Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un

quadrotor

Autor: Armando Matencio Moreno

Tutor: Jose Ángel Acosta Rodríguez

Dep. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

iii

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un

quadrotor

Autor:

Armando Matencio Moreno

Tutor:

Jose Ángel Acosta Rodríguez

Profesor titular

Dep. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

v

Proyecto Fin de Carrera: Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Autor:

Tutor:

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2018

El Secretario del Tribunal

vii

A mi familia

A mis maestros

ix

Agradecimientos

En primer lugar me gustaría agradecer a mi tutor D. José Ángel Acosta la oportunidad que me ha dado de

realizar este proyecto, sus sugerencias y explicaciones. Igualmente quiero mencionar a Carlos Rodríguez por

su colaboración al posibilitarme el poder acoplar parte de su trabajo de investigación a este proyecto.

Agradecer sobre todo a mi familia, por la comprensión y el apoyo que me han dado durante toda la

carrera y especialmente en esta etapa final.

Y, como no, a mis profesores y compañeros de carrera. No puedo nombrarlos a todos, pero ellos saben

quienes son y siempre han estado ahí; ellos han hecho que esta etapa de mi vida sea mucho más amena y

agradable.

xi

Índice

Agradecimientos ix

Índice xi

Índice de Figuras xiiii

1 Introducción 1

1.1 Objetivo principal 1

1.2 Motivación 1

1.3 Estructura 3

2 Modelado del quadrotor 5

2.1 Introducción al modelo 5

2.2 Maniobras de vuelo 7

2.3 Hipótesis y modelo matemático 8

3 Linealización 11

3.1 Introducción 11

3.2 Modelo en espacio de estados 11

3.3 Modelo aerodinámico 14

3.4 Puntos de trabajo 18

4 Teoría de helicopteros 26

4.1 Introducción 26

4.2 Consideraciones aplicadas al modelo del rotor 26

4.3 Teoría de cantidad de movimiento 27

4.4 Teoría de elemento de pala 28

4.5 Actuaciones 30

4.6 Cálculo del factor de drag al giro "k" 35

5 GUI de Matlab 37

5.1 Explicación de la interfaz 37

4.1 Archivos utilizados 41

6 Conclusiones y trabajos futuros 44

6.1 Conclusiones 44

6.2 Trabajos futuros 45

Referencias 47

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Quadrotor DJI T600 Inspire 1.

Figura 2. Modelo del quadrotor.

Figura 3. Ángulos de Euler.

Figura 4. Fuerzas aerodinámicas en ejes rotor y ejes quadrotor.

Figura 5. Parámetros del modelo aerodinámico AMUSE.

Figura 6. Posibles grados de liberta de una pala de un rotor.

Figura 7. Tubo anular diferencial de aplicación de la TCM.

Figura 8. Parámetros de la aplicación local de la TEP.

Figura 9. Volumen de control TCM para vuelo a punto fijo.

Figura 10. Volumen de control TCM para vuelo de ascenso.

Figura 11. Regímenes de funcionamiento en descenso.

Figura 12. Volumen de control TCM para vuelo de descenso.

Figura 13. Equilibrio de fuerzas en vuelo de avance.

Figura 14. Interfaz principal del programa.

Figura 15. División en partes de la interfaz principal del programa.

Figura 16. Imagen con ejes y coordenadas de referencia del quadrotor.

Figura 17. Introducción de datos del rotor y quadrotor en la interfaz.

Figura 18. Cálculo de diferentes condiciones de vuelo en la interfaz.

Figura 19. Recuadro de obtención de la matriz A en la interfaz.

Figura 20. Flujo de cálculo de la GUI en Matlab.

Figura 21. Botón "Calcular" en la GUI para vuelo a punto fijo.

1

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Objetivo principal

En este proyecto se van a estudiar los diferentes puntos de linealización de un sistema

UAV VTOL de tipo quadrotor. Para ello se van a considerar diferentes condiciones de vuelo

como puntos de trabajo y se linearizará en torno a ellas para obtener las matrices de espacio

de estados correspondientes. A partir de estas matrices de espacio de estados podremos

controlar el sistema, como se sabe hoy en día existen tanto controladores lineales como no

lineales, estos primeros están más extendidos y con nuestro modelo podremos aplicar uno de

este tipo. Por último para obtener las matrices de espacio de estados de una manera más

visual y atractiva desarrollaremos una interfaz GUI en Matlab que nos permitirá ver los

cambios en la matriz A a partir de la inclusión de datos geométricos y de vuelo.

1.2 Motivación

La principal motivación de realizar este trabajo eran las ganas que tenía de aprender

algo más enfocado al control de sistemas y además de adentrarme en el mundo de los

aviones no tripulados, los cuales se están volviendo cada vez más famosos

El alza de los Uavs se debe a las diversas aplicaciones que estan teniendo hoy en día

tanto en el campo militar como el civil. La ventaja de estos pequeños aviones es que son

capaces de realizar tareas parecidas a las de un avión normal pero con menos peso, más

pequeñas dimensiones y por tanto menos coste.

Entre las multiples tareas para las que se están utilizando estos sistemas estan:

- Logística: pueden integrarse en los procesos de trabajo de este sector,

desplazándose entre almacenes muy distantes entre sí para hacer inventario, lo que

puede acelerar las dinámicas de los almacenes y reducir el número de camiones.

Introducción

2

- Mantenimiento: éstos pueden realizar tareas de mantenimiento como el control

de estado de líneas eléctricas, generadores eléctricos u otras grandes

construcciones.

- Agricultura: pueden llegar a controlar cultivos, detectar zonas con falta de riego o

de fertilizantes, localizar enfermedades y plagas, o supervisar las áreas fumigadas.

- Seguridad: el campo en el que más trabajan son en tareas de vigilancia y

reconocimiento en lugares como fábricas, oficinas y centrales energéticas.

También pueden ser una ayuda para la policía en grandes eventos o

concentraciones con muchas personas.

- Periodismo y fotografía: la incorporación de cámaras cada vez más sofisticadas

en los RPAS abre la posibilidad de captar imágenes que antes no se podían

obtener fácilmente.

- Como plataforma de investigación: es un sistema con muchas posibilidades y las

universidades lo están utilizando para probar diversas tecnologías en él de las más

avanzadas.

- Aplicaciones militares: Existen multitud de misiones realizadas por esto pequeños

aparatos, la capacidad de adentrarse en una conflicto sin ser detectados y poder actúar

u obtener datos a gran distancia los están haciendo indispensables.

La razón de centrar es proyecto en el quadrotor es debido a que tiene ciertas ventajas

respecto a los uav de ala fija, además de su capacidad para volar en condiciones de

hovering, se aventaja por la capacidad de moverse en entornos complejos con gran

habilidad y desarrollar misiones que requieren gran precisión, como la observación en

entornos con muchos obstáculos.

Los desafíos enfrentados en el campo de la investigación son principalmente en la

disciplina del control, el quadrotor es un sistema multivariable no lineal y dado que tiene

seis grados de libertad (DOF) pero solo cuatro actuadores, es un sistema difícil de

controlar. Su complejidad se denota en la no linealidad del acoplamiento entre los

actuadores y los grados de libertad. Aunque la mayoría común de algoritmos de control

encontrados en la literatura son lineales, estos controladores solo pueden funcionar

cuando el quadrotor esta en un punto de vuelo o comportamiento estacionario, su

3

3 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

rendimiento se ve muy mermado cada vez que el quadrotor abandona las condiciones

nominales o realiza maniobras agresivas.

En este trabajo se van a ver condiciones de vuelo siempre estacionarias en el vuelo

a punto fijo, de ascenso, de descenso y de avance totalmente horizontal. La matriz de

espacio de estados calculada permitirá dar paso al ajuste de parámetros del controlador para

conseguir estabilizar el quadrotor en estas condiciones de manera más eficaz.

1.3 Estructura

El proyecto de aquí en adelante se va a estructurar de la siguiente manera:

- En el capítulo 2 se va a explicar el modelado del quadrotor, se introduciran los ejes

de referencia, la caracterización paramétrica, los grados de libertad, las maniobras de

vuelo… En definitiva se van a incluir todas las ecuaciones dinámicas que nos van a

permitir predecir el comportamiento del quadrotor ante las fuerzas de entrada.

- En el capítulo 3 se procederá a obtener el modelo de espacio de estados del sistema

en las diferentes condiciones de vuelo, recalcar que para obtener estos datos se ha

utilizado el modelo completo de [1] y [2] y las fuerzas aerodinámicas de [3]. Con este

modelo de espacio de estados ya podremos obtener la matriz A linealizada

simbólicamente para aplicar las diferentes condiciones de vuelo.

Figura 1. Quadrotor DJI T600 Inspire 1

Introducción

4

- En el capítulo 4 se va a introducir brevemente la teoría de helicópteros y se van a

aclarar las ecuaciones utilizadas dentro de la GUI para el cálculo de las

condiciones de vuelo de hovering, ascenso, descenso y avance horizontal.

Explicaremos el flujo de cálculo seguido en cada caso ya que estas ecuaciones

permiten definir el vector de estados de cada punto de trabajo.

- En el capítulo 5 se va a mostrar la interfaz de la GUI desarrollada en Matlab y se

argumentará como funciona.

- Finalmente en el último capítulo 6 se sacaran conclusiones sobre lo que se ha

aprendido y pasaremos a estudiar lo realizado para ver que posibles trabajos

futuros pueden mejorar el presente.

5

2 MODELADO DEL QUADROTOR

2.1 Introduccion al modelo

El quadrotor es un sistema compuesto por cuatro rotores contenidos al final de sus

extremidades, cada rotor consiste en una hélice conectada a un motor de corriente continua.

Antes de poder definir el modelo cinemático y dinámico hemos de definir unos ejes de

referencia y un sentido de signos en el cual se describen la estructura y la posición de nuestro

vehículo. Para definir su estado utiliza dos sistemas de referencia, uno fijo y otro móvil como

podemos ver en la figura 2.

El sistema de referencia fijo es de tipo inercial y aquí se considera válida la primera

Ley de Newton. El sistema de referencia en movimiento se fija en el centro de gravedad del

quadrotor. Luego para describir cualquier movimiento espacial en el tiempo necesitamos seis

grados de libertad; tres coordenadas para definir la posición, y tres ángulos para definir la

actitud. En la imagen anterior se pueden discernir estos grados de libertad y como están

relacionados con la estructura.

Figura 2. Modelo de quadrotor

MODELADO DEL QUADROTOR

6

Para que el quadrotor realice un movimiento en cualquiera de sus grados de libertad

se ha de jugar con las velocidades de rotación de los diferentes motores. Esto puede

provocar movimientos hacia delante y hacia atrás, movimiento lateral, vertical,

movimiento de balanceo (𝜙) y movimientos de cabeceo (𝜃) y guiñada (𝜓).

Los ángulos de Euler representan la orientación del quadrotor respecto a los ejes

tierra de inercia. Para definir las coordenadas del marco inercial frente al sistema de ejes

cuerpo hemos de utilizar la siguiente matriz de rotación:

𝑅 =

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝜙 − 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝜙−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙

En la siguiente figura vemos más claramente como se define la actitud del quadrotor

con estos ángulos de Euler:

Figura 3. Ángulos de Euler

7 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

2.2 Maniobras de vuelo

Para explicar como el quadrotor realiza las diferentes maniobras de vuelo con su

configuración pasaremos a aclarar como juega con las diferentes velocidades de sus cuatro

rotores. Como se aprecia en la figura 2 para balancear el par total sobre el cuerpo del

quadrotor en el eje z y conseguir el equilibrio en vuelos estacionarios; los rotores 1 y 3 rotan

en la misma dirección, si embargo los 2 y 4 rotan en la dirección contraria, que los rotores

par e impar roten en la misma proporción es esencial para evitar la guiñada.

Las maniobras a desempeñar se alcanzan de las siguientes formas:

- Vuelo en ascenso o descenso: se consigue aumentando la velocidad de cada rotor

en la misma proporción. Esto hace que aumente el empuje total aplicado al

quadrotor permitiendo un vuelo de ascenso. El descenso se consigue

disminuyendo la velocidad de cada rotor en la misma proporción.

- Giro sobre el eje Z (Yaw): se consigue aumentando la velocidad de los rotores 1

y 3 y disminuyendo la de los rotores 2 y 4 en la misma proporción para un yaw

negativo y al revés para un yaw positivo. Esto va a provocar que el quadrotor gire

sobre si mismo.

- Giro sobre el eje X (Roll): se consigue aumentando el empuje del rotor 2 y

disminuyendo el empuje del rotor 4 para un roll negativo y al revés para un roll

positivo.

- Giro sobre el eje Y (Pitch): se consigue aumentando el empuje del rotor 1 y

disminuyendo el empuje del rotor 3 para un pitch negativo y al revés para un pitch

positivo. Para el Roll y el Pitch el aumento en el empuje sobre un rotor es

proporcional a la disminución sobre el rotor opuesto.

MODELADO DEL QUADROTOR

8

Se ha de tener en cuenta que en este trabajo se van a ver las matrices de

linealización en condiciones estacionarias para vuelo a punto fijo, ascenso, descenso y

avance. Luego en ningún momento van a existir aceleraciones y la velocidad de los

rotores será siempre constante. Por tanto no se tienen en cuenta las maniobras de giro.

2.3 Hipótesis y modelo matemático

Para definir el modelo matemático del quadrotor se va a utilizar un trabajo

referenciado en la bilbiografía en [1] que a su vez esta basado en el modelo de [2].

Las hipótesis de simplificación que se han asumido son las siguientes:

- La estructura del quadrotor es rígida y simétrica, con esto podemos aplicar las

ecuaciones de Newton-Euler para obtener la dinámica del quadrotor y el tensor de

inercia es diagonal.

- El centro de gravedad del quadrotor coincice con el origen de los ejes cuerpo fijados.

- Las hélices se consideran rígidas, nos permite formular modelos de dinámica de rotor

más simplistas.

- El empuje y el torque generado por cada hélice se considerará proporcional a la

velocidad angular de la hélice.

El modelo dinámico es el estudio del movimiento del quadrotor, con estas

ecuaciones se obtienen la relación entre la posición, la velocidad y la aceleración del

quadrotor en relación con las fuerzas implicadas. La posición del quadrotor se define

mediante 𝒑 = (𝒙,𝒚, 𝒛) y la velocidad lineal del centro de masas respecto a los ejes

inerciales y expresada en dichos ejes, mediante 𝒗 = (𝒗𝒙,𝒗𝒚,𝒗𝒛). Por otro lado, la actitud

se define con los tres ángulos de Euler 𝜣 = (𝝓,𝜽,𝝍) y la velocidad angular con 𝜴 =

(𝒑,𝒒, 𝒓). Por tanto las ecuaciones dinámicas del quadrotor se definen como:

𝒑 = 𝒗 ( 1)

9 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

𝒗 = −𝑔𝒛𝒆 +𝑇

𝑚𝑹𝒛𝒆 − 𝑭𝒂𝒆𝒓𝒐

( 2)

𝜣 = 𝑾Ω ( 3)

𝑰𝒇Ω = −Ω x 𝑰𝒇Ω − 𝐆𝐚 + 𝛕𝐚 ( 4)

La dinámica de los rotores puede expresarse como:

𝐼𝑟𝑤 = 𝜏 − 𝑸 = 𝜏 − 𝑘𝑤2 ( 5)

Dónde 𝑤 = (𝑤1,𝑤2,𝑤3,𝑤4) son las velocidades de giro de cada rotor, 𝜏 =

(𝜏 1,𝜏 2,𝜏 3,𝜏 4) los empujes eléctricos dados por los motores DC,

𝑭𝒂𝒆𝒓𝒐 = (𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥 ,𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜

𝑦 ,𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧) las fuerzas aerodinámicas y 𝑸 = (𝑄1,𝑄2,𝑄3,𝑄4) es el par

creado por la resistencia aerodinámica al giro de cada rotor. Cómo vemos este par es la

velocidad de giro al cuadrado multiplicado por una constante “k”. Ésta constante k de

drag al giro la calcularemos en el capítulo 4.

El empuje total de los cuatro rotores se define como:

𝑇 = 𝑏 𝑤𝑖2 ( 6)

Y los pares de torsión generados por los cuatro rotores:

𝜏𝑎1 = 𝑏𝑙(𝑤4

2 − 𝑤22) ( 7)

𝜏𝑎2 = 𝑏𝑙(𝑤3

2 − 𝑤12) ( 8)

𝜏𝑎3 = 𝑘(𝑤4

2 + 𝑤22 − 𝑤3

2 − 𝑤12) ( 9)

Como último paso vamos a definir el par de torsión giróscopico y la matriz W de

rotación:

𝑮𝒂 = 𝐼𝑟(Ω x

4

𝑖=1

𝒛𝒆)(−1)𝒊+𝟏𝑤𝑖

(10)

MODELADO DEL QUADROTOR

10

𝑾 =

1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑡𝑎𝑛𝜃0 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙0 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑒𝑐𝜃

(11)

Para tener una visión más clara de todos los parámetros que se han definido en

este modelo se adjunta la siguiente tabla:

SÍMBOLOS DEFINICIÓN UNIDADES

𝒑 = (𝒙,𝒚, 𝒛) Posición del quadrotor m

𝒗 = (𝒗𝒙,𝒗𝒚,𝒗𝒛) Velocidad del quadrotor m/s

𝜣 = (𝝓,𝜽,𝝍) Actitud del quadrotor (roll, pitch, yaw) rad

𝜴 = (𝒑,𝒒, 𝒓). Velocidades angulares del quadrotor Rad/s

ze = (0,0,1)T Vector unitario definido en el sistema I -

g Gravedad m/𝑠2

T Empuje total de los rotores N

m Masa del quadrotor Kg

R Matriz de rotación -

W Matriz intermedia -

If Matriz diagonal de inercia (Ix, Iy, Iz) del quadrotor Kg𝑚2

G Par de torsión giroscópico Nm

l Longitud del brazo del quadrotor m

b Factor de empuje de cada rotor 𝑁𝑠2/𝑟𝑎𝑑2

k Factor de drag al giro del rotor 𝑁𝑚𝑠2/𝑟𝑎𝑑2

Ir Inercia de cada rotor Kg𝑚2

𝝉𝒂𝟏, 𝝉𝒂

𝟐𝝉𝒂𝟑 Momentos para roll, pitch y yaw Nm

𝒘𝟏,𝒘𝟐,𝒘𝟑,𝒘𝟒 Velocidades de giro de cada rotor Rad/s

𝝉 𝟏,𝝉 𝟐,𝝉 𝟑,𝝉 𝟒 Empujes eléctricos de los motores DC Nm

𝑸𝟏,𝑸𝟐,𝑸𝟑,𝑸𝟒 Par de reacción por la resistencia del aire Nm

𝑭𝒂𝒆𝒓𝒐𝒙,𝑭𝒂𝒆𝒓𝒐

𝒚,𝑭𝒂𝒆𝒓𝒐𝒛 Fuerzas del modelo aerodinámico N

11 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Despúes de definir el arquetipo es muy importante destacar las ecuaciones (6) y (9) las

cuales definen el modelo propulsivo, en el siguiente capítulo de teoría de rotores jugaremos

con los parámetros “b”, “k” y 𝒘 = (𝒘𝟏,𝒘𝟐,𝒘𝟑,𝒘𝟒) definiendolos para cada condición de

vuelo.

11

3 LINEALIZACIÓN

3.1 Introducción

Como la dinámica del quadrotor es no lineal el sistema esta sobreactuado, es necesario

linealizar en torno a un punto de funcionamiento. Esta linealización nos va a permitir trabajar

con ecuaciones lineales menos complejas y poder aplicar controladores lineales más

extendidos.

A la hora de linealizar la mayoría de trabajos que hemos visto linealizan en torno al

punto de equilibrio del quadrotor en el caso de hover [1], [2] y [7]. Este punto de equilibrio

requiere que todas sus derivadas del modelo de espacio de estados sean nulas. Pero en este

trabajo sin embargo no todas serán nulas por la linealización en los diferentes puntos de

trabajo.

3.2 Modelo en espacio de estados

Según [8], “la teoría de control moderna esta basada en el conocimiento del

comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las variables que ifluyen en su

dinámica, estas variables constituyen el concepto de estado de sistema”. El conocimiento de

la evolución de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permitirá efectuar

un control más potente de ésta. Por tanto la teoría de control moderna surge para solventar

algunos problemas de la teoría clásica, entre ellos:

- Es aplicable a sistemas multivariables con lo que existe un elevado grado de

interacción entre las variables del sistema.

- Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables involucradas en

su dinámica.

- Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades

comparable a la evolución de sus variables.

LINEALIZACIÓN

12

12

- Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas, entendida como la

mininimización de una función de coste.

En consecuencia se puede discernir que el modelo de espacio de estados usado aquí

permite muchas ventajas para modelar los sistemas y para aplicar un control sobre ellos.

Las ecuaciones de estado son del tipo:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 ∗ 𝐷𝑢(𝑡)

( 12)

𝑥 𝑡 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜

𝑦 𝑡 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑢 𝑡 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙

Para obtener nuestro modelo del quadrotor vamos a partir del modelo completo de

[1] e incluiremos las fuerzas aerodinámicas de [3]. Este modelo completo esta formado

por cuatro entradas que son los empujes eléctricos de los motores DC y dieciséis estados.

Las ecuaciones que lo rigen son de la siguiente forma:

- Entradas:

(𝝉 𝟏,𝝉 𝟐,𝝉 𝟑,𝝉 𝟒) ( 13)

- Vector de estados:

𝑥 =

𝒙𝟏 = 𝑥,𝒙𝟐 = 𝑦 ,𝒙𝟑 = 𝑧,𝒙𝟒 = 𝑣𝑥 ,𝒙𝟓 = 𝑣𝑦,𝒙𝟔 = 𝑣𝑧, 𝒙𝟕 = 𝜙,𝒙𝟖 = 𝜃,𝒙𝟗 = 𝜓,𝒙𝟏𝟎 = 𝑝,𝒙𝟏𝟏 = 𝑞,𝒙𝟏𝟐 = 𝑟,

𝒙𝟏𝟑 = 𝑤1,𝒙𝟏𝟒 = 𝑤2 ,𝒙𝟏𝟓 = 𝑤3,𝒙𝟏𝟔 = 𝑤4

( 14)

13 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

- Definición del modelo:

𝑓1 = 𝑥 = 𝑉𝑥 ( 15)

𝑓2 = 𝑦 = 𝑉𝑦 ( 16)

𝑓3 = 𝑧 = 𝑉𝑧 ( 17)

𝑓4 = 𝑥 =𝑇

𝑚(sin𝜃 cos𝜓 cos𝜙 + sin𝜓 sin𝜙) −

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝑚

( 18)

𝑓5 = 𝑦 =𝑇

𝑚(sin𝜃 sinψ cos𝜙 + cos𝜓 sin𝜙) −

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑦

𝑚

( 19)

𝑓6 = 𝑧 = −𝑔 +𝑇

𝑚(cos𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙)−

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧

𝑚

( 20)

𝑓7 = 𝜙 = 𝑝 + 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑡𝑎𝑛θ ∗ q + cosϕtanθ ∗ r ( 21)

𝑓8 = 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 ∗ q − senϕ ∗ r ( 22)

𝑓9 = 𝜓 = 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑒𝑐θ ∗ q + cosϕsecθ ∗ r ( 23)

𝑓10 = 𝑝 = 𝑞𝑟 ∗(𝐼𝑦 − 𝐼𝑧)

𝐼𝑥−𝐼𝑟𝐼𝑥

q 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4 +𝜏𝑎

1

𝐼𝑥

( 24)

𝑓11 = 𝑞 = 𝑝𝑟 ∗(𝐼𝑧 − 𝐼𝑥)

𝐼𝑦+𝐼𝑟𝐼𝑦

p 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4 +𝜏𝑎

2

𝐼𝑦

( 25)

𝑓12 = 𝑟 = 𝑝𝑞 ∗(𝐼𝑥 − 𝐼𝑦)

𝐼𝑧+𝜏𝑎

3

𝐼𝑧

( 26)

𝑓13 = 𝑤1 =𝜏 1 −𝐾𝑤1

2

𝐼𝑟

( 27)

𝑓14 = 𝑤2 =𝜏 2 −𝐾𝑤2

2

𝐼𝑟

( 28)

𝑓15 = 𝑤3 =𝜏 3 −𝐾𝑤3

2

𝐼𝑟

( 29)

𝑓16 = 𝑤4 =𝜏 4 −𝐾𝑤4

2

𝐼𝑟

( 30)

LINEALIZACIÓN

14

14

Con estas ecuaciones ya podemos obtener las matrices A, B, C y D, ahora toca

linealizarlas utilizando el teorema de expansión de Taylor para funciones analíticas, en

nuestro caso la que más nos interesa es la matriz A en cada punto de trabajo 𝒙 .

𝐴 𝑥 =

𝜕𝑓1

𝜕𝑥1

𝑥

… 𝜕𝑓16

𝜕𝑥16

𝑥 .

⋮ … ⋮

𝜕𝑓16

𝜕𝑥1

𝑥 .

… 𝜕𝑓16

𝜕𝑥16

𝑥 .

( 31)

Para obtener esta matriz de forma algebraica se ha utilizado Matlab simbólico, en el

apartado 3.4 se detallarán para cada punto de trabajo y como veremos en el capítulo 5 con

la GUI se explicaran los archivos en los cuales se han incluido las ecuaciones y se verán

los pasos seguidos en el script.

3.3 Modelo aerodinámico

A la hora de incluir las fuerzas aerodinámicas se ha tenido en cuenta el modelo

aerodinámico de [3], hay que recalcar que las fuerzas definidas en este modelo están en

ejes rotor. Por tanto se tiene que aplicar una matriz de rotación para transformar las

fuerzas aerodinámicas a los ejes del modelo de espacio de estados.

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥 , 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜

𝑦 , 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑎𝑒𝑟𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉 ,𝐹𝑦 𝛼𝑟 ,𝑉 ,𝐹𝑧 𝛼𝑟 ,𝑉 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑎𝑒𝑟𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 [3]

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑦

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 =

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 −𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓−𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑦 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑧 𝛼𝑟 ,𝑉

( 32)

15 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

En la figura 4 podemos apreciar la diferencia entre las fuerzas aerodinámicas del

modelo en [3] (en verde) y las que necesitamos meter en nuestro modelo (en azul). En todo

caso su suma es la resistencia aerodinámica “D” al movimiento (en rojo).

Figura 4. Fuerzas aerodinámicas en ejes rotor y ejes quadrotor

Las fuerzas aerodinámicas del modelo dado están particularizadas para una plataforma

denominada AMUSE (del proyecto AEROARMS) y por tanto dependen de unos parámetros

que se han obtenido a través de simulaciones de dinámica de fluidos por ordenador (CFD),

estos parámetros constantes son los que se muestran en la siguiente figura:

Es importante destacar que estos parámetros pueden variar para otra plataforma

diferente, y que si se quieren usar es esencial estudiar la desviación característica del nuevo

modelo y recalcularlos. “S” es un área frontal característica del UAV y si por ejemplo el

UAV es más grande se calcularía su nueva “S”. Sin embargo si éste incluye unos brazos

diferentes si que habría que reajustar todos los parámetros (K1, K2…). Con todo esto,

dependiendo de cada condición de vuelo ya podemos obtener numéricamente las fuerzas

aerodinámicas.

Figura 5. Parámetros del modelo aerodinámico AMUSE

LINEALIZACIÓN

16

16

Vuelo a punto fijo

Dado que no existe movimiento del quadrotor respecto al aire pero sí resistencia en

el rotor por interferencias aerodinámicas con el brazo que lo sustenta, el modelo

aerodinámico queda como:

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑦

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 =

00

𝐹𝑧𝑉𝑃𝐹 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑧𝑉𝑃𝐹 =1

2𝜌𝑆 (𝐾2)

( 33)

Vuelo de ascenso

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑦

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 =

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 −𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓−𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑦 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑧𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜 𝛼𝑟 ,𝑉

En este caso 𝜃 = 0 y 𝜓 no actúa, sólo hay resistencia aerodinámica en el eje z:

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 = 𝐹𝑧𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜 𝑉𝑧 =

1

2𝜌𝑆 (𝐾2 + 𝐾3 1 + 𝐾4 ∗ 𝑉𝑧2 + 𝐾5 ∗ 𝑉𝑧)

( 34)

Vuelo de descenso

Es igual que el caso anterior, en este caso la resistencia al descenso se modela de la

siguiente manera:

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 = 𝐹𝑧𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜 𝑉𝑧 =

1

2𝜌𝑆 (𝐾6 + 𝐾8 ∗ 𝑉𝑧2 + 𝐾7 ∗ 𝑉𝑧)

( 35)

Se denota que la fuerza de descenso es diferente a la de ascenso.

17 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Vuelo de avance

En este caso hemos considerado un vuelo de avance con pitch (θ) en el eje x por tanto

si tiene más sentido la matriz de rotación:

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑦

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 =

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 −𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓−𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑦 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑧 𝛼𝑟 ,𝑉

No existe resistencia en el “eje y” por ser un vuelo de avance en “x”, a pesar de esto

también se ha considerado como hipótesis adicional que el comportamiento del UAV no

va a variar en demasía con el “yaw” (ángulo 𝜓).

𝐹𝑦 𝛼𝑟 ,𝑉 = 0 𝜓 = 0

En el modelo aerodinámico de [3] se utiliza 𝛼𝑟 para definir el ángulo de ataque del

rotor o lo que es lo mismo el ángulo de entrada de coriente de aire que ve. Se diluce por tanto

que 𝜽 = 𝜶𝒓 siempre para nuestro caso.

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝐹𝑧𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 = −𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝐹𝑧𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 𝛼𝑟 ,𝑉

𝐹𝑥 𝛼𝑟 ,𝑉 =1

2𝜌𝑉2𝑆 ∗ 𝐾1 ∗ 1 −

𝛼𝑟𝜋/2

4

( 36)

𝐹𝑧𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 𝛼𝑟 ,𝑉 =1

2𝜌𝑆 𝐾2 + 𝐾3 1 + 𝐾4 ∗ 𝑉2𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑟 + 𝐾5 ∗ 𝑉𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑟

( 37)

LINEALIZACIÓN

18

18

3.4 Puntos de trabajo

Vuelo a punto fijo

El vector de estados en vuelo a punto fijo será:

𝑥 = 𝑥, 𝑦 , 𝑧, 𝑣𝑥 = 0, 𝑣𝑦 = 0, 𝑣𝑧 = 0,𝜙 = 0,𝜃 = 0,𝜓 = 0,𝑝 = 0,

𝑞 = 0, 𝑟 = 0,𝑤1,𝑤2 ,𝑤3,𝑤4

( 38)

Para obtener el punto de trabajo se va a sustituir este vector en la definición del

modelo y de (20), (24), (25), (26) y (27) nos queda:

𝑓6 = 𝑧 = −𝑔 +𝑇

𝑚(cos𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙)−

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧

𝑚= 0

𝑏 𝑤42 + 𝑤2

2 +𝑤32 +𝑤1

2 = 𝑚𝑔 + 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 ; 𝑤𝑖

2 =𝑚𝑔

4𝑏+𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜

𝑧

4𝑏

𝑓10 = 𝑝 = 𝑞𝑟 ∗(𝐼𝑦 − 𝐼𝑧)

𝐼𝑥−𝐼𝑟𝐼𝑥

q 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4 +𝜏𝑎

1

𝐼𝑥= 0

𝜏𝑎1 = 𝑏𝑙 𝑤4

2 −𝑤22 = 0; 𝑤2 = 𝑤4

𝑓11 = 𝑞 = 𝑝𝑟 ∗(𝐼𝑧 − 𝐼𝑥)

𝐼𝑦+𝐼𝑟𝐼𝑦

p 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4 +𝜏𝑎

2

𝐼𝑦= 0

𝜏𝑎2 = 𝑏𝑙 𝑤3

2 −𝑤12 = 0; 𝑤3 = 𝑤1

𝑓12 = 𝑟 = 𝑝𝑞 ∗(𝐼𝑥 − 𝐼𝑦)

𝐼𝑧+𝜏𝑎

3

𝐼𝑧= 0

𝜏𝑎3 = 𝑘 𝑤4

2 +𝑤22 −𝑤3

2 −𝑤12 = 0; 𝑤1 = 𝑤2 = 𝑤3 = 𝑤4

𝑓13 = 𝑤1 =𝜏 1 −𝐾𝑤1

2

𝐼𝑟= 0

𝜏 𝑖 = 𝐾𝑤𝑖2

Las velocidades de los rotores se obtendrán de las ecuaciones de helicópteros en

vuelo a punto fijo en el capítulo 4.

19 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Esta es la matriz A de espacio de estados resultante para vuelo a punto fijo, con cada uno

de sus parámetros:

𝐴 =

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 𝐴4,8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 𝐴5,7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴6,13 𝐴6,14 𝐴6,15 𝐴6,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴10,11 0 0 𝐴10,14 0 𝐴10,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴11,10 0 0 𝐴11,13 0 𝐴11,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴12,13 𝐴12,14 𝐴12,15 𝐴12,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴13,13 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴14,14 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴15,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴16,16

𝐴4,8 =𝑇

𝑚

𝐴5,7 =−𝑇

𝑚

𝐴6,13 =2𝑏𝑤1

𝑚

𝐴6,14 =2𝑏𝑤2

𝑚

𝐴6,15 =2𝑏𝑤3

𝑚

𝐴6,16 =2𝑏𝑤4

𝑚

𝐴10,11 =−𝐼𝑟 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4

𝐼𝑥

𝐴10,14 =−2𝑏𝑙𝑤2

𝐼𝑥

𝐴10,16 =2𝑏𝑙𝑤4

𝐼𝑥

𝐴11,10 =𝐼𝑟 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4

𝐼𝑦

𝐴11,13 =−2𝑏𝑙𝑤1

𝐼𝑦

LINEALIZACIÓN

20

20

𝐴11,15 =2𝑏𝑙𝑤3

𝐼𝑦

𝐴12,13 =−2𝑘𝑤1

𝐼𝑧

𝐴12,14 =2𝑘𝑤2

𝐼𝑧

𝐴12,15 =−2𝑘𝑤3

𝐼𝑧

𝐴12,16 =2𝑘𝑤4

𝐼𝑧

𝐴13,13 =−2𝑘𝑤1

𝐼𝑟

𝐴14,14 =−2𝑘𝑤2

𝐼𝑟

𝐴15,15 =−2𝑘𝑤3

𝐼𝑟

𝐴16,16 =−2𝑘𝑤4

𝐼𝑟

Vuelo de ascenso

El vector de estados de ascenso será:

𝑥 = 𝑥,𝑦 , 𝑧, 𝑣𝑥 = 0, 𝑣𝑦 = 0,𝒗𝒛 = 𝒗𝒛𝒓𝒆𝒇,𝜙 = 0,𝜃 = 0,𝜓 = 0,𝑝 = 0,

𝑞 = 0, 𝑟 = 0,𝑤1,𝑤2 ,𝑤3,𝑤4

( 39)

Cuando se despeja el estado en el modelo, los resultados nos quedan igual que en

vuelo a punto fijo sólo que ahora la fuerza aerodinámica cambiará como hemos visto en el

apartado anterior:

𝑓6 = 𝑧 = −𝑔 +𝑇

𝑚(cos𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙)−

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧

𝑚= 0

𝑏 𝑤42 + 𝑤2

2 +𝑤32 +𝑤1

2 = 𝑚𝑔 + 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 ; 𝑤𝑖

2 =𝑚𝑔

4𝑏+𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜

𝑧

4𝑏

Las velocidades de los rotores se obtendrán de las ecuaciones de helicópteros en

vuelo de ascenso el capítulo 4.

21 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

La matriz A resultante será exactamene igual a la de vuelo a punto fijo del apartado

anterior sólo que ahora tendrá un término más (en rojo) provocado por las fuerzas

aerodinámicas en ascenso.

𝐴 =

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 𝐴4,8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 𝐴5,7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 𝐴6,6 0 0 0 0 0 0 𝐴6,13 𝐴6,14 𝐴6,15 𝐴6,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴10,11 0 0 𝐴10,14 0 𝐴10,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴11,10 0 0 𝐴11,13 0 𝐴11,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴12,13 𝐴12,14 𝐴12,15 𝐴12,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴13,13 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴14,14 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴15,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴16,16

𝐴6,6 =𝑑𝑓

6

𝑑𝑣𝑧=𝑑𝑧

𝑑𝑣𝑧= −

𝑆𝜌

2(𝐾5 + 2𝐾3 ∗ 𝑣𝑧𝑟𝑒𝑓 𝐾4 + 1 )

Como podemos ver estas fuerzas aerodinámicas dependen de la velocidad de ascenso.

Vuelo de descenso

El vector de estados de descenso será:

𝑥 = 𝑥,𝑦 , 𝑧, 𝑣𝑥 = 0, 𝑣𝑦 = 0,𝒗𝒛 = 𝒗𝒛𝒓𝒆𝒇,𝜙 = 0,𝜃 = 0,𝜓 = 0,𝑝 = 0,

𝑞 = 0, 𝑟 = 0,𝑤1,𝑤2 ,𝑤3,𝑤4

(40)

Cuando se despeja en el modelo, los resultados nos quedan igual que en vuelo a punto

fijo sólo que ahora la fuerza aerodinámica cambiará de valor y de signo.

𝑓6 = 𝑧 = −𝑔 +𝑇

𝑚(cos𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙) +

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧

𝑚= 0

𝑏 𝑤42 +𝑤2

2 +𝑤32 +𝑤1

2 = 𝑚𝑔 − 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧 ; 𝑤𝑖

2 =𝑚𝑔

4𝑏−𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜

𝑧

4𝑏

LINEALIZACIÓN

22

22

Las velocidades de los rotores se obtendrán de las ecuaciones de helicópteros en

vuelo de descenso del capítulo 4.

La matriz A resultante será exactamene igual a la de vuelo a punto fijo del apartado

anterior sólo que ahora tendrá un término más (en rojo) provocado por las fuerzas

aerodinámicas en descenso.

𝐴 =

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 𝐴4,8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 𝐴5,7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 𝐴6,6 0 0 0 0 0 0 𝐴6,13 𝐴6,14 𝐴6,15 𝐴6,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴10,11 0 0 𝐴10,14 0 𝐴10,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴11,10 0 0 𝐴11,13 0 𝐴11,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴12,13 𝐴12,14 𝐴12,15 𝐴12,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴13,13 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴14,14 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴15,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴16,16

𝐴6,6 = 𝐴6,6 =𝑑𝑓

6

𝑑𝑣𝑧=𝑑𝑧

𝑑𝑣𝑧=𝑆𝜌

2(𝐾7 + 2𝐾8 ∗ 𝑣𝑧𝑟𝑒𝑓 )

Vuelo de avance horizontal

El vector de estados de vuelo de avance será:

𝑥 = 𝑥,𝑦 , 𝑧,𝒗𝒙 = 𝒗𝒙𝒓𝒆𝒇, 𝑣𝑦 = 0, 𝑣𝑧 = 0,𝜙 = 0,𝜽 = 𝜽𝒓𝒆𝒇,𝜓 = 0,

𝑝 = 0, 𝑞 = 0, 𝑟 = 0,𝑤1,𝑤2 ,𝑤3,𝑤4

(41)

Por este vector nos queda en la definición del modelo de (18) y (20):

𝑓4 = 𝑥 =𝑇

𝑚(sin𝜃 cos𝜓 cos𝜙 + sin𝜓 sin𝜙)−

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝑚= 0

𝑏 𝑤42 +𝑤2

2 + 𝑤32 +𝑤1

2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

23 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

𝑓6 = 𝑧 = −𝑔 +𝑇

𝑚(cos𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙)−

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧

𝑚= 0

𝑏 𝑤42 +𝑤2

2 +𝑤32 +𝑤1

2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑔 + 𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑧

Aquí tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas (𝜃𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝜃𝑟𝑒𝑓 ,

𝑉𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝑣𝑥𝑟𝑒𝑓 , 𝑤𝑖 , 𝑏), que junto con el modelo propulsivo del capítulo 4

podremos resolverlo.

Luego en (24), (25), (26) y (27) ocurre lo mismo que en los casos anteriores:

𝑓10 = 𝑝 = 𝑞𝑟 ∗(𝐼𝑦 − 𝐼𝑧)

𝐼𝑥−𝐼𝑟𝐼𝑥

q 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4 +𝜏𝑎

1

𝐼𝑥= 0

𝜏𝑎1 = 𝑏𝑙 𝑤4

2 −𝑤22 = 0; 𝑤2 = 𝑤4

𝑓11 = 𝑞 = 𝑝𝑟 ∗(𝐼𝑧 − 𝐼𝑥)

𝐼𝑦+𝐼𝑟𝐼𝑦

p 𝑤1−𝑤2 +𝑤3 −𝑤4 +𝜏𝑎

2

𝐼𝑦= 0

𝜏𝑎2 = 𝑏𝑙 𝑤3

2 −𝑤12 = 0; 𝑤3 = 𝑤1

𝑓12 = 𝑟 = 𝑝𝑞 ∗(𝐼𝑥 − 𝐼𝑦)

𝐼𝑧+𝜏𝑎

3

𝐼𝑧= 0

𝜏𝑎3 = 𝑘 𝑤4

2 +𝑤22 −𝑤3

2 −𝑤12 = 0; 𝑤1 = 𝑤2 = 𝑤3 = 𝑤4

𝑓13 = 𝑤1 =𝜏 1 −𝐾𝑤1

2

𝐼𝑟= 0

𝜏 𝑖 = 𝐾𝑤𝑖2

LINEALIZACIÓN

24

24

Ahora la matriz A resultante cambia bastante, como podemos ver debajo los términos

en negro seran exactamene igual a los de vuelo a punto fijo y los términos en azul serán

los nuevos provocados por la fuerza aerodinámica de avance y el cabeceo (𝜃𝑟𝑒𝑓 ).

𝐴 =

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 𝐴4,4 0 0 0 𝐴4,8 0 0 0 0 𝐴4,13 𝐴4,14 𝐴4,15 𝐴4,16

0 0 0 0 0 0 𝐴5,7 0 𝐴5,9 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 𝐴6,6 0 0 𝐴6,8 0 0 0 0 𝐴6,13 𝐴6,14 𝐴6,15 𝐴6,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 𝐴7,12 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴9,12 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴10,11 0 0 𝐴10,14 0 𝐴10,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴11,10 0 0 𝐴11,13 0 𝐴11,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴12,13 𝐴12,14 𝐴12,15 𝐴12,16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴13,13 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴14,14 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴15,15 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐴16,16

𝐴4,4 = 𝐾1𝑆𝜌𝑣𝑥𝑟𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜃 0.164𝜃 − 1 − (𝑆𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐾5𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝐾3𝑣𝑥𝑟𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑘4 + 1 )/2

𝐴4,8 =𝑑𝑓4

𝑑𝜃=𝑑

𝑑𝜃 𝑇

𝑚(sin𝜃 cos𝜓 cos𝜙+ sin𝜓 sin𝜙)−

𝐹𝑎𝑒𝑟𝑜𝑥

𝑚

𝐴4,13 =2𝑏𝑤1

𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐴4,14 =2𝑏𝑤2

𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐴4,15 =2𝑏𝑤3

𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐴4,16 =2𝑏𝑤4

𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐴5,7 =−𝑇

𝑚

𝐴5,9 =𝑇

𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐴6,6 = −𝐾5𝑆𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃/2

𝐴6,8 =𝐾2𝑆𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃

2−𝑇

𝑚𝑠𝑒𝑛𝜃

25 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

𝐴6,13 =2𝑏𝑤1

𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐴6,14 =2𝑏𝑤2

𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐴6,15 =2𝑏𝑤3

𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐴6,16 =2𝑏𝑤4

𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐴7,10 = 1

𝐴7,12 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

𝐴8,11 = 1

𝐴9,12 =1

𝑐𝑜𝑠𝜃

26

26

4 TEORÍA DE HELICOPTEROS

4.1 Introducción

En este capítulo se plasmarán las ecuaciones que se han tenido en cuenta a la hora de

definir el modelo propulsivo del rotor. Para ello no hemos ayudado de la teoría de

helicópteros [4] asignatura impartida en la Escuela Superior de Ingeniería para la carrera

de Ingeniería Aeronáutica.

Ahora se pasará a calcular la velocidad de los rotores para cada condición de vuelo.

La idea es terminar de rellenar los vectores de estados propuestos en el capítulo anterior

con cada condición, para ello hemos de tener en cuenta la geometría del rotor, el tipo de

vuelo, y se verá como obtener los demás parámetros buscados.

Se recuerda que las condiciones de vuelo estacionarias que vamos a estudiar son el

vuelo a punto fijo, en ascenso, en descenso y en avance totalmente horizontal. Es muy

importante denotar que en cada condición la velocidad de los rotores es similar.

𝒘𝟏 = 𝒘𝟐 = 𝒘𝟑 = 𝒘𝟒

La única en la que podría darse una variación entre rotores sería en el vuelo de avance

por la diferencia de resistencia aerodinámica que ven los motores de arriba frente a los de

abajo. Sin embargo este caso en el que tendríamos que incluir momentos

aerodinámicos en “x” e “y” no se ha considerado.

4.2 Consideraciones aplicadas al modelo del rotor

Existen varías teorias de posible aplicación al modelo del rotor, sin embargo por

los buenos resultados que ofrecen se van a utilizar la teoría de la cantidad de

movimiento (TCM) y la teoría del elemento de pala (TEP).

27 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Respecto a los inconvenientes de cada teoría; la teoría de la cantidad de movimiento

limita la acción perturbadora del rotor sobre la corriente de aire a un determinado tubo de

corriente y no permite la completa determinación del campo de velocidades y la teoría

del elemento de pala requiere el conocimento de la velocidad inducida en la superficie

del rotor.

Aunque no se detallan en este trabajo hay otras teorías que proponen un estado más

completo del campo de velocidades teniendo en cuenta las singularidades producidas por

los torbellinos de pala. Para ver más en detalle ésto se recogen en la referencias [4] y [5].

El modelo de las palas del rotor que se ha considerado es totalmente rígido ya que

esto simplifica mucho los cálculos. Además se ha tomado el modelo de un solo grado de

libertad en el que la pala sólo gira contenida en un plano, no existiendo movimientos de

arrastre ni de abatimiento.

4.3 Teoría de cantidad de movimiento

Esta teoría recoge aspectos globales aplicados en una regíón de tipo tubular que contiene

al plano del rotor (figura 7) y se formula bajo las siguientes hipótesis:

- Movimiento estacionario

- Esfuerzos viscosos despreciables (será fuente de error).

- Movimiento adiabático de flujo de aire (no hay saltos de temperatura).

Figura 6. Posibles grados de libertad de una pala de un rotor

Teoría de helicopteros

28

28

- Movimiento unidimensional y uniforme.

- Movimiento incompresible (densidad constante).

Para obtener la velocidad inducida en el rotor, relacionada con su velocidad de giro y

con la fuerza que esta ejerciendo aplicamos las ecuaciones que riguen el movimiento del

fluido.

- Conservación de masa: determina el gasto.

- Conservación de cantidad de movimiento: determina la tracción.

- Conservación de la energía: determina la relación de velocidades inducidas.

4.4 Teoría de elemento de pala

En la teoría de elemento de pala se recogen aspectos locales pertenecientes a

secciones aerodinámicas de la pala y por tanto se necesita una descripción más detallada

de la configuración del rotor:

- Torsión geométrica de la pala (𝜃1)

- Ángulo de paso geométrico (𝜃 = 𝜃0 + 𝜃1𝑥)

- Cuerdas de las secciones aerodinámicas (c)

- Caractetrísticas aerodinámicas bidimensionales de las secciones de pala (𝐶𝑙,𝐶𝑑)

- Distribución local de velocidad inducida en el plano del rotor (dado por TCM).

Figura 7. Tubo anular diferencial de aplicación de la TCM

29 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Con estas características podemos definir un modelo más detallado como el de la

siguiente imagen:

- La velocidad resultante 𝑈 = 𝑈𝑃2 + 𝑈𝑇

2 que actúa sobre el elementode pala es la

suma de las componentes de la velocidad normal a rotor 𝑈𝑃 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑖 y la

velocidad tangencial al rotor 𝑈𝑇 = Ω𝑅.

- El ángulo de entrada de corriente de aire se define como Φ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑈𝑃/𝑈𝑇)

- El ángulo de ataque es 𝛼 = 𝜃 − Φ.

Y teniendo en cuenta las siguientes hipótesis:

- Velocidades de dirección de batimiento mucho menores que las velocidades de

dirección de arrastre (𝑈𝑃 ≪ 𝑈𝑇)

- Resistencia aerodinámica un orden de magnitud menor que la sustentación (𝐶𝑙 ≫

𝐶𝑑).

Se puede linealizar matemáticamente el problema y obtener un modelo que relaciona los

coeficientes globales de tracción, par y potencia con las características geométricas y la

velocidad inducida. El desarrollo matemático se encuentra recogido en [4], en este proyecto

se van a utilizar las ecuaciones finales obtenidas que relacionan la TCM con la TEP y

se van a exponer en los siguientes apartados para las distintas actuaciones. Estas ecuaciones

son las que recoge la GUI para sustituir la matriz de espacio de estados simbólica en cada

punto de trabajo.

Figura 8. Parámetros de la aplicación local de TEP.

Teoría de helicopteros

30

30

4.5 Actuaciones

Vuelo a punto fijo

En el vuelo a punto fijo o vuelo de hover no existe velocidad relativa del rotor con

respecto al aire y por tanto no tenemos resistencia aerodinámica, sin embargo si tenemos

una resistencia definida en 3.3, por tanto el equilibrio de fuerzas queda como:

𝑻 = 𝒎𝒈 + 𝑫𝑽𝑷𝑭 𝑫𝑽𝑷𝑭 = 𝐹𝑧𝑉𝑃𝐹 =1

2𝜌𝑆 (𝐾2)

El volumen de control definido por la TCM es el siguiente:

Se obtiene una velocidad inducida a punto fijo dimensional y adimensional:

𝑣𝑖0 = 𝑇

2𝜌𝐴; 𝜆 = 𝜆𝑖0 =

𝑣𝑖0

Ω𝑅=

𝐶𝑇

2

El coeficiente de tracción se define como:

𝐶𝑇 =𝑇

𝜌𝐴(Ω𝑅)2

Por la TEP tenemos el cálculo de 𝐶𝑇 a partir de la geometría de la pala:

𝐶𝑇 =1

2𝜍𝐶𝑙𝛼

𝜃0

3− 𝜆

2

Con estas ecuaciones ya tenemos un sistema cerrado con en el que podemos obtener

todas las incógnitas.

Figura 9. Volumen de control TCM para vuelo a punto fijo

31 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Vuelo de ascenso

En esta condición si existe una resistencia aerodinámica debido al avance del vehículo

por tanto en el equilibrio de fuerzas:

𝑻 = 𝒎𝒈 + 𝑫𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒔𝒐

El volumen definido por la TCM es el siguiente:

Figura 10. Volumen de control TCM para vuelo en ascenso

La ecuación por TEP del coeficiente de tracción es la misma que en el vuelo a punto fijo,

lo único que cambia es la velocidad inducida que se verá afectada por la velocidad de

ascenso (𝑉𝑐) impuesta.

𝑣𝑖 = −1

2𝑉𝑐 +

1

4𝑉𝑐2 + 𝑣𝑖02

El flujo de cálculo es el mismo que en vuelo a punto fijo sólo que ahora tendremos que

introducir la velocidad de ascenso. Respecto a la fuerza aerodinámica D se obtiene con

ayuda de la bibliografía en [3]:

𝑫𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒔𝒐 = 𝐹𝑧𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜 𝑉𝑧 =1

2𝜌𝑆 (𝐾2 + 𝐾3 1 + 𝐾4 ∗ 𝑉𝑐2 + 𝐾5 ∗ 𝑉𝑐)

Teoría de helicopteros

32

32

Vuelo de descenso

Para esta condición se tiene en cuenta que dependiendo de la velocidad de descenso

existen diferentes regímenes en los cuales no siempre la TCM es aplicable.

Si la velocidad de descenso es moderada, la corriente en el rotor puede ir hacia arriba

o hacia abajo con fuertes turbulencias, por tanto se necesitan modelos empíricos. En

cambio si el flujo de descenso es elevado la estela del rotor siempre tendrá una

configuración definida por encima del rotor, por tanto la TCM proporciona buenos

resultados.

En la siguiente imagen podemos apreciar los regímenes de descenso en función del

ratio de descenso y la velocidad inducida:

Régimen anillos de vórtices (−𝟏 ≤𝐕𝐝

𝐯𝐢< 𝟎) y régimen de estela turbulenta (−𝟐 ≤

𝐕𝐝

𝐯𝐢< −𝟏)

Aquí se tienen que usar modelos empíricos para estimar la velocidad inducida:

𝑣𝑖

𝑣𝑖0= 𝜅 + 𝑘1

𝑉𝑑

𝑣𝑖0 + 𝑘2

𝑉𝑑

𝑣𝑖0

2

+ 𝑘3 𝑉𝑑

𝑣𝑖0

3

+ 𝑘4 𝑉𝑑

𝑣𝑖0

4

𝑘1 = −1.125; 𝑘2 = −1.372; 𝑘3 = −1.373; 𝑘4 = −0.655;

𝜅 = 1.15 𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎

Figura 11. Regímenes de funcionamiento en descenso

33 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

Régimen de molinete frenante (𝐕𝐝

𝐯𝐢< −𝟐)

Aquí la TCM es válida y el volumen definido es el siguiente:

Figura 12. Volumen de control TCM en descenso

𝑣𝑖 = −1

2𝑉𝑑 +

1

4𝑉𝑑2 − 𝑣𝑖02

Respecto al equilibrio de fuerzas queda:

𝑻 + 𝑫𝒅𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒔𝒐 = 𝒎𝒈

De donde de la resistencia aerodinámica es:

𝑫𝒅𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒔𝒐 = 𝐹𝑧𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜 𝑉𝑧 =1

2𝜌𝑆 (𝐾6 + 𝐾8 ∗ 𝑉𝑑2 + 𝐾7 ∗ 𝑉𝑑)

Es importante destacar que experimentalmente este régimen se alcanza muy pocas veces

en quadrotors ya que en la mayoría de casos se suele llegar antes a la velocidad de descenso

terminal.

Teoría de helicopteros

34

34

Vuelo de avance horizontal

En esta parte tenemos que hacer un equilibrio de fuerzas de la siguiente manera:

De donde nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 𝑇 𝑦 𝛼𝑟 de

avance, por tanto a partir de una velocidad de avance impuesta podemos obtener este

equilibrio.

𝑻𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆 = 𝑾𝒄𝒐𝒔 𝜶𝒓 + 𝑭𝒛 𝜶𝒓

𝑾𝒔𝒆𝒏 𝜶𝒓 = 𝑭𝒙 𝜶𝒓

Para cerrar el sistema esta vez se van a utilizar además las ecuaciones del artículo [3]

basadas en la TCM de [4]. Se obtiene vi:

𝑣𝑖4 + 2𝑉𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑟 𝑣𝑖3 + 𝑉𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒

2𝑣𝑖2 − 𝑇𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒

2𝜌𝐴

2

= 0

Se obtiene v:

𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑉𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑟

Se obtiene Ω de avance:

Ω2 −3𝑣

2𝑅𝜃0

Ω+3

2 𝑉𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑟

R

2

−6𝑇𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒

ρAR2σ𝐶𝑙𝛼𝜃0

= 0

Ω = 𝒘𝟏 = 𝒘𝟐 = 𝒘𝟑 = 𝒘𝟒

Figura 13. Equilibrio de

fuerzas en vuelo de avance

35 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

4.6 Cálculo del factor de drag al giro del rotor “k”

Para obtener este parámetro se han de unir la TCM y la TEP, sabemos que la definición

del par aerodinámico generado por el rotor “Q” es:

𝑄 = 𝐶𝑄𝜌𝐴𝑅3Ω2 = k Ω2; k = 𝐶𝑄𝜌𝐴𝑅

3

Para tomar un coeficiente de resistencia mínimo de cada hélice del rotor se han

considerado estos como perfiles simétricos de la serie NACA, el coeficiente de

resistencia que presentan varía en función del espesor de la siguiente manera:

𝐶𝑑0 = 0.007 + 0.025 𝑡

𝑐 ; 0.06 <

𝑡

𝑐 < 0.24

Tomando una relación espesor/cuerda que podrá ser de un 10% aproximado se ha

modelizado un 𝐶𝑑0 ~ 0.009. Recalcar que se pueden utilizar otro tipo de perfiles e incluso

modelos mucho más avanzados, sin embargo por su valor tan pequeño se ha considerado que

con lo expuesto es suficiente.

El coeficiente de par se define de manera generalizada igual al coeficiente de potencia:

𝐶𝑄 = 𝐶𝑃 = 𝐶𝑃0 + 𝐶𝑃𝑖 + 𝐶𝑃𝑐

𝐶𝑃0 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟

𝐶𝑃𝑖 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎

𝐶𝑃𝑐 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜/𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜

Dónde para cada condición de vuelo queda de la siguiente manera:

Vuelo a punto fijo

𝐶𝑄 = 𝐶𝑃 = 𝐶𝑃0 + 𝐶𝑃𝑖 =𝜍0𝐶𝑑0

8+ 𝜆𝑖𝐶𝑇 =

𝜍0𝐶𝑑0

8+𝐶𝑇

3/2

2

Teoría de helicopteros

36

36

Vuelo de ascenso

𝐶𝑄 = 𝐶𝑃 = 𝐶𝑃0 + 𝐶𝑃𝑖 + 𝐶𝑃𝑐 =𝜍0𝐶𝑑0

8+ 𝜆𝑖𝐶𝑇 + 𝜆𝑐𝐶𝑇 =

𝜍0𝐶𝑑0

8+ 𝐶𝑇

−𝜆𝑐2

+ 𝐶𝑇2

+𝜆𝑐

4

4 + 𝜆𝑐𝐶𝑇

Vuelo de descenso

𝐶𝑄 = 𝐶𝑃 = 𝐶𝑃0 + 𝐶𝑃𝑖 + 𝐶𝑃𝑐 =𝜍0𝐶𝑑0

8+ 𝜆𝑖𝐶𝑇 + 𝜆𝑐𝐶𝑇

Vuelo de avance horizontal

𝐶𝑄 = 𝐶𝑃 = 𝐶𝑃0 + 𝐶𝑃𝑖 + 𝐶𝑃𝑐 =𝜍0𝐶𝑑0

8 1 + 3𝜇2 + 𝜆𝑖𝐶𝑇 + 𝜆𝑐𝐶𝑇 =

𝜍0𝐶𝑑0

8 1 + 3𝜇2 + 𝜆𝑖𝐶𝑇

37 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

5 GUI DE MATLAB

5.1 Explicación de la interfaz

En este capítulo se va a mostrar la GUI diseñada en Matlab y se va a explicar su

funcionamiento. Se ha estructurado la interfaz de la manera más clara posible para que el

usuario pueda obtener los datos sin dificultad.

Para cargar la interfaz tenemos que ejecutar el archivo “quadrotor.m”, una vez hecho

esto nos saldrá la pantalla del programa, aclarar que se ha buscado que se pueda trabajar en

una sola pantalla por su simplicidad y ventaja a la hora de ver todos los datos.

Figura 14. Interfaz principal del programa

GUI DE MATLAB

38

38

Si lo dividimos en las partes principales diferenciadas mediante recuadros de colores

tenemos:

Figura 15. División en partes de la interfaz principal del programa

En el recuadro verde se ha incluido una imagen con el sistema de referencia del

quadrotor, se destaca que todos sus ejes y coordenadas de referencia son las usadas en el

modelo de espacio de estados y por tanto en los scripts de MATLAB.

Figura 16. Imagen con ejes y coordenadas de referencia del quadrotor

39 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

En el recuadro en rojo se han de introducir todos los datos geométricos e identificativos

del quadrotor y del rotor. Si no se introducen todos los datos antes de pedir el cálculo, el

programa nos dará error y no calculará nada.

Figura 17. Introducción de datos de rotor y quadrotor en la interfaz

En el recuadro azul se muestran las distintas condiciones de vuelo para las cuales

podemos obtener la matriz A, dependiendo de la condición, el programa podrá necesitar más

datos o no. En vuelo de ascenso, descenso y avance la GUI necesitará las diferentes

velocidades. Puntualizar que para que la interfaz sea más clara los cuadros en blanco son

para datos a introducir y los cuadros en gris son datos que nos calcula el programa.

Figura 18. Calculo de diferentes condiciones de vuelo en la interfaz.

Una vez se pulse en el botón “Calcular”, además de la matriz A obtendremos:

- Para vuelo a punto fijo nos dará la velocidad del rotor requerida para esa geometría

de quadrotor.

GUI DE MATLAB

40

40

- Para vuelo en ascenso también nos dará la velocidad del rotor requerida para esa

geometría y esa velocidad de ascenso.

- Para vuelo en descenso nos dará la velocida del rotor requerida y el régimen donde

se encuentra para esa velocidad negativa de descenso.

- Para vuelo en avance nos calcula lo anterior y el ángulo requerido de cabeceo para

esa velocidad de avance impuesta.

En el cuadro en naranja aparecerá la matriz A:

Figura 19. Recuadro de obtención de la matriz A en la interfaz.

Como aclaración final y para realizar una recopilación de lo explicado, en la figura 20

se muestra el diagrama de flujo que sigue el programa para realizar sus cálculos. Todo

ello lo hace ayudándose de las ecuaciones de helicópteros y del modelo de espacio de

estados expuestos en capítulos anteriores.

Figura 20. Flujo de cálculo de la GUI de Matlab

Se piden las características y las particularidades del

quadrotor y del rotor

Para cada condición de vuelo excepto para vuelo a punto fijo se piden las

velocidades.

Pulsando el botón "calcular" de la condición

escogida obtenemos la velocidad del rotor

requerida y la matriz A.

41 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

5.2 Archivos utilizados

Los script utilizados en el programa de Matlab son lo siguientes:

Quadrotor.m

Aquí esta escrita toda la estructura del programa y de la GUI, este es el archivo principal

que ejecuta todos los demás y el que contiene la mayoría de la información y ecuaciones

expuestas en este proyecto.

Ahora se va a pasar explicar de forma concisa como esta estructurado su código por

dentro, se debe saber que todos los cálculos, toma y muestra de datos se ejecutan cada vez

que pulsamos uno de los cuatro botones “Calcular”.

Cada botón “Calcular” tiene asociado un “tag” (etiqueta) que llama a la siguiente

función dentro del programa:

- Para vuelo a punto fijo

- Para vuelo de ascenso

- Para vuelo de avance

- Para vuelo de Descenso

Figura 21. Botón “Calcular” en la GUI para vuelo a punto fijo

GUI DE MATLAB

42

42

Dado que las cuatro funciones estan estructuradas de la misma forma y ejecutan su

código de manera independiente, vamos a utilizar la de vuelo a punto fijo para exponer

brevemente su funcionamiento.

En el primer paso se realiza la toma de datos, lo que se hace principalmente es

transformar los datos dados de “string” a “number” y lo hace a través del siguiente

código:

Con todos los datos recogidos en el segundo paso se realizan calculos intermedios

necesarios; como la obtención del área y la solidez a partir de los datos geométricos, el

peso, la densidad, transformación de grados a radianes…

En el tercer paso se incluye el modelo aerodinámico:

En la cuarta parte se incluyen el equilibrio de fuerzas y las ecuaciones de teoría de

helicópteros y se resuelven (aclarar que ya que el tiempo de cálculo era admisible se ha

usado siempre la función “solve” para resolver las ecuaciones):

43 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

En el último paso ya se puede definir el vector del punto de trabajo numericamente y se

llama a la función correspondiente para obtener la matriz A (en este caso Matriz_AVpf.m):

Con el siguiente código se muestra la matriz A en un “listbox” además de en la ventana de

comandos de Matlab:

Quadrotor.fig

Es el diseño gráfico de la interfaz.

Matriz_AVpf.m

En esta función esta incluido el modelo de espacio de estados de vuelo a punto fijo, aquí

dentro se calcula la matriz A de manera simbólica. La entrada a la función es el vector de

estados del punto de trabajo y la salida es la matriz A numérica sustituida en ese punto.

Matriz_Asc.m

En esta función esta incluido el modelo de espacio de estados de vuelo de ascenso, aquí

dentro se calcula la matriz A de manera simbólica. La entrada a la función es el vector de

estados del punto de trabajo y la salida es la matriz A numérica sustituida en ese punto.

Matriz_Desc.m:

En esta función esta incluido el modelo de espacio de estados de vuelo de descenso, aquí

dentro se calcula la matriz A de manera simbólica. La entrada a la función es el vector de

estados del punto de trabajo y la salida es la matriz A numérica sustituida en ese punto.

Matriz_Avanc.m:

En esta función esta incluido el modelo de espacio de estados de avance, aquí dentro se

calcula la matriz A de manera simbólica. La entrada a la función es el vector de estados del

punto de trabajo y la salida es la matriz A numérica sustituida en ese punto.

Conclusiones y trabajos futuros

44

44

6 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

6.1 Conclusiones

Como conclusión y término de este proyecto se puede decir que se han cumplido los

objetivos que se buscaban. Se partió en un principio queriendo entender la dinámica de un

quadrotor y la implicación de sus características dentro del modelo de espacio de estados

y se ha conseguido. Además se buscó poder obtener la matriz de espacio de estados a

través de una interfaz de Matlab y se ha desarollado esta interfaz, esto nos ha permitdo

aprender como se programa un script tan útil de este tipo.

Se han asimilado varias cosas de las propuestas, recalcar sobre todo las dos ideas

buscadas, aprender a diseñar una GUI en Matlab y que fuera algo relacionado con el

mundo del control y los UAVs.

A partir de aquí el uso que se le puede dar al programa es el propuesto durante el

trabajo, se puede obtener la matriz A para un quadrotor dado y así poder sintonizar mejor

y más rápido los parámetros de los controladores de vuelo. El ingeniero de sistemas busca

ajustar estas ganancias lo mejor posible para conseguir un vuelo estable y una respuesta

rápida del UAV.

Aclarar que la aplicación desarrollada se puede utilizar siempre vinculada a esta

memoria y a lo que se explica dentro de ella, ya que los modelos utilizados contienen

varias hipótesis. Recordad que resulta bastante complicado que los modelos teóricos de

helicópteros se ajusten totalmente a la realidad ya que tienen en cuenta multitud de

fenómenos.

45 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

6.2 Trabajos futuros

A continuación se exponen una serie de trabajos futuros que se pueden realizar para

complementar este proyecto:

- Se puede introducir dentro del programa la condición de vuelo inclinado en avance.

Este consiste en un vuelo en dirección diagonal ya sea hacia abajo o hacia arriba. Para

ello se introduce un nuevo dato, el ángulo de inclinación, y exisitirá tanto velocidad

vertical como horizontal. No se ha incluido en este proyecto por la complejidad del

modelo teórico y su ajuste con la realidad.

- Depurar el código de Matlab: el código se ha estructurado de la mejor manera posible

para su entendimiento, sin embargo, siempre se pueden introducir mejoras

(comentarios, supresión de líneas innecesarias, cálculo más eficiente de las ecuaciones)

que permitan mejor su lectura y que acorten su tiempo de ejecución.

- Mejorar el diseño de la interfaz: se ha planteado una sola interfaz por su facilidad a la

hora de usarla, no obstante, se le pueden poner más opciones para mejorarla. Por

ejemplo se le puede incluir un botón que permita cargar una hoja de características

de un quadrotor predefinida, así para introducir un nuevo modelo de quadrotor sólo

tendríamos que rellenar y cargar esta hoja en el programa. También se le puede incluir

un apartado con modelos comerciales existentes de diferentes quadrotor que se pueden

probar en la realidad. Clikando en el arquetipo ya tendríamos la hoja de características

cargada en el programa.

- En este trabajo aunque no se ha detallado en cálculo de la matriz de control B se han

considerado como variables de control los pares de empuje eléctrico DC al rotor. Éstas

variables de control se pueden cambiar dependiendo de la eficiencia de nuestro guiado

y cambiar la matriz B.

Conclusiones y trabajos futuros

46

46

- Aunque siempre se introducen los datos con cierto conocimiento, se puede

perfeccionar el programa poniendo ciertas limitaciones que nos permitan ver la

coherencia física de los datos:

o Por ejemplo que el programa nos avise si se introducen velocidades de avance o

ascenso exageradas, en el caso de introducir una velocidad muy alta de descenso

podemos llegar a superar la terminal.

o Que el programa pare de calcular si se ha alcanzado en avance un ángulo de

cabeceo límite, muy grande, sin sentido, por ejemplo 70º.

o Que se haga una revisión de las características introducidas del quadrotor por si el

usuario se equivoca estrepitosamente en este paso, se puede denotar que no tiene

sentido coeficientes de sustentación de pala muy altos y cuerdas de pala o ángulos

de paso muy grandes.

- El modelo aerodinámico tiene mucha importancia en este proyecto ya que de

alguna manera marca la diferencia respecto al modelo simple. A la hora de estudiar

como se acerca a la realidad lo que hemos obtenido, este modelo siempre se puede

cambiar o mejorar para obtener diferentes resultados. Igualmente podemos incluír

modelos más complejos de hélices considerando ángulo de paso variable y

coeficientes de resistencia de perfiles de hélices más realistas.

- Por último destacar que sería muy importante realizar un vuelo real y programar la

matriz A ofrecida por este proyecto dentro de los controladores. Así podríamos ver

“cómo de bien funciona” y si se alcanza más fácil y más rápido el ajuste de los

controladores.

47 Análisis de diferentes condiciones de vuelo de un quadrotor

REFERENCIAS

[1] Sandra Rocío Fortes Vázquez (2013). Proyecto Fin de Carrera. Control No-Lineal de un

Quadrotor en condiciones extremas.

[2] Zongyu Zuo. Trajectory tracking control design with command-filtered compensation for a

Quadrotor. IET Control Theory Appl., 2010, Vol. 4, Iss. 11, pp. 2343–2355

[3] Explicit Aerodynamic Characterisation of a Multi-rotor UAV in Qausi-steady Flight. C.R. de

Cos, J.A. Acosta. 2018

[4] Teoría de Helicópteros. Alfonso Valenzuela Romero. Óscar López García. Julio 2007.

[5] Helicópteros. Teoría y Diseño Conceptual. J. L. López Ruiz. Ed. E.T.S.I. Aeronáuticos 1993.

[6] Rotary-Wing Aerodynamics. W. Z. Stepniewsky. C. N. Keys. Ed. Dover 1984.

[7] Control Inteligente de un quadrotor en codiciones extremas. Bendición Gallardo Torres.

Proyecto Fin de Carrera. Julio 2014.

[8] Control en el Espacio de Estado. Sergio Domínguez. Pascual Campoy. J. María Sebástian.

Agustín Jiménez. 2º Edición.

Referencias

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