Universitatea din Bucureşti

Facultatea de Fizică

Şcoala Doctorală de Fizică

Bogdan Ostahie

Proprietăţi spectrale şi de transport ı̂n

structuri cuantice bidimensionale

Rezumat teză de doctorat

Conducători ştiinţifici

CS.I dr. Alexandru Aldea,

Prof. dr. Virgil Baran

Bucureşti, 2017

Capitolul 1: Introducere

Studiile realizate in lucrarea de fata s-au bazat pe analiza structurilor bidimen-

sionale si cuasi-bidimensinale (materiale alcatuite dintr-un singur plan de atomi)

supuse diverselor campuri externe atat din perspectiva spectrului energetic cat si

prin simulari de masuratori de transport cuantic in diverse montaje Hall. Tema

abordata se incadreaza in problematica globala de ultim moment, dovada o face si

faptul ca in anul 2010 A. Geim si K. Novoselov au primit premiul Nobel pentru

izolarea si caracterizarea unui singur strat de atomi de carbon care poarta numele

de grafena (retea cu geometrie hexagonala) [1]. Izolarea grafenei a deschis calea

numeroaselor aplicatii experimentale, dar mai ales a incurajat studiile teoretice cu

privire la proprietatile specifice ale diverselor retele bidimensionale. Drept dovada,

in anul 2005, la un an dupa izolarea grafenei, C.L. Kane si E.J. Mele pun in evidenta

aparitia starilor de margine elicoidale in grafena datorita interactiei spin-orbita de

tip intrinsic care nu rupe simetria temporala [2]. Modelul propus de C.L. Kane si

E.J. Mele are la baza modelul Haldane, precursor al izolatorilor topologici. In mod-

elul Haldane, pentru a pune in evidenta efectul Hall cuantic este rupta simetria la

inversia temporala cu ajutorul unor fluxuri locale, care sumate pe toata suprafata

sitemului genereaza un camp magnetic total egal cu zero [3] . Rezultatul modelului

Haldane a condus la descoperirea efectul Hall cuantic anomal, adica la cuantificarea

rezistentei Hall in absenta campului magnetic. Rezultatul studiului realizat de C.L.

Kane si E.J. Mele, a constat in descoperirea efectului Hall cuantic de spin, care se

manifesta prin cuantificarea rezistentei Hall de spin si anularea rezistetei Hall de

sarcina si a unui nou tip de material denumit izolator topologic bidimensional. Con-

firmarea experimentala a rezultatului teoretic a venit in anul 2007, cand M. Koenig

et. al. au pus in evidenta efectul Hall cuantic de spin pentru o heterostructura de

HgTe/(Hg,Cd)Te [4]. Desi efectul a fost descoperit teoretic in reteaua hexagonala,

1

grafena nu este un bun candidat din punct de vedere experimental deoarece interac-

tia spin orbita este foarte mica, dar cu toate astea grafena ramane un bun prototip

de studiat. Descoperirile teoretice legate de tranzitiile de faza topologice au fost

premiate in anul 2016 cu premiul Nobel [5].

Interesul general pentru studiul materialelor bidimesionale vine din nevoia de

miniaturizare a dispozitivelor electronice si din constrangerea de a creste perfor-

mantele din punct de vedere al conductivitatii electrice si termice[6]. In ceea ce

priveste problemele fundamentale legate de proprietatile fizice, cum ar fi: struc-

tura de benzi, comoprtamentul electronic in campuri externe si transport cuantic

in regim Hall majoritatea studiilor sunt realizate in sisteme cu conditii periodice,

neglijandu-se astfel comportamentul electronic la margine. In cazul transportului

cuantic, in sisteme cu conditii periodice, conductanta Hall este direct proportionala

cu un invariant topologic (numar Chern) reprezentat de o integrala pe toata zona

Brilloin, iar rezultatul integralei este un numar intreg [7].

In cazul structurilor bidimensionale si cuasi-bidimensionale abordate in lucrare

am scos in evidenta proprietatile spectrale si de transport cuantic generate de

prezenta marginilor. Am ales acest tip de geometrie deoarece retelele abordate prez-

inta in mod natural margini, mai ales in conditiile in care le tratam ca pe sisteme

mesoscopice (meso-intre, intermediar si skopia-observatie, examinare). Avantajul

abordarii unei astfel de geometrii consta in posibilitatea simularii diverselor dispoz-

itive Hall prin atasarea de fire. In astfel de sisteme rolul invariantului topologic

(numar Chern) fiind preluat de catre starile de margine. In toate sistemele abor-

date prezenta marginilor genereaza stari specifice in functie de campurile externe

aplicate.

Lucrarea de fata este redactata pe baza rezultatelor publicate de autor impreuna

cu colectivul de fizica teoretica in perioada 2012-2017 [8, 9, 10, 11, 12], in cadrul

Intitutului National de Cercetare Dezvoltare pentru Fizica Materialelor si este struc-

turata pe doua mari ramuri. Prima ramura scoate in evidenta proprietatile spectrale

ale sistemelor bidimensionale de grafena, fosforena si retea Lieb in prezenta cam-

purilor externe, iar a doua ramura evidentiaza proprietatile de transport cuantic in

camp magnetic si simularea dispozitivelor experimentale de tip Hall.

2

Capitolul 2: Structura de benzi

Acest capitol prezinta structura de benzi a retelelor de grafena, fosforena si Lieb

(figura 2.1) cu conditii periodice si conditii la margine de anulare a functiei de

unda, introducand pentru fiecare retea in parte termeni specifici in ceea ce priveste

comportamentul si localizarea electronilor. In cazul grafenei si retelei Lieb in jurul

energiilor de zero se cunoaste ca spectrul este liniar in k⃗, adica electronii au un

comportament relativist fiind descrisi de ecuatia Dirac. Reteaua Lieb prezinta si

o banda suplimentara, plata, la energia E = 0 puternic degenerata. Atat grafena

cat si reteaua Lieb au simetrie electron-gol si nu prezinta gap. In cazul retelei de

fosforena se cunoaste ca spectrul energetic prezinta gap, are o puternica anisotropie

si simetria electron-gol este rupta.

(a) (b) (c)

Figura 2.1: Reprezentarile schematice ale retelelor de: (a) grafena, (b) fosforena si

(c)retea Lieb. In partea de jos sunt reprezentate legile de dispersie corespunzatoare

celor trei retele.

3

Unul din rezultatele originale este prezentat in cadrul retelei de fosforena, unde

demonstram analitic ca elementul de hopping t4, care conecteaza atomi din aceeasi

subretea este responsabil de ruperea simetriei electron-gol si de asemenea este sin-

gurul element de hopping care violeaza bipatitismul retelei.

In ceea ce priveste reteaua Lieb am calculat functiile de unda corespunzatoare

celor trei benzi si am demontrat ca intr-o geometrie periodica orbitali atomici care

compun banda plata sunt de tipul B si C, in timp ce benzile dispersive sunt compuse

din toti cei trei orbitali. In nanoribbon-ul de retea Lieb punctul de intersectie a celor

trei benzi va depinde de tipul orbitalilor care se afla la margine.

In partea a doua a capitolului am studiat aparitia starilor de margine in aceste

tipuri de retele impunand diverse conditii de anulare a functiei de unda la margine.

In reteaua de grafena intr-o geometrie zig-zag se cunoaste ca in spectrul energetic

intre punctele K si K ′ apare o banda plata formata din stari de margine care se

localizeaza in lungul laturilor zig-zag. Urmand aceeasi procedura in cazul fosforenei

demonstram ca starile de margine zig-zag apar la orice cuasi-moment k in zona

Brillouin. De asemeni am demostrat analitic ca degenerarea starilor zig-zag este

valabila in limita latimii infinite a sistemului.

4

Capitolul 3: Actiunea campurilor externe

asupra structurilor bidimensionale

In capitolul de fata am raspuns la cateva intrebari legate de efectul campurilor

externe aplicate in retelele bidimensionale si cuasi-bidimensionale studiate. In ceea

ce priveste studiul actiunii campurilor asupra diverselor retele, majoritatea s-au

axat pe punerea in evidenta a efectelor specifice in geometrie de tipul periodic. Am

inceput acest capitol cu studiul retelei de fosforena, deoarece putem trata reteaua

de grafena in camp magnetic ca un caz particular al acestui tip de retea.

Cercetarile legate de reteaua de fosforena in camp magnetic perpendicular in ge-

ometrie periodica n-au reusit sa elucideze variatia nivelelor Landau cu campul mag-

netic, cunoscandu-se doua tipuri de dependente B2/3[13] si B[14, 15]. De asemenea

in geometria de tip ribbon zig-zag, desi s-a observat numeric ridicarea de degenerare

in camp magnetic a benzii cuasi-plate[14], nimeni nu a abordat aceasta problema din

punct de vedere analitic. In lucrarea de fata demonstram analitic ridicarea de de-

generare a benzii cuasi-plate in geometria de tip ribbon zig-zag in prezenta campului

magnetic, iar suprapunerea dintre curbele analitice si cele numerice fiind destul de

buna (figura 3.1). Calculand in geometrie de tipul placheta variatia valorilor proprii

in functie de fluxul magnetic am obtinut un spectru Hofstader, care spre deosebire

de spectrul Hofstader calculat cu conditii periodice prezinta o banda suplimentara

in centrul gap-ului, alcatuita din stari cu localizare pe marginile zig-zag si care este

robusta la variatia campului magnetic.

In cazul retelei de grafena in camp magnetic perpendicular se cunoaste ca benzile

Landau din zona relativista a spectrului au o dependenta fata de campul magnetic

cu√B, exceptie facand nivelul Landau de n = 0 care nu variaza, el ramanand con-

stant la valoarea zero a energie. Introducand un camp electric in-plan proprietatile

5

Figura 3.1: Spectrul energetic al nanoribbonului de fosforena in camp magntic. Se

observa ridicarea de degenerare a benzii cuasi-plate in camp magnetic pentru un

flux de ϕ = 0.01ϕ0. Curbele rosii reprezinta rezultatele numerice, iar cele negre

reprezinta rezultatele analitice [11].

spectrale sunt conditionate de raportul dintre campul electric si cel magnetic (E/B),

cunoscandu-se ca in momentul cand E/B → 1 nivelele Landau colapseaza[16], spec-

trul modificandu-se drastic. Problemele abordate in lucrare se incadreaza in reginul

E/B

In reteaua Lieb in camp magnetic interesul este captat de evolutia starilor din

banda plata. In cazul sistemului periodic banda plata este robusta la variatia cam-

pului magnetic[17]. In ce priveste nivelele Landau acestea au o dependeta in camp

magnetic asemanatoare celor de la grafena, adica cu√B, dar in cazul retelei Lieb

nivelul de n = 0 nu mai este robust la variatia campului, iar asa zisa degenerare de

vale lipseste. In cazul nostru, cand introducem conditiile la margine pe toate directi-

ile, apar efecte suplimentare, cum ar fi ridicarea de degenerare a benzii plate in camp

magnetic, aparitia starilor de margine neconventionale cu chiralitate alternanta in

vecinatatea nivelului Landau n = 0 si apritia starilor care fac trecerea dintre starile

de margine conventionale si starile de banda pe care le vom numi stari de margine

de tipul II (figura 3.3). Aplicand un camp electric suplimentar demonstram numeric

ridicarea de degenerare a benzii plate si gruparea acesteia in mini-benzi, formand

un asa zis spectru Wannier-Stark.

Valo

ri P

roprii

Flux Magnetic

Figura 3.3: Figura prezinta fereastra de energii in care se gasesc cele trei tipuri de

stari in functie de campul magnetic[8].

Toate aceste rezultate sunt de asemenea utilizate pentru o mai buna intelegere

a proprietatilor legate de transportul cuantic in diverse montaje Hall.

7

Capitolul 4: Izolator topologic in sisteme

bidimensionale finite

Unul din precursorii izolatorului topologic a fost studiat de Haldane intr-o retea

hexagonala, asemanatoare grafenei, avand in plus vecinii de ordinul II [3]. Acest

model este important deoarece ofera o descriere a efectelor topologice, pe care le

prezentam pe scurt in paragraful urmator.

Legea de dispersie a electronilor in grafena este liniara in jurul anumitor puncteK

si K ′, iar Hamiltonianul H(k⃗) pastreaza simetria la paritate si la inversie temporala,

daca energiile atomice ϵa si ϵb sunt nule. Combinatia celor doua simetrii protejeaza

degenerarea de la energia E = 0 a celor doua punctele K si K ′. Rupand una din

aceste simetrii ale Hamiltonianului, de exemplu simetria la paritate, energile atomice

a celor doi atomi din celula unitate nu mai sunt identice, iar in spectrul energetic

va aparea un gap, sistemul devenind unul izolator. In modelul Haldane ridicarea de

degenerare se face prin ruperea simetriei la inversie temporala, aplicand un camp

magnetic care pastreaza simetriile spatiale ale retelei hexagonale, dar suma fazelor

magnetice pe toata reteaua este nula.

In acest capitolul am studiat proprietatile spectrale in prezenta spinului elec-

tronului pentru modelul de izolator topologic al retelei hexagonale finite, cunoscut

ca modelul Kane si Mele. In cazul acesta gap-ul descris mai sus va aparea in sistem

datorita interactiei spin orbita de tip intrinsic. Acest gap este populat cu stari care

au polarizare de spin si se localizeaza la margine pe tot perimetrul plachetei. Star-

ile de spin up si cele de spin down au viteze opuse, adica au directii de propagare

opuse. Acestea se numesc stari de margine elicoidale si sunt robuste la impuritati

nemagnetice.

Modul in care starile elicoidale sunt afectate de prezenta campului magnetic a

8

fost studiate in literatura de specialitate in geometrii de tipul periodic si ribbon

[18, 19].

In cazul nostru am studiat efectele campului magnetic intr-o geometrie finita,

pentru a pune in evidenta ridicarea de degenerare de spin a starilor de margine si

pentru a intelege modificarile induse asupara gap-ului topologic. Cum simetria la

inversia temporala este rupta de catre campul magnetic starile din gap-ul topologic

ar trebuii sa-si piarda polarizarea de spin, dar din calculele numerice reiese faptul

ca starile elicoidale sunt robuste pana la o anumita valoare a campului magnetic

(figura 4.1).

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Val

ori P

ropr

ii

Magnetic Flux

Figura 4.1: Partea relativistica din spectrul Hofstadter in prezenta interactiei de

tip intinsec. In zona centrala se poate observa gap-ul topologic invecinat de gap-

urile relativiste. Valorile proprii de spin-Up sunt reprezentate cu rosu , iar cele de

spin-Down cu albastru, energiile proprii sunt masurate in unitati de hopping, fluxul

magnetic in cuante de flux [9].

De asemeni am pus in evidenta si ridicarea degenerarii de spin a nivelelor Landau

ceea ce conduce la aparitia unor gap-uri suplimentare intre aceste nivele. Acest tip

de gap-uri sunt caracterizate de numare de stari de margine de spin up si down

inegal spre deosebire de gap-urile conventionale unde numarul de stari de spin up

este egal cu numarul de stari de spin down.

Rezultatele puse in evidenta vor fi folosite pentru a facilita analiza proprietatilor

de transport cuantic de sarcina si de spin.

9

Capitolul 5: Transport cuantic in

structuri bidimensionale

Acest capitol prezinta rezultate referitoare la proprietatile de transport cuantic

ale structurilor bidimensionale studiate in capitolele anterioare (cu diverse condi-

tii la margine) din punct de vedere spectral in prezenta diverselor campuri externe

(magnetic si electric). Transportul cuantic de sarcina si de spin ofera raspunsuri

la anumite probleme legate de dezvoltarea unor noi dispozitive tehnologice. Ma-

joritatea studiilor de transportul cuantic in literatura de specialitate se bazeaza pe

calculul numarului Chern care este valabil doar in cazul geometriei periodice. In

cazul nostru formalismul utilizat pentru a simula dispozitive electronice de trans-

port cuantic in diverse configuratii de pozitionare a contactelor la marginea probelor

este Landauer-Büttiker, iar rolul principal in transport il joaca prezenta starilor de

margine.

In toate sectiunile acestui capitol ne-am axat pe evidentierea proprietatilor speci-

fice transportului pe stari de margine produse de campul magnetic perpendicular

sau generate de proprietatile topologice ale sistemelor studiate, punand in evi-

denta cuantificarea rezistentei transversale (RH) si anularea sau nu a celei longi-

tudinale (RL). De asemeni am pus in evidenta proprietatile transmisiei electronice

intre anumite contacte scotiand in evidenta relatia de simetrie intre contacte vecine

Tα,α+1 = Tα+1,α. Aceasta relatie de simetrie, in cazurile studiate de noi, produce un

efect Hall nul RH = 0 in grafena retea Lieb si fosforena, dar in ce priveste rezistenta

longitudinala aceasta are un caracter disipativ.

Bazandu-ne pe studiile spectrale realizate in capitolele anterioare am reusit, in

cazul transportului cuantic, sa reliefam diverse efecte cum ar fi: aparitia palierelor

intermediare in grafena, efectul superradiativ in cazul retelei de fosforena, com-

10

portamentul starilor neconventionale in cazul retelei Lieb si aparitia platourilor in

masuratori de conductie de spin si sarcina in izolatorul topologic in camp magnetic.

11

Capitolul 6: Concluzii

6.1 Concluzii Capitolul 2

In capitolul 2 am comparat spectrele energetice ale retelelor de fosforena si Lieb

cu reteaua de grafena in geometrie periodica, deoarece reteaua de grafena a fost

intens studiata in literatura de specialitate.

Am demonstrat analitic in cazul retelei de fosforena ca elementul de hopping

t4, care leaga atomi din aceeasi subretea si rupe bipartitismul retelei, este direct

responsabil pentru violarea simetrei electron-gaura. In ceea ce priveste reteaua Lieb

aceasta este descrisa de 3 atomi pe celula unitate, iar structura de benzi prezinta

con Dirac, asemanator grafenei, dar suplimentar in spectru apare si o banda plata

la energie zero. Am calculat analitic vectorii proprii ai celor trei benzi pentru a

demonstra ca degenerarea benzii plate este egala cu numarul de celule si am aratat

ca banda plata este alcatuita doar din orbitali de tipul B si C in timp ce in cazul

benzilor dispersive iau parte toti cei trei orbitali.

In partea a doua a capitolului am pus in evidenta aparitia starilor de margine

datorita geometriei de tip ”ribbon” (periodic pe o directie si finit pe cealalta) a

sistemului. In cazul ribbon-ului zig-zag de fosforena am demonstrat analitic ca banda

cuasi-plata de stari zig-zag din centrul spectrului apare la orice cuasi-moment k atat

timp cat t1/t2 < 1, contrar starilor zig-zag din grafena care pot exista doar intre

punctele Dirac K si K ′. Tot analitic am demonstrat ca degenerarea starilor zig-zag

localizate pe margini opuse apare doar in limita cand latimea sistemului tinde la

infinit. Pentru ribbon-ul Lieb am demonstrat numeric ca degenerarea din punctul

Γ (unde cele trei benzi se ating) este influentata de conditiile puse pe nodurile de

la margine. In cazul conditiilor de anulare pe noduri de tip B si A degenerarea se

pastreaza in timp ce pe nodurile de tip C degenerarea se ridica.

12

6.2 Concluzii Capitolul 3

In capitolul 3 am pus in evidenta o parte din proprietatile spectrale ale struc-

turilor bidimensionale studiate in prezenta campurilor externe.

In reteaua de fosforena cu geometrie de ribbon zig-zag, in camp magnetic perpen-

dicular, am demonstrat analitic ridicarea de degenerare a benzii cuasi-plate formata

din stari de margine zig-zag. Impunand conditii de anulare la margine a functiei de

unda pe toate directiile am calculat numeric spectrul Hofstadter (variatia valorilor

proprii in functie de campul magnetic) si am aratat ca starile care formeaza banda

cuasi-plata sunt robuste la variatia campului, nu au chiralitate si raman localizate

pe marginile zig-zag chiar si in cap magnetic puternic.

In ribbon-ul zig-zag de grafena in camp magnetic perpendicular aplicand un

camp electric in-plan perpendicular pe marginile zig-zag, am aratat ca nivelele Lan-

dau se inclina, iar o parte din canalele de conductie localizate in lungul marginilor

zig-zag sunt practic impinse spre centrul ribbon-ului. Pentru ribbon-ul de grafena

am demonstrat ca legea de scalare a nivelelor Landau in jurul energiilor de zero de-

pinde de parametrii externi ca: BLy si EL3/2y . In cazul plachetei de grafena, in camp

electric si magnetic, am descoperit formarea a doua tipuri de stari de margine scurt-

circuitate localizate diferit in spectrul de energii Hofstader. O prima categorie de

astfel de stari se amesteca cu starile din benzile Landau, iar a doua categorie apare

in centrul spectrului datorita ridicarii de degenerarii nivelului Landau de n = 0.

In ceea ce priveste chiralitatea starile de tipul unu, acestea au aceeasi chiralitate

ca starile de margine conventionale, in timp ce starile din centrul spectrului au

chiralitate alternanta.

Campul magnetic perpendicular in placheta Lieb deschide un gap in centrul

spectrului, iar in acest gap isi fac aparitia un nou tip de stari de margine care

au chiralitate alternanta si pe care le-am numit stari de margine neconventionale.

Am demonstrat analitic cu ajutorul unui model simplificat compus din doua celule

unitate comportamentul in camp magnetic perpendicular al benzii plate. Calculul

perturbativ in camp magnetic arata ca, indiferent de dimensiunea retelei, din banda

plata se separa doua stari care fac parte din clasa starilor de margine neconven-

tionale. Valorile proprii ale starilor neconventionale depind intr-un mod oscilant de

13

campul magnetic si nu sunt protejate de ruperea simetrei de inversie temporala ceea

ce le face sa se localizeze chiar si in prezenta unei densitatii mici de impuritati, cand

starile conventionale raman robuste. Desi banda plata este robusta la variatia cam-

pul magnetic daca adaugam un camp electric in plan aceasta isi ridica degenerarea.

Campul electric aplicat da nastere unui spectru de tipul Wannier-Stark compus din

mini-benzi degenerate, numarul de minibenzi fiind egal cu numarul de celule unitate

in lungul carora este aplicat campul.

6.3 Concluzii Capitolul 4

In capitolul 4 am studiat efectele campului magnetic asupra retelei hexagonale

topologice finite. In gap-ul topologic din centrul spectrului energetic degenerarea

starilor elicoidale este ridicata de campul magnetic. Starile evolueaza in functie de

campul magnetic si se transforma din stari de margine elicoidale in stari de bulk

pierzandu-si caracterul de margine. La o anumita valoare a campului magnetic am

aratat ca gap-ul topologic va fi populat cu stari de margine de origine chirala care

provin din gap-urile dintre nivelele Landau aflate in vecinatatea gap-ului topologic.

Am aratat ca pentru o valoare mica a interctiei spin-orbita (λSO ≪ t) in spectrul

energetic vor aparea gap-uri cu asimetrie de spin (numarul de stari de margine

de spin up diferit de numarul de stari de spin down la un flux magnetic dat) in

zona relativista. De asemeni am demonstrat ca aparitia gap-urilor asimetrice este

datorata ridicarii de degenerare a nivelelor Landau in prezenta interactiei spin orbita.

6.4 Concluzii Capitolul 5

In capitolul 5 am pus in evidenta proprietatile de transport cuantic in retelele

bidimensionale studiate. In toate cazurile studiate am simulat dispozitive Hall prin

atasarea a patru terminale la fiecare retea finita si am pus in evidenta proprietatile

coeficientilor de transport.

In cazul retelei de grafena in camp magnetic si electric am aratat ca datorita

prezentei in spectrul relativist a starilor de margine scurtcircuitate in masuratorile

de rezistenta Hall apar platouri neconventionale. Starile de margine scurtcircuitate

14

modifica matricea conductantelor si astfel dau nastere unor platouri noi in masur-

atori de efect Hall cuantic. Utilizand calculul numeric am demonstrat ca primul

tip de stari de margine scurtcircuitate genereaza platouri intermediare la valori ale

rezistentei Hall RH = ±12(1

2n+1+ 1

2n+3) in unitati de h/e2, iar n = 0, 1, 2 . . ..

In partea centrala a spectrului al doilea tip de stari de margine scurtcircui-

tate apar in perechi de chiralitati opuse. Aceasta proprietate specifica pe care am

studiat-o in capitolul trei genereaza o rezistenta Hall nula, dar in calculul rezis-

tentei longitudinale s-a observat un efect disipativ sau nondisipativ in functie de

configuratia firelor.

Rezultatele prezentate ajuta la o mai buna intelegere a proprietatilor de transport

si ofera un mecanism de manipulare a starilor de margine in regim de efect Hall cu

ajutorul unui camp electric in-plan.

In ceea ce priveste placheta de fosforena am utilizat un montaj Hall in care toate

firele au fost atasate de aceeasi margine pentru a pune in evidenta mai bine propri-

etatile de transport a starilor de margine din banda cuasi-plata. Specific fosforenei,

conductanta Hall prezinta un platou nul pe toata largimea energetica a gap-ului,

indicand un comportament nonchiral al benzii cuasi-plate, dar conductanta longitu-

dinala indica un comportament disipativ al acesteia. Am calculat, pentru regiunea

din spectru ocupata de banda cuasi-plata, transmisia intre doua contacte vecine,

desitatea de stari in prezenta contactelor si spectrul complex al Hamiltonianului

ne-Hermitic efectiv. Cu ajutorul tuturor elementelor prezentate mai sus, care sunt

influentate de cuplajul dintre sistem si fire τc, am pus in evidenta aparitia efectului

superradiant in fosforena. De asemeni am observat ca transmisia electronica intre

contactele adiacente in fereastra de energii a benzii cuasi-plate manifesta maxime

egale cu e2/h. Deoarece starile din banda cuasi-plata sunt lipsite de chiralitate

maximele din transmisie nu sunt protejate impotriva impuritatilor.

In reteaua finita Lieb rezistenta Hall cuantica are acelasi comportament ca in

cazul grafenei, dar cuantificarea este in pasi de h/e2 deoarece in cazul acesteia de-

generearea de vale este absenta. In zona din spectru energetic in care se manifesta

starile de margine neconventionale proprietatile de transport devin specifice: rezis-

tenta Hall cuantica are valoare nula, iar rezistenta longitudinala oscileaza. Oscilati-

ile rezistentei longitudinale sunt corelate cu oscilatiile densitatii de stari calculata in

15

prezenta firelor. Am demonstrat ca acest comportament specific provine din sime-

tria coeficientilor de transmisie Tα,α+1 = Tα+1,α si ca in ciuda prezentei impuritatilor

aceasta simetrie se mentine.

In cazul izolatorului topologic bidimensional rezultatul principal consta in prezenta

unor platouri in conductanta Hall de spin GSH = −2e/4π in masuratori de efect Hall

cuantic de spin in afara gap-ului topologic. De asemeni in masuratori de efect

Hall cuatic intreg in aceeasi zona din spectru apar platouri intermediare GQH =

±(4e2/h)(n + 1) in masuratori de conductanta Hall de sarcina. Aceste doua tipuri

de platouri apar in masuratori de transport la aceleasi energii la care apar si gap-

urile necompensate de spin. Gap-ul topologic este populat cu doua tipuri de stari de

margine elicoidale si chirale in functie de valoarea campului magnetic. Cum starile

chirale apar tot in perechi de spin opus efectul Hall cuantic de spin se pastreaza

chiar si la campuri magnetice puternice, atata timp cat gap-ul ramane dechis.

16

Bibliografie

[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V.

Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Electric field effect in atomically thin

carbon films Science 306, 666669 (2004)

[2] C. L. Kane and E. J. Mele, Quantum Spin Hall Effect in Graphene Phys. Rev.

Lett. 95, 226801 (2005)

[3] F. M. D. Haldane, Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels:

Condensed-Matter Realization of the ”Parity Anomaly” Phys. Rev. Lett. 61,

2015 (1988)

[4] Markus Konig, Steffen Wiedmann, Christoph Brune, Andreas Roth, Hart-

mut Buhmann, Laurens W. Molenkamp, Xiao-Liang Qi, Shou-Cheng Zhang,

Quantum spin Hall insulator state in HgTe quantum wells Science 318, 766770

(2007)

[5] Class for Physics of the Royal Swedish Academy of Sciences, Topological phase

transition and topological phases of matter ”https://www.nobelprize.org/

nobel_prizes/physics/laureates/2016/advanced-physicsprize2016.pdf”

(2016)

[6] Michael J. Bojdys 2D or not 2D-Layered Functional (C, N) Materials Beyond

Silicon and Graphene Macromol. Chem. Phys. 2016, 217, 232241 (2015)

[7] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. Nijs, Quantized Hall

Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential Phys. Rev. Lett. 49,

405408 (1982)

17

[8] M. Nita, B. Ostahie, A. Aldea Spectral and transport properties of two-dimensional

Lieb lattice Phys. Rev. B 82, 226801 (2013)

[9] B. Ostahie, M. Nita, A. Aldea Topological properties of the mesoscopic graphene

plaquette: Quantum spin Hall effect due to spin imbalance Phys. Rev. B 89,

165412 (2014)

[10] B. Ostahie, M. Nita, A. Aldea Electrical manipulation of edge states in graphene

and the effect on quantum Hall transport Phys. Rev. B 91, 155409 (2015)

[11] B. Ostahie, A. Aldea, Phosphorene confined systems in magnetic field, quan-

tum transport, and superradiance in the quasiflat band Phys. Rev. B 93,

075408 (2016)

[12] B. Ostahie, M. Nita, A. Aldea Non-Hermitian approach of edge states and

quantum transport in a magnetic field Phys. Rev. B 94, 195431 (2016)

[13] M. Ezawa, Highly anisotropic physics in phosphorene J. Phys: Conf. Ser. 603,

0122006 (2015)

[14] X. Y. Zhou, R. Zhang, J. P. Sun, Y. L. Zou, D. Zhang, W. K. Lou, F. Cheng,

G. H. Zhou, F. Zhai and Kai Chang, Landau levels and magneto-transport

property of monolayer phosphorene Sci. Rep. 5, 12295 (2015)

[15] J. M. Pereira, Jr. and M. I. Katsnelson, Landau levels of single-layer and

bilayer phosphorene Phys. Rev. B 92, 075437 (2015)

[16] Vinu Lukose, R. Shankar, and G. Baskaran, Novel Electric Field Effects on

Landau Levels in Graphene Phys. Rev. Lett. 98, 116802 (2007)

[17] N. Goldman, D. F. Urban si D. Bercioux, Topological phases for fermionic cold

atoms on the Lieb lattice Phys. Rev. A 83, 063601 (2011)

[18] W. Beugeling, N. Goldman, and C. Morais Smith, Topological phases in a

two-dimensional lattice: Magnetic field versus spin-orbit coupling Phys. Rev.

B 86, 075118 (2012)

18

[19] N. Goldman, W. Beugeling and C. Morais Smith, Topological phase transitions

between chiral and helical spin textures in a lattice with spin-orbit coupling and

a magnetic field EPL 97, 23003 (2012)

19