Proiectul eTwinning „Math, art and real life with GeoGebra”

Mihaela Gîț, Prof., Mara Sofia Stan, Elevă, Mara Sandra Matei, Elevă

Liceul Teoretic „Jean Monnet”, mihagit[at]yahoo.com

Abstract Această lucrare s-a născut din dorința de a prezenta modalități de învățare a matematicii prin artă și în același timp de a partaja exemple de bune practici ale programului GeoGebra în orele de matematică. Colecția de materiale (probleme create, fișe de lucru, animații, jocuri, etc) realizată în cadrul proiectului eTwinning "Math, art and real life with GeoGebra" este disponibilă în spațiul eTwinning al proiectului https://twinspace.etwinning.net/45383/ pages/page/265380 și pe platforma GeoGebra: https://www.geogebra.org/u/mathartreallife. Proiectul a primit trei certificate naționale de calitate, procesul de evaluare fiind în curs în celelate țări.

1. Introducere Ținând seama de faptul că arta ne unește pe toți prin frumusețe, armonie și de ce nu, prin

știință, proiectul „Math, Art and Real Life with GeoGebra” dorește să-i apropie pe elevii de toate vârstele, de artă, prin intermediul științei și reciproc dorește să utilizeze știința pentru a crea artă.

Descoperirea matematicii în artă și în general, în viața reală, modelarea fenomenelor reale cu ajutorul programului GeoGebra și crearea unei colecții de materiale făcute de elevi pentru elevi într-un demers de colaborare internațională au reprezentat obiectivele proiectului. Buna colaborare a profesorilor și elevilor implicați în proiect a avut ca rezultat imediat crearea unui pachet de fișe de lucru, aplicații interactive, jocuri utile și altor profesori la clasă. Participarea la acest proiect a condus la dezvoltarea creativității și imaginației elevilor, la dezvoltarea abilităților științifice și a celor de comunicare în limba engleză, utilizând IT.

Activitățile desfășurate în acest proiect pot deveni sursă de inspirație pentru abordarea învățării matematicii într-un context modern, interdisciplinar, multicultural.

Să nu uităm că „Matematica este arta de a da același nume unor lucruri diferite” (Henri Poincaré).

2. „Math, Art and Real Life with GeoGebra” – exemple de bune practici în învățarea

matematicii Abordarea inovativă şi creativă a învăţării constă în punerea accentului pe partea de observare,

descoperire, analizare şi modelare a realităţii înconjurătoare și în special a artei, prin intermediul matematicii; utilizarea programului GeoGebra a facut posibilă explicarea şi modelarea situaţiilor practice întâlnite în viaţa de zi cu zi. Foarte multe materiale au fost încărcate în spațiu public special creat - „MathArtRealLife” - al platformei GeoGebra:

https://www.geogebra.org/u/mathartreallife. În cadrul proiectului, elevii au modelat obiecte de artă, fenomene din viața reală folosind figurile geometrice și proprietățile lor, graficele funcțiilor de gradul I și al II-lea. Ei au creat probleme aplicative pe baza cunoștințelor învățate; de asemenea au creat animații, jocuri care evidențiază mai bine proprietățile științifice și care dovedesc creativitatea lor. A fost un schimb de idei și de e-materiale util atât pentru elevi cât și pentru profesori.

Elevii din clasa a VI-a au descoperit și au construit figuri geometrice atât în activitatea de realizare a steagurilor cât și a picturilor lui Max Bill, Victor Vasarely, Piet Mondrian; de asemenea, ei au exersat probleme de congruență a triunghiurilor, paralelism, linii importante în triunghi (inclusiv centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în triunghi),

Universitatea din Bucureşti și Universitatea „1 Decembrie 1918” din Alba Iulia 178

suma unghiurilor unui triunghi, procente prin activitățile: „Congruent triangles using Max Bill paintings”, „Congruences, parallelism and percentages in Max Bill's painting”, „Pi Day”, „The sum of measures of the angles of a triangle”, „Stained glass and mosaics”, etc.

Elevii din clasa a IX-a au descoperit translațiile după un vector, chiar și omotetiile și rotațiile – care nu mai sunt în programa obligatorie- în picturile lui Victor Vasarely, Richard Anuszkiewicz, Herbert Douglas, Sonia Delaunay; ei au realizat pavaje folosind translații și rotații, au creat probleme practice în spațiul special destinat proiectului. Astfel, în pagina „Applications of linear function in real life” cât și în publicația online Issuu au creat probleme practice în care se aplică funcția liniară; au făcut modelări cu ajutorul funcției liniare/pătratice în activitățile: „Linear functions in modeling real objects” și „Square functions in modeling real objects”; au descoperit și creat parabole în e-cărțile GeoGebra „String Art&Parabola”, „Modeling Square Systems with Geogebra”. Cea mai interesantă și spectaculoasă activitate a fost aceea prin care elevii au creat artă (animată!) folosind translații și rotații ale graficele funcțiilor trigonometrice și pătratice în „Arts through functions” – GeoGebraBook și Issuu. În Twinspace există o pagină specială cu materialele realizate, grupate pe teme de matematică Work ordered by math topics.

3. Transformări geometrice în artă Dacă matematica este, într-o oarecare măsură, o formă de artă - cel puţin în ceea ce priveşte

procesul său creator - se poate afirma cu uşurinţă şi reciproc: arta poate fi matematică. Chiar în secolele XX şi XXI, când presiunea pentru specializarea disciplinelor a atins apogeul, există artişti care ilustrează eleganţa, frumuseţea şi puterea matematicii. Prin transformările geometrice în plan se pot realiza desene și chiar picturi minunate sau pot fi reinterpretate picturi celebre.

În primul exemplu am construit un pătrat ABCD, două puncte pe latura [AB] și un punct în interiorul său (Fig.1.). Am aplicat o rotație celor trei puncte, în sensul acelor de ceas, în jurul punctului B, cu 90°. Prin trei rotații succesive ale pătratului deformat - de centru B și unghi de 90°- se obține piesa de bază a pavajului din figura 2. Aceasta se translatează pe direcții perpendiculare după vectorii de modul |AB|, ca în figura 3.

Avantajul folosirii programului GeoGebra într-o astfel de construcție este dat și de posibilitatea de a deforma pătratul în oricâte moduri dorim pentru a obține un alt model.

Pavajul următor reprezintă o acoperire sub unghiuri de 60°. Am construit un triunghi

echilateral, două puncte pe o latură și două puncte în interiorul său. Am aplicat celor patru puncte

o rotație de 60° în jurul punctului C. Triunghiului echilateral astfel deformat a fost rotit în jurul

punctului C (centrul hexagonului) în sensul acelor de ceas cu 60°: B

wRT 60 . Astfel s-a format un

Fig. 1. Pătrat deformat

Fig. 2. Rotații succesive în

jurul punctului B

Fig. 3. Translații de vectori

vu,

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XVI-a, 2018

179

puzzle în formă hexagonală alcătuit din 6 triunghiuri echilaterale deformate. În figura 5 se observă

cum hexagonul albastru e obținut ca translație a hexagonului roz după vectorul jiw 1018 .

Pavajul este alcătuit din 6 hexagoane translatate după 3 vectori cu direcții diferite, dar hexagonul

inițial a fost conceput folosind opțiunea de rotație a unui obiect în jurul unui punct. Și în acest caz

alegerea punctelor pe latura triunghilui echilateral și a celui interior poate fi făcută în diferite

moduri.

Fig. 4.Triunghi echilateral deformat și

rotatit cu 60° în jurul punctului C

Fig. 5.Pavaj hexagonal

În continuare vom prezenta câteva din transformările geometrice în plan cu ajutorul cărora am

reinterpretat desene și picturi.

Toate acestea au fost realizate cu opțiunile din aplicația Geogebra.

Pictura lui Richard Anuszkiewicz – „Double Diamond” am recreat-o folosind omotetia și

simetria față de un punct - centrul dreptunghiului. Triunghiurile asemenea situate pe o parte a

diagonalei dreptunghiului au fost transportate pe rând pe partea opusă cu opțiunea de simetrie față

de un punct (centrul dreptunghiului).

Fig. 6. „Double Diamond”

Fig. 7. Reproducere în Geogebra

Universitatea din Bucureşti și Universitatea „1 Decembrie 1918” din Alba Iulia 180

Construind centrul de omotetie al triunghiului mare ca punct mobil pe diagonala

dreptunghiului și folosind opțiunea de animare a unui punct din GeoGebra, am creat un desen

dinamic. Raportul de omotetie este 6

5.

Pictura lui Victor Vasarely a fost realizată, utilizând omotetia și rotația. În exemplul din figura 6

centrul de omotetie este centrul pătratului și raportul de omotetie este 6

5. Rotația are același

centru, cu un unghi de 14°.

Fig. 8.

Fig. 9.

Tehnica de lucru este prezentată în detaliu în publicația online issuu: https://issuu.com/

mihagit/docs/homothety__rotation_and_symmetry_in.

4. Probleme inspirate din picturile lui Max Bill, Piet Mondrian

De câte ori ați studiat o pictură moderna fără a vă gândi la o geometrie în culori de carnaval?

Poate niciodată, căci aceste opere de artă sunt adesea bazate pe pătrate, triunghiuri sau

dreptunghiuri, toate scufundate în curcubeu. Deci, m-am gândit să vă prezint picturile acestea, dar

nu din unghiul criticului de artă, ci din unghiul matematicianului!

4.1. Picturi și geometria lor

Este clar că în aceste opere de artă moderne putem găsi o mulțime de triunghiuri și patrulatere,

pe baza cărora putem crea diferite probleme de clasele aVI-a – a VII-a.

Vom începe cu artistul Max Bill (1908 – 1994), ale cărui picturi colorate te fac întotdeauna să

zâmbești.

Vom privi desenul din figura 10. Se observă congruențe de triunghiuri dreptunghice – mari

sau mici –, dar și obtuzunghice. De asemenea, pot fi analizate dreptunghiuri, paralelograme sau

trapeze.

Cine nu îl știe pe Mondrian (1872 – 1944), pictorul ale cărui desene simple, cu patrulatere

încadrate de linii negre, groase, au inspirat chiar și firme de vestimentație celebre, cum ar fi

Forever 21?

În figura 11 vedem multe dreptunghiuri colorate. Ar fi de studiat raportul ariilor culorilor

folosite în fiecare tablou și poate se va deduce o regulă pentru toate. O posibilă problemă ar fi una

în care se dă valoarea lungimii câtorva segmente și trebuie aflate perimetre și arii.

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XVI-a, 2018

181

Fig. 10. Desen în GeoGebra după Max Bill

Fig. 11. Desen în GeoGebra după Piet

Mondrian

4.2. Probleme create

Triunghiuri în triunghiuri...

Se pare că această problemă clasică a fermecat și pictori, în cazul de față pe Max Bill.

Am folosit chiar pictura, apoi m-am gândit să o reproduc în GeoGebra.

După aceea, mi-am propus chiar să o adaptez, triunghiul echilateral având latura de 4 în loc de 3.

a) Câte triunghiuri cu latura de o unitate sunt în figura 12? Dar în figura 13?

Generalizare.

Pătratul cu triunghiuri!

Se consideră pătratul ABCD cu centrul O.

R, S(AD), astfel încât [AS] [RS] [DR].

P și S sunt simetrice față de O. E, F, G, H mijloacele

segmentelor [AQ], [AP], [SC], respectiv [RC].

Să se arate că:

Fig. 12. Triunghi echilateral cu latura 4

Fig. 13. Triunghi echilateral cu latura n

Universitatea din Bucureşti și Universitatea „1 Decembrie 1918” din Alba Iulia 182

a) Δ ABQ Δ CDR;

b) Δ ABE Δ CDH;

c) Δ ABC Δ CDA;

d Δ OPA Δ OSC;

e) Δ DHR Δ BEQ;

f) ASCP, AQCR paralelograme.

5. Jocuri interactive realizate în GeoGebra

Pentru a face mai plăcută învățarea figurilor geometrice și a proprietăților lor am creat în cadrul proiectului mai multe puzzle-uri.

În figura 16 este prezentată forma finală a jocului în care sunt cuprinse 6 figuri geometrice ce completează un pătrat. Butonul de verificare îi ajută pe cei mai puțin îndemânateci să găsească răspunsul.

În figura 17 este prezentată forma finală a unei demonstrații (din cele foarte multe) a Teoremei lui Pitagora, cu posibilitatea verificării.

6. Arta firelor încrucișate/String Art

String Art-ul folosește ață colorată, lână sau fire cu diferite texturi pentru a crea modele geometrice. În general, ața este susținută de două cuie între care este întinsă pentru a fi în tensiune. Aceasta a devenit un handmade în jurul anilor 60, când a fost popularizată și cunoscută ca ,,string art”. Astfel, cu o placă de lemn, cuie și ață, se poate realiza modelul dorit. Jocul liniilor și al culorilor folosite, arta născută din nevoia de a explica noțiuni de matematică superioară, curbele Bézier și tiparele geometrice, toate acestea au devenit un mod plăcut de lucru cu fire, ațe, culori, cuie, elastice, sfoară, ace, lemn și reprezentări abstracte uneori. Pentru cei care iubesc calculatorul și arta virtuală, stringul permite simularea diverselor modele cu rezultate spectaculoase.

În primul exemplu (Fig.18), segmentele [AB] și [BC], cu m (ABC) = 120°, sunt împărțite în n=17 segmente congruente, n[0; 50]. Unind primul punct de pe un segment cu ultimul de pe celalalt, al doilea – cu penultimul, etc, se conturează o parabolă. Se aplică două rotații succesive de 120°, cu centrul în B.

Fig. 16. Puzzle geometric

Fig. 17. Puzzle Teorema Pitagora

Fig.14. Desen după Max Bill

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XVI-a, 2018

183

Codul pentru obținerea împărțirii unui segment în n părți egale în GeoGebra este:

Liste1 Sequence(i/nA + (n - i)/n B, i, 0, n) – împărte segmentul AB în n părți egale

Liste 2 Sequence(i/nB + (n - i) /nC, i, 0, n) – împărțirea segmentului BC în n părți egale

Sequence(Segment(Element(Liste1, i), Element(Liste2, i)), i, 1, n + 1) – unește punctele unui

segment cu punctele corespunzătoare ale celuilalt segment.

De remarcat faptul că numărul de puncte poate fi modificat cu ajutorul cursorului n.

În figura 19 se procedează similar: se ia punctul B pe axa Oy, iar A și C sunt așezate simetric

în raport cu Oy. Ecuația parabolei rezultate poate fi determinată algebric, rezolvând sistemul de 3

ecuații cu trei necunoscute format cu condițiile scrise în desen.

7. Artă generată de grafice ale funcțiilor trigonometrice sau pătratice

Ca exemple de artă dinamică rezultată din translații și rotații am folosit graficul funcției sinus

în figura 20 și graficul a două funcții pătratice în figura 21. În GeoGebra se poate activa opțiunea

de vizualizare a mișcării, în toate etapele ei - inclusiv în cele intermediare.

Fig.20. Graficul funcției sinus – translație după

un vector care se rotește 360°

Fig.21. Graficele a două funcții pătratice,

cărora le-au fost aplicate rotații succesive în

jurul punctului O

Fig. 18. String art cu două rotații succesive

de 120◦, cu centrul în B

Fig. 19. Curba rezultată este o parabolă

Universitatea din Bucureşti și Universitatea „1 Decembrie 1918” din Alba Iulia 184

Concluzii

Utilizarea programului Geogebra în geometrie și modelări algebrice poate facilita înțelegerea

numeroaselor noțiuni cu care se întâlnesc elevii de gimnaziu și liceu. Ne dorim ca această lucrare

să reprezinte un argument în plus pentru folosirea artei dinamice în orele de matematică; de

asemenea, materialele din acest proiect pot constitui baza unui curs opțional de „Matematică prin

Artă”.

Bibliografie

[1] https://www.britannica.com/art/Op-art, accesat 2018

[2] http://www.revista-atelierul.ro/2016/09/02/arta-firelor-incrucisate/, accesat 2017

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve, accesat 2018

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XVI-a, 2018

185

ANEXE

Universitatea din Bucureşti și Universitatea „1 Decembrie 1918” din Alba Iulia 186

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XVI-a, 2018

187