Putting Risk in its Proper Place - L. Eeckhoudt and H. Schlesinger

El concepto de la aversin al riesgo ha sido durante

mucho tiempo una piedra angular para la

investigacin moderna sobre la economa del riesgo.

Pida a varios economistas que definan que se

necesita para que un individuo sea adverso al riesgo

y que es probable que obtenga varias respuestas

diferentes (utilidad cncava, propensin a tener

seguros, etc.). Aunque algo ms nuevo, el concepto

de "prudencia" y su relacin con ahorro precautorio,

tambin se ha convertido en una suposicin ya

aceptada. Lo que significa que el individuo sea

"prudente" es que su utilidad marginal es convexa,

U> 0, pero tambin se define prudencia va

caractersticas del comportamiento.

Por ejemplo, Christian Gollier (2001 p. 236), sugiere

que un agente es prudente si al adherir un riesgo

(con media igual a cero) a su riqueza futura aumenta

su ahorro presente ptimo."

Ms recientemente, algunos nuevos conceptos han

entrado en la literatura como "templanza" (UIV 0), que surgen como

condiciones necesarias y/o suficientes para los

resultado conductuales.

En este trabajo, se deriva una clase de pares de

lotera tal que la direccin de la preferencia entre

estas loteras es equivalente al signo de la ensima

derivada de la funcin de utilidad. Las loteras en s

son particularmente simples, que implica una

igualdad de probabilidades para todos los

resultados, lo que parece particularmente

susceptible a la experimentacin. Adems, dado que

los signos de las primeras n-derivadas de la

utilidad son bien conocidos para coincidir con una

preferencia por ensima grado estocstico-dominio,

nuestras preferencias de lotera tambin son

compatibles con preferencia estocsticas-dominio.

El objetivo en este trabajo es proporcionar un

conjunto de condiciones naturales con respecto al

comportamiento frente al riesgo, en la forma de una

relacin de preferencia entre pares de loteras

simples.

En particular, se comienza por asumir que una

persona no le gusta dos cosas: una cierta reduccin

de la riqueza y la adicin de ruido aleatorio con

media cero independiente a la distribucin de la

riqueza. Nos de.ne "prudencia", por ejemplo, como

un tipo de preferencia por el desglose de estos dos

eventos adversos. La templanza es definida como la

preferencia por la desagregacin de estos dos riesgos

independientes. Nuestra herramienta en la

obtencin de estos resultados es la funcin de prima

de utilidad, que mide el grado de dolor al

considerar el riesgo.

1. PRUDENCIA Y TEMPLANZA

Conceptos claves:

k: perdida segura de riqueza (k>0)

e: variable aleatoria con media igual a 0, no

se degenera y es independiente a cualquier

otro riesgo

x: la riqueza individual inicial, donde x es de

tamao arbitrario, x> 0, suponemos que noe

s aleatoria

AB: Lotera A es al menos tan buena que la

lotera B

1.1 Prudencia

La prudencia es definida en el marco de la utilidad

esperada por Kimball (1990), que muestra que es

anloga a los ahorros de precaucin.

DEFINICIN 1: Una persona se dice que es

prudente si la lotera B3 = [-k; e1] se prefiere

la lotera A3 = [0; e1-k], donde todos los

resultados de las loteras tienen igual

probabilidad, para todos los niveles de

riqueza x iniciales y para todo k.

Por lo tanto, la prudencia muestra un tipo de

preferencia por la desagregacin de una prdida

segura de tamao k y la adicin de una variables

aleatoria e1 con media cero. El individuo prudente

siempre preferir adjuntar el riesgo al mejor

resultado (en este caso 0), en lugar del peor

resultado (-k).

En cierto sentido, estamos ms dispuestos a aceptar

un riesgo adicional cuando la riqueza es mayor, en

lugar de que la riqueza es menor. De hecho, esta

lgica ayuda a explicar por qu alguien opta por un

mayor ahorro cuando el ingreso del segundo perodo

es arriesgado (o incierto) en un modelo de dos

perodos. La mayor riqueza que resulta en el

segundo perodo nos ayuda a hacer frente al riesgo

adicional, exactamente como en Kimball (1990), que

utiliza la prudencia como equivalente a una

demanda precautoria de ahorros.

1.2 Templanza

Sea e1 y e2 (independientes entre s).

DEFINICIN 2: Un individuo se dice que es

templado si la lotera B = [e1; e2] es

preferible a la lotera A = [0; e1+e2], donde

todos los resultados de las loteras tienen

igual probabilidad, para todos los niveles de

riqueza iniciales X y para todos los valores de

e1 y e2.

Por lo tanto, la templanza muestra un tipo de

preferencia por la desagregacin de las dos variables

aleatorias con media cero independientes.

Supongamos que el individuo debe aceptar un

segundo riesgo e2, pero slo ella debe recibir en

tndem con uno de los dos resultados de lotera. El

individuo templado siempre preferir para unir el

segundo e riesgo "1 a la mejor resultado 0, en lugar

de a la peor resultado e" 2. Esto significa que

tenemos que no les gusta el riesgo e "1 ms en

presencia de e" 2. Los riesgos e "1 ye" 2 son

"mutuamente agravante" en la terminologa de

Kimball (1993).

2 GENERALIZANDO PRUDENCIA Y

TEMPLANZA

Ahora se generalizaran los conceptos de prudencia y

la templanza como un tipo de preferencia por la

desagregacin de los "daos" -k y ei.

2.1 Riesgo Reparto

Tener en cuenta:

C: una lotera

y: una variable aleatoria que es independiente de

C,

(y + C): la suma de la variables aleatorias

preferencias montonas: B1

2.2 Prorrateo de Riesgos de orden n

Dadas las definiciones B1 = B2 = [0], A1 = [-k] y A2

= [e1] podemos iterar sobre los definiciones de arriba

para definir reparto de riesgos de orden n.

DEFINICIN 4: Supongamos que los

resultados de todas las loteras Ai y Bi

enumerados aqu tienen iguales

probabilidades. Supongamos tambin que k>

0 y que todo ei son independientes entre s

con media cero. Vamos a suponer tambin

que ln(t (y)) denota la funcin mayor-entero

(greatest-integer function), es decir, el mayor

entero que no exceda el nmero real y.

Luego, para cada n3 se definen las

siguientes loteras:

An = [0 + Bn-2; elnt (n/2) + An-2]

Bn = [0 + An-2; elnt (n/2) + Bn-2]

Ahora podemos definir el reparto de riesgos para el

caso general:

DEDINICIN 5: Las preferencias satisfacen

el prorrateo de riesgo de orden n si, dadas las

loteras An y Bn definidas previamente, el

individuo siempre prefiere Bn: Bn

W2(x)=E(W1(x +e1))- W1(x) 0 ssi UVI0

(temperanza) (8)

Usando (1) para extandir (6) se llega a:

(9) [EU (x + e1 + e2) - EU (x + e2)] - [EU (x + e1) - U (x)]

0

O equivalentemente

EU (x + e2) +EU (x + e1) [EU (x + e1 + e2)+ U (x)],

equivalente a la definicin de temperanza

3.4 Riesgo de rdenes 5 y 6

De manera equivalente, podemos escribir

[EW1 (x + e2) -W1 (x)] -[EW1 (x -k + e2)- W1 (x-k)]

0

Expandiendo W1 para una lotera RA-5 con la

definicin 3:

W3(x)=E(W2(x +e3))- W2(x) 0 ssi UIV0 (w2 es

cncava)

Y si W30 se puede demostrar que UVI0, lo que es

consistente con un una caracterizacin RA-6, y la

definicin 4

3.5 Riesgos de orden n

Se puede continuar con el procedimiento para

cualquier AR-nsimo, es por esto que para cualquier

n3 se cumple:

(i) Para todo n, se define Wn/2(x)=E(Wn/2(x

+en/2))- Wn/2-1ampliando la expresin se

puede demostrar que UN0 ssi Wn/20 es

equivalente a preferencias AR-n

(ii) Para n impar , utilizamos la equivalencia

de UN0 y W(n-1)/20 para demostrac

como esta derivada no negativa es

equivalente a preferencias AR-n

TEOREMA: En el marco utilidad esperada

con U diferenciable, prorrateo del riesgo

de orden n es equivalente a la condicin

UN = (-1)n+1.

4 CONCEPTOS RELACIONADOS

Muchos trabajos han analizado las implicaciones de

las derivadas de ms alto de orden de en un marco

de trabajo de la utilidad esperada, pero muy pocos

han precisado el significado de estos signos en s

mismos. La ventaja de reparto de riesgos radica

principalmente en su simplicidad. El hecho de que se

define sobre las preferencias de la lotera tambin

hace que sea aplicable fuera de un marco de utilidad

esperada. As, conceptos como "prudencia" y

"templanza" pueden generalizarse y embebidos en

otros marcos para la eleccin en condiciones de

riesgo.

4.1 Efectos Superior

Pide en los modelos de utilidad esperada, las tasas

de crecimiento y las elasticidades son tpicamente

efectos de segundo orden porque se relacionan el

efecto de los cambios en una variable exgena en

una condicin de primer orden. Disminuir la

aversin al riesgo absoluto (DARA) es una tercera

propiedad -orden porque tiene que ver con los

cambios en la aversin al riesgo (una propiedad de

segundo orden). La prudencia es tambin una

propiedad de tercer orden, puesto que se refiere el

efecto del riesgo de una condicin de primer orden.

Sin embargo, DARA es una condicin ms fuerte que

simplemente suponiendo prudencia, en particular, lo

que requiere que U (U)2/U.

En cierto sentido, podemos pensar en la prudencia

en s, U> 0, como un efecto de tercer orden puro.

Una interpretacin directa de la desigualdad es que

el "dolor" por el riesgo adicional disminuye a medida

que uno se pone ms rico. Por otro lado, la

disminucin de la aversin al riesgo que implica la

voluntad a pagar por eliminar el riesgo disminuye a

medida que uno se enriquece. Pero esta "disposicin

a pagar" en un sentido contiene demasiada

informacin, ya que se debe relacionar el nivel

cambiante de "dolor" a la valoracin marginal de

pagar un dlar para eliminar este "dolor". Podemos

tomar este argumento a rdenes superiores.

Considere la interaccin de dos riesgos, e1 y e2, que

es un efecto de cuarto orden. Por ejemplo, Pratt y

Richard Zeckhauser (1987); Gollier y Pratt (1996) y

Kimball.

4.2 dominancia estocstica

Dominancia estocstica establece una ordenacin

parcial de las estas distribuciones.

Es bien sabido que la distribucin riqueza F domina

la distribucin de la riqueza G en el sentido de orden

n de dominancia estocstica si y slo si cada uno con

una funcin de utilidad U(j) = (-1)j+1 para j = 1; 2;; n

prefiere F a G.

Steinar Ekern (1981) limita las distribuciones F y G a

aquellos para los que domina F G por dominancia

estocstica de orden n, pero no para todos los

rdenes menores a n.

Otros autores ya han caracterizado los signos de las

derivadas de la funcin de utilidad. Lo que hace el

reparto del riesgo tan atractivo es su simplicidad.

Por ejemplo, considere RA-4 (la templanza, o

equivalentemente UIV0). Para aquellos lectores

familiarizados con la dominancia estocstica, pensar

en la descripcin de las distribuciones donde existe

dominancia estocstica de orden 4, pero no de las

rdenes de 1,2 o 3. Por supuesto que esto es posible,

pero difcilmente es simple.

4.3 Aversin al Riesgo Externo

Tal vez la aproximacin ms cercana a la nuestra es

la de Menezes y X. Henry Wang (2005), que

relaciona la propiedad de la templanza a la nocin de

riesgo externo. En su modelo, muestran

formalmente cmo [e1; e2] [0; e1 + e2] implica

cuarto orden de dominancia estocstica de las

funciones de distribucin de lotera

correspondientes, equiparando as esta preferencia

lotera para UIV0.

Tambin Menezes. y Wangs utilizan concepto de

riesgos interior y exterior para describir de orden

superior reparto de riesgos. Por ejemplo, considere

la sencilla lotera [0; e1; e2; e1+e2], donde los cuatro

resultados tienen la misma probabilidad. Si hay que

adjuntar una prdida segura de k> 0 a cualquiera de

los dos riesgos internos o para los dos riesgos

exteriores, RA-5 es equivalente a prefiriendo

siempre adjuntar - k a los dos riesgos internos.

5 COMENTARIOS FINALES

Durante mucho tiempo, la aversin al riesgo ha

jugado un papel clave en la teora de la eleccin en

condiciones de incertidumbre; no slo dentro de los

modelos de utilidad esperada (UE), sino tambin

dentro de otros marcos de toma de terica. Se

reconoci muy pronto, que el signo de U jug un

papel clave dentro de la UE, pero no fue hasta

Kimball (1990) que este papel se formaliz en el

concepto de "prudencia". Desde esta formalizacin,

los modelos de las decisiones de consumo y ahorro

han recibido un nuevo enfoque y hecho muchos

avances. Fuera de la UE, estos avances han

provenido principalmente de tratar de imitar tanto

las consecuencias que siguen dentro de la UE, o que

imitan algunos de los matices paramtricas de

propiedades como DARA y prudencia. El papel de la

firma derivadas de orden superior, tales como

asumiendo "templanza" o "nerviosismo", est

recibiendo slo recientemente ms inters en la

literatura. Al tener en cuenta las preferencias de

lotera simples, somos capaces de proporcionar una

caracterizacin de estas propiedades basadas

nicamente en las preferencias subyacentes. En

particular, definimos tales propiedades por nuestra

preferencia de lotera, y luego se muestra cmo estas

definiciones son equivalentes a la derivada ensima

de los modelos de la UE. Los tipos de loteras que

examinamos son bastante simples, especialmente

para valores relativamente bajos de n, hacindolas

muy susceptibles a los experimentos sobre el

comportamiento individual frente al riesgo.