19.0 20.7 20.8 23.9 25.1

0 1 2 3 4

5

54

x (x-21.9)^4

20.8 1.4641

19.0 70.7281

23.9 16

25.1 104.8576

20.71 2.0736

∑=195.1234

EJEMPLO 39

3. El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas

Construir ojiva

34.2 33.6 33.8 37.8 37.8 32.6

33.1 38.7 34.2 33.6 36.6 33.1

34.5 45.0 33.4 32.5 35.4 34.6

35.6 35.4 34.7 34.1 34.6 35.9

55

34.3 36.2 34.6 35.1 33.8 34.7

Int. de clase f F I.R.C.

32.5 – 35.0 19 19 32.45 – 35.05

35.1 – 37.6 7 26 35.05 – 37.65

37.7 – 40.2 3 29 37.65 – 40.25

40.3 – 42.8 0 29 40.25– 42.85

42.9 – 45.4 1 30 42.85 – 45.45

OJIVA

56

Examen

EJEMPLO 40 Tipo D

1. Los salarios obtenidos por 50 estudiantes

X 55 60 65 70 75 80

f 6 3 4 11 16 10

a) Construir Ojiva

b) Calcular mediana, decil-7, percentil-16.

a) Ojiva

Int. Reales f F

52.5 – 57.5 6 6

57.5 – 62.5 3 9

62.5 – 67.5 4 13

67.5 – 72.5 11 24

72.5 – 77.5 16 40

77.5 – 82.5 10 50

57

EJEMPLO 41

2. El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas fue:

34.2, 33.1, 34.5, 35.6, 34.3, 45.0, calcular coeficiente de variación y

coeficiente de simetría.

X (x-36.1167)^3

34.2 -7.0411

33.1 -27.4525

34.5 -4.2253

35.6 -0.1379

34.3 -5.9955

45.0 701.0159

∑=656.1636

58

EJEMPLO 42

3. Los siguientes datos históricos de los sueldos por alumnos en dólares.

3.79 2.14 2.89 2.68 1.84 3.57

2.45 2.05 2.37 3.10 2.75 2.10

3.36 3.54 2.91 2.71 2.44 3.22

3.14 2.77 2.52 3.13 3.37 3.85

2.99 2.67 2.83 3.51 2.52 3.71

Obtener la distribución de frecuencia relativa

Int de Clase f Fr

1.84 – 2.24 4 0.1333

2.25 – 2.65 5 0.1667

2.66 – 3.06 9 0.3

3.07 – 3.47 6 0.2

3.48 – 3.88 6 0.2

59

UNIDAD 2

FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDAD

La probabilidad se define como evento entre espacio muestral.

Evento: Es el número de casos favorables.

Espacio Muestral: Es el número total de casos posibles.

Por ejemplo: Se lanza un dardo a una ruleta que esta girando, la cual tiene sectores de colores, 8 de ellos son de color amarillo, 10 de rojo y 12 de blanco, determinar la probabilidad de que el dardo caiga en un sector rojo.

Solución:

ε = 10 sectores rojos S = 30 (todos los sectores que compone la ruleta) Entonces: P(rojo) = 10/30 = 1/3 = 0.3333 = 33.33%

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1) La probabilidad de un evento toma valores entre 0 y 1, cuando es igual a cero tenemos la seguridad de que no va a ocurrir y cuando es igual a 1 tenemos las certeza de que el evento ocurrirá.

1)(0 EP

Ejemplo: P(azul) = 0% (el sector azul no existe en al ruleta) Por lo tanto este evento es un 0 ya que no ocurrirá en este caso.

2) La suma de probabilidades de los eventos que forman el espacio muestral es igual a 1.

1)( EP

60

EJEMPLO 43

Ejemplo 1 (en base al ejemplo de la ruleta):

P(E)=0.2667+0.3333+0.4= 1

EJEMPLO 44 Ejemplo 2:

Dado }6,5,4,3,2,1{S

1)6()5()4()3()2()1( PPPPPP

16

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

3) La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a 1- (la probabilidad de que el evento ocurra).

)(1´)( APAP

Nota: = Probabilidad de A complemento.

4) La probabilidad de la unión de 2 eventos que son mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades.

61

)()()( BPAPBAP

5) La probabilidad de la unión de 2 eventos que son colectivamente exhaustivos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ocurran ambos.

)()()()( BAPBPAPBAP

}2{}3,2{}2,1{

De 3 eventos seria de la sig. manera:

)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

}5{}6,5{}5,4{}5,2{}7,6,5,4{}6,5,3,2{}5,4,2,1{

EJEMPLO 45 Ejercicio 1:

Sea },,,{ 4321 aaaaS y sea P una función de probabilidades de S :

a) Hallar )( 1aP si 3

1)( 2 aP ,

6

1)( 3 aP y

9

1)( 4 aP

62

b) Hallar )( 1aP y )( 2aP si 4

1)()( 43 aPaP y )(2)( 21 aPaP

c) Hallar )( 1aP si 3

2),( 32 aaP ,

2

1),( 42 aaP y

3

1)( 2 aP

Solución:

a) 18

7

9

1

6

1

3

11)( 1

aP

b) )()()()(2)()( 342231 aPaPaPaPaPaP

)()()(3)()( 34231 aPaPaPaPaP

2

1)(31 2 aP

)(32

11 2aP

6

1)( 2 aP

)(2)( 21 aPaP

6

12)( 1aP

3

1)( 1 aP

c) 1)()()()( 4321 aPaPaPaP

)())()()((1 4321 aPaPaPaP

)())()()((1 4321 aPaPaPaP

3

2)()( 32 aPaP

3

1

3

1

3

2)( 3 aP

2

1)()( 42 aPaP

6

1

3

1

2

1)( 4 aP

6

1

6

1

3

1

3

11)()()(1)( 4321 aPaPaPaP


Tres estudiantes A, B Y C intervienen en una prueba de natación, A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Hallar la probabilidad de que gane B o C.

63

Solución:

},,{ CBAS

1)()()( CPBPAP

Si, )(2)()( CPBPAP

Sustituyendo P(B) y P(A):

1)()(2)(2 CPCPCP 1)(5 CP

5

1)( CP

Para P(B), si:

5

12)(2)( CPBP

5

2)( BP

Por lo tanto:

)()()( CPBPCBP Sustituyendo:

%606.05

3

5

1

5

2)( CBP

EJEMPLO 47 Ejercicio 3: De 120 estudiantes 60 estudian francés, 50 español y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar hallar la probabilidad de que el estudiante:

a) Estudie francés y español. b) No estudie francés ni español. c) Estudian únicamente un idioma.

Solución:

a) F=60, E=50, 20)( EFP

}120{S

%67.161667.0120

20)( EFP

b)

64

c)


El departamento de publicidad Dell palacio de bronce efectuó una encuesta a un grupo seleccionado de 1000 clientes de entre todos los que abrieron su cuenta de crédito en el pasado desde diciembre.

Los resultados de la encuesta se han tabulado así:

Mercancía #De personas Abreviación

Artículos para hogar 275 H

Artículos para vestir 400 V

Juguetes 550 J

Artículos para hogar y vestir 150 H∩V

Artículos para hogar y juguetes 110 H∩J

Artículos para vestir y juguetes 250 V∩J

Artículos para vestir, juguetes y del hogar

100 H∩V∩J

a) Si se selecciona al azar a uno de estos clientes determine la posibilidad de que no usara su crédito en ninguno de estos mencionados

b) Que utilizara su crédito solo para comprar juguetes. c) Que utilice su crédito para comprar al menos 2 de los artículos

mencionados. Solución:

a)

)(1)( JVHPJVHP

65

)()()()()()()()́( JVHPJVPJHPVHPJPVPHPJVHP

815.01000

815

1000

100

1000

250

1000

110

1000

150

1000

550

1000

400

1000

275

%5.18815.01)(1 JVHP

b)

VH =150=A2+A5

150=A2+100 150-100=A2

A2=50

H=275=A1+A2+A4+A5

=A1+100+50+10 A1=275-160=115

V=A2+A3+A5+A6

400=50+A3+100+150 A3=400-50-250=100

J=A4+A5+A6+A7

550=10+100+150+A7 A7=550-260=290

%2929.0

1000

290)( SoloJP

c)

P(Al menos 2 artic.) = P(artc.≥2) = A2+A4+A5+A6

66


Un investigador de mercados efectúa una encuesta sobre los hábitos de lectura de periódicos de la ciudad de Córdoba, con los siguientes datos:

98% Leen el clarín 22.9% Leen el mercurio

12.1% Leen la sensación 5.1% Leen el clarín y el mercurio

3.7% Leen el clarín y la sensación 6.0% Leen el mercurio y la sensación 32.4% Leen al menos uno de los 3 periódicos mencionados

Calcular el porcentaje de personas que: a) No leen ninguno de los tres periódicos mencionados. b) Leen exactamente 2 de los periódicos. Solución: a)

b)

)()()()()()()()( SMCPSMPSCPMCPSPMPCPSMCP

0.324=0.098+0.229+0.121-0.051-0.037-0.06+ )( SMCP

0.324=0.3+ )( SMCP

)( SMCP =0.024

)( MCP =A2+A5

0.051=A2+0.024 A2=0.027

67

)( SCP =A4+A5

0.037=A4+0.024 A4=0.013

)( SMP =A6+A5

0.06=A6+0.024 A6=0.036

cos)_2_( periodieExacatmentP =A2+A4+A6=0.027+0.013+0.036=0.076=7.6%


El instituto de la juventud del estado huasteco esta organizando los equipos de fútbol, béisbol y natación para las próximas mini olimpiadas. Hay 900 personas del instituto que han manifestado sus deseos de participar en esos eventos deportivos y han cumplido con los exámenes médicos deportivos, Se habían obtenido los siguientes datos preliminares del primer listado de computadora, cuando repentinamente se interrumpió el servicio eléctrico. 400 en fútbol 390 en béisbol 480 en natación 680 en fútbol o béisbol 210 no pueden participar en ninguno de estos 90 en los primeros 2, pero no en el tercero 190 en solamente natación Si se selecciona al azar una persona determinar la probabilidad de que; a) Pueda participar en los tres deportes. b) Pueda participar en por lo menos 2 de los deportes. Solución:

a)

68

680= )( BFP =F+B- )( BFP

680=400+390- )( BFP

)( BFP =110

)( NBFP =A5

)( BFP =A2+A5

110=90+A5 A5=20

%22.20222.0900

20)( NBFP

b)

%22.424222.0900

90190480)2___(

menosloPorP

EJEMPLO 51 Ejercicio 7: En una encuesta realizada por la “Panificadora Real” se entrevistaron a 900 amas de casa sobre su preferencia a 3 productos que fabrican, se obtuvieron los siguientes resultados: 130 personas compran únicamente pan de caja 88 personas compran únicamente pan negro 32 personas compran únicamente mantecadas 144 personas compran pan de caja y pan negro exclusivamente 86 personas compran pan negro y mantecadas exclusivamente 90 personas compran pan de caja y mantecadas exclusivamente 205 personas compran los 3 productos Si se selecciona una persona al azar cual es la posibilidad de que:

a) Consuma al menos pan de caja o pan negro b) No consuma los productos que fabrican esta panificadora

69

Solución:

a) P (consuma al menos pan de caja o pan negro)

b)

A8 = 900 – (743 + 32) A8 = 125

P = 0.1389 P = 13.89%

70

EJEMPLO 52 Ejercicio 8. Sea P(A) = X, P(B) = Y, P(A∩B) = Z. Hallar:

a) P(AC∩BC)

b) P(AC⋃B)

Solución: U={1,2,3,4} A={1,2}, B={2,3} Para obtener el área de A A=A1+A2 X=A1+Z Despejando A1 X-Z=A1 Para obtener A4 U=A1+A2+A3+A4 Sustituyendo 1=(X-Z)+(Z)+(Y-Z)+A4 1=X+Y+Z+A4 Despejando A4 1-X-Y+Z=A4

Para área B B=B2+B3 Y=Z+B3 Despejando B3 B3=Y-Z Otra forma de encontrar el A4

A⋃B=A+B-A∩B A⋃B=X+Y-Z U= A⋃B+A4 1=X+Y-Z+A4 1-X-Y+Z=A4

71

TECNICAS DE CONTEO Se clasifican en permutaciones y combinaciones. Permutaciones: Es el número arreglos en donde importa el orden de cada uno de los elementos.

Combinaciones: Es el número de arreglos donde no importa el orden, generalmente de un grupo “n” se extrae otro grupo “x”.

Dónde: n=el tamaño total del grupo o muestra donde se puede elegir. x=el número de elementos que se puede obtener de n.

Hay dos tipos de permutaciones

1. Con reemplazo. 2. Sin reemplazo.

EJEMPLO 53 Ejercicio 1: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar 2 personas de un grupo de 6 y cuales son? Solución:

2

6=

)!26(!2

!6

=

!4!2

!6=

!4*1*2

!4*5*6

=

2

30= 15 combinaciones

12 23 34 45 56 13 24 35 46 14 25 36 = 15 combinaciones 15 26 16

n! = n factorial

Ejemplo:

5!=5*4*3*2*1

72

EJEMPLO 54 Ejercicio 2: Si no se permiten repeticiones:

a) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los 6 dígitos 2, 3, 5, 6,7 y 9? b) ¿Cuántos de estos son menores que 400? c) ¿Cuántos son pares? d) ¿Cuántos son impares? e) ¿Cuántos son múltiplos de 5?

Solución:

a) 6 5 4 =120

b) 2 5 4 =40

c) 5 4 2 =40

d) 5 4 4 =80

e) 5 4 1 =20

EJEMPLO 55 Ejercicio 3: ¿De cuantas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

=(35)(10)=350 EJEMPLO 56 Ejercicio 4: a) De cuantas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila. b) De cuantas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también. c) De cuantas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas. Solución:

a) 5 4 3 2 1 =5!=120 formas

73

b)

3 2 1 2 1 =12

+

2 1 3 2 1 =12

2* 2!* 2! = 24 formas c)

2 1 3 2 1 =12

+

3 2 1 2 1 =12

+

3 2 2 1 1 =12

+

3 2 1 2 1 =12

48 formas Otra forma de contestar el inciso “c” es usando el “método del salto de la rana” que es el siguiente.

EJEMPLO 57 Ejercicio 5: a) De cuantas maneras 5 niños y 4 niñas pueden sentarse en una fila. b) De cuantas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también. c) De cuantas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas. d) De cuantas maneras puede quedar alternados.

74

Solución:

a) 9! = 362880

b)

5 4 3 2 1 4 3 2 1 =2880

+

4 3 2 1 5 4 3 2 1 =2880

2* 5!* 4! = 5760 formas c)

d) 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5!*4! = 2880 formas EJEMPLO 58 Ejercicio 6: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar 2 personas de un grupo de 7 y cuales son los diferentes arreglos? Solución:

2

7=

)!27(!2

!7

=

!5!2

!7=

!5*1*2

!5*6*7=

21

42= 21 combinaciones

12 13 14 15 16 17 23 24 25 26 27 34 35 36 37 = 21 combinaciones 45 46 47 56 57 67

6*5!*4!=17280 formas.

75

EJEMPLO 59 Ejercicio 7: De cuantas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas. a) En una fila de 7 sillas. b) Alrededor de una mesa redonda. Solución: a)

=7!=5040

b)

Nota: En una mesa redonda se toma como inicio y fin una de las casillas o lugares. EJEMPLO 60 Ejercicio 8: Cuantos arreglos distintos se pueden hacer tomando todas las letras de la palabra: Dado Solución:

=!2

!4=

!2

!2*3*4

=12

Y con la palabra probabilidad Probabilidad = 12 Repeticiones: b x 2, i x 2, a x 2, d x 2.

7 6 5 4 3 2 1

!3!2!1

!

rrr

n

(n-1)!

(7-1)! = 6!

6! = 720

76

EJEMPLO 61 Ejercicio 9: Cuantos arreglos distintos pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras. a) Tema b) Campana c) Estadística a)

=24

b)

!3

!7=

6

5040=840

c)

!2!2!2!3

!12=9979200

EJEMPLO 62 Ejercicio 10: Una delegación de 4 estudiantes se selecciona todos los años para asistir a la asamblea anual de la asociación de estudiantes, a) De cuantas maneras puede escogerse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles. b) De cuantas maneras si 2 de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo. c) De cuantas maneras si 2 de los estudiantes elegibles son casados y solo asistirán si van juntos. d) Si el grupo esta formado por 5 mujeres y 7 hombres de cuantas maneras se puede escoger la delegación que este formado en por lo menos una mujer. Solución: a)

)!8(!4

!12=

)!8(1*2*3*4

!8*9*10*11*12

=495

4 3 2 1

77

b)

3

10

1

2=

)!7(1*2*3

!7*8*9*102 =2*120 =240

+

)!6(!4

!10

4

10

=

)!6(1*2*3*4

!6*7*8*9*10

=210

450 c)

2

10

2

2

)!8(!2

!101 =

)!8(1*2

!8*9*10

=

2

90

=45

+

)!6(!4

!10

4

10

=

)!6(1*2*3*4

!6*7*8*9*10

=

210

5040

= 210

255 d) La condición se cumple si: 1m ó 2m ó 3m ó 4m Las delegaciones pueden formarse entonces de las siguientes maneras. 1m y 3h ó 2m y 2h ó 3m y 1h ó 4m

78

PROBABILIDAD CONDICIONAL A la probabilidad de que un evento “B” se de cuando algún otro evento “A” sea presentado se llama “Probabilidad condicional” y se escribe P(B/A), se lee: “La probabilidad de que B ocurra dado que ocurrió A”. La probabilidad de “B” dado “A” EJEMPLO 63 Ejercicio 1: Se lanza un dado, si el resultado es par, ¿Cual es la probabilidad de que caiga el numero 4? S= {1,2,3,4,5,6} A={2,4,6}

P(4/par)= 1 / 3

EJEMPLO 64 Ejercicio 2: Suponga que todos los individuos que compran determinada cámara digital, 60% incluyen una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40% incluye una batería. Considere elegir al azar un comprador. Dado que el individuo compro una batería extra determinar la probabilidad que también sea comprada una tarjeta opcional y 30% una tarjeta y una batería. Solución:

6.0)( TarjetaP

4.0)( BateriaP

3.0)( BTP

%7575.04.0

3.0

)(

)()\(

BP

BTPBTP

EJEMPLO 64

Ejercicio 3: Una revista publica 3 columnas tituladas “Art. ” (A),”Books”(B) Y “Cinema”(C). Los hábitos de lectura de los lectores son probables de leer con regularidad.

A B C A∩B A∩C B∩C A∩B∩C

0.14 0.23 0.37 0.08 0.04 0.03 0.05

Hallar a) )\( BAP

b) )\( CBAP

c) )\( CBAP

79

Solución: a)

%78.343478.023.0

08.0

)(

)()\(

BP

BTAPBAP

b)

B = 0.23=A2+A3+A5+A6 0.23=0.03+A3+0.05+0.08 0.23=0.16+A3 A3=0.23-0.16=0.07 C =0.37=A4+A5+A6+A7 0.37=0.04+0.05+0.08+A7 0.37=0.17+A7 A7=0.37-0.17=0.2

%53.252553.047.0

12.0)\( CBAP

c)

%94.454594.037.0

17.0

37.0

08.005.004.0

)(

)()\(

CP

CBAPCBAP

80

EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos A y B son independientes si y solo si la probabilidad )()()( BPAPBAP

De otra forma son dependientes. EJEMPLO 65 Ejercicio 1: Un sistema eléctrico consiste en cuatro componentes que funciona independientemente uno de otro como se indica en la figura, donde se indica la probabilidad de que cada componente funcione. Encuentre:

a) El sistema completo funcione: b) El componente C no funcione dado que el sistema completo funcione:

Solución: P ( I U II ) = P ( I ) + P ( II ) – P ( I ∩ II ) P (funcione) = 0.9 [0.8 (0.7) + 0.85 - 0.8 (0.7) (0.85)] a) P (funcione) = 0.8406

*ABCD = (0.9) (0.8) (0.7) (0.85) = 0.4284 * ABCD = (0.9) (0.8) (0.7) (0.15) = 0.0756 *ABCD = (0.9) (0.8) (0.3) (0.85) = 0.1836 ABCD

* ABCD = (0.9) (0.2) (0.7) (0.85) = 0.1071 ABCD *ABCD = (0.9) (0.2) (0.3) (0.85) = 0.0459 ABCD ------------ 0.8406

P (no funcione) = 0.1863 + 0.0459 = 0.2295

b) P (3/ Sist. funcione) =8406.0

27.0= 0.3211

81

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos B1, B2,…, Bk constituyen una partición del espacio muestral S, donde P(Bi)

0 para i=1, 2,…, k , entonces, para cualquier evento A en S tal que P(A) 0 , dado

que:

k

i

ii

rr

K

i

i

rr

BAPBP

BAPBP

ABP

ABpABP

11

)/()(

)/()(

)(

)()/(

Para r= 1, 2, 3,…, k.

EJEMPLO 66 Ejercicio 1: Se ha nominado a 3 personas de un club privado nacional para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al Sr. Adams es de 0.3,la que se haga lo propio con el Sra. Brown de 0.5 y la que gane el Sra. Copper es 0.2 En caso de que se elija al Sr. Adams la probabilidad de que la cuota de ingreso se incremente es 0.8; si se elije a la Sra. Brown o a la Sra. Cooper las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota es 0.1 y 0.4 respectivamente.

a) Cual es la probabilidad de que halla un incremento en la cuota de membresía. b) Si alguien considera entrar al club pero retrasa su decisión por varias semanas solo

para encontrarse de que las cuotas de entrada aun aumentado. Cual es la probabilidad de que se halla elegido a la Sra. Cooper como presidenta?

Solución: a)

P(I) = P(A y I) ó P(B y I) ó P(C y I) P(I) = (0.3)(0.8) + (0.5)(0.1) + (0.2)(0.4) = 0.24 + 0.05 + 0.08=0.37= 37%

I= Incremente

N= No incremente

82

b) P (C/I)= %62.212162.037.0

08.0

37.0

)4.0(2.0

)(

)(

IP

CyIP

EJEMPLO 67 Ejercicio 2: La Policía planea hacer cumplir los límites de velocidad, usando un sistema de radar, en 4 diferentes puntos de la ciudad. Las de radar en cada uno de los sitios es de: L1, L2, L3 y L4. Operan: 40%, 30%, 20% y 30%, del tiempo. Y si una persona viaja a gran velocidad cuando va a su trabajo, tiene la probabilidad de 0. 2, 0. 1, 0. 5 y 0.2, respectivamente de pasar por esos lugares.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no reciba una multa por conducir en exceso de velocidad?

b) Si la persona es multada por conducir en exceso de velocidad hacia su trabajo.

¿Cuál es la probabilidad de que pase en el radar de L2?

P(+) = P(A y +) ó P(B y +) ó P(C y +)

a) P(m) = P(L1 y m) ó P(L2 y m) ó P(L3 y m) ó P(L4 y m)

P(m) =(0.2)(0.4) + (0.1)(0.3) + (0.5)(0.2) + (0.2)(0.3) =0.08 + 0.03 + 0.1 + 0.06 = 0.27 = 27%

b) %9.95959.073.0

07.0

27.01

)7.0(01.0)\2(

nLP

m= Multa

n*= No multa

83

UNIDAD 3

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Un variable aleatoria discreta “x” se dice que es discreta si se puede tomar un numero finito o

infinito contable de valor; Como puede ser el número de personas que entran diariamente a la

cafetería.

FORMULAS PRINCIPALES

Media ⇒

Desviación estándar ⇒

Coeficiente de variación ⇒

Coeficiente de simetría ⇒

R- esimo momento ⇒

Coeficiente de kurtosis ⇒

A continuación se hará un ejercicio como ejemplo de V.A.D. (variable aleatoria discreta) para

ejemplificar el tema; utilizando la teoría aprendida en las unidades anteriores.

EJEMPLO 68

Se lanza una moneda 4 veces y se define “x” como el número de caras, determinar:

a) Determinar la distribución de probabilidad para x.

b) Determinar la distribución de probabilidad acumulada.

c) Determinar gráficamente las distribuciones de A y B.

d) Calcular el valor esperado de x.

e) Calcular la desviación estándar, coeficiente de variación.

84

S= (2) (2) (2) (2)= 16

CCCC 4 SCCC 3

CCCX 3 SCCX 2

CCXC 3 SCXC 2

CCXX 2 SCXX 1

CXCC 3 SXCC 2

CXCx 2 SXCX 1

CXXC 2 SXXC 1

CXXX 1 SXXX 0

a), b)

x P(x) P. Ac (x) x P(x)

0 "1/16"=0.0625 0.0625 0

1 "4/16"=0.25 0.3125 0.25

2 "6/16"=0.375 0.6875 0.75

3 "4/16"=0.25 0.9375 0.75

4 "1/16"=0.0625 1 0.25

1 2

c)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 ("2") 3 4

Grafica de Barras o Histograma para variables aleatorias discretas

85

d)

E(x) = valor esperado de x

E(x) = M= 2

M = ∑ fx/ N

N= tamaño de la población

M = ∑x p(x)

e)

ℓ = Desviación Estándar de la Población

ℓ = √∑fx – M2/N

ℓ2= ∑(x-M)2 P(x)

ℓ2 = ∑(x2-2xM∑xP(x) + M2(∑P(x) )

ℓ2 = E(x2) – 2M2 + M2

ℓ =E(x2) – M2 E(x) = Valor esperado

ℓ= √∑x2 p(x) –M2

ℓ=√ (5-22) = √1 = 1

c. v= ℓ/M = coeficiente de variación = ½ = 0.5

α3= m3/ m23/2

m3=∑ (x-M)3 /N

m3=∑(x3-3xM + 3xM2 –M3) P(x)

= ∑(x3p(x) -3M∑x2p(x) + 3M∑xp(x) – M ∑p(x)

86

Formula

m3= 14 -3(2) (5) + 2(2)3 =14 – 30 + 16 =0

α3= 0/ 13/2=0 Distribución Simétrica

α4= Coeficiente de Kurtosis

α4=m4/ m22

m4= ∑ fx –M4 / N

m4= ∑(x- M)4 p(x)

m4= ∑ (x4 – 4x3M + 6x2M2- 4xM3+ M4) p(x)

m4= ∑ x4 p(x) – 4M ∑ x3 p(x) + 6M2∑x2 p(x) -4M3∑xp(x) + M4 (∑p(x))

m4= E(x4) – 4ME(x3) + 6M2 E(x2) – 3M4

M4= 42.5 – 4(2)(14) + 6(22)(5) -3(24)=2.5

α4= 2.5/ 1= 2.5 Distribución Platocurtica

EJEMPLO 69

Se lanzan dos dados y se define “x” como la suma de las 2 caras.

S= 6*6=36

Combinaciones:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

M3= E(x3)- 3ME(x2) + 2M3

87

Distribución de probabilidad.

x P(x) P. Ac (x) x P(x) x´2 p(x)

2 "1/36" "1/36" "2/36 "4/36

3 "2/36" "3/36" "6/36" "18/36"

4 "3/36" "6/36" "12/36" "48/36"

5 "4/36" "10/36" "20/36" "100/36"

6 "5/36" "15/36" "36/36" "180/36"

7 "6/36" "21/36" "42/36" "294/36"

8 "5/36" "26/36" "40/36" "320/36"

9 "4/36" "30/36" "38/36" "324/36"

10 "3/36" "33/36" "30/36 "342/36"

11 "2/36" "35/36" "22/36" "242/36"

12 "1/36" 1 "12/36" "144/36"

252/36 1974/36"

Graficas

α3 = 0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Serie 1

88

Valor Esperado E(x) = M= ∑ x p(x)

M= 252/36 = 7

ℓ= √ (∑ x2 p(x) –M2)

ℓ= √ (54.8335 - 72)

=√ ( 5.8335) = 2.4152

C V = ℓ / M CV= 2.4152/7 = 0.3450

EJEMPLO 70

En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños se les pide que hagan corresponder

cada 1 de los 3 dibujos de animales con la palabra que identifica a ese animal, si un niño asigna

aleatoriamente las 3 palabras a los 3 dibujos , encuentre la distribución de probabilidad para x , el

número correspondencias correctas , calcule media , mediana y moda.

S = 3*2*1=6

X

AVP 3

APV 1

VAP 1

VPA 0

PAV 0

PVA 1

89

X P(X) X P(X) P.Ac (X)

0 "2/6" 0 "2/6 = .3333

1 "3"/6" "3/6" "5/6 = .8333"

2 "1/6" "3/6" 1

1 1

Media= 1

M0= Moda Poblacional

M0= 1

Md= Mediana

0 – 0.3333

Md – 0.5 Md – 0 / 1 – 0 = 0.5 – 0.3333 / 0.8333 – 0.3333 = 0.3334=Md

1 -- 0.8333

EJEMPLO 71

Por saturación de vuelos algunas líneas aéreas venden más pasaje que los disponibles en un

vuelo. Una compañía ha vendido 205 boletos que corresponden a un avión de 200 asientos. Sea

“x” la variable aleatoria que representa en número de pasajeros que tramita su pase de abordar

en el aeropuerto. La distribución de probabilidad está dada por x.

Calcular media, mediana, moda.

Tabla de distribución de probabilidad.

x P(x) x P(x)

198 0.05 9.9 0.05

199 0.09 17.91 0.14

200 0.15 30 0.29

201 0.2 40.2 0.49

202 0.23 46.46 0.72

203 0.17 34.51 0.89

204 0.09 18.36 0.98

205 0.02 4.1 1

1 201.44

90

201 – 0.40

Md – 0.50

202 – 0.72

Md – 201 / 1 =0.6435 M (media)= 201.44

Md = 0.6435 + 201 M0= 202= (Moda)

Md (mediana)= 201.0435

P. Ac(x)

0.05

0.14

0.29

0.49

0.72

0.89

0.98

1

91

EJEMPLO 72

Determine el valor de “c” de tal forma que cada una de las siguientes funciones sirva como

distribución de la variable aleatoria discreta x:

a) d(x) = (2 c x ) * (3 c 3-x ) para x= 0 , 1, 2

£∑x=0 = f(x) = 1

= c (02 + 4) + c (12 + 4) + c(32 + 4)

= 4c +5c + 8c +13c = 30c

1= 30c

c= 1/30 =0.0333

b) ∑x=02 f(x) =1

1= (2 c 0) * ( 3 c 3-0)+ (2 c 1) * (3 c 3-1) + (2 c 2) * ( 3 c 3-2)

1= c( 1)(1) + c( 2) (3) + c(1)(3)

1= c +6c + 3c

1= 10c

C= 1/10=0.1

EJEMPLO 73

Considere que un sistema de agua que fluye a través de válvulas de “A” a “B” .Las válvulas 1, 2 y

3 funcionan independientemente cada 1 y se abre correctamente mediante una señal con

probabilidad de 0.8. Encuentre la distribución de probabilidad para “x”, el número de días abiertos

de “A” a “B” después de haber enviado la señal, construya la ojiva.

A) Encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de vías abiertas de A a B

después de haber enviado la señal.

B) Construya histograma y ojiva

C) Calcular coeficiente de variación, coeficiente de simetría y curtosis.

X= # de vías abiertas de A a B

X= 0, 1, 2.

92

X P(x) P (acumulada)

0 0.072 0.072

1 0.416 0.488

2 0.512 1

Suma = 1

S= (2)(2)(2)= (2)3= 8 X

1 2 3 2

1 2 3 1

1 2 3 1

1 2 3 1

1 2 3 1

1 2 3 0

1 2 3 0

1 2 3 0

P (abierta)= 0.8

P (cerrada)= 0.2

P (0)= (0.8)(0.2)2 + (0.8)(0.2)2 + (0.2)3 = 0.072

P (1)= (0.8)2(0.2)(0.3) + (0.8)(0.2)2 = 0.416

P (2)= (0.8)3= 0.512

P1Ac(x) = probabilidad acumulada de x

93

C.V = M/ σ

M= media de la población

σ= desviación estándar de la población

M= Ef(x)/ N = Exp(x) N= tamaño de la población

xP(x)

0

0.416

1.024

Suma= 1.44

Exp(x) = 1.44 σ= sqrt(Ef(x-M)2 / N) (σ)2 = E(x-M)2 p(x)

(σ)2 = E(x)2p(x) – M2

X2 P(x)

0

0.416

2.048

Suma= 2.464

(σ)2 =2.464 – (1.44)2 = 0.3904 σ=0.6248

C.V= 0.6248 / 1.44 = 0.4339

ἀ3 = m3 / m23/2 m2= σ2= 0.3904

m3= E(X-M)3 P(x)

X3 P(x)

0

0.416

4.096

Suma= 4.512

M3=4.512 – 3(1.44)(2.464) + 2(1.44)3 = -0.1605

ἀ3 = -0.1605 / (0.3904)1.5 = -0.6586 distribución asimétrica con sesgo negativo

m4 = E(x-M)4 p(x) ἀ4 = m4 / m22

m4= 8.608 – 4(1.44)(4.512) + (1.44)2 (2.464) – 3(1.44)4 = 0.3755

X4 P(x)

0

0.416

8.192

Suma= 8.608

94

TEOREMA DE CHEBISHEV.

La desviación estándar de una variable aleatoria “X” mide la dispercion de los valores de “x”

alrededor de la media µ de “x”. En consecuencia, para valores mas bajos de se esperaría que

“x” estuviera mas cerca de su media µ. Esta esperanza intuitiva se hace mas precisa mediante la

desigualdad siguiente:

Desigualdad de Chebishev

Sea “x” una variable aleatoria de con media µ y desviación estándar . Entonces para cualquier

número positivo k, la probabilidad de que un valor de “x” se encuentre en el intervalo

es al menos 1-1/k2. Es decir,

Un ejemplo de este importante teorema está dado por el problema siguiente.

EJEMPLO 74

Suponga que “x” es una variable aleatoria con media µ= 100 y desviación estándar

a)

Encuentre la conclusión que se pueda derivar de la desigualdad de Chebishev para k=2

Por tanto se puede concluir que la probabilidad de “X” se encuentra entre 90 y 110 y es por lo

menos ¾.

MODELOS COMUNES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

ESTAS SON:

1.- Distribución de Bernoulli

2.- Distribución Binomial

3.- Distribución Geométrica

4.- Distribución Binomial negativa o Pascal

95

5.- Distribución Hipergeométrica

6.- Distribución de Poisson

1.- DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Consiste en una sola prueba en la cual se tiene éxito o fracaso, el valor de “x” toma valor de “0”

cuando fracasa y valor de “1” cuando es éxito. Como se trata de un experimento aleatorio se tiene

que la probabilidad de éxito se representa con la letra “p”, mientras que Q=1-P representa la

probabilidad de que no ocurra el suceso, es decir probabilidad de fracaso.

Características:

1.- Se tiene éxito o fracaso.

2.- La probabilidad de éxito “p” permanece constante y la probabilidad de fracaso es q= 1-p.

3.- Se realiza una única vez el experimento.

4.- La variable x es el número de éxitos que se tiene al realizar el experimento y toma valores de 0

y 1.

EJEMPLO 75

Se lanza un dado y se considera éxito que caiga el número 2.

a) Determinar la distribución de probabilidades

b) Calcular la media y la varianza

a)

x P(x) xP(x) x2P(x)

0 5/6 0 0

1 1/6 1/6 1/6

1 1/6 1/6

b)

⇒

⇒ ∑

96

EJEMPLO 76

Se selecciona al azar un artículo y se define “x” como el número de artículos no defectuosos

seleccionados. Si la probabilidad de seleccionar un artículo defectuoso es del 2% encontrar:

a) Distribución de la probabilidad

b) Calcular la media y la desviación estándar

a)

x P(x)

0 0.02

1 0.98

b)

⇒

2.- DISTRIBUCION BINOMIAL

Un experimento binomial es aquel que tiene las siguientes características:

1.- El experimento consta de “n” pruebas idénticas.

2.- Cada prueba tiene 2 resultados posibles. Éxito (E) o fracaso (F).

3.- La probabilidad de éxito, en una sola prueba es igual a “p” y permanece constante en cada

evento. La probabilidad de fracaso también no varía de una prueba a otra y la representamos con

“q”:

4.- Las pruebas son independientes.

5.- La variable aleatoria bajo estudio es “x”, el número de éxitos observados en la “n” pruebas.

FORMULAS:

Valor esperado = E(x) = np

⇒

⇒

97

EJEMPLO 77

La probabilidad de que cierta clase de componente pase con éxito una determinado prueba de

impacto es de 0.7, si se someten 4 componentes a esta prueba.

a) Encuentre la distribución de probabilidad para x, número de componentes que pasan con

éxito, la prueba de impacto.

EEEE 4 FEEE 3

EEEF 3 FEEF 2

EEFE 3 FEFE 2

EEFF 2 FEFF 1

EFEE 3 FFEE 2

EFEF 2 FFEF 1

EFFE 2 FFFE 1

EFFF 1 FFFF 0

x P(x)

0 0.0081 0 0

1 0.0756 0.0756 0.0756

2 0.2646 0.5292 1.0584

3 0.416 1.2348 3.744

4 0.241 0.964 3.856

1 2.8 8.734

98

b) Calcule la media y la varianza.

EJEMPLO 78

La probabilidad de que un porcentaje se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4, si

se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad. Cuál es la probabilidad de que:

a) Al menos 10 personas sobrevivan

b) Sobrevivan entre 3 y 8 personas

99

c) Sobrevivan al menos 5 personas exactamente

d) Determinar el valor esperado que pueden recuperarse de la enfermedad

=15*.04=6

e) Calcular la desviación estándar

EJEMPLO 79

Un ingeniero de seguridad afirma que un décimo de los accidentes automovilísticos se debe a la

fatiga del conductor, calcule la probabilidad de que por lo menos 3 de los 15 accidentes se deba a

la fatiga del conductor.

b) Calcular la media o número esperado de accidentes de los 15 que se deba a la fatiga del

conductor y la desviación estándar.

a) p(cuando menos de 3 de 15)

q=0.9

n=10

b)

=15*.01=1.5

100

3.- DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Si repetidos intentos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad “p” y en un

fracaso con una probabilidad “q=1-p”, entonces “x”, es el número de intentos en el cual ocurre el

primer éxito:

x= # del intento en el cual ocurre el primer éxito.

X

1 E p

2 FE qp

3 FFE q2p

4 FFFE q3p

⇒

.

⇒

.

⇒

.

n FFF...FE qn-1

p

EJEMPLO 80

La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto

privado es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen.

a) En el tercer intento

b) Antes del cuarto intento

c) Después del tercer intento

d) Determinar el número esperado de eventos que tiene que hacer para obtener su licencia de

piloto privado

e) Determinar la desviación estándar

a)

p= 0.7

101

q= 0.3

P (3) = (0.3)2 * (0.7) = 0.063

b)

P(x<4) = 0.7+ 0.3*0.7 + 0.063

P(x<4) = 0.973

c) P(X>3)=

P(x>3)= 1- 0.973= 0.027

d)

µ= 1/0.7= 1.4286

e)

EJEMPLO 81

Un examen de opción múltiple consta de 8 preguntas y 3 respuestas a cada pregunta.

Un ingeniero en seguridad de automóviles afirma que uno de los accidentes se debe a la fatiga del

conductor, determinar:

a) La probabilidad de que el quinto accidente se debe a la fatiga del conductor

b) Calcular la probabilidad de que el primer accidente que se deba a la falla del conductor, sea

encontrado después del 4to accidente

a)

P (x=5)

102

P (5) = 0.94*(0.1)

P (5) = 0.06561

b)

P(x>4) = 0.94= 0.6561

4.- DISTRIBUCION DE PASCAL

CARACTERISTICAS:

1.- El experimento consiste en una serie de ensayos Bernoulli independientes y cada uno de los

ensayo con una probabilidad “p” de éxito y “q” de fracaso.

2.- Los ensayos se observan hasta obtener exactamente r-éxitos

3.- La variable aleatoria “x” es el número de ensayos necesarios para lograr r-éxitos.

⇒

⇒

⇒

EJEMPLO 82

Se sabe que el 10% de los empleados de una industria padecen de una enfermedad

degenerativa. Para el estudio de la enfermedad se requiere de 3 paciente que tengan la

enfermedad por lo que se analiza al azar a los empleados, hasta tener a los 3 pacientes que den

positivo en el análisis. Encontrar la probabilidad de que:

a) Se tenga que analizar exactamente 5 empleados para tener a los 3 con la enfermedad

p=0.1

q=0.9

b) Se tenga que hacer más de 7 análisis.

103

c) Se tengan que hacer tres análisis exactamente.

d) Calcular la media e interpretar su resultado

Se requiere analizar 30 empleados para encontrar a los empleados que tengan la

enfermedad

e) Calcular la desviación estándar.

EJEMPLO 83

Las fibras de algodón usadas en los propulsores de cohetes son sometidos a un de nitración el

cual permite que las fibras de algodón entren en solución. Este proceso tiene efectividad de 90%.

En cuanto a que el material producido pueda conformarse según se requiera en una etapa anterior

del proceso con probabilidad de 0.9 ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca exactamente 20

lotes para obtener el tercer lote defectuoso?

q=0.9

p=0.1

104

5.- DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Propiedades

1.-El experimento consiste en extraer una muestra aleatoria de tamaño “n” sin reemplazo de un

conjunto de “N” objetos.

2.- De los “N” objetos “k” posee el rasgo de interés mientras que los otros “N-k” objetos restantes

no la tienen.

3.- La variable aleatoria “x”; es el número de objetos en la muestra que posee el rasgo de interés.

⇒

⇒

⇒

EJEMPLO 84

Una fundidora embarca bloques de motor en lotes de 20 unidades, ningún proceso de manifactura

es perfecto, de modo que los bloques defectuosos son inevitables. Sin embargo, es necesario

destruirlos para identificar el defecto. Así pues, sería imposible someter a prueba cada bloque, se

selecciona y prueba 3 unidades, antes de aceptar un lote. Suponga que un lote dado, en realidad

incluye 5 unidades defectuosas. Sea x el número de unidades defectuosas muestreadas.

a) Encuentre la distribución de probabilidad

b) Calcule la media y la varianza

20 unidades= N

Selecciona 3 unidades= n

5 defectuosas

x= # unidades defectuosas

105

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

x P(x)

0 0.3991

1 0.4605

2 0.1316

3 0.0087

b)

EJEMPLO 85

Como parte de un estudio de la contaminación del aire, un inspector decide examinar la emisión

de gases de 6 de los 24 camiones de carga de una compañía. Si 4 de los camiones de la

compañía emite cantidades excesiva de contaminantes.

a) Cual es la probabilidad de que ninguno de ellos sea incluido en la muestra del inspector

b) Cual es la probabilidad de que cuando mucho 2 sean incluido en la muestra del inspector

106

c) Por lo menos uno sea incluido en la muestra del inspector

6.- DISTRIBUCIÓN DE POISSON

CARACTERISTICAS

1- “X” se define como el número de resultados que ocurren en un intervalo con región

específicamente es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región.

2.- La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región

pequeña es proporcional a la longitud o al tamaño de la región.

Promedio ⇒

⇒

EJEMPLO 86

En promedio en cierto crucero ocurren 3 accidentes de tráfico por mes, cual es la probabilidad de

que en este crucero...

a) Sucedan 5 accidentes durante un mes

b) Ocurren menos de 3 accidentes en un mes

107

c) Al menos 2 accidentes en un período de 3 meses

EJEMPLO 87

Si la probabilidad es de 0.005 de que una persona cualquiera que asiste en un desfile en un día

muy caluroso de verano sufra insolación. ¿Cuál es la probabilidad de que 18 de las 3000 personas

que asisten al desfile sufran insolación?

a) Binomial

P(x) = px qn-x

P(18) =

exacto

b) Poisson

aproximado (error de 10 000 ésima)

EJEMPLO 88

Según registros, la probabilidad de que un auto falle mientras pasa por cierto túnel es de

0.0094. Obtener la probabilidad de que entre 2000 autor que pasan por el túnel cuando

mucho uno falle.

108

EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 3

EJEMPLO 89

Si la probabilidad es de 0.005 de que una persona cualquiera que asiste en un desfile en un día

muy caluroso de verano sufra insolación, cual es la probabilidad de que 18, de las 3000 personas

que asisten al desfile sufra insolación.

Distribución binomial

p=0.005

18 de las 3000... k=18

Valor exacto

Se puede utilizar la distribución de poisson

EJEMPLO 90

En una prueba de tortura se enciende y apaga un interruptor eléctrico hasta que este falla. Si la

probabilidad es de 0.001 de que el interruptor falle en cualquier momento de que esté encendido o

apagado, cual es la probabilidad de que el interruptor no falle durante las primeras 800 veces que

se enciende o apague.

Distribución geométrica

109

x= 801 q=0.001

p=0999 P(x)= qx-1p= 0.001800*0.999= 0

EJEMPLO 91

Según registros, la probabilidad de que un automóvil falle mientras pasa por cierto túnel es de

0.0094.

a) Obtener la probabilidad de que entre 2000 automóviles que pasan por el túnel cuando mucho 1

falle.

EJEMPLO 92

Un agente de seguros vende pólizas a 5 personas de la misma edad y que disfrutan de buena

salud, según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30

años o más es (2/3). Calcular la probabilidad de que transcurriendo 30 años, vivan:

a) Las 5 personas.

b) Al menos 3 personas.

c) Exactamente 2 personas.

a)

P=2/3 n=5 personas

q=1/3 x=5

b)

P(x ≥3)= P(3)+P(4)+P(5)=1- [P(0)+P(1)+P(2)]

P(3)= (2/3)3+(1/5)2=0.3292+0.3292+0.1317

110

e n

P(3)= (101)(8/27)(1/9)=0.7901

P(3)=0.3292

P(4)= (2/3)4 (1/3)1

P(4)= 5(16/81) (1/3)

P(4)=0.3292

c)

P(2)= (2/3)2+(1/3)3

= (10)(4/9) (1/27)

= 0.1646

EJEMPLO 93

En un cierto proceso de manufactura se sabe que 4 de cada 100 piezas están defectuosa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la 5 pieza inspeccionada sea la primera defectuosa.

b) ¿Cuántas piezas se piensa probar para encontrar la primera defectuosa?

c) ¿Cuál es el valor de la varianza?

p=(0.04)

q=0.96

a) P(5)=(0.96)4(0.04) =0.0340

b) μ =

=25

c)

EJEMPLO 94

De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionaron al azar y se dispararon. Si el lote contiene 3

proyectiles defectuosos que no explotaron. ¿Cuál es la probabilidad de:

a) Los 4 exploten.

b) Al menos 2 no exploten.

N=10

N=4

3 no explotan

7 explotan

a)

=

=0.1667

b) P(2)+P(3)+P(4)

P(2)=

=

=0.3

111

=

=

0.0333

N=24

n=6

K=4

a)

=

=0.1379

b)

P(0)+P(1)+P(2)

=

=

0.3819

=

=

0.3410

EJEMPLO 95

Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los

atentados a una famosa actriz es de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de: ?

a) La sexta persona escucha tal historia, sea la cuarta que la crea.

b) La tercer persona que escucha tal historia sea la primera en creerla.

c) Calcular la media o el número de personas a los que se les tiene que contar la historia

para encontrar a la cuarta que lo crea y encontrar la varianza.

p= 0-8 q= 0.2 P(x,r)=

pr qx-r

a)

b)

c)

2=

=

=

=

= 1.25

EJEMPLO 96

A un niño se le hace que pegue 3 letreros en 3 figuras de animales y se define x como el número

de correspondencias correctas.

A) Distribución de probabilidad

112

Animales: pato, elefante, mariposa

X

PEM 3

PME 1

EPM 1

EMP 0

MPE 0

MEP 1

EJEMPLO 97

La distribución de probabilidad de x, el número de defectos por cada 10m de una tela sintética en

rollos continuas de ancho uniforme, es:

x P(x) P1Acf(x) xP(x)

0 0.41 0.41 0

1 0.37 0.78 0.37

2 0.16 0.94 0.32

3 0.05 0.99 0.15

4 0.01 1 0.07 M= 0.88

A) Dibujar histograma y ojiva.

B) Calcular media, mediana y moda.

X P(X)

0 2/6

1 3/6

3 1

113

b) M=Exp(x) = Ex

Ex = valor esperado de x

M= 0.88

La mediana se encuentra en el 0.50 o la mitad de la distribucion.

0 – 0.41

Md --- 0.50

1 – 0.78 por lo tanto Md= 0.2432

Mo = 0 TIENE MAYOR PROBABILIDAD

EJEMPLO 98

Sea W una variable aleatoria que da el número de caras menos el de cruces en 4 lanzamientos de

una moneda.

A) Encuentre la distribución de probabilidad

B) Calcule media, mediana y moda.

W= # caras - # cruces

S= 24= 16

114

CCCC 4-0 4

CCCX 3-1 2

CCXC 3-1 2

CCXX 2-2 0

CXCC 3-1 2

CXCX 2-2 0

CXXC 2-2 0

CXXX 1-3 -2

XCCC 3-1 2

XCCX 2-2 0

XCXC 2-2 0

XCXX 1-3 -2

XXCC 2-2 0

XXCX 1-3 -2

XXXC 1-3 -2

XXXX -4 -4

M= EwP(w) = 0

-2 ----- 0.3125

Md ---- 0.5

0 ----- 0.6875

(Md + 2) / 2 = (0.5 – 0.3125) / 0.6875 – 0.3125

Md= -1 Mo= 0

VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMATICA

E(x)= variable aleatoria discreta

E(x)=

variable aleatoria continua

EJEMPLO 99

Se tiene que asignar 2 contratos aleatoriamente a una o más empresas (I, II, III) cualquier

empresa puede recibir más de un contrato, si cada contrato produce una ganancia de $90,000

para cada empresa calcule:

a) ganancia para la empresa I

b) si las empresas I y II pertenecen al mismo propietario ¿Cuál sería la ganancia esperada

total del dueño?

W P(W) Wp(W)

-4 1/16 -0.25

-2 4/16 -0.5

0 6/16 0

2 4/16 0.5

4 1/16 0.25

115

x p(x) X p(x)

0 4/9 0

90,000 4/9 40,000

180,000 1/9 20,000 1 60,000

EJEMPLO 100

Un tazón contiene 5 fichas que no puede distinguirse una de otra. 3 de las fichas están marcadas

con $2 y las restantes con $6. Se sacan del tazón 2 fichas al azar sin remplazo y se paga el valor

de la suma indicado en las 2 fichas si el costo por su valor es de $5.60 ¿es justo el juego?

S= (5) (4)=20 =10

3 fichas-$2

2 fichas- $6

Por lo tanto si conviene

EJEMPLO 101

y p(y) y p(y)

0 1/9 0

90,000 4/9 40,000

180,000 4/9 80,000 1 1200,000

x P(x) X p(x)

-1.6 3/10 -.48

2.4 6/10 1.44

6.4 1/10 0.64

1 1.6

116

Un piloto privado desea asegurar su avión por 50,000 dólares, la compañía aseguradora estima

una pérdida total que puede ocurrir con una probabilidad total de 0.002 un 50% de pérdida con

una probabilidad de 0.01 y 25% de pérdida con una probabilidad de 0.1, ignorando todas las otras

perdidas ¿Qué prima debería cobrar la compañía aseguradora para tener una utilidad promedio

de 500 dólares?

C = prima por pagar

E=c- 1600

C- 1600=500

C=500+1600

C=2100

Exámenes

2° EXAMEN PARCIAL UNIDAD 3

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

EJEMPLO 102

1.- Cinco pelotas numeradas 1, 2, 3, 4 y 5 se encuentran en una urna. Se sacan 2 pelotas al azar

de las cinco y se anotan sus números. Encuentre la distribución de probabilidad para la suma de

los dos números seleccionados:

Perdida total

0.002

50% 0.01

25% 0.1

X P(x) X p(x)

-50000 + c 0.002 -100+0.002c

-25000 +c 0.01 -250+0.01c

-12500 + c 0.1 -1250+0.1c

c 1-0.1-0.01-0.002=0.888

0.888c

E=c-1600

1 2 3 4 5

117

EJEMPLO 103

2.- Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con una

probabilidad de 1/3 y 2/3 respectiva

mente. Cada entrevista tendrá como resultado una no venta o una venta de $50,000 con

probabilidades de 0.9 y 0.1 respectivamente. Obtenga la distribución de probabilidad para las

ventas diarias. Encuentre la media y la desviación estándar de las ventas diarias.

0 0.84 0 0

50000 0.1533 7665 383250000

100000 0.0067 670 67000000

12 13 14 15

23 24 25 34

35 45

X P(x)

3

4

5

6

7

8

9

118

EJEMPLO 104

3.- Sea x una variable aleatoria con una función de densidad dada por:

o.2 -1<x≤0

F(x)= 0.2 + cx -0<x≤1

0 en cualquier otro punto

a) Determinar el valor de c.

EJEMPLO 105

4.- La proporción de personas que contestan una cierta encuesta enviada por correo es una

variable aleatoria continua x que tiene la función de densidad.

0<x<1

F(x)=

0 en cualquier otro caso

a) Calcular el coeficiente de simetría.

119

2° EXAMEN PARCIAL UNIDAD 3


EJEMPLO 106

1.- Sea x una variable aleatoria con la siguiente función de distribución:

a) Obtener la función de densidad.

b) Calcular P (0≤x≤0.5).

EJEMPLO 107

2.-Un cliente potencial paga una póliza de seguro por $20000 tiene una casa en un área que, de

acuerdo con la experiencia, puede sufrir una pérdida total en un año con una probabilidad de

0.001 y una pérdida del 50% con una probabilidad de 0.01. ¿Qué prima tendrá que cobrar la CIA

de seguros por una póliza anual, para salir a mano con todas las pólizas de $20000 de este tipo,

ignoramos las otras perdidas.

120

x P(x) xP(x)

-20000+c 0.001 -20+0.001c

-10000+c 0.01 -100+0.01c

c 0.989 0.989c

= -120+c

-120+c=0

c=120

EJEMPLO 108

3.- La distribución de probabilidad de x, el número de efectos por cada 10 metros de una tela

sintética en rollos continuos de ancho uniforme es:

x 0 1 2 3 4

f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

a) Dibuje la dist. Acumulada de x

x f(x) F(x) xf(x) X2f(x)

0 0.41 0.41 0 0

1 0.37 0.78 0.37 0.37

2 0.16 0.94 0.32 0.64

3 0.05 0.99 0.15 0.45

4 0.01 1 0.04 0.16

=0.88 =1.62

121

b) Calcule la moda, mediana y coeficiente de variación.

2° EXAMEN PARCIA UNIDAD 3


EJEMPLO 109

1.-

a) Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz cuando 4 discos se

seleccionan al azar de una colección que consiste de 5 discos de jazz, 2 de música clásica y 3 de

polka

b) Represente gráficamente la Dist. De probabilidad acumulada.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4

Distribucion acumulada de x

122

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4

n=4

5 jazz

2 clásica

x=num. jazz

3 polka =10

P(x) x P(x) PAc(x)

5/210 0 0.0238 0.0238

50/210 1 0.2381 0.2619

100/210 2 0.4762 0.7381

50/210 3 0.2381 0.9762

5/210 4 0.0238 1

EJEMPLO 110

2.- La demanda semanal de soda gaseosa, en miles de litros, de una cadena local de tiendas es

una variable aleatoria continua g(x)=x2+x-2, donde x tiene la función de densidad:

Encuentre el valor esperado y la varianza de g(x) =x2+x-2.

EJEMPLO 111

123

3.- Para trasladarme al trabajo, primero debo abordad un autobús cerca de casa y luego

transbordar otro. Si el tiempo de espera (en minutos) en cada parada uniforme con A=0 y B=5,

entonces tiempo total de espera y tiene la función de densidad de probabilidad.

a) Determinar la distribución de probabilidad acumulada F(x).

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total sea a lo sumo 8 min?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea menos de 2 min ó más de 6

min?

124

UNIDAD IV: Distribuciones de probabilidad de variable aleatoria

continúa.

La función es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua

definida en el conjunto de los números reales si:

1) ; para todo x R

2)

3)

La distribución acumulada de una variable aleatoria continúa con una función de densidad

es:

; para

La media de una variable aleatoria continúa.

La varianza =

EJEMPLO 112

El número total de horas que se miden en unidades de 100hrs. Que una familia utiliza una

aspiradora durante 1 año es una variable aleatoria continua que contiene la función de

densidad:

a) Graficar la función de densidad. b) Determinar la distribución acumulada y representarla gráficamente. c) Encuentre la probabilidad que una familia utilice la aspiradora durante 1 año:

c.1) menos de 120hrs.

c.2) entre 50 y 100hrs.

d) Calcular la media y la varianza para la variable aleatoria x.

125

Solución:

a)

b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

f(x)

X

X f(x)

0 0

0.5 0.5

1 1

1.5 0.5

2 0

126

c)

c.1)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2

F(x)

X

f(x)=x f(x)=2-x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

f(x)

X

1.2

A1

X F(x)

0 0

0.5 (0.5)2/2= 0.125

1 (1)2/2= 0.5

1.5 2(1.5)-(1.5)2/2-1=0.875

2 2(2)-(2)2/2-1= 1

=0.68

127

d)

Media.

Varianza.

Si:

Sustituyendo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2

f(x)

X

A2

A3

128

EJEMPLO 113

Suponga que tiene la función de densidad

a) Encuentre el valor de “C” que hace de f(x) una función de densidad de probabilidad. b) Encuentre . c) Obtener F(x) y representar la grafica. d) Calcular coeficiente de simetría y de Kurtosis ( )

Solución:

a)

Si

Entonces tenemos que:

b)

c)

129

d)

Si

Sustituyendo:

Sustituimos en:

Distribución asimétrica con sesgo negativo.

Para

Sustituyendo:

Ahora sustituyendo en .

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

F(x)

X

X F(x)

0 0

0.5 (0.5)2/4=0.0625

1 (1)2/4=0.25

1.5 (1.5)2/4=0.5625

2 1

130

Distribución Platocurtica.

Variable aleatoria continúa.

EJEMPLO 114 Sea

a) Calcular el valor de la constante b) Calcular

Solución.

A.

B.

EJEMPLO 115

Sea X con función de densidad

para . Su función de distribución está dada

por:

Obtenga el de esta distribución.

Solución

131

Función de densidad de variable a aleatoria continua y momentos. EJEMPLO 116 Supóngase que el error en la temperatura de reacción, en °C para un experimento de laboratorio

controlado es una variable aleatoria continua que tiene la función de densidad de probabilidad:

a) Verifique que sea una función de densidad b) Encuentre

Solución: A)

Por lo tanto, si es una función de densidad

B)

EJEMPLO 117

Considere la siguiente función de densidad

a) Calcule el valor de que hace de una función de densidad de probabilidad b) Calcule y utilícela para calcular c) Calcule los primeros 3 momentos con respecto al origen.

Solución.

A)

132

B)

C)

MODELOS COMUNES DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE.

ALEATORIAS CONTINUAS.

1) Distribución Uniforme 2) Distribución Exponencial 3) Distribución Normal

DISTRIBUCIÓN UNIFORME O DISTRIBUCIÓN RECTANGULAR.

La función de densidad forma un rectángulo con base y altura constante

. Como

resultado, la distribución uniforme se le conoce también como distribución rectangular.

133

Media

Varianza

EJEMPLO 118

El tiempo de 1 viaje (ida y vuelta) de los camiones que transporta el concreto hacia una obra de

construcción en una carreta está distribuida uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos.

a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor de 65 min

b) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje este entre 52 y 68 minutos

c) Calcular la media y la desviación estándar.

134

EJEMPLO 119

Suponga que una sala de conferencia grande se puede reservar no más de 4 horas. Sin embargo,

el uso de la sala de conferencias es tal que muy a menudo tienen conferencias largas y cortas. De

hecho se puede suponer que la duración de una conferencia tiene una distribución uniforme de

(0,4)

a) ¿Cuál es la función de densidad? b) ¿Cuál es la probabilidad que una conferencia dure al menos 3.2 horas?

Solución.

a)

b)

EJEMPLO 120 El precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140

y 160 pesetas. Podría ser, por tanto, de 143 pesetas o de 143.4 pesetas, o de 143.45 pesetas, o

de 143.455 pesetas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del

intervalo, viene definida por:

Dónde:

Encuentre el precio esperado de la gasolina para el siguiente año.

Solución.

Por lo tanto, el valor esperado de la gasolina para el siguiente año es de 150 pesetas.

135

EJEMPLO 121

La variación de la profundidad de un rio de un día al otro, medida en 10, en un sitio especifico en

una variable aleatoria , con la siguiente función de densidad:

a) Obtener el valor de K. b) Obtener la función de distribución para . c) Calcular . d) La .

Solución.

a)

b)

c)

d)

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

X

136

EJEMPLO 122

El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla oscilará entre

400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media

esperada.

Solución.

Entonces:

Mientras, el valor esperado:

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

EJEMPLO 123

Se puede modelar las magnitudes sísmicas registradas (Según la escala de Richter), en una

región mediante una distribución exponencial con medial igual a 2.4 Obtenga:

a) La probabilidad de que la magnitud de un sismo en esta región sea mayor de 3 µ=2.4=β

137

b) Carga entre 2 y 3

EJEMPLO 124

Suponga que el tiempo de respuesta por el tiempo transcurrido entre el final de la petición de un

usuario y el comienzo de la respuesta al sistema a esa petición. Tiene una distribución

exponencial con tiempo de respuesta esperado igual a 5 segundos.

a) Determinar la probabilidad de que el tiempo de respuesta esperado sea a la suma 10 segundos µ=5=β

b) Esté entre 5 y entre 10

DISTRIBUCIÓN NORMAL O CAMPANA DE GAUSS.

138

Estandarización de la curva normal

Z= valores estandarizados

Con z=-1.96

Caso I

139

Caso II

Caso III

140

141

Caso IV

Caso V

142

EJEMPLO 125

En un proceso fotográfico el tiempo de revelado de las copias es una variable aleatoria cuya

distribución normal tiene una media de 16.285 y una desviación estándar de 0.12

Calcular la posibilidad

a) De que una copia tarde en revelarse entre 16 y 16.5 segundos µ=16.285

σ=0.12

De tablas si p(x)=0.0087

De tablas si p(x)=0.9633

b) Al menos 16.2 segundos

c) A lo más 16.35 segundos

d) Para qué valor la probabilidad de que pase el tiempo que se tarde en revelar una de las copias

es de 0.95.

De tablas buscando un valor que se aproxime a 0.05 se tienen 2 valores

Z1=-1.64

Z2=-1.65

143

EJEMPLO 126

Investigadores reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que los tranquilizantes

funcionan muy bien. De las siguientes 80 personas, Cuál es la probabilidad de...

a) Al menos 50 son de la misma opinión

Para tomar el valor de 50 se escoge 49.5 ya que es variable discreta

49.5 – 50 - 50.5

De la tabla se toma el valor de 0.0034

b) Cuando mucho 66 Para tomar el valor de 66 se escoge 66.5 ya que es variable discreta

65.5 – 60 - 66.5


Aproximación de la Distribución Normal a la Binomial.

Se tiene una buena aproximación cuando:

EJEMPLO 127

En una ciudad el 20% de las personas prefieren un teléfono blanco que cualquier otro color ¿Cuál

es la probabilidad de que en los siguiente 1000 teléfonos que se instalan en la ciudad

a) Entre 170 y 180 incluyendo sean blancos

144

Para tomar el valor de 170 se escoge 169.5 ya que es variable discreta y para tomar el

valor de 185 se escoge 185.5



b) Al menos 210 pero no más de 225 sean blancos

Para tomar el valor de 210 se escoge 209.5 ya que es variable discreta y para tomar el

valor de 185 se escoge 225.5.



145

Distribución de probabilidad normal y normal estándar.

EJEMPLO 128 Una población normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14.

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75 o menor c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55 y 70

Solución. A.

Z Probabilidad acumulada

-0.36 0.3594

0.71 0.7611

B.


-0.36 0.3594

C.

146


-1.79 0.0367

-0.71 0.2389

EJEMPLO 129

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y

desviación típica 36.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación

superior a 72%?

Solución.

147

Distribución de probabilidad beta.

Media

Varianza

Nota:

EJEMPLO 130 En un proyecto se sabe que el camino crítico está formado por 100 actividades, tal que la duración

de cada una de ellas es aleatoria y sigue una distribución beta extendida de parámetros y

; el tiempo optimista es de tres días, mientras que el pesimista se retrasa a 13 días.

Calcular

a) Duración media del proyecto b) Desviación típica de la duración del proyecto c) Probabilidad de que el proyecto se termine antes de 520 días

Solución. Sea la duración de una actividad, y , es decir, la duración total del

proyecto.

A.

B.

Luego

148

C.

Como la variable es suma de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas,

aplicando el teorema central del límite tenemos:

EJEMPLO 131

Si la proporción anual de declaraciones muestra errores en el departamento de contribuciones

puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribución beta con .

¿Cuál es la probabilidad de que en un año determinado menos del 10% de las declaraciones sean

erróneas?

Solución.

149

Distribución Gamma.

La variable aleatoria continua tiene una distribución gamma, con parámetros , su función

de densidad esta dada por:

Media

Varianza

Nota:

EJEMPLO 132 Suponga que llegan llamadas telefónicas a un conmutador en particular y que siguen el proceso

de Poisson con un promedio de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pase

hasta 1 minuto antes de que lleguen 2 llamadas?

Solución. El proceso de Poisson corresponde al tiempo hasta que 2 eventos de Poisson que sigue una

distribución gamma con

y . Sea la variable aleatoria X el tiempo que transcurre antes

de que entren 2 llamadas. La probabilidad requerida es:

150

Distribución Weibull.

La variable aleatoria continua tiene una distribución de Weibull, con parámetros , su

función de densidad esta dada por:

Media

Varianza

EJEMPLO 133

Suponga que la vida útil de cierta clase de batería (en hrs.) es la variable aleatoria que tiene una

distribución con . Calcular:

a) La vida útil promedio de esta batería.

b) La varianza.

c) Probabilidad de que la batería dure más de 300hrs.

Solución.

a)

b)

c)

151

EJEMPLO 134

El tiempo de falla (en horas) del cojinete de una flecha está modelado de tal manera satisfactoria

por una variable aleatoria Weibull con

y horas. Calcúlese el tiempo promedio de

falla. Determine la probabilidad de que el cojinete dure al menos 6000 horas.

Solución.

Ahora:

152

Variables aleatorias continuas conjuntas. EJEMPLO 141 Sean y dos variables aleatorias conjuntas con función de densidad

a) Calcular el valor de para el cual es función de densidad

b) Obtener la probabilidad c) Calcular la probabilidad

Solución. A.

B.

C.

153

EJEMPLO 142 Sean y las proporciones de dos sustancias distintas que se encuentran en una muestra de

una mezcla de reactivos que se usa como insecticida. Supóngase que y tienen una

densidad de probabilidad conjunta representada por:

a) Calcular

b) Calcular

Solución.

A.

154

B.

Funciones de densidad para variables aleatorias continuas conjuntas y momentos.

EJEMPLO 143 Simbolice con X la cantidad de tiempo de préstamo para un libro, disponible durante 2 horas en la

biblioteca de la universidad, solicitado por un estudiante seleccionado al azar, y suponga que X

tiene función de densidad:

Hallar:

a) b) c)

Solución.

155

A.

B.

C.

156

EJEMPLO 144 Considere la siguiente función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X

Hallar:

a) Obtener el valor de para que sea una función de densidad de probabilidad X legítima

b) Obtener la función de distribución acumulada c) Calcular la siguiente probabilidad d) Obtener la esperanza, la varianza y la desviación típica de X

Solución. A.

B.

157

C.

D.

Para la varianza:

158

Funciones de variables aleatorias.

EJEMPLO 148 Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X que tiene por función de densidad:

Solución.

Entonces:

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