Prope Deu Ticos

EXAMEN DE ADMISION DE METODOS MATEMATICOS DR, CRLANDO ZELAYA ANCJ3.L

Nombre . Primavera 2005.

1. Encuentre un vector unitario perpendicular a 10s dos vectores:

A = 2 i + j - k

B = i - j - k k

2. Dados 10s vectores unitarios en coordenadas esfkricas (r, 0, cp) en fiinci6n de 10s

vectores unitarios cartesianos (i, j, k), encuentre las expresiones para 10s vectores (i, j,

k) en funcion de 10s vectores (r, 8, 9).

r = i sen0 coscp + j sene sencp + k cose

8 = i case coscp + j case sencp - k sen0

cp=-isencp+j coscp

3. La onda "Diente de Sierra" es dada por f(x) = x, -n < x < n. Demuestre utilizando series de Fourier que:

4. Se tiene el vector t = -iy + jx. Con ayuda del Teorema de Stokes demuestre qtle el integral alrededor de una curva continua dada en el plano cartesiano xy

-. . siendo A el area encerrada por la curva.

PrnIATTE:W

Examen de Nivel2005 DR. CIRL) FALCOW

1) a) Describa el concept0 de Equilibria termodinamico, enuncie la ley cero de la termodinamica y explique su relacion con la termornetria.

b) Ejemplifique describiendo un dispositivo termometrico.

2) a) En un diagrama P-V grafique un ciclo cerrado constituido por una transformation consistente de 10s siguientes pasos: i) Isobarico; ii) isometrica; iii) Isobarico y iv) isometrico.

b) LCual es el trabajo efectuado por este sistema si las presiones maxima y minima son PA y Pg y 10s voliimenes son VA y VB?

c) iCuBl es el carnbio de la energia interna?

3) Considere dos bloques del mismo tamaAo del mismo material, uno a uno temperatura TA y el otro a TB y suponga que son puestos en contact0 en un medio aislado.

a) ~ C u a l es la temperatura final de cada bloque si el volumen y la capacidad calorifica permanecen constantes durante el procdso de termolizacion?

b) iCual es el carnbio en entropia?

c) ~Aurnenta o disminuye? Demuestrelo, considere TA mayor que TB

Examen d e Nivel: Electromagnetismo Primavera 2005

1. Utililzando el teorema de Ganss, demuestre que la magnitud del campo el&trico de- bid" a ilna linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~ / ~ y clize su di~ecci6n es radial.

2. Describa el campo elkctrico y la distribuci6n de carga clue corresponden a la siguiente funcicin de potencial

-. 3. Obtenga las componentes del campo magnetic0 B que es t j dcterminado por el poten-

cia1 vectorial

don& 3 es un vector onitario en la direccidn Z, I es la magnitud de la corriente que genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadas cilindricas.

4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demtlestre la siguiente identidad

donde y 2 son funciones vectoriales.

(b) El potencial vectorial 2 de on dip010 magnetic0 con rnomento dipolar rnagdtico (constante) 6, esth dado por

Utilizando el resnltado obtenidt~,n(a) , dernuestre que el campo magnktico respective esta dado por

Examen de Nivel: Electromagnetismo Primavera 2005

1. Utililzando el teorema de Gauss, demuestre que la magnitud del campo e16ctrico de- bido a ona linea de carga infiiiita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~ / ~ y que su di~ecci6n es radial.

2. Describa el campo elQctrico y la distribuci6n de carga que corresponden a la siguiente f~1nci6n de potencial

-t

3. Obterlga las componentes del campo magndtico B que estii determinado por el potell- cia1 vectorial

donde 2 es un vector unitario en la direcci6n z, I es la magnitud de la corriente que genera este caml>o, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadas ci 1 indricas. \

4. (a) Utilizalldo propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguieiite identidad .

donde 2 y 3 son funciones vectoriales.

(b) El potential vectorial 2 de un dip010 magn6tico con mornento dipolar magn6tico (constante) 5, estA dado por

Ut,ilizmdo el resultado 6btnenidoren (a), demuestre que el campo magnktico respective est6 *,.-.: ---- -r.-.----"-?"-7CCbbbbb

dado por --. <_,..

. ' , ..-

MecAnica ClAsica Cursos Proped6uticos de Verano 2006

Demuestre que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier ob- jet0 rnasivo estd dada por v, = d m = 11.2 Kmlseg, donde g = 9.8m/seg2 es la aceleraci6n debida a la fuerza gravitational terrestre y RT = 6,371 Km es el radio promedio de la Tierra.

Una particula de masa m se dispara desde el origen de coordenadas con una velocidad inicial fi0 en el tiempo t = 0. La resistencia del sire act6a en direcci6n contraria a1 movimiento de manera que la ecuacibn de movimiento de la particula estii dada por

don& es el vector unitario en la direcci6n vertical z y. y es una constante. Demuestre que la ecuaci6n de la trayectoria de la particula est6 dada Dor

. .

. 3. Un proyectil de masa rn es lanzado hacia arriba desde la superfikie.de ]a Tierra con una velocidhd inicial ii. ubicada en el plano z - t , con una altura inicial h = 0 en t = 0. La posici6n del proyectil es cualquier instante t e s t i dada por

donde Gr es el vector que describe la velocidad angular de rotaci6n de la tierra. Demuestre que la trayectoria del proyectil a1 final del tiro parab6lico se sale del plano inicial .x - x por la cantidad

Examen de Nivel PropedCutico Terrnodinhmica Primavera 2007

Maestro: Francisco Castro Romiin

NOMBRE:

I .- Definir equilibria termodiniimico,

2.- Definir el concept0 de calor.

3.- Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 300 K y a una presi6n de I00 Pa. Deterrninar el n\imero de moles de gas en el recipiente (El valor de la constante de 10s gases R= 8-31 ~ ~ ~ 1 - I

K-I).

4.- Se utilizan 2 Kcal para calentar 600 g de una sustancia desconocida de 300 K a 325 K, i c u 6 l es el calor especifico de la sustancia?

5.- Se compjme un gas a presi6n constante de 0.8 atm de un volumen de 9 L a un vo1umen de 2 L. En el proceso se escapan del gas 400 J de energia calorifica. a) iCu61 es el trabajo realizado por el gas? b) i C ~ i l es el cambio en la energia interna del gas?

Use la convenci6n de signos segiin la cual una expansi6n produce un trabajo negative, e inversamente, una compresi6n produce un trabajo positivo.

6.- Una mLquina tCrmica realiza 200 J de trabajo en cada ciclo y tiene una eficiencia de 30%. Para cada ciclo de operacibn, a) ~Cu in to calor se absorbe? b) ~Cuiinto calor se libera?

7.- Un kilogram0 de agua a 273 K se coloca en contact0 con una fuente t6rmica x373.K. Cuando el agua alcance 10s 373 K determine el cambio de entropia del universo. El calor especifico del agua es 4190 J/kg°K.

8.- Considerando que la energia mterna U de un sistema hidrostiitico es funci6n de la temperatura T y de la presi6n P, deducir la siguiente ecuacibn:

= C, - PVP; donde es el coeficiente de dilataci6n chbica. (4,.

Mexico, D. F., mayo 4, 2007

Examen de Mecanica Clasica I Verano 2007

Dr. Alfredo Cruz Orea

1 Obtengase la ecuacion de movimiento de una particula que cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad, con fuerzas d e rozamiento que se deducen de la funcion de disipacion (potencial) 1/2 KV'. Integrese -tal ecuacion para obtener la velocidad en funcion del tiempo y demuestrese que la velocidad maxima posible cuando se parte del reposo es V,,, = mg / K

2 Emplear las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de una particula de masa m que baja por un plano inclinado liso, con un angulo a de inclinacion.

3 Usar las ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador armonico en una dimension (obtener la Hamiltoniana y ecuaciones de Hamilton Y m I.'.. )

A d

Exanl~en de nivel de MRtodos Matembticos, Verano 2004

Depto. cle Fisica, CINVESTAV-IPN Titular del curso: Dr. Daniel Olguin

Alumno:

R.csuclva I < s siguientes cucstiones.

1 . (a) Scan A y B tlos opcradores linealcs. demostrar que

i. ( A + B ) + = A + + B + ii. (AB)+ = B+Af

~lonclc A+(B+) es cl operaclor adjunto de A(B). (I,) Sca U 1111 operador unitario, mostrar que la acci6n de operaclor U sobrc totlo

vector a' consem la norma del vector.

2. Sea la ecuaci6n diferencial lineal

a) Definir y clasificar el concept0 de pu1lt.o singular de la ecuaci6n diferel~ci~l.

b) Se propone una soluci6n en serie de potencias a la ecuaci6n difere~lcial alrededor del punto x = x,. Mostrar que si x, es un punto ordinario, la ecuaci6n illdicial tiene las raices a = 0.1.

3. El conjunto u,&(z) = x", n = 0: 1,2. ..., N- for~na una base clc un espacio n-dimensional, en el interval0 O 5 1- < m: tomando conlo factor de peso el factor p ( z ) = exp [x'], aplicar el p r ~ c c c l i n ~ i ~ ~ ~ t ~ dc ortononnalizaci6n de Gram-Schmidt para hallar 10s primeros 3 t6rminos de esta base.

encuentre la serie Fourier de esta funci6n.

Use este resutlado para mostrar que para el caso particular B = 0:

5. R.esuelva la siguiente integral

Mecjnica Cljsica Cursos Propedduticos de Primavera 2007

1. Dem11esl;r.e que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier objeto masivo est& dada por v, = 2/WTT = 11.2 Kmlseg, donde g = 9.8/seg2 es la aceleraci6n debida a la f~~e rza gravitational terrestre y RT = 6 ,371Km es el radio promedio de la Tierra.

2. Una ~ar t icula de masa m se mueve en un plano bidimensional (x, y) ba,jo la accibn de una energia potencial U ( x , y) = ( rn /2)d(x2 - Y~). En el instante t = 0 est6 en la posici6n (x,, 0), y tiene una velocidad inicial y(0) = 1 mlseg, ~ ( 0 ) = 0; determine la ecuaci6n de la trayectoria de la-particula como funci6n del tiempo.

3. Denpestre que para el movimiento de una particula en un campo central, las ecuaciones de movimiento para las coordenadas polares

se reducen a la ecuaci6n de movirniento

donde u = l / r .

4. Utilizando el resultado del problema anterior, demuestre clue si una particula describe una 6rbita circular bajo la influencia de. una fuerza central atractiva que siempre esti dirigida hacia un punto del mismo circulo (suponga por simplicidad que este punto est j localizado en el origen de coordenadas), entonces la fuerza que produce este movimiento varia como el inverso de la quinta potencia de la magnitud de r .

5. Un proyectil de niasa m es lmzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v', ubicada en el plano x - z, con una altura inicial h = 0 en t = 0- La posici6n del proyectil es cualquier instante t estA dada por

wi, es el vector clue describe la velocidad angular de rotaci6n de la tierra. Demuestre que la trayectoria del proyectil ab final del tiro parab6lico se sale del plan0 inicial x - ,Z par la cantidad

METODOS MATEMATTCOS

Examen de Admisi6n Departarnento cle Fisica, CINVESW-IPN

Propedkuticos - Verano 2005

DR. S E Z I O mw mzZoUEz

1. Utilizanclo rlotaciGri tensorial, verifiqlle las sigllierites identidades vect,oria.Ies

V x ( A X B) = ( B - V ) A - ( A . V ) B - B ( V . A ) + A ( V - B )

2. Dernuestre que el oprrador correspondiente a la conrponente z del momento angular cujntico pl~ede expresarse como

dorlde 4 denota el angulo acirrlutal de las coorderladas polares esfkricas.

3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o L x L = iL. Otros dos vectores a y b corrrnutarl entre si y con L. Mwstre que (utiliaarido notaci6n ter~r;orial)

[a - L, b - L] = i (a x b) - L

(b) Muestre que

4. (a) La matriz C resulta del producto matricial de A y B. Muestre que el determinante dc C es equivalente a1 producto de 10s determiria.ntes de A y B:

ICl = IAl lBl

I A - ~ J = I A I - I

5. Encueritre el desarrollo de Fourier en el iritervalo (-n, n-) de

En cl limite n 4 oo, la expresi6ri resllltantx! concuerda con el desarrollo de F0llr.ier de In Sllr1<:i6n dell,a tle Dirac: 6 ( 2 ) .

METODOS MATEMATICOS

Examen de Admisi6n Departamento de Fisica, CINVESTAV-IPN

PropedGuticos - Primavera 2007

1. Utilizando notaci6n tensorial, verifique la siguiente identidad vectorial

V X ( A x B ) = ( B . V ) A - ( A - V ) B - B ( V . A ) + A ( V - B )

2. Denluestre que el operador correspondiente a la componente z del momerlto angular cuhntico puede expresarsc como

donde q5 denota el angulo acirnutal dc las coordenadas polares esfhricas.

3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o LxL= iL. Otros dos vectort:s a y b conmutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)

4. Utilice el m6todo de Frobenius para ericontrar la soluci6n de la ecuaci611 del oscilador lineal (Sugerencia: Proponga una soluci6n del tipo y = C,"O=, u ~ x " ~ ~ , a, # 0)

5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-7r, 7r) de una orida triangular re- presentada por

x , 0 < x < n

x -7r < x < 0

Exmen de nivel de M6todos Matemiiticos, Vera110 2004

Depto. de Fisica, CINVESTAV-IPN Titular del curso: Dr. Daniel Olguin

R.csuclva las siguicntes cucstiones.

1. (a) Scan A y B cios operadores linealcs. de~nostrar que i. ( A + B ) + = A + + B +

ii. (AB)+ = B+A+ donclc A+(B') es el operaclor adjunto de A(B).

(11) Sca U un operador unitario, lnostrar clue la acci6n de operaclor U totlo vector a' conselva la llorlna del vcctor-


a) Definir y clasificar el concept0 de pullto singular de la ecuaci6n diferencial. b) Se propolle m a soluci6n en serie de potencias a la ecuaci6n diferencial alrededor

del punto x = x,. Mostrar que si xo es un punto ordinario, la ecuaci6n illdicial tiene las raices a = 0.1.

3. El conjunto u,,(z) = x", n = 0, 1.2. ..., N. forlna una base clc un espacio n-dimensional, en el interval0 0 5 < cxj: tomando como factor de peso el factor p(x) = exp [zy1; aplicar cl p r ~ ~ c c i i m i e ~ t ~ clc ortonormalizaci6n de Gram-Schmidt para hallar 1- primeros 3 t6rniinos de esta be.

4. Considere la fi1nci6n f(B)=0', O < B < l r

encuentre la serie Fourier de esta funci6n.

Use este resutlado para mostrar que para el caso particular 9 = 0.

5. R.esuelva la siguiente integral

METODOS MATEMATICOS

Examen de Admisi6n Departamento de Fisica, CINVESTAV-IPN

Propedeuticos - Primavera 2007

1. Utilizando notaci6n tensorial, verifique la sigiliente identidad vectorial

o x ( A x B) = ( B . V ) A - ( A - V ) B - B ( V - A ) + A ( V . B )

2. Demuestre que el operador correspondiente a la componente x del rnomerlto angular cuhntico puede expresarse como

donde I$ denota el angulo acimutal de las coordenadas polares esfbricas.

3. El operador de nlo~nento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o LxL= iL. Otros dos vectores a y b conmutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)

4. Utilice el m6todo de Frobenius para ericontrar la solucibn de la ecuaci611 del oscilador lineal (Agerencia: Proponga ilna solucibn del tipo y = CEO aizk'$ a" # 0)

5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-T, n) de una o~ida triangular re- presentada por

x , 0 < x < n

-x, - < x < o

METODOS MATEMATICOS

Examen de Admisi6n Departamento de ~ is ica , CINVESTAV-IPN

Propedkuticos - Verano 2005

Dl?. SERGIO TO!m W Q m Z

1. Utilizando notaci6n tensorial, verifique las siguientes identidades vectoriales

V X ( A x B ) = ( B . V ) A - ( A . V ) B - B ( V - A ) + A ( V - B )

2. Demuestre que el operador correspondiente a la componente z del momento angular cuAntico puede expresarse como

donde 4 denota el Angulo acimutal de las coordenadas polares esfericas.

3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o L x L= iL. Otros dos vectores a y b conrnutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)

[ a . L J b - L] = i(a x b) - L

4. (a) La matriz C results del producto matricial de A y B. Muestre que el determinante de C es equivalente a1 producto de 10s deterrninantes de A y B:

ICl = IAIIBI (b) Muestre que

5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-n, T ) de

En el limite n, oo, la expresi6n resulta,ntde concuerda con el desarrollo de Four.ier de la funci6n delta tle Dirac S(z).

Ex~~rnen tle nivel de MCtodos Matemiiticos, Verano 2004

Depto. de Fisica, CINVESrl'hV-IPN ~ i t u l a r ddel curso: Dr. Dariiel Olguin

Alurnno:

Rcsl~clva las siguicntes cuestioncs.

1. (a) Scan A y B dos opcradorcs lincales, clcniostrar qlle

i. (A+B)'=A'+B+ ii. (AB)+ = B+A'

tlontle A+(Bf) cs cl opcrarlor aclsunto de A(B). (b) Sca U 1111 operaclor unitario, mostrar clue I i i acci6n de opcri~tlor U sobrc todo

vector a' consei-va la norma clel vcctor.


a) nefinir y clasifcar el concept0 de punto singular de la ecuaci6n diferencial.

1,) Se propolie una soluci6n en serie de potencias a la ecuaci6n dif'erencial airededor del punto x = x, . Mostrar que si x, es un punto ordinario, la ecnaci6n indicia] tiene las raices a = 0, l .

3. El conjunto u,,(x) = z", 71 = 0,1,2, ..., N , forrrla una bast dc UII cspacio n-dimcnsiorial, en el intervalo 0 < :I: < 00, t,oinando colno factor tlc pcso el factor p ( r ) = exp [x2], aplicar cl procctlirnicrlto dc ort,onor1nalizaci6n rle Gram-Schmidt para hallar 10s primeros 3 tknninos de asta base.

encrlentre la serie Fourier de csta funciSn.

Us(? estc ~esut lado para rnostrar clue pars (:I caso particular I ) = 0,

5. Rcsuclva la siguicntc integral

Examen de Nivel: Electromagnetismo Primavera 2005 . !flC,'UEZ A%EL PE.mz ANrQN

1. Utililza~ido el teorema de Gauss, demuestre que rnagnitud del campo eldctrico dc- bido a una linea de car'ga infinits con densidad de carga constante X es E(T) = 2 X / T y qLze su direcci6n es radial.

2. Describa cl campo el6ctrico y la distr'ibuci6n de carga qne corresponden a la siguiente f~lncicirr de potencial

* 3. Obtenga las componcntes del campo magnktico B clue estii determinado por el poten-

cia1 vectorial

doll& 2 es un vector ~ulitario en la direcci6n z, I es la magnitud de la corriente que genera, este canlpo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenad~ cilindricas.

4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguiente identidad

v ~ ( A ~ f i ) = ( d . v ) A ^ - d ( v . A ^ ) + i i ( ~ - ~ ) - ( B . v ) ~ 9

donde y 2 son funciones vectoriales.

(b) El potencial vectorial de un dipolo magnetic0 coil momento dipolar rnagn4tico (constante) n3,, estii dado por

Utilizando el resultado obtenidu,cli-(a), demuestre que el canlpo magnktico rcspcctivo cst& dado por

1) a) Describa el concept0 de Equilibrio termodinamico, enuncie la ley cero de la termodinamica y explique su relacion con la termornetria.

b) Ejemplifique describiendo un dispositivo termometrico.

2) a) En un diagrama P-V grafique un ciclo cerrado constituido por una transformacion consistente de 10s siguientes pasos: i) Isobarico; ii) isometrics; iii) lsobarico y iv) isometrico.

b) ~ C u a l es el trabajo efectuado por este sistema si las presiones maxima y minima son PA y PB y 10s volumenes son VA y VB?

c) ~ C u a l es el cambio de la energia intema?

3) Considere dos bloques del mismo tamafio del mismo material, uno a uno temperatura T A y el otro a Tg y suponga que son puestos en contact0 en un medio aislado.

a) ~ C u a l es la temperatura final de cada bloque si el volumen y la capacidad calorifica permanecen constantes durante el proceso de terrnolizacion?

b) ~ C u a l es el carnbio en entropia?

c) ~Aumenta o disminuye? Demuestrelo, considere TA mayor que TB.

Examerl de Nivel: Electromagnetismo Primavera 2005

33- ~UC;UEL m1m PE,?EZ ANrX>N

1. Utililzalido el teorema de Gauss, dem~~estre que la magnitud del campo eldctrico de- bido n una linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~ / ~ y que su direcci6n es radial.

2. Describa el campo el6ctrico y la distribuci6n de carga clue corresponden a la siguiellte funci6rl de potencial

-t

3. Obtenga las componentes del campo magndtico B que e s t j determinado por el poten- cia1 vectorial

don& 2 es un vector ~~ni tar io en la direcci6n z, I es la magnitud de la corrielite clue genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadt~ cilindricas.

4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, dernuestre la siguiente identidad

I

donde A y 2 son funciones vectoriales.

(b) El potencial vectorial A de iln dipolo magn6tico con nlomento dipolar magn6tico (con- stsnte) 6, e s t j dado por

Utilizando el resultado obterlido,cii-(a), demuestre que el c a m p magn6tico res~>cctivo est& dado por

Examen de Nivel: Electromagnetismo Primavera 2005

1. Utililzi~iido el teorema de Gauss, demuestre clue la magnitud del campo elkctrico de- bido a tlna linea de cxga infinita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 X l r y qlie sn direccihn es radial.

2. Describa el campo el6ctrico y la distribucihn de carga clue corresponden a la siguiente funci6n de potencial

-. 3. Obtenga las componentes dcl campo magndtico B clue est& determinado por el poten-

cia1 vectorial

don& 3 es un vector unitario en la dirccci6n z, I es la magnitud de la corriente que genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en ~ o o r d e n a d ~ cilindricas.

4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, dernuestre la siguiente identidad

v x ( A X 6) = ( Z - V ) A - ~ ( V . X ) + A ( V - B ) - ( A . v ) ~

dnilde y son funcioncs vcctorialcs.

(b) El potencial vectorial 2 de un dipolo rnagn6tico con rnornento dipolar magnetic0 (constante) 771, e s t j dado por

+ &XF ' A = - r3

Utilizando el resul tado o b t e n i d ~ s ~ (a), demues tre clue el campo rrlagnktico respectivo est& dado pol.

Examen de Nivel: Electromagnet ismo Primavera 2005

1. Utililzaildo el teorema de Gauss, demuestre que la magnitud del campo eldctrico de- bid0 a una linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~ 1 ~ y que su di.rc?cci611 es radial.

2. Describa el campo el6ctl.ico y la distribuci6n de carga que correspoizden a la siguiente funcicin de potencial

--t

3. Obtenga las componentes.de1 campo magn6tico B que estB determinado por el pqten- cia1 vectorial

don& es un vector unitario en la direccibn z, I es la magnitud de la corriente que genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadas cilindricas.

4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguiente identidad

v x ( A X B) =(S.v)A-B(v.X)+/i(v- B ) - (A'.v)d

donde 2 y 2 son funciones vectoriales.

(b) El potencia1 vectorial A de un dip010 magn6tico con momento dipolar magn4tico (con- stallte) A, esth dado por

Utilizalldo el resultado o.btenidmtn (a), demuestre que el campo magnetic0 respective est& dado por

MECANICA CLASICA Primavera 2005

0. Rosas-Ortiz (Prof.)

1.1. Se disparan dos balas de caii6n una contra otra; la una tiene el doble de masa per0 avanza a la mitad de la velocidad de la otra. Digamos que la clistancia que las separa inicialmente es L. Describa el movimiento del sistema. Justifique su respuesta. 1.2. Explique por qu6 se dice que un objeto orbitando la Tierra es t i en caida libre. 1.3. Se sabe que la Luna orbita la Tierra a un radio de 3 . 8 ~ 10' m. Determine la masa de la Tierra

2. Considere una particula de masa m sometida a un potencial Coulombiano v(r) = 5; K < 0. (a) Hay alguna cantidad fisica conservada? Cud(es) es(son)? Por quh? (b) Grafique el potericial efectivo y describa el compor- tamiento de las posibles trayectorias de la particula en funci6n de la energia.

3. Determine las ecuaciones de Lagrange para un pe(;ldulo esfhrico. Cu5nta.s primeras integrales hay?. Por quk?

4. C6mo calcularia la tensi6n de la cuerda que une las dos masas en una. maquina de Atwood simple? Y la fuerza de fricci6n en un plano inclinado?

Examen de Nivel PropedCutico Termodinimica Primavera 2007

Maestro: Francisco Castro Romin

NOMBRE:

1 .- Definir equilibrio termodinimico.

2.- Definir el concept0 de calor

3.- Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 300 K y a una presi6n de 100 Pa. Determinar el nlimero de moles de gas en el recipiente (El valor de la constante de 10s gases R= 8.31 Jmol-' K-'1.

4.- Se utilizan 2 Kcal para calentar 600 g de una sustancia desconocida de 300 K a 325 K, ~ c u r i l es el calor especifico de la sustancia?

5.- Se compr!me un gas a presi6n constante de 0.8 atm de un volumen de 9 L a un volumen de 2 L. En el proceso se escapan del gas 400 J de energia calorifica. a) iCuhl es el trabajo realizado por el gas? b) i ~ ~ r i l es el carnbio en la energia interna del gas?

Use ia convenci6n de signos segdn la cual una expansi6n produce un trabajo negative, e inversamente, una compresi6n produce un trabajo positivo.

6.- Una mAquina ttrmica realiza 200 J de trabajo en cada ciclo y tiene una eficiencia de 30%. Para cada ciclo de operaci6n, a) i C ~ i n t 0 calor se absorbe? b) iCuinto calor se libera?

7.- Un kilogram0 de agua a 273 K se coloca en contact0 con una fuente tkrmica a 373.K. Cuando el agua alcance 10s 373 K determine el cambio de entropia del universo. El calor especifico del agua es 4190 J/kg°K.

8.- Considerando que la energia intelfna U de un sistema hidrosthtico es funci6n de la temperatura T y de la presi6n P, deducir la siguiente ecuaci6n:

= C, - PVP ; donde f3 es el coeficiente de dilatacion cfibica.

Depto. de Fisica, CINVESTAV-IPN Examen de nivel electromagnetisrno:

curso propedeut ico, verano 2001

Titular del .cutso: Dr. Daniel Olguin, - . Auxiliar del curs+: M. en C: Juan Aguilar

Nombre aspirante:

Resuelva detalladamente. cada una de las siguientes cues- . .. - tiones: . .

1. Dos glob& iguales llenos de helio, atados a un peso de 5 gramos, se hallan en equilibrio, como se muestra en la figura. Si cada giobo tiene carga Q, halle el valor de la carga en ues (Nota: utilice el sisterna de unidades de su preferencia j comente).

Resuelva 3 problemas de la siguiente lista:

a) Establecer la lagrangiana de una particula de masa m que cae libremente en un campo gravitacional uniforme.

b) Escribir las ecuaciones de Lagrange.

c) Resolver a) y b) en el caso en que el campo de fuerza gravitacional varie inversamente con el cuadrado de la distancia desde un punto fijo 0, suponiendo que la particula se mueve en una recta que pasa por 0.

2.- Muestre que la Lagrangiana . .

nos lleva a la forma relativista de la segunda ley de Newton de movimiento:

donde av F, =-- ax, .

3. Dernostrar que la transfomadn

4'~asasas unitarias son colocadas en un sistema cartesiano de referencia en [as dguientes posiciones rnt en (1.0.1) rn2 en (1.1.0) y m3 en (0.1 .I).

a) Encuentra lamatriz mopn to de inercia. - -

b) Oiagonalite la matriz de inercia con el objeto de obtener kx ejes principab.

METODOS MATEMATICOS

Examen de Admisi6n a1 Programa de Maestria Departamento de Fisica, CINVESTAV-IPN

Propedkuticos - Primavera 2004

1. Encuhntrese la soluci6n de las siguientes ecuaciones diferenciales:

2 r ( 1 - x ) y +xy. = 2 s yl + 5 y' + 6y = 3 em(-2s) + exp (3x)

2. Demuestre que el operador correspondiente a la componente a del momento anguIar cuiintico puede expresarse como

donde r$ denota el 5ngulo acimutal de las coordenadas polares esfgricas. '

3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o L x L= iL. Otros dos vectores a y b conmutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)

4. (a) La matriz C resulta del producto matricial de A y B. Muestre que el determinante '

de C es equivalente a1 producto de 10s determinantes de A y B:

(b) Muestre que

5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-K, r) de un rectificador represent.ado

Par -9'

sin(wt), 0 < w t < x

- sin(wt) , - < wt < 0

pbl) ficmbar la solucibn general para la ccuacidn de rnovimiento de un oscilador lineal ~nidimensional de- constante k, amortiguado por una fuem bdx/dt y sometido e una hema externa F(t) = Fo sen cut. Encucnw Jas condiciones iniciales para que dicho oscilador comience inmediatamente con un movimiento esacionho,

pb2) Una particula de m m MI y velocidad V1 a lo largo del eje Z choca elasticamente con o m de mass M, que K cncuenm ur reposo. DespuCs del choque emergen con velocidades V', y V'2 , y con dngu~os 0, e2 rcspectivamente.

a)Determinar las relaciones entre las energlas cintticas inicial y fmal en el centro de masas, con la energfa cinttica inicial en el sistema de laboratorio.

b)Determinar la relacidn entre 10s hgulos de dispersidn de la partfcula 1 en el sis:ema dc jaborL!ofio cC centro de masas. Analice 10s d o s MI, MZ y MI = MZ .

c)Determinar la ffacci6n de enegfa hicia1 que se bansfiere a la partlcula 2 como h c i d n del hgulo de dispersi6n de la misma. 'Para un hgulo dado en que caso se obtiene la maxima energfa transferida?

Pb3lDonde se debe pegar en la bola de la figura para que la misma ruede sio deslizar? G

MecAnica ClAsica Cursos Propediuticos de Verano 2006

1. Demuestre que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier ob- jet0 masivo estQ dada por v, = 4- = 11.2 Kmlseg, donde g = 9.8m/seg2 es la aceleraci6n debida a la fuerza gravitacional terrestre y RT = 6,371 Km es el radio promedio de la Tierra.

2. Una particula de masa m se dispara desde el origen de coordenadas con una velocidad inicial Po en el tiempo t = 0. La resistencia del sire actfia en direcci6n contraria a1 movimiento de manera que la ecuaci6n de movimiento de la particula estd dada por

;t -. 1 mr = -mgk - myr

donde d es el vector unitario en la direcci6n vertical I y y es una constante. Demuestre que la ecuaci6n de la trayectoria de la particula estd dada por

33 t -. r ( t ) = (E+ --)(I + e - ~ ' ) - 9 k 7 Y

. 3. Un proyectil de masa m es lanzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v", ubicada en el plano x - z, con una altura inicial h = 0 en t = 0. La posici6n del proyectil es cualquier instante t estd dada por

donde Gr es el vector que describe la velocidad angular de rotaci6n de la tierra. Demuestre que la trayectoria del proyectil a1 final del tiro parab6lico se sale del plano inicial x - z por la cantidad

Electromagnetism

(G. Gonzalez de la Cruz)

1. Two particles, each of mass m and having charges q and 2q, respectively, are

suspended by strings of length I from a common point. Find the angle B that each

string makes with the vertical.

Ans. tan3 6/(1+ tan2 8) =q' /8n&,mg12

2. A spherical charge distribution has a charge density that is function only of r , the

distance from the center of the distribution. Determine the electric field if p=A/r

with A constant for O<r<R;p=O for r>R with the restriction that the electrostatic

potential p(m) =0.

p = ( A / & , ) ( R - r / 2 ) for r c R Ans.

p = ~ ~ ' / 2 ~ , r for r > R

3. A charged particle of mass m and charge q moves in a uniform magnetic field B. Show

that the most general motion of the particle is a helix, the cross section of which is a circle

of radius R=mvdqB. Where v, is the component of the velocity pe~pendicular to B.

Departamento de Fisica CINVESTAV-IPN

Curso propedeutico de verano

Examen de diagnostic0 Electromagnetismo

Dr. Miguel Melendez Lira ([email protected])

1. Una esfera dielectrica con permeabilidad E, tiene una carga puntual Q embebida en su centro. Encuentre el vector de campo electrico y el vector de desplazamiento electrico en puntos dentro y fuera de la esfera. La densidad de carga superficial y voiumetrica. Y demuestre la condition de neutralidad de la esfera dielkctrica.

2. Cerca de una esfera conductora aterrizada se coloca una carga puntual Q. i S e genera una fuerza entre la carga y la esfera?. Demuestre su respuesta.

3. Se tiene un solenoide con N espiras por el cual circula una corriente I. En el centro del mismo se coloca una barra magnetica, con su longitud mayor orientada a lo largo del eje del solenoide. La barra magnetica tiene una magnetizacion M. Encuentre la ecuacion de movimiento de la barra.

Examen de Nivel: Electromagnetismo Pr imavera 2005

1. Utililzando el teorema de Gauss, demuestre que la magnitud del campo elkctrico de- bid0 a una linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E( r ) = 2 ~ / ~ y que su direcci6n es radial.

2. Describa el campo elkctrico y la distribuci6n de carga que corresponden a la siguiente funci6n de potencia1

-. 3. Obtenga las compoi~entes.del campo magnktico B que estB deterrninado por el potell-

cia1 vectorial

- I A = -5-tnp2

C

don& 3 es un vector unitario en la direcci6n z, 1 es la magnitud de la corriente que genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordelladas cilindricas. ,

4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguiente idelltidad

doilde y 2 son funciones vectoriales.

(b) EI potencid vectorial 2 de un dip010 magn6tico con momento dipolar magn6tico (constante) $, estii dado por

Utilizando el res~~ltado obtenido en (a), demuestre que el campo ma.gin6tico respective est& --.-4----*?-:7Fs~..&---

dado por __- --.,.-,.... :..---. -..: *...la

,_.--- ,.? , -\ . .

-, 3(A- f ip -6 B = i I

r3 i

\,, .->s ,- ,d' ,/

Mecjnica Cldsica Cursos Propedhuticos de Primavera 2007

1. Demuestre que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier objeto masivo estd dada por t~, = d m = 11.2 Kmlseg, donde g = 9.8/seg2 es la aceleracibn &bida. a la fuerza gravitacional terrestre y RT = 6,371Km es el radio promedio de la Tierra.

2. Una particula de masa m se mueve en un plano bidimensional (x, y) bajo la acci6n de una energia potencial U ( x , y). = (m/2)w2(x2 - Y ~ ) . En el instante t = 0 estd en la posici6n (z,, 0), y tiene una velocidad inicial y(0) = 1 mlseg, x(0) = ' O ; determine la ecuaci6n de la trayectoria de la-particula como funci6n del tiempo.

3. Demuestre que para el movimiento de una particula en un campo central, l a ec~zaciones de movimiento para las coordenadas polares

se reducen a la ecuaci6n de movirniento

donde u = l l r .

4. Utilizando el resultado del problema anterior, demuestre que si una particula describe una 6rbita circizlar bajo la influencia de una filerza central atractiva que siempre estd dirigida hacia un punto del mismo circulo (suponga por simplicidad que este punto est& localizado en el origen de coordenadas), entonces la fuerza que produce este movimiento varia como el inverso de la quinta potencia de la magnitud de r.

5. Un proyectil de masa m es lanzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v', ubicada en el plano x - z, con una altura inicial h = 0 en t = 0. La posici6n del proyectil es cualquier inst ante t es t j dada por

donde 4 es el vector que describe la velocidad angular de rotaci6n de la tierra. Demuestre clue la trayectoria del proyectil &firi;dl del tiro parab6lico se sale del plano inicial x - z por la cantidad

Dr. Jorge J. Castro

1. Un cmo pequeiio de masa m se puede mover sin ficci6n en un riel de radio R. El carro se mueve bajo la influencia del riel, gravedad y un resorte el cud tiene un extremo fijo en un pivote a una distancia R/2 arriba del centro del riel. El resorte de constante k tiene su posicidn relajada cuando el carro se encuentra en el tope del circulo. a) Encuentre la enerda potencial del carro como fhcion de la posici6n angular del c m o con respecto a1 centro del circulo y dibuje un diagrama de energia potencial: V vs.0. b) Cual es la energia cinttica minima que el carro debe tener en el tope para que pueda dar la vueIta compfeta a1 riel.

2. Una particula de masa m se mueve bajo la accion de una herza central cuyo potencial es V(r) = Kr4 , K > 0. a) para que energia y momento angular serh la 6rbit.a un cuculo de radio a alrededor del origen7, b) iCd1 es el periodo de est6 movimiento circular? c) Si la particula es ligeramente perturbada de su movimiento circular iCUi1 sed el period0 de las oscilaciones pequefias alrededor de r = a?

Examen de nivel de l\/lktodos Matem,aticos? Verano 2004

Depto. de Fisica, CINVESTAV-IPN Titular del curso: Dr. Daniel Olguin

Alumno:

R.csuclva las siguicntes cucstiones.

1. (a) Sean A y B tlos operadores linealcs, demostrar que

i. (A+B)+ = A + + B + ii. (AB)+ = B+A+

donclc A+(B+) es cl operalor adjunto de A(B). (11) Sca U un operador unitario, mostrar que la acci6n de operador U sobre totlo

vector a' collserva la liorlna del vector.


a) Definir y clasificar el concept0 de pullto singular de la ecuaci6n diferencial.

b) Se propone una solucibn en serie de potencias a la ecuaci6n difereiicial alrededor del punto x = x,. Mostrar que si X, es un punto ordinario, la ecuacidn ilidicial tiene las raices a = 0.1.

* 3. El conjunto u,,(x) = z", n = 0,1,2. ..., N.

forma una base tle un espacio n-dimensional, en el interval0 0 5 3- < cxj: toi~~ando como factor de peso el factor p(~) = exp [x2], aplicar cl proccdinliento d~ ortonormalizacidn de Gram-Schmidt para llallar 10s primeros 3 t6r1ninos de esta I>-=.

4. Considere la funcibn

encuentre la serie Fourier de esta funcidn.

Use este resutlado para mostrar que para el caso particular 0 = 0:

5. Resuelva la siguiente integral


~xamen 'de Mecanica Clasica I Verano 2007


I Obtengase la ecuacion de movimiento de una particula que cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad, con fuerzas de rozamiento que se deducen de la funcion de disipacion (potencial) 1/2 KV'. Integrese tal ecuacion para obtener la velocidad en funcion del tiempo y demuestrese que la velocidad maxima posible cuando se parte del reposo es V,,,= mg / K

2 Emplear las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de una particula de masa m que baja por un plano inclinado liso, con un angulo oc de inclination.

3 Usar las ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador armonico en una dimension (obtener la Hamiltoniana y ecuaciones de Hamilton yOt I.)= )

EC a.

1.- Paltiendo de la primera ley de la termodinhnica y de las definiciones de

C; y C; (molares):

a) Demuestre que C; - c,: = P + . - ,. [ J(::)p

b) En general, para gases, el lado derecho de la ecuacion del inciso a) es positive. Interprete fisicamente el significado de dicha observation, explique. c) Demuestre que para gases ideales C; - C: = R

2.- Diferencias entre un gas ideal y un gas real. Escriba o deduzca la expresi6n para la energia intema de un gas ideal y uno real de Van-der-Waals. Diga cuales son las diferencias y que significan.

3.-Si s*, es la entropia molar constante cerca del cero absoluto, cv*-capacidad calorifica, N-n6mero-de-moles, V-volumen y T-Temperatura, que ecuaci6n describe la entropia de un gas ideal monoat6mico:

4.- En funci6n de la energia libre de Gibbs y sus derivadas, defina: a) Las transicionesde primer y segundo orden. b) Que cantidades termodinhmicas son discontinuas en las transiciones de primer orden? c) Que cantidades son discontinuas en las transiciones de segundo orden?


~xarnen'de ~ecan i ca Clisica 1 Verano 2007


I Obtengase la ecuacion de movimiento de una particula que cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad, con fuerzas de rozamiento que se deducen de la funcion de disipacion (potencial) 1/2 K V ~ . Integrese tat ecuacion para obtener la velocidad en funcion del tiempo y demuestrese que la velocidad maxima posible cuando se parte del reposo es V,,, = mg / K

2 Emplear las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de una particula de masa m que baja por un plano inclinado liso, con un angulo K de inclinacion.

3 Usar las ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador armonico en una dimension (obtener la Hamiltoniana y ecuaciones de Hamilton 4.. P..

4. 1

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